Khóa luận tốt nghiệp " Phương pháp toán tử cho bài toán Exciton hai chiều "

Chia sẻ: Nguyen Nhi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:81

Thêm vào BST

Báo xấu

113
lượt xem 23
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Ngày nay với sự phát triển như vũ bão của khoa học kỹ thuật, các hệ lượng tử được xét đến ngày càng đa dạng, trong đó có nhiều bài toán chưa tìm được lời giải , từ đó phát sinh nhu cầu xây dựng và phát triển phương pháp giải các bài toán cơ học lượng tử , cụ thể các phương trình Schrödinger

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Khóa luận tốt nghiệp " Phương pháp toán tử cho bài toán Exciton hai chiều "

B GIÁO D C VÀ ÀO T O TRƯ NG I H C SƯ PH M THÀNH PH H CHÍ MINH KHOA V T LÝ o0o KHÓA LU N T T NGHI P Giáo viên hư ng d n: ThS. HOÀNG N G C TR M Sinh viên th c hi n: TRƯƠNG M NH TU N Tp. H H CHÍ MINH 05/2010
Lu n văn t t nghi p GVHD: Th.S Hoàng Ng c Tr m 2010 L i c m ơn Trong quá trình th c hi n và hoàn thành khóa lu n này, ngoài nh ng n l c c a ã nh n ư c s quan tâm giúp b n thân, tôi và ng viên c a quý th y cô trong khoa V t lý trư ng i h c Sư ph m thành ph H Chí Minh ơc bày t lòng bi t ơn chân thành t i ThS. Hoàng Tôi xin Ng c Tr m - giáo viên hư ng d n lu n văn này – cô ã t n tình hư ng d n, truy n th cho tôi nh ng ki n th c b ích, nh ng kinh nghi m quý báu tôi th c hi n khóa lu n này, ng th i truy n cho tôi lòng nhi t tình trong nghiên c u khoa h c. Tôi cũng xin ư c c m ơn anh Lê Quý Giang, ch Nguy n Th M n và các thành tài Nghiên c u khoa h c ã hư ng d n, giúp viên cùng tôi trong vi c l p trình v i ngôn ng l p trình FORTRAN 77. Xin c m ơn gia ình, ngư i thân ã h tr tinh th n tôi có th hoàn thành khóa lu n này. M t l n n a tôi xin chân thành c m ơn. Trương M nh Tu n SVTH: Trương M nh Tu n Trang 1
Lu n văn t t nghi p GVHD: Th.S Hoàng Ng c Tr m 2010 M U Ngày nay v i s phát tri n như vũ bão c a khoa h c k thu t, các h lư ng t ư c xét n ngày càng a d ng, trong ó có nhi u bài toán chưa tìm ư c l i gi i, t ó phát sinh nhu c u xây d ng và phát tri n các phương pháp gi i các bài toán cơ h c lư ng t - c th là gi i các phương trình Schrödinger. M t trong nh ng phương pháp n là phương pháp lý thuy t nhi u lo n. Ý tư ng chính m nh và ph bi n có th k c a lý thuy t nhi u lo n là tách Hamiltonian c a bài toán thành hai thành ph n: m t nh ư c nghi m chính xác, ph n còn l i là “nhi u lo n” s ph n có th xác óng góp vào k t qu thông qua các b chính; trong ó i u ki n áp d ng là thành ph n “nhi u ây cũng chính là h n ch l n c a phương lo n” ph i nh so v i thành ph n chính. pháp này, vì trong th c t m t s trư ng h p thành ph n tách ra không nh coi là “nhi u lo n”. Như v y, vi c xây d ng m t phương pháp gi i các bài toán phi nhi u lo n là c n thi t. Phương pháp toán t (Operator Method, vi t t t là OM) ư c xây d ng t th p niên 80 c a th k trư c. ây là m t trong các phương pháp m nh cho m t d i r t r ng các bài toán phi nhi u lo n nêu trên [7]. Ý tư ng chính c a OM [7] n m trong b n bư c sau: (1) - Bi u di n toán t Hamiltonian qua các toán t sinh h y: H ( x, p) → H (a, a + , ω ) ; (2) - Tách Hamiltonian ˆˆ thành ph n trung hòa và không trung hòa: H (a, a + , ω ) = H 0 (a + a, ω ) + V (a, a + , ω ) ; (3) - ˆˆ ˆˆ ˆˆ Ch n tham s ω sao cho H 0 (a + a, ω ) là thành ph n chính c a Hamiltonian và t ây ta ˆˆ có nghi m riêng c a H 0 (a + a, ω ) là năng lư ng g n úng b c không; (4)- Xem ˆˆ V (a, a + , ω ) là thành ph n nhi u lo n và tính các b chính b c cao theo các sơ thích ˆˆ h p. Qua nghiên c u và ng d ng trong m t lo t các bài toán c th v lý thuy t trư ng, ch t r n, v t lý nguyên t … OM ã ch ng t tính ưu vi t và hi u qu c a nó [7] . M t s ưu i m có th k ra như: (1) - ơn gi n hóa vi c tính toán các y u t ma tr n ph c t p, ưa v các phép bi n i s . Vì v y có th s d ng các chương trình i thu n SVTH: Trương M nh Tu n Trang 2
Lu n văn t t nghi p GVHD: Th.S Hoàng Ng c Tr m 2010 tính toán trên bi u tư ng như Matlab, Mathematica t ng hóa quá trình tính toán; (2) - Cho phép xét các h lư ng t v i trư ng ngoài có cư ng b t kì. T ây có th tìm giá tr năng lư ng và hàm sóng c a h trong toàn mi n thay i c a tham s trư ng ngoài. M t trong nh ng khó khăn chung khi áp d ng OM là a ph n các bài toán có m u s ho c trong trong d u căn nên n u toán t Hamilton ch a các bi n ng l c ơn thu n chuy n sang bi u di n các toán t sinh h y thì s gây khó khăn khi tính toán. này, trong các công trình trư c [2], [7] các tác gi gi i quy t v n ã s d ng m i liên h gi a bài toán nguyên t hydro và bài toán dao ng t i u hòa thông qua phép i Levi-Civita giúp ưa các phương trình v d ng bài toán dao bi n ng t phi hòa khá quen thu c – cách gi i này khá “ p m t” v hình th c và cũng ã phát huy tác i v i các bài toán ph c t p hơn, vi c d ng i v i m t s bài toán [7]. Tuy nhiên, nh năng lư ng m t cách gián ti p như v y gây m t s khó khăn khi tính toán, l p xác tài này tôi s d ng phương pháp toán t tìm năng trình tìm nghi m. Do ó, trong lư ng E m t cách tr c ti p b ng cách s d ng phép bi n ưa ph n t a i Laplace ra kh i m u s và d u căn. ây ư c coi là m t bư c phát tri n OM. V i ý nghĩa óng góp vào s phát tri n c a OM, lu n văn này ch áp d ng OM cho m t bài toán ơn gi n, d dàng tìm nghi m chính xác b ng phương pháp gi i tích ó có cơ s ti n i chi u, so sánh và rút ra k t lu n: bài toán exciton hai chi u, t áp d ng cho các bài toán ph c t p hơn sau này. Tuy ây là bài toán ơn gi n nhưng cũng là m t bài toán ư c quan tâm do ý nghĩa th c ti n c a nó [3], [8]. M t trong nh ng khâu quan tr ng khi s d ng OM là ch n giá tr tham s t do ω , vi c ch n ω phù h p s t i ưu hóa t c tính toán do ó kh o sát s h i t c a phương pháp theo tham s ω là m t nhi m v quan tr ng. V i m c tiêu là tìm hi u sâu hơn v m t s v n trong cơ h c lư ng t và bư c u làm quen v i vi c nghiên c u khoa h c, tác gi t t ra cho mình các nhi m v như sau: SVTH: Trương M nh Tu n Trang 3
Lu n văn t t nghi p GVHD: Th.S Hoàng Ng c Tr m 2010 - Tìm hi u v lý thuy t nhi u lo n, c th là nhi u lo n d ng, tính l i sơ xác nh các b chính năng lư ng, hàm sóng, áp d ng cho m t bài toán ph bi n trong cơ h c lư ng t là bài toán dao ng t phi i u hòa. - Tìm hi u v OM (sơ tính toán, các ưu i m..) trên cơ s i chi u, so sánh v i phương pháp lý thuy t nhi u lo n thông qua vi c gi i bài toán dao ng t phi i u hòa. - Hoàn thi n các kĩ năng tính toán: tính toán trên các toán t sinh h y, bi n i gi i tích. - Bư c u làm quen v i ngôn ng l p trình (FORTRAN 77, 90). ưa ra l i gi i cho bài toán exciton hai chi u b ng phương pháp toán t , so sánh - v i k t qu thu ư c b ng l i gi i gi i tích. - Kh o sát tính h i t c a phương pháp toán t theo tham s ω . Phương pháp nghiên c u: - Tính toán is tìm bi u th c gi i tích. - S d ng ngôn ng l p trình FORTRAN 77 tìm nghi m s . i chi u, so sánh k t qu s thu ư c b ng l i gi i gi i tích và l i gi i theo OM. - B c c c a lu n văn ư c tác gi chia làm 4 chương: Chương 1: Gi i thi u phương pháp toán t qua bài toán dao ng t phi i u hòa Tác gi gi i thi u OM thông qua ví d bài toán dao ng t phi i u hòa, ng i chi u v i phương pháp lý thuy t nhi u lo n truy n th ng th y ư c tính th i hi u qu c a phương pháp này. Trư c h t tác gi vi t l i sơ lý thuy t nhi u lo n ưa ra các bư c Rayleigh-Schrödinger và áp d ng cho bài toán nêu trên. Sau ó tác gi cơ b n c a OM và áp d ng cho cùng m t bài toán. K t qu b ng s cho th y phương pháp nhi u lo n ch áp d ng ư c cho trư ng h p tham s phi i u hòa λ 0.1 trong khi phương pháp toán t cho k t qu h i t nhanh hơn nhi u l n và úng cho m i giá tr c a tham s λ . Chúng ta s s d ng phương pháp này gi i quy t v n nêu ra trong lu n văn. SVTH: Trương M nh Tu n Trang 4
Lu n văn t t nghi p GVHD: Th.S Hoàng Ng c Tr m 2010 Chương 2: Exciton – Bài toán exciton hai chi u Chương này tác gi gi i thi u các ki n th c cơ b n v exciton, thi t l p phương trình Schrödinger cho bài toán và ưa ra l i gi i gi i tích. ây là các ki n th c n n, làm cơ s cho ph n ti p theo. Chương 3: Phương Pháp Toán T Bài toán exciton hai chi u Tác gi ti n hành áp d ng OM gi i quy t bài toán exciton hai chi u. Dùng chương trình FORTRAN 77 gi i các phương trình truy toán, tìm ra m t s m c năng lư ng c a exciton hai chi u, ng th i kh o sát s h i t tương ng v i m c năng lư ng cơ b n theo giá tr ω . Ph n k t lu n: Vi c áp d ng phép bi n i Laplace và OM có th gi i quy t hi u qu bài toán exciton hai chi u. K t qu thu t bài toán exciton hai chi u ngoài trư ng h p m c năng lư ng cơ b n, các trư ng h p m c năng lư ng kích thích hoàn toàn phù h p v i k t qu thu ư c t phương pháp gi i tích. V i vi c kh o sát tham s ω trong bài nh ư c các giá tr ω c bi t trong trư ng h p m c năng lư ng kích toán, ta ã xác tài là: ti p t c kh o sát ω thích. Hư ng phát tri n ti p c a tìm ra quy lu t t i ưu tính toán, s d ng các sơ hóa t c khác nhau tính toán nghi m chính xác, ch n r a ư c sơ tính toán phù h p. T ó ng d ng OM cho bài toán exciton âm và exciton dương trong t trư ng… SVTH: Trương M nh Tu n Trang 5
Lu n văn t t nghi p GVHD: Th.S Hoàng Ng c Tr m 2010 CHƯƠNG 1 GI I THI U PHƯƠNG PHÁP TOÁN T QUA BÀI TOÁN DAO NG T PHI I U HÒA Trong chương này ta s gi i thi u các bư c cơ b n c a OM thông qua ví d bài minh h a nh ng ưu i m c a phương pháp m i này toán dao ng t phi i u hòa. ta s trình bày song song v i phương pháp lý thuy t nhi u lo n [1], [4] và so sánh các k t qu b ng s c a hai phương pháp. 1.1 Sơ Rayleigh- Schrödinger cho phương pháp nhi u lo n d ng Xét phương trình Schrödinger d ng: H Ψ ( x) = E Ψ ( x) , ˆ (1.1) ta tách toán t Hamilton c a bài toán thành hai thành ph n: H = H 0 + βV ; ˆ ˆ ˆ (1.2) ˆ trong ó thành ph n H 0 là toán t Hamilton có nghi m riêng chính xác: H 0ψ n = ε nψ n , ˆ (1.3) ˆ thành ph n V còn l i ư c g i là th nhi u lo n, i u ki n áp d ng lý thuy t nhi u lo n là thành ph n nhi u lo n V ph i “nh ” so v i H 0 , V
Lu n văn t t nghi p GVHD: Th.S Hoàng Ng c Tr m 2010 ây ta ưa vào tham s nhi u lo n β hàm sóng. coi thành ph n nhi u lo n là nh tính toán qua s mũ c a β . và d dàng nhìn th y các b c nhi u lo n trong sơ ˆ Ta gi thi t r ng các tr riêng c a H là không suy bi n và có ph gián o n, h hàm riêng ψ n c a H 0 là và tr c giao ng v i năng lư ng ε n , v i n = 0,1, 2,... . ˆ y ˆ Khi ó, chúng ta tìm nghi m c a (1.1) dư i d ng khai tri n theo các hàm riêng c a H 0 như sau: +∞ Ψ ( x ) = ∑ Ck ψ k ( x ) . k =0 Không m t tính t ng quát ta có th gi thi t hàm sóng cho tr ng thái n như sau: +∞ ∑C Ψ n ( x) = ψ n ( x) + ψ k ( x) . (1.4) k k =0 ( k ≠n ) Th (1.4) vào phương trình (1.1) ta có: ˆ    +∞ +∞ ( H 0 + β V ) ψ n ( x) + ∑ Ck ψ k ( x)  = En ψ n ( x) + ∑ Ck ψ k ( x)  . ˆ (1.5)     k = 0, k ≠ n k = 0, k ≠ n Nhân hai v c a (1.5) v i ψ n* ( x) r i tích phân theo toàn mi n bi n s x ta ư c:     +∞ +∞ ∑≠n Ck ψ k ( x)  =ψ n* ( x) En ψ n ( x) + ∑ Ck ψ k ( x)  , ψ n* ( x)( H 0 + βV ) ψ n ( x) + ˆ ˆ     k = 0, k k = 0, k ≠ n suy ra: +∞ ∑ H nn + β Vnn + β Ck Vnk = En . (1.6) k =0 ( k ≠ n ) Bây gi làm tương t như trên cho ψ j * ( x), j ≠ n ta ư c: ˆ + βV ) ψ ( x) + ∑ C ψ ( x)  =ψ * ( x) E ψ ( x) + ∑ C ψ ( x)  , +∞ +∞ ψ j ( x)( H 0 ˆ *  n n  n k k j k k     k = 0, k ≠ n k =0, k ≠ n suy ra: SVTH: Trương M nh Tu n Trang 7
Lu n văn t t nghi p GVHD: Th.S Hoàng Ng c Tr m 2010 +∞ ( En − H jj )C j = β V jn + β ∑ CkV jk , ( j ≠ n ) (1.7) k =0 k ≠n v i ký hi u các y u t ma tr n: +∞ +∞ H kk = ∫ ψ k * ( x) H 0 ψ k ( x)dx , V jk = ∫ ψ j * ( x) V ψ k ( x) dx . ˆ ˆ (1.8) −∞ −∞ H phương trình i s (1.6) - (1.7) có th xem tương ương v i phương trình Schrödinger (1.1). Gi i h phương trình này ta thu ư c năng lư ng En và các h s C j , nghĩa là tìm ư c hàm sóng Ψ n ( x) qua công th c (1.4). Ta có th s d ng lý thuy t nhi u lo n cho h phương trình này b ng cách phân tích theo tham s nhi u lo n như sau: +∞ En = En ( 0) + ∑ β s ∆E ( s ) , (1.9) s =1 +∞ C j = C j ( 0) + ∑ β s ∆C j ( s ) , j ≠ n . (1.10) s =1 ây ta ký hi u En ( 0) , C j (0) là năng lư ng và h s g n úng b c không, còn ∆En ( s ) , ∆C j ( s ) , s ≥ 1 là các b chính vào năng lư ng và h s hàm sóng. em (1.9) và ng nh t hai v theo lũy th a c a tham s β ta ư c: (1.10) th vào (1.7), (1.8) sau ó En ( 0) = H nn , C j (0) = 0 , V jn ∆En (1) = Vnn , ∆C j (1) = ( j ≠ n) ; En (0) − H jj +∞ ∆En ( s ) = ∑Vnk ∆Ck ( s −1) , s ≥ 2: k =0 k ≠n  +∞  s −1 1  V ∆C ( s−1) − ∆E ( s −t ) ∆C ( t )  ( j ≠ n ) . ∑ jk k ∑n ∆C j = (0) (s) (1.11) En − H jj  k =0  j  k ≠n  t =1   ây là sơ lý thuy t nhi u lo n mà ta s s d ng trong các ph n sau. SVTH: Trương M nh Tu n Trang 8
Lu n văn t t nghi p GVHD: Th.S Hoàng Ng c Tr m 2010 1.2. Phương pháp nhi u lo n và dao ng t phi i u hòa Ta xét bài toán dao ng phi i u hòa v i toán t Hamilton có d ng sau: 1 d2 1 2 + x + λ x4 , H =− ˆ (1.12) 2 2 dx 2 v i h s phi i u hòa λ > 0 . Bài toán này có d ng chuy n ng trong h th và có các m c năng lư ng gián o n. Ta s s d ng phương pháp nhi u lo n ã cp trên gi i quy t bài toán này. Trư c h t ta chia toán t Hamilton thành hai ph n như sau: H = H0 + V , ˆ ˆ ˆ v i: 2 ˆ = − 1 d + 1 x2 , H0 2 dx 2 2 V = λ x4 . ˆ (1.13) ˆ Toán t Hamilton g n úng H 0 có nghi m riêng chính xác là các hàm sóng c a dao ng t i u hòa:  x2   Hn ( x) , ψ n = An exp  − (1.14) 2  d n − x2 v i H n ( x ) là a th c Hermit: H n ( x ) = (−1) e x2 n e. dx n 1 Hàm sóng này ng v i tr riêng là năng lư ng g n úng b c không ε n = n + . 2 ˆ ˆ H 0 và V Các y u t ma tr n c a các toán t ng v i các hàm s (1.14) có th tính ư c như sau ( xem ph l c 3): 1 H nn = n + 2 SVTH: Trương M nh Tu n Trang 9
Lu n văn t t nghi p GVHD: Th.S Hoàng Ng c Tr m 2010 λ Vn , n + 4 = (n + 4)(n + 3)(n + 2)( n + 1) , 4 λ Vn , n + 2 = (2n + 3) (n + 2)(n + 1) , 2 λ Vnn = (6n 2 + 6n + 3) . (1.15) 4 i x ng: Vkm = Vmk . Các y u t ma tr n khác không khác thu ư c t tính ưa ra các s li u thu ư c cho trư ng K t qu : Trong các b ng sau chúng ta s h p tr ng thái cơ b n n = 0 và m t tr ng thái kích thích n = 4 . i u ki n áp d ng lý thuy t nhi u lo n ψ n V ψ n ψ n H 0 ψ n lúc này tr thành: ˆ ˆ λ 1 (6n2 + 6n + 3) n+ 4 2 2 ( 2n + 1) →λ . (1.16) 6n 2 + 6n + 3 V i tr ng thái cơ b n: n = 0 thì → λ 0.67 , ta s xét các trư ng h p ng v i các giá tr λ = 0.01, λ = 0.05 , λ = 0.1 , λ = 0.3 và thu ư c các m c năng lư ng tương ng trong b ng 1.1. SVTH: Trương M nh Tu n Trang 10
Lu n văn t t nghi p GVHD: Th.S Hoàng Ng c Tr m 2010 B ng 1:1 Tr ng thái cơ b n n = 0 thu ư c b ng lý thuy t nhi u lo n. λ = 0.01 λ = 0.05 λ = 0.1 λ = 0.3 E0(0) 0.5000000000 0.5000000000 0.5000000000 0.5000000000 E01) ( 0.5075000000 0.5375000000 0.5750000000 0.7250000000 E0( 2) 0.5072375000 0.5309375002 0.5487500013 4.8875000929 E03) ( 0.5072583125 0.5335390626 0.5695624993 1.0506874797 E0 4) ( 0.5072558996 0.5320310060 0.5454335949 -0.9037538228 E05) ( 0.5072562577 0.5331500624 0.5812433983 7.7980283886 E06) ( 0.5072561937 0.5321503309 0.5172605857 -38.8454419856 E07 ) ( 0.5072562070 0.5331891854 0.6502339597 251.9673269259 E08) ( 0.5072562038 0.5319607395 0.3357518043 -1811.3500941848 E09) ( 0.5072562047 0.5335887505 1.1692934364 14595.2498498883 E010 ) ( 0.5072562044 0.5311982288 -1.2786007173 -129950.4520395805 V i tr ng thái kích thích: n = 4 i u ki n ta thu ư c là → λ 0.146 . Ta s xét các trư ng h p ng v i các giá tr λ = 0.01, λ = 0.03 , λ = 0.06 , λ = 0.1 . Khi ó ta có các m c năng lư ng tương ng b ng 1.2. B ng 1.2: Tr ng thái kích thích n = 4 thu ư c b ng lý thuy t nhi u lo n. λ = 0.01 λ = 0.03 λ = 0.06 λ = 0.1 E40) ( 4.5000000000 4.5000000000 4.5000000000 4.5000000000 E41) ( 4.8075000000 5.4225000000 6.3450000000 7.5750000000 E4 2) ( 4.7668874959 5.0569874638 4.8829498552 3.5137495980 E43) ( 4.7775845596 5.3458081837 7.1935156144 14.2108132978 E44) ( 4.7738544635 5.0436703988 2.3593110572 -23.0901477918 E45) ( 4.7753851516 5.4156275988 14.2619414562 129.9786587800 E46) ( 4.7746833968 4.9040483689 -18.4791292566 -571.7761147298 E47 ) ( 4.7750329077 5.6684285196 79.3615300321 2923.3320274444 SVTH: Trương M nh Tu n Trang 11
Lu n văn t t nghi p GVHD: Th.S Hoàng Ng c Tr m 2010 E48) ( 4.7748469756 4.4448528730 -232.9328160495 -15669.8670185477 E49) ( 4.7749514618 6.5051300165 820.0470425212 888816.3030916408 E410 ) ( 4.7748899061 2.8703274765 -2901.9907584706 -526740.6987256789 Nh n xét: i v i tr ng thái cơ b n (b ng 1.1) trong trư ng h p λ = 0.01, khá nh so Ta th y v i gi i h n c a i u ki n nhi u lo n, k t qu b chính b c sáu cho chính xác t i sáu ch s sau d u ph y. V i trư ng h p λ = 0.05 , m c dù v n nh so v i i u ki n nhi u lo n xong ã th y có d u hi u phân kì, ch còn chính xác n hai ch s sau d u ph y. n giá tr λ = 0.1 ta th y k t qu phân kì, các b chính b c ba ã cho k t qu C th không phù h p, và v i λ ≥ 0.03 lý thuy t nhi u lo n không còn úng n a. Ta cũng tr ng thái kích thích n = 4 (b ng 1.2) nh n th y k t qu tương t Như v y khi s d ng sơ lý thuy t nhi u lo n ch s d ng ư c m t s b chính u tiên. Các b chính b c cao không có ý nghĩa, bên c nh ó t c h i t c a năng lư ng không cao và ch áp d ng cho mi n λ nh . 1.3 Phương pháp toán t cho bài toán dao ng t phi i u hòa Nh ng ý tư ng v OM ã xu t hi n vào nh ng năm 1979. Tuy nhiên, OM ư c ưa ra u tiên vào năm 1982 b i m t nhóm các giáo sư trư ng i h c Belarus và ưc ng d ng thành công cho m t nhóm r ng rãi các bài toán như các polaron, bipolaron trong trư ng i n t , bài toán tương tác chùm i n t v i c u trúc tinh th ,... trong v t lý ch t r n; bài toán tương tác h các boson trong trong lý thuy t trư ng. Phương pháp này ư c phát tri n b i Fernandez, Meson và Castro, Gerryva Silverman, Wistchel và nhi u tác gi khác [7]. Ta s trình bày các i m chính c a phương pháp OM trên cơ s ví d bài toán dao ng t phi i u hòa m t chi u. K t qu thu ư c s so sánh v i phương pháp nhi u lo n trên. Xét phương trình Schrödinger (1.1) cho dao ng t phi i u hòa v i toán t Hamilton không th nguyên (1.14). Ta s gi i phương trình này b ng OM v i b n bư c cơ b n như sau: SVTH: Trương M nh Tu n Trang 12
Lu n văn t t nghi p GVHD: Th.S Hoàng Ng c Tr m 2010 Bư c m t: Chuy n toán t Hamilton v bi u di n c a các toán t sinh - h y b ng cách t bi n s ng l c ( t a và toán t o hàm) thông qua các toán t sau: ω ω i 1d a=  x + ω p  = 2  x + ω dx  ; ˆ ˆ ˆ 2    (1.17) ω ω ˆ 1d i a+ =  x − ω p  = 2  x − ω dx  . ˆ ˆ 2    ây toán t a ư c g i là “toán t h y” và a + ư c g i là “toán t sinh” (xem ˆ ˆ [1],[4]); ω là tham s th c dương ư c ưa thêm vào t i ưu quá trình tính toán, ta s nói rõ hơn v tham s này trong bư c ba. Ta d dàng thu ư c h th c giao hoán:  a, a +  = 1 . ˆ ˆ  (1.18) H th c này s giúp ta ưa các toán t sinh h y v d ng chu n, nghĩa là các toán t sinh n m phía bên trái và các toán t h y n m v phía bên ph i, thu n l i cho các tính toán i s sau này. T ây v sau ta g i nó là d ng chu n (normal) c a toán t Th (1.17) vào (1.12) và s d ng (1.18), ta ư c bi u th c d ng chu n c a toán t Hamilton như sau( ph l c 1): ˆ 1+ ω 1−ω2  + 3λ ( 2a + a + 1) + () ( ) 2 a 2 + a + 2 a+ a + 2a + a + 1 2 2 H= ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ   4ω 4   4ω 4ω     λ () + 4(a ) a + 4a + a 3 + 6 ( a ) a4 + a + 6a 2  . +4 +3 +2 + ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ (1.19)   4ω 2   Bư c hai: Tách Hamiltonian (1.19) thành hai thành ph n như sau: - Ph n th nh t là H 0 ( a + a, λ , ω ) ch ch a các toán t “trung hòa” n = a + a , ˆ OM ˆ ˆ ˆ ˆˆ nghĩa là bao g m các toán t có s toán t sinh và s toán t h y b ng nhau: ˆ OM 1 + ω λ ( 2a a + 1) + 43ω ( ) 2 2 a+ a + 2a + a + 1 . 2 + H0 = ˆˆ ˆˆ ˆˆ (1.20)   4ω   2 - Ph n còn l i ta kí hi u là V OM ( a + , a, λ ,ω ) = H − H 0 ( a + a, λ , ω ) . ˆ ˆ ˆ OM ˆ ˆ ˆˆ SVTH: Trương M nh Tu n Trang 13
Lu n văn t t nghi p GVHD: Th.S Hoàng Ng c Tr m 2010 Như v y, tương t như trong lý thuy t nhi u lo n, ây ta tách toán t Hamilton thành hai thành ph n: thành ph n H 0 ( a + a, λ , ω ) có nghi m chính xác mà chúng ta s ˆ OM ˆ ˆ d dàng xây d ng dư i ây; riêng thành ph n V OM ( a + , a, λ , ω ) ˆ ˆˆ ư c xem như thành ư c i u c h nh “ ph n “nhi u lo n” s nh ” th a i u ki n c a lý thuy t nhi u lo n thông qua vi c ch n tham s ω . Bư c ba: Tìm nghi m chính xác b c không b ng cách gi i phương trình: H 0 ( a + a, λ , ω ) ψ ( ) = E ( ) ψ ( ) . ˆ OM ˆ ˆ 0 0 0 (1.21) Ta th y H 0 ( a + a, λ , ω ) giao hoán v i toán t n = a + a và nghi m c a nó d dàng ˆ OM ˆ ˆ ˆ ˆˆ xây d ng như sau [4]: (a ) 1 +n n(ω ) = ˆ 0, (1.22) n! nh nghĩa, khi ó nghi m (1.22) ta g i là vector ây ta ã s d ng kí hi u Dirac ư c xác nh b ng phương trình: tr ng thái; và tr ng thái “chân không” (Vacuum) 0 a(ω ) 0 = 0; 0 0 = 0. ˆ (1.23) Khi c n thi t chúng ta có th s d ng phương trình này nh d ng tư ng xác minh c a hàm sóng bi u di n tr ng thái chân không. T các tính ch t c a toán t sinh – h y (1.18), ta d dàng ki m ch ng: a+a n = n n ; ˆˆ (1.24) i u này có nghĩa là tr ng thái (1.23) là nghi m riêng c a toán t n = a + a , nghĩa là nó ˆ ˆˆ cũng là nghi m riêng c a toán t H 0 ( a + a, λ , ω ) . ˆ ˆˆ Ta có: 1 + ω 2 λ  ( 2a+ a + 1) + 43ω 2 ( ) En ) = n H 0 n = n  (0 2 a+ a + 2a + a + 1  n 2 ˆ OM ˆˆ ˆˆ ˆˆ    4ω   (1.25) 1+ ω2 3λ ( 2n + 1) + 4ω 2 ( 2n2 + 2n + 1) , = 4ω SVTH: Trương M nh Tu n Trang 14
Lu n văn t t nghi p GVHD: Th.S Hoàng Ng c Tr m 2010 là năng lư ng g n úng b c không, ph thu c vào tham s ω (xem ph l c 3). Như ã nh ω t ư c ưa vào t i ưu hóa quá trình tính toán, ta xác nói, ây là tham s i u ki n: ∂En ) ( 0 = 0. (1.26) ∂ω ch n giá tr ω theo OM ã ư c th o lu n trong m t s công trình [7] Tiêu chí và ã ch ra r ng i u ki n (1.26) cho ta k t qu tương i chính xác g n úng b c i u ki n (1.26) cũng phù h p v i i u ki n không i v i nhi u bài toán khác nhau. H 0 >> V . V i bài toán chúng ta ang xét, i u ki n (1.26) d n t i phương trình ˆ ˆ xác nh ω như sau: ( 2n + 1) ω 3 − ( 2n + 1) ω − 6λ ( 2n2 + 2n + 1) = 0 . (1.27) Bư c b n: Phương pháp toán t (OM) tìm nghi m b ng s : n ây chúng ta có th s d ng sơ c a lý thuy t nhi u lo n (1.9)-(1.11) tính các b chính b c cao. Ngoài ra, do tính h i t c a OM r t cao và chúng ta có tham s t do ω h i t , ta có th s d ng sơ i u khi n t c vòng l p gi i tr c ti p h phương trình (1.6)-(1.7). Hàm sóng có th vi t dư i d ng chu i c a các vector tr ng thái như sau: n+ s Ψ (n ) = n + ∑ C( ) k s s . (1.28) k k =0 ( k ≠n) Th (1.28) vào phương trình (1.1) ta có:     n+s n+ s ˆ + βV )  n + ∑ C ( s ) k  = E  n + ∑ C ( s ) k  . ˆ (H 0 (1.29)     k n k     k =0 k =0     (k ≠n) ( k ≠n) Nhân hai v c a (1.29) v i n ta ư c:     n+ s n+ s ˆ + βV )  n + ∑ C ( s ) k  = n E  n + ∑ C ( s ) k  , ˆ n (H0     k n k     k =0 k =0     ( k ≠n) ( k ≠n) SVTH: Trương M nh Tu n Trang 15
Lu n văn t t nghi p GVHD: Th.S Hoàng Ng c Tr m 2010 suy ra: n+s ∑≠n Ck( s )Vnk . Ens ) = H nn + Vnn + ( (1.30) k =0, k Bây gi làm tương t như trên cho j , j ≠ n ta ư c:     n+ s n+s ˆ + βV )  n + ∑ C ( s ) k  = j E  n + ∑ C ( s ) k  , ˆ j (H0     k n k     k =0 k =0     ( k ≠n) (k ≠n) suy ra: n+s ( En s ) − H jj )C (j s +1) = V jn + ∑ Ck( s )V jk , ( j ≠ n ) ( (1.31) k =0 k ≠n Vì Ck ( ) và Ck ( ) cũng như ε n( ) và ε n( ) sai khác nhau r t ít. Nên ta có ư c sơ s −1 s −1 s s vòng vòng l p như sau: n+s ∑≠n Ck( s )Vnk , = H nn + Vnn + (s) E n k =0, k n+s ( En s ) − H jj )C (j s +1) = V jn + ∑ Ck( s )V jk , ( (1.32) k =0 k ≠n u là C (j ) = 0, ( j ≠ n) . 0 v i i u ki n ban Chú ý r ng ây chúng ta không c n s d ng tham s nhi u lo n cho nên ã cho β = 1 . Ngoài ra các giá tr Ens ) , C (js ) tương ng ( v i các bư c l p khác nhau ch không ph i là b chính. Các y u t ma tr n trong sơ trên cũng như trong sơ lý thuy t nhi u lo n ưc nh nghĩa như (1.6), vi t l i như sau: H kk = k H 0 k , V jk = j V k ; ˆ OM ˆ (1.33) các ph n t ma tr n này có th tính m t cách d dàng b ng các bi n i thu n is d a vào các tính ch t (1.18), (1.23). C th là hai công th c sau : SVTH: Trương M nh Tu n Trang 16
Lu n văn t t nghi p GVHD: Th.S Hoàng Ng c Tr m 2010 a+ n = n + 1 n + 1 ; a n = n n −1 . ˆ ˆ (1.34) Vi c tính các ph n t ma tr n b ng các phép tính thu n i s là m t trong nh ng ưu i m c a OM. Th t v y, thay vì nh nghĩa các ph n t ma tr n như (1.6) và tính các tích phân tương ng v i các hàm sóng d ng tư ng minh, ây ta ch d a vào các bi n i i s nh các h th c (1.18) và (1.23) và c th là s d ng (1.26) và (1.34). K t qu ta có các ph n t ma tr n khác không như sau (xem ph l c 3): 1+ ω2 ( 2a + a + 1) + 43λ2 2 ( a + a ) + 2a + a + 1 n H nn = ( H 0 )nn = n 2 ˆˆ ˆˆ ˆˆ ω  4ω   1+ ω 3λ ( 2n + 1) + 2 ( 2n2 + 2n + 1) , 2 = 4ω 4ω 1− ω2 2 λ 2( 4 a + a 3 + 6a 2 ) n + 2 Vn , n + 2 = n a+ ˆ ˆˆ ˆ 4ω 4ω ( n + 2 )! 1 − ω 2 λ 1 − ω 2 λ   2( 4n + 6 )  ( n + 2 )( n + 1) =  2( 2n + 3 )  = + +  4ω 4ω  4ω 2ω   n! 1 − ω λ  2 2( 2n + 3 )  ( n + 2 )( n + 1) , + =  4ω 2ω  ( n + 4 )! = λ λ4 λ ( n + 4 )( n + 3)( n + 2)( n + 1); Vn,n + 4 = n 2 a n+4 = (1.35) ˆ 4ω 4ω 2 4ω 2 n! i x ng Vnm = Vmn . các ph n t ma tr n khác thu ư c d a vào tính SVTH: Trương M nh Tu n Trang 17
Lu n văn t t nghi p GVHD: Th.S Hoàng Ng c Tr m 2010 B ng 1.3: Năng lư ng tr ng thái cơ b n n = 0 thu ư c b ng OM. λ = 0.01 λ = 0.05 λ = 0.1 λ = 0.3 λ = 1.5 E0(0) 0.5072875410 0.5477040816 0.574999999 0.6689058171 0.9727107180 E01) ( 0.5072875410 0.5477040816 0.574999999 0.6689058171 0.9727107180 E0( 2) 0.5072563014 0.5323777399 0.558838596 0.6373408787 0.8817884333 E03) ( 0.5072562707 0.5326638127 0.559112766 0.6378326682 0.8840817664 E0 4) ( 0.5072562023 0.5326424521 0.559151382 0.6380153133 0.8849480705 E05) ( 0.5072620492 0.5326424823 0.559146495 0.6379948737 0.8848112845 E06) ( 0.5072620448 0.5326427790 0.559146278 0.6379914404 0.8847892918 E07 ) ( 0.5072620453 0.5326427553 0.559146329 0.6379917786 0.8847943659 E08) ( 0.5072620452 0.5326427551 0.559146328 0.6379918013 0.8847946861 E09) ( 0.5072620452 0.5326427553 0.559146327 0.6379917866 0.8847944336 E010 ) ( 0.5072620452 0.5326427552 0.559146327 0.6379917844 0.8847944198 E0T ) ( 0.5072620452 0.5326427552 0.559146327 0.6379917842 0.8847944251 SVTH: Trương M nh Tu n Trang 18
Lu n văn t t nghi p GVHD: Th.S Hoàng Ng c Tr m 2010 B ng 1.4: Năng lư ng tr ng thái kích thích n = 4 thu ư c b ng OM λ = 0.01 λ = 0.03 λ = 0.06 λ = 0.1 λ = 1.5 E40) ( 4.8092999999 5.2078603252 5.8694444444 6.2490740740 12.4453125000 E41) ( 4.8092999999 5.2078603252 5.8694444444 6.2490740740 12.4453125000 E4 2) ( 4.7736995554 5.2060800093 5.6861199877 6.2223820797 12.3776059956 E43) ( 4.7747285026 5.2051664217 5.6967910549 6.2199718947 12.3574329062 E44) ( 4.7749316376 5.2051386595 5.7021291564 6.2202679913 12.3556586805 E45) ( 4.7749139015 5.2051516636 5.7011304336 6.2203200633 12.3576222919 E46) ( 4.7749129456 5.2051514395 5.7009480693 6.2203017742 12.3577769104 E47 ) ( 4.7749131151 5.2051511291 5.7010151586 6.2202996521 12.3574810758 E48) ( 4.7749131114 5.2051511437 5.7010178067 6.2203009392 12.3574842521 E49) ( 4.7749131114 5.2051511499 5.7010146470 6.2203009652 12.3575265919 E410 ) ( 4.7749131115 5.2051511492 5.7010148920 6.2203008706 12.3575216732 E4T ) ( 4.7749131114 5.2051511491 5.7010149485 6.2203008813 12.3575176582 Ta th y khi s d ng OM, v i trư ng h p m c năng lư ng cơ b n n=0 (b ng 1.3) và trư ng h p kích thích ng v i n = 4 (b ng 1.4) ng v i các giá tr λ khác nhau, sau b chính b c sáu cũng có k t qu chính xác t i sáu ch s sau d u ph y. Ta có th th y tính hi u qu c a OM so v i phương pháp nhi u lo n ã thu ư c b ng 1.1 và b ng 1.2 b ng vi c xét thêm trư ng h p λ = 1.5 i v i hai trư ng h p n = 0 và n = 4 . Ta th y k t qu v n h i t như các trư ng h p λ có giá tr nh . Như v y OM cho phép tìm giá tr năng lư ng ng v i các giá tr tham s nhi u lo n λ khác nhau. Các b chính b c cao h i t t t. SVTH: Trương M nh Tu n Trang 19