Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Tính ổn định của phương trình động học ngẫu nhiên trên thang thời gian

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:72

Thêm vào BST

Báo xấu

60
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bố cục của luận văn bao gồm ba chương: Chương 1 trình bày những vấn đề cơ bản về giải tích tất định và quá trình ngẫu nhiên trên thang thời gian. Chương 2 trình bày tích phân ngẫu nhiên theo martingale bình phương khả tích; công thức Itô đối với bộ d−semimartingale trên thang thời gian và phát biểu bài toán martingale. Chương 3 trình bày phương trình động lực ngẫu nhiên trên thang thời gian với nhiễu là martingale bình phương khả tích; công thức ước lượng moment đối với nghiệm của phương trình và trình bày điều kiện cần và đủ cho tính ổn định mũ của phương trình qua các hàm Lyapunov.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Tính ổn định của phương trình động học ngẫu nhiên trên thang thời gian

Lời cảm ơn Luận văn được thực hiện tại trường Đại học khoa học tự nhiên - ĐHQGHN dưới sự hướng dẫn tận tình, chu đáo của thầy giáo, GS.TS Nguyễn Hữu Dư. Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới Thầy, người đã chỉ dạy tác giả những kiến thức, kinh nghiệm trong học tập, nghiên cứu khoa học và các bài học trong cuộc sống. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban chủ nhiệm khoa Toán - Cơ - Tin, Phòng sau đại học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các Thầy, Cô giáo trong Bộ môn Lý thuyết xác suất và thống kê toán, khoa Toán - Cơ - Tin đã nhiệt tình giảng dạy trong suốt quá trình học tập tại Khoa. Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn góp ý, cổ vũ, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn. Hà Nội, ngày ... tháng ... năm 2015 Học viên 1
Mục lục Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1. Các khái niệm cơ bản về giải tích trên thang thời gian. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. Quá trình ngẫu nhiên trên thang thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Chương 2. Tích phân ngẫu nhiên trên thang thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1. Tích phân ngẫu nhiên trên thang thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2. Công thức Itô và ứng dụng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3. Phát biểu bài toán martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Chương 3. Tính ổn định của phương trình động lực ngẫu nhiên trên thang thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.1. Phương trình động lực ngẫu nhiên trên thang thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.2. Ước lượng moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.3. Tính ổn định của phương trình động lực ngẫu nhiên trên thang thời gian . . 60 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 2
Lời mở đầu Giải tích ngẫu nhiên là một lĩnh vực toán học nghiên cứu các phép tính giải tích (tích phân, đạo hàm, tính liên tục, khả vi, ...) đối với quá trình ngẫu nhiên, nhằm mục đích xây dựng các mô hình toán học cho các hệ động lực có sự tác động của các yếu tố ngẫu nhiên. Do đó, giải tích ngẫu nhiên là ngành khoa học có nhiều ứng dụng trong sinh học, y học, vật lý học, kinh tế học, khoa học xã hội, . . . và được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu. Cho đến nay giải tích ngẫu nhiên với thời gian rời rạc và thời gian liên tục đã được nghiên cứu khá đầy đủ. Khi xây dựng mô hình toán học cho các hệ thống tiến triển theo thời gian, người ta thường giả thiết hệ thống hoạt động liên tục hoặc rời rạc đều, tức là các thời điểm quan sát cách nhau một khoảng cố định. Từ đó, các phép giải tích liên tục (phép tính vi phân) và rời rạc (phép tính sai phân) được nghiên cứu để mô tả hệ thống tương ứng với các giả thiết lý tưởng được đặt ra. Tuy nhiên, trên thực tế, hầu hết các hệ thống hoạt động không hoàn toàn liên tục và cũng không hoàn toàn cách đều nhau. Đôi khi các quan sát còn xen lẫn các khoảng thời gian liên tục với các thời điểm rời rạc. Chẳng hạn một loài sâu nào đó chỉ phát triển trong mùa hè nhưng đến mùa đông thì sự phát triển của chúng bị gián đoạn. Vì vậy, trong nhiều trường hợp, phương trình vi phân hoặc sai phân không đủ để mô tả các thông tin cần thiết của mô hình. Lý thuyết thang thời gian ra đời nhằm khắc phục nhược điểm này. Lý thuyết được đưa ra lần đầu tiên vào năm 1988 bởi S. Hilger, một nhà Toán học người Đức. Các kết quả nghiên cứu về giải tích trên thang thời gian cho phép chúng ta xây dựng được mô hình toán học của các hệ thống tiến triển không đều theo thời gian, phản ánh đúng mô hình thực tế. Do đó, chủ đề thang thời gian thu hút được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học trên thế giới và đã có nhiều công trình được công bố trên các tạp chí toán học có uy tín. Cho đến nay, các kết quả nghiên cứu về thang thời gian chủ yếu ở giải tích tất định. Vì thế các kết quả này chỉ mô tả được các mô hình phát triển trong các điều kiện môi 3
trường không có nhiễu biến đổi. Tuy nhiên, các mô hình thực tế phải tính đến các yếu tố ngẫu nhiên tác động vào. Mục đích của luận văn là trình bày các kết quả về giải tích trên thang thời gian của các mô hình ngẫu nhiên. Bố cục của luận văn bao gồm ba chương: • Chương 1 trình bày những vấn đề cơ bản về giải tích tất định và quá trình ngẫu nhiên trên thang thời gian. • Chương 2 trình bày tích phân ngẫu nhiên theo martingale bình phương khả tích; công thức Itô đối với bộ d−semimartingale trên thang thời gian và phát biểu bài toán martingale. • Chương 3 trình bày phương trình động lực ngẫu nhiên trên thang thời gian với nhiễu là martingale bình phương khả tích; công thức ước lượng moment đối với nghiệm của phương trình và trình bày điều kiện cần và đủ cho tính ổn định mũ của phương trình qua các hàm Lyapunov. Do kiến thức còn hạn chế nên khi làm luận văn không tránh khỏi những hạn chế và sai sót. Tác giả mong nhận được sự góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và bạn đọc. Xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày ... tháng ... năm 2015 Học viên 4
Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, tôi trình bày một số kết quả cơ bản của giải tích tất định và quá trình ngẫu nhiên trên thang thời gian để làm cơ sở cho việc trình bày nội dung chính của luận văn ở các chương sau. 1.1. Các khái niệm cơ bản về giải tích trên thang thời gian Các kết quả trình bày trong mục này được tham khảo từ các tài liệu [1] và [2]. Định nghĩa 1.1.1. Một tập con đóng, khác rỗng của tập số thực R được gọi là thang thời gian (time scales). Ký hiệu thang thời gian là T. Dễ thấy rằng các tập hợp: R, Z, N, N0 , [0, 1] ∪ [2, 3], [0, 1] ∪ N và tập Cantor là các thang thời gian. Trong khi đó, các tập hợp: Q, R Q, (0, 1) không phải là các thang thời gian vì chúng không phải là các tập đóng. Trong luận văn, tôi luôn giả thiết rằng trên thang thời gian có một tôpô, chính là tôpô cảm sinh của tôpô thông thường trên tập hợp các số thực. Định nghĩa 1.1.2. Giả sử T là một thang thời gian. Ánh xạ σ : T → T xác định bởi σ(t) = inf{s ∈ T : s > t}, được gọi là toán tử bước nhảy tiến (forward jump operator) trên thang thời gian T. Ánh xạ ρ : T → T xác định bởi ρ(t) = inf{s ∈ T : s > t}, được gọi là toán tử bước nhảy lùi (backward jump operator) trên thang thời gian T. 5
Quy ước inf ∅ = sup T (nghĩa là σ(M ) = M nếu thang thời gian T có phần tử lớn nhất là M ) và sup ∅ = inf T (nghĩa là ρ(m) = m nếu thang thời gian T có phần tử nhỏ nhất là m). Định nghĩa 1.1.3. Giả sử T là một thang thời gian. Một điểm t ∈ T được gọi là trù mật phải (right-dense) nếu σ(t) = t, cô lập phải (right-scattered) nếu σ(t) > t, trù mật trái (left-dense) nếu ρ(t) = t, cô lập trái (left-scattered) nếu ρ(t) < t và là điểm cô lập (isolated) nếu t vừa cô lập trái vừa cô lập phải. Với mỗi a, b ∈ T, kí hiệu [a, b] là tập hợp {t ∈ T : a ≤ t ≤ b}, tương tự, kí hiệu các tập hợp (a, b] ; (a, b) ; [a, b) tương ứng là các tập hợp {t ∈ T : a < t ≤ b}; {t ∈ T : a < t < b}; {t ∈ T : a ≤ t < b}. Kí hiệu Ta = {t ∈ T : t ≥ a} và { T nếu min T = −∞ kT = T\ [m, σ (m)) nếu min T = m { T nếu max T = +∞ T = k T\ (ρ(M ), M ] nếu max T = M Kí hiệu: { } { } I1 = t : t cô lập trái , I2 = t : t cô lập phải , I = I1 ∪ I2 . (1.1.1) Mệnh đề 1.1.1. Tập hợp I gồm tất cả các điểm cô lập trái hoặc cô lập phải của thang thời gian T là tập không quá đếm được. Định nghĩa 1.1.4. Giả sử T là thang thời gian. Ánh xạ µ : Tk → R+ xác định bởi µ(t) = σ(t) − t, được gọi là hàm hạt tiến (forward graininess function) trên thang thời gian T. Ánh xạ ν :k T → R+ xác định bởi ν(t) = t − ρ(t), được gọi là hàm hạt lùi (backward graininess function) trên thang thời gian T. Ví dụ 1.1.1. • Nếu T = R thì ρ(t) = t = σ(t), µ(t) = ν(t) = 0. • Nếu T = Z thì ρ(t) = t − 1, σ(t) = t + 1, µ(t) = ν(t) = 1. 6
• Với h là số thực dương, chúng ta định nghĩa thang thời gian T = hZ như sau: hZ = {kh : k ∈ Z} = {... − 3h, −2h, 0, h, 2h, 3h, ...} , khi đó ρ(t) = t − h, σ(t) = t + h, µ(t) = ν(t) = h. • Với a, b là các số thực dương, ta xét thang thời gian T = Pa,b như sau ∞ ∪ Pa,b = [k(a + b), k(a + b) + b]. k=1 Khi đó   ∪ ∞  t nếu t ∈ [k(a + b), k(a + b) + b) σ(t) = k=1  ∪ ∞  t + a nếu t ∈ {k(a + b) + b} k=1   ∪ ∞  t nếu t ∈ [k(a + b), k(a + b) + b) ρ(t) = k=1  ∪ ∞  t − a nếu t ∈ {k(a + b)} k=1   ∪ ∞  0 nếu t ∈ [k(a + b), k(a + b) + b) µ(t) = k=1  ∪ ∞  a nếu t ∈ {k(a + b) + b} k=1 và   ∪ ∞  0 nếu t ∈ [k(a + b), k(a + b) + b) ν(t) = k=1  ∪ ∞  a nếu t ∈ {k(a + b)} k=1 • Với n ∈ N0 , xét dãy số điều hòa ∑ n 1 H0 = 0, Hn = , n ≥ 1. k k=1 Xác định thang thời gian như sau H = {Hn : n ∈ N.} Khi đó,  n−1 ∑ n+1 ∑ 1  1 nếu n ≥ 2 σ(Hn ) = , ρ(Hn ) = k k   k=1 k=1 0 nếu n = 0, 1 và { 1 1 nếu n ≥ 1 µ(Hn ) = , ν(Hn ) = n n+1 0 nếu n = 0. 7
Định nghĩa 1.1.5. Cho hàm số f : T → R. Hàm số f được gọi là i) chính quy (regulated) nếu f có giới hạn trái tại các điểm trù mật trái và có giới hạn phải tại các điểm trù mật phải. ii) rd-liên tục (rd-continuous) nếu f liên tục tại các điểm trù mật phải và có giới hạn trái tại các điểm trù mật trái. Tập các hàm rd-liên tục kí hiệu là Crd hoặc Crd (T, R). iii) ld-liên tục (ld-continuous) nếu f liên tục tại các điểm trù mật trái và có giới hạn phải tại các điểm trù mật phải. Tập các hàm ld-liên tục kí hiệu là Cld hoặc Cld (T, R). Giả sử f : T → R là một hàm số xác định trên T. Khi đó, chúng ta viết f ρ : T → R là hàm số xác định bởi f ρ = f ◦ ρ, nghĩa là f ρ (t) = f (ρ(t)) với mọi t ∈ k T. Kí hiệu lim f (s) σ(s)↑t bởi f (t− ) hoặc ft− nếu tồn tại giới hạn trái. Ta thấy rằng nếu t là điểm cô lập trái thì ft− = f ρ (t). Định lý 1.1.1. Giả sử f : T → R là một hàm xác định trên T. Khi đó, i) Nếu f là hàm số liên tục thì f là hàm số rd-liên tục và ld-liên tục. ii) Nếu f là hàm số rd-liên tục thì f là hàm số chính quy. iii) Toán tử bước nhảy tiến σ là hàm số rd-liên tục. iv) Toán tử bước nhảy lùi là hàm số ld-liên tục. v) Nếu f là hàm số ld-liên tục thì f ρ cũng là hàm số ld-liên tục. Định nghĩa 1.1.6. Giả sử f là một hàm số xác định trên T, nhận giá trị trên R. Hàm số f được gọi là có ∇-đạo hàm (có đạo hàm Hilger hoặc đơn giản có đạo hàm) tại t ∈ k T nếu tồn tại f ∇ (t) ∈ R sao cho với mọi ε > 0 tồn tại một lân cận U của t để
f (ρ(t)) − f (s) − f ∇ (t)(ρ(t) − s)
≤ ε |ρ(t) − s| với mọi s ∈ U. f ∇ (t) ∈ R được gọi là ∇-đạo hàm của hàm số f tại t. Nếu hàm số f có ∇-đạo hàm tại mọi điểm t ∈ k T thì f được gọi là có ∇-đạo hàm trên T. Ví dụ 1.1.2. • Nếu T = R thì f ∇ (t) ≡ f ′ (t) chính là đạo hàm thông thường. • Nếu T = Z thì f ∇ (t) = f (t) − f (t − 1) chính là sai phân lùi cấp một. 8
Định lý 1.1.2. Giả sử f : T → R là một hàm số xác định trên T và t ∈ k T. Khi đó, i) Nếu hàm số f có ∇-đạo hàm tại t thì f là hàm số liên tục tại t. ii) Nếu hàm số f liên tục tại điểm cô lập trái t thì f có ∇-đạo hàm tại t và f (t) − f (ρ(t)) f ∇ (t) = . ν(t) iii) Nếu t là điểm trù mật trái thì f là hàm số có ∇-đạo hàm tại t nếu và chỉ nếu giới hạn f (t) − f (s) lim , s→t t−s tồn tại và hữu hạn. Trong trường hợp đó, f (t) − f (s) f ∇ (t) = lim . s→t t−s iv) Nếu hàm số f có ∇-đạo hàm tại t thì f ρ (t) = f (t) − ν(t).f ∇ (t). Định lý 1.1.3. Giả sử f, g : T → R là một hàm số xác định trên T và có ∇-đạo hàm tại t ∈ k T. Khi đó, i) Hàm tổng f + g : T → R có ∇-đạo hàm tại t và (f + g)∇ (t) = f ∇ (t) + g ∇ (t). ii) Hàm tích f g : T → R ∇-đạo hàm tại t và ta có quy tắc đạo hàm của tích (f g)∇ (t) = f ∇ (t)g(t) + f ρ (t)g ∇ (t) = f (t)g ∇ (t) + f ∇ (t)g ρ (t). f iii) Nếu g(t)g ρ (t) ̸= 0 thì hàm số có ∇-đạo hàm tại t và quy tắc đạo hàm của thương g là ( )∇ f f ∇ (t)g(t) − f (t)g ∇ (t) (t) = . g g(t)g ρ (t) Sau đây là quy tắc tính đạo hàm của lũy thừa bậc n. Định lý 1.1.4. Giả sử α là một hằng số và n ∈ N. Khi đó, i) Nếu f là hàm số xác định bởi f (t) = (t − α)n thì ∑ n−1 ∇ f (t) = (ρ(t) − α)i (t − α)n−i−1 . i=0 9
1 ii) Nếu g là hàm số xác định bởi g(t) = thì (t − α)n ∑ n−1 1 ∇ g (t) = − , i=0 (ρ(t) − α)n−i (t − α)i+1 với điều kiện (t − α)(ρ(t) − α) ̸= 0. Định nghĩa 1.1.7. Hàm số p xác định trên thang thời gian T được gọi là hồi quy (re- gressive) nếu 1 + µ(t)p(t) ̸= 0, với mọi t ∈ Tk . Kí hiệu { } R = p : T → R : p là rd-liên tục và 1 + µ(t)p(t) ̸= 0 . { } R+ = p : T → R : p là rd-liên tục và 1 + µ(t)p(t) > 0 . Tiếp theo, tôi giới thiệu sơ bộ về độ đo Lebesgue-Stieltjes trên thang thời gian. Giả sử A là hàm tăng, liên tục phải, xác định trên T. Kí hiệu M1 = {(a; b] : a, b ∈ T} là họ tất cả các khoảng mở bên trái và đóng bên phải của T. Khi đó, M1 là nửa vành các tập con của T. Lấy m1 là hàm tập xác định trên M1 và được xác định bởi m1 ((a, b]) = Ab − Aa . (1.1.2) Chúng ta thấy rằng m1 là hàm cộng tính đếm được trên M1 . Kí hiệu µA ∇ là mở rộng Carathéodory của hàm tập m1 liên kết với họ M1 và nó được gọi là ∇A -độ đo Lebesgue - Stieltjes liên kết với A trên thang thời gian T. Chúng ta chứng minh được kết quả sau: Với t ∈k T, tập một điểm {t} là ∇A -đo được và ∇ ({t}) = At − At− . µA Với a, b ∈ T và a ≤ b, ∇ ((a, b)) = Ab− − Aa ; µ∇ ([a, b)) = Ab− − Aa− ; µ∇ ([a, b]) = Ab − Aa− . µA A A Chứng minh chi tiết cho các kết quả này có thể xem trong [5]. Lấy E ⊂ k T là một tập µA ∇ -đo được và f : T → R là một hàm số µ∇ -đo được. Kí A ∫ hiệu f ∇Aτ E τ là tích phân của hàm số f liên kết với độ đo µA ∇ trên E và được gọi là ∇A -tích phân Lebesgue - Stieltjes. Nếu A(t) = t với mọi t ∈ T ta có µA ∇ là ∇-độ đo ∫ Lebesgue trên T và f ∇Aτ E τ là ∇-tích phân Lebesgue. Trong luận văn, tôi sử dụng kí 10
∫b ∫ hiệu f (τ )∇τ thay cho (a,b] f (τ )∇τ . Sau đây là một số tính chất quen thuộc của ∇-tích a phân. Định lý 1.1.5. Giả sử a, b, c ∈ T, α ∈ R và f : T → R, g : T → R là các hàm số ld-liên tục. Khi đó: ∫b ∫b ∫b i) (f (τ ) + g(τ ))∇τ = f (τ )∇τ + g(τ )∇τ ; a a a ∫b ∫b ii) αf (τ )∇τ = α f (τ )∇τ ; a a ∫b ∫a iii) f (τ )∇τ = − f (τ )∇τ ; a b ∫c ∫b ∫b iv) f (τ )∇τ + f (τ )∇τ = f (τ )∇τ ; a c a ∫b ∫b v) f (ρ(τ ))g ∇ (τ )∇τ = f (b)g(b) − f (a)g(a) − f ∇ (τ )g(τ )∇τ ; a a ∫b ∫b vi) f (τ )g ∇ (τ )∇τ = f (b)g(b) − f (a)g(a) − f ∇ (τ )g(ρ(τ ))∇τ . a a Ví dụ 1.1.3. Giả sử a, b ∈ T, f : T → R là hàm số xác định trên T và ld-liên tục. i) Nếu T = R thì ∫b ∫b f (τ )∇τ = f (τ )dτ . a a ii) Nếu T là thang thời gian sao cho một điểm t ∈ T là điểm cô lập thì  ∑   f (t)ν(t) nếu a < b ∫b  t∈(a,b] f (τ )∇τ = 0 nếu a = b   ∑ a  − f (t)ν(t) nếu a > b t∈(b,a] iii) Nếu T = hZ thì  b   ∑  h   f (kh)h nếu a < b ∫b  k= ha +1 f (τ )∇τ = 0 nếu a = b    a  ∑ h a  − b f (kh)h  nếu a > b k= h +1 11
iv) Nếu T = Z thì  b   ∑h   f (k) nếu a < b ∫b  k=a+1 f (τ )∇τ = 0 nếu a = b    a  ∑  h a − f (k) nếu a > b k=b+1 Các bước xây dựng ∆-tích phân Lebesgue tương tự như xây dựng ∇-tích phân Lebesgue (xem [2]). Trong trường hợp tổng quát ta không có mối liên hệ nào giữa ∆-tích phân và ∇-tích phân. Trường hợp đặc biệt hàm số dưới dấu tích phân là chính quy ta có bổ đề sau: Bổ đề 1.1.1. Giả sử f : T → R là hàm số chính quy trên T, lấy b ∈ Tk , a ∈ k T, a < b. Khi đó đẳng thức sau đúng ∫b ∫b f (τ− )∇τ = f (τ )∆τ (1.1.3) a a Chứng minh. Áp dụng Định lý 6.5 trong [4], ta có ∫b ∫ ∑ f (τ )∆τ = f (τ )∆τ + f (s)µ(s) [a,b) a≤s
Với hàm số hk : T × T → R; k ∈ N0 được xác định bởi ∫t h0 (t, s) = 1 và hk+1 (t, s) = hk (τ, s)∆τ với k ∈ N0 . s Khi đó, hk (t, s) là hàm số liên tục theo t. Do đó ta có ∫t hk+1 (t, s) = hk (τ− , s)∇τ . s Hơn nữa, ta có ước lượng sau (t − s)k 0 ≤ hk (t, s) ≤ , (1.1.5) k! với bất kì k ∈ N và t > s. Bổ đề 1.1.2. Giả sử u(t) là một hàm số chính quy, ua , p ∈ R+ . Khi đó, ∫t u(t) ≤ ua + p u(τ− )∇τ ∀t ∈ Ta , a kéo theo u(t) ≤ ua ep (t, a) ∀t ∈ Ta . Chứng minh. Bằng cách thế liên tiếp, ta có ∫t u(t) ≤ ua + p u(τ1 −)∇τ1 a   ∫t ∫τ1 − ≤ ua + p ua + p u(τ2 −)∇τ2 ∇τ1 a a τ −  ∫t ∫1 = ua + ua ph1 (t, a) + p2  u(τ2 −)∇τ2 ∇τ1 . a a Vì u(t) là một hàm số có tính chính quy nên tồn tại một hằng số dương K ∗ sao cho |u(t)| ≤ K ∗ ∀t ∈ [a, T ]. Tiếp tục quá trình này ta có ∫ t ∫τ1 −∫τ2 − ∫τn − u(t) ≤ ua + ua ph1 (t, a) + ua ph2 (t, a) + . . . + p n ... u(τn+1 −)∇τn . . . ∇τ2 ∇τ1 a a a a ∑ n ∞ ∑ ≤ ua pk hk (t, a) + K ∗ hn+1 (t, a) ≤ ua pk hk (t, a) + lim K ∗ hn+1 (t, a). n→∞ k=0 k=0 13
Từ (1.1.5) suy ra lim hn+1 (t, a) = 0, áp dụng công thức khai triển Taylor, ta có n→∞ ∞ ∑ u(t) ≤ ua pk hk (t, a) = ua ep (t, a) với mọi t ∈ Ta . k=0 Do đó ta có điều phải chứng minh. 14
1.2. Quá trình ngẫu nhiên trên thang thời gian Thông thường, chúng ta định nghĩa quá trình ngẫu nhiên với tập chỉ số là tập con nào đó của tập số thực R. Thang thời gian là một tập con đóng của tập số thực R. Chính vì vậy, việc định nghĩa quá trình ngẫu nhiên trên thang thời gian cũng được định nghĩa theo cách thông thường. Trong mục này, tôi trình bày một số kết quả về quá trình ngẫu nhiên trên thang thời gian. Các kết quả được trình bày trong mục này được dựa trên các tài liệu tham khảo [5, 6, 7, 8]. Định nghĩa 1.2.1. Giả sử (Ω, F) là không gian đo. Cho (Ft )t∈Ta là họ σ-trường con của F. Khi đó, (Ft )t∈Ta được gọi là không giảm, nếu Fs ⊂ Ft , ∀s, t ∈ Ta và s ≤ t. Với mỗi t ∈ Ta đặt ∩ ∪ ∪ Ft+ = Fs , Ft− = σ( Fs ), Fa− = Fa , F∞ = σ( Fs ) s>t s
X. (ω) được gọi là quỹ đạo của quá trình ngẫu nhiên X với mỗi ω. Định nghĩa 1.2.3. Giả sử X = (Xt )t∈T là một quá trình ngẫu nhiên trên T. Khi đó, X = (Xt )t∈T được gọi là: 1) Liên tục ( rd-liên tục, ld-liên tục) nếu với mọi ω ∈ Ω thì X. (ω) là hàm số liên tục (rd-liên tục, ld-liên tục) . 2) (Ft )-phù hợp nếu với mỗi t thì Xt là Ft -đo được. 3) Đo được nếu B(T) × F -đo được. 4) Cadlag nếu quỹ đạo của X liên tục phải và có giới hạn trái tại mọi điểm. 5) Đo được dần nếu với mọi T ∈ Ta , (Xt )t∈[a,T ] là quá trình B([a, T ]) × FT -đo được. Định nghĩa 1.2.4. Giả sử (Ω, F, P) là không gian xác suất, X : Ω → R là biến ngẫu nhiên và G là σ-trường con của F. Khi đó, kì vọng có điều kiện của X đối với σ-trường G là biến ngẫu nhiên Y thỏa mãn: i) Y là biến ngẫu nhiên G-đo được. ii) Với mỗi A ∈ G, ta có ∫ ∫ Y dP = XdP. A A Ta kí hiệu Y = E(X|G). Định nghĩa 1.2.5. Quá trình ngẫu nhiên X = (Xt )t∈Ta được gọi là (Ft ) − martingale nếu i) X = (Xt )t∈Ta là quá trình (Ft )-phù hợp; ii) E|Xt | < ∞ với mọi t ∈ Ta ; iii) Với mọi s, t ∈ Ta , s ≤ t, E(Xt |Fs ) = Xs h.c.c. Martingale (Xt )t∈Ta được gọi là martingale bình phương khả tích nếu E|Xt |2 < ∞ ∀t ∈ Ta . Kí hiệu tập tất cả các martingale bình phương khả tích là M2 . 16