Tóm tắt Luận văn Thạc sĩ Toán học: Cơ sở Wavelet trong không gian L2 (R)

Chia sẻ: Nguyen Hong Thang | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:45

Thêm vào BST

Báo xấu

230
lượt xem 27
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Cơ sở Wavelet trong không gian L2 (R) gồm 2 chương, trình bày về cơ sở trực chuẩn trong không gian L2 (R) và một số phương pháp xây dựng cơ sở sóng nhỏ trong không gian L2 (R) như xây dựng phép chiếu trơn và dùng các hàm sin và cosin. Mời bạn đọc cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt Luận văn Thạc sĩ Toán học: Cơ sở Wavelet trong không gian L2 (R)

Đ I H C THÁI NGUYÊN TRƯ NG Đ I H C KHOA H C LƯƠNG DUY TI U CƠ S WAVELET TRONG KHÔNG GIAN L2(R) LU N VĂN TH C SĨ TOÁN H C Chuyên ngành: TOÁN NG D NG MÃ S : 60.46.36 Ngư i hư ng d n khoa h c: PGS.TS. Hà Ti n Ngo n Thái Nguyên, tháng 8 năm 2011 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Công trình đư c hoàn thành t i Trư ng Đ i h c Khoa H c-Đ i h c Thái Nguyên Ngư i hư ng d n khoa h c: PGS.TS. Hà Ti n Ngo n Ph n bi n 1: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................... Ph n bi n 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................... Lu n văn s đư c b o v trư c h i đ ng ch m lu n văn t i: Trư ng Đ i h c Khoa H c-Đ i h c Thái Nguyên Tháng 8 năm 2011 Có th tìm hi u t i Thư vi n Trư ng Đ i h c Khoa H c ho c Trung tâm H c Li u Đ i h c Thái Nguyên Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
1 M cl c M đ u. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Chương 1. CƠ S TR C CHU N TRONG KHÔNG GIAN L2 (R) 5 1.1 Không gian L2 (R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1. Các khái ni m cơ b n . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2. Bi n đ i Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Khái ni m cơ s wavelet trong không gian L2 (R) . . . . . 8 1.2.1. Đ nh nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.2. Đ nh lí Balian-Low . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.3. Các ví d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Chương 2. M T S PHƯƠNG PHÁP XÂY D NG CƠ S SÓNG NH TRONG KHÔNG GIAN L2 (R) 17 2.1 Xây d ng phép chi u trơn . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.1. Phép chi u trong I = [0, +∞) . . . . . . . . . . . 18 2.1.2. Phép chi u trên đo n I = [α, β] . . . . . . . . . . 20 2.2 Dùng các hàm sin và cosin . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2.1. Trư ng h p I = [0, 1] . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2.2. Trư ng h p I = [α, β] . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2.3. Cơ s tr c chu n trong L2 (R) . . . . . . . . . . . 31 K t lu n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Tài li u tham kh o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
2 M đ u Trong nh ng năm g n đây nhi u v n đ v khoa h c, công ngh thông tin, truy n thông và các ngành k thu t khác phát tri n m nh m . L i ích c a x lý s trong vi c truy n các tín hi u ngày càng đư c kh ng đ nh rõ ràng. Nó cũng đư c ng d ng nhi u d ng khác nhau v i nh ng hi u qu đ c bi t là trong các ngành khoa h c ch không ph i ch là m t môn h c. V i m c đ phát tri n ngày càng cao v cơ b n, v phương pháp và kh năng ng d ng nó đã lôi cu n đư c nhi u k sư, các nhà toán h c cũng như các nhà v t lý quan tâm nghiên c u. Khái ni m wavelet đã đư c đưa vào t nh ng năm 70 c a th k trư c và ngày càng có nhi u ng d ng trong khoa h c, truy n thông, công ngh thông tin và các ngành k thu t khác. Vi c nghiên c u khái ni m cơ s wavelet trên đư ng th ng có ý nghĩa quan tr ng trong lý thuy t và ng d ng th c t . Nh ng h c đi n c a các cơ s tr c chu n trong không gian L2 ([0, 1)) bao g m các hàm mũ e2πimx : m ∈ Z và t p h p các hàm lư ng giác thích h p (xem Đ nh lý 2.2.1 bên dư i). Mô hình c a nh ng cơ s này trong không gian L2 ([α, β)), −∞ < α < β < +∞, s có đư c b ng phép t nh ti n và phép co giãn thích h p c a các hàm s trên. Đ tìm ra đư c cơ s tr c chu n trong không gian L2 (R) chúng ta có th xét R là h p c a các n a kho ng liên ti p sau: [αj , αj+1 ), j ∈ Z, −∞ < ... < αj < αj+1 < ... < +∞, và xem xét t ng cơ s trên cho m i m t không gian L2 ([αj , αj+1 )), m r ng nh ng ph n t c a cơ s b i các hàm đ c trưng c a [αj , αj+1 ) và sau đó l y t ng c a các hàm có đư c. Cơ s tr c chu n này, tuy nhiên t o ra "hi u ng c nh không mong mu n" t i đi m cu i αj khi chúng ta c g ng bi u di n m t hàm theo cơ s đó. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
3 Đ kh c ph c tình tr ng đó, chúng ta c n xét đ n các hàm trơn, nh ng hàm này thay th cho hàm đ c trưng c a [αj , αj+1 ) v i j ∈ Z. Trong trư ng h p có s phân chia đơn gi n R= [n, n + 1) n∈N thì chúng ta nghiên c u h có d ng: gm.n (x) = e2πimx g(x − n) : m, n ∈ Z . Đ i v i m i h c a lo i này (thư ng đư c g i là cơ s Gabor), đ tr thành m t cơ s tr c chu n trong không gian L2 (R) thì g không đư c "quá trơn" ho c có giá có kích thư c nh (very localized). Đi u này đư c trình bày rõ ràng trong ph n 1.2.2 b i Đ nh lí Balian- Low. Tuy nhiên n u các cơ s thích h p g m các hàm sin và cosin đư c s d ng, thì s có nhi u t p h p c a hàm g trơn m t cách tuỳ ý và "very localized", có th đư c s d ng đ có đư c nh ng cơ s tr c chu n trong không gian L2 (R). Đi u này s đư c th c hi n trong ph n 2.1, ph n mà chúng ta s trình bày lí thuy t v phép chi u trơn, đư c gi i thi u b i Coifman và Meyer. Lý thuy t này cho phép chúng ta "liên k t" nh ng cơ s thích h p v i kho ng [αj , αj+1 ). M t lo t các ví d c a vi c xây d ng này đã đư c đưa ra, nhưng ph n l n nh ng ví d liên quan đ n m c đích c a chúng ta là nh ng ví d t o ra wavelet tr c chu n ψ ∈ L2 (R) như: j ψi,k (x) = 2 2 ψ(2j x − k), j, k ∈ Z là cơ s tr c chu n trong không gian L2 (R). Tương t như v y, trong ph n 2.2 chúng ta s xây d ng nên wavelet Lemanrié và Meyer. Ngoài ph n M đ u, ph n K t lu n, lu n văn g m 2 chương. Chương 1 Cơ s tr c chu n trong không gian L2 (R) Trong chương này trình bày các khái ni m cơ b n v không gian L2 (R), bi n đ i Fourier trong không gian L2 (R), khái ni m cơ s sóng nh trong không gian L2 (R) bao g m đ nh nghĩa, Đ nh lí Balian-Low và các ví d . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
4 Chương 2 M t s phương pháp xây d ng cơ s sóng nh trong không gian L2 (R) Trong chương này trình bày hai phương pháp, đó là xây d ng phép chi u trơn và dùng các hàm sin và cosin. Tài li u tham kh o chính c a lu n văn là tài li u [7]. Lu n văn này đư c hoàn thành v i s hư ng d n và ch b o t n tình c a PGS.TS. Hà Ti n Ngo n-Vi n Toán h c, Vi n Khoa h c và Công ngh Vi t Nam. T đáy lòng mình, em xin đư c bày t lòng bi t ơn sâu s c đ i v i s quan tâm, đ ng viên và s ch d y, hư ng d n t n tình đ y tâm huy t c a Th y. Tôi xin trân tr ng c m ơn các Th y, các Cô gi ng viên Trư ng Đ i h c Khoa h c, phòng Đào t o Trư ng Đ i h c Khoa h c, khoa Toán-Tin Trư ng Đ i h c Khoa h c-Đ i h c Thái Nguyên. Đ ng th i tôi xin g i l i c m ơn t i t p th l p Cao H c Toán K3A Trư ng Đ i h c Khoa h c-Đ i h c Thái Nguyên đã đ ng viên giúp đ tôi trong quá trình h c t p và làm luân văn này. Tôi xin g i l i c m ơn t i S Giáo d c & Đào t o t nh B c Ninh, Ban Giám hi u trư ng THPT Lương Tài, các đ ng nghi p trư ng THPT Lương Tài-B c Ninh đã t o đi u ki n cho tôi đư c h c t p và hoàn thành k ho ch h c t p và đ c bi t xin c m ơn v ch ng em Hoàng Tuy t Mai-C nhân Anh ng đã giúp tôi trình bày lu n văn này. Do th i gian có h n nên lu n văn m i ch d ng l i v êc tìm hi u, t p h p tài li u, s p x p và trình bày các k t qu nghiên c u đã có theo ch đ đ t ra. Trong quá trình vi t lu n văn cũng như trong quá trình x lý văn b n ch c ch n không th tránh kh i sai sót, r t mong nh n đư c nh ng ý ki n đóng góp c a Th y cô và b n đ c quan tâm đ n lu n văn này. Thái Nguyên, ngày 22 tháng 05 năm 2011 Tác gi Lương Duy Ti u Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Chương 1 CƠ S TR C CHU N TRONG KHÔNG GIAN L2(R) 1.1 Không gian L2 (R) 1.1.1. Các khái ni m cơ b n Trư c h t chúng ta gi i thi u m t s kí hi u. R ký hi u là "đư ng th ng th c", T là vòng tròn đơn v trong m t m t ph ng ph c, mà có th đư c xác đ nh b i kho ng [−π,π), m c dù th nh tho ng chúng ta s d ng kho ng [− 1 , 1 ) ho c [0,1); và Z s bi u th t p h p c a các s nguyên. 2 2 Tích trong c a các hàm f và g đư c xác đ nh là: < f, g >= f (x)g(x)d(x), đó tích phân đư c l y trên R ho c T, chúng ta có b t đ ng th c Schwarz’s |< f, g >| ≤ f 2 g 2, 1 trong đó f 2 = ( |f |2 ) 2 là chu n c a f trong L2 . B t đ ng th c Schwarz’s cho phép chúng ta ch ng minh b t đ ng th c Minkowski’s: f +g 2 ≤ f 2 + g 2. Chúng ta nói r ng hai hàm f và g là tr c giao n u < f, g >= 0, kí hi u f ⊥g. M t dãy các hàm s {fn }n∈Z là m t dãy tr c chu n n u < fm , gn >= δm,n , trong đó 1, khi n = m , δm,n = 0, khi n = m. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
6 M t ví d tiêu bi u c a dãy tr c chu n trên T = [−π, π) là 1 √ en khi en (x) = einx . 2π n∈Z Cho m t h tr c chu n {fn : n ∈ Z} và m t hàm f , chúng ta xác đ nh h s Fourier c a f v i {fn : n ∈ Z} s là ck =< f, fk >, k ∈ Z. M t câu h i cơ b n mà chúng ta s nghiên c u đ xác đ nh khi nào và trong tình hu ng nào, đi u này đúng v i f= ck fk . (1.1) k∈Z Khi fk (x) = eikx , k ∈ Z, f ∈ L2 (T), phép bi u di n (1.1) là h p lí trong L2 đ nh chu n. Nhìn chung, đây là m t trư ng h p mà chúng ta nói r ng {fk : k ∈ Z} là m t cơ s tr c chu n trong L2 (T). Đ ng th c (1.1) là m t công th c đư c xây d ng l i và nó là cơ s cho nhi u ng d ng c a lí thuy t v wavelet. Cho m t hàm f (m t tín hi u ho c m t âm thanh) chúng ta có th l p mã cho nó b ng các h s {ck }k∈Z . Đ ng th c (1.1) cho phép ta xây d ng l i tín hi u đó t nh ng h s ck và cơ s đã s d ng khi l p mã. Nh ng cơ s đ c bi t là cơ s c a wavelet, tái t o l i m t cách hi u qu hơn so v i nh ng cơ s khác. V i m i h tr c chu n {fn : n ∈ Z}, chúng ta có b t đ ng th c Bessel’s |ck |2 ≤ f 2 . 2 k∈Z Hơn th n a, n u h đó là m t h cơ s thì chúng ta có đ ng th c. Ngư c l i, n u m t h tr c chu n {fn : n ∈ Z} th a mãn |ck |2 = f 2 2 (1.2) k∈Z v i m i f ∈ L2 (T), thì h đó là m t c s trong L2 (T). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
7 1.1.2. Bi n đ i Fourier Trong R chúng ta có m t lý thuy t "tương t ". Bi n đ i Fourier c a m t hàm f ∈ L1 (R) ∩ L2 (R) đư c xác đ nh b i +∞ f (ξ) = f (x)e−iξx dx −∞ Chúng ta s nói r ng x là bi n th i gian có th thay đ i đư c và ξ đư c xem như là bi n t n s c a s thay đ i. Bi n đ i ngư c Fourier là +∞ ∨ 1 g (x) = g(ξ)eiξx dξ 2π −∞ và n u chúng ta áp d ng nó cho g = f , thì chúng ta có đư c f ; đó là (f )∨ = f . V i các đ nh nghĩa này, Đ nh lý Plancherel kh ng đ nh r ng 1 < f, g >= f, g . (1.3) 2π Bi n đ i Fourier m r ng đ n m i hàm f ∈ L2 (R) và toán t 1 f → √ f là unita. Khi f t n t i trong L2 thì 2π f (ξ) = iξ f (ξ). (1.4) Phép tính tích phân này có th đư c ch ng minh b ng nh ng công th c +∞ +∞ f (x)g(x)dx = − f (x)g (x)dx. (1.5) −∞ −∞ là h p lí khi f, g ∈ L2 (R) và f g, f g ∈ L1 (R). Trong trư ng h p f, g, f , g ∈ L2 (R), đi u đó có th ch ng minh đư c b ng s d ng (1.3) và (1.4). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
8 Khái ni m mà s đư c s d ng trong nhi u ch ng minh là đi m Lebesgue. Gi s f là m t hàm đo đư c và là hàm kh tích, thì đi m x0 đư c g i là đi m Lebesgue c a f khi và ch khi x0 +δ 1 lim |f (x) − f (x0 )|dx = 0. δ→0+ 2δ x0 −δ Theo đ nh lí v phép tìm đ o hàm Lebesgue thì h u h t m i đi m x0 là đi m Lebesgue. Chúng ta có th tra c u [Rud] v đ nh lí đ c bi t này cũng như nh ng k t qu khác trong đ nh lí v đ đo Lebesgue. Ba toán t đơn gi n sau trên các hàm s đư c xác đ nh trên R đóng m t vai trò quan tr ng trong lý thuy t: Phép t nh ti n b i h, τh , đư c xác đ nh b i (τh f )(x) = f (x − h), phép co giãn b i r>0, ρr , đư c xác đ nh b i (ρr f )(x) = f (rx) và phép nhân b i eimx . (Đôi khi chúng ta xét chúng như là m t toán t bi n đi u). 1.2 Khái ni m cơ s wavelet trong không gian L2 (R) M t trong nh ng m c đích chính c a chúng ta là xây d ng các cơ s tr c chu n trong không gian L2 (R) b ng cách áp d ng nh ng toán t trên vào m t hàm nào đó trong không gian L2 (R). Đi u quan tâm c a chúng ta chính là nh ng cơ s wavelet. 1.2.1. Đ nh nghĩa Hai toán t đ u tiên đư c áp d ng cho nh ng cơ s wavelet đư c sinh b i m t hàm thích h p. Nói m t cách chính xác hơn, m t wavelet tr c chu n trên R là m t hàm ψ ∈ L2 (R) sao cho {ψj,k : j, k ∈ Z} là cơ s tr c chu n c a L2 (R), trong đó j ψj,k (x) = 2 2 ψ(2j x − k), j, k ∈ Z. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
9 Ta th y ψj,k đã đư c chu n hóa, vì th ψj,k 2 = ψ 2 = 1 v i m i j, k ∈ Z Ví d 1: Gi s  1, n u 0 ≤ x < 1 ,  2 1 ψ(x) = −1, n u 2 ≤ x < 1, 0, trư ng h p còn l i.  Khi đó ψ là m t wavelet tr c chu n trong không gian L2 (R). Nó đư c g i là wavelet Haar. R t đơn gi n đ ch ng minh r ng {ψj,k : j, k ∈ Z} là m t h tr c chu n trong không gian L2 (R). Ví d 2: Ta ch n ψ sao cho ψ(ξ) = χI (ξ), v i: I = [−2π, −π] ∪ [π, 2π], trong đó χI là hàm đ c trưng c a t p h p I, t c là 1n ux∈I χI (x) = 0 n u x ∈ I. / Chúng ta s ch ra ψ là m t wavelet tr c chu n trong không gian L2 (R). M t phép tính đơn gi n cho chúng ta th y j −j (ψj,k )∧ (ξ) = 2− 2 ψ(2−j ξ)e−i2 kξ . V i j = l, đ ng th c này ch ra r ng ph n giao c a giá (ψj,k )∧ và (ψl,m )∧ có đ đo là 0; do đó 1 < ψj,k , ψl,m >= < (ψj,k )∧ , (ψl,m )∧ >= 0, v i j = l. 2π Khi j = l ta có th vi t: 1 −j 2 −j < ψj,k , ψl,m > = 2 ψ(2−j ξ) ei2 (m−k)ξ dξ 2π R −π 2π 1 i(m−k)η = e dη + ei(m−k)η dη = δk,m . 2π −2π π Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
10 Đ ch ng minh h này là m t cơ s thì ta c n ch ng minh (1.2). Theo Đ nh lý Plancherel và s thay đ i bi n s cho phép chúng ta vi t 2 2 2j −jkξ | f, ψj,k | = f (ξ)ψ(2−j ξ)ei2 dξ 4π 2 R j,k∈Z j,k∈Z 2 2j j eikµ = f (2 µ) √ dµ . 2π I 2π j∈Z k∈Z Bây gi chúng ta dùng h √1 eikµ : k ∈ Z là m t cơ s tr c chu n c a 2π không gian L2 (R) (th c t là tương đương v i tính tr c chu n c a h tương t trên đo n [0, 2π]). Ta vi t: 2 2 2j ˆ | f, ψj,k | = f (2j µ) dµ 2π I j,k∈Z j∈Z 1 ˆ 2 = χI (2−j ξ) f (ξ) dξ 2π R j∈Z 1 ˆ 2 2 = f = f 2, 2π 2 do χI (2−j ξ) = 1, v i h u h t ξ ∈ R. j∈Z Đi u này ch ra r ng ψ là m t wavelet tr c chu n trong không gian L2 (R). 1.2.2. Đ nh lí Balian-Low Ta s xét vi c t o ra cơ s tr c chu n t m t hàm s nào đó b ng phép t nh ti n và phép nhân v i m t hàm s . Ví d , m t cơ s trong không gian L2 (R) là như sau: Gi s g = χ[0,1] và gm,n (x) = e2πimx g(x − n) v i m, n ∈ Z. Không quá khó đ nhân ra r ng {gm,n : m, n ∈ Z} là m t cơ s tr c chu n c a không gian L2 (R). Ti n sĩ D. Gabor ([Gab]) đã xem xét ki u Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
11 h này vào năm 1946 và ông đ xu t vi c s d ng nó (g ∈ L2 (R)) cho m c đích truy n thông. Đ i v i m t hàm g t ng quát thì đ nh lí sau đây s đưa ra các đi u ki n mà g ph i th a mãn đ h {gm,n : m, n ∈ Z} là m t cơ s tr c chu n. Đ nh lý 1.2.1. (Balian-Low) Gi s g ∈ L2 (R) và gm,n (x) = e2πimx g(x − n), m, n ∈ Z. N u {gm,n : m, n ∈ Z} là m t cơ s tr c chu n trong không gian L2 (R) thì +∞ +∞ x2 |g(x)|2 dx = +∞ ho c ξ 2 |g(ξ)|2 dξ = +∞. −∞ −∞ Ch ng minh. Chúng ta đưa ra các toán t Q và P , đư c xác đ nh trên không gian S g m các hàm suy r ng tăng ch m v i (Qf )(x) = xf (x) và (P f )(x) = −if (x). S liên quan c a các toán t đ i v i đ nh lí này là +∞ +∞ |Qg(x)|2 dx = x2 |g(x)|2 dx −∞ −∞ +∞ +∞ 1 |P g(x)|2 dx = ξ 2 |g(ξ)|2 dξ, 2π −∞ −∞ Các công th c cu i là h qu c a (1.3) và (1.4). Vì th chúng ta c n ph i th y r ng c (Qg) và (P g) không th cùng thu c L2 (R). Gi s c (Qg) và (P g) đ u thu c L2 (R). Chúng ta s th y r ng đi u này d n đ n mâu thu n, và t đi u này đ nh lí đư c ch ng minh. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
12 Ta có: < Qg, P g >= < Qg, gm,n >< gm,n , P g >, (1.6) m,n∈Z < Qg, gm,n >=< g−m,−n , Qg > v i m i m, n ∈ Z (1.7) và =< g−m,−n , P g > v i m i m, n ∈ Z. (1.8) T đ ng th c (1.6),(1.7) và (1.8) suy ra < Qg, P g >= (1.9) Nhưng (1.9) là không đúng n u P g và Qg thu c L2 (R). Th t v y, chúng ta có th áp d ng tích phân t ng ph n công th c (1.5) đ có đư c +∞ < Qg, P g > = xg(x) −ig (x) dx −∞ +∞ = −i {g(x) + xg (x)}g(x)dx −∞ = −i < g, g > + . 2 2 T g, g = g 2 = g0,0 2 = 1, chúng ta có đư c < Qg, P g >= −i+ , đi u này trái ngư c v i (1.9). Vì th đ nh lí đư c ch ng minh n u chúng ta thi t l p (1.6), (1.7) và (1.8). T Qg, P g ∈ L2 (R) và {gm,n : m, n ∈ Z} là m t cơ s tr c chu n chúng ta có: < Qg, P g > =< < Qg, gm,n > gm,n , P g > m,n∈Z = < Qg, gm,n >< gm,n , P g >, m,n∈Z đi u này ch ng minh (1.6). Đ ch ng minh (1.7) thì hãy quan sát n < g, gm,n >= 0 v i m i Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
13 m, n ∈ Z. Đi u này rõ ràng đúng v i n = 0, còn n u n = 0, thì g = g0,0 là tr c giao v i gm,n . Do đó, < Qg, gm,n > =< Qg, gm,n > −n < gm,n , P g > +∞ = g(x)(x − n)g(x − n)e−2πimx dx −∞ +∞ = g(y + n)(y)g(y)e−2πim(y+n) dy =< g−m,−n , Qg >, −∞ chúng ta đã có (1.7). Đ ch ng minh (1.8) chúng ta s d ng tích phân t ng ph n công th c (1.5) đ có đư c +∞ = −i g (x)g(x − n)e−2πimx dx −∞ +∞ =i g(x){ − 2πimg(x − n) + g (x − n)}e−2πimx dx −∞ +∞ = 2πmδm,0 δ0,n + g(y + n){−ig (y)}e−2πimy dy −∞ =< g−m,−n , P g > . 1.2.3. Các ví d Ví d 1.2.1. Cho g = χ[0,1) khi đó {gm,n : m, n ∈ Z} là m t cơ s tr c chu n trong không gian L2 (R); trong trư ng h p này tích phân đ u tiên theo đ nh lí Balian-Low là h u h n, nhưng tích phân th hai là vô h n, vì 2 2 ∧ 2 ξ ξ (χ[0,1) ) (ξ) = 2 sin( ) 2 Ví d 1.2.2. Cho g(x) = sin(πx) ≡ sinc(x), khi đó {gm,n : m, n ∈ Z} là πx m t cơ s tr c chu n trong không gian L2 (R), ta th y Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
14 ξ ∧ −i 2 sin( 2 ) ξ (χ[0,1) ) (ξ) = e ξ 2 ξ ξ = e− 2 sin c( ). 2π Trong trư ng h p này, tích phân đ u tiên theo đ nh lí Balian-Low s là vô h n. Ví d 1.2.3. N u g ∈ L2 (R) và gm,n (x) = eimw0 x g(x − nt0 ) (1.10) v i w0 t0 = 2π, thì đ nh lí Balian-Low v n đúng. Đ th y đư c thì toán −1 1 −1 t U đư c xác đ nh b i U g(x) = (2πw0 ) 2 .g(2πw0 x) là unita trong L2 (R) và U gm,n (x) = e2πimx U g(x − n) −1 khi 2πw0 = t0 . Đ nh lí này cho chúng ta bi t n u w0 t0 = 2π, thì cơ s đư c đưa ra b i (1.10) không đ ng th i có giá compact và đ nh v t t v th i gian và t n s . Ví d 1.2.4. N u b(x) là đ trơn và có giá compact thì Đ nh lí Balian- Low ch ra cho ta th y r ng h {bm (x)}m∈Z = e2πimx b(x) m∈Z s không t o ra m t cơ s tr c chu n b ng cách t nh ti n các ph n t c a h b i các s nguyên. Đi u này d dàng nh n th y do s gi m vô c c c a bi n đ i Fourier c a b, đó là m t h qu c a đ trơn c a b. N u chúng ta xét m t trư ng h p c c b hơn, chúng ta có th tìm th y m t "hàm hình chuông" b(x) trơn và có giá compact mà {bm (x)}m∈Z = e2πimx b(x) m∈Z là m t h tr c chu n, ch ng h n trong L2 (0, 1) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
15 Ví d gi s b là m t hàm s xác đ nh trên R v i supp(b) ⊆ [−ε, 1 + ε ], khi ε + ε ≤ 1, ε, ε > 0 và b(x) ≥ 0. Th t d đ tìm th y các đi u v b đ {bm : m ∈ Z} là m t h tr c chu n. Ý tư ng này là s d ng m t "đ i s g p" đ thu đư c các m i quan h tr c giao < e2πim(.) b, e2πiπn(.) b >= δm,n trên đo n [0, 1] : δm,n =< e2πim(.) b, e2πin(.) b > 1+ε = b2 (x)e2πi(m−n)x dx −ε 0 ε 1−ε 1 1+ε =( + + + + ){b2 (x)e2πi(m−n)x }dx. −ε 0 ε 1−ε 1 Trong tích phân đ u tiên chúng ta th c hi n thay đ i các bi n s y = 1 + x; Trong tích phân cu i cùng, chúng ta s d ng s thay đ i c a các bi n y = x − 1. Do đó chúng ta có đư c ε δm,n = b2 (x) + b2 (1 + x) e2πi(m−n)x dx 0 1−ε + b2 (x)e2πi(m−n)x dx ε 1 + b2 (x) + b2 (x − 1) e2πi(m−n)x dx. 1−ε Đó là hàm f có giá tr b2 (x) + b2 (1 + x) trên đo n [0, ε ], b2 (x) trên [ε , 1 − ε] và b2 (x) + b2 (x − 1) trên [1 − ε, 1] có h s Fourier là f (k) = 0 n u k = 0 và f (0) = 1. Bây gi thì đã tr nên d dàng hơn, n u các m i quan h tr c giao đư c thi t l p, thì b ph i th a mãn: b2 (x) + b2 (1 + x) = 1 n u x ∈ [0, ε ]   2 b (x) = 1 n u x ∈ [ε , 1 − ε] (1.11) b2 (x) + b2 (x − 1) = 1 n u x ∈ [1 − ε, 1]  Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
16 Đi u này có nghĩa là (1.11) là đi u ki n c n và đ đ e2πimx b(x) m∈Z tr thành m t h tr c chu n trong không gian L2 (0, 1). Đ nh lí Balian- Low cho chúng ta th y r ng n u chúng ta ch n hàm g(x) như "hàm hình chuông trơn" thì phép t nh ti n b i s nguyên s không t o ra đư c m t cơ s tr c chu n trong không gian L2 (R). Trong chương ti p theo chúng ta s th y r ng n u thay th các hàm mũ e2πimx b ng các hàm sin và cosin thích h p thì chúng ta có th có đư c nh ng cơ s như v y. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
17 Chương 2 M T S PHƯƠNG PHÁP XÂY D NG CƠ S SÓNG NH TRONG KHÔNG GIAN L2(R) 2.1 Xây d ng phép chi u trơn Chúng ta s th y r ng chúng ta có th xây d ng m t hàm s trơn liên k t v i đo n [0, 1], theo cách mà h √ 2j + 1 2b(x − k) sin( π(x − k)), k, j ∈ Z 2 là m t cơ s tr c chu n trong không gian L2 (R). Trong th c t , chúng ta s th y r ng đ i v i m i s k c đ nh (k ∈ Z), thì t p h p √ 2j + 1 { 2b(x − k) sin( π(x − k)) : j ∈ Z} 2 là m t cơ s trong m t không gian con đóng Hk c a không gian L2 (R), và L2 (R) s là t ng tr c giao c a Hk . Nói chung, chúng ta có th xây d ng đư c "hàm hình chuông" trơn thích h p, phù h p v i kho ng h u h n I = [α, β), nó có th nhân lên b i các hàm sin và cosin thích h p đ có đư c m t cơ s tr c chu n c a m t không gian con Hk c a không gian L2 (R). Theo cách này n u chúng ta có: −∞ < · · · < αk−1 < αk < αk+1 < · · · < +∞, thì cơ s c a các không gian HIk (Ik = [αk , βk )) t o ra m t h đ y đ các không gian con tr c giao c a L2 (R). H đư c xây d ng như v y không ph i là m t h wavelet, nhưng nó có th đư c dùng đ phân tích m t hàm t ng quát trong không gian L2 và hơn th n a chúng ta s th y nó có th đư c s d ng đ xây d ng nên wavelet như th nào? Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
18 2.1.1. Phép chi u trong I = [0, +∞) Chúng ta b t đ u v i trư ng h p đ c bi t I = [0, +∞) và m c đích c a chúng ta là xây d ng nên m t "hàm hình chuông" trơn mà "x p x " χ[0,+∞) . Vì phép chi u b t kì là lũy đ ng (không thay đ i sau khi nó đư c lũy th a lên) thì phép nhân b i m t s s đưa ra m t phép chi u ch khi hàm s đó có các giá tr 0 ho c 1 h u như kh p m i nơi trên R; Đi u này ch ra r ng phép chi u mà chúng ta đang tìm ki m không th đư c đưa ra m t cách đơn gi n b ng phép nhân b i m t hàm trơn. Ta s tìm m t hàm c ng tính không âm ρ ∈ C +∞ , như v y sup p(ρ) ⊆ [ − ε, +∞) v i ε > 0 và gi ng như χ[0,+∞) th a mãn ρ(x) + ρ(−x) = 1, x = 0 và m t hàm l y giá tr th c t(x) sao cho: (P f )(x) = ρ(x)f (x) + t(x)f (−x) là m t phép chi u. M t phép tính đơn gi n, d a theo tính ch t P là lũy đ ng và t liên h p, cho chúng ta đ ng th c t(x) = ± ρ(x)ρ(−x). √ Vi t s = ρ, ta có công th c (P f )(x) = s(x)[s(x)f (x) ± s(−x)f (−x)]. Th c t , s s không còn là giá tr th c n a, n u chúng ta đưa ra toán t P =P0,ε , đư c xác đ nh b i: (P f )(x) ≡ (P0,ε f )(x) = s(x)[s(x)f (x) ± s(−x)f (−x)] (2.1) v i |s(x)|2 + |s(−x)|2 = 1. (2.2) R t d dàng đ nh n th y r ng đó là m t phép chi u tr c giao. Đ th y đư c đi u này chúng ta c n ch ra r ng P là lũy đ ng (P 2 = P ) và t liên h p (P ∗ = P ). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn