CHÖÔNG 2
II. CAÙC VÍ DUÏ.
HEÄ PHÖÔNG TRÌNH HAI AÅN
Ví duï 1: Ñònh m ñeå heä sau voâ nghieäm:
+
−
=
(I)
Baøi 1:
22m x 3(m 1)y 3 m(x y) 2y 2 −
+
=
⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩
HEÄ PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT HAI AÅN
Giaûi
I. KIEÁN THÖÙC CAÀN NHÔÙ.
Ñeå heä voâ nghieäm, ta phaûi coù tröôùc heát : 2 3(m 1) − m 2 −
0
Heä phöông trình baäc nhaát hai aån. +
+
=
(I)
0
+
+
=
a x b y c 1 1 1 a x b y c 2 2
2
⎧ ⎨ ⎩
2
2
3
3
2 2m 7m 3m 0
⇔
2m 4m 3m 3m 0 −
= ⇔
−
+
−
+
Caùch giaûi: Ñaët D =
=
−
a b 1 2
a b 2 1
a b 1 1 a b 2
2
⎡ ⎢ = m 0 ⎢ m 3 = ⇔ =⎢ ⎢ 1 m =⎢ 2 ⎣
D
D
=
=
−
=
=
−
y
c a 1 2
c a 2 1
x
b c 1 2
b c 2 1
* Vôùi
m 0 : (I)
khoâng thoûa ñeà baøi.
⇔
=
⇔
c a 1 1 c a 2 2
b c 1 1 b c 2 2
− −
3y 3 = 2y 2 =
1 y = − x R ∈
⎧ ⎨ ⎩
⎧ ⎨ ⎩
+ =
D 0 : (I)
*
≠
* Vôùi
heä voâ nghieäm
m 3 : (I)
⇔
=
⇔
⇔ ⎨
D x D D
18x 6y 3 = + ⎧ ⎨ 3x y 2 + = ⎩
1 ⎧ 3x y ⎪ 2 ⎨ ⎪ 3x y 2 + = ⎩
D 0 0 = ⇔ = 2m m
0 : (I)
voâ nghieäm.
⎧ x =⎪⎪ ⎪ = y y ⎪⎩ D 0≠ hay
* D = 0 vaø
≠
x
−
y 3 =
*
yD coù theå voâ nghieäm hoaëc coù voâ soá nghieäm
xD D
0 : (I)
D D =
=
=
y
x
m
heä voâ nghieäm
: (I)
m
*
=
1 ⇒ = nhaän. 2
1 2
x
−
y 2 =
1 2 1 2
3 2 3 2
m 3
Chuù yù: Trong thöïc haønh, khi D = 0, ta thöôøng thay vaøo heä caùc giaù trò cuï theå cuûa tham soá ñeå keát luaän.
Toùm laïi heä voâ nghieäm khi m = 3
⇒ = nhaän. ⎧ ⎪⎪ ⇔ ⎨ ⎪ ⎪⎩
71
72
m ∨ = . 1 2
2
mx y 3 0 + − = x my 2m 1 0 −
− =
+
⎧ ⎨ ⎩
Giaûi
2
D
Ta coù :
=
=
− m 1 (m 1)(m 1)
− =
+
m 1 1 m
2
2
Ví duï 2: Ñònh m nguyeân ñeå phöông trình sau coù nghieäm nguyeân. x 2ay b + = coù nghieäm. ax (1 a)y b + − = Ví duï 3: Tìm caùc giaù trò cuûa b sao cho vôùi moïi a R∈ , thì heä phöông trình: ⎧⎪ ⎨ ⎪⎩ (ÑH COÂNG ÑOAØN 1998). Giaûi
1
3 −
2m 1 3m m 1
D
= −
− +
=
−
=
x
m 2m 1
−
−
Ta coù: D 1 a 2a 2a = = − − = − − + = a 1 (a 1)(1 2a) + − 1 2a a1 a −
−
2
2
D
3 2m m 2m m 3 (m 1)(2m 3)
=
= − +
− =
+
=
+
−
+
y
. D 0 1 a a = ⇔ = − ∨ =
3 m 2m 1 1 −
−
2
2
≠ ⇔ ≠ ± nghieäm heä. 1:
2
b(b 1) 0
b 0
b
b
b
1 ⇔ = − ⇔ + = ⇔ = ∨ = −
1 2 x 2y b x 2y b − = − = Heä coù nghieäm. + a = -1 : heä ⇔ ⇔ x 2y b b − + = x 2y − = − ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩
a
: = Heä
2
2
1 2
y D
TH1: D 0 m ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ = y ⎪ ⎩
2
y z
z m 1
∈ ⇔
∈ ⇔ +
x = = = 1 + − x y b + = D m 1 − x D (m 1)(m 1) m 1 + D + Heä coù nghieäm. ⇔ ⇔ = = 2 = + x + y b = x y 2b + = ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ (m 1)(2m 3) (m 1)(m 1) − + + − 2m 3 + m 1 + 1 m 1 + x y b + = 1 1 2 2 ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩
1 m 1 +
a
1 a
D 0
laø öôùc soá cuûa 1 x z∈ vaø b(2b 1) 0 b b 2b ⇔ = ⇔ − = ⇔ = ∨ = b 0 1 2
≠ ⇔ ≠ − ∧ ≠ thì heä cho coù nghieäm vôùi b∀ .
. nghóa laø: ⇔ 1 m 1 1 + = m 1 + = − m 0 = 2 m = −
1 2 Toùm laïi vôùi b = 0 thì heä cho coù nghieäm a R∀ ∈ . Ví duï 4 :
⎡ ⎢ ⎣ TH 2: D = D m
2
1
⇒ = − loaïi
x y 3 0 − + − = x y 1 0 − + =
⎧ ⇔ ⎨ ⎩
. m = 1 : Heä heä coù nghieäm nguyeân ⇔ ⇒ ax y b + = ⎡ ⎢ ⎣ 1 ⇔ = ± x y 3 0 + − = x y 3 0 + − = t z x = ∈ y 3 t = − Cho heä phöông trình : ⎧ ⎨ ⎩ ⎧ ⎨ ⎩ x ay c c + = + ⎧⎪ ⎨ ⎪⎩ . m = - 1 : Heä Heä voâ nghieäm m
2
2
73
74
1. Vôùi b = 0, haõy giaûi vaø bieän luaän heä theo a vaø c 2. Tìm b ñeå vôùi moïi a, ta luoân tìm ñöôïc c sao cho heä coù nghieäm. Toùm laïi: m = 1, m = 0, m = - 2 Giaûi 1. Giaûi vaø bieän luaän theoa vaø c: y ax ax y 0 + = = − b = 0 : heä ⇔ ⇔ x ay c c c c + = + x a( ax) + − = + ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩
Ví duï 5:
2
2
ax by c
+
=
y ax (1) = −
Giaû söû heä phöông trình :
2
2
c c (2) − = + ⎧⎪ ⇔ ⎨ (1 a )x ⎪⎩
2
0 :
1:
a
1 a −
≠ ⇔ ≠ ± Heä coù nghieäm:
y
bx cy a cx ay b
+ +
= =
⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩
⎛ c a = − ⎜ ⎜ 1 a −⎝
⎞+ c ⎟ ⎟ 2 ⎠
3
Coù nghieäm. Chöùng minh raèng: 3 a
3 c
3abc
+
=
2
2
0
a
1: (2)
c
= ⇔ = ±
0x ⇔ =
+ c
b + Giaûi
c 0
c 0
1: (2)VN
+ ≠ ⇔ ≠ vaø c
≠ −
⇒ heä VN
Goïi
(x ,y ) laø nghieäm cuûa heä :
0
0
c 0 c
c 0
1: (2)
0x
0
+ = ⇔ = ∨ = −
⇔ = ⇒ Heä coù
2 ab y
abc
2 a bx
+
=
0
0
c
xa
by
=
+
0
x
t R
= ∈
2 bc y
abc
2 b cx
0 bx
cy
+
=
a = ⇒
+
0
0
0
0
nghieäm:
y
at
= −
* 1 a − + Neáu 2c + Neáu 2c ⎧ ⎨ ⎩
b
cx
ay
=
+
0
0
2 a cy
abc
2 ac x
+
=
⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩
0
0
t R
= ∈
2
a 1
a
2 c (by
⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩ cy ) b (ay +
+
⇒
+
+
+
ax ) 3abc =
0
cx ) 0
0
0
0
x y
t R = ∈ t = −
⎧ = ⇒ ⎨ ⎩
x ⎧ 1 = − ⇒ ⎨ y t =⎩
0 3
(Ñpcm).
b
3 c
3abc.
2 a (bx 3 a ⇔ +
+
=
ax y
y
+ =
= −
ax b +
c + ; * x = c 2 1 a −
III. BAØI TAÄP ÑEÀ NGHÒ
Ta coù :
⇔
b 2
2
x ay c
c
x a( ax b)
c
c
+
=
+
+ −
+
=
+
⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩
2
3 1)x (a 1)y a −
y
2. Tìm b. ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ = −
1.1. Giaûi vaø bieän luaän heä:
2
1 + − −
ax b + 2
2
c) 0 (*)
−
−
+
=
⎧⎪ ⇔ ⎨ (1 a )x ab (c + ⎪⎩
Heä coù nghieäm
(*)⇔ coù nghieäm.
2
+ Neáu
coù nghieäm duy nhaát ⇒ Heä phöông trình
0
a
1: (*)
1 a −
≠ ⇔ ≠ ±
1 = 3 1)x(a 1)y a + + = + ⎧ (a ⎪ ⎨ (a ⎪⎩
c b
0x,
2c
ñeå coù nghieäm 2c
thì ta
cho coù nghieäm b.∀ + Neáu a = 1: (*)
⇔ + − =
phaûi coù ñieàu kieän ñeå coù ñöôïc c :
1 4b 0
∆ = +
≥ ⇔ ≥ − b
− = (I) vaø (II) + + − + − 1.2. Ñònh m vaø n ñeå hai heä phöông trình sau cuøng voâ nghieäm. (m 1)x my n = + ⎧ ⎨ 3x (4 n)y 2n 1 = − ⎩ (m 1)x (2n 1)y 5n 1 + + ⎧ ⎨ (m 1)x ny 2 = + ⎩
+ Neáu a = - 1: (*)
c b 0x
2c
⇔ + + =
c b 0 + + =
ñeå tìm ñöôïc c ta phaûi coù:
1 4b 0
≥ ⇔ ≤ . b
∆ = −
c b 0, + − = 1 4 vaø coù nghieäm khi 2c 1 4
1.3. Cho heä phöông trình : mx y 2m + = x my m 1 = + + ⎧ ⎨ ⎩
.
b
Vaäy ñeå a∀ , ta luoân tìm ñöôïc c sao cho heä coù nghieäm thì :
− ≤ ≤
1 4
1 4
75
76
a. Ñònh m ñeå heä coù nghieäm duy nhaát. Tìm heä thöùc ñoäc laäp giöõa caùc nghieäm. b. Ñònh m nguyeân ñeå nghieäm duy nhaát cuûa heä laø nghieäm nguyeân.
(x 1)(x 2) y(y 1)
⇒ −
− laø heä thöïc ñoäc laäp giöõa caùc nghieäm.
=
− 2
=
2m m 1, − −
b.
=
xD
− yD m(m 1)
2
2
Höôùng daãn vaø giaûi toùm taét
yD
xD
m z,m ∈
1 ≠ ±
2a(a 1), 1.1. D − 2a (a 1) = − = − − = − 2(a 1), −
YCBT
x 2
⇔ = −
z ∈ ⇔
z
∈
2
1 m 1 +
⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩
y 1
z
= −
∈
1 ≠ ± 1 m 1 + 1 m 1 +
x = = a(a 1) + nghieäm . a 1:≠ D x D D a =
⎧ ⎪ ∈ m z,m ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ m z,m ∈
1 ≠ ±
m 0 m
⇔
⇔ = ∨
2 = −
m 1 1 m 1
1
+ = ∨
+ = −
⎧ ⎨ ⎩
⇔ . a 1:= Heä ⇔ ⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ = y y ⎪⎩ D 0x 0y 0 = + x y 1 + = x R ∈ y 1 x = − ⎧ ⎨ ⎩ ⎧ ⎨ ⎩
I
1.2. D mn 3n m 1 = − + − +
2 m 4 +
II
D = −
2
II
mn 3n m 1 0 (1) − + + = D 0 = I ⇔ D 0 = m 4 0 (2) + = −
Ñeå 2 heä cuøng voâ nghieäm, tröôùc tieân ta phaûi coù: − ⎧ ⎨ ⎩ (2) m . m = 2: (1) ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 2 ⇔ = ± n 1⇔ =
. m = - 2 : (1) n 3 ⇔ = − 5
Thöû laïi: Vôùi m = 2, n = 1: thay vaøo heä (II): + + = = 3x 2y 1 ⎧ ⎨ 3x 2y 1 ⎩
2,
n
. m = - 2, n = − theá vaøo heä (I) vaø heä (II) ta coù: ⇒ heä coù voâ soá nghieäm (loaïi) 3 5
⇒ = −
= − (nhaän).
3 5
2
D 0 m
⇔ ≠ ⇔ ≠ ± 1
D m 1
− Heä coù nghieäm duy nhaát
=
y
mx y 2m + =
m(x 2) −
= −
⇔
x 1 m(y 1)
x my m 1 =
+
+
− = −
−
1.3. a. Goïi x vaø y laø nghieäm cuûa heä, ta coù: ⎧ ⎨ ⎩
⎧ ⎨ ⎩
77
78
2 heä cuøng VN. m
