Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan luận văn này do chính bản thân tôi thực hiện, dưới sự hướng

dẫn khoa học của Thầy giáo, TS. Lê Hồng Sơn. Các kết quả trích trong luận văn

này là hoàn toàn trung thực.

Tác giả

Lương Duy Tân

1

Lời cảm ơn

Luận văn này là kết quả có được do những cố gắng của bản thân tôi dưới sự

hướng dẫn của Thầy giáo, TS. Lê Hồng Sơn. Tôi xin gửi lời cám ơn sâu sắc đến

Thầy, người đã trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ tôi tận tình trong suốt thời gian thực

hiện luận văn.

Trong thời gian làm luận văn này, tôi đã nhận được những tình cảm quan tâm,

yêu thương và sự động viên lớn lao từ gia đình, bạn bè, đó là điều quan trọng nhất

để tôi hoàn thành tốt luận văn tốt nghiệp này.

Do kiến thức và thời gian có hạn nên chắc chắc luận văn còn mắc phải nhiều

thiếu sót. Vậy kính mong quý Thầy, Cô cùng các bạn quan tâm đóng góp ý kiến

để luận văn được hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cám ơn!

Tác giả

Lương Duy Tân

2

Mục lục

1 CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ 6

1.1 Biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.1 Ánh xạ đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.2 Biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.3 Phân phối xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.4 Hàm phân phối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.5 Kỳ vọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.6 Phương sai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.7 Các biến ngẫu nhiên độc lập . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2 Một số định lý giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.1 Các dạng hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.2 Một số đẳng thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2.3 Luật số lớn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 LUẬT YẾU SỐ LỚN CHO MẢNG CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN

DƯỚI ĐIỀU KIỆN KHẢ TÍCH ĐỀU 16

2.1 Điều kiện khả tích đều và khả tích đều theo nghĩa Cesàro . . . . . 16

2.2 Luật yếu số lớn tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3

Lời nói đầu

Trong lý thuyết xác suất, các định lý giới hạn nói chung và luật số lớn nói riêng

đóng vai trò rất quan trọng. Luật số lớn được Bernoulli phát hiện đầu tiên vào

năm 1713 và được Kolmogorov phát triển, hoàn thiện vào những năm 30 của thế

kỉ XX. Cho đến nay, các định lý giới hạn nói chung và luật số lớn nói riêng vẫn

đang là một vấn đề có tính thời sự và có ảnh hưởng to lớn đến sự phát triển của

lý thuyết xác suất, thống kê toán học và các ứng dụng của chúng. Các định lý giới

hạn cổ điển trong lý thuyết xác suất thường quan tâm đến các biến ngẫu nhiên

độc lập. Do vậy, một câu hỏi được đặt ra là dưới những điều kiện nào thì các định

lý giới hạn đã biết vẫn đúng khi điều kiện các biến ngẫu nhiên độc lập được thay

thế bằng các điều kiện phụ thuộc như độc lập đôi một, martingale, phụ thuộc âm,

phụ thuộc dương, phụ thuộc đôi một, trực giao, phụ thuộc theo khối, tựa trực giao

theo khối...Luật yếu số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên thỏa mãn điều kiện khả tích

đều theo nghĩa cổ điển được nhiều tác giả thiết lập. Landers và Rogge đã thiết lập

được luật yếu số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên độc lập đôi một khả tích đều. Cũng

theo hướng nghiên cứu này, chúng tôi đã mạnh dạn nghiên cứu đề tài:

Luật yếu số lớn cho mảng các biến ngẫu nhiên với điều kiện khả tích

đều.

Luận văn được chia làm 2 chương. Trong chương 1, chúng tôi trình bày một số

kiến thức cơ bản liên quan đến chương sau. Đó là các khái niệm và tính chất cơ

bản về tính độc lập của các biến ngẫu nhiên, luật số lớn và các định lý giới hạn...

Đồng thời, chúng tôi cũng đưa ra một số bất đẳng thức và bổ đề để làm công cụ

4

để chứng minh các định lý giới hạn.

Chương 2 chúng tôi thiết lập luật yếu số lớn cho mảng các phần tử ngẫu nhiên

h-khả tích, là khái niệm khả tích yếu hơn khái niệm khả tích đều theo nghĩa Cesàro.

Huế, ngày tháng năm 2015

Học viên thực hiện

Lương Duy Tân

5

Chương 1

CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ

1.1 Biến ngẫu nhiên

1.1.1 Ánh xạ đo được

Định nghĩa 1.1. Giả sử (Ω1, F1) và (Ω2, F2) là hai không gian đo.

Ánh xạ X : Ω1 → Ω2 gọi là ánh xạ F1(cid:30)F2 đo được nếu với mọi B ∈ F2 thì

X −1(B) ∈F1 .

Tính chất 1. Giả sử F1, G1 là hai σ− đại số các tập con của Ω1; F2, G2 là hai σ− đại số các tập con của Ω2. Khi đó, nếu F1 ⊂ G1, G2 ⊂ F2 và X : Ω1 → Ω2 là ánh xạ F1(cid:30)F2 đo được thì X là ánh xạ G1(cid:30)G2 đo được.

2. Giả sử ánh xạ X : Ω1 → Ω2 là ánh xạ F1(cid:30)F2 đo được, ánh xạ Y : Ω2 → Ω3

là ánh xạ F2(cid:30)F3 đo được. Khi đó Y ◦ X : Ω1 → Ω3 là ánh xạ F1(cid:30)F3 đo được.

3. Giả sử F2 = σ(C). Khi đó

X : (Ω1, F1) → (Ω2, F2)

là ánh xạ F1(cid:30)F2 đo được khi và chỉ khi X −1(C) ∈ F1 với mọi C ∈ C.

6

1.1.2 Biến ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.2. Giả sử (Ω, F, P ) là không gian xác suất, G là σ− đại số con của σ− đại số F. Khi đó ánh xạ X : Ω → R được gọi là biến ngẫu nhiên G− đo được nếu nó là ánh xạ G/B(R) đo được (tức là với mọi B ∈ B(R) thì X −1(B) ∈ G).

Nếu biến ngẫu nhiên X chỉ nhận hữu hạn giá trị thì nó được gọi là biến ngẫu

nhiên đơn giản.

Biến ngẫu nhiên còn được gọi là đại lượng ngẫu nhiên.

Trong trường hợp đặc biệt, khi X là biến ngẫu nhiên F- đo được thì X được gọi

một cách đơn giản là biến ngẫu nhiên.

Biến ngẫu nhiên G−đo được là biến ngẫu nhiên.

Mặt khác, nếu X là biến ngẫu nhiên thì họ

σ(X) = {X −1(B) : B ∈ B(R)}

lập thành một σ−đại số con của σ−đại số F, σ- đại số này gọi là σ−đại số sinh

bởi X. Đó là σ−đại số bé nhất mà X đo được. Từ đó suy ra rằng X là biến ngẫu

nhiên G− đo được khi và chỉ khi σ(X) ⊂ G.

Định lý 1.1. X là biến ngẫu nhiên khi và chỉ khi một trong các điều kiện sau đây

thỏa mãn

1. (X < a) : = (ω : X(ω) < a) ∈ F với mọi a ∈ R.

2. (X ≤ a) : = (ω : X(ω) ≤ a) ∈ F với mọi a ∈ R.

3. (X > a) : = (ω : X(ω) > a) ∈ F với mọi a ∈ R.

4. (X ≥ a) : = (ω : X(ω) ≥ a) ∈ F với mọi a ∈ R.

Định lý 1.2. Giả sử X1, X2, ..., Xn là dãy các biến ngẫu nhiên cùng xác định trên không gian xác suất (Ω, F, P ), f : Rn → R là hàm B(Rn)/B(R) đo được. Khi đó

Y = f (X1, X2, ..., Xn) : Ω → R

xác định bởi ω (cid:55)−→ f (X1(ω), ..., f (Xn(ω)) là biến ngẫu nhiên.

7

Y (Y (cid:54)= 0) đều là các biến ngẫu nhiên.

Hệ quả 1.1. Giả sử X và Y là các biến ngẫu nhiên cùng xác định trên không gian (Ω, F, P ), f : R → R là hàm liên tục, a ∈ R. Khi đó aX, X±Y, XY, |X|, f (X), X + = max(X, 0), X − = max(−X, 0), X

Định lý 1.3. Giả sử {Xn, n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên cùng xác định trên

Xn, không gian xác suất (Ω, F, P ). Khi đó nếu inf n Xn hữu hạn thì inf n Xn, sup n Xn, sup n

limXn, limX, Xn (nếu tồn tại) đều là biến ngẫu nhiên. lim n→∞

Định lý 1.4. Nếu X là biến ngẫu nhiên không âm thì tồn tại dãy biến ngẫu nhiên

1.1.3 Phân phối xác suất

đơn giản, không âm {Xn, n ≥ 1} sao cho Xn (cid:37) X khi n → ∞.

Định nghĩa 1.3. Giả sử (Ω, F, P ) là một không gian xác suất, X : Ω → R là biến

ngẫu nhiên. Khi đó hàm tập

PX : B(R) → R

B (cid:55)→ PX(B) = P (X −1(B))

được gọi là phân phối xác suất của X.

Tính chất

1. PX là độ đo xác suất trên B(R).

2. Nếu Q là độ đo xác suất trên B(R) thì Q là phân phối xác suất của một biến

ngẫu nhiên X nào đó.

Chú ý

Tương ứng giữa biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất của chúng không phải là

tương ứng 1 − 1. Những biến ngẫu nhiên có cùng phân phối xác suất được gọi là

những biến ngẫu nhiên cùng phân phối.

8

1.1.4 Hàm phân phối

Định nghĩa 1.4. Giả sử (Ω, F, P ) là một không gian xác suất, X : Ω → R là biến

ngẫu nhiên. Khi đó, hàm số FX(x) = P (X < x) = P (ω : X(ω) < x) được gọi là

hàm phân phối của X.

Như vậy FX(x) = P (X −1(−∞, x)) = PX[(−∞, x)].

Tính chất

1. 0 ≤ F (x) ≤ 1.

2. Nếu a < b thì F (b) − F (a) = P (a ≤ X < b); do đó F (x) là hàm không giảm.

3. F (x) = 1, F (x) = 0. lim x→+∞ lim x→−∞

F (x) = P (X ≤ a). Do đó F (x) liên tục trái tại mọi F (x) = F (a), và lim x↓a

4. lim x↑a điểm, F (x) liên tục tại a khi và chỉ khi P (a) = 0.

Chú ý Để thuận tiện, người ta thường dùng ký hiệu

x→+∞

x→−∞

F (+∞) = lim F (x), F (−∞) = lim F (x).

1.1.5 Kỳ vọng

Khi đó tính chất (3) có thể viết F (+∞) = 1 và F (−∞) = 0.

Một số tính chất cuả biến ngẫu nhiên được xác định qua các số đặc trưng của nó.

Kỳ vọng là số đặc trưng quan trọng nhất của biến ngẫu nhiên và có thể được nghiên

cứu thuận lợi khi dựa vào các kết quả về tích phân Lebesgue.

Định nghĩa 1.5. Giả sử X : (Ω, F, P ) → (R, B(R)) là biến ngẫu nhiên. Khi đó

tích phân Lebesgue của X theo độ đo P ( nếu tồn tại ) được gọi là kỳ vọng của X

và ký hiệu là EX.

Vậy

9

ˆ

Ω

EX = XdP.

Nếu tồn tại E|X|p < ∞(p > 0) thì ta nói X khả tích bậc p. Đặc biệt, nếu

E|X| < ∞ thì X được gọi là biến ngẫu nhiên khả tích.

Tính chất

1. Nếu X ≥ 0 thì EX ≥ 0.

2. Nếu X = C thì EX = C.

3. Nếu tồn tại EX thì với mọi C(cid:15)R, ta có E(CX) = CEX.

4. Nếu tồn tại EX và EY thì E(X ± Y ) = EX ± EY.

5. Nếu X ≥ 0 và EX = 0 thì X = 0.

n < ∞ ( tương ứng EX +

tồn tại n để EX − 6. ( Định lý B.Levi về hội tụ đơn điệu) Nếu Xn (cid:37) X (tương ứng Xn (cid:38) X) và n < ∞) thì EXn ↑ EX ( tương ứng

EXn ↓ EX).

7. ( Bổ đề Fatou) Nếu Xn ≥ Y với mọi n ≥ 1 và EY > −∞ thì

ElimXn ≤ limEXn.

Nếu Xn ≤ Y với mọi n ≥ 1 và EY < +∞ thì

ElimXn ≥ limEXn.

Nếu |Xn| ≤ Y với mọi n ≥ 1 và EY < ∞ thì

ElimXn ≤ limEXn ≤ limEXn ≤ ElimXn.

8. ( Định lý Lebesgue về hội tụ bị chặn) Nếu |Xn| ≤ Y với mọi n ≥ 1, EY < ∞

và Xn → X thì X khả tích, E|Xn − X| → 0 và EXn → EX khi n → ∞.

10

1.1.6 Phương sai

Định nghĩa 1.6. Giả sử X là biến ngẫu nhiên. Khi đó, số DX = E(X − EX)2 (

nếu tồn tại ) được gọi là phương sai của X.

Phương sai của biến ngẫu nhiên X còn được ký hiệu là V ar(X).

Nhận xét:

Từ định nghĩa trên và từ tính chất của kỳ vọng, suy ra rằng phương sai của biến

ngẫu nhiên X có thể tồn tại hoặc không tồn tại và nếu tồn tại thì có thể được tính

−∞

nếu Xrời rạc và P (X = xi) = pi; theo công thức   (cid:80)(xi − EX)2pi +∞´ DX = (x − EX)2p(x)dx nếu Xliên tục có hàm mật độ là p(x). 

Phương sai có những tính chất cơ bản sau đây:

1. DX = EX 2 − (EX)2.

2. DX ≥ 0.

3. DX = 0 khi và chỉ khi X = EX = C ( hằng số) hầu chắc chắn.

1.1.7 Các biến ngẫu nhiên độc lập

4. D(CX) = C 2DX.

Định nghĩa 1.7. Họ hữu hạn {F i,1≤ i ≤ n} các σ- đại số con của σ− đại số F

được gọi là độc lập nếu

n ∩ i=1

n Π i=1

P ( Ai) = P (Ai)

với mọi Ai ∈ Fi (1≤ i ≤ n) bất kỳ.

Họ vô hạn {F i,i ∈ I} các σ- đại số con của σ− đại sốF được gọi là độc lập nếu

mọi họ con hữu hạn của nó độc lập.

11

Họ các biến ngẫu nhiên {X i,i ∈ I} được gọi là độc lập nếu họ các σ- đại số sinh

bởi chúng {σ(X i),i ∈ I} độc lập.

Họ các biến cố {Ai,i ∈ I} được gọi là độc lập nếu họ các biến ngẫu nhiên

{IAi,i ∈ I} độc lập.

Tính chất 1. Giả sử {Xi, i ∈ I} là họ các biến ngẫu nhiên độc lập, fi : R → R(i ∈ I) là các

hàm đo được. Khi đó họ {fi(Xi), i ∈ I} là họ các biến ngẫu nhiên độc lập.

2. Dãy các biến ngẫu nhiên {Xn, n ≥ 1} độc lập khi và chỉ khi với mọi n ≥ 1,

các σ− đại số σ(Xk, 1 ≤ k ≤ n) và σ(Xk, k ≥ n + 1) độc lập.

3. Giả sử X1, X2, ..., Xn là các biến ngẫu nhiên, ta định nghĩa

FX1,X2,...Xn = P(X1 < x1, X2 < x2, ..., Xn < xn)

với (xi ∈ R, i = 1, ..., n).

Khi đó, X1, X2, ...Xn độc lập khi và chỉ khi

FX1,X2,...,Xn(x1, x2, ..., xn) = FX1(x1)FX2(x2)...FXn(xn).

4. Nếu X1, X2, ..., Xn là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập thì

E(X1X2...Xn) = EX1EX2...EXn.

5. Nếu X1, X2, ..., Xn là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập đôi một thì

D(X1 + X2 + ... + Xn) = DX1 + DX2 + ... + DXn.

1.2 Một số định lý giới hạn

1.2.1 Các dạng hội tụ

Giả sử {X n,n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên cùng xác định trên không gian xác

suất (Ω, F, P ).

12

• Dãy các biến ngẫu nhiên {X n,n ≥ 1} được gọi là hội tụ theo xác suất đến biến

ngẫu nhiên X khi n→ ∞ nếu ∀ε > 0 ta có

P (|Xn − X| > ε) = 0. lim n→∞

P→ n→∞

X. Ký hiệu Xn

• Dãy các biến ngẫu nhiên {X n,n ≥ 1} được gọi là hội tụ hầu chắc chắn đến

biến ngẫu nhiên X khi n→ ∞ nếu

Xn(ω) = X(ω)}=1. P {ω : lim n→∞

hoặc

|Xk − X| > ε) = 0. ∀ε > 0, lim n→∞ P (sup k≥n

h.c.c→ n→∞

Xn =X h.c.c. Ký hiệu Xn X hay lim n→∞

• Dãy các biến ngẫu nhiên {X n,n ≥ 1} được gọi là hội tụ đầy đủ đến biến ngẫu

∞ (cid:88)

nhiên X khi n→ ∞ nếu ∀ε > 0 ta có

n=1

c→ X.

P (|Xn − X| > ε) < ∞

Ký hiệu Xn

• Dãy các biến ngẫu nhiên {X n,n ≥ 1} được gọi là hội tụ theo trung bình cấp

p, (p > 0) đến biến ngẫu nhiên X khi n→ ∞ nếu

Lp→ X.

E|Xn − X|p = 0 lim n→∞

Ký hiệu Xn

• Dãy các biến ngẫu nhiên {X n,n ≥ 1} được gọi là hội tụ yếu (theo phân phối)

đến biến ngẫu nhiên X khi n→ ∞ nếu ∀x ∈ C(F ) thì

Fn(x) = F (x) lim n→∞

13

trong đó Fn(x) và F (x) tương ứng là hàm phân phối của các biến ngẫu nhiên

D→ X.

Xn và X; C(F ) là tập hợp các điểm mà tại đó F (x) liên tục.

1.2.2 Một số đẳng thức cơ bản

Ký hiệu Xn

• Bất đẳng thức Markov

Định lý 1.5. Giả sử X là biến ngẫu nhiên bất kỳ. Khi đó với mọi ε > 0, ta có

P (|X| ≥ ε) ≤ . E(|X|) ε

• Bất đẳng thức Chebyshev

Định lý 1.6. Giả sử X là biến ngẫu nhiên bất kỳ. Khi đó nếu tồn tại DX thì với

mọi ε > 0, ta có

P (|X − EX| ≥ ε) ≤ DX ε2 .

• Bất đẳng thức Kolmogorov

k (cid:88)

Định lý 1.7. Giả sử X1, X2, ..., Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập; EXi = 0, DXi = σ2 i , ∀i = 1, 2, ..., n. Đặt

i=1

Sk = X1 + X2 + ... + Xk = Xi(1 ≤ k ≤ n).

σ2 i . |Sk| ≥ ε) ≤ 1 ε2 Khi đó, với mọi ε>0, ta có n (cid:80) i=1

|Xk| ≤ c) = 1 thì (i) P ( max 1≤k≤n (ii) Nếu P ( max 1≤k≤n

. |Sk| ≥ ε) ≥ 1 − P ( max 1≤k≤n σ2 i (ε + c)2 n (cid:80) i=1

• Bất đẳng thức Jensen

14

Định lý 1.8. Giả sử ϕ: E −→ R là hàm lồi, X và ϕ (X)là các biến ngẫu nhiên

khả tích với E (cid:107)X(cid:107)< ∞, Khi đó

1.2.3 Luật số lớn

Eϕ (X) ≥ ϕ (EX) .

Giả sử {X n,n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên cùng xác định trên không gian xác

suất (Ω, F, P ). Khi đó

Dãy các biến ngẫu nhiên {X n,n ≥ 1} được gọi là tuân theo luật yếu số lớn

P→ 0

tổng quát nếu tồn tại hai dãy số (an), (bn), 0 < bn ↑ ∞ sao cho

Sn − an bn

khi n → ∞.

• Luật yếu số lớn Markov

Định lý 1.9. Nếu {X n,n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập đôi một và thỏa

∞ (cid:88)

n→∞→ 0

mãn điều kiện

i=1

DXi 1 n2

thì {X n,n ≥ 1} tuân theo luật yếu số lớn.

15

Chương 2

LUẬT YẾU SỐ LỚN CHO MẢNG

CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN

DƯỚI ĐIỀU KIỆN KHẢ TÍCH

ĐỀU

Trong chương này trình bày khái niệm về tính khả tích đều, khả tích đều

Cesàro với mũ r và luật yếu số lớn dưới điều kiện khả tích đều.

2.1 Điều kiện khả tích đều và khả tích đều theo nghĩa Cesàro

Trong mục này, ta giả sử rằng {un, n ≥ 1} và {vn, n ≥ 1} là hai dãy số nguyên

dương, {vn ≥ n, ∀n ≥ 1} , {kn, n ≥ 1} là một dãy số nguyên dương và kn → ∞ khi

n → ∞.

Định nghĩa 2.1. Dãy các biến ngẫu nhiên {Xn, n ≥ 1} được gọi là khả tích đều

nếu:

(E |Xn| I (|Xn| > a)) = 0. lim a→∞ sup n≥1

16

Định nghĩa 2.2. Dãy biến ngẫu nhiên khả tích {Xn, n ≥ 1} được gọi là có tính

kn(cid:88)

khả tích theo nghĩa Cesàro nếu:

i=1

sup (E |Xi| I (|Xi| > a)) = 0. lim a→∞ 1 kn

với {kn, n ≥ 1} là một dãy số nguyên dương và kn −→ ∞ khi n → ∞.

Định nghĩa 2.3. Giả sử Xni, un ≤ i ≤ vn, n ≥ 1 là một mảng biến số ngẫu nhiên

vn(cid:80) i=un

và ani, un ≤ i ≤ vn, n ≥ 1 là mảng các số thực, |ani| ≤ C, ∀n ∈ N và C > 0.

vn(cid:88)

Mảng Xni, un ≤ i ≤ vn, n ≥ 1 được gọi là {ani} −khả tích đều nếu

i=un

|ani| (E |Xni| I (|Xni| > a)) = 0. lim a→∞ sup n≥1

Dưới điều kiện ani- khả tích đều, Ordonez Cabrera đã thiết lập luật yếu số lớn

cho tổng có trọng số của các biến ngẫu nhiên độc lập đôi một.

Định nghĩa 2.4. Giả sử Xni, un ≤ i ≤ vn, n ≥ 1 là một mảng biến số ngẫu nhiên

và r > 0. Dãy Xni, un ≤ i ≤ vn, n ≥ 1 được gọi là khả tich đều theo nghĩa c với số

vn(cid:88)

mũ r nếu:

i=un

E |Xni|r < ∞. sup n≥1 1 kn

vn(cid:88)

và

i=un

(E |Xni|r I (|Xni|r > a)) = 0. lim a→∞ sup n≥1 1 kn

Định nghĩa 2.5. Giả sử a > 0. Dãy {Xn, n ≥ 1} các biến ngẫu nhiên Xn, n ≥ 1

n (cid:88)

được gọi là Cesàro α−khả tích nếu:

i=1

E |Xi| < ∞. 1 n sup n≥1

17

n (cid:88)

và

i=1

(E |Xi| I (|Xni| > iα)) = 0. lim n→∞ 1 n sup n≥1

2. Chandra và Goswami [2] đã

Với điều kiện Cesàro α−khả tích với α > 1

thiết lập luật yếu số lớn cho dãy các biến ngẫu nhiên độc lập đôi một.

Định nghĩa 2.6. Giả sử Xni, un ≤ i ≤ vn, n ≥ 1 là một mảng biến số ngẫu nhiên

vn(cid:80) i=un

|ani| ≤ C, và Cesàro α−khả tích , ani, un ≤ i ≤ vn, n ≥ 1 là mảng các số thực,

∀n ∈ N và C > 0. Giả sử h (n) , n ≥ 1 là dãy sao cho h (n) (cid:37) ∞ khi n → ∞. Dãy

vn(cid:88)

Xni, un ≤ i ≤ vn, n ≥ 1 được gọi là h−khả tích đối với dãy số {ani} nếu

i=un

|ani| E |Xi| < ∞. sup n≥1

vn(cid:88)

và

i=un

|ani| E |Xni| I (|Xni| > h (n)) = 0. lim n→∞

Định nghĩa 2.7. Giả sử Xni, un ≤ i ≤ vn, n ≥ 1 là một mảng biến số ngẫu nhiên

và r > 0. Giả sử h (n) , n ≥ 1 là một dãy tăng với 0 < h (n) (cid:37) ∞ khi n → ∞.

vn(cid:88)

Mảng Xni được gọi là h−khả tích với số mũ r nếu

i=un

E |Xni|r < ∞. sup n≥1 1 kn

vn(cid:88)

và

i=un

(E |Xni|r I (|Xni|r > h (n))) = 0. lim n→∞ 1 kn

Chú ý rằng khái niệm h−khả tích với số mũ r yếu hơn khái niệm khả tích đều

với số mũ r theo nghĩa Cesàro. Khái niệm khả tích liên quan đến luật yếu số lớn

tổng quát của Gut.

Bổ đề 2.1. Nếu mảng Xni, un ≤ i ≤ vn, n ≥ 1 là một mảng biến số ngẫu nhiên

18

và r > 0 thỏa mãn điều kiện khả tích đều Cesàro với số mũ r, thì cũng thỏa mãn

điều kiện h- khả tích đều với số mũ r.

Chứng minh. Chú ý rằng điều kiện đầu tiên của khả tích đều Cesàro với số mũ r

và điều kiện đầu tiên của h−khả tích với số mũ r là giống nhau. Do đó, ta chỉ cần

chứng minh điều kiện thứ hai của h−khả tích với số mũ r. Nếu Xni thỏa mãn điều

vn(cid:88)

kiện thứ hai của khả tích c thì tồn tại A > 0 để

i=un

(E |Xni|r I (|Xni|r > a)) < ε, nếu a>A . sup n≥1 1 kn

Do h (m) (cid:37) ∞ khi m → ∞ nên tồn tại M để h (m) > A khi m > M . Với

vm(cid:88)

m > M ta có

vn(cid:88)

E |Xmi|r I (|Xmi|r > h (m)) 1 km

i=um 1 kn

i=un

E |Xni|r I (|Xni|r > h (n)) ≤ sup n≥1

< ε

Do đó điều kiện thứ hai của h- khả tích với số mũ r được thỏa mãn.

Lưu ý 2.1. Khái niệm của h- khả tích với số mũ r là yếu hơn hoàn toàn khái niệm

của khả tích đều Cesàro với số mũ r, nghĩa là tồn tại dãy Xni, un ≤ i ≤ vn, n ≥ 1

là h−khả tích với số mũ r, nhưng không phải khả tích h−khả tích với số mũ r.

→ 0 thì các mệnh đề sau

(cid:16) (cid:17) (i) nếu 0 < α ≤ r, kα/r n E |Xni|α I (|Xni|α > kn) = o

(cid:16) (cid:17) (ii) nếu r ≤ β. kβ/r n E |Xni|β I (|Xni|α > kn) = o Bổ đề 2.2. Giả sử Xni, un ≤ i ≤ vn, n ≥ 1 là mảng các biến ngẫu nhiên h−khả tích với số mũ r với r>0, kn → ∞, h (n) (cid:37) ∞ và h(n) kn đây thỏa mãn: vn(cid:80) i=un vn(cid:80) i=un

19

→ 0 khi n → ∞, tồn tại số nguyên dương N để

vm(cid:88)

Chứng minh. Từ điều kiện h(n) kn h (n) < kn nếu n > N . Khi đó nếu 0 < α < r và n > N thì

i=um

E |Xni|α I (|Xni|r > kn) (cid:17) (cid:16)

i=un vn(cid:88)

1 kα/r n vn(cid:88) ≤ E |Xni|r I (|Xni|r > kn) 1 kn

i=un

≤ E |Xni|r I (|Xni|r > h (n)) . 1 kn

Do đó (i)được chứng minh do điều kiện của h- khả tích với số mũ r.

vm(cid:88)

Bây giờ ta chứng minh (ii) . Từ kết quả Bổ dề 1 của Sung [13], ta có:

i=um vm(cid:88)

E |Xni|β I (|Xni|r > kn) (cid:16) (cid:17) 1 kβ/r n

≤ E |Xni|r I (|Xni|r > 0) (cid:16) (cid:17) 1 kβ/r n

i=um vn(cid:88)

kn−1 (cid:88)

j=1

i=un

(cid:16) + (j + 1)(β/r)−1 − j(β/r)−1(cid:17) E |Xni|β I (|Xni|r > j) (cid:16) (cid:17) 1 kβ/r n

= An + Bn,

vn(cid:88)

trong đó (cid:40) (cid:41)

i=un

→ 0. An ≤ E |Xni|r (cid:16) (cid:17)sup n≥1 1 kn 1 kβ/r−1 n

Do β/r > 1 và điều kiện đầu tiên của h−khả tích với số mũ r.

Mặt khác:

∀n > N , ta có:

20

vn(cid:88)

[h(n)] (cid:88)

j=1

(cid:16) (j + 1)(β/r)−1 − j(β/r)−1(cid:17) E |Xni|β I (|Xni|r > j) Bn = (cid:16) (cid:17) 1 kβ/r n

kn−1 (cid:88)

i=un vn(cid:88)

j=[h(n)+1]

(cid:16) (j + 1)(β/r)−1 − j(β/r)−1(cid:17) + E |Xni|β I (|Xni|r > j) (cid:16) (cid:17) 1 kβ/r n

i=un vn(cid:88)

(cid:16) ≤ (cid:17) ([h (n)] + 1)(β/r)−1 − 1 E |Xni|r I (|Xni|r > 1) (cid:16) (cid:17) 1 kβ/r n

i=un vn(cid:88)

i=un

(cid:16) (cid:16) − ([h (n)] + 1)(β/r)−1(cid:17)(cid:17) + E |Xni|r I (|Xni|r > [h (n)] + 1) k(β/r−1) n (cid:16) (cid:17) 1 kβ/r n

vn(cid:88)

i=un

(cid:19)(cid:19)(β/α)−1 (cid:18)(cid:18)[h (n)] + 1 ≤ E |Xni|r + ε. sup n≥1 kn 1 kn

Với [a] là phần nguyên của a và a-1 < [a]< a . Do

Bn ≤ ε, h (n) /kn → 0 lim sup n→∞

.

Kết hợp với điều kiện đầu tiên của h- khả tích với số mũ r. Với ε > 0, Bn −→ 0

khi n → ∞ thì ta thấy rằng mỗi hàng trong mảng Xni − ani, un ≤ i ≤ vn, n ≥ 1 là

một hiệu martingale.

Định nghĩa 2.8. Hai biến ngẫu nhiên X và Y được gọi là phụ thuộc âm (NQD)

hay trường hợp phụ thuộc âm thấp hơn (LCND) nếu

P (X ≤ x, Y ≤ y) ≤ P (X ≤ x) P (Y ≤ y) , ∀x, y.

Định nghĩa 2.9. Một tập hữu hạn Xi, 1 ≤ i ≤ n được cho rằng là liên kết âm

(NA) nếu cho mỗi cặp những tập hợp con rời nhau A và B của 1,2,...,n thì với f

và g là hàm không giảm theo tọa độ, ta có

21

Cov (f (Xi, i ∈ A) , g (Xj, j ∈ B)) ≤ 0.

Nhận xét: Tập vô hạn những biến ngẫu nhiên là liên kết âm nếu mỗi họ con hữu

hạn là NA.

Bổ đề 2.3. Giả sử Xn, n ≥ 1 là một dãy các biến ngẫu nhiên liên kết âm (phụ

thuộc âm đôi một). Giả sử fn, n ≥ 1 là dãy các hàm số không giảm. Khi đó

fn (Xn) , n ≥ 1 là dãy các biến ngẫu nhiên liên kết âm (phụ thuộc đôi một).

p

k (cid:88)

k (cid:88)

Bổ đề 2.4. Giả sử Xi, 1 ≤ i ≤ n là một dãy các biến ngẫu nhiên liên kết âm với kỳ vọng 0 và E |Xi|p < ∞ (1 ≤ i ≤ n) với 1 < p ≤ 2. Khi đó

i=1

i=1

≤ 23−p Xi E |Xi|p . E max 1≤k≤n (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

2.2 Luật yếu số lớn tổng quát

→ 0 khi n → ∞. Khi

Bổ đề 2.5. Giả sử rằng Xni, un ≤ i ≤ vn, n ≥ 1 là mảng các biến ngẫu nhiên h- khả tích với số mũ 0 < r < 2 và kn → ∞, h(n)(cid:37) ∞ và h(n) kn đó

vn(cid:80) i=un

(Xni − ani)

−→ 0 khi n → ∞, k1/r n

trong Lr nên cũng hội tụ theo xác suất.

Với ani = 0 nếu 0 < r ≤ 1 và ani = E (Xni | Fn, i−1) nếu 1 ≤ r < 2

Bổ đề 2.6. Giả sử Xni, un ≤ i ≤ vn, n ≥ 1 là mảng các biến ngẫu nhiên thỏa mãn

tính khả tích đều Cesàro với số mũ r, (0

vn(cid:80) i=un

(Xni − ani)

−→ 0 k1/r n

22

trong Lr nên cũng hội tụ theo xác suất.

Với ani = 0 nếu 0 < r ≤ 1 và ani = E (Xni | Fn, i−1) nếu 1 ≤ r < 2.

Định lý 2.1. Giả sử Xni, un ≤ i ≤ vn, n ≥ 1 là dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc

vn(cid:88)

âm từng đôi một, h- khả tích với số mũ r=1, nghĩa là

i=un

E |Xni| < ∞, sup n≥1 1 kn

vn(cid:88)

và

i=un

E |Xni| I (|Xni| > h (n)) = 0, lim n→∞ 1 kn

vn(cid:88)

→ 0 khi n → ∞, ta có: với kn → ∞, h(n)(cid:37) ∞ và h(n) kn

i=un

(Xni − EXni) → 0 1 kn

(cid:48)

trong L1 khi n → ∞, và vì vậy nó cũng hội tụ theo xác suất.

(cid:48)(cid:48)

(cid:48)

(cid:48)

Chứng minh. Giả sử X

ni = Xni − X

ni = XniI (|Xni| ≤ kn) − knI (Xni ≤ kn) + knI (Xni > kn) và ni, un ≤ i ≤ vn, n ≥ 1 là một mảng các biến ngẫu nhiên

ni. Khi đó X phụ thuộc âm đôi một theo hàng, ta có

vn(cid:88)

X

(cid:48)

(cid:48)(cid:48)

(Xni − EXni) 1 kn

i=un vn(cid:88)

vn(cid:88)

ni − EX

(cid:48) ni

ni − EX

(cid:48)(cid:48) ni

i=un

i=un

(cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17) = X + X 1 kn 1 kn

= An + Bn

Tiếp theo ta chứng minh An −→ 0 trong L2 Với α = r = 1 và β = 2, ta có

23

2

(cid:48)

vn(cid:88)

ni − EX

(cid:48) ni

(cid:48)

(cid:48)

i=un (cid:16)

(cid:16) (cid:17) X E E |An|2 = 1 k2 n (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

ni − EX

(cid:48) ni

ni, X

(cid:48) nj

i(cid:54)=j

(cid:48)

(cid:17)2 (cid:16) (cid:17) (cid:88) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) vn(cid:88) = E X + X 1 k2 n 1 k2 n

i=un vn(cid:88)

ni − EX

(cid:48) ni

2

i=un vn(cid:88)

(cid:16) (cid:17)2 E X ≤ 1 k2 n

(cid:48) ni

E ≤ (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)X 1 k2 n

2

i=un vn(cid:88)

(cid:48) ni

nP (|Xni|) > kn

2

(cid:26) (cid:27) = E I (Xni ≤ kn) + k2 (cid:12) (cid:12) (cid:12)X (cid:12) (cid:12) (cid:12)

(cid:48) ni

nP (|Xni|) > kn

≤ E I (Xni ≤ kn) + k2 (cid:12) (cid:12) (cid:12)

(cid:48) ni

i=un

1 k2 n i=un (cid:12) (cid:12) (cid:12)X vn(cid:88) E + (cid:12) (cid:12) (cid:12)X (cid:12) (cid:12) (cid:12) I (|Xni|) > kn → 0. 1 k2 n

(cid:48)(cid:48)(cid:12) (cid:12) (cid:12) ≤ |Xni| I((|Xni|) > kn), khi đó:

(cid:48)(cid:48)

Lưu ý rằng (cid:12) (cid:12) (cid:12)X

vn(cid:88)

ni − EX

(cid:48)(cid:48) ni

(cid:16) (cid:17) X E E |Bn| = 1 kn (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

(cid:48)(cid:48) ni

i=un (cid:12) (cid:12) (cid:12)X

i=un vn(cid:88)

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) vn(cid:88) E ≤ (cid:12) (cid:12) (cid:12) 2 kn

i=un

≤ E |Xni| I (|Xni|) > kn → 0. 2 kn

Hệ quả 2.1. Giả sử rằng Xni, un ≤ i ≤ vn, n ≥ 1 là mảng các biến ngẫu nhiên

phụ thuộc âm đôi một theo hàng, ani, un ≤ i ≤ vn, n ≥ 1 là một dãy số. Giả sử các

24

điều kiện sau thỏa mãn:

(i)Xni là h- khả tích ứng với dãy ani

un≤i≤vn

vn(cid:80) i=un

(ii)h (n) sup |ani| −→ 0 thì ani (Xni − EXni) −→ 0 với n → ∞.

kn

|ani|. Khi kn → ∞ và h(n)

1 sup un≤i≤vn

vn(cid:88)

→ ∞. Do (ii), ta có: Chứng minh. Ta có kn =

i=un vn(cid:88)

ani (Xni − EXni)

i=un vn(cid:88)

= a+ ni (Xni − EXni)

i=un = An + Bn.

− a− ni (Xni − EXni)

vn(cid:88)

vn(cid:88)

Với a+ = maxa, 0 và a− = max − a, 0 , Xni là một dãy phụ thuộc âm đôi một theo hàng nên dẫn đến kna+Xni và kna−Xni là hai dãy phụ thuộc âm đôi một theo hàng . Lấy kna+Xni thay vì Xni, ta có

i=un

i=un

E (cid:12) |ani| E |Xni| < ∞. (cid:12)kna+Xni sup n≥1 (cid:12) (cid:12) ≤ sup n≥1 1 kn

n | ≤ 1 và (i), ta có:

vn(cid:88)

từ kn |a+

i=un

vn(cid:88)

(cid:1) > h (n) E (cid:12) (cid:12)kna+Xni (cid:12) (cid:12) (cid:12)kna+Xni (cid:12) I (cid:0)(cid:12) (cid:12) sup n≥1 1 kn

i=un

≤ |ani| E |Xni| I (|Xni| > h (n)) → 0.

Do đó An −→ 0 trong L1. Tương tự, chúng ta có Bn −→ 0 trong L1.

25

Lưu ý 2.2. Cho Xn, n ≥ 1 là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập đôi một,

E |Xn| < ∞ với 1 < r < 2. Đặt un = 1, vn = n, kn = n. Với n ≥ 1 và Xni = Xi,

với 1 ≤ i ≤ n và n ≥ 1 thì Xni, un ≤ i ≤ vn, n ≥ 1 là một dãy các biến ngẫu nhiên

phụ thuộc âm đôi một theo hàng h- khả tích với số mũ r, khi đó

vn(cid:80) i=un

n (cid:80) i=1

(Xni − EXni) ani (Xi − EXi)

= n1/r k1/r n

Chúng ta có thể tổng quát hóa luật yếu lớn thành sự hội tụ trong Lr hoặc hội

tụ hầu chắc chắn cho trường hợp r = 1.

Định lý 2.2. Giả sử Xni, un ≤ i ≤ vn, n ≥ 1 là mảng các biến ngẫu nhiên liên

kết âm đôi một h- khả tích với số mũ 1 ≤ r < 2 , kn → ∞, h (n) (cid:37) ∞ và

h (n) /kn −→ 0 thì

vn(cid:80) i=un

(Xni − EXni)

−→ 0 trong Lr, n → ∞. k1/r n

(cid:48)

Chứng minh. Đặt

ni = XniI

n

n

n

(cid:48)(cid:48)

(cid:48)

(cid:48)(cid:48)

(cid:48)

(cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17) (cid:17) (cid:16) X |Xni| ≤ k1/r Xni < −k1/r Xni > k1/r − k1/r n I + k1/r n I

ni = Xni − X

ni, ta thấy X

ni và X

ni là hai mảng liên kết âm theo hàng. Do

Và X

đó

26

vn(cid:88)

(cid:48)

(Xni − EXni) 1 k1/r n

i=un vn(cid:88)

ni − EX

(cid:48)(cid:48) ni

(cid:48)(cid:48)

(cid:16) (cid:17) X = 1 k1/r n

i=un vn(cid:88)

ni − EX

(cid:48)(cid:48) ni

(cid:17) (cid:16) + X

1 k1/r n i=un = An + Bn.

vn(cid:88)

Với α = r và β = 2, chúng ta có

E |An|2 ≤ E |Xni|2 I (|Xni|r ≤ kn) 1 k2/r n

i=un vn(cid:88) 1 kn

i=un

+ ≤ E |Xni|r I (|Xni|r ≤ kn)

−→ 0

r

(cid:48)(cid:48)

vn(cid:88)

Áp dụng bất đẳng thức Jensen, ta có:

ni − EX

(cid:48)(cid:48) ni

r

r

i=un vn(cid:88)

E E |Bn|r ≤ (cid:12) (cid:12) (cid:12)X (cid:12) (cid:12) (cid:12) 23−r kn

(cid:48)(cid:48) ni

(cid:48)(cid:48) ni

r

i=un vn(cid:88)

+ ≤ E (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)EX (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)X 22 kn

(cid:48)(cid:48) ni

i=un vn(cid:88)

≤ E (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)X 23 kn

i=un

≤ E |Xni| I (|Xni|r > kn) −→ 0. 23 kn

27

Định lý 2.3. Với 1 ≤ r < 2. Giả sử Xni, un ≤ i ≤ vn, n ≥ 1 là một dãy biến ngẫu

nhiên liên kết âm, ani, un ≤ i ≤ vn, n ≥ 1 là một dãy số. Giả sử những điều kiện

sau đây thỏa mãn:

un≤i≤vn

vn(cid:80) i=un

(i)|Xni|r là dãy h−khả tích ứng với |ani|r, (ii)h (n) sup ani (Xni − EXni) −→ 0 trong Lr khi n → |ani| −→ 0 thì

∞.

kn

|ani| thì kn → ∞ và h(n)

Chứng minh. Đặt kn = → 0 . Do kn −→ ∞ khi

1 sup un≤i≤vn sup un≤i≤vn

n → ∞ nên tồn tại N để |ani| ≤ 1, n > N.

Với mọi n > N , ta có:

|ani|r ≤ kn |ani|r = |ani| |ani|r ≤ 1. |ani|r sup un≤i≤vn sup un≤i≤vn

Từ đó ta có điều phải chứng minh.

28

Kết luận

Luận văn đã thu được các kết quả chính sau:

1. Luận văn nghiên cứu về luật yếu số lớn cho mảng các phần tử ngẫu nhiên dưới

điều kiện khả tích đều.

2. Hệ thống lại các khái niệm về mảng các phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm,

phụ thuộc âm đôi một theo hàng.

3. Thiết lập luật yếu số lớn cho mảng các phần tử ngẫu nhiên h- khả tích.

4. Thiết lập luật yếu số lớn cho mảng các phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm, phụ

thuộc âm đôi một theo hàng.

29

Tài liệu tham khảo

[1] T.K Chandra. (1989), “Uniform intergrability in the Cesaro sense and the weak

law of large numbers” , Sankhya Ser. A 51, No. 3, 309-317.

[2] T.K Chandra, A. Goswami, (2003), “Cesaro α−integrability and laws of large

numbers I, J” . Theoret. Probab. 16, No. 3, 655-669.

[3] A. Gut, (1992), “The weak law of large numbers for arrays”, Statist. Probab.

Lett. 14, No. 1, 49-52.

[4] D. H. Hong, K. S. Oh, (1995), “On the weak law of large numbers for arrays”,

Statist. Probab. Lett. 22, No. 1, 55-57.

[5] D. Landers, L. Rogge, (1987).”Law of large numbers for pairwise indepen-dent

uniformly integrable randomvariables”, Math. Nachr. 130, 189-192.

[6] D. Li, A. Rosalsky, A. Volodin, (2006),”On the strong law of large numbers

for sequences of pairwise negative quadrant dependent random variables”, Bull,

Inst. Math. Acad. Sin, 11, No. 2, 281-305.

[7] S. H. Sung, (1999),”Weak law of large numbers for arrays of random variables”,

Statist. Probab. Lett. 42, No. 3, 239-298.

[8] S. H. Sung, T. C. Hu, A. Volodin, (2005),”On the weak laws for arrays of random

variables”, Statist. Probab. Lett. 72, No. 4, 291-298.

30