MỘT NGUYÊN LÝ SO SÁNH CỦA NGHIỆM NHỚT CHO PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP HAI LOẠI ELLIPTIC TRÊN MIỀN KHÔNG BỊ CHẶN A COMPARARISON PRINCIPLE OF VISCOSITY SOLUTIONS TO SECOND ORDER ELLIPTIC PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS ON UNBOUNDED DOMAINS

NGUYỄN CHÁNH ĐỊNH Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng NGUYỄN CỬU HUY HV Cao học khoá 2004-2007

TÓM TẮT Các tính chất của nghiệm nhớt cho phương trình đạo hàm riêng cấp hai phi tuyến toàn cục trên miền bị chặn đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả như các nguyên lý so sánh, các định lý duy nhất nghiệm và các định lý tồn tại nghiệm. Bài báo này trình bày một nguyên lý so sánh của nghiệm nhớt cho các phương trình đạo hàm riêng cấp hai loại elliptic trên miền không bị chặn.

ABSTRACT The properties of viscosity solutions of scalar fully nonlinear partial differential equations of second order on bounded domains have been investigated by many authors providing comparison principles, uniqueness theorems and existence theorems. This paper describes a comparison principle for a viscosity solution of second order elliptic partial differential equations on unbounded domains.

1. ĐẶT VẤN ĐỀ

Xét phương trình đạo hàm riêng cấp hai phi tuyến toàn cục có dạng:

2D u) = f(x),

F( u, Du, (1.1)

trong đó, F: R  nR  S(n)  R với S(n) là ký hiệu của tập hợp tất cả các ma trận vuông đối 2D u) với u là một hàm số giá trị thực xác định trên toàn xứng cấp n. Ta xét hàm số F( u, Du, nR , Du là ký hiệu gradient của u và uD 2 ký hiệu cho ma trận Hessian các đạo hàm cấp hai của u, và f là một hàm cho trước. Tuy nhiên, trong khuôn khổ của bài toán sau đây, Du và 2D u không còn theo nghĩa cổ điển, tức là u không đòi hỏi phải khả vi liên tục đến cấp hai.

Ta khảo sát tính chất của nghiệm nhớt cho phương trình F = f, trong đó F phải thỏa

nR , X, Y  S(n) và trên S(n) đã trang bị thứ tự thông thường của nó.

mãn điều kiện đơn điệu (monotonicity condition): F(r, p, X)  F(s, p, Y) với r  s và Y  X. (1.2)

Trong đó r, s  R, p  Lưu ý rằng, điều kiện ở trên cho ta hai điều kiện:

F(r, p, X)  F(s, p, X) với r  s (1.3)

F(r, p, X)  F(r, p, Y) với Y  X. (1.4)

2. GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN

2.1. ĐỊNH NGHĨA NGHIỆM NHỚT

nRC

)

(

{

Ru :

n  u liên tục trên

|

}nR

nRUC (

)

{

Ru :

n  u liên tục đều trên

R

}nR .

R |

Để mô tả nghiệm nhớt cho phương trình (1.1) ta sử dụng các ký hiệu sau đây :

nRCu 

(

)

,2J

,2J

,2J

Cho . Ta ký hiệu và của hàm số u như sau:

 nR  S(n) | là

2C và u

(

 ( DxD

),

2  (

x

))

,2J

u( x )={ đạt cực đại địa phương tại x }

2C và u

(

 ( DxD

),

2  (

x

))

u( x )={ đạt cực tiểu địa phương tại x }

 nR  S(n) | là

Ta định nghĩa :

nR  S(n) |  (

nR  nR  S(n), (

,2J

,2J

np ,

nX ) 

u(x) ={(p, X)  u( nx ) và

nx , nx , u( nx ),

np , np ,

nX )  nX )  ( x, u(x), p, X)}

(

nR  S(n) |  (

nR  nR  S(n), (

,2J

,2J

np ,

nX ) 

u(x) ={(p, X)  u( nx ) và

nx , nx , u( nx ),

np , np ,

nX )  nX )  ( x, u(x), p, X)}.

(

ĐỊNH NGHĨA:

a. Một nghiệm nhớt dưới của phương trình (1.1) là một hàm u sao cho :

) u(x) ;

nRC ( nRx  và ( p, X)  ,2J

F( u(x), p, X)  f(x) với mọi

)

sao cho :

nRC ( ,2J

b. Một nghiệm nhớt trên của phương trình (1.1) là một hàm u nRx  và ( p, X) 

c. Một nghiệm nhớt của phương trình (1.1) là một hàm u

F(u(x), p, X)  f(x) với mọi u(x) ;

)

nRC ( nghiệm nhớt dưới vừa là nghiệm nhớt trên của phương trình (1.1).

sao cho u vừa là

f 

nRUC (

)

2.2. TÍNH DUY NHẤT NGHIỆM

n  thỏa mãn (1.2) và tồn tại một số )) nS RRUC  ( (  )0( ,0[ ) thỏa mãn

0

, một hàm liên tục sao cho : Định lý: Cho 0 thực . Giả sử F  ,0[: )

r 

,s

r (

s  )

(

Xp ,

)

R

n 

nS (

),

|

 qp

  (|

 YX

(i) F(r, p , X) - F(s, p, X) với

nR , r R , và X, Y

)(nS

nR .

với mọi p, q

. Khi (ii) F(r, p, X) - F(r, q, Y) ) đó, nếu u là nghiệm nhới dưới của (1.1) và v là nghiệm nhớt trên của (1.1) sao cho u và v biến thiên hầu tuyến tính, thì u v trên

Chứng minh:

f 

nRUC (

)

nên tồn tại một

(

xf )(

yf )(

xK |

y

)|



n

sup n RR 

Ta chứng minh định lý theo hai bước. Trước hết, ta lưu ý rằng vì hằng số K sao cho : , (2.1)

ta sẽ chứng minh rằng

xu )((

yv )(

|

x

y

)|



n

sup n RR 

2 K 

. (2.2)

n

xu )(

yv )(

L

 |1(

x

|

|

y

|)

n R 

R

Vì u và v biến thiên hầu tuyến tính, nên tồn tại một hằng số L > 0 sao cho: trên . (2.3)

1r

nR được tham số hóa bởi

2C trên

r các hàm

với các tính chất:

,0r

Chọn một họ (i)

L ,2

lim x | |

inf 

 |

xr )( x |

|

D

|)( x

D

)( x

C

(ii)

r

,1

nRx 

,

 r

2 r

(iii) với

0

nRx  ,

xr )(

lim r 

(iv) với

yx ,(

)

xu )(

yv )(

 |1(

x

y

2/12 )|

x )(

(

y

))

 ( r

 r

2 K 

trong đó C là một hằng số. Từ (2.3) và (ii), ta thấy hàm số :

yx ,(

).

 yx ,(

)

0

Bây giờ hoặc (2.2) đúng hoặc với r lớn ta có và

đạt giá trị lớn nhất tại điểm điều này cho ta :

|

x

y

 |

xu )(

yv (

).

2 K 

(2.4)

2

(

Dp 

(

DZx

),

(

x

))

,2J

Lưu ý rằng

 r

 r

2

,2J

u( x )

(

Dp 

(

y

),



DZ

(

y

))

 r

 r

v( y ),

trong đó,

p

(

D

|1( 

z

2/12 )|

|)

Z

(

D

|1( 

z

2/12 )|

|)

z

 yxz

2 z

 yxz

K 2 

K 2 

, .

2

DpxuF ),

((

(

(

x

))

xf )(

),

 r

 r

2

Theo định nghĩa nghiệm nhớt, ta có :

DpyvF ),

((

(

y

(

y

))

yf )(

DZx  DZ

),

 r

 r

.

1r

Từ đây ta dùng (2.4) và lưu ý rằng p và Z là bị chặn và độc lập với

2

2

xu )(

yv (

))

DpxuF ),

((

(

DZx

),

(

x

))

DpyvF ),

((

(

DZx

),

(

x

))

 (

, ta có

-

 r

 r

 r

 r

2

2

DpxuF ),

((

(

DZx

),

(

x

))

DpyvF ),

((

(

y

),



DZ

(

y

))

=

-

 r

 r

 r

 r

2

2

DpyvF ),

((

(

DZx

),

(

x

))

DpyvF ),

((

(

y

),



DZ

(

y

))

+

-

 r

 r

 r

 r

)( xf

xKCyf

)(

|

| Cy



)(( xu

( yv

))

C

 2

,

1r

1r

xu )(

yv )(

. Do đó .

là bị chặn độc lập với

r

yx ,(

yx ,(

xu )(



yv (

)

)

),

yv )(

xu )(

 |1(

x

y

2/12 )|

trong đó C là hằng số độc lập với Vì và thu được

nên ta cho K 2 

)~( xu

)~( xv

 2

.0

là bị chặn và như vậy (2.2) đúng. Bây giờ, ta quay trở lại định lý. Giả sử tồn tại một x~ sao cho

2

2

2

yx ,(

)

xu )(

yv )(

|

x

y

|

 (| 

x

|

|

y

|

),

 2

Ta đặt

là các tham số dương.

)~,~( xx



),ˆ,ˆ( yx

và tại đó: và theo (2.2)  đạt cực đại tại

2

2

2

2

trong đó , Với  đủ nhỏ, ta thấy

2 )|ˆ| y

2

(2.5) ˆ| x  |ˆ y   |ˆ(| x   )ˆ( xu  )ˆ( yv ˆ| x  |ˆ y   C ,  ˆ| x  |ˆ Cy   2 4 K 

S(n)

 4 sao cho 2 K  , YX

),ˆ(xu

)ˆ( yv

 (

ˆ( x

,ˆ2)ˆ  y 

Xx

 )2 I

 (

ˆ( x

,ˆ2)ˆ  y 

Yy

 )2 I

,2J

,2J

với một hằng số C nào đó. Hơn nữa, tồn tại

và

yvF

),ˆ((

ˆ( x

,ˆ2)ˆ   y Xx

 )2 I

)ˆ( xu

xuF

),ˆ((

ˆ( x

,ˆ2)ˆ   y Xx

 )2 I

-3   3 . (2.6) 0 I I 0 X 0 - I I  I I                   0  Y

-

xuF

),ˆ((

ˆ( x

,ˆ2)ˆ   y Xx

 )2 I

yvF

),ˆ((

ˆ( x

,ˆ2)ˆ   y

Yy

 )2 I

Như trên, ta thu được ))ˆ( yv  ( =

-

+

yvF

),ˆ((

ˆ( x

,ˆ2)ˆ   y Xx

 )2 I

yvF

),ˆ((

ˆ( x

,ˆ2)ˆ   y Yy

 )2 I

-

)ˆ( xf

)ˆ( yf

yvF

),ˆ((

ˆ( x

,ˆ2)ˆ   y Yy

 )2 I

yvF

),ˆ((

ˆ( x

,ˆ2)ˆ   y

Xx

 )2 I

. + -



)~,~( xx

)ˆ( xu

),ˆ( yv

Vì và vì

yvF

),ˆ((

ˆ( x

,ˆ2)ˆ   y Xx

 )2 I

 )2 I

yvF

),ˆ((

ˆ( x

ˆ(| x

|)ˆ y

,

-

f 

YX  theo (2.6), ta có ,ˆ2)ˆ   y Xy

2

trong đó

Ta lưu ý rằng, từ (2.5) ta thấy

2 |ˆ(| )|ˆ| x y và vẫn bị chặn khi

ˆ| x

f là modulus liên tục của f . 2|ˆ ˆ| x  y )ˆ ˆ( x  y

.0

1 và 0 0 khi Do đó, từ giả thiết liên tục đều của f và F ta nhận được khi cho

0    0

và là bị chặn độc lập với |ˆ  y Mặt khác

ˆ,ˆ yx  .0 :

,0

Vì vậy .1 đều đối với rồi thì 

và đưa đến điều vô lý. Như vậy, định lý được chứng minh. 3. KẾT LUẬN Bài báo đã đưa ra một nguyên lý so sánh của nghiệm nhớt cho phương trình đạo hàm riêng cấp hai phi tuyến loại elliptic trong miền không bị chặn. Trong trường hợp này, giả thiết nghiệm biến thiên hầu tuyến tính là cần thiết để đánh giá nghiệm khi miền khảo sát không bị chặn. Tất nhiên, chúng ta có thể nghiên cứu bài toán này mà không cần giả thiết ấy, nhưng đó là vấn đề khá phức tạp.

[1]

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[2]

M. G. Crandall, H. Ishii, P. L. Lions, User’s guide to viscosity solutions of second order partial differential equations, Bull. Amer. Math. Soc 1[27], 1992.

[3]

M. G. Crandall, P. L. Lions, The maximum principle for semicontinuous functions, Diff. Int. Equ. [3], 1990.

R. Jensen, The maximum principle for viscosity solutions of fully nonlinear second order partial differential equations, Arch. Rat. Mech. Anal. [101], 1988.