SKKN: Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong Sách giáo khoa Toán 9

Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong <br /> Sách giáo khoa Toán 9<br /> <br /> <br /> <br /> SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẮK LẮK       <br /> PHÒNG GD & ĐT KRÔNG ANA<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:<br /> <br /> HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHAI THÁC <br /> VÀ PHÁT TRIỂN MỘT SỐ BÀI TẬP HÌNH HỌC <br /> TRONG SÁCH GIÁO KHOA TOÁN 9<br /> <br /> <br /> <br /> <br />  <br /> <br />                               Họ và tên :  1) Nguyễn Anh Tuấn<br />           2) Nguyễn Thị Cẩm Linh<br /> <br /> Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông  <br /> 1<br /> Ana<br />  Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong <br /> Sách giáo khoa Toán 9<br /> <br /> Đơn vị công tác:  Trường THCS Buôn Trấp<br /> Trình độ chuyên môn :   Đại học sư phạm<br /> Môn đào tạo :           Toán<br /> <br />                              Krông Ana, tháng 1 năm 2016<br /> <br /> I. PHẦN MỞ ĐẦU<br /> I.1. Lý do chọn đề tài :<br /> ­ Toán học là một bộ  môn khoa học tự  nhiên mang tính logíc, tính trừu tượng  <br /> cao. Đặc biệt là với hình học nó giúp cho học sinh khả năng tính toán, suy luận logíc <br /> và phát triển tư duy sáng tạo. Việc bồi dưỡng học sinh học toán không đơn thuần chỉ <br /> cung cấp cho các em một số kiến thức cơ bản thông qua việc làm bài tập hoặc làm  <br /> càng nhiều bài tập khó, hay mà giáo viên phải biết rèn luyện khả  năng và thói quen <br /> suy nghĩ tìm tòi lời giải của một bài toán trên cơ sở các kiến thức đã học.<br /> ­ Qua nhiều năm công tác và giảng dạy Toán 9  ở  trường THCS Buôn Trấp <br /> chúng tôi nhận thấy việc học toán nói chung và bồi dưỡng học sinh năng lực học toán <br /> nói riêng, muốn học sinh rèn luyện được tư  duy sáng tạo trong việc học và giải toán  <br /> thì việc cần làm  ở  mỗi người thầy, đó là giúp học sinh khai thác đề  bài toán để  từ <br /> một bài toán ta chỉ cần thêm bớt một số giả thiết hay kết luận ta sẽ có được bài toán <br /> mới phong phú hơn, vận dụng được nhiều kiến thức đã học nhằm phát huy nội lực  <br /> trong giải toán nói riêng và học toán nói chung. Vì vậy tôi ra sức tìm tòi, giải và chắt <br /> lọc hệ thống lại một số các bài tập mà ta có thể khai thác được đề bài để học sinh có <br /> thể lĩnh hội được nhiều kiến thức trong cùng một bài toán. <br /> ­ Với mong muốn được góp một phần công sức nhỏ nhoi của mình trong việc <br /> bồi dưỡng năng lực học toán cho học sinh hiện nay và cũng nhằm rèn luyện khả năng <br /> sáng tạo trong học toán cho học sinh để  các em có thể  tự  phát huy năng lực độc lập <br /> sáng tạo của mình, nhằm góp phần vào công tác chăm lo bồi dưỡng đội ngũ học sinh  <br /> giỏi toán của ngành giáo dục Krông Ana ngày một khả quan hơn. Chúng tôi xin cung  <br /> cấp và trao đổi cùng đồng nghiệp đề tài kinh nghiệm: “Hướng dẫn học sinh khai  <br /> thác và phát triển một số bài tập hình học trong Sách giáo khoa Toán 9” . Đề <br /> tài này ta có thể  bồi dưỡng năng lực học toán cho học sinh và cũng có thể  dùng nó <br /> trong việc dạy chủ đề  tự  chọn toán 9 trong trường THCS hiện nay. Mong quý đồng <br /> nghiệp cùng tham khảo và góp ý. <br /> I.2. Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài<br /> Đây là đề tài rộng và ẩn chứa nhiều thú vị bất ngờ thể hiện rõ vẻ đẹp của môn  <br /> Hình học và đặc biệt nó giúp phát triển rất nhiều tư  duy của học sinh, nếu vấn đề <br /> này tiếp tục được khai thác hàng năm và được sự quan tâm góp ý của các thầy cô thì  <br /> chắc hẳn nó sẽ là kinh nghiệm quý dành cho việc dạy học sinh khá giỏi.Vì đây là đề <br /> tài rộng nên trong kinh nghiệm này chỉ trình bày một vài chủ đề của môn Hình lớp 9,  <br /> chủ yếu là phần đường tròn do chương này gần gũi với học sinh và xuất hiện nhiều <br /> trong các kỳ thi. Chỉ có thể thấy được sự thú vị của những bài toán này trong thực tế <br /> giảng dạy, những bài toán cơ  bản nhưng cũng có thể  làm cho một số  học sinh khá  <br /> Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông  <br /> 2<br /> Ana<br />  Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong <br /> Sách giáo khoa Toán 9<br /> <br /> lúng túng do chưa nắm phương pháp giải dạng toán này. Khi đi sâu tìm tòi những bài <br /> toán cơ  bản  ấy không những học sinh nắm sâu kiến thức mà còn tìm được vẻ  đẹp  <br /> của môn Toán nói chung và phần Hình học nói riêng. Vẻ  đẹp đó được thể  hiện qua  <br /> những cách giải khác nhau, những cách kẻ đường phụ, những ý tưởng mà chỉ  có thể <br /> ở phần Hình học mới có, làm được như vậy học sinh sẽ yêu thích môn Toán hơn. Đó  <br /> là mục đích của bất kì giáo viên dạy ở môn nào cũng cần khêu gợi được niềm vui, sự <br /> yêu thích và niềm đam mê của học sinh  ở  môn học đó. Nhưng mục đích lớn nhất  <br /> trong việc dạy học là phát triển tư duy của học sinh và hình thành nhân cách cho học  <br /> sinh. Qua mỗi bài toán học sinh có sự nhìn nhận đánh giá chính xác, sáng tạo và tự tin  <br /> qua việc giải bài tập Hình đó là phẩm chất của con người mới.<br />             I.3. Đối tượng nghiên cứu<br />  Một số bài tập hình học trong Sách giáo khoa Toán 9 (tập 1,2).<br /> I.4. Giới hạn phạm vi nghiên cứu.<br /> Phạm vi nghiên cứu học sinh trường THCS Buôn Trấp,  chủ  yếu là học sinh <br /> khối 9 và ôn luyện thi vào 10, thi vào các trường chuyên, cũng như  trong bồi dưỡng <br /> đội tuyển học sinh giỏi các cấp qua nhiều năm học. <br /> Thời gian thực hiện trong các năm học 2009 ­ 2016.<br /> I.5. Phương pháp nghiên cứu<br /> Tìm hiểu thực tiễn giảng dạy, học tập, bồi dưỡng học sinh giỏi trong nhà  <br /> trường.<br /> Tra cứu tài liệu, tham khảo nghiên cứu các tài liệu trên mạng.<br /> Thực nghiệm, đối chiếu so sánh.<br /> Nhận xét.<br /> <br /> II. PHẦN NỘI DUNG <br /> II.1.Cơ sở lí luận <br /> Qua việc giảng dạy thực tế nhiều năm ở THCS chúng tôi thấy hiện nay đa số <br /> học sinh sợ học phần Hình học. Tìm hiểu nguyên nhân tôi thấy có rất nhiều học sinh <br /> chưa thực sự hứng thú học tập bộ môn này vì chưa có phương pháp học tập phù hợp  <br /> với đặc thù bộ  môn, sự  hứng thú với phần Hình học là hầu như  ít có. Có nhiều  <br /> nguyên nhân, trong đó ta có thể xem xét những nguyên nhân cơ bản sau:<br />    ­ Đặc thù của bộ môn Hình học là mọi suy luận đều có căn cứ, để  có kĩ năng <br /> này học sinh không chỉ phải nắm vững các kiến thức cơ bản mà còn phải có kĩ năng <br /> trình bày suy luận một cách logic. Kĩ năng này đối với học sinh là tương đối khó, đặc <br /> biệt là học sinh lớp 9 các em mới được làm quen với chứng minh Hình học. Các em <br /> đang bắt đầu tập dượt suy luận có căn cứ  và trình bày chứng minh Hình học hoàn <br /> chỉnh. Đứng trước một bài toán hình học học sinh thường không biết bắt đầu từ  đâu, <br /> trình bày chứng minh như thế nào.<br /> ­ Trong quá trình dạy toán nhiều giáo viên còn xem nhẹ  hoặc chưa chú trọng <br /> việc nâng cao, mở  rộng, phát triển các bài toán đơn giản  ở  SGK hoặc chưa đầu tư <br /> vào lĩnh vực này, vì thế chưa tạo được hứng thú cho học sinh qua việc phát triển vấn <br /> đề mới từ bài toán cơ bản.  <br /> <br /> <br /> Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông  <br /> 3<br /> Ana<br />  Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong <br /> Sách giáo khoa Toán 9<br /> <br /> ­ Việc đưa ra một bài toán hoặc phát triển một bài toán cho phù hợp với từng <br /> đối tượng học sinh để có kết quả giáo dục tốt còn hiều hạn chế. <br /> ­ Học sinh THCS nói chung chưa có năng lực giải các bài toán khó, nhưng nếu <br /> được giáo viên định hướng về phương pháp hoặc kiến thức vận dụng, hoặc gợi ý về <br /> phạm vi tìm kiếm thì các em có thể giải quyết được vấn đề.<br />   ­ Ngay cả  với học sinh khá giỏi cũng còn e ngại với phân môn Hình học do  <br /> thiếu sự tự tin và niềm đam mê.<br /> II.2. Thực trạng<br /> a) Thuận lợi, khó khăn:<br /> *) Thận lợi:<br /> Tôi đã được trực tiếp giảng dạy môn Toán khối 9 được 7 năm, bồi dưỡng học  <br /> sinh giỏi toán 9 và ôn tập, nâng cao kiến thức cho học sinh thi tuyển vào lớp 10, thi  <br /> vào trường chuyên nên tôi thấy được sự cần thiết phải thực hiện đề tài  "Hướng dẫn  <br /> học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong Sách giáo khoa Toán 9 <br /> ".<br /> Chúng tôi được các đồng nghiệp có nhiều kinh nghiệm góp ý kiến trong quá  <br /> trình giảng dạy, tham khảo các tài liệu liên quan trên mạng, ...<br /> Học sinh  ở độ  tuổi này luôn năng động sáng tạo, luôn thích khám phá học hỏi <br /> những điều mới lạ.<br /> Điều kiện kinh tế xã hội ngày càng phát triển. Từ đó sự quan tâm của các bậc <br /> phụ  huynh học sinh ngày một nâng lên, luôn tạo điều kiện tốt nhất, trang bị  đầy đủ <br /> cho con em mình các thiết bị và đồ dùng học tập.<br /> *) Khó khăn:<br /> Trong chương trình Toán THCS “Các bài toán về hình học” rất đa dạng, phong  <br /> phú và trừu tượng, mỗi dạng toán có nhiều phương pháp giải khác nhau. Học sinh khi  <br /> học toán đã khó, đối với Hình học lạ càng khó hơn bởi vì: Để  làm bài toán Hình học <br /> thì học sinh phải vận dụng tất cả  các định nghĩa, định lí, tính chất ..., mà mình đã  <br /> được học một cách linh hoạt. Bên cạnh đó để giải một bài toán Hình học lớp trên thì <br /> học sinh phải nắm vững tất cả kiển thức, các bài toán cơ bản ở lớp dưới.<br /> Kinh tế từng gia đình không đồng đều, một số gia đình chưa có điều kiện nên  <br /> còn mải lo làm kinh tế, không có thời gian quan tâm đến việc học hành của con em <br /> mình, phó mặc cho con cái cho thầy, cô và nhà trường.<br /> Tác động xã hội đã làm một số học sinh không làm chủ được mình nên đã đua <br /> đòi, ham chơi, không chú tâm vào học tập mà dẫn thân vào các tệ nạn xã hội như chơi  <br /> game, đánh bài, hút Shisha ... dẫn đến các em hư hỏng.<br /> b) Thành công, hạn chế<br /> *) Thành công: <br /> Vận dụng các bài tập trong sáng kiến vào các tiết ôn tập và bồi dưỡng học <br /> sinh giỏi rất hiệu quả.<br /> Các bài tập Hình đều phát triển dựa trên những bài toán cơ bản trong sách giáo  <br /> khoa nên mục đích cần hướng đến là học sinh trung bình cần phải làm tốt những bài <br /> tập này. <br /> Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông  <br /> 4<br /> Ana<br />  Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong <br /> Sách giáo khoa Toán 9<br /> <br /> *) Hạn chế:    <br /> Giải bài tập Hình học là lúc học sinh được thể hiện kĩ năng, tính sáng tạo, phát <br /> triển óc tư duy. Các bài tập Hình trong sách giáo khoa rất đa dạng nhưng làm sao để <br /> cho phần lớn các học sinh khá và trung bình nhớ  lâu, hiểu vấn đề  đó mới là quan <br /> trọng. <br /> Do đặc điểm của môn Hình học khó, phải tư duy trừu tượng và kèm thêm việc <br /> vẽ  hình phức tạp, khi giải một bài toán hình thì học sinh phải vận dụng tất cả  các <br /> định nghĩa, định lí, tính chất, ... mà mình đã được học một cách linh hoạt. N ên giáo <br /> viên phải tạo cho học sinh kĩ năng vẽ  hình và hướng dẫn học sinh tư  duy dựa trên <br /> những bài toán cơ bản.<br />  c) Mặt mạnh, mặt yếu<br /> *) Mặt mạnh: <br /> Giúp cho  học sinh hiểu được một số  bài toán phát triển từ  bài toán cơ  bản, <br /> nhưng quan trọng hơn  giáo viên  cần giúp cho học sinh hiểu được hướng phát triển <br /> một bài toán. Tại sao phải làm như vậy? Làm như thế đạt được mục đích gì? Qua đó <br /> giúp các em say mê môn Toán. Cho dù là học sinh giỏi hay học sinh trung bình khi nhìn <br /> một bài toán dưới nhiều góc độ  thì học sinh đó sẽ  tự  tin hơn, thích thú hơn với môn <br /> học, yếu tố đó rất quan trọng trong quá trình tự  học, nó giúp quá trình rèn luyện hình <br /> thành tư duy cho học sinh tốt hơn.<br /> *) Mặt yếu: <br /> Số  học sinh hiểu được một số bài toán phát triển từ  bài toán cơ  bản là không  <br /> nhiều vì đây là vấn đề  khó cần sự kiên trì và cố  gắng của cả  học sinh và giáo viên,  <br /> mặc dù vậy tôi hướng đến 1/3 số  học sinh đạt được điều này, có thể  học sinh sẽ <br /> không tạo ra những dạng mà thầy đã làm vì vốn kinh nghiệm của học sinh còn rất <br /> hạn chế  nên giáo viên cần phải động viên giúp các em tự  tin hơn. Việc sáng tạo đó <br /> không những cần có kiến thức vô cùng chắc chắn mà học sinh cần có sự  nhạy cảm <br /> của toán học. Điều này chỉ phù hợp với học sinh giỏi nên tôi chỉ áp dụng yêu cầu này <br /> trong quá trình dạy học sinh giỏi. <br /> d) Các nguyên nhân, các yếu tố tác động <br /> <br /> *) Học sinh không giải được:<br /> <br /> ­ Học sinh chưa biết liên hệ giữa kiến thức cơ bản và kiến thức nâng cao.<br /> <br /> ­ Chưa có tính sáng tạo trong giải toán và khả năng vận dụng kiến thức chưa <br /> <br /> linh hoạt.<br /> <br /> *) Học sinh giải được:<br /> <br /> ­ Trình bày lời giải chưa chặt chẽ, mất nhiều thời gian.<br /> <br /> ­ Chưa sáng tạo trong vận dụng kiến thức.<br /> Số học sinh tự học tập thêm kiến thức, tham khảo tài liệu,…để nâng cao kiến  <br /> thức chưa nhiều, nên khả năng học môn Toán giữa các em trong lớp học không đồng <br /> Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông  <br /> 5<br /> Ana<br />  Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong <br /> Sách giáo khoa Toán 9<br /> <br /> đều. Bên cạnh đó một bộ phận không nhỏ học sinh còn yếu trong kỹ năng phân tích  <br /> và vận dụng …<br /> Một số  bộ  phận phụ  huynh học sinh không thể  hướng dẫn con em mình giải <br /> các bài toán hình. Vì vậy chất lượng làm bài tập ở nhà còn thấp.<br /> e) Phân tích đánh giá các vấn đề về thực trạng mà đề tài đã đặt ra.<br /> Trong hoạt động dạy và học Toán nói chung, đối với bộ  môn hình học nói  <br /> riêng thì vấn đề  khai thác, nhìn nhận một bài toán cơ  bản dưới nhiều góc độ  khác <br /> nhau nhiều khi cho ta những kết quả  khá thú vị. Ta biết rằng  ở  trường phổ  thông, <br /> việc dạy toán học cho học sinh thực chất là việc dạy các hoạt động toán học cho họ. <br /> Cụ thể như khi truyền thụ cho học sinh một đơn vị kiến thức thì ngoài việc cho học <br /> sinh tiếp cận, nắm vững đơn vị  kiến thức đó   thì một việc không kém phần quan  <br /> trọng  là  vận dụng đơn vị kiến thức đã học vào các hoạt động toán học. Đây là một  <br /> hoạt động mà theo tôi, thông qua đó dạy cho học sinh phương pháp tự  học ­ Một  <br /> nhiệm vụ  quan trọng của người giáo viên đứng lớp . Xuất phát từ  quan điểm trên,  <br /> vấn đề khai thác và cùng học sinh khai thác một bài toán cơ bản trong sách giáo khoa  <br /> để  từ  đó xây dựng được một hệ  thống bài tập từ  cơ  bản đến nâng cao đến bài toán <br /> khó là một hoạt động không thể  thiếu đối với người giáo viên. Từ  những bài toán  <br /> chuẩn kiến thức, giáo viên không dừng  ở  việc giải toán. Việc khai thác một số  bài <br /> toán hình học cơ bản trong SGK không những gớp phần rèn luyện tư duy cho HS khá <br /> giỏi mà còn tạo chất lượng, phù hợp với giờ  học, gây hứng thú cho HS ở  nhiều đối <br /> tượng khác nhau.<br /> + Để  giải quyết vấn đề  trên trong quá trình giảng dạy cần chú trong các bài <br /> toán  ở  SGK. Biết phát triển các bài toán đơn giản đã gặp để  tăng vốn kinh nghiệm  <br /> vừa phát triển năng lực tư  duy toán học, vừa có điều kiện tăng khả  năng nhìn nhận <br /> vấn đề mới từ cái đơn giản và từ đó hình thành phẩm chất sáng tạo khi giải toán sau  <br /> này.<br /> + Việc phát triển một bài toán phù hợp với từng đối tượng học sinh là rất cần  <br /> thiết và quan trọng, nó vừa đảm bảo tính vừa sức và là giải pháp có hiệu quả  cao  <br /> trong việc giải toán vì nó không tạo cho học sinh sự nhụt chí mà là động lực thúc đẩy  <br /> giúp cho học sinh có sự tự tin trong quá trình học tập, bên cạnh đó còn hình thành cho <br /> các em sự yêu thích và đam mê bộ môn hơn.<br /> ­ Các em phải được tập suy luận từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp. <br /> ­ Phát huy được khả năng sáng tạo, phát triển khả năng tự học, hình thành cho <br /> học sinh tư duy tích cực ,độc lập và kích thích tò mò ham tìm hiểu đem lại niềm vui  <br /> cho các em.<br /> II.3. Giải pháp, biện pháp<br /> a. Mục tiêu của giải pháp, biện pháp :<br /> ­ Tìm tòi, tích lũy các đề toán ở nhiều dạng trên cơ sở vận dụng được các kiến  <br /> thức cơ bản đã học.<br /> ­ Hướng dẫn học sinh tìm hiểu đề bài.<br /> ­ Giải hoặc hướng dẫn học sinh cách giải. <br /> ­ Khai thác bài toán và giúp học sinh hướng giải bài toán đã được khai thác<br /> ­ Trang bị cho các em các dạng toán cơ bản, thường gặp.<br /> Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông  <br /> 6<br /> Ana<br />  Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong <br /> Sách giáo khoa Toán 9<br /> <br />   ­ Đưa ra các bài tập tương tự, bài tập nâng cao.<br />          ­ Kỹ  năng nhận dạng và đề  ra phương pháp giải thích hợp trong từng trường <br /> hợp cụ thể. Giúp học sinh có tư duy linh hoạt và sáng tạo.<br /> ­ Kiểm tra, đánh giá mức độ nhận thức của học sinh thông qua các bài kiểm tra.  <br /> Qua đó kịp thời điều chỉnh về nội dung và phương pháp giảng dạy.<br /> ­ Tạo hứng thú, đam mê, yêu thích các dạng toán hình học, thông qua các bài  <br /> toán có tính tư duy.<br /> b. Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp, biện pháp<br />            Trong đề tài này tôi chỉ đưa ra 4 bài toán trong Sách giáo khoa Toán 9 (tập 1&  <br /> tập 2): <br /> Bài 1:  ( Bài tập 11 trang 104 SGK – Toán 9 tập 1)<br /> Cho đường tròn tâm (O) đường kính AB, dây CD không cắt đường kính AB. Gọi H <br /> và K theo thứ  tự là chân đường vuông góc kẻ  từ  A và B đến CD. Chứng minh CH = <br /> DK   (Gợi ý kẻ OM  ⊥ CD ).<br /> Giải: AB<br /> Cho (O,  ), dây CD không cắt AB <br /> 2<br /> GT AH ⊥ CD tại H;  BK ⊥ CD tại K<br /> <br /> KL C/m: CH = DK<br /> Chứng minh:<br /> Ta có  AH ⊥ CD  và  BK ⊥ CD (gt) nên AH// BK  Tứ giác AHKB là hình thang.<br /> Kẻ   OM ⊥ CD  tại M   MC = MD (1) ( ĐL quan hệ  giữa vuông góc giữa đường <br /> kính và dây). <br /> Xét hình thang AHKB có OA =OB = R ; OM // AH // BK ( ⊥ CD )<br /> OM là đường trung bình của hình thang  MH = MK (2)<br /> Từ (1) và (2), ta có CH = DK<br />   Từ  bài toán trên chúng ta có thể  phát triển dưới dạng  <br /> một bài toán khác như sau:<br />  Bài 1. 1   :  Thêm vào bài tập 1 câu b như sau: Chứng minh H và  <br /> K ở bên ngoài đường tròn (O).<br /> Giải : ( Dùng phương pháp phản chứng)<br /> Giả  sử  chân đường vuông góc hạ  từ  A đến đường thẳng CD là H’. H’ là điểm <br /> nằm giữa hai điểm C và D.<br /> Xét  ∆ACH , ta có :  ACH' ﾷ ﾷ<br /> = ACB ﾷ<br /> + BCD ﾷ<br /> = 900 + BCD   ACH'<br /> ﾷ > 900<br /> = 900 (theo giả  sử) Tổng các góc trong của  ∆ACH lớn hơn 180  là điều <br /> 0<br /> Mà  ACH' ﾷ<br /> vô lí. <br /> Vậy H’ phải nằm ngoài đường tròn(O) hay H nằm ngoài đường tròn (O).<br /> Chứng minh tương tự đối với điểm K.<br /> * Nhận xét: Từ việc vẽ  OM ⊥ CD ta có MH = MK ta dễ nhận thấy rằng <br /> S ∆ OMH = S∆OMA = S∆OMK = S ∆OMB S∆OHK = S ∆AMB HK.OM = AB.MM’(với  MM ' ⊥ AB  tại M’)<br />    1<br />  Bài    .  2 :  Qua nhận xét trên ta có thể thêm vào bài 1 câu b: <br /> Chứng minh  S AHKB = S ∆ACB + S ∆ADB .<br /> Vẽ thêm  CC ' ⊥ AB, DD ' ⊥ AB  ( C ', D ' AB )<br /> Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông  <br /> 7<br /> Ana<br />  Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong <br /> Sách giáo khoa Toán 9<br /> <br /> CC '+ DD '<br /> Ta có  = MM '  (MM’ là đường trung bình của hình thang CDD’C’)<br /> 2<br /> CC '+ DD ' 1<br /> HK.OM = AB. = AB ( CC '+ DD ' ) = S∆ACB + S ∆ADB<br /> 2 2<br /> Mặt khác HK.OM = SAHKB ( Vì OM là đường trung bình của hình thang AHBK, nên  <br /> AH + KB<br /> OM = )<br /> 2<br /> Từ đó  S AHKB = S ∆ACB + S ∆ADB  (đpc/m) D<br /> K<br /> <br /> <br />  Bài  1<br />   .  3 :  Từ bài toán trên ta lại có bài toán quỹ tích: M<br /> E<br /> <br /> a/ Tìm  quỹ  tích trung điểm  M  của đoạn thẳng CD khi C   H C<br /> <br /> <br /> (hoặc D) chạy trên đường tròn (O). B<br /> A D'<br /> b/ Tìm quỹ điểm H và K khi C ( hoặc D) chạy trên đường tròn   C' O<br /> <br /> <br /> O đường kính AB.<br /> c/ Gọi E là giao điểm của BK và (O). Chứng minh OM ⊥ AE.<br /> Hướng dẫn giải:<br /> a) Dùng quỹ tích cung chứa góc ( OMC ﾷ ﾷ<br /> = OMD = 900 )<br /> b) Khi điểm C cố định, điểm D chạy trên (O).<br /> Gọi C’ là hình chiếu của C trên AB   C, C’ cố định, ta có:  Tứ  giác AHCC’ và <br /> AC BC<br /> BKCC’ lần lượt nội tiếp đường tròn (I,  ) và  (I’,  )  H ( I ) , K ( I ')<br /> 2 2<br /> c) Chứng minh  AEBﾷ = 900 AE ⊥ BK AE // HK  đpc/m<br />  + )   Nhận xét    : Từ bài toán 1 nếu dây cung CD cắt đường kính AB thì kết luận CH =  <br /> DK có còn đúng nữa không? Kết luận đó vẫn đúng và chúng ta có bài toán khó hơn  <br /> bài toán (*) một chút như sau:<br /> Bài 1.4: Cho đường tròn (O) đường kính AB, dây CD cắt đường <br /> kính AB tại G. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A và B <br /> trên CD. Chứng minh rằng CH = DK.<br /> Hướng dẫn giải:<br /> Để chứng minh CH = DK ta chứng minh CD và HK có chung <br /> trung điểm.<br /> Qua O vẽ đường thẳng song song với AH và BK cắt CD tại I,  <br /> cắt AK tại F.<br /> Lập luận để có OI là đường trung trực của đoạn CD và FI là đường trung bình của <br /> tam giác AHK   I là trung điểm của HK  đpc/m.<br /> Bài 1.5:  Cho tứ  giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AB. Chứng minh rằng  <br /> hình chiếu vuông góc của các cạnh đối diện của tứ  giác trên đường chéo CD bằng  <br /> nhau. (Cách giải hoàn toàn tương tự như bài 1)<br /> Bài 1.6: Gọi G là điểm thuộc đoạn thẳng AB (G không trùng với A  <br /> và B). Lấy AB, AG và BG làm đường kính, dựng các đường tròn  <br /> tâm O, O1, O2. Qua G vẽ cát tuyến cắt đường tròn (O) tại C và D,  <br /> cắt (O1) tại H, cắt (O2) tại K. Chứng minh CH = DK.<br /> Hướng dẫn giải:<br /> <br /> <br /> Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông  <br /> 8<br /> Ana<br />  Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong <br /> Sách giáo khoa Toán 9<br /> <br /> Lập luận để có  AH ⊥ CD  và  BK ⊥ CD    Cách giải hoàn toàn tương tự như bài  <br /> 1)<br /> Bài 1.7:  Đặc biệt khi CD không phải là  một dây  mà CD trở  <br /> thành tiếp tuyến của (O) như hình vẽ bên ta vẫn có  S ∆AMB = S ∆HOK  <br /> và  HK .OM = AB.MM ' ( lúc này M thuộc nửa đường tròn (O) nên  <br /> AB = 2OM.<br /> HK<br /> Do đó ta có HK.OM = 2OM.MM’  � MM ' =<br /> 2<br /> Dựa   vào   điều   kiện   một   điểm   thuộc   đường   tròn   ta   có  <br /> HK HK<br /> M ' (M ; ) (M ; )  tiếp xúc với AB tại M’.<br /> 2 2<br /> Từ bài toán 1 chúng ta có thể phát biểu bài toán đảo như sau :<br />  Bài 1.8    : Trên đường kính AB của đường tròn tâm (O) ta lấy hai  <br /> điểm H và K sao cho AH = KB. Qua H và K kẻ  hai đường thẳng  <br /> song với nhau lần lượt cắt đường tròn tại hai điểm C và D ( C, D  <br /> cùng thuộc nửa đường tròn tâm O). Chứng minh rằng  HC ⊥ CD , <br /> KD ⊥ CD .<br />  Bài  1.9<br />    :  Cho đường tròn tâm O đường kính AB và dây CD cắt bán kính OA  ở  I. Kẻ  <br /> AE, BH cùng vuông góc với CD. Qua O kẻ đường kính vuông góc với CD tại G và cắt  <br /> EB ở M. Chứng minh:<br /> a) M là trung điểm của EB và G là trung điểm của EH.<br /> b) EC = HD<br /> Hướng dẫn tìm lời giải:<br /> a) Hãy chứng minh OM là đường trung bình của tam giác AEB và MG là đường <br /> trung bình của tam giác EHB.<br /> b) Áp dụng định lý về đường kính và dây cung và lưu ý G là trung điểm của EH <br /> (theo câu a) để được đẳng thức cần chứng minh.<br /> Cách giải<br /> D<br /> a) Xét  ∆AEB , có:  <br /> OM // AE( ⊥ CD)  H<br /> � OM là đường trung bình của  ∆AEB<br /> AO = OB ( gt ) G<br /> <br /> I O<br />  M là trung điểm của EB (đpc/m) A<br /> M<br /> B<br /> E<br />      Xét  ∆EHB , có:<br /> GM // BH ( ⊥ CD)  C<br /> <br />   �  MG là đường trung bình của  ∆EHB  <br /> BM = EM ( gt )<br /> Hình 6<br />  G là trung điểm của EH (đpc/m.<br /> b) Xét (O) có:  OG ⊥ CD  (gt)   GC = GD (đ/l). <br /> Mà  GE = GH (c/mt)<br />         EC = HD(đpc/m)<br /> Khai thác bài toán:<br /> Bài này có thể thêm câu hỏi sau đây: Chứng minh rằng: <br /> c) AE. IG = IE .OG; <br /> <br /> Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông  <br /> 9<br /> Ana<br />  Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong <br /> Sách giáo khoa Toán 9<br /> <br /> b) OG.IH = IG.BH   ( cho học sinh tự chứng minh)<br /> Bài toán 2 ( bài 30 – trang 116 SGk – toán 9, tập 1)<br /> Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Gọi Ax, By là các tia vuông góc với  <br /> AB ( Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phảng bờ AB). Qua điểm M  <br /> thuộc nửa đường tròn ( M khác A và B) kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, nó cắt Ax  <br /> và By theo thứ tự ở C và D. Chứng minh rằng:<br /> ﾷ = 900<br /> a) COD<br /> b) CD = AC + BD<br /> c) Tích AC.BD không đổi khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn.<br /> AB<br /> Cho (O,  ), Ax  ⊥  AB tại A;  <br /> 2<br /> By  ⊥  AB tại B;   M ( O ) . <br /> GT<br /> CD ⊥  OM tại M ( C �Ax ; D �By )<br /> <br /> C/mr:    a) COD ﾷ = 900<br /> KL<br />              b) CD = AC + BD<br />              c)  AC.BD không đổi <br /> a) Xét (O) có CA, CM là tiếp tuyến của (O)<br /> ﾷ<br /> OC là tia phân giác của  AOM ﾷ =O<br />  hay  O ﾷ ( t/c tiếp tuyến) (1)<br /> 1 2<br /> <br /> Tương tự DB, DM là tiếp tuyến của (O) ﾷ =O<br /> O ﾷ (2)<br /> 3 4<br /> <br /> Từ (1) và (2)  ﾷ +O<br /> O ﾷ =O ﾷ +Oﾷ<br /> 1 4 2 3<br /> ﾷ ﾷ ﾷ ﾷ<br /> Mà  O1 + O2 + O3 + O4 = 1800 ﾷ ﾷ =O<br /> O1 + O ﾷ +O<br /> ﾷ = 900 hay  COD<br /> ﾷ = 900  (đpc/m)<br /> 4 2 3<br /> <br /> b) Theo t/c tiếp tuyến , ta có: CA = CM và DB = DM <br /> Mà  M �CD � CD = CM + MD � CD = CA + BD<br /> Vậy  CD = CA + BD  (đpc/m)<br /> c) Xét  ∆COD vuông tại O (c/mt), có: OM ⊥ CD (gt)  � OM 2 = CM .DM ( đ/l)<br /> Mà CA = CM và DB = DM  � OM 2 = AC.BD  mà OM = R (gt)<br />  AC.BD không đổi khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn. (đpc/m)<br /> Từ bài toán trên ta khai thác bài toán như sau:<br /> 1) Đối với học sinh trung bình:<br />  Bài  2.1<br />    :  OC và OD cắt AM và BM theo thứ tự tại E và F. Xác định tâm P của   y<br /> <br /> <br /> đường tròn đi qua bốn điểm O, E, M, F.<br /> D<br /> <br /> <br /> <br />  Bài  2.2<br />    :  Chứng minh tứ  giác ACBD có diện tích nhỏ  <br /> t<br /> <br /> <br /> <br /> nhất khi nó là hình chữ  nhật và tính diện tích nhỏ  nhất  <br /> x<br /> N<br /> <br /> Q<br /> đó. M<br /> <br /> <br /> Tìm hiểu đề bài:  C<br /> <br /> Bài ra cho nủa đường tròn tâm O và ba tiếp tuyến  E P F<br /> <br /> <br /> theo thứ tự tạ A, B và M bất kì trên (O). Yêu cầu chứng   A B<br /> O<br /> minh một đẳng thức, bốn điểm thuốc đường tròn và diện tích  Hình 11<br /> <br /> <br /> <br /> nhỏ nhất của một tứ giác tạo thành.<br /> Hướng dẫn cách tìm lời giải:<br /> <br /> <br /> Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông  <br /> 10<br /> Ana<br />  Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong <br /> Sách giáo khoa Toán 9<br /> <br /> 1) Chứng minh tứ giác OEMF là hình chữ nhật nên giao điểm P của hai đường <br /> chéo cách đều bốn đỉnh của hình chữ nhật<br /> 1<br /> 2) Tứ  giác ACDB là hình thang   � S ACDB = ( AC + BD ) AB . AB không đổi  <br /> 2<br /> chứng minh AC + BD nhỏ nhất khi CD // AB.<br /> Cách giải:<br /> ﾷ<br /> 1) Tứ giác EMFO có  OEM ﾷ<br /> = EMF ﾷ<br /> = OFM = 900 Tứ giác EMFO là hình chữ nhật. <br /> � OM �<br /> Mà  OM EF  tại P OP = OE =OM = OF . Vậy 4 điểm O, E, M, F  �P ; � .<br /> � 2 �<br /> 2)   Tứ   giác   ACBD  có AC / / BD ( ⊥ AB ) Tứ   giác   ACBD  là   hình   thang   vuông. <br /> 1<br /> � S ACDB = ( AC + BD ) AB = ON . AB �OQ. AB (ON là đường trung bình của hình thang). <br /> 2<br /> 1<br /> Vậy   ( S ACDB ) MIN = OQ. AB = AB 2 .Khi đó N trùng với Q và ACDB là hình chữ  nhật <br /> 2<br /> (tiếp tuyến CD // AB).<br /> 2) Đối với học sinh khá, giỏi:<br />  Bài  2.3<br />    :  Gọi K là giao điểm của BC và AD. Chứng minh: MK // AC // BD.<br />  Bài  2.4<br />    :  Gọi H là giao điểm của MK và AB. Chứng minh rằng K là trung điểm của  <br /> MH.<br />  Bài  2.5<br />    :  Gọi E, F lần lượt là giao điểm của OC và AM, OD và BM. Chứng minh  <br /> ba điểm E, K, F thẳng hàng.<br /> Chứng minh : <br /> KD KB DB<br /> 3) Xét  ∆AKC có AC // BD (gt)  = =<br /> KA KC AC<br /> ( đ/l talet) (1)<br /> CA, CM là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O) <br /> nên CM = CA, DB = DM (t/c) (2) K<br /> <br /> KD MD<br /> Từ (1) và (2)  = MK / / AC ( theo định lí <br /> KA MC H<br /> <br /> <br /> <br /> talet đảo)<br /> Vậy MK // AC // BD (đpc/m)<br />  Sau khi chứng minh được MK // AC ta có thể có thêm yêu học sinh chứng minh:<br />  CD.MK = CM.DB.<br /> Chứng minh:  Theo chứng minh trên MK //AC  ∆CKM ∆CBD<br /> CD DB đpc/m.<br /> =<br /> CM MK<br />  Bài  2.6<br />    :  Ta có thể đặt thêm các câu hỏi sau đây: Khi M chạy trên nửa đường  <br /> tròn (O).<br /> 1) Tìm quỹ tích của N;<br /> 2) Tìm quỹ tích của P;<br /> Cách giải như sau:<br /> 1) Vì ON là đường trung bình của hình thang ACBD nên ON // Ax // By. Do đó quỹ <br /> tích N là tia Qt song song và cách đều hai tia Ax và By<br /> Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông  <br /> 11<br /> Ana<br />  Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong <br /> Sách giáo khoa Toán 9<br /> <br /> 2) Giao điểm P các đường chéo của hình chữ  nhật OEMF cách O một khoảng <br /> 1 R<br /> PO = OM =  điểm O cố định, khoảng cách PO không đổi nên quỹ tích của P là nửa  <br /> 2 2<br /> đường tròn đồng tâm với (O) bán kính bằng nửa bán kính của (O).<br /> Từ bài toán trên ta có thể ra bài toán mới như sau:<br />  Bài   2.7<br />    :   Cho   ∆ABC   vuông tại A, đường cao AH. Vẽ  đường tròn tâm A bán <br /> kính AH. Từ B và C kẻ các tiếp tuyến với đường tròn (A) tại D, E. Chứng minh rằng:<br /> a) D, A, E thẳng hàng.<br /> b) BD.CE = AH2 ( không đổi)<br /> c) DE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC.<br /> Bài toán 3( Bài 39/123 (SGK toán 9 tập 1)<br /> Cho  hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài <br /> B �( O ) ; C �(O '))<br /> (BC                                    .                            , tiếp tuyến chung trong tại A cắt tiếp <br /> ﾷ<br /> BAC = 90 0<br /> tuyến chung ngoài BC tại I.<br /> a) Chứng minh rằng : <br /> b) Tính số đo  OIO ﾷ '<br /> c) Tính độ dài BC, biết OA = 9cm, O’A = 4cm.<br /> Giải<br /> Cho (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A<br /> OB  ⊥  BC tại B;  CO’ ⊥  BC tại C;  B<br /> B ( O ) , C ( O ')   I<br /> GT C<br /> AI ⊥  OO’ tại A ( I BC )<br /> OA = 9cm; O’A= 4cm<br /> C/mr: O A O'<br /> KL ﾷ<br /> a) BAC = 900<br /> ﾷ '?<br /> b) Tính  OIO<br /> c) Tính BC ?<br /> <br /> Chứng minh: <br /> a) Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:<br /> 1<br /> IA = IB; IB = IC (đ/l)  � IA = IB = IC = BC � ∆ABC vuông tại A (đ/l đường trung <br /> 2<br /> tuyến) Vậy  BAC ﾷ = 900  (đpc/m)<br /> b) Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:<br /> OI là tia phân giác của  BIA ﾷ  <br /> O’I là tia phân giác của  AIC ﾷ       OIO<br /> ﾷ ' = 900 (đ/l)<br /> Mà  BIAﾷ +  AIC<br /> ﾷ = 1800 (kề bù)<br /> c) Xét  ∆OIO ' vuông tại I (c/mt), Có :<br /> IA ⊥ OO ' tại A (t/c)  IA2 = OA. AO’ ( đ/l)<br />                                           = 9.4 = 36   IA = 6cm. B<br /> I<br /> Mà BC = 2AI = 2.6 = 12cm. C<br /> <br /> Khai thác và phát triển bài toán :<br /> O A O'<br /> <br /> Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông  <br /> 12<br /> Ana<br /> D<br />  Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong <br /> Sách giáo khoa Toán 9<br /> <br />  Bài  3.1<br />    :  Chứng minh rằng: OO’ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC.<br /> Vì (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. <br /> IA ⊥ OO ' tai A  ( t/c )  � BC �<br /> Nên  � OO’ là tiếp tuyến của đường tròn  �I ; �tại A. <br /> IA = IB = IC (t / c ) � 2 �<br /> (đpc/m)<br />  Bài  3.2<br />    :  Gọi D là giao điểm của CA với đường tròn tâm O ( D A). Chứng minh <br /> rằng : Ba điểm B, O, D thẳng hàng.<br /> ﾷ<br /> O'CA ﾷ<br /> = O'AC <br /> ﾷ ﾷ<br /> Ta có  �� ODA = O'CA       <br /> ﾷODA = OAD<br /> ﾷ<br /> Mà hai góc này ở vị trí so le trong   O’C // OD.<br /> Mặt khác O’C // OB ( ⊥ BC ) (gt)  Ba điểm B, O, D thẳng hàng (tiên đề Ơclít)<br />  Bài  3.3<br />    :  Giả sử OA = R, O’A = r .  B<br /> I<br /> a. Tính độ dài BC theo R, r. C<br /> <br /> b. Tính độ dài OI và O’I  theo R, r. R<br /> r<br /> c. Tính các cạnh của  ∆ABC  theo R, r. O A O'<br /> d. Gọi H là giao điểm của OO’ và BC. Tính <br /> độ dài OH, O’H theo R, r.<br /> Lời giải:<br /> a) Ta có :  BAC<br /> ﾷ ﾷ ' = 900 .Theo hệ thức về cạnh và đường cao trong tam <br /> = 900 và  OIO<br /> giác vuông, ta có: IA2 = OA. AO’ = R.r  � IA = R.r<br /> B<br /> Mà BC = 2.IA =  2 R.r I<br /> C<br /> <br /> b) Ta có :  OI = IA + OA = R.r + R = R ( R + r )<br /> 2 2 2 2 R<br /> r<br /> <br /> � OI = R ( R + r ) O A O'<br /> <br /> <br /> O ' I 2 = IA2 + O ' A2 = R.r + r 2 = r ( R + r )<br /> � O'I = r ( R + r) . D<br /> <br /> <br /> c) Gọi  CA �( O ) = { D} . Khi đó ba điểm B, O, D thẳng hàng.<br /> Xét  ∆CBD vuông tại B, ta có : BC =  2 R.r ; BD = 2R.<br /> Theo hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông, ta có: <br /> 1 1 1 1 1 R+r<br /> 2<br /> = 2<br /> + 2<br /> = 2<br /> + =<br /> AB BD BC 4R 4 Rr 4 R 2 r<br /> 2R r 2r R<br /> � AB =  Tương tự  AC =<br /> R+r R+r<br /> 2R r 2r R<br /> Vậy các cạnh của  ∆ABC là :  AB = ;  AC = ; BC =  2 R.r .  <br /> R+r R+r<br /> d) Xét  ∆HO ' C và  ∆HOB có :<br /> ﾷ<br /> OHB chung <br /> � ∆HO ' C ∆HOB (g.g)    B<br /> ﾷ<br /> OBH ﾷ<br /> = O'CH = 900 ( gt ) C<br /> R<br /> r<br /> <br /> O A O' H<br /> Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông  <br /> 13<br /> Ana<br />  Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong <br /> Sách giáo khoa Toán 9<br /> <br /> OH OB OH OB<br /> � = hay =<br /> O ' H O 'C OH − O ' H OB − O ' C<br /> R( R + r ) r(R + r)<br /> � OH = ; O'H =<br /> R−r R−r<br />  Bài  3.4<br />    :  ( Bài toán đảo)  Cho  ∆ABC  vuông tại A. Vẽ đường tròn tâm (O) đi qua <br /> A và tiếp xúc với BC tại B, vẽ đường tròn tâm (O’) đi qua A và tiếp xúc với BC tại C. <br /> Chứng minh rằng:<br /> a) (O) và (O’) tiếp xúc với nhau.<br /> b) Trung tuyến AI của  ∆ABC  là tiếp tuyến chung của hai đường tròn tại A.<br /> Giải :<br /> a) Vì các  ∆AOB và  ∆AO ' C  là các tam giác cân.<br /> B<br /> Nên  ﾷAOB = OBA<br /> ﾷ  và  O<br /> ﾷ ' AC = Oﾷ ' CA I<br /> C<br /> ﾷ<br /> Ta có  OBA + ﾷABC = 900 & O ﾷ ' CA + ﾷACB = 900<br /> ﾷ ' AC + BAO<br /> �O ﾷ = 900<br /> O A O'<br /> Do đó  O<br /> ﾷ ' AC + CAB<br /> ﾷ ﾷ<br /> + BAO = 1800<br /> ba điểm O, A, O’ thẳng hàng và OO’ = OA + O’A.<br /> Vậy (O) và (O’) tiếp xúc với nhau tại A. (đpc/m)<br /> b) Vì AI là trung tuyến của  ∆ABC  vuông tại A, nên IA = IC <br /> ∆IO ' A = ∆IO ' C (c.c.c)<br /> ﾷ ' = ICO<br /> � IAO ﾷ ' = 900 AI ⊥ OO ' tại A.<br /> Vậy AI là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’)  tại A.(đpc/m)<br /> +) Nhận xét : Nếu hai đường tròn (O) và (O’) ngoài nhau, thì ta có bài toán sau:<br />  Bài  3.5<br />    :  Cho hai đường tròn (O) và (O’) ở ngoài nhau. Kẻ tiếp tuyến chung <br /> ngoài BC,  B �( O ) , C �( O ') , đường nối tâm OO’ cắt các đường tròn (O) và (O’) tại <br /> các điểm D và E. Các đường thẳng BD và CE cắt nhau t B<br /> ại A. Gọi I là trung điểm <br /> của BC. I<br /> C<br /> Chứng minh rằng:<br /> c<br /> a)  BAC<br /> ﾷ = 900 .<br /> 1<br /> <br /> <br /> <br /> b) AD.AB = AE.AC O D<br /> A<br /> E O'<br /> <br /> c) Tứ giác BCED nội tiếp.<br /> d)  IA ⊥ OO ' .<br /> Chứng minh:<br /> a) Theo tính chất của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung:<br /> 1<br /> ­ Xét (O) có :  ﾷABC = BOD<br /> ﾷ  ( t/c) <br /> 2<br /> 1ﾷ<br /> ­ Xét (O’) có :  ﾷACB = CO ' E  ( t/c) <br /> 2<br /> Mà  BOD<br /> ﾷ ﾷ ' E = 1800 ( vì OB // O’C)<br /> + CO<br /> Nên  ﾷABC + ﾷACB = 900 � BAC ﾷ = 900 .(đpc/m)<br /> b) Ta có:  ﾷABC = ﾷACO ' ( phụ với  ﾷACB )<br /> ﾷACO ' = CEO<br /> ﾷ ' ( vì  ∆EO ' C  cân tạo O’)<br /> Mà  CEO<br /> ﾷ ' = ﾷAED  (đối đỉnh)  � ﾷAED = ﾷABC .<br /> Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông  <br /> 14<br /> Ana<br />  Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong <br /> Sách giáo khoa Toán 9<br /> <br /> Xét  ∆ABC  và  ∆AED có: <br /> ﾷ<br /> CAB chung  AE AD<br /> � ∆ABC ∆AED (g.g)  � = � AE. AC = AB. AD (đpc/m).<br /> ﾷAED = ﾷABC (cmt ) AB AC<br /> c) Vì  ﾷAED = ﾷABC (cmt)  � ﾷABC + DEC<br /> ﾷ = 1800<br /> Mà  ﾷABC & DEC<br /> ﾷ là hai góc đối nhau.<br /> Vậy tứ giác BCED nội tiếp (đpc/m)<br /> d) Vì AI là trung tuyến của  ∆ABC  vuông tại A, nên IA = IB = IC (đ/l)<br />   � ∆ABI  cân tại I <br /> � ﾷABI = BAI<br /> ﾷ (t/c)<br /> � ﾷAED + IAC<br /> ﾷ = 900 � IA ⊥ OO ' (đpc/m).<br /> +) Nhận xét :  Nếu hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau, thì ta có bài toán sau:<br /> <br />  Bài  3.6<br />    :  Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm M,N. Kẻ tiếp <br /> tuyến chung ngoài BC,  B �( O ) , C �( O ') , đường nối tâm OO’ cắt các đường tròn <br /> (O) và (O’) tại các điểm D và E. Các đường thẳng BD và CE cắt nhau tại A. <br /> Chứng minh rằng: B<br /> a)  BAC<br /> ﾷ = 900 .<br /> M C<br /> b) Tứ giác BCED nội tiếp.<br /> A<br /> c) AD.AB = AE.AC<br /> Chứng minh: O E D O'<br /> <br /> a) Chứng minh tương tự câu a bài toán 3. N<br /> b) Ta có:  DBC ﾷ ﾷ<br /> = ECO ' ( ph ụ  v ới  ﾷ<br /> ECB )<br /> ﾷECO ' = CEO<br /> ﾷ ' ( vì  ∆EO ' C  cân tạo O’)<br /> ﾷ<br /> � DEC ﾷ<br /> = DBC  và cùng nhìn xuống cạnh DC dưới một góc không đổi.<br /> Vậy tứ giác BCED nội tiếp (đpc/m).<br /> c) Xét  ∆ABC  và  ∆AED có: <br /> ﾷ<br /> CAB ﾷ<br /> = EAD <br /> � ∆ABC ∆AED (g.g)   <br /> ﾷABC = ﾷAED<br /> AE AD<br /> � = � AE. AC = AB. AD   (đpc/m).<br /> AB AC<br /> Bài toán 4(Bài tập 95/105( SGK hình học 9 tập 2)<br /> Các đường cao hạ từ đỉnh A và B của           c C 900<br /> ∆ABC ắt nhau tại H (           ) và cắt <br /> ∆ABC ần lượt tại D và E. Chứng minh rằng:<br /> đường tròn ngoại tiếp            l<br /> a) CD = CE ; ∆BHD<br /> b)             cân ; c) CD = CH<br /> A<br /> Cho  ∆ABC  nội tiếp (O)<br /> BN  ⊥  AC tại N;  AM ⊥  BC tại M E<br /> <br /> <br /> GT AM ( O ) tại D;  BN ( O ) tại E;  N<br /> <br /> AM BN tại H<br /> H<br /> <br /> C/mr:<br /> a) CD = CE B M C<br /> Nguyễn Anh Tu<br /> KL b) ấ∆n & Nguy<br /> BHD cân ễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông  <br /> 15<br /> c) CD = CH Ana D<br />  Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong <br /> Sách giáo khoa Toán 9<br /> <br /> <br /> <br /> Chứng minh:<br /> ­ Gọi M, N lần lượt là giao điểm của AD với BC và BE với AC.<br /> a) Ta có  DAC<br /> ﾷ + ﾷAHN = 900  và  CBE<br /> ﾷ ﾷ<br /> + BHM = 900<br /> ﾷ<br /> � DAC + ﾷAHN = CBE<br /> ﾷ ﾷ<br /> + BHM (= 900 )<br /> Mà  ﾷAHN = BHM<br /> ﾷ (đđ)<br /> ﾷ<br /> � DAC ﾷ<br /> = CBE EC ﾷ ( các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau)<br /> ﾷ = DC<br /> � CD = CE ( liên hệ giữa cung và dây) (đpc/m).<br /> b)Ta có  EC ﾷ (cmt) � EBC<br /> ﾷ = DC ﾷ ﾷ<br /> = CBD ( hệ quả góc nội tiếp)  ∆BHD cân ( Vì có <br /> BM vừa là đường cao vừa là đường phân giác) (đpc/m).<br /> c) Vì  ∆BHD cân tại B   BC là đường trung trực của HD.<br />   CD = CH (t/c)   (đpc/m).<br /> Khai thác và phát triển bài toán :<br />  Bài  4.1<br />    :  Chứng minh rằng: <br /> a) Tứ giác ABMN; CMHN nội tiếp.<br /> b) CN.CA = CM.CB.<br /> Chứng minh:<br /> a) ­ Xét tứ giác ABMN có: ﾷANB + ﾷAMB = 900 ( gt )  và cùng nhìn xuống cạnh AB.<br /> Vậy tứ giác ABMN nội tiếp.<br /> ­ Xét tứ giác CMHN có:<br /> ﾷ<br /> CNH ﾷ<br /> = CMH ﾷ<br /> = 900 ( gt ) � CNH ﾷ<br /> + CMH = 1800<br /> Mà  CNH<br /> ﾷ ﾷ<br /> & CMH  là hai góc đối nhau của tứ giác.<br /> Vậy tứ giác CMHN nội tiếp.<br /> b) Xét  ∆CAM  và  ∆CBN có: <br /> ﾷACB chung <br /> � ∆CAM ∆CBN (g.g)   <br /> ﾷAMC = BNC<br /> ﾷ = 900 ( gt )<br /> CA CM<br /> � = � CA.CN = CB.CM (đpc/m).<br /> CB CN<br />  Bài  4.2<br />    :  Các đường cao AM và BN cắt (O) lần lượt tại D, E. Chứng minh rằng: <br /> a) MN // DE. A<br /> b) OC  ⊥  DE.<br /> E<br /> Chứng minh:<br /> a) Vì tứ giác ABMN nội tiếp (cmt)  � BAM ﾷ ﾷ<br /> = BNM F<br /> N<br /> Q<br /> (cùng chắn  BM ﾷ ) H<br /> <br /> Mà  BAD = BED (cùng chắn  BD )<br /> ﾷ ﾷ ﾷ<br /> ﾷ<br /> � BNM ﾷ<br /> = BED mà hai góc ở vị trí đồng vị  B M C<br /> <br />  DE // MN (đpc/m). D<br /> c) Kẻ tiếp tuyến Cx với (O) tại C<br /> ﾷ ﾷ 1<br /> Ta có:  BAC = BCx = sđ BC<br /> ﾷ (hệ quả)<br /> 2<br /> Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh