TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2024 Điện thoại: 0946798489
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1
TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ – GIỎI MỨC 7-8-9-10 ĐIỂM
LÝ THUYẾT CHUNG
1. Kỹ thuật chuyển đỉnh
A. Song song đáy
cò míi
V V
B. Cắt đáy
cò
míi
VGiao cò IA
V Giao míi IB
2. Kỹ thuật chuyển đáy (đường cao không đổi)
đ
đ
Êy
cò
míi Êy míi
S
V
V S
- Để kỹ thuật chuyển đáy được thuận lợi, ta nên chọn hai đáy có cùng công thức tính diện
tích, khi đó ta sẽ dễ dàng so sánh tỉ số hơn.
- Cả hai kỹ thuật đều nhằm mục đích chuyển đa diện ban đầu về đa diện khác dễ tính thể tích
hơn.
3. Tỉ số diện tích của hai tam giác
.
.
OMN
APQ
SOM ON
S OP OQ
4. Tỉ số thể tích của khối chóp
A. Công thức tỉ số thể tích của hình chóp tam giác
TỈ SỐ THỂ TÍCH VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
Chuyên đề 13
Blog: Nguyễn Bảo Vương:
https://www.nbv.edu.vn/ 40 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QG
Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
.
.
. .
S MNP
S ABC
VSM SN SP
V SA SB SC
Công thức trên chỉ áp dụng cho hình chóp tam giác, do đó trong nhiều trường hợp ta cần
hoạt phân chia hình chóp đã cho thành nhiều hình chóp tam giác khác nhau rồi mới áp dụng.
B. Một số trường hợp đặc biệt
Nếu
1 1 1 1
A B C D ABCD
và
1 1 1 1
SA SB SC SD k
SA SB SC SD
thì
1 1 1 1
.3
.
S A B C D
S ABCD
Vk
V
Kết quả vẫn đúng trong trường hợp đáy là n − giác.
5. Tỉ số thể tích của khối lăng trụ
A. Lăng trụ tam giác
Gọi V là thể tích khối lăng trụ,
4
V
là thể tích khối chóp tạo thành từ 4 trong 6 đỉnh của lăng trụ,
5
V
là thể tích khối chóp tạo thành từ 5 trong 6 đỉnh của lăng trụ. Khi đó:
4
3
V
V
5
2
3
V V
Ví dụ:
' ' ' '
2
;
3 3
A B BC A B ABC
V V
V V
Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2024
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3
B. Mặt phẳng cắt các cạnh bên của lăng trụ tam giác
Gọi
1
V
,
2
V
và
V
lần lượt là thể tích phần trên, phần dưới và lăng trụ. Giả sử
, ,
' ' '
AM CN BP
m n p
AA CC BB
Khi đó:
2
.
3
m n p
V V
Khi
',
M A N C
thì
1, 0
' '
AM CN
AA CC
6. Khối hộp
A. Tỉ số thể tích của khối hộp
Gọi V là thể tích khối hộp,
4
V
là thể tích khối chóp tạo thành từ 4 trong 8 đỉnh của khối hộp. Khi
đó:
4
V
(hai đường chéo của hai mặt phẳng song song)
4
V
(trường hợp còn lại)
6
V
Ví dụ:
' ' ' ' '
,
3 6
A C BD A C D D
V V
V V
Blog: Nguyễn Bảo Vương:
https://www.nbv.edu.vn/ 40 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QG
Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
B. Mặt phẳng cắt các cạnh của hình hộp (chỉ quan tâm tới hai cạnh đối nhau)
2
'.
2
'
DM xx y
DD V V
BP y
BB
Dạng 1. Tỉ số thể tích khối chóp – khối lăng trụ
Câu 1. (HSG 12-Sở Nam Định-2019) Cho tứ diện
ABCD
có thể tích
V
với
,M N
lần lượt là trung
điểm
,AB CD
. Gọi
1 2
,V V lần lượt là thể tích của
MNBC
và
MNDA
. Tính tỉ lệ 1 2
V V
V
.
A. 1. B.
1
2
. C.
1
3
. D.
2
3
.
Câu 2. (THPT Thuận Thành 3 - Bắc Ninh) Cho hình chóp
S.ABCD
có đáy là hình bình hành. Gọi
Mvà
N
là trung điểm các cạnh
,SA SC
, mặt phẳng
( )BMN
cắt cạnh
SD
tại P. Tỉ số
SBMPN
SABCD
V
V
bằng :
A.
1
16
SBMPN
SABCD
V
V
. B.
1
6
SBMPN
SABCD
V
V
. C.
1
12
SBMPN
SABCD
V
V
. D.
1
8
SBMPN
SABCD
V
V
.
Câu 3. Cho tứ diện
ABCD
. Gọi
,B C
lần lượt là trung điểm của AB và
CD
. Khi đó tỷ số thể tích của
khối đa diện
AB C D
và khối tứ diện
ABCD
bằng
A.
1
2
. B.
1
4
. C.
1
6
. D.
1
8
.
Câu 4. Cho hình chóp
.S ABCD
đáy là hình bình hành. Gọi
,M N
lần lượt là trung điểm của
,SA SC
.
Mặt phẳng
( )BMN
cắt
SD
tại
P
. Tỉ số
.
.
S BMPN
S ABCD
V
V bằng:
A.
.
.
1
16
S BMPN
S ABCD
V
V. B.
.
.
1
6
S BMPN
S ABCD
V
V. C.
.
.
1
12
S BMPN
S ABCD
V
V. D.
.
.
1
8
S BMPN
S ABCD
V
V.
Câu 5. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình bình hành. Gọi
K
,
M
lần lượt là trung điểm của
các đoạn thẳng
SA
,
SB
,
( )
là mặt phẳng qua
K
song song với
AC
và
AM
. Mặt phẳng
( )
chia khối chóp
.S ABCD
thành hai khối đa diện. Gọi
1
V là thể tích của khối đa diện chứa đỉnh
S
và
2
V là thể tích khối đa diện còn lại. Tính tỉ số
1
2
V
V
A.
1
2
7
25
V
V
. B.
1
2
5
11
V
V
. C.
1
2
7
17
V
V
. D.
1
2
9
23
V
V
.
Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2024
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5
Câu 6. (THPT Hai Bà Trưng - Huế - 2019) Cho hình chóp tứ giác đều
.
S ABCD
. Mặt phẳng
P
qua
A
và vuông góc với
SC
cắt
, ,SB SC SD
lần lượt tại
, ,B C D
. Biết
C
là trung điểm của
SC
.
Gọi
1 2
,V V
lần lượt là thể tích hai khối chóp .
S AB C D
và .
S ABCD
. Tính tỷ số
1
2
V
V
.
A.
1
2
2
3
V
V
. B.
1
2
2
9
V
V
. C.
1
2
4
9
V
V
. D.
1
2
1
3
V
V
.
Câu 7. Cho hình chóp
. DS ABC
. Gọi
, , , D
A B C
theo thứ tự là trung điểm của
, , ,SA SB SC SD
. Tính
tỉ số thể tích của hai khối chóp
. D
S A B C
và .
S ABCD
.
A.
1
16
. B.
1
4
. C.
1
8
. D.
1
2
.
Câu 8. (Chuyên Hùng Vương Gia Lai 2019) Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình bình
hành, trên cạnh
SA
lấy điểm
M
và đặt
SM
x
SA
. Giá trị
x
để mặt phẳng
( )MBC
chia khối chóp
đã cho thành hai phần có thể tích bằng nhau là:
A.
1.
2
x
B.
5 1.
2
x
C.
5.
3
x
D.
5 1.
3
x
Câu 9. Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình bình hành. Gọi
M
,
N
lần lượt là trung điểm của
các cạnh
AB
,
BC
. Điểm
I
thuộc đoạn
SA
. Biết mặt phẳng
MNI
chia khối chọp
.
S ABCD
thành hai phần, phần chứa đỉnh
S
có thể tích bằng
7
13
lần phần còn lại. Tính tỉ số
IA
k
IS
?
A.
1
2
. B.
2
3
. C.
1
3
. D.
3
4
.
Câu 10. Cho hình chóp S.ABC có
o o
6, 2, 4, 2 10, 90 , 120
SA SB SC AB SBC ASC
. Mặt phẳng
P
đi qua B và trung điểm N của SC đồng thời vuông góc với
SAC
cắt SA tại M. Tính tỉ số thể
tích
.
.
S BMN
S ABC
V
kV
.
A.
2
5
k
. B.
1
4
k
. C.
1
6
k
. D.
2
9
k
.
Câu 11. (Đề tham khảo 2017) Cho khối tứ diện có thể tích bằng
V
. Gọi
V
là thể tích của khối đa diện
có các đỉnh là các trung điểm của các cạnh của khối tứ diện đã cho, tính tỉ số
V
V
.
A.
1
2
V
V
. B.
1
4
V
V
. C.
2
3
V
V
. D.
5
8
V
V
.
Câu 12. Cho tứ diện
ABCD
, trên các cạnh
, ,BC BD AC
lần lượt lấy các điểm
, ,M N P
sao cho
3
BC BM
,
3
, 2 .
2
BD BN AC AP
Mặt phẳng
MNP
chia khối tứ diện
ABCD
thành hai khối
đa diện có thể tích là
1 2
,V V
, trong đó khối đa diện chứa cạnh
CD
có thể tích là
2
V
. Tính tỉ số
1
2
V
V
.
A.
1
2
26 .
19
V
V
B.
1
2
26 .
13
V
V
C.
1
2
15 .
19
V
V
D.
1
2
3.
19
V
V