ĐỀ TÀI
“DÃY
SỐ VÀ CÁC BÀI
TOÁN VỀ DÃY SỐ”
Mục lục
1 Dãy số và các bài toán về dãy số 4
1.1 Giớithiệu................................ 4
1.2 Định nghĩa và các định lý cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Một số phương pháp giải bài toán về dãy số . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.1 Dãy số thực: một số dạng dãy số đặc biệt . . . . . . . . . . 8
1.3.2 Dãysốnguyên ......................... 12
1.3.3 Dãy số và phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.4 Một vài thủ thuật khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4 Một số phương pháp xây dựng hệ thống bài tập . . . . . . . . . . . 23
1.4.1 Xây dựng dãy hội tụ bằng phương trình . . . . . . . . . . . 23
1.4.2 Xây dựng dãy truy hồi từ cặp nghiệm của phương trình bậc 2 24
1.4.3 Xây dựng các dãy số nguyên từ lời giải các phương trình
nghiệmnguyên ......................... 25
1.4.4 Xây dựng dãy số là nghiệm của một họ phương trình phụ
thuộc biến n.......................... 26
1.5 Lý thuyết dãy số dưới con mắt toán cao cấp . . . . . . . . . . . . . 27
1.5.1 Rời rạc hóa các khái niệm và định lý của lý thuyết hàm
biếnsốthực........................... 27
1.5.2 Phương pháp hàm sinh và bài toán tìm số hạng tổng quát . 29
1.5.3 Đại số tuyến tính và phương trình sai phân . . . . . . . . . 30
1.5.4 Sử dụng xấp xỉ trong dự đoán kết quả . . . . . . . . . . . . 31
1.6 Bàitập ................................. 32
2 Phương trình sai phân 41
2.1 Saiphân................................. 41
2.1.1 Địnhnghĩa ........................... 41
2.1.2 Tínhchất............................ 41
2.2 Phương trình sai phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2.1 Một số khái niệm chung về phương trình sai phân . . . . . 43
2.3 Phương trình sai phân tuyến tính bậc nhất . . . . . . . . . . . . . 44
1
MỤC LỤC 2
2.3.1 Địnhnghĩa ........................... 44
2.3.2 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3.3 Phương pháp tìm nghiệm riêng của phương trình sai phân
tuyến tính cấp 1 không thuần nhất khi vế phải f(n)có
dạngđặcbiệt.......................... 45
2.3.4 Bàitập ............................. 47
2.4 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.4.1 Địnhnghĩa ........................... 47
2.4.2 Cáchgiải ............................ 48
2.5 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 3 . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.5.1 Địnhnghĩa ........................... 55
2.5.2 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.5.3 Vídụ .............................. 56
2.5.4 Phương trình sai phân tuyến tính cấp k........... 58
3 Xác định số hạng tổng quát của một dãy số 60
3.1 Tìm số hạng tổng quát của dãy (dạng đa thức) khi biết các số
hạngđầutiên.............................. 61
3.2 Công thức truy hồi là một biểu thức tuyến tính . . . . . . . . . . . 63
3.2.1 Vídụ .............................. 64
3.3 Công thức truy hồi là một hệ biểu thức tuyến tính . . . . . . . . . 70
3.3.1 Vídụ .............................. 70
3.4 Công thức truy hồi là biểu thức tuyến tính với hệ số biến thiên . . 72
3.5 Công thức truy hồi dạng phân tuyến tính với hệ số hằng . . . . . . 78
3.6 Hệ thức truy hồi phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.6.1 Quy trình tuyến tính hoá một phương trình sai phân . . . . 82
3.6.2 Vídụ .............................. 83
3.6.3 Mộtsốvídụkhác ....................... 87
3.6.4 Bàitập.............................. 96
4 Phương trình hàm sai phân bậc hai 99
4.1 Hàm tuần hoàn và phản tuần hoàn cộng tính . . . . . . . . . . . . 99
4.2 Phương trình hàm sai phân bậc hai với hàm tuần hoàn và phản
tuầnhoàn................................100
4.3 Phương trình với hàm số tuần hoàn, phản tuần hoàn nhân tính . . 108
4.3.1 Địnhnghĩa ...........................109
4.3.2 Mộtsốbàitoán.........................109
4.3.3 Một số ví dụ áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
MỤC LỤC 3
5 Dãy số sinh bởi hàm số 128
5.1 Hàm số chuyển đổi phép tính số học và đại số . . . . . . . . . . . . 128
5.2 Về các dãy số xác định bởi dãy các phương trình . . . . . . . . . . 135
5.3 Định lý về ba mệnh đề tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5.4 Một số bài toán về ước lượng tổng và tích . . . . . . . . . . . . . . 142
5.5 Bàitập .................................144
6 Một số lớp hàm chuyển đổi các cấp số 145
6.1 Cấp số cộng, cấp số nhân và cấp số điều hoà . . . . . . . . . . . . 145
6.2 Dãysốtuầnhoàn............................146
6.3 Hàm số chuyển đổi cấp số cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6.4 Hàm số chuyển đổi cấp số cộng vào cấp số nhân . . . . . . . . . . . 154
6.5 Hàm số chuyển đổi cấp số nhân vào cấp số cộng . . . . . . . . . . . 155
6.6 Hàm số chuyển đổi cấp số nhân vào cấp số điều hoà . . . . . . . . 156
7 Một số lớp hàm chuyển đổi các cấp số trong tập rời rạc 158
7.1 Hàm số chuyển đổi cấp số cộng thành cấp số cộng . . . . . . . . . 158
7.2 Hàm số chuyển đổi cấp số nhân thành cấp số nhân . . . . . . . . . 161
8 Một số bài toán xác định dãy số trong lớp dãy tuần hoàn cộng
tính và nhân tính. 167
8.1 Một số bài toán xác định dãy số trong lớp dãy tuần hoàn cộng tính 167
8.2 Hàm số xác định trên tập các số nguyên . . . . . . . . . . . . . . . 170
8.2.1 Hàm số chuyển đổi các phép tính số học . . . . . . . . . . 170
8.2.2 Hàm số chuyển tiếp các đại lượng trung bình . . . . . . . . 172
8.2.3 Phương trình trong hàm số với cặp biến tự do . . . . . . . 177
8.2.4 Một số dạng toán liên quan đến dãy truy hồi . . . . . . . . 180
8.3 Hàm số xác định trên tập các số hữu tỷ . . . . . . . . . . . . . . . 184
8.4 Phương trình trong hàm số với cặp biến tự do . . . . . . . . . . . . 191
8.5 Sử dụng giới hạn để giải phương trình hàm . . . . . . . . . . . . . 198
Tàiliệuthamkhảo .............................217
Chương 1
Dãy số và các bài toán về dãy
số
1.1 Giới thiệu
Chọn đề tài về dãy số, chúng tôi đã tự trước mình một nhiệm vụ vô cùng khó
khăn, bởi đây là một lĩnh vực rất khó và rất rộng, sử dụng nhiều kiến thức khác
nhau của toán học. Hơn thế, trước đó đã có khá nhiều cuốn sách chuyên khảo về
đề tài này. Dù vậy, chúng tôi vẫn muốn cố gắng đóng góp một số kinh nghiệm và
ghi nhận của mình thu lượm được trong quá trình giảng dạy những năm qua.
Tập tài liệu này không phải là một giáo trình về dãy số, lại càng không phải
là một cẩm nang hướng dẫn giải các bài toán dãy số. Tập tài liệu này đúng hơn
hết là những cóp nhặt của tác giả về những phương pháp giải các bài toán dãy
số cùng với những nhận định đôi khi mang đầy tính chủ quan của tác giả. Vì vậy,
hãy coi đây là một tài liệu mở. Hãy tiếp tục triển khai, liên hệ và đúc kết kinh
nghiệm, ghi nhận những cái hay và góp ý cho những cái chưa hay, thậm chí chưa
chính xác.
Trong tài liệu này, không phải tất cả các vấn đề của dãy số đều được đề cập
tới. Ví dụ phần dãy số và bất đẳng thức chỉ được nói đến rất sơ sài, các bài toán
dãy số mà thực chất là các bài toán về đồng dư cũng không được xét tới... Hai
mảng lớn mà tập tài liệu này chú ý đến nhất là bài toán tìm số hạng tổng quát
của một dãy số và bài toán tìm giới hạn dãy số.
Trong tập tài liệu này, các vấn đề và các bài toán có mức độ khó dễ khác
nhau. Có những bài cơ bản, có những bài khó hơn và có những bài rất khó. Vì
vậy, cần phải lựa chọn vấn đề với mức độ thích hợp (ví dụ có một số vấn đề và
bài toán chỉ đụng phải ở mức kỳ thi chọn đội tuyển hoặc quốc tế).
Viết tập tài liệu này, tác giả đã sử dụng rất nhiều nguồn tài liệu khác nhau,
tuy nhiên chỉ có một số bài có ghi nguồn gốc, một số bài không thể xác định được.
4