158
E. BAÁT PHÖÔNG TRÌNH CHÖÙA CAÊN.
I. KIEÁN THÖÙC CAÀN NHÔÙ.
1. Daïng cô baûn:
. A0
AB AB
≥
⎧
<⇔
⎨<
⎩
.
2
A0
AB B0
AB
⎧≥
⎪
<⇔>
⎨
⎪<
⎩
. 2
B0
A0
AB B0 AB
≥
⎧
≥
⎧⎪
>⇔ ∨
⎨⎨
<>
⎪
⎩⎩
. 33
ABAB<⇔<
2. Caùc daïng khaùc:
Ñaët ñieàu kieän, naâng caû 2 veá leân luyõ thöøa töông öùng ñeå khöû
caên. löu yù ñieàu kieän khi luõy thöøa baäc chaün.
. Ñaët aån phuï.
. Caàn nhôù:
+ Neáu a0≥ vaø b0≥, ta coù: 22
ab a b>⇔ >
+ Vôùi moïi a,b R∈, ta coù: 33
ab a b>⇔ >
II. CAÙC VÍ DUÏ.
Ví duï 1:
Giaûi baát phöông trình: 22 2
x3x2 x4x33x5x4−++ −+≥ −+
(ÑH Quoác Gia TPHCM naêm 1997).
Giaûi
Ñieàu kieän
2
2
2
x3x20 x1 x2
x 4x30 x1 x3 x4 x4 (1)
x1 x4
x5x40
⎧−+≥ ≤∨≥
⎧
⎪
⎪⎪
−+≥⇔≤∨≥⇔≤∨≥
⎨⎨
⎪⎪
≤∨≥
−+≥ ⎩
⎪
⎩
*x 4 :≥ Ta coù: 22 2
x3x2 x4x32x5x4 (2)−++ −+≥ −+
159
(x 1)(x 2) (x 1)(x 3) 2 (x 1)(x 4) (*)⇔−−+−−≥ −−
x2 x32x4 (3)⇔−+−≥ − (chia 2 veá cho x1 0
−
>)
vì
x4 x2x40 x2 x4 x2 x32x4
x 3 x 4 0 x 3 x 4
⎫
≥⇒−>−≥⇔ −> −⎪⇒−+−> −
⎬
−>−≥⇔ −> − ⎪
⎭
x4⇒≥ laø nghieäm cuûa (3) x 4⇒≥laø nghieäm cuûa (2).
* x = 1: (2) thoûa.
* x < 1: (*) 2x 3x24x⇔−+−≥ − (4)
(chia 2 veá (*) cho 1x 0
−
>)
Vôùi x 1
<
⇒
02x4x 2x 4x 2x 3x 24x
03x4x 3x 4x
⎫
<−<−⇒ −< −⎪⇒−+−< −
⎬
<−<−⇒ − < −⎪
⎭
⇒ (4) khoâng thoûa ⇒ (2) khoâng thoûa.
Toùm laïi, nghieäm cuûa baát phöông trình cho laø: x 4 x 1
≥∨=
Ví duï 2:
Tìm a ñeå baát phöông trình : xx1a
−
−> coù nghieäm vôùi a laø tham
soá döông.
(ÑH Y DÖÔÏC TPHCM naêm 1996).
Giaûi
xx1a
−
−> Ñieàu kieän x0 x1
x10
≥
⎧
⇔
≥
⎨−≥
⎩
Ñaët yxx1
=
−− 11
y' 0, x 1
2x 2x1
⇒= − < ∀>
−
BBT:
Vì xx x1
lim y lim ( x x 1) lim 0
xx1
→+∞ →+∞ →+∞
=−−= =
+−
160
Döïa vaøo BBT ñeå baát phöông trình: xx1a−−>
coù nghieäm
0a1⇔<<
Ví duï 3:
Giaûi baát phöông trình: 22
(x 3) x 4 x 9−+≤−
↑(ÑH DAÂN LAÄP VAÊN LANG naêm 1997).
Giaûi
Ta coù: 22
(x 3) x 4 x 9−+≤− 2
(x 3) x 4 (x 3)(x 3) (1)⇔− +≤− +
TH 1: 2
x30 x3:(1) x 4 x3−≥⇔≥ ⇔ + ≤+
22
x4x6x9⇔+≤++ 5
x6
⇔≥− (2)
Keát hôïp vôùi x 3≥ ta ñöôïc: x 3≥
TH 2: x 3 0 x 3 (3)−≤⇔≤
2
(1) x 4 x 3 (4)⇔+≥+
. Neáu x 3 0 x 3+≤⇔≤− thì (4) thoûa x 3∀≤− (5)
. Neáu x30 x 3+≥⇔≥−
thì (4) 22 5
x4x6x9x 6
⇔+≥++⇔≤−
(6)
5
3x 6
⇒− ≤ ≤− (7)
(5) vaø (6) 5
x6
⇒≤−
Toùm laïi, nghieäm cuûa baát phöông trình laø: 5
xx3
6
≤− ∨ ≥
Ví duï 4:
Giaûi baát phöông trình:
x3 x1 x2−− −< − (1)
(Tröôøng TH Kyõ Thuaät Y Teá 3 naêm 1997).
Giaûi
Ñieàu kieän
x30
x10 x3
x20
−≥
⎧
⎪−≥ ⇔ ≥
⎨
⎪−≥
⎩
(1) x 3 x 1 x 2⇔−<−+−
161
x3x1x22(x1)(x2)
x 2 (x 1)(x 2) (2)
⇔
−<−+−+ − −
⇔− < − −
(2) thoûa vôùi x3≥
Vaäy nghieäm baát phöông trình laø x 3≥.
Ví duï 5:
Cho baát phöông trình: 22 2
(x 1) m x x 2 4
+≤ ++
1. Giaûi baát phöông trình treân khi m = 3
2. Xaùc ñònh tham soá m ñeå baát phöông trình ñaõ cho ñöôïc thoûa vôùi moïi x
treân ñoaïn
[
]
0,1 .
(ÑH Quoác Gia TPHCM naêm 1997 ñôït 3, Khoái A).
Giaûi
1. 22 2
(x 1) m x x 2 4
+
+≤ ++ (*)
Vôùi m = 3: 22 2
(*) (x 1) 3 x x 2 4⇔++≤ ++
42 2
x2xxx2
⇔
+≤ + (**)
. x < 0: (**) khoâng thoûa ⇒ baát phöông trình VN.
. x = 0: (**) thoûa.
. x > 0: (**) 22
x(x 2) x 2⇔+≤+
22 2 2 22
x(x 2) x 2 x(x 2) 1
⇔
+≤+⇔ +≤
42 2
x2x100x 21
⇔
+−≤⇔≤≤− 0x 21
⇔
≤≤ −
Vaäy nghieäm : 0x 21
≤
≤−
2. Xaùc ñònh m ñeå baát phöông trình cho thoûa
[
]
x0,1∀∈
22 2
(*) m (x 1) x x 2 4
⇔
≤− + + + +
42 2
22 2
mx2xxx23
mx(x2)xx23 (**)
⇔≤−− + ++
⇔≤− ++ ++
Ñaët 2
txx 2
=
+ vôùi 0x1 0t 3≤≤⇒≤≤
2
(**) m t t 3
⇔
≤− + + (***)
Ñaët 2
f(t) t t 3,=− + + t0,3
⎡
⎤
∈
⎣
⎦ ; f '(t) 2t 1,⇒=−+ 1
f'(t) 0 t 2
=
⇔=
162
BBT:
(*) ñuùng
[
]
x0,1∀∈ thì (****) ñuùng t0,3
⎡⎤
∀∈
⎣⎦
m3⇔≤ .
III. BAØI TAÄP ÑEÀ NGHÒ.
4.1. Cho baát phöông trình: mx x 3 m 1−−≤+
1. Giaûi baát phöông trình vôùi m = 1
2. Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì baát phöông trình coù nghieäm.
(ÑH HUØNG VÖÔNG KHOÁI A naêm 1999).
4.2. Giaûi baát phöông trình: 22
x(x 4) x 4x (x 2) 2−−++−<
(ÑH Quoác Gia TPHCM naêm 1999 Ñôït 1 Khoái D).
4.3. Ñònh m ñeå baát phöông trình: 2
2x 1 m x+< −coù nghieäm (1)
4.4. Ñònh m ñeå baát phöông trình: 2
4(4 x)(2 x) x 2x m 18−−+≤−+−
nghieäm ñuùng vôùi moïi
[
]
x2,4∈− .
4.5. Giaûi baát phöông trình: x2 3x 52x+− −< −
(ÑH THUÛY LÔÏI naêm 2001).
4.6. Giaûi baát phöông trình: 22
112
xx
x
xx
++−≥
(ÑH AN GIANG - KHOÁI A naêm 2001).
4.7. Giaûi baát phöông trình: x3 2x8 7x+≥ −+ −
(ÑH Ngoaïi Thöông Khoái A naêm 2001)
163
HÖÔÙNG DAÃN VAØ GIAÛI TOÙM TAÉT
4.1.
1. mx x 3 m 1 (1)−−≤+
Vôùi m = 1: (1) x x 3 2⇔− −≤
2
x2 x3 x5x70
VN
x3 x3
⎧
⎧−≤ − −+≤
⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨
≥≥
⎪⎪
⎩⎩
2. (1) mx m 1 x 3
⇔
−−≤ −
Ñaët
yf(x)mxm1
=
=−−
laø ñöôøng thaúng ( )
∆
quay quanh
ñieåm I (1, -1).
Veõ ñoà thò haøm
yx3
=
−
x3 y0
=
⇒=
x4 y1
=
⇒=
x7 y2
=
⇒=
⇒ ñoà thò (C) cuûa yx3
=
− nhö hình veõ.
Khi ñöôøng thaúng ()
∆
: y = mx - m - 1 tieáp xuùc vôùi ñoà thò (C) phöông
trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa ( )
∆
vaø (C).
2
x3
mx m 1 x 3 (mx m 1) x 3
≥
⎧
⎪
−−= −⇔
⎨
−
−=−
⎪
⎩
22 2 2
x3
m x (2m 2m 1)x m 2m 4 0
≥
⎧
⎪
⇔⎨−+++++=
⎪
⎩
2222
2
(2m2m1)4m(m2m4)
8m 4m 1
∆
=++− ++
=−−
Khi( )
∆
tieáp xuùc vôùi (C) 13
0m (m0)
4
+
⇔
∆= ⇔ = >
⇒ heä soá goùc cuûa 1
()
∆
tieáp xuùc vôùi (C) laø 13
m4
+
=.
164
⇒ Baát phöông trình coù nghieäm khi 13
m4
+
<.
4.2. 22
x(x 4) x 4x (x 2) 2−−++−< (1) Ñieàu kieän
2
x4x00x4−+ ≥⇔≤≤
Ñaët 2
tx4x=− +
(t 0)≥.
(1) 32 32
tt42tt20⇔− − + < ⇔ + − >
2
x4x1023x2 3⇔−+<⇔− <<+
4.3. 2
2x 1 m x (1)+< −
Ñaët 2
f(x) 2x 1 x,=++
xR,∈ 2
22
2x 2x 2x 1
f'(x) 1
2x 1 2x 1
+
+
=+=
++
2
f(x) 0 2x 1 2x=⇔ +=−
22
x0
2x 0 2
2x 1 4x x2
≤
⎧
−≥
⎧
⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨
+= =−
⎪⎪
⎩⎩
22
f22
⎛⎞
⇒− =
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
2
xx x
lim f(x) lim ( 2x 1 x) lim ( 2 x x)
→∞ →∞ →∞
=++=+
xx
lim f(x) lim ( 2 1)x
→+∞ →+∞
=+=+∞
xx
lim f(x) lim (1 2)x
→−∞ →−∞
=−=+∞
BBT:
165
⇒ Phöông trình coù nghieäm 2
m2
⇔> .
4.4. Ñaët 2
t(4x)(2x) x2x8=− +=−++
'x2
x1
tx2x8
−+
=
−
++
, 'x
t0x1
=
⇔=
BBT:
Phöông trình cho 2
f(t) t 4t 10 m
⇔
=−+≤
f'(t) 2t 4,
=
− f'(t) 0 t 2
=
⇔= (vôùi
[
]
t0,3∈
BBT:
mmaxf(t)10
⇒≥ =
4.5. x2 3x 52x+− −< − (1)
Ñieàu kieän 5
2x2
−≤ ≤
(1) x2 52x 3x x252x3x2(52x)(3x)
⇔
+< − + −⇔+<− +−+ − −
2
2x 3 2x 11x 15
⇔
−< − + (*) Ta nhaän thaáy baát ñaúng thöùc ñuùng vôùi
3
x2,
2
⎡
⎤
∀∈−
⎢
⎥
⎣
⎦ vôùi 35
x:
22
≤≤ Hai veá cuûa (*) ñeàu khoâng aâm, neân bình
phöông 2 veá:
166
22
4x 12x 9 2x 11x 15−+<−+ 23
2x x 6 0 x 2
2
⇔−−<⇔−<<
Vaäy baát ñaúng thöùc cho
3
2x2
352x2
x
22
3x2
2
⎡−≤ <
⎢
⎢⎧
⎢
⇔⇔−≤≤
≤≤
⎪
⎢⎪
⎢⎨
⎢⎪−<<
⎢⎪
⎩
⎣
4.6. Ñieàu kieän 3
22
1x1
x0 0x1
xx
−
−≥⇔ ≥⇔≥
Baát ñaúng thöùc 33
x1 x12⇔++−≥
33 6 6 3
x1x12x14 x12x⇔++−+ −≥⇔ −≥− (*)
Baát ñaúng thöùc (*) ñuùng 3
x2∀≥ (1)
vôùi 3
1x 2≤< thì (*) 636
x144xx⇔−≥− +
3
33
55
xx2
44
⇔≥ ⇒ ≤< (2)
(1) vaø (2) 35
x4
⇒≥
4.7. x3 2x8 7x+≥ −+ − (1) Ñieàu kieän 4x7≤≤ (*)
2
(1) x 3 ( 2x 8 7 x )⇔+≥ −+ −
2
x3x12(2x8)(7x)
2(2x8)(7x)
4(2x8)(7x)
x11x300 x5x6 (**)
⇔+≥−+ − −
⇔≥ − −
⇔≥ − −
⇔− +≥⇔≤∨≥
(*) vaø (**) 4 x 5 6 x 7⇒≤≤∨≤≤