Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nhiễu sinh ra đồng bộ hóa cho một số hệ đơn giản

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:55

Thêm vào BST

Báo xấu

38
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học "Nhiễu sinh ra đồng bộ hóa cho một số hệ đơn giản" trình bày các nội dung chính sau: Ánh xạ bảo toàn độ đo và ánh xạ ergodic; Nhiễu sinh ra tự đồng bộ trên hệ rẽ nhánh Pitchfork.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nhiễu sinh ra đồng bộ hóa cho một số hệ đơn giản

BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM VÀ ĐÀO TẠO KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VN HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ LÊ BÁ DŨNG NHIỄU SINH RA ĐỒNG BỘ HÓA CHO MỘT SỐ HỆ ĐƠN GIẢN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2021
BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM VÀ ĐÀO TẠO KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VN HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ LÊ BÁ DŨNG NHIỄU SINH RA ĐỒNG BỘ HÓA CHO MỘT SỐ HỆ ĐƠN GIẢN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TSKH. Đoàn Thái Sơn Hà Nội - 2021
i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan những gì viết trong luận văn là do sự tìm tòi, học hỏi của bản thân và sự hướng dẫn tận tình của PGS.TSKH Đoàn Thái Sơn. Mọi kết quả nghiên cứu cũng như ý tưởng của tác giả khác, nếu có đều được trích dẫn cụ thể. Đề tài luận văn này cho đến nay chưa được bảo vệ tại bất kì một hội đồng bảo vệ luận văn thạc sĩ nào và cũng chưa hề được công bố trên bất kì một phương tiện nào. Tôi xin chịu trách nhiệm về những lời cam đoan. Hà Nội, Ngày 20 tháng 4 năm 2022 Học viên Lê Bá Dũng
ii - LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tôi xin được tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất của mình tới PGS.TSKH. Đoàn Thái Sơn, người trực tiếp hướng dẫn tôi tìm ra hướng nghiên cứu. Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy trong một thời gian dài. Thầy đã luôn quan tâm, giúp đỡ, động viên tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô, anh chị, bạn bè của Viện Toán học vì sự giúp đỡ, góp ý và tạo điều kiện trong quá trình học tập, nghiên cứu để tôi thực hiện tốt luận văn của mình. Tôi cũng xin trân trọng cảm ơn sự giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi của cơ sở đào tạo là Học viện Khoa học và Công nghệ, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam trong quá trình thực hiện luận văn. Đặc biệt, tôi xin cảm ơn gia đình, người thân và bạn bè đã luôn sát cánh, động viên và khích lệ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Hà Nội, Ngày 20 tháng 4 năm 2022 Học viên Lê Bá Dũng
iii Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU 1 1 Một số kiến thức chuẩn bị 3 1.1 Ánh xạ bảo toàn độ đo và ánh xạ ergodic . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Định lý hồi qui Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Định lý Birkhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2 Nhiễu sinh ra tự đồng bộ trên hệ rẽ nhánh Pitchfork 18 2.1 Hệ động lực ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1.1. Hệ động lực ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1.2. Tập hút của hệ động lực ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . 23 2.1.3. Tính duy nhất của tập hút ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . 30 2.2 Hệ rẽ nhánh Pitchfork với nhiễu ngẫu nhiên cộng tính . . . . . . 33 2.2.1. Hệ động lực ngẫu nhiên sinh bởi rẽ nhánh Pitchfork với nhiễu ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
iv 2.2.2. Tập hút ngẫu nhiên của hệ động lực ngẫu nhiên sinh bởi rẽ nhánh Pitchfork với nhiễu ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . 38 2.2.3. Độ đo dừng của hệ rẽ nhánh Pitchfork và số mũ Lyapunov 42 2.2.4. Hiện tượng đồng bộ hóa của hệ rẽ nhánh Pitchfork . . . . 45 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1 MỞ ĐẦU Đối tượng chính của luận văn là nghiên cứu tác động của nhiễu trắng vào hệ rẽ nhánh Pitchfork. Cụ thể, ta xét họ các phương trình vi phân thường (ODEs) x˙ = αx − x3 , x ∈ R, (1) tham số hóa bởi α ∈ R. Điểm x = 0 là điểm cân bằng với mọi α. Nó cũng là điểm cân bằng ổn định duy nhất khi α < 0. Với α > 0 nó không là điểm ổn √ định và xuất hiện hai điểm cân bằng mới là ± α. Trường hợp này được biết đến dưới tên gọi rẽ nhánh Pitchfork. Nghiệm của phương trình (1) nổ khi lùi lại theo thời gian. Do đó nó sinh ra một nửa dòng thay vì dòng. Nhắc lại kiến thức tập hút toàn cục cho nửa dòng tất định [1], với mỗi α cố định, hệ (1) có một tập hút toàn cục, và họ các tập hút Aα , α ∈ R, cho bởi   {0}  , với α ≤ 0, A = Aα = √ √ [− α, α] , với α ≥ 0.   Với α = 0 tập hút toàn cục chỉ gồm duy nhất một điểm là {0}. Với α < 0 thì dòng tác động vào các giá trị ban đầu và khiến chúng hội tụ tới cùng một điểm với tốc độ mũ theo thời gian. Đặc biệt, với hai nghiệm của bài toán giá trị ban đầu khác nhau thì chúng bất khả phân biệt sau một khoảng thời gian nào đó. Với α > 0, khoảng cách giữa hai nghiệm xuất phát từ hai giá trị ban đầu với √ dấu khác nhau hội tụ tới số thực dương 2 α, mặc dù ban đầu chúng có thể rất gần nhau. Xét họ các phương trình vi phân ngẫu nhiên (SDEs) sau dx = (αx − x3 )dt + dWt (2) trong đó α ∈ R và (Wt )t∈R là quá trình Wiener. Phương trình (2) sinh ra một Hệ động lực ngẫu nhiên. Trong luận văn này ta nhắc lại khái niệm tập hút toàn
2 cục của Hệ động lực ngẫu nhiên. Tập hút này đồng thời là tập compact ngẫu nhiên, tức là, ánh xạ ω 7→ A(ω) nhận giá trị là một tập con compact của không gian trạng thái X = R. Hơn nữa nó là bất biến, liên thông và hút mọi tập tất định bị chặn. Với mọi α ∈ R thì phương trình trên có tập hút ngẫu nhiên chính là một tập compact A(ω) = Aα (ω) = [a− + α (ω), aα (ω)], với biến ngẫu nhiên ω 7→ a± α (ω). Ta sẽ chứng minh rằng với mọi α ∈ R thì a− + α (ω) = aα (ω) h.c.c. Do đó tập hút ngẫu nhiên Aα chỉ gồm duy nhất một điểm. Điều này có nghĩa rằng mọi nghiệm của phương trình (2) hội tụ tới nhau bất kể dấu của α. Khi đó ta nói nhiễu ngẫu nhiên sinh ra hiện tượng đồng bộ hóa. Các kết quả nghiên cứu này được giới thiệu và chứng minh trong công bố [2] của H. Crauel và F. Flandoli. Cấu trúc của luận văn như sau: Chương 1: Chương này được dành để nhắc lại một số định nghĩa, định lý và tính chất quan trọng của lý thuyết Ergodic phục vụ cho luận văn này. Chương 2: Nội dung phần này trình bày tính chất nhiễu sinh ra hiện tượng đồng bộ hóa cho hệ rẽ nhánh Pitchfork. Trong quá trình nghiên cứu luận văn, mặc dù bản thân đã cố gắng hết sức tuy nhiên khó tránh khỏi những thiếu sót, hạn chế. Rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn.
3 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Nội dung chính của chương này giới thiệu một số khái niệm về ánh xạ bảo toàn độ đo, ánh xạ ergodic, giới thiệu và chứng minh định lý Birkhoff ergodic. Các kết quả khác về lý thuyết ergodic có thể đọc thêm ở [3] và [4]. 1.1 Ánh xạ bảo toàn độ đo và ánh xạ ergodic Ta bắt đầu bằng khái niệm ánh xạ bảo toàn độ đo và ánh xạ ergodic. Định nghĩa 1.1 (Ánh xạ bảo toàn độ đo). Cho 2 không gian xác suất (Ω1 , F1 , P1 ), (Ω2 , F2 , P2 ) và phép biến đổi T : Ω1 → Ω2 được gọi là: (i) đo được nếu với mọi B2 ∈ F2 thì T −1 B2 ∈ F1 . (ii) bảo toàn độ đo nếu T là đo được và P1 (T −1 (B2 )) = P2 (B2 ), ∀B2 ∈ F2 . Định nghĩa 1.2 (Ánh xạ ergodic). Phép biến đổi bảo toàn độ đo T : Ω → Ω trên không gian xác suất (Ω, F, P) được gọi là ergodic nếu với B ∈ F mà T −1 B = B thì P(B) = 0 hoặc P(B) = 1.
4 Có một số cách phát biểu khác về tính Ergodic. Các định lý sau sẽ trình bày một số điều kiện tương đương của của tính Ergodic. Định lý 1.3. Giả sử T : Ω → Ω là phép biến đổi bảo toàn độ đo trên không gian xác suất (Ω, F, P). Khi đó, các khẳng định sau tương đương: (i) T là ergodic, (ii) Với bất kỳ B ∈ F mà P(T −1 B∆B) = 0 thì P(B) = 0 hoặc P(B) = 1, (iii) Với mọi A ∈ F mà P(A) > 0 thì P( ∞ −n S n=1 T A) = 1, (iv) Với mọi A, B ∈ F thỏa mãn P(A) > 0, P(B) > 0 thì tồn tại n > 0 sao cho P(T −n A ∩ B) > 0. Chứng minh. Chứng minh (i) ⇒ (ii). Cho B ∈ F mà P(T −1 B∆B) = 0. Trước hết ta xây dựng một tập B∞ sao cho T −1 B∞ = B∞ và P(B∆B∞ ) = 0. Với mỗi n ≥ 0, ta có P(T −n B∆B) = 0. Thật vậy, vì n−1 [ n−1 [ T −n B∆B ⊆ T −(i+1) B∆T −i B = T −i (T −1 B∆B) , i=0 i=0 nên cùng với giả thiết T là ánh xạ bảo toàn độ đo ta có n−1 [ Xn−1 0 ≤ P(T −n B∆B) ≤ P −i −1 T (T B∆B) ≤ P(T −i (T −1 B∆B)) i=0 i=0 n−1 X = P(T −1 B∆B) = 0. i=0 Từ nhận xét trên ta biết rằng với mỗi n ≥ 0, [∞ X ∞ −i P B∆ T B ≤ P(B∆T −i B) = 0. i=n i=n
5 T∞ S∞ ∞ −i T −i B là dãy giảm theo n và mỗi tập trên S Đặt B∞ = n=0 i=n T B. Vì i=n có cùng độ đo với B nên P(B∞ ∆B) = 0 và do đó P(B∞ ) = P(B). Hơn nữa, ∞ [ \ ∞ ∞ [ \ ∞ −1 −(i+1) T B∞ = T B= T −i B = B∞ . n=0 i=n n=0 i=n+1 Do đó ta đã chỉ ra một tập B∞ thỏa mãn T −1 B∞ = B∞ và P(B∞ ∆B) = 0. Từ tính ergodic ta có hoặc P(B∞ ) = 0 hoặc P(B∞ ) = 1 và do đó P(B) = 0 hoặc P(B) = 1. S∞ −n Chứng minh (ii) ⇒ (iii). Cho A ∈ F và P(A) > 0. Đặt A1 = n=1 T A, ta có ∞ [ ∞ [ −1 −1 −n T A1 = T T A = T −(n+1) A n=1 n=1 ∞ [ ∞ [ = T −n A ⊂ T −n A = A1 . n=2 n=1 Kết hợp với P(T −1 A1 ) = P(A1 ) nên P(T −1 A1 ∆A1 ) = 0. Từ giả thiết (ii) ta được P(A1 ) = 0 hoặc P(A1 ) = 1. Ta không thể có P(A1 ) = 0 vì T −1 A ⊂ A1 và P(T −1 A) = P(A) > 0. Do đó P(A1 ) = 1. ⇒ (iv). Cho P(A) > 0, P(B) > 0. Theo giả thiết (iii) ta ∞ minh (iii) Chứng S −n có P T A = 1 nên n=1 ∞ [ ∞ [ 0 < P(B) = P B ∩ T −n A = P (B ∩ (Ω \ B) . n=1 n=1 Dẫn đến P(B ∩ T −n A) > 0 với n ∈ N. Chứng minh (iv) ⇒ (i). Giả sử B ∈ F và T −1 B = B . Nếu 0 < P(B) < 1 thì 0 = P(B ∩ (Ω \ B)) = P(T −n B ∩ (Ω \ B)), ∀n ≥ 1. Điều này mâu thuẫn với (iv). Vậy ta có điều phải chứng minh.
6 Định lý 1.4. Giả sử T : Ω → Ω là phép biến đổi bảo toàn độ đo trên không gian xác suất (Ω, F, P). Khi đó, các khẳng định sau tương đương: (i) T là ergodic, (ii) Nếu f là hàm đo được và (f ◦ T )(ω) = f (ω), ∀ ω ∈ Ω thì f = c h.c.c, (iii) Nếu f là hàm đo được và (f ◦ T )(ω) = f (ω) h.c.c thì f = c h.c.c, (iv) Nếu f là hàm khả tích bậc 2 và (f ◦ T )(ω) = f (ω), ∀ ω ∈ Ω thì f = c h.c.c, (v) Nếu f là hàm khả tích bậc 2 và (f ◦ T )(ω) = f (ω) h.c.c thì f = c h.c.c. Chứng minh. Chứng minh (i) ⇒ (ii). Giả sử T là ergodic, f là đo được và f ◦ T = f h.c.c. Với mỗi k ∈ Z và n > 0 đặt ! k k+1 k k+1 Ω(k, n) = ω : n ≤ f (ω) < n = f −1 , . 2 2 2n 2n Vì T −1 Ω(k, n)∆Ω(k, n) ⊆ ω : (f ◦ T )(ω) 6= f (ω) nên −1 P T Ω(k, n)∆Ω(k, n) ≤ P (f ◦ T )(ω) 6= f (ω) = 0. Do đó theo mục (ii) Định lý 1.3 có P(Ω(k, n)) = 0 hoặc P(Ω(k, n)) = 1. Với S mỗi n ∈ N, Ω(k, n) = Ω là hợp rời nhau nên tồn tại kn : P(Ω(kn , n)) = 1. k∈Z ∞ T Đặt Y = Ω(kn , n) thì P(Y ) = 1 và f liên tục trên Y nên f = c h.c.c. n=1 Chứng minh (iv) ⇒ (i). Giả sử E ∈ F và T −1 E = E . Khi đó 1E ∈ L2 (P) và (1E ◦ T )(ω) = 1E (ω), ∀ ω ∈ Ω. Theo giả thiết (iv) ta có 1E = c h.c.c. nên R 1E = 0, hoặc 1E = 1, nên P(E) = 1E dP = 0 hoặc P(E) = 1. Các trường hợp (iii) ⇒ (ii), (ii) ⇒ (iv), (v) ⇒ (iv) và (iii) ⇒ (v) là hiển nhiên. Ta có điều phải chứng minh.
7 1.2 Định lý hồi qui Poincaré Định lý 1.5 (Định lý hồi qui Poincaré). Giả sử T : Ω → Ω là phép biến đổi bảo toàn độ đo trên không gian xác suất (Ω, F, P). Cho tập hợp E ∈ F với P(E) > 0. Khi đó, hầu chắc chắn các phần tử thuộc E hồi quy thường xuyên vô hạn lần về E dưới một số dương lần phép lặp bởi T ; tức là tồn tại tập F ⊂ E với P(F ) = P(E) sao cho với mỗi ω ∈ F , tồn tại một dãy các số tự nhiên n1 < n2 < · · · mà T ni ∈ F với mọi i. Chứng minh. Đặt Cn := ω ∈ Ω : T j (ω) ∈ / E, ∀j ≥ n . Hiển nhiên ∞ [ F =E\ Cn . n=1 Do đó để chứng minh định lý ta chỉ cần chỉ ra Cn ∈ F và P(Cn ) = 0 với mọi n ≥ 1. Dễ có [ Cn = E \ T j (E), j≥n dẫn đến Cn ∈ F và [ [ −j −j Cn ⊂ T (E) \ T (E) . j≥0 j≥n Do đó [ [ −j −j 0 ≤ P(Cn ) ≤ P T (E) − P T (E) . j≥0 j≥n Hơn nữa [ [ −j −n −j T (E) = T T (E) , j≥n j≥0 kết hợp với tính bảo toàn độ đo, [ [ −n −j −j 0 ≤ P(Cn ) ≤ P T T (E) −P T (E) = 0. j≥0 j≥n Ta có điều phải chứng minh.
8 1.3 Định lý Birkhoff Tiếp theo ta trình bày một số kết quả quan trọng được sử dụng trong chứng minh định lý Birkhoff. Định lý 1.6 (Định lý ergodic cực đại). Giả sử U : L1 (P) → L1 (P) là toán tử tuyến tính dương (tức là với f ≥ 0 thì U f ≥ 0) và ||U || ≤ 1. Với mỗi số tự nhiên N và hàm f ∈ L1 (P), đặt f0 = 0, fn = f + U f + · · · + U n−1 f và FN = max fn ≥ 0. Khi đó, 0≤n≤N Z f dP ≥ 0. {ω:FN (ω)>0} Chứng minh. Hiển nhiên FN ∈ L1 (P). Với mỗi 0 ≤ n ≤ N , FN ≥ fn . Kết hợp điều này với U là toán tử tuyến tính dương, ta có U FN ≥ U fn . Từ đó, U FN + f ≥ U fn + f = fn+1 . Do đó, U FN (ω) + f (ω) ≥ max fn (ω) 1≤n≤N = max fn (ω) (khi FN (ω) > 0) 0≤n≤N = FN (ω). Điều này dẫn đến f ≥ FN − U FN trên A = ω : FN (ω) > 0 nên Z Z Z f dP ≥ FN dP − U FN dP A Z A ZA = FN dP − U FN dP ZΩ ZA ≥ FN dP − U FN dP Ω Ω ≥ 0 (vì kU k ≤ 1).
9 Ta có điều phải chứng minh. Hệ quả 1.7. Giả sử T : Ω → Ω là phép biến đổi bảo toàn độ đo của không gian xác suất (Ω, F, P). Với mỗi α ∈ R và g ∈ L1 (P), đặt n−1 1X Bα = ω ∈ Ω : sup g(T i (ω)) > α . n≥1 n i=0 Khi đó, nếu T −1 A = A thì Z gdP ≥ αP(Bα ∩ A). Bα ∩A Chứng minh. Xét trường hợp A = Ω. Đặt f = g − α thì ∞ [ Bα = ω : FN (ω) > 0 . n=0 R R Áp dụng Định lý 1.6 có Bα f dP > 0 nên Bα gdP ≥ αP(Bα ). Trong trường hợp tổng quát, áp dụng cách chứng minh trên cho T |A ta có Z gdP ≥ αP(A ∩ Bα ). A∩Bα Tiếp theo ta trình bày định lý Birkhoff mà đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết ergodic. Định lý 1.8 (Định lý Birkhoff cho thời gian rời rạc). Giả sử (Ω, F, P) là không gian xác suất và ánh xạ T : Ω → Ω là phép biến đổi bảo toàn độ đo và 1 n−1 f ∈ L1 (P). Khi đó, f (T i (ω)) hội tụ h.c.c tới hàm số khả tích f ∗ ∈ L1 (P). P n i=0 Hơn nữa, f ∗ ◦ T = f ∗ h.c.c và Z Z ∗ f dP = f dP.
10 Trước khi đi vào chứng minh chi tiết Định lý 1.8, ta xét 2 hệ quả quan trọng của định lý như sau. Hệ quả 1.9 (Định lý Von Neumann về tính ergodic trong không gian Lp ). Giả sử 1 ≤ p < ∞ và T là phép biến đổi bảo toàn độ đo của không gian xác suất (Ω, F, P). Khi đó, nếu f ∈ Lp (P) thì tồn tại hàm f ∗ ∈ Lp (P) sao cho f ∗ ◦ T = f ∗ h.c.c và n−1 1 X i ∗ n f (T ω) − f (ω) → 0. i=0 p Chứng minh. Cho hàm số g bị chặn và đo được. Khi đó g ∈ Lp (P) và theo định lý Birkhoff thì n−1 1X g(T i ω) → g ∗ (ω). n i=0 Vì g ∗ ∈ L∞ (P) nên g ∗ ∈ Lp (P) và p n−1 1 X i ∗ n g(T ω) − g (ω) → 0, h.c.c. i=0 Sử dụng Định lý hội tụ bị chặn có n−1 1 X i ∗ n g(T ω) − g (ω) → 0. i=0 p Suy ra, với mọi > 0, tồn tại N (, p) : với mọi n > N và k > 0 thì n−1 n+k−1 1 X i 1 X i n g(T ω) − g(T ω) < . i=0 n + k =0 p p 1 n−1 f (T i ω). Ta sẽ chứng minh Sn (f ) là P Cho f ∈ L (P) và Sn (f )(ω) = n i=0 p dãy Cauchy trong L (P) với chú ý Sn (f ) p ≤ kf kp . Với > 0 bất kì, chọn
11 g ∈ Lp (P) sao cho kf − gkp < thì 4 kSn f − Sn+k f kp ≤ kSn f − Sn gkp + kSn g − Sn+k gkp + kSn+k g − Sn+k f kp ≤ + + ≤ , ∀n ≥ N, k ∈ N. 4 2 4 Do đó tồn tại f ∗ ∈ Lp (P) sao cho kSn f − f ∗ kp → 0. Ta cũng có f ∗ ◦ T = f ∗ h.c.c. vì n+1 f (ω) (Sn+1 f )(ω) − (Sn f )(T ω) = . n n Hệ quả 1.10. Giả sử T là phép biến đổi bảo toàn độ đo của không gian xác suất (Ω, F, P). Khi đó, T là ergodic nếu và chỉ nếu với mọi A, B ∈ F n−1 1X P(T −1 A ∩ B) → P(A)P(B). n i=0 Chứng minh. Giả sử T là ergodic. Áp dụng định lý Birkhoff cho f = 1A , n−1 n−1 1X 1X f (T i (ω)) = 1A (T i (ω)) → P(A), h.c.c. n i=0 n i=0 Nhân cả hai vế với 1B ta có n−1 1X 1A (T i (ω))1B → P(A)1B , h.c.c. n i=0 Áp dụng định lý hội tụ bị chặn, n−1 1X P(T i (A) ∩ B) → P(A)P(B). n i=0
12 Ngược lại, giả sử T −1 E = E với E ∈ F. Đặt A = B = E trong giả thiết hội tụ, ta có n−1 1X P(T i (E) ∩ E) = P((E) → P2 (E). n i=0 Do đó P(E) = 0 hoặc P(E) = 1. Chứng minh Định lý 1.8. Với f ∈ L1 (P) như giả thiết, đặt n−1 n−1 ∗ 1X 1X f (ω) = lim sup f (T i (ω)), f∗ (ω) = lim inf f (T i (ω)). n→∞ n n→∞ n i=0 i=0 1 n−1 Ta chứng minh f ∗ ◦T = f ∗ và f∗ ◦T = f∗ . Thật vậy, với an (ω) = f (T i (ω)), P n i=0 n n−1 n+1 n+1 1 X i 1X an+1 (ω) − an (T (ω)) = f (T (ω)) − f (T i (ω)) n n n + 1 i=0 n i=0 n n−1 1 X i X i f (ω) = f (T (ω)) − f (T (ω)) = . n i=0 i=0 n Ta cần chứng minh f ∗ = f∗ h.c.c và tính khả tích của f ∗ . Với α, β ∈ R, đặt Eα,β = ω ∈ Ω : f∗ (ω) < β, f ∗ (ω) > α . Vì [ ω : f∗ (ω) < f ∗ (ω) = Eα,β : β < α , α,β∈Q cho nên ta chỉ cần chứng minh P(Eα,β ) = 0 nếu β < α. Dễ có điều kiện T −1 Eα,β = Eα,β tương đương với T Eα,β = Eα,β . Áp dụng Hệ quả 1.7 cho: n−1 1X i Bα = ω ∈ Ω : sup f (T (ω)) > α , n≥1 n i=1 với chú ý Eα,β ∩ Bα = Eα,β ta có: Z Z f dP = f dP ≥ αP(Eα,β ∩ Bα ) = αP(Eα,β ). Eα,β Eα,β ∩Bα
13 Nếu ta thay tương ứng f, α, β bởi −f, −β, −α với lưu ý (−f )∗ = −f ∗ , (−f )∗ = −f∗ ta cũng có Z f dP ≤ β P(Eα,β ). Eα,β Tóm lại αP(Eα,β ) ≤ β P(Eα,β ) nhưng vì β < α nên P(Eα,β ) = 0. Vậy f ∗ = f∗ h.c.c và n−1 1X f (T i (ω)) → f ∗ (ω), h.c.c. n i=1