Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa Tài liệu luyện thi cấp tốc
GV:Nguyễn Tất Thu: 01699257507 Page 1
Câu 1. Khảo sát và những vấn đề liên quan
Vấn đề 1: Tính đơn điệu của hàm số
Với dạng này ta chỉ gặp tính đơn điệu của hàm số bậc ba: 3 2
y ax bx cx d,a 0
= + + + ¹
Ta có: 2
y ' 3ax 2bx c
= + +
·
Hàm số đồng biến trên
¡
khi và chỉ khi 2
3a 0
y ' 0, x
' b 3ac 0
>
ì
ï
³ " Î Û í
ï
î
¡
·
Hàm số nghịch biến trên
¡
khi và chỉ khi 2
3a 0
y ' 0, x
' b 3ac 0
<
ì
ï
£ " Î Û í
ï
î
¡
Ví dụ 1. Tìm m để hàm số
1) 3 2
y x 3mx 3m(m 1)x 2
= - + + +
đồng biến trên
¡
2)
3
2
(m 1)x
y (m 1)x (2m 3)x m
3
-
= - - + - +
nghịch biến trên
¡
.
·
Hàm số đồng biến trên
a b
( ; )
khi và chỉ khi
(
)
³ Û + + ³ " Î a b
2
y ' 0 3ax 2bx c 0, x ;
(1)
·
Hàm số nghịch biến trên
(a; b)
khi và chỉ khi
(
)
£ Û + + £ " Î a b
2
y ' 0 3ax 2bx c 0, x ;
(2).
Để giải (1) và (2) ta cô lập tham số (nếu có thể) rồi dùng hàm số để giải quyết với chú ý
* Nếu (1) và (2) biến đổi về dạng:
(
)
[ ]
;
m f(x), x ; m max f(x)
a b
³ " Î a b Û ³
* Nếu (1) và (2) biến đổi về dạng:
(
)
[ ]
;
m f(x), x ; m min f(x)
a b
£ " Î a b Û £ .
Ví dụ 2. Tìm m để hàm số
1) 3 2
1
y mx (m 1)x 3(m 2)x 1
3
= - - + - +
đồng biến trên
(
)
2;
+¥
2)
3
2
x
y (m 1)x (2m 1)x m
3
= - + + + +
nghịch biến trên
(
)
0;3
3)
(
)
(
)
3 2
y m 1 x 3 m 1 x 2mx 4
= + - + + +
đồng biến trên khoảng có độ dài nhỏ hơn
1
.
Trong trường hợp không cô lập được m thì ta sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai.
Ví dụ 3. Tìm m để hàm số 3 2 2
y x (m 1)x (2m 3m 2)x m(2m 1)
= - + - - + + -
đồng biến trên
)
2;
+¥
é
ë.
Vấn đề 2: Cực trị hàm số
1) Cực trị hàm số bậc ba: 3 2
y ax bx cx d,a 0
= + + + ¹
có 2
y ' 3ax 2bx c
= + +
·
Hàm số có cực trị
Û
y ' 0
=
có hai nghiệm phân biệt
·
Hàm số đạt cực trị tại
0
02
y '(x ) 0
x x
' b 3ac 0
=
ì
ï
= Û í
ï
î
·
Hàm số đạt cực đại tại 0
0
0
y '(x ) 0
x x
y "(x ) 0
=
ì
= Û í
<
î
·
Hàm số đạt cực tiểu tại 0
0
0
y '(x ) 0
x x
y "(x ) 0
=
ì
= Û í
>
î
Ví dụ 1. Tìm m để các hàm số
1) 3 2
y mx 3mx (m 1)x 1
= + - - -
có hai điểm cực trị
2)
3
2
(m 1)x
y (m 2)x (2m 1)x 4
3
-
= - + + - +
có cực trị
3) 3 2 2
y x 3mx (m 1)x 2
= - + - +
đạt cực tiểu tại
x 2
=
.
Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa Tài liệu luyện thi cấp tốc
GV:Nguyễn Tất Thu: 01699257507 Page 2
Ví dụ 2. Tìm các số thực
a,b,c,d
(với
a 0
¹
) sao cho hàm số : 3 2
y ax bx cx d
= + + +
Đạt cực đại tại cd
x 0,y 1
= =
và đạt cực tiểu tại ct
x 1,y 0
= =
.
Ví dụ 3. Tìm m để hàm số 2
y (x m)(x 3x m 1)
= - - - -
có cực đại và cực tiểu thoả cd ct
x .x 1
=
Ví dụ 4. Tìm m để 3 2
m
(C ) : y 2x mx 12x 13
= + - -
có điểm cực đại và cực tiểu và các điểm này cách đều trục
tung.
Ví dụ 5. Cho hàm số
(
)
(
)
(
)
3 2
y x 1 2m x 2 m x m 2 1
= + - + - + +
1. Khảo sát vẽ đồ thị khi
2
m
=
2. Tìm
m
để đồ thi hàm số (1) có điểm cực đại, cực tiểu và hoành độ của các điểm cực trị đó nhỏ hơn 1.
Cách tính cực trị của hàm số bậc ba
Cách 1: Nếu
2 2
' b 3ac (Am B)
D = - = + thì ta tìm các nghiệm
1 2
x ,x
của phương trình
y ' 0
=
rồi thay vào
phương trình hàm số ta tìm được
1 2
y ,y
.
Ví dụ 1. Cho hàm số:
(
)
3 2
y x 3x 3m m 2 x 1
= - - + -
(1)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) khi
m 0
=
.
2. Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số (1) có hai cực trị cùng dấu.
Ví dụ 2. Cho hàm số 3 2 2 2
y x 3x 3(m 1)x 3m 1
= - + + - - -
(1)
. Tìm
m
để đồ thị hàm số (1) có cực đại, cực tiểu
và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) cách đều gốc tọa độ
O
.
Cách 2: Nếu 2
' b 3ac
D = - không đưa được về dạng trên (tức là phương trình
y ' 0
=
có hai nghiệm xấu :D)
Thì ta chia
y
cho
y '
:
y (kx l)y ' mx n
= + + +
. Khi đó ct ct
y mx n
= +
và đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có
phương trình :
y mx n
= +
.
Ví dụ 3. Cho hàm số 3 2 2
y x 3x m x m
= - + +
. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số có điểm
cực đại và điểm cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng :
1 5
d : y x
2 2
= -
.
2) Cực trị hàm số trùng phương: 4 2
y ax bx c,a 0
= + + ¹
có
(
)
2
y ' 2x 2ax b
= +
, 2
b
y ' 0 x 0,x
2a
= Û = = -
·
Hàm số có ba điểm cực trị b
0
2a
Û - >
. Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là:
(
)
A 0; c
2 2
b 4ac b b 4ac b
B ; ,C ;
2a 4a 2a 4a
æ ö æ ö
- -
- - -
ç ÷ ç ÷
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
và tam giác ABC là tam giác cân tại A và Oy là trục đối xứng.
Ví dụ 1. Tìm m để hàm số 4 2 2
y x 2m x 1
= - +
có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông cân.
Ví dụ 2. Cho hàm số 4 2 2
y x 2mx 2m 1
= - + -
(Cm)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi
=
m 1
.
2. Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có gốc tọa độ O là tâm
đường tròn ngoại tiếp.
Ví dụ 3. Tìm
m
để đồ thị hàm số 4 2
2 2
y x mx
= - +
có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác nhận gốc tọa
độ làm trực tâm.
Ví dụ 4. Cho hàm số: 4 2
2 1
y x mx m
= - + +
(Cm). Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị và tam giác mà 3 đỉnh
là 3 điểm cực trị của đồ thị (Cm) có diện tích bằng 1.
Vấn đề 4. Bài toán phương trình tiếp tuyến
Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa Tài liệu luyện thi cấp tốc
GV:Nguyễn Tất Thu: 01699257507 Page 3
1) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số bậc ba
Vấn đề 5. Bài toán giao điểm
1) Giao của đồ thị (C):
ax b
y
mx n
+
=
+
với đường thẳng
: y cx d
D = +
Phương trình hoàn độ giao điểm của (C) và
D
: 2
ax b
cx d mcx (cn md a)x nd b 0
mx n
+
= + Û + + - + - =
+
(*)
(C) cắt
D
tại hai điểm phân biệt A, B khi và chỉ khi (*) có hai nghiệm phân biệt 1 2
n
x ,x
m
¹ -
Khi đó:
( ) ( )
D
+ + Þ = + - = +
2 2 2 2
1 1 2 2 1 2
2
A x ;cx d ,B x ;cx d AB (c 1)(x x ) (c 1)
a
.
Chú ý: 1
S h.AB
2
DIAB = với
h d(I, )
= D
.
Ví dụ 1. Tìm m để đường thẳng
y 2x m
= - +
cắt đồ thị (C) :
2x 1
y
x 1
+
=
+
tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
tam giác
OAB
có diện tích bằng
3
.
Ví dụ 2. Tìm
m
để đường thẳng
d : y 2x m
= +
cắt đồ thị
x 1
(C) : y
x 1
+
=
-
tại hai điểm phân biệt
,
A B
sao cho
tiếp tuyến của
( )
C
tại
,
A B
song song với nhau.
Ví dụ 3. Tìm m để đường thẳng
d : y 2x m
= +
cắt đồ thị (C):
2x 2
y
x 1
-
=
+
tại 2 điểm phân biệt
,
A B
sao cho
AB 5
=.
Ví dụ 4. Tìm m để đồ thị (C):
2x 1
y
x 1
+
=
-
cắt đường thẳng
d : y 2x m
= +
tại hai điểm phân biệt nằm về một
nhánh đối với (C).
2) Giao của đồ thị 3 2
(C) : y ax bx cx d
= + + +
và
: y mx n
D = +
PTHĐ giao điểm: 3 2
ax bx (c m)x d n 0
+ + - + - =
(*)
(C) cắt
D
tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi (*) có 3 nghiệm phân biệt
·
Nếu (*) có nghiệm
0
x x
=
ta biến đổi (*) về dạng:
(
)
2
0
(x x ) x x 0
- a + b + g =
và (*) có 3 nghiệm phân biệt
khi phương trình 2
x x 0
a + b + g =
có hai nghiệm phân biệt khác
0
x
.
·
Nếu (*) không có nghiệm đặc biệt thì ta tìm các cô lập tham số rồi sự dụng hàm số để giải quyết
Chú ý: Các giao điểm của (C) và
D
có dạng: i i i
A (x ;mx n)
+
trong đó
i
x
là nghiệm của (*).
Ví dụ 1. Cho hàm số 3 2
y x 3x 4
= - +
(1).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
2. Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm
I(1; 2)
với hệ số góc
k (k 3)
> -
đều cắt đồ thị của hàm số
(1) tại ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của đoạn thẳng AB.
Ví dụ 2. Tìm
m
để đồ thị hàm số 3 2
y x 6x 3m(m 4)x 8
= - - + -
cắt Ox tại ba điểm phân biệt.
Ví dụ 3. Cho hàm số 3 2
2 ( 3) 4
y x mx m x
= + + + +
(
m
C
)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị khi
1
m
=
.
Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa Tài liệu luyện thi cấp tốc
GV:Nguyễn Tất Thu: 01699257507 Page 4
2. Tìm
m
để đường thẳng
: 4
d y x
= +
cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt
(0;4), ,
A B C
sao cho tam giác
IBC
có diện tích bằng
8 2
với
(1;3)
I
.
Ví dụ 4. Cho hàm số
(
)
3 2
y x 2x 1 m x m
= - + - +
(1), m là số thực
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
2. Tìm m để đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ
1 2 3
x , x , x
thỏa mãn
điều kiện : 2 2 3
1 2 2
x x x 4
+ + <
.
3) Giao của đồ thị 4 2
(C) : y ax bx c
= + +
và
: y n
D =
PTHĐ giao điểm: 4 2
ax bx c n 0
+ + - =
(1). Đặt 2
t x ,t 0
= ³
ta có phương trình : 2
at bt c n 0
+ + - =
(2).
(C) và
D
cắt nhau tại bốn điểm phân biệt khi và chỉ khi (2) có hai nghiệm dương phân biệt
1 2
t t
<
2
b 4a(c n) 0
b
S 0
a
c n
P 0
a
ì
ï
D = - - >
ï
ï
Û = - >
í
ï
ï-
= >
ï
î
. Khi đó tạo độ các gia điểm là:
(
)
(
)
(
)
(
)
2 1 1 2
A t ;n ,B t ;n ,C t ;n ,D t ;n
- - .
Ví dụ 1. Cho hàm số 4 2
y x 2(m 1)x 2m 1
= - + + - -
(C)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi
0
m
=
.
2. Xác định tham số m để đồ thị (C) cắt trục
Ox
tại 4 điểm phân biệt lập thành cấp số cộng.
Ví dụ 2. Cho hàm số
(
)
4 2
y x – 3m 2 x 3m
= + + có đồ thị là (Cm), m là tham số.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi
0
m
=
.
2. Tìm m để đường thẳng
1
y
= -
cắt đồ thị (Cm) tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2.
Ví dụ 3. Cho hàm số 4 2
y x 2(m 1)x 2m 1
= - + + +
,
( )
m
C
(
m
là tham số).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi
1.
=
m
2) Xác định
m
để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt A,B,C,D lần lượt có hoành độ
1 2 3 4
x ,x ,x , x
,
1 2 3 4
(x x x x )
<<< sao cho tam giác ACK có diện tích bằng
4
, với
(3; 2)
-
K.
4) Bài toán suy đồ thị:
Cho đồ thị
(C) : y f(x)
=. Từ đồ thị (C) hay suy ra đồ thị các hàm số sau
(
)
1
(C ) : y f x
= 2
(C ) : y f(x)
= 3
f(x) khi x I
(C ) : y
f(x) khi x I
Î
ì
=í
- Ï
î.
Phương pháp:
·
Vẽ
1
(C )
: Vì hàm số
(
)
y f x
= là hàm số chẵn nên
1
(C )
nhận Oy làm trục đối xứng. Do đó để vẽ đồ thị
1
(C )
ta chỉ cần vẽ một bên Oy rồi lấy đối xứng qua Oy phần vừa vẽ ta được đồ thị
1
(C )
. Mà với
x 0
³
thì
(
)
f x f(x)
= nên 1
(C ) (C)
º, tức là phần đồ thị của
1
(C )
nằm về phía bến phải trục Oy trùng với đồ thị (C).
Vậy ta có cách vẽ đồ thị
1
(C )
như sau
B1: Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phia bên phải trục Oy (ta gọi là phần (1))
B2: Lấy đối xứng phần (1) qua Oy ta được phần (2)
B3: Lấy hợp của hai phần (1) và (2) ta có đồ thị
1
(C )
.
Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa Tài liệu luyện thi cấp tốc
GV:Nguyễn Tất Thu: 01699257507 Page 5
·
Vẽ
2
(C )
: Ta có
f(x) khi f(x) 0
f(x)
f(x) khi f(x) 0
³
ì
=í
- <
î. Suy ra ứng với miền
f(x) 0
³
(tức là phần đồ thị (C) nằm trên
Ox) thì hai đồ thị (C) và
2
(C )
trùng nhau, còn miền
f(x) 0
<
(tức là phần đồ thị (C) nằm phía dưới Ox) thì hai
đồ thị (C) và
2
(C )
đối xứng nhau qua Ox. Từ đó ta có cách vẽ đồ thị
2
(C )
như sau:
B1: Phần đồ thị (C) nằm trên Ox thì ta giữ nguyên (ta gọi là phần (3))
B2: Phần đồ thị (C) nằm dưới Ox thì ta lấy đối xứng qua Ox (ta gọi là phần (4))
B3: Lấy hợp của hai phần (3) và (4) ta có đồ thị
2
(C )
·
Vẽ
3
(C )
: Ta có ứng với miền
x I
Î
thì hai đồ thị (C) và
3
(C )
trùng nhau, còn ứng với miền
x I
Ï
thi (C) và
3
(C )
đối xứng nhau qua Ox, nên ta có cách vẽ
3
(C )
như sau:
B1: Phần đồ thị (C) nằm trên Ox thì ta giữ nguyên (ta gọi là phần (3))
B2: Phần đồ thị (C) nằm dưới Ox thì ta lấy đối xứng qua Ox (ta gọi là phần (4))
B3: Lấy hợp của hai phần (3) và (4) ta có đồ thị
2
(C )
.
Ví dụ 1. Cho hàm số
(
)
4 2
y 2x – 4x 1
=
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
2. Với các giá trị nào của
m
, phương trình 2 2
x x 2 m
- =
có đúng 6 nghiệm thực phân biệt?
Ví dụ 2. Cho hàm số: 3 2
y 2x 9x 12x 4
= - + -
có đồ thị là (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
2. Tìm
m
để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt : 3 2
2 x 9x 12 x m
- + =
.
Ví dụ 3. Cho hàm số 3
y x 3x 1
= - +
(C).
1) Khảo sát và vẽ (C)
2) Tìm m để phương trình 3
x 3x 1 m
- + =
có 6 nghiệm phân biệt.
Vấn đề 6. Điểm thuộc đồ thi
Ta thường gặp bài toán: Tìm điểm
M
nằm trên đồ thị
(C) : y f(x)
= thỏa mãn tính cách T nào đó. Để giải bài
toán này ta làm như sau:
Gọi
M(m;f(m))
, dựa vào M thỏa tính chất T cho ta một phương trình ẩn
m
. Giải phương trình này ta tìm
được
m
.
Chú ý: Cho hai điểm
M(a; b),N(c; d)
·
M, N đối xứng nhau qua Ox
a c
b d
=
ì
Ûí
= -
î
·
M, N đối xứng nhau qua Oy
a c
b d
= -
ì
Ûí
=
î
·
M, N đối xứng nhau qua O
a c
b d
= -
ì
Ûí
= -
î
·
0 0
2 2
ax by c
d(M, )
a b
+ +
D = +.
Ví dụ 1. Cho hàm số:
x
y
x 1
=
+
(1) có đồ thị (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1).
2. Tìm các điểm
M
thuộc (C) có khoảng cách đến đường thẳng
: 3x 4y 0
D + =
bằng 1.
Ví dụ 2. Cho hàm số
3
2
x 11
y x 3x
3 3
= - + + -
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
(
)
C
của hàm số .
2. Tìm trên
(
)
C
hai điểm phân biệt
,
M N
đối xứng với nhau qua trục tung.