Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Điểm tới hạn và thông số trật tự Điểm tới hạn sắt từ-thuận từ Các điểm tới hạn khác

Biến cơ học, trường ngoài Pha, sự chuyển pha Điểm tới hạn, hiện tượng tới hạn, thông số trật tự

Biến cơ học

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

Đại lượng vật lý

Biến cơ học tương ứng

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Điểm tới hạn và thông số trật tự Điểm tới hạn sắt từ-thuận từ Các điểm tới hạn khác

Biến cơ học, trường ngoài Pha, sự chuyển pha Điểm tới hạn, hiện tượng tới hạn, thông số trật tự

Biến cơ học

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

Đại lượng vật lý

Biến cơ học tương ứng

khối lượng toàn phần m, khối lượng riêng m/V,

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Điểm tới hạn và thông số trật tự Điểm tới hạn sắt từ-thuận từ Các điểm tới hạn khác

Biến cơ học, trường ngoài Pha, sự chuyển pha Điểm tới hạn, hiện tượng tới hạn, thông số trật tự

Biến cơ học

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

Đại lượng vật lý

Biến cơ học tương ứng

khối lượng toàn phần m, khối lượng riêng m/V,

năng lượng toàn phần E, mật độ năng lượng E/V,

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Điểm tới hạn và thông số trật tự Điểm tới hạn sắt từ-thuận từ Các điểm tới hạn khác

Biến cơ học, trường ngoài Pha, sự chuyển pha Điểm tới hạn, hiện tượng tới hạn, thông số trật tự

Biến cơ học

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

Đại lượng vật lý

Biến cơ học tương ứng

khối lượng toàn phần m, khối lượng riêng m/V,

năng lượng toàn phần E, mật độ năng lượng E/V,

moment từ toàn phần µ, độ từ hóa M = µ/V,

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Điểm tới hạn và thông số trật tự Điểm tới hạn sắt từ-thuận từ Các điểm tới hạn khác

Biến cơ học, trường ngoài Pha, sự chuyển pha Điểm tới hạn, hiện tượng tới hạn, thông số trật tự

Biến cơ học

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

Đại lượng vật lý

Biến cơ học tương ứng

khối lượng toàn phần m, khối lượng riêng m/V,

năng lượng toàn phần E, mật độ năng lượng E/V,

Biến cơ học thu được sau phép chia đại lượng vật lý vĩ mô cho thể tích V hoặc tổng số hạt N của hệ (nếu hệ đồng nhất).

moment từ toàn phần µ, độ từ hóa M = µ/V,

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Điểm tới hạn và thông số trật tự Điểm tới hạn sắt từ-thuận từ Các điểm tới hạn khác

Biến cơ học, trường ngoài Pha, sự chuyển pha Điểm tới hạn, hiện tượng tới hạn, thông số trật tự

Biến cơ học

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

Đại lượng vật lý

Biến cơ học tương ứng

khối lượng toàn phần m, khối lượng riêng m/V,

năng lượng toàn phần E, mật độ năng lượng E/V,

Biến cơ học thu được sau phép chia đại lượng vật lý vĩ mô cho thể tích V hoặc tổng số hạt N của hệ (nếu hệ đồng nhất).

Một số biến cơ học quan trọng khác: biên độ lượng tử của chất lỏng Bose, ảnh Fourier của mật độ nguyên tử, biên dộ cặp Cooper, . . . .

moment từ toàn phần µ, độ từ hóa M = µ/V,

Tc = 647 K, pc = 218 atm: điểm tới hạn lỏng-khí.

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Điểm tới hạn và thông số trật tự Điểm tới hạn sắt từ-thuận từ Các điểm tới hạn khác

Biến cơ học, trường ngoài Pha, sự chuyển pha Điểm tới hạn, hiện tượng tới hạn, thông số trật tự

Mối quan hệ giữa trường ngoài và biến cơ học

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

Ví dụ 2

Thông thường, biến cơ học được xác định đơn trị khi cho trước trường ngoài. Tuy nhiên có những trường hợp đặc biệt: biến cơ học được xác định không đơn trị

Đối với chất sắt từ (Fe hoặc Ni):

h = 0, 0 < T < Tc : vector độ từ hóa m định hướng tùy ý (trạng thái sắt từ),

h = 0, T > Tc : m = 0 (trạng thái thuận từ).

Điểm h = 0, T = Tc là điểm tới hạn sắt từ.

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Biến cơ học, trường ngoài Pha, sự chuyển pha Điểm tới hạn, hiện tượng tới hạn, thông số trật tự

Điểm tới hạn và thông số trật tự Điểm tới hạn sắt từ-thuận từ Các điểm tới hạn khác

Pha - Sự chuyển pha

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

Pha

là trạng thái của vật thể với các tính chất và trật tự đặc trưng.

Ví dụ: pha lỏng, khí của nước; pha sắt từ, thuận từ của các vật liệu từ; pha siêu dẫn, dẫn điện thường của các chất siêu dẫn; . . . .

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Biến cơ học, trường ngoài Pha, sự chuyển pha Điểm tới hạn, hiện tượng tới hạn, thông số trật tự

Điểm tới hạn và thông số trật tự Điểm tới hạn sắt từ-thuận từ Các điểm tới hạn khác

Pha - Sự chuyển pha

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

Pha

là trạng thái của vật thể với các tính chất và trật tự đặc trưng.

Điểm tới hạn và thông số trật tự Điểm tới hạn sắt từ-thuận từ Các điểm tới hạn khác

Điểm tới hạn - Hiện tượng tới hạn - Thông số trật tự

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

Điểm tới hạn (critical point)

Hiện tượng tới hạn (critical phenonmenon)

Thông số trật tự (order parameter)

(1)

JijSiSj,

1 2

Si: spin của điện tử ở nút mạng thứ i, Jij: tích phân trao đổi giữa các spin Si và Sj. Si (cid:20) Sj: hệ ở trạng thái có lợi nhất về mặt năng lượng.

→ tương tác trao đổi là nguyên nhân tạo nên trật tự xa trong hệ sắt từ.

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Bức tranh định tính Các chỉ số tới hạn

Điểm tới hạn và thông số trật tự Điểm tới hạn sắt từ-thuận từ Các điểm tới hạn khác

Chuyển pha sắt từ-thuận từ

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

Trường ngoài: h = 0, T tăng dần từ 0 K.

Bức tranh chuyển pha

T = 0 K

0 < T < Tc

T > Tc

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Bức tranh định tính Các chỉ số tới hạn

Điểm tới hạn và thông số trật tự Điểm tới hạn sắt từ-thuận từ Các điểm tới hạn khác

Chuyển pha sắt từ-thuận từ

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

Thông số trật tự (độ từ hóa): m =

< µi >

1 V

P i

1 T = 0 K:

trạng thái cơ bản: tất cả các spin định hướng song song với nhau, m(T = 0) = mmax.

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Bức tranh định tính Các chỉ số tới hạn

Điểm tới hạn và thông số trật tự Điểm tới hạn sắt từ-thuận từ Các điểm tới hạn khác

Chuyển pha sắt từ-thuận từ

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

Thông số trật tự (độ từ hóa): m =

< µi >

1 V

P i

1 T = 0 K:

trạng thái cơ bản: tất cả các spin định hướng song song với nhau, m(T = 0) = mmax.

2 0 < T < Tc:

0. trật tự của trạng thái cơ bản bị phá vỡ bởi dao động nhiệt, hình thành những miền (cluster/block) trong đó spin định hướng song song (spin thuộc các miền khác nhau không song song), m(T ) −−−−→ T →Tc

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Bức tranh định tính Các chỉ số tới hạn

Điểm tới hạn và thông số trật tự Điểm tới hạn sắt từ-thuận từ Các điểm tới hạn khác

Chuyển pha sắt từ-thuận từ

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

Thông số trật tự (độ từ hóa): m =

< µi >

1 V

P i

1 T = 0 K:

trạng thái cơ bản: tất cả các spin định hướng song song với nhau, m(T = 0) = mmax.

2 0 < T < Tc:

3 T > Tc:

spin định hướng hoàn toàn hỗn độn, m = 0.

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Bức tranh định tính Các chỉ số tới hạn

Điểm tới hạn và thông số trật tự Điểm tới hạn sắt từ-thuận từ Các điểm tới hạn khác

Độ dài tương quan và thời gian tương quan

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

1 độ dài tương quan (correlation length) ξ: kích thước trung bình của miền các spin định hướng song song, tương tác trao đổi đủ giữ cho các spin có liên hệ (correlation). Khi T > Tc:

+ ∞ . T tăng: ξ giảm, ξ −−−−→ T →Tc

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Bức tranh định tính Các chỉ số tới hạn

Điểm tới hạn và thông số trật tự Điểm tới hạn sắt từ-thuận từ Các điểm tới hạn khác

Độ dài tương quan và thời gian tương quan

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

1 độ dài tương quan (correlation length) ξ: kích thước trung bình của miền các spin định hướng song song, tương tác trao đổi đủ giữ cho các spin có liên hệ (correlation). Khi T > Tc:

+ ∞ . T tăng: ξ giảm, ξ −−−−→ T →Tc

2

thời gian hồi phục (relaxation time) τ :

thời gian cần thiết để tạo cân bằng nhiệt động sau nhiễu loạn, khi T rất gần Tc: τ rất lớn.

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Bức tranh định tính Các chỉ số tới hạn

Điểm tới hạn và thông số trật tự Điểm tới hạn sắt từ-thuận từ Các điểm tới hạn khác

Độ dài tương quan và thời gian tương quan

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

1 độ dài tương quan (correlation length) ξ: kích thước trung bình của miền các spin định hướng song song, tương tác trao đổi đủ giữ cho các spin có liên hệ (correlation). Khi T > Tc:

+ ∞ . T tăng: ξ giảm, ξ −−−−→ T →Tc

2

thời gian hồi phục (relaxation time) τ :

Lý thuyết và thực nghiệm cho thấy các đặc tính quan trọng của hiện tượng tới hạn được quyết định bởi các miền spin định hướng song song có kích thước lớn và thời gian hồi phục dài.

thời gian cần thiết để tạo cân bằng nhiệt động sau nhiễu loạn, khi T rất gần Tc: τ rất lớn.

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Bức tranh định tính Các chỉ số tới hạn

Điểm tới hạn và thông số trật tự Điểm tới hạn sắt từ-thuận từ Các điểm tới hạn khác

Phân loại các hiện tượng tới hạn

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

1 Hiện tượng tĩnh: liên quan đến các đại lượng nhiệt động cân bằng (độ từ hóa, độ cảm từ, nhiệt dung, mật độ xác suất các cấu hình spin, kích thước trung bình của miền có spin song song, . . . .)

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Bức tranh định tính Các chỉ số tới hạn

Điểm tới hạn và thông số trật tự Điểm tới hạn sắt từ-thuận từ Các điểm tới hạn khác

Phân loại các hiện tượng tới hạn

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

1 Hiện tượng tĩnh: liên quan đến các đại lượng nhiệt động cân bằng (độ từ hóa, độ cảm từ, nhiệt dung, mật độ xác suất các cấu hình spin, kích thước trung bình của miền có spin song song, . . . .)

2 Hiện tượng động: sự phụ thuộc thời gian của các đại

lượng: hệ số truyền nhiệt, truyền sóng spin, thời gian hồi phục, . . . .

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Bức tranh định tính Các chỉ số tới hạn

Điểm tới hạn và thông số trật tự Điểm tới hạn sắt từ-thuận từ Các điểm tới hạn khác

Thông số trật tự m(T ) - chỉ số β

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

Sự phụ thuộc của thông số trật tự vào nhiệt độ

h ’ 0 :

0, m(T ) −−−−→ T →Tc T ’ Tc:

(YFeO3)

Điểm tới hạn và thông số trật tự Điểm tới hạn sắt từ-thuận từ Các điểm tới hạn khác

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

Sự phụ thuộc của m vào h ở T = Tc - chỉ số δ

T = Tc, h nhỏ : m ∼ h1/δ.

(Tc = 360 K) a, b, c là các đường cong ứng với T = 627, 629, 631 K

Sự phụ thuộc của độ từ hóa vào từ trường

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Bức tranh định tính Các chỉ số tới hạn

Điểm tới hạn và thông số trật tự Điểm tới hạn sắt từ-thuận từ Các điểm tới hạn khác

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

Bảng giá trị các chỉ số tới hạn đối với một số chất sắt từ

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Bức tranh định tính Các chỉ số tới hạn

Điểm tới hạn và thông số trật tự Điểm tới hạn sắt từ-thuận từ Các điểm tới hạn khác

Sự phụ thuộc của χ vào T ở h = 0 - chỉ số γ

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

Độ cảm từ χ: phản ứng của hệ trước tác động của từ trường ngoài

(cid:17)

χ =

(cid:16) ∂m ∂h

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Bức tranh định tính Các chỉ số tới hạn

Điểm tới hạn và thông số trật tự Điểm tới hạn sắt từ-thuận từ Các điểm tới hạn khác

Sự phụ thuộc của χ vào T ở h = 0 - chỉ số γ

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

Độ cảm từ χ: phản ứng của hệ trước tác động của từ trường ngoài

(cid:17)

χ =

(cid:16) ∂m ∂h

T ’ Tc :

(

χ ∼

thực nghiệm: γ ’ γ0, (3)

(T − Tc)−γ , T > Tc, (Tc − T )−γ0 , T < Tc.

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Bức tranh định tính Các chỉ số tới hạn

Điểm tới hạn và thông số trật tự Điểm tới hạn sắt từ-thuận từ Các điểm tới hạn khác

Sự phụ thuộc của χ vào T ở h = 0 - chỉ số γ

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

Độ cảm từ χ: phản ứng của hệ trước tác động của từ trường ngoài

(cid:17)

χ =

(cid:16) ∂m ∂h

T ’ Tc :

(

χ ∼

thực nghiệm: γ ’ γ0, (3)

Điểm tới hạn và thông số trật tự Điểm tới hạn sắt từ-thuận từ Các điểm tới hạn khác

Nhiệt dung và chỉ số α

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

C = −T ∂2F ∂T 2 ,

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Bức tranh định tính Các chỉ số tới hạn

Điểm tới hạn và thông số trật tự Điểm tới hạn sắt từ-thuận từ Các điểm tới hạn khác

Nhiệt dung và chỉ số α

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

C = −T

thực nghiệm: α ’ α0 ∂2F ∂T 2 , ( T ’ Tc: C ∼ (T − Tc)−α , T > Tc, (Tc − T )−α0 , T < Tc.

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Bức tranh định tính Các chỉ số tới hạn

Điểm tới hạn và thông số trật tự Điểm tới hạn sắt từ-thuận từ Các điểm tới hạn khác

Nhiệt dung và chỉ số α

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

C = −T

thực nghiệm: α ’ α0 ∂2F ∂T 2 , ( T ’ Tc: C ∼ (T − Tc)−α , T > Tc, (Tc − T )−α0 , T < Tc.

Sự phụ thuộc của nhiệt dung vào nhiệt độ

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Bức tranh định tính Các chỉ số tới hạn

Điểm tới hạn và thông số trật tự Điểm tới hạn sắt từ-thuận từ Các điểm tới hạn khác

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

Bảng giá trị các chỉ số tới hạn đối với một số chất sắt từ

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Bức tranh định tính Các chỉ số tới hạn

Điểm tới hạn và thông số trật tự Điểm tới hạn sắt từ-thuận từ Các điểm tới hạn khác

Độ dài tương quan và chỉ số ν

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

T ’ Tc:

(4)

ξ ∼ (t − Tc)−ν

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Bức tranh định tính Các chỉ số tới hạn

Điểm tới hạn và thông số trật tự Điểm tới hạn sắt từ-thuận từ Các điểm tới hạn khác

Độ dài tương quan và chỉ số ν

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

T ’ Tc:

(4)

ξ ∼ (t − Tc)−ν

Vai trò quan trọng của ξ trong lý thuyết các hiện tượng tới hạn: sự phân kỳ của các đại lượng nhiệt động ở gần điểm tới hạn đều liên quan đến dáng điệu phân kỳ của ξ tại đây.

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Bức tranh định tính Các chỉ số tới hạn

Điểm tới hạn và thông số trật tự Điểm tới hạn sắt từ-thuận từ Các điểm tới hạn khác

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

Bảng giá trị các chỉ số tới hạn đối với một số chất sắt từ

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Bức tranh định tính Các chỉ số tới hạn

Điểm tới hạn và thông số trật tự Điểm tới hạn sắt từ-thuận từ Các điểm tới hạn khác

Chỉ số Fisher η

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

mô tả sự phụ thuộc của hàm tương quan G(k) vào vector sóng k

G(k) ∼ k−2+η,

(5)

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Bức tranh định tính Các chỉ số tới hạn

Điểm tới hạn và thông số trật tự Điểm tới hạn sắt từ-thuận từ Các điểm tới hạn khác

Chỉ số Fisher η

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

mô tả sự phụ thuộc của hàm tương quan G(k) vào vector sóng k

G(k) ∼ k−2+η,

Điểm tới hạn liquid-gas Điểm tới hạn phản sắt từ Điểm tới hạn của hợp kim Điểm λ của Hêli lỏng và điểm tới hạn siêu dẫn

Điểm tới hạn liquid-gas

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

1. Thông số trật tự (ρ − ρc) - chỉ số β và δ

(ρc: tỉ trọng vật chất tại điểm tới hạn)

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Điểm tới hạn và thông số trật tự Điểm tới hạn sắt từ-thuận từ Các điểm tới hạn khác

Điểm tới hạn liquid-gas Điểm tới hạn phản sắt từ Điểm tới hạn của hợp kim Điểm λ của Hêli lỏng và điểm tới hạn siêu dẫn

Điểm tới hạn liquid-gas

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

1. Thông số trật tự (ρ − ρc) - chỉ số β và δ

(ρc: tỉ trọng vật chất tại điểm tới hạn)

dọc theo đường cong phân cách giữa hai pha lỏng-khí, ρ − ρc có thể nhận giá trị ρL − ρc hoặc ρG − ρc.

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Điểm tới hạn và thông số trật tự Điểm tới hạn sắt từ-thuận từ Các điểm tới hạn khác

Điểm tới hạn liquid-gas Điểm tới hạn phản sắt từ Điểm tới hạn của hợp kim Điểm λ của Hêli lỏng và điểm tới hạn siêu dẫn

Điểm tới hạn liquid-gas

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

1. Thông số trật tự (ρ − ρc) - chỉ số β và δ

(ρc: tỉ trọng vật chất tại điểm tới hạn)

dọc theo đường cong phân cách giữa hai pha lỏng-khí, ρ − ρc có thể nhận giá trị ρL − ρc hoặc ρG − ρc. T ’ Tc:

(6)

ρ − ρc ∼ (Tc − T )β

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Điểm tới hạn và thông số trật tự Điểm tới hạn sắt từ-thuận từ Các điểm tới hạn khác

Điểm tới hạn liquid-gas Điểm tới hạn phản sắt từ Điểm tới hạn của hợp kim Điểm λ của Hêli lỏng và điểm tới hạn siêu dẫn

Điểm tới hạn liquid-gas

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

1. Thông số trật tự (ρ − ρc) - chỉ số β và δ

(ρc: tỉ trọng vật chất tại điểm tới hạn)

dọc theo đường cong phân cách giữa hai pha lỏng-khí, ρ − ρc có thể nhận giá trị ρL − ρc hoặc ρG − ρc. T ’ Tc:

(6)

ρ − ρc ∼ (Tc − T )β

T = Tc, p ’ pc (áp suất p đóng vai trò tương tự như từ trường h)

Điểm tới hạn liquid-gas Điểm tới hạn phản sắt từ Điểm tới hạn của hợp kim Điểm λ của Hêli lỏng và điểm tới hạn siêu dẫn

Điểm tới hạn liquid-gas

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

2. Chỉ số γ

(cid:17)

Độ nén K =

(có vai trò của χ)

(cid:16) ∂ρ ∂p

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Điểm tới hạn và thông số trật tự Điểm tới hạn sắt từ-thuận từ Các điểm tới hạn khác

Điểm tới hạn liquid-gas Điểm tới hạn phản sắt từ Điểm tới hạn của hợp kim Điểm λ của Hêli lỏng và điểm tới hạn siêu dẫn

Điểm tới hạn liquid-gas

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

2. Chỉ số γ

(cid:17)

Độ nén K =

(có vai trò của χ)

(cid:16) ∂ρ ∂p

p = pc, T ’ Tc:

(

K ∼

thực nghiệm: α ’ α0

Điểm tới hạn liquid-gas Điểm tới hạn phản sắt từ Điểm tới hạn của hợp kim Điểm λ của Hêli lỏng và điểm tới hạn siêu dẫn

Điểm tới hạn liquid-gas

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

3. Chỉ số α

Nhiệt dung CV = −T

∂F 2 ∂T 2 .

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Điểm tới hạn và thông số trật tự Điểm tới hạn sắt từ-thuận từ Các điểm tới hạn khác

Điểm tới hạn liquid-gas Điểm tới hạn phản sắt từ Điểm tới hạn của hợp kim Điểm λ của Hêli lỏng và điểm tới hạn siêu dẫn

Điểm tới hạn liquid-gas

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

3. Chỉ số α

Nhiệt dung CV = −T

∂F 2 ∂T 2 .

T = Tc:

Điểm tới hạn liquid-gas Điểm tới hạn phản sắt từ Điểm tới hạn của hợp kim Điểm λ của Hêli lỏng và điểm tới hạn siêu dẫn

Điểm tới hạn liquid-gas

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

4. Các chỉ số ν và η

Chỉ số ν của độ dài tương quan ξ tương tự trường hợp sắt từ.

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Điểm tới hạn và thông số trật tự Điểm tới hạn sắt từ-thuận từ Các điểm tới hạn khác

Điểm tới hạn liquid-gas Điểm tới hạn phản sắt từ Điểm tới hạn của hợp kim Điểm λ của Hêli lỏng và điểm tới hạn siêu dẫn

Điểm tới hạn liquid-gas

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

4. Các chỉ số ν và η

Chỉ số ν của độ dài tương quan ξ tương tự trường hợp sắt từ. Chỉ số Fisher η của hàm tương quan G(k):

(10)

Điểm tới hạn và thông số trật tự Điểm tới hạn sắt từ-thuận từ Các điểm tới hạn khác

Điểm tới hạn liquid-gas Điểm tới hạn phản sắt từ Điểm tới hạn của hợp kim Điểm λ của Hêli lỏng và điểm tới hạn siêu dẫn

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

Điểm tới hạn phản sắt từ (Antiferromagnetic critical point)

Jij < 0 → các spin gần nhau hướng ngược nhau. Ở nhiệt độ thấp, tinh thể AF trật tự gồm hai phân mạng lồng vào nhau

6 6 6 6 ? ? ? ?

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Điểm tới hạn và thông số trật tự Điểm tới hạn sắt từ-thuận từ Các điểm tới hạn khác

Điểm tới hạn liquid-gas Điểm tới hạn phản sắt từ Điểm tới hạn của hợp kim Điểm λ của Hêli lỏng và điểm tới hạn siêu dẫn

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

Điểm tới hạn phản sắt từ (Antiferromagnetic critical point)

Jij < 0 → các spin gần nhau hướng ngược nhau. Ở nhiệt độ thấp, tinh thể AF trật tự gồm hai phân mạng lồng vào nhau

6 6 6 6

? ? ? ? độ từ hóa của hai phân mạng: m và −m.

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Điểm tới hạn và thông số trật tự Điểm tới hạn sắt từ-thuận từ Các điểm tới hạn khác

Điểm tới hạn liquid-gas Điểm tới hạn phản sắt từ Điểm tới hạn của hợp kim Điểm λ của Hêli lỏng và điểm tới hạn siêu dẫn

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

Điểm tới hạn phản sắt từ (Antiferromagnetic critical point)

Jij < 0 → các spin gần nhau hướng ngược nhau. Ở nhiệt độ thấp, tinh thể AF trật tự gồm hai phân mạng lồng vào nhau

(11)

6 6 6 6

(T ’ Tc)

? ? ? ? độ từ hóa của hai phân mạng: m và −m. Thông số trật tự m và chỉ số β m ∼ (Tc − T )β

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Điểm tới hạn và thông số trật tự Điểm tới hạn sắt từ-thuận từ Các điểm tới hạn khác

Điểm tới hạn liquid-gas Điểm tới hạn phản sắt từ Điểm tới hạn của hợp kim Điểm λ của Hêli lỏng và điểm tới hạn siêu dẫn

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

Điểm tới hạn phản sắt từ (Antiferromagnetic critical point)

Jij < 0 → các spin gần nhau hướng ngược nhau. Ở nhiệt độ thấp, tinh thể AF trật tự gồm hai phân mạng lồng vào nhau

(11)

6 6 6 6

(T ’ Tc)

Các chỉ số δ và γ không đo được trực tiếp từ thực nghiệm.

? ? ? ? độ từ hóa của hai phân mạng: m và −m. Thông số trật tự m và chỉ số β m ∼ (Tc − T )β

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Điểm tới hạn và thông số trật tự Điểm tới hạn sắt từ-thuận từ Các điểm tới hạn khác

Điểm tới hạn liquid-gas Điểm tới hạn phản sắt từ Điểm tới hạn của hợp kim Điểm λ của Hêli lỏng và điểm tới hạn siêu dẫn

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

Điểm tới hạn phản sắt từ (Antiferromagnetic critical point)

Jij < 0 → các spin gần nhau hướng ngược nhau. Ở nhiệt độ thấp, tinh thể AF trật tự gồm hai phân mạng lồng vào nhau

6 6 6 6

(T ’ Tc)

(11) Các chỉ số δ và γ không đo được trực tiếp từ thực nghiệm. Hàm tương quan và chỉ số η:

G(k) ∼ k−2+η,

(12)

(

G(0) ∼

Điểm tới hạn liquid-gas Điểm tới hạn phản sắt từ Điểm tới hạn của hợp kim Điểm λ của Hêli lỏng và điểm tới hạn siêu dẫn

Điểm tới hạn của hợp kim

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

Có sự tương tự về cấu trúc giữa hợp kim trật tự và phản sắt từ trật tự → xem hợp kim như một hệ gồm hai phân mạng lồng vào nhau.

Thông số trật tự

∆ρ = ρ1 − ρ2,

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Điểm tới hạn và thông số trật tự Điểm tới hạn sắt từ-thuận từ Các điểm tới hạn khác

Điểm tới hạn liquid-gas Điểm tới hạn phản sắt từ Điểm tới hạn của hợp kim Điểm λ của Hêli lỏng và điểm tới hạn siêu dẫn

Điểm tới hạn của hợp kim

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

Điểm tới hạn liquid-gas Điểm tới hạn phản sắt từ Điểm tới hạn của hợp kim Điểm λ của Hêli lỏng và điểm tới hạn siêu dẫn

Những đặc điểm định tính của các hiện tượng tới hạn

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

(Sử dụng ngôn ngữ chuyển pha sắt từ-thuận từ)

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Điểm tới hạn và thông số trật tự Điểm tới hạn sắt từ-thuận từ Các điểm tới hạn khác

Điểm tới hạn liquid-gas Điểm tới hạn phản sắt từ Điểm tới hạn của hợp kim Điểm λ của Hêli lỏng và điểm tới hạn siêu dẫn

Những đặc điểm định tính của các hiện tượng tới hạn

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

(Sử dụng ngôn ngữ chuyển pha sắt từ-thuận từ)

1 Thông số trật tự có hướng tùy ý ở h = 0, T < Tc. Khi

T > Tc : m = 0

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Điểm tới hạn và thông số trật tự Điểm tới hạn sắt từ-thuận từ Các điểm tới hạn khác

Điểm tới hạn liquid-gas Điểm tới hạn phản sắt từ Điểm tới hạn của hợp kim Điểm λ của Hêli lỏng và điểm tới hạn siêu dẫn

Những đặc điểm định tính của các hiện tượng tới hạn

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

(Sử dụng ngôn ngữ chuyển pha sắt từ-thuận từ)

1 Thông số trật tự có hướng tùy ý ở h = 0, T < Tc. Khi

T > Tc : m = 0

2 Dáng điệu kỳ dị (singular behavior) của các đại lượng nhiệt động theo (T − Tc), h, k được xác định bởi các chỉ số tới hạn.

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Điểm tới hạn và thông số trật tự Điểm tới hạn sắt từ-thuận từ Các điểm tới hạn khác

Điểm tới hạn liquid-gas Điểm tới hạn phản sắt từ Điểm tới hạn của hợp kim Điểm λ của Hêli lỏng và điểm tới hạn siêu dẫn

Những đặc điểm định tính của các hiện tượng tới hạn

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

(Sử dụng ngôn ngữ chuyển pha sắt từ-thuận từ)

1 Thông số trật tự có hướng tùy ý ở h = 0, T < Tc. Khi

T > Tc : m = 0

2 Dáng điệu kỳ dị (singular behavior) của các đại lượng nhiệt động theo (T − Tc), h, k được xác định bởi các chỉ số tới hạn.

3 Các chỉ số tới hạn có tính phổ quát (universality): có trị số

như nhau đối với những chất khác nhau.

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Điểm tới hạn và thông số trật tự Điểm tới hạn sắt từ-thuận từ Các điểm tới hạn khác

Điểm tới hạn liquid-gas Điểm tới hạn phản sắt từ Điểm tới hạn của hợp kim Điểm λ của Hêli lỏng và điểm tới hạn siêu dẫn

Những đặc điểm định tính của các hiện tượng tới hạn

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

(Sử dụng ngôn ngữ chuyển pha sắt từ-thuận từ)

1 Thông số trật tự có hướng tùy ý ở h = 0, T < Tc. Khi

T > Tc : m = 0

2 Dáng điệu kỳ dị (singular behavior) của các đại lượng nhiệt động theo (T − Tc), h, k được xác định bởi các chỉ số tới hạn.

3 Các chỉ số tới hạn có tính phổ quát (universality): có trị số

như nhau đối với những chất khác nhau. Lớp phổ quát (universality class): tập hợp những hệ có cùng các chỉ số tới hạn.

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Lý thuyết chuyển pha của Landau

Lý thuyết thang (Scaling Theory)

Chương 2: Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

1 Lý thuyết chuyển pha của Landau

Lịch sử phát triển của lý thuyết chuyển pha Lý thuyết chuyển pha loại II của Landau

2 Lý thuyết thang (Scaling Theory)

Giả thuyết thang (Scaling Hypothesis) Hàm tương quan Định luật scaling thứ nhất Phép biến thang Định luật scaling thứ hai Định luật scaling thứ ba Định luật scaling thứ tư Một vài nhận xét

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Lý thuyết chuyển pha của Landau

Lý thuyết thang (Scaling Theory)

Chương 2: Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

1 Lý thuyết chuyển pha của Landau

Lịch sử phát triển của lý thuyết chuyển pha Lý thuyết chuyển pha loại II của Landau

2 Lý thuyết thang (Scaling Theory)

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Lý thuyết chuyển pha của Landau

Lý thuyết thang (Scaling Theory)

Lịch sử phát triển của lý thuyết chuyển pha

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

Lý thuyết chuyển pha của Vander Walls

là lý thuyết chuyển pha đầu tiên mô tả hiện tượng tới hạn lỏng-khí (liquid-gas).

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Lý thuyết chuyển pha của Landau

Lý thuyết thang (Scaling Theory)

Lịch sử phát triển của lý thuyết chuyển pha

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

Thông số trật tự

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

Hoàng Dũng

Hệ quả: Trong trường hợp tổng quát, không được phép khai triển năng lượng tự do F, thế nhiệt động Φ, . . . thành chuỗi lũy thừa theo φ. Tuy nhiên, trong trường hợp mức độ kỳ dị của φ tại điểm chuyển pha là yếu, có thể khai triển F, Φ thành chuỗi lũy thừa theo φ ở vài lũy thừa bậc thấp nhất. Khai triển này không phụ thuộc vào đặc điểm của chuyển pha hay lực tác dụng lên hệ. Ví dụ: khai triển F(Φ) chỉ phụ thuộc vào đối xứng của hệ và số thành phần của thông số trật tự.

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Lý thuyết chuyển pha của Landau

Lý thuyết thang (Scaling Theory)

Lý thuyết chuyển pha loại II của Landau

Thông số trật tự

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

Lý thuyết chuyển pha của Landau

Lý thuyết thang (Scaling Theory)

Lý thuyết chuyển pha loại II của Landau

Thông số trật tự là đại lượng vô hướng

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

Điều kiện cực tiểu năng lượng tự do F

= 0, > 0 (2) ∂F(T, h, φ) ∂φ ∂2F(T, h, φ) ∂φ2

Giá trị cân bằng của thông số trật tự φ được xét từ điều kiện cực tiểu năng lượng tự do F (1) & (2) : −h + a(T, h)φ + b(T, h)φ3 = 0 (3)

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Lý thuyết chuyển pha của Landau

Lý thuyết thang (Scaling Theory)

Lý thuyết chuyển pha loại II của Landau

Thông số trật tự là đại lượng vô hướng

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

Không có từ trường ngoài (h = 0)

[a(T ) + b(T )φ2]φ = 0 (4)

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Lý thuyết chuyển pha của Landau

Lý thuyết thang (Scaling Theory)

Lý thuyết chuyển pha loại II của Landau

Thông số trật tự là đại lượng vô hướng

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

Không có từ trường ngoài (h = 0)

Giả thiết của Landau:

a(T ) là một hàm giải tích lân cận Tc được viết dưới dạng chuỗi lũy thừa a(T ) = ατ + . . . , α > 0 (6)

τ ≡ (7) T − Tc Tc

b(T ) được xem là hằng số lân cận Tc

φ2 = − (8) (h = 0, T < Tc) a(T ) b(T )

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Lý thuyết chuyển pha của Landau

Lý thuyết thang (Scaling Theory)

Lý thuyết chuyển pha loại II của Landau

Thông số trật tự là đại lượng vô hướng

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

Không có từ trường ngoài (h = 0)

Giá trị cân bằng của thông số trật tự trên và dưới điểm chuyển pha

ở T ≥ Tc( hay τ ≥ 0)   (9) φ0 = 0 (cid:16) (cid:17)1/2 − τ ở τ < 0( hay T < Tc)  α b

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Lý thuyết chuyển pha của Landau

Lý thuyết thang (Scaling Theory)

Lý thuyết chuyển pha loại II của Landau

Thông số trật tự là đại lượng vô hướng

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

Có từ trường ngoài (h 6= 0)

ατ φ + bφ3 = h (a(T ) ’ ατ ) (11)

Lý thuyết chuyển pha loại II của Landau

Thông số trật tự là đại lượng vô hướng

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

Có từ trường ngoài (h 6= 0)

Độ cảm từ

χ(T ) = (13) (cid:12) (cid:12) (cid:12)h=0 ∂φ(T ) ∂h Đạo hàm (11) theo h ατ χ + 3bφ2χ = 1 (14)

Khi T > Tc (τ > 0) ατ χ = 1 (15)

Suy ra χ = 1/ατ hay χ ∼ (τ )−1

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Lý thuyết chuyển pha của Landau

Lý thuyết thang (Scaling Theory)

Lý thuyết chuyển pha loại II của Landau

Thông số trật tự là đại lượng vô hướng

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

Có từ trường ngoài (h 6= 0)

Lý thuyết chuyển pha loại II của Landau

Thông số trật tự là đại lượng vô hướng

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

Có từ trường ngoài (h 6= 0)

So sánh với quy luật biến đổi của độ cảm từ theo nhiệt độ χ(T ) ∼ τ −γ, suy ra γLandau = 1 (γexp = 1.34 trong chuyển pha FM-PM).

Lưu ý: χ ∼ 1/τ chính là định luật Currie-Weiss.

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Lý thuyết chuyển pha của Landau

Lý thuyết thang (Scaling Theory)

Lý thuyết chuyển pha loại II của Landau

Thông số trật tự là đại lượng vô hướng

Lý thuyết chuyển pha loại II của Landau

Thông số trật tự là đại lượng vector

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

φ → Φ φ tại mọi điểm trong hệ như nhau → Φ phụ thuộc vào vị trí r do các thăng giáng địa phương.

Mở rộng:

Khai triển năng lượng tự do F theo Φ (phiếm hàm Ginzburg-Landau, 1950)

Z ατ Φ2(r) dr F(T, [h], [Φ]) = F0(T, [h]) + (18) n 1 2 (cid:16) (cid:17)2 (cid:17)2 o b + (cid:16) c + Φ2(r) −h(r)Φ(r) ∇Φ(r) 1 4 1 2

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Lý thuyết chuyển pha của Landau

Lý thuyết thang (Scaling Theory)

Lý thuyết chuyển pha loại II của Landau

Thông số trật tự là đại lượng vector

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

φ → Φ φ tại mọi điểm trong hệ như nhau → Φ phụ thuộc vào vị trí r do các thăng giáng địa phương.

Mở rộng:

Khai triển năng lượng tự do F theo Φ (phiếm hàm Ginzburg-Landau, 1950)

Z ατ Φ2(r) dr F(T, [h], [Φ]) = F0(T, [h]) + (18) n 1 2 (cid:16) (cid:17)2 (cid:17)2 o b + (cid:16) c + Φ2(r) −h(r)Φ(r) ∇Φ(r) 1 4 1 2 Cực tiểu hóa năng lượng tự do

= ατ Φ(r) − c∆Φ(r) + bΦ2(r)Φ(r) − h(r) = 0 (19) δF δΦ(r)

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Lý thuyết chuyển pha của Landau

Lý thuyết thang (Scaling Theory)

Lý thuyết chuyển pha loại II của Landau

Thông số trật tự là đại lượng vector

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

Hàm phân bố (mật độ xác suất) của trạng thái vĩ mô toàn hệ ứng với cấu hình [Φ(r)]

P [Φ(r)] = Z −1e−F [Φ(r)]/T

(20)

→ cấu hình khác nhau cho xác suất phân bố khác nhau. Cấu hình có xác suất cao nhất (khả dĩ nhất) là cấu hình tương ứng với giá trị cực tiểu của phiếm hàm năng lượng tự do, → giữ lại những số hạng chứa Φ(r) tương ứng với cấu hình cực tiểu được định nghĩa bởi điều kiện

= 0

(21)

δF [Φ(r)] δΦ(r)

Gần đúng trường trung bình (The mean field approximation):

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Lý thuyết chuyển pha của Landau

Lý thuyết thang (Scaling Theory)

Lý thuyết chuyển pha loại II của Landau

Thông số trật tự là đại lượng vector

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

Hàm phân bố (mật độ xác suất) của trạng thái vĩ mô toàn hệ ứng với cấu hình [Φ(r)]

P [Φ(r)] = Z −1e−F [Φ(r)]/T

(20)

= 0

(21)

Hàm tương quan

Cấu hình spin

Phương pháp tán xạ neutron

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

Phóng chùm neutron qua hệ (sắt từ) → “chụp ảnh” cấu hình spin.

Hoàng Dũng

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Lý thuyết chuyển pha của Landau

Lý thuyết thang (Scaling Theory)

Hàm tương quan

Phương pháp tán xạ neutron

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

Ảnh Fourier của σ(x): σ(k) ≡ σk Các phép biến đổi Fourier

Z d3xe−ikxσ(x) (24) σk = V−1/2

σ(x) = V−1/2 X (25) eikxσk

Sóng phẳng với vector sóng k → mode

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Lý thuyết chuyển pha của Landau

Lý thuyết thang (Scaling Theory)

Hàm tương quan

Phương pháp tán xạ neutron

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

Ảnh Fourier của σ(x): σ(k) ≡ σk Các phép biến đổi Fourier

Z d3xe−ikxσ(x) (24) σk = V−1/2

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

Biểu diễn tiết diện tán xạ qua hàm tương quan

Thay (25) vào (23)

Z Γif ∼ σk d3xei(k−pi+pf )x(cid:12) (cid:12) (cid:12) (28)

= = Vh|σk|2i D(cid:12) (cid:12)V−1/2 X (cid:12) D(cid:12) (cid:12)V−1/2σpi−pf (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

k: vector xung lượng truyền

(29) k = pi − pf

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Lý thuyết chuyển pha của Landau

Lý thuyết thang (Scaling Theory)

Hàm tương quan

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

Biểu diễn tiết diện tán xạ qua hàm tương quan

Thay (25) vào (23)

Z Γif ∼ σk d3xei(k−pi+pf )x(cid:12) (cid:12) (cid:12) (28)

= = Vh|σk|2i D(cid:12) (cid:12)V−1/2 X (cid:12) D(cid:12) (cid:12)V−1/2σpi−pf (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

k: vector xung lượng truyền

(29) k = pi − pf

Sử dụng (24) suy ra

kσki = V−1

Z h|σk|2i = hσ∗

d3x1d3x2hσ(x1)σ(x2)ie−ik(x1−x2) = G(k) (30)

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Lý thuyết chuyển pha của Landau

Lý thuyết thang (Scaling Theory)

Hàm tương quan

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

Biểu diễn tiết diện tán xạ qua hàm tương quan

Từ (28) và (29) có (31) Γif ∼ G(k)

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Lý thuyết chuyển pha của Landau

Lý thuyết thang (Scaling Theory)

Hàm tương quan

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

Biểu diễn tiết diện tán xạ qua hàm tương quan

Từ (28) và (29) có (31) Γif ∼ G(k)

Thực nghiệm: khi T → Tc và k → 0, Γif bị phân kỳ

(32) Γif ∼ k−2+ηV

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Lý thuyết chuyển pha của Landau

Lý thuyết thang (Scaling Theory)

Hàm tương quan

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

Biểu diễn tiết diện tán xạ qua hàm tương quan

Từ (28) và (29) có (31) Γif ∼ G(k)

Thực nghiệm: khi T → Tc và k → 0, Γif bị phân kỳ

(32) Γif ∼ k−2+ηV

→ hàm tương quan cũng bị phân kỳ

G(k) ∼ k−2+η (33)

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Lý thuyết chuyển pha của Landau

Lý thuyết thang (Scaling Theory)

Hàm tương quan

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

Biểu diễn tiết diện tán xạ qua hàm tương quan

Từ (28) và (29) có (31) Γif ∼ G(k)

Thực nghiệm: khi T → Tc và k → 0, Γif bị phân kỳ

Hàm tương quan

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

Ở giới hạn k = 0 = G(0) (35) χ T

Khảo sát χ bằng thực nghiệm: đo tiết diện tán xạ Γif

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Lý thuyết chuyển pha của Landau

Lý thuyết thang (Scaling Theory)

Hàm tương quan

Mối liên hệ giữa hàm tương quan và độ dài tương quan

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

Hàm tương quan G(k) = h|σ(k)|2i có cực đại rất nhọn ở gần điểm k = 0 khi T → Tc, → định nghĩa ξ−1 là độ rộng của cực đại này.

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Lý thuyết chuyển pha của Landau

Lý thuyết thang (Scaling Theory)

Hàm tương quan

Mối liên hệ giữa hàm tương quan và độ dài tương quan

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

Lý thuyết thang (Scaling Theory)

Định luật scaling thứ nhất

Mô tả toán học của giả thuyết scaling

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

Giả thuyết scaling → biểu diễn các hàm nhiệt động qua độ dài tương quan ở gần điểm tới hạn. Biểu diễn hàm tương quan qua độ dài tương quan khi T → Tc

G(k) = ξyg(kξ) (37)

(38) G(0) = ξyg(0) ∼ |T − Tc|−νy

Do G(0) ∼ ξ và ξ ∼ |T − Tc|−γ nên

νy = γ hay y = γ/ν (39)

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Lý thuyết chuyển pha của Landau

Lý thuyết thang (Scaling Theory)

Định luật scaling thứ nhất

Mô tả toán học của giả thuyết scaling

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

Khi T → Tc và k 6= 0 G(k) ∼ k−2+η

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Lý thuyết chuyển pha của Landau

Lý thuyết thang (Scaling Theory)

Định luật scaling thứ nhất

Mô tả toán học của giả thuyết scaling

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

Khi T → Tc và k 6= 0 G(k) ∼ k−2+η

Kết hợp với giả thiết scaling (37) suy ra

g(kξ) ∼ (kξ)−2+η (40) lim k→∞

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Lý thuyết chuyển pha của Landau

Lý thuyết thang (Scaling Theory)

Định luật scaling thứ nhất

Mô tả toán học của giả thuyết scaling

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

Khi T → Tc và k 6= 0 G(k) ∼ k−2+η

Kết hợp với giả thiết scaling (37) suy ra

g(kξ) ∼ (kξ)−2+η (40) lim k→∞

⇒ ξy−2+η = 1 hay y = 2 − η (41)

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Lý thuyết chuyển pha của Landau

Lý thuyết thang (Scaling Theory)

Định luật scaling thứ nhất

Mô tả toán học của giả thuyết scaling

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

Khi T → Tc và k 6= 0 G(k) ∼ k−2+η

Kết hợp với giả thiết scaling (37) suy ra

g(kξ) ∼ (kξ)−2+η (40) lim k→∞

⇒ ξy−2+η = 1 hay y = 2 − η (41)

Từ (39) và (41) suy ra ν = (42) γ 2 − η

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Lý thuyết chuyển pha của Landau

Lý thuyết thang (Scaling Theory)

Định luật scaling thứ nhất

Mô tả toán học của giả thuyết scaling

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

Khi T → Tc và k 6= 0 G(k) ∼ k−2+η

Kết hợp với giả thiết scaling (37) suy ra

g(kξ) ∼ (kξ)−2+η (40) lim k→∞

Phép biến thang

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

Phép biến thang (biến đổi kích thước)

∆x: khoảng không gian có thứ nguyên độ dài, s: số thực, không thứ nguyên, s > 1: ∆x co lại s lần s < 1: ∆x dãn ra s−1 lần

∆x → ∆x0 = s−1∆x (43)

Phép biến thang

Thứ nguyên của hàm tương quan và mật độ spin

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

Sử dụng biểu thức (37)

λkξ = λk + λξ = +1 − 1 = 0

G(k) = ξyg(kξ)

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Lý thuyết chuyển pha của Landau

Lý thuyết thang (Scaling Theory)

Phép biến thang

Thứ nguyên của hàm tương quan và mật độ spin

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

Sử dụng biểu thức (37)

λkξ = λk + λξ = +1 − 1 = 0 λξy = (−1)y = −y

G(k) = ξyg(kξ)

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Lý thuyết chuyển pha của Landau

Lý thuyết thang (Scaling Theory)

Phép biến thang

Thứ nguyên của hàm tương quan và mật độ spin

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

Sử dụng biểu thức (37)

λkξ = λk + λξ = +1 − 1 = 0 λξy = (−1)y = −y

(46)

⇒ λG(k) = λξy + λkξ = −y

G(k) = ξyg(kξ)

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Lý thuyết chuyển pha của Landau

Lý thuyết thang (Scaling Theory)

Phép biến thang

Thứ nguyên của hàm tương quan và mật độ spin

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

Sử dụng biểu thức (37)

λkξ = λk + λξ = +1 − 1 = 0 λξy = (−1)y = −y

(46)

⇒ λG(k) = λξy + λkξ = −y

G(k) = ξyg(kξ)

Thứ nguyên của mật độ spin được tính thông qua thứ nguyên của hàm tương quan theo mối liên hệ

Z G(k) = d3xh(σ(x) − hσi)(σ(0) − hσi)ie−ikx (47)

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Lý thuyết chuyển pha của Landau

Lý thuyết thang (Scaling Theory)

Phép biến thang

Thứ nguyên của hàm tương quan và mật độ spin

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

Sử dụng biểu thức (37)

λkξ = λk + λξ = +1 − 1 = 0 λξy = (−1)y = −y

(46)

⇒ λG(k) = λξy + λkξ = −y

G(k) = ξyg(kξ)

Thứ nguyên của mật độ spin được tính thông qua thứ nguyên của hàm tương quan theo mối liên hệ

λG = λV + 2dσ (dσ ≡ λσ) ⇒ −y = −d + 2dσ

Z G(k) = d3xh(σ(x) − hσi)(σ(0) − hσi)ie−ikx (47)

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Lý thuyết chuyển pha của Landau

Lý thuyết thang (Scaling Theory)

Phép biến thang

Thứ nguyên của hàm tương quan và mật độ spin

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

Sử dụng biểu thức (37)

λkξ = λk + λξ = +1 − 1 = 0 λξy = (−1)y = −y

(46)

⇒ λG(k) = λξy + λkξ = −y

G(k) = ξyg(kξ)

λG = λV + 2dσ (dσ ≡ λσ) ⇒ −y = −d + 2dσ Thứ nguyên của mật độ spin

(d − y) =

(d − 2 + η)

(48)

Định luật scaling thứ hai

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

Năng lượng tự do toàn phần không thay đổi trong phép biến thang λF = 0

Thứ nguyên của mật độ năng lượng tự do (f = F/V)

λf = λF − λV = 0 − (−d) = d

Dáng điệu tới hạn của mật độ năng lượng tự do

(50) f ∼ ξλf = ξ−d ∼ |T − Tc|νd

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Lý thuyết chuyển pha của Landau

Lý thuyết thang (Scaling Theory)

Định luật scaling thứ hai

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

Năng lượng tự do toàn phần không thay đổi trong phép biến thang λF = 0

Thứ nguyên của mật độ năng lượng tự do (f = F/V)

λf = λF − λV = 0 − (−d) = d

Dáng điệu tới hạn của mật độ năng lượng tự do

(50) f ∼ ξλf = ξ−d ∼ |T − Tc|νd

Nhiệt dung: C ∼ ∂2f ∂T 2 ∼ |T − Tc|νd−2

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Lý thuyết chuyển pha của Landau

Lý thuyết thang (Scaling Theory)

Định luật scaling thứ hai

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

Năng lượng tự do toàn phần không thay đổi trong phép biến thang λF = 0

Thứ nguyên của mật độ năng lượng tự do (f = F/V)

λf = λF − λV = 0 − (−d) = d

Dáng điệu tới hạn của mật độ năng lượng tự do

(50) f ∼ ξλf = ξ−d ∼ |T − Tc|νd

Nhiệt dung: C ∼

∂2f ∂T 2 ∼ |T − Tc|νd−2 Mối liên hệ giữa nhiệt dung và chỉ số α: C ∼ |T − Tc|−α

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Lý thuyết chuyển pha của Landau

Lý thuyết thang (Scaling Theory)

Định luật scaling thứ hai

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

Năng lượng tự do toàn phần không thay đổi trong phép biến thang λF = 0

Thứ nguyên của mật độ năng lượng tự do (f = F/V)

λf = λF − λV = 0 − (−d) = d

Dáng điệu tới hạn của mật độ năng lượng tự do

(50) f ∼ ξλf = ξ−d ∼ |T − Tc|νd

Nhiệt dung: C ∼

Định luật scaling thứ ba

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

Độ từ hóa ở nhiệt độ T < Tc và từ trường h = 0: M = hσi → thứ nguyên của M bằng thứ nguyên của trung bình mật độ spin

(d − 2 − η) λM ≡ dM = dσ = 1 2

−

(d−2+η)

Dáng điệu tới hạn của độ từ hóa

1 2 ν 2 M ∼ ξ−λM = ξ ∼ |T − Tc|

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Lý thuyết chuyển pha của Landau

Lý thuyết thang (Scaling Theory)

Định luật scaling thứ ba

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

Độ từ hóa ở nhiệt độ T < Tc và từ trường h = 0: M = hσi → thứ nguyên của M bằng thứ nguyên của trung bình mật độ spin

(d − 2 − η) λM ≡ dM = dσ = 1 2

−

(d−2+η)

Dáng điệu tới hạn của độ từ hóa

1 2 ν 2 M ∼ ξ−λM = ξ ∼ |T − Tc|

Mối liên hệ giữa độ từ hóa và chỉ số β: M ∼ |T − Tc|β

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Lý thuyết chuyển pha của Landau

Lý thuyết thang (Scaling Theory)

Định luật scaling thứ ba

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

Độ từ hóa ở nhiệt độ T < Tc và từ trường h = 0: M = hσi → thứ nguyên của M bằng thứ nguyên của trung bình mật độ spin

(d − 2 − η) λM ≡ dM = dσ = 1 2

−

(d−2+η)

Dáng điệu tới hạn của độ từ hóa

1 2 ν 2 M ∼ ξ−λM = ξ ∼ |T − Tc|

Định luật scaling thứ tư

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

M = −∂f /∂h ⇒ λh = λf − dM Suy ra

(d + 2 − η) (53) dh = 1 2

Mối liên hệ giữa độ từ hóa và từ trường

M ∼ (h1/dh)dσ = ddσ/dh (54)

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Lý thuyết chuyển pha của Landau

Lý thuyết thang (Scaling Theory)

Định luật scaling thứ tư

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

M = −∂f /∂h ⇒ λh = λf − dM Suy ra

(d + 2 − η) (53) dh = 1 2

Mối liên hệ giữa độ từ hóa và từ trường

M ∼ (h1/dh)dσ = ddσ/dh (54)

Mối liên hệ giữa độ từ hóa và chỉ số δ: M ∼ h1/δ

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Lý thuyết chuyển pha của Landau

Lý thuyết thang (Scaling Theory)

Định luật scaling thứ tư

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

M = −∂f /∂h ⇒ λh = λf − dM Suy ra

(d + 2 − η) (53) dh = 1 2

Mối liên hệ giữa độ từ hóa và từ trường

M ∼ (h1/dh)dσ = ddσ/dh (54)

Lý thuyết thang (Scaling Theory)

Một vài nhận xét

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

Trên cơ sở giả thuyết scaling, cùng với những lập luận tổng quát không đi vào chi tiết của hệ, 4 hệ thức liên hệ các chỉ số tới hạn đã được rút ra:

1 Định luật 1: ν =

γ 2 − η 2 Định luật 2: α = 2 − dν

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Lý thuyết chuyển pha của Landau

Lý thuyết thang (Scaling Theory)

Một vài nhận xét

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

Trên cơ sở giả thuyết scaling, cùng với những lập luận tổng quát không đi vào chi tiết của hệ, 4 hệ thức liên hệ các chỉ số tới hạn đã được rút ra:

1 Định luật 1: ν =

(d − 2 + η)

γ 2 − η 2 Định luật 2: α = 2 − dν 3 Định luật 3: β =

ν 2

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Lý thuyết chuyển pha của Landau

Lý thuyết thang (Scaling Theory)

Một vài nhận xét

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

Trên cơ sở giả thuyết scaling, cùng với những lập luận tổng quát không đi vào chi tiết của hệ, 4 hệ thức liên hệ các chỉ số tới hạn đã được rút ra:

1 Định luật 1: ν =

(d − 2 + η)

γ 2 − η 2 Định luật 2: α = 2 − dν 3 Định luật 3: β =

4 Định luật 4: δ =

ν 2 d + 2 − η d − 2 + η

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Lý thuyết chuyển pha của Landau

Lý thuyết thang (Scaling Theory)

Một vài nhận xét

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

So sánh với thực nghiệm trong chuyển pha sắt từ (Sử dụng 2 chỉ số từ thực nghiệm γ = 1.34 và η = 0.07 để tính 4 chỉ số còn lại dựa vào 4 hệ thức đã biết)

Thực nghiệm Lý thuyết scaling

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Lý thuyết chuyển pha của Landau

Lý thuyết thang (Scaling Theory)

Một vài nhận xét

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

0.63,

ĐL1: ν = 0.69,

Thực nghiệm Lý thuyết scaling

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Lý thuyết chuyển pha của Landau

Lý thuyết thang (Scaling Theory)

Một vài nhận xét

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

0.63,

ĐL1: ν = 0.69,

-0.12,

ĐL2: α = −0.07,

Thực nghiệm Lý thuyết scaling

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Lý thuyết chuyển pha của Landau

Lý thuyết thang (Scaling Theory)

Một vài nhận xét

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

0.63,

ĐL1: ν = 0.69,

-0.12,

ĐL2: α = −0.07,

0.38,

ĐL3: β = 0.37,

Thực nghiệm Lý thuyết scaling

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Lý thuyết chuyển pha của Landau

Lý thuyết thang (Scaling Theory)

Một vài nhận xét

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

0.63,

ĐL1: ν = 0.69,

-0.12,

ĐL2: α = −0.07,

0.38,

ĐL3: β = 0.37,

4.46,

ĐL4: δ = 4.6.

Thực nghiệm Lý thuyết scaling

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Lý thuyết chuyển pha của Landau

Lý thuyết thang (Scaling Theory)

Một vài nhận xét

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

0.63,

ĐL1: ν = 0.69,

-0.12,

ĐL2: α = −0.07,

0.38,

ĐL3: β = 0.37,

4.46,

ĐL4: δ = 4.6.

Thực nghiệm Lý thuyết scaling

Kết quả phù hợp tốt với thực nghiệm (sai số 10%)

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Lý thuyết chuyển pha của Landau

Lý thuyết thang (Scaling Theory)

Một vài nhận xét

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

0.63,

ĐL1: ν = 0.69,

-0.12,

ĐL2: α = −0.07,

0.38,

ĐL3: β = 0.37,

4.46,

ĐL4: δ = 4.6.

Thực nghiệm Lý thuyết scaling

Kết quả phù hợp tốt với thực nghiệm (sai số 10%)

αscaling = 0.08, αexp = 0.11 Các chỉ số khác phù hợp tốt với thực nghiệm.

Trong chuyển pha lỏng-khí:

Hoàng Dũng

Đặc điểm quan trọng của các hiện tượng tới hạn: Khi T → Tc, thăng giáng trên những khoảng cách lớn đóng vai trò quan trọng, quyết định các tính chất tới hạn Các giả thuyết scaling mang tính phổ quát và đúng cho tất cả các hiện tượng tới hạn. → một cách kiểm chứng lý thuyết mới: kiểm tra xem có phù hợp với lý thuyết scaling hay không bằng cách xem các chỉ số tới hạn có thỏa định luật scaling hay không.

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Lý thuyết chuyển pha của Landau

Lý thuyết thang (Scaling Theory)

Một vài nhận xét

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Lý thuyết chuyển pha của Landau

Lý thuyết thang (Scaling Theory)

Một vài nhận xét

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

2.3. Một số mô hình đơn giản 2.3.1. Mô hình Ising

• c: vector bán kính kẻ từ gốc tọa đến tâm của ô cơ sở  đặc trưng vị trí của ô; • kích thước dài của mạng tinh thể: L(Å)

 thể tích mạng: Ld;

• số ô cơ sở: Ld (kích thước ô cơ sở: 1 Å); • spin toàn phần (sau khi lấy trung bình) của các hạt trong ô cơ sở có vector bán kính c: σc; • 1 ô cơ sở  1 spin ô

Ld ô cơ sở  Ld spin ô

• Ở đây ta không quan tâm đến spin của từng hạt trong ô cơ sở mà chỉ quan tâm đến spin toàn phần của các hạt trong ô sau khi lấy trung bình. • Mỗi biến spin chỉ có thể nhận một trong hai giá trị: +1 hoặc -1 (spin định hướng song song hoặc đối song với một trục nào đó của hệ).

 Mô hình Ising thường được dùng để mô tả các hệ từ bất đẳng hướng mạnh.

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

2.3. Một số mô hình đơn giản 2.3.1. Mô hình Ising (tt)

L 2

(1)

ˆH

 (c c ) 

 









d N L • Số biến spin ô: 2  Số cấu hình spin khác nhau của hệ: • Mỗi cấu hình spin  một năng lượng xác định (hàm của tất cả các biến spin). • Hamiltonian Ising   

 c c

 c

S 1





c,c

: lấy theo tất cả các ô lân cận của ô c cho trước;

c

: lấy theo tất cả các ô.

 

I: tích phân trao đổi; I > 0: hệ sắt từ, I < 0: hệ phản sắt từ.

S1: tương tác giữa các spin thuộc các ô khác nhau trong hệ thông qua I.

S2: thế năng tương tác của các spin với từ trường ngoài h.

Lưu ý: (1) mô tả tương tác giữa các spin thuộc các ô cơ sở khác nhau, không xét đến tương tác spin của các hạt trong cùng một ô.

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

2.3. Một số mô hình đơn giản 2.3.2. Mô hình Heisenberg

• Các spin ô σc có thể hướng theo các phương tùy ý

σc = (σ1c,σ2c,σ3c) = {σic}, i=1,2,3 (2)

• Hamiltonian Heisenberg:

(3)

ˆH

 

 (c c ) 





   

   c c

  c



h



c,c

 bất biến đối với mọi phép quay hệ (hay quay tất cả spin) một góc bất kỳ.

Mô hình Heisenberg thích hợp để mô tả các hệ đẳng hướng.

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

2.3. Một số mô hình đơn giản 2.3.3. Mô hình XY

• Là mô hình trung gian giữa mô hình Ising và mô hình Heisenberg. • Mỗi biến spin σc là một vector hai thành phần:

σc = (σ1c, σ2c)

• Hamiltonian có cùng dạng (3) với Hamiltonian Heisenberg.

Mô hình XY dùng để mô tả các hệ từ có spin định hướng chủ yếu trên một mặt phẳng.

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

2.3. Một số mô hình đơn giản 2.3.4. Số chiều của không gian và số thành phần của spin

Hai tham số quan trọng trong lý thuyết các hiện tưởng tới hạn (quyết định giá trị các

chỉ số tới hạn):

1) Số chiều không gian d: • d = 1: chuỗi spin, • d = 2: lớp spin, • d = 3: khối spin.

2) Số thành phần của vector spin n:

• n = 1: Ising, • n = 2: XY, • n = 3: Heisenberg.

Lưu ý: d và n có thể bằng nhau nhưng thông thường thì khác nhau. • Khối sắt từ đẳng hướng  mô hình Heisenberg  d=n=3; • Khối sắt từ có một trục bất đẳng hướng mạnh  mô hình Ising  d=3, n=1;

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

2.3. Một số mô hình đơn giản 2.3.5. Phân bố thống kê của các biến spin

• Giả sử vector spin ô σC có n thành phần σic (i=1,2,…,n)

 số biến spin: N = nLd

• Biến spin σic: đại lượng ngẫu nhiên. • Hàm phân bố:

ˆ H[



 

(4)



 1 e

   



ˆH[

]

: hamiltonian ô

ˆH[



 

(5)





 d c i





là tổng thống kê được xác định từ điều kiện chuẩn hóa (tích phân bội lấy theo tất cả các thành phần của mỗi vector pin và theo tất cả các ô cơ sở của mạng tinh thể).

(4)  xác suất của một cấu hình spin.

•

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

2.3. Một số mô hình đơn giản 2.3.5. Phân bố thống kê của các biến spin (tt)

• Giả sử A là một đại lượng nhiệt động đặc trưng cho hệ và là hàm của các biến

spin.

1 

 [ 

(6)



ˆ  e H A

   

 d c i

  d ic



• Trị trung bình của A 



, i c



...

: trung bình thống kê được tính theo hàm phân bố P[σ]. P

• Năng lượng tự do cho một đơn vị thể tích

(7)





F V

F d L



F T /



d fL T /





Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

2.3. Một số mô hình đơn giản 2.3.5. Phân bố thống kê của các biến spin (tt)

• Một số đại lượng nhiệt động tính theo năng lượng tự do:

 Entropy:

 

 f  T

 Nhiệt dung:

 

 C T

f 2 ,

  T

(8)

 Độ từ hóa:

  

 Độ cảm từ:



 

f 2

  h

 S T   f h  m     h 

   T    T

    

   T

• Nếu các đại lượng nhiệt động biến thiên theo T-Tc, h, k theo các quy luật ở chương I  mô hình và tính toán lý thuyết cho kết quả phù hợp với thực nghiệm.

ˆH

giải tích >< phân kỳ ? ,  

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

2.4. Hamiltonian cụm và phép biến đổi Kadanoff 2.4.1. Hamiltonian cụm

• Hamiltonian ô:

 Không cho phép mô tả tương tác giữa các spin bên trong cùng một ô cơ sở;

 Các tham số của Hamiltonian ô (tích phân trao đổi, …) đã tổng hợp và bao

hàm những hiệu ứng về biến diễn của hệ trên những khoảng cách r nhỏ hơn kích thước của một ô cơ sở (r ≤ 1 );

o A

 Chỉ cho thông tin về biến diễn spin trên những khoảng cách lớn hơn kích

o A

thước ô cơ sở (r ≤ 1 );

o  Hamiltonian ô có độ phân giải 1 . A

• Thực nghiệm cho thấy những miền có kích thước lớn (ở đó hầu hết các spin định

hướng song song) quyết định các tính chất tới hạn của hệ.

 Nhu cầu: từ các ô cơ sở ban đầu lập các cụm lớn hơn (blocks, clusters).

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

o A

2.4. Hamiltonian cụm và phép biến đổi Kadanoff 2.4.1. Hamiltonian cụm (tt) • Chia hệ Ld ô cơ sở ban đầu thành các cụm kích thước b chứa bd ô cơ sở ban đầu,



cụm.

d L d b

Trường hợp d = 2:

8×8 ô cơ sở ban đầu 16 cụm mới, mỗi cụm chứa 4 ô cơ sở ban đầu (b = 2).

Spin σx: trung bình số học của tất cả spin ô trong cụm

(1)

 db

  c

 

: lấy tổng theo các ô thuộc cụm x.

x b = 1: spin cụm ≡ spin ô.

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

2.4. Hamiltonian cụm và phép biến đổi Kadanoff 2.4.1. Hamiltonian cụm (tt)

?

o A

• Hamiltonian ô (mô tả tương tác spin ô trên khoảng cách r ≥ 1 )  Hamiltonian cụm (mô tả tương tác spin cụm trên khoảng cách r ≥ b ). • Giả sử:

 P(q1,q2): hàm phân bố của các biến ngẫu nhiên q1, q2;  q: trung bình số học (TBC) của q1, q2: q = ½ (q1 + q2);

?

P(q1,q2)  P(q)

• Quy tắc của xác suất thống kê:

q 1

q 2

q 1

q 2

(2)

 ( ) P q





(

)







 2

  dq dq  2 1 

 P q q  1 2 

   

  

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com







 c i



  b c    (cid:0) ) [ P ] 

 ˆ [ e  H ]/

(

2.4. Hamiltonian cụm và phép biến đổi Kadanoff 2.4.1. Hamiltonian cụm (tt) • Áp dụng với:  q  x  q q 2 1 2 P q q 1 2

 Hàm phân bố cho các biến spin cụm:









   

 i c





   i x



(3)



 ]/ 

ˆH[

 ]/ 





 i c

 d j





   x i

 

 (cid:0) ~ e

,c  T

Giả sử có thể đưa kết quả thu được về dạng

 ]

 hamiltonian cụm cần tìm trong không gian tọa độ.

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

2.4. Hamiltonian cụm và phép biến đổi Kadanoff 2.4.1. Hamiltonian cụm (tt)

• Độ phân giải của hamiltonian cụm kém hơn b lần so với độ phân giải của

hamiltonian ô.

o A

• Nếu không quan tâm đến các tương tác spin trên khoảng cách r < b :

hamiltonian cụm tương đương hamiltonian ô (hàm phân bố ứng với chúng cho cùng giá trị trung bình).

• Trong các hiện tượng tới hạn, người ta thường quan tâm các dao động spin với

bước sóng λ lớn (λ >> hằng số mạng).

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

2.4. Hamiltonian cụm và phép biến đổi Kadanoff 2.4.1. Hamiltonian cụm (tt)

Hamiltonian cụm trong không gian vector sóng k ?

 KGTĐ:

/ 2

 thay thế các biến spin ô bởi các ảnh Fourier σk của chúng   L c

  k



(4)

 KGXL:

/ 2



  L  k

  c



Khi đó:

ˆH[



  k

 ] là hàm của T - H /



: phân bố xác suất của các biến ngẫu nhiên σik (nLd biến).

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

2.4. Hamiltonian cụm và phép biến đổi Kadanoff 2.4.1. Hamiltonian cụm (tt)

KGTĐ và KGXL nghịch đảo nhau

o A

 nếu spin cụm σx mô tả các hiệu ứng trên những khoảng cách r ≥ b thì ảnh Fourier của nó σk chỉ cho thông tin về biến diễn spin đối với k thỏa k < Λ (Λ = 2π/b). Khi lập hamiltonian cụm từ hamiltonian ô trong không gian vector sóng, ta chỉ quan tâm đến các biến σk có vector sóng k < Λ.

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

2.4. Hamiltonian cụm và phép biến đổi Kadanoff 2.4.1. Hamiltonian cụm (tt)

? Hàm phân bố P [σk] cho các biến σk  P’ [σk] cho các biến σk với k < Λ. • Quy tắc xác suất thống kê:

)

(5)

dq P q q ( 2

 ( P q 1

P (q1,q2): hàm phân bố thống kê của các đại lượng ngẫu nhiên q1,q2.  hàm phân bố P’ (q1) cho biến q1 (không quan tâm tới biến q2):  

2 • Áp dụng: do chỉ quan tâm đến các biến σk với k < Λ nên ta lấy tích phân hàm phân bố P [σk] theo σik với k > Λ ˆH[

 ]/T 





(cid:0) ~

(6)

 d  k i



]/T

: hamiltonian cụm trong không gian vector sóng, tương đương với

 ]

,k i  k>  hàm phân bố thống kê cho các đại lượng σik có vector sóng k nằm bên trong hình cầu có bán kính Λ.  e  H[ • Giả sử có thể đưa P’ về dạng  hamiltonian cụm (3).

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

2.4. Hamiltonian cụm và phép biến đổi Kadanoff 2.4.1. Hamiltonian cụm (tt)

• Spin cụm:

 - db

  c

  • Định nghĩa một spin cụm khác tương đương với σx về mặt định tính

(7)

 

(x)

  k

  -d/2 L

)

k k (



 Mô tả cấu hình spin trên những khoảng cách r ≥ b ~ Λ-1 (thông tin về các σik với k < Λ).

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

2.4. Hamiltonian cụm và phép biến đổi Kadanoff 2.4.2. Phép biến đổi Kadanoff

• Thu nhận hamiltonian cụm từ hamiltonian ô (phép biến đổi (3) hoặc (6)): phép biến đổi Kadanoff.

 Mô tả quá trình này bởi toán tử Kb:

(8)

 

] /

 K

 

ˆ H[

] /

1 1K

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

2.4. Hamiltonian cụm và phép biến đổi Kadanoff 2.4.2. Phép biến đổi Kadanoff (tt)

• Mở rộng: xây dựng hamiltonian cụm mới H”[σ] với mỗi cụm có kích thước dài gấp s lần kích thước dài của cụm vừa thu được.

 Định nghĩa spin cụm mới:

(9)

  y i

 

 s x  x: vector bán kính cụm mới,

 y: vector bán kính cụm cũ bên trong cụm mới.

• Sử dụng quy tắc (2):

(10)

] /

 K

 

] /

 

 H [



  

 

 H [

(11)



 ( x i

   y i

 d j

  s



 )



mô tả tương tác giữa các spin của các cụm mới có kích thước sb.

 ]

H [

• • Độ phân giải của H” là sb (giảm thêm s lần so với H).

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

2.4. Hamiltonian cụm và phép biến đổi Kadanoff 2.4.2. Phép biến đổi Kadanoff (tt)

Thay cho phép biến đổi (11), ta có thể làm tương tự biến đổi (6) để thu được H”[σ] trong không gian vector sóng k.

• Không gian tọa độ: khoảng cách r mà biến diễn spin được mô tả tăng từ b lên sb.

Bước 1

Bước 2 • Không gian vector sóng:

Λ /s

Bước 2

Bước 1

Λ /s



 H [

 

(12)



 d k i





,k i   >k> /s

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

2.4. Hamiltonian cụm và phép biến đổi Kadanoff 2.4.2. Phép biến đổi Kadanoff (tt)

Phép biến đổi Kadanoff thỏa:

(13)

K

] /



] /



K

 

ˆ H[

 

ˆ H[

] /

K K s

hay

(14)



K K K b

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

2.5. Hamiltonian Ginzburg - Landau 2.5.1. Mô hình Ginzburg - Landau • Mô hình GL có vai trò rất quan trọng trong lý thuyết các hiện tượng tới hạn và đặc biệt trong lý thuyết siêu dẫn. • Giả thuyết của mô hình: hamiltonian cụm có thể viết dưới dạng khai triển theo các lũy thừa của spin cụm và đạo hàm của nó.

(1)

 

] /



  ( c

  )

  h ]







a 0

 4  a 4

 (x)  2  a 2

: hệ số không chứa σ và phụ thuộc vào T, h;

 (x)  c

a 0

a , 2

a , 4

(2)

  h σ: tương tác của hệ với từ trường ngoài.   spin cụm: ei 

(x)

  k

  -d/2 L



k k (

)

(x)

(x))





 ( i

 

 1



2 2 )

(

(3)



(

   (x)         ) 







 1

 1 i

   i   x 

  

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

2.5. Hamiltonian Ginzburg - Landau 2.4.1. Hamiltonian GL trong biểu diễn xung lượng

• Sử dụng phép biến đổi Fourier (2) đưa H về dạng phiếm hàm của σk:



 (k k )x

 

] /





 d d L x





a 2

 a d 0



 





 (k k +k +k )x







2  a L 4







 k,k ,k ,k (

    k k k,k ( )         k k k )

 

k i x

 L





 k i





 c d

k (

)



1  

1 

  

/ 2

i x k



h x

 L

    x     k



)





k ( k 

 S



S 1

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

2.5. Hamiltonian Ginzburg - Landau 2.4.1. Hamiltonian GL trong biểu diễn xung lượng (tt)



;

S 1

d a L 0



(k k )x 



;





a 2

 a L 2



k,k (

   k k )

   k -k )

k( k

 









d L

(k k +k +k );







           k k k

 a L 4





 k,k ,k ,k (

 

);







)     ( )(      k k

-k-k -k

 a L 4



 k,k ,k (

 

;

 

)   2  k -k



k (

)



/ 2

 

h

 L

h ( )

 

d L

  h

 d   L k

k=0



k (



)

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

2.5. Hamiltonian Ginzburg - Landau 2.4.1. Hamiltonian GL trong biểu diễn xung lượng (tt)

Hamiltonian GL trong không gian xung lượng:

  [

] /





(



2 c k )

d a L 0

   k -k

a 2



k k(



)

(4)

h



 L

)



d L





       ( )(   k k

-k-k -k

 / 2  0



 k,k ,k (

)

 

Hàm phân bố cho các spin cụm:

(5)

(cid:0)

  [ P

] /

  e  [ H ]/

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

2.5. Hamiltonian Ginzburg - Landau 2.4.1. Hamiltonian GL trong biểu diễn xung lượng (tt)

Sử dụng định nghĩa khác của spin cụm

-d

(6)

 b x

  c

 

Khi đó Hamiltonian GL được viết lại

 2

 

] /

 T b

[



     (

)



]

a 0

  a 2 x

  a 4 x

  h x

x y 



b 2

(7)

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com



• Không xét số hạng gradient: bỏ qua

)

(8)

T b

 

] /

)

2.5. Hamiltonian Ginzburg - Landau 2.4.2. Hàm phân bố ngẫu nhiên cho tất cả các spin cụm      ( x y   ( x

H [ 0

(9)

)





 h

x 

  ( x

a 0

  a 4 x

  x

    a 2 x

• Thay (8) vào phân bố ngẫu nhiên (5) cho tất cả các spin cụm:

 ]/  [



  [ x

(10)

   (cid:0) ] ~ [ e P

 

• Nhận xét:

 (8) là tổng của các số hạng độc lập với nhau.  (10) là tích của các hàm phân bố thống kê cho các spin cụm σx.

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

2.5. Hamiltonian Ginzburg - Landau 2.4.2. Hàm phân bố ngẫu nhiên cho tất cả các spin cụm (tt)

Việc bỏ qua số hạng thứ tư trong (7) dẫn đến: phân bố thống kê cho tất cả các spin cụm tách thành tích của các hàm phân bố thống kê cho từng cụm riêng rẽ: • Mỗi cụm độc lập với các cụm còn lại (có Ld/bd cụm spin không tương tác với nhau); • Mỗi cụm có hamiltonian hiệu dụng là bdU(σx): năng lượng tự do của cụm x với spin trung bình là σx; đây là khai triển theo các lũy thừa của σx (theo (9)).

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

2.5. Hamiltonian Ginzburg - Landau 2.4.2. Hàm phân bố ngẫu nhiên cho tất cả các spin cụm (tt)

 • Xét đến số hạng gradient  các cụm không còn độc lập.

x y

     (

) Trong Hamiltonian GL, tương tác giữa các spin cụm được mô tả qua số hạng gradient. • Hệ sắt từ: số hạng gradient mô tả xu hướng từng spin cụm song song với những spin cụm bên cạnh.



)

x y

     (  Tất cả spin cụm nhận cùng giá trị : tương tác giữa các spin cụm x bằng 0.

 Các spin khác biệt càng lớn  H/T càng lớn  xác suất e-H/T càng nhỏ.

Lưu ý: trên thực tế, tương tác giữa các spin cụm không chỉ được mô tả bởi số hạng gradient mà còn các số hạng bậc cao hơn.

 Hamiltonian GL vẫn là mô hình đơn giản

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

Chương 3

Phương pháp nhóm tái chuẩn hóa Renormalization group method

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

3.1. Đặt vấn đề 3.1.1. Khó khăn của bài toán về các hiện tượng tới hạn

1 cm3 sắt từ 1023 nguyên tử  1023 bậc tự do;  Tìm hàm sóng của hệ bằng phương pháp giải phương trình Schrodinger: vô vọng!

Vật lý hiện đại (lý thuyết trường lượng tử tương đối tính, hiệu ứng Kondo, …) và bài toán về các hiện tượng tới hạn gặp cùng một khó khăn: số bậc tự do quá lớn.

 Giải quyết?  Giảm số bậc tự do.

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

3.1. Đặt vấn đề 3.1.2. Extensive & Intensive

• Trong cùng điều kiện nhiệt độ, áp suất, chất lỏng 1020 nguyên tử và chất lỏng 1023 nguyên tử có cùng giá trị mật độ năng lượng: tính đồng nhất của một số hệ vĩ mô.

 cho phép tái lập tính chất toàn hệ đồng nhất nếu biết tính chất một phần nào đó. • Giảm thể tích và số bậc tự do đến mức nào để bảo đảm phần được xét có thể đại diện cho toàn hệ?

 Giảm đến độ dài tương quan ξ – kích thước cực tiểu của miền mà tính chất của nó cũng chính là tính chất của toàn hệ vĩ mô. • Ưu điểm: ở điều kiện bình thường ξ có độ lớn cỡ vài lần khoảng cách giữa các nguyên tử  số bậc tự do không lớn  có thể sử dụng các phương pháp gần đúng. • Nhược điểm: không thể áp dụng cho bài toán về các hiện tượng tới hạn!

  

T C

 Số bậc tự trong miền kích thước ξ vô cùng lớn.

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

3.1. Đặt vấn đề 3.1.3. Phương pháp nhóm tái chuẩn hóa (RG)

• Ý tưởng RG: tương tự lý thuyết thủy động lực:

 Phương pháp thủy động lực:

 Thay vì xét các bậc tư do vi mô, đưa ra bậc tự do mới là trị trung bình của các bậc tự do ban đầu (VD: mật độ ρ(x),…);

 viết phương trình cho bậc tự do mới;

 bỏ qua tất cả thăng giáng vi mô và cho rằng hàm ρ(x) chỉ chứa thăng giáng vĩ mô

 Bậc tự do mới ở các điểm vĩ mô cách nhau đủ xa;

 Số bậc tự do mới (bậc tự do thủy động lực học) giảm đáng kể so với số bậc tự do vi mô ban đầu.

 Phương pháp RG: thay thế các bậc tự do ban đầu bởi một số lượng nhỏ hơn các bậc tự do hiệu dụng. Việc giảm số bậc tự do tiến hành tuần tự, từng bước.

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

3.1. Đặt vấn đề 3.1.3. Phương pháp nhóm tái chuẩn hóa (tt) • Xét mạng tinh thể sắt từ phẳng có 8 x 8 = 64 ô cơ sở

 Số bậc tự do ban đầu: 64; Mỗi ô có kích thước dài là b và có một spin ô (trung bình của spin tất cả các hạt

trong ô);

 Khoảng cách giữa hai spin ô lân cận là b (H.1)

• Các bước giảm số bậc tự do:

 Bước 1: 4 ô  1 cụm kích thước 2b

1 spin cụm ≡ trung bình 4 spin ô (H.2)

 1 bậc tự do mới

 16 bậc tự do hiệu dụng (giảm 4 lần)

H.2

H.1

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

3.1. Đặt vấn đề 3.1.3. Phương pháp nhóm tái chuẩn hóa (tt)  Bước 2: co cụm kích thước 2b về kích thước b

 không làm thay đổi số bậc tự do nhờ bước 1

 khoảng cách giữa hai bậc tự do hiệu dụng là 2b (H.3)

H.3

Hai bước dãn và co

 giảm số bậc tự do 4 lần; tăng khoảng cách giữa các bậc tự do 2 lần • Thực hiện tuần tự các bước dãn và co đến khi khoảng cách giữa các bậc tự do hiệu dụng có giá trị khoảng ξ; • Ở mỗi giai đoạn, lập tương tác hiệu dụng giữa các bậc tự do mới ≡ lập phương trình chuyển động cho mật độ ρ(x) trong thủy động lực học.

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

3.1. Đặt vấn đề 3.1.3. Phương pháp nhóm tái chuẩn hóa (tt)

Ưu điểm của phương pháp RG: • đơn giản hóa việc tính toán đối với những hệ có số bậc tự do lớn trong miền kích thước ξ vô cùng lớn (đã trình bày). • Motivation: kinh nghiệm ứng dụng các phép biến đổi đối xứng trong Vật lý

 việc khảo sát các phép biến đổi đối xứng (quay, tịnh tiến, …) rất hữu ích trong nhiều lĩnh vực Vật lý.

 nhiều khái niệm quan trọng (số lượng tử, bậc suy biến, tích phân chuyển động, …) đều liên quan đến các tính chất đối xứng của hệ.

VD: đối xứng quay  bảo tòan môment, các số lượng từ l, m.

 hy vọng: sự bất biến đối với các phép biến đổi đối xứng của hệ vĩ mô ở gần điểm tới hạn sẽ giúp thu được các chỉ số tới hạn tổng quát.

 phép biến đổi liên quan đến tính đối xứng của hệ ở gần điểm tới hạn: phép biến đổi nhóm tái chuẩn hóa (Keneth Wilson, 1971-1972).

 phép biến đổi nhóm tái chuẩn hóa: tổ hợp của phép biến đổi Kadanoff và phép biến đổi kích thước (ch2).

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

3.2. Định nghĩa nhóm tái chuẩn hóa 3.2.3. Trong không gian tọa độ

• Để dễ hình dung RG, xét hệ sắt từ đựợc mô tả bằng Hamiltonian Ginzburg – Landau (tuy rằng không bắt buộc):

 kích thước dài: L  thể tích hệ: Ld

 kích thước cụm: b  thể tích cụm: bd

 spin cụm: σx

• Hamiltonian GL của hệ (khi không có từ trường ngoài: h=0)





T b 

 



     (

)

(1)

a 0

 2  2 x

 4 a  x 4

 x y



b 2

  

  

• Viết lại Hamiltonian GL trong trường hợp spin chỉ có một thành phần (n=1) và không xét năng lượng tự do (bỏ qua số hạng chứa a0)

 2

(2)





   (

)

4 u    2 x

2 x

x y 



b 2

  

  

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

3.2. Định nghĩa nhóm tái chuẩn hóa 3.2.3. Trong không gian tọa độ (tt)

• 1 spin cụm  1 biến ngẫu nhiên

1 tập hợp spin cụm  1 cấu hình spin

• Hàm phân bố

(3)

~P e(cid:0)

 

(4)

• Mô tả hàm phân bố bằng ba thông số (u2,u4,c) – các thành phần của vector u u c ( , ) , 4

 

•

 điểm trong không gian tham số  Mô tả hàm phân bố (3) bằng một điểm của không gian tham số.  Phép biến đổi





(cid:0) ~

P e ~  

(cid:0) P  

được xem là phép chuyển thành trong cùng không gian tham số

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

3.2. Định nghĩa nhóm tái chuẩn hóa 3.2.3. Trong không gian tọa độ (tt)

Làm thế nào mô tả toán học các ý tưởng VL của RG (việc co dãn các cụm spin)?

• Định nghĩa phép biến đổi Rs

(5)

   

(



• Rs chuyển P thành P’ qua hai bước:

 Bước 1:

(6)



 [ ]

H K [ s  ]

Phép bến đổi Kadanoff: chia hệ thành các cụm mới có kích thước dài gấp s

lần kích thước ban đầu.

Spin cụm mới:

(7)

ds -

 y

 Số bậc tự do giảm sd lần

(

y d L sb

)

  d  L  d b 

  

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

3.2. Định nghĩa nhóm tái chuẩn hóa 3.2.3. Trong không gian tọa độ (tt)

 Bước 2:

(8)

  x

xs  1

Phép biến đổi kích thước (phép biến thang) co kích thước dài của hệ s lần

Spin cụm mới:

(9)

    x



a ;

 

(

  

 s

s 1 2

  

  

 Số bậc tự do hiệu dụng không thay đổi so với bước 1

d L sb

(

)

  

  

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

3.2. Định nghĩa nhóm tái chuẩn hóa 3.2.3. Trong không gian tọa độ (tt)

• Hamiltonian thu được sau hai bước: H (

 [  ]



 [ 

])

(10)

   x s

• Hàm phân bố mới:

 H

 (cid:0)



]



(11)



~ e

(



• Viết gộp trong phép biến đổi Rs:   (cid:0) H     [  [ ] x

  y

  d y

  s



 )

 2

 [  ]





)

(12)

      ( 

 2    2 x

 4   4 x

  x y





b 2



 • Giả sử đưa H’ về dạng GL tương tự biểu thức (2):   

  

 

Các thông số (u’2, u’4,c ) xác định vector trong không gian tham số.

Tập hợp các phép biến đổi Rs (s ≥ 1) (mỗi phép biến đổi gồn hai bước trên) tạo thành nhóm tái chuẩn hóa.

-1 không tồn tại.

Đây chỉ là nửa nhóm vì phép biến đổi ngược Rs

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

3.2. Định nghĩa nhóm tái chuẩn hóa 3.2.3. Trong không gian tọa độ (tt)

• Tính chất của toán tử Rs:

(14)

RsRs’= Rss’ (do KsKs’= Kss’)

• Để thỏa (14), λs phải phụ thuộc vào s theo dạng

λs = sa

(a không phụ thuộc s )

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

3.2. Định nghĩa nhóm tái chuẩn hóa 3.2.3. Trong không gian tọa độ (tt)

Sau phép biến đổi Rs, liệu H’ sẽ có dạng GL như H?  Không có gì bảo đảm chắc chắn vì nhóm tái chuẩn hóa chỉ là nửa nhóm. • Nói chung, sau phép biến đổi Kadanoff, H” sẽ chứa các lũy thừa bậc cao hơn của biến spin.  Hamiltonian GL ở biểu thức (2) chưa đủ tổng quát.  việc sử dụng không gian tham số với ba thành phần (u2,u4,c) chưa tương xứng. • Để tăng tính tổng quát, chọn H có dạng như sau:





  ...

4      u 1 x

u 3

2 x

3 x



 

 2

(16)



   (

2 ) (



...)



2    v v 1 2 x

x y 







2 ) (



...)



...

x-y

w w   1 x

2 w  2 x

   x y 

 

b 2 4  b 4

• Khi đó:

(17)

  

,...; ,

,...)

u u u u ( , 1 2

c v v , 1 2

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

3.2. Định nghĩa nhóm tái chuẩn hóa 3.2.3. Trong không gian xung lượng

• Thay thế các spin cụm bởi ảnh Fourier của chúng.

 Bước 1: thực hiện phép biến đổi Kadanoff trong không gian xung lượng (khử đi các spin cụm σq với Λ/s < q < Λ)  Bước 2 : thay thế σk bởi λssd/2σsk

• Phép biến đổi Rs trong không gian xung lượng:





(18)



(cid:0) H  e



 d q

 e

/ 2

q    s q

    



        s k s

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

3.2. Định nghĩa nhóm tái chuẩn hóa 3.2.3. Trong không gian xung lượng (tt)

/ 2

Thay thế



?

 k

 s

 s

• Phép biến thang

xs  1

L sL b

 ,





 ,



  x x  sb    x x

• Spin cụm trong biểu diễn xung lượng:

/ 2



kx i



 L

 k

 x



/ 2



i s k x



 ( sL )

(

 x d )



 k

  s x



/ 2



/ 2



i s k x



x e

(

 )



 s

  x







/ 2 d   s s k

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

3.2. Định nghĩa nhóm tái chuẩn hóa 3.2.3. Trong không gian xung lượng (tt)

Lưu ý: • Rs chỉ là một phép biến đổi đối xứng và về mặt nào đó cũng giống phép quay, phép tịnh tiến (không làm thay đổi nội dung vật lý). • Trị trung bình tính theo hai phép P và P’ phải liên hệ với nhau

(19)



 x

   s x



(20)



  

 x

x /

x y 

(x y) / 



• Hàm tương quan trong không gian xung lượng 2

(21)

 (k, ) G   k

CMR:

(22)



d s G s

( k,

   )

 2 (k, )    k s s

2  s



Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

3.3. Điểm bất động 3.3.1. Định nghĩa điểm bất động

(1)

• Hệ VL bất biến đối với phép biến đổi đối xứng  các đặc trưng quan trọng • Tại điểm tới hạn: trạng thái hệ có bất biến đối với Rs ? • Định nghĩa điểm bất động (fixed point) μ*   R s 

μ* thỏa (1) với một giá trị nào đó của s với mọi s, ngay cả s  VCL

• Phương trình (1) có nghiệm hay không?  Chưa có gì bảo đảm đối với những giá trị λs = sa bất kỳ. • Ở đây, ta chỉ trình bày hình thức luận của phương pháp RG dưới dạng tổng quát, chưa đi vào chi tiết về số nghiệm và những tính chất nghiệm của (1). • Giả sử (1) có ít nhất một nghiệm và ta sẽ chỉ xét một điểm bất động μ* trong số đó với giá trị a xác định.

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

3.3. Điểm bất động 3.3.2. Mặt tới hạn

• Định nghĩa mặt tới hạn: mặt tới hạn (critical surface) của điểm bất động μ* là một không gian con trong không gian tham số bao gồm các điểm μ thỏa

(2)

  *   

lim R s



• μ không thuộc mặt tới hạn: Rsμ = μ’

μ thuộc mặt tới hạn:

 R s

 *

 '

 

 R s

 s chưa phải là vô cùng lớn nhưng đủ lớn (s >> 1): Rs μ nằm gần điểm bất động μ* (hình 3.1)

Mặt tới hạn

 

KG tham số

 s  ∞: Rsμ = μ*

Hình 3.1

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

3.3. Điểm bất động 3.3.3. Tuyến tính hóa Rs

• Đối với μ gần điểm bất động μ*:

(3)

   *  





δμ: “khoảng cách” từ μ đến μ* và nhỏ.

     )



R ( s

• Thay (3) vào phương trình Rsμ = μ’ cho những điểm μ gần μ*          





 * 



 R  s   s

   

(4)

R s  *     s

• δμ nhỏ nên có thể viết

(5)

 

2 ) )

 

((



 Rs

 L R  s L là toán tử tuyến tính. Từ (4) sang (5) ta đã tuyến tính hóa Rs

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

3.3. Điểm bất động 3.3.3. Tuyến tính hóa Rs (tt)

(6)

• Định nghĩa một không gian tham số mới có số thành phần bất kỳ  (

,...)

,...

      2 



L với các phần tử ma trận được tính

L được mô tả bởi ma trận Rs

• Khi đó, toán tử Rs như sau

(7)

R L s









• Phương trình (5) có thể viết dưới dạng ma trận ((



 

 

                 * 2 ) )

 

 L  s

(8)

    

  





                *



L là một phép biến đổi tuyến tính.

 ở dạng này, Rs

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

3.3. Điểm bất động L 3.3.4. Trị riêng và vector riêng của toán tử Rs

• Nhắc lại: trong VL nguyên tử, vector riệng của toán tử mô tả phép quay một góc α tùy ý quanh trục n [Un(α) = exp(i/ħ αnL)] là các hàm cầu Ylm(θ,φ) – hệ vector cơ sở. • Gọi: ρj(s) là trị riêng,

ej là vector riêng của Rs



(9)

e ( ) se

L s

j đánh số các trị riêng và vector riêng

(10)

• Vì 

(11)

e (

j ss

 )

R R s s   ( ) s j

e R   j ss   s ) ( j

 ρj phụ thuộc s dưới dạng

(12)

  ( ) j s

yj không phụ thuộc vào s

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

L (tt)

3.3. Điểm bất động 3.3.4. Trị riêng và vector riêng của toán tử Rs

L làm hệ vector cơ sở, viết δμ dưới dạng tổ

• Dùng tập hợp vector riêng {ej} của Rs hợp tuyến tính

(13)

   e

• Thay δμ vào phương trình (5)

 

 



((

 

2 ) )

j  L  s

 

2 ) )

((

 

L s

 e t

(cid:0)

e ( ) s

 j



(cid:0)



y e t s j   t j

(14)

• Đặt

  j

t s j



(15)

   e

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

L (tt)

3.3. Điểm bất động 3.3.4. Trị riêng và vector riêng của toán tử Rs

   e

L chuyển các “hình chiếu” tj của δμ thành các “hình

chiếu”

(14)

• Nhận xét:    e  (15) rất giống (13) t j  Phép biến đổi Rs t s j

  j

 Theo (14): yj > 0  t’j tăng khi s tăng

yj < 0  t’j giảm yj = 0  t’j = tj (δμ’ = δμ)

• Nếu có một hoặc vài yj bằng không thì sẽ có một tập hợp liên tục các điểm bất động; ta chỉ xét một tập hợp các giá trị tj ứng với yj = 0 (một trong số các điểm bất động).

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

3.4. Mối liên hệ giữa nhóm RG và các chỉ số tới hạn

• Các khái niệm của hiện tượng tới hạn được phản ánh qua nhóm TCH ra sao? • RG như một công cụ toán học liên quan như thế nào đến vật lý của các hiện tượng tới hạn?

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

3.4. Mối liên hệ giữa nhóm RG và các chỉ số tới hạn

• Xét hệ sắt từ nhiệt độ T trong từ trường h xác định. • Cấu hình spin được mô tả bởi hàm phân bố

 H  [

(1)

(cid:0)

P T h ( , )

H[σ] là Hamiltonian cụm (không nhất thiết phải có dạng Ginzburg Landau). • Mỗi hàm phân bố  một điểm của không gian tham số được mô tả bởi μ = μ(T,h) • Tại điểm tới hạn hệ sắt từ: T = Tc, h=0

 P được mô tả bởi μ(Tc,0)

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

3.4. Mối liên hệ giữa nhóm RG và các chỉ số tới hạn

• Giả thiết quan trọng:

 μ(Tc,0) nằm trên mặt tới hạn của điểm bất động μ*

h



 * 

(2)

 lim R ( T C  s

 Nếu T ≠ TC hoặc h ≠ 0 thì

(3)

 * 

h )

 T lim R ( , s  s

 Giả thiết mô tả mối liên hệ giữa nhóm RG và các hiện tượng tới hạn được gợi

ý bởi giả thuyết scaling.

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

3.4. Mối liên hệ giữa nhóm RG và các chỉ số tới hạn

• Nhấn mạnh:

 μ*: đối tượng toán học thuần túy (một điểm nào đó của không gian tham số tưởng tượng bất biến đối với các phép co – dãn Rs)  μ(T = TC, h = 0): đối tượng vật lý cho ta hàm phân bố P[σ] của cấu hình spin tại điểm tới hạn.

• Sự phân kỳ của độ dài tương quan

  

T C

 tại T = TC, việc co dãn hệ không ảnh hưởng đến ξ;  ξ bất biến đối với các phép biến đổi Rs; Mặt khác theo GT scaling tại điểm tới hạn ξ là độ dài duy nhất đáng kể và biến

thiên kỳ dị của các đại lượng VL khác tại đây là do ξ

 trạng thái của hệ tại điểm tới hạn bất biến đối với Rs

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

3.4. Mối liên hệ giữa nhóm RG và các chỉ số tới hạn

• Để mô tả trạng thái hệ tại điểm tới hạn, cần biết hàm phân bố

]/T

H (cid:0) [

P e

hay cần biết H[σ].

• P hoặc H được mô tả bởi điểm μ(T,h) trong không gian tham số. • Từ (2)

h



 * 

 lim R ( T C  s

 P hoặc H bất biến đối với Rs.

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

3.4. Mối liên hệ giữa nhóm RG và các chỉ số tới hạn

Giải thích định tính hệ thức (2):

 * 

h



 lim R ( T C  s • Giả sử quan sát mẫu sắt từ bằng kính hiển vi độ phân giải b.

 có thể thấy tất cả chi tiết về cấu hình spin ở những kích thước r ≥ b.

• Tác dụng của Rs: giảm hệ số khuếch đại của kính hiển vi s lần. • Giả thiết (2): nếu ta giảm độ khuếch đại k của kính hiển vi một cách đáng kể (từ k1 xuống k2 với k2/k1<<1) thì việc tiếp tục giảm k không thay đổi những gì quan sát được trước đó.

Giả thiết (2) có cơ sở vật lý quan trọng là giả thuyết scaling.

Giả thuyết scaling đã phản ánh tốt tính phổ quát của các hiện tượng tới hạn

 RG có làm được điều tương tự?

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

3.4. Mối liên hệ giữa nhóm RG và các chỉ số tới hạn 3.4.1. Trường hợp h = 0

không ccóó ttừừ trưtrườờngng ngongoààii

• Xét hệ sắt từ khi không

 khai triển của Hamiltonian chỉ chứa các lũy thừa bậc chẵn của σx.  thay cho không gian tham số μ = (u1, u2, u3, …; c, v1, v2, …; w1, w2, …), chỉ xét

một không gian con gồm các hệ số của các lũy thừa bậc chẵn.

Lưu ý: điểm Rs μ sẽ không chạy ra ngoài không gian con đã chọn. • Xét những điểm μ(T) có T gần TC

 μ(T) là hàm trơn (smooth) và μ(TC) nằm trên mặt tới hạn;  khi (T - TC) đủ nhỏ, μ(T) phải nằm gần mặt tới hạn;  khi s tăng, điểm Rs μ(T) sẽ chạy về phía điểm bất động μ*.  với s đủ lớn, Rsμ(T) có thể nằm rất gần μ*; nhưng do μ(T) không thuộc mặt tới hạn nên s ∞, Rsμ(T) chạy ra xa điểm bất động μ*.

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

3.4. Mối liên hệ giữa nhóm RG và các chỉ số tới hạn 3.4.1. Trường hợp h = 0 (tt)

Việc Rsμ(T) chạy khỏi μ ra sao phụ thuộc vào yj > 0 trong biểu thức

 *

 



 e t

 R ( ) s T

 )CT (

(3)

  j

t s j

  j j    



(4)





   R s    

 ( )T

Hình 3.2

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

3.4. Mối liên hệ giữa nhóm RG và các chỉ số tới hạn 3.4.1. Trường hợp h = 0 (tt)

• Chưa biết gì về yj do chưa đi vào mô hình cụ thể,

(5)

Giả sử chỉ y1 > 0; còn y2, y3, y4,… < 0 (y2 lớn nhất): GT quan trọng

• Khi đó, trong biểu thức (3)

(3)

t ' j

st j

các số hạng chứa syj với yj ≠ y1 giảm về không khi s ∞.

• Khoảng cách δμ’ giữa μ’ và μ*

y 1

(6)

(cid:0)

 



O s (

s ),

 

t T s ( ) 1

e 1

y 1

(7)

(cid:0)

 R ( )  T

 * 



 * 



O s (

)

t T s ( ) 1

e 1

 L  T ( ) R  s   

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

3.4. Mối liên hệ giữa nhóm RG và các chỉ số tới hạn 3.4.1. Trường hợp h = 0 (tt)

• Do t1(T) là hàm trơn (smooth function) của T và t1(TC) = 0.

 khai triển t1(T) thành chuỗi

(8)





(

)





(

)



... ;



t T 1( )

A T T C

B T T C

giả sử A > 0

y 1

(9)

• Thay (8) vào (7) với T gần TC (cid:0)

 R ( )  T

 *  

 A T T s )

(

O s (

)

e 1

• Đặt





y 1

(10)

 





A T T



(

• Viết lại (9):



(cid:0)

   ( ) T

 * 



s ( /

1/  )

O s (

(11)

e 1

±: tương ứng hiệu (T - TC) dương hay âm.

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

3.4. Mối liên hệ giữa nhóm RG và các chỉ số tới hạn 3.4.1. Trường hợp h = 0 (tt)

• Công thức (11)



(cid:0)



   ( ) T

 * 

s ( /

1/  )

O s (

(11)

e 1

mô tả dáng điệu tới hạn của hệ: cho ta biết điểm Rsμ(T) với T gần TC chạy về phía μ* thế nào và chạy khỏi μ* ra sao khi s tăng.

• Tại T = TC: ξ = ∞

(11) 



)



   ( T C

T C

đúng như giả thiết (2)

h



 *   * 

 ) R (   lim R ( T C  s

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

3.4. Mối liên hệ giữa nhóm RG và các chỉ số tới hạn 3.4.1. Trường hợp h = 0 (tt)

• Trong biểu thức (10)





y 1

(10)

 





A T T



(

 ξ là độ dài tương quan?

 ν là chỉ số tới hạn của ξ?

đúng!

Việc đưa ξ vào (9) hay việc giả sử rằng trong các thông số yj chỉ có y1 > 0 còn các yj khác đều âm thực ra được gợi ý bởi giả thuyết scaling (ở gần TC chỉ có ξ là thang đo độ dài đáng kể duy nhất).

Lưu ý:

- Hình thức luận Nhóm TCH vừa được trình bầy ở trên rất tổng quát

- Từ hình thức luận RG tổng quát (không cần chọn dạng cụ thể của H) có thể thu được các định luật scaling  tính phổ quát của các chỉ số tới hạn được suy ra từ hình thức luận nhóm RG một cách tự nhiên.

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

3.4. Mối liên hệ giữa nhóm RG và các chỉ số tới hạn 3.4.1. Trường hợp h = 0 (tt)

Dùng (11) khảo sát sự phụ thuộc của hàm tương quan G(k) vào nhiệt độ T và vector sóng k: • Mối liên hệ giữa các hàm tương quan tính theo phân bố P (mô tả bởi điểm μ(T)) và theo phân bố P’ (mô tả bởi điểm μ’(T) = Rs μ(T)) (3.2.3)

(12)

 ( , ( )) k 



d s G s (

k

  , )

2  s

thì λsλs’ = λss’

• Để RsRs’ = Rss’  λs = sa

2 = s2a vào (12) và thay μ’(T) bởi (11)

• Thay λs



 a d

(13)

 ( , ( )) k 



 *  ,

k





O s (

e 1

s 

  

1/   

 G s   

   

(khi T gần TC)



(11)

(cid:0)

   ( ) T

 * 

s ( /

1/  )

O s (



e 1

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

3.4. Mối liên hệ giữa nhóm RG và các chỉ số tới hạn 3.4.1. Trường hợp h = 0 (tt)

• Những kết quả thú vị từ (13):  (13) đúng với mọi s  đúng với s = ξ:  a d

(14)

 ( , ( )) k 

2 



 (

e   1

2 )y

k  (





)

  *   k ,  T – TC đủ nhỏ  bỏ qua O(ξy2) e  1

  *   k ,



Thay vào (14)

(14’)

 ( , ( )) k 



2 

 a d k g (

)

(14”)

 cùng dạng với hệ thức quen thuộc của LT scaling (chương 2) (

y k   g

y ),

  2

k ( )





 ξ chính là độ dài tương quan và ν là chỉ số tới hạn của ξ.



a d 

(13)

 ( , ( )) k 



k



 *  ,

O s (



e 1

s 

  

 G s   

   

1/    Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

3.4. Mối liên hệ giữa nhóm RG và các chỉ số tới hạn 3.4.1. Trường hợp h = 0 (tt)

 Xét T = TC (ξ  ∞) và k ≠ 0 (k nhỏ)

Đặt s = 1/k

Thay vào (13)



)



 a d

(15)

 ( , ( k 

))



 1,

 * 



O k (

T C



2 )y

Bỏ qua số hạng O(k-y2)



 a d

)

(16)

(cid:0)

 ( , ( k 

))

T C

So sánh với LT scaling

(17)

( )G

k   2

k (cid:0)  2 – η = 2a + d hay a = (2 - η - d) /2 (18)

 s2a+d = s2- η

(19)



a d 

(13)

 ( , ( )) k 



k



 *  ,

O s (



e 1

s 

  

 G s   

   

1/    Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

3.4. Mối liên hệ giữa nhóm RG và các chỉ số tới hạn 3.4.1. Trường hợp h = 0 (tt)  Xét T - TC đủ nhỏ và k = 0. Từ (14)

 a d

(14)

 ( , ( )) k 



2 

e   1

T  (0, ( )) 



2 

 (

 e 1

  *   k ,     * G 

2 )y  ( 2 )y

ở gần TC : ξ ~ |T-TC|-ν



)



(cid:0)

 (0, ( )) 

T T  



(20)

So sánh với LT scaling



(21)

(cid:0)

(0)



T T  



(22)

   ) (2





 định luật scaling 1



a d 

(13)

 ( , ( )) k 



k



 *  ,

O s (



e 1

s 

  

 G s   

   

1/    Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

3.4. Mối liên hệ giữa nhóm RG và các chỉ số tới hạn 3.4.2. Trường hợp h ≠ 0

Mở rộng lập luận 3.4.1. cho trường hợp có từ trường ngoài  lập công thức tương tự (11) cho trường hợp h ≠ 0. • Số hạng mô tả tương tác giữa các spin cụm và từ trường ngoài

(23)

   x db  h x

• Xem h như một thành phần mới của vector μ trong không gian tham số. • Muốn biết quy luật biến đổi μ thành μ’ = Rs μ, phải lập quy luật biến đổi h thành h’ = Rs h. Có thể chứng minh: d

2/)2

 

(

 h



y h

(cid:0)

e 1 trong đó, y1,yh > 0, các yj còn lại âm.  

* 

s ( /

1/  )



e



O s (

)

(29)

h

e 1

 R ( , h  T )     T (

h , )

 mô tả dáng điệu tới hạn của μ(T,h) khi đến gần điểm tới hạn

y 1

(6)

(cid:0)

 



O s (

s ),

 

t T s ( ) 1

e 1

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

3.4. Mối liên hệ giữa nhóm RG và các chỉ số tới hạn 3.4.2. Trường hợp h ≠ 0 (tt)

Sử dụng (29) để khảo sát sự phụ thuộc của độ từ hóa m = <σx> vào nhiệt độ và trường ngoài: • Độ từ hóa m là hàm của μ(T,h) trong không gian tham số



(30)

Tm m ( ,

(

h

))

• Sử dụng



(31)





(32)

  x T ( ,

P h ))

  (

h

))

m m 

    x s  a (R ( , m   T s s



y h

(33)

• Thay (29) vào (32) T ( ,

  (

m

h

))



m

*  (



s ( /

1/  )



e



O s (

))

e 1

h

• Từ (33) có thể suy ra hai định luật scaling: định luật (3) và (4).



y h

(29)

(cid:0)

* 



s ( /

1/  )



e



O s (

)

h

e 1

 R ( , h  T )     T (

h , )

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

3.4. Mối liên hệ giữa nhóm RG và các chỉ số tới hạn 3.4.2. Trường hợp h ≠ 0 (tt)

• Thu scaling law 4: Xét T=Tc và từ trường h khác không nhưng đủ nhỏ. Đặt

/1

hyh



ya /



(34)

   ( ( hTm

)



 *  ( m



(

))

  hOe  h

/ hya

(35)

yhO  ( Do h nhỏ có thể bỏ qua số hạng    hTm ( (

)  h

)

/1

Mặt khác, theo định nghĩa

 hm

and

small

C TTat

Suy ra định luật scaling 4



(36)







yh a

d d

2   2

 



y h

(29)

  (

m

T ( ,

h

))



m

*  (



s ( /

1/  )



e



O s (

))

e 1

h

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

3.4. Mối liên hệ giữa nhóm RG và các chỉ số tới hạn 3.4.2. Trường hợp h ≠ 0 (tt)

s

• Thu scaling law 3: Xét T Tc và từ trường h = 0. Đặt trong (29)

(34)

  ( hTm  (





 * (  m

y  (

))

  Oe 1

2yO  (

)

Gần TC thi ξ  VCL nên có thể bỏ qua số hạng



a 

 (

 2



2/)

(35)

  ( hTm  (





a 

TT  C

Mặt khác, theo định nghĩa



hTm ,(







hT , C

Suy ra định luật scaling 3

~)0 d  (

(36)





TT  C   ) 2 2

Tương tự: định luật scaling 2 (S.K. Ma, p.149)

(37)



d 2



y h

  (

m

T ( ,

h

))



m

*  (



s ( /

1/  )



e



O s (

))

e 1

h

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

Chương 3

Phương pháp nhóm tái chuẩn hóa Renormalization group method

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

3.4. Mối liên hệ giữa nhóm RG và các chỉ số tới hạn

Sơ đồ áp dụng phương pháp nhóm TCH: • Bước 1: chọn Hamiltonian cụm tương thích cho hệ cần khảo sát;

suy ra các thành phần của μ  xác định không gian tham số. • Bước 2: thực hiện phép biến đổi nhóm TCH Rsμ = μ’ qua 2 giai đoạn:

 phép biến đổi Kadanoff Ks,,  phép biến thang (ký hiệu lại biến spin). • Bước 3: giải phương trình Rsμ* = μ*  tìm điểm bất động μ* • Bước 4: xác định các thành phần của ma trận Rs



 R



L s



    

   

       *



L  tìm trị riêng ρj(s) = syj

giải phương trình trị riêng của Rs  xác định các thông số yj  tìm ν, η  tìm các chỉ số tới hạn còn lại bằng các định luật scaling.

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

3.5. Điểm bất động Gauss

Mục đích: minh họa sơ đồ ứng dụng của phương pháp nhóm TCH qua mô hình cụ thể.

 Làm rõ ý nghĩa của một số khái niệm đã đưa ra trong các bài trước.

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

3.5. Điểm bất động Gauss 3.5.1. Bước 1: chọn Hamiltonian cụm, xác định không gian tham số • Xét hệ sắt từ:

 mô tả bởi Hamiltonian cụm GL  thông số trật tự: độ từ hóa m = <σx>  số chiều không gian: d  số thành phần của spin cụm: n

,...,

{

}

 n  , x 1 x

x

• Hamiltonian trong biểu diễn tọa độ khi từ trường ngoài h = 0 :

(1)





d d

x

x )(

 4 u 

x )(

 

x )(

  c



 2  r 0



1 2

1 4

  

  

• Hamiltonian trong biểu diễn vector sóng:

)





k c



 L

r( 0

 i k

i k

j k

 kkk



 

(2)

1 2

u 8



  i j k 1 

, 

  , kkk  Λk,kk, (

)

kx i

 

x )(

 L

ở đây ta thay

 k



(3)

k (

k 

)

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

3.5. Điểm bất động Gauss 3.5.1. Bước 1: chọn Hamiltonian cụm, xác định không gian tham số (tt)

• So sánh

 

] /





  c (

  )

  h ]



a 0

  4    a 2

a 4







d d

x

x )(

 4 u 

x )(

 

x )(

  c



(1)

 2  r 0



1 2

1 4

 

 

a ,

c ,



• Hamiltonian (1) và (2) không chứa số hạng ~ σ0 (với hệ số a0.) và h = 0 • Ở đây, ta cũng ký hiệu lại r 0 2

u 8

c 2

 



)

(

(4)

• Điểm μ của không gian tham số:

cur , , 0   2 1

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

3.5. Điểm bất động Gauss 3.5.2. Bước 2: thực hiện phép biến đổi nhóm tái chuẩn hóa

• Tìm điểm μ’ = Rs μ qua 2 bước:  Phép biến đổi Kadanoff  Phép biến thang

• Phép biến đổi Rs trong không gian vector sóng

 H



  d q

(5)

)

q  ( qs

    H e   



        ss s k

k



 

a ,

2(21

)

với

2(2/1

 

)



 1 



 s  s

1

 ở bước 2 (phép biến thang):

(6)



  k

  2/  s

k

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

3.5. Điểm bất động Gauss 3.5.2. Bước 2: thực hiện phép biến đổi nhóm tái chuẩn hóa (tt)

• Đặt:



  d

  d q

 d i q

(7)



 

1 

q qs  (

)

q  qs (

)

 H

d AL

(8)

H  de



  1 s

• Viết lại biểu thức (5) định nghĩa phép biến đổi Rs:      k

  s k

 

Số hạng ALd liên quan đến những số hạng không chứa σk

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

k



)

 k i

r( 0

3.5. Điểm bất động Gauss 3.5.2. Bước 2: thực hiện phép biến đổi nhóm tái chuẩn hóa (tt) Xét trường hợp đơn giản nhất: u = 0 (bỏ qua số hạng chứa σ4) • Thay u = 0 vào biểu thức Hamiltonian trong biểu diễn vector sóng 1   2

(9)

c ),0,

(

i k ,  k ( )   

r 0

    

• Hàm phân bố cho tất cả các biến ngẫu nhiên có dạng Gauss:





eP ~



re ( 

2 k  2/) c i k



k i ,  k (

)

• Tích phân (8) trở thành

 H

d AL

(10)



exp

c k

)

q

k

 d i

 i

r( 0



1 2

k i ,  k (

)

q  qs (

)

     

        

 1  s

            k

  s k

 H

d AL

(8)



H  de

     k

  s k

 

 1  s Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

3.5. Điểm bất động Gauss 3.5.2. Bước 2: thực hiện phép biến đổi nhóm tái chuẩn hóa (tt)







• Tách tổng:

s





ks 

• Xét biểu thức











q c

k c

)

(

)

exp

(11)

r 0

 d i

 i

q

k





 

1 2

)

, i q ( qs 

, i k ( k 

)

q qs ( 

    

    

    

    















exp

(

k c

)

exp

(

q c

)

r 0

 k i

 q i



  

1 2

  

  

 d q i 

)

k , i (  k

q  qs (

)

    

    



 

x 2



(



c q

2 )

ed x

• Dùng công thức:

r 0



1 2

 α , where 





ta thu được:



exp

(

c q

)



r 0

 q i



1 2

 2  c q

  

   

r 0

d  q i 

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

ln xe

3.5. Điểm bất động Gauss 3.5.2. Bước 2: thực hiện phép biến đổi nhóm tái chuẩn hóa (tt) • Dùng công thức:

ta có:



exp



2   c q

q

r 0

  

  

  

  ln  

   

 2    c q   x 

exp



(12)



2  c q 

q

r 0

  

  

   



dAL



exp





1 2

 2 c q 

r 0

q qs  (

)

    

        

dALe

đây là phần không chứa σk  viết thành

• Sau phép biển đổi Kadanoff:



d AL

 H 0

exp

(

c k

)







(13)

 i

k

r 0



1 2

i k ,  k (

)

    

    

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

3.5. Điểm bất động Gauss 3.5.2. Bước 2: thực hiện phép biến đổi nhóm tái chuẩn hóa (tt) • Phép biến thang:

   1 2/ 

)

, k i (  k

    

    

 







exp

sc (

k

)

 (

sr 0

  , si

k



1 2

)

, i k (  k

    

    

 

 Đổi sk  k’ và đặt

(14)

, s

  c

 c

sr 0

 r 0



k c

)







 k i

r( 0

 k c r( 0



1   2

1 2

các hằng số r’0, c’ được “tái chuẩn hóa”

(

c ),0,

,0,

 )

, k i  ( ) k   

r 0

 , k i  ( ) k    r ( 0

    

     (15)

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

3.5. Điểm bất động Gauss 3.5.3. Bước 3: tìm điểm bất động μ* • Phương trình cho điểm bất động μ:    

 



* r 0



 

(17a)



2*  sr  0  *  sc

(17b)

• Chọn η = 2:



satisfied

with

* r all 0

* r 0 c



*  r  0   c

 2 điểm bất động:

 điểm thứ nhất:

)0,0,

 *  r ( 0   2



  

(17)

(r0 > 0 và được chọn tùy ý)

thay (17) vào biểu thức Hamiltonian (15):



 2  x



k

* 

 i





r 0 2

 k , i  k (

)

(18)

exp(



)



exp [



(

x

)]

* 

2  i

br ( 0



x

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

3.5. Điểm bất động Gauss 3.5.3. Bước 3: tìm điểm bất động μ* (tt)

 điểm thứ hai:

(

)0,0|,

r 0

(19a)



 *   2 

  

(r0 < 0 và được chọn tùy ý)

u = 0+: giá trị dương vô cùng bé để hàm phân bố thỏa điều kiện chuẩn hóa.

Phân bố của điểm bất động (19a):

exp(



exp [|

b (|

  )( x

(

x

)]

(19b)

2 i

4  u i

r 0

 ) 

x

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

3.5. Điểm bất động Gauss 3.5.3. Bước 3: tìm điểm bất động μ* (tt)

• Chọn η = 0:



* r 0

* r 0 satisfied

with

c all



2*  sr  0   c

 điểm bất động:



c ),0,0(

điểm bất động Gauss

(20)

 *  0  

  

Hàm phân bố tương ứng

exp(



)



exp

c )2([ 

k

]

 i

* 0

k



k

(21)



x

( 

  )

* 0



c 2

mô tả tương tác giữa các spin cụm

số hạng

 c ( 

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

3.5. Điểm bất động Gauss 3.5.4. Bước 4: tuyến tính hóa Rs gần điểm bất động

• Phần tử ma trận của toán tử Rs

(22)



 R



L s



    

   

       *



• Chọn điểm bất động Gauss (20); do u = 0 nên chỉ xét hai thành phần: (α, β = 1, 2)

-η



-η



c.s

sr 0 0 .r 0

  r  0    c

• Các phần tử ma trận của toán tử Rs



 R



   , R



L s

 r 0  c

  

 r 0  r 0

  

  

    *  0

 *  0

 



 R



 R



L s

 c  c

  

c  r  0

  

  

    *  0

 *  0

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

3.5. Điểm bất động Gauss 3.5.4. Bước 4: tuyến tính hóa Rs gần điểm bất động (tt) • Dạng ma trận của toán tử Rs L:

 



L s

0  

(23)

   

   

• Đối với điểm bất động Gauss (20): η = 0



L s

2s 0

(24)

   

   

• Ma trận (24) là ma trận chéo

 2 trị riêng:



)( s

1)(  s

  1    2

(25)

s )(

• Do RsRs’ = Rss’ nên



(25) 

y 1 y



   Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

L lên điểm μ* gần điểm bất động Gauss

3.6. Tác dụng của Rs

Khi xét số hạng ~ σ4 trong Hamiltonian GL (u ≠ 0), việc tính các tích phân ở bước 1 của Rs (phép biến đổi Kadanoff) rất phức tạp  Sử dụng phương pháp tương tự lý thuyết nhiễu loạn trong CHLT. • Viết Hamiltonian dưới dạng

(26)





0 HHH

(H1 nhỏ so với H0)

• Viết lại (8)

(27)

d AL





  1 s

     k

  s

k

 H  de

 H

d AL

(8)



H  de

  1 s

     k

  s k

 

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

L lên điểm μ* gần điểm bất động Gauss

3.6. Tác dụng của Rs

• Sử dụng khai triển









m 1



 )1( ! m



1 

  

  

ta được





H  de



 ed 

m 1

  



 



)1(  ! m

 1

  





m 1









(28)

 ed 







)1(  ! m

 1

 ed 

 ed  

   

      









 ed 

m 1





)1(  ! m

 1

  

 1  

  

  

trong đó



H H

m 1





(29)

m 1



 ed 

 ed  

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

L lên điểm μ* gần điểm bất động Gauss

3.6. Tác dụng của Rs

• Vậy









d AL

(30)

ed  

m 1





 )1( m !

 1

   

  1 s

     k

  s

k

• Định nghĩa đại lượng

c H









 H

2

2 1

gọi là cumulant bậc m

• (30) viết dạng









d AL

(31)

ed  

m 1





 )1( ! m

 1

   

  1 s

     k

  s k

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

L lên điểm μ* gần điểm bất động Gauss

3.6. Tác dụng của Rs

L (với H1 nhỏ)

* (điểm bất động Gauss) (20)

• Biết H0  tìm được Rs • Chọn H0=H0





xd

( 

  )

* 0



c 2

khi đó

(32)





d d x

 4 u 

 2 r  0



1 2

1 4

 

 

theo phân bố Gauss

 2

 4

và

 việc tính

1H quy về tính

* 0

   H ~

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

L lên điểm μ* gần điểm bất động Gauss

3.6. Tác dụng của Rs

Kết quả: (xem tính toán chi tiết trong S. Ma (p. 169-178))







 1

 u

 r 0

2 rs 0

n c n

n 2

  

(33)







   d u

r .0 0

    u 

≡ B

trong đó:





d 



(

n c

d  1

(34)





 

d 2

  

  

L lên điểm μ* = (r0,u,c) gần điểm bất động Gauss



 s

 B

(35),

whe

R re



(36)

L s

s 4 

(33)  xác định tác dụng của Rs μ0* = (0,0,c). Viết lại (33) dưới dạng ma trận  r 0  u

r 0 u

s 0

  

  

  

   

   

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

L lên điểm μ* gần điểm bất động Gauss

3.6. Tác dụng của Rs

L :

2 trị riêng của toán tử Rs

s )(

, ve

ctor



e riêng 1

1 0

(37)



s )(

, vecto

e riêng



  

      B    0 

   1      2 

s )(

so sánh với



2/1



 



(38)

y 1 y



khi d



  

Lập luận của phương pháp RG chỉ đúng khi y2 < 0. Theo (38), y2 < 0 khi d > 4. ta nói

(39)

 μ0* ổn định khi d > 4,  μ0* bất ổn định khi d < 4.

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

L lên điểm μ* gần điểm bất động Gauss

3.6. Tác dụng của Rs

• Khi d < 4: điểm bất động μ0* không có mặt tới hạn. • Khi d > 4:

 Phương trình mặt tới hạn







(40)

t 1

r 0

 Gần mặt tới hạn của μ0*:

hy

y 1

(41)



e

  *   0

st 2

e 1

he st 1 Ở đây đã thêm vào số hạng ~ eh khi có từ trường h

nhắc lại 3.4.: tác dụng RS lên h -> h’



(42)





h

1 2

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

L lên điểm μ* gần điểm bất động Gauss

3.6. Tác dụng của Rs

Các chỉ số tới hạn thu được sau khi tuyến tính hóa Rs ở gần điểm bất động:

 



2/1

Các chỉ số tới hạn còn lại có thể tìm nhờ định luật scaling.

Bảng so sánh giá trị các chỉ số tới hạn thu được từ thực nghiệm và một số lý thuyết

Scaling laws

Gauss

LT trườngTB

Thực nghiệm

α = 2-νd

α = 0.5

-0.12

0.5

0.38

β = 0.25

β = ν(d-2+η)/2

γ = 1

1.34

γ = ν(2-η)

4.46

δ = 5

δ = (d+2-η)/(d-2+η)

ν = 0.5

0.5

0.64

η = 0

0.07

(điều kiện áp dụng các kết quả gần đúng Gauss: d > 4)

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Chủ đề:

Vật lý hiện đại

Điểm tới hạn và thông số trật tự Điểm tới hạn sắt từ-thuận từ Các điểm tới hạn khác

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Điểm tới hạn và thông số trật tự Điểm tới hạn sắt từ-thuận từ Các điểm tới hạn khác

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Điểm tới hạn và thông số trật tự Điểm tới hạn sắt từ-thuận từ Các điểm tới hạn khác

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Điểm tới hạn và thông số trật tự Điểm tới hạn sắt từ-thuận từ Các điểm tới hạn khác

1 Điểm tới hạn và thông số trật tự

2 Điểm tới hạn sắt từ-thuận từ Bức tranh định tính Các chỉ số tới hạn

3 Các điểm tới hạn khác

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Điểm tới hạn và thông số trật tự Điểm tới hạn sắt từ-thuận từ Các điểm tới hạn khác

1 Điểm tới hạn và thông số trật tự

2 Điểm tới hạn sắt từ-thuận từ Bức tranh định tính Các chỉ số tới hạn

3 Các điểm tới hạn khác

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Điểm tới hạn và thông số trật tự Điểm tới hạn sắt từ-thuận từ Các điểm tới hạn khác

1 Điểm tới hạn và thông số trật tự

2 Điểm tới hạn sắt từ-thuận từ Bức tranh định tính Các chỉ số tới hạn

3 Các điểm tới hạn khác

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Điểm tới hạn và thông số trật tự Điểm tới hạn sắt từ-thuận từ Các điểm tới hạn khác

Biến cơ học, trường ngoài Pha, sự chuyển pha Điểm tới hạn, hiện tượng tới hạn, thông số trật tự

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Điểm tới hạn và thông số trật tự Điểm tới hạn sắt từ-thuận từ Các điểm tới hạn khác

Biến cơ học, trường ngoài Pha, sự chuyển pha Điểm tới hạn, hiện tượng tới hạn, thông số trật tự

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Điểm tới hạn và thông số trật tự Điểm tới hạn sắt từ-thuận từ Các điểm tới hạn khác

Biến cơ học, trường ngoài Pha, sự chuyển pha Điểm tới hạn, hiện tượng tới hạn, thông số trật tự

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Điểm tới hạn và thông số trật tự Điểm tới hạn sắt từ-thuận từ Các điểm tới hạn khác

Biến cơ học, trường ngoài Pha, sự chuyển pha Điểm tới hạn, hiện tượng tới hạn, thông số trật tự

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Điểm tới hạn và thông số trật tự Điểm tới hạn sắt từ-thuận từ Các điểm tới hạn khác

Biến cơ học, trường ngoài Pha, sự chuyển pha Điểm tới hạn, hiện tượng tới hạn, thông số trật tự

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Điểm tới hạn và thông số trật tự Điểm tới hạn sắt từ-thuận từ Các điểm tới hạn khác

Biến cơ học, trường ngoài Pha, sự chuyển pha Điểm tới hạn, hiện tượng tới hạn, thông số trật tự

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Điểm tới hạn và thông số trật tự Điểm tới hạn sắt từ-thuận từ Các điểm tới hạn khác

Biến cơ học, trường ngoài Pha, sự chuyển pha Điểm tới hạn, hiện tượng tới hạn, thông số trật tự

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Điểm tới hạn và thông số trật tự Điểm tới hạn sắt từ-thuận từ Các điểm tới hạn khác

Biến cơ học, trường ngoài Pha, sự chuyển pha Điểm tới hạn, hiện tượng tới hạn, thông số trật tự

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Điểm tới hạn và thông số trật tự Điểm tới hạn sắt từ-thuận từ Các điểm tới hạn khác

Biến cơ học, trường ngoài Pha, sự chuyển pha Điểm tới hạn, hiện tượng tới hạn, thông số trật tự

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Điểm tới hạn và thông số trật tự Điểm tới hạn sắt từ-thuận từ Các điểm tới hạn khác

Biến cơ học, trường ngoài Pha, sự chuyển pha Điểm tới hạn, hiện tượng tới hạn, thông số trật tự

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Biến cơ học, trường ngoài Pha, sự chuyển pha Điểm tới hạn, hiện tượng tới hạn, thông số trật tự

Điểm tới hạn và thông số trật tự Điểm tới hạn sắt từ-thuận từ Các điểm tới hạn khác

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Biến cơ học, trường ngoài Pha, sự chuyển pha Điểm tới hạn, hiện tượng tới hạn, thông số trật tự

Điểm tới hạn và thông số trật tự Điểm tới hạn sắt từ-thuận từ Các điểm tới hạn khác

Hoàng Dũng

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

Biến cơ học, trường ngoài Pha, sự chuyển pha Điểm tới hạn, hiện tượng tới hạn, thông số trật tự

Điểm tới hạn và thông số trật tự Điểm tới hạn sắt từ-thuận từ Các điểm tới hạn khác