Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp biến phân trong việc tìm nghiệm của phương trình vi phân

Chia sẻ: Quỳnh Quỳnh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:48

0
266
lượt xem
74
download

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp biến phân trong việc tìm nghiệm của phương trình vi phân

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp biến phân trong việc tìm nghiệm của phương trình vi phân nhằm nghiên cứu sự tồn tại nghiệm không tầm thường của các bài toán; chỉ ra được điều kiện tồn tại nghiệm của bài toán nhờ sử dụng phương pháp biến phân. Mời bạn đọc cùng tham khảo.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp biến phân trong việc tìm nghiệm của phương trình vi phân

  1. VI N KHOA H C VÀ CÔNG NGH VI T NAM VI N TOÁN H C DƯƠNG TR NG LUY N PHƯƠNG PHÁP BI N PHÂN TRONG VI C TÌM NGHI M C A PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN LU N VĂN TH C SĨ TOÁN H C HÀ N I - 2011
  2. VI N KHOA H C VÀ CÔNG NGH VI T NAM VI N TOÁN H C DƯƠNG TR NG LUY N PHƯƠNG PHÁP BI N PHÂN TRONG VI C TÌM NGHI M C A PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Chuyên ngành: Toán gi i tích Mã s : 60.46.01 LU N VĂN TH C SĨ TOÁN H C Ngư i hư ng d n khoa h c: PGS.TSKH. Nguy n Minh Trí HÀ N I - 2011
  3. L I GI I THI U Lý thuy t phương trình vi phân đ o hàm riêng đư c nghiên c u đ u tiên trong các công trình c a J.D’Alembert (1717 - 1783), L.Euler (1707 - 1783), D.Bernoulli (1700 - 1782), J.Lagrange (1736 - 1813), P.Laplace (1749 - 1827), S.Poisson (1781 - 1840) và J.Fourier (1768 - 1830), như là m t công c chính đ mô t cơ h c cũng như mô hình gi i tích c a v t lý. Vào gi a th k XIX v i s xu t hi n các công trình c a Riemann, lý thuy t phương trình vi phân đ o hàm riêng đã ch ng t là m t công c thi t y u c a nhi u ngành toán h c. Cu i th k XIX, H.Poincaré đã ch ra m i quan h bi n ch ng gi a lý thuy t phương trình vi phân đ o hàm riêng và các ngành toán h c khác. Sang th k XX, lý thuy t phương trình vi phân đ o hàm riêng phát tri n vô cùng m nh m nh có công c gi i tích hàm, đ c bi t là t khi xu t hi n lý thuy t hàm suy r ng do S.L. Sobolev và L.Schwartz xây d ng. Khi xét m t bài toán phương trình đ o hàm riêng (có th đó là m t bài toán biên, bài toán đi u ki n ban đ u, bài toán đi u ki n h n h p, ...) ta thư ng g p nh ng khó khăn khác nhau v nghi m c a nó nhưng nhìn chung các v n đ đ t ra đ i v i nghi m c a m t bài toán là: - S t n t i nghi m c a bài toán. - Tính duy nh t nghi m. - Tính trơn c a nghi m. M c đích c a lu n văn nghiên c u s t n t i nghi m không t m thư ng c a bài toán d ng:   L (u) + g (u) = ∆ u + f 2 (x) ∆ u + h2 (x) ∆ u + g (u) = 0 trong Ω, f,h x y z (2.3)  u = 0 trên ∂Ω,
  4. trong đó Ω là mi n gi i n i v i biên ∂Ω trơn trong Rn1 × Rn2 × Rn3 , v i n1 ≥ 1, n2 ≥ 1, n3 ≥ 1, và {0} ∈ Ω, g (u) ∈ C (R) , g (0) = 0, f (x) = f (x1 , ..., xn1 ) ∈ C 2 (Rn1 ) , h (x) = h (x1 , ..., xn1 ) ∈ C 2 (Rn1 ) , x = (x1 , .., xn1 ) , y = (y1 , ..., yn2 ) , z = (z1 , ..., zn3 ) , u (x, y, z) = u (x1 , .., xn1 , y1 , ..., yn2 , z1 , ..., zn3 ) , n1 n2 n3 ∂2 ∂2 ∂2 ∆x = , ∆y = 2 , ∆z = 2. j=1 ∂x2 j j=1 ∂yj j=1 ∂yj Lu n văn bao g m 2 chương chính sau đây: Chương 1 . Nghiên c u s t n t i nghi m không t m thư ng c a bài toán:  ∂2u 2  L (u) + g (u) = f ∂x2 + f 2 (x) ∂ u + g (u) = 0 trong Ω, ∂y 2 (1.1)  u = 0 trên ∂Ω, trong đó g (u) ∈ C (R) , g (0) = 0, f (x) ∈ C 2 (R), Ω là mi n gi i n i trong R2 v i biên ∂Ω trơn và {0} ∈ Ω. K t qu đ t đư c: Ch ra m t s trư ng h p đ c bi t c a hàm f (x), g(u) và mi n Ω mà bài toán (1.1) không có nghi m không t m thư ng, đ ng th i cũng ch ra s t n t i nghi m y u c a bài toán trên nh s d ng phương pháp bi n phân. Chương 2. M c đích chính c a chương là xét bài toán t ng quát:   L (u) + g (u) = ∆ u + f 2 (x) ∆ u + h2 (x) ∆ u + g (u) = 0 trong Ω, f,h x y z (2.3)  u = 0 trên ∂Ω, trong đó Ω là mi n gi i n i v i biên ∂Ω trơn trong Rn1 × Rn2 × Rn3 , v i n1 ≥ 1, n2 ≥ 1, n3 ≥ 1, và {0} ∈ Ω, g (u) ∈ C (R) , g (0) = 0, f (x) = f (x1 , ..., xn1 ) ∈ C 2 (Rn1 ) , h (x) = h (x1 , ..., xn1 ) ∈ C 2 (Rn1 ) , x = (x1 , .., xn1 ) , y = (y1 , ..., yn2 ) , z = (z1 , ..., zn3 ) , 2
  5. u (x, y, z) = u (x1 , .., xn1 , y1 , ..., yn2 , z1 , ..., zn3 ) , n1 n2 n3 ∂2 ∂2 ∂2 ∆x = , ∆y = 2 , ∆z = 2. j=1 ∂x2 j j=1 ∂yj j=1 ∂yj K t qu đ t đư c: Ch ra đư c m t s trư ng h p đ c bi t c a n1 , n2 , n3 , f (x), h(x) và g(u) v i các đi u ki n nh t đ nh thì phương trình không có nghi m không t m thư ng, đ ng th i cũng ch ra đư c đi u ki n t n t i nghi m c a bài toán trên nh s d ng phương pháp bi n phân. Lu n văn này đư c hoàn thành v i s ch b o nhi t tình và chu đáo c a PGS.TSKH. Nguy n Minh Trí. Tôi xin bày t lòng bi t ơn vô cùng sâu s c đ n Th y, ngư i Th y đã t ng bư c hư ng d n và ch đư ng cho tôi t ng bư c làm quen v i vi c nghiên c u toán h c, trong đó có chuyên ngành Phương trình vi phân Đ o hàm riêng đ t đó n m v ng lý thuy t và t gi i đư c các bài toán c a mình. Tôi xin bày t lòng c m ơn chân thành đ n các Th y giáo, Cô giáo c a Vi n Toán h c, phòng Phương trình vi phân đã đ ng viên khuy n khích, chia s kinh nghi m và hư ng d n tôi trong su t quá trình h c t p v a qua. Xin g i t i các đ ng nghi p c a Khoa T Nhiên, Trư ng Đ i h c Hoa Lư nh ng l i c m ơn chân thành vì đã đ ng viên, t o đi u ki n cho tôi trong su t quá trình h c t p và hoàn thành lu n văn. M c dù đã r t c g ng nhưng lu n văn cũng không tránh kh i nh ng thi u sót, tôi r t mong s đóng góp quý báu c a th y cô và đ ng nghi p. Hà N i, tháng 8 năm 2011 H c viên th c hi n Dương Tr ng Luy n 3
  6. Chương 1 Đ ng nh t th c Pohozaev và đ nh lý nhúng cho không gian Sobolev có tr ng liên h p v i toán t Elliptic suy bi n 1.1 Đ ng nh t th c Pohozaev Gi s Ω là mi n gi i n i trong R2 v i biên ∂Ω trơn và {0} ∈ Ω. Ta xét bài toán sau:  ∂2u 2  L (u) + g (u) = f ∂x2 + f 2 (x) ∂ u + g (u) = 0 trong Ω, ∂y 2 (1.1)  u = 0 trên ∂Ω, trong đó g (u) ∈ C (R) , g (0) = 0, f (x) ∈ C 2 (R). u Đ t G (u) = g (t) dt và υ = (υx , υy ) là vector pháp tuy n đơn v ngoài trên 0 ∂Ω. Đ nh nghĩa 1.1.1. Gi s k là m t s th c dương, khi đó mi n Ω đư c g i là Lk - hình sao đ i v i đi m {0}, n u b t đ ng th c xυx + (k + 1) yυy > 0 th a mãn h u kh p nơi trên ∂Ω. Ví d 1. Hình tròn B1 = (x, y) , x2 + y 2 < 1 là Lk - hình sao đ i v i m i k dương. B đ 1.1.2. (Đ ng nh t th c Pohozaev). Gi s u(x, y) là nghi m c a bài toán (1.1) thu c không gian H 2 (Ω). Khi đó v i m i β > 0 ta có u(x, y) th a mãn đ ng th c:
  7. β−1 (1 + β) G (u) − g (u) u dxdy = 2 Ω 2 1 ∂u υx + f 2 (x) υy (xυx + βyυy ) ds 2 2 2 ∂υ ∂Ω 2 2 ∂u + xf (x) f (x) + (1 − β) f (x) dxdy. ∂y Ω Ch ng minh. Do Ω là mi n trơn và b ch n nên theo đ nh lý nhúng Sobolev ta có H 2 (Ω) ⊂ C 0,α (Ω) , 0 < α < 1 mà: ∂ ∂u (xG (u)) = G (u) + xg (u) , ∂x ∂x ∂ ∂u (yG (u)) = G (u) + yg (u) . ∂y ∂y Theo công th c Gauss – Green ta có: ∂u G (u) dxdy = − xg (u) dxdy, ∂x Ω Ω ∂u β G (u) dxdy = −β yg (u) dxdy. ∂y Ω Ω Mà u(x, y) là nghi m c a bài toán (1.1), nên ta có: ∂u ∂u (β + 1) G (u) dX = − x + βy g (u) dxdy ∂x ∂y Ω Ω ∂u ∂u ∂ 2u 2 ∂ 2u = x + βy + f (x) 2 dxdy. ∂x ∂y ∂x2 ∂y Ω Ta tính: ∂u ∂ 2 u I1 = x dxdy ∂x ∂x2 Ω 2 2 ∂ ∂u ∂u ∂u ∂ 2 u x = + 2x , ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x2 5
  8. Theo công th c Gauss – Ostrogradskii ta có: 2 2 ∂u ∂ 2 u 1 ∂u 1 ∂u x dxdy = − dxdy + x υx ds. ∂x ∂x2 2 ∂x 2 ∂x Ω Ω ∂Ω Tính : ∂ 2 u ∂u I2 = β y dxdy ∂x2 ∂y Ω Ta có: ∂ ∂u ∂u ∂ 2 u ∂u ∂u ∂ 2 u y =y 2 +y , ∂x ∂x ∂y ∂x ∂y ∂x ∂x∂y Do đó: ∂ 2 u ∂u ∂u ∂ 2 u ∂u ∂u y dxdy = − y dxdy + y υx ds, ∂x2 ∂y ∂x ∂x∂y ∂x ∂y Ω Ω ∂Ω Mà 2 2 ∂ ∂u ∂u ∂u ∂ 2 u y = + 2y , ∂y ∂x ∂x ∂x ∂x2 Nên 2 2 ∂u ∂ 2 u 1 ∂u 1 ∂u y dxdy = − dxdy + y υy ds, ∂x ∂x2 2 ∂x 2 ∂x Ω Ω ∂Ω Suy ra: 2 2 β ∂u ∂u ∂u β ∂u ∂u I2 = dxdy + β y υx ds − y υy ds. 2 ∂x ∂x ∂y 2 ∂x ∂y Ω ∂Ω ∂Ω Tính: 2 ∂u ∂ 2 u I3 = xf (x) dxdy ∂x ∂y 2 Ω Ta có: ∂ ∂u ∂u ∂ 2 u ∂u ∂u ∂ 2 u xf 2 (x) = xf 2 (x) + xf 2 (x) , ∂y ∂x ∂y ∂x∂y ∂y ∂x ∂y 2 2 ∂u ∂ 2 u ∂ 2 u ∂u 2 ∂u ∂u xf (x) dxdy = − xf (x) dxdy + xf 2 (x) υy ds, ∂x ∂y 2 ∂x∂y ∂y ∂x ∂y Ω Ω ∂Ω 6
  9. Mà: 2 2 2 ∂ 2 ∂u ∂u 2 ∂u 2 ∂u ∂ 2 u xf (x) = f (x) +2xf (x) f (x) +2xf (x) , ∂x ∂y ∂y ∂y ∂y ∂x∂y Do đó: 2 2 2 ∂u 2 ∂u xf (x) υ1 ds = f (x) dxdy ∂y ∂y ∂Ω Ω 2 ∂u ∂u ∂ 2 u 2 + 2xf (x) f (x) dxdy + 2xf (x) dxdy, ∂y ∂y ∂x∂y Ω Ω Nên 2 2 1 2 ∂u ∂u I3 = f (x) dxdy + xf (x) f (x) dxdy 2 ∂y ∂y Ω Ω 2 2 ∂u ∂u 1 ∂u 2 + f (x) υy ds − xf (x) υx ds. ∂x ∂y 2 ∂y ∂Ω ∂Ω Tính: 2 ∂u ∂ 2 u I4 = β f (x) y dxdy ∂y ∂y 2 Ω Ta có: 2 2 ∂ 2 ∂u ∂u 2 ∂u ∂ 2 u 2 yf (x) = f (x) + 2yf (x) , ∂y ∂y ∂y ∂y ∂y 2 2 2 2 ∂u 2 ∂u ∂u ∂ 2 u 2 ⇒ yf (x) υy ds = f (x) dxdy + 2yf (x) dxdy ∂y ∂y ∂y ∂y 2 ∂Ω Ω Ω Nên ta có: 2 2 β 2 ∂u β 2 ∂u I4 = − f (x) dxdy + yf (x) υy ds. 2 ∂y 2 ∂y Ω ∂Ω 7
  10. Do v y ta có: 2 2 1 ∂u 1 ∂u (1 + β) G (u) dxdy = − dxdy + x υx ds 2 ∂x 2 ∂x Ω Ω ∂Ω 2 2 β ∂u ∂u ∂u β ∂u + dxdy + β y υx ds − y υy ds 2 ∂x ∂x ∂y 2 ∂x Ω ∂Ω ∂Ω 2 2 1 ∂u ∂u ∂u ∂u + f 2 (x) dxdy + xf (x) f (x) dxdy + f 2 (x) υy ds 2 ∂y ∂y ∂x ∂y Ω Ω ∂Ω 2 2 2 1 2 ∂u β 2∂u β 2 ∂u − xf (x) υx ds− f (x) dxdy+ yf (x) υy ds. 2 ∂y 2 ∂y 2 ∂y ∂Ω Ω ∂Ω Mà ta có ∂u ∂u ∂u ∂u = υx , = υy . ∂x ∂υ ∂y ∂υ Nên ta có: 2 β−1 ∂u (1 + β) G (u) dxdy = dxdy+ 2 ∂x Ω Ω 2 (1 − β) 2 ∂u xf (x) f (x)+ f (x) dxdy 2 ∂y Ω 2 1 ∂u + υx + f 2 (x) υy (xυx + βyυy ) ds. 2 2 2 ∂υ ∂Ω Do u(x, y) là nghi m c a bài toán nên ta có: β−1 (1 + β) G (u) − g (u) u dxdy = 2 Ω 2 1 ∂u υx + f 2 (x) υy (xυx + βyυy ) ds 2 2 2 ∂υ ∂Ω 2 2 ∂u + xf (x) f (x) + (1 − β) f (x) dxdy. ∂y Ω Ch n β = k + 1 khi đó áp d ng b đ trên ta có các đ nh lý sau: 8
  11. Đ nh lí 1.1.3. Gi s Ω là Lk - hình sao đ i v i {0}, và th a mãn đi u ki n sau: i. (k + 2) G (u) − k g (u) u < 0, khi u = 0, 2 ii. xf (x) f (x) ≥ kf 2 (x), trong Ω. Khi đó không t n t i nghi m không t m thư ng u ∈ H 2 (Ω) cho bài toán (1.1). Đ nh lí 1.1.4. Gi s Ω là Lk - hình sao đ i v i {0}, và th a mãn đi u ki n sau: i. (k + 2) G (u) − k g (u) u < 0, khi u > 0, 2 ii. xf (x) f (x) ≥ kf 2 (x), trong Ω. Khi đó không t n t i nghi m dương không t m thư ng u ∈ H 2 (Ω) cho bài toán (1.1). Ta xét m t s trư ng h p đ c bi t c a f (x) trong trư ng h p g (u) = λu + |u|γ u. −δ Trư ng h p 1: V i f (x) = e−|x| , δ > 0, khi đó ta có đ nh lý sau: Đ nh lí 1.1.5. Gi s 2 −δ δγ δ f (x) = e−|x| , δ > 0, Ω = (x, y) , x2 + y 2 < , λ ≤ 0, γ > 0. 4+γ Khi đó không t n t i nghi m không t m thư ng u ∈ H 2 (Ω) cho bài toán (1.1). Ch ng minh. Gi s t n t i nghi m không t m thư ng u ∈ H 2 (Ω) khi đó ta có: −δ f (x) = sign(x).|x|−δ−1 δ.e−|x| xf (x) ≥ kf (x) 1 −δ −|x|−δ −δ −|x| δ δ ⇔ δ|x| e ≥ k.e ⇔ |x| ≤ . k Mà ta có: λu2 |u|γ+2 G (u) = + , 2 γ+2 9
  12. 4 4+γ Ch n k = γ ⇒ xf (x) ≥ kf (x) trong Ω, khi đó β = γ thay vào ta có: 4 + 2γ λu2 |u|γ+2 2 + − λu2 + |u|γ+2 dxdy = γ 2 γ+2 γ Ω 2 1 ∂u −δ 4+γ υx + e−2|x| υy 2 2 xυx + yυy ds 2 ∂υ γ ∂Ω 2 −δ −2|x|−δ 4 −δ ∂u + xδ|x| e − e−2|x| dxdy γ ∂y Ω 2 1 ∂u −δ 4+γ ⇔ 2 λu dxdy = υx + e−2|x| υy 2 2 xυx + yυy ds 2 ∂υ γ Ω ∂Ω 2 −δ −2|x|−δ 4 −δ ∂u + xδ|x| e − e−2|x| dxdy, γ ∂y Ω Do λ ≤ 0 nên: λu2 dxdy ≤ 0, và Ω 2 1 ∂u −δ 4+γ υx + e−2|x| υy 2 2 xυx + yυy ds 2 ∂υ γ ∂Ω 2 −δ −2|x|−δ 4 −δ ∂u + xδ|x| e − e−2|x| dxdy ≥ 0, γ ∂y Ω Nên phương trình không có nghi m không t m thư ng u ∈ H 2 (Ω). Trư ng h p 2: V i f 2 (x) = |x|2k (1 + ϕ (x)) , trong đó ϕ (x) ∈ C 2 (R), ϕ (x) > −1, xϕ (x) ≥ 0 trong Ω, và k là m t s th c dương. Đ nh lí 1.1.6. Gi s Ω là Lk - hình sao đ i v i {0}, và f 2 (x) = |x|2k (1 + ϕ (x)) , ϕ (x) > −1, xϕ (x) ≥ 0 trong Ω, g (u) = λu + |u|γ u v i λ ≤ 0, γ ≥ k . 4 Khi đó bài toán (1.1) không có nghi m không t m thư ng u ∈ H 2 (Ω) . Ch ng minh. Gi s t n t i nghi m không t m thư ng u ∈ H 2 (Ω), khi đó ta có đ ng th c 10
  13. sau: 2 k 2k ∂u (k + 2) G (u) − g (u) u dxdy = |x| xϕ (x) dxdy 2 ∂y Ω Ω 2 1 ∂u + υx + |x|2k (1 + ϕ (x)) υy (xυx + (k + 1) yυy ) ds. 2 2 2 ∂υ ∂Ω Mà: λu2 |u|γ+2 G (u) = + , 2 γ+2 thay vào ta có: λu2 |u|γ+2 k (k + 2) + − λu2 + |u|γ+2 dxdy = 2 γ+2 2 Ω 2 2k ∂u |x| xϕ (x) dxdy ∂y Ω 2 1 ∂u + υx + |x|2k (1 + ϕ (x)) υy (xυx + (k + 1) yυy ) ds 2 2 2 ∂υ ∂Ω 2 2 2+γ k+2 k 2k ∂u ⇔λ u dxdy + |u| − dxdy = |x| xϕ (x) dxdy γ+2 2 ∂y Ω Ω Ω 2 1 ∂u + υx + |x|2k (1 + ϕ (x)) υy (xυx + (k + 1) yυy ) ds. 2 2 2 ∂υ ∂Ω 4 N uγ> k và λ ≤ 0 khi đó ta có: k+2 k λ u2 dxdy + |u|2+γ − dxdy < 0, γ+2 2 Ω Ω N u u = 0, đi u này d n đ n mâu thu n. 4 N uγ= k và λ = 0 khi đó ta có: 2 1 ∂u υx + |x|2k (1 + ϕ (x)) υy (xυx + (k + 1) yυy ) ds 2 2 2 ∂υ ∂Ω 2 2k ∂u + |x| xϕ (x) dxdy = 0 ∂y Ω 11
  14.   ϕ (x) = 0 ⇔  ∂u = 0. ∂υ ∂Ω Khi đó t đ nh lý duy nh t c a Aronszain – Cordes suy ra u ≡ 0. Khi x = 0 khó khăn có th lo i b nh s d ng u ∈ C 0,α (Ω) . Nh n xét 1. N u {0} ∈ Ω, thì đ nh lý 1.1.6 có th không đúng. Trong trư ng / h p Ω ∩ {−ε < x < ε} = {Φ}, có th ch ng minh đư c đ nh lý v s t n t i nghi m cho b t kỳ g(u) đư c h n ch b i đ tăng c a đa th c nh s d ng đ nh lý nhúng Sobolev. Trong trư ng h p đ c bi t ϕ (x) = 0, các k t qu đã đư c công b trong [3]. 1.2 Đ nh lý nhúng Sobolev cho không gian có tr ng p Đ nh nghĩa 1.2.1. Ta ký hi u S1 (Ω) , 1 ≤ p < +∞ là không gian các hàm ∂u u ∈ Lp (Ω) th a mãn ∂x ∈ Lp (Ω) , f (x) ∂u ∈ Lp (Ω) . ∂y p Chu n trong S1 (Ω) , 1 ≤ p < +∞, đư c đ nh nghĩa như sau:  1 p p p ∂u ∂u u S1 (Ω) =  p |u|p + + f (x) dxdy  . ∂x ∂y Ω 2 V i p = 2 ta có tích vô hư ng trong S1 (Ω) như sau: ∂u ∂v ∂u ∂v (u, v)S1 (Ω) = (u, v)L2 (Ω) + 2 , + f (x) , f (x) . ∂x ∂x L2 (Ω) ∂y ∂y L2 (Ω) p 1 Đ nh nghĩa 1.2.2. S1,0 (Ω) đư c g i là bao đóng c a C0 (Ω) trong không gian p S1 (Ω) . 2 Đ nh nghĩa 1.2.3. Hàm u ∈ S1,0 (Ω) đư c g i là nghi m y u c a bài toán (1.1) n u đ ng th c : ∂u ∂ϕ ∂u ∂ϕ dxdy + f 2 (x) dxdy = g (u) ϕdxdy, ∂x ∂x ∂y ∂y Ω Ω Ω ∞ th a mãn v i m i ϕ ∈ C0 (Ω) . 12
  15. p 2 Đ nh lí 1.2.4. S1 (Ω) là không gian Banach, S1 (Ω) là không gian Hilbert. Ch ng minh. xem [3] Ta xét m t trư ng h p đ c bi t c a f 2 (x) = |x|2k (1 + ϕ (x)) , v i ϕ (x) ∈ C 2 (R), ϕ (x) > −1, xϕ (x) ≥ 0. Ta có các k t qu sau: (k+2)p Đ nh lí 1.2.5. Gi s 1 ≤ p < k + 2. Khi đó S1,0 (Ω) ⊂ L k+2−p −τ (Ω) v i τ là p s dương đ nh . 1 Ch ng minh. Ta ch ng minh v i m i u (x, y) ∈ C0 (Ω), ta có b t đ ng th c sau: u (k+2)p −τ ≤C u S1,0 (Ω) . p (∗) L k+2−p (Ω) Ta ch ng minh (*) đúng v i p = 1, L y s M > 0 đ l n đ Ω ⊂ [−M, M ] × [−M, M ]. Khi đó ta có: x ∂u u (x, y) = (t, y) dt, (x, y) ∈ Ω, ∂t −M Do v y +M ∂u |u (x, y)| ≤ (t, y) dt, (x, y) ∈ Ω. ∂t −M Tương t ta có: +M ∂u |u (x, y)| ≤ (x, t) dt, (x, y) ∈ Ω ∂t −M  +M δ ∂u ⇒ |u (x, y)|δ ≤  (x, t) dt , (x, y) ∈ Ω, δ > 0. ∂t −M 13
  16. Nên ta có:  δ  +M  +M +M +M   ∂u ∂u  |u (x, y)|1+δ dxdy ≤  (x, t) dt  (t, y) dt dxdy   ∂t ∂t   Ω −M −M −M −M +M  +M δ M  +M  ∂u ∂u =  (x, t) dt dx.  (t, y) dt dy ∂t ∂t −M −M −M −M +M +M +M  +M δ ∂u ∂u = (x, y) dxdy.  (x, y) dy  dx. ∂x ∂y −M −M −M −M Áp d ng b t đ ng th c Holder ta có: δ +M +M ∂u ∂y (x, y) dy dx −M −M δ 1−δ δ +M kδ − 1−δ +M +M − 1−δ k ∂u ≤ |x| 1 + ϕ (x) dx |x| 1 + ϕ (x) ∂y (x, y) dy dx , −M −M −M Do v y +M +M  +M 1−δ −δ 1+δ ∂u −kδ 1−δ |u (x, y)| dxdy ≤ (x, y) dxdy. |x| 1−δ 1 + ϕ (x) dx ∂x Ω −M −M −M  +M  +M δ   ∂u  |x|k 1 + ϕ (x)  (x, y) dy  dx .  ∂y  −M −M Ta có ϕ (x) ∈ C 2 (R) , ϕ (x) > −1, nên trên [−M, M ], hàm s 1 + ϕ (x) là liên t c đ u, nên ∃x0 ∈ [−M, M ] đ min 1 + ϕ (x) = 1 + ϕ (x0 ) = C1 > 0, [−M,M ] −δ 1−δ 1 Nên 1 + ϕ (x) < C2 , v i 0 < δ < k+1 , C2 > 0. 1 Do đó v i 0 < δ < k+1 , khi đó tích phân +M −δ −kδ 1−δ |x| 1−δ 1 + ϕ (x) dx −M 14
  17. là h i t . Do v y ta có: δ 1+δ k ∂u ∂u |u (x, y)| dxdy ≤ C |x| 1 + ϕ (x) . ∂y L1 (Ω) ∂x L1 (Ω) Ω Áp d ng b t đ ng th c Young ta có: δ 1 k ∂u 1+δ ∂u 1+δ u L1+δ (Ω) ≤ C |x| 1 + ϕ (x) ∂y L1 (Ω) ∂x L1 (Ω) ∂u ∂u ≤ C |x|k 1 + ϕ (x) + . ∂y L1 (Ω) ∂x L1 (Ω) Đ i v i p b t kỳ l y |u|γ , γ > 1 thay vào công th c trên và áp d ng b t đ ng th c Holder ta có: ∂u ∂u |u|γ L 1+δ (Ω) ≤ C |x|k 1 + ϕ (x)|u|γ−1 + |u|γ−1 ∂y L1 (Ω) ∂x L1 (Ω) ∂u ∂u ≤ C |u|γ−1 |x|k 1 + ϕ (x) + , Lp (Ω) ∂y Lp (Ω) ∂x Lp (Ω) 1 1 trong đó p + p = 1. p Ch n γ = 1−δp+δ ta có:  1  1+δ  1 p (1+δ)p (1+δ)p ∂u ∂u  (|u|) 1−δp+δ dx ≤ C (|u|) 1−δp+δ dx |x|k 1 + ϕ (x) + ∂y Lp (Ω) ∂x Lp (Ω) Ω Ω   1+δ − 1 1 p (1+δ)p ∂u ∂u ⇒ (|u|) 1−δp+δ dx ≤ C |x|k 1 + ϕ (x) + ∂y Lp (Ω) ∂x Lp (Ω) Ω   1−(p−1)δ (1+δ)p (1+δ)p ∂u ∂u ⇒ (|u|) 1−δp+δ dx ≤ C |x|k 1 + ϕ (x) + , ∂y Lp (Ω) ∂x Lp (Ω) Ω hay ∂u ∂u u (1+δ)p ≤C |x|k 1 + ϕ (x) + . L 1−pδ+δ (Ω) ∂y Lp (Ω) ∂x Lp (Ω) 15
  18. 1 Cho δ đ g n k+1 . Khi đó ta có đi u ph i ch ng minh. p Ti p theo ta ch ng minh đ ng th c (*) đúng v i u (x, y) ∈ S1,0 (Ω). p 1 p Do S1,0 (Ω) là bao đóng c a C0 (Ω) trong không gian S1 (Ω). Nên t n t i m t dãy {un (x, y)}∞ , un (x, y) ∈ C0 (Ω) mà un (x, y) h i t đ n u (x, y) trong n=0 1 p không gian S1 (Ω) . Nên ta có: un (x, y) h i t đ n u (x, y) trong không gian Lp (Ω) và ta có: un p S1,0 (Ω) → u S1,0 (Ω) , un Lp (Ω) → p u Lp (Ω) , khi n → ∞. (k+2)p M t khác ta có: k+2−p − τ ≥ p, nên : un − u Lp (Ω) ≤ C un − u (k+2)p −τ . L k+2−p (Ω) Mà {un (x, y)}∞ là m t dãy Cauchy trong không gian S1,0 (Ω), nên n=0 p ∀ε > 0, ∃N0 > 0, ∀n > N0 , ∀p > 0 ta có un − un+p p S1,0 (Ω) < ε, theo ch ng minh trên ta có: un − un+p (k+2)p −τ < ε. L k+2−p (Ω) (k+2)p Do v y {un (x, y)}∞ là m t dãy Cauchy trong không gian L k+2−p −τ (Ω). n=0 (k+2)p Nên ta có ∃u1 (x, y) ∈ L k+2−p −τ (Ω) đ un (x, y) h i t đ n u1 (x, y) trong (k+2)p không gian L k+2−p −τ (Ω) suy ra u1 (x, y) ∈ Lp (Ω). Theo b t đ ng th c trên ta có: un − u1 LP (Ω) < C un − u1 (k+2)p −τ . L k+2−p (Ω) Do v y ta có dãy un (x, y) h i t đ n u1 (x, y) trong không gian Lp (Ω). Do gi i h n c a m t dãy là duy nh t nên ta có: un (x, y) h i t đ n u (x, y) (k+2)p trong không gian L k+2−p −τ (Ω), hay un (k+2)p → u (k+2)p , khi n → ∞. −τ −τ L k+2−p (Ω) L k+2−p (Ω) Mà theo ch ng minh trên ta có: un (k+2)p −τ ≤ C un S1,0 (Ω) , p cho n → ∞, L k+2−p (Ω) ta có đi u ph i ch ng minh. (k+2)p p Lưu ý 1. Trong trư ng h p 1 ≤ p < k+2, phép nhúng S1,0 (Ω) ⊂ L k+2−p +τ (Ω) không t n t i v i τ là dương b t kỳ. Đ nh lí 1.2.6. Gi s 1 ≤ p < k + 2. (k+2)p Khi đó ánh x nhúng S1,0 (Ω) ⊂ L k+2−p −τ (Ω) là compact v i m i τ là dương p đ nh . 16
  19. p Đ nh lí 1.2.7. Gi s p > k + 2. Khi đó S1,0 ⊂ C 0 Ω . Đ nh lí 1.2.8. Gi s g(u) th a mãn các đi u ki n sau: 0,α i. g (u) ∈ Cloc (R) , ii. |g (u)| ≤ C(1 + |u|m ) v i 1 < m < k+4 k , iii. g (u) = o (u) khi u → 0, 1 iv. T n t i A sao cho v i |u| ≥ A, G (u) ≤ µg (u) u, trong đó µ ∈ 0, 2 . Khi đó bài toán  ∂2u 2  L (u) = ∂x2 + |x|2k (1 + ϕ (x)) ∂ u + g (u) = 0 trong Ω, ∂y 2  u = 0 trên ∂Ω, luôn có nghi m y u không t m thư ng. Ch ng minh. 2 V i u ∈ S1,0 (Ω) xét hàm sau: 2 2 1 ∂u k ∂u Φ (u) = + |x| (1 + ϕ (x)) dxdy − G (u) dxdy, 2 ∂x ∂y Ω Ω T các đi u ki n c a g(u) ta có Φ (u) th a mãn các đi u ki n (I1 ), (I2 ), (I3 ) trong [1]. Do v y Φ (u) có đi m t i h n không t m thư ng, nên bài toán 2 trên có nghi m y u không t m thư ng thu c không gian S1,0 (Ω). Trong trư ng h p đ c bi t ϕ (x) = 0, các k t qu đã đư c công b trong [3]. 17
  20. Chương 2 Đ nh lý t n t i và không t n t i nghi m c a bài toán biên đ i v i m t s l p toán t n a tuy n tính Elliptic suy bi n 2.1 Toán t Baounedi – Goulaouic Gi s Ω là mi n gi i n i trong R3 v i biên ∂Ω trơn và {0} ∈ Ω . Ta xét bài toán sau:  ∂2u ∂2u 2  L (u) + g (u) = f ∂x2 + ∂y 2 + f 2 (x) ∂ u + g (u) = 0 trong Ω, ∂z 2 (2.1)  u = 0 trên ∂Ω, trong đó g (u) ∈ C (R) , g (0) = 0, f (x) ∈ C 2 (R). u Đ t G (u) = g (t) dt, υ = (υx , υy , υz ) là vector pháp tuy n đơn v ngoài trên 0 ∂Ω. Đ nh nghĩa 2.1.1. Gi s k là m t s th c dương, khi đó mi n Ω đư c g i là Lk - hình sao đ i v i đi m {0}, n u b t đ ng th c xυx + yυy + (k + 1) zυz > 0 th a mãn h u kh p nơi trên ∂Ω. B đ 2.1.2. Gi s u (x, y, z) là nghi m c a bài toán (2.1) thu c không gian H 2 (Ω). Khi đó v i m i β > 0 ta có u (x, y, z) th a mãn đ ng th c : 18

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản