Lý thuyết số trường địa phương cơ bản: Phần 2

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:83

Thêm vào BST

Báo xấu

6
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nối tiếp nội dung phần 1, phần 2 cuốn "Cơ sở lý thuyết số trường địa phương" trình bày các nội dung: Định lý Newton về xấp xỉ, bổ đề Hensel và các ứng dụng; mở rộng trường đầy đủ - Mở rộng rẽ nhánh, nhánh, rẽ nhánh yếu. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Lý thuyết số trường địa phương cơ bản: Phần 2

Định lý Newton về xấp xỉ, BỔ đề Hensel và các ứng dụng 125 CHƯƠNG V Định lý Newton về xấp xỉ, Bổ đề Hensel và các ứng dụng Trong chương này chúng ta nghiên cứu một số phương pháp thông dụng trong việc giải phương ưình đa thức trong trường đầy đủ đối với định giá rời rạc. 5.1. Định lý Newton về xấp xỉ Cho f ( x) = f ( x I , . . . , x n) là đa thức n biến X ị. Ký hiộu d ị f là đạo hàm riêng th eo b iế n X i c ủ a / , d ị j f là đ ạ o h à m r iê n g th e o b iế n X ị v à X j , v.v... T a ký hiệu df là đạo hàm toàn phần bậc 1 của / , tức df(x) = d i f ( x ) d x l A------- 1 dnf ( x ) d x n, - và cPf(x) là đạo hàm toàn phần bậc 2 của / , tức d2 f ( x ) = dịj f { x) d x ị d x* ... với dxi là các vi phân của biến được xem như biến (tức chưa được gán một giá trị cụ thể). Nếu gán cho các vi phân đó các giá trị cụ thể, ta quy ước viết đsf(x)\b := dsf ( x ) \dXi= bll...,dxn=bn- Ví dụ df(x)b := dif(x)bi 4-----+ dnf(x) bn, d 2 f ( x ) b : = J 2 dijf (x )bibj . Ta nhắc lại công thức Taylor quen biết trong giải tích hàm nhiều biến. Nếu X = ( a , - j . x n ) , v à a = ( a l t . . . . a „ ) , X + a = (a,'i + d i , x n + a n ), th ì ta c ó cóng thức Taylor f ( x + a) = f ( a) + df(a)x + d 2 f ( a ) x/ { 2!) H . ----- Chú ý. Nếu / e 0 [ ft, X E o , thì tất cả các hệ số các đa thức (theo x) ở trẽn đều thuộc o . 5.1.1. Định lý. Cho k là trư('mg đ ầ y đủ đ ố i vớ i địn h í>iá rời r ạ c (m ũ ) V và vành định giá (o . m ). Cho f 6 0[x\, với X = (.Ti, là n biến,
126 Chương V T € m là phần tử nguyên tố và r là một s ố nquyên dươnẹ. Cho a ẽ O n sao ĩ cho f{á ) = 0 (mod. 7T 2r_1) và d jf(a ) = 0 (mod.7rr_1) với mọi j , và có ít nhất chỉ s ố i sao cho dif(á) Ạ 0 (mod.7T Cho b 6 ớ " là véctơ sao cho r). b = a (m od.nT) và f(b) = 0 (mod.7T 2r+s_1). Khi đó ì) Tất cả các nghiệm của hệ đồng dư thức y = b (m.od.nr+s) f(y) = 0 (mod.TT2r+s) dược cho bởi y = ịmT+sc, với c € O n là nẹhiệm của đồng dư thức thực sự f{b) + itT+s{dif(b)ci H------- f dnf{b)cn) = b (m od.n2r+s), (tức đồng dư thức có ít nhất hoặc hệ tử f(b) Ạ 0 (m od.n), hoặc dfj(b) Ỷ 0 (rnod.n)). 2) Tồn tại nghiệm y € O n của phương trình f ( y ) = 0 sao cho y = a (ìĩiod.Tĩr). Chứng minh. 1) Cho y = b + Tr+sc, với c € ơ " là nghiệm của đồng dư T thức . /(ft) + + • • • + dnf(b)rm) = b (m od. 7ĩ2r+3). Khai triển Taylor ở trên cho ta f(y) = m + 7Tr+s(df(b)c) + n2(r+s) (d 2 Ị ( 6) c )/( 2 !) + • ■•. Theo giả thiết, ta c ó ./ ( 6) + nT+s(df(b)c) = b (m od. 7T2r+s), do đó f ( y ) = 0 (mod. 7T2r+i). Ngược lại, cho y = b (mod.-rĩT+s) và f ( y ) = 0 (m od.n2r+s). Cho y = b + ttt+sc, c. e ỡ n. Lại theo công thức Taylor /( » ) = m + 7 r+s#(&)c + n 2 ^ d 2 Ị(b)c/ 2 \) + . . . = 0 (tt2^ ) , T T+s\ trong đó d 7 (6 )|c € ỡ n, vì 6, c e ơ n. Do đó z := /(&) + n r+sd f ( b) c = 0 (mod.TT2T+s). Còn lại chỉ cần chứng minh ràng đây là đổng dư thức thực sự đối với r. tức cần chứng minh ràng hoặc f(b) ^ 0 (mod.n2r+s), hoặc tồn tại i saocho d j ( b ) Ạ 0 (mod. 7T Giả sử ngược lại, tức là ta có r). f(b) = 0 (mod.TT2r+s) và với mọi i thì dif(b) = 0 {m od. 7Tr).
Định lý Newton về xấp xỉ, Bổ để Hensel và các ứng dụng 127 Vì b = a + 7T \ b' G O n, nên rb J'(b) = f ( a ) + Trdf(a)b’ + n 2r(d 2 f ( a ) b’/(2\)) 4----- T Do đó áp dụng công thức Taylor cho dif(x), ta có dif{b) = dif ( a ) + i ĩ r(d((iif ) ( a ) bi + (hạng tử bậc cao hơn) = 0 (mod.irr). Từ đó suy ra dif(a) = 0 (mod,.Tỉr) với mọi i, mâu thuẫn với giả thiết. 2) Ta sẽ xây dựng dãy yn, sao cho yn = a (:mod.nr), yn -» y và f ( y n) — 0. > Rõ ràng khi dó f ( y ) = 0 và y = a (mod.7T Trước hết ta có nhận xét rằng r). phương trình đồng dư tuyến tính đối với X i , x n a 0 + aiXi H-----4- anxn = 0 (mod.7r) với Uị € o , c ó n gh iệm X = ( x i , X j , .... x n ) trong ơ " n ếu c ó i > 0 sa o c h o a, Ạ 0 (mod.n). Quả vậy, ãị lúc đó là khả nghịch, nên phương trình ữịXị = b luôn có nghiệm với bất kỳ b. Ta xây dựng yữ như là nghiệm nào đó của hệ y0= a (mod.TĩT), J'(y0) = 0 (mod.Tĩ2r). Tìm t/Ị) tư ơ n g đ ư ơ n g với v iệ c tìm Co e ỡ " s a o c h o f (a ) + 7ĩrdf(a).c + n2r(- • •) = 0 (mod.7T2r) (dùng công thức Taylor), hay f ( a ) + T rdf(a)co + 7 2r(- • •) = 0 (mod.TT2r). T T Theo nhận xét trên và theo giả thiết, C tồn tại. Ta xây dựng yi như là một o nghiêm của hệ U) yi=Vo {mod.TTr~ i), f ( y i ) = 0 (mod.TT2r+l) r bằng cách giải rA e O n sao cho y x = y 0 + 7T 1c1, f ( y i ) = f ( y 0 ) r+ + Kr+1d f ( y o V i + 7T 2r+2(- ••) = 0 (m o d . i r 2r+l), hay r.[ là nghiệm của hệ 0 ') /(.Vo) + irr+ ìdf(yo)cy = 0 (morf.7T2r+1). Vì y 0 = a ( 7T nên dễ thấy df(y0) = df{a) (m od.iĩT Theo giả thiết, r), ).
128 Chương V df(a) = 1 (mod.wr~1). và df(a) Ạ 0 (mod--Kr ), nên df(yo) = 0 (mod.Tr~l ) 0 yà df(yo) ^ 0 (m od. 7 r). Qing như trên, hệ (2) có nghiệm C\. Bàng quy T nạp. ta xây dựng được dãv (yn) sao cho yn là nghiệm của hệ (°) — Vn-I {m o d .-r+n), f ( y n) = 0 (mod.Tr2T~n). bẩng cách tìm € O n sao cho yn = yn- i + 7Tr_ncT. f ( y n )= f { y n- 1 ) 1 + Kr~ndf{yn-\) cn + 7 2rJ'2n(- ■-) = 0 (mod.7T T 2r~2"), hay C là nghiệm của hệ r, («') A í h - l ) + irr~nd/(yn- l ) c - 0 (llìod.-2r~2n~1). Vì yn_! = a (jrr+n_I), nên ta có df(yn- 1) = d /(a) (mod.7 r~n_1). Theo T giả thiết. rf/(a) Ẹ 0 (rnoc?.7rr). nên df(yn- i ) Ạ 0 (m od. É Do đó ịn') có nghiệm. Như vậy ta xây dựng được dãy yn = a + 7T rcũ+T7r~ 1 c 1 H-------\-TT~ncn. Vì d e ơ n. nén dãy yn hội tụ tới y e ơ". Mặt khác, / (y„) = 0 (mud.T2r~n)ĩ nên /lỉ/n ) — 0. Do đó /( y ) = 0 và rõ ràng y = a (mod.7T * r). ■ Ta có hệ quả quan trọng (rất hay được sừ dụng về sau) duới đâv. 5.1.2. Hệ quà. Với ký hiệu như trên, 1) Cho / 6 OỊr].a 6 ơ , Sứỡ c/ỉO f ( a ) = 0 (mod.Tr). f ' ( a ) Ạ 0(mod. 7r). ẢTỉ/ ífó tổn tại y £ o sao cho Ị ( y ) = 0 và y = a (mod.-). 2) Cho (ill. char.k) = 1. Khi đó tồn tại r sao cho nếu a = l (mod. 7T thì r), phương trình A'm — a = 0 có nghiệm Trong o . Chímo minh. 1) Với r = T = 1, theo 5.1.1, 2), tồn tại y £ o sao cho ỉ y = a (m o d .z), và f ( y ) = 0 . 2) Cho /(.V ) = .Ym — n. Vì n = 1 (m od. 7T nén f ( a ) = / ( 1 ) (ĩììod.-r), r), mà 1 —ũ=0 (m od. - r), nên Ị {à) = 0 (mod. 7T Mặt khác f ' ( X ) = m .Y "'1. r). nên với r đủ lớn (cụ thể chì cần lấy r > v ( ma m~1) = f(m ), chú ý rằng m # 0 theo già điiết) /'(a ) = rnam_1 Ỷ 0 (rnod.1rr). Do đó theo 5.1.1, 2), tồn tại nshiệm ỉ/ của phươno trình ym — a = 0 . sao cho y = a (mod. 7rr). ■ I 7 dụ. 1) Cho = Qp, với p là sỏ nguyên tố lẻ. Khi đó. với TÌ = 2 và T ÍJ= 1 (niod.p), theo 5.1.2. 2), phương trình A'2 — a = 0 có nghiệm trong Zp vì ta có / ' a ì = 2ữ = 0 ịmod.p). Ví dụ như ta có v 3 € z 2. V 6 € Z-. V.V 21 Với p là neuvẻn tỏ. im.p) = 1. và r > 0, với mọi b e Z z ta có (1 — bpr - m Quả vậy. với a = 1 + ỉ>pr. ta có fl= l (mọd.p ) nên
Dịnh lý Newton về xấp xỉ, BỔ đề Hensel và các ứng dụng 129 theo trên, phương trình x m - a có nghiệm trong Zp. Đặc biệt là với m = ụ - 1,6 = 0, a = 1 , mọi căn bậc (p — 1) của 1 đều nằm trong Zp. 5.1.3. Định lý. (Phương pháp xấp xỉ Newton) Cho k là đầy đủ đối với định ụ á r('ri r ạ c V ( c ậ n ẹ l í n h ) , v ớ i v à n h đ ị n h g i á t ư ơ n g ứ n g l à ( ơ , m ) v à p h ầ n t ử nguyên tố K. Cho f 6 0[x\, 0 0 G o sao cho v ( f ( x 0)) > v ( f { x o)2). Khi đó «71+1 := an - Ị /(a „ )/(/'(a n))] hội tụ đến nghiệm duy nhất n € o của phươnq trình /(;x) = 0, sao cho u(a - an) > v (f '( a 0)). C h ứ n g m in h . R õ rà n g ta c ó / ó Ỷ 0- Đ ặ t Ị t : = := / '( a , ) , b = /||//Ó' c = /o /(/ó )2’ d = VƯÓ)- Ta có /ó = 0 (rnod.nđ). Theo giả thiết, '•(/«) > »’(/
130 Chương V ° ° vậy. /« = /á -1 (mod.TTđ+n), và / ' _ ! = f 'n — (mod.ird~n- i )......../ í = 2 /ó (mod.***1), do đó, Ị'n = / ' (mod.TT^1). Nhưng « ( /') = d, nên v ( /í) = d , với m ọi 0 < s < n , và th e o ( l n )". t a c ó v (/n //' ) > d + TI + 1 , và n„^i - n„ = / „ / / ' = 0 (mod.TTn+ã+l), tức (2n+i) là đúng. Mặt khác, /„ + 1 = /„ - M n / O + { Ỉ J I 'n ? [ h \ = ơ n / / ; ) 2 [/>] với // g o (xem chú ý trên), do đó / n+i = 0 (rnod.Tĩ2d~2n~2), tức (l„-j-i) là đúna. Để chứng minh tính duy nhất, cho a' là một nghiệm khác với cùng tính chất như a. Ta chứng minh rằng với mọi n thì a' = C n (mod.iĩd+n+ì). L Ta có (3) 0 = /C a') = / K ) + (a' - a ,,) / ' + (a' - t ^ ) 2[(/;7 (2 !)) + ■••]. Nếu II = 0 thì a' = nQ (m.od.iĩd+n) theo giả thiết. Nếu khẳng định đúng với n, vì v{Ị'n) = đ, nên chia cả hai vế của (3) cho / ' / 0 ta có 0 = ư n / o + (a' - On) + (a' - an)2[(/:/(2 !)) + • • .] /( £ ) , a' - 0« = -Ự n /K ) - (á - a n )2[ ( / : / ( 2 !)) + • - . ] / ( £ ) , hay a' - Or,-l = a - (On - / n / / ' - i ) = K - o 2[ ( / : / ( 2 ! ) ) + - • - ] //; = 0 (rnod.7T2
Định lý Newton về xấp xỉ, Bổ đề Hensel và các ứng dụng 131 5.2. Bổ đề Hensel Bổ đề Hensel là một trong những kết quả quan trọng trong lý thuyết các trường đầy đủ và sô học của chúng. Liên quan chặt chẽ đến Bổ đề Hensel là Định lý Newton về xấp xỉ đã xét ở trên. Để cho thuận tiện, chúng ta xét trường đầy đủ k với định giá mũ phi A csim et V và vành định g iá tương ứng là ( O v , m v ), và trường th ặn g d ư k(v). Giả sử /(.(•) € O u[x\ là một đa thức biến X với hệ tử trong O v, f ( x ) = n.j 6 ơ„. Ta xét ánh xạ thu gọn theo (modulo) m v được cho bởi f i x ) = J 2 aixi *-* f ( x ) := Y ^ ã ịx ' e fc(u)[x], i i trong đó ãị là ảnh của dị qua phép chiếu p : O v[x\ — /c(w)[x]. » Định nghĩa. Ta nói f ( x ) € O v[:r] là nguyên thủy nếu f ( x ) / 0. Đinh nghĩa. Với f ( x ) € O v[x]. f = J2o
132 Chương V Chứng minh. Dưới đây, để cho thuận tiện, thay vì f ( x ) , v.v..., ta sẽ ký hiệu là / . Gọi Qi,h] là hai đa thức nào đó của O v[x] với thu gọn là các đa thức ặ, lì, tương ứng; ta có thể chọn 7 i,/)i sao cho de.g(gi) = dp.g{ộ),deg(hi) = di-y(ìi). Không mất tính tổng quát, ta có thể giả thiết rằng g (và gi) có hệ tử cao nhất là 1. Vì g, h là nguyên tô' cùng nhau trong k(v)[x\, nên tồn tại các đa thức a, p € O v[x\ sao cho các thu gọn của chúng thoả mãn 1 = ã g + Ẹh, do đó ta có (*) nqi + fthi = 1 (mod.mv), Ị = g\h \ (m.od.mv), và đặt e = m i n (v ' (f - 01/ỉi), v'(agi + p h ị - 1 )). Nếu < = 30, tức ta có / = g\h\, thì bổ đề được chứng minh. Giả sử e < 00. • Dễ thấy ta có thể chọn được p 6 k sao cho v(p) = e. Do đó theo trên ta có 1( 1). / - 3i/iỊ e p {Ov[x])\ 2(1). Ỡ - g , h ì = h\ 1 3(1). deg{gi) = deg{g), deg(hi) < deg(f) - deg{g). Tiếp theo, ta sẽ xây dựng bằng quy nạp các đa thức git hi 6 O v [.'/;] sao cho ỹi = g. deg(gi) = deg{g).hi = h,deg{hi) < d e g ự ) - deg(g), dãy Qịhị hội tụ tới / , dãy gi hội tụ tới 3 G O v[x], dãy hị hội tụ tới h e O v[x]. Để làm điều đó, ta xây dựng dãy Ọi. hị, i > 1 , sao cho l(i). / = Ọihi (rnod.p‘) (tức dãy gịhị hội tụ tới /) ; 2(i) Ợ = Ọi_i (m od.pi_1) (tức dãy Q hội tụ tới ợ Ễ O v \x\ và dãy hi hội tụ ĩ i tới h e O v[x})\ 3(i) 9 i =.g, deg(gi) = deg(g),hi = h, deg(hị) < d e g ự ) - deg(g). Với i = 1, các hệ thức 1(1)-3(1) cho ta các đa thức cẩn tìm. Giả sử đã tìm được các đa thức như yêu cầu đúng đến i = n — 1 > 1. Ta đặt gn Ọn —l p hn ■ h n —1 p V, trong đ ó u, V là c á c đa thức nào đ ó th u ộc O v ịx]. R õ ràng với gn,h n như vậy, ta có 2(n), 3(n) là đúng. Để l(íí.) là đúng, ta thấy / = 9 n K ( mod.p n) < > = < > / = gn- = -t-pn_1(pn-iw + /ín-iw) (rnod.p7 ) (n > 2) 1
Định /v Newton vé xấp xi. Bổ đề Hensel và các ứng dụng 133 «0 := l ư - P n - l ^ - , ) / ? " 1] = (9n-lV + An-ltt) (mod.p). Chú ý ràng theo giả thiết quy nạp Vo = [ ( / — < 7 n -i^ -i)/p n_1] € ỡ t [j]. Ta sẽ chọn u. 1/ thoà mãn điều kiện trên. Theo (*), agi 4- 3h\ = 1 (Tìiod.p) nên ỉ'(i(n(/i + J/ỉ]) = t> (mod.p). Chia voJ cho
134 Chương V thì do / là nguyên thuỳ, tồn tại 0 < m < n sao cho uỊom) = 0 ,f(a i) > 0 , với mọi i > rn. Khi đó deg( ĩ) = m. Ta có phân tích / - g \h \, với 9\ = M l = ĩ e Jfc(u)[T]. Vì (gí, hì) = 1, deg(gi) = m, nên Bổ đề Hensel cho ta phân tích / = qh, với dp.q(q) = m > ữ,de.q{h) = n — rn > 0, trái với giả thiết là / là bất khả quy, nên m i n ( v ( d o ) , V ( a n ) ) = 0. ■ 5.2.4. Hệ quả. Với ký hiệu ở trên, nếu đa thức / = i" + z ,< n aix ' Ễ là bất khả quy, thì f G O v [x\ khi và chỉ khi an £ O v. Chứng minh. Ta biết rằng / e O v[x\ khi và chì khi v ' ( f ) > 0. Lúc đó rõ ràng an £ O v. Ngưc«c lại, nếu v(an) > 0, thì 5.2.3 cho ta / e O v [x], V ta I có v'(f) = rnin(v( 1), y(an)) = 0 = m in v(a.i), nên ãị € với mọi i. ■ Một trong các dạng khác nhau của Bổ đề Hensel hay gặp trong các tài liệu là khẳng định sau đây, cho phép ta "nâng nghiệm "của đa thức trên trường thặng dư lên thành nghiệm của đa thức trên vành Hensel. 5.2.5. Hệ quả. Với ký hiệu ỏ trên, cho f € O v [x\, và f = / (m od.m v) có nghiệm đơn ã. Khi đó ã có thể được nâng lên thành nghiệm của /, tức là f có nghiệm a 6 O v sao cho a = ã (rnod.mv). Chứng minh. Cho / = ( x—ã)ĩi, với ĩi (ã) Ỷ 0- Khi đó ( x—ã) và ĩi là nguyên tố cùng nhau, theo Bổ đề Hensel 5.2.2, ta có / = g.h, với g = x - ỗ , deg(g) = 1, hệ tử cao nhất của g là 1, hay g = X —a, v à a = õ (m od.m v). ■ Hệ quả sau đã được chứng minh dùng phương pháp xấp xì Newton ở trên. Ta đưa ra cách chúng minh khác dùng Bổ đề Hensel. 5.2.6. Hệ quả. Cho k là là trUi'mg địa phương (tức đầy đủ với định giá r ờ i r ạ c v à lù c o m p ắ c đ ịa p h ư ơ n q ) . K h i đ ó n ế u K là tr ư ừ n ẹ th ậ n %d ư c ủ a k vớ i q phần tử, thì k chứa cán nguyên thủy bậc q — 1 của đơn vị. Clìứnẹ minh. Cho / = x q~l —1. Vì / là tách và có đủ nghiệm trong K = F ?I nên với ã là căn nguyên thuỷ của 1 trong F ,, 5.2.5 cho thấy / có nghiệma với a = ă (mod.p), và rõ ràng a là cãn nguyên thuỷ của 1. Bố đề Gauss cho vành định giá mà ta đã chứng minh trong 3.2.25, rất oần
' Định iý Newton về xấp xỉ, BỔ đề Hensel và các ứng dụng 135 gũi với Bổ đề Hensel, và cũng như Bổ đề Gauss kinh điển, nó có rất nhiều " ứng dụng. Ta đưa ra một cách chứng minh khác dưới đây. ỉ' 1 5.2.7 Mệnh đề. (Bổ đề Gauss phi Acsimet) Cho k là trường với định giá ịmũ) phi Acsimet V và vành định giá tương ứng (A ,m ). Giả sử f Ễ /4[x] là 1 da thức vớ i hệ từ c a o n h ấ t là / , VÀ / = g .h , v ớ i g , h 6 fc[x] là c á c đ a th ứ c với hệ tử cao nhất là ì. Khi dó g ,h e v4[a.-]. Chímg minh. Cũng như trong chứng minh Bổ đề Hensel, ta mở rộng định giá V lên trên k ( x ) b ằn g c á ch đặt v 'fc a iX * ) = m i n iv{ai) , v \ f / g ) = v \ f ) - v \ g ) , f , g e k[x],g í 0 . i Dễ dàng kiểm tra rằng v' là định giá (mũ) phi Acsimet của k(x). Theo giả thiết, / € ì4[.t], nên i/ ( / ) = 0. Mặt khác, / = gh, nên v ' ( ĩ ) = v'(g) + v'(h) = 0. Nhưng u'(g) < v /(l) = o.v'(h) < v '(l) = 0 (vì chúng có ít nhất I hệ tứ là 1). Vậy ta phải có v \ g ) = v \h ) = 0, hay g, h e A[x). ■ 5.2.8. Hệ quả. Với k, A như trên, cho / Ễ A [a:] là đa thức với hệ tử cao nhất là I, và / = / ] - - - f r . với f j e k[x],j = 1, ..., r là các đa thức với hệ tử cao nhất lù I. Khi đó f j € A[x\ với mọi j. m 5.2.9. Hệ quả. Cho A lù vành định iỊÍá tronẹ trưdmẹ k, « là phần tử đại s ố trẽn k. Nếu (\ là ngu vân trên A, thì đa thức bất khả quy (với hệ tử cao nhất là I) có hệ lử thuộc A. ■ 5.3. Đa giác Newton Một trong những phương pháp kinh điển nghiên cứu dáng điệu nghiệm cuả đa thức trong trường số thực đã được cho bời việc nghiên cứu đa giác New ton. Hoàn toàn tương tự, người ta.có thể dùng đa giác Newton để nghiên cứu n g h i ệ m c ủ a đ a t h ứ c t r o n g t r ư ờ n g k đ ố i v ớ i đ ị n h g i á r ờ i r ạ c ( m ũ ) V. Cho k là trường vói định giá mũ rời rạc không tầm thường V, Ị = «0 + ■- • + n„:rn E A:[.r], với a 0an Ỷ 0- Với mỗi 0 < * < n ta cho tương ứng điểm với tọa độ (i, v(ữi) 6 R 2 (bỏ qua các điểm với a, = 0). Ta lấy bao lồi dưới cúa các điểm (ị. 0 < i < n, và nhận được đương gấp khúc hiìii han. bắt dầu từ (phía trái) với điếm ( 0, v(a0)) và kết thúc tại (n , v ( a n)).
136 Chương V Định nghĩa. Đường gấp khúc đó được gọi là đa giác Newton liên kết với fix). Ta ký hiệu lần lượt S ị . S ị , - - là các đoạn thảng của đường gấp khúc đó, với hệ sô' góc thực sự tăng dần. Kết quả sau cho ta thông tin về định giá của các nghiệm của một đa thức đã cho. 5.3.1. Mệnh đề. Cho f ( x ) = a 0 + ■■■anx n € fc[a;], vớia 0an 7^ 0. Cho L là trường phân rã của f trên k,và w là mở rộng cud Vlêntrên L. Già sù Ar ■= (r. v(ar)). 0 < r < n. Nếu [Xr^jỊ là đoạn thẳng cùa đa giác Newton cùa f với hệ s ổ ẹór —m, thì f ( x ) có đúng s —r nghiêm a i , .... as_r với cùng dinh giá w(a\) = • ■• = w(as- r) = m. Chíơig minh. Chú ý rằng đa thức f i ( x ) = ao/an + ■ ■ani/ a nx n ~ 1 4- xn ■ có đa giác Newton nhận được từ đa giác Newton của f ( x ) bằng cách tịnh tiến đa giác đã cho theo véctơ (0. v(an)). Do vậy có thể giả thiết ngay từ đầu rằng n„ = 1. Ta đánh sô' các nghiệm cùa f ( x ) bằng dãy ( ò i,.... bn), sao cho u :(M = • • • w ( b Sl) = 7/7], U'ơ>*,+i) = •• ■= w(bSỈ) = m2, iLÌbSt^ ) = ■ ■ = w(bn) = Tiĩt+1 , ■ 1 với mi < ■■■< TTit+1 .Vì a, làcác hàm đốixứng của các nghiệm & , cho nên ta có w(an) = 0 , '’(Ort-i) > rn iV i{w {a i)} - n iu 2) > m i n i j { w ( n taj)} = 2tííi,..., và rõ ràng ta có = núnn... ,M{u.'(6{l • ■• b i j } = s m i . Nsoài ra > m in i,...íai-^1 {u'(6tl • • ■bị,i+j) = Sim i + m2, - 2) > : • - biti+2) = S 1 TTÌ1 + 2m 2. > r n i n , u ...'lS2 { w { b il ò,,2) = S ị i n ! + (s2 - ■ ■■ S i) m 2, Từ đó dễ dàng thấy rằng các đỉnh cùa đa giác Newton sẽ là (ri. 0 ). (n — Si, S ir n i), (n — s 2, S 1W 1 + ( s 2 — S i) m 2). Các hệ sô góc các đoạn thẳna tương ứng lần lưcrt tù phải qua trái sẽ là (0 - SjTni)/(ri - (n - s1 )) = - m 1 ,
Định lý Newton vé xấp xi, Bổ đề Hensel và các ứng dụng 137 (siTHi - (« 17«! + (s 2 - Si)rn2) /( { n - Si) - (n - s 2)) = - j n 2, ... ■ 5.3.2. Hệ quả. Đa giác Newton của đa thức f (X) chỉ gồm 1 đoạn thẳng khi và chỉ khi tất cả các nẹhiệm của Ị có cùng định giá. u 5.3.3. Mệnh đề. Với ký hiệu như tr0119, chứng minh của 5.3.1, cho — T 1. Cho p(x) là đa thức bất khả quy của bi, p(x) € k[x\, .'/(•') - ./ (•' )//'(■'■) s A[,/;J. Vì /;(.(.) là bất khả quy, nên theo trên, các định giá cùa các nghiệm của p ( x ) có cùng giá trị 77ii, và với ký hiệu ở trên, p(x) là ước của /i( x ) . Cho 3 i(x) = fi{ x) /p( x) € L[x]. Ta có g(x) = 9 i(x)ĨỈ 2
138 Chương V ta biết rằng hai đỉnh ngoài cùng cùa đa giác đó là (0, v(ao), (n. vịãn)). Vậy v(Oj) > ĩmriịv(an),ỉ>(an)} với mọi i. m 5.4. Bao đóng đại số của trường đầy đủ. Một số tính chất của không điểm của đa thức trong trường đầy đủ Định nẹhĩa. Cho k là một trường, f , g € ẢrỊiị là hai đa thức bậc lốn hơn 0. Khi đó ta nói / , g cùnẹ sinh ra các trường như nhau, nếu với mọi nghiệm u của / , tổn tại nghiệm Ị3 của g sao cho k(a) = k(p) và ngược lại, với mọi nghiệm 7 của g, tồn tại nghiệm ỏ của / sao cho k( 7 ) = k(ố). Vídụ. Các cặp đa thức i f ( x ) = x —l ,g ( x) = x 2 —4), ( f ( x ) = x 2 —2,g(x) = X 1 — 1 / 2 ) là c ù n g s in h c á c t r ư ờ n g n h ư n h a u . 5.4.1. Mệnh đề. (Bổ đề Krasner) Cho k là trường đầy đủ với giá trị tuyệt đối phi Acsimct |.|. Cho a . 3 là các phần tủ thuộc k, a là tách trên k(B). Nếu với mọi id / s e Isok(k(a)) (tập tất cả các đẳng cấu k( a) — s(fc (a )),s|t = * id), ta có \/3 — a | < |s(a ) —a | thì k(a) c k(P). Chứng minh. Chú ý rằng do a là tách trên nên k(n) c k(fi) khi và chỉ khi với mọi t e Jsok(2 )k(a. P), ta có t(a) = C Mọi phần tử t t. như thế đều là đẳng cấu tôpô, nên ta có It(P - a )| = I/? — a|; mặt khác, t(l3 - q) = t(p) - t(a) = 0 — t ( a ), nén \Ị3 - Q - \Ị3 - í(a )|. Vậy r| \ịỉ — t ( a )I < |s(q) — q|, với mọi s Ỷ id, s £ Isok(k(ct)). Mặt khác ta có |í( q ) - q | = |í( q ) - 3 + /3 -a \ < l^(«) - p\ + \ P - n\ < max(\t(a) - ổ | , | ^ - a | ) = \p — q | < |s (q ) — a |. Chọn t e Isokụ)k(ữ, 0), t(a) í a , s = í|ít(Q)> theo trên ta có |
Định lý Newton về xấp xỉ, Bổ đề Hensel và các ứng dụng 139 ỵ,i atx ‘ 6 k[x],an Ỷ 0 , thì l/l = max (ữị)). 1) Giả sử / € Ả:[x] là đa thức với hệ tử cao nhất là 1, l/l < A ,A > 1. Khi dó. nếu a e k, sao cho |a| > A, thì f ( a ) / 0. Vậy nếu /i là nghiệm củaf, thì la có Ị/J| < A. 2) Gid sử J' e k[x\ là đa thức với hệ tử cao nhất là ì , hất khả quy và tách trên k. Cho g e /c[.t] là đa thức với hệ tử cao nhất là ì , và d e g(f) = deg(g). Cho {tti}ig/, {t3j}3e j tươnẹ ứng là các tập nghiệm của f và g. Khi đó, nếu I/ - ợ| đủ nhó, thì với mọi i € Ị (tương ứng j € J), tồn tại j 6 J (tương ứng I e I) sao cho |tt, —/3j\ là nhỏ, và lúc đó k(cii) - k(Pj). Khi đó g cũng là bất khả quy và tách. :i) Giá sử Ị .q € k[x\ là các đa thức với hệ tử cao nhất là /, deg(J) = deg(g) = n. Giả sử f = ritg;( 2.' — ai)"*, với a , / a j , i Ỷ j- Cho a := mini j (!< * — rtjl). Khi đó, nếu I/ —g I là đủ nhỏ, thì sô'các nghiệm Ps (kể ■,; cả bội) của g sao cho |/JS — « 11 < a đúnq bằnẹ Ui- Chứng minh. 1) Cho f = x n + CLiXn~l + • • • + an, |aj| < A, 1 < i < n. Cho /4(> 1). Với mọi i > 0, ta có |ni«B_i| < ^ 1«!"-' < |o |n- i+1 < \a\n, do đó từ đẳng thức 0 = a n + (Iityn ^ - - • —fĩnj ta rút ra |0| = If ( a ) = |a |n, vô lý. Vậy mọi nghiệm a đều của / thỏa mãn bất đẳng thức |rv| < A. 2) Cho \f — < t, /3 = pj, f = Xn+E< diX’1 = g\ -* (»i Ỷ 0tj, i Ỷ j \ Ịl = xn + bịXn~ \ A := m ax ( |/ |. 1, |p|). Như vậy A > 1, nên theo 1), ta có mọi nghiệm ttj của / thoả mãn |«i| < A. Tương tự, |/3| < A. Vậy \ m \ = \ m - 9{0)\ < E l/J|n_1l(«í - M I < m a X iM F -* ) < tA n. ỉ Do đó n , \0 - « i) | = l/(/? )l < do đó tồn tại i sao cho (*) \0 - ữil < ( 0 1/nA Từ đó suy rằng nếu ta lấy (. đủ nhỏ (ví dụ lấy ,(. sao cho A < a := ( Ia , - O I) (> 0)), chỉ số i € 1 ờ trên sẽ là là duy nhất. Lúc đó ta fj nói ;j lỊấn kết với Qj, và ký hiệu /3 = Pj ~ Qj. Vì lý do đối xứng, với mọi /' € /, tổn tại duy nhất j € J sao cho ữị ~ pj Do đó dễ thấy rằng C a r d ự ) = C a r d Ụ ) = n, tức g là đa thức tách. Cho b := rnirii j €j (IA - /?j|)(> 0)).
140 Chương V Lây ĩ < m in (a .b ). Với i . j sao cho 1 — Oj| < a, ta có lúc đó 3j ~ Qi (và 0j ngược lại), mà a = m iV ij (I a , - ttjl) 777f7?itid^s£/.sojk(fc(ai)) *-**!)’ nên Oj, ịỉj thoả mãn điều kiện của 5.4.1 (Bổ để Krasner). Vậy k(ữi) c Nhưng vì lý do đối xứng, k(0j) c k(ữi), nên k (ai = k(0j). Từ đó suy ra g cũng là bất khả quy. 3) Giả sử khẳng định là sai. Khi đó tồn tại dãy gt các đa thức (€ fc[x]) sao cho: deg{g,) = n = d e g ự ) , \gt — /I — 0 , và sô'các nghiệm ♦ (kể cả h ộ i ) cùa gt oán k ế t với «1 l à st / t ì ) . Mặt khác, vì 1 < S < n, nên có thể giả thiết rằng St = s. với mọi ( t. Theo chứno minh cùa 2), ta thấy nếu gt đù gần / , thì Q] phải c ó bội là s / 7?1, vò lý- Sau đây chúng ta xây dựng một truờng đóng đại số, đồng thời vừa là đầy đủ đối với giá trị tuyệt đối đã cho (hay định giá rời rạc nói riêng). 5.4.3. Định lý. Cho k là trưỀmo đ ầ \ đù với ẹiá trị tuyệt đối phi Acsimet I I. và mờ rộng tự nhiên |.| lên trên một bao đónạ đại s ố k nào đó của k. Khi đỏ bao đầy đù c cùa k đôì với giá trị tuyệt đổi đó là đóriq đại số. Chứng minh. Cho / € C[x\ là đa thức bậc > 0 tùy ý; ta cần chứng minh rằng / có nghiệm trona c . Ta phân biệt hai trường hợp như sau. 1) / = Ho
Định lý Newton về xấp xỉ, BỔ đề Hensel và các ứng dụng 141 thấy rằng khi đó {x]Ịv} n cũng là một dãy Cauchy, và dãy đó xác định phần tử r l/v. Song x]Ịp e k, nên à lv 6 C, và khẳng định được chứng minh. Nếu / là đa thức bất khả quy tuỳ ý trên c, thì / = gv“, với g là đa thức tách. Nhưng theo khẳng định vừa chứng minh, / = g vì trên c không có mở rộng hữu hạn thuần tuý không tách. Vậy c là đóng đại số và đầy đủ. 5.5. Vành Hensel. Mở rộng Hensel của vành. Bao Hensel của vành và trường Một trong những lớp vành gần gũi với lớp các vành địa phương đầy đủ là lớp các vành Hensel do Azumaya đưa ra. Các vành này có hầu hết những tính chất quan trọng của vành định giá đầy đủ liên kết với định giá phi Acsimet V n à o đ ó . T r ư ớ c h ế t ta c ó 5.5.1. Định lý. Cho (/1, 777) là vành định ẹiá tron í; trưỉm ẹ k với trường thặng du k'. Các khẳng định sau đây là tương đương. 1) Tổn tại duy nhất một vành định qiá B nằm trên A tron q mỗi mở rộnẹ đại số tách được Llk . 2) Với mọi mở rộnq Galoa L/ k, bao dón% nẹuyên B của A trong L là một vành định qiá tronẹ L. 3) Nếu f E A [a:] là da thức với hệ tử cao nhất lã 7, sao cho thu gọn / i (theo m) của f có phân tích / i = với gi ,hi là các đa thức nguyên tố cùng nhau tronẹ k'[x\ với hệ tử cao nhất là I, thì tồn tại các đa thức tương tự (], Ì1 e A[x\ sao cho f = gh, và là thu gọn tương ứng theo m của g,h. 4) Nếu f 6 A[x\ là đa thức tách được với hệ lử cao nhất là I , sao cho thu ẹọn fị cùa nỏ, troníỊ fc'[.r] có nẹhiệm đơn là Oi, thì f cũng có nghiệm đơn a trong A, sao cho a. = a 1 (mo d. m). 5) Nếu J' e A [x-] là đa thức với hệ tử cao nhất là ], sao cho thu gọn f i của nó nont; fc'[.x] có nghiệm đơn là dị, t h ì f cũng cố nghiệm đơn a trong A, sao clio a = 0-1 (m od.m ). ChứniỊ minh. Sơ đồ chứng minh là 1) => 2) => 3) => 4) => 1, 4) 2). Giả sử L là một mở rộng Galoa của k mà lì không là vành định giá trong L. Theo Định lý 3.2.20, mọi vành định giá (B ', M ') của L chứa A đều có dạng S ~ lB, với s = B \ (M' n B ). Rõ ràng lúc đó vành B không là vành địa phương (nếu không iđêan cực đại của nó là duy nhất và m ọi vành định giá chứa A lúc đó đều bàng nhau). Vậy có ít nhất hai iđêan cực đại Mi ^ M 2
142 Chương V của B, nên có ít nhất hai vành định giá Bi := S ~ 1 B, Si = B \ Mi, i = 1,2 nằm trên A, trái với điều kiện 1). 2) => 3). Cho L là trường phân rã của f ( x ) trên k. Khi đó L / k là mờ rộng Galoa hữu hạn, vói nhóm Galoa G. Cho / = ITi^i^nC* — fli)- Nếu ^ 'à vành định giá trong L nằm trẽn A, thì theo Hệ quả 3.2.21, tồn tại s € G sao cho s(B) = c . Mặt khác, vì B là bao đóng nguyên của A trong L nên s(D) = B. Vậy B là vành định giá duy nhất trong L nàm trên A. Cho Q là iđêan cực đại của B. Khi đó theo 2.2.4 - 2.2.6, k chính là trường phân rã của Q, và nhóm phân rã Gq = G (và ở đây p — m). Vì mọi nghiệm của / đều thuôc B , nên nếu / i là thu gọn của / , thì / i = r ii('c - a t)> dị = a'ị (mod.m). Cho M = {i \ pi(a
Định lý Newton về xấp xỉ, BỔ đề Hensel và các ứng dụng 143 Q c c c L V T T= Q c i B c L T T T R c Bo c Lo T T T m c A c k trong đó các mũi tên là các phép nhúng tự nhiên. Vì a giữ ổn định B. c , nên (Ìq cũng vậy. Ta biết (theo 2.7) Qi cũng là iđêan cực đại của B. Do đó nhóm C,Q tác động lên trường thặng dư B / Q 1 như nhóm các tự đẳng cấu. Vì G ọ giữ bất biến các phần tử của k, nên nó cũng giữ bất biến các phần tử của A / P . Do đó tác động của G q cảm sinh đồng cấu nhóm 0 : Gọ — Aut A/ p( B/Q) . Ta > biết chi' có một sô' hữu hạn iđêan cực đại trong Bo nằm,trên Tĩì. Mặt khác, Lo là trường nhỏ nhất vói tính chất Q i là iđêan cực đại duy nhất của t ì nằm trên R, mà k Ỷ Lo, nên có một số ? > 1 hữu hạn các iđêan cực đại đôi một khác - nhau Q ị, Q2y.. Qr của B nằm trên R , tóc cũng nằm trên m. Do đó cũng có một số hữu hạn (>1) các iđêan cực đại đôi một khác nhau Q'ị := Qi n £?0 của /i(] nằm trên T . Ta nhận xét rằng vì Q'ị là cực đại và đôi một khác nhau, O nên tổn tại a e (B ữ \ Q \) n Q '2 n ■• ■n Q'r. Thực vậy, theo định lý tránh nguyên tố, với mọi j ta có Q'j Ợ u ijtjQ'i, nên tồn tại ữj € Q'j \ (u iftQ'i), và l đặt a = a 2 ...ar. Khi đó a € Q 'ý j > 2, nhưng a ị Q \, vì a< ị Q [ , i > 2. Vì Q'ị nằm trên VI, mà a € Q'i, i > 2, a ị rn, nên a Ệ A, tức a ị k. Do đó bậc của mờ rộng [fc(o.) : k} > 1. Cho / là đa thức bất khả quy của a trên k. Vì n là nguyên trên A, nên / € /1 . Vì / có nghiệm n trong mờ rộng Galoa l./k, nên / phân rã hoàn toàn trong L[x], f = rii0 = ỉ'Cq, nên ,s(a) = n, trái với giả thiết ở trên là s(a) = a.i Ỷ a- ^1 7^ Q 1- Đặt Rị n B ữ = Q'y Vì Q I n B„ = Q\, và Ri Ỷ Q\- nên Q'j í Q'v tứ j > 1. vì a < nKj
144 Chương V I = {'-í' — ã)xq~l . Vì a ị Ọi nên a Ệ R, và ã 6 B o / R \ (0). Theo Mệnh đề 2.2.6, 2), ta có A / m ~ B 0/ R . Do đó đa thức tách được / ( x) € ^4[x] và bất khả quy trên k thoả mãn điều kiện : thu gọn / của nó có nghiệm đơn õ. Theo giả thiết, / có nghiệm trong k , mâu thuẫn với định nghĩa của / . 4) => 5). Cho / , a,(2i như trong 5). Khi đó, vì di là nghiệm đơn cuả / i , ta c ó /í( o í) * 0, hay / ' í 0 , hay / ' / 0 (vì ( /') , = (/i)'). vì / , / ' / 0 , ta có thể xét g là ước chung lớn nhất cùa / , / ' với hệ tử cao nhất là 1. Khi đó pi là tách được, có nghiệm là 0 ], nên thoả mãn điều kiện 4). Do đó g có nghiệm a e A sao cho a = ãi (m od.m ), và / cũng vậy. 5) => 4). Hiển nhiên. ■ Định nghĩa. Vành định giá R trong trường k được gọi là vành Hensel, nếu nó thoả mãn một trong các điều kiện tương đương nói trên. Định giá của trường k được gọi là định giá Hensel nếu vành định giá liên kết với nó là Hensel. Trường k lúc đó được gọi là trường Hensel. 5.5.2. Hệ quả. Cho A là vành định giá Hensel trong trườnẹ k, ko là trường con của k và là đóng lách trong k. Khi đó A 0 := A D k 0 là vành Hensel. (N hắc lại rằng k 0 là đóng tách trong k, nếu m ọi phần tử X e k m à là đại số và tách được trên k.0 đều thuộc kữ.) Chứng minh. Ta biết A 0 cũng là vành định giá trong k0. Cho / 6 Aữ\x\ là đa thức tách được với hệ tử cao nhất là 1, sao ch o thu gọn / i của nó trong (/co)'[i) có nghiệm đơn là aj. Khi đó (theo 4)) / cũng có nghiệm đơn a trong A, sao cho o = a. 1 (ìnod.'tri). Nhưng n là đại số trên k(ì vì / £ >40[.t], và tách được trên /c0, vì / là tách được, nên a € k0, hay a e k 0 n A = A 0. ■ Ví dụ. Bổ đề Hensel nói rằng các vành định giá trong một trường đầy đủ đối với một định giá phi Acsimet không tầm thường là một vành Hensel. Ví dụ khác được cho bởi Hệ quả 5.5.2, và cũng cho bởi hệ quả sau. 5.5.3. Hệ quả. Cho k là ưưìmg với định giá (mũ) V, và vành định giá (o m), k„ lủ hao đấy đủ của k đối với V, với vành định giá (O v■m v). Cho L lù bao tách được của k trong kvt O v I = Oy n L. Khi đó Oy I là vành Hensel. ■ Một trong những tính chất đặc trung của (vành) định giá Hensel là tính duy nhất của mở rộng của định giá lên các mở rộng đại số. Cụ thể ta có hê quả