Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Sử dụng phương pháp tương giao của hai đồ thị hàm số để tìm cực trị hàm số

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:43

Thêm vào BST

Báo xấu

1
lượt xem 0
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Sáng kiến "Sử dụng phương pháp tương giao của hai đồ thị hàm số để tìm cực trị hàm số" được hoàn thành với mục tiêu nhằm giúp học sinh có một cách giải mới về tìm số điểm cực trị hàm số. Hình thành kỹ năng giải và phát triển bài tập Toán học, từ đó chủ động khai thác cách giải khi làm bài tập có liên quan. Đặc biệt, các em học sinh khá có thể chinh phục đƣợc tối đa điểm về cực trị của hàm số.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Sử dụng phương pháp tương giao của hai đồ thị hàm số để tìm cực trị hàm số

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Tên đề tài: SỬ DỤNG PHƢƠNG PHÁP TƢƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ LĨNH VỰC : TOÁN HỌC
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƢỜNG THPT NGHI LỘC 5 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Tên đề tài: SỬ DỤNG PHƢƠNG PHÁP TƢƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ LĨNH VỰC : TOÁN HỌC Tên tác giả: Nguyễn Thị Ngọc Duyên - 0987 733 707 Nguyễn Đình Thƣởng - 0987 667 499 Tổ: Toán - Tin Năm học: 2023 - 2024
MỤC LỤC PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ ........................................................................................... 1 1. Lí do chọn đề tài .................................................................................................... 1 2. Mục đích nghiên cứu ............................................................................................. 1 3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu ......................................................................... 2 4. Phƣơng pháp nghiên cứu ....................................................................................... 2 5. Điểm mới trong kết quả nghiên cứu...................................................................... 2 PHẦN II. NỘI DUNG ............................................................................................... 3 I. CƠ SỞ KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN ................................................................. 3 1. Cở sở lí luận .......................................................................................................... 3 2. Thực trạng của vấn đề ........................................................................................... 3 2.1. Khảo sát thực trạng ............................................................................................ 3 2.2. Cơ sở lí thuyết giải quyết thực trạng .................................................................. 5 II. CÁC BIỆN PHÁP ĐÃ TIẾN HÀNH GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ........................... 7 1. Tìm số điểm cực trị hàm số thƣờng gặp trong các đề thi ...................................... 7 2. Tìm tham số theo cực trị của hàm số .................................................................. 18 3. Một số bài tập rèn luyện củng cố ........................................................................ 26 CHƢƠNG III. THỰC NGHIỆM VÀ TÍNH KHẢ THI ......................................... 28 I. Tiến hành thực nhiệm .......................................................................................... 28 1. Tiến trình thực nghiệm ........................................................................................ 28 2. Kết quả thực nghiệm ........................................................................................... 28 3. Hiệu quả mang lại của đề tài ............................................................................... 31 4. Khả năng ứng dụng và triển khai ........................................................................ 31 II. Khảo sát tính cấp thiết và khả thi của đề tài ...................................................... 31 1. Mục đích khảo sát ............................................................................................... 31 2. Nội dung và phƣơng pháp khảo sát ..................................................................... 32 2.1. Nội dung khảo sát ............................................................................................. 32 2.2. Phƣơng pháp khảo sát và thang đánh giá ......................................................... 32 2.3. Đối tƣợng khảo sát ........................................................................................... 33 2.4. Kết quả khảo sát về sự cấp thiết và tính khả thi của các giải pháp đã đề xuất 35 PHẦN III. KẾT LUẬN .......................................................................................... 37 I. Một số kết quả ...................................................................................................... 37 2. Những kiến nghị và đề xuất. ............................................................................... 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................................... 38 PHỤ LỤC
PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ 1. Lí do chọn đề tài 1. Trong đề thi tốt nghiệp THPT, đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh những năm gần đây, chúng tôi nhận thấy rằng câu hỏi mức độ vận dụng cao rất ít học sinh giải đƣợc, đa số không định hƣớng đƣợc lời giải. Một số chủ đề xuất hiện liên tục trong các đề thi trong đó có câu hỏi tìm số điểm cực trị hàm số. Trong quá trình tìm tòi lời giải cho các bài toán cực trị mức độ vận dụng cao, chúng tôi nhận thấy nếu dùng chỉ dùng kiến thức đại số gặp nhiều khó khăn, nhƣng kết hợp với tƣơng giao của đồ thị hàm số thì dễ dàng hơn, đồng thời hình ảnh trực quan đã làm học sinh hứng thú, say sƣa hơn, không căng thẳng nhƣ các cách làm trƣớc đây. 2. Kỳ thi tốt nghiệp THPT ra theo hình thức trắc nghiệm đáp án chi tiết không còn đƣợc Bộ giáo dục và đào tạo công bố, học sinh và giáo viên tham khảo lời giải trên các trang mạng và ở đó các bài toán vận dụng xuất hiện nhiều lời giải khác nhau. Tài liệu để học sinh ôn tập, củng cố khắc sâu và vận dụng phƣơng pháp giải chƣa có nên phƣơng pháp giải nhanh bị lãng quên. Chính vì thế, chúng tôi đã sƣu tầm, xây dựng dấu hiệu nhận biết, định hƣớng và giải chi tiết một số bài toán tìm cực trị hàm số bằng cách khai thác tƣơng giao đồ thị hàm số để học sinh hiểu và vận dụng đồng thời đƣa ra một số bài toán tƣơng tự để học sinh rèn luyện khắc sâu. 3. Nội dung cực trị hàm số trong sách giáo khoa đƣợc minh họa nhiều ví dụ, nhƣng lại ở mức độ cơ bản hàm đa thức bậc 3, hàm trùng phƣơng, hàm phân thức, chƣa có các ví dụ ở mức độ khó hoặc tìm tham số. Tuy nhiên trong kì thi chọn học sinh giỏi tỉnh 12, kì thi Tốt nghiệp THPT nhiều năm gần đây để phân hoá năng lực tƣ duy của thí sinh, đề thi đã khai thác các bài toán cực trị của các hàm số bậc cao, hàm chứa giá trị tuyệt đối, hàm hợp, hàm ẩn, hàm chứa tham số ở mức độ vận dụng. Qua quá trình ôn thi học sinh mũi nhọn, chúng tôi nhận thấy rằng mức độ vận dụng cao cần có thêm hỗ trợ tƣơng giao của hai đồ thị hàm số. Kết quả cho thấy: sau khi hiểu đƣợc mối liên hệ giữa dấu của biểu thức với tƣơng giao hai đồ thị, rất nhiều học sinh giải đƣợc câu hỏi phân hóa. Với những lí do trên chúng tôi lựa chọn và ứng dụng đề tài:“Sử dụng phương pháp tương giao của hai đồ thị hàm số để tìm cực trị hàm số” góp phần nâng điểm số cho các thí sinh trong các kì thi học sinh giỏi, kì thi đánh giá năng lực, kì thi tốt nghiệp THPT, rèn luyện khả tƣ duy sáng tạo, tƣ duy trừu tƣợng phản ứng và xử lí kịp thời các tình huống khác có thể xảy ra. 2. Mục đích nghiên cứu Giúp học sinh có một cách giải mới về tìm số điểm cực trị hàm số. Hình thành kỹ năng giải và phát triển bài tập Toán học, từ đó chủ động khai thác cách giải khi làm bài tập có liên quan. Đặc biệt, các em học sinh khá có thể chinh phục đƣợc tối đa điểm về cực trị của hàm số. 1
Nhằm xây dựng một chuyên đề chuyên sâu, chi tiết có thể làm tài liệu tham khảo cho các em học sinh và giáo viên trong quá trình ôn thi tốt nghiệp, đại học và bồi dƣỡng học sinh giỏi. 3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu Học sinh lớp 12 trong trƣờng THPT Nghi Lộc 5 Hệ thống lí thuyết liên quan đến phần cực trị. ây dựng hệ thống và phân loại các bài tập từ vừa đến khó phù hợp với đối tƣợng học sinh khá, giỏi giúp các em hình thành và tạo lối mòn kiến thức phần này. Đƣa ra một số bài tập tự luyện nhằm r n kỹ năng tìm số điểm cực trị hàm số. Các bài toán cực trị trong sách giáo khoa, sách tham khảo, các đề thi học sinh giỏi, đề thi đánh giá năng lực, đề thi thử của các trƣờng trong nƣớc, đề thi tốt nghiệp THPT. 4. Phƣơng pháp nghiên cứu Thu thập tài liệu qua sách giáo khoa, các đề thi, các văn bản liên quan đến đề tài. Trên cơ sở đó phân tích, tổng hợp và rút ra những vấn đề cần thiết của đề tài. Trong đề tài này, chúng tôi đã sử dụng các phƣơng pháp toán học logic, phƣơng pháp trực quan… Bên cạnh đó, chúng tôi sử dụng các phƣơng pháp nghiên cứu đặc thù nhƣ: thu thập, xử lý tài liệu, thông tin, thống kê, số liệu, hình ảnh… 5. Điểm mới trong kết quả nghiên cứu Sử dụng kỹ thuật hình ảnh tƣơng giao của hai đồ thị hàm số, bằng hình ảnh trực quan ta thấy đƣợc những điểm giao có hoành độ làm cho biểu thức đổi dấu. Lựa chọn đối tƣợng học sinh là các lớp có mức độ từ khá trở lên để giảng dạy nội dung đƣợc trình bày trong đề tài nghiên cứu. Một số bài toán trong sách tham khảo, đề thi trong những năm gần đây đã đề cập đến tƣơng giao để tìm số điểm cực trị nhƣng rất hạn chế, trong quá trình giảng dạy cho các lớp chọn đƣợc nhà trƣờng phân công chúng tôi đã mạnh dạn đƣa ra nội dung đƣợc trình trong đề tài để học sinh lập luận và tƣ duy. Đa số các em đều giải quyết đƣợc yêu cầu đặt ra và cảm nhận đƣợc rằng dùng hình ảnh tƣơng giao dễ hơn dùng các kiến thức liên quan đến đổi dấu của một biểu thức. Học sinh rất hứng thú khi đƣợc ôn tập lí thuyết có hệ thống và làm bài tập theo mức độ từ dễ đến khó dƣới sự hƣớng dẫn của giáo viên. Việc sử dụng hình ảnh đã tạo một hiệu ứng khá mạnh, đó là muốn đƣợc khám phá các bài toán cực trị khai thác tƣơng giao. Đề tài đƣợc nhóm tác giả tự biên soạn và dùng làm tài liệu để ôn thi mũi nhọn, ôn thi tốt nghiệp THPT cho học sinh khối 12. 2
PHẦN II. NỘI DUNG I. CƠ SỞ KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN 1. Cở sở lí luận Trong sách giáo khoa Giải tích 12, Chƣơng I, Bài 2: Cực trị của hàm số đƣợc định nghĩa cơ bản, đƣa ra thuật toán rõ ràng để tìm cực trị của hàm số, tính giá trị cực trị của hàm số. Tuy nhiên phần cực trị chứa tham số rất hạn chế, hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối hầu nhƣ không thấy đề cập. Qua các kì thi THPT hàng năm, chúng tôi nhận thấy khi gặp bài toán: Cực trị của hàm số học sinh còn lúng túng, đa số chƣa định hƣớng đƣợc lời giải. Nguyên nhân chủ yếu là: + Chƣa có ví dụ mẫu, làm theo quy tắc trong sách giáo khoa gặp rất nhiều khó khăn, chƣa nắm bắt hết bản chất và lập luận của vấn đề cực trị. + Chƣa biết chuyển đổi yêu cầu tìm số điểm cực trị của hàm số sang yêu cầu khác dễ thực hiện hơn. Để tìm lời giải bài toán cực trị của hàm số cần trải qua các bƣớc tƣ duy nhƣ sau: + ác định đƣợc yêu cầu câu hỏi: tìm số điểm cực trị, cực đại hay cực tiểu. + Tìm mối liên hệ giữa cực trị hàm số với tƣơng giao của đồ thị với trục hoành. 2. Thực trạng của vấn đề 2.1. Khảo sát thực trạng Qua nhiều năm thực tế giảng dạy chƣơng trình 12, cũng nhƣ qua trao đổi với đồng nghiệp trong tổ bộ môn chúng tôi thu đƣợc kết quả nhƣ sau: a) Về mức độ hướng dẫn học sinh phát huy tính tích cực, sáng tạo qua bài toán cực trị: Thông qua trao đổi với 9 giáo viên về việc hƣớng dẫn học sinh phát huy tính tích cực qua bài toán cực trị chúng tôi thu đƣợc kết quả: + Bảng mức độ hướng dẫn học sinh phát huy tính tích cực, sáng tạo qua bài toán cực trị. Mức độ đề cập/ hƣớng dẫn Số lƣợng Tỷ lệ (%) Thƣờng xuyên 1 11,1 Thỉnh thoảng 3 33,3 Ít khi 4 44,4 Không bao giờ 1 11,1 3
Khảo sát vấn đề này ở 50 học sinh bằng phiếu điều tra. Kết quả chúng tôi thu đƣợc nhƣ sau: + Bảng mức độ tự học môn toán phần cực trị của học sinh Mức độ vận dụng Số lƣợng Tỷ lệ (%) Thƣờng xuyên 6 12 Thỉnh thoảng 8 16 Ít khi 18 36 Không bao giờ 18 36 Qua số liệu trên cho thấy trong quá trình dạy học sinh tính cực trị đa số giáo viên chỉ dừng lại ở việc tìm cực trị của hàm số đơn giản, rất ít đi vào tìm cực trị của hàm số ở mức 3 và 4. Còn học sinh mức đọ tự học môn toán phần cực trị rất ít. b) Về mức độ thu hút sự chú ý của học sinh và khả năng tiếp thu bài của học sinh trƣớc khi tiếp cận đề tài: Qua theo dõi thái độ học tập của học sinh và mức độ nhạy bén của các em trƣớc các vấn đề mà giáo viên đặt ra khi chƣa đƣợc giáo viên hƣớng dẫn các em giải bài toán cực trị bằng cách khai thác tƣơng giao của hai đồ thị hàm số, chúng tôi thấy các em xác định vấn đề còn chậm, ít phát biểu, giờ học còn trầm và chất lƣợng các câu trả lời chƣa tốt. Kết quả khảo sát nội dung này bằng phiếu điều tra ở 80 học sinh thuộc 2 lớp 12A1, 12A2 nhƣ sau: + Bảng mức độ hứng thú của học sinh trước khi giáo viên hướng dẫn học sinh phát huy tính tích cực, sáng tạo qua bài toán cực trị. Biểu hiện Số lƣợng Tỷ lệ (%) Rất hứng thú 5 6,25 Hứng thú 9 11,25 Bình thƣờng 54 67,5 Không hứng thú 12 15 Qua bảng khảo sát hai nhóm đối chứng và thực nghiệm cho thấy mức độ rất hứng thú và hứng thú học còn rất thấp, hầu đa các em cảm thấy bình thƣờng, thậm chí còn có học sinh không hứng thú trong việc học và giải quyết loại bài tập này.Việc học sinh chuyển bài toán tìm số điểm cực trị sang bài toán tìm số điểm tƣơng giao chƣa mang lại cho học sinh sự hứng thú. 4
Qua khảo sát thực trạng và những lí do trên, chúng tôi thấy việc nghiên cứu đề tài : “Sử dụng phương pháp tương giao của hai đồ thị hàm số để tìm cực trị hàm số ” là cần thiết. 2.2. Cơ sở lí thuyết giải quyết thực trạng a) Định nghĩa cực trị hàm số Cho hàm số y  f  x  liên tục trên khoảng  a; b  và điểm x0   a;b  . Nếu tồn tại h0 sao cho f  x   f  x0  với mọi x   x0  h; x0  h  và x  x0 thì ta nói hàm số f  x  đạt cực đại tại điểm x0 . Nếu tồn tại h0 sao cho f  x   f  x0  với mọi x   x0  h; x0  h  và x  x0 thì ta nói hàm số f  x  đạt cực tiểu tại điểm x0 . b) Điều kiện đủ để hàm số có cực trị ĐỊNH LÍ 1. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên khoảng K   x0  h; x0  h  và có đạo hàm trên K hoặc K \  x0  , với h 0. a) Nếu f '  x   0 trên khoảng  x0  h; x0  và f '  x   0 trên khoảng  x0 ; x0  h  thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số f  x  . b) Nếu f '  x   0 trên khoảng  x0  h; x0  và f '  x   0 trên khoảng  x0 ; x0  h  thì x0 là điểm cực đại của hàm số f  x  . ĐỊNH LÍ 2. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm cấp 2 trong khoảng  x0  h; x0  h  , với h 0. a) Nếu f '  x   0, f ''  x   0 thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số f  x  . b) Nếu f '  x   0, f ''  x   0 thì x0 là điểm cực đại của hàm số f  x  . c) Mối quan hệ dấu của biểu thức với cực trị hàm số. Cho hàm số y  f  x  xác định trong khoảng  x0  h; x0  h  , với h 0. + Nếu đồ thị f  x  cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x0 . Dấu biểu thức f  x  đổi khi đi qua điểm x0 nếu và chỉ nếu tồn tại  0 sao cho đồ thị hàm f  x  trên khoảng  x0   ; x0  và đồ thị f  x  khoảng  x0 ; x0    nằm về hai phía trục Ox 5
+ Nếu đồ thị f  x  cắt đƣờng thẳng y  a tại điểm có hoành độ x0 . Dấu biểu thức f  x   a đổi khi đi qua điểm x0 nếu và chỉ nếu tồn tại  0 sao cho đồ thị hàm f  x  trên khoảng  x0   ; x0  và đồ thị f  x  khoảng  x0 ; x0    nằm về hai phía đƣờng thẳng y  a . Cho hàm số y  f  x  có tập xác định trên D và đạo hàm là f '  x  liên tục trên D. Nếu đồ thị hàm f '  x  cắt trục hoành tại n điểm, trong đó có m điểm làm cho dấu của biểu thức f '  x  đổi thì hàm f  x  có m điểm cực trị. Ngƣợc lại nếu hàm f  x  có m điểm cực trị thì biểu thức f '  x  đổi dấu tại m điểm. d) Quy tắc tìm cực trị của hàm số Quy tắc 1. + Tìm tập xác định của hàm số. + Tìm f '  x  . Tìm các điểm tại đó f '  x  bằng 0 hoặc f '  x  không xác định. + Lập bảng biến thiên y  f  x  . + Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị. Quy tắc 2. + Tìm tập xác định của hàm số. + Tìm f '  x  và bảng biến thiên hoặc đồ thị hàm f '  x  . + ác định số điểm biểu thức f '  x  đổi dấu. + Kết luận số điểm cực trị bằng số điểm đổi dấu của f '  x  . Lưu ý:  Nếu hàm số có dạng y  f  x  thì số điểm cực trị được tìm như sau: B1. Tìm tập xác định của hàm số.  f ' x. f  x B2. Tìm y '  x     f 2  x  f  x . B3. Tìm số điểm đổi dấu của f '  x  và f  x  . Gọi số đó lần lƣợt là m và n. B4. Kết luận số điểm cực trị của hàm f  x  là m + n.  Nếu hàm số có dạng y  f  ax  b  , a0 thì số điểm cực trị được tìm như sau: B1. Tìm tập xác định D của hàm số. B2. Đặt t  ax  b có miền giá trị là K. Số điểm cực trị của y  f  ax  b  bằng số điểm cực trị hàm y  f  t  trên tập K. 6
B3. Tìm số điểm cực trị của hàm số f  t  trên khoảng  0;    K . Giả sử số điểm cực trị tìm đƣợc là n. + Nếu t  0  K thì số điểm cực trị của f  t  là 2n  1 . + Nếu t  0 K thì số điểm cực trị của f  t  là 2n . Vì t  ax  b là hàm bậc nhất nên số điểm cực trị của f  t  cũng là số điểm cực trị của y  f  ax  b  . Do đó số điểm cực trị của hàm y  f  ax  b  bằng số điểm cực trị của y f x II. CÁC BIỆN PHÁP ĐÃ TIẾN HÀNH GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Với mỗi bài toán đƣa ra, chúng tôi sẽ nêu định hƣớng và trình bày lời giải. Sau mỗi dạng sẽ phân tích đánh giá đƣa ra các dấu hiệu để làm sáng tỏ nội dung của đề tài. 1. Tìm số điểm cực trị hàm số thƣờng gặp trong các đề thi 1.1. Một số bài toán tìm số điểm cực trị của hàm số y  f  u  x   Bài 1 ( Đề thi THPT QG Mã 104 – 2019). Cho hàm đa thức f  x  có bảng biến thiên của hàm số f   x  nhƣ sau: Tìm số điểm cực trị của hàm số y  f  4 x 2  4 x  HƢỚNG DẪN + Do số điểm cực trị của hàm số y  f  4 x 2  4 x  bằng số điểm đổi dấu của  f  4x  nên ta sẽ xác định số giao điểm của đồ thị hàm y   f  4x  4x  với 2  4x  2 trục hoành mà dấu của  f  4 x  4 x   đổi khi đi qua hoành độ các điểm đó . 2 LỜI GIẢI  1 x Ta có  f  u  x     0  8x  4 f   4 x2  4 x   0    2 .  f  4x  4x  0 2  Từ bảng biến thiên đã cho 7
Suy ra số giao điểm đồ thị của f   x  với trục hoành là 4. Dấu của f   x  lần lƣợt đổi khi đi qua hoành độ của 4 điểm ấy. Gọi hoành độ các điểm đó là a1 , a2 , a3 , a4 với a1  1  a2  0  a3  1  a4 . Khi đó biểu thức f   4 x 2  4 x  đổi dấu thì chỉ đổi dấu tại các nghiệm của  4 x 2  4 x  a1  2 4 x  4 x  a2 phƣơng trình sau đây:  2 4 x  4 x  a  3  4 x  4 x  a4  2 Đặt g  x   4 x2  4 x , bảng biến thiên của g  x  hình bên ta có: Từ bảng biến thiên ta có: + Số giao điểm của đồ thị g  x  với đƣờng thẳng y  a1 bằng 0; + Số giao điểm của đồ thị g  x  với đƣờng thẳng y  a2 bằng 2 và dấu của biểu thức g  x   a2 lần lƣợt đổi khi đi qua hoành độ của mỗi điểm đó; + Số giao điểm của đồ thị g  x  với đƣờng thẳng y  a3 bằng 2 và dấu của biểu thức g  x   a3 lần lƣợt đổi khi đi qua hoành độ của mỗi điểm đó; + Số giao điểm của đồ thị g  x  với đƣờng thẳng y  a4 bằng 2 và dấu của biểu thức g  x   a4 lần lƣợt đổi khi đi qua hoành độ của mỗi điểm đó; Suy ra số điểm làm cho dấu của biểu thức  f  4x 2  4x   đổi là: 1 0  2  2  2  7 . Vậy hàm số y  f  4 x 2  4 x  có 7 điểm cực trị. Nhìn vào bảng biến thiên, dễ dàng xác định được ngay số điểm giao điểm của đường thẳng y  a với đồ thị g  x  . Số điểm làm cho dấu của biểu thức 8
f   4x2  4x  đổi khi đi qua hoành độ giao điểm của mỗi điểm đó theo quy tắc đã được trình bày ở phần 3c. Nếu không sử dụng tương giao thì phải xác định số nghiệm của mỗi phương trình bậc hai và dấu của biểu thức f   4 x 2  4 x  đổi khi đi qua các nghiệm đó khá cồng kềnh. Bài 2 ( Đề thi thử trƣờng Đặng Thúc Hứa - Nghệ An – 2020). Cho hàm số bậc ba y  f  x  có đồ thị đƣợc cho nhƣ hình vẽ bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số g  x   f  f 2  x   1 . HƢỚNG DẪN: Để tìm số điểm cực trị, ta sẽ xác định: số nghiệm của phương trình ff 2  x   1   0 làm cho dấu của ff 2  x   1  đổi khi đi qua mỗi điểm đó. LỜI GIẢI ét phƣơng trình  f  f 2  x   1   0  2 f   x  . f  x  . f   f 2  x   1  0 . (1) Từ đồ thị f  x  đã cho nhƣ hình trên, ta có khẳng định sau:  f  x  0  f  x  0    f  x  0  f  x  0 Phƣơng trình (1) tƣơng đƣơng:  2   f  x 1  0  f  x   1  f 2  x 1  2  f  x  1    f   x   0 có 2 nghiệm và dấu của f   x  đổi khi đi mỗi nghiệm đó;  Số giao điểm của đồ thị f  x  với trục hoành là 2 nhƣng chỉ có 1 điểm làm biểu thức f  x  đổi dấu khi đi qua hoành độ của điểm đó;  Số giao điểm của đồ thị f  x  với đƣờng thẳng y  1 bằng 3 và dấu của biểu thức f  x  lần lƣợt đổi khi đi qua hoành độ của mỗi điểm đó;  Số giao điểm của đồ thị f  x  với đƣờng thẳng y  1 bằng 1 và dấu của biểu thức f  x   1 đổi khi đi qua hoành độ của điểm đó. Nhƣ vậy số điểm đổi dấu của  f  f 2  x   1  là: 2 1 3 1  7 . 9
Vậy hàm g  x  có 7 điểm cực trị. Cũng như bài toán trên nhìn vào đồ thị sẽ xác định được ngay số giao điểm của đường thẳng ya với đồ thị f  x  làm cho dấu của  f  f 2  x   1  đổi khi đi qua hoành độ mỗi giao điểm đó. Bài 3 ( Đề thi thử Sở Bắc Ninh – 2020). Cho hàm số y  f ( x) bậc bốn có đồ thị nhƣ hình vẽ bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số  x2  2 x  y  f  ex  ?  2  HƢỚNG DẪN    x2  2 x   + Dấu của biểu thức  f  e x    đổi khi đi qua hoành độ các điểm đó là   2  nghiệm của phương trình nào? LỜI GIẢI ét phƣơng trình e x  x  1  0   x x 2  2 x    x x  2x  2   f e     0   e  x  1 . f '  e    0    x x  2x  x 2   2   2   f ' e  0 1   2  Từ đồ thị f  x  đã cho nhƣ hình trên ta có khẳng định sau:  x x2  2x e  2  2   x2  2x Phƣơng trình (1) tƣơng đƣơng với e x  1 2   x x  2x 2  e  4  2 Xét hàm u( x)  e x  x  1 ; u '( x)  0  ex  1  x  0 Bảng biến thiên: Suy ra số giao điểm của đồ thị u ( x) với trục hoành là 1. Nhƣng dấu của u ( x) không đổi khi đi qua hoành độ của điểm đó. x2  2 x Xét hàm số v( x)  e x   v '( x)  e x  x  1  u  x   0 x  2 10
Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên ta có  Số giao điểm của đồ thị v  x  với đƣờng thẳng y  2 là 1 và dấu của biểu thức v  x   2 đổi khi đi qua hoành độ của điểm đó;  Số giao điểm của đồ thị v  x  với đƣờng thẳng y  1 là 1 và dấu của biểu thức v  x   1 đổi khi đi qua hoành độ của điểm đó.;  Số giao điểm của đồ thị v  x  với đƣờng thẳng y  4 là 1 và dấu của biểu thức v  x   4 đổi khi đi qua hoành độ của điểm đó.    x x2  2 x   Vậy số điểm đổi dấu của  f e    là: 0  1  1  1  3 .   2  Do đó hàm số g ( x) có 3 điểm cực trị. Để xác định số giao điểm và xác định số điểm làm cho biểu thức đổi dấu ta đưa về tương giao của hai đồ thị hàm số. Trong trường hợp chưa có đồ thị hoặc bảng biến thiên liên quan đến hàm số cần xét tương giao thì ta sẽ lập bảng biến thiên như bài 3 vừa trình bày. 1.2. Một số bài toán tìm số điểm cực trị của hàm số y  f  u  x   Bài 4. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên và có bảng biến thiên nhƣ sau: Tìm số điểm cực trị của hàm số y  f  x  là HƢỚNG DẪN B1. Tìm n số điểm cực trị hàm f  x  ; B2. Tìm m số điểm đổi dấu của f  x  ; B3. Kết luận số điểm cực trị của hàm số đã cho là m + n. 11
LỜI GIẢI Từ bảng biến thiên f  x  đã cho, suy ra + Hàm số y  f  x  có 3 điểm cực trị. + Số giao điểm của đồ thị f  x  với trục hoành là 2, đồng thời dấu của f  x  đổi khi đi qua hoành độ của mỗi điểm đó. Vậy y  f  x  có 5 điểm cực trị. Dựa vào đồ thị sẽ xác định được số giao điểm của đường thẳng ya với đồ thị f  x  đồng thời cũng xác định được số điểm làm cho dấu của biểu thức f  x   a . Nếu thay bằng hàm hợp thì khai thác tương giao của hai đồ thị như thế nào? Bài 5. Cho hàm số bậc bốn y  f  x  có đồ thị nhƣ hình vẽ bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số h  x   f  2 x3  3x 2  1 ? HƢỚNG DẪN + Tìm số điểm cực trị hàm f  2 x3  3x 2  1 ; + Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số y  f  2 x3  3x2  1 với trục hoành mà dấu của f  2 x3  3x 2  1 khi đi qua hoành độ điểm đó. LỜI GIẢI ét phƣơng trình x  0    f  2 x3  3x 2  1  0   6 x 2  6 x  . f '  2 x 3  3x 2  1  0   x  1   f '  2 x  3x  1  0 1 3 2  Với đồ thị hàm số y  f  x  đã cho ở trên ta có khẳng định sau  Dấu của biểu thức f   x  đổi khi đi qua lần lƣợt các điểm có hoành độ x  a, x  b, x  2 với 1  a  0  b  1 . Do đó dấu của biểu thức f '  2 x3  3x 2  1  2 x3  3x 2  1  2  nếu đổi chỉ đổi tại các điểm là nghiệm phƣơng trình:  2 x3  3x 2  1  a .  2 x3  3x 2  1  b   Hoành độ giao điểm của đồ thị f  x  với trục hoành là x  1, x  0, x  2 . Nhƣng chỉ có 2 điểm làm cho dấu của f  x  đổi là x  1, x  0. Nên dấu của 12
f  2 x3  3x 2  1 đổi thì chỉ đổi tại các điểm là nghiệm phƣơng trình  2 x3  3x 2  1  1  3 .  2 x  3x 2  1  0 x  0 Đặt u  x   2 x3  3x2  1. Ta có u  0  6 x2  6 x  0   . x  1 Bảng biến thiên u  x  là Dựa vào tƣơng giao đồ thị, suy ra:  Số giao điểm của đồ thị u  x  với đƣờng thẳng y  a và làm cho dấu u  x   a đổi khi đi qua hoành độ điểm đó là 3;  Số giao điểm của đồ thị u  x  với đƣờng thẳng y  2 và làm cho dấu u  x   2 đổi khi đi qua hoành độ điểm đó là 1;  Số giao điểm của đồ thị u  x  với đƣờng thẳng y  1 và làm cho dấu u  x   1 đổi khi đi qua hoành độ điểm đó là 1;  Số giao điểm của đồ thị u  x  với trục hoành và làm cho dấu u  x  đổi khi đi qua hoành độ điểm đó là 1. Vậy hàm đã cho có 9 điểm cực trị. Qua lời giải Bài 5 ta thấy: Tìm số điểm cực trị của hàm hợp cũng khai thác được tương giao hai đồ thị. Việc xác định khá nhẹ nhàng. Qua đó học sinh cảm nhận được cách giải đơn giản nhưng khá hiệu quả. Bài 6. Cho hàm số đa thức y  f  x  có đạo hàm là f   x    x  1 x  12  x  33 và f  3  0 . Số điểm cực trị của hàm số y  f  x3  2 x 2  5x  3 là LỜI GIẢI Từ công thức f   x  suy ra bảng biến thiên hàm f  x  nhƣ hình vẽ sau Với bảng biến thiên trên, suy ra + Phƣơng trình  f  x3  2 x 2  5x  3   0   3x2  4 x  5 f   x3  2 x2  5x  3  0 13
3 x 2  4 x  5  0 3 x 2  4 x  5  0   x3  2 x 2  5 x  3  1    x3  2 x 2  5 x  3  1   3  f '  x  2 x  5 x  3  0  x  2 x  5x  3  3 3 2 2   x3  2 x 2  5 x  3  3  (do 3x2  4 x  5  0 vô nghiệm) + Phƣơng trình f  x3  2 x 2  5x  3  0  x3  2x2  5x  3  a , với a  1 do f  3  0 Đặt t  x   x3  2 x2  5x  3 hàm bậc ba. Ta có t '  x   3x2  4 x  5  0 với mọi x nên t  x  đồng biến trên Suy ra:  Số giao điểm của đồ thị t  x  với đƣờng thẳng y  1 làm cho dấu của t  x   1 đổi đi qua hoành độ điểm đó là 1;  Số giao điểm của đồ thị t  x  với đƣờng thẳng y  3 làm cho dấu của t  x   3 đổi đi qua hoành độ điểm đó là 1;  Số giao điểm của đồ thị t  x  với đƣờng thẳng ya làm cho dấu của t  x   a đổi đi qua hoành độ điểm đó là 1. Vậy hàm số y  f  x3  2 x 2  5x  3 có 3 điểm cực trị. Bài 7 (TN THPT Mã 103 - 2020 Lần 2). Cho hàm số f  x  có f  0   0 . Biết y  f   x  là hàm số bậc bốn và có đồ thị nhƣ hình vẽ. Tìm số điểm cực trị của hàm số g  x   f  x 4   x 2 HƢỚNG DẪN + Tìm số điểm cực trị hàm y  f  x 4   x 2 ; + Tìm số điểm làm cho dấu của f  x 4   x 2 khi đi qua hoành độ điểm đó LỜI GIẢI Đặt h  x   f  x 4   x 2 ta có   h  x   4 x3 f   x 4   2 x  2 x 2 x 2 f   x 4   1 . x  0 ét phƣơng trình h  x   0    f   x4   1 2 1  2x 1 Đặt t  x4  0 thì 1 thành f   t   (2) 2 t 14
1 Trên cùng một hệ tọa độ: đồ thị hàm số y  f   t  và y  nhƣ hình vẽ bên 2 t 1 Dựa vào đồ thị, (2) có đúng 1 nghiệm t a0 làm cho dấu của f   t   đổi khi 2 t đi qua t  a . Với t  a  x   4 a , kéo theo h  x  có 3 điểm cực trị và bảng biến thiên của h  x  Từ bảng biến thiên trên suy ra: số giao điểm của đồ thị y  h  x  với trục hoành mà dấu của h  x  đổi là 2. Vậy hàm số g  x  có 5 điểm cực trị. Thông qua hệ thống các bài tập không chứa tham số, ta có thể khẳng định rằng số điểm cực trị của hàm số được khai thác từ tương giao hai đồ thị hàm số. 1.3) Một số bài toán tìm số điểm cực trị của hàm số y  f  ax  b  Bài 8. Cho hàm đa thức y  f  x  bậc 8 có đồ thị nhƣ hình vẽ dƣới đây. Hàm số  6  g  x  f 2   x2 2  có bao nhiêu điểm cực trị?   HƢỚNG DẪN  6   6  Số điểm cực trị của hàm số f 2    bằng số điểm cực trị f   2  x 2   x2 2   LỜI GIẢI Xét hàm số h  x   f 2  6    với x  0  x2   6  f ' 0 1 6  6   6   x2 Ta có h '  x   0  2 . f ' . f  0    x  2  x2  x2  2  6  f  0  2   x2 15
6 Đặt a  , với x   0;    a   0;3 đồng thời tỉ lệ giữa x và a là 1:1. x2  f 'a  0 1 Từ phƣơng trình (1) và (2) ta có:   f a  0   2 Với đồ thị f  x  đã cho ở trên Suy ra: + Số điểm đổi dấu của f '  a  trên khoảng  0;3 là 2; + Số giao điểm của đồ thị f  a  với trục hoành trên khoảng  0;3 làm cho dấu f  a  đổi khi đi qua hoành độ điểm đó là 1. Nhƣ vậy h  x   f 2    có 3 điểm cực trị trên  0;   . 6   x2 Do hàm số g  x  xác định mọi giá trị x nên g  x  có 7 điểm cực trị. Thông qua một số bài toán tìm số điểm cực trị, ta thấy rằng việc khai thác tương giao vào tìm số điểm cực trị là cần thiết, tháo gỡ được khó khăn khi tìm số nghiệm của phương trình và xác định dấu có đổi hay không khi qua mỗi điểm đó. Bài 9. Cho hàm đa thức bậc năm y  f  x  có đồ thị y  f  x nhƣ hình vẽ dƣới đây. Hỏi hàm số g  x   f  x2  3 x 1  2x  có bao nhiêu điểm cực tiểu ? HƢỚNG DẪN Do x2  3 x  1  2 x  x  1 2  3 x  1  1 nên số điểm cực trị hàm số đã cho bằng số điểm cực trị hàm số nào? Đó là hàm f x  3 x  1  2  LỜI GIẢI Xét hàm số h  x   f  x 2  3x  1 với x0  5 x  2 Ta có h  x   0   2 x  5 . f   x  3x  1  0   2  f   x  3x  1  0 2  Với đồ thị y  f   x  đã cho ở trên 16
Suy ra trên khoảng  0;   , hoành độ giao điểm của đồ thị f   x 2  3x  1 với trục hoành làm cho dấu của f   x 2  3x  1 đổi là nghiệm phƣơng trình: x2  3x 1  b  0 với b  2 Vì phƣơng trình x2  3x 1  b  0 có 2 nghiệm phân biệt với mọi b  2 nên dấu của f   x 2  3x  1 đổi khi đi qua các nghiệm của phƣơng trình x  3x  1  b  0 . 2 Nhƣ vậy h  x   f  x 2  3x  1 có 3 điểm cực trị trên  0;   . Mà hàm số g  x  xác định trên nên g  x  có 7 điểm cực trị. Giả sử x1; x2 ;...; x7 là các điểm cực trị với giả thiết x1  x2  x3  ...  x7 . Vì xlim g '  x   xlim  f  x 2  3  x  1  2 x   xlim  2 x  5 . xlim f   x 2  5x  3   nên dấu       của g '  x  đƣợc mô tả nhƣ sau: Vậy hàm số g  x  có 4 điểm cực tiểu. Khai thác tương giao của 2 đồ thị hàm số tại các điểm làm dấu của biểu thức đổi khi đi qua hoành độ điểm đó vào bài toán số điểm cực trị khá nhẹ nhàng. Góp phần nâng điểm số cho thí sinh trong các kì thi. Khâu nhận biết và phân tích đưa về dạng quen thuộc là vô cùng quan trọng, sau đây là một bài toán minh họa Bài 10. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên và đồ thị hàm số y  f   x  là parabol nhƣ hình bên dƣới. Hàm số g  x   f  2 x  1   3x 2  3x có bao nhiêu cực trị? LỜI GIẢI Hàm số đã cho viết lại y  f  2 x  1   2 x  1  3 2 3 4 4 Số điểm cực trị của hàm số g  x  bằng số điểm cực trị hàm số y  f  x   x  3 2 3 4 4 3 3 3x Xét hàm số y  f  x   x 2  với x  0 . Ta có y '  x   0  f '  x   . (1) 4 4 2 17