Một số phương pháp phân tích tính ổn định của phương trình vi phân

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

9
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phương trình vi phân là một công cụ hiệu quả được sử dụng rộng rãi để mô hình các vấn đề thực trong nghiên cứu khoa học kỹ thuật và đời sống. Trong khảo cứu này, tác giả sẽ giới thiệu một số thành tựu đạt được trong nỗ lực trả lời câu hỏi trên. Cùng với đó là một số chủ đề nghiên cứu liên quan có thể được triển khai trong thời gian tới.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Một số phương pháp phân tích tính ổn định của phương trình vi phân

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Mai Quang Vinh1 1. Khoa Sư phạm, Trường Đại học Thủ Dầu Một TÓM TẮT Phương trình vi phân là một công cụ hiệu quả được sử dụng rộng rãi để mô hình các vấn đề thực trong nghiên cứu khoa học kỹ thuật và đời sống. Một mô hình (gồm các phương trình vi phân) thường bao gồm các tham số liên quan và điều kiện ban đầu của các đại lượng đang khảo sát. Một câu hỏi rất tự nhiên là đầu ra của mô hình phụ thuộc như thế nào với đầu vào của mô hình? Vấn đề này đã thu hút được nhiều sự quan tâm cho đến ngày nay. Trong khảo cứu này, chúng tôi sẽ giới thiệu một số thành tựu đạt được trong nỗ lực trả lời câu hỏi trên. Cùng với đó là một số chủ đề nghiên cứu liên quan có thể được triển khai trong thời gian tới. Từ khóa: hàm Lyapunov, lý thuyết mạng phản ứng hóa học, Phương trình vi phân, tính ổn định. 1. TỔNG QUAN Phương trình vi phân là một phương trình toán học phụ thuộc vào một biến độc lập duy nhất. Nó biểu diễn mối quan hệ giữa một hàm (hoặc nhiều hàm) chưa được biết và đạo hàm của chúng. Lý thuyết về phương trình vi phân đã được phát triển từ rất sớm và thu hút được nhiều sự quan tâm nghiên cứu (Isaac Newton, 1744). Nhiều kết quả về phương trình vi phân đã được khám phá. Phương trình vi phân đã được sử dụng rộng rãi để mô hình các hiện tượng trong nghiên cứu khoa học, kỹ thuật, kinh tế và các lĩnh vực khác (George Simmons, 2016; Vladimir Kolmanovskii và nnk, 2013; Edelstein-Keshet, 2005; Lee Segel và nnk, 2013). Sẽ rất khó để trình bày những ứng dụng phong phú của phương trình vi phân. Do đó. ở đây chúng tôi chỉ tóm tắt một số ứng dụng phổ biến và cơ bản. Trong nghiên cứu vật lý, phương trình vi phân thường được sử dụng để mô hình vấn đề đang quan tâm. Chẳng hạn, mô hình sự chuyển động cả vật thể, sự chuyển động của dao động cưỡng bức. Phương trình vi phân còn được xem là một công cụ hỗ trợ để tìm lời giải cho các mô hình gồm các phương trình đạo hàm riêng (Farkhad Aliev và nnk, 2023; Venkataraman Balakrishnan, 2020). Trong kinh tế, phương trình vi phân được sử dụng để mô hình sự tăng trưởng kinh tế, chu kỳ giao dịch thương mại (Anastasios Tsoularis, 2021). Phương trình vi phân được sử dụng để phân tích các vấn đề tối ưu hóa trong kinh tế, chẳng hạn như tìm kiếm chiến lược đầu tư hoặc tiêu dùng tối ưu. Những mô hình này thường liên quan đến việc tối đa hóa các hàm lợi ích có ràng buộc (K. S. Bhamra, 2015). Phương trình vi phân cũng được sử dụng rộng rãi để mô hình các vấn đề thực tế trong sinh học. Chẳng hạn, mô hình sự tương tác giữa các loài trong một cộng đồng, mô hình sự phát triển của tế bào, mô hình dịch bệnh. Bên cạnh đó, phương trình vi phân cũng được sử dụng rộng rãi trong nghiên cứu cơ chế động học của enzyme (Edelstein-Keshet, 2005; Vinh Quang Mai và nnk, 2018; Vinh Quang Mai và nnk, 2021). Ngoài ra, phương trình vi phân cũng được sử dụng rộng rãi trong nghiên cứu hóa học. Có những lý thuyết toán học riêng biệt dành cho nghiên cứu các hệ phản ứng sinh hóa phức tạp (Feinberg, 2019; Hirokazu Komatsu và nnk, 2018). Có thể thấy ứng dụng phong phú của phương trình vi phân trong nghiên cứu các lĩnh vực khoa học, kỹ thuật và đời sống. Khi sử dụng phương trình vi phân để mô hình, việc tìm nghiệm của nó là cần thiết. Một khía cạnh thu hút được nhiều sự quan tâm trong khi sử dụng các mô hình phương trình vi phân là tính ổn định của mô hình. Nói cách khác, nghiệm của mô hình sẽ phụ thuộc vào điều kiện ban đầu của mô hình như thế nào? Nhiều nỗ lực đã được thực hiện để trả lời câu hỏi này (Seyed 337
Nikravesh, 2018; Marc Roussel, 2019). Trong báo cáo này, một số kết quả về phân tích tính ổn định của phương trình vi phân sẽ được thảo luận. Báo cáo sẽ được tổ chức như sau. Mục 2 sẽ trình bày sơ lược về phương pháp nghiên cứu được sử dụng trong khảo cứu này. Các kết quả của khảo cứu này sẽ được trình bày trong mục 3. Cuối cùng, một số nhận xét cũng như một vài hướng nghiên cứu liên quan sẽ được tóm tắt trong mục 4. 2. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Trong báo cáo này, chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu điển hình cho các nghiên cứu toán học lý thuyết. Cụ thể, phương pháp tra cứu, phân tích, tổng hợp tài liệu đã được sử dụng ở đây. Dưới đây là tóm lược về cơ sở toán học cần thiết cho nghiên cứu tiếp theo. Chi tiết hơn có thể được tìm thấy trong (Isaac Newton, 1744). Xét (hệ) phương trình vi phân 𝑥̇ = 𝑓(𝑥), (1) trong đó x là một hàm số chưa biết của t và 𝑥̇ là đạo hàm cấp một của nó. Định nghĩa 2.1. Trạng thái dừng của (hệ) phương trình vi phân (1) là nghiệm của (hệ) phương trình f(x) = 0. Định nghĩa 2.2. Trạng thái dừng 𝑥 ∗ của (1) là ổn định nếu với mọi ϵ > 0, tồn tại δ > 0 mà ||x(0) - x*|| < δ, thì ||𝑥(𝑡) − 𝑥 ∗ || < 𝜖 với mọi 𝑡 ≥ 0. Ngược lại, nó là không ổn định. Trạng thái dừng của (1) được gọi là ổn định tiệm cận nếu nó ổn định và 𝑙𝑖𝑚 𝑡→∞ 𝑥(𝑡) = 𝑥 ∗ . Định nghĩa 2.3. Miền hấp dẫn của (1) là tập tất cả các trạng thái của sao cho nghiệm của (1) xuất phát từ đó sẽ hội tụ về trạng thái dừng 𝑥 ∗ khi t → ∞. Nếu miền hấp dẫn là toàn bộ không gian trạng thái, thì 𝑥 ∗ được gọi là ổn định tiệm cận toàn cục. 3. KẾT QUẢ VÀ THẢO LUẬN Hai phương pháp phân tích tính ổn định của phương trình vi phân được trình bày trong mục này. Đầu tiên là tiêu chuẩn Routh-Hurwitz cho phân tích tính ổn định địa phương của phương trình vi phân. Tiếp theo là phương pháp Lyapunov thứ hai được khảo sát. Cần chú ý rằng đây chỉ là một vài trong các cách tiếp cận bài toán phân tích tính ổn định của phương trình vi phân đã được thiết lập. 3.1. Tiêu chuẩn Routh-Hurwitz Trong mục này, chúng tôi sẽ khảo cứu tiêu chuẩn Routh-Hurwitz cho phân tích tính ổn định địa phương của phương trình vi phân. Các ý chính được trình bày ở đây, các chi tiết sẽ được lược bỏ. Mặc dù đã được thiết lập hơn một thế kỷ, giá trị của nó vẫn còn nguyên vẹn. Người đọc quan tâm có thể xem thêm ở các tài liệu (Edelstein-Keshet, 2005; Edward John Routh, 1877; Adolf Hurwitz, 1895). Sự thay đổi về số lượng của quần thể bao gồm k loài với các quần thể N1, N2, ..., Nk được cho bởi sẽ được cho bởi k phương trình: 𝑑𝑁1 = 𝑓1 (𝑁1 , 𝑁2 , … , 𝑁 𝑘 ), 𝑑𝑡 𝑑𝑁2 = 𝑓2 (𝑁1 , 𝑁2 , … , 𝑁 𝑘 ), 𝑑𝑡 338
…. 𝑑𝑁 𝑘 = 𝑓 𝑘 (𝑁1 , 𝑁2 , … , 𝑁 𝑘 ), 𝑑𝑡 hay được viết dưới dạng vectơ như sau 𝑑𝑁 = 𝐹(𝑁), (2) 𝑑𝑡 với N = (N1, N2, ..., Nk), F = (f1, f2, ..., fk) trong đó mỗi hàm f1, f2, ..., fk có thể phụ thuộc vào tất cả hoặc một số hàm N1, N2, ..., Nk. Giả sử phương trình vi phân (2) có trạng thái dừng là𝑁 ∗ = (𝑁1 , 𝑁2 , … , 𝑁 ∗ ), tức là ∗ ∗ 𝑘 F(N∗) = 0. Để xác định trạng thái dừng có ổn định (địa phương) hay không thì sử dụng ma trận Jacobi J của F(N) được xác định bởi 𝜕𝑓1 𝜕𝑓1 ⋯ 𝜕𝐹 ∗ 𝜕𝑁1 𝜕𝑁 𝑘 𝐽= (𝑁 ) = ⋮ ⋱ ⋮ (𝑁 ∗ ). 𝜕𝑁 𝜕𝑓 𝑘 𝜕𝑓 𝑘 ⋯ ( 𝜕𝑁1 𝜕𝑁 𝑘 ) Đây là một ma trận hằng số. Giả sử λ1, λ2, ..., λk là tất cả các giá trị riêng của phương trình đặc trưng det(J -λIk) = 0 hay 𝜆 𝑘 + 𝑎1 𝜆 𝑘−1 + 𝑎2 𝜆 𝑘−2 + ⋯ + 𝑎 𝑘 = 0. (3) Nếu tất cả các giá trị riêng có phần thực âm thì trạng thái dừng đang xét 𝑁 ∗ là ổn định (địa phương). Do đó, tính ổn định của một điểm dừng có thể được xác định bằng cách tìm tất cả các giá trị riêng λi, i = 1, 2, ..., k, của (3). Nói chung, đây là một việc không dễ dàng và không phải lúc nào cũng có thể thực hiện được. May mắn thay, một tiêu chuẩn đơn giản hơn đã được thiết lập bởi Edward John Routh và Adolf Hurwitz; xem trang 233 ở (Edelstein-Keshet, 2005). Dưới đây là nội dung của tiêu chuẩn. Định lý 3.1. Với phương trình đặc trưng (3), xét các ma trận được xác định như sau: 𝑎1 1 0 𝑎1 1 𝐻1 = (𝑎1 ), 𝐻2 = [ ] , 𝐻3 = [ 𝑎3 𝑎2 𝑎1 ] , … 𝑎3 𝑎2 𝑎5 𝑎4 𝑎3 trong đó phần tử (l, m) trong ma trận Hj được cho bởi 𝑎2𝑙−𝑚 , 𝑘ℎ𝑖 0 < 2𝑙 − 𝑚 < 𝑘, 𝑎 𝑙𝑚 = { 1, 𝑘ℎ𝑖 2𝑙 = 𝑚, 0, 𝑘ℎ𝑖 2𝑙 < 𝑚 ℎ𝑎𝑦 2𝑙 > 𝑘 + 𝑚. 339
Khi đó, tất cả các giá trị riêng có phần thực âm (hay 𝑁 ∗ là ổn định) nếu và chỉ nếu định thức của tất cả các ma trận Hurwitz Hj đều dương, tức là det 𝐻𝑗 > 0, 𝑗 = 1, 2, … , 𝑘. Dưới đây là tiêu chuẩn Routh-Hurwitz được triển khai cho các trường hợp k = 2, 3, 4 (Robert May và nnk, 2007) 𝑘 = 2: 𝑎1 > 0, 𝑎2 > 0, 𝑘 = 3: 𝑎1 > 0, 𝑎3 > 0, 𝑎1 𝑎2 > 𝑎3 , 2 2 𝑘 = 4: 𝑎1 > 0, 𝑎3 > 0, 𝑎4 > 0, 𝑎1 𝑎2 𝑎3 > 𝑎3 + 𝑎1 𝑎4 . Ví dụ 3.2. Giả sử x là động vật ăn thịt, y và z là con mồi của nó. Biết z tăng trưởng một cách logistic khi không có kẻ săn mồi, x chết khi không có con mồi và y phát triển theo hàm mũ khi không có kẻ săn mồi. Chúng ta sẽ sử dụng kỹ thuật Routh-Hurwitz để khám phá xem liệu những loài này có thể cùng tồn tại ở trạng thái cân bằng ổn định hay không. Với các giả thiết, một mô hình toán học mô tả sự phát triển của quần thể gồm ba loài như sau: 𝑑𝑥 = 𝛼𝑥𝑧 + 𝛽𝑥𝑦 − 𝛾𝑥, 𝑑𝑡 𝑑𝑦 = 𝛿𝑦 − 𝜖𝑥𝑦, 𝑑𝑡 𝑑𝑧 = 𝜇𝑧(𝜁 − 𝑧) − 𝜅𝑥𝑧 , 𝑑𝑡 trong đó α, β, γ, δ, ϵ, µ, ζ, κ là các hằng số dương. Giải hệ phương trình dx/dt =dy/dt = dz/dt =0 thu được một trạng thái dừng không tầm thường của mô hình là 𝛿 𝛾 − 𝛼𝑧 ∗ 𝜅 𝑥∗ = , 𝑦∗ = , 𝑧∗ = 𝜁 − 𝑥∗. 𝜖 𝛽 𝜇 Trạng thái dừng này có ý nghĩa về mặt sinh học khi γ > αz ∗ và ζ > κx∗/µ. Tiếp theo, ta tính được ma trận Jacobi của mô hình được cho bởi 𝛼𝑧 ∗ + 𝛽𝑦 ∗ − 𝛾 𝛽𝑥 ∗ 𝛼𝑥 ∗ 𝐽=[ −𝜖𝑦 ∗ 𝛿 − 𝜖𝑥 ∗ 0 ] −𝜅𝑧 ∗ 0 ∗ 𝜇𝜁 − 2𝜇𝑧 − 𝜅𝑥 ∗ hay 0 𝛽𝑥 ∗ 𝛼𝑥 ∗ 𝐽 = [−𝜖𝑦 ∗ 0 0 ]. −𝜅𝑧 ∗ 0 −𝜇𝑧 ∗ Khi đó, phương trình đặc trưng của ma trận Jacobi J là λ3 + a1λ2 + a2λ + a3 = 0, trong đó 𝑎1 = 𝜇𝑧 ∗ , 𝑎2 = 𝜖𝛽𝑥 ∗ 𝑦 ∗ + 𝜅𝛼𝑥 ∗ 𝑧 ∗ , 340
𝑎3 = 𝜇𝜖𝛽𝑥 ∗ 𝑦 ∗ 𝑧 ∗ . Kiểm tra trực tiếp, ta nhận thấy 𝑎1 > 0, 𝑎2 > 0, 𝑎1 𝑎2 > 𝑎3 . Suy ra trạng thái dừng của hệ thỏa mãn tiêu chuẩn Routh-Hurwitz trong trường hợp k = 3. Ta kết luận rằng trạng thái dừng này là ổn định. Nội dung về tiêu chuẩn Routh-Hurwitz cho phân tích tính ổn định (địa phương) của phương trình vi phân tạm dừng ở đây. Tiếp theo là một số thảo luận về phương pháp phân tích tính ổn định của phương trình vi phân dựa theo hàm Lyapunov (hay phương pháp Lyapunov thứ hai). 3.2. Phương pháp Lyapunov thứ hai Bên cạnh cách tiếp cận địa phương như phương pháp Routh-Hurwitz được trình bày ở trên, phương pháp Lyapunov thứ hai là một phương pháp nổi tiếng và thu hút được nhiều sự quan tâm, cũng như đã đạt được nhiều kết quả độc đáo. Hai tài liệu sau giới thiệu kiến thức nhập môn cũng như tổng hợp nhiều tiến bộ trong lĩnh vực này (Seyed Nikravesh, 2018; Marc Roussel, 2019). Phương pháp Lyapunov dựa trên một ý tưởng đơn giản. Giả sử rằng V(x) là một hàm của các biến trạng thái có cực tiểu tại điểm cân bằng và không có cực tiểu nào khác (paraboloid là một ví dụ). Bây giờ, giả sử rằng chúng ta có thể chỉ ra rằng động lực học của hệ thống dẫn đến sự giảm đều đặn của V trong một vùng lân cận (có thể lớn) nào đó của điểm cân bằng. Điều này có nghĩa là chúng ta đang hướng tới cực tiểu của V, đây chính là điểm cân bằng. Sau khi chỉ ra điều này, chúng ta có thể kết luận rằng điểm cân bằng ổn định trên toàn bộ vùng lân cận của x∗ mà V giảm. Hàm V có các tính chất này được gọi là hàm Lyapunov (Marc Roussel, 2019). Ý tưởng này có thể được cụ thể hóa như sau: Định nghĩa 3.3. Gọi U là vùng không gian pha chứa điểm cân bằng x∗. Cho V: U → R là một hàm liên tục và khả vi. Hàm V là hàm xác định dương đối với điểm x∗ nếu nó thỏa mãn hai điều kiện sau: V (0) = 0 và V (x) > 0 với mọi x ∈ U \ {0}. Hàm V được gọi là hàm Lyapunov cho (1) tại x∗. Định lý 3.4. Cho x∗ = 0 là một điểm cân bằng của (1) và V là một hàm xác định dương cho điểm này. Điểm cân bằng x∗ là ổn định tiệm cận (các nghiệm hướng tới điểm này đối với các điều kiện ban đầu trong lân cận U của x∗ nếu 𝑑𝑉(𝑥) 𝑉̇ (𝑥) =
𝑦̇ = −𝑎 sin(𝑥) − 𝑏𝑦, 𝑎 > 0, 𝑏 > 0. Xét hàm số 1 2 𝑉(𝑥) = 𝑎(1 − cos(𝑥)) + 𝑦 . 2 Dễ dàng kiểm tra được đây là một Lyanpunov tại điểm cân bằng (0, 0). Hơn nữa, ta có 𝑉̇ (𝑥) = 𝑎𝑥̇ sin(𝑥) + 𝑦 𝑦̇ = −𝑏𝑦 2 ≤ 0. Do đó, 𝑉̇ (𝑥) là một hàm nửa xác định âm, điều này cho thấy (0, 0) là ổn định. Như đã đề cập trước đó, việc xây dựng một hàm Lyapunov để chứng minh tính ổn định là không hề đơn giản. Nhiều nỗ lực đã được thực hiện để thiết lập các quy trình xây dựng hàm Lyapunov cho những kiểu phương trình cụ thể. Một phương pháp để xây dựng hàm Lyapunov cho (1) trong trường hợp tuyến tính đã được thiết lập (Stephen Barnett và nnk, 1970). Trong trường hợp phi tuyến, nhiều cách tiếp cận đã được đề xuất như phương pháp Aizerman (Cornelius Leondes, 1965), phương pháp Luke, phương pháp Krasovskii, ... (Seyed Nikavesh và nnk, 1973). Nhiều ví dụ minh họa cho các phương pháp này có thể được tìm thấy trong (Seyed Nikravesh, 2018). Năm 1967, Ogata Krasovskii đã chứng minh được kết quả sau đây (Krasovskii Ogata, 1967). Định lý 3.6. Xét hệ phi tuyến (1) và giả sử 𝑓(𝑥) khả vi đối với xi, i = 1, 2, ..., k. Đặt ̂(𝑥) = 𝐽(𝑥) + 𝐽∗ (𝑥), 𝐽 trong đó 𝐽(𝑥) là ma trận Jacobian và 𝐽∗ (𝑥) là chuyển vị liên hợp của 𝐽(𝑥). Nếu ̂(𝑥) là xác định âm 𝐽 ∗ thì trạng thái cân bằng 𝑥 = 0 ổn định tiệm cận. Chứng minh của định lý này có thể tìm thấy trong (Krasovskii Ogata, 1967). Chú ý rằng nếu 𝑓(𝑥) là hàm thực, thì 𝐽∗ (𝑥) là ma trận chuyển vị 𝐽 𝑇 (𝑥) của 𝐽(𝑥). Dưới đây là một ví dụ minh họa cho phương pháp Krasovskii. Ví dụ 3.7. (Okan Gurel và nnk, 1969) Xét hệ phi tuyến 𝑥̇ = −𝑎𝑥 + 𝑦, 𝑎 > 1, 𝑦̇ = 𝑥 − 𝑦 − 𝑦 3 , với 𝑥 ∗ = 0 là trạng thái dừng của hệ. Ma trận Jacobi của hệ là −𝑎 1 𝐽(𝑥) = [ ] 1 −1 − 3𝑦 2 và ̂(𝑥) = [−2𝑎 𝐽 2 ]. 2 −2 − 6𝑦 2 Tính toán trực tiếp, ta thu được hai giá trị riêng của ma trận ̂(𝑥) là: 𝐽 𝜆1 = −√𝑎2 − 6𝑎𝑦 2 − 2𝑎 + 9𝑦 4 + 6𝑦 2 + 5 − 𝑎 − 3𝑦 2 − 1, 𝜆2 = √𝑎2 − 6𝑎𝑦 2 − 2𝑎 + 9𝑦 4 + 6𝑦 2 + 5 − 𝑎 − 3𝑦 2 − 1. Dễ thấy 𝜆1 , 𝜆2 đều âm, do đó, ma trận ̂(𝑥) là xác định âm. Vậy, trạng thái dừng 𝑥 ∗ của hệ đang 𝐽 xét là ổn định tiệm cận. 342
4. KẾT LUẬN Trong báo cáo này, chúng tôi đã khảo cứu và hệ thống một số phương pháp để phân tích tính ổn định phương trình vi phân. Khảo cứu này là rất sơ lược khi so với những kết quả đạt được trong một lĩnh vực thu hút được nhiều sự quan tâm. Lĩnh vực này hấp dẫn như vậy là bởi tính ứng dụng của nó. Sau đây là một số nghiên cứu tiếp theo liên quan đến chủ đề này có thể được tiếp tục thực hiện trong thời gian tới. Khảo cứu lý thuyết mạng phản ứng hóa học được đề xuất bởi Martin Feinberg và những nhà nghiên cứu khác (Martin Feinberg, 2019). Một hướng khác là áp dụng lý thuyết mạng phản ứng hóa học mở rộng vào phân tích tính ổn định của quá trình tổng hợp hyauronan (Hirokazu Komatsu và nnk, 2018; Ilaria Caon và nnk, 2021). TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Aliev, F. G., & Lara, A. (2023). Mathematical methods for physics: Problems and solutions. CRC Press. 2. Balakrishnan, V. (2020). Mathematical physics: applications and problems. Springer Nature. 3. Barnett, S., & Storey, C. (1970). Matrix methods in stability theory. New York: Nelson, 1970. 4. Bhamra, K. (2015). Ordinary differential equations: A graduate text. Alpha ScienceInternational. Caon, I., Parnigoni, A., Viola, M., Karousou, E., Passi, A., & Vigetti, D. (2021). 5. Cell energy metabolism and hyaluronan synthesis. Journal of Histochemistry &Cytochemistry, 69(1), 35– 47. 6. Edelstein-Keshet, L. (2005). Mathematical models in biology. SIAM. 7. Feinberg, M. (2019). Foundations of chemical reaction network theory. Springer. 8. Gurel, O., & Lapidus, L. (1969). A guide to methods for the generation of Liapunov functions. Industrial & Engineering Chemistry, 61(3), 30-41. 9. Hurwitz, A. (1895). Ueber die bedingungen, unter welchen eine gleichung nur wurzeln mit negativen reellen theilen besitzt. Mathematische Annalen, 46(2), 273–284. 10. Khalil, H. K. (2002). Control of nonlinear systems. Prentice Hall, New York, NY. 11. Kolmanovskii, V., & Myshkis, A. (2013). Introduction to the theory and applications of functional differential equations (Vol. 463). Springer Science & Business Media. 12. Komatsu, H., & Nakajima, H. (2018). Stability analysis for a class of non-weakly reversible chemical reaction networks. SICE Journal of Control, Measurement, and System Integration, 11(3), 138–145. 13. Leondes, C.T. Advances in Control Systems Theory and Applications Vol. 2, Academic Press, pp. 1–64, 1965. 14. Mai, V. Q., Nhan, T. A., & Hammouch, Z. (2021). A mathematical model of enzymatic non-competitive inhibition by product and its applications. Physica Scripta, 96(12), 124062. Mai, V. Q., Vo, T. T., & Meere, M. (2018). Modelling hyaluronan degradation by streptococcus pneumoniae hyaluronate lyase. Mathematical biosciences, 303, 126-138. 15. May, R., & McLean, A. R. (2007). Theoretical ecology: principles and applications. Oxford University Press. 16. Newton, I. (1744). Methodus fluxionum et serierum infinitarum (the method of fluxions and infinite series). Opuscula. 17. Nikravesh, S. K. Y. (2018). Nonlinear systems stability analysis: Lyapunov-based approach. CRC Press. 18. Nikravesh, S.K.Y. and Hoft, R.D. Survey of analytical method of generating Lyapunov functions. NSF, GK 3441 ox, 1973. 19. Ogata, K. (1967). State space analysis of control systems. Prentice-Hall. 20. Roussel, M. R. (2019). Nonlinear dynamics: A hands-on introductory survey. Morgan & Claypool Publishers. 21. Routh, E. J. (1877). A treatise on the stability of a given state of motion, particularly steady motion: being the essay to which the adams prize was adjudged in 1877, in the university of cambridge. Macmillan and Company. 22. Segel, L. A., & Edelstein-Keshet, L. (2013). A primer in mathematical models in biology (Vol. 129). Siam. 23. Simmons, G. F. (2016). Differential equations with applications and historical notes. CRC Press. 24. Tsoularis, A. (2021). On some important ordinary differential equations of dynamic economics. Recent developments in the solution of nonlinear differential equations, 147–153. 343