Luận văn Thạc sĩ Vật lý: Nghiên cứu cộng hưởng lưỡng cực Pygmy trong hạt nhân nguyên tử

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:49

Thêm vào BST

Báo xấu

44
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Vật lý: Nghiên cứu cộng hưởng lưỡng cực Pygmy trong hạt nhân nguyên tử bao gồm những nội dung về các tham số đầu vào sử dụng cho việc tính toán số; trạng thái giả (spurious state); cộng hưởng khổng lồ và cộng hưởng Pygmy lưỡng cực và một số nội dung khác.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Vật lý: Nghiên cứu cộng hưởng lưỡng cực Pygmy trong hạt nhân nguyên tử

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Chương NGHIÊN CỨU CỘNG HƯỞNG LƯỠNG CỰC PYGMY TRONG HẠT NHÂN NGUYÊN TỬ Chuyên ngành: Vật lý nguyên tử Mã số: 60 44 01 60 LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. NGUYỄN QUANG HƯNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2014
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Tác giả Nguyễn Thị Chương
LỜI CÁM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy giáo TS. Nguyễn Quang Hưng, người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi thực hiện và hoàn thành Luận văn này. Tôi xin chân thành cám ơn quý Thầy, Cô giáo giảng dạy, Khoa Vật lý, Phòng Sau đại học - Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã dạy dỗ tận tình, tạo mọi điều kiện để tôi hoàn thành Luận văn này. Tôi xin gửi lời cám ơn tới Gia đình, các Anh, Chị đồng nghiệp ở Thành phố Vũng Tàu và các bạn trong lớp cao học Vật lý nguyên tử, khóa 23 – Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh cùng bạn bè đã động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập. Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 09 năm 2014
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT Thứ tự Chữ viết tắt Giải thích 1 EWSR Energy Weighted Sum Rule Quy tắc tổng năng lượng 2 GMR Giant Monopole Resonance Cộng hưởng khổng lồ đơn cực 3 GDR Giant Dipole Resonance Cộng hưởng khổng lồ lưỡng cực 4 GQR Giant Quadrupole Resonance Cộng hưởng khổng lồ tứ cực 5 QRPA Quasiparticle Random-Phase Approximation Gần đúng pha ngẫu nhiên trong biểu diễn giả hạt 6 HF Hatree Fock 7 PDR Pygmy Dipole Resonance Cộng hưởng lưỡng cực pygmy 8 RPA Random-Phase Approximation Gần đúng pha ngẫu nhiên 9 RRPA Relativistic Random-Phase Approximation Gần đúng pha ngẫu nhiên tương đối
DANH MỤC CÁC BẢNG Số Tên bảng Trang bảng 2.1 Giá trị các tham số của lực Skyrme Sly5[24] vàSGII[25] 21 2.2 Hệ số Ami của một số thành phần hạt-lỗ (proton và 30-31 nơtron) chính trong một trạng thái GDR thu được từ HF+RPA sử dụng lực SLy5 và SGII cho hạt nhân 28O 2.3 Hệ số Ami của một số thành phần hạt-lỗ (proton và 31 nơtron) chính trong một trạng thái PDR thu được từ HF+RPA sử dụng lực SLy5 và SGII cho hạt nhân 28O 2.4 Giá trị quy tắc tổng năng lượng m1 (isoscalar và isovecto) 35-36 và tỷ số quy tắc tổng năng lượng thu được từ RPA trên 16-28 40-58 100-120 182-218 m1 cho các hạt nhân O, Ca, Sn và Pb sử dụng lực SLy5 và SGII
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ Số Tên hình Trang hình 0.1 Minh họa cường độ dịch chuyển E1 theo hàm của năng 2 lượng kích thích trong các hạt nhân hình cầu 2.1 Năng lượng E1- và cường độ dịch chuyển B(E1) 23 (isovector) của trạng thái giả theo hàm của năng lượng cắt EC thu được từ RPA sử dụng hai lực tương tác SLy5 và SGII cho các hạt nhân Ôxy 2.2 Cường độ dịch chuyển isovector B(E1) (các cột) và hàm 24 cường độ S(E) (các đường đứt đoạn) theo hàm của năng lượng E thu được từ tính toán HF+RPA sử dụng lực SLy5 (hình bên trái) và SGII (hình bên phải) cho một số hạt nhân Ôxy. Năng lượng cắt EC = 60 MeV và hệ số làm trơn σ (smoothing parameter) dùng trong hàm cường độ S(E) có giá trị bằng 0.4 2.3 Cường độ dịch chuyển isovector B(E1) (các cột) và hàm 25 cường độ S(E) (các đường đứt đoạn) theo hàm của năng lượng E thu được từ tính toán HF+RPA sử dụng lực SLy5 (hình bên trái) và SGII (hình bên phải) cho một số hạt nhân Canxi. Năng lượng cắt EC = 60 MeV và hệ số làm trơn σ (smoothing parameter) dùng trong hàm cường độ S(E) có giá trị bằng 0.4 2.4 Cường độ dịch chuyển isovector B(E1) (các cột) và hàm 26 cường độ S(E) (các đường đứt đoạn) theo hàm của năng
lượng E thu được từ tính toán HF+RPA sử dụng lực SLy5 và SGII cho một số hạt nhân Thiếc. Năng lượng cắt EC = 60 MeV và hệ số làm trơn σ (smoothing parameter) dùng trong hàm cường độ S(E) có giá trị bằng 0.4 2.5 Cường độ dịch chuyển isovector B(E1) (các cột) và hàm 27 cường độ S(E) (các đường đứt đoạn) theo hàm của năng lượng E thu được từ tính toán HF+RPA sử dụng lực SLy5 (hình bên trái) và SGII cho một số hạt nhân Thiếc. Năng lượng cắt EC = 60 MeV và hệ số làm trơn σ (smoothing parameter) dùng trong hàm cường độ S(E) có giá trị bằng 0.4 2.6 Tỷ số tổng cường độ dịch chuyển trong vùng PDR (SPDR) 29 chia cho tổng cường độ dịch chuyển GDR (SGDR) theo số khối A thu được từ tính toán HF+RPA sử dụng lực SLy5 và SGII 2.7 Mật độ dịch chuyển trạng thái proton và nơtron phụ thuộc 33 vào khoảng cách r của một trạng thái PDR thu được từ HF+RPA cho một số hạt nhân Ôxy sử dụng lực SLy5 và SGII 2.8 Mật độ dịch chuyển trạng thái proton và nơtron phụ thuộc 34 vào khoảng cách r của một trạng thái GDP thu được từ HF+RPA cho một số hạt nhân Ôxy sử dụng lực SLy5 và SGII
MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU .............................................................................................................. 1 NỘI DUNG........................................................................................................... 5 Chương 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ .................................................................... 5 1.1. Lực tương tác Skyrme hiệu dụng .......................................................... 5 1.2. Phương pháp Hatree Fock với lực Skyrme hiệu dụng .......................... 6 1.3. Skyrme Hartree Fock + RPA ................................................................ 12 Chương 2. KẾT QUẢ TÍNH TOÁN VÀ THẢO LUẬN ............................ 20 2.1. Các tham số đầu vào sử dụng cho việc tính toán số.............................. 20 2.2. Trạng thái giả (spurious state) ............................................................... 21 2.3. Cộng hưởng khổng lồ và cộng hưởng Pygmy lưỡng cực ..................... 24 2.4. Tính chất tập thể của các trạng thái cộng hưởng lưỡng cực khổng lồ và cộng hưởng lưỡng cực Pygmy ..................................................................... 30 2.5. Mật độ dịch chuyển trạng thái ............................................................... 32 2.6. Quy tắc tổng năng lượng (EWSR) ........................................................ 35 KẾT LUẬN ........................................................................................................ 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................ 39
1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Hạt nhân bao gồm các nucleon (proton và nơtron) tương tác với nhau thông qua lực tương tác hạt nhân mạnh. Tại trạng thái cơ bản (khi chưa có kích thích), các nucleon này lấp đầy các mức đơn hạt có mức năng lượng dưới mức Fermi. Khi hạt nhân bị kích thích, các nucleon này sẽ nhảy lên các mức năng lượng đơn hạt cao hơn (trên mức Fermi) và tạo thành các dao động tập thể (collective vibration). Khi năng lượng kích thích đủ lớn (lớn hơn năng lượng liên kết trung bình của hạt nhân, cỡ 8 – 10 MeV) sẽ xuất hiện các mức cộng hưởng khổng lồ (giant resonances) khác nhau tuỳ thuộc vào các số lượng tử spin (J) và chẵn lẻ (π) của hệ, ví dụ như cộng hưởng khổng lồ đơn cực (Giant Monopole Resonance – GMR, Jπ = 0+), cộng hưởng khổng lồ lưỡng cực (Giant Dipole Resonance – GDR, Jπ = 1-), cộng hưởng khổng lồ tứ cực (Giant Quadrupole Resonance – GQR, Jπ = 2+ ),... Các trạng thái cộng hưởng này đã được tìm thấy bằng rất nhiều thực nghiệm. Ví dụ, cộng hưởng khổng lồ lưỡng cực đã được thực nghiệm tìm thấy năm 1947 [1], cộng hưởng khổng lồ tứ cực đã được tìm thấy năm 1972 [2], và cộng hưởng khổng lồ đơn cực đã được tìm thấy năm 1977 [3]. Trong số các cộng hưởng trên, GDR mang tính chất đặc trưng chung cho mọi hạt nhân. Về mặt thực nghiệm GDR đã được tìm thấy trong hầu hết các hạt nhân từ nhẹ như 3He tới nặng như 232 Th thông qua phản ứng hấp thụ photon (photoabsorption). Về mặt vật lý, GDR được giải thích thông qua sự dao động ngược chiều (pha) của các proton và nơtron trong hạt nhân tại vùng năng lượng kích thích từ khoảng 10 MeV tới 40 MeV. Tại vùng năng lượng kích thích thấp (nhỏ hơn 10 MeV) gần với ngưỡng phát xạ của các hạt nhân giàu nơtron, thí nghiệm đo sự bắt nơtron của Bartholomew từ năm 1961 đã quan sát được sự tăng đáng kể của cường độ dao động lưỡng cực của các mức nằm trong vùng năng lượng thấp (low-lying dipole strength) này [4]. Hiện tượng này sau này
2 được gọi là cộng hưởng lưỡng cực Pygmy (Pygmy Dipole Resonance – PDR) bởi nó chỉ chiếm một phần khá nhỏ so với cường độ tổng cộng của GDR. Khác với GDR, PDR trong các hạt nhân giàu Anơtron thường được giải thích thông qua dao động lưỡng cực của các nơtron dư thừa chống lại lõi đối xứng spin đồng vị của các proton và nơtron như thể hiện trong Hình 0.1 [5]. Hình 0.1. Minh họa cường độ dịch chuyển E1 theo hàm của năng lượng kích thích trong các hạt nhân hình cầu [5] Trong những năm gần đây, việc nghiên cứu nguồn gốc và các tính chất của PDR thu hút được rất nhiều quan tâm của các nhà khoa học thực nghiệm cũng như lý thuyết trên thế giới. Về mặt thực nghiệm, PDR đã được nghiên cứu một cách hệ thống thông qua các phép đo hàm hưởng ứng lưỡng cực (dipole response function) của một loạt các hạt nhân bền và không bền thông qua các kích thích điện từ trong các phản ứng như va chạm ion nặng [10], tán xạ photon [6], và phản ứng kích thích Coulomb [9]. Về mặt lý thuyết, rất nhiều mô hình lý thuyết đã được xây dựng để mô tả cấu trúc của PDR. Trong số đó có thể kể đến các tính toán theo mẫu vỏ quy mô rộng (large-scale shell model) [14], gần đúng pha ngẫu nhiên (random-phase approximation – RPA) [13], gần đúng pha ngẫu nhiên tương đối (relativistic RPA – RRPA) [12], gần đúng pha ngẫu nhiên trong biểu diễn giả hạt (quasiparticle RPA – QRPA) với lực tương tác Skyrme hiệu
3 dụng [15], mẫu suy giảm phonon (Phonon Damping Model – PDM) [16], lý thuyết phiếm hàm mật độ (Density Functional Theory) [25]. Tuy nhiên, hiện tại vẫn chưa có một mô hình nào có thể giải thích một cách có hệ thống và hoàn toàn vi mô tính chất cũng như nguồn gốc của PDR trong hạt nhân. Một trong những lý do là lực tương tác nucleon-nucleon sử dụng trong các mô hình trên chưa thực sự lý tưởng. Ngoài ra, các mô hình này cũng bỏ qua các tương quan trạng thái cơ bản cũng như kích thích nằm ngoài trường trung bình của hạt nhân. Gần đây nhất, các tác giả trong công trình [8] đã phát triển phương pháp RPA hoàn toàn tự hợp (fully selfconsistent RPA), trong đó sử dụng trường trung bình Hartree-Fock (HF) với một số lực tương tác Skyrme lý tưởng như SLy5, SGII, SKM*,… Phương pháp HF+RPA này đã mô tả khá tốt một số trạng thái cộng hưởng khổng lồ đơn cực (GMR), lưỡng cực (GDR), và tứ cực (GQR) của hạt nhân giàu nơtron 208 Pb. Tuy nhiên, trong công trình này các tác giả chưa nghiên cứu tới PDR. Đó chính là lý do mà tôi chọn đề tài “Nghiên cứu cộng hưởng lưỡng cực pygmy trong hạt nhân nguyên tử”. 2. Mục đích nghiên cứu Sử dụng phương pháp Skyrme HF + RPA để mô tả một cách vi mô và có hệ thống cấu trúc của cộng hưởng lưỡng cực Pygmy trong các hạt nhân giàu nơtron có khối lượng từ nhẹ như Ôxy (O), trung bình như Canci (Ca), tới nặng như Thiếc (Sn) và Chì (Pb). 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Sử dụng phương pháp HF + RPA với hai lực Skyrme là SLy5 và SGII để phân tích cường độ dịch chuyển trạng thái tại vùng năng lượng kích thích thấp trong các hạt nhân từ bền tới giàu nơtron, để từ đó thấy được sự xuất hiện của cộng hưởng lưỡng cực Pygmy trong các hạt nhân này.
4 Phân tích một cách vi mô tính chất tập thể của các trạng thái PDR bằng việc đánh giá phần trăm đóng góp của các trạng thái kích thích hạt-lỗ vào trong các trạng thái này. Phân tích một cách vi mô ý nghĩa vật lý của các trạng thái PDR thông qua phân bố mật độ dịch chuyển của proton và nơtron theo bán kính hạt nhân. Sử dụng quy tắc tổng năng lượng để kiểm tra độ tin cậy của mô hình sử dụng cũng như kết quả thu được. 4. Đối tượng nghiên cứu PDR trong các hạt nhân có khối lượng từ nhẹ như Ôxy (16O, 22O, 24O, 28O), trung bình như Canxi (40Ca, 48Ca, 52Ca, 58Ca), tới nặng như Thiếc (100Sn, 106 Sn, 1114 Sn, 120Sn) và Chì (182Pb, 194Pb, 208Pb, 218Pb). 5. Giới hạn đề tài Đề tài này chỉ giới hạn việc nghiên cứu các hạt nhân có dạng hình cầu mà chưa tới sự biến dạng cũng như tính chất kết cặp của các hạt nhân này. Ngoài ra, tôi chỉ sử dụng lực tương tác Skyrme với tầm tương tác bằng không (zero-range force) mà chưa tính tới các lực như khác Gogny, M3Y,...
5 NỘI DUNG Chương 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1. Lực tương tác Skyrme hiệu dụng Lực tương tác hạt nhân hiệu dụng theo Skyrme (Skyrme interaction) có thể được biểu diễn dưới dạng thế như sau [8]: =V ∑υ i< j (2) ij + ∑ υijk(3) i< j
6 chúng ta có thể dễ dàng thấy rằng hai số hạng đầu của công thức (1.2) tương đương với các tương tác dạng sóng S (S-wave) do các yếu tố ma trận của nó tỷ lệ tương tứng với và . Trong khi đó, hai số hạng cuối của công thức (1.2) tương đương với tương tác dạng sóng P (P-wave) bởi các yếu tố ma trận của nó tỷ lệ với . Tương tự, phần lực tương tác ba hạt cũng được biểu diễn thông qua lực tương tác phạm vi bằng không (zero-range force): δ δ δ δ υ123 (3) t3 (1 + x3 Pσ )δ (r1 − r2 )δ (r2 − r3 ) = (1.4) Trong các phương trình (1.2) và (1.4), các hằng số t0, t1, t2, t3, x0, x1, x2, x3, và W0 là các tham số được điều chỉnh sao cho năng lượng liên kết và bán kính hạt nhân thu được trùng với giá trị thực nghiệm. Về mặt ý nghĩa vật lý, t0 mô tả một lực Delta với sự trao đổi spin; t1 và t2 biểu diễn phạm vi tương tác hiệu dụng; W0 biểu diễn phần tương tác spin-quỹ đạo của hai nucleon. Trong tính toán Hartree Fock (HF) cho các hạt nhân chẵn-chẵn (số nơtron và proton đều là chẵn) thì thế tương tác ba hạt (1.4) sẽ tương đương với một thế tương tác hai hạt phụ thuộc vào mật độ ρ: δ δ 1 δ δ α  r1 + r2  (1.5) υ12 ( r ) = t3 (1 + x3 Pσ )δ (r1 − r2 ) r   6  2  1.2. Phương pháp Hatree Fock với lực Skyrme hiệu dụng Với việc sử dụng lực tương tác Skyrme hiệu dụng như trình bày trong phần 1.1, quá trình biến đổi để thu được phương trình Hartree Fock (HF) sẽ trở nên rất đơn giản. Theo lý thuyết HF, trạng thái cơ bản của một hạt nhân ϕ được biểu diễn dưới dạng định thức Slater của các trạng thái đơn hạt ϕ i [18]:
7 1 (1.6) φ ( x1 , x2 , , x A ) = det φi ( x j ) A! trong đó, x là ký hiệu của không gian toạ độ , spin σ, và isospin q ( cho proton và cho nơtron. Năng lượng trạng thái cơ bản (năng lượng Hartree Fock) sẽ có dạng: P2 1 d 3 (1.7) E = φ , (T + V )φ = ∑i i 2m i + ∑ ij υ12 ij = 2 ij ∫ )d r H ( r trong đó, T, V và P tương ứng là động năng, thế năng, và xung lượng của hạt; m là khối lượng của hạt; là yếu tố ma trận phản đối xứng. Đối với lực tương tác Skyrme, mật độ năng luợng là một hàm của mật độ nucleon , động năng , và mật độ spin . Các đại lượng này đều phụ thuộc vào hàm sóng của các trạng thái đơn hạt ϕ i:  r q (r ) = ∑ φi (r , σ , q ) (1.8) 2 i ,σ  ∑ φi (r , σ , q) 2 τ q (r= ∇ ) i ,σ   (−i ) ∑ φi* (r , σ , q ) ∇φi (r , σ ', q )  × σ σ σ ' J q (r ) = i ,σ ,σ ' Từ (1.8) ta có thể dễ dàng thu được có dạng:
8  2 1  1    1 (1.9) H (= r) t (r ) + t0 1 + x0  r 2  −  x0 +  ( r n2 + r p2 ) 2m 2  2    2 1 1 1 + (t1 + t2 ) rt + (t2 − t1 )( r nt n + r pt p ) + (t2 − 3t1 ) r∇ 2 r 4 8 16 1 1  + (3t1 + t2 )( r n∇ 2 r n + r p ∇ 2 r p ) + (t1 − t2 )( J n2 + J p2 ) 32 16 1  1   + t3 r n r p r + H C (r ) − W0 ( r∇ ⋅ J + r n∇ ⋅ J n + r p ∇ ⋅ J p ) 4 2 trong đó, , , và . là phần trực tiếp của tương tác Coulomb đối với proton, trong đó dd e2 (1.10) VC (r ) = ∫ r p ( r ) dd d 3 r ' r −r ' Đối với hạt nhân có N = Z (số nơtron = số proton) và không có tương tác Coulomb thì 1 1  1 (1.11) ρρρ = n = p , τ=n τ=p τ , J=n J=p J 2 2 2 Thay (1.11) vào (1.9) ta thu được biểu thức rút gọn của cho hạt nhân có N = Z:  2 3 1 (1.12) H (r ) = t + t0 r 3 + (3t1 + 5t2 ) rt 2m 8 16 1  3 + (9t1 − 5t2 )(∇r ) 2 − W0 r∇ ⋅ J 64 4 Trong môi trường vật chất hạt nhân:
9  2  3 (1.13) ∇ρρ = ∇⋅ J, =  π 2  k F2 , τ = k F2 3  5 trong đó, kF là xung lượng Fermi. Từ (1.12) và (1.13) ta có thể thu được ngay lập tức năng lượng liên kết trong môi trường vật chất hạt nhân E H 3 3 1 3 (1.14) = = TF + t0 ρρρ + t3 2 + (3t1 + 5t2 ) k F2 A ρ 5 8 16 80 trong đó là động năng của hạt tại mức Fermi. Phương trình Hartree Fock bằng cách sử dụng nguyên lý biến phân của trạng thái đơn hạt ϕ i: d  d 2  (1.15)  E − ∑ ε i ∫ φi (r ) d 3 r  = 0 dφi  i  tức là năng lượng tổng cộng E của hạt nhân không thay đổi theo sự biến thiên của các trạng thái đơn hạt. Từ (1.9) ta có thể kết luận rằng các hàm sóng đơn hạt ϕ i phải thoả mãn hệ các phương trình sau:   2   (1.16)  −∇ ⋅ *  ∇ + U q ( r ) + Wq (r ) ⋅ (−i )(∇ × σ )  φi = ε iφi  2 mq ( r )  trong đó q là điện tích của trạng thái đơn hạt i và ei là năng lượng của các trạng thái đơn hạt. Có thể nhận thấy rằng, phương trình (1.16) có dạng phương trình Schrodinger với một khối lượng hiệu dụng (effective mass) chỉ phụ thuộc vào mật độ: 2 2 1 1 (1.17)  = + (t1 + t 2 ) r + (t2 − t1 ) r q 2mq* (r ) 2m 4 8
10 Trong phương trình (1.16), thế là một hàm phụ thuộc vào mật độ động năng (kinetic energy density): δ  1   1  1 (1.18) U q (r ) = t0 1 + x0  r −  x0 +  r q  + t3 ( r 2 − r q2 )  2   2  4 1 1 1 − (3t1 − t2 )∇ 2 r + (3t1 + t2 )∇ 2 r q + (t1 + t2 )t 8 16 4 1 1 δ δ δ δ δ + (t2 − t1 )t q − W0 (∇ ⋅ J + ∇ ⋅ J q ) + δ q ,+ 1VC (r ) 8 2 2 trong đó VC là phần trực tiếp của thế Coulomb (1.10). Đối với các hạt nhân có mức đóng kép (doubly-closed-shell nuclei), hàm sóng của các trạng thái đơn hạt trong toạ độ cực có thể được phân tích thành:  R (r ) (1.19) φi (r , σ ,τ ) = α Yljm (rˆ, σ ) χ q (τ ) r trong đó Yljm (rˆ, σ ) = ∑ ml mS l 12 ml mS jm Ylml (rˆ) χ mS (σ ) với chỉ số i dùng để chỉ các số lượng tử như: điện tích q, số lượng tử chính n, moment qũy đạo l, moment góc toàn phần j, và số lượng tử từ m. Từ (1.8) ta có thể thấy rằng mật độ nucleon và mật độ động năng chỉ phụ thuộc vào toạ độ cực r và có dạng cụ thể là: 1 (1.20) =r (r ) 4π r 2 ∑ (2 jα + 1) Rα2 α 1  djα  2 lα (lα + 1) 2  τ (r ) = 4π ∑ (2 jα + 1)    +  2 jα  α  dr r 
11 trong đó và . Tương tự mật độ spin cũng chỉ phụ thuộc vào r:     r r r (1.21) J (r ) = ⋅ J  =2 ∑ φi l ⋅ σφi * r r r i 1  3 2 =J (r ) ∑ 4π r 3 α (2 jα + 1) j (  α α j + 1) − l (l α α + 1) − 4  Rα (r ) Từ phương trình (1.21) kết hợp với tính chất đối xứng cầu của mật độ, ta rút gọn số hạng spin-qũy đạo một hạt (one-body spin-orbit) còn lại trong phương trình (1.16) về dạng phổ biến của nó: 1 d 1 (1.22) = Wq ( r ) W0 ( r + r q ) + (t1 − t2 ) J q (r ) 2 dr 8 Hệ phương trình cuối cùng thu được hàm sóng phụ thuộc vào khoảng cách có dạng phương trình vi phân bậc 2 như sau:  d    ' (1.23) 2  '' lα (lα + 1) 2  − Rα (r ) + Rα (r )  −  *  Rα (r ) 2mq*   dr  2mq  2 r  1 d  2  + U q (r ) +    r dr  2mq*  1  3  ε α Rα (r ) + Wq (r )  jα ( jα + 1) − lα (lα + 1) −   Rα (r ) = r  4  Hệ phương trình (1.23) được gọi là phương trình Hartree Fock phụ thuộc vào khoảng cách r và có thể giải được dễ dàng bằng số bằng cách áp dụng thuật toán Noumerov [8]. Các bước để giải phương trình Hartree Fock như sau [8]:
12 1. Bắt đầu với một tập hợp các hàm sóng thử {Rα (r ), α = 1, 2,...N } (N là số nucleon) cho các trạng thái bị chiếm (occupied states). Trong nhiều trường hợp, có thể dùng hàm riêng (eigenfunction) của một thế Woods- Saxon chuẩn. 2. Xây dựng thế và khối lượng hiệu dụng . 3. Giải phương trình (1.16) để thu được một tập hợp hàm sóng thử {Rα (r ), α = 1, 2,...N } mới. 4. Lặp lại các bước 2 và 3 tới khi đạt được điều kiện hội tụ. 1.3. Skyrme Hartree Fock + RPA 1.3.1. Phương trình RPA Phương trình RPA được xây dựng dựa trên tập hợp của nhiều kích thích một hạt – lỗ (particle – hole). Quá trình kích thích này được thực hiện như sau. Các nucleon chiếm các mức dưới mức Fermi khi bị kích thích sẽ nhảy lên các mức rỗng nằm trên cao hơn (trên mức Fermi). Sau quá trình kích thích, mức mà nucleon chiếm trước khi kích thích sẽ hình thành một trạng thái lỗ trống (hole state) và mức mà nucleon nhảy lên chiếm (trước đó là rỗng) sẽ xuất hiện một trạng thái hạt (particle state) [19]. Quá trình tạo thành các trạng thái hạt – lỗ được đặc trưng bởi toán tử sinh hạt lỗ có dạng [8]: Qmi+ ( JM ) =∑ ( jm ji mm − mi | JM )c +jm mm (−1) ji − mi c ji mi (1.24) mm , mi trong đó, và tương ứng là toán tử sinh và huỷ hạt với na, la, ja, qa, và ma tương ứng là số lượng tử chính, moment góc quỹ đạo, moment góc toàn phần, điện tích, và hình chiếu moment góc tổng cộng. Các trạng thái chiếm (occupied) được ký hiệu bởi a = i, j,..., trong khi đó các trạng thái không bị chiếm (unoccupied) được ký hiệu bởi a = m, n,... J là moment góc