Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số tính chất của nón phân thớ

Chia sẻ: Quỳnh Quỳnh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:57

Thêm vào BST

Báo xấu

169
lượt xem 25
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số tính chất của nón phân thớ nhằm nghiên cứu một số tính chất của nón phân thớ thông qua số bội trộn với cách tiếp cận theo hướng khai thác mối quan hệ giữa đặc trưng Cohen - Macaulay của nón phân thớ à chuỗi Hibert của nó.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số tính chất của nón phân thớ

i B GIÁO D C - ĐÀO T O VI N KHOA H C VÀ CÔNG NGH VI T NAM HÀ TH Y N M TS TÍNH CH T C A NÓN PHÂN TH Chuyên ngành: Đ i s - lý thuy t s Mã s : 60. 46. 05 LU N VĂN TH C S TOÁN H C Ngư i hư ng d n khoa h c: GS.TSKH. LÊ TU N HOA Hà n i, năm 2011
L I C M ƠN Lu n văn đư c hoàn thành dư i s hư ng d n t n tình, chu đáo và nghiêm kh c c a GS.TSKH. Lê Tu n Hoa. Tác gi xin bày t lòng bi t ơn sâu s c c a mình đ n v i th y Lê Tu n Hoa. Tác gi xin chân thành c m ơn GS.TSKH. Ngô Vi t Trung và GS.TSKH. Nguy n T Cư ng đã t o đi u ki n cho tác gi tham gia sinh ho t khoa h c t i Vi n Toán h c, Vi n khoa h c và công ngh Vi t Nam. Tác gi xin chân thành c m ơn s giúp đ c a ban giám hi u trư ng Đ i h c H ng Đ c đã t o đi u ki n thu n l i cho tác gi trong quá trình h c cao h c. Đ c bi t tác gi xin đư c bày t lòng bi t ơn c a mình đ n ban ch nhi m Khoa Khoa h c t nhiên và các đ ng nghi p trong t Đ i s đã t o đi u ki n v th i gian giúp tác gi ra Hà N i h c t p. Tác gi xin chân thành c m ơn s quan tâm, đ ng viên c a các nghiên c u sinh Lê Xuân Dũng, Đ Tr ng Hoàng và m t s c nhân khác. Cu i cùng, tác gi xin bày t lòng bi t ơn vô h n đ n B , M , Ch ng và nh ng ngư i thân c a mình luôn yêu thương, c vũ, đ ng viên, chăm lo chu đáo đ tác gi an tâm h c t p và nghiên c u. Tác gi Hà Th Y n. ii
M cl c M Đ U 2 1 S B I HILBERT-SAMUEL VÀ S B I TR N 4 1.1 S b i Hilbert-Samuel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 S b i tr n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3 S b i tr n t i ti u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 CHU I HILBERT C A NÓN PHÂN TH 29 2.1 Chu i Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2 Chu i Hilbert c a nón phân th . . . . . . . . . . . . . . 34 3 Đ C TRƯNG COHEN-MACAULAY C A NÓN PHÂN TH 40 3.1 Các k t qu chung liên quan đ n s b i và tính Cohen- Macaulay c a nón phân th . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.2 Đ c trưng trong trư ng h p iđêan có s b i tr n t i ti u 49 K T LU N 52 TÀI LI U THAM KH O 53 1
M Đ U Trong nhi u th p k g n đây, đ i s Rees, vành phân b c liên k t và nón phân th c a m t iđêan đã đư c nghiên c u b i nhi u tác gi . Trong các đ i tư ng đó, nón phân th F (a) := ⊕ an /man thư ng là khó n≥0 nghiên c u nh t. G n đây, nh m t khái ni m m i là s b i tr n, m t s tác gi đã nh n đư c k t qu m i v nón phân th . Cho (A, m) là m t vành đ a phương, a và b là hai iđêan m-nguyên sơ c a A. Hàm s Bhattacharya c a a và b là hàm Ba,b (−) : N∗ × N∗ → N đư c xác đ nh b i Ba,b (r, s) = (A/ar bs ) < ∞, v i m i r, s ∈ N∗ . Bhattacharya ch ng minh r ng t n t i m t đa th c pa,b (x, y) ∈ Q[X, Y ] b c d sao cho Ba,b (r, s) = pa,b (r, s), v i m i r, s đ l n. Hơn n a, các thành ph n có b c t ng là d v i hai bi n r, s trong pa,b (r, s) có d ng     1 d e0 (a|b)rd + · · · +   ei (a|b)rd−i si + · · · + ed (a|b)sd  d! i v i e0 (a|b), · · · , ei (a|b), · · · , ed (a|b) là các s nguyên dương. Các s e0 (a|b), · · · , ei (a|b), · · · , ed (a|b) đư c g i là các s b i tr n c a a và b. Khái ni m này đư c đưa ra b i Teissier trong [14]. M c đích chính c a lu n văn là nghiên c u m t s tính ch t c a nón phân th thông qua s b i tr n ed−1 (m|a) v i cách ti p c n theo hư ng khai thác m i quan h gi a đ c trưng Cohen-Macaulay c a nón phân th và chu i Hilbert c a nó. Trong lu n văn cũng đưa ra nhi u ví d 2
đư c tính toán c th đ minh h a cho các k t qu đư c phát bi u. Bây gi , chúng tôi xin gi i thi u c u trúc c a lu n văn. Ngoài ph n m đ u, tài li u tham kh o, lu n văn chia làm ba chương. Chương 1 chia làm ba ph n. M c 1.1 trình bày khái ni m và tính ch t c a s b i Hilbert-Samuel và m t s đ c trưng c a môđun Cohen- Macaulay. M c 1.2 trình bày khái ni m và m t s tính ch t c a s b i tr n, m i quan h gi a s b i tr n và s b i Hilbert-Samuel. M c 1.3 nêu khái ni m và đ c trưng c a iđêan có s b i tr n t i ti u. Chương 2 chia làm hai ph n. M c 2.1 trình bày khái ni m và m t s tính ch t c a chu i Hilbert. M c 2.2 gi i thi u khái ni m nón phân th , chu i Hilbert c a nón phân th và trình bày công th c tính chu i Hilbert c a nón phân th trong trư ng h p đêan có s b i tr n t i ti u. Chương 3 chia làm hai ph n. M c 3.1 nêu các k t qu chung liên quan đ n s b i và tính Cohen-Macaulay c a nón phân th . đây chúng tôi trình bày m t đ c trưng c a Cruz-Raghavan-Verma v tính Cohen-Macaulay thông qua chu i Hilbert. S d ng k t qu t ng quát đó và công th c tính chu i Hilbert M c 2.2, trong M c 3.2 chúng tôi trình bày m t đ c trưng tính Cohen-Macaulay c a nón phân th thông qua s mũ rút g n trong trư ng h p đêan có s b i tr n t i ti u. 3
Chương 1 S B I HILBERT-SAMUEL VÀ S B I TR N Trong chương này, chúng tôi s trình bày m t s khái ni m v s b i Hilbert-Samuel, s b i tr n, s b i tr n t i ti u và các tính ch t c n thi t cho ch ng minh các đ nh lý chính Chương 2 và Chương 3. 1.1 S b i Hilbert-Samuel Cho A là vành Noether N-phân b c chu n trên vành Artin A0 và E là Z-môđun phân b c h u h n sinh trên A. Khi đó A0 (En ) < ∞ và hàm s HE (−) : Z → N đư c xác đ nh b i HE (n) = A0 (En ), v im in∈Z đư c g i là hàm Hilbert c a E. Đ nh lý 1.1.1. (Hilbert-Serre) Cho A là vành Noether N-phân b c chu n trên vành Artin A0 và E là A-môđun phân b c h u h n sinh chi u d. Khi đó, t n t i m t đa th c pE (x) ∈ Q[X] có b c d − 1 g i là đa th c Hilbert c a E sao cho HE (n) = pE (n), v i m i n đ l n. Hơn n a, pE (x) luôn 4
vi t đư c duy nh t dư i d ng   d−1 x+d−i−1 pE (x) = (−1)i ei (E)   i=0 d−i−1 v i e0 (E), ..., ed−1 (E) là các s nguyên và e0 (E) > 0. Khi đó s b i c a môđun E đư c đ nh nghĩa là  e0 (E) n u d > 0,  e(E) :=   (E) n u d = 0. T đây cho đ n h t M c 1.1, n u không nói gì ta luôn gi thi t (A, m) là vành đ a phương Noether chi u d, E là A-môđun h u h n sinh và a là iđêan m-nguyên sơ c a A. Đ nh nghĩa 1.1.2. Hàm Ha,E (−) : Z → N đư c xác đ nh b i Ha,E (n) = (E/an+1 E) < ∞, v i m i n ∈ Z đư c g i là hàm Hilbert-Samuel c a E đ i v i a. Đ nh nghĩa 1.1.3. Cho (A, m) là vành đ a phương Noether, E là A- môđun h u h n sinh và a là m t iđêan c a A. Khi đó, Ga (E) := ⊕ an E/an+1 E n≥0 đư c g i là môđun phân b c liên k t c a E đ i v i a. Trong trư ng h p E = A, ta kí hi u Ga (A) b i G(a) và đư c g i là vành phân b c liên k t c a A đ i v i a. Bây gi gi s a là iđêan m-nguyên sơ. Khi đó G(a) là vành phân b c chu n có G0 = A/a là vành Artin. Hơn n a, Ga (E) là môđun phân 5
b c h u h n sinh trên G(a). Theo Đ nh lý Hilbert-Serre t n t i đa th c pGa (E) (x) và s s sao cho (Ga (E)n ) = (an E/an+1 E) = pGa (E) (n), ∀n ≥ s. Do đó v i m i n ≥ s, ta có Ha,E (n) = (E/an+1 E) s−1 n j j+1 = (a E/a E) + (aj E/aj+1 E) j=0 j=s n = α+ pGa (E) (j), j=s trong đó α là h ng s . T đó suy ra Ha,E (n) b ng m t đa th c có b c b ng dim E v i m i n đ l n. Do đó ta có h qu sau H qu 1.1.4. T n t i m t đa th c Pa,E (x) ∈ Q[X] có b c b ng dim E g i là đa th c Hilbert-Samuel sao cho Ha,E (n) = Pa,E (n), v i m i n đ l n. Vì dim E ≤ d nên ta luôn vi t đư c Pa,E (n) duy nh t dư i d ng e.nd Pa,E (n) = + g(n), d! trong đó g(n) có b c nh hơn d, e ∈ Z và e > 0. Đ nh nghĩa 1.1.5. e(a, E) := e đư c g i là s b i Hilbert-Samuel c a E đ i v i a. Trong trư ng h p E = A, khi đó ta đ t e(a, A) = e(a) và đ nh nghĩa là s b i c a a. Nói riêng e(m) := e(A). 6
T nh n xét trư c H qu 1.1.4 ta có e(a, E) = e0 (Ga (E)). Ti p theo chúng ta nêu m t s tính ch t cơ b n c a s b i Hilbert- Samuel. Nh ng tính ch t này đư c trích t [10], t trang 107 đ n trang 112. T đ nh nghĩa d dàng suy ra b đ sau B đ 1.1.6. V i a và E như trên ta có d! (E/an+1 E) (i) e(a, E) = lim . n→∞ nd Nói riêng n u d = 0 thì e(a, E) = (E). (ii) e(as , E) = sd e(a, E), ∀s ≥ 1. (iii) e(a, E) > 0 n u dim E = d và e(a, E) = 0 n u dim E < d. (iv) N u a và a là hai iđêan m-nguyên sơ c a A và a ⊆ a thì e(a, E) ≥ e(a , E) . Ti p theo chúng tôi nêu m t s tính ch t đư c dùng trong tính toán s b i Hilbert-Samuel B đ 1.1.7. Cho 0 −→ E −→ E −→ E −→ 0 là dãy kh p các A-môđun h u h n sinh. Khi đó, e(a, E) = e(a, E ) + e(a, E ). Đ nh lý 1.1.8. (Công th c b i liên k t) Cho {p1 , · · · , pr } là t t c các iđêan nguyên t t i ti u c a A mà dim A/pi = d. Khi đó e(a, E) = r e(ai , A/pi ) (Epi ), trong đó ai là nh c a a trong A/pi và (Epi ) là đ i=1 dài c a Epi như Api −môđun. 7
Ví d 1.1.9. Cho A = k[[X1 , · · · , Xn ]] v i k là m t trư ng. 2 2 3 a = (Xn ) ∩ (X1 , X3 ) ∩ (X2 , X3 ) là phân tích nguyên sơ t i ti u c a a. 2 2 3 B = A/a = k[[X1 , · · · , Xn ]]/(Xn ) ∩ (X1 , X3 ) ∩ (X2 , X3 ). Ta có Ass(A/a) = {(Xn ), (X1 , X3 ), (X2 , X3 )} = {p1 , p2 , p3 }, trong đó p1 = (Xn ), p2 = (X1 , X3 ), p3 = (X2 , X3 ). Đ t p1 = (xn ), p2 = (x1 , x3 ), p3 = (x2 , x3 ) l n lư t là nh c a p1 , p2 , p3 trong B. Khi đó p1 , p2 , p3 là các iđêan nguyên t t i ti u c a B. M t khác dim B = max { dim A/p1 , dim A/p2 , dim A/p3 } = dim A/p1 = n − 1. Áp d ng Đ nh lý 1.1.8 trong vành B = A/a ta đư c, e(B) = e(A/p1 ) (Bp1 ) = 1. Đ nh nghĩa 1.1.10. Iđêan b ⊆ a c a A đư c g i là m t rút g n c a a n u có m t s nguyên không âm r sao cho ar+1 = bar . M t rút g n c a a đư c g i là t i ti u c a a n u nó không th c s ch a m t rút g n nào khác c a a. Northcott và Rees đã ch ng minh r ng rút g n t i ti u c a m t iđêan luôn t n t i. N u b là m t rút g n c a a và ar+1 = bar thì v i m i n > r ta có an = ban−1 . 8
Đ nh nghĩa 1.1.11. N u b là m t rút g n c a a thì s mũ rút g n c a a đ i v i b đư c đ nh nghĩa là rb (a) = min n ≥ 0|an+1 = ban . S mũ rút g n r(a) c a a đư c đ nh nghĩa là r(a) = min{ rb (a) | b là rút g n t i ti u c a a }. B đ 1.1.12. Gi s b là m t rút g n c a a. Khi đó b cũng là m-nguyên sơ và v i b t kì A-môđun h u h n sinh E ta có e(b, E) = e(a, E). H qu 1.1.13. Gi s trư ng th ng dư c a A vô h n. Khi đó t n t i m t h tham s x c a A mà (x) là m t rút g n t i ti u c a a và e(a, E) = e((x), E). T b đ trên suy ra n u A/m vô h n thì m i iđêan rút g n t i ti u c a a đ u là iđêan tham s . B đ 1.1.14. Cho (A, m) là vành đ a phương Noether chi u d, a là iđêan m-nguyên sơ c a A và x1 , · · · , xd là m t h tham s c a A đư c ch a trong a. Gi s xi ∈ ari , ∀i = 1, · · · , d. Khi đó v i m i s = 1, · · · , d ta có e(a/(x1 , · · · , xs ), E/(x1 , · · · , xs )E) ≥ r1 · · · rs e(a, E). Nói riêng, n u s = d chúng ta có (E/(x1 , · · · , xd )E) ≥ r1 · · · rd e(a, E). H qu 1.1.15. Cho (A, m) là m t vành đ a phương Noether chi u d và E là A-môđun h u h n sinh. Gi s x1 , · · · , xd là m t h tham s c a 9
E. Đ t q = (x1 , · · · , xd ). Khi đó, (E/qE) ≥ e(q, E). Đ nh nghĩa 1.1.16. Cho (A, m) là vành đ a phương Noether. M t A- môđun h u h n sinh E đư c g i là môđun Cohen-Macaulay n u E = 0 ho c n u E = 0 và (E/qE) = e(q, E), trong đó q là m t iđêan tham s c a E. N u b n thân A là môđun Cohen-Macaulay như A-môđun thì ta g i A là vành Cohen-Macaulay. Ví d 1.1.17. (i) k là m t trư ng. Khi đó k là vành Cohen-Macaulay. (ii) k[[X1 , · · · , Xn ]], v i k là m t trư ng, là vành Cohen-Macaulay. Ví d 1.1.18. Cho vành A = k[[t4 , t5 , t6 , t7 ]] v i t là ph n t b t đ nh và m = (t4 , t5 , t6 , t7 ). Ta có m = αn tn |αn ∈ k , suy ra mp = αn tn |αn ∈ k . n≥4 n≥4p Do đó (A/mp ) = 4p − 3. Vy e(A) = e(m) = 4. Ta có m2 = (t8 , t9 , t10 , t11 , t12 , t13 , t14 ), (t4 )m = (t8 , t9 , t10 , t11 ). Suy ra m2 = (t4 )m. Do đó (t4 ) là rút g n t i ti u c a m. Theo nh n xét H qu 1.1.13 ta đư c q = (t4 ) là iđêan tham s c a A. 10
Theo H qu 1.1.13, e(q) = e(m) = 4. M t khác, q = t4 + αn tn |αn ∈ k , suy ra (A/q) = 4. n≥8 T đó nh n đư c e(q) = (A/q). V y A là vành Cohen-Macaulay. Sau đây là m t vài tính ch t đ c bi t c a vành và môđun Cohen- Macaulay. B đ 1.1.19. E là môđun Cohen-Macaulay khi và ch khi (E/qE) = e(q, E) v i m i h tham s q c a E. B đ 1.1.20. [7, Lemma 1.7] Gi s q là iđêan tham s c a E và n là s nguyên không âm. Khi đó, n+d (E/qn+1 E) ≤ (E/qE). d D u đ ng th c v i m i n x y ra khi và ch khi E là Cohen-Macaulay. Ti p theo ta nêu m t s ví d tính toán c th s b i Hilbert-Samuel. Ví d 1.1.21. Cho (A, m, k) là vành đ a phương chính quy chi u d. Khi đó, Gm (A) ∼ A = k[X1 , · · · , Xd ]. = Vì n+d−1 HA (n) = , d−1 nên e(A) = e0 (Gm (A)) = e0 (A ) = 1. Vì A là chính quy nên m đư c sinh b i m t h tham s c a A, t c m = (x1 , · · · , xd ). 11
Kí hi u (x) := (x1 , · · · , xd ), ta có (A/ (x)) = (A/m) = 1. M t khác, e((x)) = e(m) = e(A) = 1. T đó suy ra e((x)) = (A/ (x)). V y A là vành Cohen-Macaulay. T đó suy ra m t vành đ a phương chính quy là vành Cohen-Macaulay. Ví d 1.1.22. Cho A = k[X1 , · · · , Xd ], v i d ≥ 2 và B = A/(f ), f là đa th c thu n nh t b c s. Xét B như vành phân b c, tính e0 (B) (xem Đ nh lý 1.1.1). Ta có dãy kh p ·f 0 −→ A(−s) −→ A −→ A/f A −→ 0. T đó suy ra dãy kh p ·f 0 −→ A(−s)n −→ An −→ (A/f A)n −→ 0. Vì A(−s)n = An−s nên HB (n) = ((A/f A)n ) = (An ) − (An−s ) n+d−1 n−s+d−1 = − d−1 d−1 T đó ta đư c x+d−1 x−s+d−1 pB (x) = − d−1 d−1 s = xd−2 + g(x), (d − 2)! trong đó g(x) có b c nh hơn d − 2. 12
V y e0 (B) = s. T đó suy ra n u C = k[[X1 , · · · , Xd ]]/(f ) thì e(C) = s. 1.2 S b i tr n Cho (A, m) là vành đ a phương chi u d, a là iđêan m-nguyên sơ. Theo H qu 1.1.4, (A/an ) là m t đa th c b c d n r, v i m i r đ l n. Gi s b là m t iđêan m-nguyên sơ khác. Khi đó (A/ar bs ) < ∞. M t câu h i t nhiên là có gì tương t khi xét hàm s (A/ar bs ), v i r và s là các s nguyên dương. Câu h i này đã đư c Bhattacharya trong [2] tr l i. Đ nh nghĩa 1.2.1. Cho a và b là hai iđêan m-nguyên sơ. Hàm s Bhat- tacharya c a a và b là hàm Ba,b (−) : N∗ × N∗ → N đư c xác đ nh b i Ba,b (r, s) = (A/ar bs ) < ∞, v i m i r, s ∈ N∗ . Bhattacharya đã ch ng minh đư c trong [2] đ nh lý sau. Đ nh lý 1.2.2. T n t i m t đa th c pa,b (x, y) ∈ Q[X, Y ] b c d sao cho Ba,b (r, s) = pa,b (r, s), v i m i r, s đ l n. Hơn n a, các thành ph n có b c t ng là d v i hai bi n r, s trong pa,b (r, s) có d ng     1  d d  e0 (a|b)r + · · · +   ei (a|b)rd−i si + · · · + ed (a|b)sd , d!  i  v i e0 (a|b), · · · , ei (a|b), · · · , ed (a|b) là các s nguyên dương. Các s e0 (a|b), · · · , ei (a|b), · · · , ed (a|b) đư c g i là các s b i tr n c a a và b. Khái ni m này đư c đưa ra b i Teissier trong [14]. 13
Bhattacharya cũng nghiên c u v hàm s Ba,b (−) : N∗ ×N∗ → N đư c xác đ nh b i: Ba,b (r, s) = (ar bs /ar+1 bs ) < ∞, (1.1) v i m i r, s ∈ N∗ . Bhattacharya đã ch ng minh trong [2] t n t i m t đa th c pa,b (x, y) ∈ Q[X, Y ] b c d − 1 sao cho Ba,b (r, s) = pa,b (r, s), v i m i r, s đ l n. Hơn n a, các thành ph n có b c t ng là d − 1 v i hai bi n r, s trong pa,b (r, s) có d ng 1 d−1 e0 (a|b)rd−1 + · · · + ei (a|b)rd−1−i si + · · · + ed−1 (a|b)sd−1 . (d − 1)! i T đó d dàng xác đ nh đư c m i liên h gi a s b i Hilbert-Samuel e(ar bs ) và các s b i tr n e0 (a|b), · · · , ei (a|b), · · · , ed (a|b). B đ 1.2.3. V i m i r, s nguyên dương ta có   d e(ar bs ) = e0 (a|b)rd + · · · +   ei (a|b)rd−i si + · · · + ed (a|b)sd . (1.2) i Ch ng minh. Xét hàm s , (A/(ar bs )n ) = (A/arn bsn ). N u xem đây là hàm Bhattacharya c a a và b thì v i m i rn và sn đ l n các thành ph n có b c t ng là d v i hai bi n rn, sn trong đa th c tương ng là     1  d d d−i i d  e0 (a|b)(rn) + · · · +   ei (a|b)(rn) (sn) + · · · + ed (a|b)(sn) d!  i  hay     nd  d d d−i i d  e0 (a|b)r + · · · +   ei (a|b)r s + · · · + ed (a|b)s . d!  i  14
C đ nh r và s, n thay đ i thì v i m i n đ l n ta có th xem h s c a nd trong đa th c trên là     1 d d  e0 (a|b)r + · · · +   ei (a|b)rd−i si + · · · + ed (a|b)sd . d!  i  N u xem (A/(ar bs )n ), v i r, s c đ nh, n thay đ i là hàm Hilbert- Samuel c a iđêan ar bs thì v i m i n đ l n h s c a nd trong đa th c e(ar bs ) tương ng là . d! T đó suy ra đ ng th c sau v i m i r, s nguyên dương   d e(ar bs ) = e0 (a|b)rd + · · · +   ei (a|b)rd−i si + · · · + ed (a|b)sd . i Trong m t s trư ng h p đ c bi t, Rees trong [11] đưa ra m i liên h sau. B đ 1.2.4. ([11]) Cho (A, m) là vành đ a phương Noether chi u d, a, b là hai iđêan m-nguyên sơ c a A. Khi đó, (i) ei (a|a) = e(a), ∀i = 1, · · · , d, (ii) e0 (a|b) = e(a), (iii) ed (a|b) = e(b). Ch ng minh. (i) Hi n nhiên. (ii) Gi s Ba,b (r, s) = pa,b (r, s), v i m i r ≥ r0 và s ≥ s0 . Ta xem bs như m t A-môđun và coi e(a, bs ) như s b i c a a trên A-môđun bs . C 15
đ nh m t s ≥ s0 . Khi đó ta có s (d − 1)! (ar bs /ar+1 bs ) e(a, b ) = lim r→∞ rd−1 (d − 1)!Ba,b (r, s) = lim = e0 (a|b) r→∞ rd−1 Vì b là m-nguyên sơ nên iđêan (0 : bs ) = {r ∈ A/rbs = (0)} là lũy linh. Vì v y dim bs = dim A/(0 : bs ) = d và dim A/bs < d. Suy ra e(a, A/bs ) = 0. Ta có dãy kh p 0 −→ bs −→ A −→ A/bs −→ 0. Theo B đ 1.1.7, e(a, bs ) = e(a, A) − e(a, A/bs ). V y e(a, bs ) = e(a, A) = e(a). (iii) Tương t (ii) ta đư c ed (a|b) = e(b). Rees trong [12] đã gi i thi u v rút g n chung c a m t t p các iđêan và t đó ch ng minh đư c công th c tính các s b i tr n ei (a|b), v i i = 0, ..., d thông qua s b i Hilbert-Samuel c a m t h tham s . Đ nh nghĩa 1.2.5. [12, Section 1] Cho U = (a1 , · · · , at ) là m t t p các iđêan c a A, không c n thi t ph i khác nhau. Kí hi u R = (r1 , · · · , rt ) là t p các s nguyên dương nào đó, Ri = (r1 , · · · , ri − 1, · · · , rt ). Khi đó ta nói m t t p các ph n t xi , i = 1, · · · , t là m t rút g n chung c a t a1 , · · · , at n u xi ∈ ai , v i m i i = 1, · · · , t và ta có U R = xi U Ri , trong i=1 đó U R = a1 r1 · · · at rt . 16
t M t cách phát bi u tương đương là, n u c = xi a1 · · · ai−1 ai+1 · · · at i=1 thì c là rút g n c a a1 · · · at . Trong trư ng h p các iđêan a1 , · · · , at có th l p l i, ta kí hi u t p g m k1 iđêan a1 ,· · · , kt iđêan at là (a1 , · · · , a1 , · · · , at , · · · , at ) := (a1 [k1 ] | · · · |at [kt ] ) và đư c g i là t p b i c a k1 iđêan a1 ,· · · , kt iđêan at . Rees ch ng minh đư c r ng n u A/m vô h n thì rút g n chung luôn t n t i. Khi đó ta có th tính đư c các s b i tr n theo s b i Hilbert- Samuel như sau. B đ 1.2.6. [12, Theorem 2.4] Cho (A, m) là vành đ a phương Noether chi u d và s1 , · · · , sd−i , t1 , · · · , ti là m t rút g n chung c a (a[d−i] |b[i] ), v i m i i = 0, · · · , d. Kí hi u qi = (s1 , · · · , sd−i , t1 , · · · , ti ). Khi đó, v i m i i = 0, · · · , d ta có ei (a|b) = e(qi ). Chú ý r ng, k t h p b đ này v i H qu 1.1.13 ta cũng nh n đư c B đ 1.2.4 trên. Nh n xét 1.2.7. Gi thi t và kí hi u như B đ 1.2.6. Vì s1 , · · · , sd−i , t1 , · · · , ti là m t rút g n chung c a (a[d−i] |b[i] ) nên qi là iđêan tham s c a A, v i m i i = 0, · · · , d. Do đó, t B đ 1.2.6 ta có b đ sau nêu công th c tính các s b i tr n ei (a|b), v i i = 0, · · · , d đ i v i vành đ a phương Cohen-Macaulay. B đ 1.2.8. Cho (A, m) là vành đ a phương Cohen-Macaulay chi u d và s1 , · · · , sd−i , t1 , · · · , ti là m t rút g n chung c a (a[d−i] |b[i] ). Kí hi u qi = (s1 , · · · , sd−i , t1 , · · · , ti ). Khi đó,v i m i i = 0, · · · , d ta có ei (a|b) = A . qi 17
D a vào k t qu c a B đ 1.2.8 ta có th tính đư c các s b i tr n c a m và a trong vành đ a phương (A, m) Cohen-Macaulay chi u d , v i a là iđêan m-nguyên sơ. Ví d 1.2.9. [5, Example 3.11] Cho vành A = k[[x, y, z]] v i k là m t trư ng, m = (x, y, z) và a = (x3 , y 3 , z 3 , xy, xz, yz). Ta nh n th y yz ∈ a, xy + xz ∈ a và x + y + z ∈ m th a mãn ma = yzm + (xy + xz)m + (x + y + z)a. Suy ra ma2 = yzma + (xy + xz)ma + (x + y + z)a2 . Do đó, (x + y + z)a + (yz, xy + xz)m là m t rút g n c a ma. Vì v y (x + y + z, yz, xy + xz) là m t rút g n chung c a (m|a[2] ). M t khác dim A = 3 nên theo B đ 1.2.8 ta đư c A e2 (m|a) = = 4. (x + y + z, yz, xy + xz) Ta có yz ∈ a, y + z ∈ m và x ∈ m th a mãn m2 a = yzm2 + (y + z)ma + xma. Do đó (y + z, x, yz) là rút g n chung c a (m[2] |a). Theo B đ 1.2.8 ta đư c A e1 (m|a) = = 2. (y + z, x, yz) V y e2 (m|a) = 4; e1 (m|a) = 2. Ngoài ra, xét trư ng h p (A, m) là vành đ a phương Cohen-Macaulay chi u 2 v i trư ng th ng dư vô h n, a và b là hai iđêan m-nguyên sơ c a A. Khi đó chúng ta có công th c tính s b i tr n e1 (a|b) như sau. 18