Luận án Tiến sĩ Vật lý lý thuyết và vật lý toán: Phương pháp tiếp cận vi mô Ginzburg-Landau cho sự đồng tồn tại pha trong hệ nhiều hạt

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu, kết quả mới mà tôi công bố trong luận án là trung thực và chưa được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác.

Hà Nội, ngày 25 tháng 9 năm 2019.

Tác giả: Nguyễn Văn Hinh

Lời cám ơn

Trước hết, tôi xin chân thành cảm ơn TS. Nguyễn Trí Lân, người thầy đầu tiên tiếp nhận tôi, đã luôn quan tâm sát sao, cùng tôi thực hiện các ý tưởng và giúp đỡ tôi rất nhiều trong quá trình làm NCS. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến GS. TS. Nguyễn Toàn Thắng, người thầy thứ hai tiếp nhận và chỉ hướng cho tôi để định hình mục tiêu nghiên cứu trong luận án, đồng thời là giáo viên hướng dẫn luận án.

Tiếp theo, tôi xin chân thành cảm ơn các Thầy giáo, Cô giáo và lãnh đạo Học viện Khoa học và Công nghệ, bộ môn Vật lý lý thuyết – Vật lý toán của Viện Vật Lý đã tạo mọi điều kiện học tập, nghiên cứu cho tôi trong quá trình làm NCS. Tôi cũng chân thành cảm ơn ban Giám hiệu, các đồng nghiệp của khoa Khoa học cơ bản, trường Đại học Công nghiệp Hà Nội đã giúp đỡ tôi rất nhiều về vật chất và tinh thần trong thời gian tôi làm NCS.

Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn toàn thể gia đình, bạn bè luôn đồng hành, động viên và giúp đỡ tôi rất nhiều trong suốt quá trình theo đuổi và thực hiện ước mơ của mình.

Danh mục các chữ viết tắt

GL(Ginzburg-Landau) HS (Hubbard-Stratonovich) BCS (Bardeen-Cooper-Schrieffer) HFB (Hatree-Fock-Bogoliubov) SC (Superconductivity) Ginzburg-Landau Hubbard-Stratonovich Bardeen-Cooper-Schrieffer Hatree-Fock-Bogoliubov Siêu dẫn : : : : :

FM (Ferromagnetism) Sắt từ :

AFM (Antiferromagnetism) PM (Paramagneticsm) N (Normal) SDW (Spin-density-wave) CDW (Charge-density-wave) Phản sắt từ Thuận từ Dẫn thường Sóng mật độ spin Sóng mật độ điện tích : : : : :

Danh sách hình vẽ

8 29

1.1. Giản đồ pha của U Ge2 xác định bởi các số đo độ từ hóa dưới áp suất. Tc là nhiệt độ Curie và Tx xác định nơi chuyển pha giữa hai pha sắt từ FM1 và FM2 có độ phân cực từ khác nhau. Tsc là nhiệt độ chuyển pha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . siêu dẫn [85, 38]. 1.2. Giản đồ pha P − T của CeRhIn5 với các pha phản sắt từ (kí hiệu AFM, vùng màu xanh) và siêu dẫn (kí hiệu SC, vùng màu vàng) được xác định từ số đo nhiệt dung riêng khi không có từ trường ngoài. Khi Tc < TN có tồn tại một pha đồng tồn tại AFM+SC. Khí Tc > TN trật tự phản sắt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . từ đột ngột biến mất [92, 32]. 1.3. Hiệu ứng hút của hai điện tử do bởi sự trao đổi phonon [42] . . . . . . 1.4. Phổ chuẩn hạt. Khe năng lượng được quan sát giữa trạng thái siêu dẫn (ở đỉnh) và trạng thái dẫn thường (ở đáy) sinh ra tham số trật tự của hệ [42]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. “Tính đối xứng bị phá vỡ”. Sự tiến triển của trật tự kết tinh bên trong một giọt nước hình cầu dẫn tới sự hình thành một bông tuyết, làm giảm . . . . . . tính đối xứng từ đối xứng cầu tới đối xứng sáu nếp gấp [21]. 1.6. (a) Trong một kim loại thường, không có trật tự tầm xa. (b) Bên dưới nhiệt độ Curie TC của một sắt từ, các spin điện tử sắp hàng để tiến triển một tham số trật tự sắt từ. Kết quả là kim loại có một moment từ hữu hạn. (c) Bên dưới nhiệt độ chuyển pha của một siêu dẫn, các điện tử kết cặp với nhau tiến triển một tham số trật tự siêu dẫn. Kết quả là kim loại biểu hiện hiệu ứng Meissner, đẩy từ trường ra khỏi bên trong lòng nó [21]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7. (a) Năng lượng tự do Landau F (ψ) như là một hàm của nhiệt độ đối với một tham số trật tự Ising. Các đường cong được dịch chuyển thẳng đứng. (b) Tham số trật tự ψ như là một hàm của nhiệt độ đối với một trường hữu hạn h > 0 và một trường rất nhỏ h = 0+ [21]. . . . . . . . . 1.8. Giản đồ pha trong một trường ngoài. Một đường bậc nhất kéo dài dọc theo trục trường ngoài bằng không, h = 0 đến điểm tới hạn. Tham số trật tự cân bằng đổi dấu khi vượt qua đường ranh giới pha này. (a) Đồ thị ba chiều cho thấy sự gián đoạn theo tham số trật tự như một hàm của trường ψ. (b) Đường ranh giới pha hai chiều cho thấy là đường bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nhất [21]. 46

Danh sách hình vẽ

1.9. Sự phụ thuộc của năng lượng tự do vào tham số trật tự đối với (a) tham số trật tự Ising ψ = ψ1, cho thấy hai cực tiểu cùng mức năng lượng và (b) tham số trật tự phức ψ = ψ1 + iψ2 = |ψ| eiφ, ở đó năng lượng tự do Landau hình thành một “thế mũ Mexican” trong đó cực tiểu năng lượng tự do hình thành một vành các trạng thái có năng lượng bằng . . . . . nhau phụ thuộc vào pha φ của tham số trật tự đồng đều [21]. 1.10. Nghiệm sóng đơn của các phương trình GL. (a) Sự tiến hóa của ψ trong một chiều tương đương với một hạt ở vị trí ψ, chuyển động trong một thế năng nghịch đảo V [ψ] = −fL [ψ]. Một sóng đơn tương đương với một “sự nảy” giữa các cực đại ở ψ = ±ψ0 của V [ψ]. (b) Đường mà hạt mô tả sự phát triển theo thời gian “t” ≡ x xác định sự phụ thuộc không . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . gian của tham số trật tự ψ [x] [21]. 51

3.1. Các lựa chọn khác nhau cho phép biến đổi Hubbard-Stratonovich để tách cặp số hạng tương tác hai hạt tổng quát. Hình bên trái: tách cặp theo kênh “mật độ”; hình giữa: tách cặp theo kênh “kết cặp” hoặc “Cooper”; . . . . . . . . . . . . . . hình bên phải: tách cặp theo kênh “trao đổi”. 91

4.1. Một minh họa về giản đồ T − P của UGe2 được tính cho Ts = 0, Tf 0 = 52K, Pc = 1.6GP a, γ/κ = 0.1089, δ/κ = 0.1867. Miền pha FS được làm đậm. Đường nét liền biểu thị đường chuyển pha loại hai FM-FS. 134 . . . . . . . 136 4.2. Giản đồ pha trong mặt phẳng (t, r) khi γ = 0.49, δ = 0.84

Mục lục

Lời cam đoan

Lời cám ơn

Danh mục các chữ viết tắt

Danh sách hình v˜e

MỞ ĐẦU 1

1. TỔNG QUAN 4

1.2. Sắt từ trong kim loại

1.1. Tổng quan về sự đồng tồn tại của trật tự từ và siêu dẫn trong hệ fermion nặng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Hiện tượng đồng tồn tại pha từ - siêu dẫn trong vật liệu fermion nặng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2. Một số quan sát thực nghiệm trong các hợp chất Fermion nặng 1.1.3. Nghiên cứu lý thuyết về các hợp chất Fermion nặng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Trật tự sắt từ trong các hệ moment từ định xứ. . . . . . . . . . 1.2.2. Trật tự từ của hệ spin linh động . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Siêu dẫn và lý thuyết BCS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Lược sử ra đời và phát triển của siêu dẫn . . . . . . . . . . . . . 1.3.2. Lý thuyết BSC của siêu dẫn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3. Lý thuyết BCS tổng quát 1.4. Lý thuyết Ginzburg-Landau về sự chuyển pha . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1. Lý thuyết Landau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2. Lý thuyết Ginzburg-Landau I: Trật tự Ising . . . . . . . . . . . 1.4.3. Lý thuyết Ginzburg-Landau II: Trật tự phức và siêu chảy . . . . 1.4.4. Lý thuyết Ginzburg-Landau cho siêu dẫn . . . . . . . . . . . . . 1.5. Thảo luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 6 7 10 11 19 22 22 27 33 39 40 49 52 55 58

2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TIẾP CẬN VI MÔ GINZBURG-LANDAU

2.1. Phương pháp hàm Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1. Các hàm Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2. Phương trình chuyển động cho các hàm Green . . . . . . . . . . 2.1.3. Ứng dụng của hàm Green cho lý thuyết siêu dẫn và sắt từ . . . 2.2. Phương pháp tích phân phiếm hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Biến số Grassmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 59 60 62 64 69 70

Mục lục

2.2.2. Hamiltonian và hình thức luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3. Áp dụng cho hệ siêu dẫn BCS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.4. Phiếm hàm Ginzburg-Landau một thành phần . . . . . . . . . . 2.3. Thảo luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 74 84 88

3. THIẾT LẬP PHIẾM HÀM NĂNG LƯỢNG GINZBURG-LANDAU NHIỀU

89 THÀNH PHẦN 89 3.1. Mô hình ba tham số trật tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 3.1.1. Hamiltonian và hình thức luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2. Khử tham số kết cặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 3.1.3. Phiếm hàm Ginzburg-Landau ba thành phần . . . . . . . . . . 110 3.2. Các mô hình đơn giản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 3.2.1. Kênh mật độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 3.2.2. Kênh trao đổi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 3.2.3. Kênh Cooper 3.3. Thảo luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

4. SỰ ĐỒNG TỒN TẠI CÁC TRẬT TỰ SẮT TỪ VÀ SIÊU DẪN TRONG

CÁC HỢP CHẤT FERMION NẶNG 117 4.1. Nguồn gốc vi mô của phiếm hàm Ginzburg-Landau hai thành phần . . 118 . . . . . 125 4.2. Sự đồng tồn tại của các trật tự siêu dẫn và sắt từ trong UGe2 4.2.1. Phiếm hàm năng lượng tự do Ginzburg-Landau cho siêu dẫn sắt

từ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 4.2.2. Giản đồ pha từ gần đúng phiếm hàm Ginzburg-Landau . . . . . 131 4.3. Thảo luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

Phụ lục 142

A. Tính hệ fermion hiệu dụng bậc hai kết cặp với các trường phụ 143

B. Khai triển hàm mũ chứa các đạo hàm 151

C. Các phép đạo hàm lên hàm mũ 163

Tài liệu tham khảo 177

MỞ ĐẦU

Trong các chất sắt từ ở dưới nhiệt độ Curie, Tc, spin của các điện tử sắp hàng để tạo ra một độ từ hóa. Trong một thời gian dài người ta cho rằng tính siêu dẫn không hợp với tính sắt từ. Quan điểm này bén rễ từ lý thuyết vi mô về siêu dẫn được xuất bản 1957 bởi Bardeen, Cooper, và Schrieffer (BCS). Trong phạm vi lý thuyết BCS chuẩn, ngưng tụ siêu dẫn được hình thành dưới tác động của một lực hút do bởi các dao động mạng liên kết các điện tử có spin đối song thành các cặp Cooper singlet. Khi các nguyên tử tạp chất từ được đặt vào một chất siêu dẫn truyền thống, thì trường cục bộ bao quanh các nguyên tử tạp chất sẽ ngăn cản sự hình thành các cặp Cooper singlet [15], điều này gây ra một sự sụt giảm nhanh chóng nhiệt độ chuyển pha siêu dẫn Tsc. Tuy nhiên, vào khoảng năm 1980, người ta nhận thấy dưới các điều kiện đặc biệt trật tự siêu dẫn có thể đồng tồn tại với trật tự phản sắt từ [86], ở đó các spin điện tử lân cận sắp xếp thành một cấu hình đối song. Chẳng hạn, trong các chất phản sắt từ fermion nặng, các mô men từ lưu động hầu như không có hiệu ứng làm giảm đi sự kết cặp lên các cặp Cooper singlet vì tương tác trao đổi trung bình bằng không. Quan sát đầu tiên về điện trở kháng bằng không trong trạng thái sắt từ của HoMo6S8 được đăng bởi Lynn và các cộng sự [57], tiếp theo bởi Genicon và các cộng sự [31]. Rồi sau đó, các thí nghiệm nhiễu xạ neutron trên các tinh thể singlet của HoMo6S8 được tiến hành bởi Rossat và các cộng sự [71] đã xác nhận thêm một lần nữa các quan sát ở trên. Họ nhận thấy rằng khi T < 0, 60K, với sự làm lạnh chậm, một pha sắt từ xuất hiện. Cường độ từ trường trong pha sắt từ tăng lên và sau đấy đạt bão hòa ở khoảng T = 0, 4K, biểu thị rằng ở dưới nhiệt độ này, các thăng giáng nhiệt là không đáng kể. Vật liệu có một sự chuyển pha siêu dẫn ở T = 1, 82K và một sự chuyển pha từ ở T = 0, 67K trong vùng lân cận của sự tái nhập tới trạng thái dẫn thường [57]. Sự khám phá lần đầu tiên ra chất sắt từ UGe2 [74] có tính siêu dẫn (Tsc < Tc) trong năm 2000 đã gây ra một sự ngạc nhiên lớn. Trong vật liệu này, một sự chuyển siêu dẫn xảy ra ở một nhiệt độ Tsc ngập sâu trong trạng thái sắt từ, tức là ở dưới hẳn nhiệt độ Curie Tc, mà không loại trừ trật tự sắt từ (ta gọi nó là chất siêu dẫn sắt từ). Về sau, ba chất siêu dẫn sắt từ khác đã được phát hiện là UIr [7], URhGe [10] và UCoGe [44]. Các vật liệu này có đặc điểm chung là trật tự sắt từ được quyết định bởi các mô men từ 5f của Uranium và có đặc tính lưu động mạnh. Thêm nữa, tính siêu dẫn xuất hiện gần như với một từ tính không ổn định. Sự đồng tồn tại của tính siêu dẫn và sắt từ trong các vật liệu này có thể được hiểu dưới dạng các mô hình thăng giáng spin: Ở vùng lân cận điểm tới hạn lượng tử sắt từ, các thăng giáng từ then chốt có thể dàn xếp tính siêu dẫn bằng cách ghép cặp các điện tử thành các cặp Cooper spin-triplet [25, 56], đó là các trạng thái kết cặp bình đẳng về spin (L = 1, Sz = 1; L = 1, Sz = −1 và L = 1, Sz = 0). Trong những năm gần đây các bằng chứng phong phú đã cho thấy một cơ chế kết cặp bất thường như thế đang tồn tại trong các chất sắt từ có tính siêu dẫn [73, 29, 61].

MỞ ĐẦU

Theo sát những kết quả mới mà các nhóm nghiên cứu ngoài nước đã thu được, ở Việt Nam GS. Đỗ Trần Cát là người đầu tiên triển khai nghiên cứu lý thuyết pha siêu dẫn và pha sắt từ trong UGe2 dựa trên tính chất kết ô của cấu trúc vùng năng lượng và thu được những kết quả thú vị [20, 19]. Các thành viên của nhóm Hệ tương quan mạnh, Trung tâm Vật lý lý thuyết, Viện Vật lý cũng đã bắt đầu nghiên cứu sự đồng tồn tại hai pha từ và siêu dẫn trong UGe2 từ năm 2006. Họ đã thu được những kết quả bước đầu về hai pha từ FM1 và FM2 trong UGe2 [87] và đã đề xuất cơ chế siêu dẫn dựa trên trao đổi các kích thích từ do tách trường tinh thể của các mức Uranium định xứ [88].

Với khám phá về các chất sắt từ siêu dẫn một chủ đề nghiên cứu mới trong lĩnh vực từ tính và siêu dẫn đã được vạch ra. Nghiên cứu các chất sắt từ siêu dẫn sẽ giúp làm sáng tỏ các thăng giáng từ làm thế nào mà có thể kích thích tính siêu dẫn, một tính chất mà nó là chủ đề trung tâm chạy xuyên suốt các họ vật liệu ngày càng đa dạng như các chất siêu dẫn fermion nặng, siêu dẫn đồng nhiệt độ Tsc cao và các chất siêu dẫn được khám phá gần đây có thành phần chính là FeAs [47]. Cái nhìn mới lạ này có thể đóng vai trò chủ chốt trong sự sáng tạo ra các vật liệu siêu dẫn mới. Tuy nhiên, vấn đề hiểu bản chất thực sự và cơ chế của sự đồng tồn tại tính siêu dẫn với sắt từ là rất phức tạp, một lời giải đầy đủ vẫn chưa có. Đã có các đề xuất rằng sự kết hợp của các thăng giáng spin ngang và dọc đóng một vai trò quan trọng và sẽ được kể đến trong việc nghiên cứu vấn đề [83]. Abrikosov [5] và Mineev cùng các cộng sự [60] đã đề cập rằng tính siêu dẫn sóng s có thể là kết quả từ sự tương tác điện tử được điều đình bởi các mô men định xứ sắp trật tự có tính sắt từ. Trong những năm gần đây, ngoài những nghiên cứu thực nghiệm khảo sát sự phụ thuộc chuyển pha vào áp suất và từ trường ngoài, các công trình lý thuyết của các nhóm nghiên cứu ở Đức, Mỹ, Nga, Nhật, Bulgaria . . . tập trung tìm các cơ chế chuyển pha, bản chất các pha và sự phụ thuộc nhiệt độ chuyển pha và moment từ hóa tự phát vào các thông số của vật liệu. Nhiều cơ chế chuyển pha khác nhau đã được đề xuất như: sóng điện tích và sóng spin [90], trao đổi magnon [48], tương tác trao đổi trên các mức định xứ [5]. . . Tuy nhiên cho đến nay bản chất của pha siêu dẫn (singlet hay triplet) chưa rõ, cơ chế gây trật tự từ cũng còn gây tranh cãi (do moment định xứ hay do điện tử linh động), nguyên nhân gây siêu dẫn chưa xác định rõ ràng (do trao đổi phonon hay magnon hay sóng điện tích). Đặc biệt sự phụ thuộc nhiệt độ chuyển pha và độ từ hóa vào áp suất chưa được nghiên cứu về lý thuyết. Tóm lại lý thuyết đồng tồn tại hai pha siêu dẫn và sắt từ hiện vẫn là một thách thức đối với những người nghiên cứu vật lý [22, 53]. Bởi vậy, chúng tôi chọn hướng nghiên cứu này làm chủ điểm với tiêu đề của luận án: “Phương pháp tiếp cận vi mô Ginzburg-Landau đối với sự đồng tồn tại pha trong hệ nhiều hạt”.

Sự xem xét ở trên đã thúc đẩy chúng tôi thực hiện phép biến đổi lý thuyết trường fermion tới một lý thuyết hiệu dụng dựa trên các trường kết cặp được biểu diễn dưới dạng các tham số trật tự theo các kênh khác nhau. Mục đích chính của luận án là hình thành một phiếm hàm Ginzburg-Landau (GL) mà nó có thể mô tả sự đồng tồn tại của nhiều pha. Trong nghiên cứu của chúng tôi, thông qua phép biến đổi Hubbard- Stratonovich (HS), một Hamiltonian sẽ được tách thành các kênh khả dĩ, khi đó sẽ nhận được một phiếm hàm chỉ phụ thuộc vào các tham số trật tự. Vì vậy chúng tôi sẽ đi đến một sự biểu diễn chung của phiếm hàm GL cho hệ ba tham số trật tự thông qua các tính toán dựa vào hàm Green. Dựa trên bài toán riêng của siêu dẫn sắt từ của

MỞ ĐẦU

các hệ fermion nặng dựa trên Uranium, chúng tôi sẽ rút ra một biểu diễn chính thức cho phiếm hàm GL, và sau đó sử dụng nó để nghiên cứu sự đồng tồn tại của sắt từ và siêu dẫn trong hệ UGe2 đồng thời tạo ra các đồ thị cho thấy sự phụ thuộc giữa các tham số trật tự và biểu thị các miền pha cân bằng.

Nội dung của bản luận án sẽ được trình bày trong 4 chương:

Chương 1, tổng quan. Chương này, phần đầu sẽ trình bày tổng quan về sự đồng tồn tại của trật tự từ và siêu dẫn trong hệ fermion nặng. Phần tiếp theo là lý thuyết sắt từ và lý thuyết siêu dẫn. Phần cuối cùng trình bày lý thuyết Ginzburg-Landau về sự chuyển pha.

Chương 2, các phương pháp tiếp cận vi mô Ginzburg-Landau. Chương này, mục 2.1 chúng tôi sẽ trình bày tổng quan về phương pháp hàm Green cùng với ứng dụng của nó cho hệ sắt từ và siêu dẫn. Mục 2.2, chúng tôi sẽ phát triển bài toán siêu dẫn BCS bằng việc sử dụng phương pháp tích phân phiếm hàm để tính hàm phân bố của hệ, thiết lập phiếm hàm năng lượng Ginzburg-Landau một thành phần cho siêu dẫn BCS.

Chương 3, thiết lập phiếm hàm năng lượng Ginzburg-Landau nhiều thành phần. Chương này, phần đầu xây dựng mô hình ba tham số trật tự và thiết lập phiếm hàm năng lượng Ginzburg-Landau cho ba tham số trật tự, phần sau chúng tôi xây dựng một số mô hình đơn giản tương ứng với từng kênh riêng biệt.

Chương 4, sự đồng tồn tại các trật tự sắt từ và siêu dẫn trong các hợp chất fermion nặng. Trong chương này, trước tiên chúng tôi trình bày một cách tiếp cận vi mô để rút ra phiếm hàm năng lượng GL hai thành phần. Tiếp theo, dựa trên bài toán riêng của siêu dẫn sắt từ của các hệ fermion nặng dựa trên Uranium, chúng tôi sẽ rút ra một biểu diễn chính thức cho phiếm hàm GL hai tham số trật tự sắt từ và siêu dẫn triplet và sau đó sử dụng nó để nghiên cứu sự đồng tồn tại của các pha sắt từ và siêu dẫn trong hệ UGe2.

1. TỔNG QUAN

Trong chương này chúng tôi trình bày tổng quan về sự đồng tồn tại trật tự từ và siêu dẫn trong hệ fermion nặng, giới thiệu về siêu dẫn và sự hình thành siêu dẫn, từ tính của vật liệu, và trình bày lý thuyết Ginzburg-Landau về sự chuyển pha.

1.1. Tổng quan về sự đồng tồn tại của trật tự từ và

siêu dẫn trong hệ fermion nặng

1.1.1. Hiện tượng đồng tồn tại pha từ - siêu dẫn trong vật liệu

fermion nặng

Trạng thái chất lỏng Fermi trong kim loại có hai tính bất ổn định. Tính siêu dẫn do sự hình thành của cặp điện tử và sóng mật độ (spin, điện tích) được hình thành bởi việc ghép cặp của các điện tử và lỗ trống. Về mặt lý thuyết, điều được mong đợi từ lâu là các hàm số sóng ghép cặp khác ngoài sóng s như trong siêu dẫn truyền thống và trong các sóng mật độ có thể tồn tại. Tuy nhiên, điều đó đòi hỏi một thời gian lâu đến mức ngạc nhiên để nhận dạng các trạng thái ghép cặp đông đặc phi truyền thống trong các vật liệu thật. Giờ đây, có một sự phong phú của các chất siêu dẫn phi sóng s mà các vật liệu này, một cách thường xuyên, được gắn liền với các hàm khe “nút” bất đẳng hướng mà tại đó các trạng thái kích thích của các chuẩn hạt trong trạng thái siêu dẫn triệt tiêu tại các điểm hoặc tại các đường trên bề mặt Fermi. Hiện tượng này dẫn tới hành vi dạng “định luật lũy thừa” tại vùng nhiệt độ thấp trong nhiều đại lượng vật lý. Các vật chất siêu dẫn actinide và đất hiếm fermion nặng là các vật liệu đầu tiên được giả thiết có các trạng thái ghép cặp siêu dẫn phi truyền thống được sinh ra bởi các thăng giáng spin năng lượng thấp. Các hợp chất siêu dẫn nhiệt độ cao Tc có chứa đồng thể hiện tính siêu dẫn sóng d là các ví dụ quan trọng và đầy hứa hẹn. Nhưng tính siêu dẫn nút cũng có thể được phát hiện trong các muối hữu cơ và muối ruthenates. Các trạng thái sóng mật độ điện tích và sóng mật độ spin truyền thống hiện diện thường xuyên trong các kim loại với trật tự sóng mật độ spin hay trật tự phản sắt từ tương ứng là thông thường nhất. Các hợp chất với các sóng mật độ phi truyền thống được xác nhận trong thực tế là khá hiếm hoi và với tính nhất định chỉ đã được tìm thấy trong các kim loại hữu cơ và có lẽ trong các vật liệu fermion nặng có chứa Uranium và pha “giả khe” của các hợp chất có chứa đồng kích thích thấp. Điều này một phần có thể là do sự khó khăn trong việc tìm kiếm các tham số trật tự “ẩn” mà những tham số đó không để lại dấu vết trong các thí nghiệm về tán xạ X quang hoặc tán xạ neutron tiêu chuẩn.

1.1 Tổng quan về sự đồng tồn tại của trật tự từ và siêu dẫn trong hệ fermion nặng

√

Chúng ta sẽ chỉ tập trung vào một số vật liệu quan trọng mà tại đó thể hiện một khía cạnh quan trọng của siêu dẫn phi truyền thống và quan hệ của nó với từ trường hay trật tự ẩn. Các giản đồ pha nhiệt độ thấp phức tạp của các kim loại fermion nặng là kết quả của các lớp vỏ f lấp đầy không hoàn toàn của các ion actinide và đất hiếm mà bảo toàn đặc trưng tương tự nguyên tử. Việc lấp đầy các trạng thái theo quy tắc Hund dẫn tới các moment từ. Trong một tinh thể, tính suy biến quay của các moment từ bị dịch chuyển từng phần bởi trường điện tích tinh thể và sự lai với các vùng dẫn rộng của các điện tử lớp ngoài. Như một hệ quả, một số lớn các kích thích năng lượng thấp được tạo thành. Trong trường hợp của một chất lỏng Fermi lý tưởng, các kích thích này tương ứng với các chuẩn hạt nặng mà khối lượng hiệu dụng của chúng m∗ vào cỡ vài bậc lớn hơn so với khối lượng m của điện tử tự do. Độ rộng của vùng chuẩn hạt tương ứng Tc vào cỡ meV đối với các kim loại fermion nặng thực. Sự tăng cường của khối lượng được phản ánh trong sự tăng mạnh của giá trị nhiệt dung riêng, độ từ cảm Pauli và hệ số dạng T 2 của điện trở. Tuy nhiên, gần điểm tới hạn lượng tử, điểm thể hiện sự khởi đầu của các tính bất ổn định của sóng mật độ, các kỳ dị nhiệt độ thấp trong các đại lượng này xuất hiện mà các kỳ dị này là các dấu hiệu đặc trưng của trạng thái chất lỏng phi Fermi. Các cơ chế khác nhau đối với sự hình thành của các khối lượng nặng đã được đề xuất. Trong khi trong các hợp chất Ce với các trạng thái 4f 1 bị định xứ hoàn toàn, cơ chế Kondo là phù hợp, có các bằng chứng ngày càng rõ rằng bản chất đối ngẫu, nghĩa là định xứ và linh động từng phần, bản chất của các trạng thái 5f chịu trách nhiệm đối với sự tái chuẩn hóa khối lượng trong trong các vật liệu chứa Uranium. Trong cả hai kịch bản, người ta giả thiết rằng các chuẩn hạt nặng, một cách ưu thế, có các đặc tính f . Các tương tác thặng dư giữa các chuẩn hạt dẫn đến tính không ổn định của việc ghép cặp. Hai ứng cử viên đã được nhận dạng trong các hợp chất fermion nặng: thứ nhất, các tương tác ghép cặp thông qua trao đổi của các thăng giáng spin tắt nhanh tăng cường của các chuẩn hạt linh động, một cách giả thiết tại vector sóng phản sắt từ. Mô hình này được thiết lập cho các hợp chất Ce, đặc biệt khi tính siêu dẫn xuất hiện ở gần một điểm tới hạn lượng tử. Điều này cũng có thể chứa một sự thật nào đó đối với các hợp chất fermion nặng chứa Uranium linh động. Tuy nhiên, chúng ta giờ đây đã biết một cách chắc chắn rằng trong các hợp chất có chứa Uranium với các điện tử 5f định xứ từng phần, một cơ chế khác đang chiếm ưu thế: việc ghép cặp được sinh ra bởi sự trao đổi của các kích thích nội lan truyền (các exciton từ) của hệ con 5f định xứ. Các bằng chứng thực nghiệm mạnh mẽ (các thí nghiệm tán xạ Neutron) về sự đồng tồn tại không bị tách pha giữa sắt từ và siêu dẫn gần đây đã được tìm thấy trong UGe2, đã ủng hộ quan điểm rằng tính sắt từ và siêu dẫn được gây bởi các điện tử 5f trong cùng một dải, nghĩa là các thăng giáng từ gây ra kết cặp là một cơ chế khả dĩ. Điều này dường như biểu thị rằng tương tác hút hiệu dụng giữa các chuẩn hạt nặng tái chuẩn hóa trong UGe2 không phải được cung cấp bởi tương tác điện tử-phô nôn như trong các chất siêu dẫn thông thường, mà là được điều đình bởi các thăng giáng spin điện tử. Trong lân cận của điểm tới hạn lượng tử sắt từ, các thăng giáng từ tới hạn có thể điều đình tính siêu dẫn bằng cách kết cặp các điện tử thành các cặp Cooper spin-triplet, đó là các trạng thái kết cặp có spin bằng nhau mà mô men spin toàn phần không bằng không (S = 1): |↑↑i(L = 1, Sz = 1), |↓↓i(L = 1, Sz = −1), 2 ( L = 1, Sz = 0). Các cặp Cooper spin-triplet này có các trạng và (|↑↓i + |↓↑i) / thái lượng tử với các spin điện tử song song và vì vậy có thể tồn tại trong sự hiện diện

1.1 Tổng quan về sự đồng tồn tại của trật tự từ và siêu dẫn trong hệ fermion nặng

của các mô men từ.

Cho đến nay, hiểu biết lý thuyết về tính siêu dẫn và từ tính trong các hệ fermion nặng vẫn luôn ở trạng thái với các mô hình có tính sơ đồ hoặc minh họa và thiếu đi năng lực dự báo thực. Các khó khăn xuất hiện ở hai mức độ. Thứ nhất chính các chuẩn hạt trạng thái chuẩn chỉ có thể được mô tả trong các bức tranh vùng được tái chuẩn hóa một hạt hiệu dụng với các tham số đầu vào có tính kinh nghiệm. Đối với một số hợp chất tương tự như UBe13 và các hợp chất có chứa Ce gần điểm tới hạn lượng tử, thậm chí chuyển pha siêu dẫn diễn ra trong một trạng thái mà trong đó không tồn tại các chuẩn hạt được định xác định rõ như đã được cung cấp bằng chứng bởi quan sát về hành vi chất lỏng phi Fermi. Thứ hai, tương tác ghép cặp hiệu dụng chỉ có thể được mô tả theo một cách được đơn giản hóa quá đáng như trong các mô hình thăng giáng spin và các biến thể của mô hình này. Các mô hình được đề xuất này thông thường bỏ qua cấu trúc quĩ đạo nội của các hợp chất điện tử f gây ra bởi liên kết spin quĩ đạo giữa các nguyên tử và thế năng trường điện tích tinh thể. Các nỗ lực để đưa các số hạng này vào các khảo sát lý thuyết, trên thực tế, cũng không cho phép đưa các nhận thức về các hiện tượng thú vị này đi xa hơn. Tuy vậy, việc hiểu biết các lý thuyết định tính này cũng rất quan trọng. Các thảo luận thường tập trung vào các chuẩn hạt trạng thái cơ bản, mà cụ thể là mô hình Kondo mạng đối với các hợp chất có chứa Ce đối lập với mô hình các điện tử 5f lưỡng tính đối với các hợp chất có chứa U. Bắt đầu từ nhận thức cơ sở này, lý thuyết vùng tái chuẩn hóa cung cấp một cách thức để mô tả các vùng của các chuẩn hạt nặng trong khuôn khổ của một cách tiếp cận chất lỏng Fermi. Từ những hiểu biết đó, các mô hình gần đúng đối với các tương tác ghép cặp hiệu dụng có thể được thu nhận bằng các kỹ thuật nhiễu hạt chuẩn. Sự phân loại đối xứng của các tham số ghép cặp là một bước quan trọng để hiểu cấu trúc nút của khe và để giải các phương trình khe.

1.1.2. Một số quan sát thực nghiệm trong các hợp chất Fermion

nặng

Các nghiên cứu thực nghiệm về UGe2 [74, 43, 85, 38] cho thấy rằng ở áp suất bằng không UGe2 là một sắt từ linh động, nhiệt độ Curie của nó Tc = 52K, và độ từ hóa tự phát µs = 1.4µB/nguyên tử U. Trong tinh thể trực giao trục dễ là trục a [89]. Khi áp suất tăng lên, hệ trải qua hai chuyển pha lượng tử liên tục, từ pha sắt từ (FM) tới pha sắt từ-siêu dẫn (FM-SC) ở P = 1GP a, và từ pha sắt từ tới pha thuận từ (PM) ở áp suất cao Pc = 1.6GPa. Pha siêu dẫn tồn tại hoàn toàn trong miền sắt từ ở nhiệt độ thấp và áp suất khoảng 1.0 ÷ 1.6 GPa với một nhiệt độ chuyển cực đại Tsc = 0.8K ở gần 1.2 GPa. Trong miền sắt từ, có hai pha sắt từ riêng biệt được kí hiệu là FM2 và FM1 với độ lớn mô men từ khác nhau. Với sự tăng áp suất, trạng thái từ cơ bản chuyển từ pha phân cực mạnh (FM2, µ = 1.5µB) tới pha phân cực yếu (FM1,µ = 0.9µB) ở áp suất Px = 1.2 GPa, và đường pha kết thúc ở giá trị cực đại của nó Tx = Tsc. Khi áp suất tăng thì bậc của chuyển pha từ FM1 tới PM thay đổi từ bậc hai tới bậc nhất ở điểm ba Tcr trên giản đồ T (P ), và tại áp suất tới hạn Pc. Khi áp suất tăng hơn nữa thì cả TF M và TF S sụt giảm nhanh chóng và gần như biến mất đồng thời quanh P ∼ 1.7 GPa (xem hình 1.1).

1.1 Tổng quan về sự đồng tồn tại của trật tự từ và siêu dẫn trong hệ fermion nặng

Hình 1.1.: Giản đồ pha của U Ge2 xác định bởi các số đo độ từ hóa dưới áp suất. Tc là nhiệt độ Curie và Tx xác định nơi chuyển pha giữa hai pha sắt từ FM1 và FM2 có độ phân cực từ khác nhau. Tsc là nhiệt độ chuyển pha siêu dẫn [85, 38].

Các nghiên cứu thực nghiệm về CeRhIn5 [40, 49, 92, 67, 11, 32] cũng chỉ ra rằng ở áp suất bằng không, trật tự AFM xuất hiện tại TN = 3.8K với một mô men từ so le khoảng 0.8 µB. Bằng cách đặt vào áp suất, ở Tc < TN hệ có thể trải qua một sự chuyển pha lượng tử khi làm lạnh từ pha AFM tới pha AFM+SC. Khi tăng áp suất, nhiệt đô N’eel tăng nhẹ và có một cực đại trơn quanh 0.8 GPa. Sau đó TN suy giảm khi P tiến gần tới áp suất tới hạn Pc mà tại đó tính siêu dẫn được thiết lập và nhiệt độ chuyển siêu dẫn Tc = TN . Trật tự phản sắt từ biến mất ở gần P ∗ c = 1.95 GPa do bởi một chuyển pha bậc nhất từ pha AFM+SC tới pha SC không truyền thống. Sự đồng tồn tại của phản sắt từ và siêu dẫn được tìm thấy trong một phạm vi hẹp áp suất từ 1.6 − 1.95 GPa. Khi P tăng hơn nữa (P ở trên P ∗ c ) một pha siêu dẫn không truyền thống xuất hiện, nói cách khác, nếu Tc > TN trạng thái cơ bản là siêu dẫn thuần trong một miền áp suất lớn từ 1.95 tới 5 GPa (xem hình 1.2).

1.1.3. Nghiên cứu lý thuyết về các hợp chất Fermion nặng

Theo các lý thuyết trước đây, tính chất từ được gây bởi các mô men spin của các điện tử định xứ 4f, 5f , còn tính siêu dẫn được gây ra bởi các cặp Cooper được hình thành bởi các điện tử dẫn. Các khám phá trên cùng với một số các dữ liệu thực nghiệm tin cậy về độ dài kết hợp và khe siêu dẫn [74, 43, 68, 10], đã ủng hộ kết luận là các điện tử 4f từ Ce và 5f từ U chịu trách nhiệm cho cả tính chất từ (sắt từ và phản sắt từ) và siêu dẫn. Các cặp Cooper trong các hợp chất kim loại này thuộc loại spin-triplet và các thăng giáng từ gây ra các kết cặp là một cơ chế khả dĩ. Trong những năm gần đây, bên cạnh các nghiên cứu thực nghiệm khảo sát sự phụ thuộc của chuyển pha vào áp suất và từ trường ngoài, cũng đã có nhiều các nghiên cứu về lý thuyết tập trung vào việc tìm ra cơ chế chuyển pha, bản chất các pha và sự phụ thuộc của nhiệt độ chuyển pha và mô men từ tự phát vào các tham số của vật liệu. Các cơ chế khác nhau, chẳng hạn như, kết cặp sóng mật độ điện tích và sóng mật độ spin [89, 18], trao đổi magnon

1.1 Tổng quan về sự đồng tồn tại của trật tự từ và siêu dẫn trong hệ fermion nặng

Hình 1.2.: Giản đồ pha P − T của CeRhIn5 với các pha phản sắt từ (kí hiệu AFM, vùng màu xanh) và siêu dẫn (kí hiệu SC, vùng màu vàng) được xác định từ số đo nhiệt dung riêng khi không có từ trường ngoài. Khi Tc < TN có tồn tại một pha đồng tồn tại AFM+SC. Khí Tc > TN trật tự phản sắt từ đột ngột biến mất [92, 32].

[48], tương tác điện tử được điều đình bởi các mô men định xứ sắp trật tự có tính sắt từ [5, 60], tương tác phonon bị chắn [75], trao đổi điện tử d [80], M-trigger [78, 77, 76], các mô hình nhiều vùng [1, 26, 45, 8], vv..., đã được đề xuất. Các nghiên cứu lý thuyết đã phần nào giải quyết được vấn đề quan trọng này và cung cấp nhiều thông tin bổ ích về tương tác giữa các pha từ và siêu dẫn trong các trạng thái đồng tồn tại.

Các mô hình hiện tượng học [58, 72] sử dụng để mô tả sự đồng tồn tại của các trật tự siêu dẫn và sắt từ được đề xuất ngay sau khi có các khám phá thực nghiệm [74, 43, 85]. Các lý thuyết này được xây dựng dựa trên các lập luận đối xứng tổng quát và các dữ liệu thực nghiệm về nhiệt động lực học của các hợp chất dựa trên Uranium, nghĩa là các lý thuyết này không liên quan đến vật lý vi mô cơ bản. Trong các hợp chất này người ta cho rằng các điện tử định xứ 5f chịu trách nhiệm cho cả tính chất từ và siêu dẫn. Trong bối cảnh đó, các cặp Cooper phải có mô men từ, nghĩa là một chất siêu dẫn sắt từ với một trật từ đồng đều phải là một siêu dẫn triplet. Các mô hình hiện tượng học này, sau đó đã được Shopova và các cộng sự sử dụng để tìm các miền ổn định của các pha trong nhiều công trình của họ và đã rất thành công trong việc mô tả sự đồng tồn tại của các trật tự sắt từ và siêu dẫn triplet trong các hợp chất dựa trên Uranium [77, 78, 76, 79]. Mô hình hiện tượng học được xây dựng trong các tham khảo [58, 72] được cho bởi

(1.1) H2 fGL(ψ, M) = fS(ψ) + fF (M) + fI(ψ, M) + 1 2

trong đó ψ là véc tơ phức ba chiều mô tả trật tự siêu dẫn, B = (H + 4πM) = ∇ × A là cảm ứng từ, H là từ trường ngoài và A là thế véc tơ điện từ.

1.1 Tổng quan về sự đồng tồn tại của trật tự từ và siêu dẫn trong hệ fermion nặng

3 X

(cid:12) (cid:12)

Số hạng fS(ψ) mô tả tính chất siêu dẫn khi H = M = 0, và có dạng

2 (cid:12) (cid:12)

(cid:12)ψ2(cid:12)

i=1

(1.2) , + |ψ|4 + fS(ψ) = fgrad(ψ) + as |ψ|2 + |ψi|4 bs 2 us 2 vs 2

với

fgrad(ψ) = K1 (Diψj)∗ (Diψj) + K2 (Diψi)∗ (Diψi) (1.3) + K3 [(Diψi)∗ (Djψj) + (Diψj)∗ (Djψi)] ,

ở đây sự lấy tổng theo các chỉ số i, j được thừa nhận và kí hiệu

(1.4) Di = −i + 2eAi, ∂ ∂xi

3 X

của phép lấy vi phân hiệp biến được đưa vào. Số hạng fF (M) trong phương trình (1.1) mô tả tính chất sắt từ và được cho bởi

j=1

|M|4 . (1.5) |∇jMj|2 + af (Tf ) |M|2 + fF (M) = cf bf 2

Đây là biểu thức chuẩn cho một sắt từ đẳng hướng. Thêm vào đó fI(ψ, M) mô tả sự tương tác giữa các tham số trật tự sắt từ và siêu dẫn, và có dạng

(1.6) fI(ψ, M) = iγ0M. (ψ × ψ∗) + δ0 |ψ|2 |M|2 .

Khi không có từ trường ngoài và bỏ qua các ảnh hưởng của tính bất đẳng hướng của các cặp Cooper và tinh thể thì phiếm hàm năng lượng GL của siêu dẫn sắt từ triplet bao gồm các số hạng sau

2 |ψ|4 + af |M|2 + bf

2 |M|4 + iγ0M. (ψ × ψ∗) + δ0 |ψ|2 |M|2

fGL(ψ, M) = as |ψ|2 + bs

(1.7)

Phiếm hàm (1.7) đã được Shopova dùng để khảo sát pha Meisner trong siêu dẫn sắt từ spin-triplet [78] và thu được nhiều kết quả phù hợp tốt với thực nghiệm.

Bên cạnh các lý thuyết hiện tượng luận, các lý thuyết vi mô cố gắng giải thích các cơ chế khác nhau. Một trong những mô hình vi mô tốt là mô hình được đề xuất bởi Dahl

1.2 Sắt từ trong kim loại

và Sudbø [23], khảo sát một Hamiltonian gồm ba số hạng. Số hạng thứ nhất mô tả các điện tử tự do, số hạng thứ hai là số hạng BCS spin tổng quát mô tả tính siêu dẫn, và số hạng cuối cùng là số hạng trao đổi sắt từ Heisenberg giải thích cho tính sắt từ linh động. Với Hamiltonian đó họ đã rút ra được phiếm hàm năng lượng tự do GL cho siêu dẫn sắt từ sóng p, sau đó áp dụng để tính các hiệu ứng chui hầm cả trong vùng điện tích và vùng spin, và vì vậy làm sáng tỏ tương tác giữa các nhóm đối xứng bị phá vỡ U1 và SU2.

1.2. Sắt từ trong kim loại

Mục này sẽ thảo luận tính chất sắt từ trong kim loại. Trọng tâm của phần thảo luận là “tích phân trao đổi”, một đại lượng chỉ xuất hiện trong cơ học lượng tử và cho phép giải thích được hiện tượng từ tính mạnh. Chính vì điều này mà các hiện tượng từ xuất hiện từ rất xa xưa nhưng mãi đến tận khi cơ học lượng tử ra đời người ta mới có được sự hiểu biết sâu sắc về nó.

Trong các vật sắt từ (Fe,Ni,Co,Gd, . . ., và một số hợp kim của chúng) khi nhiệt độ của vật thấp hơn một nhiệt độ xác định nào đó thì tồn tại độ từ hóa tự phát. Độ từ hóa tự phát là moment từ trung bình của vật sắt từ tính trong một đơn vị thể tích tồn tại ngay cả khi không có cảm ứng từ trường ngoài B, và phụ thuộc vào nhiệt độ. Khi B = 0, nhiệt độ tăng thì độ từ hóa tự phát của vật sắt từ giảm và khi tăng đến nhiệt độ chuyển pha sắt từ TC thì độ từ hóa của vật sắt từ bằng không, khi đó từ tính của vật sắt từ sẽ biến mất. Vật được gọi là sắt từ nếu trong vật tồn tại moment từ tự phát ngay cả khi không có từ trường ngoài.

Các tính chất của vật sắt từ về cơ bản được xác định bởi moment từ spin của các điện tử ở các lớp vỏ chưa đầy ( lớp 3d, 4f . . .) và moment từ các điện tử s ở lớp ngoài. Tương tác trao đổi (một loại tương tác điện) giữa các điện tử ở các lớp vỏ chưa đầy của các nguyên tử với nhau dẫn đến sự định hướng các moment từ spin của các điện tử song song cùng chiều với nhau và tạo thành độ từ hóa tự phát của vật sắt từ khi không có từ trường ngoài.

1.2 Sắt từ trong kim loại

1.2.1. Trật tự sắt từ trong các hệ moment từ định xứ.

1.2.1.1. Tương tác trao đổi. Mẫu Heisenberg

Để dẫn đến khái niệm tương tác trao đổi, ta khảo sát bài toán Heli. Nhờ tương tác trao đổi giữa các điện tử ta giải thích được bản chất của hiện tượng sắt từ. Vì khối lượng của hạt nhân Heli rất lớn so với khối lượng của các điện tử cho nên trong bài toán này ta coi hạt nhân của Heli đứng yên.

Điện tích của hạt nhân Heli là +2e, điện tích của điện tử là −e; khoảng cách từ điện tử thứ i (i = 1, 2) đến hạt nhân là ri, khoảng cách giữa hai điện tử là r12 = r21 = r = |r2 − r1|.

Phương trình Schrodinger ở trạng thái dừng đối với hệ hai điện tử của nguyên tử Heli khi không tính đến ảnh hưởng của spin có dạng:

(1.8) ˆHΦ(r1, r2) = EΦ(r1, r2)

ˆH là toán tử Hamiltonian và E là năng lượng của hệ.

(1.9) ˆH = ˆH0 + ˆU

trong đó

(1.10) ˆH0 = ˆH0(r1) + ˆH0(r2)

i −

(cid:126)2 (1.11) là Hamiltonian của điện tử thứ i ∇2 ˆH0(ri) = − 2m 2e2 ri

(1.12) ˆU = , khảo sát như nhiễu loạn e2 r

(1.13) i = 1, 2 ˆH0(ri)ψn(ri) = Enψn(ri)

suy ra

1(r1, r2) = ψn(r1)ψm(r2) 2(r1, r2) = ψn(r2)ψm(r1)

(1.14) Φ0 Φ0

1.2 Sắt từ trong kim loại

đều là hàm riêng của toán tử ˆH0 = ˆH0(r1)+ ˆH0(r2) ứng với một trị riêng E0 = En +Em

1(r1, r2) = (En + Em)Φ0 2(r1, r2) = (En + Em)Φ0

1(r1, r2) = E0Φ0 2(r1, r2) = E0Φ0

1(r1, r2) 2(r1, r2)

(1.15) ˆH0Φ0 ˆH0Φ0

1 và Φ0 2

Trong gần đúng bậc không, hàm sóng của hệ hai điện tử Φ(r1, r2) được tìm dưới dạng tổ hợp tuyến tính của Φ0

1(r1, r2) + c2Φ0

2(r1, r2)

(1.16) Φ(r1, r2) = c1Φ0

Phương trình Schrodinger được viết lại như sau

n c1Φ0

1(r1, r2) + c2

2(r1, r2) = E

1(r1, r2) + c2Φ0

2(r1, r2)

ˆHΦ0 ˆHΦ0 ˆHΦ(r1, r2) = c1

(1.17)

Đặt E = E0 + E0 và dùng các phương trình

1(r1, r2) = ( ˆH0 + ˆU )Φ0 2(r1, r2) = ( ˆH0 + ˆU )Φ0

1 = E0Φ0 2 = E0Φ0

1 + ˆU Φ0 2 + ˆU Φ0

(1.18) ˆHΦ0 ˆHΦ0

ta có

1 + c2

2 = E0(c1Φ0

1 + c2Φ0 2)

i (r1, r2) rồi lấy tích phân theo

(1.19) ˆU Φ0 ˆU Φ0 c1

Nhân về phía trái cả hai vế của phương trình này với Φ0∗ r1, r2 và chú ý

i (r1, r2)Φ0

k(r1, r2)dr1dr2 = δik

Φ0∗ i, k = 1, 2 (1.20) (cid:2)

 

ta tìm được



(1.21) U11c1 + U12c2 = E0c1 U21c1 + U22c2 = E0c2

 

hay



(1.22) (U11 − E0) c1 + U12c2 = 0 U21c1 + (U22 − E0) c2 = 0

1.2 Sắt từ trong kim loại

ở đây

1dr1dr2

ˆU Φ0 = U11 = |ψm(r2)|2 dr1dr2 Φ0∗ 1 (cid:2) (cid:2)

2dr1dr2

ˆU Φ0 = U22 = |ψm(r1)|2 dr1dr2 Φ0∗ 2 (cid:2) (cid:2) (1.23)

2dr1dr2 =

n(r1)ψm(r1)

m(r2)ψn(r2)dr1dr2

ψ∗ ˆU Φ0 ψ∗ U12 = Φ0∗ 1 (cid:2) (cid:2)

m(r1)ψn(r1)

n(r2)ψm(r2)dr1dr2

1dr1dr2 =

ψ∗ ˆU Φ0 ψ∗ U21 = Φ0∗ 2 (cid:2) (cid:2) |ψn(r1)|2 e2 r |ψn(r2)|2 e2 r e2 r e2 r

khi thay biến số của tích phân r1 (cid:10) r2 thì tích phân không thay đổi. Vì vậy ta có

(1.24) U11 = U22 = K; U12 = U21 = J,

 

và



(1.25) (K − E0) c1 + Jc2 = 0 Jc1 + (K − E0) c2 = 0

Để hệ phương trình có nghiệm khác không thì định thức sau đây phải bằng không

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

= 0 (1.26) K − E0 J J K − E0

hay (K − E0)2 − J 2 = 0 suy ra E0 = K ± J a) Khi E0 = K + J thì c1 = c2 và ta có

2) = c1 {ψn(r1)ψm(r2) + ψn(r2)ψm(r1)}

1 + Φ0

(1.27) Φ1(r1, r2) ≡ Φs(r1, r2) = c1(Φ0

(1.28) E1 = E0 + E0 = E0 + K + J

b) Khi E0 = K − J thì c1 = −c2

1 − Φ0

2) = c1 {ψn(r1)ψm(r2) − ψn(r2)ψm(r1)}

(1.29) Φ2(r1, r2) ≡ Φa(r1, r2) = c1(Φ0

1.2 Sắt từ trong kim loại

(1.30) E2 = E0 + E0 = E0 + K − J

√ 2.

Hàm Φs(r1, r2) = Φs(r2, r1) là đối xứng đối với phép hoán vị r1 cho r2 còn hàm Φa(r1, r2) = −Φa(r2, r1) là phản đối xứng đối với phép hoán vị r1 cho r2. Từ điều kiện chuẩn hóa của các hàm sóng Φs, Φa ta tìm được c1 = 1/ Bây giờ ta xét ý nghĩa của tích phân K và tích phân J. Chú ý rằng ρ(r1) = −e |ψn(r1)|2 là mật độ điện tích của điện tử ở điểm r1, ρ(r2) = −e |ψm(r2)|2 là mật độ điện tích của điện tử ở điểm r2 và r = |r2 − r1| cho nên tích phân K là năng lượng tương tác tĩnh điện giữa các điện tử trong nguyên tử Heli.

Tích phân J không có ý nghĩa như tích phân K, nó cũng là năng lượng tương tác điện giữa các điện tử nhưng không giống như tương tác tĩnh điện thông thường mà chúng ta đã biết trong vật lý cổ điển. Sự xuất hiện đại lượng mới J gắn liền với việc trao đổi chỗ giữa các hạt đồng nhất (các điện tử) trong cơ học lượng tử và do đó không thể tính được J trong phạm vi vật lý cổ điển. Tích phân J gọi là tích phân trao đổi và phần năng lượng ±J gọi là năng lượng trao đổi. Tùy thuộc vào sự định hướng của các spin của hai điện tử mà ta có năng lượng trao đổi bằng +J hay bằng −J.

Ta hãy khảo sát vấn đề này một cách cụ thể hơn. Từ cơ học lượng tử ta biết rằng hàm sóng của hệ hạt fermion đồng nhất là hàm sóng phản đối xứng. Điện tử có spin bằng 1/2 thuộc vào loại hạt fermion nên hàm sóng hệ hai hạt điện tử là hàm sóng phản đối xứng. Để đặc trưng cho chuyển động của điện tử ngoài ba tọa độ x, y, z còn có thêm một biến số thứ tư là hình chiếu spin sz = ms(cid:126) (ms = ± 1 2). Ta kí hiệu tập hợp bốn biến số đặc trưng cho chuyển động của điện tử thứ i là ξi (i = 1, 2). Hàm sóng ψ của hệ hai điện tử là hàm sóng phản đối xứng có nghĩa là

(1.31) ψ(ξ1, ξ2) = −ψ(ξ2, ξ1)

Nếu bỏ qua sự tương tác từ do các mô men từ của các điện tử gây nên thì phân bố xác suất theo tọa độ không gian sẽ không phụ thuộc vào sự định hướng của các spin, do đó hàm sóng ψ(ξ1, ξ2) bằng tích các hàm sóng phụ thuộc vào các tọa độ không gian và các hình chiếu spin

(1.32) ψ(ξ1, ξ2) = Φ(r1, r2)χ(s1z, s2z)

Hàm sóng ψ(ξ1, ξ2) là hàm sóng phản đối xứng, cho nên khi Φ(r1, r2) là hàm đối xứng thì hàm sóng spin χ(s1z, s2z) phải là hàm phản đối xứng, và ngược lại, khi Φ(r1, r2) là hàm sóng phản đối xứng thì hàm sóng spin χ(s1z, s2z) phải là hàm đối xứng. Hàm sóng của hệ hai điện tử ψ(ξ1, ξ2) có thể có các trường hợp sau

(1.33) ψ(ξ1, ξ2) = Φs(r1, r2)χa(s1z, s2z) ψ(ξ1, ξ2) = Φa(r1, r2)χs(s1z, s2z)

1.2 Sắt từ trong kim loại

ở đây

Φs(r1, r2) = Φs(r2, r1)χa(s1z, s2z) = −χa(s1z, s2z) (1.34) Φa(r1, r2) = −Φa(r2, r1)χs(s1z, s2z) = χs(s1z, s2z)

Khi spin của hai điện tử định hướng song song cùng chiều (spin toàn phần của hệ hai điện tử s = 1) thì hàm sóng spin là hàm sóng đối xứng χs. Khi đó hàm sóng của tọa độ phải là hàm sóng phản đối xứng Φa(r1, r2) và năng lượng của hệ hai điện tử là E2 = E0 + K − J. Khi spin của hai điện tử định hướng song song ngược chiều (spin toàn phần của hệ hai điện tử s = 0) thì hàm sóng spin là hàm sóng phản đối xứng χa. Khi đó hàm sóng của tọa độ phải là hàm sóng đối xứng Φs(r1, r2) và năng lượng của hệ hai điện tử là E1 = E0 + K + J. Như vậy sự thay đổi cách định hướng các spin của hai điện tử làm cho năng lượng trao đổi thay đổi dấu. Trạng thái của hệ hai điện tử càng bền vững khi hai điện tử ở mức năng lượng càng thấp.

-Nếu J > 0 thì E2 < E1, hệ hai điện tử sẽ ở trạng thái có năng lượng E2 có hai spin định hướng song song cùng chiều,

-Nếu J < 0 thì E1 < E2, hệ hai điện tử sẽ ở trạng thái có năng lượng E1 có hai spin định hướng song song ngược chiều.

Khi hai spin của hai điện tử định hướng song song cùng chiều thì hai mô men từ spin cũng định hướng song song cùng chiều và khi hai spin của hai điện tử định hướng song song ngược chiều thì hai mô men từ spin của chúng cũng định hướng song song ngược chiều. Điều kiện để hai mô men từ spin (hay hai spin) của hai điện tử định hướng song song cùng chiều là J > 0 và song song ngược chiều là J < 0. Bài toán về tương tác trao đổi giữa hai điện tử với năng lượng trao đổi bằng ±J mang tính chất tổng quát không phụ thuộc vào hai điện tử có ở cùng một nguyên tử hay không. Gọi Jij là tích phân trao đổi giữa các điện tử của các nguyên tử i và j trong tinh thể ở 0K, nếu Jij > 0 thì các mô men từ spin của các điện tử trong các nguyên tử i và j định hướng song song cùng chiều và vật là vật sắt từ. Còn nếu Jij < 0 thì các mô men từ spin của các điện tử trong các nguyên tử i và j định hướng song song ngược chiều và vật là vật phản sắt từ.

i và σ2

Để nghiên cứu lý thuyết lượng tử về sắt từ, đầu tiên ta khảo sát lý thuyết sắt từ trong gần đúng giả cổ điển. Khi đó ta coi các toán tử spin của các điện tử trong các nguyên tử i, j bất kì của tinh thể như những véc tơ spin Si = (cid:126)σi, Sj = (cid:126)σj định hướng song song cùng chiều hay ngược chiều. Độ lớn của σ2 j được xác định bằng công thức

i = σ2 σ2

j = Si(Sj + 1) =

. (1.35) + 1) = ( 1 2 1 2 3 4

Ta xét bình phương của tổng σi + σj

2 + σj

2 + 2σiσj =

. (1.36) + + 2σiσj = S(S + 1) (σi + σj)2 = σi 3 4 3 4

1.2 Sắt từ trong kim loại

(cid:21)

 

Trong đó S là spin tổng cộng của hệ hai điện tử. Khi σi, σj định hướng song song cùng chiều thì S = 1 và khi σi, σj định hướng song song ngược chiều thì S = 0. Vậy ta có

(cid:20) S(S + 1) −



(1.37) = σiσj = 1 2 3 2 khi S = 0, khi S = 1. − 3 4 1 4

 

Phần năng lượng trao đổi giữa các điện tử ở trong các nguyên tử i và j được viết chung dưới dạng



(1.38) Jij − 2Jijσiσj = Wij = ±Jij = − 1 2 −Jij +Jij khi σi ↑↑ σj, khi σi ↓↑ σj.

Năng lượng trao đổi của các điện tử trong toàn bộ tinh thể của vật sắt từ sẽ là

i6=j

W = (1.39) Wij = C + H. 1 2

Trong đó tổng theo i, j lấy theo tất cả các nguyên tử của vật sắt từ.

i6=j

C = − (1.40) Jij = const, 1 4

và

i6=j

H = X (1.41) Jijσiσj,

là phần năng lượng trao đổi phụ thuộc vào sự định hướng của các spin của các điện tử.

Khi nghiên cứu lí thuyết về sự định hướng của các mô men từ spin của các điện tử trong vật từ ta chỉ dùng phần năng lượng trao đổi H.

Chuyển từ lý thuyết giả cổ điển đến lý thuyết lượng tử của vật từ, ta thay đổi các véc tơ σi, σj bằng các toán tử ˆSi/(cid:126), ˆSj/(cid:126) khi đó hàm H trở thành toán tử Hamiltonian ˆH của vật từ. Nếu chọn đơn vị đo là (cid:126) thì ˆσi = ˆSi, ˆσj = ˆSj và toán tử ˆH có dạng

i>j

i6=j

ˆH = − X Jij ˆSi ˆSj = − X Jij ˆSi ˆSj − X (1.42) Jij ˆSi ˆSj.

1.2 Sắt từ trong kim loại

Nếu trong tổng thứ hai ta thay chỉ số lấy tổng i (cid:10) j và chú ý rằng Jij = Jji, ta có

i>j

i6=j

ˆH = − X Jij ˆSi ˆSj = − X 2Jij ˆSi ˆSj. (1.43)

Mẫu sắt từ mà tương tác trao đổi được mô tả bằng toán tử Hamiltonian này gọi là mẫu sắt từ Heisenberg. Trong trường hợp tổng quát, các toán tử ˆSi, ˆSj trong toán tử ˆH của mẫu sắt từ Heisenberg là toán tử tổng cộng các toán tử spin của các điện tử trong nguyên tử i và j của vật sắt từ. Mẫu sắt từ Heisenberg là mẫu điện tử định xứ trong các nguyên tử sắt từ, vì vậy mẫu này chỉ áp dụng tốt cho các vật sắt từ điện môi. Đối với các kim loại sắt từ như Fe,Co,Ni . . . ngoài những điện tử ở các lớp 3d chưa làm đầy, định xứ trong các nguyên tử, còn có các điện tử dẫn. Tương tác giữa các điện tử định xứ trong các nguyên tử và các điện tử dẫn cũng có ảnh hưởng đến tính chất từ của các kim loại sắt từ.

1.2.1.2. Lý thuyết trường trung bình phân tử Weiss

Ta bắt đầu với Hamiltonian Heisenberg

H = − X JijSiSj , (1.44)

với SiSj = S(S + 1). Ta có

, (1.45) Si = hSii | {z } trung bình + (Si − hSii) } {z thăng giáng

trong đó hSii = TrρSi kí hiệu trung bình theo tập hợp và ρ là toán tử mật độ. Vì vậy

SiSj = [hSii + (Si − hSii)] [hSji + (Sj − hSji)]

(1.46)

= hSii hSji + (Si − hSii) hSji + hSii (Sj − hSji) + (Si − hSii) (Sj − hSji) = − hSii hSji + Si hSji + hSii Sj + (Si − hSii) (Sj − hSji) .

Giả sử rằng thăng giáng Si − hSii là nhỏ theo nghĩa là đóng góp của số hạng cuối cùng trong (1.46) là không đáng kể. Điều này dẫn tới Hamiltonian trường trung bình có dạng



H ∼= X Jij hSii hSji − X Si Jij hSji − X Jij hSii X Sj

 2 X



(1.47) = + X Jij hSii hSji − X Si. Jij hSji

ef f ,

= E0 − X Si.H W

1.2 Sắt từ trong kim loại

trong đó

E0 = X Jij hSii hSji ,

(1.48) HW = 2 X Jij hSji .

(cid:27)

(cid:26) 2 P

ms=−S ms exp

2 P

HW gọi là từ trường phân tử Weiss hay từ trường hiệu dụng. Ta thấy rằng HW bất cứ ở đâu cũng cùng hướng với hSji. Bởi vì hSji là các trung bình spin trong từ trường hiệu dụng và H không chứa bất kỳ số hạng bất đẳng hướng nào nên giá trị trung bình của hSji được tính như sau

Jij (gµB)kBT M ms (cid:27)

(cid:26) 2 P

j Jij (gµB) kBT

ms=−S exp

Jij (gµB)kBT M ms

M S , = SBS |hSji| ≡ M/gµB =

(1.49)

(cid:19)

trong đó BS(x) là hàm Brillouin đối với spin S. BS(x) có dạng

(cid:18) 2S + 1 2S

(cid:18) 1 2S

(1.50) coth x − coth x . BS(x) = 2S + 1 2S 1 2S

(cid:19) 2 P

j Jij

Khi T → Tc thì M → 0, chú ý rằng với x (cid:28) 1 thì BS(x) ∼= [(S + 1) /(3S)] x, phương trình (1.49) trở thành

(cid:18) S + 1 3S

= S M S, (1.51) M gµB (gµB) kBTc

từ đây ta có

kBTc = Jij. (1.52) 2S (S + 1) 3

Công thức này cho mối liên hệ giữa nhiệt độ Curie TC và tích phân trao đổi Jij. Nếu Jij = 0 thì TC = 0, nghĩa là vật không phải là vật sắt từ. Như vậy bản chất của hiện tượng sắt từ là do tương tác trao đổi, với Jij > 0. Gọi J là tích phân trao đổi của một cặp nguyên tử gần nhau nhất và gần đúng coi Jij ≈ 0 khi các nguyên tử i và j ở xa nhau (không gần nhau nhất), ta có

(1.53) ZJ, kTC = 2S(S + 1) 3

1.2 Sắt từ trong kim loại

trong đó Z là số nguyên tử gần nhất bao quanh một nguyên tử bất kỳ đã cho của tinh thể (số phối vị). Đối với kim loại sắt từ thì S = 1, Z = 8, TC = 1043K, kTC = 0, 09eV ≈ 0, 1eV . Khi đó ta có

J = (1.54) kTC ≈ 0, 01eV. 3 2 1 S(S + 1)Z

1.2.2. Trật tự từ của hệ spin linh động

1.2.2.1. Mô hình Hubbard

jσcjσ là toán tử số hạt.

Làm thế nào có thể mô tả một cách đơn giản chuyển động và tương tác của các điện tử trong một chất rắn? Trước hết, ta cần lý giải một thực tế là có một mạng đều đặn của các vị trí hạt nhân trong chất rắn, và để đơn giản ta coi các hạt nhân này là cố định (nói cách khác, ta sẽ không phải lo nghĩ về các dao động mạng). Điều này gợi ý rằng ta sẽ bắt đầu với một mạng các nguyên tử (các vị trí) trên đó các điện tử chuyển động. Một nguyên tử đơn là một cấu trúc rất phức tạp với nhiều mức năng lượng khác nhau. Nguyên tử đơn giản nhất ta có thể hình dung sẽ có một mức năng lượng đơn. Khi đó, nguyên lý Pauli sẽ cho chúng ta thấy rằng có tối đa hai điện tử (một có spin hướng lên và một có spin hướng xuống) có thể nằm trên nguyên tử này. Trong một chất rắn ở đó các điện tử có thể di chuyển khắp, các điện tử tương tác qua tương tác Coulomb bị chắn. Tương tác lớn nhất sẽ là với hai điện tử trên cùng một nguyên tử. Để đơn giản, Hubbard dừng ở đây, vì vậy các tương tác được được mô hình hóa bởi một số hạng mà nó bằng không nếu nguyên tử không có hoặc chỉ có một điện tử trên nó, nhưng sẽ có giá trị U nếu nguyên tử có hai điện tử. Không có tương tác giữa các điện tử trên các vị trí khác nhau. Động năng của ta bao gồm một biểu thức cho phép các điện tử di chuyển từ một vị trí tới các vị trí lân cận nó. Tỉ lệ năng lượng t chi phối sự “nhảy” này sẽ được khảo sát bởi sự che phủ của hai hàm sóng trên cặp nguyên tử. Bởi vì các hàm sóng giảm theo hàm số mũ, nên ta có thể bắt đầu bằng cách cho phép sự nhảy chỉ giữa các nguyên tử gần nhất trong mạng tinh thể. Bây giờ ta chính thức hóa cấu trúc này. Ta định nghĩa c† jσ là toán tử sinh điện tử có spin σ ở nút mạng j. Tương tự cjσ là toán tử hủy và njσ = c† Hamiltonian Hubbard khi đó là

H = −t X nj↑nj↓ − µ X (nj↑ + nj↓)

jσclσ + U X c†

. (1.55)

j

hjliσ

Số hạng thứ nhất là động năng: Nó mô tả sự hủy một điện tử có spin σ ở vị trí l và tạo ra một điện tử có spin σ ở vị trí j. Kí hiệu hjli nhấn mạnh rằng sự nhảy chỉ được phép giữa hai vị trí liền kề. Số hạng thứ hai là năng lượng tương tác. Tổng được lấy theo tất cả các vị trí và thêm vào một năng lượng U nếu tìm thấy vị trí đó bị chiếm bởi cả hai điện tử. Số hạng cuối cùng là một thế hóa học mà nó điều khiển sự lấp đầy. Chúng ta kể đến tình huống trong đó sự lấp đầy là một điện tử cho mỗi vị trí như

1.2 Sắt từ trong kim loại

“nửa-lấp đầy” bởi vì mạng chứa một nửa số điện tử trong số điện tử cực đại (hai điện tử cho mỗi vị trí). Các nghiên cứu về mô hình Hubbard thường tập trung vào trường hợp nửa lấp đầy bởi vì nó biểu hiện nhiều hiện tượng thú vị (hành vi Mott cách điện, trật tự phản sắt từ,...).

Hamiltonian Hubbard giải được chính xác trong các giới hạn U = 0 và t = 0. Giới hạn không tương tác tương ứng với lý thuyết vùng trong gần đúng liên kết chặt, trong khi giới hạn t = 0 tương ứng với giới hạn nguyên tử.

Giới hạn không tương tác U = 0 Trong giới hạn U = 0, Hamiltonian rút gọn thành động năng

H0 = X ξkc†

k,σck,σ,

(1.56)

k,σ

d X

trong đó ck,σ là biến đổi Fourier của cj,σ và

ν=1

(1.57) ξk = (cid:15)k − µ = −2t cos kν − µ,

là hệ thức tán sắc của các điện tử tự do chuyển động trong tinh thể. Mật độ trạng thái bằng

N (ξ) = (cid:15) = ξ + µ, (1.58) δ((cid:15) − (cid:15)k), (cid:2)k

với (cid:15)k ∈ [−2dt, 2dt].

Giới hạn cục bộ t = 0 Khi biên độ “nhảy” triệt tiêu t = 0, Hamiltonian rút gọn thành

H = X [U nj↑nj↓ − µ (nj↑ + nj↓)] . (1.59)

j

↑c†

Theo nguyên lí Pauli, chỉ có bốn trạng thái trong không gian Hilbert của bài toán một vị trí, đó là: trạng thái trống |0i (năng lượng (cid:15)0 = 0), hai trạng thái bị chiếm đơn |σi = c† σ |0i với spin σ (năng lượng (cid:15)σ = −µ) và một trạng thái bị chiếm đôi |↑↓i = c† ↓ |0i (năng lượng (cid:15)↑↓ = U − 2µ). Khi đó dễ dàng tính được hàm phân bố bằng

Z = X hα| e−βH |αi = 1 + 2eβµ + e2βµ−βU , (1.60)

1.2 Sắt từ trong kim loại

(cid:16)

năng lượng bằng

E = Z −1 X hα| He−βH |αi = 1 + 2eβµ + e2βµ−βU (cid:17)−1 U e2βµ−βU . (1.61)

(cid:16)

và số điện tử trung bình chiếm mỗi vị trí có spin σ là

(1.62) eβµ + e−β(U −2µ)(cid:17) . hnσi = 1 Z

1.2.2.2. Tiêu chuẩn Stoner cho sắt từ

Stoner đã phát triển một bức tranh rất đơn giản về sắt từ dựa trên sự cạnh tranh giữa động năng tiêu tốn để làm cho số điện tử có spin hướng lên và spin hướng xuống khác nhau và thế năng liên kết chúng tăng lên. Ý tưởng cơ bản như sau: Theo nguyên lí Pauli cách để chiếm một tập hợp các mức năng lượng đã cho với năng lượng thấp nhất là bắt đầu lấp đầy từ đáy và đặt hai điện tử có spin ngược nhau vào cùng mỗi mức. Mặt khác nếu tạo ra số điện tử có spin hướng lên và spin hướng xuống không bằng nhau, và không lấp đầy mỗi mức với hai điện tử, ta sẽ phải chiếm các mức năng lượng cao hơn.

Tuy nhiên, nếu ta tạo ra số điện tử có spin hướng lên và spin hướng xuống không bằng nhau, thì ta có thể làm giảm thế năng: Xét giới hạn sự phân cực spin là hoàn toàn trong đó không có các điện tử thuộc về một loại spin. Khi đó, hiển nhiên là thế năng bằng không.

Ta hãy làm cho lập luận này rõ ràng hơn: Xét một hệ với mật độ trạng thái N (E) và cả các điện tử có spin hướng lên và hướng xuống đều lấp đầy các mức năng lượng lên tới cùng mức cực đại gọi là mức Fermi EF . Mật độ các điện tử có spin hướng lên và hướng xuống bằng nhau và bằng n.

Ta hãy tính sự thay đổi trong năng lượng do sự suy giảm mật độ δn của các điện tử có spin hướng xuống đồng thời số điện tử có spin hướng lên tăng δn. Thế năng thay đổi bằng

δP = U (n + δn)(n − δn) − U n2 = −U (δn)2. (1.63)

Nếu ta chuyển lượng điện tử thêm vào δn vào trong nhóm hướng lên, ta sẽ chiếm các mức năng lượng bên trên mức EF ban đầu. Nhớ rằng ta định nghĩa mật độ trạng thái như số mức ở một năng lượng E ta sẽ thấy rằng N (E) = dN/dE vì vậy δn = N (EF )δE. Hệ thức này cho ta biết phạm vi năng lượng ở trên mức Fermi EF mà ta lấp đầy dưới dạng δn lớn như thế nào. Tương tự như vậy, ta đang làm trống các mức năng lượng ở bên dưới mức EF mà trước đây nó được chiếm bởi các điện tử có spin hướng xuống. Kết quả rõ ràng của quá trình này là chuyển δn điện tử lên các mức năng lượng trong khoảng δE. Sự thay đổi động năng là

(δn)2. δK = +δnδE = + (1.64) 1 N (EF )

1.3 Siêu dẫn và lý thuyết BCS

Đặt hai biểu thức này cùng nhau, ta có

δE = δP + δK

(1.65) = (−U + . )(δn)2 = (−U N (EF ) + 1) 1 N (EF ) (δn)2 N (EF )

Ta thấy rằng nếu U N (EF ) > 1 thì năng lượng toàn phần thay đổi δE < 0, vì vậy sẽ thuận lợi để có mật độ điện tử hướng lên và hướng xuống khác nhau và vì vậy thuận lợi để có tính sắt từ. Đây gọi là tiêu chuẩn Stoner. Nó cho ta biết rằng từ tính được ủng hộ bởi các tương tác điện tử lớn.

1.3. Siêu dẫn và lý thuyết BCS

Mục này trình bày lược sử ra đời và phát triển của siêu dẫn, từ sự phát hiện ra hiện tượng siêu dẫn cho đến sự ra đời của lý thuyết vi mô BCS. Tìm hiểu về lý thuyết BCS, hồi tưởng lại những thành công của nó trong việc mô tả tất cả các sự kiện đã biết và đưa ra các tiên đoán mới mà sớm đã được xác nhận bằng thực nghiệm, đóng góp vào việc thừa nhận rỗng rãi của lý thuyết. Sau cùng trình bày về lý thuyết BCS tổng quát.

1.3.1. Lược sử ra đời và phát triển của siêu dẫn

Siêu dẫn là một trong những chủ đề hấp dẫn nhất của vật lý chất rắn. Nó là nguồn cảm hứng bất tận cho cả các nghiên cứu vật lý thực nghiệm và lý thuyết và có một tiềm năng khổng lồ cho việc áp dụng công nghệ vào trong thực tiễn. Được khám phá bởi Kamerlingh Onnes năm 1911, tuy nhiên phải cần đến gần 50 năm mới phát triển đầy đủ khung khái niệm cần thiết để hiểu rõ hiện tượng tập thể này với sự ra đời của lý thuyết BCS. Trước khi bắt đầu ta hãy phác họa vắn tắt dòng chảy lịch sử dẫn tới nó. Hóa ra rằng hầu hết các nhà vật lý nổi tiếng của nửa đầu thế kỷ XX đã cố gắng để tìm lời giải cho vấn đề hóc búa đó. Một số điểm sáng trong sự phát triển của lý thuyết siêu dẫn là

• Hiện tượng siêu dẫn được khám phá năm 1911 tại phòng thí nghiệm của Heike Kammerlingh Onnes [63] ở Leiden, Hà Lan và là một bất ngờ. Onnes là người đầu tiên trên thế giới phát triển một kĩ thuật hóa lỏng Heli trước đó vài năm và điều đó cho phép tiến hành các thực nghiệm ở nhiệt độ quanh mức 4,2 Kelvin. Onnes và các cộng sự sử dụng những thí nghiệm đó để nghiên cứu hành vi phụ thuộc nhiệt độ của điện trở kháng kim loại khi làm lạnh tới không độ tuyệt đối. Cần phải nhấn mạnh rằng Heike Kamerlingh Onnes đã nghiên cứu các tính chất của kim loại ở nhiệt độ thấp không phải bởi ai đó đã mong đợi hay dự đoán sự xuất hiện của hiện tượng bất thường đó. Động cơ thúc đẩy chỉ là trả lời các câu hỏi đơn giản và gây tranh cãi bấy giờ là điện trở của kim loại có triệt tiêu như mong đợi theo lý thuyết Drude hay không. Paul Drude lập luận rằng ở nhiệt độ rất thấp sự tán xạ của các điện tử bởi các dao động mạng sẽ

1.3 Siêu dẫn và lý thuyết BCS

không bị tác động và điện trở kháng sẽ sụt giảm theo sự hạ thấp nhiệt độ. Mặt khác theo lý thuyết suy đoán của Lord Kelvin (Wiliam Thomson), một nhà khoa học rất có ảnh hưởng, dự đoán rằng điện trở sẽ tăng (thực sự tới vô cùng) ở các nhiệt độ thấp như một kết quả của sự đóng băng của các điện tử thành trạng thái các nguyên tử trong vật liệu. Thật ngạc nhiên, họ nhận thấy rằng điện trở kháng của mẫu thủy ngân sụt giảm đột ngột tới giá trị không đo được, nghĩa là trở nên thực sự bằng không ở nhiệt độ thấp. Vì vậy đầu tiên người ta định nghĩa tính chất của siêu dẫn là tính dẫn điện hoàn hảo ở dưới nhiệt độ tới hạn TC, một tính chất thể hiện đúng tên gọi của hiện tượng.

• Một trong hai thí nghiệm, những thí nghiệm đã đóng góp to lớn để có được những hiểu biết đúng đắn về hiện tượng và để hình thành hiện tượng học chính xác và lý thuyết vi mô sau này về hiện tượng siêu dẫn, là sự khám phá ra hiệu ứng Meissner năm 1933 bởi Meissner và Ochsenfeld [59]. Khi một chất siêu dẫn được làm lạnh trong một từ trường yếu, từ thông bị đẩy ra khỏi chất một cách tự phát khi nó trở thành siêu dẫn. Hiệu ứng Meissner minh họa rằng một chất siêu dẫn về bản chất là một nghịch từ hoàn hảo.

Tính chất nghịch từ xuất hiện khi một từ trường ngoài chỉ xuyên sâu hạn chế vào vật liệu, và không cản trở việc vẫn còn lại ở phần bên trong của vật liệu. Độ xuyên sâu thường là nhỏ khi so sánh với bề rộng của vật liệu. Sự kiện này cũng biểu thị rằng một từ trường riêng sẽ phá hủy tính siêu dẫn của vật liệu.

Như vậy một chất siêu dẫn không chỉ là một vật dẫn hoàn hảo mà còn là chất nghịch từ lí tưởng. Một chất nghịch từ lí tưởng (đẩy từ thông ra) phải kéo theo điện trở bằng không (vì nếu điện trở khác không thì các dòng chắn dư phải liên tục tiêu hao năng lượng do tỏa nhiệt, vậy năng lượng này lấy ở đâu, phải chăng từ năng lượng tích trữ trong từ trường. Nhưng từ trường đã cho là từ trường tĩnh và do đó không thể cung cấp năng lượng cần thiết, suy ra điện trở phải bằng không), nghĩa là chất nghịch từ lí tưởng cũng là chất dẫn điện hoàn hảo. Nhưng đảo lại, lại không đúng. Chính vì lí do này mà tính nghịch từ lí tưởng được coi là tính chất cơ bản hơn, thực tế là tính chất quyết định của một chất siêu dẫn.

• Heinz London và Fritz London là những người đầu tiên hiểu được tầm quan trọng thực sự phát hiện của Meissner và Ochsenfeld và đã sớm đề xuất một lý thuyết hiện tượng luận (vào năm 1937) mà nó cho phép giải thích những tính chất điện động lực của các chất siêu dẫn. Hai ông đã lập luận chính xác rằng tính siêu dẫn là một biểu hiện của các quy luật lượng tử trên một tỉ lệ vĩ mô vào cỡ met hoặc kilomet và đưa ra hệ thức nổi tiếng

A,(∇A = 0). j = − nse2 m

Heinz và Fritz London đã quan tâm đến hiện tượng siêu dẫn nhưng không nỗ lực để mô tả nguyên nhân. Thay vào đó họ tìm được phương trình cho độ xuyên sâu λ của siêu dẫn [55]. Nhưng những kết quả của họ được đánh giá là quá cao với các giá trị tìm được bằng thực nghiệm, và vì vậy các giả thiết của họ bị loại bỏ.

1.3 Siêu dẫn và lý thuyết BCS

• Phỏng đoán bởi Fr¨ohlich rằng tương tác giữa phonon và electron chịu trách nhiệm cho tính siêu dẫn [30] có từ năm 1950, cũng khi đó hiệu ứng đồng vị được khám phá. Vào ngày 24 tháng ba năm 1950 tạp chí chuyên đề Physical Review đã nhận được hai bản báo cáo về hiệu ứng đồng vị [24, 70] và sau đó đã cho xuất bản trong cùng một số ra của tạp chí trong mục các lá thư gửi tới biên tập viên. Một bản là của E. Maxwell gửi từ NBS, Washington D.C và một báo cáo khác là của C.A. Reynolds và các cộng sự gửi từ Rutgers University, New Jersey. Cả hai nhóm đều nhận thức được công việc của họ và đã viện dẫn lẫn nhau. Điều quan trọng cần lưu ý ở đây là có một sự phù hợp đẹp đẽ của các phép đo cực kỳ cẩn thận và chính xác. Một nhóm đo được nhiệt độ chuyển pha siêu dẫn của thủy ngân tự nhiên có khối lượng nguyên tử trung bình 200,6 là TC = 4, 156 K và của 198Hg là TC = 4, 177 K [24]. Nhóm khác [70] đã báo cáo với thủy ngân tự nhiên là TC = 4, 150 K và với đồng vị tiêu biểu 202Hg là TC = 4, 143 K.

Các kết quả thí nghiệm trong vòng mỗi chuỗi các đồng vị có thể được làm khớp với hệ thức:

(1.66) M 1/2TC = const

Từ sự phụ thuộc của TC vào khối lượng đồng vị ta thấy rằng các dao động mạng và do đó các tương tác điện tử - mạng tinh thể có liên quan sâu sắc đến tính siêu dẫn. Điều này cho phép giả thiết rằng nền tảng của tính siêu dẫn dựa vào tương tác electron-phonnon, một giả thuyết mà sau này sẽ dẫn tới sự hình thành lý thuyết BCS.

• Trong suốt mấy thập kỉ sự hiểu biết đầy đủ của cơ học lượng tử về siêu dẫn tiến triển khá chậm chạp luôn đi sau thực nghiệm, nhưng cuối cùng một đột phá đạt được trong năm 1950 khi lý thuyết GL được đề xuất trên nền hiện tượng học, bắt đầu từ lý thuyết Landau tổng quát về chuyển pha loại hai như chúng ta sẽ thấy chi tiết hơn trong mục 1.4.

Lý thuyết Ginzburg-Landau năm 1950 [33] là một lý thuyết hiện tượng học sử dụng trực giác vật lý và nguyên lý biến thiên của cơ học lượng tử. Nó cho phép tính toán các đại lượng vĩ mô của vật liệu trong trạng thái siêu dẫn nếu người ta giả thiết sự chuyển pha là loại hai. Các kết quả có thể phù hợp một cách chính xác với các kết quả thực nghiệm, và sau này được chỉ ra là một dạng riêng của lý thuyết BCS. Trong khi hữu ích và chính xác với các đại lượng vĩ mô, thì cũng giống như nỗ lực của London, nó không giải thích sự hình thành tính siêu dẫn trong các vật liệu này.

• Bảy năm sau đó một lý thuyết vi mô, gọi là lý thuyết BCS, đã được phát triển bởi Bardeen, Cooper và Schrieffer [13, 12] (bao gồm những chữ cái đầu của những người thành lập nó). Họ nhận thấy sự xuất hiện của tính siêu dẫn được trợ giúp bởi sự hình thành các cặp Cooper, loại phân tử hai điện tử liên kết lỏng lẻo. Tương tác hút cần để liên kết các điện tử được nhận thấy có nguồn gốc trong tương tác electron-phonon. Các cặp Cooper không còn được mô tả bởi thống kê fermi nữa và như các boson chúng có thể chiếm một trạng thái lượng tử cố kết được mô tả bởi một hàm sóng vĩ mô Ψ. Chúng ta sẽ phác họa những điểm chính của lý thuyết BCS trong mục 1.3.2.

1.3 Siêu dẫn và lý thuyết BCS

• Một điều quan trọng là hai năm sau khi lý thuyết BCS ra đời Gor’kov [34] đã chỉ ra rằng lý thuyết hiện tượng luận GL thực tế có thể được suy ra một cách chính xác từ lý thuyết BCS và các hệ số của nó có thể vì vậy liên quan tới các tham số vật liệu vi mô chẳng hạn như vận tốc Fermi vF và mật độ trạng thái ở mức Fermi N (0). Thêm vào đó Gor’kov chứng minh rằng các đại lượng nhiệt động của hai lý thuyết, nghĩa là tham số khe BCS, 4, và hàm sóng GL, Ψ, có liên hệ với nhau bởi một hằng số tỉ lệ và Ψ có thể được coi như hàm sóng cặp Cooper trong cấu trúc khối tâm. Theo một nghĩa nào đó thì lý thuyết GL là nguyên mẫu của lý thuyết hiệu dụng hiện đại; mặc dù giới hạn chỉ ở sự chuyển pha nhưng nó được ứng dụng ở nhiều lĩnh vực, chẳng hạn nó được sử dụng trong các trường hợp không đồng nhất, khi khe không đồng đều trong không gian.

• Một bước tiến nhảy vọt quan trọng khác được tạo bởi Abrikosov năm 1957 [6], người đã nhận thấy rằng các phương trình GL cho phép sự tồn tại các chất siêu dẫn với trị số năng lượng bề mặt phân giới siêu dẫn - dẫn thường âm. Ông đặt tên lớp mới này là siêu dẫn loại II, các vật liệu tạo ra bề mặt phân giới nhiều nhất có thể, dẫn tới sự xuyên sâu của từ thông trong mẫu theo các đơn vị nhỏ nhất được phép về mặt cơ lượng tử - lượng tử từ thông Φ0 = hc 2e . Mỗi ống từ thông riêng lẻ có các siêu dòng lưu thông bao quanh nó che chắn từ trường và ngăn cản nó lan ra phần còn lại của mẫu. Các siêu dòng lưu số này là lí do tại sao cấu trúc từ này có tên là xoáy. Do bởi năng lượng bề mặt âm, các xoáy đẩy nhau ở mọi khoảng cách và như một hệ quả là hình thành một mạng đặc trưng có dạng hình tam giác (được gọi là mạng Abrikosov). Trong trường hợp ngược lại của các siêu dẫn loại I với trị số năng lượng dương của việc hình thành các bề mặt phân giới, nếu từ trường quá lớn và không thể được che chắn đầy đủ nữa, từ thông sẽ xuyên sâu vào mẫu dưới dạng các miền dẫn thường vĩ mô. Các miền dẫn thường trong các chất siêu dẫn loại I có thể là hình tròn, hình lá hay một tổ hợp của chúng. Hình dạng thực tế của chúng trong một mẫu riêng phụ thuộc vào hình dạng của mẫu.

Vào cuối những năm 70, hiện tượng siêu dẫn là một chủ đề hầu như đã được giải quyết trọn vẹn. Lý thuyết BCS đã mô tả thành công tất cả các sự kiện đã biết và đưa ra một số tiên đoán mới, những tiên đoán đã được xác nhận bằng thực nghiệm, đóng góp vào sự thừa nhận phổ biến lý thuyết. Lý thuyết này đã được ứng dụng cả trong vật lý hạt nhân, lý thuyết về các ngôi sao neutron và khí nguyên tử lạnh. Các khám phá về các chất siêu dẫn mới trong ba mươi năm cuối của thế kỉ XX và những năm đầu của thế kỉ XXI cho thấy rằng mô hình BCS đơn giản chưa đủ để hiểu các chất siêu dẫn mới, các chất siêu dẫn phi truyền thống. Các hiện tượng siêu dẫn phi truyền thống đã được quan sát trong nhiều lớp vật liệu khác nhau như siêu dẫn trong các hệ fermion nặng, các muối hữu cơ, các ô xit đồng nhiều lớp, hay gần đây nhất là các iron pnictides. Ta gọi những hệ siêu dẫn này là những hệ tương quan mạnh. Bây giờ ta sẽ đưa ra một sự tóm tắt và tổng quan về lịch sử chưa đầy đủ của các chất siêu dẫn phi truyền thống.

• Năm 1979, Frank Steglich và những cộng sự đã quan sát được hiện tượng siêu dẫn dưới nhiệt độ TC ≈ 0, 5K trong CeCu2Si2[81]. Vật liệu này không là một kim loại thông thường trong trạng thái thường của nó. Thay vào đó là một kim loại fermion nặng. Các điện tử ở mức năng lượng Fermi có đặc tính orbital-f của Ce mạnh. Lực đẩy Coulomb rất mạnh giữa các điện tử trong lớp vỏ-f dẫn tới một khối lượng hiệu

1.3 Siêu dẫn và lý thuyết BCS

dụng cao m∗ (cid:29) me tại mức năng lượng Fermi, vì vậy nó có tên như trên. Từ đó về sau, hiện tượng siêu dẫn được tìm thấy trong nhiều hợp chất fermion nặng khác. Lý thuyết BCS không thể giải thích tính siêu dẫn trong các kim loại tương quan cao này. Cộng hưởng từ hạt nhân và các kĩ thuật thực nghiệm khác cho thấy rằng các chất siêu dẫn fermion nặng này biểu hiện tính đối xứng không bình thường của trạng thái siêu dẫn.

• Cũng trong năm 1979, D. Jérome và cộng sự [46] (nhóm của Klaus Bechgaard) đã quan sát được hiện tượng siêu dẫn trong một muối hữu cơ gọi là (TMTSF)2PF2 với TC = 1, 1K. Từ đó hiện tượng siêu dẫn được tìm thấy trong nhiều vật liệu hữu cơ khác nhau với nhiệt độ chuyển pha lớn nhất khoảng 18K. Tính đối xứng của trạng thái siêu dẫn này thường là bất thường (ta sẽ không kể đến các dạng thù hình các bon (fullerites) dưới dạng các hợp chất hữu cơ vì chúng thiếu các nguyên tử hydrogen).

• Trong khi các khám phá đã đề cập trước đây cho thấy rằng hiện tượng siêu dẫn có thể xuất hiện trong các lớp vật liệu không ngờ tới và có thể do bởi các cơ chế không theo thông lệ, các giá trị TC không vượt quá TC ≈ 23K của Nb3Ge, thì năm 1986, J. G. Bednorz and K. A. M¨uller [14] đã quan sát hiện tượng siêu dẫn trong La2−xBaxCuO4 (ion đồng perophit sắp từng lớp với một số nguyên tử Ba thay thế cho La) với TC khoảng chừng trên 35K. Trong các năm tiếp theo, nhiều chất siêu dẫn khác dựa trên cùng loại các mặt gần như phẳng CuO2 đã được khám phá. Nhiệt độ chuyển pha kỉ lục với các ion đồng và với tất cả các chất siêu dẫn là TC = 138K đối với Hg0.8Tl0.2Ba2Ca2Cu3O8+δ ở áp suất thường và TC = 164K đối với HgBa2Ca2Cu3O8+δ dưới áp suất cao. Các giá trị TC cao cũng như các khảo sát thực nghiệm cho thấy rằng các ion đồng là các chất siêu dẫn không theo lệ thường.

• Năm 1991, A. F. Hebard [39] và các cộng sự đã nhận thấy rằng hợp chất các bon (fullerite) (K −)3C 3− 60 trở thành siêu dẫn ở dưới TC = 18K. TC trong lớp này đã được đẩy lên tới TC = 33K với Cs2RbC60 ở áp suất thường và TC = 38K đối với (mạng b.c.c., trong khi đó tất cả các hợp chất các bon siêu dẫn khác đã biết là mạng f.c.c) Cs3C60 dưới áp suất cao. Tính đối xứng của trạng thái siêu dẫn này xuất hiện không đáng kể nhưng, như đã lưu ý ở trên, có một cuộc tranh luận đang tiếp diễn về việc có hay không sự kết cặp qua phonon trung gian.

• Năm 2001, Nagamatsu và các cộng sự đã báo cáo hiện tượng siêu dẫn trong MgB2 [62] với TC = 39K. TC cao và cấu trúc tinh thể xếp lớp, gợi nhớ lại các ion đồng, đưa tới một kỳ vọng rằng hiện tượng siêu dẫn trong MgB2 là không theo lệ thường. Tuy nhiên, hầu hết các chuyên gia bây giờ nghĩ rằng nó thực sự là siêu dẫn truyền thống, như đã lưu ý ở trên.

• Một chuỗi các khám phá quan trọng gần đây nhất bắt đầu từ năm 2008, khi Kamihara và các cộng sự (nhóm của H. Hosono) [47] đã quan sát được hiện tượng siêu dẫn với TC ≈ 4K trong LaFePO, một hợp chất xếp lớp khác. Kết quả này đã thêm vào danh sách các chất siêu dẫn mới một lớp vật liệu dựa vào Fe2+, nhưng nó đã không gây ra nhiều xáo trộn do bởi nhiệt độ tới hạn thấp. Tuy nhiên, năm 2008, Kamihara và các cộng sự đã tìm thấy hiện tượng siêu dẫn với TC ≈ 26K trong LaFeAsO1−xFx. Ngay sau đó, nhiệt độ tới hạn TC lớn nhất trong lớp pnictide sắt này được đẩy lên tới 55 K. Hiện tượng siêu dẫn cũng được quan sát trong nhiều lớp vật liệu có liên quan, một số trong chúng không chứa oxygen (chẳng hạn, LiFeAs) và một số với pnictogen (As)

1.3 Siêu dẫn và lý thuyết BCS

thay thế bởi một chalcogen (ví dụ, FeSe). Nhân tố cấu trúc chung là một lớp Fe2+ phẳng, vuông với một pnictogen hoặc chalcogen đặt luân phiên nhau bên trên và dưới trung tâm của các mặt vuông Fe. Hiện tượng siêu dẫn này được coi là không theo lệ thường.

Sự tương tác giữa trật tự từ và siêu dẫn trong các chất siêu dẫn phi truyền thống đang là một trong những chủ đề được quan tâm nhất của cả các nhà vật lý lý thuyết và vật lý thực nghiệm. Việc tìm ra cơ chế chịu trách nhiệm cho sự hình thành trạng thái siêu dẫn là vấn đề then chốt của vật lý hiện đại. Đã có rất nhiều các công trình nghiên cứu thực nghiệm lẫn lý thuyết, nhiều cơ chế được đề xuất và đã thu được một số thành công nhất định. Những nghiên cứu về các chất siêu dẫn vẫn đang phát triển mạnh mẽ và mê hoặc các thế hệ các nhà vật lý mới làm việc trong các lĩnh vực khác nhau như khoa học vật liệu và lý thuyết dây.

1.3.2. Lý thuyết BSC của siêu dẫn

Nền tảng của lý thuyết lượng tử về siêu dẫn được đưa ra qua các bài báo kinh điển năm 1957 của Bardeen, Cooper, và Schrieffer [13, 12]. Một lý thuyết BCS về siêu dẫn với một phạm vi áp dụng rất rộng, từ các nguyên tử He3 trong trạng thái rắn, tới các siêu dẫn kim loại loại I và loại II, cho tới các siêu dẫn nhiệt độ cao dựa trên các mặt phẳng tinh thể của các ion đồng. Thêm nữa còn có một hàm sóng BCS gồm các cặp hạt k ↑ và −k ↓, mà khi nghiên cứu bằng lý thuyết BCS, sẽ xuất hiện tính siêu dẫn điện quen thuộc đã quan sát trong một số kim loại. Trong phần này chúng ta sẽ chỉ đề cập đến những thành tựu riêng của lý thuyết BCS, bao gồm:

1.3.2.1. Trạng thái cơ bản BCS

(cid:16)

(cid:17)

Chúng ta đã biết rằng biển Fermi trở nên không bền do bởi tán xạ của các điện tử trong các trạng thái |k, ↑i và |−k, ↓i. Bardeen, Cooper, và Schrieffer (BCS) đã đề xuất một giả thuyết cho trạng thái cơ bản mới. Giả thuyết này dựa trên ý tưởng rằng các điện tử từ các trạng thái |k, ↑i và |−k, ↓i hình thành các cặp (gọi là cặp Cooper) và trạng thái cơ bản là một sự siêu chồng chập các trạng thái được xây dựng từ các cặp đó. Nó được viết như sau

|0i , |ψBCSi = Y uk + vkc†

k,↑c†

−k,↓

(1.67)

k

trong đó |0i là trạng thái chân không không có bất kì điện tử nào và uk, vk là các hệ

1.3 Siêu dẫn và lý thuyết BCS

số phức chưa biết. Điều kiện chuẩn hóa đòi hỏi

= h0| Y (u∗ (uk0 + vk0c† 1 = hψBCS| ψBCSi k + v∗

kc−k,↓ck,↑) Y

k0,↑c†

−k0,↓) |0i

k

(1.68) = h0| Y (|uk|2 + v∗

kvkc†

k0 kukc−k,↓ck,↑ + u∗

k,↑c†

−k,↓ + |vk|2) |0i

= Y

k (|uk|2 + |vk|2).

Hệ thức này tất nhiên được thỏa mãn nếu ta cho |uk|2 + |vk|2 = 1 đối với mọi k, và từ giờ trở đi ta sẽ thừa nhận điều đó. Lưu ý rằng sự chiếm các trạng thái |k, ↑i và |−k, ↓i là tương quan cực đại; hoặc cả hai bị chiếm hoặc cả hai đều trống. Trạng thái |ψBCSi là trạng thái đặc biệt, nó là sự siêu chồng chập các trạng thái với số điện tử toàn phần khác nhau. Như một hệ quả, các biểu thức có chứa số toán tử sinh và hủy điện tử không bằng nhau có thể có các giá trị trung bình không bằng không. Chẳng hạn,

D k,↑c† c†

−k,↓

−k,↓ |ψBCSi

BCS

(uk00 + vk00c†

k,↑c† k0 + v∗

k0c−k0,↓ck0,↑)c†

k,↑c†

−k,↓

k00,↑c†

−k00,↓) |0i

(1.69) = hψBCS| c† = h0| Y (u∗ k0

k00

= h0| ukv∗ k (|uk0|2 + |vk0|2) |0i = ukv∗ k.

k06=k

Chúng ta viết Hamiltonian như sau

H = X ξkc†

kσckσ + Vint

(1.70)

kσ

và, chọn một gần đúng không tầm thường đơn giản nhất cho Vint có tính đến

1. chỉ các điện tử có năng lượng |ξk| > ωD liên quan tới năng lượng Fermi là quan trọng và

2. tính không bền là do bởi sự tán xạ giữa các điện tử trong trạng thái hạt đơn |k, ↑i and |−k, ↓i.

Điều này dẫn tới

Vint = Vkk0c† (1.71)

k↑c†

−k↓c−k0↓ck0↑

1 N

kk0

 

với



(1.72) Vkk0 = −V0 khi |ξk| < ωD và |ξk0| < ωD 0 nếu khác.

1.3 Siêu dẫn và lý thuyết BCS

1.3.2.2. Sự hút qua phonon trung gian

H.Frohlich đã chứng minh được rằng, các điện tử có thể hút nhau thực sự, khi có một mạng ion biến dạng được, mạng này trong thực tế luôn luôn tồn tại như một cái nền. Cơ chế H.Frohlich [30] như sau: Một điện tử hút các ion gần nó nhất. Các ion đáp lại bằng cách chuyển động, dẫu chỉ một chút về phía nó, do đó tạo ra một sự dôi điện tích dương quanh nó. Ta nói rằng điện tử đã làm cho mạng bị phân cực. Một điện tử khác lại bị hút về phía sự phân cực ở xung quanh điện tử thứ nhất, và khi làm như vậy, nó đã thực sự bị hút về phía điện tử thứ nhất (xem hình 1.3).

o A hoặc 2

Hình 1.3.: Hiệu ứng hút của hai điện tử do bởi sự trao đổi phonon [42]

Tuy nhiên người ta vẫn còn cảm giác không thoải mái, vì rằng sự hút nhau này, dĩ nhiên là gián tiếp, không thể đủ mạnh để thắng được sự đẩy trực tiếp giữa hai điện tử. Lý lẽ ở chỗ này hơi tinh vi và đòi hỏi một chút vật lý thú vị. Như chúng ta vừa nhận xét, các điện tử tức là các chuẩn hạt của ta đẩy nhau thông qua một trường thế Coulomb bị chắn, tác dụng gần, có tầm tác dụng vào cỡ khoảng cách trung bình giữa o A. Nhưng điều quan trọng nhất, là sự kiện, các điện tử. Khoảng cách ấy cỡ 1 trường thế tác dụng một cách tức thời nghĩa là nó chỉ phụ thuộc vị trí hiện thời của hai điện tử đang xét. Một mặt khác, tác dụng hút nhau gián tiếp lại do chuyển động muộn mằn của các ion sinh ra. Các ion đều chậm chạp vì có khối lượng tương đối lớn, ít nhất cũng bằng vài nghìn lần khối lượng điện tử. Thời gian đáp ứng của ion có thể lấy bằng chu kì dao động điều hòa τD của chúng, và có giá trị điển hình vào cỡ 10−12(s). Giá trị này ứng với tần số dao động điển hình 1012Hz của chúng, gọi là tần số Debye. Điều này có nghĩa là sự phân cực cục bộ do điện tử cảm ứng nên tại một điểm, vẫn còn lưu lại trong thời gian τD, ngay cả sau khi điện tử đã chuyển động dời khỏi điểm ấy. Mà điện tử lại chuyển động với vận tốc Fermi vF cỡ 108cm/s, thành thử trong thời gian τD ấy, nó đã dịch chuyển được một khoảng τD.vF cỡ 10−4 cm. Khoảng này lớn hơn rất nhiều so với khoảng cách trung bình giữa các điện tử, hay tầm xa của các lực đẩy bị chắn giữa chúng. Do đó người ta có thể ngờ rằng điện tử thứ hai sẽ tới quanh điểm đó và chịu sự hút của sự phân cực còn lưu lại, do điện tử thứ nhất để lại phía sau nó, và còn ở quá xa nó để bị nó đẩy một cách trực tiếp. Như thế là sự đẩy trực tiếp thì mạnh nhưng lại tức thời, còn sự hút gián tiếp thì yếu nhưng bị trễ, và chính sự chênh lệch về thời gian này đã làm cho lực hút yếu lại thắng được lực đẩy mạnh hơn.

1.3 Siêu dẫn và lý thuyết BCS

Theo cách nói của hệ vật lý nhiều hạt thì sự hút tương hỗ này được coi như phải qua sự trung gian của phonon, tức là do sự trao đổi lượng tử dao động mạng ảo. Một điện tử phát ra một phonon, phonon này bị hấp thụ bởi một điện tử khác (ta nói ảo vì lượng tử trao đổi chỉ tồn tại giữa lúc phát và hấp thụ. Rõ ràng là các lượng tử này phải là các hạt boson-hạt fermion chỉ tạo ra và hủy từng cặp). Kết quả là sự hút nhau thông qua sự trao đổi phonon là cực đại khi hai điện tử có động lượng bằng nhau và ngược chiều. Điều này giúp cho hai điện tử có được sự thuận lợi tối đa của sự phân cực do hạt nọ tạo cho hạt kia. Cũng thế khi năng lượng trao đổi giữa hai điện tử vào cỡ năng lượng của các phonon trao đổi, năng lượng này thường bằng năng lượng Debye, thì chỉ những điện tử ở trong năng lượng Debye của mặt Fermi mới tham gia có hiệu quả vào quá trình. Năng lượng Debye của dao động mạng thường bằng 10−4lần năng lượng Fermi nên chỉ một phần rất nhỏ điện tử là bị ảnh hưởng của sự hút tương hỗ này.

1.3.2.3. Cặp Cooper

Lý thuyết BCS dựa vào giả thuyết rằng tính siêu dẫn xuất hiện khi tương tác hút cặp Cooper vượt trội hơn lực đẩy Coulomb [50]. Một cặp Cooper là cặp liên kết electron- electron yếu gián tiếp tạo thành bởi một tương tác phonon. Một electron “được cặp đôi” là electron có mô men và spin đối song mà nó được hút bởi ảnh hưởng này.

Sự giải thích ở trên chưa đầy đủ, bởi vì điểm chính của tương tác phonon trung gian là một tương tác hút tầm xa và vì vậy, đòi hỏi phải cần đến cơ học lượng tử cho một sự giải thích đầy đủ. Cooper đã chỉ ra rằng do bởi thống kê Fermi của electron, mà trạng thái kết cặp e− − e− có thể có năng lượng nhỏ hơn năng lượng của mức Fermi của vật liệu. Vì vậy, ở nhiệt độ đủ thấp, khi năng lượng nhiệt không phải là một nhân tố, trạng thái liên kết e− − e− có thể hình thành.

Ta đưa ra một lập luận ngắn, đơn giản về việc này. Giả sử ta có hai electron tương tác bằng lực hút Cooper này với một phông biển Fermi tại T = 0 mà ở đó những electron này chỉ tương tác theo nguyên lí loại trừ Pauli. Ta tìm kiếm một hàm sóng có xung lượng bằng không có dạng:

gkeik(r1−r2) (|↑↓i − |↓↑i) Ψ(r1, r2) = X (1.73)

k

Tính chất phản đối xứng đòi hỏi gk = g−k. Thay thế biểu thức này vào trong phương trình Schrodinger HΨ = EΨ mang đến điều kiện sau

Vkk0gk0 (1.74) (E − 2(cid:15)k) gk = X k0>kF

d3rV (r)ei(k−k0)r. Bây giờ gần đúng trường trung bình được tạo ra trong đó Vkk0 = 1 Ω (cid:1)Ω

1.3 Siêu dẫn và lý thuyết BCS

 

như sau



(1.75) Vkk0 = −V 0 khi (cid:15)F < (cid:15)k < (cid:15)F + (cid:126)ωc các trường hợp khác,

trong đó (cid:15)F là năng lượng Fermi và ωc là tần số ngưỡng. (3.79) cho thấy rằng ta chỉ cần xét các tương tác mà chúng được phép trong một phạm vi tần số của kim loại, giống như các giả thiết được tạo ra trong mô hình Debye. Khi đó ta có

1 V = X k>kF 1 2(cid:15)k − E (cid:15)F +(cid:126)ωc (1.76)

ln . = → N0 (cid:2) N0 2 d(cid:15) 2(cid:15) − E (cid:15)F 2(cid:15)F − E + 2(cid:126)ωc 2(cid:15)F − E

Đơn giản hóa ta có

≈ e−2/N0V , (1.77) (2(cid:15)F − E) = 1 e2/N0V − 1 1 2(cid:126)ωc

khi N0V (cid:28) 1. Vì vậy, năng lượng của cặp thỏa mãn

(1.78) E = 2(cid:15)F − 2(cid:126)ωce−2/N0V < 2(cid:15)F .

1.3.2.4. Mô hình

Bây giờ ta đi đến việc tìm kiếm mô hình Hamiltonian cho lý thuyết. Việc này thực hiện dễ dàng nhất trong ngôn ngữ lượng tử hóa lần hai. Gọi ckσ và c† kσ là các toán tử hủy và sinh electron có xung lượng k và spin σ =↑ hoặc σ =↓. Các hệ thức giao hoán như thường lệ là

n ckσ, c†

(1.79) = δ3(k − k0)δσσ0,

k0σ0

= 0. (1.80) {ckσ, ck0σ0} =

n kσ, c† c†

k0σ0

1.3 Siêu dẫn và lý thuyết BCS

Hamiltonian được đề xuất có dạng

H = X ξkc† Vkl

kσckσ + X

(1.81)

k↑c† c†

−k↓c−l↓cl↑.

k,σ

k,l

trong đó ξk = (cid:15)k − µ và µ là thế hóa học.

Số hạng đầu tiên là động năng của các electron. Số hạng thứ hai là sự tịnh tiến của tương tác electron-electron qua phonon trung gian. Phần tử ma trận Vkl có thể có dạng tổng quát, nhưng ta sẽ đơn giản nó bằng cách sử dụng gần đúng trường trung bình sẽ được đề cập trong các tính toán phần sau. Bây giờ, trong trạng thái thường ta trông đợi rằng không có sự hình thành các cặp Cooper, vì vậy toán tử ck↑c−k↓ được lấy trung bình sẽ bằng không. Khi đó ta định nghĩa đại lượng

(1.82) bk = hck↑c−k↓i .

Khe năng lượng khi đó được định nghĩa là

4k = − X Vkk0bk0. (1.83)

k0

Hamiltonian có thể được chéo hóa sau phép biến đổi Bogoliubov, ta định nghĩa phép biến đổi tuyến tính các trạng thái γk0 và γk1 bởi

k1

(1.84)

kγk0 + vkγ† kγk0 + ukγ†

ck↑ = u∗ c† k↓ = −v∗

k1,

(cid:26)

(cid:17)

(cid:20)(cid:16)

sao cho |uk|2 + |vk|2 = 1. Thực tế, ta có thể lấy một trong các uk hoặc vk là số thực. Để hoàn tất việc chéo hóa ta hãy xem xét Hamiltonian trong cơ sở này

H = X ξk |uk|2 − |vk|2(cid:17) (cid:16)

k1γk1 + γ† γ†

−k0γ−k0

k

(cid:21)

+ 2 |vk|2 + 2u∗

kv∗

−k0

k1γ†

(1.85)

kγ−k0γk1 + 2ukvkγ† (cid:16)

(cid:20) (4kukv∗

k + 4∗

ku∗

kv∗ k)

k1γk1 + γ† γ†

(cid:17) −k0γ−k0 − 1

(cid:17)

(cid:16)

(cid:21)(cid:27) .

4∗ + (4kv∗

k − 4ku2 k

kv2

k) γ−k0γk1 +

ku∗

k − 4∗

k

k1γ† γ†

−k0 + 4kb∗

−k0 triệt tiêu.

k1γ†

Ta xác định các số hạng uk và vk sao cho các hệ số của γ−k0γk1 và γ† Điều này tương đương với

1.3 Siêu dẫn và lý thuyết BCS

2ξkukvk + 4∗

kv2

k − 4ku2

k = 0 .



Từ điều kiện này và điều kiện chuẩn hóa |uk|2 + |vk|2 = 1 ta tìm được

 1 +





|uk|2 = 1 2 (1.86)

 1 −



(cid:17)

|vk|2 = 1 2 ξk k + |4k|2 ξ2 ξk k + |4k|2 ξ2

H = X .

k + |4k|2 (cid:16) ξ2

k1γk1 + γ† γ†

−k0γ−k0

(1.87)

k

Sử dụng tính chất ξ−k = ξk và giả thiết rằng |4−k| = |4k| ta nhận được dạng chéo hóa đơn giản

Ekγ† HBCS = X

kσγkσ

(1.88)

kσ

trong đó

(1.89) Ek =

k + |4k|2. ξ2

Từ hệ thức này ta nhận thấy rằng khe năng lượng 4k là tham số trật tự đối với lý thuyết tương tác này (xem hình 1.4).

Đồ thị cũng cho thấy với tham số trật tự, trạng thái siêu dẫn vẫn có năng lượng lớn hơn không dù không có động năng, điều này không giống như trạng thái dẫn thường. Vai trò của tham số trật tự này sẽ trở nên còn rõ ràng hơn với việc tính toán các đại lượng nhiệt động.

1.3.3. Lý thuyết BCS tổng quát

1.3.3.1. Các trạng thái singlet và triplet

Do bởi tương quan spin mà chia thành trạng thái singlet và triplet.

1.3 Siêu dẫn và lý thuyết BCS

Hình 1.4.: Phổ chuẩn hạt. Khe năng lượng được quan sát giữa trạng thái siêu dẫn (ở đỉnh) và trạng thái dẫn thường (ở đáy) sinh ra tham số trật tự của hệ [42].

Trạng thái singlet Chúng ta hãy xét các trạng thái năng lượng của một nguyên tử He có hai điện tử. Cấu hình trạng thái cơ bản là 1s2. Trong cấu hình trạng thái kích thích một trong các điện tử ở lớp vỏ có mức năng lượng cao hơn. Khi đó hai điện tử có thể có các spin song song hoặc phản song song.

Sự xắp xếp các spin kết cặp sao cho spin của cặp bằng không được gọi là một singlet. Trạng thái spin của nó là

[α(1)β(2) − β(1)α(2)] (1.90) σa(1, 2) = 1 √ 2

Các trạng thái triplet Các spin xắp xếp song song đưa đến một spin toàn phần khác không được gọi là một triplet. Có ba cách để đạt được một trạng thái spin toàn phần khác không

α(1)α(2),

[α(1)β(2) + β(1)α(2)] , (1.91) σs(1, 2) = 1 √ 2

β(1)β(2).

Lưu ý rằng hàm sóng toàn phần phải là phản đối xứng và trạng thái triplet có năng lượng thấp hơn trạng thái singlet.

1.3 Siêu dẫn và lý thuyết BCS

1.3.3.2. Hàm khe năng lượng

Lý thuyết BCS tổng quát dựa vào một dạng mở rộng của tương tác vi mô trong đó chỉ xét sự tán xạ của cặp điện tử với xung lượng toàn phần bằng không và tương tác giữa chúng là tương tác hút. Hamiltonian tương ứng có thể được viết như sau

H = X (cid:15)kc† Vk,l;σ1σ2σ3σ4

kσckσ +

σ1,σ2,σ3,σ4

(1.92) c−lσ3clσ4, c† −kσ2 c† kσ1 1 2

k,σ

k,l

với ma trận tán xạ kết cặp

(1.93) Vk,l;σ1σ2σ3σ4 = h−kσ1; kσ2| ˆV |−lσ3; lσ4i .

Do bởi các quy luật phản giao hoán của fermion hệ thức sau đây phải thỏa mãn

(1.94) Vk,l;σ1σ2σ3σ4 = −V−k,l;σ2σ1σ3σ4 = −Vk,−l;σ1σ2σ4σ3 = V−k,−l;σ2σ1σ4σ3.

Chúng ta xét một gần đúng kết cặp yếu với tương tác hút trong một khoảng năng lượng được xác định bởi một ngưỡng (cid:15)c, nghĩa là các phần tử ma trận tán xạ không bằng không khi −(cid:15)c < (cid:15)k, (cid:15)k0 < (cid:15)c và (cid:15)c (cid:28) EF .

Tương tự như trường hợp đơn giản ta đưa vào trường trung bình ngoài đường chéo

(1.95) bk,σσ0 = hc−kσckσ0i

dẫn tới Hamiltonian trường trung bình

H ’ X (cid:15)kc†

kσckσ −

h 4k,σ1,σ2c†

+ 4∗ + K (1.96)

k,σ1,σ2ckσ1c−kσ2

kσ1

c† −kσ2 1 2

k,σ

k,σ1,σ2

trong đó

K = − (1.97) hc−lσ3clσ4i . Vk,l;σ1σ2σ3σ4 c† −kσ2

D c† kσ1

σ1,σ2,σ3,σ4

1 2

k,l

Hàm khe tổng quát được định nghĩa như một hàm của k và spin (σ, σ0) bởi các phương trình tự hợp

Vk,l;σσ0σ3σ4bk,σ3σ4, 4k,σ,σ0 = − X l,σ3,σ4 (1.98) 4∗ Vk,l;σ1σ2σ0σb∗

k,σ,σ0 = − X

k,σ1σ2.

l,σ1,σ2

1.3 Siêu dẫn và lý thuyết BCS

Hàm khe bây giờ là một ma trận phức 2 × 2 trong không gian spin

4k,↑↑ 4k,↑↓ 4k,↓↑ 4k,↓↓

. (1.99) ˆ4k =

Cấu trúc của hàm khe có liên quan tới hàm sóng của các cặp Cooper, bk,σ1σ2. Để có cái nhìn sâu sắc hơn vào các tính chất đối xứng của hàm khe, chúng ta tách bk,σ1σ2 thành một phần obital và một phần spin

(1.100) bk,σ1σ2 = Φ(k)χσ1σ2

Tính chẵn lẻ của phần obital và cấu hình spin có liên quan với nhau do bởi điều kiện phản đối xứng của hàm sóng nhiều hạt fermi như đã được đề cập ở trên

 

tính chẵn: (|↑↓i − |↓↑i) spin singlet, (1.101) Φ(k) = Φ(−k) ⇔ χσ1σ2 = 1 √ 2



spin singlet. (1.102) tính lẻ: (|↑↓i + |↓↑i) Φ(k) = −Φ(−k) ⇔ χσ1σ2 =

|↑↑i 1√ 2 |↓↓i

 

Hệ quả là, hàm khe tuân theo các quy luật sau



(1.103) 4kσ1σ2 = −4−kσ2σ1 = chẵn lẻ 4−kσ1σ2 = −4kσ2σ1 −4−kσ1σ2 = 4kσ2σ1

hay, ngắn gọn hơn ta kí hiệu

−k

. (1.104) ˆ4k = − ˆ4T

Dựa vào các điểm này, chúng ta tham số hóa dạng của ma trận 2 × 2 mà nó biểu diễn hàm khe. Đối với tính chất chẵn (spin singlet), chúng ta chỉ cần một hàm vô hướng Ψ (k),

4k↑↑ 4k↑↓ 4k↓↑ 4k↓↓

= (1.105) ˆ4k = = iˆσyΨ (k), 0 −Ψ (k) Ψ (k) 0

1.3 Siêu dẫn và lý thuyết BCS

thỏa mãn Ψ (k) = Ψ (−k). Đối với trường hợp tính lẻ, cấu hình spin triplet phải được biểu diễn bởi ba thành phần mà chúng ta đưa vào như hàm véc tơ d(k) theo dạng sau

ˆ4k =

(1.106)

4k↑↑ 4k↑↓ 4k↓↑ 4k↓↓ −dx(k) + idy(k) dz(k)

= = i (d(k). ˆσ) ˆσy dz(k) dx(k) + idy(k)

với d(k) = −d(−k). Chúng ta nhận thấy rằng

(1.107) ˆ4† spin singlet, ˆ4k

k = |Ψ (k)|2 ˆσ0

(1.108) ˆ4† ˆ4k

k = |d|2 ˆσ0 + i (d × d∗) .ˆ~σ spin triplet.

ˆ4†

h ˆ4k

ˆ~σ ˆ4† k Trong khi trường hợp spin singlet luôn dẫn tới ˆ4k k tỉ lệ với ma trận đơn vị ˆσ0, thì trong kênh spin triplet, cũng các thành phần đó có thể khác với ˆσ0. Các trạng thái kết cặp có q(k) = id(k) × d(k)∗ khác không được gọi là không unita và gắn liền với kết cặp có sự phân cực spin bên trong, vì vậy q(k) có mối quan hệ với giá trị trung bình đối với xung lượng k. Như sẽ thấy rõ ràng dưới, điều kiện cần cho spin tr q 6= 0 là đối xứng nghịch đảo thời gian bị phá vỡ.

1.3.3.3. Chuẩn hạt Bogolyubov và các phương trình tự hợp

Ta có thể chéo hóa Hamiltonian trung bình (1.96) bằng phép biến đổi Bogolyubov. Để thuận tiện viết lại (1.96) dưới dạng

C † HBCS = X .Ck + K, (1.109)

k.(cid:15) =k

k





với

    

    

(1.110) Ck =

ck↑ ck↓ c† −k↑ c† −k↓

và

(cid:15)kˆσ0 ˆ4†

= , (1.111) (cid:15) =k 1 2 ˆ4k k −(cid:15)kˆσ0

1.3 Siêu dẫn và lý thuyết BCS

là ma trận 4 × 4 trong không gian spin-Nambu. Bây ở đây dấu hai gạch dưới chữ cái A = giờ ta kiểm tra dạng chéo

A† HBCS = X .Ak + K, (1.112)

k.E = k

k





trong đó

    

    

, (1.113) Ak =

ak↑ ak↓ a† −k↑ a† −k↓





và

   

   

0 Ek↑ Ek↓ = . (1.114) E = k −Ek↑ 0 −Ek↓

Biến đổi Bogolyubov được cho bởi ma trận unitary ˆUk với

ˆu∗ ˆvk −k −ˆv∗ −k ˆuk

, (1.115) ˆUk =

suy ra

ˆUk. (1.116) Ck = ˆUkAkvà E = k = ˆU † k (cid:15) =k

(cid:18)

(cid:19)(cid:21)1/2

Ta giới hạn ở trường hợp kết cặp là unita. Điều này đảm bảo rằng Ek = Ek↑ = Ek↓. Nghiệm của bài toán trị riêng dẫn tới ˆuk và ˆvk

(cid:20) 1 2

(cid:20)1 2

, (1.117) 1 + 1 − ˆuk = ˆσ0 và ˆvk = ˆσ0 (cid:15)k Ek (cid:15)k Ek

(cid:17)

và năng lượng

(cid:16) ˆ4†

(1.118) tr . Ek = ˆ4k |4k|2 =

k

k + |4k|2 với (cid:15)2

1 2

1.4 Lý thuyết Ginzburg-Landau về sự chuyển pha

kσalσ0 = δklδσσ0f (Ek) trong đó f (E) = 1/ [exp (E/kBT ) + 1]

Với các toán tử chuẩn hạt mới (1.98) ta có thể biểu diễn phương trình tự hợp hay phương trình khe bằng cách sử dụng a† là hàm phân bố Fermi. Ta có

)

(

D a−kσ0a†

4k,σ1σ2

Vk,l;σ1σ2σ3σ4 vk,σ4σ0uk,σ0σ3 − uk,σ4σ0vk,σ0σ3

kσ0

(cid:19)

a† kσ0akσ0 (1.119)

σ0 4l,σ4σ3 2Ek

(cid:18) Ek 2kBT

tanh . Vk,l;σ1σ2σ3σ4 = − X l,σ3,σ4 = − X l,σ3,σ4

Bây giờ ta đưa vào số hạng tương tác kết cặp được biểu diễn bằng tham số mới để nhận được một dạng đơn giản hơn của phương trình tự hợp,

(1.120) Vk,l;σ1σ2σ3σ4 = J 0

k,lˆσ0

σ1σ4 ˆσ0

σ2σ3 + Jk,l ˆσσ1σ4. ˆσσ2σ3,

(cid:19)

(cid:17)

(cid:16)

gồm một số hạng phụ thuộc spin hay số hạng mật độ - mật độ và cặp trao đổi spin-spin. Tiếp theo ta giả thiết rằng các tương tác này chỉ khác không trong một phạm vi nhất định quanh mức năng lượng Fermi với một năng lượng ngưỡng (cid:15)c. Đối với cặp spin singlet phương trình khe có thể được biểu diễn cho Ψ (k),

(cid:18) El 2kBT

tanh , Ψ (k) = − X (1.121) Ψ (l) 2El

l

}

J 0 k,l − 3Jk,l {z =vs

k,l

(cid:19)

(cid:16)

(cid:17)

và |4k|2 = |Ψ (k)|2. Đối với kênh spin triplet, phương trình khe có dạng

(cid:18) El 2kBT

tanh , d(k) = − X (1.122) d(l) 2El

l

}

J 0 k,l + Jk,l {z =vt

k,l

với |4k|2 = |d(k)|2.

1.4. Lý thuyết Ginzburg-Landau về sự chuyển pha

Trong phạm vi lý thuyết London và Pippard, mật độ chất siêu lỏng ns được coi như đã cho trước. Theo các lý thuyết này không có cách nào để hiểu được sự phụ thuộc của ns vào nhiệt độ hoặc từ trường ngoài. Thêm nữa, ns được giả thiết là không thay đổi theo thời gian và đồng đều trong toàn bộ không gian - một giả thuyết mà nó được

1.4 Lý thuyết Ginzburg-Landau về sự chuyển pha

kì vọng để phá vỡ sự hạn chế đối với bề mặt của một chất siêu dẫn. Những sự thiếu hụt này được khắc phục bởi lý thuyết Ginzburg-Landau, một lý thuyết đã đề xuất vào năm 1950. Lý thuyết GL được phát triển như một sự tổng quát hóa lý thuyết London. Với xuất phát điểm tổng quát hơn nhiều, lý thuyết GL rất mạnh về sự chuyển pha, một hiện tượng ta sẽ xem xét ở dưới đây.

1.4.1. Lý thuyết Landau

Ý tưởng chính của lý thuyết Landau là không cần đi sâu vào bản chất vi mô của tham số trật tự vẫn có thể nghiên cứu các tính chất của quá trình chuyển pha dựa vào phương trình thiết lập cho tham số trật tự. Landau tạo ra một chuỗi các giả thiết để tính gần đúng năng lượng tự do của một hệ, theo cách mà nó biểu hiện tính không giải tích của một sự chuyển pha và hóa ra thu được nhiều vật lý. Có bốn bước chính trong việc xây dựng lý thuyết của Landau:

1. Định nghĩa một tham số trật tự ψ: Đối với một hệ đã cho cần thiết phải xây dựng một tham số trật tự. Đây là một đại lượng mà nó bằng không ở pha mất trật tự và khác không ở pha trật tự. Ví dụ điển hình phải kể đến độ từ hóa trong một sắt từ, phỏng theo mô hình điểm Curie. Hai pha ở hai bên nhiệt độ tới hạn có sự đối xứng không gian khác nhau. Pha ở phía trên nhiệt độ tới hạn, nơi không có độ từ hóa, hệ bất biến đối với phép quay. Pha bên dưới nhiệt độ tới hạn, khi mà độ từ hóa tự phát xuất hiện, véc tơ từ hóa xác định một hướng ưu tiên trong không gian, phá hủy tính bất biến đối với phép quay. Bởi vì tính đối xứng có ở pha bên này mà không có ở pha bên kia, nên hai pha phải được mô tả bởi các hàm khác nhau của các biến nhiệt động, những biến không thể giải tích liên tục qua các điểm tới hạn. Bởi vì có một sự suy giảm đối xứng, nên một tham số thêm vào là cần thiết để mô tả các tính chất nhiệt động của pha nhiệt độ thấp. Tham số thêm vào được gọi là “tham số trật tự”, kí hiệu bởi ψ, một đại lượng thường là một biến nhiệt động quảng tính có thể đo được. Trong ví dụ về sắt từ, ψ là M , véc tơ từ hóa với ba thành phần.

2. Xây dựng một phiếm hàm năng lượng tự do như một hàm của tham số trật tự, và các đại lượng nhiệt động khác nào đó chẳng hạn như áp suất hay thể tích, từ trường, vv...Ta sẽ luôn coi phiếm hàm đó là năng lượng tự do F (thực chất năng lượng tự do được xác định bởi việc cực tiểu hóa hàm F ), nhưng hoặc nó thực sự là năng lượng tự do, enthalpy tự do, hay một thứ nào khác phụ thuộc vào các đại lượng đã cho (áp suất, thể tích, vv...). Vì vậy, ta viết:

(1.123) F = F0(T ) + FL(T, ψ)

trong đó F0 là một hàm giải tích trơn theo nhiệt độ và là năng lượng pha có đối xứng cao không liên quan tới chuyển pha, còn FL(T, ψ) là phiếm hàm Landau chứa tất cả thông tin về sự phụ thuộc vào tham số trật tự.

3. Cấu trúc của FL(T, ψ): Phiếm hàm năng lượng tự do được giả thiết là một hàm giải tích (thường ở dạng khai triển đa thức) tuân theo tất cả các đối xứng khả dĩ gắn

1.4 Lý thuyết Ginzburg-Landau về sự chuyển pha

liền với ψ, điển hình là bất biến tịnh tiến và bất biến quay, và các bậc tự do nội tại khác biểu thị bản chất của tham số trật tự. Đây chính là phần quan trọng nhất của lý thuyết, nơi mà mọi ý nghĩa vật lý đều nằm ở đây. Trạng thái cân bằng ở nhiệt độ T là một trạng thái mà nó cực tiểu hóa năng lượng tự do. Nói chung, ta không biết F (T, ψ) một cách tường minh. Ý tưởng của Landau là khai triển F theo ψ, chỉ bao gồm những số hạng mà nó làm cho hệ đối xứng và giữ lại số cực tiểu các số hạng đơn giản nhất cần để nhận được các kết quả không tầm thường.

(cid:21)

4. Sự phụ thuộc vào nhiệt độ: Giả sử rằng tất cả sự phụ thuộc quan trọng vào nhiệt độ đều ở trong các số hạng bậc thấp nhất trong khai triển của FL(T, ψ), có dạng điển hình là

(cid:20)1 2

(1.124) dV a(T − Tc)ψ2 + · · · FL(T, ψ) = (cid:2)

Bởi vì FL được cấu trúc như một khai triển, nên sẽ có những hằng số khác chưa biết. Trong một hệ vật lý các hằng số này có sự phụ thuộc vào nhiệt độ, nhưng sự phụ thuộc này là trơn thì chúng có ảnh hưởng không đáng kể ở gần điểm chuyển pha. Đây là điều kiện nghiêm ngặt cho một chuyển pha liên tục và là một gần đúng cho chuyển pha bậc nhất.

Với việc xây dựng phiếm hàm năng lượng và cực tiểu hóa nó theo ψ như một hàm của nhiệt độ, bản chất của chuyển pha có thể được xác định. Hệ ở mức này được định rõ như là có một sự đồng đều, vì vậy lý thuyết Landau thực sự là một lý thuyết trường trung bình. Tuy nhiên, kết quả tính gần đúng năng lượng tự do là một điểm khởi đầu cho việc khảo sát các ảnh hưởng của thăng giáng.

1.4.1.1. Khái niệm tham số trật tự

Ý tưởng các hiện tượng chuyển pha liên quan đến sự tiến triển của một tham số trật tự mà nó làm suy yếu hoặc phá vỡ tính đối xứng của hệ là một trong những ý tưởng đẹp đẽ nhất của vật lý nhiều hạt. Trong chương này, chúng ta đưa vào khái niệm mới đó, nó đóng vai trò trung tâm trong sự hiểu biết của chúng ta về con đường mà các hệ phức tự biến đổi thành các trạng thái mới của vật chất ở các nhiệt độ thấp.

Landau đã đưa ra khái niệm tham số trật tự năm 1937 [52] như một phương tiện để xác định sự biến đổi đầy ấn tượng của vật chất trong sự chuyển pha. Những ví dụ về sự biến đổi như thế có rất nhiều: một bông tuyết hình thành khi nước đóng băng; sắt trở nên có từ tính khi các spin electron sắp hàng thành một hướng; tính siêu lỏng và siêu dẫn phát triển khi các chất lỏng lượng tử được làm lạnh và boson hay fermion kết cặp ngưng tụ thành một trạng thái lượng tử đơn với một pha rõ ràng. Các sự chuyển pha xảy ra ngay cả trong nhiều cấu trúc không gian, và có một bằng chứng rất tốt đó là chúng ta đang sống trong một vũ trụ phá vỡ đối xứng, đã trải qua một hoặc nhiều hơn sự chuyển pha phá vỡ sự suy biến giữa các lực cơ bản [91], và gần đây nhất là vụ nổ Big Bang. Thực chất, khi mặt trời chiếu sáng, chúng ta đang trải qua các hệ quả

1.4 Lý thuyết Ginzburg-Landau về sự chuyển pha

của sự phá vỡ đối xứng. Đáng chú ý là trong khi vật lý vi mô của mỗi trường hợp là khác nhau, thì chúng lại được hợp nhất chỉ bởi một khái niệm.

 

Lý thuyết Landau kết hợp mỗi sự chuyển pha với sự phát triển của một “tham số trật tự” ψ ngay khi nhiệt độ sụt xuống dưới nhiệt độ chuyển pha TC:



|ψ| = (1.125) 0 (T > TC) |ψ0| > 0 (T < TC)

Tham số trật tự có thể là một số thực hoặc phức, một véc tơ hay một spinor mà nói chung, có quan hệ với một véc tơ thực n thành phần ψ(x) = (ψ1, ψ2, · · · ψn). Chẳng hạn:

D ˆψB

ˆψ↓





Mô hình Ising ferromagnet Superfluid, Superconductor Heisenberg Ferromagnet





Φ = Higg’s Field Tham số trật tự m = ψ1 ψ=ψ1+iψ2 ~M =(ψ1, ψ2, ψ3) " ψ1 + iψ2 ψ3 + iψ4 Nguồn gốc vi mô hˆσzi D ˆψ↑ E , h~σi E D ˆφ+ D ˆφ−

Hình 1.5.: “Tính đối xứng bị phá vỡ”. Sự tiến triển của trật tự kết tinh bên trong một giọt nước hình cầu dẫn tới sự hình thành một bông tuyết, làm giảm tính đối xứng từ đối xứng cầu tới đối xứng sáu nếp gấp [21].

Một cách vi mô, mỗi tham số trật tự có liên quan trực tiếp với giá trị trung bình của một toán tử lượng tử. Vì vậy trong một sắt từ Ising “m = hσz(x)i” là giá trị trung bình của mật độ spin dọc theo một trục riêng không đẳng hướng, trong khi ở một sắt từ Heisenberg, độ từ hóa có thể chỉ hướng bất kì, vì vậy tham số trật tự là một véc tơ chỉ theo hướng của mật độ spin ~m = h~σ(x)i . Trong một siêu dẫn hoặc siêu chảy, tham số trật tự là một số phức liên quan đến giá trị trung bình một trường boson trong trạng thái ngưng.

1.4 Lý thuyết Ginzburg-Landau về sự chuyển pha

Trong bảng trên chúng ta đưa ra một số ví dụ về tham số trật tự. Việc lựa chọn tham số trật tự là một vấn đề hiện tượng luận và không phải luôn rõ ràng. Trong trường hợp siêu chảy và siêu dẫn, tham số trật tự đúng được khám phá chỉ sau khi hiện tượng được hiểu về mặt lý thuyết, sau một thời gian dài được quan sát bằng thực nghiệm. Trong một số trường hợp khác, chẳng hạn trong các sự chuyển spin-glass, chúng ta không chắc tham số trật tự là cái gì, hoặc thực chất là có hay không khái niệm phù hợp với nó.

Hình 1.6.: (a) Trong một kim loại thường, không có trật tự tầm xa. (b) Bên dưới nhiệt độ Curie TC của một sắt từ, các spin điện tử sắp hàng để tiến triển một tham số trật tự sắt từ. Kết quả là kim loại có một moment từ hữu hạn. (c) Bên dưới nhiệt độ chuyển pha của một siêu dẫn, các điện tử kết cặp với nhau tiến triển một tham số trật tự siêu dẫn. Kết quả là kim loại biểu hiện hiệu ứng Meissner, đẩy từ trường ra khỏi bên trong lòng nó [21].

Sự xuất hiện của tham số trật tự thường có các hệ quả vĩ mô đáng chú ý trong một vật liệu. Trong trường không có hấp dẫn, các giọt nước là các hình cầu hoàn hảo, vậy mà nếu được làm lạnh qua điểm đóng băng thì chúng hình thành các tinh thể nước đá với đối xứng sáu nếp gấp hoàn hảo của một bông tuyết (xem hình 1.5). Ta nói rằng tính đối xứng của nước bị phá vỡ, bởi vì sự đối xứng của tinh thể nước đá không còn có được tính đối xứng tròn xoay liên tục của giọt nước ban đầu nữa. Các hiệu ứng mạnh mẽ đồng thời xuất hiện bên trong các chất lỏng lượng tử. Vì vậy, khi một kim loại phát triển một tham số trật tự sắt từ thì nó sẽ phát triển tự phát một từ trường nội. Ngược lại, khi một kim loại phát triển trật tự siêu dẫn thì nó sẽ cư xử như một nghịch từ hoàn hảo, và sẽ tự phát đẩy từ trường ra khỏi bên trong nó ngay cả khi được làm lạnh trong một từ trường, đưa đến sự xuất hiện cái gọi là “hiệu ứng Meissner” (xem hình 1.6).

Sự đẹp đẽ của lý thuyết Landau là ở chỗ sự biểu diễn vi mô chính xác cho tham số trật tự không đòi hỏi phát triển một lý thuyết về các hệ quả vĩ mô của phá vỡ đối xứng. Lý thuyết Landau cung cấp một sự mô tả thô các tính chất của vật chất. Nhìn chung, sự mô tả tham số trật tự là tốt ở các quy mô lớn hơn độ dài kết hợp “ξ0”. Với các quy mô lớn hơn độ dài kết hợp, các cấu trúc bên trong của tham số trật tự là không

1.4 Lý thuyết Ginzburg-Landau về sự chuyển pha

thích đáng và cư xử như một hàm biến đổi trơn mà nó đã quên nguồn gốc vi mô của nó. Tuy nhiên vật lý ở các phạm vi nhỏ hơn độ dài kết hợp cần một sự mô tả vi mô. Chẳng hạn, trong một chất siêu dẫn, độ dài kết hợp là một số đo có kích thước của một cặp Cooper - một kích thước mà có thể là hàng trăm hoặc hàng ngàn các khoảng cách của nguyên tử, trong khi ở trong chất siêu lỏng He − 4, độ dài kết hợp cơ bản là khoảng cách một nguyên tử.

1.4.1.2. Năng lượng tự do Landau

Lý thuyết Landau tập trung vào miền ψ nhỏ, khai triển năng lượng tự do (tính trên một đơn vị thể tích) của hệ nhiều hạt như một đa thức đơn giản:

(1.126) ψ2 + ψ3 + ψ4 + · · · f = f0 + αψ + r 2 β 3 u 4

Phiếm hàm mật độ năng lượng tự do f , theo giả thiết của Landau thì phải có đầy đủ các tính chất đối xứng của hệ đối với tham số trật tự và phải có cực tiểu, nghĩa là

= 0, (1.127)

(1.128) ∂f ∂ψ ∂2f ∂ψ2 > 0.

Từ các điều kiện (1.127) và (1.128) đồng thời nếu giả thiết hai khả năng phá vỡ đối xứng với −ψ và +ψ là tương đương thì số hạng bậc lẻ theo tham số trật tự bằng không (α = β = 0) và r đổi dấu qua điểm chuyển pha, vì vậy có thể giả thiết r có thể viết dưới dạng hàm giải tích của nhiệt độ ở lân cận điểm chuyển pha

với a > 0. (1.129) r = a(T − Tc),

Bỏ qua các bậc cao hơn, ta có thể viết mật độ năng lượng tự do (thường gọi là năng lượng tự do Landau) như sau:

(1.130) ψ4. FL [ψ] = a(T − Tc)ψ2 + fL [ψ] = 1 V 1 2 u 4

 0 

Như vậy với điều kiện r và u lớn hơn không, cực tiểu của fL [ψ] xuất hiện khi



q a(Tc−T ) u

= 0 = rψ + uψ3 ⇒ ψ = (1.131) ∂f ∂ψ ± (T > Tc) (T < Tc)

vì vậy khi T < Tc, có hai cực tiểu của hàm năng lượng tự do (Hình. 1.7 (a)). Lưu ý rằng

1.4 Lý thuyết Ginzburg-Landau về sự chuyển pha

Hình 1.7.: (a) Năng lượng tự do Landau F (ψ) như là một hàm của nhiệt độ đối với một tham số trật tự Ising. Các đường cong được dịch chuyển thẳng đứng. (b) Tham số trật tự ψ như là một hàm của nhiệt độ đối với một trường hữu hạn h > 0 và một trường rất nhỏ h = 0+ [21].

• Nếu chúng ta làm lạnh hệ trong một trường ngoài nhỏ, dấu của tham số trật tự cho biết dấu của trường (Hình. 1.7 (b)):

(1.132) , ψ =sgn(h) (T < Tc). a(Tc − T ) u

Nhánh cắt này dọc theo trục nhiệt độ của giản đồ pha, là một ví dụ về điều kiện biên chuyển pha loại một. Điểm T = Tc, h = 0 ở đây nằm ở cuối đường nhánh cắt gọi là “điểm tới hạn”

• Nếu u < 0 năng lượng tự do trở nên không bị giới hạn bên dưới. Để xử lí vấn đề này, năng lượng tự do Landau phải được khai triển theo ψ tới bậc sáu:

(1.133) F [ψ] = ψ2 + ψ4 + ψ6 f [ψ] = r 2 u 4 v 6 1 V

Khi u < 0 đường cong năng lượng tự do tiến triển ba cực tiểu và sự chuyển pha trở thành loại một; điểm đặc biệt tại r = h = u = 0 là một tụ điểm của các điểm tới hạn gọi là điểm ba.

1.4.1.3. Các kì dị tại điểm tới hạn

 

Tại điểm chuyển pha loại hai, các đạo hàm bậc hai của năng lượng tự do tiến triển các kì dị. Nếu đặt (1.131) vào trong biểu thức của năng lượng tự do fL [ψ] (1.130), ta sẽ có



4u(Tc − T )2

∂T liên tục tại điểm chuyển pha,

(1.134) fL = 0 − a2 (T > Tc) (T < Tc)

Theo cách này, năng lượng tự do và entropy S = − ∂F nhưng nhiệt dung riêng



 0  a2T 2u

(1.135) CV = −T ∂2F ∂T 2 = C0(T ) + (T > Tc) (T < Tc)

1.4 Lý thuyết Ginzburg-Landau về sự chuyển pha

trong đó C0 là thành phần phông của nhiệt dung riêng không gắn với trật tự quy trình, “nhảy” một lượng 4CV = a2Tc 2u ở bên dưới điểm chuyển pha.

Hình 1.8.: Giản đồ pha trong một trường ngoài. Một đường bậc nhất kéo dài dọc theo trục trường ngoài bằng không, h = 0 đến điểm tới hạn. Tham số trật tự cân bằng đổi dấu khi vượt qua đường ranh giới pha này. (a) Đồ thị ba chiều cho thấy sự gián đoạn theo tham số trật tự như một hàm của trường ψ. (b) Đường ranh giới pha hai chiều cho thấy là đường bậc nhất [21].

Tại điểm chuyển pha loại hai, vật chất trở nên nhạy cảm vô cùng với trường ngoài h, thể hiện qua sự phân kì theo độ cảm từ χ = ∂ψ ∂h . Để thấy điều này trong lý thuyết Landau, ta hãy đưa vào một trường ngoài bằng cách thay thế

f (ψ) → f (ψ) − hψ = ψ2 + ψ4 − hψ (1.136) r 2 u 4

Một trường ngoài hữu hạn h > 0 có sự ảnh hưởng đến “sự lật nghiêng” đường viền năng lượng tự do ở bên phải, ưu tiên làm thấp hơn năng lượng của cực tiểu bên phải, như được minh họa trong hình (1.8). Khi h 6= 0, sự cân bằng đòi hỏi ∂f ∂ψ = rψ + uψ3 − h = 0, ta có thể giải tìm được r = h ψ − uψ2. Phía trên và dưới Tc, ta có thể giải tìm ψ bằng cách tuyến tính hóa ψ [h] = δψ + ψ0 quanh điểm h = 0 giá trị đã cho trong (1.132), để nhận được δψ = χ(T )h + O(h3), trong đó



 1  1 2

χ(T ) = = × (1.137) dψ dh 1 a |T − Tc| (T > Tc) (T < Tc)

!1/3

mô tả sự phân kì của “độ cảm từ” tại điểm tới hạn. Ở tại điểm tới hạn (r = 0), tham số trật tự độ từ hóa là một hàm không tuyến tính của trường,

h u

(1.138) ψ = (T = Tc)

Sự phân kì của độ cảm từ tại điểm tới hạn nghĩa là nếu làm lạnh qua điểm tới hạn khi không có mặt trường ngoài, thì trường sót lại cực nhỏ sẽ sinh ra một hiệu ứng khổng

1.4 Lý thuyết Ginzburg-Landau về sự chuyển pha

lồ, lật nghiêng hệ thành ra một trạng thái có spin hướng lên hoặc xuống. Khi điều này xảy ra, chúng ta nói rằng hệ “phá vỡ tự phát tính đối xứng nghịch đảo Z2” của Hamiltonian ban đầu.

1.4.1.4. Tính đối xứng liên tục bị phá vỡ: Thế mũ Mexican

Bây giờ chúng ta thực hiện một sự chuyển từ tham số một thành phần tới tham số n-thành phần. Ta sẽ đặc biệt quan tâm tới một lớp trật tự nhiều thành phần rất quan trọng mà trong đó vật lý cơ bản tính đến một đối xứng liên tục bị phá vỡ bởi sự chuyển pha. Trong trường hợp này, tham số trật tự n-thành phần ψ = (ψ1 · · · ψn) đạt được cả độ lớn và hướng, và tính đối xứng nghịch đảo Z2 không liên tục của mô hình Ising bây giờ được thay thế bởi một tính đối xứng quay “O(N )” liên tục. Tại một sự chuyển pha mà nó phá vỡ các tính đối xứng liên tục như thế có nhiều hệ quả đáng chú ý.

n) = ψ.ψ, có dạng

1 + · · · + ψ2

Lý thuyết Landau đối xứng “O(N )” được xây dựng đơn giản bằng cách thay thế ψ2 → |ψ|2 = (ψ2

(ψ.ψ) + (ψ.ψ)2 O(N ) lý thuyết bất biến Landau (1.139) fL [ψ] = r 2 u 4

trong đó như đã nói ở trên r = a(T − Tc). Hàm Landau này bất biến dưới phép quay O(N ) chuyển ψ → Rψ bảo toàn độ lớn của tham số trật tự.

Khi T < Tc, tham số trật tự đạt được một độ lớn và hướng xác định được cho bởi

(1.140) n ψ = |r| u

trong đó n là một véc tơ đơn vị có n-thành phần. Bằng cách đạt được một hướng xác định, tham số trật tự phá vỡ tính đối xứng O(N ). Trong một nam châm, phá vỡ đối xứng tương ứng với sự tiến triển tự phát của một độ từ hóa đồng đều. Trong một siêu dẫn hay siêu lỏng, nó tương với sự tiến triển của một pha vĩ mô.

Một ví dụ đặc biệt quan trọng về đối xứng liên tục bị phá vỡ xuất hiện trong siêu chảy và siêu dẫn, là ở đó tham số trật tự là một tham số trật tự phức hợp thành từ hai tham số trật tự phức ψ = ψ1 + iψ2 = |ψ| eiφ. Trong trường hợp này, năng lượng tự do Landau có dạng

(ψ∗ψ)2, f [ψ] = r(ψ∗ψ) + u 2 (1.141) ψ ≡ ψ1 + iψ2 ≡ |ψ| eiφ

Hình (1.9) cho thấy năng lượng tự do Landau là một hàm của ψ, trong đó độ lớn của tham số trật tự |ψ| được biểu diễn theo các tọa độ cực. Năng lượng tự do bề mặt phô

1.4 Lý thuyết Ginzburg-Landau về sự chuyển pha

Hình 1.9.: Sự phụ thuộc của năng lượng tự do vào tham số trật tự đối với (a) tham số trật tự Ising ψ = ψ1, cho thấy hai cực tiểu cùng mức năng lượng và (b) tham số trật tự phức ψ = ψ1 + iψ2 = |ψ| eiφ, ở đó năng lượng tự do Landau hình thành một “thế mũ Mexican” trong đó cực tiểu năng lượng tự do hình thành một vành các trạng thái có năng lượng bằng nhau phụ thuộc vào pha φ của tham số trật tự đồng đều [21].

bày một bất biến quay nổi bật, gắn liền với một thực tế là năng lượng tự do độc lập với pha toàn phần của tham số trật tự

h eiφψ

f [ψ] = f bất biến gauge (1.142)

Đây là một hệ quả trực tiếp của bất biến U (1) toàn phần của các trường hạt mà chúng bảo toàn để tiến triển tham số trật tự phức. Khi T < Tc, độ cong âm của năng lượng tự do bề mặt tại ψ = 0 là nguyên nhân khiến năng lượng tự do bề mặt tiến triển mặt nghiêng của một mũ Mexican, với một vành liên tục của cực tiểu tương đương trong đó

(1.143) eiφ ψ = |r| u

Như vậy, sự xuất hiện của một pha xác định đã phá vỡ tính đối xứng U (1) liên tục.

Thế mũ Mexican minh họa một tính chất đặc biệt của các pha với tính đối xứng liên tục bị phá vỡ: nó trở nên khả dĩ để quay liên tục tham số trật tự từ một trạng thái đối xứng bị phá vỡ tới một trạng thái khác. Tuy nhiên hãy lưu ý rằng nếu tham số trật tự duy trì một pha, hoặc hướng xác định thì rõ ràng là phải có một hao phí năng lượng để làm lệch hoặc “xoắn” hướng của tham số trật tự. Tính chất này là một thành phần cốt yếu của phá vỡ đối xứng liên tục. Trong chất siêu lỏng, sự nổi lên của một pha xác định gắn liền với tham số trật tự được liên hệ mật thiết với các dòng dư, hoặc tính siêu chảy. Chúng ta sẽ sớm thấy khi chúng ta “xoắn” pha, một sự siêu chảy sẽ tiến triển

(1.144) ~j ∝ ~∇φ.

1.4 Lý thuyết Ginzburg-Landau về sự chuyển pha

Để mô tả sự không linh động này, ta cần thực hiện bước tiếp theo, đưa vào trong phiếm hàm năng lượng một số hạng đặc trưng cho hao phí năng lượng của một tham số trật tự không đồng đều. Việc này sẽ đưa chúng ta tới lý thuyết Ginzburg-Landau.

1.4.2. Lý thuyết Ginzburg-Landau I: Trật tự Ising

Lý thuyết Landau mô tả năng lượng chi phí của một tham số trật tự đồng đều. Để giải thích cho trường hợp các tham số trật tự không đồng đều trong đó biên độ biến đổi hoặc hướng của tham số trật tự bị xoắn cần có một lý thuyết tổng quát hơn. Sự tiến triển này của lý thuyết Landau gọi là lý thuyết “Ginzburg-Landau”, sau khi Ginzburg and Landau [33] phát triển hình thức luận này như phần lý thuyết vĩ mô về siêu dẫn của họ. Chúng sẽ bắt đầu thảo luận lý thuyết GL với trường hợp đơn giản nhất là tham số trật tự “Ising” một thành phần. Lý thuyết GL [33] đưa vào một sự bổ sung năng lượng hao phí δf ∝ |∇ψ|2 gắn liền 2 |∇ψ|2 + fL [ψ(x)]. Với trường hợp với gradients của tham số trật tự fGL [ψ, ∇ψ] = s riêng, tham số trật tự Ising, năng lượng tự do (trong d chiều) được cho bởi

FGL [ψ] = ddxfGL [ψ(x), ∇ψ(x), h(x)] (1.145) (∇ψ)2 + ψ2 + ψ4 − hψ fGL [ψ, ∇ψ, h] = r 2 u 4 (cid:2) s 2

Năng lượng tự do Ginzburg-Landau: trật tự một thành phần

Có hai điểm cần lưu ý ở đây

• Lý thuyết GL chỉ có hiệu lực ở gần điểm tới hạn, nơi tham số trật tự là đủ nhỏ để cho phép một khai triển bậc chính

s s

• Sự phân tích thứ nguyên cho thấy rằng [s] / [r] = L2 có thứ nguyên bình phương độ dài. Tỉ lệ độ dài mới mà nó được đưa vào bởi số hạng gradient gọi là “độ dài tương quan”

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

− 1 (cid:12) 2 (cid:12) (cid:12) (cid:12)

(1.146) 1 − độ dài tương quan, ξ(T ) = = ξ0 |r(T )| T Tc

sẽ thiết lập một tỉ lệ độ dài đặc trưng của các thăng giáng tham số trật tự, trong đó

s s aTc

độ dài kết hợp, (1.147) ξ0 = ξ(T = 0) =

là số đo của độ dài kết hợp vi mô. Ở gần điểm chuyển pha, ξ(T ) phân kì, nhưng ra xa điểm chuyển pha, nó trở nên so sánh được với độ dài kết hợp.

Theo truyền thống việc sử dụng lý thuyết GL, như là một nguyên lý biến phân, dùng điều kiện dừng δF/δψ = 0 để xác định cấu hình không cân bằng của tham số trật tự. Lý thuyết GL cũng là điểm bắt đầu cho một sự phân tích tổng quát hơn của các thăng giáng nhiệt quanh lý thuyết trường trung bình.

1.4 Lý thuyết Ginzburg-Landau về sự chuyển pha

1.4.2.1. Các nghiệm không đồng đều của lý thuyết Ginzburg-Landau

Có hai loại nghiệm không đồng đều ta sẽ xem xét:

1. Đáp ứng tuyến tính, nhưng không cục bộ với một trường ngoài nhỏ.

2. Các nghiệm “sóng đơn” hoặc vách miền, trong đó tham số trật tự đổi dấu, đi qua cực đại của năng lượng tự do tại ψ = 0 (các vách miền như thế dành riêng cho trật tự Ising).

Để nhận được phương trình chi phối các nghiệm không đồng đều, ta viết

" −s∇2ψ(x) +

ddxδψ(x) (1.148) δFGL = (cid:2) ∂fL [ψ] ∂ψ(x)

Vì năng lượng tự do GL phải dừng đối với các biến đổi nhỏ theo trường nên:

= −s∇2ψ + = 0 (1.149) δFGL δψ(x) ∂fL [ψ] ∂ψ

h(cid:16)

(cid:17)

hay tường minh hơn

−s∇2 + r + uψ2i ψ(x) − h(x) = 0 (1.150)

1.4.2.2. Độ cảm và đường đặc trưng tuyến tính

(cid:16)

(cid:17)

Một ứng dụng đơn giản nhất của lý thuyết GL, là tính toán đường đặc trưng tuyến tính cho một trường ngoài không đồng đều. Khi T > Tc, với một đường đặc trưng tuyến tính nhỏ chúng ta có thể bỏ qua số hạng bậc ba vì vậy (−s∇2 + r) ψ(x) = h(x). Nếu biến đổi Fourier phương trình này ta nhận được

sq2 + r (1.151) ψq = hq

hay ψq = χqhq, trong đó

= (1.152) χq = 1 sq2 + r 1 s(q2 + ξ−2)

là độ cảm từ phụ thuộc xung lượng và ξ = s/r là độ dài tương quan được định nghĩa trong (1.146). Lưu ý rằng χq=0=1/[a(T − Tc)] = r−1 là độ cảm từ đồng đều nhận được trong (1.137) trước đây. Với q lớn q (cid:29) ξ−1, χ(q) ∼ 1/q2 trở nên phụ thuộc mạnh mẽ vào động lượng, nói cách khác, đường đặc trưng cho một trường ngoài là không cục bộ cho tới một độ dài tương quan.

1.4 Lý thuyết Ginzburg-Landau về sự chuyển pha

1.4.2.3. Các vách miền

Khi T < Tc, có một sự tổn hao mạnh mẽ đối với tham số trật tự để lệch đáng kể khỏi giá trị cân bằng ψ0. Tuy nhiên các độ lệch chủ yếu khỏi những “chân không bền” này có thể xảy ra tại “các vách miền” hoặc “các sóng đơn”, là những vách hẹp của không gian mà nó tách thành hai miền chân không bền đối dấu nhau, tại đó ψ = ±ψ0. Để đổi dấu, tham số trật tự Ising phải đi qua giá trị không tại trung tâm của vách miền, vượt qua “đỉnh” trong năng lượng tự do.

Hình 1.10.: Nghiệm sóng đơn của các phương trình GL. (a) Sự tiến hóa của ψ trong một chiều tương đương với một hạt ở vị trí ψ, chuyển động trong một thế năng nghịch đảo V [ψ] = −fL [ψ]. Một sóng đơn tương đương với một “sự nảy” giữa các cực đại ở ψ = ±ψ0 của V [ψ]. (b) Đường mà hạt mô tả sự phát triển theo thời gian “t” ≡ x xác định sự phụ thuộc không gian của tham số trật tự ψ [x] [21].

Bây giờ chúng ta tìm nghiệm sóng đơn trong không gian một chiều, ở đó phương trình GL trở thành

(1.153) sψ00 = dfL [ψ] dψ

Công thức này có một sự giải thích lý thú giống như định luật Newton về chuyển động đối với một hạt có khối lượng s chuyển động trong một thế nghịch đảo V [ψ] = −fL [ψ]. Nhận xét này thừa nhận có một sự tương tự giữa một sóng đơn và chuyển động trong một chiều, điều này cho phép ta nhanh chóng phát triển một lời giải cho sóng đơn. Theo sự tương tự này, ψ đóng vai trò của sự dịch chuyển trong khi x đóng vai trò của thời gian. Nghiệm “sóng đơn” của phương trình GL định vị tại x = x0 là

x − x0√ 2ξ

“sóng đơn” (1.154) ψ(x) = ψ0 tanh

1.4 Lý thuyết Ginzburg-Landau về sự chuyển pha

1.4.3. Lý thuyết Ginzburg-Landau II: Trật tự phức và siêu chảy

1.4.3.1. “Một hàm sóng vĩ mô”

Bây giờ ta trở lại thảo luận lý thuyết GL về tham số trật tự phức hay tham số trật tự hai thành phần. Ở đây, ta sẽ tập trung vào sử dụng lý thuyết GL để hiểu các hiện tượng siêu chảy và siêu dẫn. Trọng tâm của bài thảo luận, là sự nổi lên của một loại “hàm sóng vĩ mô” trong đó các toán tử trường vi mô của chất lỏng lượng tử ˆψ(x) có giá trị trung bình E D ˆψ(x) ≡ ψ(x) = |ψ(x)| eiφ(x) “hàm sóng vĩ mô” (1.155)

bao gồm cả pha. Độ lớn của tham số trật tự này xác định mật độ các hạt trong chất siêu lỏng

(1.156) |ψ(x)|2 = ns(x)

trong khi đó sự xoắn, hay gradien của pha xác định vận tốc siêu lỏng.

(cid:126) (1.157) ∇φ(x) vs(x) = m

Vitalii Ginzburg và Lev Landau đưa ra lý thuyết của họ năm 1950, như một lý thuyết hiện tượng luận về tính siêu dẫn, trong đó ψ(x) đóng vai trò của một hàm sóng vĩ mô mà nguồn gốc vi mô của nó lúc đó vẫn chưa biết được. Ta sẽ bắt đầu bằng cách minh họa ứng dụng của phương pháp này cho các chất siêu lỏng. Với một chất siêu lỏng, mật độ năng lượng tự do GL là

(cid:126)2 (1.158) |∇ψ|2 + r |ψ|2 + |ψ|4 fGL [ψ, ∇ψ] = u 2 2m

năng lượng GL: siêu lỏng

• Năng lượng tự do GL được hiểu như mật độ năng lượng của chất boson ngưng tụ trong đó toán tử trường có hành vi như một tham số trật tự phức. Điều này đưa chúng ta tới đồng nhất hệ số của số hạng gradien

D E ∇ ˆψ†∇ ˆψ

(cid:126)2 (1.159) s |∇ψ|2 ≡ 2m

như động năng, vì vậy s = (cid:126)2 2m .

1.4 Lý thuyết Ginzburg-Landau về sự chuyển pha

(cid:18)

(cid:19)−1/2

• Như trong trường hợp của trật tự Ising, độ dài tương quan, hay “độ dài kết hợp Ginzburg-Landau” chi phối dải đặc tính của biên độ các thăng giáng của tham số trật tự được cho bởi

v u u t

s s |r|

q (cid:126)2

(cid:126)2 (1.160) = ξ = 1 − = ξ0 2m |r| T Tc

2maTc

là độ dài kết hợp. Vượt quá quy mô dài này, chỉ có trong đó ξ0 = ξ(T = 0) = các thăng giáng pha là tồn tại.

v2 s }|

{ !2

√ • Nếu chúng ta tách các thăng giáng trong biên độ ra ngoài, bằng cách viết ψ(x) = nseiφ(x), thì ∇ψ = i∇φψ và |∇ψ|2 = ns (∇φ)2. Sự phụ thuộc của động năng còn dư vào sự xoắn trong pha là

z (cid:126) m

(1.161) (∇φ)2 = ∇φ (cid:126)2ns 2m mns 2

Vì mns là mật độ khối lượng, nên ta thấy rằng một sự xoắn pha dẫn đến sự tăng động năng mà ta có thể gắn liền với một vận tốc “siêu lỏng”

(cid:126) (1.162) ∇φ vs = m

1.4.3.2. Tính chất cứng pha và tính siêu chảy

Trong lý thuyết GL năng lượng rất nhạy cảm đối với một sự “xoắn” pha. Nếu ta thay thế ψ = |ψ| eiφ vào trong năng lượng tự do GL, thì số hạng gradient trở thành ∇ψ = (∇ |ψ| + i∇φ |ψ|)eiφ, vì vậy

tính chất cứng pha { }| z (cid:126)2

z (cid:126)2

các thăng giáng biên độ }| (∇ |ψ|)2 + r |ψ|2 +

{ |ψ|4

(1.163) |ψ|2 (∇φ)2 + fGL = 2m u 2 2m

Số hạng thứ hai tương tự phiếm hàm GL đối với một tham số trật tự Ising, và mô tả chi phí năng lượng của những biến đổi trong biên độ của tham số trật tự. Số hạng thứ nhất là một số hạng mới. Số hạng này mô tả “tính chất cứng pha”. Như ta đã biết trong mục trước, các thăng giáng biên độ của tham số trật tự bị giam hãm trong các quy mô ngắn hơn độ dài tương quan ξ. Với quy mô dài hơn vật lý được điều khiển hoàn toàn bởi bậc tự do pha, vì vậy

(∇φ)2 +constant (1.164) fGL = ρφ 2

1.4 Lý thuyết Ginzburg-Landau về sự chuyển pha

Đại lượng ρφ = (cid:126)2 m ns thường được gọi là “độ quánh pha siêu lỏng”. Từ quan điểm vi mô, số hạng pha không linh động đơn giản là động năng của hạt trong phần ngưng tụ, nhưng từ quan điểm vĩ mô, nó là một năng lượng đàn hồi gắn liền với pha bị xoắn. Cách duy nhất dung hòa hai quan điểm này, là nếu có một sự xoắn của hàm sóng ngưng thì dẫn đến một sự chảy dính liền của các hạt với mật độ dòng Js = nsvs, trong đó

(cid:126) (1.165) ∇φ vs = m

là “vận tốc siêu lỏng” được sinh ra bởi pha bị xoắn của phần ngưng. Dòng chảy hạt thông thường đạt được bằng sự thêm vào các kích thích ở trên trạng thái cơ bản, nhưng tính siêu chảy xuất hiện nhờ bởi một sự biến dạng của pha trạng thái cơ bản và mỗi đơn hạt chuyển động trong một sự đồng thời hoàn hảo.

Các xoáy và tính ổn định tôpô của siêu chảy Tính siêu chảy ổn định do bởi tính chất tô pô cơ bản của một tham số trật tự bị xoắn. Nếu ta quấn quanh hệ thì bản chất đơn trị của tham số trật tự kéo theo rằng sự thay đổi trong pha quanh mẫu phải là một số nguyên nhân với 2π:

m ∇φ, điều này kéo

(cid:77) φ = (1.166) dx.∇φ = 2π × nφ (cid:12)

tương ứng với nφvòng xoắn của tham số trật tự. Nhưng vì vs = (cid:126) theo rằng tích phân đường, hay “lưu số” của siêu chảy quanh mẫu bị lượng tử hóa

(1.167) lượng tử hóa của lưu số. ω = × nφ dx.vs = (cid:12) h m

Giả sử rằng hệ có đối xứng tịnh tiến, điều này đưa đến

(1.168) lượng tử hóa của vận tốc, vs = nφ h mL

một hiện tượng mà nó được tiên đoán đầu tiên bởi Onsager and Feynman [64, 28]. Số vòng xoắn của tham số trật tự nφ là một “bất biến tô pô” của sự ngưng tụ siêu lỏng, vì nó có thể không bị thay đổi bởi bất kì sự biến dạng liên tục nào của pha. Chỉ có cách phân rã siêu chảy là tạo ra các vách miền năng lượng cao: một tiến trình mà nó bị triệt theo quy luật hàm số mũ trong giới hạn nhiệt động. Vì vậy tính ổn định về mặt tô pô của tham số trật tự bị xoắn duy trì một sự siêu chảy bền bỉ.

1.4 Lý thuyết Ginzburg-Landau về sự chuyển pha

Một dạng bền vững về mặt tô pô khác của một siêu chảy là một “xoáy”. Một cái xoáy là một đường đặc biệt trong chất siêu lỏng mà pha của tham số trật tự tiến động bằng một số nguyên nhân với 2π. Nếu chúng ta lấy một đường tròn bán kính r vòng quanh cái xoáy thì sự lượng tử hóa của lưu số đưa đến

h m

= (1.169) dx.vs(x) = 2πrvs ω = nφ (cid:12)

(cid:126) m

! 1 r

, r (cid:38) ξ (1.170) vs = nφ ×

(cid:19)2

Công thức này, vận tốc siêu lỏng xuất hiện phân kì ở những khoảng cách ngắn, sẽ không đáng tin cậy nữa khi r (cid:46) ξ, ở đó các biến thiên biên độ trong tham số trật tự trở nên quan trọng. Bây giờ ta hãy tính năng lượng của một xoáy. Giả sử xoáy được tập trung vào giữa một hình trụ lớn bán kính R, khi đó năng lượng của mỗi đơn vị dài là

(cid:18) 2πnφ 2πr

R ξ

(1.171) = d2x (∇φ)2 = 2πrdr = πρφ ln × n2 φ F L ρφ 2 (cid:2) ρφ 2 (cid:2)

Theo cách này, ta thấy rằng năng lượng của nφ được phân tách ra các xoáy với lưu số đơn vị là nφ lần nhỏ hơn một xoáy với lưu số gấp nφ lần. Vì lí do này, các xoáy xuất hiện với các lượng tử đơn của lưu số, và sự tương tác của chúng là lực đẩy.

1.4.4. Lý thuyết Ginzburg-Landau cho siêu dẫn

1.4.4.1. Bất biến Gauge

Trong một chất siêu lỏng trung hòa sự xuất hiện của một hàm sóng vĩ mô cùng với pha dẫn tới tính siêu lỏng. Khi chất lỏng tương ứng được tích điện, tính siêu chảy mang điện tích, hình thành một chất siêu dẫn. Một trong các tính chất cơ bản của các chất siêu dẫn là khả năng đẩy từ trường ra khỏi bên trong nó, gọi là “hiệu ứng Meissner”. Lý thuyết GL cung cấp một sự giải thích đẹp đẽ cho hiệu ứng này.

Việc đưa điện tích vào trong lý thuyết trường mang đến cho nó khái niệm bất biến gauge. Trong lý thuyết GL của một chất lỏng lượng tử mang điện, các đạo hàm thông thường của trường được thay thế bằng các đạo hàm bất biến gauge

(1.172) ∇ → D = ∇ − ie∗ (cid:126) A

1.4 Lý thuyết Ginzburg-Landau về sự chuyển pha



(cid:19)

trong đó e∗ là điện tích của trường ngưng tụ. Theo đó năng lượng tự do GL cho siêu dẫn được viết lại như sau

{ |ψ|4 +

(cid:12) (cid:18) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

fψ }| (cid:12) (cid:12) ψ (cid:12) (cid:12)

 z      

      }

(cid:126)2 + r |ψ|2 + (1.173) F [ψ, A] = ddx ∇ − ie∗ (cid:126) A (cid:2) 2M u 2

(∇ × A)2 2µ0 {z fEM

Năng lượng tự do GL : siêu lỏng mang điện tích.

trong đó M là khối lượng của trường ngưng tụ và ∇ × A = B là từ trường.

Lưu ý rằng:

• Chúng ta đang xét các chất siêu dẫn, ở đó boson ngưng tụ là một cặp Cooper của các điện tử, mang điện tích e∗ = 2e.

• Dưới phép biến đổi gauge

(1.174) ψ(x) → ψ(x)eiα(x), A → A +

(cid:126) e∗ ∇α Dψ → eiα(x)Dψ, sao cho |Dψ|2 không bị thay đổi và năng lượng tự do GL là bất biến Gauge.

1.4.4.2. Các phương trình Ginzburg-Landau

Để nhận được các phương trình chuyển động ta cần lấy biến phân của năng lượng tự do (1.173) theo thế véc tơ và tham số trật tự ψ. Các biến phân theo thế véc tơ đem lại phương trình Amperes, trong khi các biến phân theo tham số trật tự dẫn tới một sự tổng quát hóa phương trình Schrodinger không tuyến tính đã thu được trước đây cho các trường Ising không đồng đều. Mỗi một trong các phương trình này là một trong các nghiệm không đồng đều cực kì quan trọng xác định vật lý của các vách miền giữa các vùng “dẫn thường” và “siêu dẫn” của siêu dẫn loại II, trong khi đó công thức Ginzburg-Landau của phương trình Amperes cung cấp một sự hiểu biết về hiệu ứng Meissner.

Nếu biến đổi thế véc tơ, và đặt biến phân toàn phần bằng không, ta nhận được:

= −J(x) + = 0. (1.175) δF δA(x) ∇ × B µ0

(cid:16)

(cid:17)

trong đó

(1.176) J(x) = − |ψ|2 A. ψ∗ ~∇ψ − ∇ψ∗ψ − i(cid:126)e∗ 2M e∗2 M

1.4 Lý thuyết Ginzburg-Landau về sự chuyển pha

(cid:18)

(cid:19)2

là mật độ dòng siêu dẫn. Theo cách này, ta lại nhận được phương trình Amperes, trong đó mật độ dòng có dạng của một dòng xác suất trong phương trình Schrodinger nổi tiếng. Tuy nhiên, ψ(x) bây giờ mang ý nghĩa vật lý vĩ mô, “hàm sóng vĩ mô” của phần ngưng có tính siêu dẫn. Phương trình (1.175) này sẽ dẫn tới hiệu ứng Meissner. Để lấy các biến phân theo ψ, ψ∗ trước hết lấy tích phân từng phần, đặt biến phân toàn phần bằng không, ta nhận được:

(cid:16)

(cid:126)2 (1.177) ∇ − i ψ(x) + rψ(x) + u |ψ(x)|2 ψ(x) = 0 e∗ (cid:126) A 2M

(cid:126) A

∇ − i q

“Phương trình Schrodinger không tuyến tính” này gần như là đồng nhất với phương (cid:17)2 trình (1.150) đã nhận được đối với tham số trật tự Ising, nhưng ở đây ∇2 → hợp nhất với bất biến gauge và ψ3 → |ψ|2 ψ có kể đến tham số trật tự phức. Phương trình (1.177) có thể được sử dụng để xác định sức căng bề mặt σsn của một giọt chất lỏng có tính siêu dẫn.

1.4.4.3. Hiệu ứng Meissner

(cid:18)

{ (cid:19)

z (cid:126)

Bây giờ ta sẽ xem xét một chất siêu dẫn sẽ có hành vi như thế nào trong sự hiện diện của một từ trường. Để thuận tiện viết dòng siêu dẫn (1.176) dưới dạng biên độ và pha của tham số trật tự ψ = |ψ| eiφ

(1.178)

vs }| ~∇φ −

J(x) = e∗ns = e∗nsvs e∗ (cid:126) A M

(cid:18)

(cid:19)

trong đó ta đã thay thế |ψ|2 = ns và đồng nhất

(cid:126) (1.179) ∇φ − vs = e∗ (cid:126) A M

như vận tốc siêu lỏng. Viết một cách tường minh, phương trình Amperes khi đó trở thành

A − (1.180) ∇ × B = −µ0 nse∗2 M (cid:126) e∗ ∇φ

Nếu ta lấy curl biểu thức này (giả sử ns là hằng số), ta thu được kết quả là

B, Hiệu ứng Meissner ∇2B =

(1.181)

= = µ0 1 λ2 L µ0nse∗2 M nee2 me 1 λ2 L

1.5 Thảo luận

2ne là một nửa nồng độ điện tử trong chất ngưng.

Ở đây M = 2me và e∗ = 2e tương ứng là khối lượng và điện tích của cặp Cooper, trong khi đó ns = 1

Phương trình này, được rút ra đầu tiên bởi Fritz London trên nền tảng hiện tượng học [54], biểu diễn tính chất kinh ngạc là các từ trường bị đẩy mạnh mẽ ra khỏi chất siêu dẫn. Các nghiệm đồng đều duy nhất khả dĩ là

(1.182) trạng thái siêu dẫn trạng thái dẫn thường B = 0,ns > 0, B 6= 0,ns = 0,

Các nghiệm một chiều cho phương trình London ∇2B = B/λ2 L có dạng B ∼ B0e−x/λL, cho thấy rằng ở gần bề mặt của một chất siêu dẫn, từ trường chỉ xuyên sâu một khoảng độ dài λL vào trong chất ngưng. Các dòng siêu dẫn dư chắn từ trường xâm nhập vào chất siêu dẫn nằm trong vòng lớp vỏ mỏng trên bề mặt.

1.5. Thảo luận

Lý thuyết Ginzburg-Landau [33] là một lý thuyết hiện tượng học sử dụng trực giác vật lý và nguyên lý biến thiên của cơ học lượng tử. Nó cho phép tính toán các đại lượng vĩ mô của vật liệu trong trạng thái siêu dẫn nếu người ta giả thiết sự chuyển pha là loại hai. Các kết quả có thể phù hợp một cách chính xác với các kết quả thực nghiệm, và sau này được chỉ ra là một dạng riêng của lý thuyết BCS. Trong khi hữu ích và chính xác với các đại lượng vĩ mô, thì cũng giống như nỗ lực của London, nó không giải thích sự hình thành tính siêu dẫn trong các vật liệu này.

Đáng chú ý là hai năm sau khi lý thuyết BCS ra đời Gor’kov [34] đã chỉ ra rằng lý thuyết hiện tượng luận GL thực tế có thể được suy ra một cách chính xác từ lý thuyết BCS và các hệ số của nó có thể vì vậy liên quan tới các tham số vật liệu vi mô chẳng hạn như vận tốc Fermi vF và mật độ trạng thái ở mức Fermi N (0). Thêm vào đó Gor’kov chứng minh rằng các đại lượng nhiệt động của hai lý thuyết, nghĩa là tham số khe BCS, ∆, và hàm sóng GL, Ψ, có liên hệ với nhau bởi một hằng số tỉ lệ và Ψ có thể được coi như hàm sóng cặp Cooper trong cấu trúc khối tâm. Theo một nghĩa nào đó thì lý thuyết GL là nguyên mẫu của lý thuyết hiệu dụng hiện đại; mặc dù giới hạn chỉ ở sự chuyển pha nhưng nó được ứng dụng ở nhiều lĩnh vực, chẳng hạn nó được sử dụng trong các trường hợp không đồng nhất, khi khe không đồng đều trong không gian.

Thêm nữa, năm 2013 Frank [69] đã trình bày nguồn gốc chặt chẽ của lý thuyết GL. Bắt nguồn từ mô hình BCS, lý thuyết GL xuất hiện như một lý thuyết hiệu dụng trên quy mô vĩ mô, trong sự hiện diện các trường ngoài yếu và biến thiên chậm, và nhiệt độ gần với nhiệt độ tới hạn.

Như vậy, lý thuyết hiện tượng luận GL có thể được liên hệ với một lý thuyết vi mô cơ bản. Phương pháp tích phân phiếm hàm là một trong những công cụ hữu dụng cung cấp một hình thức luận nghiêm khắc, chặt chẽ để liên hệ hai lý thuyết này.

2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TIẾP

CẬN VI MÔ GINZBURG-LANDAU

Trong chương này chúng tôi sẽ giới thiệu hai phương pháp tiếp cận vi mô Ginzburg- Landau: phương pháp hàm Green và phương pháp tích phân phiếm hàm. Trong nghiên cứu của chúng tôi các hàm Green chỉ được sử dụng ngắn gọn, nhưng vì tầm quan trọng tuyệt vời của nó trong nhiều lĩnh vực vật lý, và bởi vì một số độc giả có thể không quen thuộc với dạng tổng quát của hàm Green (khác với hàm Green được sử dụng trong lý thuyết các phương trình vi phân tuyến tính) một thảo luận ngắn gọn sẽ được trình bày trong mục 2.1. Để biết thêm chi tiết thảo luận xem một trong nhiều sách giáo khoa xuất sắc về chủ đề này [27, 2]. Trong mục 2.2, chúng tôi sẽ phát triển bài toán siêu dẫn BCS bằng việc sử dụng phương pháp tích phân phiếm hàm để tính hàm phân bố của hệ, thiết lập phiếm hàm năng lượng GL một thành phần cho siêu dẫn BCS. Đây chính là tiền đề để các chương sau, xuất phát từ Hamiltonian tương tác nhiều hạt tổng quát chúng tôi thực hiện phép biến đổi lý thuyết trường fermion tới một lý thuyết hiệu dụng dựa trên các trường kết cặp được biểu diễn dưới dạng các tham số trật tự theo các kênh khác nhau từ đó rút ra một sự biểu diễn tổng quát nhất của phiếm hàm GL cho hệ hai, ba tham số trật tự nhằm tìm kiếm các pha đồng tồn tại.

2.1. Phương pháp hàm Green

Trong những năm gần đây, các phương pháp của lý thuyết trường lượng tử đã được nhận thấy là rất hữu ích trong vật lý thống kê. Thời gian sau đó nó được quan tâm trong các tính toán cả cho các tính chất cân bằng và không cân bằng của các hệ nhiều hạt. Trong việc nghiên cứu các bài toán như thế phương pháp hàm Green là một phương pháp rất hữu ích. Nó cho phép người ta trình bày các bài toán theo một cách chặt chẽ hơn và giải thích rõ ràng một số khái niệm bằng trực giác đã có trước đó, chẳng hạn như sự mô tả một hệ ở nhiệt độ thấp dưới dạng các chuẩn hạt. Thêm vào đó, người ta có thể dễ dàng suy ra một số kết quả chính xác nhất định, các hệ thức tán sắc và các quy luật lấy tổng chính xác trong phạm vi lý thuyết nhiễu loạn. Cuối cùng, phương pháp này tạo ra một quá trình chuyển đổi khá dễ dàng từ nhiệt độ không, tại đó các phép tính gần giống với lý thuyết trường lượng tử, sang nhiệt độ khác không.

Các hàm Green về cơ bản là hữu ích để tính tổng các lớp giản đồ bị hạn chế của lý thuyết nhiễu loạn và rất mạnh khi kết hợp với biểu diễn phổ. Trong lý thuyết trường lượng tử hàm Green được gọi là hàm truyền. Tên này dựa trên ý tưởng rằng, để tìm các tính chất vật lý quan trọng của một hệ, điều cần thiết là phải biết hành vi trung bình của một hoặc hai hạt điển hình chứ không phải là chi tiết hành vi của từng hạt

2.1 Phương pháp hàm Green

trong hệ. Các đại lượng mô tả hành vi trung bình này được gọi là các hàm truyền một hạt và hai hạt. Về cơ bản, có hai cách liên quan chặt chẽ để xác định các hàm Green là từ các phương trình chuyển động và điều kiện biên mà chúng tuân theo, và từ việc sử dụng đơn giản lý thuyết nhiễu loạn.

Trong mục 2.1 này, trước tiên, chúng tôi sẽ định nghĩa các hàm Green một hạt. Sau đó, chúng tôi xây dựng phương trình chuyển động của các hàm Green, chúng có dạng một chuỗi vô hạn các phương trình kết hợp. Tiếp theo, bao gồm một mô tả khá chi tiết về việc áp dụng các kỹ thuật các hàm Green cho các lý thuyết siêu dẫn và sắt từ dựa trên các nghiên cứu của một số tác giả nổi tiếng. Cuối cùng, chúng tôi đưa ra một sự thảo luận ngắn gọn so sánh các phương pháp khác nhau để có được các hàm Green.

2.1.1. Các hàm Green

Có nhiều lý do để nghiên cứu các hàm Green. Trước hết, các quy luật Feynman để tìm kiếm sự đóng góp bậc thứ n của lý thuyết nhiễu loạn đối với hàm Green thì đơn giản hơn đối với tổ hợp khác của các toán tử trường. Thêm nữa, hàm Green cung cấp một số thông tin vật lý quan trọng nhất như năng lượng và các hàm nhiệt động khác trong trạng thái cơ bản của hệ, năng lượng và thời gian sống của các trạng thái kích thích, và sự đáp ứng tuyến tính với các nhiễu loạn bên ngoài. Cuối cùng, hàm Green cũng là một phương tiện thuận tiện để xác định các hệ số truyền dẫn mà không cần đòi hỏi phải thiết lập các phương trình truyền dẫn. Trong thảo luận này chúng tôi chỉ đề cập đến các loại hàm Green như hàm Green nhân quả hai thời điểm Gc(t, t0), được định nghĩa dưới dạng giá trị trung bình của T tích các toán tử, hàm Green trễ Gr(t, t0) và hàm Green sớm Ga(t, t0). Các hàm Green được sử dụng ở đây là các hàm Green hai thời điểm áp dụng trong vật lý chất rắn và cơ học thống kê, chúng phụ thuộc vào hai toán tử A(t) và B(t0) ở các thời điểm khác nhau t và t0. Sự khác nhau cơ bản giữa các hàm Green này và các hàm Green trong lý thuyết trường lượng tử là ở chỗ trong lý thuyết trường lượng tử, trung bình được lấy theo trạng thái chân không thấp nhất hay trạng thái cơ bản còn các hàm Green sử dụng ở đây được lấy trung bình theo tập hợp chính tắc lớn.

(2.1) Gc(t, t0) = hhA(t); B(t0)iic = −i hT (A(t)B(t0))i

(2.2) Gr(t, t0) = hhA(t); B(t0)iir = −iθ(t − t0) h[A(t), B(t0)]i

. (2.3) Ga(t, t0) = hhA(t); B(t0)iia = iθ(t0 − t) h[A(t), B(t0)]i

(cid:16)

Ký hiệu h. . .i trong các phương trình trên biểu thị lấy trung bình theo một tập hợp chính tắc lớn, nghĩa là với toán tử ρ bất kỳ ta có

(cid:17) KT ρ

(2.4) hρi = e− H T r 1 Z

2.1 Phương pháp hàm Green

(cid:16)

(cid:17)

trong đó Z là hàm phân bố của hệ chính tắc lớn

(2.5) Z = T r e− H ,

T r biểu thị toán tử vết, và H là toán tử Hamiltonian toàn phần của hệ

H = H − µN, (2.6)

H là toán tử Hamiltonian độc lập thời gian, N là toán tử số hạt toàn phần của hệ, µ là thế hóa học và T là nhiệt độ tuyệt đối; hhA(t); B(t0)iic,r,a ký hiệu rút gọn của các hàm Green tương ứng. A(t) và B(t0) là các toán tử trong biểu diễn Heisenberg có dạng (ở đây ta xét trong hệ đơn vị mà (cid:126) = 1)

(2.7) A(t) = eiH tAe−iH t.

Toán tử T tích được định nghĩa theo cách thông thường

T (A(t)B(t0)) = θ(t − t0)A(t)B(t0) + ηθ(t0 − t)B(t0)A(t) (2.8)

 

trong đó



(2.9) θ(t) = 1 nếu 0 nếu t > 0 t < 0

Cuối cùng [A, B] biểu thị các hệ thức giao hoán hoặc phản giao hoán

[A, B] = AB − ηBA (2.10)

với η = ±1. Dấu của η trong (2.8) và (2.10) được chọn là dương hay âm tùy thuộc vào mỗi bài toán. Người ta thường chọn dấu dương nếu A và B là các toán tử Bose và dấu âm nếu chúng là các toán tử Fermi, nhưng lựa chọn khác về dấu của η cũng khả dĩ. Nói một cách tổng quát, A và B không phải là các toán tử Bose cũng không phải là các toán tử Fermi, thì tích của các toán tử có thể thỏa mãn các hệ thức giao hoán phức tạp hơn. Dấu của η đối với các hàm Green nhiều thời điểm thường được xác định duy nhất, tùy thuộc vào giao hoán của các toán tử Fermi là chẵn hay lẻ trong các tích được xắp xếp lại theo trật tự thời gian.

Sử dụng các hệ thức (2.8) và (2.10) ta viết lại các hàm Green như sau

(2.11) Gc(t, t0) = −iθ(t − t0) hA(t)B(t0)i − iηθ(t0 − t) hB(t0)A(t)i

2.1 Phương pháp hàm Green

(2.12) Gr(t, t0) = −iθ(t − t0) {hA(t)B(t0)i − η hB(t0)A(t)i}

(2.13) Ga(t, t0) = iθ(t0 − t) {hA(t)B(t0)i − η hB(t0)A(t)i}

Cần lưu ý rằng trong trường hợp cân bằng thống kê các hàm Green Gc(t, t0), Gr(t, t0) và Ga(t, t0) phụ thuộc vào t và t0 chỉ qua t − t0. Biến đổi Fourier của các hàm Green được cho bởi

(2.14) G(t − t0) = G(ωn)e−iωn(t−t0)dωn (cid:2)

 

trong đó ωn là tần số Matsubara. Có thể chỉ ra rằng đối với Fermion chỉ có các thành phần Forurier của tần số lẻ mới khác không, và đối với Boson chỉ có các thành phần Forurier của tần số chẵn mới xác định. Điều này dẫn tới các kết quả [27] sau



(2.15) ; G(k, ωn) = đối với Boson 1 iωn − (cid:15)(k) ωn = (2n + 1)πT đối với Fermion ωn = 2nπT

Các kết quả này đặc biệt hữu ích khi chúng cho phép các tính toán trên hàm Green trở nên tự động, chúng ta sẽ gặp lại thường xuyên hơn trong các tính toán có liên quan đến kỹ thuật hàm Green ở các chương sau.

2.1.2. Phương trình chuyển động cho các hàm Green

Chúng ta sẽ thiết lập các phương trình chuyển động cho các hàm Green (2.1), (2.2) và (2.3). Với toán tử A(t) bất kỳ phương trình chuyển động có dạng

(2.16) i = AH − HA dA dt

vế bên phải của (2.16) có thể được viết lại chi tiết hơn bằng cách sử dụng dạng tường minh của Hamiltonian và các hệ thức giao hoán cho các toán tử. Lấy vi phân các hàm Green (2.1), (2.2) và (2.3) theo thời gian t ta nhận được phương trình

** i

i = i hhA; Bii = h[A(t), B(t0)]i + ; B(t0) (2.17) dG dt d dt dθ(t − t0) dt dA(t) dt

2.1 Phương pháp hàm Green

dt = − dθ(t)

. phương trình này là giống nhau cho cả ba hàm Green Gc, Gr và Ga bởi vì dθ(−t) Sử dụng hệ thức liên hệ giữa hàm bậc θ(t) và hàm delta δ(t)

−∞

(2.18) δ(t)dt θ(t) = (cid:2)

và phương trình chuyển động (2.16) đối với toán tử A(t) chúng ta có thể viết phương trình cho hàm Green dưới dạng

i = δ(t − t0) h[A(t), B(t0)]i + hhA(t)H(t) − H(t)A(t); B(t0)ii (2.19) dG dt

Từ số hạng cuối cùng trong phương trình (2.19), chúng ta có được một hàm Green khác mà chúng ta có thể viết ra được phương trình chuyển động của nó; quá trình tuần tự này sẽ dẫn chúng ta đến một hàm Green thậm chí còn phức tạp hơn. Theo cách này, chúng ta có được một chuỗi các phương trình kết hợp. Để có được một nghiệm cho tập hợp các phương trình này, ngoại trừ trong những trường hợp rất đơn giản, người ta cần phải phá vỡ chuỗi bằng cách thực hiện một số phép tính gần đúng, nghĩa là biến đổi nó thành một tập hợp hữu hạn các phương trình, mà sau đó có thể giải được. Tuy vậy, chỉ trong một số trường hợp giới hạn của các mô hình Hamiltonian mới khả dĩ để thực hiện trên chuỗi các phương trình đó một sự tách chuỗi tiệm cận với độ chính xác khi V → ∞. Các phương trình (2.19) là chính xác và lời giải của chuỗi phương trình này là cực kỳ phức tạp để tổng quát hóa. Hiện thời không có một sự mô tả chung cho một sự tách chuỗi như vậy.

Trong định nghĩa các hàm Green ở trên xuất hiện các trung bình theo tập hợp thống kê của tích các toán tử trong biểu diễn Heisenberg, có dạng

(2.20) FAB(t, t0) = hA(t)B(t0)i ;FBA(t, t0) = hB(t0)A(t)i

 

ta sẽ gọi các trung bình này là các hàm tương quan, chúng là những đại lượng quan trọng trong vật lý thống kê. Phương trình chuyển động của các hàm tương quan này là



(2.21) FAB(t, t0) = h{A(t)H(t) − H(t)A(t)} B(t0)i FBA(t, t0) = hB(t0) {A(t)H(t) − H(t)A(t)}i i d dt i d dt

Các hàm tương quan có thể được tính hoặc bằng cách tích phân trực tiếp phương trình (2.21) kèm theo các điều kiện biên, hoặc gián tiếp bằng cách trước hết tính các hàm Green từ phương trình (2.19). Cách thứ hai thường được sử dụng hơn vì người ta có thể dùng các định lý về phổ của hàm Green để làm thỏa mãn các điều kiện biên.

2.1 Phương pháp hàm Green

2.1.3. Ứng dụng của hàm Green cho lý thuyết siêu dẫn và sắt từ

2, 2, 5

2, 1, 3

Hàm Green nhân quả đã sớm được Abrikosov và Gor’kov áp dụng cho lý thuyết siêu dẫn trong các công trình được ấn bản vào những năm 1958-1959 [35, 3, 4]. Các hàm Green trễ và hàm Green sớm [93] cũng đã được Zubarev dùng để mô tả siêu dẫn BCS dựa trên mô hình Hamiltonian như đề xuất của Bogolyubov. Bogolyubov và Tyablikov [17] đã áp dụng kỹ thuật này cho lý thuyết sắt từ Heisenberg đối với trường hợp tất cả spin có spin − 1 2, và sau đó Tahir-Kheli and Ter Haar [84] mở rộng ra cho các trường hợp có spin S = 1 2 và 3. Năm 2013, Brhane và cộng sự [37] đã mô tả sự đồng tồn tại của các pha siêu dẫn và sắt từ trong HoM o6S8 nhờ thiết lập các phương trình chuyển động cho hàm Green trễ...Trong phần này, chúng tôi sẽ đưa ra các ví dụ về tính toán bằng cách sử dụng các hàm Green. Trong mục 2.1.3.1 chúng tôi tóm tắt công trình của Zubarev [93] trên hệ siêu dẫn BCS sử dụng kỹ thuật hàm Green. Trong mục 2.1.3.2 chúng tôi mô tả công trình của Bogolyubov và Tyablikov [17] cho sắt từ Heisenberg.

2.1.3.1. Áp dụng cho lý thuyết siêu dẫn

Người ta thường phát triển một lý thuyết vi mô về siêu dẫn bắt đầu từ mô hình Hamiltonian BCS, trong đó sự tương tác electron-phonon được thay thế bằng một tương tác electron-electron trực tiếp, và chỉ tính đến sự tương tác của các cặp các electron có mô men và spin đối song. Tương tác này được chỉ ra là tương tác cơ bản chịu trách nhiệm cho hiện tượng siêu dẫn. Trong tài liệu tham khảo [16], lý thuyết siêu dẫn được phát triển bắt đầu từ Hamilton chính xác của Frohlich trong đó sự phát xạ và hấp thụ của các phonon mạng được tính đến một cách tường minh, khả năng thay thế Hamiltonian của Frohlich bởi một mô hình Hamiltonian [16] là đặc biệt đặt trên một cơ sở vững chắc và sự lựa chọn các thông số của nó đã được thực hiện chính xác hơn. Trong mục này chúng tôi sẽ trình bày vắn tắt công trình [93] mà Zubarev đã áp dụng các hàm Green sớm và hàm Green trễ cho siêu dẫn dựa trên một mô hình Hamiltonian loại như trên.

Hamiltonian được xem xét có dạng

f a†

−f a−f 0af 0

f af −

f,f 0

2 và − 1

J(f, f 0)a† H = X Tf a† (2.22) 1 2V

trong đó f = (k, σ), −f = (−k, −σ), σ là chỉ số spin lấy hai giá trị + 1 2, k là xung lượng, Tf = k2/2m − µ, µ là thế hóa học, a† f và af là các toán tử sinh và hủy điện tử thỏa mãn các hệ thức giao hoán tuân theo thống kê Fermi-Dirac. J(f, f 0) là hàm thực có các tính chất

(2.23) J(f, f 0) = {J(k, k0)δσ−σ0 − J(k, −k0)δσ+σ0} 1 2

2.1 Phương pháp hàm Green

Đưa vào hàm Green

f (t0)

;(η = −1), (2.24) Gf (t − t0) = af (t); a†

và viết phương trình chuyển động cho nó ta nhận được

−f a−f 0af 0; a† a†

f (t0)

f 0

i J(f, f 0) . = δ(t − t0) + Tf Gf − (2.25) dGf dt 1 V

Phương trình này cũng chứa cả hàm Green hai thời điểm mới

−f (t)a−f 0(t)af 0(t); a† a†

f (t0)

. (2.26) Γf f 0(t − t0) =

Xây dựng phương trình chuyển động cho hàm Green mới này, bỏ qua tính chính xác tiệm cận trong phương trình này, và đồng thời thực hiện phép biến đổi Fourier cho hai hàm Green Gf (t − t0) và Γf f 0(t − t0), ta nhận được hệ phương trình cho Gf (E) và Γf f 0(E)

J(f, f 0)Γf f 0 + Tf Gf − EGf = 1 2π 1 V

−ga−f 0af 0

D ga† a†

f 0 1 V

J(f, g) EΓf f 0 = (2Tf 0 − Tf )Γf f 0 − Gf (2.27)

− J(f 0, g) (1 − ¯n−f 0 − ¯nf 0) Γf g. 1 V

Nghiệm của phương trình (2.27) có thể được tìm dưới dạng

−ga−f 0af 0

−g

ga† a†

D ga† a†

(2.28) = ha−f 0af 0i = AgAf 0;Γf f 0 = Γf Af 0.

Thực vậy, nếu chúng ta đặt

(2.29) 2Tf 0 + Lf 0 = 0 1 − 2¯nf 0 Af 0

và đưa vào ký hiệu

J(f, g)Ag Lf = − (2.30) 1 V

2.1 Phương pháp hàm Green

 

thì ta sẽ nhận được hệ phương trình cho Gf và Γf như sau



(2.31) (E − Tf ) Gf − Lf Γf = 1 2π (E + Tf ) Γf − Lf Gf = 0

(

)

Giải tập hợp các phương trình (2.31) ta nhận được

1 + + 1 − , Gf (E) = 1 E + ωf (2.32) Tf ωf ( Tf ωf ) − Af 0Lf Γf f 0(E) = 1 4π 1 4πωf 1 E − ωf 1 E − ωf 1 E + ωf

trong đó

f + L2 T 2 f

(2.33) ωf =

biểu diễn phổ các kích thích cơ bản,

và

tanh (2.34) Af = − ωf 2θ Lf 2ωf

J(f, g) tanh Lf = − (2.35) ωg 2θ 1 V Lg 2ωg

đóng vai trò hàm khe trong phổ các kích thích cơ bản.

(

)

Ta cũng có thể dễ dàng tính được số chiếm trung bình và năng lượng trung bình như sau

1 − (2.36) tanh ¯nf = 1 2 ωf 2θ Tf ωf

hHi = 1 − − tanh tanh Tf (2.37) 1 2 ωf 2θ 1 2 ωf 2θ Tf ωf L2 f 2ωf

2.1 Phương pháp hàm Green

2.1.3.2. Áp dụng cho lý thuyết sắt từ

Bogolyubov và Tyablikov [17] đã áp dụng các hàm Green sớm và hàm Green trễ cho nhiệt động lực học của sắt từ. Sau đây chúng tôi sẽ trình bày vắn tắt theo các bài báo của họ.

Theo như mô hình Heisenberg, một tinh thể sắt từ trong từ trường có thể được mô tả bởi Hamiltonian được biểu diễn dưới dạng các toán tử spin

f −

f1Sα f2

f1f2α

Sz J(f1 − f2)Sα H = −µBH X (2.38) 1 2

trong đó Sα f là thành phần α của spin của điện tử nằm ở nút mạng f . J(f1 − f2) là tích phân trao đổi được giả thiết có giá trị dương. H là từ trường ngoài hướng theo trục z, và µB là Bohr magneton. Tổng được lấy theo tất cả các nút khác với f , vì thế có thể đặt J(0) = 0. Ta giả sử thêm rằng mỗi nút mạng chỉ có một điện tử.

 

(cid:17)

Thay các toán tử spin bằng các toán tử Pauli



f = bf + b† Sx (cid:16) Sy f = i f = 1 − 2b† Sz

f b† f − bf f bf

(2.39)

(cid:17)2

(cid:16)

các toán tử này tuân theo các hệ thức giao hoán

f + b† bf b†

f = gbf = 0,

f bf = 1, b2 g − b†

bf b† b† f = 0 ) (2.40) nếu f 6= g bf bg − bgbf = bf bg − bgbf = 0

Các hệ thức giao hoán cho các toán tử Pauli này thuộc loại Fermi đối với các vị trí mạng như nhau và thuộc loại Bose đối với các vị trí khác.

Hamiltonian (2.38) trở thành

f1bf2 − X

f1f2

H = −N µBH + + (2µBH + 2J(0)) X b† f bf J(0) 2 (2.41) 2J(f1 − f2)b† 2J(f1 − f2)nf1nf2 − X f1f2

f J(f ), và N là số nút mạng tinh thể. Toán tử nf

trong đó J(0) = P

f bf

(2.42) nf = b†

2.1 Phương pháp hàm Green

là số điện tử với các spin bên trái tại nút f .

f (t0)

Đưa vào các hàm Green (η = 1)

f (t0)

(2.43) . Gg,f (t − t0) = Gg1g2,f (t − t0) = bg(t); b† , ng1(t)bg2(t); b†

Lấy đạo hàm các hàm Green này theo thời gian và sử dụng các phương trình chuyển động của các toán tử bg, ng ta nhận được phương trình chuyển động của các hàm Green Gg,f

i = (1 − 2¯n) δ(t − t0) + [2µBH + 2J(0)] Gg,f − X 2J(g − p)Gp,f dGg,f dt (2.44) + X 4J(g − p) (Ggp,f − Gpg,f )

Tiếp theo ta giới hạn ở gần đúng bậc nhất, và tách chuỗi các phương trình Green như sau

f (t0)

(2.45) Ggp,f (t − t0) = ng(t)bp(t); b† = hngi bp(t); b† = ¯ngGp,f (t − t0)

khi đó phương trình (2.44) có dạng

i = [2µBH + (1 − 2¯n) 2J(0)] Gg,f − X (1 − 2¯n) 2J(g − p)Gp,f dGg,f dt (2.46)

+ (1 − 2¯n) δ(t − t0)δgf ,

phương trình này không còn chứa hàm Green bậc cao hơn nữa.

+∞

Thực hiện phép biến đổi Fourier đối với hàm Green

−∞

(2.47) Gg,f (t) = Gg,f (E)e−iEtdE, (cid:2)

và viết lại phương trình (2.46) dưới dạng

(1 − 2¯n) δgf + [2µBH + (1 − 2¯n) 2J(0)] Gg,f EGg,f = (2.48) 1 2π − X (1 − 2¯n) 2J(g − p)Gp,f

2.2 Phương pháp tích phân phiếm hàm

Giải phương trình này ta nhận được hàm Green

(2.49) Gq(E) = 1 2π 1 − 2¯n E − Eq

trong đó Gq(E) là ảnh Fourier của Gg,f (E)

Gg,f (E) = ei(g−f )qGq(E), (2.50) 1 N

q

và

Eq = 2µBH + (1 − 2¯n) 2 (J(0) − J(q)) , (2.51) J(q) = X J(f )eifq.

f

Từ đây ta cũng nhận được hàm tương quan và

E b† f (t0), bg(t)

= (2.52) 1 N

q

ei(g−f )qe−iEq(t−t0) 1 − 2¯n Eq θ − 1 e

từ phương trình này ta có thể xác định tham số độ từ hóa σ

σ = = 1 − 2¯n, (2.53) Sz g

thỏa mãn phương trình

coth = dq (2.54) 1 σ 1 + σ (1 − i(q)) τ v (2π)3 (cid:2)

trong đó h, τ, i(q) tương ứng là từ trường, nhiệt độ, tích phân trao đổi không thứ nguyên được xác định như sau

h = ,τ = i(q) = , . (2.55) µBH J(0) θ J(0) J(q) J(0)

2.2. Phương pháp tích phân phiếm hàm

Phương pháp tích phân phiếm hàm đã được áp dụng rộng rãi trong vật lý lý thuyết trong những thập niên gần đây. Phương pháp này được xây dựng trên khái niệm tích phân theo các quỹ đạo mà Feynman đưa vào vật lý để phát biểu lại cơ học lượng tử

2.2 Phương pháp tích phân phiếm hàm

bằng ngôn ngữ quen thuộc hơn. Sau đó nó đã được sử dụng trong vật lý thống kê và cuối cùng cho lý thuyết trường lượng tử. Nó có một loạt tính chất ưu việt hơn các phương pháp khác như: sự tổng quát, thuận tiện cho những lớp rộng rãi các hệ, bao gồm cả những hệ không chính tắc, lượng tử hóa các trường vật lý phức tạp. Các quy tắc về kỹ thuật giản đồ Feynman đã được phát triển trong điện động lực học lượng tử đầu tiên dựa trên tích phân quỹ đạo. Ưu việt của nó ở chỗ nó cho phép thiết lập sự tổng quát của lý thuyết trường và vật lý thống kê lượng tử, cùng với việc sử dụng các phương pháp tính toán vượt ra khỏi lý thuyết nhiễu loạn thông thường. Điều này cho phép khả năng nghiên cứu các cấu trúc phức tạp của cả hai lý thuyết trên và đặc biệt là các lý thuyết trường chuẩn trong việc mô tả tương tác của các hạt cơ bản.

Trong mục này chúng tôi có hai mục tiêu:

(i) Tính hàm phân bố của hệ. Động cơ là chỉ ra rằng các trung bình lượng tử của các hệ nhiều hạt trong cân bằng nhiệt động có thể được tính bằng cách sử dụng tích phân phiếm hàm theo các cấu hình trường.

(ii) Thực hiện phép biến đổi HS-để cung cấp một hình thức luận nghiêm khắc, chặt chẽ ở đó lý thuyết hiện tượng luận GL có thể được liên hệ với một lý thuyết vi mô cơ bản.

2.2.1. Biến số Grassmann

Theo đòi hỏi của thống kê Fermi-Dirac tích phân phiếm hàm cho các hệ fermion phải chứa các hàm phản giao hoán. Để phù hợp với đặc điểm này ta cần thiết phải đưa vào các biến phản giao hoán gọi là các biến số Grassmann. Đại số Grassmann được xây dựng bằng một tập hợp các hàm sinh, ký hiệu là {ψα} với α = 1, . . . , n, phản giao hoán

(2.56) ψαψβ + ψβψα = 0,

đặc biệt

α = 0

ψ2 (2.57)

Cơ sở của đại số Grassmann được tạo ra bởi tất cả các tích khác nhau của các hàm sinh Vì một số trong đại số Grassmann là một tổ hợp tuyến tính với các hệ số phức của các số {1, ψα1, ψα1ψα2, . . . , ψα1ψα2 · · · ψαn} trong đó quy ước rằng các chỉ số αi được xắp thứ tự α1 < α2 < . . . < αn. Số chiều của một đại số Grassmann với n hàm sinh là 2n bởi vì các phần tử cơ sở khác nhau được sinh ra bởi hai khả năng bao gồm 0 hoặc 1 lần xuất hiện trong mỗi tích n hàm sinh. Vì vậy, một biểu diễn ma trận của các số Grassmann đòi hỏi các ma trận có tối thiểu 2n × 2n chiều. Trong một đại số với một số chẵn n = 2p các hàm sinh, có thể định nghĩa một sự liên hợp các toán tử theo cách

2.2 Phương pháp tích phân phiếm hàm

sau. Chọn một tập hợp p hàm sinh ψα và với mỗi hàm sinh ψα ta liên hợp với nó một hàm sinh, ký hiệu là ψ∗ α, các tính chất sau xác định sự liên hợp:

α)∗ = ψα,

(ψ∗ (2.58) (ψα)∗ = ψ∗ α;

nếu λ là một số phức thì

(2.59) (λψα)∗ = λ∗ψ∗ α,

và với tích bất kỳ các hàm sinh

αnψ∗

αn−1 · · · ψ∗

α1.

(2.60) (ψα1ψα2 · · · ψαn)∗ = ψ∗

Phép lấy đạo hàm theo biến Grassmann được định nghĩa đồng nhất với phép đạo hàm theo biến số phức ngoại trừ thứ tự lấy đạo hàm. Toán tử đạo hàm ∂ψ tác dụng lên ψ phải là phản giao hoán đến tận khi nó sát với ψ, chẳng hạn

(ψ) = −ψ∗ (2.61) ∂ ∂ψ (ψ∗ψ) = −ψ∗ ∂ ∂ψ

Phép lấy tích phân theo các biến Grassmann được định nghĩa là một phép ánh xạ tuyến tính có các tính chất cơ bản của tích phân thông thường khi các hàm triệt tiêu ở vô cùng là: tích phân của một vi phân chính xác thì bằng không. Điều này kéo theo tích phân của 1 bằng 0, vì 1 là đạo hàm của ψ. Chỉ có tích phân của ψ là không triệt tiêu vì ψ không là một đạo hàm,

dψ1 = 0; dψψ = 1 (2.62) (cid:2) (cid:2)

Dễ dàng chứng minh được tích phân Gaussian cho các biến Grassmann được cho bởi biểu thức

dψ∗dψe−ψ∗Aψ = det A (2.63) (cid:2)

trong đó A là một ma trận Hecmit.

2.2 Phương pháp tích phân phiếm hàm

2.2.2. Hamiltonian và hình thức luận

Trong hình thức luận tích phân phiếm hàm, hàm phân bố của hệ nhiều hạt tại nhiệt độ tuyệt đối T có dạng tổng quát:

(

Z = Tr exp {−β [H − µN ]}

) i

i D ¯ψ

(2.64) dτ L h ψ, ¯ψ, τ , [Dψ] exp − = (cid:2) (cid:2) 0

trong đó L h ψ, ¯ψ, τ là Lagrangian được cho bởi

L h ψ, ¯ψ, τ ψ, ¯ψ, τ ψ, ¯ψ, τ , (2.65) =L0 + Lint

với

" ∂ ∂τ

(2.66) − − µ ψ, ¯ψ, τ = dx X L0 ¯ψσ(x, τ ) ψσ(x, τ ) (cid:2) ∇2 2m

và

αβγδ (cid:2)

kBT , τ là thời gian ảo

ψ, ¯ψ, τ = X dy Lint dz ¯ψα(y, τ ) ¯ψβ(z, τ )Vαβγδ(y − z)ψδ(z, τ )ψγ(y, τ ) (2.67) (cid:2)

lần lượt là Lagrangian tự do và Lagrangian tương tác, còn β = 1 có giá trị từ 0 đến β, µ là thế hóa học.

 

 

Gọi F0 là hàm phân bố của hệ fermions tự do, ta có



  

 

− ψ, ¯ψ, τ DψD ¯ψ exp dτ L0 F0 = (cid:2) (cid:2) 0 (2.68)

" ∂ ∂τ





DψD ¯ψ exp − dτ = dx X − − µ ¯ψσ(x, τ ) ψσ(x, τ ) (cid:2) (cid:2) ∇2 2m (cid:2) 0

Đưa vào các kí hiệu

{x, τ } −→ x; {x0, τ 0} −→ x0

dx0 −→ dx0 dτ 0 dτ dx −→ dx; (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (2.69) (cid:2) 0

(cid:2) 0 δ(x − x0)δ(τ − τ 0) −→δ(x − x0) G(x − x0, τ − τ 0) −→G(x − x0),

2.2 Phương pháp tích phân phiếm hàm

(

)

hàm phân bố của hệ fermion tự do (2.68) được viết lại như sau

" ∂ ∂τ

DψD ¯ψ exp − dx X − − µ . (2.70) F 0 = ¯ψσ(x) ψσ(x) (cid:2) (cid:2) ∇2 2m

(

)

Đưa vào phiếm hàm sinh

DψD ¯ψ exp − dx X − µ − ¯ψσ(x) F 0 [η, ¯η] = ψσ(x) (cid:2) (cid:2) ∇2 2m (2.71)

" ∂ ∂τ (cid:17) (cid:16) ¯ψσ(x)ησ(x) + ¯ησ(x)ψσ(x)

× exp dx X , (cid:2)

và gọi Gσσ0(x − x0) là nghiệm của phương trình

" ∂ ∂τ

(2.72) − − µ Gσσ0(x − x0) = δσσ0δ(x − x0), ∇2 2m

tịnh tiến các biến tích phân của phiếm hàm (2.71)

(2.73) ψσ(x) −→ ψσ(x) − ¯ψσ(x) −→ ¯ψσ(x) − dx0 Gσσ0(x − x0)ησ0(x0) dx0 ¯ησ0(x0)Gσ0σ(x0 − x), (cid:1) (cid:1)

" ¯ψσ(x) −

# ∂ ∂τ

− − µ dx0 ¯ησ0(x0)Gσ0σ(x0 − x) (cid:2) ∇2 2m

# dx00Gσσ00(x − x00)ησ00(x00)

× ψσ(x) − (cid:2)

∂ ∂τ

− − µ − − µ ψσ(x) − dx0 ¯ησ0(x0)Gσ0σ(x0 − x) ψσ(x) = ¯ψσ(x) (cid:2) ∇2 2m

− − µ − ¯ψσ(x) dx00 Gσσ00(x − x00)ησ00(x00) (cid:2) ∇2 2m ∂ ∂τ ∇2 2m

∂ ∂τ

+ − − µ dx0 ¯ησ0(x0)Gσ0σ(x0 − x) dx00 Gσσ00(x − x00)ησ00(x00) (cid:2) ∇2 2m

− µ − ψσ(x) − ¯ησ(x)ψσ(x) − ¯ψσ(x)ησ(x) = ¯ψσ(x) (cid:2) ∂ ∂τ ∇2 2m

+ dx0 ¯ησ0(x0)Gσ0σ(x0 − x)ησ(x), (cid:2)

(2.74)

2.2 Phương pháp tích phân phiếm hàm

(

)

ta nhận được

" ∂ ∂τ

)

(

)

DψD ¯ψ exp − − − µ dx X F 0 = ¯ψσ(x) ψσ(x) (cid:2) (cid:2) ( dx X × exp (2.75) ∇2 2m (cid:17) (cid:16) ¯ψσ(x)ησ(x) + ¯ησ(x)ψσ(x) (cid:2)

× exp − dx ¯ησ0(x0)Gσ0σ(x0 − x)ησ(x) (cid:2) (cid:2) dx0 X σσ0

)

(

Từ (2.75) và (2.71) ta có thể viết

. (2.76) dx F 0 [η, ¯η] = F 0 exp ¯ησ(x)Gσσ0(x − x0)ησ0(x0) (cid:2) (cid:2) dx0 X σσ0

 

 

Hàm phân bố của hệ fermion có tương tác khi đó được biểu diễn qua phiếm hàm sinh của hệ fermion tự do như sau





(2.77) dτ , − Z = exp F 0 [η, ¯η] |η=¯η=0 Hint δ δηβ(x) δ δ ¯ηα(x) (cid:2) 0

2.2.3. Áp dụng cho hệ siêu dẫn BCS

Nhằm chỉ ra phương pháp chung để liên hệ lý thuyết GL với một lý thuyết vi mô cơ bản, trong mục này chúng tôi mô tả một số tính toán chi tiết của chính các tác giả bằng công cụ tích phân phiếm hàm trên mô hình siêu dẫn BCS.

Đối với hệ siêu dẫn BCS, Hamiltonian của hệ cho bởi

H = H0 + H1

σ (x)

dxψ† − − µ H0 = X ψσ (x) ∇2 2m (2.78)

α (y) ψ†

β (z) ψβ (z) ψα (y)

σ={↑↓} (cid:2) H1 = −g2 X αβ (cid:2)

dydzψ†

trong đó g2 là một hằng số tương tác dương (tương tác hút) giữa các điện tử có spin hướng lên (↑) và hướng xuống (↓) còn µ là thế hóa học.

2.2 Phương pháp tích phân phiếm hàm

 

 

Hàm phân bố của hệ siêu dẫn là

h ψ, ¯ψ, τ





 

 

DψD ¯ψ exp Z = − dτ L0 (cid:2) (cid:2) 0 (2.79)

αβ





αβ(y, z, τ ) phản đối xứng dưới sự

× exp g2 X dτ dy . dz ¯ψα(y, τ ) ¯ψβ(z, τ )ψβ(z, τ )ψα(y, τ ) (cid:2) (cid:2) (cid:2) 0

Đưa vào trường phụ vô hướng phức Φβα(z, y, τ ), Φ∗ hoán vị đồng thời các tọa độ không gian và các chỉ số spin

αβ(y, z, τ ) = − Φ∗

(2.80) Φβα(z, y, τ ) = − Φαβ(y, z, τ ), Φ∗ βα(z, y, τ ),

và đặt

αβ(y, z, τ )Φβα(z, y, τ )]

0 =

αβ

dτ dy dz X Φ∗ (2.81) Z Φ DΦDΦ∗ exp[−κ2 (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) 0

trong đó κ là hằng số có thứ nguyên của khối lượng được đưa vào để có thứ nguyên đúng với Φ, dĩ nhiên kết quả vật lý sẽ không phụ thuộc vào κ.

Trong phiếm hàm (2.81) thực hiện phép dịch chuyển các biến tích phân

αβ(x, y, τ ) −→ κΦ∗

(2.82) κΦβα(z, y, τ ) −→ κΦβα(z, y, τ ) − gψβ(z, τ )ψα(y, τ ) αβ(x, y, τ ) − g ¯ψα(y, τ ) ¯ψβ(z, τ ), κΦ∗

Dưới sự trợ giúp của phép biến đổi HS, tương tác 4-fermion có thể được biểu diễn dưới dạng trường phụ liên hợp của cặp fermion như sau

  −

 dτ H1( ¯ψ, ψ)  

exp

(cid:2) 0

 −κ2

 αβ(y, z, τ )Φβα(z, y, τ ) 

αβ

 

dτ dy dz X DΦDΦ∗ exp Φ∗ = (cid:2) (cid:2) (cid:2) 1 Z Φ 0 (cid:2) (2.83)

h ¯ψα(y, τ ) ¯ψβ(z, τ )Φβα(z, y, τ )

αβ



# 

dτ dy dz × exp gκ X (cid:2) (cid:2) (cid:2) 0

αβ(y, z, τ )ψβ(z, τ )ψα(y, τ )



+ Φ∗

2.2 Phương pháp tích phân phiếm hàm

Hàm phân bố (2.79) trở thành

 −κ2

 αβ(y, z, τ )Φβα(z, y, τ ) 

αβ

 

 

Z = DΦDΦ∗ exp dτ dy dz X Φ∗ (cid:2) (cid:2) (cid:2) 1 Z Φ 0 (cid:2)

h ψ, ¯ψ, τ





 

DψD ¯ψ exp × − dτ L0 (cid:2) (cid:2) 0

  ¯ψα(y, τ ) ¯ψβ(z, τ )Φβα(z, y, τ )



αβ

 

× exp gκ X dτ dy dz (cid:2) (cid:2) (2.84) (cid:2) 0

 αβ(y, z, τ )ψβ(z, τ )ψα(y, τ ) 



+ Φ∗

DΦDΦ∗F [Φ, Φ∗] = 1 Z Φ 0 (cid:2)

 −κ2

  , αβ(y, z, τ )Φβα(z, y, τ )

αβ

dτ dy dz X Φ∗ × exp (cid:2) (cid:2) (cid:2)

trong đó

 

 

F [Φ, Φ∗]





 

− ψ, ¯ψ, τ DψD ¯ψ exp = dτ L0 (cid:2) (cid:2) 0

  ¯ψα(y, τ ) ¯ψβ(z, τ )Φβα(z, y, τ )



αβ

 

dτ dy dz gκ X × exp (cid:2) (cid:2) (cid:2) 0

 αβ(y, z, τ )ψβ(z, τ )ψα(y, τ ) 



(2.85) + Φ∗

Biểu thức này mô tả hệ fermion hiệu dụng bậc hai kết cặp với các trường phụ được đưa vào bởi phép biến đổi HS. Các trường phụ mới thỏa mãn điều kiện

(2.86) Φαβ(y, z, τ ) = gψα(y, τ )ψβ(z, τ ),

và tuân theo tính chất hermitan

βα(z, y, τ ).

(2.87) Φαβ(y, z, τ )∗ = Φ∗

2.2 Phương pháp tích phân phiếm hàm

(

)

(cid:17)

Bởi vì

(cid:16) ¯ψσ(x)ησ(x) + ¯ησ(x)ψσ(x)

)

(cid:17) (cid:16) ¯ψσ(x)ησ(x) + ¯ησ(x)ψσ(x)

(

)

(cid:17)

exp dx X δ δ ¯ηα(y) (2.88) (cid:2) ( dx X = ψα(y) exp (cid:2)

(cid:16) ¯ψσ(x)ησ(x) + ¯ησ(x)ψσ(x)

(

)

exp dx X (cid:2) δ δηα(y) (2.89)

(cid:17) (cid:16) ¯ψσ(x)ησ(x) + ¯ησ(x)ψσ(x)

)

(

(cid:17)

dx X = − ¯ψα(y) exp (cid:2)

(cid:16) ¯ψσ(x)ησ(x) + ¯ησ(x)ψσ(x)

)

(

(cid:17)

dx X exp (cid:2) δ2 δ ¯ηβ(z)δ ¯ηα(y) (2.90)

(cid:16) ¯ψσ(x)ησ(x) + ¯ησ(x)ψσ(x)

(

)

(cid:17)

dx X = −ψσ(y)ψβ(z) exp (cid:2)

(cid:16) ¯ψσ(x)ησ(x) + ¯ησ(x)ψσ(x)

)

(

exp dx X (cid:2) δ2 δηβ(z)δηα(y) (2.91)

(cid:17) (cid:16) ¯ψσ(x)ησ(x) + ¯ησ(x)ψσ(x)

dx X = − ¯ψα(y) ¯ψβ(z) exp (cid:2)

cho nên nếu thực hiện sự thay thế

¯ψα(y) ¯ψβ(z) −→ −

(2.92)

ψα(y)ψβ(z) −→ − δ2 δηβ(z)δηα(y) δ2 δ ¯ηβ(z)δ ¯ηα(y)

2.2 Phương pháp tích phân phiếm hàm

ta có thể viết lại (2.85) như sau:

(

)

F [Φ, Φ∗]

" ∂ ∂τ

 

 

DψD ¯ψ exp = − dx X − − µ ¯ψσ(x) ψσ(x) (cid:2) (cid:2) ∇2 2m

h ¯ψα(y) ¯ψβ(z)Φβα(z, y) + Φ∗

i αβ(y, z)ψβ(z)ψα(y)





αβ (cid:2)

 

gκ X × exp dy dz (cid:2)



αβ (cid:2)

# 

gκ X = exp dy dz − Φβα(z, y) (cid:2) δ2 δηβ(z)δηα(y)

αβ(y, z)

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)η=¯η=0



 

# 

− Φ∗ F0 [η, ¯η] δ2 δ ¯ηβ(z)δ ¯ηα(y)

αβ(y, z)





αβ (cid:2)

−gκ X dy dz = F0 exp Φβα(z, y) + Φ∗ δ2 δηβ(z)δηα(y) (cid:2) ( × exp dx ¯ησ(x)Gσσ0(x − x0)ησ0(x0) (cid:2) (cid:2) δ2 δ ¯ηβ(z)δ ¯ηα(y) ) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)η=¯η=0 dx0 X σσ0 (2.93)





∞ X

Trong khai triển hàm mũ chứa Φ, Φ∗ của biểu thức (2.93) các số hạng bậc m của nó có dạng (a + b)m, sau khi các phép lấy đạo hàm được thực hiện ta đặt η = ¯η = 0 thì trong (2.93) chỉ còn lại các số hạng bậc chẵn chứa số bằng nhau các hàm Φ và Φ∗





βα(z, y)

n=0 



(gκ)2n dy dzΦ∗ F [Φ, Φ∗] =F0 (cid:2) 1 (2n)! (2n)! n!n! δ2 δ ¯ηα(y)δ ¯ηβ(z)





X αβ (cid:2) δ2 δηβ0(z0)δηα0(y0)

X α0β0 (cid:2)

(

(2.94) dy0 dz0 × Φα0β0(z0, y0) (cid:2)

) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)η=¯η=0

dx × exp ¯ησ(x)Gσσ0(x − x0)ησ0(x0) (cid:2) (cid:2) dx0 X σσ0

Vì các chỉ số tọa độ và spin đều biến thiên theo cùng một quy luật nên để đơn giản cách viết ta chỉ viết theo chỉ số spin và quy ước khi một chỉ số được lặp lại hai lần trong một biểu thức tích thì có nghĩa là lấy tổng theo chỉ số đó, khi đó một số bậc đầu tiên (xem chi tiết trong phụ lục A) của (2.94) là:

(cid:19)

(2.95) Φ∗GΦGT , = F0(2gκ)2 Φ∗GΦGT (cid:17) F (2) = 2F0(gκ)2 (cid:16) (cid:18) 1 2

)

(

(cid:16)

2.2 Phương pháp tích phân phiếm hàm

Φ∗GΦGT (cid:17)2 − 2 Φ∗GΦGT Φ∗GΦGT (cid:17) F (4) = 2F0(gκ)4

(cid:18)

(cid:19)2

(2.96)

(cid:19)) ,

( 1 2!

(cid:18) 1 2

(

(cid:16)

+ − Φ∗GΦGT Φ∗GΦGT Φ∗GΦGT = F0(2gκ)4 1 4

)

(cid:16)

− 288 Φ∗GΦGT (cid:17) (cid:16) (cid:16) Φ∗GΦGT Φ∗GΦGT (cid:17) Φ∗GΦGT (cid:17)3 48 F (6) =F0(gκ)6 1 3!3!

+ 384 Φ∗GΦGT Φ∗GΦGT Φ∗GΦGT (cid:17)

(cid:19)3

(cid:19) (cid:18)

(cid:19)

(2.97)

( 1 3!

(cid:18) 1 2

(cid:19)) ,

Φ∗GΦGT + Φ∗GΦGT − Φ∗GΦGT Φ∗GΦGT =F0(2gκ)6 1 4

(cid:18) 1 2 (cid:18) 1 6

(cid:19)2 (cid:18)

(cid:19)

(cid:19)4

+ Φ∗GΦGT Φ∗GΦGT Φ∗GΦGT

( 1 4!

(cid:18) 1 2

(cid:18)

(cid:19)

(cid:19)2

Φ∗GΦGT + Φ∗GΦGT − Φ∗GΦGT Φ∗GΦGT F (8) = F0(2gκ)8 1 4

(cid:19) (cid:18) 1 6

(cid:19))

(cid:18)

+ − Φ∗GΦGT Φ∗GΦGT + Φ∗GΦGT Φ∗GΦGT Φ∗GΦGT Φ∗GΦGT 1 2 1 4 1 2 (cid:18) 1 2

Φ∗GΦGT Φ∗GΦGT Φ∗GΦGT Φ∗GΦGT + − 1 8

(2.98)

∞ X

Lưu ý rằng:

n=1

(2gκ)2 (cid:16) − (2gκ)4 (cid:16) Φ∗GΦGT (cid:17) Φ∗GΦGT Φ∗GΦGT (cid:17) 1 + F (2n) =F0 exp

)

(2.99) 1 4 Φ∗GΦGT Φ∗GΦGT Φ∗GΦGT (cid:17) +

(1 2 1 (2gκ)6 (cid:16) 6 1 8

+ · · · , − Φ∗GΦGT Φ∗GΦGT Φ∗GΦGT Φ∗GΦGT (cid:17) (2gκ)8 (cid:16)

ta nhận được kết quả:

) Φ∗GΦGT (cid:17)i

(1 2

Tr ln 1 + (2gκ)2 (cid:16) (2.100) F [Φ, Φ∗] =F0 exp

2.2 Phương pháp tích phân phiếm hàm

Như vậy hệ hiệu dụng bậc hai F [Φ, Φ∗] ở trên có thể được tính một cách chính xác bằng phương pháp tích phân phiếm hàm theo các biến Grassmann của các điện tử và có thể biểu diễn dưới dạng hình thức như (2.100).

Bây giờ đưa vào một hàm nguồn cho trường Φ có dạng

 

 

Z [j, j∗]





= DψD ¯ψDΦDΦ∗ exp − ψ, ¯ψ, τ dτ L0

(cid:2) 0

 αβ(y, z, τ )Φβα(z, y, τ ) 

αβ

 

× exp dτ dx dy X Φ∗ 1 Z Φ 0 (cid:2)  −κ2 (cid:2) (cid:2) (cid:2)

" ¯ψα(y, τ ) ¯ψβ(z, τ )Φβα(z, y, τ )



αβ

# 

× exp gκ X dτ dy dz (cid:2) (cid:2) (2.101) (cid:2) 0

αβ(y, z, τ )ψβ(z, τ )ψα(y, τ )



 

+ Φ∗

" j∗ αβ(y, z, τ )Φβα(z, y, τ )



αβ

# 

dτ dy dz gκ X × exp (cid:2) (cid:2) (cid:2) 0

αβ(y, z, τ )jβα(y, x, τ )



+ Φ∗

Hàm phân bố bây giờ là

(cid:12) (cid:12) (cid:12)j=j∗=0

Z = Z [j, j∗] (2.102)

Đặt (2.85) vào (2.101), ta có

Z [j, j∗]

 −κ2

 αβ(y, z, τ )Φβα(z, y, τ ) 

αβ

 

dτ dy dz X DΦDΦ∗F [Φ, Φ∗] exp Φ∗ = (cid:2) (cid:2) (cid:2)

αβ(y, z, τ )Φβα(z, y, τ ) + Φ∗ j∗

i αβ(y, z, τ ) jβα(z, y, τ )

αβ





1 Z Φ 0 (cid:2)   × exp gκ X dτ dy dz (cid:2) (cid:2) (cid:2) 0 (2.103)

2.2 Phương pháp tích phân phiếm hàm

)

Lại đặt (2.100) vào (2.103), và áp dụng công thức tính tích phân Gaussian ta có

(1 2

0 (cid:2)

(

)

Z [j, j∗] = DΦDΦ∗ exp Tr ln 1 + (2gκ)2 (cid:16) Φ∗GΦGT (cid:17)i F0 Z Φ

!#)

exp −κ2Φ∗Φ + gκ [j∗Φ + Φ∗j]

(1 2

δ δj

0 (cid:2)

(

)

DΦDΦ∗ exp Tr ln 1 + (2gκ)2 G = F0 Z Φ δ δj∗ GT

!#)

(2.104) exp −κ2Φ∗Φ + gκ [j∗Φ + Φ∗j]

(1 2

)

δ δj (

exp Tr ln 1 + (2gκ)2 G = δ δj∗ GT F0 Z Φ 0

−κ2Φ∗Φ + gκ [j∗Φ + Φ∗j] DΦDΦ∗ exp

!#)

n g2j∗j

(1 2

δ δj

(cid:2) " = exp Tr ln 1 + (2gκ)2 G exp δ δj∗ GT F0 Z Φ 0

!#)

Để tính hàm nguồn Z [j, j∗] ta viết nó dưới dạng

n g2j∗j

δ δj !

= exp Tr ln 1 + χ2 G exp

(1 2 (1 2

)

δ δ δ = χ2 G − (χ2)2 G G exp δj∗ GT δ δ δj∗ GT 1 4 δj∗ GT δ δj δj∗ GT δ δj

n g2j∗V j

)

( ∞ X

n g2j∗V j

n=1

{z An

∞ X

δj δ δ δ + G G + · · · exp (χ2)3 G δj∗ GT δ δj δj∗ GT δ δj∗ GT δ δj (2.105) δj δ δ = exp (−1)n−1(χ2)nG · · · G exp δj∗ GT δ δj δj∗ GT δ Z [j, j∗] F0 Z Φ 0 F0 Z Φ 0 1 6 F0 Z Φ 0 δj }

n g2j∗V j

N =0

Z (N ) exp = 1 2n | " δ δj∗ , δ δj

N =0

F0 Z Φ 0 ∞ X = ZN [j, j∗] .

Có thể chứng minh (để chi tiết xem phụ lục B) được số hạng đạo hàm bậc thứ N theo

(cid:17)

2.2 Phương pháp tích phân phiếm hàm

(cid:16) δ δj∗ , δ

δj

cặp có dạng sau

" δ δj∗ ,

Z (N ) δ δj

     + · · · + Aq1 · · · Aqm } {z | m

N X

= AN + (Aq1Aq2) + (Aq1Aq2Aq3) + · · · + 1 2! 1 3! 1 m! 1 N ! A1 · · · A1 | {z } N

)

m=1 ( N X

= (Aqi)ki 1 m! 1 ki!

m=1





= (Ωqi)ki δλ1σ1 . . . δλ2N −1σ2N −1 1 m! 1 ki!

 

 

δ × · · · δ δjσ2λ1 δ δjσ2N λ2N −1 δ δj∗ 1σ0 σ0 δj∗ 2N −1σ0 σ0

(2.106)

(cid:27)

(cid:26)

(cid:17)

trong đó P qiki = N, P ki = m, P là số hoán vị có thể có của các {Aqi} trong tích. Và khi đó (để chi tiết xem phụ lục C) tác dụng của số hạng đạo hàm bậc thứ N theo

(cid:16) δ δj∗ , δ

δj

1α0



(cid:27)

(cid:26)

có kết quả là cặp lên hàm mũ exp g2jα1α2Vα1α2α0 j∗ 1α0 α0

 

   exp

1α0

δ · · · g2jα1α2Vα1α2α0 j∗ 1α0 α0 δ δjσ2λ1 δ δjσ2N λ2N −1 δ δj∗ 1σ0 σ0

(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

(cid:17)

α1β0 1

αN β0 N



P (α1···αN )

(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

(cid:17)

δj∗ 2N −1σ0 σ0   = g2V g2V · · · 1 N !

α1

α2β0 2

β0 1

αN β0 N

P (α1···αN )

P(β0 N) 1···β0 × N X P(β0 1···β0

(cid:16)

(cid:17)

g2V · · · g2V j∗(cid:17) g2j V g2V + 1 N !

αN β0 N

P (α1···α4)

P(β0

4) 1···β0

(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

+ g2V + · · · 1 N ! N (N − 1)!

β0

α1

αN −1

β0 1

N −1

 

(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

g2V j∗(cid:17) × g2j V g2V j∗(cid:17) · · · g2j V

α1

αN

β0 1

β0 N



P (α1···α4)

P(β0

4) 1···β0

(cid:26)

(cid:27)

+ × g2V j∗(cid:17) g2j V g2j V g2V j∗(cid:17) · · · 1 N ! 1 N !

1α0

× exp g2jα1α2Vα1α2α0 j∗ α0 1α0

 

(cid:16)

(cid:17)N

2.2 Phương pháp tích phân phiếm hàm



(cid:16)

(cid:19)2 h(cid:16)

(cid:17)ik

+ · · · g2V = ∆N (γ1 · · · γN , α1 · · · αN ) 1 N !

(cid:17)N −k (cid:18) 1 k!

g2V g2V j∗(cid:17) (cid:16) g2jV + 1 (N − k)!

 

(cid:19)2 h(cid:16)

(cid:17)iN

+ · · ·

(cid:18) 1 N !



(cid:26)

(cid:27)

1 · · · γ0

N , β0

1 · · · β0

N ) exp

+ g2V j∗(cid:17) (cid:16) g2jV (2.107)

1α0

g2jα1α2Vα1α2α0 j∗ 1α0 α0

 

(cid:16)

(cid:19)2 h(cid:16)

(cid:17)ik

N X

(cid:17)N −k (cid:18) 1 k!





k=0

(cid:27)

(cid:26)

× ∆N (γ0   = ∆N g2V g2V j∗(cid:17) (cid:16) g2jV ∆N 1 (N − k)!

1α0

× exp g2jα1α2Vα1α2α0 j∗ 1α0 α0

)

( N X

Đặt (2.107) và (2.106) vào trong (2.105) ta có

m=1

= (Ωqi)ki × δλ1σ1 . . . δλ2N −1σ2N −1 × ∆N (γ1 · · · γN , α1 · · · αN ) 1 m! 1 ki!

 

(cid:19)2 h(cid:16)

(cid:16)

(cid:17)ik

N X

1 · · · γ0

N , β0

1 · · · β0

N )

(cid:17)N −k (cid:18) 1 k!





k=0

(cid:27)

(cid:26)

ZN [j, j∗] F0 Z Φ 0   g2V j∗(cid:17) (cid:16) ∆N (γ0 × g2V g2jV 1 (N − k)!

1α0

× exp g2jα1α2Vα1α2α0

j∗ 1α0 α0 2 (2.108)

trong đó

P (α1···αN )

∆N (γ1 · · · γN , α1 · · · αN ) = X δγ1α1 . . . δγN αN

1 · · · γ0

N , β0

1 · · · β0

1β0 1

N β0 N

N ) = X P(β0 1···β0

(2.109) ∆N (γ0 δγ0 . . . δγ0

và

(2.110) σ2nσ2n−1 ≡βn 2n−1 ≡β0 2nσ0 σ0 n

2.2 Phương pháp tích phân phiếm hàm

Thay σ2nλ2n−1 ≡ αn rồi thực hiện tính toán ta được

P (α1···αN )

δλ1σ1 . . . δλ2N −1σ2N −1 × ∆N (γ1 · · · γN , α1 · · · αN ) X =δλ1σ1 . . . δλ2N −1σ2N −1 δγ1α1 . . . δγN αN

=δλ1σ1 . . . δλ2N −1σ2N −1 δγ1(σ2λ1) · · · δγN (σ2N λ2N −1)

P (σ2λ1,···σ2N λ2N −1) δγ1(σ2σ1) · · · δγN (σ2N σ2N −1)

P (σ2σ1···σ2N σ2N −1)

(2.111) =

P (β1···βN )

= X δγ1β1 · · · δγN βN

=∆N (γ1 · · · γN , β1 · · · βN ).

)

( N X

Vậy khai triển bậc N đầy đủ của Z [j, j∗] trong biểu thức (2.105) có dạng

m=1

(Ωqi)ki = × ∆N (γ1 · · · γN , β1 · · · βN ) 1 m! 1 ki!

 

(cid:16)

(cid:19)2 h(cid:16)

(cid:17)ik

N X

1 · · · γ0

N , β0

1 · · · β0

N )

(cid:17)N −k (cid:18) 1 k!



k=0

(cid:27)

 (cid:26)

ZN [j, j∗] F0 Z Φ 0   × g2V g2V j∗(cid:17) (cid:16) ∆N (γ0 g2jV 1 (N − k)!

1α0

× exp g2jα1α2Vα1α2α0

j∗ 1α0 α0 2 (2.112)

2.2.4. Phiếm hàm Ginzburg-Landau một thành phần

Từ (2.84) và (2.100) suy ra tác dụng hiệu dụng bằng

∞ X

Sef f

n=1

= dτ dy dz Φ∗GΦGT (cid:17)in (2gκ)2 (cid:16) Tr (cid:2) (cid:2) (cid:2) 1 2 (−1)n−1 n (2.113)

αβ

− dτ dy dz X κ2 |Φαβ|2 (cid:2) (cid:2) (cid:2)

Bậc hai của tác dụng hiệu dụng được cho bởi

αβ

dτ dy dz Tr (2gκ)2 (cid:16) Φ∗GΦGT (cid:17)i − dτ dy dz X S2 [Φ∗, Φ] = κ2 |Φαβ|2 (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) 1 2

2.2 Phương pháp tích phân phiếm hàm

(2.114)

Trong không gian xung lượng, biểu thức này được viết lại dưới dạng

Φ∗(q,ων)L(q,ων)Φ(−q, − ων) (2.115) S2 [Φ∗, Φ] = 2g2κ2 T V

q,ων

với

σ2σ2(k − q, ωn − ων) −

Gα1 L(q,ων) = 1 2g2

σ1σ1(k, ωn)Gα2 1 iωn − (cid:15)k

= . − T V T V 1 2g2 1 i(ωn − ων) + (cid:15)k−q

k,ωn

(2.116)

− − = 1 2g2 1 (cid:15)k−q + (cid:15)k − iων

k

(cid:19)(cid:21)

(cid:18) (cid:15)k 2T

= 1 exp(β(cid:15)k) + 1 (cid:19) (cid:20) tanh − + tanh 1 V 1 2 1 V 1 exp(−β(cid:15)k−q) + 1 (cid:18) (cid:15)k−q 2T 1 2g2 1 (cid:15)k−q + (cid:15)k − iων

k

(cid:19)

Tại q = 0, ων = 0 ta có

L(0, 0) = tanh − 1 2 1 V 1 2g2

k

(cid:19)

(cid:18) (cid:15)k 2T (cid:18) (cid:15) 2T

(2.117) 1 (cid:15)k ∞ ≈ N (0) tanh − (cid:2) d(cid:15) (cid:15) 1 2g2 .

ở đây từ dòng thứ nhất sang dòng thứ hai ta đã sử dụng gần đúng

· · · → k2dk ≈ N (0) d(cid:15) (2.118) (cid:2) (cid:2) 1 V d3k (2π)3 · · · = 4π (2π)3 (cid:2)

k

với

N (0) = . (2.119) mkF 2π2 = 3n 4µ

Lưu ý rằng nhiệt độ Fermi TF = mk2 F /2mkB trong hầu hết các vật liệu ở quanh mức 10000K. Tích phân theo (cid:15) hội tụ theo hàm số logarith. Tuy nhiên, đây lại là một đặc điểm không có ý nghĩa vật lý của gần đúng cục bộ của tương tác giả định giữa các điện tử. Như ta đã lập luận ở trên, tương tác hút giữa các điện tử được gây ra bởi trao đổi

2.2 Phương pháp tích phân phiếm hàm

(cid:1)

∞

(cid:19)

phonon. Tuy nhiên phonon có các tần số hầu hết ở bậc của tần số Debeye ωD, một đại d(cid:15), giới hạn lượng được coi như một ngưỡng trong tất cả các tích phân năng lượng chúng trong một khoảng (cid:15) ∈ (0, ωD) , được gây ra bởi cấu trúc mạng của hệ. Nhiệt độ TD = (cid:126)ωD/kB vào bậc 1000K và vì vậy là khá lớn khi so sánh với nhiệt độ đặc trưng mà ở đó tính siêu dẫn được thiết lập. Nhưng bởi vì nó là một bậc nhỏ hơn bậc của TF , nên tương tác hút giữa các điện tử chỉ có hiệu lực giữa các trạng thái trong phạm vi một lớp mỏng lân cận bề mặt của khối cầu Fermi. Với ngưỡng ωD, phương trình (2.117) mang lại

(cid:18) (cid:15) 2T

(cid:19)

tanh L(0, 0) ≈ N (0) − (cid:2) 1 2g2 (2.120)

− = N (0) log d(cid:15) (cid:15) (cid:18) ωD T 2eγ π 1 2g2 ,

trong đó γ là hằng số Euler

γ = 0.577 . (2.121)

Biểu thức L(0, 0) trong (2.120) triệt tiêu ở nhiệt độ tới hạn được xác định bởi

(2.122) ωD.e−1/N (0)2g2 = 1.13ωD.e−1/N (0)2g2. Tc = 2eγ π

(cid:19)

(cid:18)

Theo Tc, phương trình (2.120) có thể viết lại dưới dạng

(cid:18) Tc T

(2.123) = N (0) 1 − L(0, 0) = N (0) log T Tc

Nếu hệ đủ gần nhiệt độ tới hạn thì tất cả các số hạng tương tác bậc cao ngoại trừ S4 [Φ∗, Φ] đều trở nên không thích đáng. Và trong S4 chỉ có đóng góp không phụ thuộc vào xung lượng, tần số là quan trọng. Biểu thức của số hạng bậc bốn là

dτ dy dz (2.124) Φ∗GΦGT Φ∗GΦGT (cid:17)i Tr (2gκ)4 (cid:16) S4 [Φ∗, Φ] = − (cid:2) (cid:2) (cid:2) 1 4

2.2 Phương pháp tích phân phiếm hàm

Trong không gian xung lượng, biểu thức này có dạng

= − Gσ1σ1(k, ωn)Φσ1σ2(q1, ων1) S4 [Φ∗, Φ] 1 4 (2gκ)4T X σi=↑,↓

σ2σ3(q2, ων2)

σ2σ2(k − q1, ωn − ων1)Φ∗

ωn, ωνi k, q

(2.125)

σ4σ1(−q1 − q2 − q3, −ων1 − ων2 − ων3)

× GT × Gσ3σ3(k − q1 − q2, ωn − ων1 − ων2)Φσ1σ2(q3, ων3) × GT σ4σ4(k − q1 − q2 − q3, ωn − ων1 − ων2 − ων3) × Φ∗

= − |Φσ1σ2(0, 0)|4 A 4 (2gκ)4 X σi=↑,↓

Hệ số A có thể được tính như sau

σ2σ2(k, ωn)Gσ3σ3(k, ωn)GT

σ4σ4(k, ωn)

Gσ1σ1(k, ωn)GT

A = T X ωn, k

n + (cid:15)2(k))2 ≈ N (0)T X ωn (cid:2)

1 d(cid:15) (2.126) (ω2 (ω2 1 n + (cid:15)2)2

= N (0) ≈ 10−3 k3 = T X ωn, k π 2 TF T 2 . 7ζ(3) 8 (πT )2 = 6N (0) (cid:15)2 0 v2 F 1 |ωn|3 = N (0) T X ωn

Khai triển tác dụng hiệu dụng theo theo các trường phụ Φ tới bậc bốn đủ để nhận được các kết quả có ý nghĩa vật lý. Các tính toán tường minh ở trên chỉ ra rằng với Φ không phụ thuộc vào không gian và thời gian ta nhận được ở gần nhiệt độ tới hạn một mật độ năng lượng tự do GL cho siêu dẫn như sau

(2.127) fL = α(T ) |Φ|2 + β(T ) |Φ|4

(cid:19)

với

(cid:18) T Tc

(2.128) − 1 . α(T ) ’ 2g2κ2N (0)

β(T ) = (gκ)4N (0) (2.129) 7ζ(3) 2 (πT )2

2.3 Thảo luận

2.3. Thảo luận

Chúng tôi kết thúc chương này bằng cách đưa ra một vài nhận xét so sánh tính hữu ích của các phương pháp khác nhau. Trong các phương pháp hàm Green, kỹ thuật giản đồ chắc chắn là rất mạnh mẽ. Nó cho phép người ta thực hiện các xấp xỉ khá tốt trong đó người ta chọn một lớp giản đồ nhất định và tính tổng chúng, thường cho tất cả các bậc trong lý thuyết nhiễu loạn. Đôi khi nó cũng cho thấy được một ý tưởng sơ bộ về tầm quan trọng của các số hạng mà người ta đã bỏ qua. Và, bằng cách xem xét các tính chất giải tích của tất cả các giản đồ, người ta có thể chứng minh một hoặc hai kết quả chính xác cho tất cả các bậc của lý thuyết nhiễu loạn. Tuy nhiên, có một khó khăn rất quan trọng đó là chúng ta không biết chúng ta có thể tin tưởng vào lý thuyết nhiễu loạn đến mức nào. Như đã thấy trong tài liệu tham khảo [66], các tác giả đã thực hiện rất nhiều liên kết với các số hạng trong khai triển nhiễu loạn, và chúng ta không nên làm điều này trừ khi chúng ta biết chuỗi đó hội tụ tuyệt đối. Hơn nữa, chúng ta biết rằng trong một số trường hợp, chẳng hạn như siêu dẫn, chuỗi không hội tụ. Chính vì lý do này mà các phương pháp phương trình chuyển động ngay từ đầu được ưu tiên hơn.

Phương pháp tích phân phiếm hàm là một công cụ hiệu quả trong lý thuyết trường lượng tử. Ưu điểm chính của phương pháp này ở chỗ nó thể hiện mối liên hệ giữa lý thuyết lượng tử và lý thuyết cổ điển rất rõ ràng. Từ phương pháp tích phân phiếm hàm có thể thiết lập các quy tắc giản đồ và xây dựng các hàm Green. Nó có thể áp dụng cho các bài toán lý thuyết trường và hạt cơ bản (xét khi T = 0 K, xử dụng tác dụng Minkowski) cũng như các vấn đề hệ nhiều hạt (T = 0 K, sử dụng tác dụng Euclide), nó cũng rất thuận tiện khi thực hiện nhóm tái chuẩn hóa. Thêm nữa, các phép gần đúng như gần đúng trường trung bình, bổ chính do thăng giáng v.v có thể thực hiện tương tự như trong các phương pháp khác. Nhược điểm của phương pháp này là các tính toán chỉ có thể thực hiện tường minh khi tính tới bậc hai của thăng giáng, còn nếu tính bậc cao hơn lại cần các gần đúng, và ta gặp lại các khó khăn của các phương pháp khác là cần phân tích bản chất vật lý để chọn các gần đúng thích hợp.

Trong việc xây dựng phiếm hàm Ginzburg-Landau thì phương pháp tích phân phiếm hàm có ưu việt rất nổi trội vì ta phải tính thế nhiệt động học. Thế nhiệt động học lại được tính từ tổng thống kê, mà tính tổng thống kê bằng giản đồ hoặc các phương pháp khác (thí dụ bằng giản đồ Feynman ở nhiệt độ khác không) thường phức tạp hơn bằng phương pháp tích phân phiếm hàm. Với phương pháp này, hàm Green được biểu diễn qua phiếm hàm sinh mà không cần sự có mặt của T-tích (ở đây T-tích đã được ẩn trong biểu diễn tích phân phiếm hàm). Thêm nữa định lý Wick cũng được xác định bằng các thao tác hoàn toàn trực tiếp mà không cần phải đảo trật tự của các toán tử trường. Chính vì những ưu điểm nổi trội của phương pháp tích phân phiếm hàm mà nó được chúng tôi lựa chọn làm công cụ để nghiên cứu sự đồng tồn tại pha trong hệ nhiều hạt.

3. THIẾT LẬP PHIẾM HÀM NĂNG LƯỢNG GINZBURG-LANDAU NHIỀU THÀNH PHẦN

Trong chương này, xuất phát từ Hamiltonian tương tác nhiều hạt tổng quát, chúng tôi thực hiện phép biến đổi lý thuyết trường fermion tới một lý thuyết hiệu dụng dựa trên các trường kết cặp được biểu diễn dưới dạng các tham số trật tự theo các kênh khác nhau. Từ đó chúng tôi rút ra một sự biểu diễn tổng quát nhất của phiếm hàm GL cho hệ ba tham số trật tự nhằm tìm kiếm pha đồng tồn tại (chương này được trích một phần trong tài liệu tham khảo [41] của chính tác giả).

3.1. Mô hình ba tham số trật tự

3.1.1. Hamiltonian và hình thức luận

Thông thường một hệ trong vật lý chất rắn được mô tả bởi mô hình vi mô với Hamil- tonian cho dưới dạng lượng tử hóa lần hai

(3.1) H = H0 + H1,

trong đó

σ(k)ψσ(k)

H0 = X (cid:15)σ(k)ψ† (3.2)

k

H0 là Hamiltonian không nhiễu loạn mô tả hệ điện tử tự do; ψσ(k) và ψ† σ(k) là các toán tử hủy và sinh điện tử với hình chiếu spin tương ứng σ =↑, ↓; (cid:15)σ(k) là độ tán sắc của các điện tử tự do; và

σ2(k0 +

σ1(k −

1σ0 2

(k0 − (k + )ψ† ); (k, k0, q)ψ† )ψσ0 )ψσ0 Vσ1σ2σ0 q 2 q 2 q 2 q 2

k,k0,q

1,σ0 2

H1 = X σ1,σ2,σ0

(3.3)

1σ0 2

3.1 Mô hình ba tham số trật tự

H1 là số hạng tương tác hai hạt hiệu dụng tổng quát của các điện tử có tương tác được (k, k0, q) là các phần tử ma trận tán xạ kết cặp tổng viết theo trật tự chuẩn. Vσ1σ2σ0 quát, bao gồm đóng góp của các tương tác khác nhau trong hệ như tương tác điện tử - phonon, tương tác spin - spin,...thậm chí là cả tương tác tạp chất - điện tử, tương tác tạp chất - tạp chất. Về cả mặt toán học và vật lý, số hạng tương tác hiệu dụng tổng quát rất phức tạp, không có biểu thức giải tích chính xác và tường minh.

 

 

Hàm phân bố lớn của hệ được biểu diễn qua tích phân phiếm hàm

h ψ†, ψ

# (τ )

σ(k, τ ) (∂τ + (cid:15)kσ) ψσ(k, τ ) + H1

[Dψ] Dψ†i exp Z = − dτ ψ† . (cid:2)

k





h ψ†, ψ

(cid:2) 0 (3.4)

h ψ†, ψ

Số hạng tương tác hai hạt tổng quát H1 (τ ) được tách cặp qua các trường phụ theo các kênh trực tiếp, trao đổi và Cooper nhờ phép biến đổi Hubbard-Stratonovich

dH d 1

exH ex 1

CH C 1

1 là các tương tác hai hạt tổng quát được viết

1 và H C

1 , H ex

= γ2 ψ†, ψ − γ2 ψ†, ψ + γ2 ψ†, ψ , (3.5) H1

trong đó các Hamiltonian H d theo các số hạng song tuyến tính fermion khác nhau và được minh họa như sau

σ2(k0+

σ1(k−

1σ0 2

H d (k+ (k0− ), (k, k0, q)ψ† ψ† )ψσ0 )ψσ0 ) (Vd)σ1σ2σ0

k,k0,q

1 = X σ1,σ2,σ0

1,σ0 2

q 2 q 2 q 2

q 2 (3.6)

σ1(k−

σ2(k0+

1σ0 2

H ex ), ψ† (k, k0, q)ψ† (k0− (k+ )ψσ0 )ψσ0 ) (Vex)σ1σ2σ0

k,k0,q

1 = X σ1,σ2,σ0

1,σ0 2

q 2 q 2 q 2

q 2 (3.7)

σ1(k−

σ2(k0+

1σ0 2

H C ) ψ† )ψ† (k0− (k+ (k, k0, q)ψσ0 )ψσ0 ) (VC)σ1σ2σ0

k,k0,q

1 = X σ1,σ2,σ0

1,σ0 2

q 2 q 2 q 2

q 2 (3.8)

Ba lựa chọn khác nhau để kết cặp các toán tử fermion, xây dựng nên số hạng song tuyến tính fermion của tương tác hai hạt được chỉ ra trong hình (3.1). Ở đây, đường lượn sóng đính vào các đỉnh trường biểu diễn tương tác, các ô mỏng biểu thị các toán

3.1 Mô hình ba tham số trật tự

2σ0 1

Hình 3.1.: Các lựa chọn khác nhau cho phép biến đổi Hubbard-Stratonovich để tách cặp số hạng tương tác hai hạt tổng quát. Hình bên trái: tách cặp theo kênh “mật độ”; hình giữa: tách cặp theo kênh “kết cặp” hoặc “Cooper”; hình bên phải: tách cặp theo kênh “trao đổi”.

tử trường fermion được kết cặp với nhau như thế nào. Dạng của phép biến đổi trong phương trình (3.6) ở trên tương ứng với giản đồ bên trái của hình (3.1). Loại kết cặp đó liên quan tới sự tách cặp theo kênh trực tiếp, hay kênh mật độ. Ở đây, ta nói về sự tách cặp theo một “kênh” bởi vì hàm truyền của trường tách cặp được hiểu là hai đường hàm Green nối với nhau bởi tương tác nhiều mối, một vật thể đa hợp liên tưởng một “kênh”. Việc tách cặp theo kênh trao đổi (giản đồ bên phải hình 3.1) được tạo ra bởi sự lựa chọn cặp fermion (ψ†ψ)σ2σ0 (k0, k, q, τ ). “Trao đổi” là bởi vì, trong phạm vi tương tác Coulomb, kết cặp đảo ngược của các toán tử trường liên tưởng tới liên kết trao đổi sinh ra các đóng góp loại Fock. Và cuối cùng, ta có thể tách cặp số (k0, k, q) và hạng tương tác hai hạt theo kênh Cooper (giản đồ giữa hình 3.1), (ψψ)σ0 σ2σ1(k0, k, −q). Ở đây, trường kết cặp là liên hợp hai toán tử hủy được biến đổi (ψψ)† để tạo ra bài toán siêu dẫn.

Các giá trị của các tham số γi sẽ thỏa mãn đồng nhất thức

d − γ2 γ2

ex + γ2

C = 1.

(3.9)

Hàm tác dụng fermion biểu diễn theo các trường phụ trong phương trình (3.4) trở thành:

(3.10) Z = [Dϕ] [Dϕ∗] exp {−S0 [ϕ, ϕ∗]} F [{ϕi} , {γi}] , 1 W (cid:2)

3.1 Mô hình ba tham số trật tự





trong đó

1σ2σ1

1,σ0 2

(k, −q, τ ) (k0, k, q)(ϕ1)σ1σ0 (ϕ1)∗ σ0 2σ2

1σ2σ1

1,σ0 2

(k0, k, −q, τ ) (k, k0, q)(ϕ2)σ1σ0 = dτ (ϕ2)∗ σ0 1σ2

1σ2σ1

 

(cid:2) 0 (k, k0, q)(ϕ3)σ1σ2(k0, k, −q, τ ) (ϕ3)∗ 1σ0 σ0 2 (k0, −q, τ )(V1)−1 σ0 2σ0 (k0, k, q, τ )(V2)−1 2σ0 σ0 (k0, k, q, τ )(V3)−1 2σ0 σ0 S0 [ϕ, ϕ∗]  

P k,k0,q P k,k0,q P k,k0,q

P σ1,σ2,σ0 + P σ1,σ2,σ0 + P σ1,σ2,σ0

1,σ0 2

(3.11)

là hàm tác dụng không tương tác của phép biến đổi HS ba lần tác dụng;

1] [Dϕ2] [Dϕ∗

2] [Dϕ3] [Dϕ∗

3] ;

(3.12) [Dϕ] [Dϕ∗] = [Dϕ1] [Dϕ∗

(3.13) W = W1W2W3;

F [{ϕi} , {γi}] mô tả hệ fermion bậc hai hiệu dụng kết cặp với các trường phụ {ϕi} được đưa vào bởi phép biến đổi HS

[Dψ] Dψ†i exp −S . (3.14) F [{ϕi} , {γi}] = ψ†, ψ; {ϕi} , {γi} (cid:2)

trong đó

h ψ†, ψ; {ϕi} , {γi} β

σ(k, τ ) (∂τ + (cid:15)kσ) ψσ(k, τ )

= dτ ψ†

k

(ϕ1)∗

(cid:2) 0

σ,σ0

+ iγd (3.15) +(ψ†ψ)†

k,q

(ϕ2)∗

σ0σ(k, −q, τ )(ψ†ψ)σσ0(k, −q, τ ) σ0σ(k, −q, τ )(ϕ1)σσ0(k, −q, τ ) σ0σ(k0, k, −q, τ )(ψ†ψ)σσ0(k0, k, −q, τ ) σ0σ(k0, k, −q, τ )(ϕ2)σσ0(k0, k, −q, τ )

σ,σ0

+ γex +(ψ†ψ)†

k,q

2σ0 1

!# .

σ,σ0

(k0, k, q) (k0, k, q, τ )(ψψ)σ0 + iγC (ϕ3)∗ σ0 1σ0 2 σ2σ1(k0, k, −q)(ϕ3)σ1σ2(k0, k, −q, τ ) +(ψψ)†

k,q

3.1 Mô hình ba tham số trật tự

(cid:19)

(cid:18)

(cid:16)

(cid:17)T

Hệ hiệu dụng bậc hai F [{ϕi} , {γi}] có thể tính chính xác bằng cách lấy tích phân theo các biến Grassmann của các điện tử. Để thực hiện nhiệm vụ này, ta đưa vào Nambu spinor:

↑(−k + q

↓(−k + q

2 , τ ) ψ↓(k + q

2 , τ ) ψ†

2 , τ )

(cid:19)

(cid:18)

(cid:17)

(cid:16)

, τ = , Ψ k + ψ↑(k + q q 2 (3.16)

↓(k + q

2 , τ ) ψ†

2 , τ ) ψ↑(−k + q

2 , τ ) ψ↓(−k + q

2 , τ )

. , τ = Ψ† k + ψ† ↑(k + q q 2 (3.17)

(cid:18)

(cid:19)

(cid:18)

trong phương trình (3.15) biểu diễn theo ψ†, ψ; {ϕi} , {γi} Hàm tác dụng hiệu dụng S Nambu spinor có dạng

i ψ†, ψ; {ϕi} , {γi}

Ψ† k + , τ , , τ k0 − S = − dτ [G0]−1 (k, k0, q, τ )Ψ q 2 q 2 1 2

k,k0,q

(cid:2) 0 (3.18)





i−1

trong đó [G0]−1 ({ϕi} , {γi} ; k, k0, q, τ ) là một ma trận 4 × 4:

      

      

↑↑ i−1

↑↓ i−1

= (k, k0, q, τ ) (k, k0, q, τ ) F↑↑(k, k0, q, τ ) F↓↑(k, k0, q, τ ) Gh 0 F↑↓(k, k0, q, τ ) F↓↓(k, k0, q, τ ) Gh 0

h Gh 0

0]−1 ↑↓ (k, k0, q, τ ) [Ge 0]−1 ↓↓ (k, k0, q, τ ) [Ge ↑↓(k, k0, q, τ ) F ∗ ↓↓(k, k0, q, τ )

↓↑

↓↓

(k, k0, q, τ ) (k, k0, q, τ ) F ∗ F ∗ [G0]−1 (k, k0, q, τ ) 0]−1 ↑↑ (k, k0, q, τ ) [Ge 0]−1 ↓↑ (k, k0, q, τ ) [Ge ↑↑(k, k0, q, τ ) F ∗ ↓↑(k, k0, q, τ )

(3.19)

với

0]−1

σσ0 (k, k0, q, τ ) = (−∂τ − (cid:15)kσ) δ(k − k0)δσσ0

[Ge

0]−1 σσ0 (k, k0, q, τ ) − Φσσ0(k, k0, q, τ ), (k, k0, q, τ ) = (−∂τ + (cid:15)kσ) δ(k − k0)δσσ0

h Gh 0

i−1 σσ0

− [iγd(Φ1)σσ0(k, q, τ )δ(k − k0) + γex(Φ2)σσ0(k, k0, q, τ )] = [Ge

(3.20) + [iγd(Φ1)σ0σ(k, q, τ )δ(k − k0) + γex(Φ2)σ0σ(k, k0, q, τ )]

i−1 Gh 0 σσ0 Fσσ0(k, k0, q, τ ) = −2iγC(ϕ3)σ1σ2(−k0, k, q, τ ), F ∗

σσ0(k, k0, q, τ ) = −2iγC(ϕ3)∗

σ2σ1(−k, k0, −q, τ ),

= (k, k0, q, τ ) + Φσσ0(k, k0, q, τ ),

3.1 Mô hình ba tham số trật tự

và

σ0σ(k, −q, τ ) + (ϕ1)σσ0(k, q, τ )) , σ0σ(k, k0 − q, q, τ ) + (ϕ2)σσ0(k0 − q, k, q, τ )) .

(3.21) (Φ1)σσ0(k, q, τ ) = ((ϕ1)∗ (Φ2)σσ0(k, k0, q, τ ) = ((ϕ2)∗

(cid:19)(cid:27)

(cid:26)

Tích phân Gaussian theo các trường Grassmann bây giờ có thể được tính dễ dàng, mang lại biểu thức hình thức của hàm phân bố lớn như sau

(cid:18) 1 2

Z = . (3.22) ln det [G0]−1 [Dϕ] [Dϕ∗] exp {−S0 [{ϕi}]} exp 1 W (cid:2)

Như vậy bằng cách đưa vào phép biến đổi HS tách cặp lên số hạng tương tác hai hạt, ta có thể biểu diễn hàm phân bố lớn như là một phiếm hàm của các trường phụ {ϕi}. Để phát triển xa hơn ta có thể chỉ cần triển khai trong phạm vi gần đúng nào đó.

3.1.2. Khử tham số kết cặp

Quy trình chuẩn để giải quyết các định thức sinh ra ở các bước trung gian của thủ thuật lấy tích phân theo các trường như trong biểu thức (3.22) là mũ hóa lại chúng. Điều này được thực hiện nhờ công thức nổi tiếng sau

ln det A = Tr ln A, (3.23)

(cid:26)

(cid:19)(cid:27)

(cid:26)

(cid:19)(cid:27)

công thức này đúng với toán tử A (không kì dị) tùy ý. Vì vậy, số hạng hàm mũ thứ hai trong phương trình (3.22) trở thành:

(cid:18) 1 2

(cid:26)

(cid:16)

(cid:18) 1 2 (cid:18) 1 2

exp ln det = exp Tr ln [G0]−1 (3.24) [G0]−1 (cid:19) + Tr ln = exp Tr ln , [G0]−1(cid:17)(cid:27)



ở đây



  .

0]−1 − Φ F ∗

h Gh 0

(cid:16)

[Ge F i−1 [G0]−1 = + Φ

[G0]−1(cid:17)

theo chuỗi lũy thừa Để cấu trúc của hàm mũ rõ ràng hơn, khai triển của Tr ln của các trường phụ {ϕi} sẽ được thực hiện. Những đóng góp logarit trong phương trình

3.1 Mô hình ba tham số trật tự

(cid:16)

(3.22) có thể được khai triển như thể nó là một hàm số (một hệ quả lấy vết toán tử), tức là,



Tr ln









[G0]−1(cid:17)  [Ge = Tr ln F i−1 + Φ Gh 0

  +

! 





−Φ F F ∗ Φ

0]−1 − Φ F ∗ 0]−1 [Ge 0









 

 

= Tr ln 0 i−1 h Gh 0







 

  I +

 −1 −Φ F  F ∗ Φ

0]−1 [Ge 0









= Tr ln 0 i−1 h Gh 0 0 i−1 h Gh 0



  + Tr ln



 

  I +

 −1 −Φ F  F ∗ Φ

0]−1 [Ge 0



= Tr ln 0 i−1 Gh 0 0 i−1 h Gh 0

  + Tr ln



0]−1 [Ge 0

!#N

i−1

I + = ln det 0 i−1 Gh 0 (3.25)

0]−1 + ln

! −Φ F F ∗ Φ ! −Φ F F ∗ Φ

N ≥1 |

}

0 0 0 Gh 0 " Ge = ln [Ge + Tr X Gh 0 (−1)N −1 1 N

0 0 0 Gh 0 {z [G]N

trong đó toán tử vết được hiểu như toán tử chéo hóa spin, động lượng và tần số của các phần tử ma trận đưa đến các hàm Green tự do của các điện tử tự do.

!#N

" Ge

Đặt

! Φee F eh F he Φhh

, [G]N = (−1)N −1 1 N 0 0 Gh

trong đó

Φee = −Φ, F eh = F, Φhh = Φ, F he = F ∗, Ge = Ge 0 Gh = Gh 0.

3.1 Mô hình ba tham số trật tự

Thực hiện khai triển số hạng bậc nhất

GeΦee GeF eh GhF he GhΦhh

! Φee F eh F he Φhh

, (3.26) = [G]1 = 0 0 Gh

với

↑↑ Φee ↑↓ ↓↑ Φee ↓↓ !

GeΦee = 0 [Ge]↓↓ (3.27)

! Φee Φee [Ge]↑↑ Φee ↑↓ [Ge]↓↓ Φee ↓↓

[Ge]↑↑ 0 [Ge]↑↑ Φee ↑↑ [Ge]↓↓ Φee ↓↑





↑↑

; =

 

 

Φhh Φhh

GhΦhh =



↑↑

(3.28) 0 Ghi ↓↓ h

↑↑ Φhh ↑↓ ↓↑ Φhh ↓↓    .

 

↓↓

= Ghi 0 Ghi Ghi Ghi Ghi Φhh ↑↑ Φhh ↓↑ Φhh ↑↓ Φhh ↓↓

h Ghi

Lấy vết ma trận ta nhận được

h Ghi

↓↓ +

↑↑ +

↑↑

↓↓

Φhh Φhh ↓↓

σ1σ1Φee

↑↑ + [Ge]↓↓ Φee σ1σ1 + X Gh

σ1σ1Φhh σ1σ1

σ1

σ1σ1Φα1α1 σ1σ1

σ1 X

(3.29) Gα1

σ1σ14α1α1 σ1σ1 .

σ1

Gα1 Tr [G]1 = [Ge]↑↑ Φee = X σ1 = X α1 = X α1

Theo cách này, ta cũng nhận được các kết quả:

(cid:16)

(cid:17)

khai triển số hạng bậc hai

σ1σ1Φee

σ1σ2Ge

σ2σ2Φee

σ2σ1

σ1σ1Φhh

σ1σ2Gh

σ2σ2Φhh σ2σ1

(cid:17)

Tr [G]2 = − Ge Gh

σ2σ2F eh σ2σ1

σ1σ2Ge

σ1σ1F he

σ2σ2F he σ2σ1

σ1σ2Gh

σ1σ1F eh

} Gh Ge

(cid:16)

σ1σ2 Gα1

σ2σ2Φα1α1 σ2σ1

σ1σ2

σ1σ1Φα1α1 (cid:16)

(cid:17)

+ X σ1σ2 (cid:16) + X σ1σ2 (cid:17) (3.30) = − Gα1

σ1σ1F α1α2

σ1σ2 Gα2

σ2σ2F α2α1 σ2σ1

σ1σ2

Gα1 } ,

1 { X 2 σ1σ2 (cid:16) + X σ1σ2 1 { X 2 α1 + X α1, α2 α1 6= α2

3.1 Mô hình ba tham số trật tự

(cid:26)X

khai triển số hạng bậc ba

σ1σ1Φee

σ1σ2Ge

σ2σ2Φee

σ2σ3Ge

σ3σ3Φee

σ3σ1

Tr [G]3 = Ge 1 3

σ3σ3Φhh σ3σ1

σ2σ3Gh

σ2σ2Φhh

σ1σ2Gh

σ1σ1Φhh

σ1σ1Φee

σ1σ2Ge

σ2σ2F eh

σ2σ3Gh

σ3σ3F he σ3σ1

(cid:27)

(3.31)

σ1σ1Φhh

σ1σ2Gh

σ2σ2F he

σ2σ3Ge

σ3σ3F eh σ3σ1

σi + X σi + 3 X σi + 3 X σi

σ3σ3∆α3α1 σ3σ1 ,

σ2σ3 Gα3

σ2σ2∆α2α3

σ1σ2 Gα2

σ1σ1∆α1α2

σi=↑,↓

αi=e,h

= Gα1 1 3

(cid:26)

khai triển số hạng bậc bốn

(cid:16)

Tr [G]4 = − (GeΦee)4 + 4 (GeΦee)2 (cid:16) GeF ehGhF he(cid:17)

GeF ehGhF he(cid:17)

(cid:16)

(cid:26)X

GhΦhh(cid:17) (cid:16) (cid:16) + 4 GhΦhh(cid:17)2 (cid:16) GhF heGeF eh(cid:17) + 2 GhF heGeF eh(cid:17)2(cid:27) 1 4 + 4 (GeΦee) GhΦhh(cid:17)4 (cid:16) +

σ1σ1Φαα

σ1σ2Gα

σ2σ2Φαα

σ2σ3Gα

σ3σ3Φαα

σ3σ4Gα

σ4σ4Φαα σ4σ1

α=e,h

Gα = −

σ1σ1Φαα

σ1σ2Gα

σ2σ2Φαα

σ2σ3Gα

σ3σ3F αβ

σ3σ4Gβ

σ4σ4F βα σ4σ1

Gα 1 4 σi + 4 X σi

σ1σ1Φαα

σ1σ2Gα

σ2σ2F αβ

σ2σ3Gβ

σ3σ3Φββ

σ3σ4Gβ

σ4σ4F βα σ4σ1

(3.32) α, β = e, h α 6= β X Gα + 2 X σi

(cid:27)

α, β = e, h α 6= β

σ1σ1F αβ

σ1σ2Gβ

σ2σ2F βα

σ2σ3Gα

σ3σ3F αβ

σ3σ4Gβ

σ4σ4F βα σ4σ1

Gα + X σi

α, β = e, h α 6= β

σ1σ1∆α1α2

σ1σ2 Gα2

σ2σ2∆α2α3

σ2σ3 Gα3

σ3σ3∆α3α4

σ3σ4 Gα4

σ4σ4∆α4α1 σ4σ1 .

σi=↑,↓

αi=e,h

Gα1 = − 1 4

3.1 Mô hình ba tham số trật tự

Bằng cách sử dụng phương pháp quy nạp, ta nhận được

σ1σ2 (p1, ωn1; p2, ωn2)

σ1σ1(p1, ωn1)∆α1α2

αi=e,h

σ2σ3 (p2, ωn2; p3, ωn3)

pi,ωni σ2σ2(p2, ωn2)∆α2α3

σi=↑,↓ × Gα2 · · · × GαN

σN σN

Gα1 Tr [G]N = (−1)N −1 1 N

σ1σ2 (q1, ων1) }

σN σ1 (pN, ωnN ; p1, ωn1) σ1σ1(k, ωn)∆α1α2 { Gα1

σi=↑,↓

αi=e,h

(pN, ωnN )∆αN α1 X = (−1)N −1 1 N

n Gα2

(3.33)

o σ2σ3 (q2, ων2)

σN σN

 

ωn, ωνi k, q σ2σ2(k − q1, ωn − ων1)∆α2α3 · · · n GαN × (k − q1 − · · · − qN−1, ωn − ων1 − · · · − ωνN −1)

σN σ1 (−q1 − · · · − qN−1, −ων1 − · · · − ωνN −1)



× ∆αN α1 .

Như được thảo luận ở trên, ý nghĩa vật lý của các trường phụ khác nhau liên hợp với các kết cặp toán tử fermion cần được làm rõ. Giữa vô số khả năng tách số hạng tương tác hai hạt ra như trong (3.5), có ba trường hợp đặc biệt: khi γi = 1 và γj6=i = 0. Những trường hợp này được biết như là các trường phụ trực tiếp, trao đổi và Cooper. Ý nghĩa vật lý của mỗi sự tách cặp sẽ trở nên rõ ràng khi một sự phân tích nhiễu loạn bằng giản đồ của thế nhiệt động lớn

Ω = − ln Z (3.34) 1 β

được phát triển bằng cách sử dụng hàm truyền trường tự do để tạo ra các giản đồ Feynman giống nhau mà chúng được tìm thấy khi dùng hình thức luận toán tử chính tắc trong phạm vi lý thuyết nhiều hạt.

Xét sự phụ thuộc vào {ϕi} của khai triển trong phương trình (3.22). Số hạng thứ nhất, số hạng bậc không theo {ϕi} đưa đến một hằng số toàn phần nhân với tích phân phiếm hàm, tức là một hằng số mô tả nội dung không tương tác của lý thuyết. Số hạng thứ hai, tuyến tính theo {ϕi}, triệt tiêu do sự phân tích trường trung bình nào đó. Và các số hạng khác, các số hạng bậc cao theo {ϕi}, là những số hạng đáng quan tâm. Những số hạng này mô tả những thăng giáng bị ảnh hưởng như thế nào bởi sự hiện diện của các điện tử tự do. Tính toán hàm mũ của (3.22), ta nhận được tích các chuỗi lũy thừa theo {ϕi} kể cả trung bình của chúng. Thực hiện việc lấy trung bình Gaussian, tức là sử dụng định lý Wick, áp dụng cho các trường phụ boson, tất cả các giản đồ Feynman khả dĩ của lý thuyết sẽ được sinh ra một cách có hệ thống.

3.1 Mô hình ba tham số trật tự

Một sự phân tích giản đồ cẩn thận cho thấy rằng chuỗi giản đồ Feynman sinh ra từ cả ba sự tách cặp với γi = 1 và γj6=i = 0 là đồng nhất về mặt giản đồ. Đặc điểm này xuất hiện một cách tự nhiên trong hình thức luận tích phân phiếm hàm. Mặc dù bất kì một trong ba sự tách cặp khả dĩ có thể được sử dụng để tính các đại lượng vật lý mong muốn, nhưng sự thuận tiện của mỗi sự tách cặp được điều khiển bởi các thăng giáng có liên quan đến đại lượng quan tâm, sẽ được chỉ ra một cách tường minh trong phép đạo hàm của cấu trúc giản đồ của thế nhiệt động lớn và tính nhạy cảm của mỗi sự kết cặp. Tuy nhiên, những kết quả đúng và chính xác này có thể chỉ nhận được trong trường hợp khi mà các tính toán của các giản đồ Feynman được thực hiện chính xác và chặt chẽ. Mặt khác, một gần đúng không chặt chẽ có thể dẫn tới các kết quả phi lý. Dĩ nhiên, kết quả chính xác tự nó bao hàm các gần đúng khả dĩ chẳng hạn như gần đúng HF đối với các kênh mật độ và trao đổi, gần đúng Bogoliubov đối với kênh Cooper những gần đúng này tương đương với gần đúng trường tĩnh trong hình thức luận tích phân phiếm hàm, hay nói cách khác là lý thuyết trường trung bình; và những gần đúng khai triển xa hơn phát triển từ những gần đúng cơ bản này. Những nghiên cứu về cấu trúc của chuỗi giản đồ xuất hiện khi sử dụng một tổ hợp các sự tách cặp mật độ, trao đổi, và Cooper cũng chỉ ra rằng các đại lượng vật lý của hệ, nếu chúng được tính chính xác, thì hiển nhiên độc lập với các giá trị của các tham số {γi} được chọn. Tuy nhiên, nếu một tổ hợp tách cặp được khai thác bởi những cách không chặt chẽ, thì các kết quả khác biệt có thể thu được, và hệ quả là một sự không rõ ràng xuất hiện. Để tránh vấn đề đã đề cập ở trên từ sự phụ thuộc các phương pháp gần đúng vào các tham số {γi}, ta phải tập trung vào vấn đề quan trọng nhất của việc nghiên cứu cấu trúc giản đồ của các chuỗi nhiễu loạn tạo ra từ bất kì tổ hợp kết cặp HS nào trong ba kênh. Đó là sự độc lập của các đại lượng vật lý đối với các tham số {γi} của kết cặp HS. Kết luận này là động cơ để thu được sự nhận thức đúng đắn của hình thức luận và sự trình bày về tích phân phiếm hàm trở nên có hệ thống, tránh được sự tối nghĩa.

Sự độc lập của các đại lượng vật lý với các tham số {γi} của kết cặp HS có thể được biểu diễn theo ngôn ngữ toán học là tất cả các đạo hàm của thế nhiệt động lớn bằng không, tức là, đối với tập hợp bất kì của các tham số {γi} của kết cặp HS, điều kiện sau đây phải được thỏa mãn

Ω = −β ln Z (3.35) d dγi d dγi

≡ 0

3.1 Mô hình ba tham số trật tự

Áp dụng điều kiện (3.35) cho logarithm của hàm phân bố lớn (3.22), ta nhận được

ln Z d dγi

(cid:26)

(cid:19)(cid:27)!

Z =

(cid:18) 1 2

(cid:19)!

= exp ln det [G0]−1 [Dϕ] [Dϕ∗] exp {−S0 [{ϕi}]}

(cid:18) 1 2

d dγi d dγi

(cid:26)

(cid:19)(cid:27)

(3.36) = ln det [Dϕ] [Dϕ∗] exp {−S0 [{ϕi}]} [G0]−1 1 Z 1 Z 1 Z d dγi 1 W (cid:2) 1 W (cid:2)

(cid:18) 1 2

(cid:19)+

× exp ln det [G0]−1

(cid:18) 1 2

* d dγi

= ln det [G0]−1

(cid:16)

= 0

Tr ln , cần nhắc lại liên kết (3.9) [G0]−1(cid:17)

trong đó i =d, ex, và C, h· · · i là kí hiệu giá trị trung bình của một biểu thức theo hệ hiệu dụng của các trường phụ. Để tính toán tử vi phân lên hàm logarith d dγi giữa các tham số {γi}

ex + γ2

C = 1

γ2 d − γ2

điều kiện này phản ánh sự phụ thuộc của một tham số tách cặp vào tập hợp tùy ý các tham số {γi} khác. Để tránh sự phức tạp và khó khăn trong các tính toán xa hơn, các tham số này có thể được biểu diễn, mà không mất tính tổng quát, bởi hai tham số độc lập mới φ và θ như sau

(3.37)

γd = cosh θ sin φ, γex = sinh θ, γC = cosh θ cos φ.

(cid:16)

Dưới dạng các tham số φ và θ, phương trình (3.35) được viết lại như sau

* d dφ

= 0, (3.38) ln det [G0]−1(cid:17)

(cid:16)

và

* d dθ

ln det = 0. (3.39) [G0]−1(cid:17)

100

3.1 Mô hình ba tham số trật tự

các phương trình này mô tả mối quan hệ nhiều hạt giữa các đại lượng vật lý của hệ ở đó có nhiều loại thăng giáng tương ứng với các tham số trật tự được xem xét. Phân tích sâu hơn hệ phương trình tự hợp này sẽ cho thấy sự ràng buộc cụ thể để khử bằng giản đồ giữa các họ giản đồ sinh ra bởi các kết cặp HS khác nhau.

(cid:19)(cid:19)

(cid:18)

Nói chung, ta có khả năng tính toán hệ các phương trình tự hợp (3.38) và (3.39) với một gần đúng nào đó. Một ý tưởng tốt và thuận tiện của một gần đúng như vậy là lý thuyết trường trung bình nhận được bằng cách tìm kiếm một lời giải cho tập hợp các phương trình điểm yên ngựa của tác dụng hiệu dụng trong phương trình (3.22). Ta có

(cid:18) 1 2

= 0 [G]−1 (3.40) S0 [{ϕi}] − ln det δ δϕi

Phương trình trường (3.40) đối với ϕ1 có thể được viết lại như sau

2, ω0

n2; pl, ωnl)

n2) (V1)−1 σ2σ0

σ2σ0 2

2σlσk

(p0 (ϕ1)∗ (p2, ωn2; p0

 

σ2 σ0 2

σlσl



N ≥1

Gαl = X (pl, ωnl) p2.p0 2 ωn2, ω0 n2 (−1)N −1 1 N

· · · X σN αN σ3 α3 pN ωnN

}

× (pl, ωnl; pk, ωnk) 4αlαk σlσk

{z σl=σ1,σk=σ2 (pk, ωnk)∆αkα3

σkσk

σkσ3 (p2, ωn2; p3, ωn3)

p3 ωn3 ∂ ∂ (ϕ1)σlσk |

σN σN

σN σ1 (pN, ωnN ; p1, ωn1)

(3.41) × Gαk · · · × GαN (pN, ωnN )∆αN α1

σkσk

σkσ2 (pk, ωnk; p2, ωn2)

Gαk (pk, ωnk)∆αkα2

+ · · · + X σ2 α2 p2 ωn2 pN −1 ωnN −1

σ2σ3 (p2, ωn2; p3, ωn3)

σ2σ2(pk, ωnk)∆α2α3

· · · X σN −1 αN −1 × Gα2

 

· · ·

σlσl

. × Gαl (pl, ωnl; pk, ωnk) (pl, ωnl) 4αlαk σlσk

 }

{z σl=σN ,σk=σ1

∂ ∂ (ϕ1)σlσk |

Nhân cả hai vế phương trình này bởi tanh θ(Φ1)σlσk (pl, ωnl; pk, ωnk), ta có:

101

(ϕ1)∗

3.1 Mô hình ba tham số trật tự

2, ω0

n2; pl, ωnl)

σ2σ0 2

2σlσk

n2) (V1)−1 (p0 σ2σ0 ×(Φ1)σlσk (pl, ωnl; pk, ωnk)

(p2, ωn2; p0 tanh θ

 

σ2 σ0 2

σlσl



N ≥1

= X Gαl (pl, ωnl)× p2.p0 2 ωn2, ω0 n2 (−1)N −1 1 N





σ3 α3 · · · X σN αN p3 ωn3 pN ωnN

  tanh θ(Φ1)σlσk (pl, ωnl; pk, ωnk)    |

  (pl, ωnl; pk, ωnk)    }

× 4αlαk σlσk

∂ ∂ (ϕ1)σlσk {z σl=σ1,σk=σ2

σN σN

σN σ1 (pN, ωnN ; p1, ωn1)

σkσk

σkσ3 (p2, ωn2; p3, ωn3) . . . GαN

(pN, ωnN )∆αN α1 (pk, ωnk)∆αkα3

σ2σ2(pk, ωnk)

σkσk

σkσ2 (pk, ωnk; p2, ωn2)Gα2

Gαk (pk, ωnk)∆αkα2

p2 ωn2 pN −1 ωnN −1



 

(pl, ωnl) × Gαk + · · · + X · · · X σ2 σN −1 α2 αN −1 × ∆α2α3 σ2σ3 (p2, ωn2; p3, ωn3) . . . Gαl σlσl 



  (pl, ωnl; pk, ωnk)    }

  tanh θ(Φ1)σlσk (pl, ωnl; pk, ωnk)    |

. × 4αlαk σlσk

∂ ∂ (ϕ1)σlσk {z σl=σN ,σk=σ1

(3.42)

σlσk

Một cách tương tự, nhân cả hai vế của phương trình trường (3.40) đối với ϕ2 bởi coth θ(Φ2)σlσk (pl, ωnl; pk, ωnk), và đối với ϕ3 bởi tanh θ(ϕ3)αl (pl, ωnl; pk, ωnk) ta được

102

(ϕ2)∗

3.1 Mô hình ba tham số trật tự

1, ω0

n1; pl, ωnl)

σ2σ0 1

1σlσk

n1) (V2)−1 (p0 σ2σ0 (Φ2)σlσk (pl, ωnl; pk, ωnk)

(p2, ωn2; p0 coth θ

 

σ2 σ0 1

σlσl



N ≥1

= X Gαl (pl, ωnl) p2.p0 1 ωn2, ω0 n1 (−1)N −1 1 N





σ3 α3 · · · X σN αN p3 ωn3 pN ωnN

  coth θ(Φ2)σlσk (pl, ωnl; pk, ωnk)    |

  (pl, ωnl; pk, ωnk)    }

× 4αlαk σlσk

∂ ∂ (ϕ2)σlσk {z σl=σ1,σk=σ2

σN σN

σN σ1 (pN, ωnN ; p1, ωn1)

σkσ3 (p2, ωn2; p3, ωn3) . . . GαN

σkσk

(pN, ωnN )∆αN α1 (pk, ωnk)∆αkα3

× Gαk + · · ·

σ2σ2(pk, ωnk)

σkσk

σkσ2 (pk, ωnk; p2, ωn2)Gα2

Gαk (pk, ωnk)∆αkα2

p2 ωn2 pN −1 ωnN −1



 

(pl, ωnl) · · · X + X σN −1 σ2 α2 αN −1 × ∆α2α3 σ2σ3 (p2, ωn2; p3, ωn3) . . . Gαl σlσl 



  (pl, ωnl; pk, ωnk)    }

  coth θ(Φ2)σlσk (pl, ωnl; pk, ωnk)    |

× , 4αlαk σlσk

∂ ∂ (ϕ2)σlσk {z σl=σN ,σk=σ1

(3.43)

103

3.1 Mô hình ba tham số trật tự

và

(ϕ3)∗

2, ω0

1, ωn0

n2; pl, ωnl)

2σlσk

σ2σ0 2

n2) (V3)−1 (p0 1σ0 σ0 (pl, ωnl; pk, ωnk)

σlσk

(p0 tanh θ ; p0 ×(ϕ3)αl

 

σ0 1 σ0 2

σlσl

1.p0 p0 2 , ω0 ωn0 n2 (−1)N −1 1 N



N ≥1

= X Gαl (pl, ωnl)





σ3 α3 · · · X σN αN p3 ωn3 pN ωnN

σlσk

  tanh θ(ϕ3)αl    |

  (pl, ωnl; pk, ωnk)    }

× (pl, ωnl; pk, ωnk) 4αlαk σlσk

∂ ∂ (ϕ3)σlσk {z σl=σ1,σk=σ2

σN σN

σN σ1 (pN, ωnN ; p1, ωn1)

σkσk

σkσ3 (p2, ωn2; p3, ωn3) . . . GαN

(pN, ωnN )∆αN α1 (pk, ωnk)∆αkα3

σ2σ2(pk, ωnk)

σkσk

σkσ2 (pk, ωnk; p2, ωn2)Gα2

Gαk (pk, ωnk)∆αkα2

p2 ωn2 pN −1 ωnN −1



 

(pl, ωnl) × Gαk + · · · · · · X + X σ2 σN −1 α2 αN −1 × ∆α2α3 σ2σ3 (p2, ωn2; p3, ωn3) . . . Gαl σlσl 

σlσk



  tanh θ(ϕ3)αl    |

  (pl, ωnl; pk, ωnk)    }

. × (pl, ωnl; pk, ωnk) 4αlαk σlσk

∂ ∂ (ϕ3)σlσk {z σl=σN ,σk=σ1

(3.44)

Cộng vế với vế cả ba phương trình này, ta nhận được

104

(ϕ1)∗

3.1 Mô hình ba tham số trật tự

2, ω0

n2; pl, ωnl)

σ2σ0 2

2σlσk

n2) (V1)−1 (p0 σ2σ0 ×(Φ1)σlσk (pl, ωnl; pk, ωnk)

(p2, ωn2; p0 tanh θ

(ϕ2)∗

σ2 σ0 2 p2.p0 2 ωn2, ω0 n2

1, ω0

n1; pl, ωnl)

σ2σ0 1

1σlσk

n1) (V2)−1 (p0 σ2σ0 ×(Φ2)σlσk (pl, ωnl; pk, ωnk)

(p2, ωn2; p0 coth θ

+ X σ2 σ0 1 p2.p0 1 ωn2, ω0 n1

(ϕ3)∗

2, ω0

1, ωn0

2, ω0

n2; pl, ωnl)

σ2σ0 2

2σlσk

n2) (V3)−1 (p0 1σ0 σ0 (pl, ωnl; pk, ωnk)

σlσk

(p0 tanh θ ; p0 ×(ϕ3)αl

 

+ X σ0 1 σ0 2

σlσl

1.p0 p0 2 , ω0 ωn0 n2 (−1)N −1 1 N



N ≥1

= X Gαl (pl, ωnl)





σ3 α3 · · · X σN αN p3 ωn3 pN ωnN

 ∂4αlαk   σlσk  ∂ (ϕ3)σlσk    }

   tanh θ(Φ1)σlσk     |

{z αlαk ∂ ∂θ 4 σlσk

× + coth θ(Φ2)σlσk + tanh θ(ϕ3)σlσk ∂4αlαk σlσk ∂ (ϕ2)σlσk ∂4αlαk σlσk ∂ (ϕ1)σlσk

σN σN

σN σ1 (pN, ωnN ; p1, ωn1)

σkσk

σkσ3 (p2, ωn2; p3, ωn3) . . . GαN

(pN, ωnN )∆αN α1 (pk, ωnk)∆αkα3

σkσk

σkσ2 (pk, ωnk; p2, ωn2)

Gαk (pk, ωnk)∆αkα2

p2 ωn2 pN −1 ωnN −1

σ2σ3 (p2, ωn2; p3, ωn3) . . . . . . Gαl σlσl



 

(pl, ωnl) × Gαk + · · · · · · X + X σN −1 σ2 αN −1 α2 × Gα2 σ2σ2(pk, ωnk)∆α2α3 



 ∂4αlαk   σlσk  ∂ (ϕ3)σlσk    }

   tanh θ(Φ1)σlσk     |

{z αlαk ∂ ∂θ 4 σlσk

 

× + coth θ(Φ2)σlσk + tanh θ(ϕ3)σlσk ∂4αlαk σlσk ∂ (ϕ2)σlσk ∂4αlαk σlσk ∂ (ϕ1)σlσk

σlσl



N ≥1

{z σl=σ1,σk=σ2

= X Gαl (pl, ωnl) 4αlαk σlσk (−1)N −1 1 N ∂ ∂θ | (pl, ωnl; pk, ωnk) }

σkσk

σ3 α3 p3 ωn3 pN ωnN

σN σN

× Gαk × GαN (pk, ωnk)∆αkα3 (pN, ωnN )∆αN α1 · · · X σN αN σkσ3 (p2, ωn2; p3, ωn3) . . . σN σ1 (pN, ωnN ; p1, ωn1) + · · ·

105

3.1 Mô hình ba tham số trật tự

σkσ2 (pk, ωnk; p2, ωn2)

σkσk

Gαk (pk, ωnk)∆αkα2



 

+ X · · · X σ2 p2 σN −1 ωn2 α2 αN −1 σ2σ2(pk, ωnk)∆α2α3 × Gα2 pN −1 ωnN −1 σ2σ3 (p2, ωn2; p3, ωn3) . . .  (3.45)

σlσl



  (pl, ωnl; pk, ωnk)   }

{z σl=σN ,σk=σ1

. × Gαl (pl, ωnl) 4αlαk σlσk ∂    ∂θ  |

(ϕ1)∗

Lấy tổng cả hai vế của phương trình (3.45) theo αl, αk; σl, σk; pl, pk; ωnl, ωnk (ký hiệu ngắn là a ≡ (αl, αk; σl, σk; pl, pk; ωnl, ωnk)), ta nhận được:

2, ω0

n2; pl, ωnl)

σ2σ0 2

2σlσk

n2) (V1)−1 (p0 σ2σ0 ×(Φ1)σlσk (pl, ωnl; pk, ωnk)

(p2, ωn2; p0 tanh θ

(ϕ2)∗

σ2 σ0 2 p2.p0 2 ωn2, ω0 n2

1, ω0

n1; pl, ωnl)

σ2σ0 1

1σlσk

n1) (V2)−1 (p0 σ2σ0 ×(Φ2)σlσk (pl, ωnl; pk, ωnk)

(p2, ωn2; p0 + X coth θ

σ2 σ0 1 p2.p0 1 ωn2, ω0 n1

(ϕ3)∗

1, ωn0

2, ω0

n2; pl, ωnl)

σ2σ0 2

2σlσk

n2) (V3)−1 (p0 1σ0 σ0 (pl, ωnl; pk, ωnk)

σlσk

(p0 tanh θ + X ; p0 ×(ϕ3)αl

σ0 1 σ0 2

1.p0 p0 2 , ω0 ωn0 n2  (−1)N −1 1  N



N ≥1

σ1σ2 (p1, ωn1; p2, ωn2)

σ1σ1(p1, ωn1) ∂

∂θ 4α1α2

= X

σN σN

σN σ1 (pN, ωnN ; p1, ωn1)

Gα1 . . . × GαN (pN, ωnN )∆αN α1

σ1 α1 · · · X σN αN p1 ωn1 pN ωnN

!  

+ · · ·



σN σ1 (pN, ωnN ; p1, ωn1)

σ1σ1(p1, ωn1)∆α1α2 (pN, ωnN ) ∂ σN σN

σ1σ2 (p1, ωn1; p2, ωn2) ∂θ 4αN α1

Gα1 . . . × GαN

+ X σ1 α1 pN ωnN · · · X σN αN (cid:19) = . ln det [G0]−1 ∂ ∂θ p1 ωn1 (cid:18) 1 2

(3.46)

106

(cid:17)

3.1 Mô hình ba tham số trật tự

* (ϕi)∗ (cid:16)

D ∂ ∂θ ln det

2 [G0]−1(cid:17)E (cid:16) 1

Bởi vì = 0 và chú ý rằng = 0, ta suy ra: (ϕi)∗ V −1 i

1V −1 ϕ∗

1 ϕ1

D 2V −1 ϕ∗

2 ϕ2

D 3V −1 ϕ∗

2 ϕ3

tanh θ + coth θ + tanh θ = 0. (3.47)

(cid:21)1/2

(cid:20) −

Từ phương trình này ta có

2V −1 2V −1

2 ϕ2i 2 ϕ2i+hϕ∗

1V −1

3V −1

3 ϕ3i

(cid:21)1/2

(cid:20)

sinh θ = , (3.48) hϕ∗ hϕ∗ 1 ϕ1i+hϕ∗

3 ϕ3i

3 ϕ3i 3V −1 2 ϕ2i+hϕ∗

3V −1

1V −1 1 ϕ1i+hϕ∗

1 ϕ1i+hϕ∗ 2V −1

1V −1

hϕ∗ . (3.49) coth θ = hϕ∗

(cid:20)

(cid:21)1/2

Tương tự như tính toán đã làm với tham số θ, đối với tham số φ ta cũng có

1 ϕ1i 1V −1 1 ϕ1i+hϕ∗

3 ϕ3i

1V −1

3V −1

(cid:20)

(cid:21)1/2

hϕ∗ sin φ = , (3.50) hϕ∗

3 ϕ3i 3V −1 1 ϕ1i+hϕ∗

1V −1

3V −1

3 ϕ3i

hϕ∗ cos φ = . (3.51) hϕ∗

1 ϕ1

D ϕ∗ 1V −1 *

(ϕ1)∗

Ở đây để thuận tiện ta đã sử dụng các ký hiệu ngắn

2, ω0

n2; pl, ωnl)

σ2σ0 2

2σlσk

n2) (V1)−1 (p0 σ2σ0 ×(ϕ1)σlσk (pl, ωnl; pk, ωnk)

(p2, ωn2; p0 = ,

2 ϕ2

D ϕ∗ 2V −1 *

(ϕ2)∗

σ2, p2, ωn2 σ0 2, ω0 2, p0 n2 E

1, ω0

n1; pl, ωnl)

σ2σ0 1

1σlσk

n1) (V2)−1 (p0 σ2σ0 (ϕ2)σlσk (pl, ωnl; pk, ωnk)

(p2, ωn2; p0 = ,

1, ω0 n1

2 ϕ3

D 3V −1 ϕ∗ *

σ2, p2, ωn2. σ0 1, p0 E

(ϕ3)∗

1, ωn0

2, ω0

n2; pl, ωnl)

σ2σ0 2

2σlσk

n2) (V3)−1 (p0 1σ0 σ0 ×(ϕ3)σlσk (pl, ωnl; pk, ωnk)

(p0 ; p0 = .

1, p0 σ0 2, p0 σ0

1, ωn0 2, ω0 n2

a .

107

3.1 Mô hình ba tham số trật tự

(3.52)

1/2





1 ϕ1

Như vậy sau khi khử các tham số θ, φ trong hệ 5 phương trình (3.38) , (3.39) và (3.40) ta nhận được kết quả





1V −1 ϕ∗

1 ϕ1

D 1V −1 ϕ∗ D 2V −1 ϕ∗

2 ϕ2

3V −1 ϕ∗

3 ϕ3

1/2



2 ϕ2

= γd = cosh θ sin φ + +

 −



1V −1 ϕ∗

1 ϕ1

D 2V −1 ϕ∗ D 2V −1 ϕ∗

2 ϕ2

3V −1 ϕ∗

3 ϕ3

1/2





3 ϕ3

(3.53) = γex = sinh θ + +





1V −1 ϕ∗

1 ϕ1

D 3V −1 ϕ∗ D 2V −1 ϕ∗

2 ϕ2

3V −1 ϕ∗

3 ϕ3

= γC = cosh θ cos φ + +

thế ngược các tham số (3.53) vào hệ năm phương trình trên ta nhận được ba phương trình

(p0 (ϕ1)∗ (p2, ωn2; p0

2, ω0

n2; pl, ωnl)

n2) (V1)−1 σ2σ0

σ2σ0 2

2σlσk

 

σ2 σ0 2

σlσl



N ≥1

{z σl=σ1,σk=σ2

Gαl = X p2, p0 2 ωn2, ω0 n2 (−1)N −1 1 N (pl, ωnl) δαlαk(−1)αli cosh θ sin φ }

· · · X σN αN p3 ωn3 pN ωnN

σN σN

σN σ1 (pN, ωnN ; p1, ωn1)

σkσk

σkσ3 (pk, ωnk; p3, ωn3) . . . GαN

(pN, ωnN )∆αN α1 σ3 α3 (pk, ωnk)4αkα3

σkσk

σkσ2 (pk, ωnk; p2, ωn2)

Gαk (pk, ωnk)4αkα2

 

· · · X σN −1 αN −1 × Gαk + · · · + X σ2 α2 p2 ωn2

σ2σ2(p2, ωn2)∆α2α3

σ2σ3 (p2, ωn2; p3, ωn3) . . . Gαl σlσl

{z σl=σN ,σk=σ1

, × Gα2 (pl, ωnl) δαlαk(−1)αli cosh θ sin φ  }

(3.54)

108

3.1 Mô hình ba tham số trật tự

(p0 (ϕ2)∗ (p2, ωn2; p0

1, ω0

n1; pl, ωnl) =

n1) (V2)−1 σ2σ0

1σlσk

σ2σ0 1

 

σ2 σ0 1

σlσl



N ≥1

{z σl=σ1,σk=σ2

= X Gαl p2, p0 1 ωn2, ω0 n1 (−1)N −1 1 N (pl, ωnl) δαlαk(−1)αl sinh θ }

· · · X σN αN p3 ωn3 pN ωnN

σN σN

σN σ1 (pN, ωnN ; p1, ωn1)

σkσ3 (pk, ωnk; p3, ωn3) . . . GαN

σkσk

(pN, ωnN )∆αN α1 σ3 α3 (pk, ωnk)4αkα3

σkσ2 (pk, ωnk; p2, ωn2)

σkσk

Gαk (pk, ωnk)4αkα2

 

· · · X σN −1 αN −1 × Gαk + · · · + X σ2 α2 p2 ωn2

σ2σ2(p2, ωn2)∆α2α3

σ2σ3 (p2, ωn2; p3, ωn3) . . . Gαl σlσl

{z σl=σN ,σk=σ1

× Gα2 , (pl, ωnl) δαlαk(−1)αl sinh θ  }

(3.55)

1, ω0

(p0 (p0

2, ω0

n1; p0

n2; pl, ωnl) =

n2) (V3)−1 1σ0 σ0

2σlσk

(ϕ3)∗ 1σ0 σ0 2

 

σ0 1 σ0 2

σlσl



N ≥1

{z σl=σ1,σk=σ2

= X Gαl p0 1, p0 2 n1, ω0 ω0 n2 (−1)N −1 1 N (pl, ωnl) (1 − δαlαk) (−2i cosh θ cos φ) }

· · · X σN αN p3 ωn3 pN ωnN

σN σN

σN σ1 (pN, ωnN ; p1, ωn1)

σkσk

σkσ3 (pk, ωnk; p3, ωn3) . . . GαN

(pN, ωnN )∆αN α1 σ3 α3 (pk, ωnk)4αkα3

σkσk

σkσ2 (pk, ωnk; p2, ωn2)

Gαk (pk, ωnk)4αkα2

 

· · · X σN −1 αN −1 × Gαk + · · · + X σ2 α2 p2 ωn2

σ2σ2(p2, ωn2)∆α2α3

σ2σ3 (p2, ωn2; p3, ωn3) . . . Gαl σlσl

{z σl=σN ,σk=σ1

. × Gα2 (pl, ωnl) (1 − δαlαk) (−2i cosh θ cos φ)  }

(3.56)

Hệ phương trình này bao gồm các phương trình khe BCS và phương trình độ từ hóa chứa đựng những đóng góp của các kênh khác nhau, nhận được dễ dàng từ gần đúng HFB, dẫn đến một nghiệm khả dĩ đối với sự đồng tồn tại của nhiều pha. Hơn nữa, trong lân cận sự chuyển pha, khai triển nhiễu loạn xa hơn của tác dụng hiệu dụng

109

3.1 Mô hình ba tham số trật tự

trong (3.22) quanh lý thuyết trường trung bình theo các trường phụ để lộ ra nhiều thông tin về sự chuyển pha của chúng mà sự chuyển pha đó được mô tả bởi phiếm hàm Ginzburg-Landau nhiều thành phần của các tham số trật tự.

3.1.3. Phiếm hàm Ginzburg-Landau ba thành phần

Khai triển tác dụng hiệu dụng theo các trường phụ {ϕi} tới bậc bốn trong đó chỉ bao gồm những số hạng thỏa mãn tính đối xứng của hệ và giữ lại số cực tiểu các số hạng để nhận được các kết quả có ý nghĩa vật lý, ta thu được phiếm hàm năng lượng tự do GL với sự tham gia của nhiều tham số trật tự mô tả mối quan hệ của các pha sóng mật độ điện tích, sóng spin và siêu dẫn.

fGL [{ϕi}] = a1 |ϕ1|2 + a2 |ϕ2|2 + a3 |ϕ3|2 + b1 (ϕ∗

1) |ϕ3|2 + b2 (ϕ1) |ϕ3|2 2) |ϕ3|2 + b4 (ϕ2) |ϕ3|2 + c1 |ϕ1|4 + c2 |ϕ2|4 + c3 |ϕ3|4

(3.57)

+ b3 (ϕ∗ + c4 |ϕ1|2 |ϕ2|2 + c5 |ϕ2|2 |ϕ3|2 + c6 |ϕ3|2 |ϕ1|2

Ở đây, cả ba số hạng bậc hai |ϕ1|2 , |ϕ2|2 , |ϕ3|2 có vai trò như nhau, và cả ba số hạng bậc bốn |ϕ1|4 , |ϕ2|4 , |ϕ3|4 cũng vậy, chúng mô tả mỗi kênh riêng biệt tương ứng. Các số hạng khác mô tả tương tác giữa các kênh đưa đến sự đồng tồn tại của các pha cân bằng. Các hệ số khai triển ai, bj, ck là các hàm của nhiệt độ (có thể là cả áp suất và các đại lượng nhiệt động khác) và là tích của các hàm Green tự do của các điện tử và lỗ trống. Tổng theo tần số Fermi Masubara ωn = (2n + 1) π β và các véc tơ sóng k của các tích này có thể tính được nhờ khai triển Taylor và lý thuyết thặng dư.

Nhờ phép biến đổi HS để tách cặp các số hạng tương tác hai hạt, ta thu được phiếm hàm (3.57) theo cách tổng quát nhất. Thực tế, các trường phụ {ϕi} chưa phải là pha cụ thể nào bởi vì như đã nói ở trên các chỉ số spin σ, σ0 là chung cho tất cả các pha khả dĩ. Thêm vào đó, thế năng nghịch đảo V −1 được đưa vào theo phương pháp tách cặp trong hầu hết các hệ vật lý không phải luôn tồn tại.

1σ2σ1

(k0, k, q), được định nghĩa bởi: {ϕi} đóng vai trò tham số cụ thể nào, và {ϕi} nào tồn tại trong mỗi bài toán cụ thể sẽ phụ thuộc vào việc chúng ta chọn kênh nào để tách cặp. Sự lựa chọn kênh đúng phụ thuộc chủ yếu vào hai yếu tố: cấu trúc toán học của số hạng tương tác hai hạt và lý do vật lý của hệ được xem xét. Về mặt toán học, sự lựa chọn kết cặp đúng tương ứng với sự tồn tại của tích phân Gaussian W của các trường phụ boson {ϕi}. Nói cách khác, phải tồn tại ma trận nghịch đảo V −1, mà thành phần Hermitian của nó là một ma trận xác định dương với các giá trị riêng thực. Nghịch đảo của phần tử ma trận hai hạt, (V )−1 2σ0 σ0

110

3.2 Các mô hình đơn giản

1σ0(k, k0, q)(Vd)−1 σ0σ0

1σ0 2

2σσ2

σ,σ0

(3.58) (k0, k1, q) = δkk1δσ1σ2δσ0 Vσ1σσ0

k0 X

1σ0 2

σ,σ0

(k0, k, q) = (3.59) δσ1σ2δσ0 Vσ1σσ0σ0 (k, k0, q)(Vex)−1 σ0 2σ0σσ2

1σ0 2

1σ2σ1

1,σ0 σ0 2

(k0, k, q) = (3.60) δσ1σ3δσ2σ4 Vσ3σ4σ0 (k, k0, q)(VC)−1 2σ0 σ0

Khi cấu trúc toán học của số hạng tương tác hai hạt thỏa mãn, ta cần phải được xem xét về mặt vật lý. Trong trường hợp đơn giản nhất, các phần tử ma trận hai hạt không phụ thuộc vào spin, cả ba sự tách cặp đều khả dĩ và tất cả các tham số trật tự có thể đồng tồn tại trong hệ được xem xét. Tuy nhiên, trong trường hợp này, các tính toán lý thuyết sẽ dẫn đến các kết quả khác nhau, tức là sự lưỡng nghĩa sẽ xuất hiện. Để tránh điều này, ta cần tính đến sự phụ thuộc spin của phần tử ma trận hai hạt trong các mô hình vi mô. Lý do vật lý đơn giản nhất cho việc này là sự đóng góp của các boson trao đổi phản ánh các tương tác giữa các điện tử dẫn và các thăng giáng nền boson sẽ đưa đến sự xuất hiện các kênh cạnh tranh được lựa chọn. Tùy thuộc vào các chỉ số spin được tách ra như thế nào (σ, σ0 là ↓↓, ↑↑ hoặc ↓↑ ± ↑↓) mà ta sẽ có trật tự siêu dẫn singlet hay trật tự siêu dẫn triplet, trật tự sắt từ hay trật tự phản sắt từ. Nếu trật tự là singlet, hệ hoàn toàn có thể tồn tại một pha phản sắt từ và pha siêu dẫn singlet như trong CeRhIn5 và CeIrIn5. Nếu trật tự là triplet, hệ hoàn toàn có thể tồn tại một pha sắt từ và một pha siêu dẫn triplet như trong UGe2 mà không phụ thuộc vào việc các điện tử có định xứ hay là không.

3.2. Các mô hình đơn giản

Như được thảo luận ở trên, giữa vô số khả năng tách số hạng tương tác hai hạt thành các số hạng một hạt như trong (3.5), có ba trường hợp đặc biệt: khi γi = 1 và γj6=i = 0. Những trường hợp này được biết như là các kênh trực tiếp, trao đổi và Cooper. Sau đây sẽ xét một số mô hình vật lý đơn giản rút ra từ các kênh này

3.2.1. Kênh mật độ

Khi γd = 1 và γex = γC = 0, Hamiltonian của hệ có dạng

(3.61) H = H0 + H d 1 ,

trong đó

σ(k)ψσ(k)

H0 = X (cid:15)σ(k)ψ† (3.62)

k

111

3.2 Các mô hình đơn giản

σ1(k−

σ2(k0+

1σ0 2

H d (k+ (k, k0, q)ψ† (k0− ), ψ† )ψσ0 )ψσ0 ) (Vd)σ1σ2σ0

k,k0,q

1 = X σ1,σ2,σ0

1,σ0 2

q 2 q 2 q 2

1σ0 2

q 2 (3.63)

k,k0,q V (q)ˆnkˆnk0, trong đó ˆnk = P

σ ψ†

(k, k0, q) ≡ V (q) chứa các tích phân theo bình phương Các số hạng direct Vσ1σ2σ0 mô đun của các hàm Wannier và các thăng giáng mật độ kết cặp tại các nút lân cận, P σ(k)ψσ(k). Đóng góp này giải thích cho bản chất tương tác cổ điển giữa các điện tích nằm ở các nút lân cận. Trong một số vật liệu, các tương tác của loại này có khả năng gây ra sự mất ổn định chung trong sự phân bố điện tích được biết đến là sóng mật độ điện tích không ổn định. Trong gần đúng điện tử gần tự do, Hamiltonian trên thường được rút gọn tới môi trường một chiều và bỏ qua các bậc tự do spin

H = X (cid:15)(k)ψ†(k)ψ(k)+ X )ψ(k + )V (q)ψ†(k0 + )ψ(k0 − ), (3.64) ψ†(k −

k

q 2 q 2 q 2 q 2

k,k0,q

các kích thích cơ bản của hệ fermion một chiều là các sóng, nghĩa là các kích thích tương ứng với hệ thức tán sắc tuyến tính ω = vρ |q| (vρ là trị riêng của Hamiltonian một chiều), chúng được gọi là sóng mật độ điện tích (một sự trình bày chi tiết hơn xem trong tài liệu tham khảo [9], trang 68).

3.2.2. Kênh trao đổi

Một đóng góp quan trọng khác đến từ kết cặp trao đổi của kênh exchange, kết cặp này gây ra các tương quan từ giữa các spin điện tử. Bỏ qua các số hạng kết cặp theo các kênh trực tiếp và Cooper, Hamiltonian của hệ bây giờ có dạng

(3.65) H = H0 + H ex 1 ,

trong đó

σ(k)ψσ(k)

H0 = X (cid:15)σ(k)ψ† (3.66)

k

và

σ2(k0+

σ1(k−

1σ0 2

H ex (k0− (k, k0, q)ψ† (k+ ), ψ† )ψσ0 )ψσ0 ) (Vex)σ1σ2σ0

k,k0,q

1 = X σ1,σ2,σ0

1,σ0 2

q 2 q 2 q 2

q 2 (3.67)

Ta hãy suy ra một vài mô hình đơn giản từ kênh này.

112

3.2 Các mô hình đơn giản

3.2.2.1. Mô hình Heisenberg

Mô hình Heisenberg có thể được xây dựng với giả thiết đóng góp vượt trội là đến từ số hạng tương tác đồng thời phần tử ma trận tán xạ kết cặp hai hạt phải có dạng

1σ0 2

σ2σ0 2

.σ† (3.68) (k, k0, q) = (Vex) (k, k0, q)σσ1σ0 (Vex)σ1σ2σ0

 

trong đó (Vex) (k, k0, q) = J là hằng số tương tác trao đổi, thỏa mãn



J = (3.69) J0 0 ở lân cận gần nhất các trường hợp khác

và J0 > 0 đối với tương tác sắt từ và J0 < 0 đối với tương tác phản sắt từ. Hamiltonian Heisenberg bây giờ được viết dưới dạng sau

H = −2 X JijSi.Sj (3.70)

Trong trường hợp sắt từ (J0 > 0) các spin sẽ định hướng song song cùng chiều. Điều này xảy ra khi sự xen phủ giữa các obitan i và j lớn. Khi đó do nguyên lí Pauli (tương tự như trường hợp của quy tắc Hund) điện tử sẽ có xu hướng xắp song song cùng chiều spin của chúng. Tuy nhiên nếu các spin nằm đối song ở các nguyên tử lân cận thì một sự chui hầm, một hiệu ứng chỉ khả dĩ nếu các spin xắp ngược nhau, có thể thích hợp hơn, vì vậy trong trường hợp này J0 < 0.

3.2.2.2. Mô hình Hubbard

Thực hiện các phép biến đổi Fourier, biểu diễn mới của Hamiltonian của hệ trong hệ cơ sở các hàm Wannier có dạng

iσai0σ − X

iσa†

i0σ0aj0σ0ajσ

ii0jj0

tii0a† Uii0jj0a† (3.71) H = X ii0

trong đó

(cid:15)keik(Ri−Ri0 ) tii0 = (3.72) 1 N

k

và

1σ0 2

dr (r − r0)φ∗ (3.73) Uii0jj0 = (r)φRj (r)Vσ1σ2σ0 dr0φ∗ Ri

Ri0 (r0)φRj0 (r0)

(cid:2) (cid:2)

113

i Uiiiia†

iσa†

iσ0aiσ0aiσ = P

3.2 Các mô hình đơn giản

Trong giới hạn nguyên tử, ở đó các nguyên tử tách rời nhau, và sự xen phủ giữa các orbital lân cận là yếu, các phần tử ma trận tij là nhỏ theo quy luật hàm số mũ đối với khoảng cách giữa các nguyên tử. Trong giới hạn này, tương tác Coulomb hay Hubbard “tại chỗ”, Uiiii = U , P i U ˆni↑ˆni↓, tạo ra cơ chế tương tác vượt trội. Chỉ lấy sự đóng góp lân cận gần nhất cho các phần tử ma trận trao đổi, và bỏ qua sự bù năng lượng do bởi số hạng chéo, Hamiltonian hiệu dụng có dạng đơn giản được biết đến là mô hình Hubbard

iσajσ + U X a†

hiji

H = −t X ˆni↑ˆni↓ (3.74)

trong đó hiji ký hiệu các nút mạng lân cận.

3.2.3. Kênh Cooper

Cuối cùng, kết cặp Cooper giữa các fermion trong kênh Cooper có thể gây ra các hiện tượng siêu dẫn. Bỏ qua các số hạng kết cặp theo các kênh trực tiếp và trao đổi, Hamiltonian của hệ bây giờ có dạng

(3.75) H = H0 + H C 1 ,

trong đó

σ(k)ψσ(k)

(cid:15)σ(k)ψ† H0 = X (3.76)

k

và

σ2(k0+

σ1(k−

1σ0 2

H C )ψ† ) (k0− (k+ ψ† (k, k0, q)ψσ0 )ψσ0 ) (VC)σ1σ2σ0

k,k0,q

1 = X σ1,σ2,σ0

1,σ0 2

q 2 q 2 q 2

q 2 (3.77)

Tùy theo tương quan spin là singlet hay triplet mà ta có mô hình siêu dẫn truyền thống hay phi truyền thống.

3.2.3.1. Siêu dẫn truyền thống (Siêu dẫn BCS)

114

3.3 Thảo luận

Trong trường hợp cặp Cooper là kết cặp singlet, Hamiltonian trên được viết lại dưới dạng

H = X (cid:15)kc† Vkl

kσckσ + X

(3.78)

k↑c† c†

−k↓c−l↓cl↑.

k,σ

k,l

 

d3rV (r)ei(k−k0)r, và gần đúng trường trung bình được tạo ra như (cid:1)Ω trong đó Vkk0 = 1 Ω sau



(3.79) Vkk0 = −V 0 khi (cid:15)F < (cid:15)k < (cid:15)F + (cid:126)ωc các trường hợp khác,

trong đó (cid:15)F là năng lượng Fermi và ωc là tần số ngưỡng. Phương trình (3.79) cho thấy rằng ta chỉ cần xét các tương tác mà chúng được phép trong một phạm vi tần số của kim loại, giống như các giả thiết được tạo ra trong mô hình Debye.

3.2.3.2. Siêu dẫn không truyền thống

H = X (cid:15)kc† Vk,l;σ1σ2σ3σ4

kσckσ + X

σ1,σ2,σ3,σ4

(3.80) c−lσ3clσ4, c† kσ1 c† −kσ2

k,σ

k,l

trong đó ma trận tán xạ kết cặp

1σ0 2

(3.81) (k, k0, q) ≡ Vk,l;σ1σ2σ3σ4 = h−kσ1; kσ2| ˆV |−lσ3; lσ4i , (VC)σ1σ2σ0

có thể biểu diễn được dưới dạng

1σ0 2

(3.82) (VC)σ1σ2σ0 (k, k0, q) = (VC) (k, k0, q) (iσσy)σ1σ2 (iσσy)† 1σ0 σ0 2

với (VC) (k, k0, q) = VC là hằng số tương tác hút.

3.3. Thảo luận

Phiếm hàm năng lượng Ginzburg-Landau nhiều thành phần (3.57) là phiếm hàm thu được theo cách tổng quát nhất, nó chứa cả các số hạng mô tả mỗi kênh riêng biệt tương ứng lẫn các số hạng khác mô tả tương tác giữa các kênh khả dĩ đưa đến sự đồng tồn tại của các pha cân bằng. Tùy theo bài toán cụ thể ta xét sự đồng tồn tại của trật tự

115

3.3 Thảo luận

siêu dẫn singlet hay trật tự siêu dẫn triplet, trật tự sắt từ hay trật tự phản sắt từ mà rút ra phiếm hàm năng lượng Ginzburg-Landau cụ thể. Chẳng hạn phiếm hàm năng lượng Ginzburg-Landau một thành phần (2.127) có thể nhận được từ phiếm hàm năng lượng Ginzburg-Landau nhiều thành phần (3.57) khi cho các tham số γd, γex của các kênh trực tiếp và trao đổi bằng không.

Như đã nói ở trên, {ϕi} đóng vai trò tham số cụ thể nào, và {ϕi} nào tồn tại trong mỗi bài toán cụ thể sẽ phụ thuộc vào việc chúng ta chọn kênh nào để tách cặp. Sự lựa chọn kênh đúng phụ thuộc chủ yếu vào hai yếu tố: cấu trúc toán học của số hạng tương tác hai hạt và lý do vật lý của hệ được xem xét. Về mặt toán học, sự lựa chọn kết cặp đúng tương ứng với sự tồn tại của tích phân Gaussian W của các trường phụ boson {ϕi}. Còn về mặt vật lý ta cần tính đến sự phụ thuộc spin của phần tử ma trận hai hạt trong các mô hình vi mô. Tùy thuộc vào các chỉ số spin được tách ra như thế nào (σ, σ0 là ↓↓, ↑↑ hoặc ↓↑ ± ↑↓) mà ta sẽ có trật tự siêu dẫn singlet hay trật tự siêu dẫn triplet, trật tự sắt từ hay trật tự phản sắt từ. Chẳng hạn, đối với bài toán sự đồng tồn tại của trật tự sắt từ và siêu dẫn trong UGe2, hệ hoàn toàn có thể tồn tại một pha sắt từ và một pha siêu dẫn triplet. Vì vậy, chương còn lại của luận án chúng tôi sẽ xem xét khả năng sử dụng phiếm hàm GL (3.57) để nghiên cứu sự đồng tồn tại của pha sắt từ và siêu dẫn triplet trong hệ UGe2.

116

4. SỰ ĐỒNG TỒN TẠI CÁC TRẬT TỰ SẮT TỪ VÀ SIÊU DẪN TRONG CÁC HỢP CHẤT FERMION NẶNG

Các hiện tượng từ và siêu dẫn truyền thống đã được biết đến từ lâu. Thế nhưng, tính chất nghịch từ hoàn hảo của siêu dẫn, trong một thời gian dài, đã khiến cho người ta có suy nghĩ rằng từ tính không hợp với siêu dẫn. Tuy nhiên năm 1979 Steglich và các cộng sự đã khám phá ra vật liệu fermion nặng đầu tiên có tính siêu dẫn là CeCu2Si2[81]. Trong những năm 80, tính siêu dẫn đã được tìm thấy trong các hợp chất fermion nặng dựa trên U, chẳng hạn như UBe13 (năm 1983) [65] và UPt3 (năm 1984) [82]. Trong các hợp chất có chứa nguyên tố đất hiếm cerium Ce và uranium U này, trật tự siêu dẫn có thể đồng tồn tại với trật tự phản sắt từ và các spin của các điện tử lân cận nhau sắp xếp thành một cấu hình phản song song dưới các điều kiện đặc biệt (áp suất cao và nhiệt độ rất thấp). Một đột phá khác là sự phát hiện ra UGe2 trong năm 2000, tiếp theo sau đó các chất UIr,URhGe, và UCoGe có sự đồng tồn tại của các trật tự sắt từ và siêu dẫn. Trong các vật liệu này người ta quan sát được hiện tượng siêu dẫn ở dưới nhiệt độ Curie mà không có hiện tượng loại trừ trật tự sắt từ. Các nghiên cứu về hệ fermion nặng và các vật liệu ngoại lai khác chỉ ra rằng sự cạnh tranh giữa các trật tự từ và siêu dẫn là một đặc tính quan trọng của các hệ điện tử tương quan mạnh.

Để nghiên cứu các hiện tượng đồng tồn tại của từ và siêu dẫn người ta thường dựa trên hình thức luận Ginzburg-Landau để xây dựng phiếm hàm năng lượng tự do hai thành phần. Bên cạnh đó, người ta cũng quan tâm đến việc thiết lập các mô hình vi mô để rút ra phiếm hàm năng lượng GL hai thành phần đó. Trong chương này, trước tiên chúng tôi trình bày một cách tiếp cận vi mô để rút ra phiếm hàm năng lượng GL hai thành phần. Tiếp theo, dựa trên bài toán riêng của siêu dẫn sắt từ của các hệ fermion nặng dựa trên Uranium, chúng tôi sẽ rút ra một biểu diễn chính thức cho phiếm hàm GL hai tham số trật tự sắt từ và siêu dẫn triplet và sau đó sử dụng nó để nghiên cứu sự đồng tồn tại của các pha sắt từ và siêu dẫn trong hệ UGe2. Và cuối cùng, các tính toán giải tích và tính số được tiến hành để chỉ ra các miền pha cân bằng. Các kết quả sẽ được biểu diễn bằng đồ thị để minh họa sự đồng tồn tại của pha sắt từ và siêu dẫn triplet trong hệ UGe2 (chương này được trích một phần trong tài liệu tham khảo [51] của chính tác giả).

117

4.1 Nguồn gốc vi mô của phiếm hàm Ginzburg-Landau hai thành phần

4.1. Nguồn gốc vi mô của phiếm hàm Ginzburg-Landau hai thành phần

Ta bắt đầu từ một mô hình Fermion tương tác. Dưới dạng lượng tử hóa lần hai, Hamiltonian của hệ có thể viết dưới dạng

(4.1) H = H0 + H1,

trong đó

σ(k)ψσ(k),

(4.2) H0 = X (cid:15)σ(k)ψ†

k

H0 là Hamiltonian không nhiễu loạn mô tả hệ Fermion tự do; ψσ(k) và ψ† σ(k) là các toán tử hủy và sinh của Fermion với các hình chiếu spin là σ =↑, ↓; (cid:15)σ(k) là hệ thức tán sắc của các Fermion tự do và

σ1(k−

σ2(k0+

1σ0 2

(k, k0, q)ψ† )ψ† (k0− (k+ ). (4.3) )ψσ0 )ψσ0 Vσ1σ2σ0 q 2 q 2 q 2 q 2

k,k0,q

1,σ0 2

1σ0 2

H1 = X σ1,σ2,σ0

H1 là số hạng tương tác hai hạt hiệu dụng tổng quát của Fermion tương tác được viết (k, k0, q) là phần tử ma trận tán xạ kết cặp tổng dưới dạng trật tự chuẩn. Vσ1σ2σ0 quát, nó có thể bao gồm cả những sự đóng góp của các tương tác khác nhau trong hệ chẳng hạn như tương tác electron-phonon, tương tác spin-spin,... thậm chí cả tương tác impurity-electron và tương tác impurity-impurity. Về cả mặt toán học và vật lý, số hạng tương tác hiệu dụng tổng quát rất phức tạp và không có dạng giải tích chính xác và tường minh.

Để biến đổi Hamiltonian trên thành một Hamiltonian không tương tác hiệu dụng, ta tách cặp số hạng Fermion bậc bốn thành các số hạng bậc hai. Các gần đúng khác nhau có thể được sử dụng để thực hiện nhiệm vụ này. Trong miền nhiệt độ thấp, nơi mà các kích thích cơ bản là vượt trội, các thăng giáng quanh giá trị trung bình của các tham số trật tự là nhỏ đến mức các số hạng thăng giáng bậc hai có thể được bỏ qua thì phương pháp đơn giản nhất là gần đúng trường trung bình.

2σ0 1

(k0, k, q) và (ψψ)†

Có ít nhất ba lựa chọn không tương đương của sự kết cặp các toán tử Fermion có thể được sử dụng để cấu trúc nên số hạng song tuyến tính từ tương tác hai hạt tổng quát. Đó là các kết cặp theo kênh trực tiếp (ψ†ψ)σ1σ0 (k, −q, τ ), kênh trao đổi σ2σ1(k0, k, −q). (k0, k, q, τ ), và theo kênh Cooper (ψψ)σ0 (ψ†ψ)σ2σ0 Tuy nhiên, sự lựa chọn đúng của trường tách cặp sẽ chỉ được thúc đẩy bởi những lý do vật lý, nghĩa là, ta phải tiến tới thu được một lý thuyết hiệu dụng dựa trên các

118

1σ0 2

4.1 Nguồn gốc vi mô của phiếm hàm Ginzburg-Landau hai thành phần

h ψ†, ψ

trường kết cặp. Trong trường hợp đơn giản nhất, các phần tử ma trận hai hạt không (k, k0, q) = V (k, k0, q), sự tách cặp theo cả ba kênh là khả dĩ phụ thuộc spin, Vσ1σ2σ0 và cả ba tham số trật tự có thể đồng tồn tại trong hệ được xem xét. Tuy nhiên, trong trường hợp này các tính toán lý thuyết sẽ dẫn đến các kết quả khác nhau. Nói cách khác, sự lưỡng nghĩa xuất hiện. Để tránh lỗi này, chúng ta phải tính đến sự phụ thuộc (k, k0, q) trong mô hình vi mô. Lý do vật spin của phần tử ma trận hai hạt Vσ1σ2σ0 1σ0 2 lý đơn giản nhất phải đưa vào sự phụ thuộc spin của phần tử ma trận hai hạt trong mô hình vi mô là sự đóng góp của các boson trao đổi phản ánh tương tác giữa các điện tử dẫn và các thăng giáng boson nền mà nó gây ra các kênh cạnh tranh được lựa chọn. Phụ thuộc vào việc các chỉ số spin được tách ra như thế nào (σ, σ0 là ↓↓, ↑↑ hay ↓↑ ± ↑↓) mà ta sẽ có trật tự siêu dẫn singlet hay triplet, trật tự sắt từ hay phản sắt từ. Nếu như trật tự là singlet thì hệ có thể tồn tại một pha phản sắt từ và một pha siêu dẫn truyền thống như trong CeRhIn5 và CeIrIn5. Nếu trật tự là triplet, hệ có thể tồn tại một pha sắt từ cùng với pha siêu dẫn không truyền thống như trong UGe2 mà không phụ thuộc vào việc các điện tử có định xứ hay không.

Vì những lý do trên, trong bài toán này, số hạng tương tác hai hạt hiệu dụng tổng được tách thành một tổng của hai số hạng Fermion song tuyến tính quát H1 khả dĩ với các tham số tùy ý {γi}, trong đó i ∈ {ex,C} như sau

h ψ†, ψ

exH ex 1

CH C 1

1 và H C

1 là các tương tác hai hạt tổng quát được viết lại theo

ψ†, ψ = γ2 + γ2 ψ†, ψ (4.4) H1

ở đây các Hamiltonian H ex các số hạng song tuyến tính Fermion khác nhau:

σ2(k0 +

σ1(k −

1σ0 2

(k, k0, q)ψ† H ex ψ† (k0 − (k + ), )ψσ0 )ψσ0 ) (Vex)σ1σ2σ0 q 2 q 2 q 2 q 2

k,k0,q

1 = X σ1,σ2,σ0

1,σ0 2

(4.5)

σ1(k −

σ2(k0 +

1σ0 2

ψ† H C )ψ† (k0 − (k + ), (k, k0, q)ψσ0 )ψσ0 ) (VC)σ1σ2σ0 q 2 q 2 q 2 q 2

k,k0,q

1 = X σ1,σ2,σ0

1,σ0 2

(4.6)

và các giá trị của các tham số γi sẽ thỏa mãn đẳng thức

C = 1.

ex + γ2 γ2

1σ0 2

(4.7)

(k, k0, q) có thể được viết ra theo nhiều Đẳng thức này đảm bảo rằng thế năng Vσ1σ2σ0 cách khác nhau, nhưng tổng của chúng phải bằng thế năng ban đầu. Chúng ta có thể

119

4.1 Nguồn gốc vi mô của phiếm hàm Ginzburg-Landau hai thành phần

tìm được các tham số γi bằng cách cực tiểu hóa phiếm hàm năng lượng tự do GL theo γi.

Cụ thể, ma trận tương tác có dạng đơn giản

1σ0 2

σ2σ0 1

(4.8) .σ† (k, k0, q) = (Vex) (k, k0, q)σσ1σ0 (Vex)σ1σ2σ0

(cid:28)

trong đó (Vex) (k, k0, q) = Vex là hằng số tương tác. Khi đó, ta định nghĩa tham số trật tự sóng mật độ spin (SDW) như sau

(cid:29) )

σ2(k0 + ψ†

σ2σ0 1

Mσ1σ0 (k + (4.9) (Vex) (k, k0, q)σ† )ψσ0

k,k0

q 2 q 2 (q) = X σ2,σ0 1

Ở đây σ(i) ss0 ký hiệu phần tử (ss0) của ma trận Pauli thứ i, với s, s0 = ±1, và σ = ˆxσx + ˆyσy + ˆzσz ký hiệu véc tơ có các thành phần là các ma trận Pauli thông thường. Ta cũng xét tương tác siêu dẫn chỉ theo kênh triplet, nghĩa là

1σ0 2

, (4.10) (VC)σ1σ2σ0 (k, k0, q) = (VC) (k, k0, q) (iσσy)σ1σ2 (iσσy)† 1σ0 σ0 2

(cid:28)

với hằng số tương tác (VC) (k, k0, q) = VC. Tham số trật tự siêu dẫn triplet được xác định như sau

(cid:29) )

1σ0 2

(k + (k, k0, q) (k0 − )ψσ0 ψσ0 4σ1σ2(k, q) = (VC)σ1σ2σ0 q 2 q 2 (4.11) . = [i (d(k)σ) σy]σ1σ2

Sử dụng các tham số trật tự SC và SDW, ta viết lại phần tương tác dưới dạng bậc hai như sau

(cid:20) (M.σ)σ1σ0

σ1(k −

H ex (k0 − ) (q, τ )ψ† )ψσ0 q 2 q 2

k,k0,q

1 = X σ1,σ0 2

(4.12)

(cid:21) )

σ1(k0 +

σ1σ0 2

(k + + +(M.σ)† (q, τ )ψ† )ψσ0 q 2 q 2 M2 Vex

(cid:20) 4σ1σ2(k, q)ψ†

1 = X

σ1(k −

σ2(k0 +

σ1,σ2

H C )ψ† ) q 2 q 2

k,k0,q

(4.13)

(cid:21) )

σ1σ2(k, q)ψσ1(k +

+4† + . )ψσ2(k0 − q 2 q 2 |∆|2 VC

Để xác định năng lượng tự do GL, ta phải lấy tích phân theo các trường fermion của hàm phân bố chính tắc lớn trường trung bình. Để thuận tiện cho việc lấy tích phân,

120

4.1 Nguồn gốc vi mô của phiếm hàm Ginzburg-Landau hai thành phần

(cid:18)

(cid:19)

(cid:16)

(cid:17)T

ta viết lại các phương trình (4.12) và (4.13) dưới dạng bậc hai chặt chẽ của spinor bốn thành phần Ψ, được đưa vào như sau:

↑(−k + q

2 ) ψ↓(k + q

2 ) ψ†

↓(−k + q 2 )

(cid:18)

(cid:19)

(cid:16)

(cid:17)

Ψ k + = , (4.14) ψ↑(k + q q 2

↓(k + q

2 ) ψ†

2 ) ψ↑(−k + q

2 ) ψ↓(−k + q 2 )

k + = , (4.15) Ψ† ψ† ↑(k + q q 2

(cid:18)

(cid:19)

(cid:18)

(cid:19)

Bây giờ, Hamiltonian trường trung bình có thể được viết lại dưới dạng song tuyến tính

Ψ† k + , τ + + , D(k, k0, q)Ψ k0 − (4.16) HM F = − q 2 1 2 q 2 M2 Vex |∆|2 VC

k,k0,q





trong đó D(k, k0, q) là một ma trận cấp 4 × 4 cho bởi,

   

   

(4.17) D(k, k0, q) =

F↑↑ F↓↑ (cid:15)↑↑ + Φ↑↑ Φ↓↑ F↑↓ F↓↓ Φ↑↓ (cid:15)↓↓ + Φ↓↓ −(cid:15)↑↑ − Φ↑↑ −Φ↓↑ F ∗ ↑↑ F ∗ ↓↑ −Φ↑↓ −(cid:15)↓↓ − Φ↓↓ F ∗ ↑↓ F ∗ ↓↓

Trong phương trình (4.17), hai khối ma trận con bậc hai nằm ngoài đường chéo của ma trận D(k, k0, q) tương ứng là hệ siêu dẫn triplet thuần, và hai khối ma trận con nằm trên đường chéo chứa trường sóng mật độ spin M kết cặp các fermion giữa hai vùng điện tử và lỗ trống. Ở đây, để đơn giản cách viết các ký hiệu ngắn sau đã được sử dụng:

σ2σ1(−k, k0, −q, τ ).

C∆σ1σ2(−k0, k, q, τ ), C∆∗ ex [(M.σ)∗

σ0σ(−k, −q) + (M.σ)σσ0(k, q)] .

(4.18)

Fσσ0 = 2γ2 σσ0 = 2γ2 F ∗ (Φ)σσ0 = γ2

Để nhận được năng lượng tự do, ta bắt đầu với hàm phân bố chính tắc lớn của hệ. Nó có thể được biểu diễn theo một tích phân phiếm hàm như sau

 

 

Hàm phân bố chính tắc lớn của hệ có thể được biểu diễn theo một tích phân phiếm hàm như sau

h ψ†, ψ

# (τ )

σ(k, τ )∂τ ψσ(k, τ ) + H

dτ ψ† . (4.19) [Dψ] Dψ†i exp Z = − (cid:2)

k





(cid:2) 0

121

4.1 Nguồn gốc vi mô của phiếm hàm Ginzburg-Landau hai thành phần

(cid:19)

Với Hamiltonian trung bình trong phương trình (4.16), tích phân phiếm hàm trong phương trình (4.19) có dạng Gaussian, và các trường fermion có thể được lấy tích phân. Khi đó năng lượng tự do GL có thể nhận được theo cách khá dễ dàng, mang đến

(cid:18) 1 2

P k

α=e,h

ωn

σi=↑,↓

1 V

Ω ≡ 1

qi,ωνi

(4.20) F = + + − ln det [G0]−1 M2 Vex |∆|2 VC (cid:2)Ω

(cid:1)

Trong phương trình (4.20) hàm Green được cho bởi [G0]−1 (k, k0, q) = iωnI4×4 + D(k, k0, q), I4×4 là ma trận đơn vị cấp 4×4, và là ký hiệu của tổng theo xung lượng, các tần số Matsubara, spin và các chỉ số vùng của các điện tử và lỗ trống. Ở đây, các tần số Matsubara của boson ký hiệu bởi ων = 2νπT , ν = 0, ±1, ±2, . . ., và tần số Matsubara của fermion ký hiệu bởi ωn = (2n + 1) πT , n = 0, ±1, ±2, . . .. Nhiệt độ nghịch đảo và thể tích của hệ ký hiệu tương ứng là β = 1/kBT và V . Vex là hằng số tương tác trao đổi và VC là hằng số kết cặp siêu dẫn triplet.

(cid:16)

Các đóng góp logarithmic trong phương trình (4.20) có thể được khai triển như một hàm số (một hệ quả của toán tử vết), nghĩa là

i−1

0]−1 + ln

(cid:18) 1 2

N ≥1

= Tr ln [G0]−1(cid:17) [G0]−1(cid:17) ln det 1 2 1 2 (cid:19) = ln + ln [Ge + X Tr [G]N , (4.21) Gh 0

!#N

" Ge

trong đó

! Φee F eh F he Φhh

, (4.22) [G]N = (−1)N −1 1 N 0 0 Gh

Φee = −Φ, F eh = F Φhh = Φ, F he = F ∗ Ge = Ge 0 Gh = Gh 0,

và toán tử vết được hiểu là toán tử chéo hóa spin, xung lượng và tần số mà các phần tử ma trận của nó cho bởi hàm Green tự do của các Fermion tự do.

Lấy vết ma trận, chỉ giữ lại các số hạng tham số trật tự kết cặp có spin, xung lượng và tần số boson Matsubara khép kín, ta nhận được các kết quả sau:

khai triển bậc nhất

122

4.1 Nguồn gốc vi mô của phiếm hàm Ginzburg-Landau hai thành phần

Tr [G]1

σ1σ1Φα1α1 σ1σ1

σ1 X

Gα1

k,qi X

ωn,ωνi X

σ1σ1(M.σ)σσ0(k, q),

α1

σ1

(4.23) Gα1 (cid:2)Ω = X α1 = 2γ2 d

k,qi

ωn,ωνi

khai triển bậc hai

(cid:16)

(cid:17)

Tr [G]2 (cid:2)Ω

σ1σ1Φα1α1

σ1σ2 Gα1

σ2σ2Φα1α1 σ2σ1

= − Gα1 { X α1

k,qi

(cid:16)

(cid:17)

σ1σ2 X

ωn,ωνi X

σ1σ1F α1α2

σ1σ2 Gα2

σ2σ2F α2α1 σ2σ1

σ1σ2

Gα1 }

k,qi

ωn,ωνi





(cid:17)2 X

1 2 + X α1, α2 α1 6= α2

(cid:16) γ2 d

σ1σ1(k, ωn)Gα1

σ2σ2(k − q1, ωn − ων1)

  

  

σi

= − Gα1

k,ωn

qi,ωνi

h (M.σ)∗

α1 = e, h



i σ1σ2(q1, ων1)(M.σ)σ2σ1(−q1, −ων1) 

(cid:16)

(cid:17)2

σ1σ1(k, ωn)Gα2

σ2σ2(k − q1, ωn − ων1)

Gα1 2γ2 C 1 2 − X σi

k,ωn

qi,ωνi

       

       

α1, α2 = e, h α1 6= α2

h (∆)∗

σ1σ2(q1, ων1)(∆)σ2σ1(−q1, −ων1)

, × (4.24)

khai triển bậc ba

123

4.1 Nguồn gốc vi mô của phiếm hàm Ginzburg-Landau hai thành phần

(cid:26)

Tr [G]3 (cid:2)Ω

σ1σ1Φee

σ1σ2Ge

σ2σ2F eh

σ2σ3Gh

σ3σ3F he σ3σ1

= Ge 1 3 3 X σi

k,q3

ωn,ων3

(cid:27)

σ1σ1Φhh

σ1σ2Gh

σ2σ2F he

σ2σ3Ge

σ3σ3F eh σ3σ1

Gh +3 X σi

k,q3

(cid:17) (cid:16)

(cid:16)

(cid:17)2 X

σ1σ1(k, ωn)Ge

σ1σ1(k, ωn)Gh

σ3σ3(k − q3, ωn − ων3)

ωn,ων3   2 

Ge γ2 d 2γ2 C = − X σi

k,ωn

qi,ωνi

 

(cid:17) (cid:16)

(cid:16)

(cid:17)2 X

σ1σ1(k, ωn)Gh

σ1σ1(k, ωn)Ge

σ3σ3(k − q3, ωn − ων3)



Gh −2 γ2 d 2γ2 C

k,ωn

h (∆)∗

i σ1σ3(q3, ων3)(∆)σ3σ1(−q3, −ων2)

(4.25) , ×(M.σ)σ1σ1(0, 0)

khai triển bậc 4

(cid:26) X

Tr [G]4 (cid:2)Ω

σ1σ1Φα1α1

σ1σ2 Gα1

σ2σ2Φα1α1

σ2σ3 Gα1

σ3σ3Φα1α1

σ3σ4 Gα1

σ4σ4Φα1α1 σ4σ1

σi=↑,↓

α1=e,h X

= − Gα1 1 4

k,qi X

ωn,ωνi X

σ1σ1Φα1α1

σ1σ2 Gα1

σ2σ2Φα1α1

σ2σ3 Gα1

σ3σ3F α1α2

σ3σ4 Gα2

σ4σ4F α2α1 σ4σ1

σi=↑,↓

+ 4 Gα1

k,qi

ωn,ωνi

(cid:27)

α1, α2 = e, h α1 6= α2

σ1σ1F α1α2

σ1σ2 Gα2

σ2σ2F α2α1

σ2σ3 Gα1

σ3σ3F α1α2

σ3σ4 Gα2

σ4σ4F α2α1 σ4σ1

σi=↑,↓

Gα1 +

k,qi

ωn,ωνi

(cid:17)4 X

α1, α2 = e, h α1 6= α2

(cid:16) γ2 d

Gα1 ×Gα1

σ1σ1(k, ωn)Gα1 σ1σ1(k, ωn)Gα1

σ2σ2(k − q1, ωn − ων1) σ4σ4(k − q3, ωn − ων3)

α1=e,h

qi,ωνi

i h

× = − X σi h (M.σ)∗ (M.σ)∗

k,ωn σ1σ2(q1, ων1)(M.σ)σ2σ1(−q1, −ων1)

(cid:17)2

(cid:17)2 (cid:16)

(cid:16)

Gα1 ×Gα1

σ1σ1(k, ωn)Gα1 σ1σ1(k, ωn)Gα2

σ1σ4(q3, ων3)(M.σ)σ4σ1(−q3, −ων3) σ2σ2(k − q1, ωn − ων1) σ4σ4(k − q3, ωn − ων3)

4 2γ2 C γ2 d − X σi

k,qi

qi,ωνi

i h

α1, α2 = e, h α1 6= α2

(cid:17)4

(cid:16)

× (M.σ)∗

σ1σ2(q1, ων1)(M.σ)σ2σ1(−q1, −ων1) Gα1 1 ×Gα1 2

i σ1σ4(q3, ων3)(∆)σ4σ1(−q3, −ων3) ! σ2σ2(k − q1, ωn − ων1) σ4σ4(k − q3, ωn − ων3)

2γ2 C (∆)∗ σ1σ1(k, ωn)Gα2 σ1σ1(k, ωn)Gα2 − X σi

k,qi

qi,ωνi

i h

α1, α2 = e, h α1 6= α2

σ1σ2(q1, ων1)(∆)σ2σ1(−q1, −ων1)

i σ1σ4(q3, ων3)(∆)σ4σ1(−q3, −ων3)

× (∆)∗ (∆)∗ .

124

4.2 Sự đồng tồn tại của các trật tự siêu dẫn và sắt từ trong UGe2

(4.26)

Ở gần điểm tới hạn, cả tham số trật tự sắt từ và siêu dẫn đề nhỏ, vì vậy một gần đúng phiếm hàm năng lượng tự do GL được thỏa mãn. Trong trường hợp này, bằng cách khai triển tác dụng hiệu dụng theo các tham số trật tự {M, ∆} tới bậc bốn, chỉ bao gồm những số hạng được phép bởi tính đối xứng của hệ và giữ lại những số hạng đơn giản nhất đủ để nhận được các kết quả không tầm thường, ta sẽ nhận được phiếm hàm năng lượng tự do Ginzburg-Landau với sự tham gia của hai tham số mô tả mối quan hệ giữa pha sóng mật độ spin và pha siêu dẫn

(4.27) f (M, ∆) = αf . |M.σ|2 + βf |M.σ|4 + αs |∆|2 + βs |∆|4 +uf s. (M.σ) |∆|2 + vf s. |M.σ|2 |∆|2

Trong phương trình (4.27), hai số hạng đầu tiên mô tả phần năng lượng tự do của một pha sắt từ chuẩn, hai số hạng tiếp theo mô tả tính siêu dẫn khi M = H = 0 và hai số hạng cuối cùng mô tả tương tác giữa tham số trật tự sắt từ M và tham số trật tự siêu dẫn ∆. Các biểu thức vi mô của các hệ số GL là tích của các hàm Green của các điện tử và lỗ trống. Chúng có thể được tính tổng theo các tần số Matsubara và xung lượng k của Fermion dựa trên các kỹ thuật khai triển chuỗi Taylor và ứng dụng của lý thuyết thặng dư.

4.2. Sự đồng tồn tại của các trật tự siêu dẫn và sắt từ

trong UGe2

Trong mục này chúng tôi sẽ biến đổi phiếm hàm trong phương trình (4.27) thành phiếm hàm giống với phiếm hàm GL hiện tượng luận được đề xuất bởi Shopova và Uzunov [78] trong phương trình (1.7). Sau đó chúng tôi sẽ sử dụng cách tiếp cận được trình bày trong tham khảo [78] để nghiên cứu sự đồng tồn tại của các trật tự từ và siêu dẫn trong hệ UGe2 khi không có từ trường ngoài.

4.2.1. Phiếm hàm năng lượng tự do Ginzburg-Landau cho siêu

dẫn sắt từ

Ở đây ta chỉ quan tâm đến các pha đồng đều, nghĩa là các tham số trật tự d và M không phụ thuộc vào các tọa độ không gian x. Vì vậy, ta không cần tính đến các số hạng bất đẳng hướng là các bất biến Landau được thêm vào cùng với các số hạng gradien trong phiếm hàm năng lượng tự do GL của siêu dẫn không truyền thống. Để trình bày một cách rõ ràng nghiên cứu về sự đồng tồn tại của trật tự siêu dẫn Meissner và trật tự sắt từ, ta sẽ tập trung vào bài toán riêng mà nó có đủ thông tin từ các dữ

125

4.2 Sự đồng tồn tại của các trật tự siêu dẫn và sắt từ trong UGe2

liệu thực nghiệm để tạo ra một sự so sánh chi tiết các tham số lý thuyết và dữ liệu thực nghiệm.

Bây giờ ta xây dựng phiếm hàm năng lượng tự do GL riêng cho UGe2 bắt đầu từ phương trình (4.27). Từ định nghĩa của các tham số trật tự trong mục 4.1, ta tìm được

k = |d|2 σ0 + i (d × d) σ

(4.28) ∆k.∆† (M.σ) (M.σ)† = M 2.σ0

UGe2 là một sắt từ có cấu trúc trực giao với các mô men từ định hướng theo trục a của tinh thể. Nếu ta chọn hệ trục tọa độ x//b, y//c, z//a ở đó a là trục dễ thì M = (0, 0, M ). Bởi vì ảnh hưởng của trường trao đổi M là mạnh, nên có sự phá vỡ các kết cặp, chỉ có các cặp Cooper với các spin song song có thể tồn tại. Trong trường hợp này ta có thể viết véc tơ d dưới dạng d = (d1, d2, 0), nghĩa là spin cặp Cooper trỏ theo hướng của M. Khi đó ta có

|M.σ|4 |∆|2 |∆|4 = M 4.σ0 = φ2.σ0 − φ1φ2 sin θ.σz = φ4.σ0 − (2φ1φ2 sin θ)2 .σ0 − 4φ2φ1φ2 sin θ.σz

(4.29) (M.σ) |∆|2 = M φ2.σz − 2M φ1φ2 sin θ.σ0 |M.σ|2 |∆|2 = M 2φ2.σ0 − 2M 2φ1φ2 sin θ.σz

trong đó φ = |d| ,φj = |dj|, và θ = θ1 − θ2 là góc pha giữa các số phức d1 = φ1eiθ1 và d2 = φ2eiθ2. Thay thế biểu thức (4.29) vào trong phương trình (4.27), ta nhận được phiếm hàm năng lượng tự do Ginzburg-Landau cho siêu dẫn sắt từ triplet như sau

(cid:17)

1 + φ2 φ2 2

(cid:17)2

(cid:17)

(cid:20)(cid:16)

(cid:16)

fGL(M, φ1, φ2, θ) = αf . |M|2 σ0 + βf . |M|4 σ0 h(cid:16) σ0 − 2φ1φ2 sin θ.σz +αs

1φ2

2 sin2 θ.σ0 −4

φ1φ2 sin θ.σz +βs

1 + φ2 φ2 2 i

1 + φ2 φ2 2 (cid:16)

σ0 + 4φ2 (cid:17) +uf s

1 + φ2 φ2 |M| 2 |M|2 (cid:16) 1 + φ2 φ2 2

(4.30) σz − 2 |M| φ1φ2 sin θ.σ0 (cid:17) .σ0 − 2 |M|2 φ1φ2 sin θ.σz +vf s

√

Sử dụng các điều kiện cân bằng pha của pha đồng tồn tại trật tự siêu dẫn và sắt từ 2, ta có thể viết lại phiếm hàm (pha FS), được cho bởi: sin θ = −1, φ1 = φ2 = φ/ năng lượng tự do GL (4.30) dưới dạng rút gọn như sau

(4.31) fGL(M, φ) = af M 2 + .M 4 + asφ2 + φ4 + γ0M φ2 + δ0M 2φ2 bf 2 bs 2

126

4.2 Sự đồng tồn tại của các trật tự siêu dẫn và sắt từ trong UGe2

trong đó

(4.32) af = αf , as = 2αs, bf = 2βf , γ0 = 2uf s, δ0 = 2vf s. bs = 8βs,

Phiếm hàm trong phương trình (4.31) giống hệt phiếm hàm GL hiện tượng luận trong phương trình (1.7) được đề xuất bởi Shopova và Uzunov [78] khi ta bỏ qua các ảnh hưởng bất đẳng hướng từ cả các cặp Cooper và tinh thể, đồng thời giới hạn sự xem xét ở các tham số trật tự đồng đều. Tuy nhiên, cần nhấn mạnh là phiếm hàm trong phương trình (4.31) có nguồn gốc vi mô. Nó được xây dựng dựa trên lý thuyết trường trung bình và hình thức luận tích phân phiếm hàm. Các hằng số cặp với các tham số trật tự sắt từ và siêu dẫn trong phiếm hàm vi mô là tích của các hàm Green tự do của các điện tử và lỗ trống, được xác định từ mục 4.1. Chúng có thể được tính tổng theo các tần số Matsubara của fermion ωn và véc tơ sóng k dựa trên kĩ thuật khai triển chuỗi Taylor và ứng dụng của định lý thặng dư như sau:

(cid:17)3/2

Gọi N (0) là mật độ trạng thái ở mức năng lượng Fermi xác định bởi

(cid:16) 2m (cid:126)2

F = mkF

π2(cid:126)2 = 3

n µ .

E1/2 (4.33) N (0) ≡ Z(EF ) = 1 2π2

Trong phần này, giới hạn nhiệt độ không và thể tích vô hạn được hiểu là

dk; →

P k

1 V

∂fe(ξk) ∂ξk

limβ→∞

= −δ − 1 8π3 (cid:2) k = −δ (ξk) k2 2m k2 F 2m

(4.34) = − δ (|k| − kF ) . 1 vF

Thêm nữa, các xung lượng trao đổi qi được giả thiết nằm trong giới hạn sóng dài |qi| (cid:28) kF . Chọn hệ tọa độ cầu trong không gian k với góc giữa q và k là góc cực θ, ta có

127

4.2 Sự đồng tồn tại của các trật tự siêu dẫn và sắt từ trong UGe2

∞

k.q

2π

= |k| . |q| . cos θ = |k| . |q| .λ; π

1 8π3

∞

dk = k2dk sin θdθdϕ 1 8π3 (cid:1)k (cid:2) ϕ=0 (cid:2) k=0 (cid:2) θ=0

k2dk = dλ; (4.35) 1 4π2 (cid:2) −1 (cid:2) k=0

và

(4.36) (cid:28) |q| vF . |q|2 2m

Tiến hành lấy tích phân theo xung lượng và tần số fermion Matsubara ta nhận được

αf

(cid:17)2

σ1σ1(k, ωn)Gα1

σ2σ2(k − q1, ωn − ων1)

ωn

− Gα1 1 Vd (cid:16) γ2 d 1 V 1 β

k

α1, α2 = e, h α1 6= α2

(cid:17)2 N (0)

" 1 −

(cid:16)

(cid:17)2 N (0)

1 Vd (cid:16) + arctan γ2 d 2

" 1 +

(cid:17)2 N (0)

arctan − − γ2 d 2 ων1 vF |q1| ων1 vF |q1|

!2  ;

(cid:16) γ2 d

vF |q1| ων1 vF |q1| ων1  |q|  c

− × π + O ≈ 2 1 Vd ων1 vF |q1|

(4.37)

128

4.2 Sự đồng tồn tại của các trật tự siêu dẫn và sắt từ trong UGe2

(cid:17)4

(cid:16)

βf

= −2 γ2 d

Gα1 ×Gα1

σ2σ2(k − q1, ωn − ων1) σ4σ4(k − q3, ωn − ων3)

σ1σ1(k, ωn)Gα1 σ1σ1(k, ωn)Gα1

ωn

× 1 V 1 β

k

(cid:16)

(cid:17)4 N (0)

α1, α2 = e, h α1 6= α2



≈ −2 × dλ1.dλ3 × γ2 d 2 1 (iων1 − iων3 − vF |q1| λ1 + vF |q3| λ3) (cid:2) −1





− × 1 (iων1 − vF |q1| λ1) iων1 (iων1 − vF |q1| λ1)2



(cid:16)

(cid:17)4 N (0)

+ − 1 (iων3 − vF |q3| λ3) iων3 (iων3 − vF |q3| λ3)2



× −2 dλ1.dλ3 × γ2 d 2 1 (iων1 − iων3 + vF |q1| λ1 − vF |q3| λ3) (cid:2) −1





− × 1 (iων1 + vF |q1| λ1) iων1 (iων1 + vF |q1| λ1)2



+ − 1 (iων3 + vF |q3| λ3) iων3 (iων3 + vF |q3| λ3)2

× ≈ 4N (0) ×

(cid:19) ων3

(cid:19) ων1

"(cid:18) π 2

1 vF |q1| ! × + , 1 vF |q3| (cid:18) π 2 vF |q3| vF |q1|

(4.38)

với sự trợ giúp của các phương trình (1.622.3) và (1.644.2) từ tham khảo [36] để đạt các đẳng thức cuối cùng của các phương trình (4.37) và (4.38)

αs

(cid:17)2

σ1σ1(k, ωn)Gα2

σ2σ2(k − q1, ωn − ων1)

ωn

− Gα1 2γ2 C 1 VC 1 (cid:16) 2 1 V 1 β

k

(cid:19)

(cid:17)2

(cid:16)

(cid:17)2 N (0)

F q2,

N (0) ζ(3)υ2 (4.39) ln = + 2γ2 C 2γ2 C 1 2 1 6π2T 2 7 8 2 α1, α2 = e, h α1 6= α2 (cid:18) T TC

129

4.2 Sự đồng tồn tại của các trật tự siêu dẫn và sắt từ trong UGe2

(cid:17)

trong đó

2 VC .N (0) ,

(cid:16) 2γωD π

e− (4.40) TC =

với sự trợ giúp của phương trình ( 3.527.3) từ tham khảo [36] để đạt được dòng thứ hai của đẳng thức (4.39).

(cid:17)4

(cid:16)

βs

= − 2γ2 C 1 2

Gα1 ×Gα1

σ2σ2(k − q1, ωn − ων1) σ4σ4(k − q3, ωn − ων3)

σ1σ1(k, ωn)Gα2 σ1σ1(k, ωn)Gα2

ωn

× 1 V 1 β

k

(cid:16)

(cid:17)4

" β2 π2



!2 β4

= − ζ (3) × 2N (0) 2γ2 C α1, α2 = e, h α1 6= α2 1 2 7 8



|q3| |kF| m

|q1| |kF| m

− 31 192 π4 ζ (5) − 31 192 π4 ζ (5)

(4.41)

 

(cid:16)

uf s

Gh ×Ge

(cid:17)2 1 V



σ1σ1(k, ωn)Gh σ1σ1(k, ωn) σ3σ3(k − q3, ωn − ων3)

ωn

= 2γ2 d 2γ2 C

k

! 



(cid:16)

(cid:17)2

− 1 β Ge ×Gh

(4.42) × 2N (0) ζ(3) ; = 2γ2 d 2γ2 C

σ1σ1(k, ωn)Ge σ1σ1(k, ωn) σ3σ3(k − q3, ωn − ων3) q2 β2 π2 2m

7 8

(cid:17)2

(cid:17)2 (cid:16)

(cid:16)

vf s

= 4 2γ2 C γ2 d

Gα1 Gα1

σ1σ1(k, ωn)Gα1 σ1σ1(k, ωn)Gα2

σ2σ2(k − q1, ωn − ων1) σ4σ4(k − q3, ωn − ων3)

ωn

× 1 V 1 β

k

(cid:16)

(cid:17)2 (cid:16)

(cid:17)2

α1, α2 = e, h α1 6= α2

" 7 8

= 4 N (0) γ2 d 2γ2 C

− × × β2 π2 ζ (3) 7 24 7 24 31 32 β4 π4 ζ (5) (|q1| vF )2 − 31 32 β4 π4 ζ (5) (|q3| vF )2

(4.43)

130

4.2 Sự đồng tồn tại của các trật tự siêu dẫn và sắt từ trong UGe2

4.2.2. Giản đồ pha từ gần đúng phiếm hàm Ginzburg-Landau

Từ các tính toán ở trên, dễ thấy rằng as = Λs(T − Ts), af = Λf (T − Tf ) trong đó Λs, Λf là các tham số dương và Ts là nhiệt độ tới hạn của một chuyển pha loại hai chuẩn xảy ra tại M = H = 0, Tf là nhiệt độ tới hạn của sắt từ. Tham số γ0 đối với các chất siêu dẫn sắt từ có thể lấy cả các giá trị dương và âm. Nói chung, giá trị của các tham số (Ts, Tf , as, bs, af , bf , γ0, δ0) có thể phụ thuộc vào các tham số nhiệt động như nhiệt độ T và áp suất P .

Như đã thảo luận ở trên, ta có thể viết M = (0, 0, M ), trong đó M = ±|M| là độ từ hóa dọc theo trục z. Bởi vì sự tương đương về mặt nhiệt động của các trạng thái vật lý hướng lên và hướng xuống (±M ) nên sự phân tích có thể chỉ được thực hiện với M ≥ 0. Ở đây nhiệt độ chuyển sắt từ Tf được giả thiết phụ thuộc vào áp suất P . Khai triển Tf (P ) theo chuỗi Taylor quanh điểm Pc mà ở đó nó tiến tới không, và chỉ giữ lại số hạng không bằng không đầu tiên, mang đến Tf (P ) = T 0 f (Pc − P ) = Tf (0) (1 − P/Pc). Sự phụ thuộc tuyến tính của Tf vào P phù hợp chính xác với sự phụ thuộc áp suất đo bằng thực nghiệm đối với U Ge2. Từ phương trình (4.31) ta tìm được

h (bf /bs)1/4 M0

(4.44) M = (Λf /bf )1/2 [Tf (P ) − T ]1/2

Chúng ta định nghĩa lại năng lượng tự do (4.31) trong một dạng thuận tiện không 0 ), trong đó M0 = [Λf Tf 0/bf ]1/2 là giá trị của độ từ hóa M thứ nguyên f = fGL/ (bf M 4 tương ứng với phân hệ từ thuần khiết d = 0 tại T = P = 0 and Tf 0 = Tf (0). Tham số trật tự giả định có tỉ lệ m = M/M0 và ϕ = φ/ và kết quả là năng lượng tự do trở thành

2ϕ4 + tm2 + 1

2m4 + γϕ2m + δϕ2m2

(4.45) f = rϕ2 + 1

(cid:17)

Các tham số không thứ nguyên t, r và γ trong phương trình (4.45) được cho bởi

(cid:16) ˜T − ˜Ts(P )

; (4.46) r = κ t = ˜T − ˜Tf (P ) = ˜T − 1 + ˜P

f /Λf b1/2

, γ = γ0/ [Λf Tf 0.bs]1/2 , δ = δ0/ (bsbf )1/2 và ˜P = P/Pc.

ở đây κ = Λsb1/2 ˜T = T /Tf 0, ˜Tf (P ) = Tf (P )/Tf 0 và ˜Ts = Ts(P )/Tf 0 là các nhiệt độ thu gọn. Bây giờ, ta áp đặt các điều kiện các pha cân bằng

(4.47) = 0, ∂f (µ0) ∂µα

131

4.2 Sự đồng tồn tại của các trật tự siêu dẫn và sắt từ trong UGe2

và pha bền

(4.48) > 0, ∂2f (µ0) ∂µα∂µβ

(trong đó µα ≡ (M, ϕ1, ϕ2, θ1, θ2) và µ0 kí hiệu một pha cân bằng tương ứng với cực tiểu của năng lượng tự do) lên hệ có năng lượng tự do được cho bởi (4.45) để tìm kiếm pha ở đó có sự đồng tồn tại của trật tự sắt từ và siêu dẫn.

Khi r < 0, có một số pha siêu dẫn thuần (m = 0, ϕ > 0) và một số pha hỗn hợp khác (m 6= 0, ϕ > 0). Tuy nhiên chúng là các pha không bền, vì vậy ta không xem xét chúng một cách chi tiết.

Khi r > 0 , nghĩa là, T > Ts, có ba pha bền:

• pha dẫn thường (N): tồn tại khi ϕ = m = 0 và các điều kiện bền là t ≥ 0, r ≥ 0; • pha sắt từ thuần (FM): tồn tại khi ϕ = 0, m = (−t)1/2 > 0, trong đó t < 0 và

bền với các điều kiện r ≥ 0 và r ≥ δt + γ (−t)1/2;

√

• pha đồng tồn tại của trật tự từ và siêu dẫn (FS): được cho bởi sin θ = −1 (khi sin θ = 1, ta có miền pha khác tương đương về mặt nhiệt động và ta sẽ không 2 trong đó tham số siêu dẫn thỏa mãn phương xem xét ở đây), ϕ1 = ϕ2 = ϕ/ trình

ϕ2 = −r + γm − δm2, (4.49)

(cid:16)

và độ từ hóa m là nghiệm của phương trình

2 )m + γr = 0

1 − δ2(cid:17) 2 m3 + 3γδm2 +2(t − δr − γ2

(4.50)

Các điều kiện bền cho miền pha FS cho bởi các phương trình (4.49) và (4.50) là

κ( ˜Ts − ˜T ) + 2γm − δm2 ≥ 0,

γm ≥ 0,

và

132

(cid:16)

4.2 Sự đồng tồn tại của các trật tự siêu dẫn và sắt từ trong UGe2

3 − δ2(cid:17) m2 + γδm + ˜T + t − δr ≥ 0.

i1/2

Trước tiên ta hãy vẽ đồ thị biểu thị sự phụ thuộc của nhiệt độ chuyển pha sắt từ siêu dẫn TF S(P ) vào áp suất. Từ (4.49) và điều kiện tồn tại của pha FM, suy ra rằng đường chuyển pha loại hai TF S(P ) tách các pha FM và FS thỏa mãn phương trình

κ t( ˜TF S, ˜P ) + γ

δ2 ; ˜TF S = , và có một cực đại tại điểm ( ˜Tm; ˜Pm) nhận được bằng cách

(cid:17) (cid:16) ˜P0C0 = 1; ˜TF S = 0

(4.51) ˜TF S( ˜P ) = ˜Ts + δ −t( ˜TF S, ˜P )

i−1/2

Khi ˜Ts = 0, đường cong ˜TF S( ˜P ) cắt trục ˜P tại hai điểm có tọa độ: ( ˜P0C = 1− γ2 0) và đạo hàm hai vế của phương trình (4.51) theo ˜P .

i−1/2

∂ ˜TS ∂ ˜P 1 − δ

κ − γ 2κ h κ + γ

+ δ (4.52) = ∂ ˜TF S ∂ ˜P −t( ˜TF S, ˜P ) −t( ˜TF S, ˜P )

= 0, và lưu ý rằng ∂ ˜TS ∂ ˜P

 

4κδ

= 0 vì ˜TS không phụ thuộc vào ˜P ta suy ra t( ˜Tm, ˜Pm) = 4δ2 . Thế ngược giá trị này vào (4.51) ta nhận được tọa độ điểm cực đại của đường Đặt ∂ ˜TF S ∂ ˜P − γ2 cong ˜TF S( ˜P ) là



(4.53) ˜Tm = ˜Ts + γ2 ˜Pm = 1 − ˜Tm − γ2 4δ2

Để phác thảo giản đồ T − P của UGe2 ta cần biết thông tin về các giá trị của Pc; Tf 0; Ts; γ/κ; δ/κ. Từ giản đồ pha thực nghiệm [74, 43, 85, 38], ta có: Pc = 1, 6GP a, P0C = 1, 05GP a, Tf 0 = 52K, Tm ≈ 0, 8K and Pm ≈ 1, 2GP a. Các bằng chứng thực nghiệm chỉ ra rằng không có pha siêu dẫn thuần tồn tại tách biệt với pha sắt từ trong UGe2. Điều này ngụ ý nhiệt độ tới hạn Ts của trạng thái siêu dẫn thuần là quá nhỏ, và được coi là Ts = 0. Sử dụng các tham số này, cùng với Ts = 0, ta nhận được γ/κ = 0.1089, δ/κ = 0.1867 và Pm = 1.438GP a. Các giá trị này phù hợp tương đối với các kết quả thực nghiệm chính. Giản đồ T − P của UGe2 được chỉ ra trong hình 4.1.

Tiếp theo, ta sẽ đi tìm các miền cân bằng pha thông qua việc khảo sát sự phụ thuộc của r vào t. Từ điều kiện tồn tại của pha FS (4.50), ta sẽ biểu diễn r như là hàm của (m, t) khi γ, δ là các hằng số

133

4.2 Sự đồng tồn tại của các trật tự siêu dẫn và sắt từ trong UGe2

Hình 4.1.: Một minh họa về giản đồ T −P của UGe2 được tính cho Ts = 0, Tf 0 = 52K, Pc = 1.6GP a, γ/κ = 0.1089, δ/κ = 0.1867. Miền pha FS được làm đậm. Đường nét liền biểu thị đường chuyển pha loại hai FM-FS.

h (1 − δ2) m2 + 3

δm−γ/2

2γδm + (t − γ2 2 )

(4.54) r(t) = m

 

(cid:16)

Ở đây ta sẽ sử dụng thông tin đã cho ở trên cho ba pha khác nhau để phác thảo giản đồ pha (t, r) biểu thị các miền cân bằng của các pha N, FM, và FS. Trước hết ta tìm biểu thức các biểu thức năng lượng tự do cân bằng của các pha FS, FM. Đặt các điều kiện tồn tại của các pha FS, FM vào phương trình (4.45) và thay thế r bởi (4.54), ta nhận được



! 

(cid:16)

" t

1 − δ2(cid:17) m4 + γδm3 fF S = − m2 2 (δm − γ/2)2 (4.55)



+ 2 1 − δ2(cid:17) m2 − 2γδtm + t t − − γ2 8 γ2 2

(4.56) fF M = − t2 2

Tiếp theo, ta tìm điểm ba mà nó là giao điểm của ba đường biên tách các miền cân bằng bền của các pha N, FM và FS. Tọa độ của điểm ba thỏa mãn phương trình

(4.57) fF S = fF M = fN = 0

ta nhận được tọa độ của điểm ba như sau

134

( tB

4.2 Sự đồng tồn tại của các trật tự siêu dẫn và sắt từ trong UGe2

(4.58) = 0 rB = γ2 4(δ+1),

khi đó m = γ 2(δ+1) phải là giá trị cân bằng trên đường biên của các miền ổn định của các pha FM và FS. Đặt m = γ 2(δ+1) vào trong phương trình (4.54) ta nhận được đường chuyển pha giữa pha FM và pha FS là bậc nhất dọc theo đường cân bằng BC. Nó được cho bởi phương trình

4(δ+1) − t

(4.59) r1(t) = γ2

Mặt khác, đường chuyển pha giữa pha FM và pha FS cũng nhận m = (−t)1/2 là giá trị cân bằng. Vì thế đường cong chuyển pha giữa pha FM và pha FS được cho bởi hệ thức

√ −t + δt (4.60) r2(t) = γ

 

Kết quả là giao điểm C của r1(t) và r2(t) là điểm tới hạn của chuyển pha loại hai, nó có tọa độ



(4.61) tC = − γ2 4(δ+1)2 rC = γ2(2+δ) 4(δ+1)2 .

Đường biên của các miền pha cân bằng ổn định FM và N thỏa mãn phương trình

(4.62) fF M = fN = 0

suy ra

t = 0. (4.63)

Đường chuyển pha giữa pha N và pha FS được cho bởi phương trình

135

4.3 Thảo luận

eq + 3

2γδmeq + (t − γ2 2 )

meq (δmeq−γ/2)

r(t) = (1 − δ2) m2

(4.64)

(cid:16)

trong đó giá trị cân bằng meq trên đường AB được tìm thấy bằng cách đặt năng lượng tự do cân bằng fF S của pha FS trong phương trình (4.55) bằng không, nghĩa là bằng năng lượng tự do của pha N. meq thỏa mãn phương trình sau

" t

eq + γδm3

eq + 2

eq − 2γδtmeq + t

m2 t − = 0 (4.65) 1 − δ2(cid:17) m4 1 − δ2(cid:17) − γ2 8 γ2 2

Tính số của phương trình (4.65) như một đa thức của m chỉ ra rằng nó có một nghiệm dương khi t ∈ [0,γ2/2).

Hình 4.2.: Giản đồ pha trong mặt phẳng (t, r) khi γ = 0.49, δ = 0.84

Giản đồ pha cho các tham số cụ thể γ và δ được chỉ ra trong hình 4.2. Các miền ổn định của các pha N, FM, và FS được biểu thị. DCB là đường ranh giới giữa hai miền ổn định của các pha FM và FS. Trong đó đường cong DC (đường nét đứt bên trái điểm C) là đường chuyển pha bậc hai, đường CB là đường chuyển pha bậc nhất. Đường chuyển pha giữa các pha N và FS là đường bậc nhất và đi dọc theo đường cân bằng BA. Đường nét đứt thẳng đứng trùng với trục r bên trên B là đường ranh giới giữa hai miền pha ổn định FM và N. Đường này biểu thị một chuyển pha loại hai. A và C là các điểm tới hạn của các đường chuyển pha, B là điểm ba.

4.3. Thảo luận

Thông qua các tính toán dựa trên lý thuyết trường lượng tử và hình thức luận tích phân phiếm hàm, phiếm hàm Ginzburg-Landau hai thành phần đã được thiết lập. Trong hệ UGe2, các tương tác dẫn tới sự hình thành các trật tự siêu dẫn và trật tự từ-sóng mật độ spin, sự hút và đẩy của các hạt là giống nhau, và kết quả là chúng ảnh hưởng lẫn nhau. Cụ thể, hai trật tự hoặc có thể ủng hộ lẫn nhau và dẫn tới sự đồng tồn tại định

136

4.3 Thảo luận

xứ đồng nhất của các trạng thái siêu dẫn và sóng mật độ spin; hoặc một trong chúng có thể ngăn cản hoàn toàn trật tự khác, dẫn đến một trạng thái với các vùng tách biệt về không gian của trật tự thuần siêu dẫn hoặc trật tự thuần sóng mật độ spin. Đường chuyển pha giữa các trạng thái khác nhau có thể hoặc là bậc hai liên tục hoặc bậc một gián đoạn. Dựa trên bài toán riêng của sắt từ siêu dẫn trong UGe2 chúng tôi đã biến đổi sự tương quan giữa các tham số trật tự mô tả trong phiếm hàm Ginzburg-Landau nhiều thành phần thành tương quan giữa các tham số T và P (những đại lượng vật lý có thể nhận được trực tiếp từ các giản đồ pha của thực nghiệm). Giản đồ T − P của UGe2 được phác thảo dựa trên các tính toán lý thuyết và được chỉ ra trên hình 4.1 có một sự phù hợp với các kết quả chính của thực nghiệm, mặc dù Pm tương ứng với cực đại (tìm thấy ở 1.45 GPa) lớn hơn khoảng 0.25 GPa so với dữ liệu thực nghiệm [43]. Nếu các giản đồ thực nghiệm là chính xác thì sai lệch này có thể là do chưa kể đến sự đóng góp của tính bất đẳng hướng của cặp Cooper spin-triplet và tinh thể hoặc do ảnh hưởng của những yếu tố nằm ngoài phạm vi của mô hình hiện tại. Tầm quan trọng tương đối của ảnh hưởng này lên giản đồ pha cần được nghiên cứu. Tuy nhiên trong phạm vi luận án này, việc đưa vào bài toán riêng của sắt từ siêu dẫn chỉ nhắm mục đích minh họa rằng phiếm hàm Ginzburg-Landau nhiều thành phần (3.57) có thể mô tả được sự đồng tồn tại của nhiều pha trong các hệ nhiều hạt mà điển hình là hệ Fermion nặng dựa trên Uranium.

Khác với lý thuyết vi mô của Frank [69] dẫn ra hình thức luận GL nói chung, lý thuyết vi mô của chúng tôi dẫn ra hình thức luận GL cho sự đồng tồn tại. Chúng tôi đã suy ra nguồn gốc vi mô của phiếm hàm năng lượng tự do GL hai thành phần mô tả mối quan hệ giữa tham số trật tự sắt từ và tham số trật tự siêu dẫn. Phiếm hàm (4.31) giống với phiếm hàm hiện tượng luận của Shopova và nó mô tả rất tốt sự đồng tồn tại của trật tự siêu dẫn Meissner và trật tự sắt từ trong UGe2. Phiếm hàm GL tiết lộ không chỉ là biên độ khe triplet kết cặp tuyến tính với biên độ độ từ hóa |d|2 |M|2 mà còn cả véc tơ-d triplet kết cặp tuyến tính với hướng độ từ hóa, iM.(d × d∗). Nó phù hợp với mức độ trường trung bình ở đó sự kết cặp buộc véc tơ d xắp song song hoặc phản song song với độ từ hóa. Mặc dù chúng tôi tập trung vào một mô hình vi mô mà nó được sử dụng rộng rãi trong nghiên cứu các hệ kim loại sắt từ UGe2, nhưng hầu hết các kết quả của chúng tôi là đến từ sự phân tích vi mô GL, và như một hệ quả nó có thể áp dụng được cho các hệ khác mà ta quan tâm, chẳng hạn như các hợp chất dựa trên Ce và U và ZrZn2.

ψ†, ψ

Tương tự như lý thuyết vi mô của Dahl và Sudbo bắt đầu với Hamiltonian mà không cố gắng giải thích cơ chế kết cặp spin-triplet không unita của khí điện tử. Xuất phát điểm của chúng tôi cũng là một mô hình fermion có tương tác, nhưng số hạng tương tác hai hạt tổng quát H1 được tách ra thành tổng của hai số hạng song tuyến tính fermion khả dĩ với các tham số kết cặp tùy ý γi và các ma trận tương tác có dạng đơn giản (4.8) và (4.10). Chúng tôi thu được phiếm hàm năng lượng tự do GL vi mô hai thành phần có thể mô tả được sự đồng tồn tại của các pha sóng mật độ spin và siêu dẫn, và sau đó áp dụng cho hệ UGe2. Các tính toán giải tích và tính số được tiến hành để chỉ ra các miền pha cân bằng. Các kết quả được biểu diễn bằng đồ thị để minh họa sự đồng tồn tại của pha sắt từ và siêu dẫn triplet trong hệ UGe2. Cách tiếp cận của chúng tôi và cách tiếp cận của Dahl và Sudbo đối với cùng một bài toán là khác

137

4.3 Thảo luận

nhau (khác về Hamiltonian ban đầu và khác nhau về nguồn gốc toán học) nhưng cùng dẫn tới dạng giống nhau của lý thuyết trường hiệu dụng GL.

Như vậy, nguồn gốc của lý thuyết GL hiệu dụng từ mô hình vi mô tổng quát của tương tác bốn fermion đã được trình bày khá chi tiết. Nó minh họa và xác nhận các kết quả được phác thảo trong một tham khảo gần đây [78], cũng như xác nhận dạng của phiếm hàm năng lượng tự do GL cho cùng một bài toán, được suy ra đầu tiên theo một cách hơi khác bởi Dahl và Sudbo [23].

138

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

Kết luận

Các khám phá mới về các chất siêu dẫn sắt từ và bối cảnh nghiên cứu trong lĩnh vực từ tính và siêu dẫn của cộng đồng những người nghiên cứu vật lý, đã thúc đẩy chúng tôi thực hiện phép biến đổi lý thuyết trường fermion tới một lý thuyết hiệu dụng dựa trên các trường kết cặp được biểu diễn dưới dạng các tham số trật tự theo các kênh khác nhau nhằm tìm kiếm các pha đồng tồn tại. Trong nghiên cứu của chúng tôi, thông qua phép biến đổi Hubbard-Stratonovich, một Hamiltonian đã được tách thành các kênh khả dĩ, khi đó nhận được một phiếm hàm chỉ phụ thuộc vào các tham số trật tự. Vì vậy chúng tôi đi đến một sự biểu diễn chung của phiếm hàm GL cho hệ ba tham số trật tự thông qua các tính toán dựa vào hàm Green. Dựa trên bài toán riêng của siêu dẫn sắt từ hay siêu dẫn phản sắt từ của các hệ fermion nặng dựa trên Uranium hoặc Cedium, chúng tôi đã rút ra một biểu diễn chính thức cho phiếm hàm GL và sau đó sử dụng nó để nghiên cứu sự đồng tồn tại của sắt từ và siêu dẫn trong hệ fermion nặng dựa trên Uranium đồng thời tạo ra các đồ thị cho thấy sự phụ thuộc giữa các tham số trật tự và biểu thị các miền pha cân bằng. Cụ thể trong luận án chúng tôi đã thực hiện được các kết quả sau:

1. Hình thành một phương pháp tiếp cận vi mô Ginzburg-Landau cho sự đồng tồn tại pha.

2. Phát triển bài toán siêu BCS dẫn bằng việc sử dụng phương pháp tích phân phiếm hàm để tính hàm phân bố của hệ từ đó thiết lập phiếm hàm năng lượng Ginzburg-Landau một thành phần cho siêu dẫn BCS.

3. Từ Hamiltonian tổng quát của hệ nhiều hạt có tương tác dẫn ra hình thức luận GL cho sự đồng tồn tại, chúng tôi thu được phiếm hàm năng lượng tự do GL vi mô chứa ba tham số trật tự, có thể mô tả được sự đồng tồn tại của các pha khác nhau trong hệ nhiều hạt. Sử dụng các điều kiện dừng của thế nhiệt động lớn theo các tham số trật tự và điều kiện cực tiểu năng lượng thiết lập được hệ các phương trình tự hợp. Các phương trình này mô tả các hệ thức nhiều hạt giữa các đại lượng vật lý của hệ, ở đó có nhiều loại thăng giáng của các tham số trật tự tương ứng được xem xét. Các phương trình này sẽ dẫn tới gần đúng Hatree- Fock-Bogoliubov. Phương trình dải BCS và phương trình từ hóa chứa đựng sự đóng góp của các kênh khác nhau sẽ nhận được từ gần đúng này, kết quả là một lời giải khả dĩ cho sự đồng tồn tại của nhiều pha.

4. Chỉ rõ nguồn gốc vi mô của phiếm hàm năng lượng tự do Ginzburg-Landau hai tham số trật tự sắt từ và siêu dẫn triplet. Dựa trên bài toán riêng của siêu dẫn

139

4.3 Thảo luận

sắt từ UGe2 chúng tôi đã biến đổi sự tương quan giữa các tham số trật tự mô tả trong phiếm hàm Ginzburg-Landau hai thành phần thành tương quan giữa các tham số T và P (những đại lượng vật lý có thể nhận được trực tiếp từ các giản đồ pha của thực nghiệm). Bằng các tính toán giải tích và tính số chúng tôi đã vẽ được giản đồ T − P của UGe2, giản đồ này phù hợp với giản đồ thu được từ thực nghiệm. Các kết quả này minh họa và xác nhận các kết quả được phác thảo trong một tham khảo gần đây [78], cũng như xác nhận dạng của phiếm hàm năng lượng tự do GL cho cùng một bài toán, được suy ra đầu tiên theo một cách hơi khác bởi Dahl và Sudbo [23].

Kiến nghị về những nghiên cứu tiếp theo

• Trong mục 4.2 khi áp dụng phiếm hàm Ginzburg-Landau hai thành phần để nghiên cứu sự đồng tồn tại pha sắt từ và siêu dẫn trong hệ Fermion nặng, giản đồ T − P của UGe2 được phác thảo dựa trên các tính toán lý thuyết và được chỉ ra trên hình 4.1 về cơ bản phù hợp với thực nghiệm. Tuy nhiên Pm tương ứng với cực đại (tìm thấy ở 1.45 GPa) lớn hơn khoảng 0.25 GPa so với dữ liệu thực nghiệm [43]. Nếu các giản đồ thực nghiệm là chính xác thì sai lệch này có thể là do chưa kể đến sự đóng góp của tính bất đẳng hướng của cặp Cooper spin-triplet và tinh thể hoặc do ảnh hưởng của những yếu tố nằm ngoài phạm vi của mô hình hiện tại. Tầm quan trọng tương đối của ảnh hưởng này lên giản đồ pha cần được nghiên cứu.

• Trong mục 3.1.2 ở trên, chúng tôi đã thiết lập được phiếm hàm Ginzburg-Landau nhiều thành phần mô tả sự tương quan giữa các tham số trật tự. Đồng thời chúng tôi cũng thu được một hệ các phương trình tự hợp mô tả các mối liên hệ nhiều hạt giữa các đại lượng vật lý của hệ ở đó có nhiều loại thăng giáng của các tham số trật tự tương ứng được xem xét. Để tiếp tục các công việc này, cần phải tiến hành từng bước giải số nhằm chỉ ra rõ ràng các mối liên hệ giữa các tham số trật tự và những đóng góp cụ thể của chúng trong tiến trình. Các kết quả sẽ minh họa cho sự đồng tồn tại của nhiều pha trong hệ nhiều hạt.

140

DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ

1. Ginzburg-Landau functional for three order parameter problem

Nguyen Van Hinh, Nguyen Tri Lan, Journal of Physics: Conference Series 726 (2016) 012016.

2. Microscopic derivation of the two-component Ginzburg-Landau functional for a fer- romagnetic superconductor

Nguyen Van Hinh, International Journal of Engineering Science Invention, 7 (2018) I0710035158.

3. A Microscopic Model for Superconductivity in Ferromagnetic UGe2

Nguyen Van Hinh, Nguyen Tri Lan, Journal of the Korean Physical Society, Vol. 74, No. 5, March 2019, pp. 488-497.

141

Phụ lục

142

A. Tính hệ fermion hiệu dụng bậc hai

kết cặp với các trường phụ

 

 

F [Φ, Φ∗]

" ∂ ∂τ





= DψD ¯ψ exp − − µ − dτ dx X ψσ(x, τ ) ¯ψσ(x, τ ) (cid:2) (cid:2) ∇2 2m

  ¯ψα(y, τ ) ¯ψβ(z, τ )Φβα(z, y, τ )



αβ

 

(A.1) (cid:2) 0   gκ X dτ dy dz × exp (cid:2) (cid:2) (cid:2) 0

 αβ(y, z, τ )ψβ(z, τ )ψα(y, τ ) 



+ Φ∗

)

(

(cid:17)

Bởi vì:

(cid:16) ¯ψσ(x)ησ(x) + ¯ησ(x)ψσ(x)

)

(cid:17) (cid:16) ¯ψσ(x)ησ(x) + ¯ησ(x)ψσ(x)

)

(

(cid:17)

exp dx X δ δ ¯ηα(y) (A.2) (cid:2) ( dx X = ψα(y) exp (cid:2)

(cid:16) ¯ψσ(x)ησ(x) + ¯ησ(x)ψσ(x)

)

(

exp dx X (cid:2) δ δηα(y) (A.3)

(cid:17) (cid:16) ¯ψσ(x)ησ(x) + ¯ησ(x)ψσ(x)

(

)

(cid:17)

dx X = − ¯ψα(y) exp (cid:2)

(cid:16) ¯ψσ(x)ησ(x) + ¯ησ(x)ψσ(x)

(

)

(cid:17)

exp dx X (cid:2) δ2 δ ¯ηβ(z)δ ¯ηα(y) (A.4)

(cid:16) ¯ψσ(x)ησ(x) + ¯ησ(x)ψσ(x)

(

)

(cid:17)

dx X = −ψσ(y)ψβ(z) exp (cid:2)

(cid:16) ¯ψσ(x)ησ(x) + ¯ησ(x)ψσ(x)

)

(

dx X exp (cid:2) δ2 δηβ(z)δηα(y) (A.5)

(cid:17) (cid:16) ¯ψσ(x)ησ(x) + ¯ησ(x)ψσ(x)

dx X = − ¯ψα(y) ¯ψβ(z) exp (cid:2)

143

Tính hệ fermion hiệu dụng bậc hai kết cặp với các trường phụ

cho nên nếu thực hiện sự thay thế

¯ψα(y) ¯ψβ(z) −→ −

(A.6)

ψα(y)ψβ(z) −→ − δ2 δηβ(z)δηα(y) δ2 δ ¯ηβ(z)δ ¯ηα(y)

có thể viết lại (A.1) như sau:

)

(

F [Φ, Φ∗]

" ∂ ∂τ

 

  i

− − µ DψD ¯ψ exp = − dx X ψσ(x) ¯ψσ(x) (cid:2) (cid:2) ∇2 2m

h ¯ψα(y) ¯ψβ(z)Φβα(z, y) + Φ∗

αβ(y, z)ψβ(z)ψα(y)





αβ (cid:2)

 

× exp gκ X dy dz (cid:2)



αβ (cid:2)

# 

gκ X = exp dy dz − Φβα(z, y) (cid:2) δ2 δηβ(z)δηα(y)

αβ(y, z)

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)η=¯η=0



 

# 

− Φ∗ F0 [η, ¯η] δ2 δ ¯ηβ(z)δ ¯ηα(y)

αβ(y, z)





αβ (cid:2)

(

dy dz −gκ X = F0 exp Φβα(z, y) + Φ∗ (cid:2) δ2 δηβ(z)δηα(y)

× exp dx ¯ησ(x)Gσσ0(x − x0)ησ0(x0) (cid:2) (cid:2) δ2 δ ¯ηβ(z)δ ¯ηα(y) ) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)η=¯η=0 dx0 X σσ0 (A.7)





∞ X

Trong khai triển hàm mũ chứa Φ, Φ∗ của biểu thức (A.7) các số hạng bậc m của nó có dạng (a + b)m, và do sau khi các phép lấy đạo hàm được thực hiện ta đặt η = ¯η = 0 nên trong biểu thức (A.7) chỉ còn lại các số hạng bậc chẵn chứa số bằng nhau các hàm Φ và Φ∗





βα(z, y)

n=0 



dy dzΦ∗ F [Φ, Φ∗] =F0 (cid:2) κ2ng2n 1 (2n)! (2n)! n!n! δ2 δ ¯ηα(y)δ ¯ηβ(z) n





X αβ (cid:2) δ2 δηβ0(z0)δηα0(y0)

X α0β0 (cid:2)

(

(A.8) dz0 × dy0 Φα0β0(z0, y0) (cid:2)

) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)η=¯η=0

× exp dx ¯ησ(x)Gσσ0(x − x0)ησ0(x0) (cid:2) (cid:2) dx0 X σσ0

Vì các chỉ số tọa độ và spin đều biến thiên theo cùng một quy luật nên để đơn giản cách viết ta chỉ viết theo chỉ số spin và quy ước khi một chỉ số được lặp lại hai lần

144

Tính hệ fermion hiệu dụng bậc hai kết cặp với các trường phụ

trong một biểu thức tích thì có nghĩa là lấy tổng theo chỉ số đó, khi đó một số bậc đầu tiên của (A.8) là:

Số hạng bậc hai (n = 1):





 

 

F (2)





β1α1

 

   exp

1β0

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)η=¯η=0





α1β1

σσ0

1β0 α0

Φ∗ = F0(gκ)2 ¯ησGσσ0 ησ0 Φα0 δ2 δηα0 δηβ0

β1α1

1β0

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)η=¯η=0

δ2 δ ¯ηα1δ ¯ηβ1 ! " Φ∗ = F0(gκ)2 exp {¯ησGσσ0 ησ0 } Φα0 (−1)1+2 (¯ηG)α0 (¯ηG)β0 δ2 δ ¯ηα1δ ¯ηβ1

β1α1

1β0

= F0(gκ)2Φ∗ (−1)1+2Gβ1α0 Gα1β0 + (−1)1+2+1Gα1α0 Gβ1β0

β1α1Gα1α0

β1α1Gα1β0

1β0

Φα0 # + Φ∗ −Φ∗ = F0(gκ)2 Φα0 Φα0 Gβ1β0 Gβ1α0

β1α1Gα1α0

β1α1Gα1β0

1β0

1α0

1β1

+ Φ∗ Φ∗ = F0(gκ)2 Φα0 Φβ0 GT α0 GT β0 1β1

1α0

1β1

β1α1Gα1β0 Φ∗GΦGT (cid:17)

Φβ0 GT α0

, = 2F0(gκ)2Φ∗ = 2F0(gκ)2 (cid:16)

(A.9)

ở đây ta đã sử dụng tính chất

(A.10) Φαβ = −Φβα

và

(A.11) Gαβ ≡ GT βα

145

Tính hệ fermion hiệu dụng bậc hai kết cặp với các trường phụ

Số hạng bậc bốn (n = 2):

β2α2

β1α1Φ∗ 

Φ∗ F (4) F0(gκ)4 1 2!2!



  exp {¯ησGσσ0 ησ0 }

2β0

1β0

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)η=¯η=0

β1α1Φ∗

β2α2

× Φα0 Φα0 δηβ0 δηα0 δ4 δ ¯ηα1δ ¯ηβ1δ ¯ηα2δ ¯ηβ2 δ4 δηβ0 δηα0 ( Φ∗ Gα1α0 Gβ1β0 Gα2α0 Gβ2β0 − Gα1α0 Gβ1β0 Gα2β0 Gβ2α0

= F0(gκ)4 1 2!2! Gβ1α0 Gβ1β0 Gβ1α0 − Gα1α0 − Gα1α0 + Gα1β0 Gα2β0 Gα2α0 Gα2α0 Gβ2β0 Gβ2β0 Gβ2β0 + Gα1α0 − Gα1β0 − Gα1β0 Gβ1α0 Gβ1α0 Gβ1α0 Gα2β0 Gα2α0 Gα2β0 Gβ2β0 Gβ2β0 Gβ2α0 + Gα1α0 + Gα1β0 − Gα1β0 Gβ1β0 Gβ1α0 Gβ1β0 Gα2β0 Gα2β0 Gα2α0 Gβ2α0 Gβ2α0 Gβ2α0

(A.12)

1β0

2β0

Gβ2β0 Gβ2β0 Gβ2β0 Gβ2β0 Gα2β0 Gα2α0 Gα2α0 Gα2α0 Gβ1α0 Gβ1β0 Gβ1α0 Gβ1α0 − Gα1α0 + Gα1α0 + Gα1β0 − Gα1β0 Gβ2β0 Gβ2α0 Gβ2α0 Gβ2α0 Gα2β0 Gα2β0 Gα2β0 Gα2α0 Gβ1α0 Gβ1β0 Gβ1α0 Gβ1β0 Gβ2α0 Gβ2β0 Gβ2α0 Gβ2α0 Gα2α0 Gα2α0 Gα2β0 Gα2α0 Gβ1β0 Gβ1β0 Gβ1β0 Gβ1β0 + Gα1β0 − Gα1α0 − Gα1α0 + Gα1β0 + Gα1α0 + Gα1α0 − Gα1β0 − Gα1β0 ) , Φα0 Φα0 Gβ2α0 Gα2β0 Gβ1α0 + Gα1β0

nhờ tính chất (A.10) và hệ thức (A.11) ta nhận được:

146

(cid:19)

(cid:19) (cid:18)

((cid:18)

Tính hệ fermion hiệu dụng bậc hai kết cặp với các trường phụ

β2α2Gα2α0

β1α1Gα1α0

2β0

1β0

(cid:19)

β1α1Gα1α0

β2α2Gα2β0

1β0

2α0

2β2

1 (cid:19)

(cid:18)

Φ∗ Φ∗ GT β0 2β2 GT β0 1β1 F (4) = F0(gκ)4 1 2!2! Φα0 (cid:18) Φα0 2 (cid:19) (cid:18) + Φ∗ Φ∗ Φα0 Φβ0 GT α0 GT β0 1β1

β1α1Gα1α0

2α0

1β0

2β1

(cid:19)

α2β2Gβ2β0 (cid:18)

Φ∗ Φ∗ − Φβ0 Φα0 GT α0 GT β0 1α2

β2α2Gα2β0

β1α1Gα1α0

2α0

2β1

(cid:18)

β1α1Gα1α0

2β0

1β0

(cid:19)

α2β2Gβ2α0 (cid:18)

Φ∗ − Φ∗ Φβ0 GT α0 GT β0 1β2 Φα0 1β0 (cid:19) Φ∗ Φ∗ − Φα0 Φα0 GT β0 2β1 GT β0 1α2

β2α2Gα2α0

β1α1Gα1α0

2β0

1β0

(cid:19)

(cid:19) (cid:18)

(cid:18)

Φ∗ − Φ∗ Φα0 Φα0 GT β0 2β1 GT β0 1β2

β1α1Gα1β0

2β0

1α0

1β1

(cid:19)

(cid:19) (cid:18)

β2α2Gα2α0 (cid:18)

Φ∗ Φ∗ + Φα0 Φβ0 GT α0 GT β0 2β2

β2α2Gα2β0

β1α1Gα1β0

2α0

1α0

2β2

1β1

(cid:19)

(cid:18)

Φ∗ + Φ∗ Φβ0 Φβ0 GT α0 GT α0

β1α1Gα1β0

2α0

1α0

2β1

1α2

α2β2Gβ2β0 (cid:18)

(cid:19)

Φ∗ Φ∗ − Φβ0 Φβ0 GT α0 GT α0

β2α2Gα2β0

β1α1Gα1β0

2α0

2β1

1β2

(cid:18)

β1α1Gα1β0

2β0

1α0

1α2

(cid:19)

α2β2Gβ2α0 (cid:18)

Φ∗ − Φ∗ Φβ0 GT α0 GT α0 Φβ0 1α0 (cid:19) Φ∗ Φ∗ − Φα0 Φβ0 GT α0 GT β0 2β1

β2α2Gα2α0

β1α1Gα1β0

2β0

1β2

(cid:18)

β1α1Gα1α0

1α0

2β0

1β1

(cid:19)

β2α2Gα2β0 (cid:18)

Φ∗ − Φ∗ Φα0 GT α0 GT β0 2β1 Φβ0 1α0 (cid:19) Φ∗ Φ∗ − Φβ0 Φα0 GT α0 GT β0 2β2

α2β2Gβ2β0

β1α1Gα1α0

1α0

2β0

1β1

Φ∗ − Φ∗ Φβ0 Φα0 GT α0 GT β0 2α2

147

(cid:19)

(cid:18)

Tính hệ fermion hiệu dụng bậc hai kết cặp với các trường phụ

β1α1Gα1α0

1β0

2β0

β2α2Gα2α0 (cid:18)

(cid:19)

Φ∗ − Φ∗ Φα0 Φα0 GT β0 1β1 GT β0 2β2

α2β2Gβ2α0

β1α1Gα1α0

1β0

2β0

(cid:19)

(cid:19) (cid:18)

(cid:18)

Φ∗ − Φ∗ Φα0 Φα0 GT β0 1β1 GT β0 2α2

β2α2Gα2α0

β1α1Gα1α0

1β0

2β0

(cid:19) (cid:18)

(cid:18)

(cid:19)

Φ∗ + Φ∗ Φα0 Φα0 GT β0 2β1 GT β0 1β2

β1α1Gα1α0

β2α2Gα2β0

2β0

1α0

1β2

(cid:18)

β1α1Gα1β0

1α0

2α0

1β1

2β2

(cid:19)

β2α2Gα2β0 (cid:18)

Φ∗ Φ∗ + Φα0 Φβ0 GT α0 GT β0 2β1 (cid:19) Φ∗ − Φ∗ Φβ0 Φβ0 GT α0 GT α0

α2β2Gβ2β0

β1α1Gα1β0

1α0

1β1

2α2

(cid:18)

β1α1Gα1β0

1β0

2α0

2β2

(cid:19)

β2α2Gα2α0 (cid:18)

Φ∗ − Φ∗ Φβ0 GT α0 GT α0 Φβ0 2α0 (cid:19) Φ∗ − Φ∗ Φα0 Φβ0 GT α0 GT β0 1β1

α2β2Gβ2α0

β1α1Gα1β0

1β0

2α0

2α2

(cid:19) (cid:18)

(cid:18)

β2α2Gα2α0

β1α1Gα1β0

1β0

2α0

2β1

(cid:19))

(cid:18)

(cid:19) (cid:18)

Φ∗ − Φ∗ Φα0 Φβ0 GT β0 1β1 GT α0 (cid:19) Φ∗ + Φ∗ Φα0 Φβ0 GT α0 GT β0 1β2

β1α1Gα1β0

β2α2Gα2β0

1α0

2α0

1β2

2β1

(cid:19)2

((cid:18)

+ Φ∗ Φ∗ Φβ0 Φβ0 GT α0 GT α0

β1α1Gα1α0

1β0

(cid:18)

(cid:19))

Φ∗ = 2F0(gκ)4 Φα0 GT β0 1β1

α2β2Gβ2β0

β1α1Gα1α0

2α0

1β0

2β1

Φ∗ − 2 Φ∗ Φβ0 Φα0 GT α0

(

(cid:16)

GT β0 1α2 ) Φ∗GΦGT (cid:17)2 − 2 Φ∗GΦGT Φ∗GΦGT (cid:17) = 2F0(gκ)4

(A.13)

Số hạng bậc sáu (n = 3):

β1α1Φ∗

β2α2Φ∗

β3α3



Φ∗ F (6) = F0(gκ)6 1 3!3! δ6 δ ¯ηα1δ ¯ηβ1δ ¯ηα2δ ¯ηβ2δ ¯ηα3δ ¯ηβ3



  exp {¯ησGσσ0 ησ0 }

1β0

2β0

3β0

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)η=¯η=0

)

β1α1Φ∗

β2α2Φ∗

β3α3

P (α0

× Φα0 Φα0 Φα0 δηβ0 δ6 δηα0 δηβ0 δηα0 1 ( Φ∗ Gβ3β0 Gα3α0 Gβ2β0 Gα2α0 Gβ1β0 δηα0 δηβ0 = F0(gκ)6 1 3!3! (−1)P Gα1α0 iβ0 i )

3β0

2β0

1β0

× Φα0 Φα0 Φα0

148

(

(cid:19)

(cid:18)

Tính hệ fermion hiệu dụng bậc hai kết cặp với các trường phụ

1β0

(cid:19)

(cid:19) (cid:18)

β3α3Gα3α0

β2α2Gα2α0

3β0

2β0

(cid:19)

(cid:19) (cid:18)

(cid:18)

48 Φ∗ GT β0 1β1 = F0(gκ)6 1 3!3! Φα0 β1α1Gα1α0 1 (cid:18) Φ∗ × Φ∗ Φα0 Φα0 GT β0 2β2 GT β0 3β3

β3α3Gα3α0

β1α1Gα1α0

β2α2Gα2α0

2β0

1β0

3β0

(cid:18)

β3α3Gα3α0

β2α2Gα2α0

1β0

3β0

2β0

β1α1Gα1α0 (

(cid:16)

Φ∗ − 288 Φ∗ Φ∗ Φα0 Φα0 Φα0 GT β0 1β1 GT β0 3β3 GT β0 2β2 (cid:19)) Φ∗ Φ∗ + 384 Φ∗ Φα0 Φα0 Φα0 GT β0 1β1 GT β0 3β3 GT β0 2β2

)

(cid:16)

− 288 Φ∗GΦGT (cid:17) (cid:16) Φ∗GΦGT Φ∗GΦGT (cid:17) Φ∗GΦGT (cid:17)3 48 = F0(gκ)6 1 3!3!

+ 384 Φ∗GΦGT Φ∗GΦGT Φ∗GΦGT (cid:17)

(A.14)

Số hạng bậc tám (n = 4):



F (8)



!4  

β1α1

1β0

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)η=¯η=0

(

(cid:16)

Φ∗ exp {¯ησGσσ0 ησ0 } Φα0 δ2 δ ¯ηα1δ ¯ηβ1 δ2 δηα0 δηβ0

(cid:16)

384 Φ∗GΦGT (cid:17)4 − 4608 Φ∗GΦGT (cid:17)2 (cid:16) Φ∗GΦGT Φ∗GΦGT (cid:17) = F0(gκ)8 1 4!4! = F0(gκ)8 1 4!4!

)

(cid:16)

+ 4608 Φ∗GΦGT Φ∗GΦGT (cid:17)2 + 12288 Φ∗GΦGT (cid:17) (cid:16) Φ∗GΦGT Φ∗GΦGT Φ∗GΦGT (cid:17)

− 18432 Φ∗GΦGT Φ∗GΦGT Φ∗GΦGT Φ∗GΦGT (cid:17)

(A.15)

(cid:19)

Các số hạng trên được viết lại như sau:

(cid:18) 1 2

)

(

(cid:16)

(A.16) Φ∗GΦGT , Φ∗GΦGT (cid:17) = F0(2gκ)2 F (2) = 2F0(gκ)2 (cid:16)

− 2 Φ∗GΦGT Φ∗GΦGT (cid:17) Φ∗GΦGT (cid:17)2 F (4) = 2F0(gκ)4

(cid:18)

(cid:19)2

(A.17)

(cid:19)) ,

( 1 2!

(cid:18) 1 2

− + Φ∗GΦGT Φ∗GΦGT Φ∗GΦGT = F0(2gκ)4 1 4

149

(

(cid:16)

Tính hệ fermion hiệu dụng bậc hai kết cặp với các trường phụ

)

(cid:16)

− 288 Φ∗GΦGT (cid:17) (cid:16) Φ∗GΦGT Φ∗GΦGT (cid:17) Φ∗GΦGT (cid:17)3 48 F (6) = F0(gκ)6 1 3!3!

(cid:19) (cid:18)

(cid:19)

(cid:19)3

+ 384 Φ∗GΦGT Φ∗GΦGT Φ∗GΦGT (cid:17) (A.18)

( 1 3!

(cid:18) 1 2

(cid:19)) ,

+ Φ∗GΦGT Φ∗GΦGT − Φ∗GΦGT Φ∗GΦGT = F0(2gκ)6 1 4

(cid:18) 1 2 (cid:18) 1 6

Φ∗GΦGT Φ∗GΦGT Φ∗GΦGT +

(cid:19)2 (cid:18)

(cid:19)4

(cid:19)

F (8)

( 1 4!

(cid:18) 1 2

(cid:18)

(cid:19)2

(cid:19)

Φ∗GΦGT Φ∗GΦGT − Φ∗GΦGT Φ∗GΦGT + = F0(2gκ)8 1 4

(cid:19) (cid:18) 1 6

(cid:19))

+ − Φ∗GΦGT Φ∗GΦGT Φ∗GΦGT Φ∗GΦGT Φ∗GΦGT Φ∗GΦGT + 1 2 1 4 1 2 (cid:18) 1 2 (cid:18) Φ∗GΦGT Φ∗GΦGT Φ∗GΦGT Φ∗GΦGT + − 1 8

(A.19)

∞ X

Lưu ý rằng:

(1 2

n=1

1 + (2gκ)2 (cid:16) Φ∗GΦGT (cid:17) − (2gκ)4 (cid:16) Φ∗GΦGT Φ∗GΦGT (cid:17) F (2n) =F0 exp 1 4

)

(2gκ)6 (cid:16) Φ∗GΦGT Φ∗GΦGT Φ∗GΦGT (cid:17) +

, − (2gκ)8 (cid:16) Φ∗GΦGT Φ∗GΦGT Φ∗GΦGT Φ∗GΦGT (cid:17) + · · · 1 6 1 8

(A.20)

ta nhận được kết quả:

) Φ∗GΦGT (cid:17)i

(1 2

(A.21) Tr ln 1 + (2gκ)2 (cid:16) F [Φ, Φ∗] =F0 exp

150

B. Khai triển hàm mũ chứa các đạo

hàm

)

∞ X

( ∞ X

" δ δj∗ ,

n=1

N =0

{z An

δ δ = exp (−1)n−1(χ2)nG · · · G Z (N ) (B.1) δ δj δj∗ GT δ δj δj∗ GT δ δj } 1 2n |

Để đơn giản trong cách trình bày ta đặt:

δ χ2 G =A1 1 2 δj

δ δ − (χ2)2 G G =A2 δj δj

δ δ 1 4 δ (B.2) G G + (χ2)3 G =A3 δj δj δj

δ δ δ 1 6 δ G G − (χ2)4 G G =A4 δj∗ GT δ δj∗ GT δ δj δj∗ GT δ δj∗ GT δ δj∗ GT δ δj δj∗ GT δ δj∗ GT δ δj∗ GT δ δj∗ GT δ δj 1 8 δj∗ GT δ δj

· · ·

Bậc 0:

" δ δj∗ ,

=1 (B.3) Z (0) δ δj

Bậc 1:

" δ δj∗ ,

Z (1) δ δj



=A1



 Gσ1σ0







(cid:18) 1 2









= χ2 GT σ0 2σ2 1 2 (B.4) δ δjσ2σ1  δ δj∗ 1σ0 σ0 (cid:19) = δλ1σ1 χ2Gλ1σ0 GT σ0 2σ2 δ δjσ2λ1 δ δj∗ 1σ0 σ0

=Ω1δλ1σ1 δ δjσ2λ1 δ δj∗ σ0 1σ0

151

Khai triển hàm mũ chứa các đạo hàm

Bậc 2:

Z (2) δ δj



A1A1 = A2 +



" δ δj∗ , 1 2!  Gσ1σ0



χ4 = − Gσ3σ0 GT σ0 2σ2 GT σ0 4σ4 1 4 δ δjσ2σ3 δ δjσ4σ1



 Gσ1σ0





(cid:19)

(cid:18)

+ χ2 χ2 δ δj∗ σ0 3σ0  Gσ3σ0 GT σ0 2σ2 GT σ0 4σ4 1 2! 1 2 1 2 δ δjσ2σ1 δ δjσ4σ3 δ δj∗ 1σ0 σ0 δ δj∗ 1σ0 σ0 δ δj∗ 3σ0 σ0







(cid:19)

= − δλ1σ3δλ3σ1 Gλ1σ0 χ4Gλ3σ0 GT σ0 4σ4 GT σ0 2σ2 1 4 δ δjσ4λ3 δ δj∗ 1σ0 σ0 δ δjσ2λ1 





(cid:18) 1 2

(cid:19) (cid:18) 1 2

(cid:19)

(cid:18)

+ δλ1σ1δλ3σ3 χ2Gλ1σ0 χ2Gλ3σ0 GT σ0 2σ2 GT σ0 4σ4 δ δj∗ 3σ0 σ0 δ δjσ2λ1 δ δjσ4λ3 δ δj∗ 1σ0 σ0 δ δj∗ 3σ0 σ0







(cid:19)

 

1 2!   = − δλ1σ3δλ3σ1 Gλ1σ0 χ4Gλ3σ0 GT σ0 4σ4 GT σ0 2σ2 1 4





(cid:18) 1 2

(cid:19) (cid:18) 1 2



+ δλ1σ1δλ3σ3 χ2Gλ1σ0 χ2Gλ3σ0 GT σ0 2σ2 GT σ0 4σ4 1 2! δ δjσ2λ1 δ δjσ4λ3 δ δj∗ 1σ0 σ0 δ δj∗ 3σ0 σ0 (B.5)

(cid:19)

(cid:18)

Trong số hạng thứ nhất của thừa số đầu tiên của tích gán lại tên λ1 (cid:29) λ3, ta được

− − δλ1σ3δλ3σ1 = δλ1σ1δλ3σ3, Gλ1σ0 Gλ3σ0 χ4Gλ3σ0 χ4Gλ1σ0 GT σ0 4σ4 GT σ0 4σ4 GT σ0 2σ2 GT σ0 2σ2 1 4 1 4 (B.6)

vậy

" δ δj∗ ,

(cid:19)

Z (2) δ δj

(cid:18) 1 2

}

  

  (cid:18)  |









+ = − Gλ3σ0 χ4Gλ1σ0 GT σ0 4σ4 GT σ0 2σ2 GT σ0 4σ4 1 4 1 2! GT σ0 2σ2 {z Ω2 χ2Gλ1σ0 {z Ω1 χ2Gλ3σ0 {z Ω1

× δλ1σ1δλ3σ3 δ δjσ2λ1 δ δjσ4λ3 δ δj∗ σ0 1σ0 δ δj∗ σ0 3σ0

152





(cid:27)

(cid:26)

Khai triển hàm mũ chứa các đạo hàm







(

(cid:19))

= Ω2 + Ω1Ω1 δλ1σ1δλ3σ3 1 2! δ δjσ4λ3 δ δj∗ 1σ0 σ0 (B.7) δ δjσ2λ1 





(cid:18) 1 2!

Ω1Ω1 = Ω2 + δλ1σ1δλ3σ3 1 2! δ δjσ2λ1 δ δjσ4λ3 δ δj∗ 3σ0 σ0 δ δj∗ 1σ0 σ0 δ δj∗ 3σ0 σ0

trong đó P là số hoán vị có thể có của các Ωj trong tích.

Bậc 3:

Z (3) δ δj

" δ δj∗ , 1 2!



(A1A2 + A2A1) + A1A1A1







= χ6 = A3 +  Gσ1σ0 Gσ3σ0 Gσ5σ0 GT σ0 2σ2 GT σ0 4σ4 GT σ0 6σ6 1 6 1 3! δ δjσ2[σ3] δ δjσ4[σ5] δ δjσ6[σ1] δ δj∗ 3σ0 σ0 δ δj∗ 5σ0 σ0







+ χ2Gσ1σ0 GT σ0 2σ2 1 2 1 2! δ δjσ2[σ1] δ δj∗ 1σ0 σ0 δ δj∗ 1σ0 σ0

 −





× χ4Gσ3σ0 Gσ5σ0 GT σ0 4σ4 GT σ0 6σ6 1 4 δ δjσ4[σ5] δ δjσ6[σ3] δ δj∗ 3σ0 σ0 δ δj∗ 5σ0 σ0

 −







+ χ4Gσ1σ0 Gσ3σ0 GT σ0 2σ2 GT σ0 4σ4 1 4 1 2! δ δjσ2[σ3] δ δjσ4[σ1] δ δj∗ 1σ0 σ0 δ δj∗ 3σ0 σ0





6 







× χ2Gσ5σ0 GT σ0 6σ6 1 2 δ δjσ6[σ5] δ δj∗ 5σ0 σ0











+ χ2Gσ1σ0 χ2Gσ3σ0 GT σ0 4σ4 GT σ0 2σ2 1 2 1 3! 1 2 δ δjσ4[σ3] δ δjσ2[σ1] δ δj∗ 1σ0 σ0





(cid:19)

× χ2Gσ5σ0 GT σ0 6σ6 δ δj∗ 3σ0 σ0  1 2 δ δjσ6[σ5] δ δj∗ 5σ0 σ0

(cid:18) 1 6



= δλ1σ3δλ3σ5δλ5σ1 Gλ3σ0 Gλ1σ0 χ6Gλ5σ0 GT σ0 4σ4 GT σ0 2σ2 GT σ0 6σ6 





× δ δjσ2λ1 δ δjσ4λ3 δ δjσ6λ5 δ δj∗ 1σ0 σ0 δ δj∗ 3σ0 σ0 δ δj∗ 5σ0 σ0

153

(cid:19)

(cid:19) (cid:18)

Khai triển hàm mũ chứa các đạo hàm

(cid:18) 1 2



+ − δλ1σ1δλ3σ5δλ5σ3 Gλ3σ0 χ2Gλ1σ0 χ4Gλ5σ0 GT σ0 6σ6 GT σ0 2σ2 1 2! 1 4 GT σ0 4σ4 





(cid:18)

(cid:19) (cid:18) 1 2



× δ δjσ4λ3 δ δjσ6λ5 δ δj∗ 3σ0 σ0 δ δj∗ 5σ0 σ0 δ δjσ2λ1 (cid:19) + − δλ1σ3δλ3σ1δλ5σ5 Gλ1σ0 χ4Gλ3σ0 GT σ0 2σ2 GT σ0 6σ6 GT σ0 4σ4 1 2! 1 4 δ δj∗ 1σ0 σ0 χ2Gλ5σ0 





(cid:18) 1 2

(cid:19) (cid:18) 1 2





× δ δjσ2λ1 δ δjσ4λ3 δ δjσ6λ5 δ δj∗ 5σ0 σ0 δ δj∗ 3σ0 σ0 4 (cid:19) + δλ1σ1δλ3σ3δλ5σ5 χ2Gλ1σ0 χ2Gλ3σ0 GT σ0 2σ2 GT σ0 4σ4 GT σ0 6σ6 1 3!





(cid:19)

((cid:18) 1 6 (cid:18) 1 2

(cid:19)

(cid:18)

× δ δjσ2λ1 δ δjσ4λ3 δ δjσ6λ5 δ δj∗ 3σ0 σ0 δ δj∗ 5σ0 σ0 δ δj∗ 1σ0 σ0 (cid:19) (cid:18) 1 χ2Gλ5σ0 2 δ δj∗ 1σ0 σ0 (cid:19) = δλ1σ3δλ3σ5δλ5σ1 Gλ3σ0 χ6Gλ5σ0 GT σ0 6σ6 GT σ0 4σ4 GT σ0 2σ2 Gλ1σ0 (cid:19) (cid:18) − + δλ1σ1δλ3σ5δλ5σ3 Gλ3σ0 χ4Gλ5σ0 GT σ0 6σ6 GT σ0 2σ2 1 4

)

(cid:19)

+ − δλ1σ3δλ3σ1δλ5σ5 Gλ1σ0 χ4Gλ3σ0 GT σ0 4σ4 GT σ0 6σ6 χ2Gλ1σ0 1 4 GT σ0 4σ4 (cid:19) (cid:18) 1 2

(cid:18) 1 2





+ δλ1σ1δλ3σ3δλ5σ5 χ2Gλ1σ0 χ2Gλ3σ0 χ2Gλ5σ0 GT σ0 2σ2 GT σ0 4σ4 GT σ0 6σ6 1 2! 1 2! 1 3! GT σ0 2σ2 (cid:19) (cid:18) 1 2 χ2Gλ5σ0 (cid:19) (cid:18) 1 2





× δ δjσ2λ1 δ δjσ4λ3 δ δjσ6λ5 δ δj∗ 1σ0 σ0 δ δj∗ 3σ0 σ0 δ δj∗ 5σ0 σ0 (B.8)

(cid:19)

Trong số hạng thứ nhất của thừa số đầu của tích ta đổi λ1 (cid:29) λ5 sau đó đổi λ5 (cid:29) λ3, ta được

(cid:18) 1 χ6Gλ5σ0 6 (cid:18) 1 6

Gλ3σ0 Gλ1σ0 GT σ0 6σ6 GT σ0 4σ4 GT σ0 2σ2 (B.9) δλ1σ3δλ3σ5δλ5σ1 (cid:19) = δλ1σ1δλ3σ3δλ5σ5 Gλ5σ0 Gλ3σ0 χ6Gλ1σ0 GT σ0 6σ6 GT σ0 4σ4 GT σ0 2σ2

(cid:19) (cid:18)

(cid:19)

Trong số hạng thứ hai của thừa số đầu của tích ta đổi λ5 (cid:29) λ3, ta được

(cid:18) 1 χ2Gλ1σ0 2 (cid:18) 1 2

− Gλ3σ0 GT σ0 2σ2 GT σ0 4σ4 GT σ0 6σ6 (B.10) 1 4 (cid:19) (cid:18) δλ1σ1δλ3σ5δλ5σ3 (cid:19) − = δλ1σ1δλ3σ3δλ5σ5 χ2Gλ1σ0 χ4Gλ3σ0 Gλ5σ0 GT σ0 2σ2 GT σ0 4σ4 GT σ0 6σ6 χ4Gλ5σ0 1 4

154

Khai triển hàm mũ chứa các đạo hàm

(cid:18)

(cid:19)

Trong số hạng thứ ba của thừa số đầu của tích ta đổi λ1 (cid:29) λ3, ta được

(cid:19) (cid:18) 1 2 (cid:19) (cid:18) 1 2

− Gλ1σ0 χ2Gλ5σ0 GT σ0 4σ4 GT σ0 2σ2 GT σ0 6σ6 (B.11) 1 4 (cid:18) δλ1σ3δλ3σ1δλ5σ5 (cid:19) = − δλ1σ1δλ3σ3δλ5σ5 Gλ3σ0 χ4Gλ1σ0 χ2Gλ5σ0 GT σ0 4σ4 GT σ0 2σ2 GT σ0 6σ6 χ4Gλ3σ0 1 4

(cid:19)

Vậy

" δ δj∗ ,

(cid:19)

(cid:19) (cid:18)

Z (3) = Gλ5σ0 Gλ3σ0 GT σ0 6σ6 GT σ0 2σ2 δ δj

(cid:19)

(cid:18)

+ − Gλ5σ0 χ4Gλ3σ0 GT σ0 6σ6 GT σ0 2σ2 GT σ0 4σ4 1 4 χ6Gλ1σ0 (cid:18) 1 2

(cid:19))

+ − Gλ3σ0 χ4Gλ1σ0 GT σ0 4σ4 GT σ0 6σ6 χ2Gλ1σ0 1 4 GT σ0 4σ4 (cid:19) (cid:18) 1 2

((cid:18) 1 6 1 2! 1 2! 1 3!

(cid:18) 1 2







+ χ2Gλ1σ0 χ2Gλ3σ0 χ2Gλ5σ0 GT σ0 2σ2 GT σ0 4σ4 GT σ0 2σ2 (cid:19) (cid:18) 1 2 χ2Gλ5σ0 (cid:19) (cid:18) 1 2 GT σ0 6σ6 

(cid:26)





× δλ1σ1δλ3σ3δλ5σ5 δ δjσ6λ5 δ δj∗ 1σ0 σ0 δ δj∗ 3σ0 σ0 δ δj∗ 5σ0 σ0 δ δjσ4λ3 (cid:27) = Ω3 + Ω1Ω2 + Ω2Ω1 + Ω1Ω1Ω1 δλ1σ1δλ3σ3δλ5σ5 δ δjσ2λ1 1 3!





(

(cid:19))

(cid:16)

× δ δjσ2λ1 δ δjσ4λ3 δ δjσ6λ5 1 2! δ δj∗ 1σ0 σ0 δ δj∗ 5σ0 σ0

(cid:18) 1 3!





× Ω3 + Ω1Ω1Ω1 1 2! δ δj∗ 3σ0 σ0 Ω1Ω2(cid:17) + δλ1σ1δλ3σ3δλ5σ5 1 2! 1 3!





× δ δjσ2λ1 δ δjσ4λ3 δ δjσ6λ5 δ δj∗ 1σ0 σ0 δ δj∗ 3σ0 σ0 δ δj∗ 5σ0 σ0 (B.12)

Bậc 4:

Z (4) δ δj

" δ δj∗ , 1 2!

(A1A3 + A3A1 + A2A2) + (A1A1A2 + A1A2A1 + A2A1A1) + A1A1A1A1 1 3! 1 4!





= = A4 +  − χ8Gσ1σ0 Gσ3σ0 Gσ5σ0 GT σ0 2σ2 GT σ0 4σ4 GT σ0 6σ6 1 8 δ δjσ2σ3 δ δjσ4σ5 δ δjσ6σ7 δ δj∗ 1σ0 σ0 δ δj∗ 3σ0 σ0 δ δj∗ 5σ0 σ0

× Gσ7σ0 GT σ0 8σ8 δ δjσ8σ1 δ δj∗ σ0 7σ0

155





Khai triển hàm mũ chứa các đạo hàm









+ χ2Gσ1σ0 GT σ0 2σ2 1 2 1 2! δ δjσ2σ1 δ δj∗ 1σ0 σ0









× χ6Gσ3σ0 Gσ5σ0 Gσ7σ0 GT σ0 4σ4 GT σ0 6σ6 GT σ0 8σ8 1 6 δ δjσ4σ5 δ δjσ6σ7 δ δjσ8σ3 δ δj∗ 5σ0 σ0 δ δj∗ 7σ0 σ0









+ χ2Gσ7σ0 GT σ0 8σ8 1 2 1 2! δ δjσ8σ7 δ δj∗ 3σ0 σ0 δ δj∗ 7σ0 σ0





× χ6Gσ1σ0 Gσ3σ0 Gσ5σ0 GT σ0 2σ2 GT σ0 4σ4 GT σ0 6σ6 1 6 δ δjσ2σ3 δ δjσ4σ5 δ δjσ6σ1 δ δj∗ 1σ0 σ0 δ δj∗ 3σ0 σ0 δ δj∗ 5σ0 σ0 

 −





+ χ4Gσ1σ0 Gσ3σ0 GT σ0 2σ2 GT σ0 4σ4 1 4 1 2! δ δjσ2σ3 δ δjσ4σ1 δ δj∗ 1σ0 σ0 δ δj∗ 3σ0 σ0

2  −



8 





× χ4Gσ5σ0 Gσ7σ0 GT σ0 6σ6 GT σ0 8σ8 1 4 δ δjσ6σ7 δ δjσ8σ5 δ δj∗ 7σ0 σ0 δ δj∗ 5σ0 σ0 











+ χ2Gσ1σ0 χ2Gσ3σ0 GT σ0 2σ2 GT σ0 4σ4 1 2 1 3! 1 2 δ δjσ4σ3 δ δjσ2σ1 δ δj∗ 1σ0 σ0

 −



8 





× χ4Gσ5σ0 Gσ7σ0 GT σ0 6σ6 GT σ0 8σ8 1 4 δ δj∗ 3σ0 σ0 δ δjσ6σ7 δ δjσ8σ5 δ δj∗ 7σ0 σ0 δ δj∗ 5σ0 σ0 











+ χ2Gσ1σ0 χ2Gσ7σ0 GT σ0 2σ2 GT σ0 8σ8 1 2 1 3! 1 2 δ δjσ8σ7 δ δjσ2σ1 δ δj∗ 1σ0 σ0

 −



× χ4Gσ3σ0 Gσ5σ0 GT σ0 4σ4 GT σ0 6σ6 1 4 δ δj∗ 7σ0 σ0 δ δjσ4σ5 δ δjσ6σ3 δ δj∗ 3σ0 σ0 δ δj∗ 5σ0 σ0 

 −







+ χ4Gσ1σ0 Gσ3σ0 GT σ0 2σ2 GT σ0 4σ4 1 4 1 3! δ δjσ2σ3 δ δjσ4σ1 δ δj∗ 1σ0 σ0 δ δj∗ 3σ0 σ0 4 

















× χ2Gσ5σ0 χ2Gσ7σ0 GT σ0 6σ6 GT σ0 8σ8 1 2 1 2 δ δjσ6σ5 δ δjσ8σ7











+ χ2Gσ1σ0 χ2Gσ3σ0 GT σ0 2σ2 GT σ0 4σ4 1 2 1 4! 1 2 δ δj∗ 5σ0 σ0 δ δjσ2σ1 δ δj∗ 7σ0 σ0 δ δjσ4σ3 δ δj∗ 1σ0 σ0  δ δj∗ 3σ0 σ0 







(cid:19)

(cid:18)

× χ2Gσ7σ0 χ2Gσ5σ0 GT σ0 8σ8 GT σ0 6σ6 1 2 1 2 δ δjσ8σ7 δ δjσ6σ5 δ δj∗ 7σ0 σ0 δ δj∗ 5σ0 σ0



= − δλ1σ3δλ3σ5δλ5σ7δλ7σ1 Gλ5σ0 Gλ3σ0 χ8Gλ7σ0 GT σ0 8σ8 GT σ0 6σ6 GT σ0 4σ4 GT σ0 2σ2 1 8 Gλ1σ0 3 





× δ δjσ2λ1 δ δjσ4λ3 δ δjσ6λ5 δ δjσ8λ7 δ δj∗ σ0 1σ0 δ δj∗ σ0 3σ0 δ δj∗ σ0 5σ0 δ δj∗ σ0 7σ0

156

(cid:19)

Khai triển hàm mũ chứa các đạo hàm

(cid:18) 1 2

(cid:19) (cid:18) 1 6

+ Gλ5σ0 Gλ3σ0 χ2Gλ1σ0 GT σ0 8σ8 GT σ0 6σ6 GT σ0 2σ2 GT σ0 4σ4 1 2! χ6Gλ7σ0  δλ1σ1δλ3σ5δλ5σ7δλ7σ3 





(cid:18) 1 6

× δ δjσ2λ1 δ δjσ4λ3 δ δjσ6λ5 δ δjσ8λ7 δ δj∗ 1σ0 σ0 δ δj∗ 7σ0 σ0 δ δj∗ 5σ0 σ0 6 (cid:19) + Gλ3σ0 Gλ1σ0 χ6Gλ5σ0 GT σ0 6σ6 GT σ0 2σ2 GT σ0 8σ8 1 2! GT σ0 4σ4  δλ1σ3δλ3σ5δλ5σ1δλ7σ7 





(cid:18)









× δ δjσ4λ3 δ δjσ8λ7 δ δj∗ 7σ0 σ0 δ δj∗ 5σ0 σ0 δ δj∗ σ0 1σ0 2 (cid:19) (cid:18) δ δjσ6λ5 (cid:19) − + − Gλ1σ0 Gλ5σ0 χ4Gλ3σ0 δ δj∗ 3σ0 σ0 (cid:19) (cid:18) 1 χ2Gλ7σ0 2 δ δj∗ 3σ0 σ0 χ4Gλ7σ0 GT σ0 4σ4 GT σ0 8σ8 GT σ0 2σ2 GT σ0 6σ6 1 2! 1 4

(cid:18) 1 2

(cid:19) (cid:18) 1 2







× δλ1σ3δλ3σ1δλ5σ7δλ7σ5 δ δjσ4λ3 δ δjσ6λ5 δ δjσ8λ7 δ δj∗ 1σ0 σ0 δ δj∗ 5σ0 σ0 δ δj∗ σ0 7σ0 (cid:19) δ δjσ2λ1 1 4 δ δjσ2λ1 (cid:19) (cid:18) − + Gλ5σ0 χ2Gλ1σ0 GT σ0 8σ8 GT σ0 2σ2 GT σ0 4σ4 GT σ0 6σ6 1 3! χ2Gλ3σ0 

(cid:19) (cid:18)

(cid:18) 1 2

(cid:19) (cid:18) 1 2







× δλ1σ1δλ3σ3δλ5σ7δλ7σ5 δ δjσ4λ3 δ δjσ2λ1 δ δjσ6λ5 δ δjσ8λ7 δ δj∗ 3σ0 σ0 1 χ4Gλ7σ0 4 δ δj∗ 3σ0 σ0 δ δj∗ 7σ0 σ0 (cid:19) − + Gλ3σ0 χ2Gλ1σ0 δ δj∗ 5σ0 σ0 χ2Gλ7σ0 GT σ0 6σ6 GT σ0 2σ2 GT σ0 4σ4 GT σ0 8σ8 1 3! 1 4 δ δj∗ 1σ0 σ0 χ4Gλ5σ0 

(cid:18)

(cid:19) (cid:18) 1 2



3 





× δλ1σ1δλ3σ5δλ5σ3δλ7σ7 δ δjσ2λ1 δ δjσ4λ3 δ δjσ6λ5 δ δjσ8λ7 δ δj∗ 3σ0 σ0 δ δj∗ σ0 7σ0 (cid:19) + − Gλ1σ0 δ δj∗ 5σ0 σ0 χ2Gλ7σ0 χ4Gλ3σ0 χ2Gλ5σ0 GT σ0 4σ4 GT σ0 8σ8 GT σ0 2σ2 GT σ0 6σ6 δ δj∗ σ0 1σ0 (cid:19) (cid:18) 1 2 1 3! 1 4

(cid:18) 1 2

(cid:19) (cid:18) 1 2







× δλ1σ3δλ3σ1δλ5σ5δλ7σ7 δ δjσ2λ1 δ δjσ4λ3 δ δjσ6λ5 δ δj∗ 1σ0 σ0 δ δj∗ 7σ0 σ0 δ δjσ8λ7 (cid:19) + δ δj∗ 3σ0 σ0 χ2Gλ5σ0 χ2Gλ7σ0 χ2Gλ1σ0 GT σ0 6σ6 GT σ0 8σ8 GT σ0 2σ2 GT σ0 4σ4 δ δj∗ 5σ0 σ0 (cid:19) (cid:18) 1 2 1 4! χ2Gλ3σ0 

(cid:19)

(cid:18)

 

× δλ1σ1δλ3σ3δλ5σ5δλ7σ7 δ δjσ2λ1 δ δjσ4λ3 δ δjσ6λ5 δ δjσ8λ7 δ δj∗ 1σ0 σ0 δ δj∗ 3σ0 σ0 δ δj∗ 5σ0 σ0 δ δj∗ 7σ0 σ0

(cid:19)

− = δλ1σ3δλ3σ5δλ5σ7δλ7σ1 Gλ5σ0 Gλ3σ0 Gλ1σ0 χ8Gλ7σ0 GT σ0 8σ8 GT σ0 6σ6 GT σ0 4σ4 GT σ0 2σ2 1 8

(cid:19) (cid:18) 1 6

(cid:19)

+ δλ1σ1δλ3σ5δλ5σ7δλ7σ3 Gλ5σ0 Gλ3σ0 χ2Gλ1σ0 χ6Gλ7σ0 GT σ0 8σ8 GT σ0 2σ2 GT σ0 4σ4

(cid:18) 1 2 (cid:18) 1 6

(cid:18)

 1 2! 1 2! 1 2!

(cid:19)

+ δλ1σ3δλ3σ5δλ5σ1δλ7σ7 χ2Gλ7σ0 Gλ1σ0 GT σ0 4σ4 GT σ0 8σ8 GT σ0 2σ2 GT σ0 6σ6 GT σ0 6σ6 (cid:19) (cid:18) 1 2 Gλ3σ0 (cid:19) − + χ4Gλ3σ0 Gλ1σ0 GT σ0 2σ2 χ6Gλ5σ0 1 4 GT σ0 4σ4 (cid:18) × − δλ1σ3δλ3σ1δλ5σ7δλ7σ5 χ4Gλ7σ0 Gλ5σ0 GT σ0 6σ6 GT σ0 8σ8 1 4

157

(cid:19)

Khai triển hàm mũ chứa các đạo hàm

(cid:18) 1 2

(cid:19) (cid:18) 1 2

(cid:19)

+ χ2Gλ1σ0 GT σ0 2σ2 GT σ0 4σ4 1 3!

(cid:19) (cid:18)

(cid:18) 1 2

(cid:19)

− × δλ1σ1δλ3σ3δλ5σ7δλ7σ5 χ4Gλ7σ0 GT σ0 8σ8 GT σ0 6σ6 Gλ5σ0 7 (cid:19) + − χ2Gλ1σ0 χ2Gλ3σ0 3 (cid:18) 1 4 χ4Gλ5σ0 GT σ0 6σ6 GT σ0 2σ2 GT σ0 4σ4 1 3! 1 4

(cid:18)

(cid:19) (cid:18) 1 2

(cid:19)

× δλ1σ1δλ3σ5δλ5σ3δλ7σ7 GT σ0 8σ8 χ2Gλ7σ0 (cid:19) + − Gλ1σ0 χ4Gλ3σ0 GT σ0 4σ4 GT σ0 2σ2 GT σ0 6σ6 1 3! 1 4

(cid:18) 1 2

(cid:19) (cid:18) 1 2

(cid:19)

 

× δλ1σ3δλ3σ1δλ5σ5δλ7σ7 χ2Gλ7σ0 GT σ0 8σ8 (cid:19) + χ2Gλ1σ0 χ2Gλ3σ0 Gλ3σ0 (cid:18) 1 2 χ2Gλ5σ0 (cid:18) 1 2 χ2Gλ5σ0 GT σ0 2σ2 GT σ0 4σ4 GT σ0 6σ6 1 4!

(cid:19) (cid:18) 1 2 (cid:18) 1 2







× δλ1σ1δλ3σ3δλ5σ5δλ7σ7 χ2Gλ7σ0 GT σ0 8σ8





× δ δjσ2λ1 δ δjσ4λ3 δ δjσ6λ5 δ δjσ8λ7 δ δj∗ 1σ0 σ0 δ δj∗ 3σ0 σ0 δ δj∗ 5σ0 σ0 δ δj∗ 7σ0 σ0

(B.13)

(cid:19)

(cid:18)

-Trong số hạng thứ nhất của thừa số đầu của tích ta đổi λ3 (cid:29) λ1, được

(cid:18)

(cid:19)

− δλ1σ3δλ3σ5δλ5σ7δλ7σ1 Gλ5σ0 Gλ3σ0 Gλ1σ0 χ8Gλ7σ0 GT σ0 8σ8 GT σ0 6σ6 GT σ0 4σ4 GT σ0 2σ2 (B.14) = − δλ3σ3δλ1σ5δλ5σ7δλ7σ1, Gλ5σ0 Gλ1σ0 Gλ3σ0 GT σ0 8σ8 GT σ0 6σ6 GT σ0 4σ4 GT σ0 2σ2 1 8 1 χ8Gλ7σ0 8

(cid:18)

(cid:19)

tiếp theo ta lại đổi λ5 (cid:29) λ1 , có

(cid:19)

(cid:18)

− δλ3σ3δλ1σ5δλ5σ7δλ7σ1 Gλ5σ0 Gλ1σ0 Gλ3σ0 χ8Gλ7σ0 GT σ0 8σ8 GT σ0 6σ6 GT σ0 4σ4 GT σ0 2σ2 (B.15) = − δλ3σ3δλ5σ5δλ1σ7δλ7σ1, Gλ1σ0 Gλ5σ0 Gλ3σ0 GT σ0 8σ8 GT σ0 6σ6 GT σ0 4σ4 GT σ0 2σ2 1 8 1 χ8Gλ7σ0 8

(cid:18)

(cid:19)

cuối cùng đổi λ7 (cid:29) λ1, ta được

(cid:19)

(cid:18)

− δλ3σ3δλ5σ5δλ1σ7δλ7σ1 χ8Gλ7σ0 Gλ3σ0 Gλ5σ0 Gλ1σ0 GT σ0 2σ2 GT σ0 4σ4 GT σ0 6σ6 GT σ0 8σ8 (B.16) = − δλ3σ3δλ5σ5δλ7σ7δλ1σ1 χ8Gλ1σ0 Gλ3σ0 Gλ5σ0 Gλ7σ0 GT σ0 2σ2 GT σ0 4σ4 GT σ0 6σ6 GT σ0 8σ8 1 8 1 8

158

Khai triển hàm mũ chứa các đạo hàm

(cid:19)

Trong số hạng thứ hai của thừa số đầu của tích đổi λ5 (cid:29) λ3 , có

(cid:19)

δλ1σ1δλ3σ5δλ5σ7δλ7σ3 Gλ5σ0 Gλ3σ0 χ2Gλ1σ0 χ6Gλ7σ0 GT σ0 8σ8 GT σ0 6σ6 GT σ0 2σ2 GT σ0 4σ4

(cid:18) 1 2 (cid:18) 1 2

(cid:19) (cid:18) 1 6 (cid:19) (cid:18) 1 6

= δλ1σ1δλ5σ5δλ3σ7δλ7σ3 Gλ3σ0 Gλ5σ0 χ2Gλ1σ0 χ6Gλ7σ0 GT σ0 8σ8 GT σ0 6σ6 GT σ0 2σ2 GT σ0 4σ4 1 2! 1 2! (B.17)

(cid:19)

sau đó đổi λ7 (cid:29) λ3, ta được

(cid:19)

δλ1σ1δλ5σ5δλ3σ7δλ7σ3 Gλ3σ0 Gλ5σ0 χ2Gλ1σ0 χ6Gλ7σ0 GT σ0 8σ8 GT σ0 6σ6 GT σ0 2σ2 GT σ0 4σ4

(cid:18) 1 2 (cid:18) 1 2

(cid:19) (cid:18) 1 6 (cid:19) (cid:18) 1 6

= δλ1σ1δλ5σ5δλ7σ7δλ3σ3 Gλ7σ0 Gλ5σ0 χ2Gλ1σ0 χ6Gλ3σ0 GT σ0 8σ8 GT σ0 6σ6 GT σ0 2σ2 GT σ0 4σ4 1 2! 1 2! (B.18)

(cid:19)

-Trong số hạng thứ ba của thừa số đầu của tích đổi λ3 (cid:29) λ1, ta được

(cid:19)

δλ1σ3δλ3σ5δλ5σ1δλ7σ7 Gλ3σ0 Gλ1σ0 χ6Gλ5σ0 χ2Gλ7σ0 GT σ0 6σ6 GT σ0 4σ4 GT σ0 2σ2 GT σ0 8σ8

(cid:18) 1 6 (cid:18) 1 χ6Gλ5σ0 6

(cid:19) (cid:18) 1 2 (cid:19) (cid:18) 1 χ2Gλ7σ0 2

= δλ3σ3δλ1σ5δλ5σ1δλ7σ7, Gλ1σ0 Gλ3σ0 GT σ0 6σ6 GT σ0 4σ4 GT σ0 2σ2 GT σ0 8σ8 1 2! 1 2! (B.19)

(cid:19)

sau đó đổi λ5 (cid:29) λ1 , ta được

(cid:19)

δλ3σ3δλ1σ5δλ5σ1δλ7σ7 Gλ1σ0 Gλ3σ0 χ6Gλ5σ0 χ2Gλ7σ0 GT σ0 6σ6 GT σ0 4σ4 GT σ0 2σ2 GT σ0 8σ8

(cid:18) 1 6 (cid:18) 1 6

(cid:19) (cid:18) 1 2 (cid:19) (cid:18) 1 2

= δλ3σ3δλ5σ5δλ1σ1δλ7σ7 Gλ5σ0 Gλ3σ0 χ6Gλ1σ0 χ2Gλ7σ0 GT σ0 6σ6 GT σ0 4σ4 GT σ0 2σ2 GT σ0 8σ8 1 2! 1 2! (B.20)

(cid:19) (cid:18)

(cid:19)

(cid:18)

-Trong số hạng thứ tư của thừa số đầu của tích ta đổi λ3 (cid:29) λ1 đồng thời đổi λ7 (cid:29) λ5 , được

(cid:18)

(cid:19) (cid:18)

(cid:19)

− − δλ1σ3δλ3σ1δλ5σ7δλ7σ5 Gλ1σ0 Gλ5σ0 χ4Gλ3σ0 χ4Gλ7σ0 GT σ0 4σ4 GT σ0 8σ8 GT σ0 2σ2 GT σ0 6σ6

− − = δλ3σ3δλ1σ1δλ7σ7δλ5σ5 χ4Gλ1σ0 Gλ3σ0 χ4Gλ5σ0 Gλ7σ0 GT σ0 2σ2 GT σ0 4σ4 GT σ0 6σ6 GT σ0 8σ8 1 2! 1 2! 1 4 1 4 1 4 1 4 (B.21)

159

Khai triển hàm mũ chứa các đạo hàm

(cid:19)

-Trong số hạng thứ năm của thừa số đầu của tích đổi λ7 (cid:29) λ5, ta được

(cid:18) 1 2

(cid:19) (cid:18) 1 2

(cid:19)

(cid:18) 1 2

(cid:19) (cid:18) 1 2

(cid:19)

χ2Gλ1σ0 GT σ0 2σ2 GT σ0 4σ4 1 3! χ2Gλ3σ0 (cid:18) − δλ1σ1δλ3σ3δλ5σ7δλ7σ5 Gλ5σ0 GT σ0 8σ8 GT σ0 6σ6 (B.22) χ4Gλ7σ0 5 (cid:19) = χ2Gλ1σ0 GT σ0 2σ2 GT σ0 4σ4 1 3!

3 1 4 χ2Gλ3σ0 (cid:18) 1 4

− δλ1σ1δλ3σ3δλ7σ7δλ5σ5 Gλ7σ0 χ4Gλ5σ0 GT σ0 6σ6 GT σ0 8σ8

(cid:19)

(cid:19) (cid:18)

-Trong số hạng thứ sáu của thừa số đầu của tích ta đổi λ5 (cid:29) λ3, có

(cid:18) 1 2

(cid:19)

− χ2Gλ1σ0 χ4Gλ5σ0 GT σ0 6σ6 GT σ0 2σ2 GT σ0 4σ4 1 3! 1 4

(cid:19)

(cid:19) (cid:18)

(cid:18) 1 2

(cid:19)

δλ1σ1δλ3σ5δλ5σ3δλ7σ7 χ2Gλ7σ0 GT σ0 8σ8 Gλ3σ0 (cid:18) 1 2 (B.23) − = χ2Gλ1σ0 χ4Gλ3σ0 GT σ0 6σ6 GT σ0 2σ2 GT σ0 4σ4 1 3! 1 4

δλ1σ1δλ5σ5δλ3σ3δλ7σ7 χ2Gλ7σ0 GT σ0 8σ8 Gλ5σ0 (cid:18) 1 2

(cid:19)

(cid:18)

-Trong số hạng thứ bảy của thừa số đầu của tích đổi λ3 (cid:29) λ1 , ta cũng được

(cid:19) (cid:18) 1 2

(cid:19)

− Gλ1σ0 χ4Gλ3σ0 GT σ0 4σ4 GT σ0 2σ2 GT σ0 6σ6 1 3! 1 4

(cid:19)

(cid:18)

(cid:19) (cid:18) 1 2

(cid:19)

δλ1σ3δλ3σ1δλ5σ5δλ7σ7 χ2Gλ7σ0 GT σ0 8σ8 (B.24) − = Gλ3σ0 χ4Gλ1σ0 GT σ0 4σ4 GT σ0 2σ2 GT σ0 6σ6 1 3! 1 4

δλ3σ3δλ1σ1δλ5σ5δλ7σ7 χ2Gλ7σ0 GT σ0 8σ8 χ2Gλ5σ0 (cid:18) 1 2 χ2Gλ5σ0 (cid:18) 1 2

(cid:19)

(cid:18)

 

Vậy

" δ δj∗ ,

(cid:19)

− = Z (4) Gλ7σ0 Gλ5σ0 Gλ3σ0 χ8Gλ1σ0 GT σ0 8σ8 GT σ0 6σ6 GT σ0 4σ4 GT σ0 2σ2 δ δj 1 8

(cid:19) (cid:18) 1 6

(cid:19)

+ Gλ7σ0 Gλ5σ0 χ2Gλ1σ0 χ6Gλ3σ0 GT σ0 8σ8 GT σ0 2σ2 GT σ0 4σ4

(cid:19)

+ χ6Gλ1σ0 χ2Gλ7σ0 Gλ3σ0 GT σ0 2σ2 GT σ0 8σ8 GT σ0 4σ4 GT σ0 6σ6

 1 2! 1 2! 1 2!

(cid:18) 1 2 (cid:18) 1 6 (cid:18) 1 4

+ χ4Gλ1σ0 χ4Gλ5σ0 Gλ3σ0 Gλ7σ0 GT σ0 2σ2 GT σ0 6σ6 (cid:19) (cid:18) 1 2 GT σ0 6σ6 GT σ0 4σ4 GT σ0 8σ8 Gλ5σ0 (cid:19) (cid:18) 1 4

160

(cid:19)

(cid:19) (cid:18)

Khai triển hàm mũ chứa các đạo hàm

(cid:19) (cid:18) 1 2

(cid:19) (cid:18)

(cid:19)

− + Gλ7σ0 χ2Gλ1σ0 χ4Gλ5σ0 GT σ0 8σ8 GT σ0 2σ2 GT σ0 4σ4 1 4

(cid:18) 1 2 (cid:18) 1 2

(cid:19)

(cid:18)

+ − Gλ5σ0 χ4Gλ3σ0 χ2Gλ7σ0 GT σ0 6σ6 GT σ0 2σ2 GT σ0 8σ8 χ2Gλ3σ0 1 4

(cid:19)

 

+ − Gλ3σ0 χ4Gλ1σ0 χ2Gλ5σ0 χ2Gλ7σ0 GT σ0 2σ2 GT σ0 6σ6 GT σ0 8σ8 GT σ0 4σ4 χ2Gλ1σ0 1 4 GT σ0 4σ4 (cid:19) (cid:18) 1 2 GT σ0 6σ6 (cid:19) (cid:18) 1 2 (cid:19) (cid:18) 1 2

(cid:18) 1 2

(cid:19) (cid:18) 1 2











+ χ2Gλ1σ0 χ2Gλ3σ0 χ2Gλ5σ0 χ2Gλ7σ0 GT σ0 2σ2 GT σ0 4σ4 GT σ0 6σ6 GT σ0 8σ8 1 3! 1 3! 1 3! 1 4!

 

× δλ1σ1δλ3σ3δλ5σ5δλ7σ7 δ δjσ2λ1 δ δjσ4λ3 δ δjσ6λ5 δ δjσ8λ7 δ δj∗ 1σ0 σ0 δ δj∗ 3σ0 σ0 δ δj∗ 5σ0 σ0 δ δj∗ 7σ0 σ0



 

= Ω4 + Ω1Ω3 + Ω3Ω1 + Ω2Ω2 + Ω1Ω1Ω2 + Ω1Ω2Ω1 1 2! 1 2! 1 3! 1 3! 1 2!

 







+ Ω2Ω1Ω1 + Ω1Ω1Ω1Ω1 1 3! 1 4!

(

(cid:18)

(cid:19)

(cid:19))

(cid:18) 1 4!









× δλ1σ1δλ3σ3δλ5σ5δλ7σ7 δ δjσ2λ1 δ δjσ4λ3 δ δjσ6λ5 δ δjσ8λ7 δ δj∗ 7σ0 σ0 δ δj∗ 1σ0 σ0 (cid:19) Ω1Ω3 + Ω4 + + Ω2Ω2 + Ω1Ω1Ω2 Ω1Ω1Ω1Ω1 = 1 3! δ δj∗ 3σ0 σ0 (cid:18) 1 2! δ δj∗ 5σ0 σ0 6 1 4! 1 2! 1 2!

× δλ1σ1δλ3σ3δλ5σ5δλ7σ7 δ δjσ2λ1 δ δjσ4λ3 δ δjσ6λ5 δ δjσ8λ7 δ δj∗ 1σ0 σ0 δ δj∗ 3σ0 σ0 δ δj∗ 5σ0 σ0 δ δj∗ 7σ0 σ0 (B.25)

Bằng phương pháp quy nạp ta có thể tổng quát hóa cho bậc thứ N như sau:

" δ δj∗ ,

Z (N ) δ δj

     + · · · + Aq1 · · · Aqm } {z | m

N X

= AN + (Aq1Aq2) + (Aq1Aq2Aq3) + · · · + 1 2! 1 3! 1 m! 1 N ! A1 · · · A1 } {z | N

)

m=1 ( N X

= (Aqi)ki 1 m! 1 ki!

m=1





= (Ωqi)ki δλ1σ1 . . . δλ2N −1σ2N −1 1 m! 1 ki!

 

 

δ · · · × δ δjσ2λ1 δ δjσ2N λ2N −1 δ δj∗ σ0 1σ0 δj∗ σ0 2N −1σ0

161

Khai triển hàm mũ chứa các đạo hàm

(B.26)

162

C. Các phép đạo hàm lên hàm mũ

Bậc 1:

(cid:27)

(cid:26)

J (1) [j, j∗] 

  exp



1α0



(cid:27)

(cid:26)

(cid:16)

= g2jα1α2Vα1α2α0 j∗ 1α0 α0 δ δjσ2λ1



  exp

1α0

λ1σ2

(

)

(cid:27)

(cid:26)

(cid:16)

g2V j∗(cid:17) = g2jα1α2Vα1α2α0 j∗ 1α0 α0

(cid:16)

(cid:17)

1α0

λ1σ2

λ1σ2σ0

1σ0

(

)

(cid:27)

1σ0 σ0 (cid:26)

(cid:17)

(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

δ δj∗ 1σ0 σ0 δ δj∗ 1σ0 σ0 (cid:17) g2V j∗(cid:17) + exp g2V = g2j V g2jα1α2Vα1α2α0 j∗ 1α0 α0 (C.1)

1α0

α1

β0 1

α1β0 1

(

)

(cid:27)

(cid:26)

(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

(cid:17)

= g2V g2V j∗(cid:17) + g2j V exp g2jα1α2Vα1α2α0 j∗ 1α0 α0

1β0 1

1α0

γ1

γ1γ0 1

γ0 1

(

)

(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

(cid:17)

g2V g2V j∗(cid:17) + g2j V exp δγ0 = δγ1α1 g2jα1α2Vα1α2α0 j∗ 1α0 α0

1, β0 1)

γ1

γ1γ0 1

γ0 1

(cid:27)

(cid:26)

g2V g2V j∗(cid:17) + g2j V ∆1(γ0 = ∆1(γ1, α1)

1α0

2n−1 là các bộ chỉ số kép nên để đơn giản trong

2nσ0

× exp g2jα1α2Vα1α2α0 j∗ 1α0 α0

ở đây vì các bộ chỉ số σ2nσ2n−1 và σ0 cách viết ta đã đặt

(C.2)

σ2nλ2n−1 ≡αn σ2nσ2n−1 ≡βn 2n−1 ≡β0 2nσ0 σ0 n

(

)

(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

(cid:17)

Sử dụng (B.4) và (C.1) có thể viết

γ1

γ1γ0 1

γ0 1

(cid:26)

1, β0 1) (cid:27)

Z (1) [j, j∗] = g2V + g2V j∗(cid:17) g2j V ∆1(γ0 Ω1δλ1σ1∆1(γ1, α1) F 0 Z Φ 0

1α0

× exp g2jα1α2Vα1α2α0 j∗ α0 1α0

163

Các phép đạo hàm lên hàm mũ

(C.3)

Thay σ2λ1 ≡ α1 rồi thực hiện tính toán ta được

δλ1σ1 × ∆1(γ1, α1) = δλ1σ1δγ1α1 (C.4) = δλ1σ1δγ1(σ2λ1) = δγ1(σ2σ1) = ∆1(γ1, β1)

(

)

(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

(cid:17)

vậy khai triển bậc 1 đầy đủ của Z [j, j∗] trong biểu thức (2.105) có dạng cuối cùng là

1, β0 1)

γ1

γ1γ0 1

γ0 1

(cid:27)

(cid:26)

Z (1) [j, j∗] = g2V g2V j∗(cid:17) + g2j V ∆1(γ0 Ω1∆1(γ1, β1) F0 Z Φ 0

1α0

, × exp g2jα1α2Vα1α2α0

j∗ 1α0 α0 2 (C.5)

trong đó

1, β0

1) =δγ0

1(σ0

(C.6) ∆1(γ1, β1) =δγ1(σ2σ1) ∆1(γ0 2σ0 1)

Bậc 2:

(cid:27)

(cid:26)

J (2) [j, j∗] 

  exp



1α0



(cid:21)

(cid:17)

(cid:16)

= g2jα1α2Vα1α2α0 j∗ 1α0 α0 δ δjσ4λ3 δ δjσ2λ1

(cid:16)

(cid:17)





1σ0

λ1σ2

1σ0 σ0

(cid:27)

(cid:26)

δ δj∗ 1σ0 σ0  (cid:20)(cid:16) g2V j∗(cid:17) + = g2j V g2Vλ1σ2σ0 δ δjσ4λ3 δ δj∗ 3σ0 σ0 δ δj∗ 3σ0 σ0

1α0

(

(cid:17)

(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

(cid:17)

× exp g2jα1α2Vα1α2α0 j∗ 1α0 α0

σ2λ1σ0

σ4λ3σ0

3σ0

1σ0

(cid:17)

1σ0 2 (cid:17) (cid:16)

(cid:16)

3σ0 σ4λ3σ0 (cid:16) g2j V

= g2V + g2V g2V g2V

1σ0

σ4λ3

(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

σ0 3σ0 (cid:17)

(cid:16)

3σ0

σ4λ3

σ2λ1

1σ0 σ0

3σ0 σ0

(cid:16)

1σ0 2 (cid:17) (cid:16)

(cid:16)

(cid:17)

g2j V g2j V g2V j∗(cid:17) g2Vσ2λ1σ0 (cid:17) g2V + + g2Vσ2λ1σ0

σ4λ3σ0 g2Vσ4λ3σ0

3σ0

σ2λ1

σ0 1σ0

)

(cid:26)

(cid:27)

(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

(cid:17)

+ g2V j∗(cid:17) g2V j∗(cid:17) (cid:16) g2V j∗(cid:17) g2j V

1α0

σ2λ1

σ4λ3

σ0 1σ0

σ0 3σ0

g2V j∗(cid:17) + g2j V g2V j∗(cid:17) g2j V exp g2jα1α2Vα1α2α0 j∗ α0 1α0

164

Các phép đạo hàm lên hàm mũ

(C.7)

165

Các phép đạo hàm lên hàm mũ

Sử dụng(C.2) khi đó (C.7) được viết lại như sau

(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

(cid:17)

α2

β0 2

(cid:16)

(cid:17)

α2β0 2 (cid:16)

α1β0 2 (cid:16)

(cid:17)

α1β0 1 (cid:16)

α2β0 1 (cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

J (2) [j, j∗] ( = g2V g2V g2V + g2V g2V + g2V j∗(cid:17) g2jV

α1β0 1 g2V j∗(cid:17)

α1

α2

α2β0 1

β0 2

β0 1

)

(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

g2V + g2V j∗(cid:17) g2jV + g2V g2jV

α1β0 2 g2V j∗(cid:17)

α1

α2

α2β0 2

β0 1

β0 2

(cid:27)

(cid:26)

g2V + + g2V j∗(cid:17) g2jV g2jV g2V j∗(cid:17) g2jV

1α0

(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

(cid:17)

× exp g2jα1α2Vα1α2α0 j∗ 1α0 α0

α1β0 1

α2β0 2

( 1 2!

P (α1α2)

(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

(cid:17)

g2V g2V =

α2

α1β0 1

β0 2

P (α1α2)

P(β0 2) 1β0 × 2 X P(β0 2) 1β0

)

(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

(cid:17)

+ g2V g2V j∗(cid:17) g2jV 1 2!

(cid:16) g2jV

α1

α2

β0 1

β0 2

P (α1α2)

P(β0

2) 1β0

(cid:27)

(cid:26)

+ g2V j∗(cid:17) g2V j∗(cid:17) g2jV 1 2! 1 2!

1α0

(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

(cid:17)

× exp g2jα1α2Vα1α2α0 j∗ 1α0 α0

1β0 1

2β0 2

γ1γ0 1

γ2γ0 2

( 1 2!

P (α1α2)

(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

(cid:17)

g2V g2V = δγ1α1δγ0 δγ2α2δγ0

1β0 1

2β0 2

γ2

γ1γ0 1

γ0 2

P (α1α2)

P(β0 2) 1β0 × 2 X P(β0 2) 1β0

)

(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

(cid:17)

g2V g2V j∗(cid:17) + g2jV δγ1α1δγ0 δγ2α2δγ0 1 2!

1β0 1

2β0 2

γ1

γ2

γ0 1

γ0 2

P (α1α2)

P(β0

2) 1β0

(cid:27)

(cid:26)

g2V j∗(cid:17) g2jV g2V j∗(cid:17) g2jV + δγ1α1δγ0 δγ2α2δγ0 1 2! 1 2!

1α0



(cid:17)

(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

(cid:17)

(cid:16) g2jV

× exp g2jα1α2Vα1α2α0 j∗ 1α0 α0



γ2

γ0 2

γ1γ0 1

γ2γ0 2

γ1γ0 1

(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

g2V g2V g2V j∗(cid:17) + × 2 g2V = ∆2(γ1γ2, α1α2) 1 2! 1 2!

(cid:16) g2jV

 ∆2(γ0

1γ0

2, β0

1β0 2)

γ2

γ1

γ0 2

γ0 1

(cid:27)

(cid:26)

g2jV g2V j∗(cid:17) + g2V j∗(cid:17) 1 2! 1 2!

1α0

 

(cid:17)

(cid:16)

(cid:17)2

(cid:16)

(cid:17) (cid:16)

× exp g2jα1α2Vα1α2α0 j∗ 1α0 α0



(cid:26)

(cid:27)

 

h(cid:16)

(cid:17)i2

g2jV g2V g2V g2V j∗(cid:17) (cid:16) + = ∆2(γ1γ2, α1α2) 1 2!

1γ0

2, β0

1β0

2) exp

1α0



+ g2V j∗(cid:17) (cid:16) g2jV ∆2(γ0 , g2jα1α2Vα1α2α0 j∗ α0 1α0 1 2! 1 2!

166

Các phép đạo hàm lên hàm mũ

(C.8)

với

P (α1α2)

∆2(γ1γ2, α1α2) =δγ1α1δγ2α2 + δγ1α2δγ2α1 = X δγ1α1δγ2α2

2) =δγ0

1β0

2, β0

1γ0

1β0 1

2β0 2

1β0 2

2β0 1

1β0 1

2β0 2

(C.9) ∆2(γ0 δγ0 + δγ0 δγ0 δγ0 δγ0 = X 2) P(β0 1β0

(cid:19))

Sử dụng (B.7) và (C.8) có thể viết

(cid:18) 1 2!

(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

(cid:17)

= Ω1Ω1 Ω2 + δλ1σ1δλ3σ3 Z (2) [j, j∗] ( F0 Z Φ 0

γ2

γ1γ0 1

γ2γ0 2

γ0 2

(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

(cid:17)

g2V × 2 g2V g2V + g2V j∗(cid:17) (cid:16) g2jV 1 2!  × ∆2(γ1γ2, α1α2)  1 2! 1 2!

 ∆2(γ0

1γ0

2, β0

1β0 2)

γ1

γ2

γ0 1

γ0 2

(cid:27)

(cid:26)

g2V j∗(cid:17) g2jV g2V j∗(cid:17) + g2jV 1 2! 1 2!

1α0

× exp g2jα1α2Vα1α2α0

j∗ 1α0 α0 2 (C.10)

Thay σ2nλ2n−1 ≡ αn rồi thực hiện tính toán ta được

δλ1σ1δλ3σ3 × ∆2(γ1γ2, α1α2) = δλ1σ1δλ3σ3 δγ1α1δγ2α2

P (α1α2) δγ1(σ2σ1)δγ2(σ4σ3)

P (σ2λ1,σ4λ3)

P (σ2σ1,σ4σ3)

= δλ1σ1δλ3σ3 δγ1(σ2λ1)δγ2(σ4λ3) = X (C.11)

P (β1β2)

= X δγ1β1δγ2β2 = ∆2(γ1γ2, β1β2)

(cid:19))

Vậy khai triển bậc 2 đầy đủ của Z [j, j∗] trong biểu thức (2.105) có dạng cuối cùng là:

(cid:18) 1 2!

(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

Ω2 + Ω1Ω1 = Z (2) [j, j∗] ( F0 Z Φ 0

γ2

γ1γ0 1

γ2γ0 2

γ0 2

γ1γ0 1

(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

(cid:17)

g2V g2V g2jV + × 2 g2V g2V j∗(cid:17) 1 2!  × ∆2(γ1γ2, β1β2)  1 2! 1 2!

 ∆2(γ0

1γ0

2, β0

1β0 2)

γ1

γ2

γ0 1

γ0 2

(cid:26)

(cid:27)

+ g2V j∗(cid:17) g2jV g2V j∗(cid:17) g2jV 1 2! 1 2!

1α0

× exp g2jα1α2Vα1α2α0 j∗ α0 1α0

167

Các phép đạo hàm lên hàm mũ

(C.12)

trong đó

1γ0

2, β0

1β0

1β0 1

2β0 2

2) = X 2) P(β0 1β0

δγ1β1δγ2β2 ∆2(γ1γ2, β1β2) = X P (β1β2) (C.13) ∆2(γ0 δγ0 δγ0



(cid:26)

(cid:27)

Bậc 3:

  exp



1α0

J (3) [j, j∗] = g2jα1α2Vα1α2α0 j∗ 1α0 α0 δ δjσ6λ5 δ δjσ4λ3 δ δjσ2λ1 δ δj∗ 5σ0 σ0 δ δj∗ 3σ0 σ0 δ δj∗ 1σ0 σ0 (C.14)

Sử dụng kết quả từ (C.7) ta được:



(

(cid:17)

(cid:17) (cid:16)

(cid:16)

J (3) [j, j∗] 





3σ0

1σ0

(cid:17) (cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

(cid:17)

= g2Vσ4λ3σ0 g2Vσ2λ1σ0

(cid:16)

σ4λ3 (cid:17)

(cid:17)

3σ0 σ0 g2V j∗(cid:17)

3σ0

σ4λ3

σ2λ1

1σ0 σ0

δ δjσ6λ5 (cid:17) (cid:16) + g2j V + g2Vσ2λ1σ0 g2V j∗(cid:17) (cid:16) g2j V g2Vσ4λ3σ0 1σ0 (cid:16) g2j V

(cid:16)

1σ0 + g2Vσ2λ1σ0 4 (cid:17)

3σ0 σ0 g2j V

1σ0 g2Vσ4λ3σ0

3σ0

σ2λ1

1σ0 σ0

)

(cid:27)

(cid:26)

(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

(cid:17)

δ δj∗ 5σ0 σ0 g2Vσ2λ1σ0 3σ0 (cid:16) g2V j∗(cid:17) (cid:17) (cid:16) + Vσ4λ3σ0 (cid:16) g2V j∗(cid:17) +

1α0

σ2λ1

σ4λ3

1σ0 σ0

3σ0 σ0

g2V j∗(cid:17) + g2j V g2V j∗(cid:17) exp g2j V g2jα1α2Vα1α2α0 j∗ 1α0 α0

(C.15)

Sử dụng (C.2) ta viết lại (C.15) như sau

(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

(cid:17)

β1β0 1

β2β0 2

β3β0 3



P (β1β2β3)

(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

J (3) [j, j∗]   = g2V g2V g2V 1 3!

β1

β0 1

β2β0 2

β3β0 3

P (β1β2β3)

3) P(β0 1β0 2β0 × 3 X 3) P(β0 2β0 1β0

(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

(cid:17)

+ g2j V g2V g2V g2V j∗(cid:17) (C.16) 1 3!

β2

β1

β3β0 3

β0 2

β0 1

P (β1β2β3)

P(β0

1β0

3) 2β0

+ g2V g2V j∗(cid:17) g2j V g2V j∗(cid:17) g2j V 3 2! 1 3!

168

 

(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

(cid:17)

Các phép đạo hàm lên hàm mũ

β1

β3

β0 1

β0 3



P (β1β2β3)

P(β0

1β0

3) 2β0

(cid:27)

(cid:26)

g2V j∗(cid:17) g2j V g2V j∗(cid:17) · · · g2j V + 1 3! 1 3!

1α0

(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

(cid:17)

× exp g2jα1α2Vα1α2α0 j∗ 1α0 α0

1β0 1

2β0 2

3β0 3

γ1γ0 1

γ2γ0 2

γ3γ0 3

( 1 3!

P (β1β2β3)

(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

(cid:17)

= g2V g2V g2V δγ1β1δγ0 δγ2β2δγ0 δγ3β3δγ0

1β0 1

2β0 2

γ1γ0 1

γ2γ0 2

P (β1β2β3)

P(β0 3) 1β0 2β0 × 3 X P(β0 3) 2β0 1β0

(cid:16)

(cid:17)

g2V g2V + δγ1β1δγ0 δγ2β2δγ0 1 3!

3β0 3

γ0 3

(cid:17)

g2V j∗(cid:17) (cid:16) g2jV × δγ3β3δγ0

(cid:16) g2V

1β0 1

γ1γ0 1

P (α1α2α3)

P(β0

1β0

3) 2β0

(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

(cid:17)

+ δγ1α1δγ0 3 2! 1 3!

(cid:16) g2jV

3β0 3

γ2

γ0 2

γ0 3

(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

γ3 (cid:16)

(cid:17)

g2V j∗(cid:17) × g2jV g2V j∗(cid:17) δγ2α2δγ0 δγ3α3δγ0

2β0 2 g2V j∗(cid:17)

γ1

γ3

γ0 1

γ0 3

P (α1α2α3)

P(β0

1β0

3) 2β0

)

(cid:27)

(cid:26)

+ g2V j∗(cid:17) (cid:16) g2jV · · · g2jV 1 3! 1 3!

1β0 1

2β0 2

3β0 3

1α0

(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

(cid:17)

exp × δγ1α1δγ0 δγ2α2δγ0 δγ3α3δγ0 g2jα1α2Vα1α2α0 j∗ 1α0 α0

 = ∆3(γ1γ2γ3, α1α2α3) 

γ1γ0 1

γ2γ0 2

γ3γ0 3

(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

(cid:17)

g2V g2V g2V 1 3!

(cid:16)

(cid:17)

γ1γ0 1 (cid:16)

γ2γ0 2 (cid:16)

γ0 3 (cid:16)

γ3 (cid:16)

× 3 g2V g2V g2V j∗(cid:17) g2jV +

γ2

γ3

γ1γ0 1

γ0 3

γ0 2



(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

(cid:17)

g2V g2V j∗(cid:17) g2jV g2V j∗(cid:17) g2jV +



γ1

γ2

γ3

γ0 1

γ0 2

γ0 3

(cid:27)

(cid:26)

+ g2V j∗(cid:17) g2jV g2V j∗(cid:17) g2jV g2V j∗(cid:17) g2jV 1 3! 3 2! 1 3! 1 3! 1 3!

1γ0

2γ0

3, β0

1β0

2β0

3) exp

1α0

 

(cid:16)

(cid:17)3

(cid:16)

(cid:17)2 (cid:16)

(cid:17)

× ∆3(γ0 g2jα1α2Vα1α2α0 j∗ 1α0 α0



 

(cid:19)2 (cid:16)

(cid:17) h(cid:16)

(cid:17)i2

(cid:17)i3

(cid:19)2 h(cid:16)

g2V + g2V g2V j∗(cid:17) (cid:16) g2jV = ∆3(γ1γ2γ3, α1α2α3) 1 3! 1 2!

(cid:18) 1 2!

(cid:18) 1 3!



(cid:27)

(cid:26)

+ g2V g2V j∗(cid:17) (cid:16) g2jV + g2V j∗(cid:17) (cid:16) g2jV

3) exp

2β0

1β0

3, β0

2γ0

1γ0

1α0

, × ∆3(γ0 g2jα1α2Vα1α2α0

j∗ 1α0 α0 (C.17)

169

Các phép đạo hàm lên hàm mũ

trong đó

P (α1α2α3)

∆3(γ1γ2γ3, α1α2α3) = X δγ1α1δγ2α2δγ3α3

1γ0

2γ0

3, β0

1β0

2β0

1β0 1

2β0 2

3β0 3

3) = X 3) P(β0 2β0 1β0

(C.18) ∆3(γ0 δγ0 δγ0 δγ0

(cid:19))

(cid:16)

Sử dụng (B.12) và (C.17) có thể viết

(cid:18) 1 3!

 

(cid:17)2 (cid:16)

(cid:17)3

(cid:16)

(cid:17)

Ω1Ω1Ω1 = Ω3 + Ω1Ω2(cid:17) + 1 2! 1 3!



 

(cid:19)2 (cid:16)

(cid:17) h(cid:16)

(cid:19)2 h(cid:16)

(cid:17)i2

(cid:17)i3

× g2V g2V + g2V j∗(cid:17) (cid:16) g2jV Z (3) [j, j∗] ( F0 Z Φ 0 P P × δλ1σ1δλ3σ3δλ5σ5∆3(γ1γ2γ3, α1α2α3) 1 2! 1 3!

(cid:18) 1 2!

(cid:18) 1 3!



(cid:27)

(cid:26)

g2V g2V j∗(cid:17) (cid:16) + g2V j∗(cid:17) (cid:16) g2jV g2jV +

1γ0

2γ0

3, β0

1β0

2β0

3) exp

1α0

× ∆3(γ0 g2jα1α2Vα1α2α0 j∗ 1α0 α0

(C.19)

Thay σ2nλ2n−1 ≡ αn rồi thực hiện tính toán ta được

P (α1α2α3) X

=δλ1σ1δλ3σ3δλ5σ5 δλ1σ1δλ3σ3δλ5σ5 × ∆3(γ1γ2γ3, α1α2α3) X δγ1α1δγ2α2δγ3α3

=δλ1σ1δλ3σ3δλ5σ5 δγ1(σ2λ1)δγ2(σ4λ3)δγ3(σ6λ5)

P (σ2λ1,σ4λ3,σ6λ5) δγ1(σ2σ1)δγ2(σ4σ3)δγ3(σ6σ5)

P (σ2σ1,σ4σ3,σ6σ5)

(C.20) =

P (β1β2β3)

= X δγ1β1δγ2β2δγ3β3

=∆3(γ1γ2γ3, β1β2β3)

170

Các phép đạo hàm lên hàm mũ

(cid:19))

(cid:16)

vậy khai triển bậc 3 đầy đủ của Z [j, j∗] trong biểu thức (2.105) có dạng cuối cùng là

(cid:18) 1 3!

Ω3 + Ω1Ω2(cid:17) + Ω1Ω1Ω1 = ∆3(γ1γ2γ3, β1β2β3) 1 3! 1 2!

(cid:17) h(cid:16)

(cid:17)i2

(cid:19)2 (cid:16)

(cid:17)3

(cid:16)

(cid:17)2 (cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

(cid:18) 1 2!



(cid:27)

(cid:26)

 

(cid:17)i3

(cid:19)2 h(cid:16)

Z (3) [j, j∗] ( F0 Z Φ 0   × + g2V g2V j∗(cid:17) (cid:16) g2jV g2V g2V g2V j∗(cid:17) (cid:16) g2jV + (C.21) 1 2! 1 3!

1γ0

2γ0

3, β0

1β0

2β0

3) exp

1α0

(cid:18) 1 3!



+ g2V j∗(cid:17) (cid:16) g2jV ∆3(γ0 g2jα1α2Vα1α2α0 j∗ 1α0 α0

trong đó

P (α1α2α3)

∆3(γ1γ2γ3, β1β2β3) = X δγ1β1δγ2β2δγ3β3

1γ0

2γ0

3, β0

1β0

2β0

1β0 1

2β0 2

3β0 3

3) = X P(β0 3) 2β0 1β0

(C.22) ∆3(γ0 δγ0 δγ0 δγ0

với

(C.23) σ2nσ2n−1 ≡βn 2n−1 ≡β0 2nσ0 σ0 n

Bậc 4:

(cid:27)

(cid:26)

J (4) [j, j∗] 



  exp

1α0

 

(cid:17) (cid:16)

(cid:17)

(cid:17) (cid:16)

(cid:16)

= g2jα1α2Vα1α2α0 j∗ 1α0 α0 δ δjσ8λ7 δ δjσ6λ5 δ δjσ4λ3 δ δjσ2λ1 δ δj∗ 7σ0 σ0 δ δj∗ 5σ0 σ0 δ δj∗ 3σ0 σ0 δ δj∗ 1σ0 σ0

5σ0

3σ0

1σ0

7σ0



(cid:17)

(cid:16)

(cid:17) (cid:16)

(cid:16)

= 24 g2Vσ6λ5σ0 g2Vσ4λ3σ0 g2Vσ2λ1σ0 g2Vσ8λ7σ0

7σ0

3σ0

5σ0

1σ0 σ0

2 (cid:16)

(cid:17)

+ 96

(cid:16)

σ2λ1 (cid:16)

(cid:17) (cid:16)

(cid:16)

5σ0

7σ0

σ2λ1

σ4λ3

1σ0 σ0

3σ0 σ0

g2V j∗(cid:17) (cid:17) g2j V g2j V g2j V g2V j∗(cid:17) + 72

(cid:16)

(cid:17) (cid:16)

(cid:16)

7σ0

σ2λ1

(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

g2Vσ4λ3σ0 g2V j∗(cid:17) (cid:17) g2j V g2Vσ6λ5σ0 g2Vσ6λ5σ0 g2V j∗(cid:17) + 16 g2Vσ8λ7σ0 g2Vσ8λ7σ0 g2Vσ8λ7σ0

σ6λ5

5σ0 σ0

3σ0 σ0

σ0 1σ0 g2V j∗(cid:17) (cid:16)

(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

σ4λ3 (cid:17) g2j V

g2j V g2j V g2V j∗(cid:17)

σ4λ3

σ2λ1

σ0 1σ0

σ0 3σ0

(cid:26)

(cid:27)

 

(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

(cid:17)

g2j V × g2V j∗(cid:17) g2V j∗(cid:17) +

1α0

σ6λ5

σ8λ7

5σ0 σ0

σ0 7σ0



g2V j∗(cid:17) × g2j V g2V j∗(cid:17) g2j V exp g2jα1α2Vα1α2α0 j∗ α0 1α0

171

Các phép đạo hàm lên hàm mũ

(C.24)

(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

(cid:17)

Sử dụng (C.2) ta viết lại

(cid:16) g2V

α4β0 4

α3β0 3

α2β0 2

α1β0 1

P (α1···α4)

P(β0

4) 1···β0

(cid:17)

(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

= g2V g2V g2V J (4) [j, j∗] 1 4!

(cid:16) g2j V

α1

α4β0 4

α3β0 3

α2β0 2

β0 1

P (α1···α4)

P(β0

4) 1···β0

(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

(cid:17)

g2V g2V g2V g2V j∗(cid:17) (cid:16) + 4 4!

α1

α2

α4β0 4

α3β0 3

β0 2

β0 1

P (α1···α4)

(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

(cid:17)

+ g2V g2V g2V j∗(cid:17) g2j V g2V j∗(cid:17) g2j V 3 4!

α3

α4β0 4

β0 3

P(β0 4) 1···β0 4 3!

P (α1···α4)

P(β0

4) 1···β0

(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

(cid:17)

× g2V g2V j∗(cid:17) g2j V + 1 4!

α2

α1

β0 2

β0 1

(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

(cid:17)

g2V j∗(cid:17) × g2j V g2V j∗(cid:17) g2j V

α4

α3

β0 4

β0 3

P (α1···α4)

P(β0

4) 1···β0

(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

(cid:17)

× g2V j∗(cid:17) g2j V g2V j∗(cid:17) g2j V + 1 4! 1 4!

α1

α2

β0 2

β0 1

(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

(cid:17)

g2V j∗(cid:17) × g2j V g2V j∗(cid:17) g2j V

 = ∆4(γ1 · · · γ4, α1 · · · α4) 

γ1γ0 1

γ2γ0 2

γ3γ0 3

γ4γ0 4

(cid:17)

(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

(cid:17)

g2V g2V g2V g2V 1 4!

(cid:16) g2V

γ4

γ1γ0 1

γ2γ0 2

(cid:17)

(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

(cid:17)

× 4 g2V g2V g2V j∗(cid:17) g2jV +

(cid:16) g2V

γ3γ0 3 g2V j∗(cid:17)

γ0 4 g2V j∗(cid:17)

(cid:17)

γ0 4 (cid:16)

γ1γ0 1 (cid:16)

γ2γ0 2 (cid:16)

γ4 (cid:16)

γ0 3 (cid:16)

γ3 (cid:16)

(cid:16) g2V

× 3 g2V g2jV g2jV +

γ4

γ2

γ3

γ0 4

γ1γ0 1

γ0 3

γ0 2



(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

(cid:17)

g2V j∗(cid:17) g2jV g2V j∗(cid:17) g2jV g2V j∗(cid:17) g2jV +

(cid:16) g2V j∗(cid:17)



γ1

γ4

γ0 1

γ0 4

(cid:27)

(cid:26)

+ g2jV g2V j∗(cid:17) · · · g2jV 1 4! 1 4! 4 3! 1 4! 1 4! 1 4!

1 · · · γ0

4, β0

1 · · · β0

4) exp

1α0

 

(cid:16)

(cid:17)4

(cid:16)

(cid:17)3 (cid:16)

(cid:17)

× ∆4(γ0 g2jα1α2Vα1α2α0 j∗ 1α0 α0



(cid:19)2 (cid:16)

(cid:17)2 h(cid:16)

(cid:17)i2

(cid:19)2 (cid:16)

(cid:17) h(cid:16)

(cid:17)i3

g2V + g2V g2V j∗(cid:17) (cid:16) g2jV = ∆4(γ1 · · · γ4, α1 · · · α4) 1 4! 1 3!

(cid:18) 1 3!

(cid:26)

(cid:27)

+ g2V g2jV + g2V g2V j∗(cid:17) (cid:16) g2jV

(cid:18) 1 2! (cid:19)2 h(cid:16)

(cid:17)i4

1 · · · γ0

4, β0

1 · · · β0

4) exp

1α0



g2V j∗(cid:17) (cid:16)   + ∆4(γ0 g2V j∗(cid:17) (cid:16) g2jV g2jα1α2Vα1α2α0 j∗ 1α0 α0 1 2! (cid:18) 1 4!

(C.25)

172

Các phép đạo hàm lên hàm mũ

(cid:18)

(cid:19)

Sử dụng (B.25) và (C.25) có thể viết

(cid:18) 1 2!



(cid:19)

 

Z (4) [j, j∗]   + = Ω4 + Ω2Ω2 Ω1Ω1Ω2 Ω1Ω3 + 1 2! 1 2! 1 3! F0 Z Φ 0

(cid:18) 1 4!



+ Ω1Ω1Ω1Ω1 1 4!

 

(cid:17)2 h(cid:16)

(cid:17)i2

(cid:19)2 (cid:16)

(cid:16)

(cid:17)4

(cid:16)

(cid:17)3 (cid:16)

(cid:17)

× δλ1σ1δλ3σ3δλ5σ5δλ7σ7∆4(γ1 · · · γ4, α1 · · · α4)

(cid:18) 1 2!



 

(cid:17) h(cid:16)

(cid:17)i3

(cid:17)i4

(cid:19)2 h(cid:16)

(cid:19)2 (cid:16)

× g2V g2V j∗(cid:17) (cid:16) g2jV g2V + g2V g2V j∗(cid:17) (cid:16) g2jV + 1 4! 1 2! 1 3!

(cid:18) 1 4!

(cid:18) 1 3!



(cid:27)

(cid:26)

g2V g2V j∗(cid:17) (cid:16) g2jV + g2V j∗(cid:17) (cid:16) g2jV +

1 · · · γ0

4, β0

1 · · · β0

4) exp

1α0

× ∆4(γ0 g2jα1α2Vα1α2α0 j∗ 1α0 α0

(C.26)

Thay σ2nλ2n−1 ≡ αn rồi thực hiện tính toán ta được

P (α1···α4)

δλ1σ1δλ3σ3δλ5σ5δλ7σ7 × ∆4(γ1 · · · γ4, α1 · · · α4) X =δλ1σ1δλ3σ3δλ5σ5δλ7σ7 δγ1α1δγ2α2δγ3α3δγ4α4

=δλ1σ1δλ3σ3δλ5σ5δλ7σ7 δγ1(σ2λ1)δγ2(σ4λ3)δγ3(σ6λ5)δγ4(σ8λ7)

P (σ2λ1,σ4λ3,σ6λ5,σ8λ7) δγ1(σ2σ1)δγ2(σ4σ3)δγ3(σ6σ5)δγ4(σ8σ7)

P (σ2σ1,σ4σ3,σ6σ5,σ8σ7)

(C.27) =

P (β1···β4)

= X δγ1β1δγ2β2δγ3β3δγ4β4

=∆4(γ1 · · · γ4, β1 · · · β4)

(cid:18)

(cid:19)

vậy khai triển bậc 4 đầy đủ của Z [j, j∗] trong biểu thức (2.105) có dạng cuối cùng là

(cid:18) 1 2!



(cid:19)

 

Z (4) [j, j∗]   Ω1Ω3 + + Ω2Ω2 Ω1Ω1Ω2 Ω4 + = 1 2! 1 2! 1 3! F0 Z Φ 0

(cid:18) 1 4!



 

(cid:16)

(cid:17)4

(cid:16)

(cid:17)3 (cid:16)

(cid:17)

+ Ω1Ω1Ω1Ω1 1 4!



g2V + g2V g2V j∗(cid:17) (cid:16) g2jV × ∆4(γ1 · · · γ4, β1 · · · β4) 1 4! 1 3!

173

(cid:19)2 (cid:16)

(cid:17)2 h(cid:16)

(cid:17)i2

(cid:19)2 (cid:16)

(cid:17) h(cid:16)

(cid:17)i3

Các phép đạo hàm lên hàm mũ

(cid:18) 1 3!

(cid:27)

(cid:26)

+ + g2V g2jV g2V g2V j∗(cid:17) (cid:16) g2jV

(cid:18) 1 2! (cid:19)2 h(cid:16)

(cid:17)i4

1 · · · γ0

4, β0

1 · · · β0

4) exp

1α0



g2V j∗(cid:17) (cid:16)   + g2V j∗(cid:17) (cid:16) g2jV ∆4(γ0 g2jα1α2Vα1α2α0 j∗ 1α0 α0 1 2! (cid:18) 1 4!

(C.28)

trong đó

P (β1···β4)

∆4(γ1 · · · γ4, β1 · · · β4) = X δγ1β1δγ2β2δγ3β3δγ4β4

1 · · · γ0

4, β0

1 · · · β0

1β0 1

2β0 2

3β0 3

4β0 4

4) = X 4) P(β0 1···β0

(C.29) ∆4(γ0 δγ0 δγ0 δγ0 δγ0

Bậc N:

(cid:27)

(cid:26)

 

   exp

1α0

(cid:19)

 

(cid:16)

(cid:17)

(cid:18)(cid:16)

(cid:17)

J (N ) [j, j∗]  δ = · · · g2jα1α2Vα1α2α0 j∗ 1α0 α0 δ δjσ2λ1 δ δjσ2N λ2N −1 δ δj∗ 1σ0 σ0 δj∗ 2N −1σ0 σ0

α1β0 1

αN β0 N



P (α1···αN )

(cid:19)

(cid:18)(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

(cid:17)

g2V · · · = g2V 1 N !

α1

α2β0 2

β0 1

αN β0 N

P (α1···αN )

N) P(β0 1···β0 × N X P(β0 1···β0

+ g2V g2V · · · g2V j∗(cid:17) g2j V 1 N !



(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

(cid:17)

+ · · ·



β0

αN −1

αN β0 N

N −1

P (α1···α4)

P(β0

4) 1···β0



(cid:16)

(cid:17)

+ g2V g2V j∗(cid:17) g2j V 1 N ! N (N − 1)!



α1

β0 1

(cid:19)

 

(cid:16)

(cid:17)

(cid:16)

(cid:17)

(cid:18)(cid:16)

(cid:16)

g2V j∗(cid:17) · · · g2j V

α1

αN

β0 1

β0 N



P (α1···α4)

P(β0

4) 1···β0

(cid:27)

(cid:26)

g2j V g2j V g2V j∗(cid:17) g2V j∗(cid:17) · · · × + 1 N ! 1 N !

1α0

 

(cid:17)N

(cid:16) g2V

× exp g2jα1α2Vα1α2α0 j∗ 1α0 α0



 

(cid:16)

(cid:17)ik

(cid:17)iN

(cid:19)2 h(cid:16)

+ · · · = ∆N (γ1 · · · γN , α1 · · · αN ) 1 N !

(cid:17)N −k (cid:18) 1 k!

(cid:18) 1 N !



(cid:26)

(cid:27)

+ + · · · + g2V g2V j∗(cid:17) (cid:16) g2jV g2V j∗(cid:17) (cid:16) g2jV 1 (N − k)!

1 · · · γ0

N , β0

1 · · · β0

N ) exp

1α0

× ∆N (γ0 g2jα1α2Vα1α2α0 j∗ α0 1α0

174

 

 

(cid:16)

(cid:19)2 h(cid:16)

(cid:17)ik

N X

Các phép đạo hàm lên hàm mũ

(cid:17)N −k (cid:18) 1 k!



k=0

(cid:27)

 (cid:26)

g2V g2V j∗(cid:17) (cid:16) g2jV ∆N = ∆N 1 (N − k)!

1α0

× exp g2jα1α2Vα1α2α0

j∗ 1α0 α0 2 (C.30)

)

Sử dụng (B.26) và (C.30) có thể viết

m=1

 

(cid:19)2 h(cid:16)

(cid:16)

(cid:17)ik

N X

Z (N ) [j, j∗] ( N X = (Ωqi)ki × δλ1σ1 . . . δλ2N −1σ2N −1 × ∆N (γ1 · · · γN , α1 · · · αN ) 1 m! 1 ki! F0 Z Φ 0

1 · · · γ0

N , β0

1 · · · β0

N )

i (cid:17)N −k (cid:18) 1 k!



k=0

(cid:27)

(cid:26)

 

g2V j∗(cid:17) (cid:16) ∆N (γ0 × g2V g2jV 1 (N − k)!

1α0



exp × g2jα1α2Vα1α2α0 j∗ 1α0 α0

(C.31)

trong đó

P (α1···αN )

∆N (γ1 · · · γN , α1 · · · αN ) = X δγ1α1 . . . δγN αN

1 · · · γ0

N , β0

1 · · · β0

1β0 1

N β0 N

N ) = X P(β0 1···β0

(C.32) ∆N (γ0 δγ0 . . . δγ0

Thay σ2nλ2n−1 ≡ αn rồi thực hiện tính toán ta được

P (α1···αN )

δλ1σ1 . . . δλ2N −1σ2N −1 × ∆N (γ1 · · · γN , α1 · · · αN ) X =δλ1σ1 . . . δλ2N −1σ2N −1 δγ1α1 . . . δγN αN

=δλ1σ1 . . . δλ2N −1σ2N −1 δγ1(σ2λ1) · · · δγN (σ2N λ2N −1)

P (σ2λ1,···σ2N λ2N −1) δγ1(σ2σ1) · · · δγN (σ2N σ2N −1)

P (σ2σ1···σ2N σ2N −1)

(C.33) =

P (β1···βN )

= X δγ1β1 · · · δγN βN

=∆N (γ1 · · · γN , β1 · · · βN )

175

Các phép đạo hàm lên hàm mũ

)

vậy khai triển bậc N đầy đủ của Z [j, j∗] trong biểu thức (2.105) có dạng cuối cùng là

m=1

Z (N ) [j, j∗] ( N X = (Ωqi)ki × ∆N (γ1 · · · γN , β1 · · · βN ) 1 m! 1 ki!

 

(cid:19)2 h(cid:16)

(cid:17)ik

(cid:16)

N X

1 · · · γ0

N , β0

1 · · · β0

N )

(cid:17)N −k (cid:18) 1 k!



k=0

(cid:27)

 (cid:26)

F0 Z Φ 0   × g2V j∗(cid:17) (cid:16) g2jV ∆N (γ0 g2V 1 (N − k)!

1α0

× exp g2jα1α2Vα1α2α0

j∗ 1α0 α0 2 (C.34)

trong đó

P (β1···βN )

∆N (γ1 · · · γN , β1 · · · βN ) = X δγ1β1 . . . δγN βN

1 · · · γ0

N , β0

1 · · · β0

1β0 1

N β0 N

N ) = X P(β0 1···β0

(C.35) ∆N (γ0 δγ0 . . . δγ0

176

Tài liệu tham khảo

[1] M. G. Vavilov A. B. Vorontsov and A. V. Chubukov. Superconductivity and spin-density waves in multiband metals. Phys. Rev. B, 81(174538), 2010.

[2] I.E. Dzyaloshinski A.A. Abrikosov, L.P. Gorkov. Methods of Quantum Field The- ory in Statistical Physics. Pergamon; 2nd Revised edition (1965), 2 edition, 1965.

[3] I.M. Khalatnikov A.A. Abrikosov, L.P. Gor’kov. A superconductor in a high frequency field. JETP, 8:182, January 1959.

[4] L.P. Gor’kov A.A. Abrikosov. On the theory of superconducting alloys; i. the electrodynamics of alloys at absolute zero. JETP, 8:1090, June 1959.

[5] A. A. Abrikosov. Superconductivity due to ferromagnetically ordered localized spins. Journal of Physics: Condensed Matter, 13:48., 2001.

[6] A. A. Abrikosov. Type II Superconductors and the Vortex Lattice, Nobel Prize Lecture in Les Prix Nobel, published by the Nobel Foudation. the Nobel Foudation, 2003.

[7] T. Akazawa, H. Hidaka, T. Fujiwara, T. C. Kobayashi, E. Yamamoto, Y. Haga, R. Settai, and Y. Onuki. Pressure-induced superconductivity in ferromagnetic uir without inversion symmetry. J. Phys.: Condens. Matter, 16:L29, 2004.

[8] D. E. Almeida, R. M. Fernandes, and E. Miranda. Induced spin-triplet pairing in the coexistence state of antiferromagnetism and singlet superconductivity: Collec- tive modes and microscopic properties. Phys. Rev. B, 96:014514, Jul 2017.

[9] Alexander Altland and Ben Simons. Condensed Matter Field Theory. Cambridge University Press; 2 edition (March 11, 2010), 2 edition, March 2010.

[10] D. Aoki, A. Huxley, E. Ressouche, D. Braithwaite, J. Flouquet, J.-P. Brison, E. Lhotel, and C. Paulsen. Coexistence of superconductivity and ferromagnetism in urhge. Nature, 413:613–616., 2001.

[11] W. Bao, P. G. Pagliuso, J. L. Sarrao, J. D. Thompson, Z. Fisk, J. W. Lynn, and R. W. Erwin. Incommensurate magnetic structure of cerhin5. Phys. Rev. B, 67:099903(E)., 2003.

[12] J. Bardeen, L. N. Cooper, and J. R. Schrieer. Microscopic theory of superconduc- tivity. Phys. Rev., 106(1):162–164, 1957.

[13] J. Bardeen, L. N. Cooper, and J. R. Schrieer. Theory of superconductivity. Phys. Rev., 108(5):1175– 1204, 1957.

[14] J. G. Bednorz and K. A. Muller. Possible high tc superconductivity in the ba-la- cu-o system. Zeit. Phys. B, 64:1989–1993, 1986.

177

Tài liệu tham khảo

[15] N. F. Berk and J. R. Schrieffer. Effect of ferromagnetic spin correlations on superconductivity. Phys. Rev. Lett., 17:433., 1966.

[16] N.N. Bogoliubov. A new method in the theory of superconductivity. i. JETP, 7:41, July 1958.

[17] S. V. Bogolyubov, N. N.; Tyablikov. Retarded and advanced green functions in statistical physics. Soviet Physics Doklady, 4:589, December 1959.

[18] J. Choe C. W. Chen and E. Morosan. Charge density waves in strongly correlated electron systems. Rep. Prog. Phys., 79(8):084505, July 2016.

[19] D. T. Cat and V. N. Tuoc. Proceedings of 9th apps. page 415, 2003.

[20] D. T. Cat and V. N. Tuoc. Reported at the 28th national conference on theoretical physics, sam son. 2003.

[21] P. Coleman. Introduction to Many Body Physics. Printed in the United Kingdom by Bell & Bain Ltd, 2015.

[22] M. G. Cottam, D. V. Shopova, and D. I. Uzunov. On the phase diagrams of the ferromagnetic superconductors uge2 and zrzn2. Phys.Lett. A, 373:152–155., 2008.

[23] E. K. Dahl and A. Sudbø. Derivation of the ginzburg-landau equations for a ferromagnetic p-wave superconductor. Phys. Rev. B, 75:144504, Apr 2007.

[24] E.Maxwell. Isotope effect in the superconductivity of mercury. Physical Review (U.S.), 78:477, 1950.

[25] D. Fay and J. Appel. Coexistence of p-state superconductivity and itinerant fer- romagnetism. Phys. Rev. B, 22:3173., 1980.

[26] R. M. Fernandes and J. Schmalian. Competing order and nature of the pairing state in the iron pnictides. Phys. Rev. B, 82(1):014521, July 2010.

[27] A.L. Fetter and J.D. Walecka. Quantum Theory of Many-Particle Systems. McGraw-Hill, London, 1971.

[28] R. P. Feynman. Progress in Low Temperature Physics. North Holland, Amsterdam, 1, 1955.

[29] F.Lévy, I. Sheikin, and A. Huxley. Acute enhancement of the upper critical field for superconductivity approaching a quantum critical point in urhge. Nature Physics, 3:460–463., 2007.

[30] H. Frohlich. Theory of the superconducting state. i. the ground state at the absolute zero of temperature. Phys. Rev., 79:845–856, 1950.

[31] J. L. Genicon, J. P. Modon Danon, R. Tournier, O. Pe˜na, R. Horyn, and M. Ser- gent. Percolation of superconductivity ”walls” in the ferromagnet homo6s8. J. Physique Lett., 45:L–1175–L–1184., 1984.

[32] Jacques Flouquet Georg Knebel, Dai Aoki. Magnetism and superconductivity in cerhin5. 2018.

[33] V. L. Ginzburg and L. D. Landau. On the theory of superconductivity. Zh. Eksp. Teor. Fiz, 20:1064, 1950.

178

Tài liệu tham khảo

[34] L. P. Gor’kov. Microscopic derivation of the ginzburg-landau equations in the theory of superconductivity. Zh. Eksperim. i Teor. Fiz., 36:1918–1923, 1959.

[35] L.P. Gor’kov. On the energy spectrum of superconductors. JETP, 7:505, Septem- ber 1958.

[36] I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik. Table of integrals, series and products. Aca- demic Press, London, fifth edition, 1980.

[37] Getachew Abebe Haftu Brhane, Amarendra Rajput. Coexistence of superconduc- tivity and ferromagnetism in a magnetic superconductor. IJES, 2:17, 2013.

[38] A. Harada, S. Kawasaki, H. Mukuda, Y. Kitaoka, Y. Haga, E. Yamamoto, Y. Onuki, K. M. Itoh, E. E. Haller, and H. Harima. Experimental evidence for ferromagnetic spin-pairing superconductivity emerging in uge2: A ge-nuclear- quadrupole-resonance study under pressure. Phys. Rev. B, 75:140502(R)., 2007.

[39] A. F. Hebard, R. C. Haddon, R. M. Fleming, and A. R Kortan. Deposition and characterization of fullerene films. Appl. Phys. Lett., 59:2109–2111, 1991.

[40] H. Hegger, C. Petrovic, E.G. Moshopoulou, M. F. Hundley, J. L Sarrao, Z. Fisk, and J. D. Thompson. Pressure-induced superconductivity in quasi-2d cerhin5. Phys. Rev. Lett., 84:4986., 2000.

[41] N. V. Hinh and N. T. Lan. Ginzburg-landau functional for three order parameter problem. Journal of Physics: Conference Series, 726:012016, 2016.

[42] P.J. Hirschfeld. Introduction to unconventional superconductivity. 2014.

[43] A. Huxley, I. Sheikin, E. Ressouche, N. Kernavanois, D. Braithwaite, R. Calem- czuk, and J. Flouquet. Uge2: A ferromagnetic spin-triplet superconductor. Phys. Rev. B, 63:144519., 2001.

[44] N. T. Huy, A. Gasparini, D.E. de Nijs, Y. Huang, J. C. P. Klaasse, T. Gortenmul- der, A. de Visser, A. Hamann, T. G¨orlach, and H. V.L¨ohneysen. Superconduc- tivity on the border of weak itinerant ferromagnetism in ucoge. Phys. Rev. Lett., 99:067006., 2007.

[45] P. M. R. Brydon J. Schmiedt and C. Timm. Superconducting pairing in the spin-density-wave phase of iron pnictides. Phys. Rev. B, 89(5):054515, February 2014.

[46] D. Jerome, A. Mazaud, M. Ribault, and K. Bech-gaard. Superconductivity in a synthetic organic conductor (tmtsf)2pf6. J. Phys. Lett., 41:95–98, 1980.

[47] Y. Kamihara, T. Watanabe, M.Hirano, and H. Hosono. Iron-based layered super- conductor la[o(1-x)fx]feas (x = 0.05-0.12 ) with tc = 26k. J. Am. Chem. Soc., 130:3296–3297., 2008.

[48] N. Karchev. Magnon exchange mechanism of ferromagnetic superconductivity. Phys. Rev. B, 67:054416., 2003.

[49] S. Kawasaki, T. Mito, Y. Kawasaki, G. Q. Zheng, Y. Kitaoka, D. Aoki, Y. Haga, and Y. Onuki. Gapless magnetic and quasiparticle excitations due to the coexis- tence of antiferromagnetism and superconductivity in cerhin5: A study of in115 nqr under pressure. Phys. Rev. Lett., 91:137001., 2003.

179

Tài liệu tham khảo

[50] C. Kittel. Introduction to Solid State Physics. Jonh Wiley & Sons, Inc, the United States of America., 2005.

[51] N. V. Hinh & N. T. Lan. A microscopic model for superconductivity in ferromag- netic uge2. J. Korean Phys. Soc., 74(5):488–497, March 2019.

[52] L. D. Landau. Theory of phase transformations. Phys. Z. SowjUn, 11(26):545, 1937.

[53] J. Linder and et al. Coexistence of itinerant ferromagnetism and a nonunitary superconducting state with line nodes: Possible application to uge2. Phys. Rev. B, 77:184511., 2008.

[54] F. London. Superfluids. Dover Publications, New York, 64, 1961.

[55] F. London and H. London. The electromagnetic equations of the supraconductor. Proc. Roy. Soc. A, 149:71–88, 1935.

[56] G.G. Lonzarich. in Electron: A Centenary Volume. 1997.

[57] J. W. Lynn, A. Raggazoni, R. Pynn, and J. Joffrin. Observation of long range magnetic order in the reentrant superconductor homo6s8. J.Physique Lett., 42:L– 45–L–49., 1981.

[58] K. Machida and T. Ohmi. Phenomenological theory of ferromagnetic supercon- ductivity. Phys. Rev. Lett., 86:850, 2001.

[59] W. Meissner and R. Ochsenfeld. Ein neuer effekt bei eintritt der supraleitf¨ahigkeit. Die Naturwissenschaften, 44:787–788, 1933.

[60] V. P. Mineev and T. Champel. Theory of superconductivity in ferromagnetic superconductors with triplet pairing. Phys. Rev. B, 69:144521., 2004.

[61] A. Miyake, D. Aoki, and J. Flouquet. Field re-entrant superconductivity induced by the enhancement of effective mass in urhge. J. Phys. Soc. Jpn, 77:094709., 2008.

[62] J. Nagamatsu, N. Nakagwa, T. Muranaka, Y. Zenitani, and J Akimitsu. Super- conductivity at 39 k in magnesium diboride. Nature, 410:63–64, 2001.

[63] H.K. Onnes. The superconductivity of mercury. Commun. Phys. Lab. Univ. Lei- den, pages 122– 124, 1911.

[64] L. Onsager. Statistical hydrodynamics. Nuovo Cimento, Suppl., 6:279, 1949.

[65] H. R. Ott, H. Rudigier, Z. Fisk, and J. L. Smith. Ube13: An unconventional actinide superconductor. Phys. Rev. Lett., 50:1595–1598., 1983.

[66] W. E. Parry and R. E. Turner. Green functions in statistical mechanics. Rep. Prog. Phys., 27:23, 1964.

[67] C. Petrovic, R. Movchovich, M. Jaime, P. G. Pagliuso, M. F.Hundley, J. L. Sarrao, Z. Fisk, and J. D. Thompson. A new heavy-fermion superconductor ceirin5: A relative of the cuprates. Europhys. Lett., 53:354., 2001.

180

Tài liệu tham khảo

[68] C. Pfleiderer, M. Uhlatz, S. M. Hayden, R. Vollmer, H. V. Lohneysen, N. R. Berhoeft, and G. G. Lonzarich. Coexistence of superconductivity and ferromag- netism in the d-band metal zrzn2. Nature, 412:58–61., 2001.

[69] R. Seiringer R. L. Frank, C. Hainzl and J. P. Solovej. Microscopic derivation of the ginzburg-landau model. XVIIth International Congress on Mathematical Physics, pages 575–583, 2013.

[70] C. A. Reynolds, B. Serin, W. H. Wright, and L. B. Nesbitt. Superconductivity of isotopes of mercury. Phys. Rev., 78:487, 1950.

[71] J. Rossat-Mignod, P. Burlet Pand S. Quézel, A. Benoˆıt, J. Flouquet, R. Horyn, O. Pe˜na, and M. Sergent. Neutron diffraction study of homo6s8 single crystal. J. Physique Lett., 46:L–373 – L–378., 1985.

[72] K. V. Samokhin and M. B. Walker. Order parameter symmetry in ferromagnetic superconductors. Phys. Rev. B, 66:174501., 2002.

[73] K. G. Sandeman, G. G. Lonzarich, and A. J. Schofield. Ferromagnetic supercon- ductivity driven by changing fermi surface topology. Phys. Rev. Lett., 90:167005., 2003.

[74] S.S. Saxena, P. Agarwal, K. Ahilan, F. M. Grosche, R.K. Haselwimmer, M. J. Steiner, E. Pugh, I.R. Walker, S.R. Julian, P. Monthoux, G.G. Lonzarich, A. Hux- ley, I. Sheikin, D. Braithwaite, and J. Flouquet. Superconductivity on the border of itinerant-electron ferromagnetism in uge2. Nature, 406:587–592., 2000.

[75] H. Shimahara and M. Kohmoto. Triplet superconductivity induced by screened phonon interactions in ferromagnetic compounds. Europhys. Lett., 57:247., 2002.

[76] D. V. Shopova, T. E. Tsvetkov, and D. I. Uzunov. Phenomenological study of spin-triplet ferromagnetic superconductors. Cond. Matter Phys., 8:181., 2005.

[77] D. V. Shopova and D. I. Uzunov. Phase diagram of a class of spin-triplet ferro- magnetic superconductors. Phys. Lett. A, 313:139–143., 2003.

[78] D. V. Shopova and D. I. Uzunov. Meissner phases in spin-triplet ferromagnetic superconductors. Phys. Rev. B, 72:024531, 2005.

[79] Diana V. Shopova and Dimo I. Uzunov. Thermodynamics of ferromagnetic su- perconductors with spin-triplet electron pairing. Phys. Rev. B, 79:064501, Feb 2009.

[80] J. Spalek and P. Wrobel. Coexistence of spin-triplet superconductivity and fer- romagnetism induced by the local hund’s rule exchange. cond-mat 0202043v1., 2002.

[81] F. Steglich, F. Aart, C. D. Bredl, W. Lieke, D. Meschede, W. Franz, and H. Schafer. Superconductivity in the presence of strong pauli paramagnetism: Cecu2si2. Phys. Rev. Lett., 43:1892–1896, 1979.

[82] G. R. Stewart, Z. Fisk, J. O. Willis, and J. L. Smith. Possibility of coexistence of bulk superconductivity and spin fluctuations in upt3. Phys. Rev. Lett., 52:679–682, 1984.

181

Tài liệu tham khảo

[83] M. Tachiki, T. Koyama, H. Matsumoto, and H. Umezawa. Spin fluctuation and ul- trasonic attenuation in magnetic superconductors. Solid State Commun., 34:269– 273., 1980.

[84] R. A. Tahir-Kheli and D. ter Haar. Use of green functions in the theory of fer- romagnetism. i. general discussion of the spin-s case. Phys. Rev., 127:88–94, Jul 1962.

[85] N. Tateiwa, T. C. Kobayashi, K. Hanazono, A. Amaya, Y. Haga, R. Settai, and Y. Onuki. Pressure-induced superconductivity in a ferromagnet uge2. J. Phys. Condensed Matter, 13:L17, 2001.

[86] W. Thomlinson, G. Shirane, D. E. Moncton, M. Ishikawa, and O. Fischer. Neutron scattering studies of the coexistence of long-range magnetic order and supercon- ductivity in dy1.2mo6s8 and tb1.2mo6s8. J. Appl. Phys., 50:1981, 1979.

[87] N. K. Thuy and N. T. Thang. Ferromagnetism of uge2 in the dual model for 5f - uranium electrons. Comm. Phys. Suppl., 17:71 – 76., 2007.

[88] N. K. Thuy and N. T. Thang. On the magnetic - exciton - mediated ferromagnetic superconductivity. Communications in Physics, 18:141–145., 2008.

[89] S. Watanabe and K. Miyake. Coupled cdw and sdw fluctuations as an ori- gin of anomalous properties of ferromagnetic superconductor uge2. cond-mat, 0110492v3., 2001.

[90] S. Watanabe and K. Miyake. A scenario for superconductivity of uge2 due to coupled charge and spin fluctuations. J.Phys. Chem. Solids, 63:1465–1468., 2002.

[91] Steven Weinberg. A model of leptons. Phys. Rev. Lett., 19(21):1264–1266, 1967.

[92] M. Yashima, S. Kawasaki, H. Mukuda, Y. Kitaoka, H. Shishido, R. Settai, and Y. ¯Onuki. Quantum phase diagram of antiferromagnetism and superconductiv- ity with a tetracritical point in CeRhin5 in zero magnetic field. Phys. Rev. B, 76:020509, Jul 2007.

[93] D. N. Zubarev. Double-time green functions in statistical physics. Sov. Phys. Usp., 3(3):320–345, March 1960.

182