Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Sáng tạo các bài toán góc trong không gian trên các mô hình hình học

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:62

Thêm vào BST

Báo xấu

22
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu sáng kiến nhằm nghiên cứu các tính chất hình học không gian tổng hợp để sáng tạo các bài toán xác định góc và tính góc trong không gian; Tạo ra hệ thống bài tập theo chủ đề nhằm rèn luyện năng lực mô hình hóa toán học cho người học và đáp ứng với chương trình dạy, học hiện hành.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Sáng tạo các bài toán góc trong không gian trên các mô hình hình học

Mục lục PHẦN I. MỞ ĐẦU .................................................................................................. 3 1.2. Mục đích và nhiệm vụ của đề tài ....................................................................... 3 1.3. Mục tiêu của đề tài ............................................................................................. 3 1.4. Tính mới và sáng tạo của đề tài.......................................................................... 4 1.5. Đối tượng nghiên cứu......................................................................................... 4 1.6. Giới hạn của đề tài.............................................................................................. 4 1.7. Phương pháp nghiên cứu .................................................................................... 4 1.8. Bố cục của đề tài SKKN .................................................................................... 4 PHẦN II. NỘI DUNG ĐỀ TÀI .............................................................................. 5 Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN .................................................. 5 1.1 Sơ lược vấn đề nghiên cứu .................................................................................. 5 1.2. Cơ sở lý luận ...................................................................................................... 5 1.3. Cơ sở thực tiễn ................................................................................................... 6 1.4. Hình thành giả thiết khoa học và đề xuất giải pháp ........................................... 7 Chương 2. SÁNG TẠO CÁC BÀI TOÁN GÓC TRONG KHÔNG GIAN TRÊN CÁC MÔ HÌNH HÌNH HỌC................................................................... 10 2.1. Một số kiến thức cơ bản ................................................................................... 10 2.2. Phân tích các bài toán xác định và tính góc trong chương trình hiện hành. .... 10 2.3. Xây dựng hệ thống các mô hình hình học sử dụng trong đề tài ...................... 14 2.3.1. Mô hình tứ diện ............................................................................................. 14 2.3.2. Mô hình hình chóp tứ giác ............................................................................ 16 2.3.3. Mô hình hình lăng trụ .................................................................................... 17 2.4. Sáng tạo các bài toán góc trong không gian trên các mô hình hình học.......... 18 2.4.1. Bài toán xác định và tính góc giữa hai đường thẳng..................................... 18 2.4.1.1. Phương pháp tính góc giữa hai đường thẳng ............................................. 18 1) Tính theo Vec-tơ ................................................................................................. 18 2) Tính theo định nghĩa ........................................................................................... 18 2.4.1.2 Sáng tạo bài toán góc giữa hai đường thẳng trên mô hình hình học........... 19 a) Sáng tạo bài toán tính góc trong mô hình tứ diện ............................................... 19 b) Sáng tạo bài toán tính góc trong mô hình hình chóp tứ giác .............................. 23 1
c) Sáng tạo bài toán tính góc trong mô hình lăng trụ .............................................. 24 2.4.2. Bài toán xác định và tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng .................... 27 2.4.2.1. Phương pháp tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng ............................ 27 1) Tính theo định nghĩa ........................................................................................... 27 2) Tính theo khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .................................................. 27 2.4.2.2. Sáng tạo bài toán góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trên mô hình hình học ........................................................................................................................... 27 a) Sáng tạo bài toán tính góc trong mô hình tứ diện ............................................... 27 b) Sáng tạo bài toán tính góc trong mô hình hình chóp tứ giác .............................. 32 c) Sáng tạo bài toán tính góc trong mô hình lăng trụ .............................................. 35 2.4.3. Bài toán xác định và tính góc giữa hai mặt phẳng ........................................ 37 2.4.3.1. Phương pháp tính góc giữa hai mặt phẳng................................................. 37 1) Tính theo định nghĩa ........................................................................................... 37 2) Tính góc dựa vào giao tuyến hai mặt phẳng cắt nhau ........................................ 38 3) Tính theo công thức hình chiếu .......................................................................... 38 2.4.3.2. Sáng tạo bài toán góc giữa hai mặt phẳng trên mô hình hình học ............. 38 a) Sáng tạo bài toán tính góc trong mô hình tứ diện ............................................... 38 b) Sáng tạo bài toán tính góc trong mô hình hình chóp tứ giác .............................. 40 c) Sáng tạo bài toán tính góc trong mô hình lăng trụ .............................................. 42 Chương 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ............................................................ 45 3.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm ....................................................................... 45 3.2. Đối tượng thực nghiệm .................................................................................... 45 3.3. Tiến hành thực nghiệm..................................................................................... 45 PHẦN III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ........................................................... 51 1. Quá trình nghiên cứu ........................................................................................... 51 2. Ý nghĩa của đề tài ................................................................................................ 52 3. Kiến nghị ............................................................................................................. 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................... 53 2
PHẦN I. MỞ ĐẦU 1.1. Lí do chọn đề tài Trong quá trình dạy học, mỗi giáo viên chúng ta đều nhận thấy được phần hình học không gian đối với học sinh là phần học khó. Cái khó ở đây không chỉ nằm ở mức độ trừu tượng của kiến thức mà còn ở phương pháp dạy học của giáo viên và mức độ chăm chỉ rèn luyện của học sinh. Đặc biệt đối với chương trình hình học lớp 11, dạng bài tập xác định góc và tính góc trong không gian làm cho học sinh dễ chán nản và mất hứng thú trong quá trình học cũng như giáo viên khó khăn khi thực hiện các phương pháp dạy học. Để thay đổi mức độ trừu tượng của các bài toán giúp học sinh dễ tiếp cận hơn với kiến thức và giúp giáo viên triển khai mạch kiến thức tốt hơn cần có một hệ thống bài tập và đường lối kiến tạo nên hệ thống đó một cách cụ thể xâu chuỗi được tư duy của người dạy và người học với mạch kiến thức, kĩ năng cần đạt. Theo chương trình GDPT 2018, năm học 2023-2024 sẽ thực hiện chương trình sách giáo khoa mới cho lớp 11, bên cạnh những nội dung về thay đổi phương pháp dạy và học, thay đổi hình thức kiểm tra đánh giá thì đề tài muốn hướng đến những nội dung mà chương trình lớp 11 cũ chưa thể hiện được vai trò phát huy năng lực của người học. Một trong những năng lực thể hiện nhất trong khi dạy học hình học không gian là năng lực mô hình hóa. Việc cho học sinh hiểu được mô hình của các bài toán và giải quyết được vấn đề đặt ra cho mô hình đó là một thành công của người giáo viên và cũng đồng nghĩa với năng lực mô hình hóa của các em được hình thành. Với những lí do trên tác giả chọn đề tài SKKN: “Sáng tạo các bài toán góc trong không gian trên các mô hình hình học”. 1.2. Mục đích và nhiệm vụ của đề tài +) Nghiên cứu cơ sở lý luận về tư duy sáng tạo. +) Nghiên cứu các tính chất hình học không gian tổng hợp để sáng tạo các bài toán xác định góc và tính góc trong không gian. +) Tạo ra hệ thống bài tập theo chủ đề nhằm rèn luyện năng lực mô hình hóa toán học cho người học và đáp ứng với chương trình dạy, học hiện hành. 1.3. Mục tiêu của đề tài +) Xây dựng và sáng tạo các phương pháp tính đơn giản, hiệu quả hơn. +) Giảm bớt mức độ trừu tượng của lớp bài toán để rèn luyện tư duy cho học sinh. +) Hình thành các bài toán tương tự, các bài toán mới, đưa vào bài toán thực tế. 3
1.4. Tính mới và sáng tạo của đề tài +) Xây dựng được các bài toán mới về xác định và tính góc trong mô hình hình học, khái quát hóa các phương pháp khi thay đổi các yếu tố của giả thiết trong mô hình. +) Đưa các bài toán trên lí thuyết lồng vào thực tế để học sinh trải nghiệm tính hiệu quả của các phương pháp từ đó phát triển được các năng lực mô hình hóa, năng lực tính toán và các kĩ năng quan sát, phán đoán, nhận xét. 1.5. Đối tượng nghiên cứu Quá trình dạy học các nội dung Hình Học 11 – phần quan hệ vuông góc trong không gian. 1.6. Giới hạn của đề tài Đề tài tập trung và nghiên cứu các tính chất hình học từ đó đưa ra phương án xác định và tính góc trong các mô hình hình học. 1.7. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lí luận, điều tra quan sát, thực nghiệm sư phạm. 1.8. Bố cục của đề tài SKKN Ngoài phần mở đầu, phần kết luận và tài liệu tham khảo, đề tài được trình bày trong 3 chương. Chương 1. Cở sở lí luận và thực tiễn. Chương 2. Sáng tạo các bài toán góc trong không gian trên các mô hình hình học . Chương 3. Thực nghiệm sư phạm. Phụ lục: Hướng dẫn học sinh thực hành đo góc trong thực tế. Một số kí hiệu thường dùng Kí hiệu Tên gọi ( a, b ) Góc giữa hai đường thẳng a và b ( a , ( ) ) Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng ( ) ( ( ) , (  ) ) Góc giữa hai mặt phẳng ( ) và (  ) 4
PHẦN II. NỘI DUNG ĐỀ TÀI Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Sơ lược vấn đề nghiên cứu Chúng ta biết rằng trong hình học không gian, có rất nhiều loại hình được nghiên cứu và giảng dạy cho học sinh, tuy nhiên mỗi một lớp hình đều có những tính chất chung và tính chất riêng mà học sinh cần hiểu được, mô tả được và vận dụng được khi giải các bài toán hình học không gian. Trong các loại hình mà chương trình phồ thông thường sử dụng và hướng đến việc giảng dạy cho học sinh là hình tứ diện (hình có bốn mặt), hình chóp tứ giác (có năm mặt), hình lăng trụ, gọi chung là mô hình hình học. Với học sinh, bài toán tính góc trên các mô hình hình học này là bài toán khó, khó ở đặc điểm về mặt tư duy và tưởng tượng, khó cả về mặt đường lối, phương pháp giải. Với giáo viên, khi học sinh thường không ham học thì lại càng ít đào sâu, tìm ra cái mới, cái phù hợp với đối tượng học sinh dẫn đến một phần kiến thức quan trọng bị bỏ qua đối với chương trình. Và thực tế hơn nữa một bộ phận không nhỏ giáo viên chỉ chăm chú vào việc lấy bài tập từ các tài liệu tham khảo để đọc cho học sinh giải mà quên mất rằng các tài liệu này được viết rất lâu, viết bởi các thầy cô có trình độ chuyên môn cao, phù hợp với đối tượng học sinh khá giỏi nên các bài toán không hề gần gũi với đối tượng học sinh vì mức độ tính toán và vận dụng kiến thức hết sức phức tạp của nó. Để khắc phục nhược điểm này, đề tài hướng đến việc sáng tạo ra tính toán tỉ mỉ các góc giữa các đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng, giữa các mặt phẳng với nhau trên các hình tứ diện, hình chóp tứ giác, hình lăng trụ hay gọi là các đối tượng đường và mặt trên các mô hình tứ diện, mô hình hình chóp tứ giác, mô hình hình lăng trụ. 1.2. Cơ sở lý luận Theo chương trình SGK cũ (hiện đang dùng cho lớp 11), bài toán tính góc trong không gian có đưa vào các định, các định lí liên quan nhưng lại không có bài tập áp dụng sau mỗi bài học. Các bài toán góc này được nêu ra trong phần lí thuyết ở ba bài học của chương 3 trong quan hệ vuông góc, với các định nghĩa góc giữa hai đường thẳng trong không gian, giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, giữa hai mặt phẳng trong không gian và sau mỗi định nghĩa này sách giáo khoa chỉ đưa ra một ví dụ để áp dụng. Như vậy có thể nói rằng chương trình đang rất hạn chế và chưa thực sự phát triển cho học sinh kĩ năng và năng lực tính góc trong không gian. Theo chương trình SGK mới (chương trình THPT 2018), bài toán tính góc đã được chú trọng hơn. Qua việc đánh giá sách mới, chúng tôi nhận thấy sách giáo khoa đã đưa ra các bài toán tính góc cụ thể trên các mô hình hình học và còn vận dụng vào giải các bài toán tính góc thực tế. Đó là vì chương trình mới đã hướng đến việc phát triển năng lực tính toán, mô hình hóa cho học sinh. Với việc chương trình mới hướng đến việc hình thành năng lực tính góc trong không gian, đề tài xây dựng nhằm đón đầu nội dung chương trình, tạo nên hệ thống bài tập mà ở đó học 5
sinh hiểu được, làm được, vận dụng được các tính chất trên các mô hình hình học để tính được góc giữa các đối tượng của mô hình đó. 1.3. Cơ sở thực tiễn Để xác định cơ sở thực tiễn của đề tài, chúng tôi tiến hành khảo sát đối với học sinh và giáo viên trực tiếp giảng dạy chủ đề góc trong không gian. Để xác định thực trạng của việc học bài toán góc trong không gian của học sinh, chúng tôi thực hiện việc kiểm tra mức độ thường xuyên đối với việc giảng dạy, hệ thống hóa các kiến thức và phương pháp, xây dựng các bài toán mới nhưng quen thuộc trên các mô hình hình học, chúng tôi tiến hành khảo sát 50 học sinh mà mình không trực tiếp giảng dạy, kết quả thu được như sau: Bảng 1: Kết quả thăm dò học sinh khi học bài toán tính góc trong không gian TT Nội dung Không Thường xuyên thường xuyên SL TL SL TL 1 Thầy cô có thường xuyên dạy bài toán 30 60% 20 40% tính góc trong không gian cho học sinh? 2 Thầy cô có hệ thống lại kiến thức và nêu ra các phương pháp giải cho học sinh tính 26 52% 24 48% góc cho học sinh không? 3 Thầy cô có chia bài toán tính góc thành các dạng toán trên các mô hình tứ diện, 39 78% 11 22% chóp tứ giác, lăng trụ riêng biệt không? 4 Thầy cô có chỉ rõ cách xác định và tính góc cụ thể giữa các đối tượng cạnh và 35 70% 15 30% mặt trong các mô hình không? Phân tích: Kết quả hàng 1 chứng tỏ rằng học sinh cảm nhận việc học phần tính góc đang còn ít, thầy cô vẫn chưa thường xuyên cho các em làm bài tập về xác định và tính góc nên tỷ lệ thường xuyên thập hơn. Kết quả hàng 2 thấy rằng ngang nhau, như vậy có một nửa số giáo viên vẫn chưa hệ thống lại cho các em các phương pháp để tính góc, hay là chia ra quy trình bước 1 cần làm gì, bước 2 cần làm gì,…. Kết quả ở hàng thứ 3 đánh giá rằng, thầy cô vẫn chưa hệ thống theo mô hình, các bài tập vẫn đang chung chung và không rõ ràng cho học sinh nên tỷ lệ học sinh hình dung được hệ thống chỉ khoảng 1/5 trên tổng số điều tra. Kết quả hàng thứ 4 thấy được thực trạng học sinh không được rèn luyện các bài toán quen thuộc trên những mô hình nhất định, khi gặp tính huống như thế nên xử lí như thế nào. Đánh giá chung chúng tôi thấy cần phải hệ thống lại phương pháp, hệ thống lại mô hình và tạo ra các bài toán lạ mà quen trên các mô hình hình học. Bên cạnh việc xác định thực trạng trên đối tượng học sinh, chúng tôi tiến hành xác định thực trạng trên đối tượng là giáo viên, những người trực tiếp giảng dạy cho các em phần xác định và tính góc trong không gian thông qua việc kiểm 6
chứng mức độ thường xuyên của việc dạy bằng cách tạo bảng hỏi đối với 20 giáo viên. Nội dung hướng đến vấn đề giáo viên có thường xuyên dạy bài toán xác định và tính góc, có thường xuyên thay đổi phương pháp dạy học, sáng tạo ra các bài toán mới, phân ra trên các mô hình hình học, kết quả thu được như sau: Bảng 2: Thực trạng của giáo viên khi bài toán góc trong không gian TT Nội dung Không thường Thường xuyên xuyên 1 Thầy cô có thường xuyên dạy bài toán 13 65% 7 35% góc cho học sinh không? 2 Thầy cô có thường xuyên sử dụng các phương pháp dạy học tích cực để phát 11 55% 9 45% triển các năng lực xác định và tính góc cho học sinh không? 3 Thầy cô có tự mình sáng tạo ra các bài 6 30% 14 70% toán tính góc trong không gian không? 4 Thầy cô có phân ra các dạng bài toán góc trên các mô hình hình hình học cụ 8 40% 12 60% thể không? 5 Thầy cô có làm rõ các bài toán tính góc trên các đối tượng cụ thể trong các mô 7 35% 13 65% hình không? Phân tích: Ở hàng 1 kết quả thấy được tỉ lệ 65-35, điều đó có thể thấy rằng đa số giáo viên vẫn chưa chú trọng vào bài toán tính góc trong không gian khi học phần quan hệ vuông góc, có thể do giáo viên chú trọng việc chứng minh vuông góc hơn, hoặc ứng dụng khác ngoài ứng dụng tính góc như thiết diện, tỷ số. Ở hàng thứ 2 có thể thấy việc sử dụng các phương pháp dạy học đối với phần tính góc nói riêng và phần hình học không gian nói chúng đang còn ít, nhất là đối với giáo viên đang thực hiện chương trình cũ. Đặc biệt các hàng thứ 3, 4, 5, nhiều giáo viên vẫn chưa chú trọng đến việc tạo ra các bài toán phù hợp với đối tượng học sinh, chưa đưa ra những bài toán cụ thể trên các mô hình và làm rõ các bài toán tính góc giữa các đối tượng trong mô hình hình học, như thế mỗi bài toán các em học sẽ cảm giác xa lạ, ít quen thuộc, kiến thức ít được xâu chuỗi, hệ thống lại và dẫn đến làm tăng độ khó của chủ đề. Như vậy việc tìm ra các giải pháp để khắc phục cần sự cấp thiết và tính khả thi để nâng cao chất lượng dạy và học, đây cũng chính là nội dung mà đề tài đang hướng đến. 1.4. Hình thành giả thiết khoa học và đề xuất giải pháp Trên cơ sở thực trạng của dạy học phần góc trong không gian như đã nêu, chúng tôi đề xuất xây dựng các mô hình toán học trong không gian để giáo viên và học sinh hình thành các định hướng và tiếp cận nội dung một cách dễ dàng hơn. Thay vì khi nói chung chung về hình không gian, chúng tôi đề cập đến các mô hình 7
hình tứ diện, hình chóp tứ giác, hình lăng trụ, đây là các mô hình thường gặp khi giải toán với các bài toán tính góc theo định hướng các giải pháp sau: Giải pháp 1: Sáng tạo các bài toán tính góc trên mô hình tứ diện Mô hình tứ diện là hình gồm bốn mặt, đặc điểm của mô hình này là số mặt ít nhất và học sinh được tiếp cận sớm nhất khi học sinh mới bắt đầu chương trình hình học không gian. Trên mô hình này, chúng tôi tiến hành cho học sinh xác định và tính góc với tứ diện đều có tất cả các mặt là tam giác đều, tất cả các cạnh bằng nhau, sau đó lần lượt thay đổi độ dài các cạnh để tạo thành các tứ diện bất kì. Một mô hình tứ diện thứ 2 là mô hình tứ diện có một cạnh vuông góc với một mặt, thường chúng ta hay nói là hình chóp tam giác có một cạnh bên vuông góc với mặt đáy, sau đó thay đổi tính chất vuông góc để tạo ra các mô hình tiếp theo như hình chóp có mặt bên vuông góc với mặt đáy, hình chóp tam giác đều… Với việc tạo ra các bài toán trên các mô hình tứ diện này, chúng ta đã luyện tập thành công cho học sinh phương pháp xác định và tính góc. Giải pháp 2: Sáng tạo các bài toán tính góc trên mô hình hình chóp tứ giác Hai đối tường hình học mà học sinh đã quen thuộc từ cấp hai là tam giác và tứ giác. Đối với tứ giác, các hình có nhiều tính chất đặc biệt, mỗi tính chất đặc biệt tạo ra một loại hình như tứ giác khi có một cặp cạnh đối song song ta thu được hình thang, khi có hai cặp cạnh đối song song ta thu được hình bình hành, tương tự như thế cho sự tạo thành của các hình chữ nhật, hình thoi và hình vuông. Bởi vậy giải pháp tứ hai mà đề tài muốn đề cập đến là xác định tính góc trên mô hình hình chóp tứ giác bởi những tính chất đẹp của chúng bằng việc sáng tạo ra các bài toán tính góc phù hợp, dẫn dắt được đối tượng học sinh. Giải pháp 3: Sáng tạo bài toán tính góc trên mô hình hình lăng trụ Lăng trụ chương trình hình học không gian hướng đến là lăng trụ tam giác và lăng trụ tứ giác, trong lăng trụ tứ giác khi đáy là các hình đặc biệt như hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, chúng ta thu được các hình hộp, khi các cạnh bên vuông góc với mặt đáy ta thu được các hình hộp chữ nhật, hình lập phương, đó chính là các mô hình quen thuộc trong thực tế, bởi vậy giải pháp thứ ba đề tài hướng đến là tính góc trong mô hình lăng trụ với việc sáng tạo các bài toán tính góc đơn giản giữa đối tượng đường và mặt. Tính cấp thiết của các giải pháp Để xác định tính cấp thiết của đề tài, chúng tôi tiến hành làm phiếu khảo sát đối với 30 giáo viên môn toán bằng phần mềm Google Form qua link https://forms.gle/wr7ZhduBfsbUg6mq7 và xử lí các số liệu bằng bảng tính Excel, chúng tôi thu được kết quả như sau: Phiếu khảo sát tính cấp thiết của các giải pháp đưa ra (M1: Không cấp thiết, M2: Ít cấp thiết, M3: Cấp thiết, M4: Rất cấp thiết) 8
TT Các giải pháp Thang đánh giá các giải Các thông số pháp M1 M2 M3 M4 X Mức 1 Sáng tạo bài toán tính góc trong mô hình tứ 1 0 12 17 3.5 4 diện 2 Sáng bài toán tính góc trong mô hình chóp tứ 1 0 10 19 3.56 4 giác 3 Sáng tạo bài toán tính góc trong mô hình lăng 1 1 10 18 3.5 4 trụ Trung bình 3.52 4 Tính khả thi của giải pháp Cũng bằng khảo sát với 30 giáo viên trên, chúng tôi thu được kết quả tính khả thi: Phiếu khảo sát tính khả thi của các giải pháp đưa ra (M1: Không khả thi, M2: Ít khả thi, M3: Khả thi, M4: Rất khả thi) TT Các giải pháp Thang đánh giá các giải Các thông số pháp M1 M2 M3 M4 X Mức 1 Sáng tạo bài toán tính góc trong mô hình tứ 1 0 13 16 3.46 3 diện 2 Sáng bài toán tính góc trong mô hình chóp tứ 1 0 8 21 3.63 4 giác 3 Sáng tạo bài toán tính góc trong mô hình lăng 1 0 9 20 3.6 4 trụ Trung bình 3.56 4 Thông qua việc khảo sát tính cấp thiết và tính khả thi đã thu được, chúng tôi tiến hành xây dựng nội dung đề tài theo các giải pháp đã đưa ra. Kết luận chương 1: Trong chương 1, đề tài đã nêu ra được thực trạng của vấn đề cần nghiên cứu, từ cơ sở lí luận đến cơ sở thực tiễn và từ đó định hướng ra các giải pháp để khắc phục những hạn chế đưa ra. Với việc dựa trên các số liệu điều tra, khảo sát đề tài đã đem đến một cách nhìn bao quát vấn đề cần giải quyết, những thiếu sót về phương pháp và cách thức tổ chức dạy học của đa số giáo viên, khó khăn của học sinh trong quá trình học chủ đề góc trong không gian và từ đó làm sáng tỏ tính cấp thiết và tính khả thi của các giải pháp nêu ra. 9
Chương 2. SÁNG TẠO CÁC BÀI TOÁN GÓC TRONG KHÔNG GIAN TRÊN CÁC MÔ HÌNH HÌNH HỌC 2.1. Một số kiến thức cơ bản 1) Góc giữa hai đường thẳng Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a ' và b ' cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a hai đường thẳng a và b b Nhận xét: b' +) 00  ( a, b )  900 ; ( a, b ) = 00  a, b song song hoặc a' O trùng nhau. +) Nếu a, b lần lượt là vec-tơ chỉ phương của hai đường thẳng a, b thì ( a, b ) = ( a, b ) nếu ( ) ( ) 00  a, b  900 và ( a, b ) = 1800 − a, b nếu 900  a, b  1800 ( ) 2) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Cho đường thẳng d và mặt a phẳng ( ) . Trường hợp d ⊥ ( ) ta nói S góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng ( ) bằng 900 . Trường hợp đường thẳng O d không vuông góc với ( ) thì góc giữa H d và hình chiếu d ' của nó trên ( ) gọi α là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng ( ) . 3) Góc giữa hai mặt phẳng Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt a b vuông góc với hai mặt phẳng đó. β α 2.2. Phân tích các bài toán xác định và tính góc trong chương trình hiện hành. Sau đây, đề tài xin trích dẫn và phân tích một số bài toán về xác định và tính góc trong chương trình sách giáo khoa, trong các kì thi THPT Quốc gia, thi tốt nghiệp và thi học sinh giỏi tỉnh. 10
Bài toán 1: (Ví dụ 2-SGK HH 11 CB-Trang 96-Bài hai đường thẳng vuông góc) Cho hình chóp S. ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a và BC = a 2 . Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC . Phân tích: Đây là bài toán rất hay để bắt đầu chuyển từ nội dung tính góc giữa hai vec-tơ sang tính góc giữa hai đường thẳng. Sau đây tác giả xin trình bày ba cách giải quyết bài toán. Cách 1: Sử dụng phương pháp vec-tơ S Ta có: tam giác SAC đều nên ASC = 60 , tam 0 giác BSC có BC 2 = SB2 + SC 2 nên vuông tại S suy ra SB.SC = 0 . Do đó: C ( ) A AB.SC = SB − SA .SC = SB.SC − SA.SC 1 B = 0 − SA.SC.cos ASC = −a.a.cos 600 = − a 2 2 1 − a2 (  cos AB, SC = ) AB.SC AB.SC a.a 1 = 2 = −  AB, SC = 1200 . 2 ( ) Vậy góc giữa hai đường thẳng SC và AB bằng 600 . Cách 2: Sử dụng định nghĩa góc giữa hai đường thẳng. Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh S SA, AC , BC .  MN , NP lần lượt là đường trung bình của tam giác SAC và ABC . M  MN ∥ SC, NP∥ AB  ( AB, SC ) = ( MN , NP ) N C a 3 A Ta có: SAB = SAC  MB = MC = 2 P Xét tam giác MBC có  3a 2 3a 2  +  − 2a 2 ( MB 2 + MC 2 ) − BC 2 2 2.  B a2 =  4 4  MP 2 = = 4 4 4 a2 a2 a2 + − MN 2 + NP 2 − MP 2 4 4 4 =1 Áp dụng định lí cô-sin cho MBC có: cos MNP = = 2.MN .NP a2 2 2. 4 Vậy ( AB, SC ) = ( MN , NP ) = MNP = 600 . Cách 3. Sử dụng định nghĩa góc giữa hai đường thẳng. 11
Gọi D là đỉnh thứ tư của hình bình hành S ABCD . Khi đó AB∥ CD nên ( AB, SC ) = ( CD, SC ) . C Dễ thấy ABC là tam giác vuông cân tại A nên tứ giác ABCD là hình vuông cạnh A a , suy ra AD = a 2 . Lại có tam giác I D SBC vuông cân tại S nên 1 a 2 SI = BC = . B 2 2 1 Xét tam giác SAD có trung tuyến SI = AD nên tam giác SAD vuông tại S và 2 AD SA = nên cũng là tam giác vuông cân, do đó SD = SA = a  SCD đều. 2 Vậy ( AB, SC ) = ( CD, SC ) = SCD = 600 . Bài toán 2: (Trích đề HSG lớp 12 Tỉnh Nghệ An năm học 2022-2023) Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh BC = a , tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Khoảng cách từ điểm A đến mặt a phẳng ( SCD ) bằng và đường thẳng SC tạo với mặt phẳng ( ABCD ) một góc  , 2 1 với tan  = . Tính sin góc giữa đường thẳng SC với mặt phẳng ( SAD ) . 2 Lời giải Cách 1: Sử dụng khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Gọi H là trung điểm cạnh AB , tam giác S SAB cân tại S nên SH ⊥ AB ; ( SAB ) ⊥ ( ABCD )  SH ⊥ ( ABCD ) . Ta có AB ∥ ( SCD )  d ( A, ( SCD ) ) = d ( AB, ( SCD ) ) = d ( H , ( SCD ) ) . K Kẻ HF ⊥ CD tại F  CD ⊥ ( SHF ) . Kẻ N E HK ⊥ SF tại K  HK ⊥ ( SCD ) I D A  d ( A, ( SCD ) ) = HK = a và H F 2 ( SC , ( ABCD ) ) = SCH =  . B M C 1 1 1 2 1 1 Xét tam giác vuông SHF có 2 = 2 + 2  2 = 2 + 2  SH = a . HK SH HF a SH a SH a Xét tam giác SHC có HC = = = a 2 , SC = SH 2 + HC 2 = 3a . tan  1 2 12
Xét tam giác vuông HBC có BH = HC 2 − BC 2 = a . d ( C , ( SAD ) ) Ta có: sin ( SC , ( SAD ) ) = (1) SC AD ⊥ AB, AD ⊥ SH  AD ⊥ ( SAB )  ( SAD ) ⊥ ( SAB ) . Kẻ HE ⊥ SA  HE ⊥ ( SAD )  d ( H , ( SAD ) ) = HE = SH .HA a.a a = = SH + HA 2 2 a +a 2 2 2 Gọi I là giao điểm của hai đường CH và AD . Dễ thấy CI = 2HI , từ đó ta có d ( C, ( SAD ) ) = 2d ( H , ( SAD ) ) = a 2 . Thay vào (1) ta được sin ( SC , ( SAD ) ) = a 2 6 = . a 3 3 Cách 2: Sử dụng định nghĩa góc giữa đường thẳng với mặt phẳng Gọi M , N lần lượt là trung điểm các t J S canh BC và SB của tam giác SBC , khi đó MN ∥ SC  ( SC , ( SAD ) ) = ( MN , ( SAD ) ) . Ta có AD∥ BC và S ( SAD )  ( SBC ) , suy K ra giao tuyến của ( SAD ) và ( SBC ) là N St ∥ BC . D A Theo kết quả trên: SH = BH = AH F  SAB vuông cân tại S  SB ⊥ SA H Lại có AD ⊥ ( SAB )  AD ⊥ SB B M C  SB ⊥ ( SAD )  NS ⊥ ( SAD ) . Trên ( SBC ) gọi J = MN  St , suy ra hình chiếu của MN lên ( SAD ) là SJ . ( SC , ( SAD ) ) = ( MN , ( SAD ) ) = NJS AB 2a a SN BN 6 NSJ = NBM ( g − g )  sin NSJ = = = 2 2 = 2 2 = 2 = . NJ MN AB 2 4a 2 a 2 3a 3 + BM 2 + 8 8 4 2 Vậy sin ( SC, ( SAD ) ) = 6 . 3 Bài toán 3: (Trích câu 33-mã đề 101-thi TN THPT năm 2022) Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AC = 2 , AB = 3 và AA = 1 (tham khảo hình bên). Góc giữa hai mặt phẳng ( ABC ) và ( ABC ) bằng 13
A. 300 . B. 450 . C. 900 . D. 600 . Lời giải Cách 1: Sử dụng cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau ( ABC )  ( ABC ) = BC A' C'   Ta có:  AB ⊥ BC tai B, AB  ( ABC ) ( Do BC ⊥ ( AABB ) )   AB ⊥ BC tai B, AB  ( ABC )  B' Suy ra góc giữa hai mặt phẳng ( ABC ) và ( ABC ) là góc ABA . A C Xét AAB vuông tại A ta có: AA 1 tan ABA = =  ABA = 300 . B AB 3 Vậy góc giữa hai mặt phẳng ( ABC ) và ( ABC ) là 300 . Cách 2: Sử dụng công thức hình chiếu ABC là hình chiếu của A ' BC trên mặt phẳng ( ABC ) , gọi  là góc giữa hai mặt S phẳng ( ABC ) và ( A ' BC ) . Ta có: SABC = SA' BC .cos   cos  = ABC . SA ' BC 1 3 Ta có BC = AC 2 − AB 2 = 1  SABC = AB.BC = . 2 2 1 A ' B = AA '2 + AB2 = 2 , A ' BC vuông tại B  SA ' BC = A ' B.BC = 1 2 SABC 3 Vậy cos  = =   = 300 . SA ' BC 2 Nhận xét mục 2.1: Qua ba bài toán trên chúng ta thấy rằng bài toán tính góc luôn hiện hữu trong các kì thi và đòi hỏi ở học sinh nhiều kĩ năng tính toán, phân tích, giải quyết vấn đề. Để làm được điều này cần phát triển cho học sinh năng lực tư duy, sáng tạo, tự giải quyết được bài bài toán có tính hệ thống, các kỹ năng xác định và tính góc trên các mô hình quen thuộc. Hình thành các năng lực thông qua rèn luyện các bài tập từ cơ bản đến nâng cao để chinh phục được các kì đánh giá năng lực. 2.3. Xây dựng hệ thống các mô hình hình học sử dụng trong đề tài 2.3.1. Mô hình tứ diện Mô hình tứ diện hiểu ở đây là hình tạo bởi bốn điểm không đồng phẳng ABCD gồm bốn tam giác ABC, ACD, ABD, BCD là bốn mặt của tứ diện. Để dễ dàng phát triển và sáng tạo các bài toán chúng tôi xuất phát từ hai mô hình đặc biệt: a) Xuất phát từ mô hình tứ diện đều 14
Tên mô hình Hình vẽ Tính chất Yếu tố thay đổi Tư diện đều A Các mặt là tam Mô hình khởi giác đều, các đầu a a cạnh bằng nhau a a B D a a C Tứ diện có 5 A Có hai mặt là tam Thay đổi độ dài cạnh bằng nhau giác đều, hai mặt một cạnh của a a còn lại là hai tam tứ diện đều a a giác bằng nhau. B D a b C Tư diện có 4 A Có hai cặp mặt, Thay đổi độ dài cạnh bằng nhau mỗi cặp mặt là hai cạnh b a hai tam giác bằng a nhau a B D a c C Tư diện có các A Bốn mặt của tứ Thay đổi độ dài cặp cạnh đối diện là bốn tam theo các cặp bằng nhau a c giác bằng nhau cạnh b b B D c a C Tứ diện có độ dài A Các mặt bên là Thay đổi độ dài 6 cạnh bất kì các tam giác bất cho các cạnh a c kì bất kì b f B D d e C b) Xuất phát từ mô hình tứ diện có một cạnh vuông góc với một mặt (có thể gọi là hình chóp tam giác) 15
Tên mô hình Hình vẽ Tính chất Yếu tố thay đổi Tứ diện có một A - AB ⊥ ( BCD ) Mô hình khởi cạnh vuông - Cạnh AB vuông góc đầu góc với một với tất cả các cạnh của mặt BCD D B - Hai mặt ABC và ABD là tam giác C vuông - Hình chiếu các cạnh AC, AD lên ( BCD ) là BC , BD Tứ diện có A - AH ⊥ ( BCD ) Thay đổi yếu hình chiếu một - ( ABC ) ⊥ ( BCD ) tố của một đỉnh nằm trên cạnh vuông - Hình chiếu vuông một cạnh D góc với một B góc của các cạnh mặt bằng hình AB, AC, AD lên đáy lần H chiếu của một C lượt là BH , CH , DH . đỉnh lên mặt đối diện nằm trên cạnh. Tứ diện có A - AO ⊥ ( BCD ) Thay đổi hình hình chiếu của - Hình chiếu của các chiếu của đỉnh một đỉnh nằm cạnh AB, AC, AD lên A từ một trong mặt đối điểm trên ( BCD ) lần lượt là D diện B O cạnh sang một OB, OC, OD . điểm trong C mặt BCD . 2.3.2. Mô hình hình chóp tứ giác Mô hình chóp tứ giác ở đây hiểu là đáy là tứ giác lồi ABCD và đỉnh là điểm S nằm ngoài mặt phẳng đáy cho chúng ta mô hình hình chóp tứ giác S. ABCD gồm năm mặt bao gồm mặt đáy ABCD và bốn mặt bên là SAB, SBC, SCD, SDA . Để dễ xây dựng và sáng tạo các bài toán, đề tài hướng đi từ các mô hình đặc biệt bao gồm: a) Xuất phát từ mô hình tứ chóp tứ giác đều: Tên mô hình Loại mô hình Tính chất Yếu tố thay đổi 16
Hình chóp S - Đáy ABCD là hình Mô hình khởi tứ giác đều vuông tâm O đầu - SO ⊥ ( ABCD ) - SA = SB = SC = SD A D - Các mặt bên là Thay đổi giả tam giác cân bằng thiết về mặt đáy O nhau - Đáy là hình B C - Góc giữa các cạnh chữ nhật bên và mặt đáy - Đáy là hình bằng nhau thoi - Góc giữa các mặt - Đáy là hình bên và mặt đáy bình hành bằng nhau Hình chóp S - Đáy ABCD là tứ - Thay đổi về tứ giác bất giác lồi đáy kì - Hình chiếu của - Thay đổi về đỉnh lên đáy là một hình chiếu A D điểm trong đáy O B C b) Xuất phát từ mô hình hình chóp tứ giác có một cạnh bên vuông góc với mặt đáy: Tên mô hình Loại mô hình Tính chất Yếu tố thay đổi Mô hình hình S - Đáy ABCD là hình Mô hình ban đầu chóp có cạnh vuông bên vuông góc - SA ⊥ ( ABCD ) Thay đổi hình mặt đáy - Mặt bên SAB, SAD dạng đáy để tạo A là các tam giác D thêm lớp bài toán vuông tương tự B C Mô hình hình S - Đáy ABCD là hình Thay đổi về hình chóp có hình vuông chiếu chiếu của đỉnh - Hình chiếu của lên đáy là A D đỉnh lên đáy là điểm điểm đặc biệt đặc biêt Thay đổi hình H - Mặt bên SAB, SAD dạng đáy để tạo B C là các tam giác lớp bài toán vuông tương tự 2.3.3. Mô hình hình lăng trụ Mô hình hình lăng trụ gồm hai đáy là hai đa giác bằng nhau, nằm trên hai mặt phẳng song song, các cạnh bên song song và bằng nhau, các mặt bên là các 17
hình bình hành. Đề tài lựa chọn hai mô hình quen thuộc nhất để phát triển đó là từ mô hình hình lập phương và mô hình lăng trụ tam giác đều. Tên mô hình Loại mô hình Giả thiết Yếu tố thay đổi Hình lập A Các mặt của hình lập Từ hình ban đầu, D phương phương đều là hình thay đổi độ dài B vuông, các cạnh bằng các cạnh để tạo C A' nhau D' nên hình hộp chữ nhật, thay đổi về B' C' góc để tạo nên hình hộp Lăng trụ tam A' Đáy là tam giác đều, C' Thay đổi về hình giác đều B' cạnh bên vuông góc dạng đáy, hình với mặt đáy chiếu của đỉnh để tạo nên các lăng A C trụ xiên. B Nhận xét mục 2.3: Qua mục 2.3 đề tài đã hệ thống được các mô hình hình học quen thuộc với các tính chất về cạnh và góc, đặc biệt là các tính chất có yếu tố vuông góc, các tính chất này là yếu tố then chốt cho việc tính góc giữa đường thẳng với mặt phẳng và giữa hai mặt phẳng với nhau. Bên cạnh đó việc làm quen trên mô hình lăng trụ giúp các em có liên kết giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc, bao giờ giải toán trên các mô hình này cũng phải để ý đến hai tính chất song song và vuông góc đi kèm với nhau, và điều đó cho các em một phản xạ hết sức tự nhiên. 2.4. Sáng tạo các bài toán góc trong không gian trên các mô hình hình học 2.4.1. Bài toán xác định và tính góc giữa hai đường thẳng 2.4.1.1. Phương pháp tính góc giữa hai đường thẳng 1) Tính theo Vec-tơ Trong không gian cho hai đường thẳng a và b có các vec-tơ chỉ phương tương ứng là ua , ub . Gọi  là góc giữa hai đường thẳng a và b . ua .ub Khi đó ta có: cos  = . ua . ub 2) Tính theo định nghĩa Theo định nghĩa góc giữa hai đường thẳng đã nêu ở mục 2.1, ta có các bước thực hiện như sau: Bước 1: Chọn điểm O (có thể chọn O nằm một trên hai đường thẳng a hoặc b ) 18
Bước 2: Dựng các đường thẳng a ' và b ' qua O lần lượt song song với hai đường thẳng a và b . Bước 3: Tính góc giữa a ' và b ' (thường gắn vào hai cạnh của một tam giác có thể tính được góc). 2.4.1.2 Sáng tạo bài toán góc giữa hai đường thẳng trên mô hình hình học a) Sáng tạo bài toán tính góc trong mô hình tứ diện Với ý tưởng xây dựng bài toán tính góc từ mô hình quen thuộc để học sinh dễ nắm bắt được phương pháp và cách thức giải toán, tác giả trình bày trên mô hình tứ diện đều với bài toán tính góc giữa các cặp cạnh đối nhau. Sau đó từ mô hình tứ diện đều lần lượt cho thay đổi độ dài các cạnh của tứ diện để tạo ra các mô hình tứ diện khác nhau. Đồng thời với việc thay đổi mô hình của tứ diện tác giả cũng yêu cầu thay đổi yêu cầu tính góc, thay vì tính góc giữa các cặp cạnh, nhiệm vụ của học sinh được giao được nâng dần lên thành tính góc giữa hai đường thẳng nào đó trong mô hình của tứ diện. Sau đây là một số bài toán cụ thể: Bài toán 1: Trong không gian cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD . Lời giải Cách 1: Sử dụng Vec-tơ A AB.CD Ta có: cos ( AB, CD ) = AB.CD ( AB.CD = AB. AD − AC ) B D = AB. AD − AB. AC = a.a.cos 60 − a.a.cos 60 = 0 . 0 0 Vậy cos ( AB, CD ) = 0  ( AB, CD ) = 900 . C Cách 2: Sử dụng định nghĩa Gọi M , N , P tương ứng là trung điểm các cạnh A AC, BC, BD . Ta có MN ∥ AB, NP∥ CD  ( AB, CD ) = ( MN , NP ) . AP, CP là đường cao của các tam giác đề nên M a 3 P AP = CP = . B D 2 Xét tam giác ACP có: N 2 3a 2 ( AP 2 + CP 2 ) − AC 2 2.2. 4 − a2 a2 MP 2 = = = . C 4 4 2 19
a2 a2 − 2. MN + NP − MP 2 2 2 Xét tam giác MNP có: cos MNP = = 4 2 = 0  MNP = 900 2.MN .NP a a 2. . 2 2 Vậy ( AB, CD ) = 900 . Nhận xét: Với cách 1, ý tưởng khi tính tính vô hướng AB.CD là đưa về chung gốc A nên dẫn đến việc phân tích CD thành hiệu AD − AC . Với cách 2, ý tưởng chuyển từ tính góc giữa hai đường thẳng chéo nhau về góc giữa hai đường thẳng trong một mặt phẳng và cụ thể là trong tam giác MNP mà có thể tính được góc thông qua các cạnh, sai lầm của học sinh có thể gặp với cách 2 là vội vàng kết luận góc giữa AB và CD là góc MNP . Ngoài các cách trên có thể trực tiếp đi chứng minh đường thẳng AB và CD vuông góc với nhau. Ở mô hình trên tứ diện đều thấy rằng tất cả các cạnh trong mô hình bằng nhau, góc giữa các cặp cạnh đối diện với nhau là bằng nhau, để phát triển bài toán, tác giả thay đổi độ dài một cạnh, khi đó chúng ta có bài toán sau: Bài toán 2: Trong không gian cho tứ diện ABCD có cạnh CD = b , các cạnh còn lại bằng nhau và bằng a . Tính góc giữa các đường thẳng a) AB và CD b) AD và BC Lời giải a) Với cách giải tương tự như bài toán 1, ta dễ dàng tính được góc giữa đường thẳng AB và CD bằng 900 . b) Cách 1: Sử dụng Vec-tơ AD.BC A Ta có: cos ( AD, BC ) = AD.BC ( AD.BC = AD. AC − AB ) a a = AD. AC − AD. AB = AD. AC.cos DAC − AD. AB.cos 600 a a a2 = a 2 .cos DAC − . B D 2 a Xét tam giác ACD có: b AD 2 + AC 2 − CD 2 a 2 + a 2 − b 2 2a 2 − b 2 cos DAC = = = . 2. AD. AC 2.a.a 2a 2 C 2a 2 − b 2 a 2 a 2 − b 2  AD.BC = a 2 . − = 2a 2 2 2 a 2 − b2 AD.BC 2 a 2 − b2 a 2 − b2  cos ( AD, BC ) = = = . Vậy ( AD, BC ) =  với cos  = . AD.BC a2 2a 2 2a 2 20