Tài liệu ôn tập Toán lớp 11: Chủ đề - Hàm số lượng giác

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:40

Thêm vào BST

Báo xấu

16
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu ôn tập Toán lớp 11: Chủ đề - Hàm số lượng giác bao gồm kiến thức trọng tâm, một số ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm tự luyện chủ đề hàm số lượng giác, có đáp án và lời giải chi tiết; giúp học sinh lớp 11 tham khảo và ôn tập hiệu quả. Mời thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tài liệu ôn tập Toán lớp 11: Chủ đề - Hàm số lượng giác

CHỦ ĐỀ HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 1) Các hệ thức lượng giác cơ bản * Hàm số y  sin x  D  R * Hàm số y  cos x  D  R   * Hàm số y  tan x  D  R \   k  2  * Hàm số y  cot x  D  R \ k  u  x * Hàm số y   điều kiện xác định là v  x   0 v  x u  x * Hàm số y   điều kiện xác định là v  x   0 v  x 2) Tính tuần hoàn của hàm số lượng giác - Định nghĩa Hàm số y  f  x  có tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn, nếu tồn tại một số T  0 sao cho với mọi x  D ta có: * x  T  D và x  T  D * f  x  T   f  x Số dương T nhỏ nhất thỏa mãn các tính chất trên được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn đó. Người ta chứng minh được rằng hàm số y  sin x tuần hoàn với chu kì T  2 ; hàm số y  cos x tuần hoàn với chu kì T  2 ; hàm số y  tan x tuần hoàn với chu kì T   ; hàm số y  cot x tuần hoàn với chu kì T   . - Chú ý 2 * Hàm số y  sin  ax  b  tuần hoàn với chu kì T0  a 2 * Hàm số y  cos  ax  b  tuần hoàn với chu kì T0  a  * Hàm số y  tan  ax  b  tuần hoàn với chu kì T0  a  * Hàm số y  cot  ax  b  tuần hoàn với chu kì T0  a Trang 1
* Hàm số y  f1  x  tuần hoàn với chu kì T1 và hàm số y  f 2  x  tuần hoàn với chu kì T2 thì hàm số y  f1  x   f 2  x  tuần hoàn với chu kì T0 là bội chung nhỏ nhất của T1 và T2 . 3) Tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác - Định nghĩa * Hàm số y  f  x  có tập xác định D được gọi là hàm số chẵn nếu nó thỏa mãn đồng thời hai điều kiện  x  D   x  D sau:   f   x   f  x  * Hàm số y  f  x  có tập xác định D được gọi là hàm số lẻ nếu nó thỏa mãn đồng thời hai điều kiện  x  D   x  D sau:   f   x    f  x  - Chú ý * Các hàm số chẵn thường gặp: cos x; cos kx; sin 2 x; sin 2  kx  ; cos 2  kx  * Các hàm số lẻ thường gặp: sin x; tan x; cot x; sin 3 x; tan 3 x... f  x * Hàm số f  x  chẵn và g  x  lẻ thì hàm f  x  .g  x  và đều là hàm số lẻ. g  x f  x * Hàm số f  x  và g  x  đều là hàm lẻ thì hàm f  x  .g  x  và đều là hàm số chẵn. g  x 4) Sự biến thiên và đồ thị các hàm số lượng giác a) Hàm số y = sinx * Tập xác định: D  R * Tập giá trị T   1; 1 , có nghĩa là 1  sin x  1 * Là hàm số tuần hoàn chu kì 2 , có nghĩa  x  k 2   sin x với k       * Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng    k 2 ;  k 2  và nghịch biến trên mỗi khoảng  2 2   3    k 2 ;  k 2  , k   2 2  * Là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. Đồ thị hàm số như hình vẽ bên dưới. Trang 2
b) Hàm số y = cosx * Tập xác định: D  R * Tập giá trị T   1; 1 , có nghĩa 1  sin x  1 * Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2 , có nghĩa cos  x  k 2   cos x với k   * Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng    k 2 ; k 2  và nghịch biến trên mỗi khoảng  k 2 ;   k 2  , k   * Là hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng. Đồ thị hàm số như hình vẽ bên dưới c) Hàm số y = tanx   * Tập xác định D   \   k , k    2  * Tập giá trị T   * Là hàm số tuần hoàn với chu kì  , có nghĩa tan  x  k   tan x với k       * Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng    k ;  k  , k    2 2  * Là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng Trang 3
d) Hàm số y = cotx * Tập xác định D   \ k , k   * Tập giá trị T   * Là hàm số tuần hoàn với chu kì  , có nghĩa tan  x  k   tan x với k   * Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng  k ;   k   , k   * Là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. II. HỆ THỐNG VÍ DỤ MINH HỌA - Dạng 1: Tập xác định và Tập giá trị của hàm số lượng giác Ví dụ 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau:  2x  a) y  sin   b) y  sin x  x 1 Lời giải: a) ĐK xác định: x  1  TXĐ: D   \ 1 Trang 4
b) ĐK xác định: sin x  0  2k  x   2k  1  Suy ra TXĐ: D   2k  ;  2k  1   Ví dụ 2. Tìm tập xác định và tập giá trị của các hàm số sau: 1 a) y  1  cos 2 x b) y  sin x  1 Lời giải: a) ĐK xác định: 1  cos 2 x  0 (luôn đúng)  TXĐ:  Lại có: 0  cos 2 x  1  0  1  cos 2 x  1  0  y  1  Tập giá trị là T   0, 1     b) ĐK xác định: sin x  1  0  sin x  1  sin x    2 k   D  R \    2 k  2  2  1 1  Ta có: 0  sin x  1  2  y   Tập giá trị là T   ,    2 2  1  sin x Ví dụ 3. Tìm tập xác định D của hàm số y  cos x  1   a) D   . b) D   \   k , k    . 2  c) D   \ k , k   . d) D   \ k 2 , k   . Lời giải: Hàm số xác định khi và chỉ khi cos x  1  0  cos x  1  x  k 2 , k   Vậy tập xác định D   \ k 2 , k   . Chọn D 1 Ví dụ 4. Tìm tập xác định D của hàm số y    sin  x    2    a) D   \  k , k    . b) D   \ k  , k   .  2     c) D   \ 1  2k  , k    . d) D   \ 1  2k   , k   .  2  Lời giải:     Hàm số xác định  sin  x    0  x   k  x   k , k    2 2 2   Vậy tập xác định D   \   k , k    . Chọn C  2  1 Ví dụ 5. Tìm tập xác định D của hàm số y  sin x  cos x    a) D   . b) D   \    k  , k    .  4  Trang 5
    c) D   \   k 2 , k    . d) D   \   k , k    . 4  4  Lời giải:  Hàm số xác định  sin x  cos x  0  tan x  1  x   k , k   4   Vậy tập xác định D   \   k , k    . Chọn D  4    Ví dụ 6. Tìm tập xác định D của hàm số y  cot  2 x    sin 2 x  4   a) D   \   k , k    . b) D  Ø . 4     c) D   \   k , k    . d) D   . 8 2  Lời giải:     k Hàm số xác định sin  2 x    0  2 x   k   x   , k   4 4 8 2    Vậy tập xác định D   \   k , k    . Chọn C  8 2  x  Ví dụ 7. Tìm tập xác định D của hàm số y  3 tan 2    2 4  3    a) D   \   k 2 , k    . b) D   \   k 2 , k    .  2  2   3    c) D   \   k , k    . d) D   \   k , k    . 2  2  Lời giải: x  x   3 Hàm số xác định  cos 2     0     k  x   k 2 , k   2 4 2 4 2 2  3  Vậy tập xác định D   \   k 2 , k    . Chọn A  2  Ví dụ 8. Tìm tập xác định D của hàm số y  1  sin 2 x  1  sin 2 x a) D  Ø . b) D   .  5   5 13  c) D    k 2 ;  k 2  , k   . d) D    k 2 ;  k 2  , k   .  6 6   6 6  Lời giải: 1  sin 2 x  0 Ta có: 1  sin 2 x  1   , x   . 1  sin 2 x  0 Vậy tập xác định D   . Chọn B Trang 6
  Ví dụ 9. Tìm tập xác định D của hàm số y  5  2cot 2 x  sin x  cot   x  2   k     a) D   \  , k    . b) D   \   k , k    .  2   2  c) D   . d) D   \ k  , k   . Lời giải: Hàm số xác định khi và chỉ khi các điều kiện sau thỏa mãn đồng thời   5  2 cot 2 x  sin x  0, cot   x  xác định và cot x xác định. 2  2 cot 2 x  0 Ta có:   5  2 cot 2 x  sin x  0, x     1  sin x  1  5  sin x  0       * cot   x  xác định  sin   x   0   x  k  x    k , k   2  2  2 2 * cot x xác định  sin x  0  x  k  , k      x    k k Do đó hàm số xác định   2 x , k   x  k  2  k  Vậy tập xác định D   \  , k    . Chọn A  2  1 1 Ví dụ 10. Hàm số y  tan x  cot x   không xác định trong khoảng nào trong các khoảng sin x cos x sau đây?     3  a)  k 2 ,  k 2  với k   . b)    k 2 ,  k 2  với k   .  2   2    c)   k 2 ,   k 2  với k   . d)   k 2 , 2  k 2  với k   . 2  Lời giải: sin x  0 k Hàm số xác định    sin 2 x  0  2 x  k   x  , k . cos x  0 2 3 3 Ta chọn k  3  x  nhưng điểm thuộc khoảng   k 2 ; 2  k 2  . 2 2 Vậy hàm số không xác định trong khoảng   k 2 ; 2  k 2  . Chọn D Dạng 2: Tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác Ví dụ 1. Xét tính chẵn – lẻ của hàm số sau a) y  sin 2 x b) y  2sin x  3 Trang 7
Lời giải: a) f   x   sin  2 x    sin 2 x   f  x  . Suy ra hàm số đã cho là hàm lẻ. b) Ta có f   x   2sin   x   3  2sin x  3    2sin x  3  9   f  x   9 Suy ra hàm số đã cho không phải là hàm chẵn (lẻ) Ví dụ 2. Xét tính chẵn – lẻ của hàm số sau a) y  sin x  cos b) y  tan x  cot x Lời giải: a) f   x   sin   x   cos   x    sin x  cos x    sin x  cos x   2 cos x   f  x   2 cos x Suy ra hàm số đã cho không phải là hàm chẵn (lẻ) sin   x  cos   x   sin x cos x b) f   x   tan   x   cot   x      cos   x  sin   x  cos  sin x   tan x  cot x    tan x  cot x    f  x  Vậy hàm số đã cho là hàm lẻ . Ví dụ 3. Xét tính chẵn – lẻ của hàm số sau sin x  tan x cos3 x  1 a) y  b) y  sin x  cot x sin 3 x Lời giải: sin   x   tan   x   sin x  tan x sin x  tan x a) Ta có f   x      f  x sin   x   cot   x   sin x  cot x sin x  cot x Suy ra hàm số đã cho là hàm chẵn. cos3   x   1 cos3 x  1 b) Ta có f   x      f  x  . Suy ra hàm số đã cho là hàm lẻ. sin 3   x  sin 3 x Ví dụ 4. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn a) y   sin x b) y  cos x  sin x c) y  cos x  sin 2 x d) y  cos x sin x Lời giải: Tất cả các hàm số đề có TXĐ: D   . Do đó x  D   x  D . Bây giờ ta kiểm tra f   x   f  x  hoặc f   x    f  x  * Với y  f  x    sin x . Ta có f   x    sin   x   sin x     sin x   f   x    f  x  . Suy ra hàm số y   sin x là hàm số lẻ. * Với y  f  x   cos x  sin x . Ta có:..  f   x    f  x  , f  x  . Suy ra hàm số f  x   cos x  sin x không chẵn không lẻ. * Với y  f  x   cos x  sin 2 x . Ta có f   x   cos   x   sin 2   x  Trang 8
 cos   x   sin   x    cos x    sin x   cos x  sin 2 x 2 2  f   x   f  x  . Suy ra hàm số y  cos x  sin 2 x là hàm chẵn. Chọn C. * Với y  f  x   cos x sin x . Ta có f   x   cos   x  .sin   x    cos x sin x  f   x    f  x  . Suy ra hàm số y  cos x sin x là hàm số lẻ. Ví dụ 5. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn? a) y  sin 2 x b) y  x cos x tan x c) y  cos x.cot x d) y  sin x Lời giải: * Xét hàm số y  f  x   sin 2 x . TXĐ: D   . Do đó x  D   x  D . Ta có f   x   sin  2 x    sin 2 x   f  x   f  x  là hàm số lẻ. * Xét hàm số y  f  x   x cos x . TXĐ: D   . Do đó x  D   x  D . Ta có: f   x     x  .cos   x    x cos x   f  x   f  x  là hàm số lẻ. * Xét hàm số y  f  x   cos x cot x TXĐ: D   \ k  k    . Do đó x  D   x  D . Ta có f   x   cos   x  .cot   x    cos x cot x   f  x   f  x  là hàm số lẻ. tan x * Xét hàm số y  f  x   sin x    TXĐ: D   \ k  k     . Do đó x  D   x  D .  2  tan   x   tan x tan x Ta có f   x      f  x   f  x  là hàm số chẵn. Chọn D. sin   x   sin x sin x Ví dụ 6. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn? a) y  sin x b) y  x 2 sin x x c) y  d) y  x  sin x cos x Lời giải: Dựa vào các dấu hiệu nhận biết hàm chẵn lẻ ở phần lí thuyết ta dễ dàng thấy rằng ở phương án A là hàm số chẵn, các đáp án B, C, D là hàm số lẻ. Chọn A. Ví dụ 7. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ? Trang 9
a) y  cos x  sin 2 x . b) y  sin x  cos x . c) y   cos x . d) y  sin x.cos 3 x . Lời giải: Dựa vào các dấu hiệu nhận biết hàm chẵn lẻ ở phần lí thuyết ta dễ dàng thấy rằng ở phương án A và C là các hàm số chẵn. Đáp án B là hàm số không chẵn, không lẻ. Đáp án D là hàm số lẻ. Chọn D. Ví dụ 8. Cho hàm số f  x   sin 2 x và g  x   tan 2 x . Chọn mệnh đề đúng a) f  x  là hàm số chẵn, g  x  là hàm số lẻ. b) f  x  là hàm số lẻ, g  x  là hàm số chẵn. c) f  x  là hàm số chẵn, g  x  là hàm số chẵn. d) f  x  và g  x  đều là hàm số lẻ. Lời giải: * Xét hàm số f  x   sin 2 x . TXĐ: D   . Do đó x  D   x  D . Ta có f   x   sin  2 x    sin 2 x   f  x   f  x  là hàm số lẻ. * Xét hàm số g  x   tan 2 x   TXĐ: D   \   k   k     . Do đó x  D   x  D . 2  Ta có g   x    tan   x      tan x   tan 2 x  g  x   f  x  là hàm số chẵn. Chọn B. 2 2 cos 2 x sin 2 x  cos 3x Ví dụ 9. Cho hai hàm số f  x   và g  x   . 1  sin 3 x 2 2  tan 2 x Mệnh đề nào sau đây là đúng? a) f  x  lẻ và g  x  chẵn. b) f  x  và g  x  chẵn. c) f  x  chẵn, g  x  lẻ. d) f  x  và g  x  lẻ. Lời giải: cos 2 x * Xét hàm số f  x   1  sin 2 3 x TXĐ: D   . Do đó x  D   x  D . cos  2 x  cos 2 x Ta có f   x     f  x   f  x  là hàm số chẵn. 1  sin 2  3x  1  sin 2 3x sin 2 x  cos 3 x * Xét hàm số g  x   . 2  tan 2 x   TXĐ: D   \   k   k     . Do đó x  D   x  D .  2  sin  2 x   cos  3 x  sin 2 x  cos 3 x Ta có g   x     g  x   g  x  là hàm số chẵn. 2  tan 2 x 2  tan 2 x Vậy f  x  và g  x  chẵn. Chọn B. Trang 10
Dạng 3: Chu kì của hàm số lượng giác Ví dụ 1. Mệnh đề nào sau đây là sai? a) Hàm số y  sin x tuần hoàn với chu kì 2 . b) Hàm số y  cos x tuần hoàn với chu kì 2 . c) Hàm số y  tan x tuần hoàn với chu kì 2 . d) Hàm số y  cot x tuần hoàn với chu kì  . Lời giải: Vì hàm số y  tan x tuần hoàn với chu kì  . Chọn C. Ví dụ 2. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào không tuần hoàn? a) y  cos x . b) y  cos 2 x . 1 c) y  x 2 cos x . d) y  . sin 2 x Lời giải: * Hàm số y  cos x tuần hoàn với chu kì T  2 . * Hàm số y  cos 2 x tuần hoàn với chu kì T   . 1 * Hàm số y  tuần hoàn với chu kì T   . sin 2 x * Hàm số y  x 2 cos x không phải là hàm tuần hoàn. Chọn C.   Ví dụ 3. Tìm chu kì T của hàm số y  sin  5 x    4 2 5 a) T  b) T  5 2   c) T  d) T  2 8 Lời giải: 2 Hàm số y  sin  ax  b  tuần hoàn với chu kì T  . a   2 Áp dụng: Hàm số y  sin  5 x   tuần hoàn với chu kì T  . Chọn A.  4 5 x  Ví dụ 4. Tìm chu kì T của hàm số y  cos   2016   2  a) T  4 b) T  2 c) T  2 d) T   Lời giải: Trang 11
2 Hàm số y  cos  ax  b  tuần hoàn với chu kì T  a x  Áp dụng: Hàm số y  cos   2016  tuần hoàn với chu kì T  4 . Chọn A. 2  x Ví dụ 5. Tìm chu kì T của hàm số y  cos 2 x  sin . 2 a) T  4 . b) T   .  c) T  2 . d) T  . 2 Lời giải: 2 Hàm số y  cos 2 x tuần hoàn với chu kì T1   . 2 x 2 Hàm số y  sin tuần hoàn với chu kì T2   4 2 1 2 x Suy ra hàm số y  cos 2 x  sin tuần hoàn với chu kì T  4 . Chọn A. 2 Nhận xét. T là bội chung nhỏ nhất của T1 và T2 . Ví dụ 6. Tìm chu kì T của hàm số y  cos 3 x  cos 5 x . a) T   b) T  3 c) T  2 d) T  5 Lời giải: 2 Hàm số y  cos 3 x tuần hoàn với chu kì T1  . 3 2 Hàm số y  cos 5 x tuần hoàn với chu kì T2  . 5 Suy ra hàm số y  cos 3 x  cos 5 x tuần hoàn với chu kì T  2 . Chọn C.     Ví dụ 7. Tìm chu kì T của hàm số y  sin  2 x    2 cos  3 x   .  3  4 a) T  2 . b) T   . c) T  3 . d) T  4 . Lời giải:   2 Hàm số y  sin  2 x   tuần hoàn với chu kì T1   .  3 2   2 Hàm số y  2 cos  3x   tuần hoàn với chu kì T2  .  4 3     Suy ra hàm số y  sin  2 x    2 cos  3 x   tuần hoàn với chu kì T  2 . Chọn A  3  4 Trang 12
Ví dụ 8. Tìm chu kì T của hàm số y  tan 3 x  cot x . a) T  4 . b) T   .  c) T  3 . d) T  . 3 Lời giải:  Hàm số y  cot  ax  b  tuần hoàn với chu kì T  a  Áp dụng: Hàm số y  tan 3 x tuần hoàn với chu kì T1  . 3 Hàm số y  cot x tuần hoàn với chu kì T2   . Suy ra hàm số y  tan 3 x  cot x tuần hoàn với chu kì T   . Chọn B. Nhận xét. T là bội chung nhỏ nhất của T1 và T2 . x Ví dụ 9. Tìm chu kì T của hàm số y  cot  sin 2 x 3 a) T  4 . b) T   .  c) T  3 . d) T  . 3 Lời giải: x Hàm số y  cot tuần hoàn với chu kì T1  3 . 3 Hàm số y  sin 2 x tuần hoàn với chu kì T2   . x Suy ra hàm số y  cot  sin 2 x tuần hoàn với chu kì T  3 . Chọn C. 3 Ví dụ 10. Tìm chu kì T của hàm số y  2sin 2 x  3cos 2 3 x a) T   . b) T  2 .  c) T  3 . d) T  . 3 Lời giải: 1  cos 2 x 1  cos 6 x 1 Ta có y  2.  3.   3cos 6 x  2 cos 2 x  5  2 2 2 2  Hàm số y  3cos 6 x tuần hoàn với chu kì T1   . 6 3 Hàm số y  2 cos 2 x tuần hoàn với chu kì T2   . Suy ra hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì T   . Chọn A. Ví dụ 11. Tìm chu kì T của hàm số y  tan 3 x  cos 2 2 x Trang 13
 a) T   . b) T  . 3  c) T  . d) T  2 . 2 Lời giải: 1  cos 4 x 1 Ta có y  tan 3 x    2 tan 3 x  cos 4 x  1 . 2 2  Hàm số y  2 tan 3x tuần hoàn với chu kì T1  . 3 2  Hàm số y   cos 4 x tuần hoàn với chu kì T2   . 4 2 Suy ra hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì T   . Chọn C. Ví dụ 12. Hàm số nào sau đây có chu kì khác 2 ? x x a) y  cos3 x . b) y  sin cos . 2 2 x  c) y  sin 2  x  2  . d) y  cos 2   1 . 2  Lời giải: 1 Hàm số y  cos3 x   cos 3 x  3cos x  có chu kì là 2 . 4 x x 1 Hàm số y  sin cos  sin x có chu kì là 2 . 2 2 2 1 1 Hàm số y  sin 2  x  2    cos  2 x  4  có chu kì là  . 2 2 x  1 1 Hàm số y  cos 2   1   cos  x  2  có chu kì là 2 . Chọn C. 2  2 2 Ví dụ 13. Hai hàm số nào sau đây có chu kì khác nhau? x a) y  cos x và y  cot . b) y  sin x và y  tan 2 x . 2 x x c) y  sin và y  cos . d) y  tan 2 x và y  cot 2 x . 2 2 Lời giải: x Hàm số y  cos x và y  cot có cùng chu kì là 2 . 2  Hàm số y  sin x có chu kì là 2 , hàm số y  tan 2 x có chu kì là . 2  x Hàm số y  sin và y  cos có cùng chu kì là 4 . 2 2 Trang 14
 Hàm số y  tan 2 x và y  cot 2 x có cùng chu kì là . Chọn B. 2 Dạng 4: Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số lượng giác * Miền giá trị: 1  sin  kx   1; 1  cos  kx   1; 0  sin 2  kx   1; 0  cos 2  kx   1 * Với hàm số y  a.sin x  b.cos x   a 2  b 2  y  a 2  b 2 a.sin x  b.cos x  c * Với hàm số y   nhân chéo và đưa về trường hợp trên để tìm miền giá trị. m.sin x  n.cos x  p Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: a) y  4sin 2  4sin x  3 b) y  cos 2 x  2sin x  2 Lời giải: a) y  4 sin 2 x  4sin x  3   2sin x  1  2 2 Ta có: 1  sin x  1  3  2sin x  1  1  0   2sin x  1  9  2  y  9 2   max y  9  sin x  1  x   2  2k  k,l   min y  2  sin x  1  x    2l , x  5  2l  2 6 6 b) y  cos 2 x  2 sin x  2   sin 2 x  2sin x  3  4   sin x  1 2 Ta có: 1  sin x  1  2  sin x  1  0  0   2 sin x  1  4  0  y  4 2   max y  4  sin x  1  x  2  2k  k, l   min y  0  sin x  1  x     2l  2 Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: a) y  sin 4 x  2 cos 2 x  1 b) y  3 sin 2 x  cos 2 x Lời giải: a) y  sin 4 x  2 cos 2 x  1  sin 4 x  2 sin 2 x  1   sin 2 x  1  2 2 Ta có: 0  sin 2 x  1  1  sin 2 x  1  2  1   sin 2 x  1  2  1  y  2 2   max y  2  sin x  1  x    2k 2  2 k,l   min y  1  sin x  0  x  l 2  b) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: Trang 15
y2   3 sin 2 x  cos 2 x  2   3  2   1 2  sin x  cos x   4  2  y  2 2 2  sin 2 x cos 2 x  max y  2    0  x   k 3 1 6  k,l   min y  2  sin 2 x  cos 2 x  0  x     k  3 1 6 Ví dụ 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y  sin x  3 cos x  3 Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có  sin x  3 cos x  2   1  2  3    sin 2 2 x  cos 2 x   4  2  sin x  3 cos x  2  1  y  5  sin x cos x  max y  5  1  3  0  x  6  2k    k,l   min y  1  sin x  cos x  0  x   5  2k  1 3 6   Ví dụ 4. Cho hàm số y  2 sin  x    2 . Mệnh đề nào sau đây là đúng?  3 a) y  4, x   . b) y  4, x   . c) y  0, x   . d) y  2, x   . Lời giải:     Ta có: 1  sin  x    1  2  2 sin  x    2  3  3    4  2sin  x    2  0  4  y  0 . Chọn C.  3 Ví dụ 5. Hàm số y  5  4 sin 2 x cos 2 x có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên? a) 3. b) 4. c) 5. d) 6. Lời giải: Ta có y  5  4 sin 2 x cos 2 x  5  2 sin 4 x . Mà 1  sin 4 x  1  2  2 sin 4 x  2  3  5  2sin 4 x  7 y  3  y  7   y  3; 4; 5; 6; 7 nên y có 5 giá trị nguyên. Chọn C   Ví dụ 6. Hàm số y  sin  x    sin x có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?  3 a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. Lời giải: Trang 16
ab a b Áp dụng công thức sin a  sin b  2 cos sin , ta có 2 2        sin  x    sin x  2 cos  x   sin  cos  x    3  6 6  6   y Ta có 1  cos  x    1  1  y  1   1; 0; 1 . Chọn C  6 Ví dụ 7. Hàm số y  sin 4 x  cos 4 x đạt giá trị nhỏ nhất tại x  x0 . Mệnh đề nào sau đây là đúng? a) x0  k 2 , k   . b) x0  k , k   .  c) x0    k 2 , k   . d) x0   k , k   . 2 Lời giải: Ta có y  sin 4 x  cos 4 x   sin 2 x  cos 2 x  sin 2 x  cos 2 x    cos 2 x . Mà 1  cos 2 x  1  1   cos 2 x  1  1  y  1 Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số là -1. Đẳng thức xảy ra  cos 2 x  1  2 x  k 2  x  k  k    . Chọn B   Ví dụ 8. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y  4sin 2 x  2 sin  2 x   .  4 a) M  2 . b) M  2  1 . c) M  2  1 . d) M  2  2 . Lời giải:    1  cos 2 x  Ta có y  4sin 2 x  2 sin  2 x    4    sin 2 x  cos 2 x  4  2     sin 2 x  cos 2 x  2  2 sin  2 x    2 .  4     Mà 1  sin  2 x    1   2  2  2 sin  2 x    2  2  2 .  4  4 Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 2  2 . Chọn D. Ví dụ 9. Tìm tập giá trị T của hàm số y  sin 6 x  cos6 x 1  a) T   0; 2 . b) T   ; 1 . 2  1   1 c) T   ; 1 . d) T   0;  . 4   4 Lời giải: Ta có y  sin 6 x  cos6 x   sin 2 x  cos 2 x   3sin 2 x cos 2 x  sin 2 x  cos 2 x  2 Trang 17
3 3 1  cos 4 x 5 3  1  3sin 2 x cos 2 x  1  sin 2 2 x  1  .   cos 4 x . 4 4 2 8 8 1 5 3 1 Mà 1  cos 4 x  1    cos 4 x  1   y  1 . Chọn C 4 8 8 4 Ví dụ 10. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  8sin 2 x  3cos 2 x . Tính P  2M  m 2 . a) P  1 . b) P  2 . c) P  112 . d) P  130 . Lời giải: Ta có y  8sin 2 x  3cos 2 x  8sin 2 x  3 1  2sin 2 x   2sin 2 x  3 . Mà 1  sin  1  0  sin 2 x  1  3  2 sin 2 x  3  5 M  5 3 y 5   P  2 M  m 2  1 . Chọn A. m  3 Ví dụ 11. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số y  2 sin 2 x  3 sin 2 x . a) m  2  3 . b) m  1 . c) m  1 . d) m   3 . Lời giải: Ta có y  2 sin 2 x  3 sin 2 x  1  cos 2 x  3 sin 2 x  3 1   3 sin 2 x  cos 2 x  1  2  sin 2 x  cos 2 x   1  2 2         2  sin 2 x cos  sin cos 2 x   1  2sin  2 x    1  6 6   6     Mà 1  sin  2 x    1  1  1  2 sin  2 x    3  1  y  3 .  6  6 Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số là -1. Chọn B. Trang 18
BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1  sin x Câu 1. Tìm tập xác định D của hàm số y  cos x  1   A. D   . B. D   \   k , k    .  2  C. D   \ k , k   . D. D   \ k 2 , k   . 1 Câu 2. Tìm tập xác định D của hàm số y    sin  x    2    A. D   \  k , k    . B. D   \ k , k   .  2     C. D   \ 1  2k  , k    . D. D   \ 1  2k   , k   .  2    Câu 3. Tìm tập xác định D của hàm số y  cot  2 x    sin 2 x .  4   A. D   \   k , k    . B. D  Ø . 4     C. D   \   k , k    . D. D   . 8 2  x  Câu 4. Tìm tập xác định D của hàm số y  3 tan 2    . 2 4  3    A. D   \   k 2 , k    . B. D   \   k 2 , k    .  2   2   3    C. D   \   k , k    . D. D   \   k , k    . 2  2  3 tan x  5 Câu 5. Tìm tập xác định D của hàm số y  . 1  sin 2 x     A. D   \   k 2 , k    . B. D   \   k , k    . 2  2  C. D   \   k  , k   . D. cos x  1  sin x  0  x  k , k   . Câu 6. Tìm tập xác định D của hàm số y  sin x  2 A. D   . B. D   2;    . C. D   0; 2  . D. D  Ø . 1 Câu 7. Tìm tập xác định D của hàm số y  1  sin x Trang 19
  A. D   \ k , k   . B. D   \   k , k    .  2    C. D   \   k 2 , k    . D. D  Ø . 2  1  cos x Câu 8. Tập xác định của hàm số y  là sin x  1   A.  \   k k    . B.  \ k k   . 2    C.  \ k 2 k   . D.  \   k 2 k    . 2  cot x Câu 9. Tập xác định của hàm số y  là cos x  1  k   k  A. D   \  , k    . B. D   \   k , k    .  2   2  C. D   \ k  , k   . D. D   \ k 2 , k   . 1 Câu 10. Tập xác định của hàm số f  x   là 1  cos x    A. D   \  2k  1 , k    . 2 B. D   \  2k  1  , k   .   C. D   \ k  , k   . D. D   \ k 2 , k   . Câu 11. Tìm tập xác định D của hàm số y  cot x  sin 5 x  cos x .     A.  \   k k    . B.  \   k 2 k    . 2  2  C.  \ k k   . D.  \ k 2 k   . Câu 12. Tìm tập giá trị của hàm số y  2 cos 3 x  1 . A.  3; 1 . B.  3;  1 . C.  1; 3 . D. 1; 3 . 3sin x Câu 13. Tìm tập xác định D của hàm số y  2 cos x  1   4   2  A. D   \    k 2 ,  k 2 , k    . B. D   \   k 2 , k    .  3 3   3   5     C. D   \    k 2 , k    . D. D   \    k 2 , k    .  6   3  tan x Câu 14. Tìm điều kiện xác định của hàm số y  cos x  1 Trang 20