Luận văn Thạc sĩ Toán học: Trường số p-adic và bổ đề Hensel

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:51

Thêm vào BST

Báo xấu

73
lượt xem 9
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Trường số p-adic và bổ đề Hensel giới thiệu tới các bạn một số định nghĩa và tính chất của chuẩn trên trường, chuẩn phi Archimede, xây dựng trường số p-adic, khai triển p-adic của một phần tử trong Qp và một số nội dung khác.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Trường số p-adic và bổ đề Hensel

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Bùi Minh Tâm TRƯỜNG SỐ P-ADIC VÀ BỔ ĐỀ HENSEL LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2011
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Bùi Minh Tâm TRƯỜNG SỐ P-ADIC VÀ BỔ ĐỀ HENSEL Chuyên ngành : Đại số và lý thuyết số Mã số : 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh – 2011
LỜI CÁM ƠN Trong quá trình học tập tại trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, tôi đã được Quý Thầy Cô cung cấp cho tôi những kiến thức chuyên sâu, giúp tôi trưởng thành trong học tập và nghiên cứu khoa học. Tôi xin gửi lời biết ơn đến tất cả Quý Thầy Cô đã tận tình giảng dạy tôi trong suốt thời gian học tại trường. Tôi xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến PGS. TS Mỵ Vinh Quang Thầy đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt thời gian thực hiện luận văn. Đặc biệt, tôi đã được học ở Thầy phương pháp làm việc khoa học và sự am hiểu thấu đáo của riêng Thầy. Xin được phép gửi lời cám ơn đến Quý Thầy trong Hội đồng Bảo vệ Luận văn Thạc sĩ đã đọc, đóng góp ý kiến, nhận xét và đánh giá luận văn. Tôi cũng xin được phép gửi lời cám ơn đến quý Thầy, Cô công tác tại phòng KHCN và Sau đại học của trường ĐHSP Tp. Hồ Chí Minh, Sở Giáo dục và Đào tạo Tp.Hồ Chí Minh, Ban Giám Hiệu trường THPT Lương Thế Vinh và các đồng nghiệp đã tạo nhiều điều kiện thuận lợi và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập, thực hiện luận văn. Cuối cùng, xin khắc sâu công ơn Cha Mẹ, cảm ơn Ông xã và hai cậu con trai yêu quí, người thân, bạn bè luôn ủng hộ, động viên và giúp đỡ tôi trong suốt khóa học. TP.Hồ Chí Minh tháng 10 – 2011 Bùi Minh Tâm
MỤC LỤC LỜI CÁM ƠN ............................................................................................. 1 MỤC LỤC ................................................................................................... 2 MỘT SỐ KÍ KIỆU ..................................................................................... 3 MỞ ĐẦU ..................................................................................................... 4 Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN ................................................. 5 1.1 Một số định nghĩa và tính chất của chuẩn trên trường ....................................... 5 1.2 Chuẩn phi Archimede.......................................................................................... 9 p Chương 2: TRƯỜNG SỐ P-ADIC VÀ BỔ ĐỀ HENSEL ............ 16 p 2.1 Xây dựng trường số p-adic ......................................................................... 16 p 2.2 Khai triển p-adic của một phần tử trong .................................................... 17 p 2.3 Vành các số nguyên p-adic ......................................................................... 20 2.4 Bổ đề Hensel ..................................................................................................... 27 2.5 Ứng dụng của Bổ đề Hensel .............................................................................. 35 KẾT LUẬN ............................................................................................... 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................... 49
MỘT SỐ KÍ KIỆU : : Tập số tự nhiên.  : Tập số nguyên.  : Tập số hữu tỉ.  : Tập số thực. p : Tập các số nguyên p-adic. *p : Tập các phần tử khả nghịch trong  p . p : Trường số p-adic.  : Chuẩn thông thường. p : Chuẩn p-adic. ord pa : Số mũ của p trong sự phân tích a thành thừa số nguyên tố. Ba (r ) : Hình cầu mở tâm a bán kính r trong  p . Ba (r ) : Hình cầu đóng tâm a bán kính r trong  p . Sa (r ) : Mặt cầu tâm a bán kính r trong  p . Fp : Trường thặng dư của trường F. ■ : Kết thúc phép chứng minh.
MỞ ĐẦU Các số p-adic được mô tả đầu tiên vào năm 1897 và chúng dần dần thâm nhập vào nhiều lĩnh vực khác nhau của Toán học như là Lý thuyết số, Hình học đại số, Tôpô đại số… Vào năm 40 của những thế kỷ 20, giải tích p-adic phát triển mạnh mẽ và trở thành một chuyên ngành độc lập nhờ vào việc phát hiện những mối liên hệ sâu sắc của giải tích p- adic với những vấn đề lớn của số học và hình học đại số. Trường các số p-adic  p được xem tương tự p-adic của trường số thực  , tuy nhiên nó lại có khá nhiều tính chất khác với  . Chính vì vậy, chúng tôi chọn đề tài “Trường p- adic và Bổ đề Hensel” để có thể nghiên cứu rõ hơn về trường số p-adic. Mục tiêu chính của luận văn là xây dựng và nghiên cứu trường số p-adic. Đặc biệt là xây dựng Bổ đề Hensel và các ứng dụng chúng để nghiên cứu các số p-adic. Luận văn gồm hai chương Chương 1: Các kiến thức cơ bản Chương này sẽ trình bày các kiến thức cơ bản về chuẩn trên một trường, các tính chất chung, khái niệm chuẩn phi Archimede, một số tính chất cần thiết cho chương sau. Chương 2: Trường số p-adic  p và Bổ đề Hensel Trong chương này sẽ xây dựng chi tiết trường số p-adic  p . Nghiên cứu khảo sát các tính chất  p và so sánh nó với trường số thực  . Đặc biệt là xây dựng Bổ đề Hensel và tìm tòi các ứng dụng của nó.
Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày các kiến thức cơ bản về giải tích p-adic chẳng hạn như chuẩn trên một trường, các tính chất chung, đặc biệt là khái niệm chuẩn phi Archimede, một số tính chất cần thiết cho chương sau. 1.1 Một số định nghĩa và tính chất của chuẩn trên trường 1.1.1 Định nghĩa Cho F là một trường. Ánh xạ  : F →  được gọi là một chuẩn trên F nếu thỏa các điều kiện sau: i) x ≥ 0, ∀x ∈ F. x = 0 ⇔ x = 0; ii) xy= x y , ∀x , y ∈ F; iii) x + y ≤ x + y , ∀x , y ∈ F. 1.1.2 Ví dụ Trường các số hữu tỉ , ,  với giá trị tuyệt đối thông thường thỏa mãn các điều kiện của định nghĩa nên trị tuyệt đối là chuẩn trên , ,  và ta gọi là chuẩn giá trị tuyệt đối, kí hiệu  1.1.3 Ví dụ Cho F là một trường tùy ý: Ánh xạ 0 neáu x = 0 x =  1 neáu x ≠ 0 Là một chuẩn trên trường F và được gọi là chuẩn tầm thường. 1.1.4 Mệnh đề (Các tính chất của chuẩn) Cho  là một chuẩn trên trường F có đơn vị 1. ∀x ∈ F ta có: i) 1 =−1 =1 n ii) x n= x , ∀n ∈  −1 ) x −1 iii= x ,x ≠ 0 Chứng minh 2 i) Ta có 1= 1= 12= 1 suy ra 1 = 1
Lập luận hoàn toàn tương tự, ta được −1 =1. n ii) x n = . x=  x... x x .= x .. x x n - thöøa soá −1 iii) Ta coù x . x −1 =x.x −1 == 1 1 ⇒ x −1 =x .■ 1.1.5 Nhận xét Nếu F là trường hữu hạn thì trên F chỉ có duy nhất một chuẩn là chuẩn tầm thường. Chứng minh Xét  là một chuẩn trên trường F. Giả sử F có q phần tử, thế thì nhóm nhân q −1 F* có cấp q – 1. Khi đó, ∀x ∈ F * ta có x q−1 = 1 , suy ra x= q −1 x= 1 hay x = 1.Vậy  là chuẩn tầm thường trên F. ■ 1.1.6 Định nghĩa (Hai chuẩn tương đương) Cho  ,  là hai chuẩn trên trường F. Ta nói rằng hai chuẩn này tương đương nếu 1 2 {xn} là dãy Cauchy theo chuẩn  khi và chỉ khi {xn} là dãy Cauchy theo chuẩn  1 2 m,n→+∞ → 0 . Chú ý rằng {xn} là dãy Cauchy theo chuẩn  , nghĩa là: xm − xn  Hay với ∀ε > 0, ∃no ∈  : ∀n, m > no , xm − xn < ε 1.1.7 Định lý (Các điều kiện để chuẩn tương đương) Cho F là một trường;  ,  là hai chuẩn trên trường F. Các điều sau là tương 1 2 đương: 1) ∀x ∈ F , x < 1 khi và chi khi x < 1 1 2 2) ∀x ∈ F , x ≤ 1 khi và chi khi x ≤ 1 1 2 c 3)Tồn tại hằng số C >0 sao cho ∀x ∈ F , x =x 2 1 4) Các tôpô sinh bởi  và  là trùng nhau. 1 2 5)  tương đương với  (    ). 1 2 1 2 Chứng minh
1 ⇒ 2) ∀x ∈ F , x 1 ≤ 1 , ta sẽ chứng minh x ≤ 1 . Thật vậy, giả sử ngược lại x > 1 , khi đó 2 2 1 1 1 = < 1 theo (1) ta có < 1 suy ra x 1 > 1 (mâu thuẩn với giả thiết ) nên x ≤ 1 . x2 x x 2 2 1 Lập luận tương tự ta cũng có x ≤ 1 nếu x ≤1 1 2 Vậy x ≤ 1 khi và chỉ khi x ≤ 1 1 2 2 ⇒ 1) ∀x ∈ F , x 1 < 1 , ta sẽ chứng minh x 2 < 1 . Giả sử ngược lại x 2 ≥ 1 ,vì x < 1 nên 1 1 1 theo (2) ta có x ≤ 1 suy ra x = 1 . Khi đó = = 1 2 2 x2 x 2 1 nên theo (2) ta có ≤ 1 hay x 1 ≥ 1 (mâu thuẩn giả thiết) do đó x 2 < 1 x1 Tương tự ta cũng có nếu x < 1 thì x < 1 2 1 Vậy x < 1 khi và chỉ khi x < 1 1 2 1 ⇒ 3) Ta xét hai trường hợp Trường hợp nếu có một trong hai chuẩn là tầm thường ta sẽ chứng minh chuẩn còn lại cũng tầm thường. Giả sử  là tầm thường. Khi đó với ∀x ∈ F* , x =1 . Giả sử x ≠ 1 , 1 1 2 thế thì x > 1 hoặc x < 1 2 2 Nếu x < 1 thì theo (1) ta có x < 1 (mâu thuẩn giả thiết) 2 1 1 1 1 Ngược lại nếu x > 1 thì = < 1 , suy ra < 1 do đó x 1 > 1 (mâu thuẩn) 2 x2 x x1 2 nên x = 1 , tức là  ≡  . Hay c = 1. 2 1 2 Trường hợp nếu cả hai chuẩn đều không tầm thường. 1 1 Khi đó, ∃x0 ∈ F : x0 > 1 suy ra < 1 nên < 1 do đó x 2 > 1 1 x1 x2
Đặt a= x0 , b= x0 , a > 0, b > 0 . Với mọi x ∈ F* , giả sử = x α a= (α log a x ) . Ta sẽ 1 2 1 m chứng minh x = bα . Thật vậy, ∀r > α (r ∈ ) ta có ar > aα . Giả = sử r = ,(m, n) 1 . Khi 2 n m m n xn xn đó x0 n > x suy ra x0 > x nên m < 1 theo (1) ta có m < 1 do đó x n < x0m hay 1 1 1 1 x0 1 x0 2 2 2 m r x2 < x n 0 2 = x 0 2 =b r . rn α Chọn dãy {rn} ⊂ , rn > α : rn → α suy ra x0 2 > x 2 ⇒ x0 2 ≥ x 2 ⇔ x 2 ≤ bα Tương tự ta chứng minh được x 2 ≥ bα . Vậy x 2 = bα log b α loga b Khi đó, ∀x ∈ F* , x = bα =  a a  = (a ) c α = x , c= loga b > 0 . 2   1 m,n→+∞ → 0 suy ra 3 ⇒ 5) Giả sử {xn} là dãy Cauchy theo chuẩn  1 . Khi đó xm − xn 1  c m,n→+∞ → 0 xm − xn 1  m,n→+∞ → 0 hay {x } là dãy Cauchy theo chuẩn  . nên xm − xn  2 n 2 5 ⇒ 1) ∀x ∈ F* , x 1 < 1 suy ra x n → 0 nên {x n} là dãy Cauchy theo chuẩn  1 suy ra {x n} 1 là dãy Cauchy theo chuẩn  nên x n+1 − x n → 0 suy ra x n x − 1 → 0 , mà x < 1 suy ra 2 2 2 2 1 x ≠ 1 do đó x − 1 2 ≠ 0 hay x n → 0 2 Ta có x n < 1 (vôùi n ñuû lôùn) suy ra x < 1 . Tương tự ta cũng có x < 1 ⇒ x < 1 2 2 2 1 Vậy x < 1 khi và chỉ khi x < 1 1 2 c 3 ⇒ 4) Ta có B2 (a, r ) = {x ∈ F : x − a 2 < r} = {x ∈ F : x − a 1 < r} 1 1 ={x ∈ F : x − a < r } = B1 (a, r ) c c 1 Khi đó, ∀A ∈τ 1 , ∀a ∈ A, ∃r > 0 : B1 (a, r ) ⊂ A ⇔ ∃c > 0 : B2 (a, r c ) ⊂ A ⇔ A ∈τ 2
Vậy τ 1 = τ 2 4 ⇒ 1) Giả sử x ∈ F , x 1 < 1 . Thế thì x n → 0 suy ra x n → 0 theo τ 1 , 1 mà τ 1 = τ 2 nên x n → 0 theo τ 2 . Khi đó, x n → 0 nên x < 1 2 2 Tương tự, nếu x < 1 thì x < 1 . ■ 2 1 1.1.8 Hệ quả Cho  ,  là hai chuẩn trên trường F. Nếu tồn tại hai số dương c1 , c2 sao 1 2 cho  ≤ c1  vaø  ≤ c2  thì khi đó  =  . 1 2 2 1 1 2 1.2 Chuẩn phi Archimede 1.2.1 Định nghĩa (chuẩn phi Archimede) Cho  là một chuẩn trên trường F. Chuẩn  được gọi là chuẩn phi Archimede trên F nếu nó thỏa thêm điều kiện: (iii′) x + y ≤ max{ x , y }, ∀x , y ∈ F Chuẩn thỏa (iii) nhưng không thỏa (iii’) được gọi là chuẩn Archimede. 1.2.2 Ví dụ Chuẩn tầm thường trên trường F là chuẩn phi Archimede Thật vậy Nếu x + y =0 thì x + y = 0 ⇒ x + y ≤ max x , y { } Nếu x + y ≠ 0 thì x ≠ 0 hoặc y ≠ 0 , do đó: x + y =1 ≤ max x , y . { } 1.2.3 Ví dụ Nếu F là trường hữu hạn có q phần tử với phần tử đơn vị là e thì chuẩn trên trường F là phi Archimede. Thật vậy Nếu x = 0 thì x = 0 q −1 Nếu x ≠ 0 thì x q−1 = e từ đó suy ra x = x q−1= e= 1 do đó x = 1 Vậy  là chuẩn tầm thường trên trường F và do đó nó là chuẩn phi Archimede. 1.2.4 Mệnh đề Cho F là một trường với chuẩn phi Archimede 
max{ x , y } . Nghĩa là, mọi tam giác đều cân i) ∀x , y ∈ F , x ≠ y thì x + y = trong không gian mêtric sinh bởi chuẩn  . ii) Các tập Ba (r ) = {x ∈ F : x − a < r} Ba (r ) = {x ∈ F : x − a ≤ r} Sa (r ) = {x ∈ F : x − a = r} là các tập vừa đóng vừa mở. iii)Mọi điểm thuộc hình cầu đều là tâm của nó. Nghĩa là, ∀b ∈ Ba (r ) , suy ra Ba (r ) = Bb (r ) iv)Dãy {xn} ⊂ F là dãy Cauchy ⇔ lim xn+1 − xn = 0 n →∞ v)Cho {xn} là dãy Cauchy. Khi đó, nếu xn → 0 thì xn → 0 ,còn nếu xn → 0 thì {xn} là dãy dừng.Nghĩa là, ∃N : ∀n ≥ N , x= n xn+= 1 xn+= 2  Chứng minh i) Không mất tính tổng quát, giả sử x > y . Khi đó, x + y ≤ max{ x , y } = x ⇔ x + y ≤ x (1) Maët khaùc, x = x + y − x ≤ max{ x + y , x } mà x > y nên max{ x + y , x } = x+y Do đó x ≤ x + y (2). Từ (1) và (2) suy ra x + y = x = max{ x , y } ii) Rõ ràng Ba (r ) là tập mở. Ta chỉ còn phải chứng minh Ba (r ) là tập đóng, tức ∀x ∉ Ba (r ) , ta chứng minh ∃ε > 0, Ba (r ) ∩ Bx (ε ) =∅ . r r Thật vậy, chọn ε = , giả sử ∃y ∈ Ba (r ) ∩ Bx ( ) ta suy ra 2 2 r y−x < và y − a < r 2
Khi đó, x − a = x − y + y − a ≤ max{ x − y , y − a } < r ⇔ x − a < r suy ra x ∈ Ba (r ) (mâu thuẩn) nên Ba (r ) ∩ Bx (ε ) = ∅ . Vậy Ba (r ) là tập đóng. iii) ∀b ∈ Ba (r ) ta chứng minh Ba (r ) = Bb (r ) . Thật vậy, { ∀x ∈ Ba (r ) ⇔ x − a < r ⇔ x − b + b − a < r nên max x − b , b − a < r } mà b − a < r do đó x − b < r khi và chỉ khi x ∈ Bb (r ) . Vậy Ba (r ) = Bb (r ) iv) Giả sử {xn} là dãy Cauchy. Khi đó, ∀ε > 0, ∃N : ∀n > N , xn+1 − xn < ε suy ra lim xn+1 − xn = 0 .Ngược lại, nếu lim xn+1 − xn = 0 thì n →∞ n →∞ ∀ε > 0, ∃N : ∀n > N , xn+1 − xn < ε Với mọi m, n > N , giả sử rằng m > n ta có xm − xn = xm − xm −1 + xm −1 − xm −2 +  xn+1 − xn ≤ max{ xm − xm −1 , xn +1 − xn } < ε suy ra xm − xn < ε . Vậy {xn} là dãy Cauchy. v) Nếu xn → 0 thì xn − 0 = xn → 0 Nếu xn → 0 thì xn → 0 nên ∃ε > 0 và dãy con {nk } sao cho xn < ε . Mặt khác, k {xn} là dãy Cauchy nên ∃N : ∀m, n > N , xn − xm < ε . Ta sẽ chứng minh xm = xm +1 =  , ∀m > N . Thật vậy, cố định nk > N , ta có x m = x m − xn + xn k k = max{ xm − xn , xn }(theoi= ) xn , ∀m > N . Vậy {xn} là dãy dừng. ■ k k k 1.2.5 Định lý (Các điều kiện tương đương của chuẩn phi Archimede) Cho F là một trường,  là một chuẩn trên F. Các điều sau là tương đương: i)  là chuẩn phi Archimede ii) 2 ≤ 1 iii) n ≤ 1, ∀n ∈ N= {= n n.1/ n ∈  ,1_ đơn vị của F }
iv) N bị chặn. Nghĩa là, ∃c > 0 : n ≤ c, ∀n ∈ N Chứng minh i ⇒ ii) Ta có 2 = 1 + 1 ≤ max{1 , 1} = 1 suy ra 2 ≤ 1 ii ⇒ iii) Với mọi n ∈ N , giả sử n = a0 + a1 2 + a2 22 +  + as 2 s với 0 ≤ ai ≤ 1, 2 s ≤ n < 2 s+1 . Khi đó, n = a0 + a1 2 + a2 22 +  + as 2 s ≤ a0 + a1 2 + a2 22 +  + as 2 s ≤ 1 + 2 + 22 +  + 2 s ≤ s + 1 (vì 2 ≤ 1) Với mọi k ∈ * , giả sử n k = b0 + b1 2 + b2 22 +  + bt 2t ,2t ≤ n k < 2 s+1 thì n k ≤ t + 1 . Ta có n < 2s+1 suy ra n k < 2( s+1)k mà n k ≥ 2t nên 2t < 2( s+1)k do đó t < (s + 1)k Khi đó t + 1 ≤ (s + 1)k , mặt khác n k ≤ t + 1 nên n k ≤ (s + 1)k suy ra n ≤ k s + 1 k k Vậy n ≤ 1 khi k → ∞ iii ⇒ iv) Hiển nhiên iv ⇒ i) Với mọi n ∈ * , ta có n n n x + y = ( x + y )n = ∑ Cnk x k y n−k ≤ ∑ Cnk x k y n−k =k 1=k 1 ( ) n n mà N bị chặn nên có c > 0 : Cnk ≤ c , do đó x + y ≤ (n + 1)c max{ x , y } suy ra ( ) x + y ≤ n (n + 1)c max{ x , y } nên x + y ≤ max{ x , y }(n → ∞) .■ 1.2.6 Định nghĩa Cho p là một số nguyên tố cố định. Với mỗi x ∈  \ {0}, ta luôn có m  m, n ∈ ,(m, n) = 1 x = pα   n =(m, p) 1,( = n, p ) 1  α gọi là p – số mũ của x, ký hiệu ord p ( x ) = α . Quy ước: ord p (0) = ∞, ∞ ± a = ∞ . 1.2.7 Mệnh đề Cho p là một số nguyên tố, ∀x , y ∈  ta có
i) ord = p ( xy ) ord p ( x ) + ord p ( y ) ii) ord p ( x + y ) ≥ min{ord p ( x ), ord p ( y )} 1.2.8 Mệnh đề Cho ρ là một số thực thỏa 0 < ρ < 1 và p là một số nguyên tố. Ánh xạ ρ : →  ordp ( x ) x xρ =ρ là một chuẩn phi Archimede trên  với quy ước ρ ∞ = 0 Chú ý 1) 0 < ρ1 , ρ 2 < 1 ⇒   ρ ρ1 2 Thật vậy, với mọi x ∈  ta có ( ) ( ) ord p ( x ) log ρ ρ1 log ρ ρ1 ord ( x ) log ρ ord ( x ) x ρ1 p ρ 2 ρ2 1 ρ2 p x 2 == = = 2 ρ1 ρ2 c Đặt c log ρ ρ1 > 0 , ta được x = x . Vậy    . = 2 ρ ρ ρ ρ 1 2 1 2 2) Với mỗi số nguyên tố p, ta có chuẩn ord p ( x ) 1 =xp   , ∀x ∈   p Chuẩn  được gọi là chuẩn p-adic hay chuẩn p. Rõ ràng chuẩn p là chuẩn phi Archimede. p 3) Cho no là số tự nhiên lớn hơn 1. Với mỗi x ∈  , ta luôn có x = ao + a1no +  + as nos (*) trong đó, 0 ≤ ai < no − 1, as ≠ 0 . Biểu diễn (*) được gọi là biểu diễn no - phân của x. Ta dễ dàng chứng minh được nos ≤ x < nos+1 và do đó, s ≤ log n x < s + 1 nên s =  log n x  .■ o  o  1.2.9 Định lý (Ostrowski) Mọi chuẩn không tầm thường trên trường  hoặc tương đương với chuẩn  p (p là một số nguyên tố) hoặc tương đương với giá trị tuyệt đối thông thường trên  .
Chứng minh Giả sử là một chuẩn không tầm thường trên  . Ta xét hai trường hợp 1.Nếu 2 > 1 thì là chuần Archimede. Lấy n ∈  , giả sử n =ao + a1 2 +  ar 2r +  as 2 s , trong đó ai ∈ {0,1} và 2 ≤ n < 2 .Ta viết 2 = 2α với α = log2 2 .Khi đó ta có s s +1 n ≤ ao + a1 . 2 +  + ar . 2r +  + as . 2 s ≤ 1 + 2α + ...2 sα  1 1  ≤ 2 sα  1 + α + ... + sα   2 2  ≤ 2 sα .C (vì toång trong daáu ngoaëc hoäi tuï) ≤ nα .C Suy ra n ≤ nα .C với n ∈  .Nên với mọi k ∈  ta có n k ≤ nokα .C suy ra n ≤ nα . k C .Cho (k → +∞) ta được n ≤ nα . Mặt khác, do 2 s ≤ n < 2 s+1 nên ta có 2 s+1 = n + 2 s+1 − n ≤ n + 2 s+1 − n Suy ra n ≥ 2 s+1 − 2 s+1 − n ≥ 2( s+1)α − (2( s+1) − n)α Hay   1 α  n ≥2 ( s +1)α 1 −  1 −   ≥ nα .C '   2   Suy ra n k ≥ nα k .C ' dẫn đến n ≥ nα . k C ' Cho (k → +∞) ta được n ≥ nα . Vậy n = nα với mọi n. m x Với x ∈  , x > 0 ta viết = , m, n ∈ , n ≠ 0 thì ta có: n
α m mα  m  α x = = =  =  x n α n n α α Với x ∈  , x < 0 thì − x > 0 nên ta có: x =− x =− x =x α Vậy x = x với mọi x ∈  .Theo điều kiện tương tương đương của chuẩn trong trường hợp 1 ta có   2.Nếu 2 ≤ 1 thì là chuẩn phi Archimede. Từ giả thiết ta có n ≤ 1 với mọi n ∈  . Do là chuẩn không tầm thường nên tồn tại n ∈  sao cho n < 1 . Gọi p là số tự nhiên bé nhất thoả p < 1 . Khi đó p là số nguyên tố. Thật vậy, giả sử p là hợp số thì p = p1 . p2 với p1 , p2 là số tự nhiên và 1 < p1 , p2 < p . Khi đó =p p1 p2 < 1 nên suy ra p1 < 1 hoặc p2 < 1 ( điều này mâu thuẫn với cách chọn p ) Gọi q là số nguyên tố khác p . Ta chứng minh q = 1 ( ) 1. Giả sử q ≤ 1 vì q k , p k = 1 nên tồn tại m, n ∈  sao cho mp k + nq k = Ta có 1 =1 =mp k + nq k ≤ m p k + n q k ≤ p k + q k Cho k → +∞ ta được 1 ≤ 0 , điều này vô lý. Vậy q = 1 . Lấy m ∈  , giả sử m = pα . p1α1 ... pkα k α α  1  log 1  p α log p  1  1p  1  C C m .Ta có = p =   p  =   =  α=  mp  p   p p     m x Với x ∈  , x > 0 ta viết = , m, n ∈ , n ≠ 0 thì ta có: n C m mp m C C x = = = = x n C np n p p α α Với x ∈  , x < 0 thì − x > 0 nên ta có: x =− x =− x p =x p .Theo điều kiện tương tương đương của chuẩn trong trường hợp 2 ta có   p .■
p Chương 2: TRƯỜNG SỐ P-ADIC VÀ BỔ ĐỀ HENSEL Trong chương này chúng tôi sẽ xây dựng trường số p-adic  p được xem như là tương tự p-adic của trường số thực  . Nghiên cứu khảo sát các tính chất  p , so sánh nó với trường số thực  . Đặc biệt là xây dựng Bổ đề Hensel và tìm tòi các ứng dụng của nó. p 2.1 Xây dựng trường số p-adic Từ định lý Oxtropxki ta thấy mọi chuẩn không tầm thường trên  đều tương đương với giá trị tuyệt đối thông thường  hoặc là chuẩn phi Archimede  (p là một số nguyên p tố). Mặt khác, ta biết rằng làm đầy đủ  theo  ta được trường số thực  . Làm đầy đủ  theo  ta sẽ được trường mới mà ta gọi là trường các số p-adic  p là tương tự p-adic của p trường số thực  . Cụ thể ta xây dựng như sau : ord ( x ) 1 p ; x p   Xét  p là chuẩn p-adic trên = , ∀x ∈  . Ký hệu S là tập tất cả các  p dãy Cauchy trong  theo chuẩn  . Trên S xét quan hệ tương đương ~ cho như sau: p ∀{xn},{yn} ⊂ ,{xn} ~ {yn} ⇔ lim( xn − yn ) = 0. n →∞ = Ký hiệu  p S= ~ {{x }:{x } Cauchy trong  theo  } . Ta sẽ trang bị hai phép n n p toán cộng và nhân cho  p để nó trở thành một trường. Phép cộng: ∀x= {xn}, y= {yn} ∈  p , x + y= {xn + yn} Phép nhân: ∀x= {xn}, y= {yn} ∈  p , x.y= {xn .yn} Dễ dàng chứng minh được với hai phép toán cho như trên,  p là một trường với: 0 {= Phần tử không:= xn 0} 1 {= Phần tử đơn vị:= xn 1} Phần tử đối: x = {xn} ⇒ − x = {− xn}
Phần tử nghịch đảo: Với {xn } ≠ 0 . Ta có xn / 0 suy ra ∃N > 0 sao cho ∀n > N , xn p = a ≠ 0. 0, n ≤ N Khi đó dãy { yn } , với yn =  −1 , là một dãy Cauchy trong  theo , và  xn , n > N p {xn }.{ yn } = 1 . Tức phần tử nghịch đảo của {xn } là phần tử { yn } . Xét θ :  →  p ,θ ( x)= {xn = x}, ∀x ∈  , ta chứng minh được θ là đơn cấu trường. Do đó, ta có thể coi  ⊂  p . x {xn} ∈  p , ta định nghĩa x = lim xn . Định nghĩa này hợp lý. Với mỗi= p p n →∞ Thật vậy, đầu tiên luôn luôn tồn tại lim xn p . Vì nếu xn → 0 thì xn p → 0 suy ra x p = 0 , n →∞ / 0 thì xn p = a ≠ 0, ∀n > N suy ra xn p → a ⇒ x p = còn nếu xn → a. Tiếp theo x không phụ thuộc vào cách chọn phần tử đại diện. Giả sử=x {= xn} {yn} thế p thì xn  yn nên lim( xn − yn ) = 0 . Mặt khác, ta luôn có xn − yn ≥ xn − yn suy ra n →∞ p p p p 0 hay lim xn p = lim yn p . lim( xn p − yn p ) = n →∞ n →∞ n →∞ Ta dễ dàng kiểm tra  p định nghĩa như trên là một chuẩn trên  p . Hơn nữa, mọi dãy Cauchy trong (,  ) đều hội tụ trong ( p ,  ) , tức ( p ,  ) là một mở rộng của (,  ) . p p p p ■ x {xn} ∈  p ta luôn có lim xn = x . Nhận xét Với mọi= x →∞ Chứng minh ∀x > 0 do { xn } là dãy Cauchy nên ∃N > 0 : ∀n, m > N , xm − xn p < ε . Khi đó, x − xn p = lim xi − xn p ≤ ε ⇔ x − xn p ≤ ε , ∀n > N ⇔ lim xn = x .■ i →∞ n →∞ p 2.2 Khai triển p-adic của một phần tử trong 2.2.1 Quan hệ đồng dư trong  p
Với a, b ∈  p ta định nghĩa a ≡ b(mod p n ) ⇔ a − b p n Nhận xét, với a, b ∈  p , a ≡ b(mod p n ) ⇔ a − b p ≤ p − n Chứng minh Giả sử a ≡ b(mod p n ) ⇔ a − b p n suy ra a= c, p) 1 , dẫn đến − b p m .c m ≥ n , (= a − b p = p−m ≤ p−n . Ngược lại, giả sử a − b p ≤ p − n suy ra a= − b p m .c m ≥ n , (= c, p) 1 , hay a − b p n ⇔ a − b p n .■ 2.2.2 Bổ đề Nếu x ∈  p và x p ≤ 1 thì với mọi n ∈  , tồn tại r ∈  sao cho x − r < p − n . { Hơn nữa, số r có thể chọn trong tập 0,1, 2,..., p n − 1 . } a Chứng minh Giả sử x = 1 . Do x ≤ 1 nên ( b, p ) = 1 , từ đó ta thấy b và p n là ∈ , ( a, b ) = b hai số nguyên tố cùng nhau, do đó tốn tại hai số nguyên u, v sao cho bu + p n v = 1. Đặt r = a.u , khi đó : a a x − r p = − au = 1 − bu p ≤ 1 − bu p ≤ p n v =p − n b p bp p Giả sử = r p n .q + s, 0 ≤ r ≤ p n − 1 , ta có { x − s p = x − r + p n q ≤ max x − r p , p n q p p }≤ p −n { } Do đó ta có thể chọn r = s thì khi đó, r ∈ 0,1,..., p n − 1 và x − r p ≤ p − n .■ 2.2.3 Định lý Cho x ∈  p , x ≤ 1 . Khi đó, x có một đại diện là {an}n= 1,+∞ thỏa hai điều kiện p i) an ∈ ,0 ≤ an < p n (n = 1,2,...) ii) an ≡ an+1 (mod p n ),(n = 1,2,...) Chứng minh Giả sử x = { xn } . Vì { xn } là dãy côsi nên ∀n ∈ , ∃N n ∈  : ∀i, j > N n ta có xi − x j < p − n .Ta có thể chọn { N n } là dãy tăng. p Ta thấy xi ≤ 1, ∀i ≥ N1 . Thật vậy, ∀j > N1 ta có xi − x j < p −1 . Khi đó, p