MAXIMA Phần mềm toán học nguồn mở

Chia sẻ: Mai Trần Thúy Hạnh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:17

Thêm vào BST

Báo xấu

324
lượt xem 66
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Centa xin giới thiệu với quý thầy cô những tính năng cơ bản nhất của phần mềm lập trình toán Maxima - một phần mềm mã mở nguồn nhưng rất hiệu quả, đủ sức thay thế các phần mềm thương mại như Maple, Mathematica

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: MAXIMA Phần mềm toán học nguồn mở

1/23/2009 MAXIMA PH N M M TOÁN H C NGU N M - CENTEA - CENTEA xin gi i thi u v i quý Th y Cô nh ng tính năng cơ b n nh t c a ph n m m l p trình tính toán Maxima – m t ph n m m mã ngu n m nhưng r t hi u qu , ñ s c thay th các ph n m m thương m i như Maple, Mathematica www.giaovien.net --//-- www.center4teachers.com Trang 1/17 centea.info@gmail.com
1/23/2009 I. Gi i thi u chương trình: ð u tiên quý Th y Cô c n t i chương trình Maxima phiên b n 5.17.0 (phiên b n m i nh t) dành cho HðH Windows t i ñ a ch : http://sourceforge.net/project/showfiles.php?group_id=4933&package_id=4960 . Ngoài ra, chương trình này còn có 1 b n dành cho h ñi u hành ngu n m Linux v i nhi u tính năng hơn nh m h tr vi c l p trình tính toán. Website c a chương trình: http://maxima.sourceforge.net/ V i file v a t i v , Th y Cô ti n hành cài ñ t bình thư ng Sau khi cài xong, trên desktop, chúng ta s có 2 shortcut là xmaxima và wxMaxima. Trong ñó: - xmaxima dùng ñ cho ngư i dùng vi t các bi u th c tính toán b ng câu l nh (v n dành cho nh ng ngư i ñã thành th o và thích dùng câu l nh hơn là click chu t, tính năng này tương ng v i Maple Classic); - wxMaxima có nh ng menu l nh tr c quan giúp cho nh ng ngư i m i làm quen v i ph n m m này có th thi t l p ñư c các bi u th c c n tính toán thông qua các menu mà không c n nh câu l nh. Cũng gi ng như Maple và Mathematica, ph n m m Maxima cho phép ngư i dùng khai báo và tính toán v i nh ng tham s b ng ch . Khi kích ho t wxMaxima, Th y Cô ch c n ñ i trong nháy m t thì chương trình s kh i ñ ng xong và hi n ra giao di n như sau: www.giaovien.net --//-- www.center4teachers.com Trang 2/17 centea.info@gmail.com
1/23/2009 Trong ñó: các l nh c n tính toán ñư c thi t k trong các menu l nh theo t ng ch ñ , bao g m các menu: 1. File 2. Edit 3. Maxima (thi t l p các thông s cho Maxima), 4. Equations (tìm nghi m c a ña th c, phương trình, h phương trình tuy n tính, phương trinh vi phân, ...) , 5. Algebra (các bài toán v ma tr n như: ma tr n ngh ch ñ o, ña th c ñ c trưng, giá tr riêng, vecto riêng, ma tr n ph h p...) 6. Calculus (các bài toán tìm gi i h n, ñ o hàm, tính tích phân b t ñ nh, tích phân xác ñ nh, tính g n ñúng tích phân, chia ña th c, khai tri n Taylor – Maclaurin, kh o sát chu i s , tìm t ng c a chu i s , phép bi n ñ i Laplace, phép bi n ñ i Laplace ngư c...) 7. Simplify (khai tri n, rút g n các bi u th c), 8. Plot (v các ñ th 2D, 3D trong t a ñ vuông góc, t a ñ c c,...), 9. Numeric: công c chuy n ñ i các phân s , bi u th c ra d ng s th c. 10. Help www.giaovien.net --//-- www.center4teachers.com Trang 3/17 centea.info@gmail.com
1/23/2009 Sau khi kh i ñ ng chương trình xong, Th y Cô nh p chu t vào phía dư i cùng c a khung nh p l nh và nh n phím Spacebar (d u cách) ñ hi n khung nh p l nh vào. B y gi , Th y Cô có th ch n các l nh t các menu tương ng ñ yêu c u chương trình tính toán. N u Th y Cô nh các câu l nh và mu n t nh p dòng l nh thay vì ch n các nút l nh trên menu thì Th y Cô c n k t thúc dòng l nh b ng d u ; sau ñó, nh n Ctrl + Enter (ho c Shift + Enter) ñ chương trình tính toán. II. Các hàm và toán t thông d ng: ð thu n l i trong vi c nh p các bi u th c c n tính toán Th y Cô c n chú ý m t s hàm và toán t thông d ng sau: 1. Các h ng s : Câu l nh %a %e %pi %phi acos(x) infinity (inf) minf π Hàm khai báo a e=2.7182... arccosx +∞ -∞ 1+ 5 2 là h ng s 2. Các hàm s lư ng giác, hàm lư ng giác ngư c: Câu l nh sin(x) cos(x) tan(x) cot(x) acos(x) asin(x) atan(x) Hàm sinx cosx tgx cotgx arccosx arcsinx arctgx 3. Các hàm s hyprebol, hàm s mũ, hàm log Câu l nh cosh(x) sinh(x) tanh(x) a^x exp(x) log(x) %e^x ax Hàm Cosine sin tangent e^x lnx Hyperbol hyperbol hyperbol 4. Các toán t thông d ng: “!”: Ký hi u x! trong maxima ñư c ñ nh nghĩa cho hàm - Toán t ∞ Gamma x ! = Γ( x + 1) = ∫ t x e − t dt , ∀x ∈ R , trong ñó n u x ∈ N ta có x! = 1.2.3...x 0 Toán t “!!” (giai th a b i): nghĩa là: - www.giaovien.net --//-- www.center4teachers.com Trang 4/17 centea.info@gmail.com
1/23/2009  2m.(2m − 2).(2m − 4)...2, n = 2m n !! =  (2k + 1).(2k − 1).(2k − 3)...1, n = 2k + 1 - Toán t “#”: a # b ñư c hi u là a ≠ b - Toán t “.” : ñư c dùng ñ nhân 2 ma tr n A, B, nghĩa là: A.B Toán t “:” : (toán t gán) Ta s d ng câu l nh ten_bien : gia_tri_gan; ñ gán 1 - giá tr nào ñó cho bi n. Ví d : ñ gán giá tr cho bi n a là 10 thì ta c n khai báo là: a:10. N u gán giá tr ñ ng th i nhi u bi n ta có th dùng câu l nh sau: [a , b, c] : [1, 5, 12] (nghĩa là a = 1 , b = 5, c = 12) Toán t “:=” : dùng ñ khai báo hàm s . Ví d : f (x,y) := x^2 + y^2 – exp(x*y), - nghĩa là gán hàm f là hàm theo 2 bi n x, y xác ñ nh b i bi u th c: x 2 + y 2 − e xy Toán t “and”: phép giao - Toán t “or” : phép h p - Toán t “abs(x)”: tr tuy t ñ i c a x , n u x là s phúc, thì toán t này chính là - phép l y modun c a s ph c x. Toán t “ceiling(x)”: làm tròn giá tr ñ n s nguyên nh nh t l n hơn x. Ví d : - ceiling(2.3) ta ñư c k t qu là 3. Toán t “compare(x,y)”: so sánh giá tr c a x v i y. K t qu tr v là các phép - toán logic : , = , =, # . Ví d : compare(1/x,0) k t qu s là # ; compare(x,abs(x)) ta ñư c k t qu
1/23/2009 Toán t “min(x_1,x_2,...x_n)”: tr v giá tr l n nh t trong các giá tr x_1, x_2, - ..., x_n Toán t “random(x)” : t o 1 s ng u nhiên có giá tr trong kho ng t [0;x] - Toán t “round(x)”: làm tròn giá tr c a x. Ví d : round(2.49) = 2 ; round(2.51) - =3 1, x > 0  Toán t “signum(x)”: signum( x) = 0, x = 0 -  −1, x < 0  Toán t “sqrt(x)” : tr v giá tr căn b c hai c a x - III. Ví d minh h a các ch c năng c a Maxima: Chúng ta s l n lư t tìm hi u các ch c năng c a Maxima thông qua các menu l nh c a wxmaxima 1. Menu File: - Open - Save - Save as - Load Package (t i các gói m r ng c a wxmaxima vào chương trình) - Batch file (ch y các file th c thi ñư c t o b i Maxima) - Export ( xu t file ñang tính toán ra ñ nh d ng web ho c LaTex) - Print - Exit 2. Menu Edit: - Cut - Copy - Copy as TeX : copy ño n công th c thành ño n mã c a LaTex. Ch c năng này ch có hi u nghi m khi v ñ th www.giaovien.net --//-- www.center4teachers.com Trang 6/17 centea.info@gmail.com
1/23/2009 - Copy as Image : copy ñ th dư i d ng file hình ñ dán vào các chương trình khác như: Word, PP, Paint, HTML Editor,... - Paste - Select All - Select To Image - Cell - Zoom In: phóng to ; Zoom Out: thu nh - Configure: c u hình các thông s cho chương trình wxmaxima. 3. Menu Maxima: - Interrupt (phím t t: Ctrl + G ): ng t b quá trình th c hi n tính toán. Thư ng g p trong nh ng trư ng h p bi u th c quá ph c t p, d n ñ n treo máy. - Restart Maxima: xóa b h t b nh c a chương trình và các bi u th c file ñang th c thi. - Clear memory: xóa các k t qu và các bi n lưu trong b nh - Show function: th hi n các hàm s ñã khai báo. - Show defination: th hi n các bi n ñã ñư c ñ nh nghĩa (gán). - Show variables: hi n th các bi n ñã s d ng - Delete function: xóa t t c các hàm ñã khai báo - Delete variable: xóa t t c giá tr c a các bi n - Toogle time Display: - Change 2d display - Display Tex form: hi n k t qu tính toán ñư c theo ñ nh d ng c a LaTeX Configure: c u hình các thông s cho chương trình wxmaxima www.giaovien.net --//-- www.center4teachers.com Trang 7/17 centea.info@gmail.com
1/23/2009 4. Menu Equations: Bao g m các l nh liên quan ñ n vi c gi i phương trình, h phương trình tuy n tính ho c vi phân, gi i g n ñúng phương trình. - Solve: gi i các phương trình ña th c, phương trình lư ng giác, Tuy nhiên, ch c năng này không gi i ñư c phương trình mũ... Khi ch n l nh này, khung h p tho i s hi n ra như sau: Dòng Equation(s): nh p phương trình c n tìm nghi m. Dòng Variable(s): khai báo n s . - Ví d : v i phương trình: sin(2x) = 1, ta s có ñư c k t qu sau: π - Nghi m c a phương trình là và Maxima cũng ñưa ra 1 thông báo là chương trình 4 ñã s d ng phương pháp hàm lư ng giác ngư c ñ tìm nghi m. Do ñó s có m t s nghi m khác không th hi n ñư c - Find root: tìm nghi m g n ñúng c a phương trình trong 1 kho ng [a; b] cho trư c. tìm nghi m g n ñúng c a phương trình: x3 + x − 1 = 0 trong kho ng [0;1] Ví d : ñ CENTEA làm như sau: Ch n Equation, ch n Find root www.giaovien.net --//-- www.center4teachers.com Trang 8/17 centea.info@gmail.com
1/23/2009 - Khi ñó, CENTEA s thu ñư c k t qu như sau: - ð tìm h t t t c các nghi m c a ña th c, Th y Cô dùng câu l nh sau: allroots(phương trình); Ví d : v i phương trình x3 + x – 1 = 0 trên ta s có: - N u ch mu n tìm nghi m th c, quý Th y Cô dùng câu l nh: realroots(phương trình) . Ví d : v i phương trình x4 + 2x3 + x2 – 2x – 2 = 0 ta s có: - Solve linear system: gi i h phương trình tuy n tính. Khi ch n ch c năng này, chương trình s yêu c u Th y Cô khai báo s phương trình c a h tuy n tính. ( ñây CENTEA ch n h 3 phương trình). Sau khi khai báo xong, chương trình s hi n ra h p www.giaovien.net --//-- www.center4teachers.com Trang 9/17 centea.info@gmail.com
1/23/2009 tho i, yêu c u nh p các phương trình và khai báo các bi n như hình trên. V i h 3 phương trình và 4 n như trên, theo lý thuy t chúng ta bi t h phương trình tuy n tính thu n nh t trên s có vô s nghi m v i 1 n là tham s . CENTEA ñã th nghi m và thu ñư c k t qu như sau v i t là tham s : - Solve algebraic system: gi i h phương trình ñ i s . Cũng tương t như trên, Khi ch n ch c năng này, chương trình s yêu c u Th y Cô khai báo s phương trình c a h và các phương trình cũng như khai báo các bi n như hình bên. V i h phương trình: a2 – b2 = 0 ; ab = 2, CENTEA thu ñư c k t qu như sau: - V i h phương trình ch a tham s thì maxima ch gi i quy t trong trư ng h p có duy nh t nghi m. ð bi n lu n các trư ng h p khác, ta c n ph i suy ra t các k t qu ñã tính toán ñư c. - Ví d : - Solve ODE: ch c năng này dùng ñ gi i phương trình vi phân thư ng c p 1 ho c phương trình vi phân tuy n tính c p 2 h s h ng không có ñi u ki n ñ u. Khi ch n ch c năng này thì 1 h p tho i s hi n ra yêu c u chúng ta ph i nh p phương trình c n gi i, và khai www.giaovien.net --//-- www.center4teachers.com Trang 10/17 centea.info@gmail.com
1/23/2009 báo tham s nào là hàm s , tham s nào là bi n s . Ho c quý Th y Cô có th s d ng c u trúc l nh như sau: ode2(phuong trinh, tham s bi n, tham s hàm). Trong ñó, bi u th c l y ñ o hàm s ñư c ký hi u như sau: ð o hàm c p 1: ‘diff(y,x) ð o hàm c p n: ‘diff(y,x,n) Ví d : v i phương trình: y’ – y = 0 (1), CENTEA s có câu l nh và k t qu như sau: V i phương trình vi phân c p 2: y” – 2y’ + y = 0 (2), CENTEA s có k t qu là: Ho c v i phương trình vi phân h s hàm: y’’-3y’+4y=sin(2x) (3), ta s có k t qu là: - ð gi i phương trình vi phân c p 1 v i ñi u ki n ñ u y(x0) = y0 thì quý Th y Cô c n gi i phương trình trư c và ghi nh n k t qu nghi m t ng quát c a phương trình, ví d : v i phương trình (1), nghi m là bi u th c %o5, Khi ñó, quý Th y Cô dùng ch c năng Initial value Problem (1) (ñi u ki n ñ u c a phương trình vi phân c p 1) và nh p vào bi u th c như sau: Dòng solution nh p %o5 , dòng Point x = nh p giá tr x0 và dòng value y = : ta nh p giá tr y0 ho c s d ng câu l nh ic1(%o5, x = x0 ; y = y0) Ví d : www.giaovien.net --//-- www.center4teachers.com Trang 11/17 centea.info@gmail.com
1/23/2009 - V i phương trình vi phân tuy n tính c p 2 h s h ng thì Maxima ch gi i quy t ñư c bài toán có ñi u ki n ñ u d ng Cauchy: y(x0) = y0 và y’(x0) = y’0 ð tìm nghi m riêng th a mãn ñi u ki n ñ u d ng này, Th y Cô dùng ch c năng Initial Value Problem (2) sau khi ñã tìm nghi m t ng quát (tương t như trên) - - Trong trư ng h p phương trình vi phân c p 2 có ñi u ki n biên y(a) = y0 ; y(b) = y1 thì sau khi gi i tìm nghi m t ng quát, Th y cô s d ng ch c năng Boundary Value Problem. - M c cu i cùng c a menu Equation ñó là ng d ng Solve ODE by Laplace (Gi i phương trình vi phân b ng phép bi n ñ i Laplace) 5. Menu Algebra: Bao g m các bài toán liên quan ñ n ñ nh th c , ma tr n. ð dùng các ch c năng menu này, thì ñ u tiên, quý Th y Cô c n ph i khai báo 1 ma tr n cho trư c. - ð nh p 1 ma tr n, CENTEA dùng l nh Enter matrix và khai báo s dòng, s c t và d ng c a ma tr n m c Type: General (ngư i dùng s nh p h t ttc các ph n t ), Diagonal (ma tr n chéo), symmetric (ma tr n tam giác trên), antisymmetric (ma tr n tam giác dư i). - Invert Matrix: dùng ñ tìm ma tr n ngh ch ñ o (n u có) c a 1 ma tr n cho trư c. Tuy nhiên, n u ch n l nh này, thì chương trình s l y k t qu li n trư c ñó nên s ñúng ñúng yêu c u c a Th y Cô. Do ñó, CENTEA ñ ngh dùng câu l nh: invert(ma tr n ñã nh p); www.giaovien.net --//-- www.center4teachers.com Trang 12/17 centea.info@gmail.com
1/23/2009 - Ví d : xem hình bên - Characteristic Polynomial : dùng ñ tìm ña th c ñ c trưng c a ma tr n. Tuy nhiên, cũng gi ng như ma tr n ngh ch ñ o, Maxima ch tìm ña th c ñ c trưng cho k t qu li n trư c ñó. Do ñó, n u k t qu ngay trư c, không ph i d ng ma tr n thì chương trình s báo l i. Vì v y, CENTEA ñ ngh quý th y cô s d ng câu l nh: charpoly(bi u th c xác ñ nh ma tr n, tên bi n c a giá tr riêng), expand; Ví d : charpoly(%o29,x), expand; s cho k t qu là: - Determinant: tính ñ nh th c c a ma tr n vuông - Eigenvalues: tìm giá tr riêng c a ma tr n cho trư c - Eigenvector: tìm vectơ riêng tương ng v i giá tr riêng c a ma tr n cho trư c. - Adjoint: tìm ma tr n ph h p c a ma tr n cho trư c - Transpose: tìm ma tr n chuy n v c a ma tr n cho trư c 6. Menu Caculus: Bao g m các l nh ñ gi i các bài toán gi i tích như gi i h n, ñ o hàm, tích phân, chu i s , khai tri n Taylor, chia ña th c... - Integrate: tính tích phân b t ñ nh và tích phân xác ñ nh, ho c tính tích phân b ng phương pháp s . Khi Th y Cô ch n menu này, s xu t hi n h p tho i như hình bên. Th y cô nh p bi u th c tính tích phân vào khung Expression , nh p bi n l y tích phân vào khung Variable. Trong trư ng h p Th y cô c n tính tích phân xác ñ nh thì ch n Definite integration và ñi n c n dư i vào m c From và c n trên vào m c To. Các nút Special ñ giúp chúng ta ch n nh ng h ng s ñ c bi t như e , π. Trong trư ng h p tích phân www.giaovien.net --//-- www.center4teachers.com Trang 13/17 centea.info@gmail.com
1/23/2009 không th tích ñư c thông qua các hàm sơ c p, thì ñ tính g n ñúng tích phân xác ñ nh, Th y Cô ch n numeric integration sin 2 x ∫ sin 2 x + cos 2 x dx , CENTEA có k t qu - V i bi u th c như sau: - Tuy nhiên, k t qu này khá ph c t p. N u bài này ta xét t ng hi u c a 2 tích phân sin 2 x cos 2 x ∫ sin 2 x + cos 2 x dx , ∫ sin 2 x + cos 2 x dx thì s có k t qu nhanh chóng và g n hơn nhi u. - Differentiate: tính ñ o hàm các c p c a hàm s . Ví d : tìm ñ o hàm c p 5 c a hàm s arctgx. Ta có: - Find Limit: tìm gi i h n hàm s v i ch c năng tìm gi i h n trái, gi i h n ph i và gi i h n 2 phía.  sin x   1 + x − x(1 − x)  Ví d : tìm gi i h n c a bi u th c: lim   . Ta có: x3 x →0     www.giaovien.net --//-- www.center4teachers.com Trang 14/17 centea.info@gmail.com
1/23/2009  tgx  1 ( ) x + 2 − 2 + arcsin   + 3arctg 2 x sin    2 2 M t ví d khác: lim - . Ta s có k t qu là: sin x3 + x x→ 0 - Get series: tìm khai tri n Taylor t i ñi m x = x0 c a 1 hàm s b t kỳ. Sau khi ch n l nh trên, khung h p tho i hi n ra. Quý Th y Cô ch vi c nh p bi u th c c n khai tri n. Khai báo bi n và giá tr x0 cũng như b c c n khai tri n như hình bên. ñây, CENTEA ch n khai tri n Maclaurin cho hàm cos(xsinx) ñ n b c 8. Khi ñó ta s có k t qu như sau: - Hay c n khai tri n hàm s sin(sinx) ñ n b c 13, ta s có: ∞ 1 ∑k - Calculate sum: tìm t ng c a chu i s dương. Ví d : tính t ng c a chu i ta s 2 k =1 có: www.giaovien.net --//-- www.center4teachers.com Trang 15/17 centea.info@gmail.com
1/23/2009 - Laplace transform: tìm phép bi n ñ i Laplace c a 1 hàm cho trư c. - Invert Laplace transform: tìm phép bi n ñ i Laplace ngư c c a 1 hàm cho trư c. - Greatest common divisor: tìm ư c s chung l n nh t c a 2 bi u th c, 2 ña th c. - Devide polynomials: th c hi n phép chia ña th c, k t qu tr v g m 2 thành ph n có d ng như sau: [thương , ph n dư] - Partial Fraction: phân tích 1 phân th c thành các phân th c ñơn gi n. Ví d : - Continued fraction: bi u di n 1 s dư i d ng liên phân s 7. Menu Simlify: - Bao g m các l nh nh m phân tích, rút g n, t i gi n, ho c khai tri n các bi u th c. 8. Menu Plots: - Bao g m các l nh ñ v ñư ng cong 2 chi u trong m t ph ng, ho c m t cong trong không gian. - Tuy nhiên, ñ v ñư ng cong trong t a ñ c c, ta ph i chuy n v ñư ng cong r= r(p) v d ng tham s là x = r(p).cos(p) ; y = r(p).sin(p). - Ngoài ra, ñ v ñư ng cong d ng t ng quát (d ng hàm n), ví d phương trình d ng n 2x2 + 3y2 = 4: ta dùng câu l nh có c u trúc như sau: draw2d(implicit(2*x^2+3*y^2=4, x,-2,2, y,-2,2)) www.giaovien.net --//-- www.center4teachers.com Trang 16/17 centea.info@gmail.com
1/23/2009 III. L i k t: Như v y, CENTEA v a trình bày các v n ñ cơ b n c a ph n m m Toán h c mã ngu n m Maxima. Ngoài nh ng tính năng cơ b n trên, quý Th y Cô và các b n có th tìm hi u thêm nh ng tính năng m r ng (thông qua m c Help) c a chương trình này. CENTEA hy v ng ñây s là món quà ñ u năm có ý nghĩa ñ i v i Th y Cô và các b n yêu thích b môn Toán h c. Th c hi n: Nguy n Vũ – www.giaovien.net www.giaovien.net --//-- www.center4teachers.com Trang 17/17 centea.info@gmail.com