Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nhóm Lie và biểu diễn đối phụ hợp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Đoàn Công Thắng

--------------------------------

NHÓM LIE VÀ BIỂU DIỄN ĐỐI PHỤ HỢP

Chuyên ngành: Hình học và Tôpô

Mã số: 60 46 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS. LÊ ANH VŨ

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, chúng tôi xin chân thành cảm ơn chân thành đến Thầy Cô

Khoa Toán – Tin học Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tận

tình giảng dạy chúng tôi trong suốt khóa học vừa qua.

Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Lê Anh Vũ,

người thầy đã gợi mở hương nghiên cứu, hướng giải quyết vấn đề một cách

khoa học, đọc và chỉnh sửa tỉ mỉ cho luận văn của tôi.

Tôi xin gửi lời cám ơn đến quý thầy cô phòng sau đại học đã tạo mọi

điều kiện thuận lợi cho chúng tôi hoàn thành chương trình học.

Tôi xin chân thành cảm ơn NCS Dương Quang Hòa đã giúp đỡ tôi trong

quá trình học tập.

Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu, quý thầy cô, đồng nghiệp

Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai tỉnh Bến Tre đã tạo điều kiện thuận lợi

cho tôi đi học.

Cuối cùng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến gia đình tôi, bạn bè,

những người luôn động viên, chia sẻ và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học

tập và nghiên cứu.

Tp HCM, ngày 7 tháng 6 năm 2012

Đoàn Công Thắng

1.1.1. 1.1.2. 1.1.3. 1.1.4. 1.1.5. 1.1.6.

1.3.1. 1.3.2. 1.3.3. 1.3.4. 1.3.5.

1.4.

2.1 2.2

2.2.1 2.2.2

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN ....................................................................................................................... 2 BẢNG KÍ HIỆU ................................................................................................................... 4 MỞ ĐẦU ............................................................................................................................... 5 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .................................................................................... 7 1.1. Nhắc lại khái niệm cơ bản về đa tạp khả vi ........................................................... 7 Cấu trúc khả vi trên không gian tôpô ............................................................. 7 Các ví dụ ........................................................................................................ 8 Tích các đa tạp khả vi .................................................................................... 8 Ánh xạ khả vi ................................................................................................. 9 Không gian vectơ tiếp xúc với M tại một điểm ............................................. 9 Trường vectơ tiếp xúc của đa tạp khả vi ...................................................... 10 1.2. Nhắc lại khái niệm cơ bản về nhóm Lie .............................................................. 12 1.2.1 Định nghĩa và ví dụ ........................................................................................... 12 1.2.2 Nhóm Lie con. Đồng cấu và đẳng cấu nhóm Lie ............................................ 13 1.2.3 Nhóm Lie thương .............................................................................................. 15 1.3. Nhắc lại khái niệm cơ bản về đại số Lie .............................................................. 15 Định nghĩa .................................................................................................... 15 Các ví dụ ...................................................................................................... 16 Đồng cấu đại số Lie ..................................................................................... 17 Biểu diễn chính quy của đại số Lie .............................................................. 18 Đại số Lie giải được và đại số Lie lũy linh .................................................. 19 Sự liên hệ giữa nhóm Lie và đại số Lie ............................................................... 21 Đại số Lie tương ứng với một nhóm Lie đã cho .......................................... 21 1.4.1. 1.4.2. Nhóm Lie liên thông đơn liên tương ứng với đại số Lie ................................... 22 Ánh xạ mũ exponent .................................................................................... 22 1.4.3 Chương 2. BIỂU DIỄN NHÓM LIE .................................................................................. 24 Khái niệm cơ bản về biểu diễn............................................................................. 24 Biểu diễn phụ hợp và K-biểu diễn lớp MD-nhóm và MD-đại số ........................ 25 K-biểu diễn của một nhóm Lie .................................................................... 25 Các MD-nhóm và MD-đại số ...................................................................... 32 Nhắc lại phương pháp mô tả các K-quỹ đạo ........................................................ 33

2.3

Chương 3. MÔ TẢ K-QUỸ ĐẠO CỦA MỘT LỚP CON CÁC MD5-NHÓM LIÊN THÔNG ĐƠN LIÊN ............................................................................................................ 37 3.1 Lớp con các MD5-đại số có ideal dẫn xuất giao hoán 4 chiều .................................. 37 3.2 Bức tranh hình học các K-quỹ đạo của các MD5-nhóm liên thông đơn liên tương ứng với các MD5-đại số đã xét ........................................................................................ 41 KẾT LUẬN ......................................................................................................................... 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................................. 49

BẢNG KÍ HIỆU

Aut (V): nhóm các tự đẳng cấu trên không gian vectơ V.

C V∞ (

)

Aut G : nhóm các tự đẳng cấu tuyến tính trên G.  : trường số phức.

: không gian các hàm khả vi vô hạn lần trên đa tạp V.

End(V) : không gian các đồng cấu trên không gian vectơ V.

exp : ánh xạ mũ exp.

G* : không gian đối ngẫu của đại số Lie G. GL(n,R): nhóm tuyến tính tổng quát cấp n hệ số thực.

 : trường số thực.

eT G là không gian tiếp xúc của G tạo điểm đơn vị e.

FΩ : quỹ đạo Kirillove qua F.

Mat(n; R) : tập hợp các ma trận vuông cấp n hệ số thực.

MỞ ĐẦU

Một trong những bài toán cơ bản và quan trọng nhất của lý thuyết biểu

diễn chính là bài toán phân loại biểu diễn. Cụ thể là cho trước một nhóm Lie

G, hãy phân loại tất cả các biểu diễn unita bất khả quy của G (sai khác một

đẳng cấu).

Đối tượng quan trọng của lý thuyết biểu diễn chính là nhóm Lie và đại số

Lie. Vấn đề nghiên cứu và phân loại biểu diễn của nhóm Lie và đại số Lie là

một hướng nghiên cứu lớn trong Hình học – Tôpô và có rất nhiều ứng dụng

trong Vật lý, đặc biệt là vật lý lượng tử. Để giải quyết bài toán này, năm 1962,

A.A.Kirillove đã phát minh ra phương pháp quỹ đạo để nghiên cứu lý thuyết

biểu diễn nhóm Lie, phương pháp này cho phép ta nhận được tất cả các biểu

diễn unita bất khả quy của mỗi nhóm Lie liên thông, đơn liên, giải được từ

các K-quỹ đạo nguyên của nó.

Đóng vai trò then chốt trong phương pháp quỹ đạo Kirillove chính là các

K-quỹ đạo của biểu diễn đối phụ hợp (hay còn gọi là K-biểu diễn). Do đó,

việc mô tả các K-quỹ đạo của mỗi nhóm Lie, nhất là các nhóm Lie liên thông

giải được, có ý nghĩa quan trọng trong lý thuyết biểu diễn nhóm Lie.

Đó cũng là lý do chúng tôi chọn đề tài: “ Nhóm Lie và biểu diễn đối

phụ hợp”

Nội dung luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương nội dung và phần

kết luận. Cụ thể

Phần mở đầu: Nêu xuất xứ của vấn đề và lý do chọn đề tài .

Chương 1: Nều lại kiến thức cơ bản về đa tạp khả vi, nhóm Lie, đại số

Lie, các ví dụ minh họa về nhóm Lie, đại số Lie, sự liên hệ

giữa nhóm Lie và đại số Lie.

Chương 2 : Biểu diễn nhóm Lie

Chương 3: Mô tả các K-quỹ đạo của một lớp con các MD-5 nhóm liên

thông đơn liên.

Phần kết luận: Đưa ra những nhận xét và những vấn đề mở cần được

tiếp tục nghiên cứu.

Các ký hiệu được dùng trong bản luận văn này hoặc là các ký hiệu thông

dụng hoặc sẽ được giải thích khi dùng lần đầu (xem danh mục các ký hiệu).

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này chủ yếu đưa ra những cơ sở lý thuyết cho các kết quả

nghiên cứu ở các chương sau, trong đó giới thiệu đối tượng nghiên cứu chính

là nhóm Lie và đại số Lie.

1.1. Nhắc lại khái niệm cơ bản về đa tạp khả vi

1.1.1. Cấu trúc khả vi trên không gian tôpô

Định nghĩa 1.1.1 Cho M là không gian topo Hausdorff. Một bản đồ trên M là

)V ϕ , trong đó V là một mở của M,

ϕ → là phép đồng phôi từ V

một cặp (

/V của

n .

∈ x V

∈ x V ( )

ϕ ,

x ( )

1 x

(

,...,

lên tập mở

)V ϕ là một bản đồ trên M thì mỗi

∈ .

Nếu (

ix gọi là tọa độ địa phương của x

} )

Các số

∈ của M mà { }i

i I

i IV ∈ là phủ mở của M

Nếu có một họ các bản đồ { V ϕ ( , i i

} )

thì họ đó gọi là một atlat.

∈ của

i I

Định nghĩa 1.1.2 Cho M là không gian topo Hausdorff. Atlat { V ϕ ( , i i

ϕ , )

V ( 1

Vϕ , ), ( 2

≠

→

)

M gọi là atlat khả vi của M nếu với hai bản đồ tùy ý của atlat

V V  2

φ ϕ , 1

V 1

/ V 1

ϕ 2

V 2

/ V 2

− 1 ϕϕ 2 1

ϕ V V (  2

/ V 2

)

ϕ 1

( V V  1 2

mà thì ánh xạ là

ánh xạ khả vi.

Trên tập các atlat khả vi của không gian topo M ta cho một quan hệ hai ngôi.

{ U (

} )

ϕ , i

ϕ , j

{ V (

} )

∈ i I

∈ j J

A B là atlat khả vi của M. Quan hệ nàu là quan hệ tương đương.

Cho là hai atlat khả vi của M. Ta bảo A B nếu

Định nghĩa 1.1.3 Mỗi lớp tương đương của quan hệ tương đương xác định

như trên gọi là một cấu trúc khả vi trên M

} )

ϕ → ⊂  gọi là đa

Định nghĩa 1.1.4 Không gian topo Hausdorff M cùng với một cấu trúc khả

V i

∈ trong đó

i I

vi được xác định bởi một atlat { V ϕ ( , i i

tạp khả vi n chiều, dim M = n.

1.1.2. Các ví dụ

n cho atlat khả vi gồm một bản đồ

{ =  (

} )

n là một đa tạp khả vi n chiều. Cấu trúc khả vi này là cấu trúc khả vi chính

. Khi đó Ví dụ 1.1.1 Trên

n

n ϕ ϕ → ,

tắc trên



  xác

n cho atlat khả vi gồm một bản đồ { (

} ) ,

ϕ = ( )x

Ví dụ 1.1.2 Trên

định bởi . Khi đó  là một đa tạp khả vi một chiều.

} )

{ U ϕ ( , i i

∈ i I

N là một tập mở Ví dụ 1.1.3 Cho M là đa tạp khả vi với atlat

{ U N ϕ (  i

} )

U N  i

∈ i I

của M. Khi đó N là đa tạp khả vi với atlat . N còn gọi

( ,

)

là đa tạp mở con của M.

Mat n  là tập các ma trận vuông cấp n với hệ số thực. Có

( ,

Ví dụ 1.1.4 Gọi

2n phần tử. Do

Mat n  đến )

2n . Vì mỗi ma trận vuông có

ϕ :

Mat n ( ,

( ,

một song ánh từ

→ )

 biến

Mat n  như trên )

2n . Ánh xạ

đó cấu trúc khả vi trên

A det

ϕ− 1

GL n ( ,

Mat n ( ,

) \

(0)

( ,

)

là ánh xạ liên tục vì đó là ánh xạ đa thức. Do đó

= )



Mat n  . Vậy )

GL n  là đa tạp

)

là tập mở trong

Mat n  . ( ,

khả vi với cấu trúc khả vi trên

1.1.3. Tích các đa tạp khả vi

} )

{ U ϕ ( , i i

∈ i I

Định nghĩa 1.1.5 Cho đa tạp khả vi M với atlat và đa tạp khả

{ V ψ ( ,j j

}

∈ j J

× =

A B

. Trên không gian Hausdorff M ×N xét vi N với atlat khả vi

{ U V ϕ ψ ( , j j

∈ ∈ i I j J

} , )

→

x y

U (

)

V (

)

y ( ))

atlat khả vi thì M×N gọi là đa tạp tích của hai đa

× ϕ ψ j

U V i

× → j

ϕ i

× ψ j

ϕ ψ x ( ( ), j

biến ( , . tạp M và N. Trong đó

Nếu M là đa tạp khả vi m chiều, N là đa tạp khả vi n chiều thì M×N là đa tạp

khả vi m + n chiều

Ví dụ 1.1.5

m×  là đa tạp khả vi m+n chiều.

•

1S×

là đa tạp khả vi 2 chiều. • Hình trụ

là đa tạp khả vi 2 chiều. • Xuyến

1.1.4. Ánh xạ khả vi

Định nghĩa 1.1.6 Cho M và N lần lượt là những đa tạp khả vi m chiều và n

:f M N→ gọi là ánh xạ khả vi nếu f là ánh xạ liên tục và mọi

≠

− 1( U f V φ

)

fψ ϕ−

)

)U ϕ của M, bản đồ (

V ψ của N mà

chiều. Ánh xạ





(

))

thì ánh xạ bản đồ (

− ϕ U f V (

m vào

n là ánh xạ khả vi.

của từ tập mở

:f M N→ là ánh xạ khả vi và có ánh xạ ngược

N M

− → là khả vi thì f gọi là vi phôi. 1 :

Định nghĩa 1.1.7 Nếu ánh xạ

1.1.5. Không gian vectơ tiếp xúc với M tại một điểm

} )

{ U ϕ ( , i i

∈ i I

U (

Giả sử M là đa tạp khả vi n chiều với atlat khả vi . Giả sử

× 

iU ×  với tôpô tổng.



∈ i I

là hợp rời của các không gian tôpô

x v U ( , )

, ( ,

y w V )

x v ; ( , )

y w ( , )





∈ × i

∈ × j

)(

v x ( ))( )



= x ⇔  ϕ ϕ ϕ− 1 D (  i i

TM J=

Trong J ta cho quan hệ hai ngôi như sau: Với

 là một

∏ = ∏

→ ∏

TM M

(

)

Quan hệ trên là quan hệ tương đương. Không gian thương

= . x

J∈ thì lớp tương đương của nó lí hiệu là

không gian tôpô Hausdorff. Ta xác định ánh xạ

xv . Giả sử

v w TM∈ ,x x

x v w+ )

)

x w J∈ . Khí đó lớp của ( ,

sao Nếu ( , )x v

xv là lớp của ( , )x v ,

xw là lớp của ( ,

không cho

xv và

xw và ta kí hiệu là

v w+ x x

phụ thuộc vào cách chọn đại diện

TM∈

− 1

∈

= ∏

⊂

x M TM ,

x ( )

x ( ,

)

vα . Như vậy, mổi

Với mỗi số thực αvà với ta xác định x TMα ∈ là lớp tương đương của

xT M là không gian tiếp xúc của M tại x . Mỗi phần tử của

xT M gọi là vectơ

là một không gian vectơ. Ta nói

:f M

,M M là hai đa tạp khả vi và

M→ là ánh xạ

tiếp xúc của M tại x mà ta kí hiệu là X.

→

T f T M :

T M X

T f X ( )(

)

Định nghĩa 1.1.8 Cho



f x ( )

∀

→

[(

= ϕ : )]

ϕ :

 là ánh xạ khả vi. Khi đó

xT f X )(

xT f là ánh xạ tuyến

ϕ ( 

→

= ϕ : )

)

khả vi. Xét ánh xạ xác định bởi



f TM : ∗

f X ∗

TM X 2

ϕ ( 

với ( . Ánh tính và ta xác định ánh xạ

xạ f∗ gọi là ánh xạ tiếp xúc của f .

f M →  là ánh xạ khả vi, cấu trúc khả vi trên

n là cấu

→

Ví dụ 1.1.6 Cho



  được cho bởi công thức

f TM T ∗

)

(

( ),

( f x D f

)( )( ) x v

trúc khả vi chính tắc. Khi đó

x U∈ .

( f v ∗

iU ϕ là một bản đồ của M và

ϕ ϕ− 1 )( i 

∈

(

f x df v (

( ),

)),

trong đó (

df TM →  sao cho

∗=

T M x

. Ánh Như vậy, tồn tại ánh xạ

xạ df còn gọi là ánh xạ vi phân của f .

Tính chất của ánh xạ tiếp xúc

M M M ,

→

g f M :

M→

f M :

M g M

→ là hai ánh xạ khả vi. Khi đó

Mệnh đề 1.1.1 Cho là những đa tạp khả vi và



)

là ánh xạ

∗

g f 

g f ∗ 

→

f M :

g M :

. khả vi và (



 là hai ánh xạ

)

fg x )( )

f x g x ( ) ( )

Mệnh đề 1.1.2 Cho M là đa tạp khả vi,

T M∈ ( x

d fg v )(

(

)

f x dg v (

( )

)

(

df v d x ) ( ) x

là ánh xạ khả vi, với , ta có khả vi. Khi đó (

1.1.6. Trường vectơ tiếp xúc của đa tạp khả vi

Trường vectơ

:X M TM→ sao cho

∏ =

X id

Định nghĩa 1.1.9 Cho M là đa tạp khả vi. Ánh xạ khả vi

X x ( )

được gọi là trường vectơ tiếp xúc của M. Như vậy trường véctơ tiếp

T M∈ x

f C M∞∈

(

)

X f (

C M∞∈

(

)

 ta xác định

 )

X f (

x )( )

df X (

X f (

)

. Kí hiệu và xúc M đặt tương ứng mỗi x X∈ một vectơ

∞ X C M

(

C M (

)

X(M) tập các trường vectơ tiếp xúc M Định nghĩa 1.1.10 Với X ∈ X(M), theo công thức . Như vậy x M∈ thì .Trường

∞→

 thỏa :

vectơ có thể xem là ánh xạ

X fg (

)

fX g ( )

X f g (

)

1. X là ánh xạ tuyến tính,

. 2.

∏ =

Biểu diễn địa phương của trường vectơ

:X M TM→ có tính chất X id

)U ϕ là một bản đồ địa

U (

)

^ ϕ −∏ 1 :

Cho ánh xạ . Giả sử (

ϕ → ⊂  . Ta có

→ ×  là một bản đồ trên

TM . Giả

phương của M,

X Uϕ → 

(

)

(

)),

∈ x U

sử  / là ánh xạ duy nhất có tính chất

 x X x ϕ

 ϕ ϕ− 1 X  

. Khi đó X là trường vectơ khi và chỉ khi Xϕ là

ánh xạ khả vi.

X Uϕ →  được gọi là biểu diễn địa phương của

f C M∞∈

(

)

X trong bản đồ (

)U ϕ . Với

 , ta có

− 1 ϕ

X f (

− 1 ϕ )

(

)

df X x (

( ))

D f (

)(

)

(

x U

∈

 x X x ϕ

∏ =

f C M∞∈

(

)

Mệnh đề 1.1.3 Cho

:X M TM→ sao cho X id

Định nghĩa 1.1.11 Ánh xạ  /

 .Ánh xạ

) :

(

df X M →  là khả vi thì X là khả vi.

∞ D C M

(

C M (

)

. Nếu

∞→

 )

∀

D fg (

)

+ fD g D f g ) ,

( )

(

f g C M∞ ∈ ,

(

 . Khi đó có duy nhất X ∈ X(M), sao )

X f (

)

D f (

)

tuyến tính và thỏa Mệnh đề 1.1.4 Cho

cho .

∞ D C M

(

C M (

)

∞→

 thỏa mãn

−

D f (

)

,X Y ∈ X(M), xác định ánh xạ = X Y f ( ( )).

Y X f (

))

(

Cho

X Y f ](

)

D f (

)

Khi đó có duy nhất một trường vectơ trên M mà ta

kí hiệu là [X,Y] mà [ .

]X Y gọi là móc Lie của hai trường vectơ

,X Y

Định nghĩa 1.1.11 Trường vectơ [

1.2. Nhắc lại khái niệm cơ bản về nhóm Lie

1.2.1 Định nghĩa và ví dụ

Định nghĩa 1.2.1 Tập hợp G được gọi là l nhóm Lie (thực) nếu các điều kiện

sau thỏa mãn:

(i) G là một nhóm.

(ii) G là đa tạp thực khả vi.

(iii) Phép toán nhóm G x G → G , (x,y)  xy 1− khả vi.

Theo định lý Gleason-Montgomery-Zippin tồn tại duy nhất cấu trúc khả vi

lớp C ∞ trên G tương thích với cấu trúc nhóm và cấu trúc topô trên G tức là

biến G thành đa tạp vi phân lớp C ∞ . Do đó khi nghiên cứu nhóm Lie, ta

không quan tâm đến lớp khả vi, luôn có thể giả thiết là lớp C ∞ . Nhóm Lie G

được gọi là giao hoán nếu phép toán nhóm giao hoán. Chiều của nhóm Lie G

chính là chiều của đa tạp khả vi G.

,n +

n × →

x y

)

Ví dụ 1.2.1 ( ) là nhóm Aben đồng thời là đa tạp vi phân lớp C ∞ , n chiều

n  

 biến ( ,

y− x

là với cấu trúc khả vi chính tắc, hơn nữa ánh xạ

,n +

∈

(

= ) : {

(

i , ,

1,...,

n A ,

ánh xạ trơn. Vậy ( ) là nhóm Lie giao hoán n chiều.



GL n

a ) ij n

a ij

(

)

(

khả nghịch }, Ví dụ 1.2.2 Cho

nGL  ,.) là nhóm nhân không giao hoán. Khi đó ta chứng minh

nGL  là đa )

× →

A B

AB−

)

(

2n chiều và hơn nữa

(

nGL  × (

nGL  → ( )

nGL  biến )

tạp vi phân

là ánh xạ trơn.

(

)

nMat  là tập các ma trận vuông cấp n. Xét ánh xạ

Thật vậy, gọi

id Mat :

(

,...,

)

→ )

 biến



a ) ij n

a 11

a a , n 1

(

. Rõ ràng id là đồng

2n .

nMat  với )

n ≡ →

det :

(

phôi nên có thể đồng nhất

A det

)  

 biến

nMat

det A

. Biểu thức biểu diễn của Xét ánh xạ

n≤ nên khả vi

∗

− 1

⊂

≡

(

= ) det

(

)

Mat

(

)

(



  . Vì vậy

nGL  là đa tạp con mở của

GL n

)

(

nMat  , hơn nữa là đa tạp vi phân với cấu trúc khả vi cảm sinh từ cấu trúc

là một đa thức bậc lớp C ∞ . Ta có

(

)

(

)

2n chiều.

≡  . Do đó

nGL  là đa tạp vi phân

nMat

− 1

∀

≠

− ∈ 1

khả vi trên

(

) : det(

= ) det

.det

(

)



 . Vậy

∈ A B GL n

GL n

(

)

nGL  là một nhóm.

× →

→

Do đó

A B

AB−

(

)

(

)

(

)



 biến

GL n

Xét ánh xạ . Có thể xem đây

22n biến. Đây là ánh xạ khả vi. Tổng hợp những điều trên ta có

)

(

2n chiều.

nGL  là nhóm Lie

= ∈

− = 1

là ánh xạ gồm

O n

( ) : {

(

)



A GL n

là ma trận trực giao tức là . Nó Ví dụ 1.2.3

(

)

nGL  và là nhóm trực giao cấp n (tức là

det

1A = hoặc det

A = − ). Khi đó

( )O n là một nhóm Lie.

∗

∈

≠

là nhóm con của nhóm

Aff

= : {( , ) a b



  . Trên Aff ta định nghĩa

∈

Ví dụ 1.2.4 Cho

a b c d

)

(

ac ad ,

+ ∀ b ),

a b c d ( , )( ,

)

Aff

(

)

 . Khi đó

Aff với phép nhân vừa định nghĩa lập thành một nhóm không giao hoán, đồng

phép nhân như sau: ( , )( ,

(

)

Aff  cũng là một nhóm Lie.

thời

1.2.2 Nhóm Lie con. Đồng cấu và đẳng cấu nhóm Lie

Định nghĩa 1.2.2 Nhóm Lie con

Cho G là một nhóm Lie, H G⊂ . Ta gọi H là nhóm Lie con của nhóm Lie G

nếu:

• H là nhóm Lie con của nhóm (G, . ),

• H là đa tạp con của đa tạp G

∈ ∀ ∈ ∀ ∈ .

− x h x H x G h H

1. .

là nhóm con chuẩn tắc của G nếu Nhóm H G⊂ được gọi

Nhận xét 1.2.1 Mọi nhóm Lie con H của G đều là đóng trong G.

( )O n là nhóm Lie con của nhóm con của nhóm

)

nGL  . (

Ví dụ 1.2.5

Định nghĩa 1.2.3 Đồng cấu và đẳng cấu nhóm Lie

,G G là hai nhóm Lie, xét ánh xạ

G→ . Ta gọi f là đồng cấu

:f G 1

Cho

f là đồng cấu nhóm,

nhóm Lie nếu:

f là ánh xạ khả vi.

•

Đặc biệt nếu f là đẳng cấu nhóm và f là vi phôi trên đa tạp thì f là đẳng

cấu nhóm Lie

G→ là một đồng cấu nhóm Lie. Khi đó

:f G 1

Tính chất 1.2.1 Cho

1G .

Im f là nhóm con của nhóm Lie

• Kerf là nhóm con chuẩn tắc của

2G .

→

≠

•

= ϕ : { :

x ( )

+ ax b a

  

,.)G là một nhóm, hơn nữa G cũng là một nhóm Lie. Xét (

:f Aff → 

Ví dụ 1.2.6 Xét nhóm . Dễ thấy

a b ( , )



f a b ϕ= ( , ) : a b ,

biến . Ta chỉ ra rằng f là một đẳng cấu nhóm Lie.

f a b c d ( , )( ,

)

f ac ad ,

(

Trước tiên f là đẳng cấu nhóm vì f là song ánh và vì

b ϕ + )

ac ad b

( ,

)

•

= f a b f c d ϕ ϕ ϕ + ( , ).

.a b ,

ac ad b

c d ,

•

Vậy f là đồng cấu.

∗→ ×

   là ánh xạ đồng nhất. Vì vậy f

Ta có thể xem f như là ánh xạ Aff

là vi phôi.

)

(

)

∗→

 biến

∗ cùng với ánh xạ det :

nGL  và (

nGL

Ví dụ 1.2.7 Xét nhóm

2n biến). Khi đó det là một đồng cấu nhóm Lie. ( Kerf là

A det

(đa thức

tập những ma trận có định thức bằng 1)

1.2.3 Nhóm Lie thương

∈

Cho G là một nhóm Lie có số chiều n, H là một nhóm Lie con đóng của G có

G H /

= : {

gH g H

}

số chiều là k. Khi đó một lớp con không gian có cấu

trúc tự nhiên của một đa tạp có số chiều n-k sao cho ánh xạ chính tắc

p G G H→

là không gian phân thớ với thớ đồng phôi đến H. Nếu H là

/G H có cấu trúc của nhóm Lie.

nhóm Lie con đóng, chuẩn tắc thì

G→ là một đồng cấu nhóm Lie. Khi đó Kerf là

:f G 1

Định lý 1.2.1 Cho

f→ Im

1G và ta luôn có

f G Kerf / 1

biến nhóm Lie con đóng, chuẩn tắc của

f g ( )

là đẳng cấu và sơ đồ giao hoán sau đây:

1.3. Nhắc lại khái niệm cơ bản về đại số Lie

1.3.1. Định nghĩa

Giả sử K là một trường đặc số khác 2. Một đại số Lie G trên trường K

hay K-đại số Lie là một không gian vectơ trên trường K được bổ sung một

phép toán, kí hiệu là [. , .] (được gọi là móc Lie) có tính chất song tuyến tính,

x∀

,y,z

phản xứng và thoả mãn đồng nhất thức Jacobi:

∈G.

[[x,y],z] + [[y,z],x] + [[z,x],y] = 0 ,

Số chiều của đại số Lie G chính là số chiều của không gian vectơ G.

Cho G là một không gian hữu hạn chiều trên trường K. Giả sử số chiều

}

e ,..., n

e e 2, 1

≤

, 1 i

của G là n. Cấu trúc đại số Lie trên G có thể được cho bởi móc Lie của từng cặp vectơ thuộc cơ sở { đã chọn trước trên G như sau:

k c ij

e e , i

 

 ∑  =

= 1

≤ được gọi là các hằng số cấu trúc của đại số Lie G.

k ≤ ij , 1 i

Các hệ số

Khi trường K là trường số thực  thì G được gọi là đại số Lie thực. Nội dung của luận văn chỉ đề cập và nghiên cứu các đại số Lie thực nên nếu

không sợ nhầm lẫn thì ta vẫn dùng thuật ngữ đại số Lie để chỉ đại số Lie thực.

1.3.2. Các ví dụ

x y ≡ (tầm thường) hiển nhiên là ,

]

n với móc Lie [

Ví dụ 1.3.1 Không gian

một đại số Lie. Đại số Lie mà móc Lie tầm thường thì được gọi là đại số Lie

giao hoán.

3 với tích có hướng thông thường là một đại số Lie

Ví dụ 1.3.1 Không gian

−

,x y

)

(

,x y ∈ A , ta định nghĩa [

]

thực 3-chiều.

Ví dụ 1.3.1 Cho A là một đại số kết hợp trên trường K. Với mọi cặp , khi đó A trở thành một đại số Lie.

∀

∈

A B ,

− AB BA

;

A B Mat n K

( ,

)

Đại số Lie Mat(n,K) các ma trận vuông cấp n trên K là một đại số Lie với

]

. móc Lie [

Ví dụ 1.3.1 Xét đại số các toán tử tuyến tính End(V) trên K-không gian vectơ

,A B

A B B A

−



[

]

V. Khi đó, End(V) trở thành đại số Lie với móc Lie được xác định như sau:

:ϕ →A A được gọi là toán tử vi phân trên A nếu:

Ví dụ 1.3.1 Cho A là một đại số trên trường K. Toán tử tuyến tính

−

x y .

( ϕ

)

( ) x y .

( ϕ . x

)

(

) ( Der A

Der A là tập hợp tất cả các toán tử vi phân trên A . Khi đó

Der A sẽ

Kí hiệu

(

)

trở thành 1 đại số trên K với phép hợp thành là phép nhân ánh xạ.

−



]

[ ,ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ  1 1

Der A gọi là đại số Lie các toán tử vi phân trên .

(

)

trở thành một đại số Lie trên K với móc Lie được định nghĩa là:

1.3.3. Đồng cấu đại số Lie

Cho G1 và G2 là hai K-đại số Lie. Đồng cấu đại số Lie là ánh xạ K-

G sao cho ϕ bảo toàn móc Lie, tức là:

:ϕ →G 1

∀

([ ,

x y

])

ϕ ϕ [ ( ), x

( )]

x y ,

(

)1 ∈ G

tuyến tính

Một đồng cấu đại số Lie là đơn, toàn,song ánh thì gọi là đơn, toàn, đẳng

cấu đại số Lie

= ( ) : [ , ] a x x

Ví dụ 1.3.6 Xét G là một K-đại số Lie. Chọn a ∈ G tùy ý và cố định lại.

:ad →G G biến



∀ ∈

Der∈

G, a G .(Ta chỉ cần kiểm tra nó thỏa mãn đồng nhất thức Jacobi).

aad

Xét ánh xạ . Ta sẽ kiểm tra

a b c [ ,[ , ]]

c a b [[ , ], ]

a b c [[ , ], ]

= − [

ad c b ( ), ]

[

ad b c ( ), ]

b c ([ , ]) =

[

ad b c ( ), ]

( )]

b ad c [ , a

Thật vậy, a∀ ∈ G

aad Der∈

Vậy

G biến

ad a

( ) :

ad=

:ad

Der→G



Xét ánh xạ .Ta kiểm tra rằng ad là

đồng cấu đại số Lie (cần kiểm tra nó là ánh xạ tuyến tính đồng thời bảo toàn

móc Lie). Thật vậy

• ad là ánh xạ tuyến tính.

∈

G . Ta có

λµ∀ ,

,a b c ,

+ λ µ ( b

)

; 

adλ µ + a b

c ( )

+ λ µ [

b c , ]

a c [ , ]

b c [ , ]

+ λ µ a b

ad c ( ) a

ad a b

([ , ])

[

]

ad ad , a

= −

−

ad a b

c ([ , ])( )

a b c [[ , ], ]

b c a [[ , ], ]

c a b [[ , ], ]

a b c [ ,[ , ]]

b c a [ ,[ , ]]

• ad bảo toàn móc Lie tức là

−

[

c ]( )

c )( )

(

ad ad , a

)( ) c −

ad ad . b c a c ([ , ])

ad ad . a b b c ([ , ]) − +

= =

a a b c [ ,[ , ]] a b c [ ,[ , ]]

b b a c [ ,[ , ]] b c a [ ,[ , ]]

Vậy ad là đồng cấu đại số Lie

:ϕ G1 → End(V) (End(V) là đại số Lie các

Mỗi đồng cấu đại số Lie

toán tử tuyến tính trên không gian vectơ V) được gọi là biểu diễn tuyến tính

của G1 trong không gian vectơ V. Đôi khi người ta dùng thuật ngữ "biểu

diễn" thay cho thuật ngữ "biểu diễn tuyến tính".

Khi ϕ là một đơn cấu thì ϕ được gọi là biểu diễn khớp.

Định lý 1.1 (định lý Ado)

Mọi đại số Lie hữu hạn chiều đều có ít nhất một biểu diễn tuyến tính

khớp hữu hạn chiều.

= ∀ ∈

G là tâm của đại số Lie G

(

) : {

= ∈ x

x y [ ,

] 0,

}

1.3.4. Biểu diễn chính quy của đại số Lie

xad là toán tử trong

x y ,

;

Der G được xác định bởi:

(

)

[

]

xad y ( )

∀ ∈G. y

Cho G là đại số Lie. Với mỗi x ∈G, kí hiệu

xad là một ánh xạ tuyến tính từ →G G và ta thu được biểu diễn

Khi đó

→

End

(

)



Ker ad (

)

{ = ∈ x

} ≡ 0

tuyến tính của G trong chính G như sau:

Biểu diễn này được gọi là biểu diễn chính quy của G. Hạt nhân của biểu diễn chính là tâm của G. Biểu diễn ad được G này là / gọi là biểu diễn tuyến tính của G trong chính nó.

3=  với móc Lie là tích có hướng thông

Ví dụ 1.3.1 : Xét đại số Lie G

− b

0 −

 0  = −  b 

    

thường. Khi đó biểu diễn chính quy của G được cho bởi ma trận như sau:

Tâm của G là tầm thường, do đó biểu diễn ad ở đây là khớp. Nói cách

3=  với móc Lie là tích có hướng thông thường đẳng cấu

khác, đại số Lie G

với đại số Lie các ma trận thực phản xứng cấp 3.

1.3.5. Đại số Lie giải được và đại số Lie lũy linh

Cho G là một đại số Lie và M là một không gian con của G. Ta bảo

] ,M M M⊂ .

M là đại số con của G nếu [

] , M M⊂

∈

x y ,

∈ y M

M M ,

x y ,

∈ x y M ,

. Trong đó ký hiệu: Ta bảo M là ideal của G nếu [

[

]

{ [

}

{ [

}

. , [

Khi M là một ideal thì không gian thương G/M trở thành một đại số

Lie với móc Lie được định nghĩa một cách tự nhiên.

Cho G là K-đại số Lie. Đặt :

n-1]

1, G

n = [ G

1] , …, G

2 = [ G n-1, G 1, G2 = [ G1 , G ], ..., G n = [ G n-1 , G ] ( n ≥ 2 )

1 = [ G , G ] , G G G1 = [ G , G ] = G Mệnh đề1.3.1: (i) G k, G k là các ideal của G ( k = 1,2,3,………)

(ii) G ⊃ G1 ⊃ G 2 ⊃ …… ⊃ G n ⊃ ……

  

G ⊃ G1 ⊃ G 2 ⊃ …… ⊃ G n ⊃ ……

k.h

(iii) Nếu dim G < +∞ thì ∃ n∈ Ν sao cho:

= G ∞

k.h

G n = G n+1 = ……

= G ∞

G n = G n+1 = ……

∞ = {0}, G gọi là lũy linh nếu G∞ = {0}. Chỉ số n nhỏ nhất để các đẳng thức xảy ra được gọi là hạng của đại số

Đại số Lie G gọi là giải được nếu G

Lie giải được (tương ứng, lũy linh) G.

∈

≤ < ≤

T n K ( ,

)

) /

0,1

Ví dụ1.3.8:

a ij

Mat n K a ( , ij

(

)

{

} i n

∈

≤ ≤ ≤

(đại số các ma trận

) /

)

0,1

Mat n K a ( , ij

T n K 0( ,

a ij

)

{

} i n

(đại số các ma trận tam giác trên) là một đại số Lie giải được. (

tam giác trên mà các phần tử trên đường chéo chính bằng 0) là một đại số Lie

lũy linh.

Định lý 1.3.2 (Định lý Lie)

Cho ϕ là biểu diễn tuyến tính hữu hạn chiều của đại số Lie giải được G trong không gian vectơ V trên trường đóng đại số K. Khi đó ϕ tương

ϕ = ( ) x

T n K ( ,

∀ ∈G.

đương với biểu diễn tam giác trên, tức là

Hệ quả 1.3.1

Nếu G là đại số Lie giải được thì G 1=[ G , G ] là đại số Lie lũy

linh.

∈ G

Định lý 1.3.3 (Định lý Engel)

Đại số Lie G là lũy linh khi và chỉ khi với mọi là toán tử lũy

= ). 0

)

n ∈  sao cho (

xad

linh ( tức là tồn tại

1.4. Sự liên hệ giữa nhóm Lie và đại số Lie

1.4.1. Đại số Lie tương ứng với một nhóm Lie đã cho

eT G là không gian tiếp xúc của G

Cho G là một nhóm Lie. Ta ký hiệu

∀

X Y ,

− XY YX

X Y ,

∈ G

[

]

−

∀

∈

∀ ∈

tạo điểm đơn vị e G∈ . Không gian này thường được ký hiệu là G. Khi đó G trở thành một đại số Lie với móc Lie được xác định bởi toán tử như sau:

X Y ,

f C G∞

( X Yf

)

( Y Xf

)

(

)

[

] X Y f ,

Tức là: , trong đó

( C G∞

)

là đại số các hàm trơn trên G nhận giá trị thực.

Như vậy, mỗi nhóm G sẽ xác định duy nhất một đại số Lie G và G được

gọi là đại số Lie của (hay tương ứng với) G.

Ngoài cách định nghĩa trên, ta còn có thể xem đại số G như là đại số Lie

con các trường vectơ bất biến trái trên G. Cách xây dựng đại số G như sau: Gọi X(G) là đại số Lie các trường vectơ khả vi trên G. Khi đó

∀

−

∀ ∈

∈ X Y X G

f C G∞

( Y Xf

( X Yf

)

(

)

(

)

(X + Y)g = Xg + Yg , ∀g ∈ G

] X Y f ,

(λX)g = λXg , λ ∈ R , ∀g ∈ G [ )

Với mọi g ∈ G . Đặt Lg : G → G, x  gx là phép tịnh tiến trái theo g,

Rg: G → G, x  xg là phép tịnh tiến phải theo g, thì Lg và Rg là các

vi phôi trên G, đồng thời cảm sinh thành các ánh xạ Lg* : T(G) → T(G),

Rg* : T(G) → T(G) trên không gian tiếp xúc T(G) của G.

Trường vectơ X được gọi bất biến trái nếu Lg* (X) = X , ∀g ∈ G. Điều

này đồng nghĩa với biểu thức : Lg* (X)x = Xgx

Tương tự, trường vectơ X được gọi là bất biến phải nếu Rg* (X) = X ,

∀g ∈ G, tức là : Rg* (X)x = Xxg

Gọi G = { X ∈ X(G) / X là trường vectơ bất biến trái }, thì G là đại số

Lie con của X(G) và gọi là đại số Lie của nhóm Lie G, G ≅ Te(G) .

1.4.2. Nhóm Lie liên thông đơn liên tương ứng với đại số Lie

Mỗi nhóm Lie sẽ xác định một đại số Lie duy nhất. Ngược lại thì ta có

định lý sau:

Định lý 1.4.1:

~ liên thông đơn liên G

~ sao cho đại số Lie của G

Cho G là đại số Lie thực bất kì. Khi đó luôn tồn tại duy nhất nhóm Lie (i)

chính là G .

~ G

~ nhóm con chuẩn tắc rời rạc D của G

(ii) Nếu G là một nhóm Lie liên thông nhận G làm đại số Lie thì tồn tại

. sao cho G = D

Nhóm Lie G được gọi là giải được (tương ứng, lũy linh) nếu đại số Lie

G của nó là giải được (tương ứng, lũy linh).

1.4.3 Ánh xạ mũ exponent

Cho G là nhóm Lie, G = Lie(G) là đại số Lie của G .

Mệnh đề 1.4.1 :

Với mỗi X ∈ G , tồn tại duy nhất nhóm con { x(t) / t∈ R} ⊂ G sao cho :

(i) x(0) = eG .

x(t+s) = x(t).x(s) ; ∀ t,s∈ R.

(ii) (iii) x/(0) = X (= Xe)

và được gọi là nhóm con 1-tham số xác định trên G.

d.n

= x(1)∈ G, exp (tX)

= x(t)∈ G

Khi đó:

• exp (X)

• exp : G → G, X  exp(X)

Định lý 1.4.2: (về tính chất của ánh xạ exp)

Ánh xạ exp là vi phôi địa phương (i)

f (dong cau nhom Lie)  

→

(ii) Ánh xạ exp có tính tự nhiên :

exp

= f exp exp f 





→

 f

G2 G1

Nếu exp vi phôi (toàn cục) thì G gọi là nhóm exponential.

Hệ quả 1.4.1:

Có một song ánh giữa tập các biểu diễn tuyến tính hữu hạn chiều của

các các đại số Lie và các nhóm liên thông đơn liên.

Chương 2. BIỂU DIỄN NHÓM LIE

2.1 Khái niệm cơ bản về biểu diễn

Định nghĩa 2.1.1

ρ →

Một biểu diễn của một nhóm Lie G là một không gian vectơ cùng với một cấu

G GL V

(

)

xạ

Một biểu diễn của một đại số Lie G là một không gian vectơ cùng với một cấu xạ ρ →: G G l (V)

ρ=

Một cấu xạ giữa hai biểu diễn V,W của cùng một nhóm Lie G là một ánh xạ

:f V W→ giao hoán với tác động của G:

g ( )

g f ( )

. Tương tuyến tính

tự ta cũng có định nghĩa một cấu xạ của biểu diễn của một đại số Lie. A

(

)

GHom V W (tương ứng, HomG(V,W) ).

Không gian của tất cả G-cấu xạ (tương ứng, G – cấu xạ) giữa V và W được kí hiệu là

Định lý 2.1.1 (xem Kirillove định lý 4.3)

ρ →

Cho G là nhóm Lie (thực hoặc phức) với đại số Lie G

G GL V

(

)

→: G G l (V), và mỗi cấu xạ giữa các biểu diễn của G tự nó là cấu

ρ∗

xác định một biểu diễn 1. Mỗi biểu diễn

xạ giữa các biểu diễn của G.

2. Nếu G liên thông, đơn liên, thì tương ứng ρ ρ∗ cho ta một phép

)

tương đương giữa phạm trù các phép biểu diễn của G với phạm trù các

phép biểu diễn của G. Thực vậy, mỗi phép biểu diễn của G có thể GHom V W = nâng lên một cách duy nhất thành biểu diễn của G, và (

HomG(V,W) ).

2.2 Biểu diễn phụ hợp và K-biểu diễn lớp MD-nhóm và MD-đại số

:Ad G

Aut

2.2.1 K-biểu diễn của một nhóm Lie

→ G được định nghĩa như sau:

Ad g ( )

(

) : 1 *

L R − . g g

∀ ∈ G → G, g G

Cho G là một nhóm Lie tuỳ ý và G là đại số Lie của nó. Giả sử G tác động lên G bởi

gL (tương ứng

1gR − ) là phép tịnh tiến trái (tương ứng, phải) của

Trong đó

G− ∈ ). Tác động Ad còn gọi là biểu diễn 1g

G theo phần tử g G∈ (tương ứng,

phụ hợp của G trong G.

:K G

Aut

Ký hiệu G* là không gian đối ngẫu của đại số Lie G. Khi đó biểu diễn

→ G* của G lên G* theo cách sau đây:

− 1

> = <

K g F X

( )

F Ad g X (

)

∀ ∈ > ∀ ∈G, F∀ ∈G*, g G ,

,F X

Ad cảm sinh ra tác động

> , F ∈G*, X ∈G là giá trị của dạng tuyến tính F ∈G* tại trường vectơ (bất biến trái) X ∈G. Tác động K được gọi là K- biểu diễn hay biểu diễn đối phụ hợp của G trong G*. Mỗi quỹ đạo ứng với K- biểu diễn được gọi là K-quỹ đạo hay quỹ đạo Kirillov của G (trong G* ). Nếu G thể hiện như là đại số Lie các trường vectơ bất biến trái trên G, G* thể

Ở đây ta ký hiệu

hiện như là không gian các dạng bất biến trái trên G. Khi đó K-biểu diễn của

K g w R w g G w

∀ ∈ ∀ ∈ G *

(

)

* g

− 1

g G X ,

∀ ∈ ∀ ∈ G ,

nhóm G t/động lên G* nhờ phép tịnh tiến phải.

) ( K g w



R g

(

)

(

* ) R w

L g

(

)

− 1

R w X ,

, hay Thật vậy,

) K g w X

(

* g

( w Ad g

)

L g

( w R , g

) (

)

( w R , g

)

. ■

( G GL n

(

)

 , vì G mở trong

nMat  nên có thể đồng

≅

∀ ∈

∈ Γ

g G

Ta hãy xét ví dụ sau. Xét

(

)

(

)

(

)

) ≅  G

( T G T G Mat e g

Mat

( = v G GL n ,

(

)

( v X

)

) →





nhất . Khi đó mỗi trường vectơ

∈

= X A v X

A Mat

đều xem như hàm ma trân:

( v X

)

(

)

(

)  .

Mệnh đề 2.2.1 Mỗi trường vectơ bất biến trái trên G có dạng

∀ ∈ . Y G

R v Y A

−= v 1 Y AY

Hơn nữa,

∀ ∈ :

( ) = A v I

− 1

= L A XA

, với I là ma trận đơn vị. Khi đó X G Chứng minh Đặt

( v X

)

(

)

(

)

( ) v I

(

)

( v L X X

(

)

− 1

− 1 XY AY

(

)

(

)

)(

)

(

)

R v Y A

R Y

( R XY A Y

)

( v XY A

)

(

)

( v R X A Y

v − 1 Y AY

(

)

■ Hơn nữa, (

(

)

nMat  được đồng nhất với chính nó nhờ dạng song

X Y ,

TrXY

Không gian đối ngẫu của

(

)

→

Mat

 X

)

(

)

(



(

)

( Hom Mat 

tuyến tính (trên R):

) , X    .

(

X Y :

X Y ,

TrXY

Thật vậy, xét ( ) . :

 ( X Y

)

(

)



Với  . Khi đó ( ). là đồng cấu (trên  ) và dễ

thấy nó là 1 đơn cấu .Do đó cũng là đẳng cấu.

(

)

(

) nMat  với

nMat  , mỗi 1-dạng trên G lại là 1 hàm giá trị

w G Mat→

Khi đồng nhất

(

)

)  ,

( w X

ma trận .

∈

− 1,

B Mat

Mệnh đề 2.2.2:

( w X

)

(

)  .

( w X B

− 1

= R w w

Mỗi 1-dạng bất biến trái trên G có dạng

∀ ∈ . Y G

* Y

YBY

Hơn nữa,

∀ ∈ :

( ) = B w I

− 1

= B BX

, với I là ma trận đơn vị. Khi đó X G Chứng minh: : Đặt

( w X

)

( ) w I

(

)

(

)

(

)

(

)

( w L X X

(

)

− 1

− 1 BY X

− 1 YBY X

)

(

)

( w XY

)

(

)

( B XY

)

(

( X−

)

(

)

* R w Y B

R Y

)(

) (

)

w YBY

(

)

■ Hơn nữa (

Như vậy, trong VD này, mỗi K-quỹ đạo là 1 lớp các ma trận đồng dạng, còn

biểu diễn phụ hợp Ad và K-biểu diễn là tương đương theo nghĩa là làm cho biểu

−

1 |

đồ sau giao hoán:

Aw ∈ G chính là lớp {

} ∈ X G

AwΩ đi qua

XAXw

Hơn nữa, K-quỹ đạo – lớp các

ma trận đồng dạng (của A).

Bây giờ, giả sử G là nhóm Lie tùy ý. Nếu cần, ta có thể thay G bởi nhóm

(

)

(

)

GL n  đẳng cấu địa phương với G trong

GL n  . Bởi vì, theo định

con trong

lí Ado: “mỗi đại số Lie hữu hạn chiều đều có biểu diễn khớp hữu hạn chiều”,

(

) nMat  . Khi

tức là mỗi đại số Lie G đều có thể xem như là đại số Lie con của

đó nhóm Lie con tương ứng (sinh ra G ) đẳng cấu địa phương với nhóm Lie con

(

)

GL n  . ,

XAd

≅

→ ≅

− 1

Mat

(

)

(

)

(

)

(

)



XAX

id =

( ).

( K X

)

≅

→ ≅

Mat id = G

Mat

(

)(

)

(

)



( * R w X A

w − XAX

−

1 |

)  Hơn nữa, K-quỹ đạo

của

) = = K X w A Aw ∈ G chính là lớp {

} ∈ X G

( , AwΩ đi qua

XAXw

– lớp các

ma trận đồng dạng (của A)

Bây giờ, giả sử G là nhóm Lie tùy ý. Nếu cần, ta có thể thay G bởi nhóm

(

)

(

)

GL n  . Bởi vì, theo định

GL n  đẳng cấu địa phương với G trong

con trong

lí Ado: “mỗi đại số Lie hữu hạn chiều đều có biểu diễn khớp hữu hạn chiều”,

(

) nMat  . Khi

tức là mỗi đại số Lie G đều có thể xem như là đại số Lie con của

đó nhóm Lie con tương ứng (sinh ra G ) đẳng cấu địa phương với nhóm Lie con

(

)

GL n  . ,

⊥ =

= ∀ ∈

∈ X Mat

X Y ,

G ,V là không gian con của

của

(

)



( ) nMat 

{

}

⊥ ⊕ =

V Mat

: P Mat

Giả sử

(

)

(



) V→

⊥G . Khi đó, có thể đồng nhất

*G với V sao cho K-biểu diễn có dạng:

.Gọi : phép chiếu lên V theo phương sao cho

−

∀ ∈

= K g X P gXg

X V g G ,

∈

(

)

(

)1 ,

⊂

⊥∩ G G

Mat

{ } 0

(

)* =



V≅→

, bởi vậy , Thật vậy, rõ ràng

(

)

)1 K g X P gXg − =

(

G G :

∈

( GL n ,

)



nMat

1 * 0 1

0 * 0 0

  

     

  thì  

     

  

⊥

∈

⊂

Mat

Ví dụ 2.2.1: Nếu ,



nMat

* * 0 *

0 0 * 0

  

     

  

     

   

P Mat :

và

(

) V→

O G = Ω Ω là K-quỹ đạo của G trong

*G }, tức là

xóa các phần tử nằm trên hoặc phía trên đường chéo Khi đó

) { |

(

( O G

)

= G và G

*G , tôpô này nói chung

chính. Gọi

)O G tôpô thương của tôpô tự nhiên trên

(

cung cấp cho

không Hausdorff.

Bây giờ ta sẽ nghiên cứu các K-quỹ đạo của nhóm Lie trong K-biểu diễn. Chúng

ta sẽ chỉ ra rằng mỗi 1 quỹ đạo có một dạng cấp 2 đóng, không suy biến và G-

bất biến. Trước hết ta cần đến 1 số kết quả tổng quát về các dạng vi phân trên đa

M H G

tạp thuần nhất.

→ p G M g

Giả sử G-nhóm Lie, H-nhóm con đóng của G và là đa tạp thuần nhất

 là phép chiếu tự nhiên.

T M→G

các lớp kề phải của G theo H. Gọi

)

= ⇔ ∈  : đại số Lie của H, ie

( p X *

p * :

Dễ thấy Khi đó có

ker p =  . Do đó

HT M≅G

. Nhớ rằng G tác động thuần nhất lên M vào bên

∀ ∈

→

g G g M M H

 . Hg

≅→

phải bởi

g T M * : H

T M Hg

* g T M : Hg

* T M H

, . Và có

Nhờ các phép đẳng cấu này, có thể cho trường tenxơ trên M dưới dạng

(

)

G . Cụ thể là: mỗi trường tenxơ

Φ kiểu (

),k l trên M thì có hàm ϕ trên G giá trị trong

(

)

G cho bởi

hàm trên G với giá trị trong tenxơ đại số

= Φ

,...,

)(

(

)

ϕ ξ ξ η η ,..., k

− 1 η k

ξ * 1

ξ k *

− 1 η 1

(

)

(

)

(

⊥

∈

≅

;

(

)



( ) 

ξ ξ ,..., k

η η ,..., k

ϕ →

(

)

),k l

G tương ứng với 1 trường tenxơ kiểu (

G T l

Với .

)

k l

→

)

G

)

( ϕ hg ( ) k ρ h H : l ( GL→

( ) ( ρ ϕ h ( GL T l ) G .

là biểu diễn tự nhiên sinh bởi biểu diễn phụ hợp Mệnh đề 2.2.3: Hàm : trên M khi và chỉ khi ϕ thỏa mãn điều kiện sau: ) g ( ở đó

:Ad H Chứng minh: Chọn ϕ theo (5), ta phải chỉ ra sự hợp lí của công thức, không

∃

∀ ∈ '

g Hg h g ,

− 1

= Φ

,..;

,..

,..;

,..

HgΦ

Hhg

h g *

ξ * 1

− 1 η 1

h g *

ξ * 1

− 1 η 1

(

)

(

)

(

)

(

)

phụ thuộc vào g Hg∈ .

)

Thậtvậy: (

(

,..;

,..

ξ * 1

− 1 η 1

( ) k R h l

(

)

(

,...,

,..;

,..

( ϕ

)(

)

) g h

( ξ ξ η η ϕ 1

ξ * 1

− 1 η 1

(

)

(

,...,

( ) h

)(

(

)

ρ ϕ ξ ξ η η 1 k

k l

∀ ∈ ,

( ϕ

)

( ) ( ρ ϕ h

)

k l

. Vậy h H

⊥

≅ Λ

Nói riêng, các l-dạng vi phân trên M được cho bởi các hàm trên G với giá trị

(

)



(

)

(

)

( ϕ

)

( ) ( ρ ϕ h

)

R Φ tương

trong thỏa điều kiện

)k g l

g G

ϕ ∀ ∈ .

Mệnh đề 2.2.4: Nếu trường tenxơ Φ tương ứng với hàm ϕ thì (

, gR

M H G

ứng với hàm

⊥

Hệ quả 2.2.1 Các dạng vi phân G-bất biến trên tương ứng duy nhất

( Λ 

)

⊥

Gϕ :

với các phần tử H-bất biến trong .

( → Λ 

)

Thật vậy, theo mệnh đề , là hằng hàm nếu Φ là G-bất biến.

( ϕ

)

( ) ( ρ ϕ h

)

nói rằng phần tử giá trị của ϕ là H-bất biến Điều kiện

⊥

kϕ

Mệnh đề 2.2.5 Giả sử k-dạng bất biến Φ trên M tương ứng với dạng ngoài

( ∈ Λ 

)

,...,

,..,

. Khi đó vi phân dΦ tương ứng với dạng dϕ cho bởi

(

) − 1

( ϕ d

)

, X X i

  ,.., X X i

 

 

( ϕ+

)

1 + ∑ 1

⊥

,...,

,..,

(7)

(

) − 1

( ϕ d

)

 X i

( kϕ ∀ ∈ Λ 

)

( ϕ i

)

1 + ∑ 1

,..,

(

) − 1

, X X i

  ,.., X X i

 

 

( ϕ+

)

1 + ∑ 1

Chứng minh: , ta có

(

) G

ϕ= i

∀ ∈ X i

,...,

,..,

Vì ϕ là H-bất biến nên

( ϕ d

)

(

) − 1

, X X i

  ,.., X X i

 

 

( ϕ+

)

1 + ∑ 1

Do vậy .■

Ω là 1 k-quỹ đạo, F là điểm tùy ý thuộc Ω và

FG là nhóm con dừng của F.

Bây giờ ta quay trở lại xét các k-quỹ đạo của nhóm Lie trong k-biểu diễn. Giả sử

FG trùng với hạt nhân của

FG của

Mệnh đề2.2.2 Chứng minh rằng đại số Lie

)

[ F X Y

]

( FB X Y

∈

= ∀ ∈

ker

dạng song tuyến tính FB trên G cho bởi

( B X Y

)

{

} G

B F

exp

∀ t

Chứng minh Theo định nghĩa

∈ ⇔ G F

∈ tX G F

⇔

= ⇔

exp

= ∀ 0, t

(

) tX F F

(

) tX F

d dt

= −

L F Y

exp

Mặt khác: .

(

) tX F

( B X Y

)

[ F X Y

]

F L Y , X

d dt

∈ ⇔ ∈

ker

Mà .

B F

=G F

Vậy hay .■

(

)

FB X Y chỉ phụ thộc vào ảnh của X, Y trong k/g thương

FG G ,

Vì rằng

FG G mà ta

ker

chúng ta nhận được một dạng song tuyến tính phản đối xứng trên

FB = nên dạng  FB là không suy biến.

kí hiệu là  FB , rõ ràng

⊥

≅ Λ

G G

(

)

FG -bất biến trong

(

) G

(

)

Ta nhận thấy rằng  FB là

⊥G .

2ρ là lũy thừa ngoài bậc 2 của biểu diễn bởi Ad của

FG trong

Thât vậy gọi

(

)  )   B Ad g X Ad g Y

(

( F Ad g X Y

)[

]

ρ 2

( )    g B X Y F

)

(

)

− 1

∀ ∈

∀

X Y ,

∈ G .

[ F X Y

]

g G F

( K g

)

(    B X Y

)

 B

∀ ∈ , hay  FB là ,

(

)  g B

g G F

ρ 2

FG -bất biến.

Ω =

Ta có:

\FG G

Từ mệnh đề 2.2.6 và hệ quả 2.2.1 suy ra trên tồn tại 2-dạng G-

BΩ không suy biến tương ứng với phần tử

FG -bất biến  FB trong

⊥

) Λ G .

(

bất biến

BΩ của ta không phụ thuộc vào cách chọn F.

Phép dựng

B Ω

Ω= B :

Kí hiệu lại lại:

Bây giờ chúng ta kiểm tra tính đóng của BΩ . Lấy vi phân của BΩ theo

[

] X Y Z

[ ] Y Z X

[

] Z X Y

dB Ω

B F

(

)

(

)

(

)

 

 

1 3

công thức (7) trong BT5, ta đi tới biểu thức

] X Y Z

[

] Z X Y

[  

 

[ ]  Y Z X 

 

1 3

(theo đồng nhất thức Jacobi).

Tóm lại, chúng ta đã chứng tỏ được:

Định lí 2.2.1: Trên mỗi quỹ đạo Ω của nhóm Lie trong K-biểu diễn của nó tồn

tại một dạng vi phân cấp hai G-bất biến, không suy biến BΩ xác định bởi công

)(

)

[ F X Y

]

( B F Ω

ξ ξ F Y

thức

Hệ quả trực quan hình học của định lí này là “Mọi G-quỹ đạo trong k-biểu diễn

đều có số chiều chẵn”.

2.2.2 Các MD-nhóm và MD-đại số

Giả sử G là một nhóm Lie thực giải được, G là đại số Lie của G và G*

là không gian đối ngẫu của G.

Nhóm G được gọi là có tính chất MD hay là MD-nhóm nếu các K-quỹ

đạo của nó hoặc là không chiều hoặc là có số chiều cực đại. Trường hợp số

chiều cực đại đúng bằng số chiều của nhóm thì nhóm G được gọi là có tính

chất MD hay còn gọi là MD -nhóm. Đại số Lie thực giải được G ứng với MD- nhóm (tương ứng, MD -nhóm) được gọi là MD-đại số (tương ứng, MD -đại

số).

Thuật ngữ MD-nhóm, MD-đại số, MD -nhóm, MD -đại số được dùng

MD -đại số đã được Vương Mạnh Sơn và Hồ Hữu Việt xem xét năm 1982. Hồ

đầu tiên bởi Đỗ Ngọc Diệp năm 1980. Ngay sau đó lớp các MD-đại số và

Hữu Việt đã phân loại triệt để lớp MD -đại số: các MD -đại số không giao

hoán là và chỉ là các đại số Lie của các nhóm biến đổi affine của đường thẳng

thực hoặc phức (xem [So-Vi, Théorème 1]). Vương Mạnh Sơn đã đưa ra một

điều kiện cần để một đại số Lie thực giải được là MD-đại số.

Mệnh đề 2.2.7 :

Giả sử G là một MD-đại số. Khi đó G2 = [[G, G], [G, G]] là

một đại số con giao hoán trong G .

2.3 Nhắc lại phương pháp mô tả các K-quỹ đạo

Nhắc lại khái niệm K-quỹ đạo của nhóm Lie

Cho G là nhóm Lie có đại số Lie G và G* là không gian đối ngẫu của

>=<

> ∀ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈

−

F Ad ,

g G X ,

G *

K F X )

(

FΩ của G qua F được xác

G thì K-biểu diễn của G trong G được cho bởi:

Khi đó, ứng với mỗi F trong G* , K-quỹ đạo

∈

Ω = F

(

)

{

} gK F g G /

định bởi:

Đối với mỗi nhóm Lie G, chúng ta quan tâm đến bài toán mô tả các K-

FΩ của G, với mỗi F ∈G* . Vì rằng, khi nghiên cứu về nhóm Lie thì thường thông tin chúng ta thu được rất ít và khó nghiên cứu do luật nhóm của

quỹ đạo

G chưa được cho một cách tường minh. Lý thuyết biểu diễn cho phép ta

chuyển từ nghiên cứu nhóm Lie sang nghiên cứu đại số Lie thông qua một

công cụ là ánh xạ mũ exp.

Ký hiệu expG : G → G là ánh xạ mũ của G và exp: EndRG → AutRG

là ánh xạ mũ của nhóm Lie AutRG_các tự đẳng cấu  -tuyến tính của G.

Nhắc lại rằng vi phân Ad∗ = ad : G → EndRG của biểu diễn phụ hợp

∀

)

[U,X], U,X

Uad X = (

∈G.

của G trong G được xác định bởi công thức:

Tính tự nhiên của ánh xạ mũ được thể hiện bởi hình chữ nhật giao hoán

→ AutRG

exp

expG

→ EndRG

Tức là ta có đẳng thức: Ad.expG = exp.ad

>=<

, exp(

F X , U

ad X ) U

> ∀ ∈G. , X

Với mỗi U ∈G, mỗi F ∈G* , ta xác định phần tử FU trong G* như sau:

Bổ đề 2.3.1

FΩ là K-quỹ đạo của G qua F thì ta luôn có bao hàm thức

FΩ ⊃ {

/UF U ∈G} (2.1.2)

Nếu gọi

Hơn nữa nếu expG là toàn ánh thì đẳng thức xảy ra

− ∈ . Khi đó ta có: ) U G

Chứng minh:

exp ( G

> = <

F Ad ,

U X ))

,exp(ad ) U

− 1

> = <

UF X ,

= <

F Ad g X (

)

K g F X ( )

(exp ( G > ∀ ∈ G , X

Với mỗi U ∈ G , đặt

F ∈ Ω (theo công thức 2.1.1)

K g F ( )

Do đó, và U

FΩ ⊃ {

/UF U ∈G}.

Tức là

Nếu giả thiết thêm expG là toàn ánh thì khi đó với mỗi g G∈ , luôn tồn

g − =

( exp U

)

0U ∈ G để

− 1

> = <

K g F X

( )

F Ad g X (

)

F Ad ,

> = <

= <

,exp(ad )

> U X )) (exp ( 0 G > ∀ ∈ G X ,

F X , U

. Khi đó ta có: tại

K g F ( )

FΩ ⊂ {

/UF U ∈G}.

và Do đó

FΩ = {

/UF U ∈G}. ■

Nghĩa là ta có đẳng thức:

/UF U ∈G} là

)

Ω G . Như thế, bao hàm thức 2.1.2 có thể được viết là:

F (

Ω

(

)

, F

⊂ Ω ∀ ∈ F

Để tiện cho việc sử dụng trong phần sau, ta sẽ ký hiệu tập {

Một điều kiện đủ để đẳng thức trên xảy ra là ánh xạ expG là toàn ánh.

Ω

⊂ Ω

(

)

Thực ra trong nhiều trường hợp thì có một điều kiện yếu hơn tính toàn

. Cụ thể ta có khẳng định ánh của expG cũng đủ để có đẳng thức

dưới đây:

Bổ đề 2.3.2

FΩ (G), F ∈G* lập thành một phân

'F∀ ∈G* đều cùng mở hoặc cùng đóng (tương

Giả sử G liên thông. Nếu họ các

'FΩ (G),

hoạch của G* và mọi

FΩ , F ∈G*. Khi đó:

FΩ (G)

F= Ω , F∀ ∈G*.

đối) trong

Chứng minh:

Ω

(

≠ ΩG )

FΩ cũng liên thông (trong G*). Chú rằng, các K-quỹ đạo lập thành một phân hoạch trong G* . Giả thiết rằng . Khi đó tồn tại họ { }i i IF ∈ các phiếm hàm trong G* có F ∈G* để

Vì G liên thông nên mỗi K-quỹ đạo

G . Vì hợp này gồm

(

)

F i

Ω = Ω

i I∈

chứa F và có nhiều hơn một phần tử sao cho

FΩ nên không thể

các tập cùng mở (hoặc cùng đóng) khác ∅ rời nhau trong

FΩ (G)

F= Ω , F∀ ∈G*.

liên thông. Mâu thuẩn này chứng tỏ

Mệnh đề 2.3.1

Giả sử G là nhóm Lie thực giải được, đơn liên, hữu hạn chiều và G là

đại số Lie của nó. Khi đó các khẳng định sau đây tương đương:

(i) Ánh xạ expG : G → G là vi phôi giải tích (hay G là nhóm

exponential).

X∀ ∈G,

Xad không có giá trị riêng (trong  ) thuần ảo nào.

(ii)

Hệ quả 2.3.1

Nếu G là nhóm Lie thực giải được, liên thông hữu hạn chiều với đại số

Lie G của nó có tính chất (ii) trong mệnh đề 2.3 thì ánh xạ mũ

expG : G → G là toàn ánh.

Chương 3. MÔ TẢ K-QUỸ ĐẠO CỦA MỘT LỚP CON CÁC MD5-

NHÓM LIÊN THÔNG ĐƠN LIÊN

3.1 Lớp con các MD5-đại số có ideal dẫn xuất giao hoán 4 chiều

5R≡

(

)

Từ đây về sau, G luôn là ký hiệu để chỉ nhóm Lie liên thông 5 chiều và

5R≡

. Ta chọn trước một cơ sở

(

)

(

X X X X X với cơ sở

G là đại số Lie của G. Lúc đó với tư cách là một không gian vectơ 5 chiều, X X X X X cố định trong G. Không , và có cơ sở

* 2

X X X X X trong G. , Đối với các MD5-đại số có ideal dẫn xuất giao hoán 4 chiều, ta có định lí

G gian đối ngẫu của G được ký hiệu là G* . Và ta cũng có G* đối ngẫu tương ứng , ,

phân loại sau:

G, G

Định lý 3.1.1

≅ 

[

]

Cho G là một MD5-đại số và (đại số Lie giao hoán 4

chiều):

• Nếu G khả phân thì nó có dạng G = h R⊕ , ở đó h là một MD4-

đại số.

>≅

(

)

X X X X X trong G sao cho

• Nếu G bất khả phân thì ta luôn có thể chọn được một cơ sở thích

X X X X , 3

≅

, hợp

( End G

∈Xad

Mat 4(

và G đẳng cấu với một và chỉ một

=G G

trong các đại số Lie dưới đây:

5,4,1(

)

λ λ λ 3 2

∈

≠

;

} { \ 0,1 ,



Xad

λ λ λ 2 3

λ λ λ λ ≠ . 1

0 λ 2 0

0 λ 3 0

λ  1  0    

     

G = G

5,4,2(

)λ λ , 1 2

0 0

∈

;

{ } \ 0,1 ,



Xad

λ λ , 1 2

λ λ ≠ 2

0 λ 2 0

1 0

0 1

λ  1  0    

     

G = G

5,4,3(

)λ

0 0 0 λ

0 0

∈

;

{ } \ 0,1 .



Xad

0 1 0

0 0 1

λ      

     

G = G

) ( 5,4,4 λ

0 0 0

0 1 0 0

∈

;

{ } \ 0,1 .



Xad

0 0 1 0

0 0 0 1

λ      

     

G = G 5,4,5

1 0 0 0

0 1 0 0

Xad

0 0 1 0

0 0 0 1

     

     

G = G

5,4,6(

)λ λ , 1 2

0 0

∈

;

{ } \ 0,1 ,



Xad

λ λ , 1 2

λ λ ≠ 2

0 λ 2 0

1 1

0 1

λ  1  0    

     

G = G

) ( 5,3,7 λ

0 0 0 λ

0 0

∈

;

{ } \ 0,1 .



Xad

0 1 1

0 0 1

λ      

     

G = G

5,4,8(

)λ

1 0 0 λ

0 0

∈

;

{ } \ 0,1 .



Xad

0 1 1

0 0 1

λ      

     

G = G

5,4,9(

)λ

0 0 0

0 1 1 0

∈

;

{ } \ 0,1 .



Xad

0 0 1 1

0 0 0 1

λ      

     

G = G

5,4,10

1 1 0 0

0 1 1 0

Xad

0 0 1 1

0 0 0 1

     

     

G = G

10)

( ) ,λ λ ϕ 5,4,11 2 1

−

cos

sin

ϕ ϕ

sin

cos

∈

≠

;

{ } \ 0 ,

) λ λ ϕ π ,

(



Xad

λ λ , 1 2

0 λ 1 0

0 λ 2

     

     

11)

G = G

5,4,12

( ) ,λϕ

−

cos

sin

cos

∈

;

{ } \ 0 ,

( ) ϕ π



Xad

0 λ

     

    0  λ 

G = G

12)

( ) ,λϕ 5,4,13

−

cos

sin

cos

∈

;

{ } \ 0 ,

( ) ϕ π



Xad

0 λ

     

    1  λ 

G = G

13)

( ) ,λµϕ 5,4,13

−

cos

sin

cos

∈

;

λ µ ,

) µ ϕ π

(



Xad

µ λ

     

  0 0  − λ µ  

14)

Nhắc lại rằng, một đại số Lie thực G xác định duy nhất một nhóm Lie

liên thông đơn liên G sao cho Lie(G) = G . Do đó ta cũng có lớp gồm 14 họ

MD5-nhóm liên thông đơn liên tương ứng với các MD5-đại số được liệt kê

G G λ λ λ 5,4,1( ,

)

=G G

là MD5-nhóm liên thông đơn liên trong định lý 2.5. Ví dụ,

5,4,1(

)

λ λ λ 2 3

tương ứng với MD5-đại số . Các họ MD5-nhóm này đều bất

khả phân.

3.2 Bức tranh hình học các K-quỹ đạo của các MD5-nhóm liên thông đơn

liên tương ứng với các MD5-đại số đã xét

G λ λ λ ,

G λ λ ,

G λ ,

5,4,1(

)

5,4,2(

)

5,4,3(

)

5,4,4G λ , (

)

Gọi G là một trong các nhóm Lie

{ } \ 0,1

G λ λ ,

G λ ,

5,4,5G ,

5,4,6(

)

5,4,8(

)

5,4,9(

)

5,4,10G

λ λ λ λ ∈  , 2

5,4,7G λ , (

)

, ;

{ } \ 0 ,

( ) 0;ϕ π∈

λ λ λ ∈  ,

λµϕ ,

5,4,14(

)

5,4,11(

5,4,12

( ) λϕ ,

λϕ , ( ) 5,4,13

λ λ ϕ ) 2

λ µ ,

;

) ( 0;ϕ π∈

> µ∈ ,

a b c d f ,

)

(

)

α β γ δ σ trong cơ sở đối

và G là đại số Lie tương ứng của G. Gọi G* là không trong

(

)

gian đối ngẫu của đại số Lie G của G. Mỗi X ∈G có toạ độ ( , cơ sở

X X X X X , mỗi F ∈G* có toạ độ ( X X X X X của , (

X X X X X . ,

* 2

FΩ là K-quỹ đạo của G trong

ngẫu

G* chứa F.

Mệnh đề 3.2.1

G G λ λ λ 5,4,1( ,

)

FΩ chứa F của nhóm

σδγβ

(

}0,0,0,0,αF { )

được mô tả như sau: K-quỹ đạo

F =Ω

≠

σδγβ

)

( { xF

,0,0,0,

σ s .

(i) Nếu thì : quỹ đạo 0_chiều.

=Ω F

γβ

{ ( xF

) t :0,,0,0,

δ . t

≠ σδ ,0

thì : nửa mặt phẳng 2_chiều. (ii) Nếu

=Ω F

≠

= γβ

= σδ

{ ( xF

,0,

) :0,0,

γ .

thì : nửa mặt phẳng 2_chiều. (iii) Nếu

=Ω F

≠

= σδγβ

( { yxF ,

) :0,0,0,

β .

(iv) Nếu thì : nửa mặt phẳng 2_chiều.

=Ω F

≠

γβ

≠ σδ ,0

thì : nửa mặt phẳng 2_chiều. (v) Nếu

)

( xF

st ,,0,0,

σ s . ;

=Ω F

thì (vi) Nếu

s σ

λ   

 δ  . 

   

   

≠

= γβ

= σδ ,0

: mặt trụ 2_chiều.

thì (vii) Nếu

)

( xF

,0,

σ s . ;

=Ω F

s σ

λ   

 γ  . 

   

   

γβ ≠

≠

σδ = ,0

: mặt trụ 2_chiều.

)

( yxF ,

,0,0,

σ s . ;

=Ω F

thì (viii) Nếu

s σ

λ   

 β  . 

   

   

γβ =

≠

σδ ≠ ,0

: mặt trụ 2_chiều.

λ λ

( xF

,0,

) tz :0,,

δ t . ;

=Ω F

thì (ix) Nếu

t δ

  

 γ  . 

    

    

γβ ≠

σδ ≠ ,0

: mặt trụ 2_chiều.

λ λ

( yxF ,

) t :0,,0,

δ t . ;

=Ω F

(x) Nếu thì

t δ

  

 β  . 

    

    

≠

≠ γβ

= σδ ,0

: mặt trụ 2_chiều.

λ λ

( zyxF , ,

) :0,0,

γ . ;

=Ω F

thì (xi) Nếu

z γ

  

  β . 

    

    

γβ =

≠

σδ ≠ ,0

: mặt trụ 2_chiều.

)

( xF

,0,

stz ,,

;

σ s . ;

=Ω F

thì (xii) Nếu

s σ

λ   

 δ  . 

 γ  

   

   

γβ ≠

≠

σδ ≠ ,0

: mặt trụ 2_chiều.

thì (xiii) Nếu

)

( yxF ,

st ,,0,

;

σ s . ;

=Ω F

s σ

λ   

 δ  . 

 β  

   

   

γβ ≠

≠

σδ = ,0

: mặt trụ 2_chiều.

)

( zyxF ,

,0,

;

σ s . ;

=Ω F

thì (xiv) Nếu

s σ

λ   

 β  

λ   

 γ  . 

   

   

γβ ≠

≠

σδ ≠ ,0

: mặt trụ 2_chiều.

λ λ

( tzyxF ,

) :0,,

;

δ t ; .

=Ω F

thì (xv) Nếu

t δ

  

 γ  . 

 β  

    

    

γβ ≠

≠

σδ ≠ ,0

: mặt trụ 2_chiều.

)

( stzyxF , ,,

;

σ s . ;

=Ω F

thì (xvi) Nếu

s σ

λ   

 γ  . 

λ   

 δ  . 

 β  

   

   

: mặt trụ 2_chiều.

Chứng minh:

[

, XX

Giả sử với mỗi X có toạ độ ( a; b; c; d; f )∈G, ta có:

3 , XX

5 , XX

1, XX

2 , XX

4 , XX

= a[ + b[ + c[ + d[ + f[ 

2 Xλ – d

3 Xλ – f

5X .

1 Xλ – c

[

, XX

= – b

1, XX

1 Xλ .

[

, XX

= a[ = a 

1, XX

2 Xλ .

[

, XX

= a[ = a 

3 Xλ .

1, XX

[

, XX

= a[ = a 

1, XX

= a[  = a 5X .

ad X

0 0 λ a 2

Xad là:

0 0 0 0

0 0 λλ − b 1 1 λ − c 2 λ − d 3 −

a 0 0 0

0 0

0 0 0 λ a 3 0

       

       

Suy ra ma trận của ánh xạ

3λa

Xad chỉ có giá trị riêng thực là 0,

1λa ,

2λa

λ a 1

)

( 1

0 λ a 1

λ a 2

)

( 1

λ a 2

)

(Ma trận , , a )

exp

( ad

λ a 3

)

( 1

λ a 3

( 1

)

           

           

1 − e a − e a − e a − a

Từ đó ta được:

λ a 3

λ a 1

λ a 2

( c 1.

( b 1.

)

( 1.

) γ

) δ

) σ

− e a

− a

λ a 1

λ a 2

e e λ a e 3 = e

y z t s

β . γ . δ . σ .

        

Do vậy, toạ độ FX∈G* như sau:

Nhận xét 3.2.1

Bằng tính toán và lập luận tương tự, ta hoàn toàn có thể mô tả bức tranh 

các K-quỹ đạo của các MD5-nhóm còn lại.

Rõ ràng việc phát biểu định lí trên là khá dài dòng. Do đó, đối với các 

MD5-nhóm còn lại, để cho gọn, ta chỉ dừng lại ở việc đưa ra tọa độ của

FX∈G*, mà từ đó ta có thể mô tả chi tiết bức tranh K-qũy đạo của các

MD5-nhóm còn lại.

Mệnh đề 3.2.2

G λλ ,

G λ ,

5,4,2(

)

5,4,3(

)

5,4,5G ,

5,4,4G λ , (

)

1 2

Giả sử G là một trong các nhóm lie

{ } \ 0,1

G λ λ ,

G λ ,

5,3,6(

)

5,4,8(

)

5,4,9(

)

5,4,10G

λ λ λ λ∈  1 3

5,3,7G λ , (

)

= = = β γ δ σ

= thì

; . Khi đó:

{ } F

Ω = F

2 + β γ δ σ

≠ thì

λ a 2

λ a β γ e . 1

e .

a δ σ , e . e . ,

, ,

x a

khi G = G

{ } \ 0,1

, (quỹ đạo 0_chiều). (i) Nếu

λ λ ∈  , 1 2

5,4,2

)

( λ λ , 2 1

∈

λ a β γ δ σ e . e . ,

λ a ,

e .

, ,

x a

khi G = G

{ } \ 0,1 .

•



)

( ) λ 5,4,3

∈

a β γ δ σ e . e .

λ a ,

e .

, ,

x a

khi G = G

{ } \ 0,1 .

•



5,4,4

)

( ) λ

a β γ δ σ e . e . ,

e .

, ,

x a

•

khi G = G . 5,4,5

)

λ a 2

∈

λ a β γ e . 1

e .

a δ δ , ae . e . ,

σ . e

, ,

x a

khi G = G

{ } \ 0,1 .

•



λ λ , 1 2

5,4,6

} ∈  }  }  } ∈  )

)

( λ λ , 2 1

∈

λ a β γ δ δ ae . e . ,

λ a ,

e .

σ . e

, ,

x a

khi G = G

} { \ 0,1 .

•



5,4,7

)

( ) λ

}  } 

λ a

∈

λ a β β ae . ,

e .

λ a γ δ δ , ae .

e .

σ e .

, ,

x a

khi G = G

{ } \ 0,1 .

•



5,4,8

)

( ) λ

} 

• (ii) Nếu { FΩ = ( { FΩ = ( { FΩ = ( { FΩ = ( { FΩ = ( { FΩ = ( { FΩ = (

FΩ =

∈

x a

λ a β γ γ ae , .

e .

a δ γ e . .

δ ae .

σ e .

, ,

khi G = G

{ } \ 0,1 .



5,4,9

( ) λ

2 a e 2

  

    

       

•

FΩ =

∈

x a

a β β ae e , . .

a γ β e , . .

γ ae .

a δ β e , . .

γ .

δ ae .

σ e .

, ,

khi G = G



5,4,10

2 a e 2

3 a e 6

2 a e 2

  

    

       

•

(quỹ đạo 2_chiều)

, G

Mệnh đề 3.2.3

5,4,12

( ) λϕ ,

λϕ , ( ) 5,4,13 ,

( ) λ λ ϕ 5,4,11 2 1

∗

∈

Cho G là một trong các nhóm Lie

( ) ϕ π ,

∗∈ 

λ λ λ 2

5,4,9

( ) λϕ ,

( ) λϕ , 5,4,13

( ) λ λ ϕ 5,4,11 2

∈

× ×

;

( ) ϕ π

. Bằng cách đồng nhất

) + iα β γ δ σ

∗∈ 

   và F với (

λ λ λ 2

= =

iβ γ δ σ

= thì

với , Ta được:

{ } F

Ω = F

2 2 + iβ γ δ σ

, (quỹ đạo 0_chiều). (i) Nếu

≠ thì

(ii) Nếu

−

ϕ i

a e .

∗

(

)

λ a 2

∈

x a

e .

λ a δ σ e , . 1

e .

, ,

khi G = G

( ) ϕ π

) + β γ i

(



λ λ , 1 2

( ) λ λ ϕ 5,4,11 2

•

)

}

FΩ = { (

−

ϕ i

. a e

∗

(

)

λ a

∈

e .

λ a δ σ , e . ,

e .

, ,

x a

khi G = G

) + β γ i

( ) ϕ π

(



5,4,12

( ) λϕ ,

•

)

}

−

ϕ i

. a e

∗

(

)

λ a

∈

, ,

khi G = G

. e

λ a δ δ , . . , ae e

σ . e

x a

) + β γ i

(

( ) ϕ π



( ) λϕ , 5,4,13

•

)

}

FΩ = { ( FΩ = { (

(quỹ đạo 2_chiều).

Hoàn toàn tương tự, ta có mệnh đề sau:

∈

, >0;

) µ ϕ π

(

∗∈ 

Mệnh đề 3.2.4

5,4,14

λµϕ λ µ , ( )

× ×

∗G

Cho G là nhóm Lie . Bằng cách

( ) α β γ δ σ ,i

   and F với

5,4,14

( ) ,λµϕ

∈

λ µ ,

đồng nhất với ,

) µ ϕ π

(



β γ δ σ

= +

= thì

Ta được:

{ } F

Ω = F

β γ δ σ

+ +

≠ thì

, (quỹ đạo 0_chiều). (i) Nếu

−

ϕ i

a e .

(

( ) λ µ − i .

e .

, ,

x a

(

) β γ + i

) ( ,

) δ σ + i

∈  , (quỹ đạo 2_chiều).

Ω = F

(ii) Nếu

)

{ (

}

Nhận xét 3.2.2

λϕ ,

5,4,11(

λ λ ϕ , ,

)

5,4,13(

)

5,4,12(

Ω

Nếu G không là một trong các nhóm 

(

) = ΩG

λµϕ thì G là nhóm exponential. Do đó

5,4,14(

)

λϕ ,

λµϕ

5,4,11(

λ λ ϕ , ,

)

5,4,13(

)

5,4,14(

)

5,4,12(

Ω

Nếu G là một trong các nhóm 

(

) = ΩG

nhờ vào bổ đề 2.3.2. thì ta vẫn có được đẳng thức

Nhờ bức tranh quỹ đạo, ta có ngay hệ quả sau đây:

Hệ quả 3.2.1

5,4,1(

)

5,4,2(

)λG 5,4,3(

5,4,5G ,

5,4,6(

5,4,4 λG ( )

λ λ λ 2 3

)λ λ , 1 2

, , , , , Các đại số Lie

)λG 5,4,8(

)λG 5,4,9(

5,4,12(

)λϕ ,

)λG 5,4,7(

5,4,10G ,

5,4,11(

5,4,13(

)λϕ ,

5,4,14(

λµϕ , )

λ λ ϕ ) 2

, , , , , ,

G λ λ λ ,

G λλ ,

G λ ,

5,4,1(

)

5,4,2(

)

5,4,3(

)

5,4,4G λ , (

)

1 2

đều là MD5-đại số. Do đó các nhóm Lie

G λ ,

λϕ ,

G λ ,

λϕ ,

G λ λ ,

λ λ ϕ ,

5,4,5G ,

5,4,9(

)

5,4,10G

5,3,6(

)

5,4,8(

)

5,4,13(

)

5,4,12(

5,4,11(

)

5,3,7G λ , (

)

λµϕ đều là MD5-nhóm.

5,4,14(

)

KẾT LUẬN

Qua những phần đã trình bày ở trên, chúng ta từng bước hiểu thêm về

lý thuyết biểu diễn, nhất là lý thuyết biểu diễn nhóm Lie và đại số Lie, với

trọng tâm là biểu diễn phụ hợp và biểu diễn đối phụ hợp – vốn có vau trò

trung tâm trong phương pháp quỹ đạo của Kirillove. Từ đó, chúng ta có một

sự vận dụng, ở chương 3, vào bài toán mô tả K- quỹ đạo của một lớp con các

MD5- nhóm liên thông đơn liên.

Do những hạn chế về nhiều mặt như trình độ, thời gian, … Luận văn

dừng lại trong khuôn khổ nhất định. Tác giả hy vọng tiếp tục nghiên cứu

những vấn đề về lý thuyết biểu diễn trong tương lai.

Sau cùng, mặc dù có nhiều cố gắng trong soạn thảo nhưng những sai

sót là không tránh khỏi, tác giả xin chân thành lắng nghe và cảm ơn các độc

giả đã, đang và sẽ đóng góp cho luận văn này.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt

[1]. Nguyễn Văn Đoành, Đa tạp khả vi, NXB Đại học Sư Phạm Hà Nội,

2006

[2]. Dương Quang Hòa, Các MD5-đại số với ideal dẫn xuất giao hoán 4

chiều và phân lá tạo bởi các K- quỹ đạo chiều cực đại của các MD5-

nhóm liên thông tương ứng, Luận văn thạc sĩ toán học, Trường Đại học Sư

phạm Thành phố Hồ Chí Minh, 2007

[3]. Dương Quang Hòa, Chuyên đề Phương pháp quỹ đạo của Kirillove,

2011.

[4]. Đào Văn Trà (1984), “Về một lớp các đại số Lie số chiều thấp”,

Tuyển tập các báo cáo tại Hội thảo Khoa học Viện Toán học Việt Nam lần

thứ 12 tại Hà Nội

[5]. Lê Anh Vũ (2006), Về một lớp con các MD5-đại số và phân lá tạo

bởi các K-quỹ đạo chiều cực đại của các MD5-nhóm tương ứng, Đề tài

nghiên cứu khoa học cấp Bộ, MS: B2005.23.70, Tp.HCM.

Tiếng Anh

[1]. Do Ngoc Diep, Method of Noncommutative Geometry for Group C*-

algebras, Chapman and Hall/ CRC Press Research Notes in Mathematics

Series, #416, 1999.

[2]. A. A. Kirillove , Elements of the Theory of Representations, Springer –

Verlag, Berlin – Heidenberg – New York, 1976.

[3] Karin Erdmann, Introduction to Lie Algebras

[4]. Le Anh Vu and Duong Quang Hoa, The Geometricaly Picture of K-orbits of Connected and Simply connected MD5-Groups such that thier MD5- algebras have 4-dimensional commutative derived Ideals, Scientific journal of University of Pedagogy of Ho Chi Minh city, N 0 12(46) (2007), 16-28.

[5]. VU, L.A; SHUM, K. P, Classification of 5-dimensional MD-algebra having commutative derived ideals, Advances in Algebra and Combinatorics, Singapore: World Scientific, 2008, 353-371. [6]. William C. Brown, Matrices over commutative rings, Marcel Dekker, Inc, 1993.

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nhóm Lie và biểu diễn đối phụ hợp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

NHÓM LIE VÀ BIỂU DIỄN ĐỐI PHỤ HỢP

1 = [ G , G ] , G G G1 = [ G , G ] = G Mệnh đề1.3.1: (i) G k, G k là các ideal của G ( k = 1,2,3,………)

)

(

:Ad H Chứng minh: Chọn ϕ theo (5), ta phải chỉ ra sự hợp lí của công thức, không

)

)

(

)

(

)

(

)

}

)

}

)

}

)

{ (

}

Có thể bạn quan tâm

Tài liêu mới

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Giới thiệu

Về chúng tôi

Việc làm

Quảng cáo

Liên hệ

Chính sách

Thoả thuận sử dụng

Chính sách bảo mật

Chính sách hoàn tiền

DMCA

Hỗ trợ

Hướng dẫn sử dụng

Đăng ký tài khoản VIP

093 303 0098

support@tailieu.vn

Phương thức thanh toán

Theo dõi chúng tôi

Facebook

Youtube

TikTok