Khóa h
ọ
c
LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương
Hình học giải tích trong không gian
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 1
-
Bài 1. Trong không gian tọa ñộ Oxyz cho ñiểm G(1;1;1)
a. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua G và vuông góc với OG.
b. Mặt phẳng (P) ở câu (1) cắt các trục Ox, Oy, O z lần lượt tại A , B, C.
CMR: ABC là tam giác ñều.
Lời giải:
a. Do
( )
( ) ( 1 ;1 ;1 )
P
OG P n OG⊥ ⇒ = =
( ) :1 ( 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 ) 0 ( ) : 3 0
P x y z P x y z
⇒ − + − + − = ⇒ + + − =
b. Vì phương trình của
0
0
y A
z
=
⇒
=
. Tương tự :
(0 ;3 ;0) à (0 ;3 ;0)
B v C
Ta có:
A B=BC=CA =3 2
ABC
⇒ ∆
là tam giác ñều
Bài 2.
Trong không gian với hệ trục tọa ñộ Oxyz, cho ñường thẳng :
∆
:
1 3
1 1 4
x y z
− −
= =
và ñiểm M(0 ; - 2 ; 0).
Viết phương trình mặt phẳng (P) ñi qua ñiểm M song song với ñường thẳng ∆ ñồng thời khoảng cách
giữa ñường thẳng ∆ và mặt phẳng (P) bằng 4.
Lời giải:
Giả sử
( ; ; )
n a b c
là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
Phương trình mặt phẳng (P): ax + by + cz + 2b = 0.
ðường thẳng ∆ ñi qua ñiểm A(1; 3; 0) và có một vectơ chỉ phương
( 1 ;1 ;4)
u =
Từ giả thiết ta có
2 2 2
. 4 0
/ /( ) ( 1 )
| 5 | 4
( ;( )) 4 (2)
n u a b c
P a b
d A P
a b c
= + + =
∆
⇔+
==
+ +
Thế b = - a - 4c vào (2) ta có
2 2 2 2 2
( 5 ) (2 17 8 ) - 2 8 0
a c a c ac a ac c
+ = + + ⇔ − =
⇔
4 2
a a
v
c c
= = −
Với
4
a
c
=
chọn a = 4, c = 1 ⇒ b = - 8. Phương trình mặt phẳng (P): 4x - 8y + z - 16 = 0.
LÝ THUYẾT CƠ SỞ VỀ MẶT PHẲNG
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ T RẦN PHƯƠNG
Khóa h
ọ
c
LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương
Hình học giải tích trong không gian
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 2
-
Với
2
a
c
= −
chọn a = 2, c = - 1 ⇒ b = 2. Phương trình mặt phẳng (P): 2x + 2y - z + 4 = 0.
Bài 3.
Trong không gian tọa ñộ Oxyz cho 2 ñường thẳng có phương trình:
1 2
5 2 7 0
( ) : 1 à ( d ) :
2 3 16 0
5
x t x y z
d y t v x y z
z t
= +
+ + − =
= −
+ + − =
= −
Viết phương trình mặt phẳng chứa
1 2
( ) à ( )
d v d
Lời giải:
Giả sử mặt phẳng cần lập là (Q) ta có:
Lấy 2 ñiểm
1 2
(5 ;1 ;5) ; (5 ;2 ;0) (0 ;1 ; 5 )
M d N d MN
∈ ∈ ⇒ = −
Và
1
( ) ( )
. (6 ;10 ;2) ( ) : 6( 5) 10( 1 ) 2( 5 ) 0 hay ( ) :3 5 25 0
Q d
n u MN Q x y z Q x y z
= = ⇒ − + − + − = + + − =
Bài 4.
Trong không gian
Oxyz
cho ñường thẳng d:
1 2
2 1 3
x y z
− +
= =
−
.
Viết phương trình mặt phẳng
( )
Q
chứa d sao cho khoảng cách từ ñiểm
( 1 ,0,0)
I tới
( )
Q
bằng
2
3
.
Lời giải:
Dễ thấy A(1;0;-2), B(3;1;-5) thuộc (d) .
Khi ñó phương trình mặt phẳng (Q) chứa
d
có dạng:
2 2 2
( 1 ) ( 0) ( 2) 0
( ) 2 3 0 3 2
( ) : (3 2 ) 2 0
| 2 | 2
( ,( )) 7
3
(3 2 )
5 5
a x b y c z
B Q a b c b c a
Q ax c a y cz c a
a c b c
a c a
d I Q
c c
a b
a c a c
− + − + + =
∈ ⇒ + − = ⇒ = −
⇒ + − + + − =
= ⇒ =
+ −
⇒ = = ⇔
= ⇒ =
+ − +
Chọn
5 , 5 ( ) : 1 0
5
7, 1 ( ) : 7 5 3 0
a b Q x y z
c a b Q x y z
= = ⇒ + + + =
= ⇒
= = ⇒ + + + =
Vậy có 2 mặt phẳng cần tìm như trên.
Bài 5.
Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và ñường thẳng (d) lần lượt có phương
trình:
(P): 2x − y − 2z − 2 = 0; (d):
1 2
1 2 1
x y z
+ −
= =
−
Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứ a ñường thẳng (d) và tạo với mặt phẳng (P) một góc nhỏ nhất.
Khóa h
ọ
c
LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương
Hình học giải tích trong không gian
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 3
-
Lời giải:
ðường thẳng (∆) có VTCP
( 1 ;2 ;1 )
u = −
; PTTQ:
2 1 0
2 0
x y
x z
+ + =
+ − =
Mặt phẳng (P) có VTPT
(2 ; 1 ; 2)
n
= − −
Góc giữa ñường thẳng (∆) và mặt phẳng (P) là:
| 2 2 2 | 6
sin
3
3. 6
α
− − −
==
⇒ Góc giữa mặt phẳng ( Q) và mặt phẳng (Q) cần tìm là
6 3
cos 1
9 3
α
= − =
Giả sử (
Q
) ñi qua ( ∆) có dạng:
m
(2
x
+
y
+ 1) +
n
(
x
+
z
− 2) = 0 (
m
2
+
n
2
> 0)
⇔ (2
m
+
n
)
x
+
my
+
nz
+
m
− 2
n
= 0
Vậy góc giữa (
P
) và (
Q
) là:
2 2
| 3 | 3
cos
3
3. 5 2 4
m
m n mn
α
= =
++
⇔
m
2
+ 2
mn
+
n
2
= 0 ⇔ (
m
+
n
)
2
= 0 ⇔
m
= −
n
.
Chọn
m
= 1,
n
= −1, ta có: mặt phẳng (
Q
) là:
x
+
y
−
z
+ 3 = 0
Bài 6.
Trong không gian với hệ trục toạ ñộ Oxyz cho ñiểm A(1 ;0 ; 1), B(2 ; 1 ; 2) và mặt phẳng
(Q): x + 2y + 3z + 3 = 0. L ập phương trình mặt phẳng (P) ñi qua A, B và vuông góc với (Q).
Lời giải:
Ta có
( 1 ;1 ;1 ), ( 1 ;2 ;3 ), ; ( 1 ; 2 ;1 )
Q Q
AB n AB n
= −
Vì
; 0
Q
AB n
≠
nên mặt phẳng (P) nhận
;
Q
AB n
làm véc tơ pháp tuyến
Vậy (P) có phương trình x - 2y + z - 2 = 0
Bài 7.
Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho ñiểm M(1;-1;1)
và hai ñường thẳng
1
( ) :
1 2 3
x y z
d
+
= =
− −
và
1 4
( ' ) :
1 2 5
x y z
d
− −
==
Chứng minh: ñiểm M, ( d), (d’) cùng nằm tr ên một mặt phẳng. Viết phương tr ình mặt phẳng ñó.
Lời giải:
(d) ñi qua
1
(0 ; 1 ;0)
M
−
và có vtcp
1
( 1 ; 2 ; 3 )
u
= − −
(d’) ñi qua
2
(0 ;1 ;4)
M
và có vtcp
2
( 1 ;2 ;5)
u =
Ta có
1 2
; ( 4 ; 8 ;4)
u u O
= − − ≠
,
1 2
(0 ;2 ;4)
M M =
Xét
1 2 1 2
; . 16 14 0
u u M M
= − + =
nên (d) và (d’) ñồng phẳng.
Gọi (P) là mặt phẳng chứa (d) và (d’) thì (P) có vtpt
( 1 ;2 ; 1 )
n
= −
và ñi qua M
1
nên có phương trình
2 2 0
x y z
+ − + =
Khóa h
ọ
c
LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương
Hình học giải tích trong không gian
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 4
-
Dễ thấy ñiểm M(1;-1;1) thuộc mp(P) , từ ñó ta có M, (d), (d’) cùng nằm tr ên một mặt phẳng.
Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn : Hocmai.vn