Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp biến phân trong việc tìm nghiệm của phương trình vi phân

Chia sẻ: Quỳnh Quỳnh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:48

Thêm vào BST

Báo xấu

395
lượt xem 78
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp biến phân trong việc tìm nghiệm của phương trình vi phân nhằm nghiên cứu sự tồn tại nghiệm không tầm thường của các bài toán; chỉ ra được điều kiện tồn tại nghiệm của bài toán nhờ sử dụng phương pháp biến phân. Mời bạn đọc cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp biến phân trong việc tìm nghiệm của phương trình vi phân

VI N KHOA H C VÀ CÔNG NGH VI T NAM VI N TOÁN H C DƯƠNG TR NG LUY N PHƯƠNG PHÁP BI N PHÂN TRONG VI C TÌM NGHI M C A PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN LU N VĂN TH C SĨ TOÁN H C HÀ N I - 2011
VI N KHOA H C VÀ CÔNG NGH VI T NAM VI N TOÁN H C DƯƠNG TR NG LUY N PHƯƠNG PHÁP BI N PHÂN TRONG VI C TÌM NGHI M C A PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Chuyên ngành: Toán gi i tích Mã s : 60.46.01 LU N VĂN TH C SĨ TOÁN H C Ngư i hư ng d n khoa h c: PGS.TSKH. Nguy n Minh Trí HÀ N I - 2011
L I GI I THI U Lý thuy t phương trình vi phân đ o hàm riêng đư c nghiên c u đ u tiên trong các công trình c a J.D’Alembert (1717 - 1783), L.Euler (1707 - 1783), D.Bernoulli (1700 - 1782), J.Lagrange (1736 - 1813), P.Laplace (1749 - 1827), S.Poisson (1781 - 1840) và J.Fourier (1768 - 1830), như là m t công c chính đ mô t cơ h c cũng như mô hình gi i tích c a v t lý. Vào gi a th k XIX v i s xu t hi n các công trình c a Riemann, lý thuy t phương trình vi phân đ o hàm riêng đã ch ng t là m t công c thi t y u c a nhi u ngành toán h c. Cu i th k XIX, H.Poincaré đã ch ra m i quan h bi n ch ng gi a lý thuy t phương trình vi phân đ o hàm riêng và các ngành toán h c khác. Sang th k XX, lý thuy t phương trình vi phân đ o hàm riêng phát tri n vô cùng m nh m nh có công c gi i tích hàm, đ c bi t là t khi xu t hi n lý thuy t hàm suy r ng do S.L. Sobolev và L.Schwartz xây d ng. Khi xét m t bài toán phương trình đ o hàm riêng (có th đó là m t bài toán biên, bài toán đi u ki n ban đ u, bài toán đi u ki n h n h p, ...) ta thư ng g p nh ng khó khăn khác nhau v nghi m c a nó nhưng nhìn chung các v n đ đ t ra đ i v i nghi m c a m t bài toán là: - S t n t i nghi m c a bài toán. - Tính duy nh t nghi m. - Tính trơn c a nghi m. M c đích c a lu n văn nghiên c u s t n t i nghi m không t m thư ng c a bài toán d ng:   L (u) + g (u) = ∆ u + f 2 (x) ∆ u + h2 (x) ∆ u + g (u) = 0 trong Ω, f,h x y z (2.3)  u = 0 trên ∂Ω,
trong đó Ω là mi n gi i n i v i biên ∂Ω trơn trong Rn1 × Rn2 × Rn3 , v i n1 ≥ 1, n2 ≥ 1, n3 ≥ 1, và {0} ∈ Ω, g (u) ∈ C (R) , g (0) = 0, f (x) = f (x1 , ..., xn1 ) ∈ C 2 (Rn1 ) , h (x) = h (x1 , ..., xn1 ) ∈ C 2 (Rn1 ) , x = (x1 , .., xn1 ) , y = (y1 , ..., yn2 ) , z = (z1 , ..., zn3 ) , u (x, y, z) = u (x1 , .., xn1 , y1 , ..., yn2 , z1 , ..., zn3 ) , n1 n2 n3 ∂2 ∂2 ∂2 ∆x = , ∆y = 2 , ∆z = 2. j=1 ∂x2 j j=1 ∂yj j=1 ∂yj Lu n văn bao g m 2 chương chính sau đây: Chương 1 . Nghiên c u s t n t i nghi m không t m thư ng c a bài toán:  ∂2u 2  L (u) + g (u) = f ∂x2 + f 2 (x) ∂ u + g (u) = 0 trong Ω, ∂y 2 (1.1)  u = 0 trên ∂Ω, trong đó g (u) ∈ C (R) , g (0) = 0, f (x) ∈ C 2 (R), Ω là mi n gi i n i trong R2 v i biên ∂Ω trơn và {0} ∈ Ω. K t qu đ t đư c: Ch ra m t s trư ng h p đ c bi t c a hàm f (x), g(u) và mi n Ω mà bài toán (1.1) không có nghi m không t m thư ng, đ ng th i cũng ch ra s t n t i nghi m y u c a bài toán trên nh s d ng phương pháp bi n phân. Chương 2. M c đích chính c a chương là xét bài toán t ng quát:   L (u) + g (u) = ∆ u + f 2 (x) ∆ u + h2 (x) ∆ u + g (u) = 0 trong Ω, f,h x y z (2.3)  u = 0 trên ∂Ω, trong đó Ω là mi n gi i n i v i biên ∂Ω trơn trong Rn1 × Rn2 × Rn3 , v i n1 ≥ 1, n2 ≥ 1, n3 ≥ 1, và {0} ∈ Ω, g (u) ∈ C (R) , g (0) = 0, f (x) = f (x1 , ..., xn1 ) ∈ C 2 (Rn1 ) , h (x) = h (x1 , ..., xn1 ) ∈ C 2 (Rn1 ) , x = (x1 , .., xn1 ) , y = (y1 , ..., yn2 ) , z = (z1 , ..., zn3 ) , 2
u (x, y, z) = u (x1 , .., xn1 , y1 , ..., yn2 , z1 , ..., zn3 ) , n1 n2 n3 ∂2 ∂2 ∂2 ∆x = , ∆y = 2 , ∆z = 2. j=1 ∂x2 j j=1 ∂yj j=1 ∂yj K t qu đ t đư c: Ch ra đư c m t s trư ng h p đ c bi t c a n1 , n2 , n3 , f (x), h(x) và g(u) v i các đi u ki n nh t đ nh thì phương trình không có nghi m không t m thư ng, đ ng th i cũng ch ra đư c đi u ki n t n t i nghi m c a bài toán trên nh s d ng phương pháp bi n phân. Lu n văn này đư c hoàn thành v i s ch b o nhi t tình và chu đáo c a PGS.TSKH. Nguy n Minh Trí. Tôi xin bày t lòng bi t ơn vô cùng sâu s c đ n Th y, ngư i Th y đã t ng bư c hư ng d n và ch đư ng cho tôi t ng bư c làm quen v i vi c nghiên c u toán h c, trong đó có chuyên ngành Phương trình vi phân Đ o hàm riêng đ t đó n m v ng lý thuy t và t gi i đư c các bài toán c a mình. Tôi xin bày t lòng c m ơn chân thành đ n các Th y giáo, Cô giáo c a Vi n Toán h c, phòng Phương trình vi phân đã đ ng viên khuy n khích, chia s kinh nghi m và hư ng d n tôi trong su t quá trình h c t p v a qua. Xin g i t i các đ ng nghi p c a Khoa T Nhiên, Trư ng Đ i h c Hoa Lư nh ng l i c m ơn chân thành vì đã đ ng viên, t o đi u ki n cho tôi trong su t quá trình h c t p và hoàn thành lu n văn. M c dù đã r t c g ng nhưng lu n văn cũng không tránh kh i nh ng thi u sót, tôi r t mong s đóng góp quý báu c a th y cô và đ ng nghi p. Hà N i, tháng 8 năm 2011 H c viên th c hi n Dương Tr ng Luy n 3
Chương 1 Đ ng nh t th c Pohozaev và đ nh lý nhúng cho không gian Sobolev có tr ng liên h p v i toán t Elliptic suy bi n 1.1 Đ ng nh t th c Pohozaev Gi s Ω là mi n gi i n i trong R2 v i biên ∂Ω trơn và {0} ∈ Ω. Ta xét bài toán sau:  ∂2u 2  L (u) + g (u) = f ∂x2 + f 2 (x) ∂ u + g (u) = 0 trong Ω, ∂y 2 (1.1)  u = 0 trên ∂Ω, trong đó g (u) ∈ C (R) , g (0) = 0, f (x) ∈ C 2 (R). u Đ t G (u) = g (t) dt và υ = (υx , υy ) là vector pháp tuy n đơn v ngoài trên 0 ∂Ω. Đ nh nghĩa 1.1.1. Gi s k là m t s th c dương, khi đó mi n Ω đư c g i là Lk - hình sao đ i v i đi m {0}, n u b t đ ng th c xυx + (k + 1) yυy > 0 th a mãn h u kh p nơi trên ∂Ω. Ví d 1. Hình tròn B1 = (x, y) , x2 + y 2 < 1 là Lk - hình sao đ i v i m i k dương. B đ 1.1.2. (Đ ng nh t th c Pohozaev). Gi s u(x, y) là nghi m c a bài toán (1.1) thu c không gian H 2 (Ω). Khi đó v i m i β > 0 ta có u(x, y) th a mãn đ ng th c:
β−1 (1 + β) G (u) − g (u) u dxdy = 2 Ω 2 1 ∂u υx + f 2 (x) υy (xυx + βyυy ) ds 2 2 2 ∂υ ∂Ω 2 2 ∂u + xf (x) f (x) + (1 − β) f (x) dxdy. ∂y Ω Ch ng minh. Do Ω là mi n trơn và b ch n nên theo đ nh lý nhúng Sobolev ta có H 2 (Ω) ⊂ C 0,α (Ω) , 0 < α < 1 mà: ∂ ∂u (xG (u)) = G (u) + xg (u) , ∂x ∂x ∂ ∂u (yG (u)) = G (u) + yg (u) . ∂y ∂y Theo công th c Gauss – Green ta có: ∂u G (u) dxdy = − xg (u) dxdy, ∂x Ω Ω ∂u β G (u) dxdy = −β yg (u) dxdy. ∂y Ω Ω Mà u(x, y) là nghi m c a bài toán (1.1), nên ta có: ∂u ∂u (β + 1) G (u) dX = − x + βy g (u) dxdy ∂x ∂y Ω Ω ∂u ∂u ∂ 2u 2 ∂ 2u = x + βy + f (x) 2 dxdy. ∂x ∂y ∂x2 ∂y Ω Ta tính: ∂u ∂ 2 u I1 = x dxdy ∂x ∂x2 Ω 2 2 ∂ ∂u ∂u ∂u ∂ 2 u x = + 2x , ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x2 5
Theo công th c Gauss – Ostrogradskii ta có: 2 2 ∂u ∂ 2 u 1 ∂u 1 ∂u x dxdy = − dxdy + x υx ds. ∂x ∂x2 2 ∂x 2 ∂x Ω Ω ∂Ω Tính : ∂ 2 u ∂u I2 = β y dxdy ∂x2 ∂y Ω Ta có: ∂ ∂u ∂u ∂ 2 u ∂u ∂u ∂ 2 u y =y 2 +y , ∂x ∂x ∂y ∂x ∂y ∂x ∂x∂y Do đó: ∂ 2 u ∂u ∂u ∂ 2 u ∂u ∂u y dxdy = − y dxdy + y υx ds, ∂x2 ∂y ∂x ∂x∂y ∂x ∂y Ω Ω ∂Ω Mà 2 2 ∂ ∂u ∂u ∂u ∂ 2 u y = + 2y , ∂y ∂x ∂x ∂x ∂x2 Nên 2 2 ∂u ∂ 2 u 1 ∂u 1 ∂u y dxdy = − dxdy + y υy ds, ∂x ∂x2 2 ∂x 2 ∂x Ω Ω ∂Ω Suy ra: 2 2 β ∂u ∂u ∂u β ∂u ∂u I2 = dxdy + β y υx ds − y υy ds. 2 ∂x ∂x ∂y 2 ∂x ∂y Ω ∂Ω ∂Ω Tính: 2 ∂u ∂ 2 u I3 = xf (x) dxdy ∂x ∂y 2 Ω Ta có: ∂ ∂u ∂u ∂ 2 u ∂u ∂u ∂ 2 u xf 2 (x) = xf 2 (x) + xf 2 (x) , ∂y ∂x ∂y ∂x∂y ∂y ∂x ∂y 2 2 ∂u ∂ 2 u ∂ 2 u ∂u 2 ∂u ∂u xf (x) dxdy = − xf (x) dxdy + xf 2 (x) υy ds, ∂x ∂y 2 ∂x∂y ∂y ∂x ∂y Ω Ω ∂Ω 6
Mà: 2 2 2 ∂ 2 ∂u ∂u 2 ∂u 2 ∂u ∂ 2 u xf (x) = f (x) +2xf (x) f (x) +2xf (x) , ∂x ∂y ∂y ∂y ∂y ∂x∂y Do đó: 2 2 2 ∂u 2 ∂u xf (x) υ1 ds = f (x) dxdy ∂y ∂y ∂Ω Ω 2 ∂u ∂u ∂ 2 u 2 + 2xf (x) f (x) dxdy + 2xf (x) dxdy, ∂y ∂y ∂x∂y Ω Ω Nên 2 2 1 2 ∂u ∂u I3 = f (x) dxdy + xf (x) f (x) dxdy 2 ∂y ∂y Ω Ω 2 2 ∂u ∂u 1 ∂u 2 + f (x) υy ds − xf (x) υx ds. ∂x ∂y 2 ∂y ∂Ω ∂Ω Tính: 2 ∂u ∂ 2 u I4 = β f (x) y dxdy ∂y ∂y 2 Ω Ta có: 2 2 ∂ 2 ∂u ∂u 2 ∂u ∂ 2 u 2 yf (x) = f (x) + 2yf (x) , ∂y ∂y ∂y ∂y ∂y 2 2 2 2 ∂u 2 ∂u ∂u ∂ 2 u 2 ⇒ yf (x) υy ds = f (x) dxdy + 2yf (x) dxdy ∂y ∂y ∂y ∂y 2 ∂Ω Ω Ω Nên ta có: 2 2 β 2 ∂u β 2 ∂u I4 = − f (x) dxdy + yf (x) υy ds. 2 ∂y 2 ∂y Ω ∂Ω 7
Do v y ta có: 2 2 1 ∂u 1 ∂u (1 + β) G (u) dxdy = − dxdy + x υx ds 2 ∂x 2 ∂x Ω Ω ∂Ω 2 2 β ∂u ∂u ∂u β ∂u + dxdy + β y υx ds − y υy ds 2 ∂x ∂x ∂y 2 ∂x Ω ∂Ω ∂Ω 2 2 1 ∂u ∂u ∂u ∂u + f 2 (x) dxdy + xf (x) f (x) dxdy + f 2 (x) υy ds 2 ∂y ∂y ∂x ∂y Ω Ω ∂Ω 2 2 2 1 2 ∂u β 2∂u β 2 ∂u − xf (x) υx ds− f (x) dxdy+ yf (x) υy ds. 2 ∂y 2 ∂y 2 ∂y ∂Ω Ω ∂Ω Mà ta có ∂u ∂u ∂u ∂u = υx , = υy . ∂x ∂υ ∂y ∂υ Nên ta có: 2 β−1 ∂u (1 + β) G (u) dxdy = dxdy+ 2 ∂x Ω Ω 2 (1 − β) 2 ∂u xf (x) f (x)+ f (x) dxdy 2 ∂y Ω 2 1 ∂u + υx + f 2 (x) υy (xυx + βyυy ) ds. 2 2 2 ∂υ ∂Ω Do u(x, y) là nghi m c a bài toán nên ta có: β−1 (1 + β) G (u) − g (u) u dxdy = 2 Ω 2 1 ∂u υx + f 2 (x) υy (xυx + βyυy ) ds 2 2 2 ∂υ ∂Ω 2 2 ∂u + xf (x) f (x) + (1 − β) f (x) dxdy. ∂y Ω Ch n β = k + 1 khi đó áp d ng b đ trên ta có các đ nh lý sau: 8
Đ nh lí 1.1.3. Gi s Ω là Lk - hình sao đ i v i {0}, và th a mãn đi u ki n sau: i. (k + 2) G (u) − k g (u) u < 0, khi u = 0, 2 ii. xf (x) f (x) ≥ kf 2 (x), trong Ω. Khi đó không t n t i nghi m không t m thư ng u ∈ H 2 (Ω) cho bài toán (1.1). Đ nh lí 1.1.4. Gi s Ω là Lk - hình sao đ i v i {0}, và th a mãn đi u ki n sau: i. (k + 2) G (u) − k g (u) u < 0, khi u > 0, 2 ii. xf (x) f (x) ≥ kf 2 (x), trong Ω. Khi đó không t n t i nghi m dương không t m thư ng u ∈ H 2 (Ω) cho bài toán (1.1). Ta xét m t s trư ng h p đ c bi t c a f (x) trong trư ng h p g (u) = λu + |u|γ u. −δ Trư ng h p 1: V i f (x) = e−|x| , δ > 0, khi đó ta có đ nh lý sau: Đ nh lí 1.1.5. Gi s 2 −δ δγ δ f (x) = e−|x| , δ > 0, Ω = (x, y) , x2 + y 2 < , λ ≤ 0, γ > 0. 4+γ Khi đó không t n t i nghi m không t m thư ng u ∈ H 2 (Ω) cho bài toán (1.1). Ch ng minh. Gi s t n t i nghi m không t m thư ng u ∈ H 2 (Ω) khi đó ta có: −δ f (x) = sign(x).|x|−δ−1 δ.e−|x| xf (x) ≥ kf (x) 1 −δ −|x|−δ −δ −|x| δ δ ⇔ δ|x| e ≥ k.e ⇔ |x| ≤ . k Mà ta có: λu2 |u|γ+2 G (u) = + , 2 γ+2 9
4 4+γ Ch n k = γ ⇒ xf (x) ≥ kf (x) trong Ω, khi đó β = γ thay vào ta có: 4 + 2γ λu2 |u|γ+2 2 + − λu2 + |u|γ+2 dxdy = γ 2 γ+2 γ Ω 2 1 ∂u −δ 4+γ υx + e−2|x| υy 2 2 xυx + yυy ds 2 ∂υ γ ∂Ω 2 −δ −2|x|−δ 4 −δ ∂u + xδ|x| e − e−2|x| dxdy γ ∂y Ω 2 1 ∂u −δ 4+γ ⇔ 2 λu dxdy = υx + e−2|x| υy 2 2 xυx + yυy ds 2 ∂υ γ Ω ∂Ω 2 −δ −2|x|−δ 4 −δ ∂u + xδ|x| e − e−2|x| dxdy, γ ∂y Ω Do λ ≤ 0 nên: λu2 dxdy ≤ 0, và Ω 2 1 ∂u −δ 4+γ υx + e−2|x| υy 2 2 xυx + yυy ds 2 ∂υ γ ∂Ω 2 −δ −2|x|−δ 4 −δ ∂u + xδ|x| e − e−2|x| dxdy ≥ 0, γ ∂y Ω Nên phương trình không có nghi m không t m thư ng u ∈ H 2 (Ω). Trư ng h p 2: V i f 2 (x) = |x|2k (1 + ϕ (x)) , trong đó ϕ (x) ∈ C 2 (R), ϕ (x) > −1, xϕ (x) ≥ 0 trong Ω, và k là m t s th c dương. Đ nh lí 1.1.6. Gi s Ω là Lk - hình sao đ i v i {0}, và f 2 (x) = |x|2k (1 + ϕ (x)) , ϕ (x) > −1, xϕ (x) ≥ 0 trong Ω, g (u) = λu + |u|γ u v i λ ≤ 0, γ ≥ k . 4 Khi đó bài toán (1.1) không có nghi m không t m thư ng u ∈ H 2 (Ω) . Ch ng minh. Gi s t n t i nghi m không t m thư ng u ∈ H 2 (Ω), khi đó ta có đ ng th c 10
sau: 2 k 2k ∂u (k + 2) G (u) − g (u) u dxdy = |x| xϕ (x) dxdy 2 ∂y Ω Ω 2 1 ∂u + υx + |x|2k (1 + ϕ (x)) υy (xυx + (k + 1) yυy ) ds. 2 2 2 ∂υ ∂Ω Mà: λu2 |u|γ+2 G (u) = + , 2 γ+2 thay vào ta có: λu2 |u|γ+2 k (k + 2) + − λu2 + |u|γ+2 dxdy = 2 γ+2 2 Ω 2 2k ∂u |x| xϕ (x) dxdy ∂y Ω 2 1 ∂u + υx + |x|2k (1 + ϕ (x)) υy (xυx + (k + 1) yυy ) ds 2 2 2 ∂υ ∂Ω 2 2 2+γ k+2 k 2k ∂u ⇔λ u dxdy + |u| − dxdy = |x| xϕ (x) dxdy γ+2 2 ∂y Ω Ω Ω 2 1 ∂u + υx + |x|2k (1 + ϕ (x)) υy (xυx + (k + 1) yυy ) ds. 2 2 2 ∂υ ∂Ω 4 N uγ> k và λ ≤ 0 khi đó ta có: k+2 k λ u2 dxdy + |u|2+γ − dxdy < 0, γ+2 2 Ω Ω N u u = 0, đi u này d n đ n mâu thu n. 4 N uγ= k và λ = 0 khi đó ta có: 2 1 ∂u υx + |x|2k (1 + ϕ (x)) υy (xυx + (k + 1) yυy ) ds 2 2 2 ∂υ ∂Ω 2 2k ∂u + |x| xϕ (x) dxdy = 0 ∂y Ω 11
  ϕ (x) = 0 ⇔  ∂u = 0. ∂υ ∂Ω Khi đó t đ nh lý duy nh t c a Aronszain – Cordes suy ra u ≡ 0. Khi x = 0 khó khăn có th lo i b nh s d ng u ∈ C 0,α (Ω) . Nh n xét 1. N u {0} ∈ Ω, thì đ nh lý 1.1.6 có th không đúng. Trong trư ng / h p Ω ∩ {−ε < x < ε} = {Φ}, có th ch ng minh đư c đ nh lý v s t n t i nghi m cho b t kỳ g(u) đư c h n ch b i đ tăng c a đa th c nh s d ng đ nh lý nhúng Sobolev. Trong trư ng h p đ c bi t ϕ (x) = 0, các k t qu đã đư c công b trong [3]. 1.2 Đ nh lý nhúng Sobolev cho không gian có tr ng p Đ nh nghĩa 1.2.1. Ta ký hi u S1 (Ω) , 1 ≤ p < +∞ là không gian các hàm ∂u u ∈ Lp (Ω) th a mãn ∂x ∈ Lp (Ω) , f (x) ∂u ∈ Lp (Ω) . ∂y p Chu n trong S1 (Ω) , 1 ≤ p < +∞, đư c đ nh nghĩa như sau:  1 p p p ∂u ∂u u S1 (Ω) =  p |u|p + + f (x) dxdy  . ∂x ∂y Ω 2 V i p = 2 ta có tích vô hư ng trong S1 (Ω) như sau: ∂u ∂v ∂u ∂v (u, v)S1 (Ω) = (u, v)L2 (Ω) + 2 , + f (x) , f (x) . ∂x ∂x L2 (Ω) ∂y ∂y L2 (Ω) p 1 Đ nh nghĩa 1.2.2. S1,0 (Ω) đư c g i là bao đóng c a C0 (Ω) trong không gian p S1 (Ω) . 2 Đ nh nghĩa 1.2.3. Hàm u ∈ S1,0 (Ω) đư c g i là nghi m y u c a bài toán (1.1) n u đ ng th c : ∂u ∂ϕ ∂u ∂ϕ dxdy + f 2 (x) dxdy = g (u) ϕdxdy, ∂x ∂x ∂y ∂y Ω Ω Ω ∞ th a mãn v i m i ϕ ∈ C0 (Ω) . 12
p 2 Đ nh lí 1.2.4. S1 (Ω) là không gian Banach, S1 (Ω) là không gian Hilbert. Ch ng minh. xem [3] Ta xét m t trư ng h p đ c bi t c a f 2 (x) = |x|2k (1 + ϕ (x)) , v i ϕ (x) ∈ C 2 (R), ϕ (x) > −1, xϕ (x) ≥ 0. Ta có các k t qu sau: (k+2)p Đ nh lí 1.2.5. Gi s 1 ≤ p < k + 2. Khi đó S1,0 (Ω) ⊂ L k+2−p −τ (Ω) v i τ là p s dương đ nh . 1 Ch ng minh. Ta ch ng minh v i m i u (x, y) ∈ C0 (Ω), ta có b t đ ng th c sau: u (k+2)p −τ ≤C u S1,0 (Ω) . p (∗) L k+2−p (Ω) Ta ch ng minh (*) đúng v i p = 1, L y s M > 0 đ l n đ Ω ⊂ [−M, M ] × [−M, M ]. Khi đó ta có: x ∂u u (x, y) = (t, y) dt, (x, y) ∈ Ω, ∂t −M Do v y +M ∂u |u (x, y)| ≤ (t, y) dt, (x, y) ∈ Ω. ∂t −M Tương t ta có: +M ∂u |u (x, y)| ≤ (x, t) dt, (x, y) ∈ Ω ∂t −M  +M δ ∂u ⇒ |u (x, y)|δ ≤  (x, t) dt , (x, y) ∈ Ω, δ > 0. ∂t −M 13
Nên ta có:  δ  +M  +M +M +M   ∂u ∂u  |u (x, y)|1+δ dxdy ≤  (x, t) dt  (t, y) dt dxdy   ∂t ∂t   Ω −M −M −M −M +M  +M δ M  +M  ∂u ∂u =  (x, t) dt dx.  (t, y) dt dy ∂t ∂t −M −M −M −M +M +M +M  +M δ ∂u ∂u = (x, y) dxdy.  (x, y) dy  dx. ∂x ∂y −M −M −M −M Áp d ng b t đ ng th c Holder ta có: δ +M +M ∂u ∂y (x, y) dy dx −M −M δ 1−δ δ +M kδ − 1−δ +M +M − 1−δ k ∂u ≤ |x| 1 + ϕ (x) dx |x| 1 + ϕ (x) ∂y (x, y) dy dx , −M −M −M Do v y +M +M  +M 1−δ −δ 1+δ ∂u −kδ 1−δ |u (x, y)| dxdy ≤ (x, y) dxdy. |x| 1−δ 1 + ϕ (x) dx ∂x Ω −M −M −M  +M  +M δ   ∂u  |x|k 1 + ϕ (x)  (x, y) dy  dx .  ∂y  −M −M Ta có ϕ (x) ∈ C 2 (R) , ϕ (x) > −1, nên trên [−M, M ], hàm s 1 + ϕ (x) là liên t c đ u, nên ∃x0 ∈ [−M, M ] đ min 1 + ϕ (x) = 1 + ϕ (x0 ) = C1 > 0, [−M,M ] −δ 1−δ 1 Nên 1 + ϕ (x) < C2 , v i 0 < δ < k+1 , C2 > 0. 1 Do đó v i 0 < δ < k+1 , khi đó tích phân +M −δ −kδ 1−δ |x| 1−δ 1 + ϕ (x) dx −M 14
là h i t . Do v y ta có: δ 1+δ k ∂u ∂u |u (x, y)| dxdy ≤ C |x| 1 + ϕ (x) . ∂y L1 (Ω) ∂x L1 (Ω) Ω Áp d ng b t đ ng th c Young ta có: δ 1 k ∂u 1+δ ∂u 1+δ u L1+δ (Ω) ≤ C |x| 1 + ϕ (x) ∂y L1 (Ω) ∂x L1 (Ω) ∂u ∂u ≤ C |x|k 1 + ϕ (x) + . ∂y L1 (Ω) ∂x L1 (Ω) Đ i v i p b t kỳ l y |u|γ , γ > 1 thay vào công th c trên và áp d ng b t đ ng th c Holder ta có: ∂u ∂u |u|γ L 1+δ (Ω) ≤ C |x|k 1 + ϕ (x)|u|γ−1 + |u|γ−1 ∂y L1 (Ω) ∂x L1 (Ω) ∂u ∂u ≤ C |u|γ−1 |x|k 1 + ϕ (x) + , Lp (Ω) ∂y Lp (Ω) ∂x Lp (Ω) 1 1 trong đó p + p = 1. p Ch n γ = 1−δp+δ ta có:  1  1+δ  1 p (1+δ)p (1+δ)p ∂u ∂u  (|u|) 1−δp+δ dx ≤ C (|u|) 1−δp+δ dx |x|k 1 + ϕ (x) + ∂y Lp (Ω) ∂x Lp (Ω) Ω Ω   1+δ − 1 1 p (1+δ)p ∂u ∂u ⇒ (|u|) 1−δp+δ dx ≤ C |x|k 1 + ϕ (x) + ∂y Lp (Ω) ∂x Lp (Ω) Ω   1−(p−1)δ (1+δ)p (1+δ)p ∂u ∂u ⇒ (|u|) 1−δp+δ dx ≤ C |x|k 1 + ϕ (x) + , ∂y Lp (Ω) ∂x Lp (Ω) Ω hay ∂u ∂u u (1+δ)p ≤C |x|k 1 + ϕ (x) + . L 1−pδ+δ (Ω) ∂y Lp (Ω) ∂x Lp (Ω) 15
1 Cho δ đ g n k+1 . Khi đó ta có đi u ph i ch ng minh. p Ti p theo ta ch ng minh đ ng th c (*) đúng v i u (x, y) ∈ S1,0 (Ω). p 1 p Do S1,0 (Ω) là bao đóng c a C0 (Ω) trong không gian S1 (Ω). Nên t n t i m t dãy {un (x, y)}∞ , un (x, y) ∈ C0 (Ω) mà un (x, y) h i t đ n u (x, y) trong n=0 1 p không gian S1 (Ω) . Nên ta có: un (x, y) h i t đ n u (x, y) trong không gian Lp (Ω) và ta có: un p S1,0 (Ω) → u S1,0 (Ω) , un Lp (Ω) → p u Lp (Ω) , khi n → ∞. (k+2)p M t khác ta có: k+2−p − τ ≥ p, nên : un − u Lp (Ω) ≤ C un − u (k+2)p −τ . L k+2−p (Ω) Mà {un (x, y)}∞ là m t dãy Cauchy trong không gian S1,0 (Ω), nên n=0 p ∀ε > 0, ∃N0 > 0, ∀n > N0 , ∀p > 0 ta có un − un+p p S1,0 (Ω) < ε, theo ch ng minh trên ta có: un − un+p (k+2)p −τ < ε. L k+2−p (Ω) (k+2)p Do v y {un (x, y)}∞ là m t dãy Cauchy trong không gian L k+2−p −τ (Ω). n=0 (k+2)p Nên ta có ∃u1 (x, y) ∈ L k+2−p −τ (Ω) đ un (x, y) h i t đ n u1 (x, y) trong (k+2)p không gian L k+2−p −τ (Ω) suy ra u1 (x, y) ∈ Lp (Ω). Theo b t đ ng th c trên ta có: un − u1 LP (Ω) < C un − u1 (k+2)p −τ . L k+2−p (Ω) Do v y ta có dãy un (x, y) h i t đ n u1 (x, y) trong không gian Lp (Ω). Do gi i h n c a m t dãy là duy nh t nên ta có: un (x, y) h i t đ n u (x, y) (k+2)p trong không gian L k+2−p −τ (Ω), hay un (k+2)p → u (k+2)p , khi n → ∞. −τ −τ L k+2−p (Ω) L k+2−p (Ω) Mà theo ch ng minh trên ta có: un (k+2)p −τ ≤ C un S1,0 (Ω) , p cho n → ∞, L k+2−p (Ω) ta có đi u ph i ch ng minh. (k+2)p p Lưu ý 1. Trong trư ng h p 1 ≤ p < k+2, phép nhúng S1,0 (Ω) ⊂ L k+2−p +τ (Ω) không t n t i v i τ là dương b t kỳ. Đ nh lí 1.2.6. Gi s 1 ≤ p < k + 2. (k+2)p Khi đó ánh x nhúng S1,0 (Ω) ⊂ L k+2−p −τ (Ω) là compact v i m i τ là dương p đ nh . 16
p Đ nh lí 1.2.7. Gi s p > k + 2. Khi đó S1,0 ⊂ C 0 Ω . Đ nh lí 1.2.8. Gi s g(u) th a mãn các đi u ki n sau: 0,α i. g (u) ∈ Cloc (R) , ii. |g (u)| ≤ C(1 + |u|m ) v i 1 < m < k+4 k , iii. g (u) = o (u) khi u → 0, 1 iv. T n t i A sao cho v i |u| ≥ A, G (u) ≤ µg (u) u, trong đó µ ∈ 0, 2 . Khi đó bài toán  ∂2u 2  L (u) = ∂x2 + |x|2k (1 + ϕ (x)) ∂ u + g (u) = 0 trong Ω, ∂y 2  u = 0 trên ∂Ω, luôn có nghi m y u không t m thư ng. Ch ng minh. 2 V i u ∈ S1,0 (Ω) xét hàm sau: 2 2 1 ∂u k ∂u Φ (u) = + |x| (1 + ϕ (x)) dxdy − G (u) dxdy, 2 ∂x ∂y Ω Ω T các đi u ki n c a g(u) ta có Φ (u) th a mãn các đi u ki n (I1 ), (I2 ), (I3 ) trong [1]. Do v y Φ (u) có đi m t i h n không t m thư ng, nên bài toán 2 trên có nghi m y u không t m thư ng thu c không gian S1,0 (Ω). Trong trư ng h p đ c bi t ϕ (x) = 0, các k t qu đã đư c công b trong [3]. 17
Chương 2 Đ nh lý t n t i và không t n t i nghi m c a bài toán biên đ i v i m t s l p toán t n a tuy n tính Elliptic suy bi n 2.1 Toán t Baounedi – Goulaouic Gi s Ω là mi n gi i n i trong R3 v i biên ∂Ω trơn và {0} ∈ Ω . Ta xét bài toán sau:  ∂2u ∂2u 2  L (u) + g (u) = f ∂x2 + ∂y 2 + f 2 (x) ∂ u + g (u) = 0 trong Ω, ∂z 2 (2.1)  u = 0 trên ∂Ω, trong đó g (u) ∈ C (R) , g (0) = 0, f (x) ∈ C 2 (R). u Đ t G (u) = g (t) dt, υ = (υx , υy , υz ) là vector pháp tuy n đơn v ngoài trên 0 ∂Ω. Đ nh nghĩa 2.1.1. Gi s k là m t s th c dương, khi đó mi n Ω đư c g i là Lk - hình sao đ i v i đi m {0}, n u b t đ ng th c xυx + yυy + (k + 1) zυz > 0 th a mãn h u kh p nơi trên ∂Ω. B đ 2.1.2. Gi s u (x, y, z) là nghi m c a bài toán (2.1) thu c không gian H 2 (Ω). Khi đó v i m i β > 0 ta có u (x, y, z) th a mãn đ ng th c : 18