Luận văn Thạc sĩ Toán học: Ứng dụng lý thuyết dấu ấn (signature theory) trong nghiên cứu sổ lệnh giao dịch trên thị trường chứng khoán Việt Nam

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:93

Thêm vào BST

Báo xấu

4
lượt xem 0
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học "Ứng dụng lý thuyết dấu ấn (signature theory) trong nghiên cứu sổ lệnh giao dịch trên thị trường chứng khoán Việt Nam" trình bày các nội dung chính sau: Nghiên cứu sự phụ thuộc thống kê của quá trình giá vào quá trình dấu ấn (signature) từ sổ lệnh, trên cơ sở đó xây dựng phương trình giá chứng khoán dựa trên quá trình dấu ấn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Ứng dụng lý thuyết dấu ấn (signature theory) trong nghiên cứu sổ lệnh giao dịch trên thị trường chứng khoán Việt Nam

BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ Nguyễn Thành Trung ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT DẤU ẤN (SIGNATURE THEORY) TRONG NGHIÊN CỨU SỔ LỆNH GIAO DỊCH TRÊN THỊ TRƯỜNG CHỨNG KHOÁN VIỆT NAM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2024
BO GIAO DVC VIN HAN LAM KHOA HQC VA DAO TAO VA CONG NGH VIT NAM HQC VIEN KHOA IIQC VA CONG NGH Nguyn Thành Trung 1NG DVNG L THUYET DAU AN (SIGNATURE THEORY) TRONG NGHIEN CÜU SO LNH GIAO DiCH TREN THI TRIYOG CH1NG KHOAN VIIT NAM LUJN VAN THAC Si TOAN HOC Ngành: Ly thuyt Xác sut và th6ng kê toán h9c Ma s6: 8 46 01 06 NGTJOI HÖNG DAN KHOA HOC: TS. Lim Hoàng Dirc Ha N5i 2024 -
iii Mục lục Danh Mục Bảng và Hình v MỞ ĐẦU 1 1 CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT VÀ TỔNG QUAN NGHIÊN CỨU 3 1.1 Lý thuyết dấu ấn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Lý thuyết đường nhám . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3 Một số mô hình học máy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.4 Tổng quan tình hình nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 CHƯƠNG 2: PHÂN TÍCH DỮ LIỆU 24 2.1 Dữ liệu thu thập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2 Xử lý dữ liệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3 Tính toán quá trình dấu ấn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.4 Tính toán chỉ số Hurst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.5 Độ biến động Volatility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.6 Mối tương quan của dòng tiền . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3 CHƯƠNG 3: MÔ HÌNH NGHIÊN CỨU 47 3.1 Tổng quan các mô hình giá cổ phiếu . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.2 Mô hình nhám phụ thuộc thời gian . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.3 Xây Dựng Mô Hình Thực Nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4 CHƯƠNG 4: KẾT QUẢ MÔ HÌNH 56 4.1 Ước lượng mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.2 Thuật toán của mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.3 Kết quả hồi quy tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.4 Kết quả hồi quy mạng nơ ron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.5 So sánh các mô hình học máy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
iv 4.6 Kết quả chạy thử nghiệm mô hình cho VN30 . . . . . . . . . . 64 Tài liệu tham khảo 73 A Phụ Lục 1 A.1 Cơ sở giải tích ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 A.2 Chỉ số Hurst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
v Danh Mục Bảng và Hình Danh mục bảng Số hiệu bảng Tên bảng Bảng 1 Kết quả tính toán chỉ số Hurst và hệ số tương quan của nhiễu. Danh mục hình Số hiệu hình Tên hình Hình 1 Minh họa mạng nơ ron Hình 2 Dữ liệu được lấy qua API công ty chứng khoán VPS. Hình 3 Dữ liệu giá và khối lượng cổ phiếu FPT theo thời gian thực. Hình 4 Dữ liệu giá và khối lượng cổ phiếu HPG theo thời gian thực. Hình 5 Mô phỏng giá cổ phiếu theo fBm với H = 0.3 ; 0.5 ; 0.7. Hình 6 Dấu ấn của quá trình sổ lệnh. Hình 7 Ghép cặp, so sánh và phân tích sâu Dấu ấn của quá trình sổ lệnh. Hình 8 Biểu đồ boxplot chỉ số Hurst tính theo thị trường và cho 30 cổ phiếu VN-30. Hình 9 Phân phối chỉ số Hurst theo các thang thời gian. Hình 10 Mối quan hệ giữa độ biến động và chênh lệch cung cầu (SDI) của VN-30. Hình 11 Mối quan hệ giữa độ biến động và khối lượng giao dịch của VN-30. Hình 12 Mối quan hệ giữa độ biến động và khối lượng giao dịch của VNM.
vi Hình 13 Mối quan hệ giữa độ biến động và khối lượng giao dịch của VIB. Hình 14 Biểu đồ giá, khối lượng, dòng tiền cổ phiếu VCB. Hình 15 Biểu đồ hồi quy dòng tiền và log-return cổ phiếu SSI. Hình 16 Biểu đồ hồi quy dòng tiền và log-return cổ phiếu TPB. Hình 17 Kết quả với dữ liệu giá cổ phiếu và khối lượng khớp của cổ phiếu HPG. Hình 18 Kết quả với dữ liệu giá và cung-cầu thị trường của cổ phiếu HPG. Hình 19 Kết quả với dữ liệu thanh khoản và cung-cầu thị trường cổ phiếu HPG. Hình 20 Kết quả mạng nơ ron với dữ liệu giá và cung-cầu thị trường của cổ phiếu HPG. Hình 21 Kết quả với quá trình giá và khối lượng cho 30 cổ phiếu trong VN-30 (Phần 1). Hình 22 Kết quả với quá trình giá và khối lượng cho 30 cổ phiếu trong VN-30 (Phần 2). Hình 23 Kết quả với quá trình giá và cung cầu cho 30 cổ phiếu trong VN-30 (Phần 1). Hình 24 Kết quả với quá trình giá và cung cầu cho 30 cổ phiếu trong VN-30 (Phần 2). Hình 25 Kết quả với dữ liệu thanh khoản và cung-cầu thị trường cho 30 cổ phiếu trong VN-30 (Phần 1). Hình 26 Kết quả với dữ liệu thanh khoản và cung-cầu thị trường cho 30 cổ phiếu trong VN-30 (Phần 2).
1 MỞ ĐẦU Lý do chọn đề tài Nghiên cứu sổ lệnh giao dịch trên thị trường chứng khoán là một vấn đề rất thời sự trong tài chính định lượng hiện đại, ở đó các thông tin của sổ lệnh không chỉ phản ánh giá và khối lượng giao dịch của lệnh được khớp mà còn phản ánh cung cầu và độ sâu của thị trường tại mọi thời điểm trong thời gian thực. Ngoài ra nó còn phản ánh sự tham gia của những người chơi lớn, các tổ chức tài chính. Về lâu dài, sổ lệnh giúp xác định trạng thái giao dịch và các rủi ro thị trường của một cổ phiếu, giúp các chủ thể trên thị trường có thể ra quyết định chính xác hơn. Các mô hình giá cổ phiếu truyền thống thông thường đưa các thông tin về sổ lệnh vào các sigma trường thông tin để nghiên cứu, thay vì tích hợp nó như một quá trình có tác động trực tiếp trong phương trình giá cổ phiếu. Tuy nhiên trong vòng 10 năm gần đây, nhờ các tiến bộ trong lý thuyết giải tích ngẫu nhiên, đặc biệt là lý thuyết đường nhám, đã giúp xem xét quá trình giá chứng khoán như một hàm phụ thuộc trực tiếp vào quá trình sổ lệnh, trên cơ sở đó đề xuất các phương trình định lượng mô tả chính xác hơn sự phụ thuộc này. Luận văn nhằm mục tiêu áp dụng các nghiên cứu hiện đại vào dữ liệu sổ lệnh tại thị trường chứng khoán Việt Nam. . Mục tiêu và câu hỏi nghiên cứu Mục tiêu của đề tài là nghiên cứu sự phụ thuộc thống kê của quá trình giá vào quá trình dấu ấn (signature) từ sổ lệnh, trên cơ sở đó xây dựng phương trình giá chứng khoán dựa trên quá trình dấu ấn. Câu hỏi nghiên cứu chính bao gồm: • Quá trình sổ lệnh ảnh hưởng như thế nào đến giá chứng khoán? • Làm thế nào để xây dựng được quá trình dấu ấn (signature) từ dữ liệu sổ lệnh?
2 • Có thể mô tả mối quan hệ giữa giá chứng khoán và quá trình dấu ấn bằng phương trình định lượng nào? Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu là quá trình sổ lệnh của một số cổ phiếu trên thị trường chứng khoán Việt Nam. Phạm vi nghiên cứu tập trung vào việc thu thập và phân tích dữ liệu sổ lệnh theo thời gian thực, xây dựng quá trình dấu ấn, và xác định mối quan hệ giữa quá trình dấu ấn và giá chứng khoán. Phương pháp nghiên cứu Các phương pháp nghiên cứu được sử dụng bao gồm: • Sử dụng các phương pháp giải số ngẫu nhiên cho các phương trình vi phân ngẫu nhiên. • Sử dụng lý thuyết đường nhám để xây dựng quá trình dấu ấn. • Sử dụng các thống kê toán học để nghiên cứu các đặc tính của quá trình sổ lệnh. Đóng góp của nghiên cứu Nghiên cứu này đóng góp vào lĩnh vực tài chính định lượng bằng cách áp dụng các lý thuyết hiện đại để phân tích dữ liệu sổ lệnh và xây dựng mô hình giá chứng khoán. Kết quả nghiên cứu có thể giúp các nhà đầu tư và các tổ chức tài chính đưa ra các quyết định giao dịch chính xác hơn dựa trên thông tin sổ lệnh. Cấu trúc của luận văn Luận văn ngoài phần mở đầu và kết luận, được cấu trúc thành các chương như sau: • Chương 1: Cơ sở lý thuyết và Tổng quan nghiên cứu • Chương 2: Phân tích dữ liệu. • Chương 3: Mô hình nghiên cứu. • Chương 4: Kết quả mô hình.
3 CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT VÀ TỔNG QUAN NGHIÊN CỨU 1.1 Lý thuyết dấu ấn 1.1.1 Đại số tenxơ Trong phần này, chúng tôi sẽ xác định không gian mà dấu ấn (signature) được xác định và giới thiệu các ký hiệu được sử dụng [1], [2]. Định nghĩa Đại số tensor. Với mỗi n ∈ N0 xét tích tensor n lần của Rd được cho bởi: (Rd )⊗0 := R, (Rd )⊗n := Rd ⊗ · · · ⊗ Rd . n Với d ∈ N, ta định nghĩa đại số tensor mở rộng trên Rd là: T ((Rd )) := {a := (a0 , . . . , an , . . .) : an ∈ (Rd )⊗n }. Tương tự, ta giới thiệu đại số tensor cắt ngắn bậc N ∈ N: T (N ) (Rd ) := {a ∈ T ((Rd )) : an = 0 ∀n > N }, Hay, chúng ta định nghĩa đại số tenxơ cắt cụt có bậc N ∈ N và đại số tenxơ bằng T (N ) Rd và T Rd tương ứng, bởi: ⊗n T (N ) Rd := a = (an )∞ | an ∈ Rd n=0 và an ̸= 0 ∀n ≥ N ⊂ T ((Rd )) N ⊗n = Rd , n=0 ∞ ⊗n T Rd := Rd ⊂ T ((Rd )). n=0 (1.1) Đại số tenxơ cắt cụt bậc N có kích thước: N k dN +1 − 1 d = . (1.2) d−1 k=0
4 ⊗0 Nhận xét 1.1: Theo trực giác, mức không của đại số tenxơ, Rd , là tập hợp tất cả các số vô hướng a0 ∈ R, với kích thước d0 = 1. Ở cấp độ đầu tiên, ⊗1 Rd là tập hợp của tất cả các véc tơ d chiều. Tương tự như vậy, ở cấp độ ⊗2 thứ hai, Rd là tập hợp của tất cả các ma trận d × d với các giá trị trong R. Sau đó, tenxơ đại số bị cắt cụt theo bậc 2, T (2) Rd , có số chiều 1 + d + d2 và chứa tất cả các tenxơ bậc 0, 1, 2 với các giá trị trong Rd . Ví dụ 1.1. Với mỗi a, b ∈ T ((Rd )) và λ ∈ R, ta có: a + b := (a0 + b0 , . . . , an + bn , . . .), λa := (λa0 , . . . , λan , . . .), a ⊗ b := (c0 , . . . , cn , . . .), n trong đó cn := k=0 ak ⊗ bn−k . Quan sát thấy (T ((Rd )), +, ·, ⊗) là một đại số thực không giao hoán với phần tử trung hòa 1 = (1, 0, . . . , 0, . . .). Định nghĩa: Không gian đối ngẫu của đại số tensor. Cho {c1 , . . . , cd } ⊂ Rd là một cơ sở cho Rd , sau đó nó có một cơ sở kép ∗ ∗ {c∗ , . . . , c∗ } ⊂ Rd , Rd i d là không gian đối ngẫu của Rd . Nhớ lại rằng không gian đối ngẫu này là không gian của tất cả các hàm tuyến tính từ Rd đến R. Chúng ta cũng có thể định nghĩa một cơ sở tương tự cho T Rd và ∗ không gian đối ngẫu của nó T Rd . ∗ Chúng ta xác định không gian đối ngẫu này của đại số tenxơ, T Rd , với khoảng cách của tất cả các từ. Hãy xem xét bảng chữ cái sau Ad := {1, . . . , d}, bao gồm d chữ cái. Để dễ ghi chú, chúng tôi thực hiện như sau: ∗ ci1 ⊗ · · · ⊗ cin ∈ T Rd ⇔ i1 . . . in ∈ W (Ad ) (1.3) với W (Ad ) là không gian vectơ thực của tất cả các từ có chữ cái Ad . Từ rỗng ∗ sẽ được ký hiệu là f . Sau đó, chúng ta có T Rd = W (Ad ). Nghĩa là bất kỳ hàm tuyến tính nào ℓ : T Rd → R có thể được xác định thông qua các thành phần trong W (Ad ). Chúng ta có thể nghĩ về các từ như các hàm
5 tuyến tính trên đại số tenxơ. Với chỉ số I := (i1 , . . . , in ), ta đặt |I| := n. Ta cũng xem xét chỉ số rỗng I := ∅ và đặt |I| := 0. Nếu n ≥ 1 hoặc n ≥ 2, ta đặt I ′ := (i1 , . . . , in−1 ) và I ′′ := (i1 , . . . , in−2 ) tương ứng. Ta sử dụng ký hiệu: {I : |I| = n} := {1, . . . , d}n , Với mỗi |I| ≥ 1, ta đặt eI := ei1 ⊗ · · · ⊗ ein trong đó e1 , . . . , ed ký hiệu các vector cơ sở chuẩn tắc của Rd . Tập {eI : |I| = N } là một cơ sở trực chuẩn của (Rd )⊗N . Ký hiệu e∅ là phần tử cơ sở tương ứng với (Rd )⊗0 , mỗi phần tử a ∈ T ((Rd )) có thể được viết như sau: a= aI eI (1.4) |I|≥0 Với mỗi a ∈ T (Rd ) và mỗi b ∈ T ((Rd )), ta đặt: ⟨a, b⟩ := ⟨aI , bI ⟩. (1.5) |I|≥0 Quan sát thấy bI = ⟨eI , b⟩. Ví dụ 1.2. Cho X ∈ T Rd là một phần tử của đại số tenxơ. Chúng ta có thể xem X theo các phần tử của nó trong đại số tenxơ, và mỗi đa chỉ số tương ứng với một từ, ví dụ:         1 11 1d ··· x    x x         0  x =  x , . ,  . .   . . . . . , . . . . .  (1.6) . . .        ∈(Rd )⊗0 xd xd1 ··· x dd      ⊗1 ⊗2 ∈(Rd ) ∈(Rd )
6 Không gian của tất cả các từ được định nghĩa là: W (Ad ) = {0, 1, . . . , d, 11, . . . , dd, . . .} (1.7) 1.1.2 Các khái niệm Khái niệm dấu ấn Cho một không gian xác suất với lọc (Ω, F, (Ft )t≥0 , P). Cho (Xt )t∈[0,T ] là một semimartingale liên tục có giá trị Rd . Dấu ấn của X là quá trình có giá trị T ((Rd )) (s, t) → Xs,t có các thành phần được định nghĩa đệ quy như sau: ⟨e∅ , Xs,t ⟩ := 1, t (1.8) ⟨eI , Xs,t ⟩ := ⟨eI ′ , Xs,r ⟩ ◦ dXirn s Với mỗi I = (i1 , . . . , in ), I ′ = (i1 , . . . , in−1 ), và 0 ≤ s ≤ t ≤ T , trong đó ◦ ký hiệu tích phân Stratonovich. Dấu ấn cắt cụt Hình chiếu XN của nó lên T (N ) (Rd ) được cho bởi: XN = s,t ⟨eI , Xs,t ⟩eI (1.9) |I|≤N và được gọi là dấu ấn của X bị cắt cụt ở mức N . Nếu s = 0, ta sử dụng ký hiệu Xt và XN tương ứng. t Với ký hiệu tương đương, ta có thể viết: t t 1 d Xt = 1, 1◦ dXs , . . . , 1 ◦ dXs , 0 0 t s t s 1 1 1 2 1 ◦ dXr ◦ dXs , 1 ◦ dXr ◦ dXs , (1.10) 0 0 0 0 t s d d ..., 1 ◦ dXr ◦ dXs , . . . . 0 0
7 Sử dụng tích phân Itô, điều này có thể được viết lại như sau: Xt = 1, Xt1 − X0 , . . . , Xtd − X0 , 1 d t 1 (Xs − X0 )dXs + [X 1 ]t , 1 1 1 0 2 t 1 (1.11) (Xs − X0 )dXs + [X 1 , X 2 ]t , 1 1 2 0 2 t 1 d d d . . . , (Xs − X0 )dXs + [X d ]t , . . . , 0 2 trong đó các dấu ngoặc vuông biểu thị các quá trình biến thiên bậc hai và đồng biến thiên. Đặc biệt, theo định nghĩa của tích phân Stratonovich và công thức Itô, ta có thể viết: t s i 1 ⟨e(i,i) , Xt ⟩ = 1 ◦ dXr ◦ dXs = (Xti − X0 )2 = ⟨ei , Xt ⟩2 i i (1.12) 0 0 2 cho thấy rằng biểu thức bậc hai ở vế phải có một biểu diễn tuyến tính. Tính chất này tổng quát hóa cho mọi hàm đa thức. Để phát biểu chính xác, trước tiên ta cần giới thiệu phép nhân hoán vị. Phép nhân hoán vị Với hai chỉ số I := (i1 , . . . , in ) và J := (j1 , . . . , jm ), tích giao hoán được định nghĩa đệ quy như sau: eI ⨿ eJ := (eI ′ ⨿ eJ ) ⊗ ein + (eI ⨿ eJ ′ ) ⊗ ejm (1.13) với eI ⨿ e∅ := e∅ ⨿ eI = eI . Nó được mở rộng cho a, b ∈ T (Rd ) như sau: a⨿b= aI bJ (eI ⨿ eJ ). (1.14) |I|,|J|≥0 Nhận xét rằng (T (Rd ), +, ⨿) là một đại số giao hoán, điều này có nghĩa là tích hoán vị có tính kết hợp và giao hoán. Ví dụ: Giả sử (Xt )t∈[0,T ] là một semimartingale giá trị trong Rd với X0 = 0. Khi đó, công thức tích phân từng phần (Stratonovich) thu được cho bất kỳ
8 i, j ∈ {1, . . . , d}: T T j ⟨ei , XT ⟩⟨ej , XT ⟩ = i XT XT = Xti ◦ dXtj + Xtj ◦ dXti , 0 0 = ⟨ei ⊗ ej , XT ⟩ + ⟨ej ⊗ ei , XT ⟩ = ⟨ei ⨿ ej , XT ⟩. Ví dụ: Giả sử (Xt )t∈[0,T ] là một semimartingale giá trị trong R với X0 = 0. Khi đó ⟨e1 , XT ⟩ = XT − X0 . ⟨e1 ⨿ · · · ⨿ e1 ⟩ = k!⟨e1 ⊗ · · · ⊗ e1 ⟩. Suy ra: 1 1 1 XT = 1, XT − X0 , (XT − X0 )2 , (XT − X0 )3 , . . . , (XT − X0 )k , . . . . 2 3! k! 1.1.3 Tính chất của dấu ấn Tính duy nhất của dấu ấn Giả sử (Xt )t∈[0,T ] và (Yt )t∈[0,T ] là hai semimartingale giá trị trong Rd với ˆ ˆ X0 = Y0 = 0. Đặt X := (t, Xt ), Y := (t, Yt ) là quá trình mở rộng của (Xt ) ˆ ˆ và (Yt ) với thời gian t, đặt X và Y là các quá trình dấu ấn tương ứng. Khi ˆ ˆ đó XT = YT khi và chỉ khi Xt = Yt với xác suất bằng 1 cho mọi t ∈ [0, T ]. Chú ý: (tk /k!)k∈N0 là một cơ sở của L2 ([0, T ], dt) và T ˆ tk ⟨(ei ⨿ (e⊗k )) 0 ⊗ e0 , XT ⟩ = Xti dt 0 k! là phép chiếu tương ứng của X i lên tk /k!. Tính chất này có thể được sử dụng để xây dựng rõ ràng một chuỗi đa thức với các hệ số ngẫu nhiên trên [0, T ] hội tụ hầu như chắc chắn đến X i trong L2 ([0, T ], dt). Nó cũng thiết lập một liên kết giữa các phương pháp dựa trên dấu ấn và các phương pháp định lượng hóa. Đẳng thức Chen
9 Cho (Xt )t∈[0,T ] là một semimartingale có giá trị Rd . Khi đó: Xs,t = Xs,u ⊗ Xu,t (1.15) với mọi s ≤ u ≤ t ≤ T . Điều này có thể được viết tương đương như: ⟨eI , Xs,t ⟩ = ⟨eI1 , Xs,u ⟩⟨eI2 , Xu,t ⟩ eI1 ⊗eI2 =eI với mọi chỉ số I. 1.1.4 Quỹ đạo của dấu ấn Quỹ đạo của dấu ấn là các vectơ đặc trưng có độ dài cố định mà chúng ta có thể sử dụng để biểu diễn chuỗi thời gian đa chiều, trong đó các dữ liệu trong chuỗi thời gian không cần phải cách đều nhau theo thời gian. Phần này, chúng tôi giới thiệu các khái niệm về quỹ đạo và luồng, quỹ đạo của dấu ấn và phép biến đổi quỹ đạo. Để minh họa, ban đầu chúng tôi sẽ xem xét các quỹ đạo một chiều. Nhưng ý tưởng của một chiều là tiền đề để xử lý các quỹ đạo đa chiều. Định nghĩa của quỹ đạo Chúng ta sẽ sử dụng ký hiệu chữ in hoa sau cho các đường dẫn: Chúng ta định nghĩa một quỹ đạo N -chiều là phép ánh xạ X : [a, b] → RN . Hơn nữa, chúng ta sẽ sử dụng ký hiệu Xt = X(t) để biểu thị sự phụ thuộc của X vào t ∈ [a, b]. Tích phân của quỹ đạo Cho các quỹ đạo Xt , Yt và định nghĩa Xt′ = dXt /dt, chúng ta định nghĩa tích phân của quỹ đạo b b Yt Xt′ dt := Yt dXt . (1.16) a a Chúng ta có thể diễn giải tích phân đường đi là diện tích mà chúng ta thu được khi vẽ đồ thị Yt theo Xt với t trong khoảng [a, b]. Tính chất của tích phân quỹ đạo
10 Có hai tính chất quan trọng của tích phân đường, cụ thể là: bất biến tịnh tiến và bất biến tham số hóa. Bất biến tịnh tiến b Giá trị của tích phân quỹ đạo a Yt dXt bất biến với Xa . Nói cách khác, không quan trọng nếu chúng ta dịch chuyển toàn bộ quỹ đạo Xt : b b Yt dXt = Yt dZt (1.17) a a trong đó Zt := Xt + c và c là hằng số nào đó. Bất biến tham số hóa b Đối với tích phân quỹ đạo a Yt dXt , tính chất này liên quan đến thực tế là thay vì tích phân theo t, trong phương trình trên, chúng ta tích phân theo đường Xt . Đối với trường hợp biểu diễn thời gian t, tính bất biến của tham số hóa ngụ ý rằng tích phân quỹ đạo không thay đổi theo tốc độ (tức thời) mà Xt được theo dõi. Tích phân quỹ đạo, chúng ta có thể coi tích phân đường đi như một đường đi có miền là giới hạn trên (hoặc tương tự là giới hạn dưới) của tích phân. Nghĩa là, với các quỹ đạo Xt và Yt với t ∈ [a, b], chúng ta có thể định nghĩa quỹ đạo Zc với c ∈ [a, b], c Zc := Yt dXt . (1.18) a Trên thực tế, tích phân quỹ đạo là ’khối xây dựng’ của dấu ấn quỹ đạo, mà chúng ta sẽ nói ở phần sau. Dấu ấn của quỹ đạo Dấu ấn của một quỹ đạo N -chiều là một tập hợp có thứ tự bao gồm tất cả các tích phân đường dẫn có thể mà chúng ta có thể xây dựng liên quan đến các tổ hợp của các đường dẫn tọa độ 1 chiều riêng lẻ của đường dẫn. Nhằm mục đích có một định nghĩa chính xác hơn, chúng ta hãy xem xét quỹ đạo N -chiều Xt , t ∈ [a, b]. Chúng ta sẽ sử dụng ký hiệu Xt = (Xt1 , . . . , XtN ) để biểu thị các quỹ đạo tọa độ 1 chiều bao gồm X. Chúng ta sẽ giả định rằng
11 mỗi quỹ đạo tọa độ được định lượng theo các đơn vị 1 chiều, ví dụ như các đơn vị khoảng cách. Để có được dấu ấn của quỹ đạo, dựa trên thảo luận trước đó của chúng ta về tích phân đường dẫn, trước tiên chúng ta thu được các gia số của X 1 , . . . , X N trên khoảng [a, t] với t ∈ [a, b], mà chúng ta biểu thị bằng S(X)1 , . . . , S(X)N , a,t a,t t S(X)n a,t := n dXc . (1.19) a Dựa trên các giả định trước đó của chúng ta, mỗi tích phân bậc nhất này được định lượng theo các đơn vị 1 chiều. Như đã đề cập trước đó, chúng ta có thể diễn giải bản thân S(X)n là một quỹ đạo. a,t Tiếp theo, chúng ta thu được các tích phân liên quan đến hai quỹ đạo, với một quỹ đạo là đường đi tọa độ Xtm và quỹ đạo kia là gia số S(X)n của a,t đường đi tọa độ Xtn . Các tích phân đường đi này được định lượng bằng các đơn vị 2 chiều, ví dụ như các đơn vị diện tích. Có N 2 tích phân bậc hai như vậy, chúng ta biểu thị chúng bằng S(X)1,1 . . . , S(X)N,N , a,t a,t t S(X)n,m a,t := S(X)n dXc . a,c m (1.20) a Chúng ta có thể diễn giải các tích phân bậc hai này là diện tích mà chúng ta thu được khi vẽ đồ thị S(X)n theo Xc trên khoảng [a, t] và với t ∈ [a, b]. a,c m Tập hợp các tích phân bậc nhất (bao gồm N tích phân) và tập hợp các tích phân bậc hai (bao gồm N 2 tích phân) thực tế là cấp độ thứ nhất và thứ hai của dấu ấn quỹ đạo. Tiếp tục quá trình thu được tích phân đường đi theo cách lặp lại, có N k tích phân khả thi bậc k cùng nhau tạo thành cấp thứ k của dấu ấn quỹ đạo; chúng ta có thể sử dụng chỉ số đa i1 , . . . , ik để tham i1 ,...,i chiếu đến tích phân đường đi bậc k: S(X)a,t k , t i1 ,...,i i1 ,...,i i S(X)a,t k := S(X)a,c k−1 dXck . (1.21) a Dấu ấn của quỹ đạo S(X)a,b là tập hợp các số hạng vô hạn được sắp xếp mà
12 chúng ta thu được bằng cách xem xét tất cả các mức k ≥ 0 và liên quan đến miền của quỹ đạo [a, b]: S(X)a,b :=(1, S(X)1 , S(X)2 , . . . , S(X)N , a,b a,b a,b S(X)1,1 , S(X)a,b , . . . , S(X)N,N , a,b 1,2 a,b (1.22) S(X)1,1,1 , . . .) a,b trong đó số hạng ban đầu bằng 1 theo quy ước, tương ứng với mức không. Trong thực tế, chúng ta thu được một số lượng hữu hạn các số hạng bằng cách cắt bớt chữ ký sau một mức K. Dấu ấn của một luồng Đường dẫn là một phép ánh xạ được xác định trên một khoảng liên tục, thì trên thực tế, chúng ta thường xử lý các luồng dữ liệu: Một luồng là một chuỗi ˆ các điểm X = (x1 , . . . , xM ) với mỗi xi ∈ RN và với các dấu thời gian quan sát tương ứng a = t1 < t2 < . . . < tM = b. Chúng ta sẽ sử dụng ký hiệu ˆ ˆ X[i] = xi để biểu thị sự phụ thuộc của X vào các quan sát rời rạc. Ngoài ˆ ˆ ˆ ra, chúng ta sẽ sử dụng ký hiệu mũ X[i] = (X 1 [i], . . . , X N [i]) để biểu thị các ˆ ˆ luồng tọa độ riêng lẻ trong X. Để có được dấu ấn của X, trước tiên chúng ta thu được quỹ đạo N -chiều X : [a, b] → RN bằng cách nội suy giữa các ˆ ˆ điểm liên tiếp trong X, sao cho Xti = X[i]. Sau đó, chúng ta tính toán dấu ấn của quỹ đạo nội suy S(X)a,b . Do đó, dấu ấn của một luồng phụ thuộc vào phương pháp nội suy mà chúng ta lựa chọn. Tuy nhiên, dấu ấn không thay đổi theo tham số hóa đường dẫn, chúng ta có thể đặt dấu thời gian quan sát của luồng thành một chuỗi tăng nghiêm ngặt tùy ý. Vì lý do này, bên cạnh chuỗi các điểm (x1 , . . . , xM ) chúng ta không cần cung cấp thông tin dấu thời gian khi trực quan hóa luồng hoặc tính toán dấu ấn của nó.