Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán ổn định các hệ tuyến tính lồi đa diện có trễ

Chia sẻ: Tran Van Lam | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:41

Thêm vào BST

Báo xấu

238
lượt xem 38
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán ổn định các hệ tuyến tính lồi đa diện có trễ gồm phần mở đầu, phần kết luận và 2 chương. Cụ thể chương 1 trình bày về cơ sở toán học, chương 2 trình bày về bài toán ổn định hệ tuyến tính lồi đa diện có trễ.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán ổn định các hệ tuyến tính lồi đa diện có trễ

Đ I H C THÁI NGUYÊN TRƯ NG Đ I H C SƯ PH M NGUY N DƯƠNG THÀNH BÀI TOÁN N Đ NH CÁC H TUY N TÍNH L I ĐA DI N CÓ TR LU N VĂN TH C SĨ TOÁN H C Thái Nguyên - 2012 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn1
Đ I H C THÁI NGUYÊN TRƯ NG Đ I H C SƯ PH M NGUY N DƯƠNG THÀNH BÀI TOÁN N Đ NH CÁC H TUY N TÍNH L I ĐA DI N CÓ TR Chuyên ngành: Gi i tích Mã s : 60.46.01.02 LU N VĂN TH C SĨ TOÁN H C NGƯ I HƯ NG D N KHOA H C GS.TSKH. VŨ NG C PHÁT Thái Nguyên - 2012 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn2
i M cl c M t s kí hi u toán h c dùng trong lu n văn . . . . . . . . iii L i m đ u. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv Chương 1. Cơ s toán h c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1. H phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1. H phương trình vi phân t ng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2. H phương trình vi phân tuy n tính ôtônôm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.3. H phương trình vi phân tuy n tính không ôtônôm . . . . . . . . . . . . 3 1.2. Bài toán n đ nh h phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.1. Bài toán n đ nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2. Phương pháp hàm Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.3. Bài toán n đ nh hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3. Bài toán n đ nh, n đ nh hóa cho h phương trình vi phân đi u khi n có tr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4. M t s b đ b tr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Chương 2. Bài toán n đ nh các h tuy n tính l i đa di n có tr 16 2.1. Đ nh nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn3
ii 2.2. Bài toán n đ nh mũ cho h tuy n tính l i đa di n có tr . . 18 2.3. Bài toán n đ nh hóa cho h tuy n tính l i đa di n có tr . . 24 K t lu n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Tài li u tham kh o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn4
iii M TS KÍ HI U TOÁN H C DÙNG TRONG LU N VĂN • R+ : T p các s th c không âm. • Rn : Không gian véc tơ n -chi u v i kí hi u tích vô hư ng là ., . và chu n véc tơ là . . • Rn×r : Không gian các ma tr n (n × r)- chi u. • D: Lân c n m c a 0 trong Rn . • C([a, b], Rn ): T p các hàm liên t c trên [a, b] và nh n giá tr trên Rn . • L2 ([a, b], Rm ): T p các hàm kh tích b c hai trên [a, b] l y giá tr trong Rm . • AT : Ma tr n chuy n v c a ma tr n A. • I: Ma tr n đơn v . • λ (A): T p t t c các giá tr riêng c a A. • λmax (A) := max{Reλ : λ ∈ λ (A)}. • λmin (A) := min{Reλ : λ ∈ λ (A)}. • A > 0: Ma tr n A xác đ nh dương n u Ax, x > 0, ∀x = 0. • A ≥ 0: Ma tr n A xác đ nh không âm n u Ax, x ≥ 0, ∀x ∈ Rn . • A = λmax (AT A): Chu n ph c a ma tr n A. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn5
iv L IM Đ U Lý Thuy t n đ nh là m t ph n quan tr ng c a lý thuy t đ nh tính phương trình vi phân. Lý thuy t n đ nh đư c nghiên c u t cu i th k 19 b i nhà toán h c ngư i Nga A. M. Lyapunov. Tr i qua hơn m t th k , lý thuy t này ngày càng phát tri n m nh m như m t lý thuy t toán h c đ c l p v i nhi u ng d ng r ng rãi trong nhi u lĩnh v c như cơ h c, sinh thái h c, kinh t , khoa h c kĩ thu t... Hi n nay, lý thuy t n đ nh đang phát tri n theo hai hư ng ng d ng và lí thuy t, đư c nhi u nhà toán h c trên th gi i và trong nư c quan tâm nghiên c u như: Yoshizawa T., Hale J. K., Verduyn Lunel S. M., Nguy n Th Hoàn, Tr n Văn Nhung, Vũ Ng c Phát, Nguy n H u Dư... đã thu đư c nhi u k t qu , tính ch t quan tr ng ( xem [3, 4, 5]). Như chúng ta đã bi t, có nhi u phương pháp đ nghiên c u lý thuy t n đ nh như: phương pháp th nh t Lyapunov - phương pháp s mũ đ c trưng, phương pháp th hai Lyapunov - phương pháp hàm Lyapunov, phương pháp x p x ... Phương pháp hàm Lyapunov là m t phương pháp r t h u hi u đ nghiên c u tính ch t n đ nh c a các h phương trình vi phân, lý thuy t các h đi u khi n, các h đ ng l c...Trong lu n văn này, chúng tôi nghiên c u tính n đ nh, n đ nh hóa h phương trình vi phân tuy n tính có tr b ng phương pháp th hai c a Lyapunov - phương pháp hàm Lyapunov. Lu n văn gi i thi u m t cách t ng quan v tính ch t n đ nh c a h phương trình vi phân, h phương trình vi phân tuy n tính, bài toán n đ nh và bài toán n đ nh hóa h phương trình vi phân tuy n tính l i đa di n có tr . B n lu n văn g m ph n m đ u, ph n k t lu n và 2 chương. C th là: Chương 1: Cơ s toán h c. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn6
v Trong chương này, chúng tôi trình bày m t s ki n th c cơ s v h phương trình vi phân, tính n đ nh và n đ nh hóa h phương trình vi phân, đ ng th i trình bày v phương pháp hàm Lyapunov đ gi i bài toán n đ nh c a h phương trình vi phân. Cu i chương, chúng tôi nêu lên m t s tính ch t cơ b n v tính n đ nh c a các h phương trình vi phân tuy n tính ôtônôm và h phương trình vi phân tuy n tính không ôtônôm và m t s b đ b tr cho chương sau. Chương 2: Bài toán n đ nh h tuy n tính l i đa di n có tr . Trong chương này, chúng tôi trình bày các đi u ki n đ v tính n đ nh, n đ nh hóa đư c các h phương trình vi phân tuy n tính l i đa di n có tr và m t s ví d minh h a. Tôi xin bày t s kính tr ng và lòng bi t ơn chân thành nh t đ n GS.TSKH Vũ Ng c Phát, ngư i th y đã t n tình ch b o, hư ng d n tôi trong su t quá trình làm lu n văn. Đ ng th i, tôi xin đư c bày t lòng bi t ơn t i các th y cô khoa Toán, khoa Sau đ i h c, trư ng Đ i h c Sư ph m - Đ i h c Thái Nguyên đã t o đi u ki n giúp đ , ch b o tôi trong quá trình h c t p, nghiên c u t i trư ng. Cu i cùng, tôi xin c m ơn nh ng ngư i thân, b n bè, đ ng nghi p, nh ng ngư i luôn ng h , đ ng viên và là ch d a tinh th n cho tôi trong su t quá trình h c t p, làm vi c, nghiên c u cũng như trong cu c s ng. M c dù b n thân đã c g ng r t nhi u, nhưng do th i gian th c hi n lu n văn không nhi u, ki n th c và trình đ còn h n ch nên lu n văn không tránh kh i nh ng h n ch và sai sót. Tôi r t mong nh n đư c s ch b o, góp ý và nh ng ý ki n ph n bi n c a quý th y cô và b n đ c. Tôi xin chân thành c m ơn! Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn7
Chương 1 Cơ s toán h c Trong chương này chúng tôi trình bày m t s khái ni m toán h c cơ s v h phương trình vi phân tuy n tính, nghi m c a h phương trình vi phân tuy n tính, tính n đ nh và n đ nh hóa h phương trình vi phân tuy n tính, phương pháp hàm Lyapunov đ nghiên c u tính n đ nh c a h phương trình vi phân tuy n tính theo [1 - 4]. 1.1. H phương trình vi phân 1.1.1. H phương trình vi phân t ng quát Đ nh nghĩa 1.1.1. H phương trình vi phân t ng quát có d ng:  x(t) = f (t, x(t)), ˙ t ≥ t0 ,  (1.1.1) x(t0 ) = x0 , t0 ≥ 0,  Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn8
2 trong đó f : R+ × Rn → Rn , v i m i t ≥ t0 , x(t) ∈ Rn . Hàm kh vi liên t c x(t) th a mãn h phương trình (1.1.1) đư c g i là nghi m c a h phương trình vi phân đó và đư c kí hi u là x(t, x0 ). Công th c nghi m d ng tích phân c a h (1.1.1) là t x(t, x0 ) = x0 + f (s, x(s))ds t0 Đ nh lí sau đây kh ng đ nh s t n t i duy nh t nghi m c a h phương trình vi phân (1.1.1). Đ nh lý 1.1.1. (Đ nh lí Picard - Lindeloff) Xét h phương trình vi phân (1.1.1) trong đó gi s f : I × D → Rn (I = [t0 ,t0 + b]) liên t c theo t và th a mãn đi u ki n Lipschitz theo x: ∃K > 0 : f (t, x1 ) − f (t, x2 ) ≤ K x1 − x2 , ∀t ≥ 0 Khi đó, v i m i (t0 , x0 ) ∈ R+ × D s tìm đư c m t s d > 0 sao cho h phương trình (1.1.1) có nghi m duy nh t trên kho ng [x0 + d, x0 − d]. Hay nói cách khác, qua m i đi m (t0 , x0 ) ∈ I × D có m t và ch m t đư ng cong tích phân ch y qua. Đ nh lý 1.1.2. (Đ nh lí Caratheodory) Gi s f (t, x) là hàm đo đư c theo t ∈ I và liên t c theo x ∈ D. N u t n t i hàm kh tích m(t) trên [t0 ,t0 + b] sao cho f (t, x) ≤ m(t), ∀(t, x) ∈ I × D. thì h (1.1.1) có nghi m trên kho ng [t0 ,t0 + β ] nào đó. V i m t s gi thi t trên c a hàm f (t, x) thì nghi m x(t, x0 ) đư c xác đ nh trên [0, +∞). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn9
3 Đ c bi t, đ i v i các h phương trình vi phân tuy n tính x(t) = A(t)x(t) + g(t), ˙ trong đó A(t), g(t) là các hàm liên t c thì luôn t n t i nghi m x(t, x0 ) xác đ nh trên toàn kho ng [0, +∞). 1.1.2. H phương trình vi phân tuy n tính ôtônôm Đ nh nghĩa 1.1.2. H phương trình vi phân tuy n tính ôtônôm có d ng:  x(t) = Ax(t) + g(t), ˙ t ∈ R+ ,  (1.1.2) x(t0 ) = x0 , t0 ≥ 0,  trong đó A là n × n− ma tr n h ng s , g : R+ → Rn là hàm liên t c. Nghi m c a h phương trình (1.1.2) đư c bi u di n b i công th c Cauchy t A(t−t0 ) x(t, x0 ) = e x0 + eA(t−s) g(s))ds, t ≥ 0. t0 1.1.3. H phương trình vi phân tuy n tính không ôtônôm Đ nh nghĩa 1.1.3. H phương trình vi phân tuy n tính không ôtônôm có d ng:  x(t) = A(t)x(t) + g(t), ˙ t ∈ R+ ,  (1.1.3) x(t0 ) = x0 , t0 ≥ 0,  trong đó A(t) là n × n− ma tr n các hàm s liên t c trên R+ , g : R+ → Rn là hàm liên t c. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn10
4 Nghi m c a h phương trình (1.1.3) đư c bi u di n ma tr n nghi m cơ b n φ (t, s) c a h thu n nh t x(t) = A(t)x(t), ˙ t ≥ 0, và đư c cho b i công th c tích phân t x(t) = φ (t,t0 )x0 + φ (t, s)g(s)ds, t ≥ 0, t0 trong đó φ (t, s) là ma tr n nghi m cơ b n th a mãn:  d  φ (t, s) = A(t)φ (t, s), t ≥ s, dt φ (s, s) = I.  1.2. Bài toán n đ nh h phương trình vi phân 1.2.1. Bài toán n đ nh Xét h phương trình vi phân  x(t) = f (t, x(t)), ˙ t ≥ 0,  (1.2.1) x(0) = x0 ,  trong đó f : R+ × Rn → Rn , v i m i t ≥ 0, x(t) ∈ Rn Gi s h phương trình (1.2.1) luôn có nghi m duy nh t trên kho ng [0, +∞). Đ nh nghĩa 1.2.1. Nghi m x0 (t) c a h (1.2.1) là n đ nh n u v i m i s ε > 0, v i m i t > 0, t n t i δ > 0 sao cho v i m i nghi m y(t) khác x0 (t) v i y(t0 ) = y0 c a h (1.2.1) th a mãn y0 − x0 < δ thì b t đ ng th c sau nghi m đúng: y(t) − x0 (t) < ε, ∀t ≥ t0 . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn11
5 Gi s x0 (t) là m t nghi m n đ nh c a h (1.2.1), b ng phép đ i bi n z(t) = x(t) − x0 (t), h (1.2.1) s đư c đưa v d ng:  z(t) = g(t, z(t)), t ≥ t0 , g(t, 0) = 0,  ˙ (1.2.2) z(t0 ) = z0 ,  trong đó: g(t, z(t)) = f (t, z(t) + x0 (t)) − f (t, x0 (t)). Khi đó z ≡ 0 là m t nghi m c a h (1.2.2) v i đi u ki n ban đ u z(t0 ) = z0 . Như v y, ta th y r ng vi c nghiên c u tính n đ nh c a m t nghi m x0 (t) c a h (1.2.1) đư c đưa v nghiên c u tính n đ nh c a nghi m không, (nghi m đ ng nh t b ng 0) c a h (1.2.2). Đ ng n g n, t nay thay vì nói nghi m không c a h (1.2.2) là n đ nh ta s nói h (1.2.2) là n đ nh. Do v y, t bây gi ta xét h (1.2.1) v i gi thi t h có nghi m 0, t c là: f (t, 0) = 0, t ∈ R+ Đ nh nghĩa 1.2.2. H (1.2.1) đư c g i là n đ nh n u v i m i s ε > 0, t0 ≥ 0 t n t i s δ > 0 sao cho b t kỳ nghi m x(t) v i đi u ki n ban đ u x(t0 ) = x0 th a mãn x0 < δ thì x(t) < ε, v i m i t ≥ t0 H (1.2.1) đư c g i là n đ nh ti m c n n u h là n đ nh và t n t i s δ0 > 0 sao cho n u x0 < δ0 thì lim x(t) = 0. t→∞ Đ nh nghĩa 1.2.3. H (1.2.1) đư c g i là n đ nh mũ n u t n t i s N > 0 và α > 0 sao cho m i nghi m x(t) c a h v i đi u ki n ban đ u x(t0 ) = x0 th a mãn x(t) ≤ Ne−α(t−t0 ) x0 , ∀t ≥ t0 . Khi đó N đư c g i là h s n đ nh Lyapunov, α g i là s mũ n đ nh, (N, α) là ch s n đ nh Lyapunov. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn12
6 Ngay t nh ng công trình đ u tiên, nhà toán h c ngư i Nga Lyapunov đã đưa ra tiêu chu n cho tính n đ nh mũ c a h phương trình vi phân tuy n tính. Xét h phương trình vi phân tuy n tính ôtônôm:  x(t) = Ax(t), t ≥ 0,  ˙ (1.2.3) x(0) = x0 ,  trong đó A là n × n− ma tr n h ng s . Đ nh lý 1.2.1. H phương trình tuy n tính (1.2.3) là n đ nh mũ khi và ch khi t t c các giá tr riêng c a A đ u có ph n th c âm. Ví d 1.2.1. Xét h phương trình (1.2.3) v i ma tr n:   −1 −2 A=  3 −5 √ √ có hai giá tr riêng là −3 − 2i và −3 + 2i. Vì Reλ (A) < 0 nên h phương trình (1.2.3) là n đ nh mũ. Đ nh lí trên đây là tiêu chu n đ u tiên v tính n đ nh c a h (1.2.3), g i là tiêu chu n n đ nh đ i s Lyapunov. Tuy nhiên, vi c tìm các giá tr riêng c a A s g p khó khăn n u A là ma tr n hàm s ho c đ i v i h phi tuy n. Chính vì th , đ kh c ph c khó khăn này, phương pháp hàm Lyapunov s xác đ nh tính n đ nh c a h đư c d dàng và thu n l i hơn. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn13
7 1.2.2. Phương pháp hàm Lyapunov Cho h phương trình vi phân  x(t) = f (t, x(t)), ˙ t ≥ 0,  (1.2.4) x(0) = x0 ,  trong đó f : R+ × Rn → Rn là hàm véc tơ cho trư c, x(t) ∈ Rn là véc tơ tr ng thái c a h v i gi thi t f (t, 0) = 0, ∀t ≥ 0. Ký hi u K là t p các hàm liên t c tăng ch t a(.) : R+ → R+ , a(0) = 0. V i m i hàm V (t, x) : R+ × Rn → R, ta kí hi u ˙ ∂V ∂V V f (t, x(t)) := + f (t, x(t)) ∂t ∂x là đ o hàm c a hàm V (t, x(t)) theo t d c theo nghi m x(t) c a h (1.2.4). Đ nh nghĩa 1.2.4. Hàm V (t, x) : R+ × Rn → R, V (t, 0) = 0, ∀t ≥ 0, kh vi liên t c đư c g i là hàm Lyapunov c a h (1.2.4) n u: (i) V (t, x) là hàm xác đ nh dương theo nghĩa ∃a(.) ∈ K : V (t, x) ≥ a( x ), ∀(t, x) ∈ R+ × Rn . ˙ (ii) V f (t, x(t)) ≤ 0, v i m i nghi m x(t) c a h (1.2.4). N u hàm V (t, x) th a mãn thêm đi u ki n: (iii) ∃b(.) ∈ K : V (t, x) ≤ b( x ), ∀(t, x) ∈ R+ × Rn . ˙ (iv) ∃c(.) ∈ K : V f (t, x(t)) ≤ −c( x(t) ), ∀(t, x) ∈ R+ ×Rn , v i m i nghi m x(t) c a h (1.2.4) thì ta g i hàm V (t, x) là hàm Lyapunov ch t. Đ nh lí sau đây ch ra m i liên h gi a tính n đ nh c a h phương trình (1.2.4) và s t n t i hàm Lyapunov c a h phương trình đó. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn14
8 Đ nh lý 1.2.2. Xét h phương trình vi phân(1.2.4) 1. N u h (1.2.4) t n t i hàm Lyapunov thì nó n đ nh. 2. N u h (1.2.4) t n t i hàm Lyapunov ch t thì nó n đ nh ti m c n. D a trên đ nh lí (1.2.2), đ nh lí sau đây cho ta m t đi u ki n đ v tính n đ nh mũ c a h (1.2.4) Đ nh lý 1.2.3. Gi s t n t i hàm V (t, x) : R+ × Rn → R, th a mãn: i) ∃λ1 > 0, λ2 > 0 : λ1 x 2 ≤ V (t, x) ≤ λ2 x 2 , ∀(t, x) ∈ R+ × Rn . ˙ ii) ∃α ≥ 0 : V f (t, x(t)) ≤ −2αV (t, x(t)), v i m i nghi m x(t) c a h λ2 (1.2.4) thì h (1.2.4) là n đ nh mũ v i α, N = là các ch s λ1 n đ nh Lyapunov. Xét phương trình Lyapunov đ i s : AT P + PA + Q = 0, (LE) trong đó P, Q là các ma tr n đ i x ng, xác đ nh dương. Đ nh lý 1.2.4. H phương trình vi phân tuy n tính ôtônôm (1.2.3) là n đ nh ti m c n khi và ch khi phương trình (LE) có c p nghi m P, Q là các ma tr n đ i x ng xác đ nh dương. Ví d 1.2.2. Xét h phương trình (1.2.3) v i   −1 −1 A=  2 −3 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn15
9 có hai giá tr riêng là −2 − i và −2 + i. Vì Reλ (A) < 0 nên h phương trình (1.2.3) là n đ nh mũ. Ngoài ra, v i ma tr n đ i x ng xác đ nh dương   4 2 Q=  2 3 d dàng tìm đư c nghi m P c a phương trình (LE) là m t ma tr n đ i x ng xác đ nh dương   23 3 10 20 P=  3 9 20 20 Theo đ nh lí (1.2.4) thì h phương trình (1.2.3) là n đ nh ti m c n. Xét h phương trình vi phân tuy n tính không ôtônôm  x(t) = A(t)x(t), t ∈ R+ ,  ˙ (1.2.5) x(0) = x0 ,  trong đó A(t) là n × n− ma tr n hàm s liên t c trên R+ . Đ nh nghĩa 1.2.5. Ma tr n P(t) ∈ Rn×n là xác đ nh dương đ u n u t n t i s dương λ > 0 : P(t)x, x ≥ λ x 2 , ∀t ≥ 0, ∀x ∈ Rn Đ nh lí sau đây cho ta m t đi u ki n đ đ h (1.2.5) là n đ nh thông qua phương trình Lyapunov vi phân. Đ nh lý 1.2.5. N u t n t i ma tr n hàm s P(t) đ i x ng, xác đ nh dương đ u, b ch n trên kho ng [0, ∞) và t n t i m t s dương ε > 0 th a mãn phương trình Lyapunov vi phân P(t) + AT (t)P(t) + A(t)P(t) + εI = 0 ˙ (1.2.6) thì h (1.2.5) n đ nh ti m c n đ u. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn16
10 Ví d 1.2.3. Xét h phương trình (1.2.5) v i   a(t) 0 A(t) =  , 0 b(t) −1 − cos2 t 1 a(t) = e + sin 2t, 2 2 −1 − sin2 t 1 b(t) = e − sin 2t, 2 2 L y ε = 1, ta có ma tr n hàm s :   2 ecos t 0 P(t) =  2 , 0 esin t đ i x ng, xác đ nh dương đ u và b ch n trên kho ng [0, ∞) đ ng th i là nghi m c a phương trình (1.2.6). Theo đ nh lý (1.2.5), h (1.2.5) n đ nh ti m c n đ u. 1.2.3. Bài toán n đ nh hóa Xét h phương trình vi phân đi u khi n  x(t) = f (t, x(t), u(t)), ˙ t ≥ 0,  (1.2.7) x(0) = x0 ,  trong đó: f : R+ × Rn × Rm → Rn , f (t, 0, 0) = 0, ∀t ≥ 0. Hàm u(.) trong L2 ([0,t], R), t ≥ 0 đư c g i là hàm đi u khi n ch p nh n đư c c a h (1.2.7). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn17
11 Đ nh nghĩa 1.2.6. H đi u khi n (1.2.7) g i là n đ nh hóa đư c n u như t n t i hàm g : Rn → Rm sao cho h phương trình vi phân không có đi u khi n (thư ng g i là h đóng - close loop system)  x(t) = f (t, x(t), g(x(t))), t ≥ 0,  ˙ (1.2.8) x(0) = x0 ,  là n đ nh ti m c n. Hàm u(t) = g(x(t)) đư c g i là hàm đi u khi n ngư c. Đ nh nghĩa 1.2.7. H đi u khi n (1.2.7) g i là n đ nh hóa mũ đư c n u như t n t i hàm g : Rn → Rm sao cho h phương trình vi phân (1.2.8) là n đ nh mũ. Đ nh nghĩa 1.2.8. Cho α > 0. N u h đóng (1.2.8) là n đ nh mũ theo h s n đ nh α thì h đi u khi n (1.2.7) g i là α- n đ nh hóa mũ đư c. Đ i v i trư ng h p h đi u khi n tuy n tính x(t) = Ax(t) + Bu(t),t ≥ 0, ˙ (1.2.9) trong đó A ∈ Rn×n , B ∈ Rn×m , x ∈ Rn , u ∈ Rm , là n đ nh hóa đư c n u t n t i ma tr n K ∈ Rm×n sao cho h tuy n tính x(t) = (A + BK)x(t) ˙ là n đ nh ti m c n. Đi u khi n u(t) = Kx(t), t ≥ 0 là hàm đi u khi n ngư c c a h . Ví d 1.2.4. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn18
12 Xét h đi u khi n tuy n tính (1.2.9) v i     1 0 1 A=  ∈ R2×2 , B =   ∈ R2×1 , 2 1 1 Ta có ma tr n K= −2 −3 ∈ R1×2 , th a mãn h tuy n tính x(t) = (A + BK)x(t) ˙ v i ma tr n   −1 −3 A + BK =  , 0 −2 là n đ nh ti m c n vì Reλ (A + BK) < 0. V y h đi u khi n tuy n tính (1.2.9) n đ nh hóa đư c v i hàm đi u khi n ngư c u(t) = −2 −3 x(t),t ≥ 0. 1.3. Bài toán n đ nh, n đ nh hóa cho h phương trình vi phân đi u khi n có tr Xét h phương trình có tr dư i d ng t ng quát:  x(t) = f (t, xt ), t ≥ 0,  ˙ (1.3.1) x(t) = φ (t), t ∈ [−h, 0],  trong đó f : R+ × C → Rn v i C = C([−h.0], Rn ), x(t) là m t hàm có tr liên t c trên R+ và nh n giá tr trong Rn . Hàm xt ∈ C, xt (s) = x(t + s) v i chu n Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn19
13 xt = sup x(t + s) , s∈[−h,0] ∀s ∈ [−h, 0], 0 ≤ h ≤ +∞. Ta kí hi u x(t, φ ) là m t nghi m c a h (1.3.1) th a mãn đi u ki n ban đ u x(t) = φ (t), ∀t ∈ [−h, 0]. Ký hi u: ˙ d ∂V ∂V V f (t, xt ) := V (t, xt ) = + f (t, xt ), dt ∂t ∂ xt trong đó ∂V V (t, xt+h ) −V (t, xt ) := lim . ∂ xt h→0+ h Đ nh lý 1.3.1. N u h (1.3.1) có hàm V (t, xt ) : R+ × C → R th a mãn: (i) ∃λ1 > 0, λ2 > 0 : λ1 x(t) 2 ≤ V (t, xt ) ≤ λ2 xt 2 , ∀t ≥ 0. ˙ (ii) V f (t, xt ) ≤ 0 v i m i nghi m x(t) c a h (1.3.1) thì h (1.3.1) là n đ nh và m i nghi m x(t) b ch n, t c là: ∃N > 0 : x(t, φ ) ≤ N φ , ∀t ≥ 0. N u đi u ki n (ii) đư c thay b ng đi u ki n ˙ (iii) ∃λ3 > 0 : V + f (t, xt ) < 0 v i m i nghi m x(t) c a h (1.3.1) thì h (1.3.1) n đ nh ti m c n. N u đi u ki n (iii) đư c thay b ng đi u ki n ˙ (iv) ∃α > 0 : V f (t, xt ) ≤ −2α(t, xt ) v i m i nghi m x(t) c a h (1.3.1) thì λ2 h (1.3.1) n đ nh mũ và các ch s n đ nh mũ là α và . λ1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn20