Luận án Tiến sĩ Toán học: Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm đối với một số bài toán biên phi tuyến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỔ CHÍ MINH<br /> <br /> TRẦN MINH THUYẾT<br /> <br /> ĐỊNH LÝ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT<br /> NGHIỆM ĐỐI VỚI MỘT SỐ<br /> BÀI TOÁN BIÊN PHI TUYẾN<br /> LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC<br /> Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH<br /> Mã số<br /> : 1.01.01<br /> Người hướng dẫn khoa học:<br /> 1. TS. TRẦN VÃN TÂN<br /> <br /> Đại học Sư Phạm Tp.Hồ Chí Minh<br /> 2. TS. NGUYỄN THÀNH LONG<br /> Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Tp. Hồ Chí Minh<br /> <br /> TP.HỔ CHÍ MINH 2001<br /> <br /> MỤC LỤC<br /> <br /> PHẦN MỞ ĐẦU...................................................................................................................... 1<br /> CHƢƠNG 1: KHẢO SÁT BÀI TOÁN HYPERBOLIC PHI TUYẾN CÓ SỐ HẠNG PHI<br /> TUYẾN CHỨA<br /> ................................................................................................. 11<br /> 1.1. Giới thiệu ................................................................................................................ 11<br /> 1.2. Các ký hiệu và giả thiết ............................................................................................ 12<br /> 1.3. Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm .......................................................................... 14<br /> 1.4. Nới rộng bài toán ..................................................................................................... 26<br /> CHƢƠNG 2: KHẢO SÁT MỘT PHƢƠNG TRÌNH SÓNG Á TUYẾN TÍNH LIÊN KẾT<br /> VỚI MỘT PHƢƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN PHI TUYẾN CHỨA GIÁ TRỊ BIÊN ............. 32<br /> 2.1. Giới thiệu ................................................................................................................ 32<br /> 2.2.Định lý tồn tại và duy nhất ........................................................................................ 33<br /> 2.3.Tính ổn định nghiệm ................................................................................................. 50<br /> CHƢƠNG 3: BÀI TOÁN BIÊN PHI TUYẾN TRONG KHÔNG GIAN SOBOLEV CÓ<br /> TRỌNG LƢỢNG ............................................................................................................... 56<br /> 3.1. Giới thiệu ................................................................................................................ 56<br /> 3.2. Các không gian hàm Sobolev có trọng ..................................................................... 56<br /> 3.3. Định lý tồn tại và duy nhất ....................................................................................... 63<br /> CHƢƠNG 4: DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN BIÊN PHI<br /> TUYẾN TRONG KHÔNG GIAN SOBOLEV CÓ TRỌNG ............................................... 77<br /> 4.1. Giới thiệu ................................................................................................................ 77<br /> 4.2. Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm .......................................................................... 78<br /> 4.3. Dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi h → 0+ ............................................................. 82<br /> PHẦN KẾT LUẬN ................................................................................................................ 85<br /> CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ CÓ LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI LUẬN ÁN ......................... 87<br /> TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................................... 88<br /> <br /> LỜI CAM ĐOAN<br /> <br /> Tôi xin cam đoan đây là chƣơng trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu, kết quả nêu trong<br /> luận án là trung thực và chƣa từng đƣợc ai công bố trong bất kỳ một chƣơng trình nào khác.<br /> <br /> Tác giả luận án<br /> <br /> Trần Minh Thuyết<br /> <br /> 1<br /> Tổng quan<br /> <br /> PHẦN MỞ ĐẦU<br /> Trong luận án nay chúng tôi muốn sử dụng các phƣơng pháp của Giải tích hàm phi tuyến<br /> nhƣ : phƣơng pháp Galerkin, phƣơng pháp compact yếu và toán tử đơn điệu, phƣơng pháp<br /> tuyến tính hóa liên hệ với các định lý điểm bất động, phƣơng pháp tiệm cận... nhằm khảo sát<br /> một số bài toán biên có liên quan đến các vấn đề trong Cơ học. Chẳng hạn nhƣ các phƣơng<br /> trình sóng phi tuyến liên kết với các loại điều kiện biên khác nhau xuất hiện trong các bài toán<br /> mô tả dao động của một màng với các ràng buộc phi tuyến ở bề mặt và tại biên, hoặc mô tả sự<br /> va chạm của một vật rắn và một thanh đàn hồi nhớt tựa trên một nền cứng; Các phƣơng trình<br /> elliptic mô tả sự uốn của một thanh đàn hồi phi tuyến đƣợc nhúng trong một chất lỏng,...<br /> Bản luận án ngoài chƣơng mở đầu ra sẽ đƣợc chia thành 4 chƣơng. Trong chƣơng 1 - 2<br /> chúng tôi sử dụng phƣơng pháp Galerkin và các công cụ hỗ trợ để khảo sát các bài toán liên<br /> quan đến phƣơng trình sóng và cũng với các công cụ trên ở các chƣơng 3-4 dành cho việc<br /> khảo sát bài toán biên phi tuyến có số hạng kỳ dị.<br /> ■ Trong chƣơng 1, chúng tôi khảo sát bài toán<br /> <br /> trong đó<br /> ra ngoài biên<br /> <br /> R n là một tập mở bị chận có biên<br /> <br /> đủ trơn,<br /> <br /> là pháp tuyến đơn vị hƣớng<br /> <br /> là hằng số cho trƣớc, B,f,F,u0 , u 1 là các hàm cho trƣớc. Các giả thiết<br /> <br /> đặt ra cho các hàm nay sẽ<br /> <br />