Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2024. ISBN: 978-604-82-8175-5
71
TÍNH GIẢI ĐƯỢC VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH TIỆM CẬN
CỦA MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH GIẢ PARABOLIC CÓ TRỄ
VỚI PHẦN PHI TUYẾN NHẬN GIÁ TRỊ YẾU
Vũ Nam Phong
Trường Đại học Thủy lợi, email: phongvn@tlu.edu.vn
1. GIỚI THIỆU CHUNG
Ta xét bài toán (*):
{}
( ) ( , ) trong , (0, ] (1)
0 trên , 0 (2)
( , ) ( , ), trong , [ ,0] (3)
k
tuu uftu t T
t
usx sx s h
u




trong đó ,0
và {}k
t
được định nghĩa:
{}
0
() ( )() ( ) ( ) , 0:t
k
ttvt k v t kt v d



.
Ở đây, là miền bị chặn trong ,1
NN,
với biên  trơn, 1()
loc
kL
là hàm không
âm, không tăng và tồn tại hàm 1()
loc
mL
thỏa mãn ()()1,(0,)kmt t. Trong (*),
()C
thỏa mãn ()ht t t
 và
lim( ( ))
ttt
 
, f là ánh xạ phi tuyến, u
cho bởi: (,) (, ())xt u xtut
,
cho trước.
Gần đây, lớp phương trình vi phân phân
thứ giả parabolic nhận được sự chú ý lớn vì
có thể mô tả một số vấn đề trong cơ học chất
lưu và trong thực tế, điều kiện trễ (3) ứng với
những gì xảy ra trước khi xét (1) hay f nhận
giá trị yếu cũng đang được quan tâm. Bài báo
này sẽ xem xét tính giải được và tính ổn định
của một lớp phương trình giả parabolic có trễ
với một số giả thiết vừa nêu.
2. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Với m đã nói ở trên, đã chứng minh được
m hoàn toàn dương ([1, 5]) và với mỗi 0
,
tồn tại các hàm (), ()
s
r
không âm thỏa mãn:
0
0
() ( ) ( ) 1, 0, (4)
() ( ) ( ) (), 0.(5)
t
t
st mt s d t
rt mt r d mt t




Gọi s (t,
), r (t,
) lần lượt là nghiệm của
(4), (5) ứng với tham số
, ta có mệnh đề sau.
Mệnh đề 2.1. [3] Với mọi
> 0, ta có:
a, (ꞏ, )
s
không âm, không tăng và
() 1
(, ) , 0
() 1 (1 )()
kt
s
tt
kt m t



;
b, (ꞏ, )r
không âm và (, )
s
t
0
1 (,) ( (,))(), 0
trdkr tt


;
c, với mỗi 0t, các hàm sau không tăng
(, ), (, )
s
trt


;
d, cho ()gC
, nghiệm của bài toán
{}
0
() () (), (0)
k
tvt vt gt v v

là 00
() (, ) ( , ) ( )
t
vt st v rt g d


.
Gọi 1
{}
nn
là cơ sở trực chuẩn của 2()L
chứa các hàm riêng của toán tử Laplace 
ứng với điều kiện biên Dirichlet thuần nhất:
nnn

 trong
, 0
n
trên  ; do
đó dãy giá trị riêng tương ứng 1
{}
nn
là dãy
tăng, 0
n
và n
 khi n. Kí hiệu
,,
 là tích vô hướng và chuẩn trong
2()L
: ,()()uv uxvxdx

, 1/2
,uuu .
Xét
{}
( ) trong , 0
0, trên , 0
(0, ) (0), trong
()
k
tuu uF t
ut
u




với 2
(;())FC L
; đặt
1
(,) ()
nn
n
ut u t

,
1
() ()
nn
n
Ft F t
, 1
1()
nn n

 (dễ thấy
1
{}
nn
là dãy tăng), thay vào () được:
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2024. ISBN: 978-604-82-8175-5
72
{}
(1 ) ( ) ( ) ( ), 0
(0) (0) : (0),
k
nt n nn n
nn n
ut ut Ftt
u
 



.
Áp dụng Mệnh đề 2.1, ta được
1
() (, ) (0) ( )()(1 )
nnn nn
ut st rF t

.
Đặt:
2
1
,(),(6() : , )(, )
nnn
n
Stv Ltvsv


1
2
,().
(, )
() ( ):17,
n
nn
nn
vL
rt
Rtv v



Xét 2
11
:,
nn nn
ii
vv v








 ,
là thang Hilbert của 2()L với chuẩn
22
1
:nn
i
vv
.
Bổ đề 2.2. Cho {()},{()}St Rt từ (6), (7) ta có:
a, 1
() (, ) , , 0Stv st v v t

;
b, với 0, (1,2], ([0, ]; )TgCT
 ta có:
22
1
1
2
()() (,)((),0() ;)Rgt r g t t



c, với 0, (0,1], ([0, ]; )TgCT

 ta có:
2
1
1
12
1
1)(()() ((,)() 0
1), .Rgt r g t t



Chứng minh: (a) Đặt ,
nn
vv
 , ta có:
222 2 2
1
11
() (, ) (, )
nnn nn
nn
Stv st v st v





.
(b)-(c)
2
2
2
1
((, ) )(
()() )
(1 )
nnn
nn
rg
Rg t
t




.
Sử dụng bất đẳng thức Holder
 ta được:

22
0
((, ) ( ,)( ) )( ))((,)
t
nn n nn
rg rtdrttg

 
2
12
1)(((, ) ()( ))
nn
trg Rgt

 
11 1 2
1
1(1 ) ( ( , ) )( )
nn n
nrtg



.
Dễ thấy:
2111
1
(1 ) , (1, 2]
nnn

 


1
1
11
1
1
)(1 (1 ) , (0,1].
nnn

 


Đặt ,([ , ]; )
hT ChT
 ; với ,0h
cho
trước, đặt 0,
{|(0)(0)}
T
uu
  ; kí hiệu
cho chuẩn sup trong ,,00,
,,
hT h T

.
Đặt ( ( )), ( ) [ ,0]
[]() ( ( )), ( ) [0, ]
tttt h
utut t t t T




với
u
.
Xét (0,2], : { : }
rvvr
  và
các giả thiết sau:
(F1) Ánh xạ ,(0,1]:[0, ]fT


thỏa mãn: (, ) (, ) ( )
f
f
tu f tv L r u v


,r
uv
và (,0) 0
f
; hàm không âm
f
L
thỏa mãn *12
1
0
:suim p ( )l2
ff
r
LLr


 .
(F2) Ánh xạ ,(1,2]:[0, ]fT


thỏa mãn: (, ) (, ) ( )
f
f
tu f tv L r u v


,r
uv
và (,0) 0
f
; hàm không âm
f
L
thỏa mãn *12
11
0
:sup()lm 2i
ff
r
LLr


 .
(RD) Cho 0
, [0, ]
 tồn tại hằng số
k
C
thỏa mãn ((),)
sup (,
im )
lk
t
st t C
st

.
3. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
Định nghĩa 3.1. Cho ,0h
, u là nghiệm
nhẹ của (*) trên [,]hT
khi và chỉ khi
[,0](, ) (, )us s
s
h
 và [0, ]tT :
0
(ꞏ, ) ( ) (ꞏ,0) ( ) ( , (ꞏ, ))
t
ut St tR
f
ud


.
Ta xét toán tử nghiệm: :
:
0
( )() () (0) ( ) ( , [ ]( ))
t
ut St Rt sf u d


.
Định lí 3.2. Giả sử tồn tại 0
mà
, khi đó (*) có duy nhất một nghiệm
nhẹ trên [,]hT
với mọi 0T, nếu có thêm
một trong hai điều kiện sau:
(a) (F2) được thỏa mãn,
(b) (F1) được thỏa mãn.
Chứng minh: (a) với 2
0, :()()
T
uuItJ
,
2
2 ( ( ) ( , [ ] ( )))( )JRfu t
 ,
222
2
11
2()(0) 2(,) (0) 2(,)ISt st st



.
Ta có 2
2
11
2((,)( )(,[ ()) )]Jrf tu


.
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2024. ISBN: 978-604-82-8175-5
73
Chọn: *1
2
1
,0:() , (0,]
2
ff
rLrL rr


.
Xét 0,
:{ : }
rT
uB u u r
 và r
2
2*2
11
2((,)( ) )([]() )
f
JrL tu


2* 2 2
11
0
2( )(,)
t
f
Lrtrd


2* 221
111
2( ) (1(,))
f
Lr st


 . Ta chọn
/2 1 1/2 *
11
()( )
f
Lr


, nếu
()() , 0ut r t
 . Ta đã chứng minh
()
rr
B
B, ta sẽ chỉ ra là ánh xạ nén trên
r
B
. Xét ,r
uv B, có 2
( )() ()()ut vt

2
2
11
((, ) (,[]()) (,[]()) )()rfu fv t




2
2*2
11
((, ) )(( ) []() []() )
f
rLu v t



2
2* 2
11
0
() (,)
t
f
Luvrtd


22
21* 2 1
11
() 2
f
Luv uv



. Xét
,
,hT r
uu B
là hai nghiệm của (*) với điều
kiện ban đầu
, ta có: 2
() ()ut ut
2
2*2
11
((, ) ( ) []() []( )))(
f
rLu u t



2
2* 2
11
0[0, ]
()(,)sup()()
t
f
Lrt uud



2
[0, ]
sup ( ) ( )
tuu

2
2* 2
11
0[0, ]
()(,)sup()()
t
f
L
rt u u d



.
Sử dụng bất đẳng thức dạng Gronwall ở [2]
2
[0, ]
sup ( ) ( ) 0, [0, ]
t
uu tTuu



.
(b): Chứng minh tương tự (a).
Định lí 3.3. (F2), (RD) được thỏa mãn,
2
1
1*2
1
(),2 ()
kf
mL C L

, do đó nghiệm
u ứng với điều kiện
ổn định tiệm cận.
Chứng minh: Chọn r như Định lí 3.2 và
1/2
1
() ()
f
Lrr

, xét là u nghiệm của (1)
với điều kiện đầu r
uB
. Ta có:
2
2
1
() () , 2(, ) (0) (0) ,ut ut I J I st


22
11
2((, ) (,[]()) (,[ ]() )())Jf trufu





2* 2 2
1
1
2( )
(, ) [ ] () [ ]()((,))
f
Lrtuu





0, 0t

thỏa mãn 11
2* 2
2()
kf
CL


.
Sử dụng Định lí 2.1 ([4]) được 2
() ()ut ut
2
[,0]
()(,)sup () 0() ,
htCst


,
*2 1
1
2
1
(0, 2 ( ) ( ) )
kf
CL


 . Ta có
1() (,) 0mL st
 khi t, suy ra
điều phải chứng minh.
Định lí 3.4. (F1), (RD) được thỏa mãn
1*222
1
(),2()
kf
mL CL
, do đó nghiệm
u ứng với điều kiện
sẽ ổn định tiệm cận.
Chứng minh: Tương tự như Định lí 3.3.
4. KẾT LUẬN
Bài viết đưa ra một số giả thiết cụ thể để
có tính giải được và tính ổn định của một lớp
phương trình giả parabolic có trễ với phần
phi tuyến nhận giá trị yếu.
5. TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Ph. Clement, J. A. Nohel. 1981. Asymptotic
behavior of solutions of nonlinear Volterra
equations with completely positive kernels,
SIAM J. Math. Anal. 12, 514-535.
[2] T.D. Ke, N.N. Thang, L.T.P. Thuy. 2020.
Regularity and stability analysis for a class
of semilinear nonlocal differential equations
in Hilbert spaces, J. Math. Anal. Appl., 483,
123655, 23 pp.
[3] T.D. Ke, L.T.P. Thuy. 2020. Dissipativity
and stability for semilinear anomalous
diffusion equations with delay, Math.
Methods Appl. Sci. 43, 1-17.
[4] T.D. Ke, N.N. Thang. 2024. An Optimal
Halanay Inequality and Decay Rate of
Solutions to Some Classes of Nonlocal
Functional Differential Equations, J. Dyn.
Diff. Equat. 36, 1617-1634.
[5] V. Vergara, R. Zacher. 2015. Optimal decay
estimates for time-fractional and other
nonlocal subdiffusion equations via energy
methods, SIAM J. Math. Anal. 47, 210-239.