Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Ước lượng cho mô hình độ biến động ngẫu nhiên có bước nhảy

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:63

Thêm vào BST

Báo xấu

54
lượt xem 10
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nội dung luận văn trình bày các kiến thức quan trọng về các quá trình ngẫu nhiên, chuyển động Brown; trình bày về mô hình Black – Scholes và các hạn chế, từ đó cần thiết phải đưa ra các mô hình độ biến động ngẫu nhiên và độ biến động ngẫu nhiên có bước nhảy; ước lượng cho các mô hình GBM, GBM có thêm bước nhảy và mô hình độ biến động ngẫu nhiên có bước nhảy và so sánh các kết quả bằng bảng ước lượng các tham số qua hai ví dụ thực nghiệm.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Ước lượng cho mô hình độ biến động ngẫu nhiên có bước nhảy

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN -------------------------- VŨ THỊ HƯƠNG SẮC ƯỚC LƯỢNG CHO MÔ HÌNH ĐỘ BIẾN ĐỘNG NGẪU NHIÊN CÓ BƯỚC NHẢY LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội-2013 1
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN -------------------------- VŨ THỊ HƯƠNG SẮC ƯỚC LƯỢNG CHO MÔ HÌNH ĐỘ BIẾN ĐỘNG NGẪU NHIÊN CÓ BƯỚC NHẢY Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê Toán học Mã số: 60 46 15 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN THỊNH Hà Nội-2013 2
Mục lục Giới thiệu ............................................................................................................ 5 Kiến thức chuẩn bị .............................................................................................. 7 1.1 Các quá trình ngẫu nhiên và toán tài chính ................................................ 7 1.2 Một số quá trình ngẫu nhiên ...................................................................... 9 1.2.1 Quá trình Markov ............................................................................... 9 1.2.2 Martingale ........................................................................................ 10 1.3 Các hàm đặc trưng và các tham số đặc trưng .......................................... 10 1.3.1 Các hàm đặc trưng ............................................................................ 10 1.3.2 Các tham số đặc trưng ...................................................................... 12 1.4 Chuyển động Brown ................................................................................ 14 1.4.1 Phân bố chuẩn .................................................................................. 14 1.4.2 Chuyển động Brown ......................................................................... 15 1.5 Tích phân ngẫu nhiên (tích phân Itô) ................................................... 18 1.5.1 Bổ đề Itô ........................................................................................... 18 1.5.2 Chuyển động Brown hình học........................................................... 19 Chương 2 .......................................................................................................... 22 Mô hình Black – Scholes và các hạn chế ........................................................... 22 2.1 Mô hình Black – Scholes ......................................................................... 22 2.2 Các hạn chế của mô hình Black – Scholes ............................................... 23 2.2.1 Độ biến động nụ cười ....................................................................... 23 2.2.2 Tính không đầy đủ của các thị trường ............................................... 24 Chương 3 .......................................................................................................... 26 Mô hình độ biến động ngẫu nhiên có bước nhảy ............................................... 26 3.1 Các mô hình độ biến động ngẫu nhiên ..................................................... 26 3.2 Các quá trình bước nhảy .......................................................................... 28 3.3 Mô hình độ biến động ngẫu nhiên có bước nhảy ...................................... 32 3.3.1 Các khuếch tán bước nhảy log chuẩn ................................................ 32 3
3.2.2 Các khuếch tán bước nhảy với độ biến động ngẫu nhiên ................... 33 3.2.3 Các khuếch tán bước nhảy với độ biến động ngẫu nhiên và cường độ nhảy .......................................................................................................... 33 Chương 4 .......................................................................................................... 34 Ước lượng cho mô hình độ biến động ngẫu nhiên có bước nhảy ....................... 34 4.1 Chuyển động hình học Brown.............................................................. 34 4.2 Chuyển động hình học Brown cộng thêm bước nhảy ........................... 40 4.3 Mô hình độ biến động ngẫu nhiên có bước nhảy .................................. 43 Kết luận ............................................................................................................ 59 Tài liệu tham khảo............................................................................................. 60 Phụ lục .............................................................................................................. 62 4
Giới thiệu Từ khi Black và Scholes công bố bài báo của họ về định giá quyền chọn vào năm 1973, nó đã trở thành một phát kiến bùng nổ về lý thuyết và thực nghiệm trên vấn đề tài chính này. Tuy nhiên, qua hơn ba mươi năm trở lại đây, một số lượng lớn các mô hình khác đã được đưa ra để thay thế cho tiếp cận cổ điển của Black – Scholes, cách tiếp cận mà ta phải giả định cổ phiếu có phân bố log – chuẩn với độ biến động không đổi và càng ngày nó càng thể hiện nhiều thiếu sót trong thực tiễn. Do đó, các mở rộng để hiệu chỉnh mô hình Black – Scholes trong đó độ biến động là ngẫu nhiên và mô hình có bước nhảy là hết sức cần thiết. Luận văn “Ước lượng cho mô hình độ biến động ngẫu nhiên có bước nhảy” trình bày về việc điều chỉnh mô hình Black – Scholes thành những mô hình ước lượng tham số chính xác hơn, gồm 4 chương: Chương 1: Trình bày các kiến thức quan trọng về các quá trình ngẫu nhiên, chuyển động Brown. Chương 2: Trình bày về mô hình Black – Scholes và các hạn chế, từ đó cần thiết phải đưa ra các mô hình độ biến động ngẫu nhiên và độ biến động ngẫu nhiên có bước nhảy được trình bày trong chương 3. Chương 4: Ước lượng cho các mô hình GBM, GBM có thêm bước nhảy và mô hình độ biến động ngẫu nhiên có bước nhảy và so sánh các kết quả bằng bảng ước lượng các tham số qua hai ví dụ thực nghiệm. Hoàn thành được luận văn trên, trước tiên tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Tiến sĩ Nguyễn Thịnh, người đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo tôi trong suốt quá trình tôi thực hiện luận văn. 5
Tôi cũng muốn được gửi lời cảm ơn đến các thầy cô trong khoa Toán – Cơ tin học, Phòng Đào tạo, Phòng Sau đại học trường ĐHKHTN – ĐHQGHN và các thầy cô từ Viện Toán học đã giảng dạy và hết lòng chỉ bảo tôi trong thời gian được đào tạo tại trường. Luận văn không thể tránh khỏi những sai sót, tôi rất mong nhận được sự hướng dẫn, chỉ bảo của các thầy cô, sự hợp tác của các bạn để tôi có thể hoàn thiện hơn. Hà Nội, ngày 02 tháng 11 năm 2013 Học viên Vũ Thị Hương Sắc 6
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các quá trình ngẫu nhiên và toán tài chính Định nghĩa 1.1 (Đại số) Cho  là tập không rỗng và cho F bao gồm các tập con của  . Ta nói rằng F là một đại số thỏa mãn: (i) F và 0 F , (ii) A  F  Ac   \ A  F , (iii) A, B  F  A  B  F . Định nghĩa 2 (  - đại số) Một đại số F của các tập con của  được gọi là một   - đại số trên  nếu với bất kỳ dãy  An  n  F , ta có  A F. n 1 n Mỗi một cặp   , F  như vậy được gọi là một không gian đo được. Do đó, một  - đại số sinh bởi tập tất cả các tập con mở của  được gọi là  - đại số Borel: B E  . Định nghĩa 1.3 (Xác suất) Cho  là một tập không rỗng, và cho F là một  - đại số các tập con của  . Một độ đo xác suất  là một hàm số sao cho đối với mỗi tập AF xác định một số trong đoạn [0,1] được gọi là xác suất của A và viết là   A  . Trong đó các tính chất sau phải thỏa mãn: (i)     1 , (ii) (tính cộng tính đếm được) với A1 , A2 ,... là dãy các tập rời nhau trong F thì       An      An  (1.1)  n1  n 1 7
  , F,   được gọi là một không gian xác suất. Một không gian xác suất  là đầy đủ nếu với mỗi B  A F sao cho   A   0 , ta có B F . Trong tình huống khi mà thời gian biến đổi, nhiều thông tin được tiếp nhận hơn, ta phải thêm thành phần phụ thuộc thời gian vào không gian xác suất   , F ,   . Định nghĩa 1.4 (Lọc) Một lọc (hay dòng thông tin) trên   , F,   là một họ tăng các  - đại số  Ft t[0,T ] : Fs  Ft  FT  F với 0  s  t  T . Ft biểu diễn thông tin nhận được tại thời gian t, và lọc  Ft t[0,T ] biểu diễn dòng thông tin diễn tiến theo thời gian. Một không gian xác suất   , F,   trang bị một lọc được gọi là không gian xác suất lọc  , F, , F  t t[0,T ] . Định nghĩa 1.5 (Các điều kiện thông thường) Ta nói rằng một không gian xác   suất lọc , F, ,  Ft t[0,T ] thỏa mãn các “điều kiện thông thường” nếu: (i) F là  - đầy đủ. (ii) F0 chứa tất cả các tập  - không của  . Nghĩa là ta biết biến cố nào là có thể và biến cố nào là không. (iii)  Ft t[0,T ] là liên tục phải, tức là Ft  Ft   st Fs . Định nghĩa 1.6 (Các quá trình ngẫu nhiên)Một quá trình ngẫu nhiên  X t t[0,T ] là một họ các biến ngẫu nhiên được đặt chỉ số theo thời gian, xác định trên  không gian xác suất lọc , F, ,  Ft t[0,T ] .  8
Tham số thời gian t có thể hoặc là rời rạc hoặc là liên tục. Với mỗi biễn ngẫu nhiên w , quỹ đạo X  w  : t  X t  w  xác định một hàm số của thời gian gọi là quỹ đạo mẫu của quá trình. Do đó các quá trình ngẫu nhiên có thể cũng được hiểu như là các hàm số ngẫu nhiên. Định nghĩa 1.7 (Các quá trình tương thích) Một quá trình ngẫu nhiên  X t t[0,T ] được gọi là Ft - tương thích (hay không đoán trước được theo cấu trúc thông tin  Ft t[0,T ] ) nếu với mỗi t [0,T ] , giá trị của X t là được xác định tại thời gian t: biến ngẫu nhiên X t là Ft - đo được. Định nghĩa 1.8 (Thời gian dừng) Một thời gian ngẫu nhiên là biến ngẫu nhiên dương T  0 biểu diễn thời gian mà tại đó biến cố nào đó là đang xảy ra. Nếu cho trước dòng thông tin Ft thì ta có thể xác định liệu biến cố có xảy ra   t  hay không   t  , thời gian ngẫu nhiên  được gọi là thời gian dừng (hay thời gian ngẫu nhiên không đoán trước). Nói cách khác,  là thời gian ngẫu nhiên không đoán trước (  Ft  - thời gian dừng) nếu  t  0,   t  Ft . 1.2 Một số quá trình ngẫu nhiên 1.2.1 Quá trình Markov Một quá trình Markov là một dạng quá trình ngẫu nhiên trong đó chỉ giá trị hiện tại của biến là thích hợp để dự đoán tương lai. Quá khứ của biến và cách thức mà hiện tại xuất hiện từ quá khứ là không liên quan (nôm na là quá khứ được hợp nhất trong giá trị hiện tại). Định nghĩa 1.9 (quá trình Markov) Cho   , F,   là một không gian xác suất, cho T là một số dương xác định, và cho  Ft t[0,T ] là một lọc. Xét một quá trình tương thích  X t t[0,T ] . Nếu với hàm Borel – đo được f : E  f  X t  | Fs   E  f  X t  | X s  (1.2) 9
quá trình  X t t[0,T ] được gọi là quá trình Markov. 1.2.2 Martingale Định nghĩa 1.10 (Martingale) Một quá trình ngẫu nhiên X   X t t[0,T ] được gọi là martingale theo  , Ft  nếu (i) X là Ft - tương thích, (ii) E  X t    với mọi t [0,T ] , (iii) s  t , E  X t | Fs   X s (1.3) X là martingale trên nếu (iii) được thay bởi E  X t | Fs   X s , s  t (1.4) X là martingale dưới nếu (iii) được thay bởi E  X t | Fs   X s , s  t (1.5) Nói cách khác, dự báo tốt nhất cho giá trị tương lai của martingale là giá trị hiện tại của nó. Martingale biểu diễn các tình huống mà trong đó không có độ lệch hay xu hướng, mặc dù có thể có rất nhiều tính chất ngẫu nhiên. Trong thống kê ta có dữ liệu = dấu hiệu + nhiễu (data = signal + noise), martingale được sử dụng để mô hình thành phần nhiễu. Một ví dụ gần gũi của martingale là quá trình Weiner Wt . 1.3 Các hàm đặc trưng và các tham số đặc trưng 1.3.1 Các hàm đặc trưng Hàm đặc trưng của một biến ngẫu nhiên là một biến đổi Fourier của phân bố của nó. Nhiều tính chất xác suất của các biến ngẫu nhiên dựa vào các tính chất giải tích của các hàm đặc trưng, khiến cho khái niệm này rất hữu ích trong việc nghiên cứu các biến ngẫu nhiên. 10
Định nghĩa 1.11 (Hàm đặc trưng) Hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên X là hàm  X :  d   xác định bởi  X  t   E  eitX   E cos  tX   iE sin  tX  (1.6) Cho FX là hàm phân bố xác suất của X . Khi đó   X  t   E  eitX    eitx dF  x  (1.7)  do đó  là một biến đổi Fourier của F , nhưng không nhân với hằng số như  1/ 2  2  như thường được dùng trong phân tích Fourier. Hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên xác định phân phối xác suất: hai biến với cùng hàm đặc trưng là có cùng phân phối. Một hàm đặc trưng thì luôn luôn liên tục và thỏa mãn  X  0   1 ,  X  t   1,  aX  b  t   e itb  X  at  . Định lý 1.12 Nếu  X là khả tích thì X có hàm mật độ được cho bởi 1  f X  x   eiux X  u  du . 2  Ví dụ 1.13 ( Hàm đặc trưng Gauss) Đối với phân bố chuẩn N   ,  2  , ta có thể định nghĩa hàm mật độ xác suất và hàm đặc trưng như sau: 2 1  x  1 1  2 i z   2 z 2 f  x  e 2 , X  z  e 2 (1.8)  2 Ví dụ 1.14 ( Hàm đặc trưng Poisson) Đối với phân bố Poisson P    , ta có thể định nghĩa hàm mật độ xác suất và hàm đặc trưng như sau: e  k    1 eiz  f k     X  k   , X z  e (1.9) k! 11
1.3.2 Các tham số đặc trưng Các tham số đặc trưng là những thông tin cô đọng phản ánh từng phần về biến ngẫu nhiên. Kỳ vọng toán (Expected Value) Giả sử biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận một trong các giá trị có thể có x1 , x2 ,..., xn với các xác suất tương ứng p1 , p2 ,..., pn . Kỳ vọng toán của biến ngẫu nhiên rời rạc X ký hiệu là E  X  là tổng các tích giữa các giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên với các xác suất tương ứng: n E  X    xi pi . (1.10) i 1 Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ xác suất f  x  thì kỳ vọng toán E  X  được xác định bằng biểu thức  EX    xf  x  dx . (1.11)  Kỳ vọng toán của biến ngẫu nhiên gần bằng giá trị trung bình (Mean) 1 n x  xi của các giá trị quan sát của biến ngẫu nhiên. Nó phản ánh giá trị trung n i 1 tâm của phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên. Các tính chất của kỳ vọng 1. Kỳ vọng toán của một hằng số bằng chính hằng số đó E  C   C . 2. Kỳ vọng toán của tích một hằng số với một biến ngẫu nhiên bằng tích của hằng số với kỳ vọng của biến ngẫu nhiên đó E  CX   CE  X  . 3. Kỳ vọng toán của tổng hai biến ngẫu nhiên bằng tổng các kỳ vọng toán thành phần E  X  Y   E  X   E Y  . 12
Phương sai (Variance) Phương sai của biến ngẫu nhiên X , ký hiệu là Var  X  là kỳ vọng toán của bình phương sai lệch của biến ngẫu nhiên so với kỳ vọng toán của nó 2 Var  X   E  X  E  X   . (1.12) Có thể thấy, phương sai chính là trung bình số học của bình phương các sai lệch giữa các giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên so với giá trị trung bình của các giá trị đó. Do đó nó phản ánh mức độ phân tán của các giá trị của biến ngẫu nhiên xung quanh giá trị trung bình của nó là kỳ vọng toán. Các tính chất của phương sai 1. Phương sai của hằng số bằng 0: Var  C   0 2. Phương sai của tích giữa một hằng số và một biến ngẫu nhiên: Var  CX   C 2Var  X  . 3. Phương sai của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập bằng tổng các phương sai thành phần: Var  X  Y   Var  X   Var Y  . Độ lệch chuẩn (Standard deviation – Std) Độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên X ký hiệu là  X , là căn bậc hai của phương sai  X  Var  X  , dùng để đánh giá mức độ phân tán của biến ngẫu nhiên theo đơn vị đo của nó. Hệ số bất đối xứng - Skewness Mức độ đối xứng của một phân phối có thể quan sát qua đồ thị của nó, song để đo lường mức độ bất đối xứng người ta dùng hệ số bất đối xứng 3 Skewness  (1.13) 3 13
3 trong đó 3  E  X  E  X   và  3 là lập phương của độ lệch chuẩn. Giá trị Skewness cho ta các kết luận sau - Nếu Skewness  0 thì phân phối là bất đối xứng và độ thị sẽ xuôi về bên trái nhiều hơn. - Nếu Skewness  0 thì phân phối là đối xứng. - Nếu Skewness  0 thì phân phối là bất đối xứng và đồ thị sẽ xuôi về bên phải nhiều hơn. Hệ số nhọn – Kurtosis Hệ số nhọn cho phép nhận xét về dạng của một phân phối và bổ sung thêm thông tin về phương sai. Phương sai của biến ngẫu nhiên có thể được xem là nhỏ, lớn, hay trung bình. Lúc đó đồ thị của phân phối sẽ rất tập trung, ít tập trung hay tập trung ở mức bình thường. Hệ số nhọn được xác định bằng công thức sau 4 Kurtosis  (1.14) 4 4 trong đó  4  E  X  E  X  và  4 là bình phương của phương sai. Khi phân phối xác suất được tập trung ở mức chuẩn thì Kurtosis  3 . Phân phối xác suất sẽ có độ thị càng nhọn nếu Kurtosis càng lớn hơn 3, và đồ thị sẽ càng bẹt nếu Kurtosis càng nhỏ hơn 3. 1.4 Chuyển động Brown 1.4.1 Phân bố chuẩn Phân bố chuẩn N   ,  2  là một trong nhưng phân bố xác suất quan trọng nhất. Như đã trình bày ở trên, hàm đặc trưng của phân bố chuẩn được cho bởi công thức sau: 14
1 i z   2 z 2  Normal  z ;  ,  2 e 2 (1.15) Và hàm mật độ xác suất như sau: 2 1  x  1  2 f Normal  x;  ,    e 2  (1.16)  2 Tính chất chuẩn theo định nghĩa là tính đối xứng quanh giá trị trung bình, có độ lệch (skewness) bằng 0 và độ nhọn (kurtosis) bằng 3. 1.4.2 Chuyển động Brown Chuyển động Brown là bản sao biến động từng phần – tức là – tại mỗi nơi mà ta làm việc với tiến trình theo thời gian – thì phân bố đều là chuẩn. Chuyển động Brown bắt đầu được mô tả lần đầu bởi nhà thực vật học Robert Brown vào năm 1828. Nó được giới thiệu lần đầu tiên đến giới tài chính bởi Louis Bachelier vào năm 1900, và được phát triển trong vật lý bởi Albert Einstein vào năm 1905. Chuyển động Brown lần đầu tiên được chứng minh bằng công thức toán học bởi Norbert Weiner vào năm 1923. Để ghi nhớ công sức của Weiner, chuyển động Brown cũng được gọi là quá trình Weiner. Định nghĩa 1.15 (Chuyển động Brown) Một quá trình ngẫu nhiên X   X t t 0 là chuyển động Brown chuẩn (một chiều) W trên không gian xác suất   , F,   nếu (i) X  0   0 hầu khắp nơi, (ii) X có số gia độc lập: X  t  u   X  t  là độc lập của   X  s  : s  t  với u  0 , (iii) X có số gia dừng: quy luật của X  t  u   X  t  chỉ phụ thuộc vào u , (iv) X có số gia Gauss: X  t  u   X  t  có phân bố chuẩn với trung bình 0 và phương sai u , tức là X  t  u   X  t   N  0, u  , 15
(v) X có các quỹ đạo liên tục: X  t  là hàm liên tục của t , tức là t  X  t ,   là liên tục theo t với mọi   . Lọc đối với chuyển động Brown Định nghĩa 1.16 Cho   , F,   là không gian xác suất trên đó xác định chuyển động Brown Wt , t  0 . Một lọc đối với chuyển động Brown là một tập hợp các  - đại số Ft , t  0 thỏa mãn: (i) (tính tích tụ thông tin) Với 0  s  t , mỗi tập trong Fs cũng nằm trong Ft . Nói cách khác, có ít nhất là những thông tin tại thời điểm sau Ft như là tại thời điểm Fs trước đó. (ii) (tính tương thích) Với mỗi t  0 , chuyển động Brown Wt tại thời điểm t là Ft đo được. Nói cách khác, thông tin tại thời gian t là đủ để ước lượng chuyển động Brown Wt tại thời điểm đó. (iii) (tính độc lập của các số gia tương lai) Với 0  t  u , số gia Wu  Wt là độc lập theo Ft . Nói cách khác, bất kỳ số gia nào của chuyển động Brown sau thời điểm t đều độc lập với thông tin sẵn có tại thời điểm t . Để hình dung rõ hơn về chuyển động Brown, ta xét ví dụ sau: Ví dụ Đồ thị quỹ đạo mẫu của chuyển động Brown chuẩn 16
Hình 1.1 Quỹ đạo mẫu của chuyển động Brown chuẩn Các tính chất của chuyển động Brown Định nghĩa 1.17 (Tính chất martingale) Chuyển động Brown là một martingale. E Wt | Fs   E Wt  Ws   Ws | Fs   E Wt  Ws | Fs   E Ws | Fs  (1.17)  E Wt  Ws   Ws  Ws Mệnh đề 1.18 (các tính chất của quỹ đạo) Chuyển động Brown có các quỹ đạo liên tục, tức là Wt là hàm liên tục của t . Tuy nhiên, các quỹ đạo của chuyển động Brown rất bất thường; chúng không khả vi tại bất cứ đâu. Các quỹ đạo của chuyển động Brown cũng biến thiên vô hạn, tức là biến thiên của chúng là vô hạn trên mỗi đoạn. Định nghĩa 1.19 (cân đối chuyển động Brown) Nếu Wt là một chuyển động Brown, với bất kỳ c  0 , 17
~ W t  cWt / c2 , t  0 (1.18) cũng là một chuyển động Brown. Định nghĩa 1.20 (Các martingale chuyển động Brown) Mỗi quá trình sau là một martingale liên tục theo lọc chuyển động Brown chuẩn: 1. X t  Wt 2. X t  Wt 2  t 1 Wt   2t 3. X t  e 2 1.5 Tích phân ngẫu nhiên (tích phân Itô) Tích phân ngẫu nhiên được đưa ra vào năm 1944 bởi K.Itô, do đó mang tên là t tích phân Itô. Tích phân này có công thức là  X t dYt trong đó quá trình ngẫu 0 nhiên X   X t , t  0  và Y  Yt , t  0  là hàm lấy tích phân và biến lấy tích phân. Vì ta sẽ lấy các quá trình biến tích phân có biến thiên vô hạn (không bị chặn) trên mọi đoạn (ví dụ chuyển động Brown, Yt  Wt ), tích phân ngẫu nhiên có thể khá khác so với các tích phân xác định thông thường. 1.5.1 Bổ đề Itô t Giả sử rằng b là tương thích và khả tích địa phương (  b  s  ds được định 0 nghĩa như tích phân ban đầu), và  là tương thích và đo được sao cho t    s  dW  s  được xác định như tích phân ngẫu nhiên. Khi đó 0 t t X  t   x0   b  s  ds     s  dW  s  (1.19) 0 0 xác định một quá trình ngẫu nhiên (hay quá trình Itô) X với X  0   x0 . Ta thường biểu diễn dưới dạng phương trình vi phân ngẫu nhiên dX t  b  t  dt    s  dWt , X  0   x0 (1.20) 18
Giả sử f :  2   là một hàm số, khả vi liên tục bậc một trong argument đầu tiên (ký hiệu thời gian) và bậc hai trong thành phần thứ hai (không gian): f  C1,2 . Vấn đề đặt ra là tìm hiểu ý nghĩa của vi phân ngẫu nhiên df  X t  của quá trình f  X t  và tìm nó. Định lý 1.21 (Bổ đề Itô) Nếu quá trình ngẫu nhiên X  t  có vi phân ngẫu nhiên được cho bởi dX t  b  t  dt    t  dWt , thì f  f  t , X t  có vi phân ngẫu nhiên f f 1 2 f df  dt  dX t  dX t dX t (1.21) t x 2 x 2 hay rút gọn thành biểu diễn theo dt và dWt  f f 1  2 f  f df    b   2 2  dt   dWt (1.22)  t x 2 x  x vì dWt dWt  dt và dtdt  0 . Hay với f  0, x0  là giá trị ban đầu của f t  f f 1 2 f 2  t f f  f  0, x0      b  2   dt    dWt (1.23) 0 t x 2 x 0 x   Mệnh đề 1.22 t  f f 1 2 f 2  E  f  t , X t    f  0, x0    E   b    dt (1.24) 0  t x 2 x 2  1.5.2 Chuyển động Brown hình học Giờ ta làm việc với cả chuyển động Brown và Bổ đề Itô, chúng ta sẽ trình bày một quá trình ngẫu nhiên rất quan trọng – chuyển động Brown hình học. Giả sử ta muốn mô hình hóa tiến trình theo thời gian của giá cổ phiếu S  t  . Xem xét việc làm thế nào mà S biến đổi trong khoảng thời gian nhỏ nào đó 19
từ thời điểm hiện tại t tới thời điểm t  dt trong thời gian gần. Ta viết dS  t  đối với sự thay đổi S  t  dt   S  t  trong S , hay lợi tức của S trong khoảng dS  t  này là . Để dễ cho phân tích kinh tế, ta sẽ chia lợi tức này thành hai S t  phần, một phần hệ thống và một phần ngẫu nhiên.Phần hệ thống có thể được mô hình bởi  dt trong đó  là tham số nào đó thể hiện tốc độ trung bình của lợi tức của cổ phiếu.Phần ngẫu nhiên có thể được mô hình bởi  dW  t  trong đó dW  t  biểu diễn phần nhiễu làm cho giá cổ phiếu biến động, và  là tham số thứ hai cho biết nhiễu ảnh hưởng thế nào (do đó  được gọi là độ biến động của cổ phiếu). Kết hợp lại ta có phương trình vi phân ngẫu nhiên dSt  St   dt   dWt  , S  0   0 (1.25) Phương trình vi phân này có nghiệm duy nhất  1 2     t  dWt St  S  0  e  2  (1.26) Giá tài sản S t có tốc độ trung bình tức thời của lợi tức   t  và độ biến động   t  . Cả tốc độ trung bình của lợi tức và độ biến động đều cho phép biến đổi theo thời gian và ngẫu nhiên. Ví dụ này bao gồm tất cả các mô hình dương của một quá trình giá tài sản luôn luôn dương, không có bước nhảy và có xu thế theo chuyển động Brown đơn giản. Mặc dù mô hình là mang xu thế chuyển động Brown, phân bố của S  t  không cần là dạng log – chuẩn vì   t  và   t  có thể biến đổi theo thời gian và ngẫu nhiên. Nếu  và  là hằng số, ta có mô hình chuyển động Brown hình học thông thường dS t  S t  dt   dWt  và phân bố của St là log – chuẩn 20