intTypePromotion=3

Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng bài tập trắc nghiệm phương trình đường tròn

Chia sẻ: Nguyentruongvuong Nguyentruongvuong | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:18

0
9
lượt xem
0
download

Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng bài tập trắc nghiệm phương trình đường tròn

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích của giải pháp: Giúp cho giáo viên thực hiện tốt nhiệm vụ và nâng cao chất lượng giáo dục, giúp học sinh hình thành tư duy lôgic, kỹ năng phân tích, để đi đến một hướng giải đúng và thích hợp khi gặp các dạng toán của phương trình đường tròn, từ phức tạp đưa về dạng đơn giản, cơ bản và giải được một cách dễ dàng. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng bài tập trắc nghiệm phương trình đường tròn

  1. CỘNG HÒA XàHỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập ­ Tự do ­ Hạnh phúc MÔ TẢ SÁNG KIẾN Mã số (do Thường trực Hội đồng ghi): ……. 1. Tên sáng kiến: Một số dạng bài tập trắc nghiệm phương trình  đường tròn.  2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giảng dạy 3. Mô tả bản chất của sáng kiến: 3.1. Tình trạng giải pháp đã biết  Hiện trạng trước khi áp dụng giải pháp mới Học sinh trường THPT An Minh   học các lớp ban cơ  bản đa số  còn  nhận thức chậm, chưa hệ thống được kiến thức toán học.  Chưa phân loại và   định hình được cách giải một số dạng Toán cơ bản, bên cạnh đó khi gặp các   bài toán về  Hình học các em còn có nhiều lúng túng, đặc biệt là các dạng  Toán về  phương trình đường tròn, trong khi đó phương trình đường tròn  lại   có rất nhiều dạng bài tập. Nhưng  chương trình Hình học lớp 10 không nêu  cách giải tổng quát cho từng dạng, thời lượng dành cho phần này là rất ít.  Qua việc khảo sát kiểm tra định kỳ  và việc học tập, làm bài tập hàng   ngày của học sinh tôi nhận thấy thường có rất ít học sinh giải đúng trọn vẹn   dạng toán này.  Bên cạnh đó do việc thay đổi cách thức thi tốt nghiệp của Bộ Giáo Dục  và Đào Tạo trong những năm gần đây theo hướng trắc nghiệm khách quan  làm cho học sinh và giáo viên gặp không ít khó khăn. Một phần vì học sinh   chưa quen với việc giải các dạng Toán trắc nghiệm. Mặt khác sách giáo khoa  cũng chưa được chỉnh lí thích hợp cho việc đổi mới này. 3.2. Nội dung giải pháp đề nghị công nhận là sáng kiến: Mục đích của giải pháp  Giúp cho giáo viên thực hiện tốt nhiệm vụ và nâng cao chất lượng giáo  dục, giúp học sinh hình thành tư  duy lôgic, kỹ  năng phân tích, để  đi đến một   1
  2. hướng giải đúng và thích hợp khi gặp các dạng toán của phương trình đường  tròn, từ  phức tạp đưa về  dạng đơn giản, cơ  bản và giải được một cách dễ  dàng. Muốn vậy người giáo viên phải hướng cho học sinh biết các dạng toán  và phân biệt được cách giải của từng dạng, từ  đó giúp học sinh hình thành  kiến thức kĩ năng trong việc giải Toán hình học.       Yêu cầu của sáng kiến kinh nghiệm: Hệ thống lại một số dạng bài tập   trắc nghiệm của phương trình đường tròn có nêu ra hướng giải quyết và cách   giải các dạng đó. Nội dung giải phải rõ ràng lôgic, không rườm rà phù hợp  với trường THPT vùng sâu, vùng xa, có sáng tạo đổi mới.  Nội dung giải pháp Qua nghiên cứu trao đổi đúc kết và rút kinh nghiệm từ thực tế cùng với  nhiều ý kiến của đồng nghiệp tôi mạnh dạn đưa ra các dạng bài tập cơ  bản   của phương trình đường tròn như sau: Dạng 1: Nhận dạng phương trình đường tròn. Phương pháp: Phương trình  x 2 + y 2 - 2ax - 2by + c = 0  với điều kiện  a 2 + b2 - c > 0 , là  phương trình đường tròn tâm  I ( a;b )  bán kính  R = a 2 + b2 - c  +Ví dụ 1:  Phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn? A. x 2 + y 2 − 2 x − 8 y + 20 = 0 B. 4 x 2 + y 2 − 10 x − 6 y − 2 = 0   C. x 2 + y 2 − 4 x + 6 y − 12 = 0 D. x 2 + 2 y 2 − 4 x − 8 y + 1 = 0   Lời giải Chọn C.  Phương trình ở đáp án A:  x 2 + y 2 − 2 x − 8 y + 20 = 0  có  a = 1, b = 4, c = 20  nên  a 2 + b 2 − c = 12 + 42 − 20 < 0   do đó phương trình ở đáp án A không phải là phương  trình của đường tròn. Mặt khác do hệ số đứng trước  x 2   và  y 2  của phương trình ở các đáp án  B và D không bằng nhau nên phương trình ở các đáp án này cũng không phải  là phương trình đường tròn.  Suy ra C đúng. Chú ý học sinh rằng: Phương trình   x 2 + y 2 - 2ax - 2by + c = 0  với hệ  số  c < 0  luôn là một phương trình đường tròn. 2
  3.   +Ví  dụ  2:   Phương  trình nào sau  đây  không phải  là phương  trình  đường tròn ? A. x 2 + y 2 − x + y + 4 = 0 B. x 2 + y 2 − y = 0 C. x 2 + y 2 − 2 = 0 D. x 2 + y 2 − 100 y + 1 = 0 Lời giải Chọn A.  Cách 1 2 2 1� � 1� 7 Ta có  x + y − x + y + 4 = 0 � � 2 2 �x − �+ �y + �= − < 0. � 2� � 2� 2 Do đó không phải là phương trình đường tròn Cách 2 Phương trình  ở  đáp án A    x 2 + y 2 − x + y + 4 = 0   có  a = 1 , b = − 1 , c = 4  nên  2 2 1 1 −7 a 2 + b 2 − c = ( ) 2 + (− )2 − 4 = < 0   do đó phương trình ở đáp án A không phải là  2 2 2 phương trình của  đường tròn. Dạng 2: Lập phương trình đường tròn Phương pháp: Muốn lập được phương trình đường tròn ta cần có hai  yếu tố đó là tâm và bán kính của đường tròn. +Phương trình đường tròn (C) tâm  I ( a;b ) , bán kính R là : (x - a )2 + (y - b)2 = R 2 +Dạng khai triển của (C) là :  x 2 + y 2 - 2ax - 2by + c = 0  với  c = a 2 + b2 - R 2   +Ví dụ 1: Phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn có tâm  I(3 ; 4) và bán kính R=5 ?  A. ( x − 3) 2 − ( y − 4) 2 = 25 B. ( x − 3)2 + ( y − 4)2 = 5 C. ( x − 3) 2 + ( y − 4) 2 = 25 D. ( x + 3)2 + ( y + 4) 2 = 25 Lời giải Chọn C Đường tròn có tâm I(3 ; 4) và bán kính R=5 có phương trình là ( x − 3) 2 + ( y − 4) 2 = 25   +Ví dụ 2: Cho hai điểm A (1; 3), B (- 3;5) . Phương trình nào sau đây là  phương trình đường tròn  đường kính AB ?   A. ( x + 1)2 + ( y − 4)2 = 20 B. ( x − 1) 2 + ( y + 4) 2 = 5 3
  4. C. ( x + 1) 2 + ( y − 4) 2 = 5 D. ( x + 1)2 + ( y − 4) 2 = 5 Lời giải Chọn D. Đường tròn đường kính AB có tâm I( ­1; 4) là trung điểm của AB và  AB bán kính  R = = 5   có  phương trình là:  ( x + 1) 2 + ( y − 4) 2 = 5 2 +Ví dụ 3:  Phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn tâm  I (- 2; 3)  và đi qua điểm M (1;5)  ?   A. x 2 + y 2 − 4 x + 6 y = 0                          B. ( x + 2)2 + ( y − 3) 2 = 13 C. x 2 + y 2 + 4 x − 6 y = 0 D. ( x − 2) 2 + ( y + 3) 2 = 13 Lời giải Chọn C.  Đường tròn tâm  I (- 2; 3) và đi qua điểm M (1;5)  có bán kính  R = IM = 13   có  phương trình là:   ( x + 2) 2 + ( y − 3) 2 = 13        � x + y + 4 x − 6 y = 0 2 2 +Ví dụ 4: Đường tròn tâm  I (0; 0)  tiếp xúc đường thẳng  ∆ : 3x − 4 y + 5 = 0   có phương trình là: A. x 2 + y 2 − 1 = 0                                   B. ( x − 3) 2 + ( y + 4)2 = 25 C. x 2 + y 2 + 1 = 0            D. x 2 + y 2 = 25 Lời giải Chọn A. Đường tròn tâm   I (0; 0)   tiếp xúc đường thẳng   3 x − 4 y + 5 = 0   nên có bán  kính  R = d (I , D) = 1  có phương trình là :          x + y = 1 2 2      � x + y − 1 = 0 2 2 +Ví dụ  5:  Đường tròn   nào dưới đây đi qua   3   điểm   A ( 2; 0 ) ,  B ( 0;6 ) ,   O ( 0;0 ) ? A. x 2 + y 2 − 3 y − 8 = 0 B. x 2 + y 2 − 2 x − 6 y + 1 = 0 C. x 2 + y 2 − 2 x + 3 y = 0 D. x 2 + y 2 − 2 x − 6 y = 0 Lời giải Chọn D. Cách 1  Gọi phương trình cần tìm có dạng  ( C ) : x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0 . 4
  5. Do  A,  B,  O ( C )  nên ta có hệ �−4a + c = −4 �a =1 � � �−12b + c = −36 � � b =3. � c=0 �c=0 � � Vậy phương trình đường tròn cần tìm  là:  x 2 + y 2 − 2 x − 6 y = 0 . Cách 2 Loại ngay hai đáp án A và B  vì không thỏa mãn tọa độ điểm O(0;0).  Còn lại hai đáp án C và D chỉ có đáp án D thỏa mãn tọa độ ba điểm  O(0;0),   A ( 2; 0 ) ,  B ( 0;6 ) Cách 3  Sử dụng máy tính bỏ túi.  Bước 1 Nhập  phương trình đường tròn vào trong máy tính. Bước 2 CALC  các đáp án. Bước 3 Kết luận Đáp án nào thỏa mãn cả ba điểm  A ( 2;0 ) ,  B ( 0;6 ) ,  O ( 0;0 ) là đáp án đúng.   Dạng  3: Tìm các yếu tố của đường tròn Phương pháp:  Dạng  này  thường  đề  bài yêu cầu tìm tâm hoặc bán  kính. Do đó ta có thể vận dụng lý thuyết chung để giải. +Ví  dụ 1: Đường tròn  x 2 + y 2 − 10 x − 11 = 0  có bán kính bằng bao nhiêu? A. 6 B. 2 C. 36 D. 6 Lời giải Chọn A. Cách 1  Ta có  x 2 + y 2 − 10 x − 11 = 0 � ( x − 5 ) + y 2 = 62 2 Vậy bán kính đường tròn  R = 6 . Cách 2  Phương   trình     x 2 + y 2 − 10 x − 11 = 0   có   a = 5, b = 0, c = −11   nên   bán   kính  R = a 2 + b 2 − c = 52 + 02 + 11 = 6   do đó đáp án A đúng. +Ví dụ 2: Một đường tròn có tâm  I ( 3 ; −2 )  và tiếp xúc với đường thẳng  ∆ : x − 5 y + 1 = 0 . Hỏi bán kính đường tròn đó bằng bao nhiêu ? 14 7 A. 6 B. 26 C. D. 26 13 Lời giải Chọn C. 5
  6. Do đường tròn tiếp xúc với đường thẳng  ∆  nên bán kính đường tròn là:  3 − 5. ( −2 ) + 1 14 R = d ( I , ∆) = = . 12 + ( −5 ) 26 2 +Ví dụ 3: Đường tròn  có phương trình  x 2 + y 2 − 5 y = 0  có bán kính bằng  bao nhiêu ? 5 25 A. 5 B. 25 C. D. 2 2 Lời giải Chọn C. Cách 1  2 5 � 2 25 có  bán kính  5 Ta có :   x 2 + y 2 − 5 y = 0 � � �x − �+ y = R= . � 2� 4     2 Cách 2 Phương trình đường tròn      x 2 + y 2 − 5 y = 0   có   a = 0, b = 5 , c = 0   nên bán  2 5 5 kính của đường tròn   R = a 2 + b 2 − c = 02 + ( )2 − 0 =    2 2 Do đó đáp án C đúng. +Ví dụ 3: Tìm bán kính đường tròn đi qua  3   điểm  A ( 0; 4 ) , B ( 3; 4 ) , C ( 3;0 ) . 5 A. 5 . B. 3 . C. 10 . D. . 2 2 Lời giải Chọn D. Cách 1 Gọi  I ( a; b )  để  I  là tâm đường tròn đi qua ba điểm  A ( 0; 4 ) , B ( 3; 4 ) , C ( 3;0 )   thì 3 �a + ( 4 − b ) = ( 3 − a ) + ( 4 − b ) 2 2 2 2 IA = IB �a = IA = IB = IC = R ��� � �2 � 2 IA = IC �a + ( 4 − b ) = ( 3 − a ) + b 2 2 2 �b=2 2 �3 � Vậy tâm  I � ; 2 � , bán kính  R = IA = � �+ ( 4 − 2 ) 2 = 5 �3 � �2 � �2 � 2 Cách 2  Giả sử phương trình đường tròn có dạng  x 2 + y 2 - 2ax - 2by + c = 0  . 6
  7. Do   đường   tròn   đi   qua   ba   điểm   A ( 0; 4 ) , B ( 3; 4 ) , C ( 3;0 )   ta   có   hệ  3 a= −8b + c = −16 2 �−6a − 8b + c = −25 � � b=2 �−6a + c = −9 � c=0 2 3� 2 5 Vậy bán kính  R = a 2 + b 2 − c = � � �+ 2 − 0 = 2 �� 2 Do đó đáp án D đúng x +Ví dụ  4:  Đường tròn có phương trình    x + y + − 3 = 0   có tọa độ  2 2 2 tâm I là  đáp án nào sau đây? � 2 � � 3� A. I ( − 2; 3 ) �1 � �− B. I � ;0 � � C. I � ;0 � D. I � �0; � � � 4 � �2 2 � � 2 � Lời giải Chọn B. x Phương trình đường tròn  x + y + − 3=0 2 2 có  2 1 2 � 2 � a=− =− , b = 0  nên tâm  I � �− 4 ;0 � � 2 2 4 � � +Ví   dụ   5:  Tìm   tọa  độ  tâm  I  của  đường  tròn  đi  qua   3   điểm A ( 0; 4 ) ,  B ( 2; 4 ) ,  C ( 4;0 ) . A. I ( 0;0 ) B. I ( 1;0 ) C. I ( 3; 2 ) D. I ( 1;1) Lời giải Chọn D. Cách 1 Gọi  I ( a; b ) . Nếu  I   là tâm đường tròn đi qua ba điểm   A ( 0; 4 ) , B ( 2; 4 ) ,   C ( 4;0 )  thì ta có: a2 + ( 4 − b ) = ( 2 − a ) + ( 4 − b ) 2 2 2 �IA = IB �a =1 � �� �� �IA = IC a2 + ( 4 − b ) = ( 4 − a ) + b2 b =1 2 2 � Vậy tâm  I ( 1;1) Cách 2  7
  8. Giả sử đường tròn có dạng  x 2 + y 2 - 2ax - 2by + c = 0  . Do đường tròn đi qua ba điểm  A ( 0; 4 ) ,  B ( 2; 4 ) ,  C ( 4;0 ) . �−8b + c = −16 �a =1 � � Ta có hệ  �−4a − 8b + c = −20 � �b = 1 �−8a + c = −16 �c = −8 � � Vậy đường tròn có tâm I(1;1) Do đó đáp án D đúng Dạng 4: Phương trình tiếp tuyến của đường tròn.   Phương pháp:   +Cho đường tròn (C) :   (x - a )2 + (y - b)2 = R 2   +Tiếp tuyến  D  của (C)  tại điểm  M ( x 0?; y 0 ) nằm trên đường tròn là   đường thẳng đi qua M và vuông góc với IM nên phương trình :  D : (x 0 - a )(x - x 0 ) + (y 0 - b)(y - y 0 ) = 0 D  :  ax + by + c = 0  là tiếp tuyến của (C)  � d (I , D) = R   +Ví dụ 1: Phương trình tiếp tuyến của đường tròn   (C ) : x 2 + y 2 − 2 x − 4 y − 3 = 0  tại  M (3; 4) là : A.  x + y − 7 = 0 B.  x + y + 7 = 0 C.  x − y + 1 = 0 D.  x + y − 3 = 0 Lời giải Chọn A. Cách 1 Đường tròn (C) có tâm  I ( 1; 2 ) , tiếp tuyến  của (C) tại M(3 ;4) là : (3 − 1)( x − 3) + (4 − 2)( y − 4) = 0            � 2 x + 2 y − 14 = 0            � x + y − 7 = 0 Cách 2  Thay tọa độ điểm  M (3; 4)  vào các phương trình đường thẳng ở các đáp  án A, B, C, D. Ta loại được hai đáp án B, D vì không thỏa tọa độ  M (3; 4) Mặt khác ta tính khoảng cách từ tâm đường tròn đến hai đường thẳng ở  đáp án A và C, đáp án nào có khoảng cách bằng bán kính là đáp án đúng. Cụ thể : Đường tròn (C) có tâm  I ( 1;2 ) , bán kính  R = 2 2 8
  9. Khoảng cách từ tâm  I ( 1; 2 )   đến đường thẳng ở đáp án A   ∆ : x + y − 7 = 0   là  1+ 2 − 7 d ( I , ∆) = =2 2=R 12 + 12 Suy ra đáp A đúng.  3 25 +Ví dụ 2: Biết tiếp tuyến của đường tròn  (C ) : ( x − 2)2 + ( y − )2 =  đi  2 4 qua   M (- 3; - 1) . Tìm các phương trình tiếp tuyến  đó. A.  x − 3 y = 0, 4 x − 3 y + 9 = 0 B.  y + 1 = 0, 4 x − 3 y + 9 = 0 C.  x − 3 y = 0, 2 x − 3 y + 3 = 0 D.  y + 1 = 0, 4 x + 3 y + 9 = 0 Lời giải Chọn B.  Cách 1  3 25 Đường tròn  (C ) : ( x − 2)2 + ( y − ) 2 = có tâm  2 4   � 3� 5 2; �, bán kính  R = I� � 2� 2 Điểm  M (- 3; - 1)  không thuộc đường tròn (C) Phương trình đường thẳng  ∆  đi qua  M (- 3; - 1)  có  dạng  y = m( x + 3) − 1    � mx − y + 3m − 1 = 0  (*) Để  ∆  là tiếp tuyến của (C) khi  5 5m − d ( I , ∆ ) = R    2 5 � = m 2 + 12 2 m=0 4                    m= 3 Thay m vào phương trình (*) ta được hai tiếp tuyến là: ∆1 : y + 1 = 0, ∆ 2 :4 x − 3 y + 9 = 0 Cách 2  3 25 � 3� 5 Đường tròn  (C ) : ( x − 2)2 + ( y − ) 2 = có tâm  2; �, bán kính  R = I� 2 4   � 2� 2 � 3�            Khoảng cách từ tâm  I �2; �  đến đường thẳng  ∆1 : y + 1 = 0 � 2� 9
  10. 3 +1 2 5 d ( I , ∆1 ) = = =R 0 +1 2 2 2 � 3�             Khoảng cách từ tâm  I �2; �  đến đường thẳng  ∆ 2 : 4 x − 3 y + 9 = 0 2 � � 3 4.2 − 3 + 9 2 5 d ( I , ∆2 ) = = =R 42 + (−3) 2 2 Suy  ra đáp án B đúng. Chú ý: Ta có thể tính khoảng cách giống như trên ở các đáp án A, C, D  thấy không thỏa nên loại  các đáp án này. +Ví dụ 3: Cho đường tròn  (C ) : x 2 + y 2 − 6 x + 2 y + 5 = 0 . Tìm các tiếp tuyến  của (C) biết các tiếp tuyến đó có hệ số góc là ­2 A.  2 x + y = 0, 2 x + y − 10 = 0 B.  2 x + y + 1 = 0, 2 x + y + 10 = 0 C.  2 x − y = 0, 2 x − y − 10 = 0 D.  2 x + y = 0, 2 x − y + 10 = 0 Lời giải Chọn A. Cách 1  Đường tròn  (C ) : x 2 + y 2 − 6 x + 2 y + 5 = 0  có tâm  I ( 3; −1) , bán kính  R = 5 Phương trình đường thẳng  ∆  có hệ số góc bằng ­2  có dạng  y = −2 x + m               � 2 x + y − m = 0  (*) Để  ∆  là tiếp tuyến của (C) khi  5−m d ( I , ∆ ) = R    � = 5 5 m=0                    m = 10 Thay m vào phương trình (*) ta được hai tiếp tuyến là: ∆1 :2 x + y = 0, ∆ 2 :2 x + y − 10 = 0 Cách 2  Đường tròn  (C ) : x 2 + y 2 − 6 x + 2 y + 5 = 0 có tâm  I ( 3; −1) , bán kính  R = 5            Khoảng cách từ tâm  I ( 3; −1)   đến đường thẳng  ∆1 : 2 x + y = 0 2.3 + ( −1) d ( I , ∆1 ) = = 5=R 22 + 12 10
  11.             Khoảng cách từ tâm  I ( 3; −1)   đến đường thẳng  ∆ 2 : 2 x + y − 10 = 0 2.3 + (−1) − 10 d ( I , ∆2 ) = = 5=R 22 + 12 Suy  ra đáp án A đúng. Chú ý: Ta cũng có thể tính khoảng cách giống như trên ở các đáp án B,  C, D thấy không thỏa nên loại  các đáp án này. +Ví dụ 4: Tìm các phương trình tiếp tuyến của đường tròn  (C ) : x + y 2 − 4 x − 6 y − 12 = 0  . Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d):  2 3x + 4 y − 6 = 0 A.  3x + 4 y + 7 = 0, 3 x + 4 y − 43 = 0 B. 3x + 4 y − 7 = 0, 3 x + 4 y + 43 = 0 C.  4 x − 3 y + 26 = 0, 4 x − 3 y − 24 = 0 D.  4 x − 3 y − 26 = 0, 4 x − 3 y + 24 = 0 Lời giải Chọn A. Đường tròn  (C ) : x 2 + y 2 − 4 x − 6 y − 12 = 0 có tâm  I ( 2;3) , bán kính  R = 5           Do tiếp tuyến  D //(d) nên  D  có phương trình dạng  3 x + 4 y + c = 0 .  D   tiếp  xúc (C) nên ta có: 3.2 + 4.3 + c d ( I, ∆) = R � =5 32 + 42 � c + 18 = 25 c=7                                 c = −43 Vậy các phương trình tiếp tuyến cần tìm  là  ∆1 : 3 x + 4 y + 7 = 0, ∆ 2 : 3 x + 4 y − 43 = 0 +Ví dụ 5: Tìm các phương trình tiếp tuyến của đường tròn  (C ) : x 2 + y 2 + 10 x − 4 y + 4 = 0  . Biết tiếp tuyến vuông  góc với đường thẳng (d):  4 x + 3 y + 12 = 0 A.  4 x + 3 y + 39 = 0, 4 x + 3 y − 11 = 0 B. 3x − 4 y + 48 = 0, 3 x − 4 y − 2 = 0 C.  4 x + 3 y − 39 = 0, 4 x + 3 y + 11 = 0 D. 3x − 4 y − 48 = 0, 3x − 4 y + 2 = 0 Lời giải Chọn B. Đường tròn  (C ) : x 2 + y 2 + 10 x − 4 y + 4 = 0  có tâm  I ( −5; 2 ) , bán kính  R = 5 11
  12.           Do tiếp tuyến  D ⊥ (d) nên  D  có phương trình dạng  3 x − 4 y + c = 0 .  D    tiếp xúc (C) nên  3.(−5) − 4.2 + c d ( I, ∆) = R � =5 32 + (−4) 2 � c − 23 = 25 c = 48                                 c = −2 Vậy các phương trình tiếp tuyến cần  tìm là :  ∆1 : 3 x − 4 y + 48 = 0, ∆ 2 : 3x − 4 y − 2 = 0 +Ví dụ 6: Với những giá trị nào của  m  thì đường thẳng  ∆ : 4 x + 3 y + m = 0   là tiếp tuyến của đường tròn  ( C ) : x 2 + y 2 − 9 = 0 . A. m = −3 B. m = 3  và  m = −3 C. m = 3 D. m = 15  và  m = −15 Lời giải Chọn D. Cách 1 Đường tròn (C) có tâm I(0;0), bán kính R=3  Để  ∆  là tiếp tuyến của đường tròn (C) khi  4.0 + 3.0 + m d ( I, ∆) = R � =3 42 + 32 � m = �15 Cách 2 Thay  giá trị m ở các đáp án A, B, C và D vào phương trình đường thẳng  ∆ , rồi tính khoảng cách từ tâm đường tròn đến  ∆ . Đáp án nào bằng bán kính  (R=3) là đáp án đúng. +V   í   dụ 7    : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ  Oxy . Cho đường thẳng  d : x + y + 1 = 0  và đường tròn  ( C ) : x 2 + y 2 − 4 x − 2 y − 1 = 0 . Tìm những điểm  M   thuộc đường thẳng  d  sao cho từ điểm  M  kẻ được đến  ( C )  hai tiếp tuyến  hợp với nhau một góc bằng  900 .   A. M 1 ( − 2; 2 − 1)  hoặc  M 2 ( 2; − 2 − 1)           B. M 1 ( − 2; 2 + 1)  hoặc M 2 ( 2; − 2 + 1) C. M 1 ( 2; 2 − 1)  hoặc  M 2 ( 2; − 2 − 1) D. M 1 ( − 2; 2 − 1)  hoặc  M 2 ( 2; 2 + 1) Lời giải Chọn A. 12
  13. Đường tròn (C) có tâm tâm  I ( 2;1) , bán kính  R = 6 M   thuộc   d   suy   ra   M (t ; −1 − t ) .   Nếu   2   tiếp  tuyến vuông góc với nhau thì tứ  giác  MAIB  là hình  vuông với  A , B  là 2 tiếp điểm. (Xem hình vẽ)  Do đó  AB = MI = IA 2 = R 2 = 6. 2 = 2 3 Ta có :  MI = ( 2 − t ) 2 + ( 2 + t ) 2 = 2t 2 + 8 = 2 3  Do đó:  2t 2 + 8 = 12 � t 2 = 2 t=− 2 ( M 1 − 2; 2 − 1 ) . t= 2 M2 ( ) 2; − 2 − 1 Dạng 5: Sự tương giao của đường thẳng và đường tròn.   Phương pháp:   Cho đường tròn (C) :  x 2 + y 2 - 2ax - 2by + c = 0  có tâm I bán kính R và  đường thẳng  ∆ :  mx + ny + p = 0  +Nếu  d ( I , ∆ ) < R suy ra đường thẳng  ∆  cắt đường tròn (C).    +Nếu  d ( I , ∆ ) = R suy ra đường thẳng  ∆  tiếp xúc đường tròn (C).    +Nếu  d ( I , ∆ ) > R suy ra đường thẳng  ∆  không cắt đường tròn (C).   Trong thực hành để xét sự tương giao của đường thẳng  ∆  và đường  tròn  (C) ta thường  xét hệ  ↓ x 2 + y 2 - 2a1x - 2b1y + c1 = 0 (1) � ↓↓ ↓↓ mx + ny + p = 0   (*) (2) +Nếu hê (*) có hai nghiệm thì đường thẳng   ∆  cắt đường tròn (C).  +Nếu hệ (*) có một nghiệm thì  đường thẳng  ∆  tiếp xúc đường tròn  (C).  +Nếu hệ (*) vô nghiệm thì  đường thẳng  ∆  không cắt đường tròn (C) Chú ý học sinh rằng: Tọa độ giao điểm của  ∆  và  (C) là  nghiệm của  hệ (*) +Ví dụ  1:  Đường tròn có phương trình   x 2 + y 2 − 1 = 0   tiếp xúc đường  thẳng nào trong các đường thẳng sau đây ? A. x + y = 0 B. 3x + 4 y − 1 = 0 C. 3 x − 4 y + 5 = 0 D. x + y − 1 = 0 Lời giải Chọn C. Đường tròn  x 2 + y 2 − 1 = 0 có tâm  I ( 0; 0 ) , bán kính  R = 1 13
  14. Khoảng cách từ tâm đến các đường thẳng ở  các đáp án A, B, C, D lần  lượt là: 1 1 d A = 0; d B = < R; d C = 1 = R; d D =
  15. ∆ : x + y − 7 = 0 � y = 7 − x  thay vào phương trình  ( C )  ta được: x =3� y = 4 x 2 + ( 7 − x ) − 25 = 0 � x 2 − 7 x + 12 = 0 � 2 . x =4� y =3 Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là  ( 3;  4 ) và  ( 4;  3) . +Ví dụ  5:  Đường tròn có phương trình (C)   x 2 + y 2 − 2 x − 2 y − 23 = 0   cắt  đường thẳng  ∆ : x − y + 2 = 0  theo một dây cung có độ dài bằng bao nhiêu ? A. 5 . B. 2 23. C.10 . D. 5 2. Lời giải Chọn B.  Ta  có: x 2 + y 2 − 2 x − 2 y − 23 = 0 � ( x − 1) 2 + ( y − 1) 2 = 25     Đương tròn (C) có tâm  I ( 1;  1) và bán kính  R = 5. 1−1+ 2 Gọi  d ( I , ∆ ) = = 2 R1 + R2  thì  (C1 ) và  (C2 )  ở ngoài nhau (hay rời nhau). +Nếu   I1I 2 < R1 − R2  thì  (C1 )  và  (C2 ) đựng nhau ( (C1 ) nằm trong  (C2 )  hoặc  (C2 ) nằm trong  (C1 ) ). +Nếu   I1I 2 = 0  Suy ra  (C1 ) và  (C2 )  là hai đường tròn đồng tâm. Trong thực hành để xét sự tương giao của hai đường tròn  (C1 ) và  (C2 )  ta  ↓ x 2 + y 2 - 2a1x - 2b1y + c1 = 0 (1) � thường xét hệ  ↓↓↓ x 2 + y 2 - 2a x - 2b y + c = 0 (2)    (**) ↓ 2 2 2 Để giải hệ (**) ta lấy phương trình (1) và (2) trừ cho nhau (vế theo vế)  ta được phương trình bậc nhất hai ẩn x và y. Từ phương trình bậc nhất này ta  rút y theo x (hoặc rút x theo y) rồi thay vào (1) hoặc (2) ta được phương trình  hoành độ giao điểm (hoặc phương trình tung độ giao điểm). Giải phương  trình này ta được x hay y tương ứng. 15
  16. Chú ý rằng: khi lấy phương trình (1) và (2) trừ cho nhau ta được  phương trình đường dây chung hoặc phương trình đường tiếp tuyến chung   của hai đường tròn, tùy theo trường hợp hai đường tròn này cắt nhau tại hai  điểm hay tiếp xúc nhau.   +Ví dụ 1: Tìm giao điểm của hai đường tròn  ( C1 ) : x 2 + y 2 − 2 = 0  và  ( C2 ) : x 2 + y 2 − 2 x = 0 A. ( 2;  0 ) và  ( 0;  2 ) B. ( 2;  1) và  ( 1;   − 2 ) C. ( 1;   − 1) và  ( 1;  1) D. ( −1;  0 ) và  ( 0;   − 1) Lời giải Chọn C. x =1 x2 + y 2 − 2 = 0 x =1 Xét hệ:  �2 2 � �2 � � y =1 x + y − 2x = 0 y =1 y = −1 Vậy có hai giao điểm là: ( 1;   − 1) và  ( 1;  1) . +Ví dụ 2: Xác định vị trí tương đối của 2 đường tròn ( C1 ) :  x 2 + y 2 − 4 x = 0   và  ( C2 ) x 2 + y 2 + 8 y = 0 . : A.Tiếp xúc trong               B.Không cắt nhau C.Cắt nhau        D.Tiếp xúc ngoài Lời giải Chọn C. Cách 1 x2 + y2 − 4x = 0 �x 2 + y 2 − 4 x = 0 �5y2 + 8y = 0 Xét hệ  �2 2 �� �� . x + y + 8y = 0 �x = −2 y �x = −2 y Dễ thấy hệ trên có hai nghiệm nên suy ra  (C1 ) cắt  (C2 ) . Cách 2 ( C1 )  có tâm  I1 ( 2;  0 )  bán kính  R1 = 2  ;  ( C2 )  có tâm  I 2 ( 0;  ­ 4 ) , bán kính  R2 = 4 Do    R1 − R2 = 2, I1 I 2 = 2 5, R1 + R2 = 6 Ta có    R1 − R2 < I1I 2 < R1 + R2  Suy ra  (C1 ) cắt  (C2 ) . Ví dụ 3: Xác định vị trí tương đối giữa hai đường tròn ( C1 ) : x 2 + y 2 = 4  và  ( C2 ) : ( x + 10 ) + ( y − 16 ) = 1 . 2 2 A.Cắt nhau             B.Không cắt nhau          C.Tiếp xúc ngoài        D.Tiếp xúc trong Lời giải Chọn B. 16
  17. Đường tròn  ( C1 )  có tâm  I1 ( 0;0 )  và bán kính  R1 = 2 . Đường tròn  ( C2 )  có tâm  I 2 ( −10;16 )  và bán kính  R2 = 1 . Ta có  I1I 2 = 2 89  và  R1 + R2 = 3 . Do đó  I1I 2 > R1 + R2  nên hai đường tròn  không cắt nhau. ** Chú ý:  Sau khi giải xong các ví dụ  minh họa phương trình đường   tròn. Giáo viên ra dạng bài tập tương tự  và hướng dẫn để  học sinh tự  giải.   Qua đó học sinh rèn luyện phương pháp giải hình thành kỹ  năng cho các em  được tốt hơn tránh được những sai sót không đáng có. 3.3. Khả năng áp dụng của giải pháp  Giải pháp phù hợp áp dụng cho tất cả  học sinh khối 10 (nhất là các   học sinh trung bình và học sinh khá) của trường THPT An Minh 3.4. Hiệu quả, lợi ích thu được hoặc dự  kiến có thể  thu được do  áp dụng giải pháp  Trong quá trình giảng dạy thực tế, áp dụng trong 3 năm học, tôi đã tiến  hành nghiên cứu giữa lớp thực nghiệm và lớp đối chứng trong việc đổi mới  phương pháp hướng dẫn học sinh giải một số dạng bài tập trắc nghiệm   phương trình đường tròn.   Năm học 2015­2016: Tôi chọn lớp thực nghiệm (lớp 10A1) và lớp đối  chứng (lớp 10A2). Kết quả  được ghi ở bảng sau : Giỏi Khá Trung bình Yếu Lớp Sĩ số SL % SL % SL % SL % 10A1 41 12 29,3 19 46,3 8 19,5 2 4,9 10A2 44 9 20,5 13 29,5 16 36,0 6 14,0 Sau khi áp dụng phương pháp đổi mới bước đầu đã thấy sự  hiệu quả,  học sinh lớp thực nghiệm có sự  hăng say tích cực hơn trong giờ  học Toán.  Tuy nhiên, phương pháp mới này cần áp dụng lâu dài và nhiều lần nhằm rút   ra kinh nghiệm, tình huống phát sinh, tài liệu tham khảo…Cho nên trong năm  học   2016­2017  tôi  tiếp  tục  chọn  lớp  thực  nghiệm  (lớp  10A2)   và  lớp   đối  chứng (lớp 10A1) với kết quả thu được như sau:  Giỏi Khá Trung bình Yếu Lớp Sĩ số SL % SL % SL % SL % 10A1 41 10 24,4 12 29,3   13 31,7 6 14,6 10A2 43 15 34,9 17 39,6 8 18,6 3 6,9 17
  18. Sau khi áp dụng phương pháp đổi mới này cho học sinh ở lớp 10A2 và  kết quả  đạt được tôi nhận thấy trong bài dạy nếu vận dụng việc đổi mới   phương pháp học sinh dần quen và thích dạng toán trắc nghiệm. Trình bày lời  giải bài toán ngắn gọn hơn. Nhưng kết quả muốn đạt được tốt giáo viên phải  hiểu năng lực của học sinh, ra các dạng bài tập vừa sức với các em để các em  rèn luyện dần dần tiến bộ. Năm học 2017­2018 tôi tiếp tục làm thực nghiệm đối với lớp 10A9 kết   quả cũng rất khả quan được ghi ở bảng sau: Năm học   Sĩ  Giỏi Khá Trung bình Yếu Lớp số SL % SL % SL % SL % 2017­2018 10A9 41 13 31,7 19 46,4 6 14,6 3 7,3 Sau khi áp dụng phương pháp đổi mới này cho học sinh, kết quả đạt  được tôi nhận thấy trong bài dạy nếu vận dụng việc đổi mới phương pháp  thu được kết quả sau: Hạn chế được nhiều sai sót không đáng có. Tạo được sự hứng thú cho học sinh khi gặp dạng phương trình đường  tròn. Các em cảm thấy thích học Toán trắc nghiệm. Học sinh có thể hiểu và làm tốt bài tập về nhà mà giáo viên cho thêm. Các em tỏ ra say mê học tập, tự tin trong các giờ học Toán.  3.5. Tài liệu kèm theo gồm: Mô tả sáng kiến (1 bản) Kiên Giang, ngày 20 tháng 12 năm2018 Người mô tả                 Nguyễn Trương Vương 18

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản