1
Mục lục
PHẦN I. MỞ ĐẦU .................................................................................................. 3
1.2. Mục đích và nhiệm vụ của đề tài ....................................................................... 3
1.3. Mục tiêu của đề tài ............................................................................................. 3
1.4. Tính mới và sáng tạo của đề tài.......................................................................... 4
1.5. Đối tượng nghiên cứu ......................................................................................... 4
1.6. Giới hạn của đề tài.............................................................................................. 4
1.7. Phương pháp nghiên cứu .................................................................................... 4
1.8. Bố cục của đề tài SKKN .................................................................................... 4
PHẦN II. NỘI DUNG ĐỀ TÀI .............................................................................. 5
Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN .................................................. 5
1.1 Sơ lược vấn đề nghiên cứu .................................................................................. 5
1.2. Cơ sở lý luận ...................................................................................................... 5
1.3. Cơ sở thực tiễn ................................................................................................... 6
1.4. Hình thành giả thiết khoa học và đề xuất giải pháp ........................................... 7
Chương 2. SÁNG TẠO CÁC BÀI TOÁN GÓC TRONG KHÔNG GIAN
TRÊN CÁC MÔ HÌNH HÌNH HỌC ................................................................... 10
2.1. Một số kiến thức cơ bản ................................................................................... 10
2.2. Phân tích các bài toán xác định và tính góc trong chương trình hiện hành. .... 10
2.3. Xây dựng hệ thống các mô hình hình học sử dụng trong đề tài ...................... 14
2.3.1. Mô hình tứ diện ............................................................................................. 14
2.3.2. Mô hình hình chóp tứ giác ............................................................................ 16
2.3.3. Mô hình hình lăng trụ .................................................................................... 17
2.4. Sáng tạo các bài toán góc trong không gian trên các mô hình hình học .......... 18
2.4.1. Bài toán xác định và tính góc giữa hai đường thẳng..................................... 18
2.4.1.1. Phương pháp tính góc giữa hai đường thẳng ............................................. 18
1) Tính theo Vec-tơ ................................................................................................. 18
2) Tính theo định nghĩa ........................................................................................... 18
2.4.1.2 Sáng tạo bài toán góc giữa hai đường thẳng trên mô hình hình học........... 19
a) Sáng tạo bài toán tính góc trong mô hình tứ diện ............................................... 19
b) Sáng tạo bài toán tính góc trong mô hình hình chóp tứ giác .............................. 23
2
c) Sáng tạo bài toán tính góc trong mô hình lăng trụ .............................................. 24
2.4.2. Bài toán xác định và tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng .................... 27
2.4.2.1. Phương pháp tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng ............................ 27
1) Tính theo định nghĩa ........................................................................................... 27
2) Tính theo khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .................................................. 27
2.4.2.2. Sáng tạo bài toán góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trên mô hình hình
học ........................................................................................................................... 27
a) Sáng tạo bài toán tính góc trong mô hình tứ diện ............................................... 27
b) Sáng tạo bài toán tính góc trong mô hình hình chóp tứ giác .............................. 32
c) Sáng tạo bài toán tính góc trong mô hình lăng trụ .............................................. 35
2.4.3. Bài toán xác định và tính góc giữa hai mặt phẳng ........................................ 37
2.4.3.1. Phương pháp tính góc giữa hai mặt phẳng ................................................. 37
1) Tính theo định nghĩa ........................................................................................... 37
2) Tính góc dựa vào giao tuyến hai mặt phẳng cắt nhau ........................................ 38
3) Tính theo công thức hình chiếu .......................................................................... 38
2.4.3.2. Sáng tạo bài toán góc giữa hai mặt phẳng trên mô hình hình học ............. 38
a) Sáng tạo bài toán tính góc trong mô hình tứ diện ............................................... 38
b) Sáng tạo bài toán tính góc trong mô hình hình chóp tứ giác .............................. 40
c) Sáng tạo bài toán tính góc trong mô hình lăng trụ .............................................. 42
Chương 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ............................................................ 45
3.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm ....................................................................... 45
3.2. Đối tượng thực nghiệm .................................................................................... 45
3.3. Tiến hành thực nghiệm ..................................................................................... 45
PHẦN III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ........................................................... 51
1. Quá trình nghiên cứu ........................................................................................... 51
2. Ý nghĩa của đề tài ................................................................................................ 52
3. Kiến nghị ............................................................................................................. 52
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................... 53
3
PHẦN I. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
Trong quá trình dạy học, mỗi giáo viên chúng ta đều nhận thấy được phần hình
học không gian đối với học sinh là phần học khó. Cái khó ở đây không chỉ nằm ở
mức độ trừu tượng của kiến thức mà còn ở phương pháp dạy học của giáo viên và
mức độ chăm chỉ rèn luyện của học sinh. Đặc biệt đối với chương trình hình học
lớp 11, dạng bài tập xác định góc và tính góc trong không gian làm cho học sinh dễ
chán nản và mất hứng thú trong quá trình học cũng như giáo viên khó khăn khi
thực hiện các phương pháp dạy học. Để thay đổi mức độ trừu tượng của các bài
toán giúp học sinh dễ tiếp cận hơn với kiến thức và giúp giáo viên triển khai mạch
kiến thức tốt hơn cần có một hệ thống bài tập và đường lối kiến tạo nên hệ thống
đó một cách cụ thể xâu chuỗi được tư duy của người dạy và người học với mạch
kiến thức, kĩ năng cần đạt.
Theo chương trình GDPT 2018, năm học 2023-2024 sẽ thực hiện chương trình
sách giáo khoa mới cho lớp 11, bên cạnh những nội dung về thay đổi phương pháp
dạy và học, thay đổi hình thức kiểm tra đánh giá thì đề tài muốn hướng đến những
nội dung mà chương trình lớp 11 cũ chưa thể hiện được vai trò phát huy năng lực
của người học. Một trong những năng lực thể hiện nhất trong khi dạy học hình học
không gian là năng lực mô hình hóa. Việc cho học sinh hiểu được mô hình của các
bài toán và giải quyết được vấn đề đặt ra cho mô hình đó là một thành công của
người giáo viên và cũng đồng nghĩa với năng lực mô hình hóa của các em được
hình thành.
Với những lí do trên tác giả chọn đề tài SKKN: “Sáng tạo các bài toán góc
trong không gian trên các mô hình hình học”.
1.2. Mục đích và nhiệm vụ của đề tài
+) Nghiên cứu cơ sở lý luận về tư duy sáng tạo.
+) Nghiên cứu các tính chất hình học không gian tổng hợp để sáng tạo các bài toán
xác định góc và tính góc trong không gian.
+) Tạo ra hệ thống bài tập theo chủ đề nhằm rèn luyện năng lực mô hình hóa toán
học cho người học và đáp ứng với chương trình dạy, học hiện hành.
1.3. Mục tiêu của đề tài
+) Xây dựng và sáng tạo các phương pháp tính đơn giản, hiệu quả hơn.
+) Giảm bớt mức độ trừu tượng của lớp bài toán để rèn luyện tư duy cho học
sinh.
+) Hình thành các bài toán tương tự, các bài toán mới, đưa vào bài toán thực
tế.
4
1.4. Tính mới và sáng tạo của đề tài
+) Xây dựng được các bài toán mới về xác định và tính góc trong mô hình
hình học, khái quát hóa các phương pháp khi thay đổi các yếu tố của giả thiết trong
mô hình.
+) Đưa các bài toán trên lí thuyết lồng vào thực tế để học sinh trải nghiệm tính
hiệu quả của các phương pháp từ đó phát triển được các năng lực mô hình hóa,
năng lực tính toán và các kĩ năng quan sát, phán đoán, nhận xét.
1.5. Đối tượng nghiên cứu
Quá trình dạy học các nội dung Hình Học 11 – phần quan hệ vuông góc trong
không gian.
1.6. Giới hạn của đề tài
Đề tài tập trung và nghiên cứu các tính chất hình học từ đó đưa ra phương án
xác định và tính góc trong các mô hình hình học.
1.7. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu lí luận, điều tra quan sát, thực nghiệm sư phạm.
1.8. Bố cục của đề tài SKKN
Ngoài phần mở đầu, phần kết luận và tài liệu tham khảo, đề tài được trình bày
trong 3 chương.
Chương 1. Cở sở lí luận và thực tiễn.
Chương 2. Sáng tạo các bài toán góc trong không gian trên các mô hình hình
học .
Chương 3. Thực nghiệm sư phạm.
Phụ lục: Hướng dẫn học sinh thực hành đo góc trong thực tế.
Một số kí hiệu thường dùng
Kí hiệu
Tên gọi
( )
,ab
Góc giữa hai đường thẳng
a
và
b
( )
( )
,a
Góc giữa đường thẳng
a
và mặt phẳng
( )
( ) ( )
( )
,

Góc giữa hai mặt phẳng
và
5
PHẦN II. NỘI DUNG ĐỀ TÀI
Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1 Sơ lược vấn đề nghiên cứu
Chúng ta biết rằng trong hình học không gian, có rất nhiều loại hình được
nghiên cứu và giảng dạy cho học sinh, tuy nhiên mỗi một lớp hình đều có những
tính chất chung và tính chất riêng mà học sinh cần hiểu được, mô tả được và vận
dụng được khi giải các bài toán hình học không gian. Trong các loại hình mà
chương trình phồ thông thường sử dụng và hướng đến việc giảng dạy cho học sinh
là hình tứ diện (hình có bốn mặt), hình chóp tứ giác (có năm mặt), hình lăng trụ,
gọi chung là mô hình hình học. Với học sinh, bài toán tính góc trên các mô hình
hình học này là bài toán khó, khó ở đặc điểm về mặt tư duy và tưởng tượng, khó cả
về mặt đường lối, phương pháp giải. Với giáo viên, khi học sinh thường không
ham học thì lại càng ít đào sâu, tìm ra cái mới, cái phù hợp với đối tượng học sinh
dẫn đến một phần kiến thức quan trọng bị bỏ qua đối với chương trình. Và thực tế
hơn nữa một bộ phận không nhỏ giáo viên chỉ chăm chú vào việc lấy bài tập từ các
tài liệu tham khảo để đọc cho học sinh giải mà quên mất rằng các tài liệu này được
viết rất lâu, viết bởi các thầy cô có trình độ chuyên môn cao, phù hợp với đối
tượng học sinh khá giỏi nên các bài toán không hề gần gũi với đối tượng học sinh
vì mức độ tính toán và vận dụng kiến thức hết sức phức tạp của nó. Để khắc phục
nhược điểm này, đề tài hướng đến việc sáng tạo ra tính toán tỉ mỉ các góc giữa các
đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng, giữa các mặt phẳng với nhau trên
các hình tứ diện, hình chóp tứ giác, hình lăng trụ hay gọi là các đối tượng đường và
mặt trên các mô hình tứ diện, mô hình hình chóp tứ giác, mô hình hình lăng trụ.
1.2. Cơ sở lý luận
Theo chương trình SGK cũ (hiện đang dùng cho lớp 11), bài toán tính góc
trong không gian có đưa vào các định, các định lí liên quan nhưng lại không có bài
tập áp dụng sau mỗi bài học. Các bài toán góc này được nêu ra trong phần lí thuyết
ở ba bài học của chương 3 trong quan hệ vuông góc, với các định nghĩa góc giữa
hai đường thẳng trong không gian, giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không
gian, giữa hai mặt phẳng trong không gian và sau mỗi định nghĩa này sách giáo
khoa chỉ đưa ra một ví dụ để áp dụng. Như vậy có thể nói rằng chương trình đang
rất hạn chế và chưa thực sự phát triển cho học sinh kĩ năng và năng lực tính góc
trong không gian.
Theo chương trình SGK mới (chương trình THPT 2018), bài toán tính góc
đã được chú trọng hơn. Qua việc đánh giá sách mới, chúng tôi nhận thấy sách giáo
khoa đã đưa ra các bài toán tính góc cụ thể trên các mô hình hình học và còn vận
dụng vào giải các bài toán tính góc thực tế. Đó là vì chương trình mới đã hướng
đến việc phát triển năng lực tính toán, mô hình hóa cho học sinh. Với việc chương
trình mới hướng đến việc hình thành năng lực tính góc trong không gian, đề tài xây
dựng nhằm đón đầu nội dung chương trình, tạo nên hệ thống bài tập mà ở đó học