intTypePromotion=3
Array
(
    [0] => Array
        (
            [banner_id] => 140
            [banner_name] => KM1 - nhân đôi thời gian
            [banner_picture] => 964_1568020473.jpg
            [banner_picture2] => 839_1568020473.jpg
            [banner_picture3] => 620_1568020473.jpg
            [banner_picture4] => 994_1568779877.jpg
            [banner_picture5] => 
            [banner_type] => 8
            [banner_link] => https://tailieu.vn/nang-cap-tai-khoan-vip.html
            [banner_status] => 1
            [banner_priority] => 0
            [banner_lastmodify] => 2019-09-18 11:11:47
            [banner_startdate] => 2019-09-11 00:00:00
            [banner_enddate] => 2019-09-11 23:59:59
            [banner_isauto_active] => 0
            [banner_timeautoactive] => 
            [user_username] => sonpham
        )

)

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán ổn định các hệ tuyến tính lồi đa diện có trễ

Chia sẻ: Tran Van Lam | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:41

0
148
lượt xem
35
download

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán ổn định các hệ tuyến tính lồi đa diện có trễ

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán ổn định các hệ tuyến tính lồi đa diện có trễ gồm phần mở đầu, phần kết luận và 2 chương. Cụ thể chương 1 trình bày về cơ sở toán học, chương 2 trình bày về bài toán ổn định hệ tuyến tính lồi đa diện có trễ.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán ổn định các hệ tuyến tính lồi đa diện có trễ

  1. Đ I H C THÁI NGUYÊN TRƯ NG Đ I H C SƯ PH M NGUY N DƯƠNG THÀNH BÀI TOÁN N Đ NH CÁC H TUY N TÍNH L I ĐA DI N CÓ TR LU N VĂN TH C SĨ TOÁN H C Thái Nguyên - 2012 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn1
  2. Đ I H C THÁI NGUYÊN TRƯ NG Đ I H C SƯ PH M NGUY N DƯƠNG THÀNH BÀI TOÁN N Đ NH CÁC H TUY N TÍNH L I ĐA DI N CÓ TR Chuyên ngành: Gi i tích Mã s : 60.46.01.02 LU N VĂN TH C SĨ TOÁN H C NGƯ I HƯ NG D N KHOA H C GS.TSKH. VŨ NG C PHÁT Thái Nguyên - 2012 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn2
  3. i M cl c M t s kí hi u toán h c dùng trong lu n văn . . . . . . . . iii L i m đ u. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv Chương 1. Cơ s toán h c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1. H phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1. H phương trình vi phân t ng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2. H phương trình vi phân tuy n tính ôtônôm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.3. H phương trình vi phân tuy n tính không ôtônôm . . . . . . . . . . . . 3 1.2. Bài toán n đ nh h phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.1. Bài toán n đ nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2. Phương pháp hàm Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.3. Bài toán n đ nh hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3. Bài toán n đ nh, n đ nh hóa cho h phương trình vi phân đi u khi n có tr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4. M t s b đ b tr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Chương 2. Bài toán n đ nh các h tuy n tính l i đa di n có tr 16 2.1. Đ nh nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn3
  4. ii 2.2. Bài toán n đ nh mũ cho h tuy n tính l i đa di n có tr . . 18 2.3. Bài toán n đ nh hóa cho h tuy n tính l i đa di n có tr . . 24 K t lu n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Tài li u tham kh o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn4
  5. iii M TS KÍ HI U TOÁN H C DÙNG TRONG LU N VĂN • R+ : T p các s th c không âm. • Rn : Không gian véc tơ n -chi u v i kí hi u tích vô hư ng là ., . và chu n véc tơ là . . • Rn×r : Không gian các ma tr n (n × r)- chi u. • D: Lân c n m c a 0 trong Rn . • C([a, b], Rn ): T p các hàm liên t c trên [a, b] và nh n giá tr trên Rn . • L2 ([a, b], Rm ): T p các hàm kh tích b c hai trên [a, b] l y giá tr trong Rm . • AT : Ma tr n chuy n v c a ma tr n A. • I: Ma tr n đơn v . • λ (A): T p t t c các giá tr riêng c a A. • λmax (A) := max{Reλ : λ ∈ λ (A)}. • λmin (A) := min{Reλ : λ ∈ λ (A)}. • A > 0: Ma tr n A xác đ nh dương n u Ax, x > 0, ∀x = 0. • A ≥ 0: Ma tr n A xác đ nh không âm n u Ax, x ≥ 0, ∀x ∈ Rn . • A = λmax (AT A): Chu n ph c a ma tr n A. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn5
  6. iv L IM Đ U Lý Thuy t n đ nh là m t ph n quan tr ng c a lý thuy t đ nh tính phương trình vi phân. Lý thuy t n đ nh đư c nghiên c u t cu i th k 19 b i nhà toán h c ngư i Nga A. M. Lyapunov. Tr i qua hơn m t th k , lý thuy t này ngày càng phát tri n m nh m như m t lý thuy t toán h c đ c l p v i nhi u ng d ng r ng rãi trong nhi u lĩnh v c như cơ h c, sinh thái h c, kinh t , khoa h c kĩ thu t... Hi n nay, lý thuy t n đ nh đang phát tri n theo hai hư ng ng d ng và lí thuy t, đư c nhi u nhà toán h c trên th gi i và trong nư c quan tâm nghiên c u như: Yoshizawa T., Hale J. K., Verduyn Lunel S. M., Nguy n Th Hoàn, Tr n Văn Nhung, Vũ Ng c Phát, Nguy n H u Dư... đã thu đư c nhi u k t qu , tính ch t quan tr ng ( xem [3, 4, 5]). Như chúng ta đã bi t, có nhi u phương pháp đ nghiên c u lý thuy t n đ nh như: phương pháp th nh t Lyapunov - phương pháp s mũ đ c trưng, phương pháp th hai Lyapunov - phương pháp hàm Lyapunov, phương pháp x p x ... Phương pháp hàm Lyapunov là m t phương pháp r t h u hi u đ nghiên c u tính ch t n đ nh c a các h phương trình vi phân, lý thuy t các h đi u khi n, các h đ ng l c...Trong lu n văn này, chúng tôi nghiên c u tính n đ nh, n đ nh hóa h phương trình vi phân tuy n tính có tr b ng phương pháp th hai c a Lyapunov - phương pháp hàm Lyapunov. Lu n văn gi i thi u m t cách t ng quan v tính ch t n đ nh c a h phương trình vi phân, h phương trình vi phân tuy n tính, bài toán n đ nh và bài toán n đ nh hóa h phương trình vi phân tuy n tính l i đa di n có tr . B n lu n văn g m ph n m đ u, ph n k t lu n và 2 chương. C th là: Chương 1: Cơ s toán h c. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn6
  7. v Trong chương này, chúng tôi trình bày m t s ki n th c cơ s v h phương trình vi phân, tính n đ nh và n đ nh hóa h phương trình vi phân, đ ng th i trình bày v phương pháp hàm Lyapunov đ gi i bài toán n đ nh c a h phương trình vi phân. Cu i chương, chúng tôi nêu lên m t s tính ch t cơ b n v tính n đ nh c a các h phương trình vi phân tuy n tính ôtônôm và h phương trình vi phân tuy n tính không ôtônôm và m t s b đ b tr cho chương sau. Chương 2: Bài toán n đ nh h tuy n tính l i đa di n có tr . Trong chương này, chúng tôi trình bày các đi u ki n đ v tính n đ nh, n đ nh hóa đư c các h phương trình vi phân tuy n tính l i đa di n có tr và m t s ví d minh h a. Tôi xin bày t s kính tr ng và lòng bi t ơn chân thành nh t đ n GS.TSKH Vũ Ng c Phát, ngư i th y đã t n tình ch b o, hư ng d n tôi trong su t quá trình làm lu n văn. Đ ng th i, tôi xin đư c bày t lòng bi t ơn t i các th y cô khoa Toán, khoa Sau đ i h c, trư ng Đ i h c Sư ph m - Đ i h c Thái Nguyên đã t o đi u ki n giúp đ , ch b o tôi trong quá trình h c t p, nghiên c u t i trư ng. Cu i cùng, tôi xin c m ơn nh ng ngư i thân, b n bè, đ ng nghi p, nh ng ngư i luôn ng h , đ ng viên và là ch d a tinh th n cho tôi trong su t quá trình h c t p, làm vi c, nghiên c u cũng như trong cu c s ng. M c dù b n thân đã c g ng r t nhi u, nhưng do th i gian th c hi n lu n văn không nhi u, ki n th c và trình đ còn h n ch nên lu n văn không tránh kh i nh ng h n ch và sai sót. Tôi r t mong nh n đư c s ch b o, góp ý và nh ng ý ki n ph n bi n c a quý th y cô và b n đ c. Tôi xin chân thành c m ơn! Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn7
  8. Chương 1 Cơ s toán h c Trong chương này chúng tôi trình bày m t s khái ni m toán h c cơ s v h phương trình vi phân tuy n tính, nghi m c a h phương trình vi phân tuy n tính, tính n đ nh và n đ nh hóa h phương trình vi phân tuy n tính, phương pháp hàm Lyapunov đ nghiên c u tính n đ nh c a h phương trình vi phân tuy n tính theo [1 - 4]. 1.1. H phương trình vi phân 1.1.1. H phương trình vi phân t ng quát Đ nh nghĩa 1.1.1. H phương trình vi phân t ng quát có d ng:  x(t) = f (t, x(t)), ˙ t ≥ t0 ,  (1.1.1) x(t0 ) = x0 , t0 ≥ 0,  Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn8
  9. 2 trong đó f : R+ × Rn → Rn , v i m i t ≥ t0 , x(t) ∈ Rn . Hàm kh vi liên t c x(t) th a mãn h phương trình (1.1.1) đư c g i là nghi m c a h phương trình vi phân đó và đư c kí hi u là x(t, x0 ). Công th c nghi m d ng tích phân c a h (1.1.1) là t x(t, x0 ) = x0 + f (s, x(s))ds t0 Đ nh lí sau đây kh ng đ nh s t n t i duy nh t nghi m c a h phương trình vi phân (1.1.1). Đ nh lý 1.1.1. (Đ nh lí Picard - Lindeloff) Xét h phương trình vi phân (1.1.1) trong đó gi s f : I × D → Rn (I = [t0 ,t0 + b]) liên t c theo t và th a mãn đi u ki n Lipschitz theo x: ∃K > 0 : f (t, x1 ) − f (t, x2 ) ≤ K x1 − x2 , ∀t ≥ 0 Khi đó, v i m i (t0 , x0 ) ∈ R+ × D s tìm đư c m t s d > 0 sao cho h phương trình (1.1.1) có nghi m duy nh t trên kho ng [x0 + d, x0 − d]. Hay nói cách khác, qua m i đi m (t0 , x0 ) ∈ I × D có m t và ch m t đư ng cong tích phân ch y qua. Đ nh lý 1.1.2. (Đ nh lí Caratheodory) Gi s f (t, x) là hàm đo đư c theo t ∈ I và liên t c theo x ∈ D. N u t n t i hàm kh tích m(t) trên [t0 ,t0 + b] sao cho f (t, x) ≤ m(t), ∀(t, x) ∈ I × D. thì h (1.1.1) có nghi m trên kho ng [t0 ,t0 + β ] nào đó. V i m t s gi thi t trên c a hàm f (t, x) thì nghi m x(t, x0 ) đư c xác đ nh trên [0, +∞). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn9
  10. 3 Đ c bi t, đ i v i các h phương trình vi phân tuy n tính x(t) = A(t)x(t) + g(t), ˙ trong đó A(t), g(t) là các hàm liên t c thì luôn t n t i nghi m x(t, x0 ) xác đ nh trên toàn kho ng [0, +∞). 1.1.2. H phương trình vi phân tuy n tính ôtônôm Đ nh nghĩa 1.1.2. H phương trình vi phân tuy n tính ôtônôm có d ng:  x(t) = Ax(t) + g(t), ˙ t ∈ R+ ,  (1.1.2) x(t0 ) = x0 , t0 ≥ 0,  trong đó A là n × n− ma tr n h ng s , g : R+ → Rn là hàm liên t c. Nghi m c a h phương trình (1.1.2) đư c bi u di n b i công th c Cauchy t A(t−t0 ) x(t, x0 ) = e x0 + eA(t−s) g(s))ds, t ≥ 0. t0 1.1.3. H phương trình vi phân tuy n tính không ôtônôm Đ nh nghĩa 1.1.3. H phương trình vi phân tuy n tính không ôtônôm có d ng:  x(t) = A(t)x(t) + g(t), ˙ t ∈ R+ ,  (1.1.3) x(t0 ) = x0 , t0 ≥ 0,  trong đó A(t) là n × n− ma tr n các hàm s liên t c trên R+ , g : R+ → Rn là hàm liên t c. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn10
  11. 4 Nghi m c a h phương trình (1.1.3) đư c bi u di n ma tr n nghi m cơ b n φ (t, s) c a h thu n nh t x(t) = A(t)x(t), ˙ t ≥ 0, và đư c cho b i công th c tích phân t x(t) = φ (t,t0 )x0 + φ (t, s)g(s)ds, t ≥ 0, t0 trong đó φ (t, s) là ma tr n nghi m cơ b n th a mãn:  d  φ (t, s) = A(t)φ (t, s), t ≥ s, dt φ (s, s) = I.  1.2. Bài toán n đ nh h phương trình vi phân 1.2.1. Bài toán n đ nh Xét h phương trình vi phân  x(t) = f (t, x(t)), ˙ t ≥ 0,  (1.2.1) x(0) = x0 ,  trong đó f : R+ × Rn → Rn , v i m i t ≥ 0, x(t) ∈ Rn Gi s h phương trình (1.2.1) luôn có nghi m duy nh t trên kho ng [0, +∞). Đ nh nghĩa 1.2.1. Nghi m x0 (t) c a h (1.2.1) là n đ nh n u v i m i s ε > 0, v i m i t > 0, t n t i δ > 0 sao cho v i m i nghi m y(t) khác x0 (t) v i y(t0 ) = y0 c a h (1.2.1) th a mãn y0 − x0 < δ thì b t đ ng th c sau nghi m đúng: y(t) − x0 (t) < ε, ∀t ≥ t0 . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn11
  12. 5 Gi s x0 (t) là m t nghi m n đ nh c a h (1.2.1), b ng phép đ i bi n z(t) = x(t) − x0 (t), h (1.2.1) s đư c đưa v d ng:  z(t) = g(t, z(t)), t ≥ t0 , g(t, 0) = 0,  ˙ (1.2.2) z(t0 ) = z0 ,  trong đó: g(t, z(t)) = f (t, z(t) + x0 (t)) − f (t, x0 (t)). Khi đó z ≡ 0 là m t nghi m c a h (1.2.2) v i đi u ki n ban đ u z(t0 ) = z0 . Như v y, ta th y r ng vi c nghiên c u tính n đ nh c a m t nghi m x0 (t) c a h (1.2.1) đư c đưa v nghiên c u tính n đ nh c a nghi m không, (nghi m đ ng nh t b ng 0) c a h (1.2.2). Đ ng n g n, t nay thay vì nói nghi m không c a h (1.2.2) là n đ nh ta s nói h (1.2.2) là n đ nh. Do v y, t bây gi ta xét h (1.2.1) v i gi thi t h có nghi m 0, t c là: f (t, 0) = 0, t ∈ R+ Đ nh nghĩa 1.2.2. H (1.2.1) đư c g i là n đ nh n u v i m i s ε > 0, t0 ≥ 0 t n t i s δ > 0 sao cho b t kỳ nghi m x(t) v i đi u ki n ban đ u x(t0 ) = x0 th a mãn x0 < δ thì x(t) < ε, v i m i t ≥ t0 H (1.2.1) đư c g i là n đ nh ti m c n n u h là n đ nh và t n t i s δ0 > 0 sao cho n u x0 < δ0 thì lim x(t) = 0. t→∞ Đ nh nghĩa 1.2.3. H (1.2.1) đư c g i là n đ nh mũ n u t n t i s N > 0 và α > 0 sao cho m i nghi m x(t) c a h v i đi u ki n ban đ u x(t0 ) = x0 th a mãn x(t) ≤ Ne−α(t−t0 ) x0 , ∀t ≥ t0 . Khi đó N đư c g i là h s n đ nh Lyapunov, α g i là s mũ n đ nh, (N, α) là ch s n đ nh Lyapunov. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn12
  13. 6 Ngay t nh ng công trình đ u tiên, nhà toán h c ngư i Nga Lyapunov đã đưa ra tiêu chu n cho tính n đ nh mũ c a h phương trình vi phân tuy n tính. Xét h phương trình vi phân tuy n tính ôtônôm:  x(t) = Ax(t), t ≥ 0,  ˙ (1.2.3) x(0) = x0 ,  trong đó A là n × n− ma tr n h ng s . Đ nh lý 1.2.1. H phương trình tuy n tính (1.2.3) là n đ nh mũ khi và ch khi t t c các giá tr riêng c a A đ u có ph n th c âm. Ví d 1.2.1. Xét h phương trình (1.2.3) v i ma tr n:   −1 −2 A=  3 −5 √ √ có hai giá tr riêng là −3 − 2i và −3 + 2i. Vì Reλ (A) < 0 nên h phương trình (1.2.3) là n đ nh mũ. Đ nh lí trên đây là tiêu chu n đ u tiên v tính n đ nh c a h (1.2.3), g i là tiêu chu n n đ nh đ i s Lyapunov. Tuy nhiên, vi c tìm các giá tr riêng c a A s g p khó khăn n u A là ma tr n hàm s ho c đ i v i h phi tuy n. Chính vì th , đ kh c ph c khó khăn này, phương pháp hàm Lyapunov s xác đ nh tính n đ nh c a h đư c d dàng và thu n l i hơn. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn13
  14. 7 1.2.2. Phương pháp hàm Lyapunov Cho h phương trình vi phân  x(t) = f (t, x(t)), ˙ t ≥ 0,  (1.2.4) x(0) = x0 ,  trong đó f : R+ × Rn → Rn là hàm véc tơ cho trư c, x(t) ∈ Rn là véc tơ tr ng thái c a h v i gi thi t f (t, 0) = 0, ∀t ≥ 0. Ký hi u K là t p các hàm liên t c tăng ch t a(.) : R+ → R+ , a(0) = 0. V i m i hàm V (t, x) : R+ × Rn → R, ta kí hi u ˙ ∂V ∂V V f (t, x(t)) := + f (t, x(t)) ∂t ∂x là đ o hàm c a hàm V (t, x(t)) theo t d c theo nghi m x(t) c a h (1.2.4). Đ nh nghĩa 1.2.4. Hàm V (t, x) : R+ × Rn → R, V (t, 0) = 0, ∀t ≥ 0, kh vi liên t c đư c g i là hàm Lyapunov c a h (1.2.4) n u: (i) V (t, x) là hàm xác đ nh dương theo nghĩa ∃a(.) ∈ K : V (t, x) ≥ a( x ), ∀(t, x) ∈ R+ × Rn . ˙ (ii) V f (t, x(t)) ≤ 0, v i m i nghi m x(t) c a h (1.2.4). N u hàm V (t, x) th a mãn thêm đi u ki n: (iii) ∃b(.) ∈ K : V (t, x) ≤ b( x ), ∀(t, x) ∈ R+ × Rn . ˙ (iv) ∃c(.) ∈ K : V f (t, x(t)) ≤ −c( x(t) ), ∀(t, x) ∈ R+ ×Rn , v i m i nghi m x(t) c a h (1.2.4) thì ta g i hàm V (t, x) là hàm Lyapunov ch t. Đ nh lí sau đây ch ra m i liên h gi a tính n đ nh c a h phương trình (1.2.4) và s t n t i hàm Lyapunov c a h phương trình đó. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn14
  15. 8 Đ nh lý 1.2.2. Xét h phương trình vi phân(1.2.4) 1. N u h (1.2.4) t n t i hàm Lyapunov thì nó n đ nh. 2. N u h (1.2.4) t n t i hàm Lyapunov ch t thì nó n đ nh ti m c n. D a trên đ nh lí (1.2.2), đ nh lí sau đây cho ta m t đi u ki n đ v tính n đ nh mũ c a h (1.2.4) Đ nh lý 1.2.3. Gi s t n t i hàm V (t, x) : R+ × Rn → R, th a mãn: i) ∃λ1 > 0, λ2 > 0 : λ1 x 2 ≤ V (t, x) ≤ λ2 x 2 , ∀(t, x) ∈ R+ × Rn . ˙ ii) ∃α ≥ 0 : V f (t, x(t)) ≤ −2αV (t, x(t)), v i m i nghi m x(t) c a h λ2 (1.2.4) thì h (1.2.4) là n đ nh mũ v i α, N = là các ch s λ1 n đ nh Lyapunov. Xét phương trình Lyapunov đ i s : AT P + PA + Q = 0, (LE) trong đó P, Q là các ma tr n đ i x ng, xác đ nh dương. Đ nh lý 1.2.4. H phương trình vi phân tuy n tính ôtônôm (1.2.3) là n đ nh ti m c n khi và ch khi phương trình (LE) có c p nghi m P, Q là các ma tr n đ i x ng xác đ nh dương. Ví d 1.2.2. Xét h phương trình (1.2.3) v i   −1 −1 A=  2 −3 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn15
  16. 9 có hai giá tr riêng là −2 − i và −2 + i. Vì Reλ (A) < 0 nên h phương trình (1.2.3) là n đ nh mũ. Ngoài ra, v i ma tr n đ i x ng xác đ nh dương   4 2 Q=  2 3 d dàng tìm đư c nghi m P c a phương trình (LE) là m t ma tr n đ i x ng xác đ nh dương   23 3 10 20 P=  3 9 20 20 Theo đ nh lí (1.2.4) thì h phương trình (1.2.3) là n đ nh ti m c n. Xét h phương trình vi phân tuy n tính không ôtônôm  x(t) = A(t)x(t), t ∈ R+ ,  ˙ (1.2.5) x(0) = x0 ,  trong đó A(t) là n × n− ma tr n hàm s liên t c trên R+ . Đ nh nghĩa 1.2.5. Ma tr n P(t) ∈ Rn×n là xác đ nh dương đ u n u t n t i s dương λ > 0 : P(t)x, x ≥ λ x 2 , ∀t ≥ 0, ∀x ∈ Rn Đ nh lí sau đây cho ta m t đi u ki n đ đ h (1.2.5) là n đ nh thông qua phương trình Lyapunov vi phân. Đ nh lý 1.2.5. N u t n t i ma tr n hàm s P(t) đ i x ng, xác đ nh dương đ u, b ch n trên kho ng [0, ∞) và t n t i m t s dương ε > 0 th a mãn phương trình Lyapunov vi phân P(t) + AT (t)P(t) + A(t)P(t) + εI = 0 ˙ (1.2.6) thì h (1.2.5) n đ nh ti m c n đ u. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn16
  17. 10 Ví d 1.2.3. Xét h phương trình (1.2.5) v i   a(t) 0 A(t) =  , 0 b(t) −1 − cos2 t 1 a(t) = e + sin 2t, 2 2 −1 − sin2 t 1 b(t) = e − sin 2t, 2 2 L y ε = 1, ta có ma tr n hàm s :   2 ecos t 0 P(t) =  2 , 0 esin t đ i x ng, xác đ nh dương đ u và b ch n trên kho ng [0, ∞) đ ng th i là nghi m c a phương trình (1.2.6). Theo đ nh lý (1.2.5), h (1.2.5) n đ nh ti m c n đ u. 1.2.3. Bài toán n đ nh hóa Xét h phương trình vi phân đi u khi n  x(t) = f (t, x(t), u(t)), ˙ t ≥ 0,  (1.2.7) x(0) = x0 ,  trong đó: f : R+ × Rn × Rm → Rn , f (t, 0, 0) = 0, ∀t ≥ 0. Hàm u(.) trong L2 ([0,t], R), t ≥ 0 đư c g i là hàm đi u khi n ch p nh n đư c c a h (1.2.7). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn17
  18. 11 Đ nh nghĩa 1.2.6. H đi u khi n (1.2.7) g i là n đ nh hóa đư c n u như t n t i hàm g : Rn → Rm sao cho h phương trình vi phân không có đi u khi n (thư ng g i là h đóng - close loop system)  x(t) = f (t, x(t), g(x(t))), t ≥ 0,  ˙ (1.2.8) x(0) = x0 ,  là n đ nh ti m c n. Hàm u(t) = g(x(t)) đư c g i là hàm đi u khi n ngư c. Đ nh nghĩa 1.2.7. H đi u khi n (1.2.7) g i là n đ nh hóa mũ đư c n u như t n t i hàm g : Rn → Rm sao cho h phương trình vi phân (1.2.8) là n đ nh mũ. Đ nh nghĩa 1.2.8. Cho α > 0. N u h đóng (1.2.8) là n đ nh mũ theo h s n đ nh α thì h đi u khi n (1.2.7) g i là α- n đ nh hóa mũ đư c. Đ i v i trư ng h p h đi u khi n tuy n tính x(t) = Ax(t) + Bu(t),t ≥ 0, ˙ (1.2.9) trong đó A ∈ Rn×n , B ∈ Rn×m , x ∈ Rn , u ∈ Rm , là n đ nh hóa đư c n u t n t i ma tr n K ∈ Rm×n sao cho h tuy n tính x(t) = (A + BK)x(t) ˙ là n đ nh ti m c n. Đi u khi n u(t) = Kx(t), t ≥ 0 là hàm đi u khi n ngư c c a h . Ví d 1.2.4. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn18
  19. 12 Xét h đi u khi n tuy n tính (1.2.9) v i     1 0 1 A=  ∈ R2×2 , B =   ∈ R2×1 , 2 1 1 Ta có ma tr n K= −2 −3 ∈ R1×2 , th a mãn h tuy n tính x(t) = (A + BK)x(t) ˙ v i ma tr n   −1 −3 A + BK =  , 0 −2 là n đ nh ti m c n vì Reλ (A + BK) < 0. V y h đi u khi n tuy n tính (1.2.9) n đ nh hóa đư c v i hàm đi u khi n ngư c u(t) = −2 −3 x(t),t ≥ 0. 1.3. Bài toán n đ nh, n đ nh hóa cho h phương trình vi phân đi u khi n có tr Xét h phương trình có tr dư i d ng t ng quát:  x(t) = f (t, xt ), t ≥ 0,  ˙ (1.3.1) x(t) = φ (t), t ∈ [−h, 0],  trong đó f : R+ × C → Rn v i C = C([−h.0], Rn ), x(t) là m t hàm có tr liên t c trên R+ và nh n giá tr trong Rn . Hàm xt ∈ C, xt (s) = x(t + s) v i chu n Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn19
  20. 13 xt = sup x(t + s) , s∈[−h,0] ∀s ∈ [−h, 0], 0 ≤ h ≤ +∞. Ta kí hi u x(t, φ ) là m t nghi m c a h (1.3.1) th a mãn đi u ki n ban đ u x(t) = φ (t), ∀t ∈ [−h, 0]. Ký hi u: ˙ d ∂V ∂V V f (t, xt ) := V (t, xt ) = + f (t, xt ), dt ∂t ∂ xt trong đó ∂V V (t, xt+h ) −V (t, xt ) := lim . ∂ xt h→0+ h Đ nh lý 1.3.1. N u h (1.3.1) có hàm V (t, xt ) : R+ × C → R th a mãn: (i) ∃λ1 > 0, λ2 > 0 : λ1 x(t) 2 ≤ V (t, xt ) ≤ λ2 xt 2 , ∀t ≥ 0. ˙ (ii) V f (t, xt ) ≤ 0 v i m i nghi m x(t) c a h (1.3.1) thì h (1.3.1) là n đ nh và m i nghi m x(t) b ch n, t c là: ∃N > 0 : x(t, φ ) ≤ N φ , ∀t ≥ 0. N u đi u ki n (ii) đư c thay b ng đi u ki n ˙ (iii) ∃λ3 > 0 : V + f (t, xt ) < 0 v i m i nghi m x(t) c a h (1.3.1) thì h (1.3.1) n đ nh ti m c n. N u đi u ki n (iii) đư c thay b ng đi u ki n ˙ (iv) ∃α > 0 : V f (t, xt ) ≤ −2α(t, xt ) v i m i nghi m x(t) c a h (1.3.1) thì λ2 h (1.3.1) n đ nh mũ và các ch s n đ nh mũ là α và . λ1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn20

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

AMBIENT
Đồng bộ tài khoản