Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phân tích, định hướng nhằm rèn luyện kỹ năng tính góc giữa hai mặt phẳng cho học sinh trường THPT Quỳ Châu

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:54

Thêm vào BST

Báo xấu

27
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề tài "Phân tích, định hướng nhằm rèn luyện kỹ năng tính góc giữa hai mặt phẳng cho học sinh trường THPT Quỳ Châu" đưa ra 6 phương pháp thường dùng để xác định và tính góc giữa hai mặt phẳng, đồng thời xây dựng được hệ thống các bài tập tương ứng với các phương pháp, đưa ra được một số bài toán mới ở mức độ vận dụng, vận dụng cao do tác giả tự xây dựng và các phân tích, định hướng nhằm rèn luyện tư duy cho học sinh khi giải quyết các bài toán tính góc giữa hai mặt phẳng trong hình học không gian.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phân tích, định hướng nhằm rèn luyện kỹ năng tính góc giữa hai mặt phẳng cho học sinh trường THPT Quỳ Châu

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƢỜNG THPT QUỲ CHÂU TRƢỜNG THPT THANH CHƢƠNG 3 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đề tài: “Phân tích, định hƣớng nhằm rèn luyện kỹ năng tính góc giữa hai mặt phẳng cho học sinh trƣờng THPT Quỳ Châu”. Lĩnh vực : Toán học Đồng tác giả : Nguyễn Hữu Văn, Hoàng Thành Đạt Tổ : Toán – Tin Điện thoại : 0898613455, 0339563456 Năm thực hiện: 2021 - 2022
MỤC LỤC PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ ....................................................................................... 1 1.1. Lý do chọn đề tài ...................................................................................... 1 1.2. Tính mới của đề tài ................................................................................... 1 1.3. Khả năng ứng dụng và triển khai đề tài .................................................... 1 1.4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ............................................................ 1 1.5. Phương pháp nghiên cứu .......................................................................... 2 PHẦN II. NỘI DUNG ........................................................................................... 2 2.1. Cơ sở khoa học ......................................................................................... 2 2.1.1. Cơ sở lý luận....................................................................................... 2 2.1.2. Cơ sở thực tiễn ...................................................................................... 2 2.2. Phương hướng và giải pháp ...................................................................... 2 2.2.1. Phương pháp tính góc giữa hai mặt phẳng. .......................................... 2 Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng. .................... 2 Phương pháp 2: Sử dụng cách xác định góc giữa hai mặt phẳng . .............. 7 Phương pháp 3: Sử dụng công thức diện tích hình chiếu .......................... 13 Phương pháp 4: Sử dụng khoảng cách ...................................................... 17 Phương pháp 5: Sử dụng kết quả của bài toán sau: ................................... 24 Phương pháp 6: Phương pháp tọa độ hóa. ................................................. 29 2.2.2. Tìm nhiều cách giải khác nhau cho bài toán tính góc . ...................... 33 2.2.3. Ứng dụng giải các bài toán tính góc giữa hai mặt phẳng trong ......... 41 2.3. Thực nghiệm sư phạm ............................................................................ 48 2.4.1. Mục đích thực nghiệm ........................................................................ 48 2.4.2. Nội dung thực nghiệm ........................................................................ 48 2.4.3. Tổ chức thực nghiệm .......................................................................... 48 2.4.3.1. Đối tượng thực nghiệm ................................................................. 48 2.4.3.2. Thời gian thực nghiệm sư phạm ................................................... 48 2.4.3.3. Tổ chức thực hiện ......................................................................... 49 2.4.3.4. Kết quả thực nghiệm ..................................................................... 49 PHẦN III. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ ................................................................ 50 1. Kết luận ...................................................................................................... 50 2. Kiến nghị.................................................................................................... 50
2
PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ 1.1. Lý do chọn đề tài Điều 7, khoản 2, Luật Giáo dục ghi: “Phương pháp giáo dục phải khoa học, phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học; bồi dưỡng cho người học năng lực tự học và hợp tác, khả năng thực hành, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên”. Yêu cầu đổi mới phương pháp dạy học tích cực theo định hướng phát triển năng lực là một yêu cầu cần thiết đối với mỗi giáo viên. Trong quá trình dạy học bộ môn toán ở trường trung học phổ thông, chúng tôi nhận thấy tầm quan trọng của việc rèn luyện tư duy thông qua các bài toán hình học không gian. Các bài toán hình học không gian trong giai đoạn gần đây được khai thác rất đa dạng.Trong đó có thể kể đến bài toán tính góc giữa hai mặt phẳng. Đây là bài toán thường xuyên xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi và đề thi THPT Quốc gia.Tuy nhiên, trong thực tế giảng dạy chúng tôi nhận thấy: Các em học sinh khi giải quyết các bài toán này còn gặp nhiều khó khăn trong việc phân tích, định hướng để lựa chọn cho mình phương pháp giải bài toán một cách phù hợp, nhất là thi bằng hình thức trắc nghiệm đòi hỏi về mặt thời gian. Vì vậy, chúng tôi lựa chọn đề tài “Phân tích, định hướng nhằm rèn luyện kỹ năng tính góc giữa hai mặt phẳng cho học sinh trường THPT Quỳ Châu” nhằm giải quyết các khó khăn nói trên. Từ đó, tạo hứng thú cho học sinh khi học về chuyên đề góc giữa hai mặt phẳng nói riêng và chủ đề hình học không gian nói chung. 1.2. Tính mới của đề tài - Thứ nhất, đề tài trình bày cơ sở lý luận và cơ sở thực tiễn về vấn đề phát triển năng lực tư duy cho học sinh thông qua việc tìm ra lời giải bài toán tính góc giữa hai mặt phẳng. - Thứ hai, đề tài đưa ra 6 phương pháp thường dùng để xác định và tính góc giữa hai mặt phẳng, đồng thời xây dựng được hệ thống các bài tập tương ứng với các phương pháp, đưa ra được một số bài toán mới ở mức độ vận dụng, vận dụng cao do tác giả tự xây dựng và các phân tích, định hướng nhằm rèn luyện tư duy cho học sinh khi giải quyết các bài toán tính góc giữa hai mặt phẳng trong hình học không gian. - Thứ ba, đề tài xây dựng hệ thống bài tập và đưa ra những phân tích, định hướng giúp học sinh tìm ra nhiều cách giải khác nhau cho mỗi bài toán. 1.3. Khả năng ứng dụng và triển khai đề tài Đề tài có khả năng áp dụng và triển khai cho học sinh trung học phổ thông: học sinh khá, HSG, học sinh ôn thi TN THPT và các thầy cô dạy Toán THPT tham khảo. 1.4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Học sinh khối 11 và 12 trường THPT Quỳ Châu. - Các bài toán về góc giữa hai mặt phẳng và các vấn đề liên quan đến góc trong không gian. 1
1.5. Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp điều tra, phân tích; phương pháp thực nghiệm. PHẦN II. NỘI DUNG 2.1. Cơ sở khoa học 2.1.1. Cơ sở lý luận Tư duy là phạm trù triết học dùng để chỉ những hoạt động của tinh thần, đem những cảm giác của người ta sửa đổi và cải tạo thế giới thông qua hoạt động vật chất, làm cho người ta có nhận tức đúng đắn về sự vật và ứng xử tích cực với nó. Tư duy phản ánh tích cực hiện thực khách quan dưới dạng các khái niệm, sự phán đoán, lý luận,… Phát triển năng lực tư duy là hình thành và rèn luyện cho học sinh 4 yếu tố cơ bản của tư duy gắn liền với việc hình thành và phát triển cho học sinh các thao tác của tư duy, các phẩm chất của tư duy, các kỹ năng của tư duy. Từ các bài toán và phương pháp tính góc giữa hai mặt phẳng, học sinh có thể tự tìm tòi lời giải phù hợp và cao hơn là có thể khai thác và phát biểu thành bài toán mới. 2.1.2. Cơ sở thực tiễn Qua thực tiễn, chúng tôi thấy: - Học sinh còn yếu môn Toán do kiến thức thụ động, máy móc, thiếu tính tích cực, độc lập, sáng tạo của bản thân, đặc biệt là chủ đề hình học không gian. - Chuyên đề góc giữa hai mặt phẳng là một trong những chuyên đề khó vì phải vận dụng nhiều kiến thức, đòi hỏi học sinhphải phát huy tính tích cực, chủ động và trí tưởng tượng cao. Nhiều học sinh chỉ quan tâm đến kết quả, thường hài lòng với lời giải của mình mà ít tìm tòi lời giải khác đồng thời mở rộng và khai thác các bài toán vừa giải quyết. 2.2. Phương hướng và giải pháp 2.2.1. Phương pháp tính góc giữa hai mặt phẳng. Định nghĩa: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó. Nếu hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau thì ta nói rằng góc giữa hai mặt phẳng đó bằng 0 . Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng. Để sử dụng phương pháp này, chúng ta cần xác định được hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng. +) Hướng ưu tiên sử dụng phương pháp: Trong đề bài có nhiều yếu tố vuông góc với nhau như hai đường thẳng vuông góc, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc với nhau. 2
+) Kinh nghiệm giải toán: Quan sát, phân tích và dự đoán xem từ giả thiết của bài toán ta có thể xác định hoặc dựng được hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng hay không? Đặc biệt, cần nắm vững định lí và nhớ một số kết quả các bài toán cơ bản về chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, vận dụng linh hoạt để xác định đúng các đường vuông góc với mặt phẳng. Chúng tôi đưa ra định lý và bài toán rất cơ bản nhưng được sử dụng rất nhiều sau đây: Định lí: Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất kì đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia. Bài toán: (Ví dụ 1, sgk, trang 102) Cho hình S chóp S. ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng  ABC  . Gọi AH là đường cao của tam giác H SAB . Ta có các kết quả sau: BC   SAB  , AH  SC . C A B Ta xét một số bài toán sau: Bài toán 1. (Sáng tác) Cho tam giác đều OAB có cạnh AB  a . Trên đường thẳng d đi qua điểm O và vuông góc với mặt phẳng  OAB  lấy điểm M sao cho OM  2a . Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên MB và OB . Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng  AOM  và  AEF  . Tính cos . Phân tích: Trong bài toán này có rất nhiều về yếu tố vuông M góc. Nhận thấy mặt phẳng  AOM    OAB  nên có thể dễ xác định được đường thẳng vuông góc với mặt phẳng  AOM  . Lại có AF  MB nên dự F đoán MB   AEF  . Từ đó hướng tới sử dụng E phương pháp xác định góc bằng định nghĩa. O B N A Giải. +) Ta có:  AE  OB   AE   OMB   MB  AE.  AE  MO 3
Lại có MB  AF  MB   AEF  . 1 +) Gọi N là trung điểm của OA  BN  OA  BN   OAN   2 Từ 1 và  2  suy ra     AOM  ,  AEF     BM ; BN  . Do BN   OMA  BN  MN hay BMN vuông tại N . Do đó   MBN . a 3 Ta có: BN  , MB  OM 2  OB2  a 5 2 BN 15  cos    BM 5 Bài toán 2. (Sáng tác) Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tam giác SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi E là trung điểm của AD , F là hình chiếu vuông góc của E lên SD . Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng  SBC  và  CEF  . Phân tích: Ta nhận thấy rằng  SAB    SBC  . Vậy S G ta xác định được đường thẳng vuông góc với mặt phẳng  SBC  là đường thẳng nằm trong mặt phẳng  SAB  và K L vuông góc với đường thẳng SB . Lại có, SD  EF nên dự đoán SD   CEF  . F B C Từ đó ta hướng tới sử dụng phương pháp xác định góc bằng định nghĩa. H I A E D Lời giải của bài toán như sau: Giải Gọi H là trung điểm của AB  SH  AB . Mà  SAB    ABCD   SH   ABCD  . Gọi K là trung điểm của SB  AK  SB . 1 Vì BC  AB và  SAB    ABCD  nên BC   SAB   BC  AK  2 Từ 1 ,  2   AK   SBC   3 4
Gọi I là giao điểm của DH và CE . Ta có CDE  DAH  c  g  c   ECI  HDA  IEC  IDE  IEC  ECD  90  HD  CE . Ta có:  HD  CE   CE   SHD   CE  SD  SH  CE Mặt khác, SD  EF  SD   CEF  .  4 Từ  3 ,  4  suy ra  SBC ,CEF    SD, AK  . Dựng hình chữ nhật SADG . Khi đó SAB.DCG là lăng trụ đều. Gọi L là trung điểm của GC  DL / / AK  DL   SBC      SBC  ,  CEF    SD, AK    SD, DL  .   Xét SDL vuông tại L   SBC  ,  CEF    SD, AL   SDL . DL Ta có: cos SDL  SD a 3 a 3 a 5 DL  AK  , SH  , HD   SD  a 2 2 2 2 a 3 DL 6  cos SDL   2  . SD a 2 4 Bài toán 3. (HSG Lâm Đồng, năm học 2018-2019) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A' B ' C ' có AB  2 3, AA '  3 . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh A ' B ', A ' C ' , và BC . Tính côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng  AB ' C ' và  MNP  . Phân tích:  AA ' P    AB 'C '    AA ' P    AB ' C '  a  Nhận thấy  . Ta cần xác định    AA ' P    PMN   AA ' P    PMN   b  Từ đó, ta xác định được hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng. 5
A C P B K P A 3 H K 3 N C' H A' I M Q A' I Q B' Vậy ta có thể giải bài toán bằng phương pháp sử dụng định nghĩa. Giải Gọi I , Q, K lần lượt là trung điểm của MN , B ' C ' và AA ' . Ta có AP  PQ  QA '  A ' A  3 và A ' AP  90o nên tứ giác APQA ' là hình vuông. IPQ  KQA '  c  g  c   IPQ  KQA '  PI  QK . 1 Ta có B ' C '   APQA '  B ' C '  QK mà MN / / B ' C '  MN  QK  2 Từ (1) và (2) suy ra QK   MNP  .  3 Tứ giác APQA ' là hình vuông nên AQ  A ' P .  4 Lại có B ' C '   APQA '  B ' C '  A ' P .  5 Từ  4  ,  5  A ' P   AB ' C '  6 Từ  3 ,  6    AB 'C ' ,  MNP    A 'P, QK  . 3 5 Ta có: A ' P  3 2 , QK  , KA '/ / PQ , theo định lý Ta-lét: 2 HP HQ PQ 2 2    2  HP  A ' P  2 2 , HQ  QK  5 . HA ' HK KA ' 3 3 Áp dụng định lý cosin cho tam giác PHQ ta có: 6
2 2    5  2 2 HP  HQ  PQ 2 2 2  32 1 cos PHQ    2 HP.H Q 2 2. 5 10 Vậy cos   AB ' C '  ,  MNP    1 . 10 Một số bài tập áp dụng: Bài 1. Cho hình chóp S. ABC với BAC  120 . Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA  2BC . Gọi M , N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các cạnh SB, SC . Tính góc giữa hai mặt phẳng  ABC  và  AMN  . Bài 2. (Tạp chí toán học tuổi trẻ số 535, tháng 1 năm 2022) Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 1 . Gọi H là trung điểm của AB , SH  1 và SH   ABCD  . Tính  là góc giữa hai mặt phẳng  SAC  và  SBC  ? Bài 3. Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có các mặt bên là các tam giác đều có 3a 2 3 diện tích bằng . Gọi  P  là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SC . 4 Tính góc giữa hai mặt phẳng  P  và  ABCD  ? Phương pháp 2: Sử dụng cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau. Giả sử        d , α a  a    , a  d   .  b     , b  d d Khi đó:  ,     a,b . β b Trong phương pháp này, chúng ta chia làm 2 loại sau: Loại 1: α +) Xác định d        . S +) Xác định SH     với S    , H     . d Kẻ HI  d  SI  d . I Vậy  ,     SI , HI   SIH . β H Loại 2: α +) Xác định d        . a +) Xác định I  d . d +) Trong  dựng đường thẳng a  d tại I ; I trong    dựng b  d tại I . Khi đó: b β 7
 ,     a,b Lưu ý: Để tính  a, b  , thường thì ta xác định a A A  a , B  b sao cho tính được AI , BI , AB . Khi đó: I IA2  IB 2  AB 2 cos  a, b   cos AIB  b B 2 IA.IB Trường hợp đặc biệt của loại 2: α a A +) Xác định d        .  a    , a / / d  d +)  .   I   b   , b / / d +) I  d . Kẻ IA  a tại A  IA  d . β B b Kẻ IB  b tại B  IB  d . Vậy  ,     IA, IB  . Xét một số bài toán sau đây: Bài toán 1. (Khai thác giả thiết đề HSG tỉnh Nghệ An năm 2021- 2022) Cho hình hộp ABCD. A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình thoi, AB  a , góc ABC  600 , 1 B1 A   ABCD  . Góc giữa B1C và  ABCD  bằng  sao cho cot   . Gọi M là 2 trung điểm của CC1 . Tính góc giữa hai mặt phẳng  BA1M  và  A1B1C1D1  . Phân tích: Ta xác định được giao tuyến BE  A1 D1  BA1M    ABCD  , E  A1M  AC . Mà NA   ABCD  , với B1 C1 N  AB1  BA1 . Từ đây ta thấy thỏa mãn điều kiện N phương pháp xác định góc loại 1. M A D B C E Giải. Ta có:  BA M , A B C D    BA M , ABCD  1 1 1 1 1 1 8
+) B là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng  BA1M  và  ABCD  . +) Trong mặt phẳng  ACC1 A1  , kéo dài AC và A1M cắt nhau tại E .   BA1M   ABCD   BE . EC EM CM 1 +) ECM  EAA1  g  g      . Mà ABC đều nên EA EA1 AA1 2 AC  CE  BC  a  AB  BE . 1 Lại có BE  B1 A  BE   ABB1 A1   BE  BA1  2   Từ 1 ,  2    BA1M  ,  ABCD    AB, A1B  Gọi N  AB1  A1B   AB, A1B    AB, NB   NBA . +) AC là hình chiếu vuông góc của B1C trên mặt phẳng  ABCD  nên ta có:  B C, ABCD   B C, AC   B AC   . 1 1 1 AC 1 Tam giác B1 AC vuông tại A nên ta có: cot     AB1  2a  AN  a . AB1 2 Do đó NAB vuông cân tại A , suy ra NBA  45 . Vậy  BA M , ABCD   45 . 1 Nhận xét: i) Trong lời giải trình bày ở trên, nếu không phát N hiện AB  BE thì ta có thể giải quyết như sau: Kẻ AH  BE  NH  BE     BA1M  ,  ABCD   AHN . Để tính AHN cần tính AH và có thể theo hướng: A 2S 1 E AH  ABE với S ABE  AB. AE BE 2 H và BE  AB  AE  2 AB. AE.cos60 . 2 2 2 B Từ đó ta giải được bài toán. ii) Có thể hướng dẫn học sinh xác định giao tuyến song song như sau: Gọi H là trung điểm của CD , ta có: 9
 MH / / NA A1  D1  MH  NA  NAHM là hình  HA  NA  B1 chữ nhật C1  NM / / AH . Mà B là điểm Q chung của hai mặt phẳng  BA1M  và  ABCD  . N M Do đó giao tuyến của hai mặt A phẳng này là đường thẳng d đi P qua B và song song với AH , MN D H  thỏa mãn điều kiện của B C phương pháp xác định góc loại 2. d iii) Nếu gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AB và AA1 . Khi đó:  PQ / / BA1    PQC  / /  BA1M  QC / / MA 1   ABCD, BA M    ABCD , PQC  1 Khi đó, bài toán trở nên đơn giản hơn. Tiếp theo, chúng ta xét bài toán sau đây cần xác định giao tuyến bằng phương pháp dựng giao tuyến song song. Bài toán 2. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Tam giác SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi G là trọng tâm tam giác SAB và M , N lần lượt là trung điểm của SC và SD . Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng  GMN  và  ABCD  . Phân tích:  MN   GMN   Ta có: CD   ABCD  .  MN / / CD  Như vậy, nếu ta xác định được một điểm chung I của hai mặt phẳng thì giao tuyến của chúng là đường thẳng đi qua I và song song với MN , CD . Từ đó ta thấy bài toán thỏa mãn điều kiện trường hợp đặc biệt của phương pháp xác định góc loại 2. 10
Giải S Gọi H là trung điểm của AB  SH   ABCD  . Gọi J là trung điểm của CD . Trong mặt phẳng N  SCD  , gọi K là giao điểm của SJ K và MN . d M Trong mặt phẳng  SHJ  , gọi E là I G D giao điểm của HJ và KG . E A H F J B C Vì MN / /CD nên giao tuyến của hai mặt phẳng  GMN  và  ABCD  là đường thẳng d đi qua điểm E và song song với CD, MN . d  SH Vì   d   SHJ   d  KG , hay d  KE .  d  HJ Do đó, GMN , ABCD   KE, EJ  . Gọi F là trung điểm của HJ  KF  EJ   KE, EJ   KEF . 1 a 3 1 HG 2 3a a 39 Ta có: FK  SH  , HG  SH    EF   EK  . 2 4 3 KF 3 2 4 EF 2 39  cos KEF   . EK 13   Vậy cos  GMN  ,  ABCD   2 39 13 . Nhận xét: Ngoài cách xác định giao tuyến như trên, cũng có thể xác định điểm chung thứ 2 của hai mặt phẳng chính là giao điểm của GN và DH . Bài toán cuối cùng chúng tôi đưa ra trong phương pháp này là bài toán có thể dựng giao tuyến bằng cách tìm 2 điểm chung của hai mặt phẳng hoặc dựng giao tuyến song song. Bài toán 3. (Chuyên ĐH Vinh – 2018) Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA  2a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm cạnh SD . Tính tang của góc tạo bởi hai mặt phẳng  AMC  và  SBC  . Phân tích: Ta thấy C là điểm chung thứ nhất của 2 mặt phẳng  ACM  và  SBC  . Hướng 1: Điểm chung thứ 2 là giao điểm của AM với mặt phẳng  SBC  . 11
Chọn  SAD   AM , ta có S là điểm chung của hai mặt phẳng  SAD  và  SBC  , AD / / BC , suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng  SAD  và  SBC  là đường thẳng d đi qua S và song song với AD, BC . Trong mặt phẳng  SAD  , kéo dài AM cắt d tại E . Khi đó E là điểm chung thứ hai. Hướng 2: Gọi N là trung điểm của S E 1 SC , khi đó MN / / AB , MN  AB 2 . Kéo dài AM và BN cắt nhau tại E , suy ra E là điểm chung thứ hai. Hướng 3: Dựng giao tuyến song N M song. Gọi O  AC  BD  MO / / SB . K H Vậy giao tuyến của 2 mặt phẳng là D đường thẳng đi qua C và song song A với MO, SB . O B C Tuy nhiên, để dễ dàng trong tính toán, chúng ta nên dựng hình bình hành SBCE . Từ đây ta thấy thỏa mãn điều kiện của phương pháp xác định góc loại 1 hoặc loại 2. Giải. Ta có C là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng  AMC  và  SBC  . 1 Gọi N là trung điểm của SC , ta có: MN / / AB, MN  AB 1 2 Kéo dài AM và BN cắt nhau tại E   AMC    SBC   CE và M là trung điểm của AE , N là trung điểm của BE . Lại có AD   SAB  , BC   SAB  nên tứ giác SADE và SBCE là các hình chữ nhật. Kẻ AH  CE,  H  CE  , kẻ HK / / BC,  K  SB   HK   SAB   HK  AK . Do đó,  AMC , SAB   AH , HK   AHK . ECD  EAD  c  g  c   EA  EC , hay EAC cân tại E  EO  AC . a 2 3a 2 Ta có: OD  , ED  2a  EO  , EC  a 5 , 2 2 EO. AC 3a 5 EO. AC  AH .EC  AH   , HK  BC  a EC 5 12
HK 5 1 2 5  cos AHK    tan AHK  2 1  AH 3 cos AHK 5 Bài tập áp dụng: Bài 1. (Toán học Tuổi trẻ, số 535, tháng 1 năm 2022) Cho hình chóp tam giác S. ABC . Biết diện tích của hai tam giác SAB và ABC là SSAB  a 2 và SABC a3 3  6a 2 , AB  4a . Thể tích của khối chóp S. ABC bằng . Gọi  là góc giữa 2 hai mặt phẳng  SAB  và  ABC  . Tính sin  ? Bài 2. (HSG Tỉnh Bắc Giang, Năm học 2021 – 2022) Cho hình hộp đứng ABCD.A ' B 'C ' D ' có đáy là hình vuông cạnh bằng a , cạnh bên AA '  3a . Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng  BA ' C  và  DA ' C  . Tính cos ? Phương pháp 3: Sử dụng công thức diện tích hình chiếu Cho đa giác H nằm trong mặt phẳng   có α diện tích bằng S và đa giác H’ là hình chiếu vuông góc của đa giác H trên mặt phẳng    . H Khi đó diện tích S ' của H’ được tính theo công thức: S '  S.cos S'  cos   . S với  là góc giữa   và    . H' β Phương pháp xác định hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng   : Bước 1: Dựng  P  chứa điểm A và P vuông góc với   . A Bước 2: Xác định giao tuyến    P     . Δ Bước 3: Kẻ AH   tại H . Khi đó H H là hình chiếu của A trên   . α Xét các bài toán sau đây: 13
Bài toán 1. Cho hình hộp ABCD. A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình thoi, AB  a , góc ABC  600 , B1 A   ABCD  . Góc giữa B1C và  ABCD  bằng  sao cho 1 cot   . Gọi M là trung điểm của CC1 . Tính góc giữa hai mặt phẳng  BA1M  2 và  A1B1C1D1  ? Phân tích:    Đặt    BA1M  ,  A1B1C1 A1    BA1M  ,  ABCD   . Dễ dàng nhận thấy  ABB1 A1  ,  CDD1C1  A1 D1 cùng vuông góc với  ABCD  nên ta xác B1 định được hình chiếu vuông góc của B , C1 A1 , M trên  ABCD  . Từ đó ta giải quyết bài toán theo hướng sử dụng công thức N diện tích hình chiếu. M Tuy nhiên, nếu ta xác định hình chiếu của A A1 trên mặt phẳng  ABCD  thì cách dựng D H và tính góc sẽ phức tạp. B C Gọi N  B1 A  BA1  N   BA1M  , mà hình chiếu của N trên mặt phẳng  ABCD  chính là điểm A . Từ đó, thay vì xác định hình chiếu của tam giác BA1M thì ta sẽ xác định hình chiếu của tam giác BNM thì bài toán trở nên nhẹ nhàng hơn. Sau đây là lời giải của bài toán. Giải. Gọi N là giao điểm của B1 A và BA1  NA   ABCD  . 1     Đặt    BA1M  ,  A1B1C1 A1    BNM  ,  ABCD  .  MH / / C1D  Gọi H là trung điểm của CD , ta có: C1D / / B1 A  MH   ABCD  .  2  B A  ABCD  1   Từ 1 ,  2  , suy ra hình chiếu vuông góc của tam giác BNM lên mặt phẳng  ABCD  là tam giác BAH . SABH Vậy cos   . SBMN 14
a 3 a2 3 Tam giác ABH vuông tại A có AB  a , AH   SABH  . 2 4  AH  AB Vì   AH   ABN  . Mà tứ giác AHMN là hình chữ nhật nên:  AH  AN MN   ABN   MN  BN , tức là tam giác BMN vuông tại N . a 3 AC 1 Ta có: MN  AH  , tam giác B1 AC vuông tại A  cot    2 AB1 2 1 a2 6  AB1  2a  AN  a  BN  a 2  SBMN  MN .BN  2 4 SABH 1  cos      45 . SBMN 2 Bài toán 2. Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC vuông tại A , AB  6 , AC  8 . Tam giác BCD có độ dài đường cao kẻ từ C bằng 8. Mặt phẳng  BCD  vuông góc với mặt phẳng  ABC  . Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng  ABD  và  BCD  Phân tích:  ABC    BCD   D Theo giả thiết ta có:   ABC    BCD   BC  K  hình chiếu vuông góc của A trên  BCD  là điểm I thuộc BC sao cho AI  BC . H Vậy từ đây ta hướng tới phương pháp tính góc giữa C B I hai mặt phẳng bằng công thức: 8 6 SIBD cos   A SABD Tuy nhiên, với giả thiết d  C, BD   8 thì chúng ta nên tính góc giữa hai mặt phẳng S theo công thức: cos   IBK SABK Giải Trong tam giác ABC vuông tại A , kẻ đường cao AI .  BCD    ABC   Vì  BCD    ABC   BC  AI   BCD   I là hình chiếu của A lên  BCD  .  AI  BC  15
+) Ta có:    ABD, BCD   ABK , IBK  và cos  SS IBK ABK . AB. AC 24 AB 2 18 +) BC  AB 2  AC 2  10 , AI   , BI   , BC 5 BC 5 CK 4 1 216 BK  BC 2  CK 2  6 , sin CBK    S KBI  BK .BI .sin KBI  . BC 5 2 25 3 24 cos CBK  1  sin 2 CBK   IK  BI 2  BK 2  2BI .BK .cos KBI  5 5 24 2  AK  IK 2  IA2  . 5 Tam giác ABK có BK  BA  6  ABK cân tại B AK 2 6 17 1 72 34  BH  BK 2    S ABK  BH . AK  4 5 2 25 SIBK 3  cos    . SABK 34 Bài toán 3. Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' có cạnh bằng a . Trên các cạnh AB , CC ' , D ' A ' lấy M , N , P sao cho AM  CN  D ' P  x . Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng  MNP  và  ABCD  . Tính cos . Phân tích: Do P , N thuộc các cạnh của hình lập A' D' P phương nên ta dễ dàng xác định được hình chiếu vuông góc của chúng trên B'  ABCD  . C' Từ đây, chúng ta nghĩ đến công thức hình chiếu để tính góc giữa hai mặt N S' phẳng: cos   . A SMNP D M H B C Giải Kẻ PH  AD  MCH là hình chiếu của MNP trên mặt phẳng  ABCD  . SMCH Ta có: cos   SMNP 16
+) MC  BC 2  BM 2  a 2   a  x  2  MN  MC 2  CN 2  a 2   a  x   x 2 Tương tự, ta tính được NP  MP 2  a2   a  x   x2 2 a2   a  x   x2 2  MNP là tam giác đều cạnh bằng  SMNP   a 2  x2   a  x  2  3  a 2  ax  x 2  3 4 2 a 2  ax  x 2 S 3 Ta có SMCH  S ABCD  SMBC  S AMH   cos   MCH  2 SMNP 3 Một số bài tập áp dụng: Bài 1. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB  1, AD  2 . Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA  5 . Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng  SAB  và  SBD  . Bài 2. (Sở Bình Phƣớc – 2020) Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giác cân đỉnh A . Biết BC  a 3 và ABC  30 , cạnh bên AA '  a . Gọi M là điểm thỏa mãn 2CM  3CC ' . Gọi  là góc tạo bởi hai mặt phẳng  ABC  và  AB ' M  . Tính sin  . Phương pháp 4: Sử dụng khoảng cách Cho hai mặt phẳng        d . Từ điểm β M    , dựng MK  d , AH     . Vì MH      MH  d  d   MHK   d  KH . H   Do đó     ,      MK , MH   MKH MH d  M ,     Khi đó, sin    φ MK d M ,d  M K α d Lƣu ý: Dựa vào công thức trên, việc lựa chọn điểm M là điểm mấu chốt của phương pháp này. Như vậy, bài toán tính góc giữa hai mặt phẳng ta quy về bài toán tính khoảng cách giữa điểm đến mặt phẳng, khoảng cách từ điểm đến đường thẳng. 17