TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010
PHƯƠNG PHÁP CHUẨN NĂNG LƯỢNG VỚI CHÍNH QUY HOÁ CỦA BIẾN PHÂN TOÀN PHẦN CHO BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH HỆ SỐ TRONG PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC
AN ENERGY NORM METHOD WITH THE TOTAL VARIATION REGULARIZATION FOR A COEFFICIENT IDENTIFICATION PROBLEM IN ELLIPTIC EQUATION.
Trần Nhân Tâm Quyền Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng
TÓM TẮT
Xét bài toán Dirichlet cho phương trình elliptic
u x ( )
a x u x
( ). ( ) 0
+
−∆
a
a x ( )
=
= với điều kiện biên thuần nhất. Trong bài báo này chúng ta sử dụng phương pháp chuẩn năng lượng để xác từ những giá trị không chính xác của nghiệm u trên toàn định hệ số phản ứng miền. Hơn nữa, cho mục đích quan tâm đặc biệt đánh giá các hệ số không liên tục, chúng ta dùng phương pháp chỉnh với nửa chuẩn biến phân toàn phần thay cho phương pháp chỉnh Tikhonov truyền thống. Phương pháp chuẩn năng lượng đã được nghiên cứu gần đây cho bài toán đánh giá hệ số khuếch tán trong các phương trình elliptic (xem, [3, 6]). Tuy nhiên, chúng ta không thấy bất kỳ công trình nào nghiên cứu về phương pháp này cho bài toán đánh giá hệ số phản ứng.
ABSTRACT
Consider the Dirichlet problem for the elliptic equation
u x ( )
( ). ( ) 0
a x u x
+
−∆
a
a x ( )
=
= with the homogeneous boundary condition. In this paper, we use the energy norm method to identify from imprecise values of a solution u in the whole domain. the reaction coefficient Furthermore, for the purpose of particular interest in estimating coefficients that are discontinuous, we use the regularization method with the total variation semi-norm instead of the traditional Tikhonov regularization. The energy norm method has recently been studied for the problem of estimating the diffusion coefficients in elliptic equations (see, [3,6]). However, there has been no investigation into this method for the problem of estimating reaction coefficients.
n
1. Đặt vấn đề
f Cho Ω là một miền bị chặn trong L∈ Ω 2 ( )
và ( ) a x ( ) L∞ a ) ( a L∞∈ Ω . Chúng ta xét bài toán xác định hệ số (cid:0) có biên ∂Ω liên tục Lipschitz, = ∈ Ω trong bài toán
Dirichlet cho phương trình elipptic
u x ( ) , −∆ + ( E ) x ∈ Ω x , a x u x ( ). ( ) 0, = ( ) 0, u x = ∈ ∂Ω ⎧ ⎨ ⎩
141
giả sử u đã được cho trên toàn miền Ω . Để phát biểu một cách chính xác bài toán,
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010
1
)
u H∈
Ω được gọi là một nghiệm của hệ elliptic này
0 (
nếu:
. (1)
auv
fv
,
v H
(
)
u v ∇ ∇ +
=
∀ ∈
Ω
1 0
∫
∫
∫
Ω
Ω
Ω
A
) : 0
a x ( )
a x ,
(
)E có
Nếu hệ số a thuộc vào tập
a < ≤
≤
chúng ta nhắc lại rằng một hàm
{ ∞ a L = ∈ Ω
} ∈ Ω thì (
duy nhất nghiệm và thoả mãn bất đẳng thức
u
(2)
f
||
||
,
||
||
≤
1
)
Ω
L 2 (
H
(
)
Ω
1 α
ở đây hằng số
0α> phụ thuộc vào cận dưới a của tập A và hằng số được xuất hiện
H
(
)
(
)
:
trong bất đẳng thức Poincaré – Friedrichs (xem, [7]). Do đó, chúng ta xác định được toán tử phi tuyến từ hệ số đến nghiệm Ω → Ω mà ánh xạ mỗi
∞⊂ U A L
1 0
(
)
(
)
)E . Bài toán ngược khi đó được
a A L∞ ∈ ⊂
Ω tới một nghiệm
U a H∈ ( )
Ω của (
1 0
phát biểu như sau:
u U a H ( )
(
)
Cho
∈
=
Ω , tìm a A∈ .
1 0
và đạo
Chúng ta sẽ ký hiệu gradient của
( )U a tương ứng với biến x bởi
( )U a∇
hàm Fréchet của
( )U a tương ứng với a bởi
'( )U a .
Như chúng ta đã biết rằng (xem, [4, 8]) ánh xạ U khả vi Fréchet mọi cấp trên A . Cho
mỗi
(
'( )
(
)
h L∞∈ Ω , đạo hàm )
U a h H∈
Ω là nghiệm duy nhất của phương trình biến
1 0
phân
v H
'( ) U a h v
'( ) aU a hv
( ) , hU a v
(
)
. (3)
∇
∇ +
= −
∀ ∈
Ω
1 0
Ω
Ω
∫
∫
∫
Ω
Hơn nữa,
f
h
∞ h L
U a h '( )
,
(
)
∀ ∈ Ω . (4)
≤
1
2 L
∞ L
H
(
)
(
)
(
)
Ω
Ω
Ω
1 2 α
Phương pháp tiêu chuẩn để xác định a từ đo đạc
)
( )U a là
1(
z H∈
Ω của nghiệm
phương pháp bình phương tối thiểu (xem, [2]), nghĩa là tìm a như nghiệm cực tiểu của
||
U a ( )
z
trên tập chấp nhận được nào đó
A
phiến hàm
−
∅ ≠
⊂ . Thay vì vậy
1
adA
(
)
2 || H
Ω
chúng ta sử dụng phương pháp chuẩn năng lượng phụ thuộc
,a một hàm
2
a
J a
( ) :
|
U a ( ( )
z
2 ) |
a U a ( )
(
z
)
. (5)
=
∇
−
+
−
a
Ω
2. Hàm mục tiêu lồi và chính quy hoá
∫
1 2
J a là lồi trên tập lồi A .
( )
Chứng minh. Ta có, với mọi
(
)
h L∞∈ Ω và a A∈ ,
142
Định lý 1. Hàm mục tiêu
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010
2
2
J a h '( )
h U a ( )
(
z
)
'( )
(
z
)
aU a h U a ( ) '( ) (
z
)
.
=
−
U a h U a ( ) ∇
−
+
−
Ω
Ω
∫ + ∇ Ω
∫
∫
1 2
Dùng (1) và (3) ta được
2
2
J a h '( )
h U a ( )
(
z
)
'( )
(
z
)
aU a h U a ( ) '( ) (
z
)
=
−
U a h U a ( ) ∇
−
+
−
Ω
Ω
∫
∫
∫ + ∇ Ω
2
h U a ( )
(
z
)
hU a U a ( )( ( )
z
)
=
−
−
−
Ω
Ω
∫
1 2 1 2
2
2 hU a ( )
hz
.
= −
+
Ω
Ω
∫
∫
∫ 1 2
1 2
Do đó,
Ω
J a h h ''( )( , ) hU a hU a '( ) ( ) = −
∫ |
2 |
2 aU a h ' ( )
Ω
Ω
2
U a h '( ) = + ∇
∫ min(1, )
∫ a U a h
1
H
(
)
Ω
'( ) 0. ≥ ≥
Điều này suy ra rằng hàm J a là lồi trên A . ( )
=
bằng phương pháp chính quy Bài toán elliptic ngược xác định hệ số a a x ( )
|
a
|,
hoá, sử dụng chuẩn năng lượng với phạt biến phân toàn phần là tìm nghiệm của bài toán tối ưu
+
∇
∈
trên a A ad
Ω
min ( ) J a (P)
∫ ρ 0ρ> là tham số chính quy hoá và
=
Ω
adA
với ( ) . Ở đây ( ) TV Ω là không gian A TV I
Banach của các hàm có biến phân toàn phần bị chặn (xem, [1, 5]). Theo Định lý 1, vì J a là lồi nên hàm mục tiêu trong bài toán (P) cũng lồi. ( )
3. Sự tồn tại của nghiệm tối ưu
Trong phần này chúng ta sẽ chứng minh bài toán (P) có nghiệm. Kết quả sau đây
có thể được tìm thấy trong Giusti [5], trang 7 - 17.
Ω , tồn tại một dãy con (
na
(
)
a TV∈
Bổ đề 1. (i) Với mọi dãy bị chặn ( ( ) ) của TV⊂ )ma
Ω sao cho (
1( L Ω -chuẩn.
nó và một hàm hội tụ về a trong ) )ma
Ω và (
1( L Ω -chuẩn thì
na
|
lim inf
|
|
a
(ii) Nếu ( ) ( ) ) TV⊂ )na hội tụ về a trong
| a ∇ ≤
∇
n
n
Ω
Ω
∫
.
∫ L∞ Ω và ( )
Bổ đề 2. Cho ( ( )na là dãy bị chặn trong )na hội tụ về 0 trong
1( L Ω -chuẩn. Khi đó
0,
n → → ∞
na uv
Ω
∫
143
)
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010
2 ( L Ω .
với mọi u và v thuộc )
Chứng minh. Bởi định nghĩa của limsup và giả thiết rằng ( )na hội tụ về 0 trong
1( L Ω -chuẩn, tồn tại một dãy con (
lim sup
|
|
| =
n
a uv n
a uv m
Ω
∫
∫ lim | m Ω
) của nó mà hội tụ về 0 hầu khắp nơi trên Ω và )ma
lim sup
lim
|
|
≤
n
a uv n
a uv m
m
Ω
Ω
∫
|
≤
∫ lim sup | m
a uv m
∫ Ω 0.
=
Áp dụng Bổ đề Fatou ta có
Bây giờ chúng ta phát biểu kết quả chính cho mục này.
Định lý 2. Bài toán tối ưu (P) có một nghiệm.
( J a
)
|
inf
( ) J a
|
|, a n
+
+
∇
. → ∞
n
| a ∇ → n
a A ∈
ad
Ω
Ω
∫ ρ
∫ ρ (
Chứng minh. Lấy ( )na là dãy infimum cho (P), nghĩa là
Từ đây suy ra rằng dãy ( ) TV Ω -chuẩn. Bởi Bổ đề 1, tồn tại )na bị chặn trong
(
)
1( L Ω -
a TV∈
Ω sao cho (
một dãy con ( của nó và hàm hội tụ về a trong ) )ma )ma
chuẩn và
a
|
lim inf
|
|
| a ∇ ≤
∇
m
m
Ω
Ω
∫
.
=
Ω
∫ A TV I
fv
,
v H
(
)
Vì ( ( ) . Ta có, từ (1) và (2), A⊂ nên a A∈ , và do đó )ma a A ∈ ad
∇
) v ∇ +
=
∀ ∈
Ω
≤
1
1 0
U a ( m
a U a v ) ( m
m
)
Ω
L 2 (
H
(
)
Ω
∫
∫
∫
Ω
Ω
Ω
và . (6) || ) || || || f ( U a m 1 α
là bị chặn trong không gian Bất đẳng thức cuối cùng suy ra rằng dãy ( ))mU a (
1(
1
Hilbert ) H Ω do đó nó có một dãy con, được sử dụng cùng ký hiệu, sao cho dãy
1(
v H∈
Ω , )
0 (
v
(
a U a v ( )
)
a v θ
∇
v ) ∇ +
=
−
U a ( m
a U a v ) ( m
m
a m
m
) hội tụ yếu về θ trong H Ω . Ta có, với mọi ))mU a ( (
∫
∫
∫ − ∇ ∇ − θ
∫
∫
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
v
)
(
(
)
v ) .
) − ∇ + θ
−
U a ( ( m
a U a m
θ
∫
∫ + ∇ Ω
Ω
)
1(
Vì (
hội tụ yếu về θ trong
H Ω -chuẩn nên
))mU a (
(7)
)
v
(
(
)
0,
m
∇
) − ∇ + θ
) v − → θ
. → ∞
U a ( ( m
a U a m
∫
∫
Ω
Ω
Ngoài ra,
144
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010
1
1
2
2
(
a U a v ( )
)
| (
) ||
(
2 ) |
| (
a
) ||
v
2 |
−
≤
−
−
a m
m
a m
a U a m
a m
∫
∫
∫
Ω
Ω
Ω
⎞ ⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎝
và dùng định nghĩa của tập A , công thức (6) ta được
1
2
2 ) |
1
m
(
)
Ω
| ( a U a ) || ( 2 a U a ( − ≤ a m ) m H
∫
Ω
⎛ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠
(
)
Ω
L 2
Một áp dụng của Bổ đề 2 suy ra rằng
|| f || . ≤ 2 a α
(8)
m
m
a U a v ( ) ) 0. ( a − →
∫
Ω
Từ các đẳng thức (7) và (8) ta được
(9)
m
m
a U a v ( ) v a v m , θ ∇ ) v ∇ + → ∇ ∇ − θ → ∞ U a ( m
∫
∫
∫
∫
Ω
Ω
Ω
Ω
1
)
với mọi
v H∈
Ω . Suy ra từ (9) và (6) rằng
0 (
.
1 0
v fv , v H ( ) a v θ ∇ ∇ + θ = ∀ ∈ Ω
∫
∫
∫
Ω
Ω
Ω
Điều này có nghĩa là
( )U a
và dãy (
có một dãy con hội tụ yếu về
))mU a (
1
)
1(
)
( )U a trong
H Ω . Ngoài ra, vì
H Ω là không gian con đóng của không gian
0 (
Hilbert
)
1(
H Ω do đó chúng ta có sự phân tích trực giao
1
H
(
H
(
H
(
) Ω =
) Ω ⊕
⊥ Ω . )
1 0
1 0
1
1
⊥
θ=
Chọn
)
y H∈
Ω và )
t H ∈
Ω sao cho z
0 (
0 (
2
2
z
z
|
)
2 ) |
(
)
)
|
)
2 ) |
(
)
)
∇
−
+
−
∇
y t − −
+
y t − −
=
U a ( ( m
a U a ( m m
U a ( ( m
a U a ( m m
Ω
Ω
y t = + . Ta có
∫
∫
1 2
2
y
y
|
)
2 ) |
(
)
)
=
∇
−
+
−
U a ( ( m
a U a ( m m
Ω
∫
y
)
(
)
y t )
) − ∇ +
−
U a ( ( m
t a U a ( m m
2
|
.
+
2 t | ∇ +
a t m
Ω
∫
1 2 1 2 ∫ − ∇ Ω 1 2
Ta có
2 ) |
Ω
Ω
| ) ( ) ) ( ( ) ) y y y ∇ − + − = − ( ( U a m ( a U a m m f U a m
∫
1 2
Ω
( , ( ) f U a ), y m → − → ∞
∫
145
1 ∫ 2 1 2
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010
1(
( )U a trong
bởi (1) và sự kiện rằng dãy ( hội tụ yếu về ) H Ω . Với lý do tương ))mU a (
tự ta cũng có
mU a ( (
Ω
Ω
∫
∫
) y ) U a ( ( ) y ) ∇ t − ∇ → ∇ , t m . − ∇ → ∞
Ngoài ra, chứng minh tương tự như trên ta cũng có
m
m
Ω
Ω
a U a ( ( ) a U a ( ) ( y t ) ) y t − → −
∫
∫
2
và
2 , at m
2 | t ∇ +
2 | t ∇ +
Ω
Ω
| | → . → ∞ a t m
∫
∫
1 2 1 2
2
Do đó,
2 ) |
m
Ω
Ω
lim | ) ( ) ) ( ) z z ( ) f U a y ∇ − + − − = ( ( U a m ( a U a m m
∫
∫
1 2
( ( ) U a ( ) ( t a U a y ) y t ) − ∇ + −
2
2 | t ∇ +
Ω
(10) | at +
∫
2 ) |
2 ) .
Ω
| ( ( ( ) U a z ( ) a U a z = ∇ − + −
∫
1 2 ∫ − ∇ Ω 1 2 1 2
2
Bây giờ, ta có,
2 ) |
Ω
Ω
z z a | U a ( ( ) a U a ( ) ( ) | | ∇ − + − + ∇
∫
∫ ρ
2
1 2
2 ) |
m
m
Ω
Ω
z z a lim | ) ( ) ) | | = ∇ − + − + ∇ U a ( ( m a U a ( m
∫ ρ
∫
2 ) |
m
m
m
m
Ω
Ω
z z lim | ) a U a ( ( ) ) lim inf | | ≤ ∇ − + − + ρ ∇ U a ( ( m a m
∫
∫
1 2 1 2
2 ) |
m
m
Ω
Ω
z z a lim inf | ) ( ) ) | | = ∇ − + − + ∇ U a ( ( m a U a ( m m
∫ ρ
∫
1 2 ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝
a A ∈
ad
Ω
a inf J a ( ) | . | = + ∇
∫ ρ
Điều này có nghĩa a là nghiệm của bài toán (P). Định lý đã được chứng minh.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. H. Attouch, G. Buttazzo, G. Michaille, Variational analysis in Sobolev and BV
spaces, SIAM, 2006, 634 p.
146
[2]. G. Chavent, Nonlinear Least Squares for Inverse Problems. Theoretical Foundations and Step-by-Step Guide for Applications, Scientific Computation. Springer, New York, 2009, 360 p.
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010
[3] Z. Chen and J Zou, “An augmented Lagrangian method for identifying discontinuous parameters in elliptic systems” SIAM J. Control And Optim 3(37), 1999, 892 – 910.
[4]. F. Colonius and K. Kunisch, “Output least squares stability in elliptic systems”,
Alpp. Math. Optim., 19, 1989, 33 – 63.
[5]. E. Giusti, Minimal surfaces and functions of boubded variation, Vol. 80,
Birkhauser - Boston, 1984, 240 p.
[6]. M.S. Gockenbach and A A. Khan, “An abstract framework for elliptic inverse problems: Part 1, An output least squares approach”, Math. And Mechanics Of Solids, 12, 2007, 259 – 276.
[7]. O. A. Ladyzhenskaya, The boundary value problems of mathematical physics,
Springer – Verlag, 1984, 322 p.
147
[8]. T. N. T. Quyen, “Some properties of mapping from coefficients to solutions for elliptic equations”, J. of scie. and tech., Da Nang Univ., 3(32), 2009, 104 – 111.
