Thiết kế công trình theo lý thuyết ngẫu nhiên và phân tích độ tin cậy - Chương 4

Chia sẻ: Nguyen Nhi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:20

Thêm vào BST

Báo xấu

165
lượt xem 39
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo bài giảng Thiết kế công trình theo lý thuyết ngẫu nhiên và phân tích độ tin cậy ( Mai Văn Công - Trường ĐH Thủy lợi ) bộ kỹ thuật công trình biển - Chương 4 Cơ sở toán học của phương pháp ngẫu nhiên

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Thiết kế công trình theo lý thuyết ngẫu nhiên và phân tích độ tin cậy - Chương 4

CHƯƠNG 4 - C S TOÁN H C C A PHƯƠNG PHÁP NG U NHIÊN 4.1 Tính toán c p ñ III 4.1.1 Gi i pháp cơ b n Trong nhi u trư ng h p, phân tích ng u nhiên c a m t cơ ch phá h ng ch gi i h n b ng vi c so sánh 2 ñ i lư ng: s c b n hay ñ b n R và t i tr ng hay là tác ñ ng S. Như ñã gi i thi u trong chương 3, hàm tin c y có d ng Z=R-S (xem minh ho 4.1) Z=0 Z 0 an toàn Hình 4.1 ð nh nghĩa biên s c . N n t ng c a phương pháp tính toán xác su t x y ra s c c p ñ III là mô ph ng toán h c các kho ng t p h p con xác su t liên quan ñ n s c . N u hàm m t ñ xác su t k t h p fR,S(R, S) c a ñ b n R v i t i tr ng S ñã bi t thì xác su t x y ra s c có th ñư c tính theo phương pháp tích phân: ∫ ∫f P{z
Formatted: Font: Times New Roman, Hình 4.2 Mi n tính toán tích phân c a hàm fR,S(R.S). 12 pt, Italic Formatted: Font: Times New Roman, 12 pt, Italic Formatted: Font: Times New Roman, 12 pt, Italic Formatted: Font: Times New Roman, 12 pt, Italic Hình 4.3 ðư ng ñ ng m t ñ xác su t c a hàm k t h p f R ( X 1 ) f S ( X 2 ) . Vùng bôi ñen th hi n vùng s c X 1 < X 2 . Thông thư ng, s c ch u t i và t i tr ng là các hàm c a m t ho c nhi u bi n. Khi ñó hàm ñ tin cây ñư c mô t : Z = g(X1 , X 2 ,..., X n ) (4.5) Xác su t x y ra s c có th tính ñư c qua tích phân: Pf = ∫ ∫… ∫ f X1 ,X2 ,…,Xn ( X 1 , X 2 , … , X n ) d X 1 d X 2 … d X n (4.6) Z
qua xác ñ nh m t ñ xác su t c a t ng ñi m theo quy trình l p. T i ñi m có m t ñ xác su t l n nh t ta có th xác ñ nh ñi m thi t k . Hi n ñã có nhi u phương pháp tiên ti n ñ xác ñ nh ñi m có giá tr l n nh t. Nh ng phương pháp này ñư c ñ c p trong các S tay v phương pháp s . 4.2 Tính toán c p ñ II 4.2.1 Gi i thi u v phương pháp tính toán c p ñ II N u hàm tin c y là tuy n tính, kỳ v ng và ñ l ch chu n c a hàm có th ñư c xác ñ nh theo: Z = a1X1 + a 2 X 2 + … + a n X n + b µ Z = a1 µ X1 + a 2 µ X2 + … + a n µ X n + b (4.8) n n ∑∑ a a Cov ( X , X ) σZ = i j i j i =1 j = 1 N u các bi n ng u nhiên cơ b n X1, X2, ..., Xn tuân theo lu t phân b chu n (Normal Distribution) thì Z cũng là hàm phân b chu n. Xác su t Z < 0 ñư c xác ñ nh thông qua hàm phân b chu n tiêu chu n1 (Standard Normal Distribution):  0 - µZ   µZ  P( Z < 0 ) = Φ   = Φ−  (4.9) σZ   σZ   B ng 4.1 Ch s ñ tin c y d a theo hàm phân b chu n tiêu chu n. β P(-β) β P(-β) β P(-β) 0.0 0.50 2.0 0.23 × 10 -1 4.0 0.32 × 10 -4 0.1 0.46 2.1 0.18 4.1 0.21 0.2 0.42 2.2 0.14 4.2 0.13 0.3 0.38 2.3 0.11 4.3 0.79 × 10 -5 0.4 0.34 2.4 0.82 × 10 -2 4.4 0.48 0.5 0.31 2.5 0.62 4.5 0.34 0.6 0.27 2.6 0.47 4.6 0.21 0.7 0.24 2.7 0.35 4.7 0.13 0.8 0.21 2.8 0.26 4.8 0.79 × 10 -6 0.9 0.18 2.9 0.19 4.9 0.48 1.0 0.16 3.0 0.13 5.0 0.29 1.1 0.14 3.1 0.97 × 10 -3 5.1 0.17 1.2 0.13 3.2 0.67 5.2 0.10 1.3 0.10 3.3 0.48 5.3 0.58 × 10 -7 1.4 0.81 × 10 -1 3.4 0.33 5.4 0.33 1.5 0.67 × 10 -1 3.5 0.23 5.5 0.19 1.6 0.55 × 10 -1 3.6 0.16 5.6 0.11 1.7 0.45 × 10 -1 3.7 0.11 5.7 0.60 × 10 -8 1.8 0.36 × 10 -1 3.8 0.72 × 10 -4 5.8 0.33 0.29 × 10 -1 1.9 3.9 0.48 5.9 0.18 Như v y, n u hàm tin c y tuy n tính v i các bi n ng u nhiên cơ b n phân b chu n thì vi c tính toán xác su t x y ra s c là ñơn gi n. µX = 0 1 Phân b chu n tiêu chu n (standard normal distribution) là phân b chu n (normal distribution) v i σX = 1. và HWRU/CE Project - TU Delft 30
Thương s gi a giá tr trung bình µ và ñ l ch chu n σ c a hàm tin c y Z ñư c g i là ch s ñ tin c y: µZ β= (4.10) σZ N u các bi n ng u nhiên cơ b n phân b chu n và ñ c l p th ng kê v i nhau thì hàm tin c y có th bi n ñ i chúng thành các bi n phân b chu n tiêu chu n v i: Xi − µ X i Ui = (4.11) σXi Ta có th dùng hàm Z = R − S ñ minh h a cho phép bi n ñ i này. Các bi n R và S ñư c chuy n ñ i thành các bi n chu n tiêu chu n U1 và U2 . Hàm tin c y lúc này tr thành: Z = (µ R + σR U1 ) − (µ S + σS U 2 ) = (4.12) = σR U1 − σS U 2 + µ R − µ S Vùng s c trong m t ph ng U1U2 là: (xem hình minh ho 4.4) σ RU1 − σSU 2 + µ R − µ S ≤ 0 (4.13) ðư ng vuông góc v i ñư ng biên s c và ñi qua g c t a ñ có d ng: σSU1 + σ RU 2 = 0 (4.14) Kho ng cách t g c t a ñ t i mi n s c là: µR - µS µZ OA = = (4.15) σZ σ 2 + σS 2 R Kho ng cách này chính là giá tr c a ch s ñ tin c y. Theo Hasofer và Lind, khi hàm tin c y tuy n tính thì ch s ñ tin c y là kho ng cách t g c t a ñ t i mi n s c . A Bi n cơ b n ban ñ u Bi n cơ b n chu n hóa Formatted: Centered Hình 4.4 Mi n s c là m t hàm c a các bi n cơ b n. ði m A (hình 4.4) là ñi m n m trên biên s c v i m t ñ xác su t k t h p l n nh t c a U1 và U2 . Do ñó ñi m A th a mãn ñ nh nghĩa v ñi m thi t k (xem 3.2). To ñ c a ñi m A là: HWRU/CE Project - TU Delft 31
σ σ (u1 , u2 ) = − R β, S β  = (α1β, α 2β) (4.16)  σZ σZ  trong ñó: α1 = -σR/σZ; α2 = σS/σZ. Trong m t ph ng RS, ñi m thi t k ñư c xác ñ nh: R = µ R + α1βσ R * (4.17) S = µ S + α 2βσS * N u hàm tin c y ñư c bi u di n theo công th c (4.8) thì bi u th c sau dùng xác ñ nh h s nh hư ng c a bi n ng u nhiên Xi t i hàm tin c y Z: −a i σ Xi αi = (4.18) σZ Ví d 4.1 Cho hàm tin c y: Z = 4a + 2b - c + 3 Các bi n cơ b n a, b và c là bi n ng u nhiên ñ c l p tuân theo lu t phân b chu n và có các ñ c trưng th ng kê như sau: µa = 20 σa = 5 µb = 10 σb = 1 µc = 20 σc = 10 Khi ñó giá tr trung bình c a Z là: µ Z = 4 ⋅ 20 + 2 ⋅10 − 20 + 3 = 83 ð l ch chu n là: σZ = (4 ⋅ 5 ) + (2 ⋅ 1) + 10 2 = 22.45 2 2 Ch s ñ tin c y là: µZ β= = 3.697 σZ Khi ñó xác su t x y ra s c là: Pf = P(Z < 0) = Φ(3.697) = 10 -4 ði m thi t k có th xác ñ nh ñư c thông qua các h s nh hư ng: 4⋅5 α1 = − = −0.891 22.45 2 α2 = − = −0.089 22.45 10 α3 = = 0.445 22.45 HWRU/CE Project - TU Delft 32
Giá tr các bi n cơ s t i ñi m thi t k là: a * = 20 − 0.891 ⋅ 3.697 ⋅ 5 = 3.53 b* = 10 − 0.089 ⋅ 3.697 ⋅1 = 9.67 c* = 20 + 0.445 ⋅ 3.697 ⋅10 = 36.45 Trong trư ng h p trên, v i hàm tin c y tuy n tính và các bi n ng u nhiên ñ c l p tuân theo phân b chu n, b ng cách s d ng các giá tr kỳ v ng và ñ l ch chu n c a các bi n cơ b n ta d dàng xác ñ nh xác su t x y ra s c . Tuy nhiên trong th c t các ñi u ki n này r t ít x y ra. Trong nhi u trư ng h p, ph i ñơn gi n hóa b ng cách tuy n tính hóa hàm tin c y và chuy n ñ i các bi n. 4.2.2 Các hàm tin c y phi tuy n N u hàm tin c y là hàm phi tuy n c a m t s bi n cơ b n ñ c l p có phân b chu n thì hàm này s không phân b chu n. Hàm tin c y có th ñư c xác ñ nh g n ñúng thông qua khai tri n Taylor, s d ng hai s h ng ñ u tiên c a ña th c này. Bi u th c g n ñúng khi ñó có d ng: ∂g n Z = g(X) ≈ g(X 0 ) + ∑ (4.19) (X 0)(X i - X 0 i) ∂X i i=1 Bi u th c g n ñúng trên c a Z là tuy n tính và theo ñ nh lý gi i h n trung tâm, Z phân b chu n. Khi ñó kỳ v ng và ñ l ch chu n c a hàm ñ tin c y có th ñư c tính g n ñúng v i giá tr kỳ v ng và ñ l ch chu n c a hàm tuy n tính hóa: ∂g n µ Z ≈ g(X 0 ) + ∑ (X 0 )(µ X i - X 0i ) (4.20) ∂X i i=1 2  ∂g  n ∑ ∂X σZ ≈ (X 0 )σXi  (4.21)   i=1 i Ch s ñ tin c y có th xác ñ nh g n ñúng: ∂g n g(X 0 ) + ∑ (X 0 )(µ X i - X 0i ) µ ∂Xi β= Z ≈ i=1 (4.22) σZ 2  ∂g  n ∑ ∂X (X 0 )σXi  i=1   i N u hàm tin c y ñư c tuy n tính hóa t i ñi m X = ( µ x , µ x ,… , µ x ) , công th c (4.22) có th 0 1 2 n ñư c rút g n: g(µ X1, µ X 2,… , µ X n ) β≈ (4.23) 2  ∂g  n ∑ ∂ X i (µ X1, µ X 2,… , µ X n )σXi   i=1  Formatted: Font color: Red Giá tr x p x c a ch s ñ tin c y ñư c g i là giá tr x p x bình quân. Phương pháp x p x bình quân th hi n ñư c b n ch t c a phương th c tính toán theo c p ñ II. C t lõi c a Formatted: Font color: Red Phương th c c p ñ II là xác ñ nh s nh hư ng c a ñ l ch c a các bi n cơ b n lên ñ l ch Formatted: Font color: Red c a hàm tin c y. ði u này liên quan ñ n bư c phân tích ñ nh y có tr ng s . Thông qua phép toán vi phân riêng, ta xác ñ nh ñư c ñ nh y c a nghi m Z=0 do m t s thay ñ i nh giá tr c a m t bi n cơ b n. Ti p ñó, tr ng s là tích s gi a ñ nh y v i ñ l ch chu n c a bi n. HWRU/CE Project - TU Delft 33
Qua bi u th c (4.22) ta th y r ng vi c tính toán giá tr x p x c a β thông qua tuy n tính hóa hàm tin c y ph thu c vào vi c l a ch n ñi m tuy n tính hóa c a hàm. Formatted: Font: Italic Gi s hàm tin c y có 2 bi n cơ b n X1 và X2. Hàm tin c y phi tuy n có d ng Z = 2 X 12 − X 2 . Formatted: Font: Italic Các bi n X1 và X2 ñư c chuy n ñ i thành các bi n phân ph i chu n thông thư ng U1 và U2 do Formatted: Font: Italic ñó bi u th c hàm tin c y m i có d ng: Formatted: Font: Italic Z = 2σ X1 U 12 + 4σ X 1 µ X1 U 1 + 2 µ X1 − σ X 2 U 2 − µ X 2 2 2 (4.24) Formatted: Font: Italic Formatted: Font: Italic Trong hình 4.6, mi n s c ñư c bi u di n trên m t ph ng U1, U2 . Có th th y rõ r ng s tuy n tính hóa hàm Z t i nh ng ñi m khác nhau d n ñ n các giá tr g n ñúng khác nhau c a ch s ñ tin c y. Vì v y công th c ch s ñ tin c y theo công th c 4.22 không th áp d ng tùy ti n. Hình 4.6 Tuy n tính hóa hàm tin c y. Theo phương pháp HASOFER and LIND[4.5], (xem m c 4.2.1) ch s ñ tin c y không ph thu c hàm tin c y có ph i là hàm tuy n tính hay không. Kho ng cách t biên s c (Z=0) ñ n Formatted: Font: Italic g c c a h to ñ chuy n ñ i là: ( ) β = min U12 + U 2 2 (4.25) Z=0 ði m thi t k chính là ñi m A n m trên biên s c v i kho ng cách ñ n g c t a ñ là ng n nh t. Hình 4.7 cho th y, khi tuy n tính hóa hàm tin c y Z t i ñúng ñi m thi t k thì giá tr g n ñúng c a β chính là kho ng cách t tr c t a ñ t i bi n s c . Th c t có nhi u phương pháp ñ tìm ñi m thi t k thông qua quá trình l p. Th c ch t ñây là m t v n ñ t i ưu hoá ñ tìm ra kho ng cách OA ng n nh t. ð xác ñ nh ñi m thi t k , ngư i ta thư ng dùng các phương pháp gi i tích và phương pháp s . 2 phương pháp ñư c gi i thi u sau ñây v cơ b n là như nhau ch khác nhau công th c c a hàm tin c y. Phương pháp ñ u tiên d a vào vi c chu n hoá hàm tin c y. T c là t t c các bi n cơ b n ñ u ñư c chuy n sang các bi n chu n tiêu chu n. To ñ c a ñi m thi t k là: ( U , U ,… , U ) = ( α β, α β,… , α β ) X i* = µ X i + U1 σ Xi * * * * and (4.26) 1 2 n 1 2 n HWRU/CE Project - TU Delft 34
A Hình 4.7 Tuy n tính hóa hàm tin c y t i ñi m thi t k . ði m thi t k và giá tr β tìm ñư c d a vào quá trình l p ñ gi i các bi u th c: ∂f (αβ) ∂U i αi = − , i = 1, 2,… , n 2  ∂f  (4.27) n ∑ ∂U (αβ)    j=1   j f (α1β, α1β,… , α1β)= 0 trong ñó: f(U1, U2, ..., Un) là hàm tin c y c a các bi n cơ b n ñã ñư c chu n hoá. αi là h s nh hư ng c a bi n i. ði m thi t k ch ñư c xác ñ nh n u các bi n tuân theo lu t phân b chu n (hay các bi n ñư c chuy n v d ng phân b chu n). ði m thi t k là ñi m n m trên ñư ng biên s c mà m t ñ phân ph i xác su t thông thư ng là l n nh t. Xem hình minh ho 4.7. Hình 4.7 ð nh nghĩa ði m thi t k (DP) - là ñi m n m trên biên s c mà t i ñó m t ñ xác su t là c c ñ i. Có th tìm hi u rõ hơn v phương pháp tính này qua ví d sau: Ví d 4.2 Cho hàm tin c y: Z = g(a, b, c) = ab – c HWRU/CE Project - TU Delft 35
Các bi n cơ b n a, b và c là các bi n ng u nhiên phân ph i chu n ñ c l p. Các giá tr ñư c cho: µa = 8 σa = 2 µb = 3 σb = 1 µc = 4 σc = 2 Yêu c u: Xác ñ nh ñi m thi t k và ch s tin c y tương ng. 1- Trư c h t, c n chuy n ñ i các bi n cơ b n sang d ng các bi n chu n tuân theo phân b chu n. 2- Vi t l i hàm tin c y theo bi n chu n: Hàm tin c y c a các bi n ñư c chuy n ñ i là: Z = f ( U1 , U 2 , U 3 ) = 6U1 + 2U1 U 2 + 8U 2 − 2U 3 + 20 T ñây, có th hình thành công th c tính ch s β. Ngoài ra các công th c tính ch s α1, α2 và α3 ñư c xây d ng: 6 + 2α 2 β −20 β= α1 = − 6α1 + 2α1α 2β + 8α 2 − 2α 3 (6 + 2α 2β) + (8 + 2α1β) + 2 2 2 2 8 + 2α1β 2 α2 = − α3 = (6 + 2α 2β) + (8 + 2α1β) + 2 2 (6 + 2α 2β) + (8 + 2α1β) + 2 2 2 2 2 2 H phương trình này có th ñư c gi i b ng phương pháp th liên ti p. V n ñ còn l i là vi c l a ch n các giá tr th c ban ñ u ñ i v i β, α1, α2 và α3 . Giá tr ban ñ u β có th ñư c xác ñ nh theo phương pháp x p x tr trung bình: µZ g (µ a , µ b , µ c ) β= = σZ 2 2 2  ∂g   ∂g   ∂g   ∂a (µ a , µ b, µ c ) ⋅ σ a  +  ∂b (µ a , µ b, µ c ) ⋅ σ b  +  ∂c (µ a , µ b, µ c ) ⋅ σ c      8⋅3 − 4 = = 1.96 (3 ⋅ 2) + (8 ⋅1) + (1 ⋅ 2) 2 2 2 Các giá tr ban ñ u c a α1, α2 và α3 ñư c ch n là hoàn toàn gi ng nhau nhưng có th khác d u. Các giá tr m i c a β, α1, α2 và α3 ñư c tính toán cho ñ n khi k t qu h i t . Xem k t qu ví d trên B ng 4.1 V i các giá tr β, α1, α2 và α3 v a tìm ñư c cho phép tính toán xác ñ nh ñư c ñi m thi t k và xác su t x y ra s c T a ñ ði m thi t k ñư c xác ñ nh: a = µ a + α1βσa = 8 − 0.20 ⋅ 2.39 ⋅ 2 = 7.04 * b = µ b + α 2β σb = 3 − 0.94 ⋅ 2.39 ⋅1 = 0.75 * c = µ c + α3β σc = 4 + 0.27 ⋅ 2.39 ⋅ 2 = 5.29 * Và xác su t x y ra s c : Pf = Φ( −β) = Φ( −2.39) = 0.0084 B ng 4.2 HWRU/CE Project - TU Delft 36
Các bư cl p Giá tr ban ñ u 1 2 3 4 5 6 1.96 2.51 2.49 2.42 2.39 2.39 2.39 β -0.58 -0.52 -0.32 -0.23 -0.21 -0.20 -0.20 α1 -0.58 -0.80 -0.89 -0.93 -0.94 -0.94 -0.94 α2 0.58 0.28 0.33 0.29 0.27 0.27 0.27 α3 Phương pháp th hai v th c ch t b t ngu n t phương pháp th nh t (phương pháp nêu trên) nhưng v i ưu ñi m là không c n chuy n ñ i hàm tin c y thành hàm c a các bi n phân b chu n. Khi ñó giá tr β ñư c tính theo bi u th c 4.22 v i hàm tin c y ñư c tuy n tính hóa t i m t ñi m. Sau ñó giá tr này dùng ñ xác ñ nh ñi m m i mà t i ñó hàm tin c y là tuy n tính. Trong trư ng h p này, giá tr αi ñư c tính theo công th c: ∂ ∂ g( X *)σXi g ( X *)σXi ∂X i ∂X i αi = − =− (4.28) σZ 2 n  ∂ ∑ ∂X * g( X )σX j    j =1   j V i giá tr c a β và α i ñư c tính l i, t a ñ ñi m thi t k m i là: X i* = µ i + α i βα X i (4.29) Phương pháp này ñư c minh h a b ng ví d 4.3 sau ñây: Ví d 4.3 ð ti n vi c minh h a s khác nhau gi a hai phương pháp, v n ñ tương t như như ví d 4.2 ñư c xem xét. Hàm tin c y là: Z = g(a, b, c) = a b - c. Các bi n a, b, c là các bi n ng u nhiên phân b chu n, ñ c l p: µa = 8 σa = 2 µb = 3 σb = 1 µc = 4 σc = 2 Xác ñ nh ñi m thi t k và ch s tin c y tương ng. Phương trình vi phân ñ o hàm riêng theo các ch s a, b, c như sau: ∂g * * * ∂g * * * ∂g * * * ( ) ( ) ( ) a , b , c = b* ; a , b , c = a* ; a , b , c = −1 ∂a ∂b ∂c Suy ra: (bσ a )2 + (aσ b )2 + (σ c )2 σZ = µ Z = (a *b * − c * ) + b * (8 − a * ) + a * (3 − b * ) − (4 − c * ) HWRU/CE Project - TU Delft 37
b *σ a a *σ b 1* σ c µZ β= ;α 1 = − ;α 2 = − ;α 3 = − σZ σZ σZ σZ V i các công th c trên ñây vi c ư c lư ng tính toán ði m thi t k có th th c hi n ñư c cho hàm tin c y tuy n tính hóa t i m t ñi m. B ng 4.3 ñưa ra k t qu sau 6 bư c l p. So sánh k t qu t i b ng 4.3 v i b ng 4.2 ta th y c 2 phương pháp ñ u h i t v ñi m thi t k sau 6 bư c l p. Tuy nhiên kh i lư ng tính toán trong m i vòng l p c a phương pháp th hai l n hơn nhi u so v i phương pháp th nh t. M t khác, hàm tin c y không c n ph i chuy n ñ i như ñ i v i phương pháp th nh t. Do ñó phương pháp th hai ñư c áp d ng d dàng hơn trong các chương trình máy tính. B ng 4.3 Các bư cl p Giá tr ban ñ u 1 2 3 4 5 6 σz 10.20 6.70 6.46 7.12 7.35 7.43 µz 20.00 16.45 15.54 17.02 17.56 17.75 β 1.96 2.45 2.41 2.39 2.39 2.39 α1 -0.59 -0.44 -0.28 -0.23 -0.21 -0.20 α2 -0.78 -0.85 -0.91 -0.93 -0.94 -0.94 α3 0.20 0.30 0.31 0.28 0.27 0.27 a* 8 5.69 5.86 6.63 6.90 7.00 7.03 b* 3 1.46 0.92 0.82 0.77 0.76 0.75 c* 4 4.77 5.46 5.49 5.34 5.30 5.29 4.2.3 Các bi n cơ s không tuân theo lu t phân b chu n N u bài toán liên quan ñ n các bi n cơ s ng u nhiên không phân b chu n thì hàm tin c y cũng không phân b chu n. ð có th áp d ng ñư c phương pháp g n ñúng c p ñ II thì c n ph i bi n ñ i các bi n cơ s này thành các bi n cơ s phân b chu n. Cách bi n ñ i ñơn gi n nh t là chuy n các bi n không phân b chu n v d ng phân b chu n tiêu chu n. ð bi n ñ i m t bi n ng u nhiên phân b chu n b t kỳ sang phân b chu n tiêu chu n thì bi u th c sau ph i th a mãn t i ñi m thi t k : FX ( X * ) = Φ ( U * ) (4.30) hay: ( ) U = Φ FX ( X ) * -1 * (4.31) (Φ ( U )) −1 X =F * * X trong ñó Φ −1 là hàm ngư c c a phân b chu n tiêu chu n; FX−1 là hàm ngư c c a hàm phân b xác su t c a bi n X Phương pháp bi n ñ i này có th làm ph c t p hóa hàm ñ tin c y ñơn gi n ban ñ u. RACKWITZ và FIESSLER [4.6] ñưa ra phương pháp chuy n ñ i m t bi n ng u nhiên có lu t phân b tùy ý sang phân b chu n. Gi thi t r ng giá tr th c và giá tr x p x c a hàm m t ñ xác su t cũng như hàm phân b xác su t là tương ñương nhau t i ñi m thi t k , ta có: HWRU/CE Project - TU Delft 38
 X * − µ 'X  FX ( X * ) = Φ   '  σX  (4.32) 1  X* − µ X  ' fX ( X * ) = ' ϕ   ' σX  σX  trong ñó ϕ là hàm m t ñ xác su t phân b chu n tiêu chu n. Gi i h phương trình trên thu ñư c: (( )) ϕ Φ −1 FX ( X * ) σ'X = fX ( X ) * (4.33) ( F ( X )) σ µ =X −Φ −1 ' ' * * X X X T h phương trình (4.33) cho th y, ñ l ch chu n và trung bình giá tr x p x c a hàm phân b chu n ph thu c vào giá tr c a X t i ñi m thi t k . Do ñó, trong quá trình tính toán l p ñi m thi t k và ch s ñ tin c y c n ph i tính luôn giá tr m i c a σ'x và µ'x t i m i bư c. Ví d 4.4 Tr l i v n ñ tương t như trong ví d 4.2. Tuy nhiên trong ví d này, bi n cơ s c là bi n phân b ñ u trong kho ng (-20, 28). Giá tr trung bình và ñ l ch chu n cũng như trong ví d 4.2. Khi ñó hàm m t ñ xác su t và hàm phân b xác su t c a c là: 1 fc ( c ) = 48 − 20 ≤ c ≤ 28 c + 20 Fc ( c ) = 48 Trong trư ng h p này hàm tin c y bi n ñ i có d ng: Z = 6U1 + 2U1 U 2 + 8U 2 + 24 − µ 'c − σc U 3 ' Thay Ui = αi*β t i ñi m thi t k ta có: 6α1β + 2 α1α 2 β 2 + 8α 2β + 24 − µ 'c − σc α 3β = 0 ' Ti p ñ n, các phương trình trong vòng l p ñư c mô t như trong ví d 4.2 H phương trình c n gi i c a bài toán này là: HWRU/CE Project - TU Delft 39
−24 + µ'c β= 6α1 + 2α1α 2β + 8α 2 − σc α3 ' 8 + 2α1β α2 = − 2 (6 + 2α 2β) 2 + (8 + 2α1β) 2 + σ'c 6 + 2α 2 β α1 = − 2 (6 + 2α 2β) + (8 + 2α1β) + σ'c 2 2 σ'c α3 = 2 (6 + 2α 2β) + (8 + 2α1β) 2 + σ'c 2 c* = Fc−1 (Φ (α3β)) = 48 ⋅ Φ (α3β) − 20 ϕ(α3β) µc = c* − α3 ( β σ'c ) = ϕ ( α 3β ) ⋅ 48 σ'c = ' f c (c* ) B ng 4.4 trình bày k t qu c a các bư c vòng l p. So v i ví d 4.2, ch s tin c y trong b ng có giá tr nh hơn. Hình 4.8 mô t x p x phân b xác su t th c t i ñi m thi t k ñ i v i bi n ng u nhiên c. B ng 4.4. Các bư c l p Giá tr ban ñ u 1 2 3 1.96 1.07 1.03 1.03 β -0.58 -0.31 -0.32 -0.31 α1 -0.58 -0.47 -0.47 -0.46 α2 0.58 0.83 0.82 0.83 α3 c* 21.87 19.00 18.50 18.60 10.04 12.92 13.36 13.27 σ 10.46 7.54 7.16 7.23 µ HWRU/CE Project - TU Delft 40
Hình 4.8 X p x phân b xác su t th c v i phân b chu n. 4.2.4 Các bi n ng u nhiên cơ s ph thu c N u các bi n ng u nhiên cơ s là ph thu c thì chúng ph i ñư c bi n ñ i sang d ng bi n ñ c l p. N u t n t i m t hàm liên h th hi n s ph thu c gi a các bi n thì có th rút g n các bi n trong hàm tin c y. Trong nhi u trư ng h p không xác ñ nh ñư c chính xác m i liên h gi a các bi n, khi ñó c n thi t ph i bi u di n b ng các m i tương quan th ng kê. Trong nh ng trư ng h p như v y, các bi n cơ s có th bi n ñ i ñư c. Phương pháp bi n ñ i t ng quát ñư c s d ng r ng rãi là Rosenblatt-Tranformation. Phương pháp bi n ñ i Rosenblatt d a trên hàm m t ñ xác su t k t h p c a m t vector th ng kê v i các bi n ph thu c. B t ñ u b ng hàm m t ñ xác su t c a m t vector có n bi n ng u nhiên, ta có th xác ñ nh các hàm m t ñ xác su t c a n vector thành ph n b ng tích phân. Chi ti t v phương pháp bi n ñ i có th xem thêm t các tài li u tham kh o ñư c trính d n kèm theo giáo trình này. Trong môn h c này ch gi i h n b ng vi c gi i thi u khái ni m cơ b n nh t v x lý hàm tin c y khi có s tham gia c a các bi n ng u nhiên ph thu c. 4.3 Tính toán c p ñ I 4.3.1 Nguyên lý tính toán c p ñ I M c 4.2 xác ñ nh chi ti t xác su t x y ra hư h ng c a m t thành ph n và t ñó xác ñ nh ñ tin c y v i thông s ñ b n và t i tr ng cho trư c. Trong th c t bài toán x y ra ngư c l i, ta ph i ñi xác ñ nh ñ b n tương ng v i m t ñ tin c y cho trư c. Có th áp d ng phương pháp c p ñ II và III trong tính toán thông s ñ b n yêu c u thông qua quá trình l p ñ ñi u ch nh giá tr ñ b n cho ñ n khi tìm ñư c xác su t x y ra s c ñ nh . Cách chung nh t hi n nay trong vi c l p ñ án thi t k là d a vào các tiêu chu n và hư ng d n thi t k . Theo ñó, các thông s ñ b n ñư c gia gi m b ng các h s ñ c trưng, trong khi ñó các thông s t i tr ng ñư c gia tăng v i các tham s ñ c trưng t i tr ng. Th hi n theo bi u th c: Rrep > γ S S rep (4.41) γR HWRU/CE Project - TU Delft 41
γR và γS là các h s an toàn thành ph n. Các giá tr ñ c trưng c a thông s ñ b n và t i tr ng ñư c tính toán theo: Rrep =µ R + k R σ R (4.42) S rep =µ S + k S σS Trong ñó kR có th mang giá tr âm và kS có th có giá tr dương ho c âm. 4.3.2 Liên k t phương th c c p ñ I trong tính toán xác su t x y ra s c Các tiêu chu n thư ng ñưa ra giá tr cho các h s an toàn thành ph n cho các thông s ñ b n và t i tr ng ph bi n nh t. Các sách hư ng d n thi t k g n ñây nh t ñã c g ng liên k t vi c xác ñ nh các thông s này v i phương pháp thi t k theo lý thuy t ñ tin c y thông qua vi c tính toán xác su t x y ra s c theo c p ñ II. S k t h p này ñư c th hi n trong ñ nh nghĩa ñi m thi t k . ði m thi t k là ñi m n m trong mi n s c v i m t ñ xác su t k t h p c a ñ b n và t i tr ng là l n nh t. Vì v y mà giá tr ñ b n và t i tr ng t i ñi m s c g n v i giá tr t i ñi m thi t k : R =µ R + α R βσR = µ R (1 + α R βVR ) * (4.43) S =µ S + αSβσS = µ S (1 + α SβVS ) * Tiêu chu n thi t k là b t ñ ng th c sau ph i th a mãn: R* > S * (4.44) Th hai phương trình (4.43) và (4.41) ta ñư c h phương trình c a các h s an toàn thành ph n: 1 + k R VR R rep γR = = 1 + α R β VR * R (4.45) S 1 + αSβVS * γS = = Srep 1 + k S VS Nhìn chung, h s an toàn thành ph n γi l n hơn khi: nh hư ng αi l n hơn a. Giá tr tuy t ñ i c a h s b. Ch s tin c y mong mu n β cao hơn c. H s bi n ñ i Vi l n hơn Do h s nh hư ng ñóng vai trò quan tr ng trong ñ nh nghĩa γ R nên h s an toàn thành ph n c a ñ b n ph thu c vào ñ l ch c a c ñ b n và t i tr ng: σR σR αR = − =− (4.46) σZ σ 2 + σS 2 R Áp d ng tương t cho h s an toàn thành ph n c a t i tr ng. Chi ti t ñ c minh h a b ng các ví d sau: Ví d 4.5 Gi s c ñ b n và t i tr ng ñ u tuân theo lu t phân ph i chu n v i: S : µ S = 10 và VS = 0.5 do ñó α S = 5 HWRU/CE Project - TU Delft 42
R :V R = 0.2 Xác ñ nh h s an toàn thành ph n c a ñ b n v i h s ñ tin c y β = 3.6 và kR = -1.64 (Không vư t quá 5%) Hs nh hư ng c a t i tr ng và ñ b n xác ñ nh theo: 0.2µ R 5 αR = − and α S = 0.04µ 2 + 25 0.04µ 2 + 25 R R ði m thi t k có giá tr : 0.04 µ R 2 25 R = µR - * 3.6 and S* = 10 + 3.6 0.04 µ + 25 0.04 µ 2 + 25 2 R R T bi u th c R* - S* = 0 ta có µ R − 10 − 0.04 µ R + 25 * 3.6 = 0 2 Gi i phương trình này ta ñư c: µR = 51. T i ñi m thi t k giá tr c a ñ b n là R* = 18.0 và giá tr ñ c trưng là Rrep = 34.2. H s an toàn thành ph n c a ñ b n khi ñó là γ R = 34.2 / 18.0 = 1.9 N u kho ng bi n thiên c a t i tr ng l n hơn, ñòi h i ph i thay ñ i ñ b n. Cho σS = 2 r i áp d ng công th c sau: µ R − 10 − 0.04 * µ R + 4 * 3.6 = 0 → µ R = 39.0 2 Trong trư ng h p này, h s an toàn thành ph n c a ñ b n có giá tr : 26.2 γR= = 2.2 11.8 Như v y, v i s tr giúp c a các phương pháp tính toán c p ñ II và III trong vi c xác ñ nh ñi m thi t k ta có th tìm ñư c h s an toàn thành ph n c a t t c các bi n cơ b n. Ví d 4.6 Gi s trong ví d 4.2, ch s tin c y mong mu n là β = 2.39; và gi s r ng giá tr ñ c trưng c a các bi n b ng chính giá tr kỳ v ng. Khi ñó h s an toàn thành ph n ñư c xác ñ nh: µa 8 γa= = = 1.14 * 7.04 a µb 3 γb= = = 4.00 * 0.75 b * 5.29 c γc= = = 1.32 µc 4 Khi áp d ng trong th c t thi t k ta thư ng g p m t lo t các v n ñ ph c t p. Do ñó m t s quy t c ch p nh n chung ñã ñư c xây d ng, t o thành thuy t chu n. Hai trong s nh ng v n ñ ph c t p là: HWRU/CE Project - TU Delft 43
1. N u ph i xác ñ nh h s an toàn thành ph n cho t t c các bi n ng u nhiên thì s lư ng h s s r t l n. T ng s các h s ph i ñư c h n ch b ng cách g p các bi n l i và tính toán m t h s an toàn thành ph n cho chúng. 2. ð l n c a các h s an toàn thành ph n ph thu c vào ñ l ch chu n c a t t c các bi n cơ s có m t trong hàm tin c y. Do ñó không th xác ñ nh ñư c m t h s an toàn cho m t bi n ñ c l p v i hàm tin c y. Vì v y mà theo quy ñ nh, các h s này ñư c xác ñ nh là giá tr trung bình c a s lư ng l n các trư ng h p liên quan (reference cases). 4.3.3 Chu n hóa các giá tr α Theo lý thuy t, nên xác ñ nh giá tr α b ng tính toán xác su t x y ra s c . Phương pháp thích h p nh t ñ tìm α là phương pháp c p ñ II. Tuy nhiên v n có th dùng phương pháp c p ñ III ñ gi i quy t v n ñ này (xem ph l c G). Theo phương pháp thi t k c p ñ I trong tiêu chu n châu Âu, giá tr α ñư c chu n hóa và ñư c coi là ñ c l p cho t ng trư ng h p c th b t kỳ. Trong m t s trư ng h p, b ng cách tính toán xác su t x y ra s c có th xác ñ nh ñư c giá tr α chu n hóa. Sau ñó, xác ñ nh giá tr trung bình tr ng s c a α v a tính, c n ñ m b o r ng sai s c a k t qu xác ñ nh xác su t x y ra s c là nh nh t. Giá tr α s d ng trong công trình xây d ng ñư c trình bày trong b ng 4.5. B ng 4.5 Giá tr α chu n hóa ñ i v i công trình xây d ng. α Thông s bi n Thông s ñ b n chính 0.80 Thông s ñ b n còn l i 0.32 Thông s t i tr ng chính 0.70 Thông s t i tr ng còn l i 0.28 Trong s các thông s t i tr ng cho trư c, thư ng r t khó xác ñ nh thông s t i tr ng ch y u. Do ñó, l n lư t t ng thông s s ñư c coi là thông s t i tr ng ch y u. T ñó có th xác ñ nh m t lo t các phương án t i tr ng gi ñ nh, v i thông s t i tr ng chính khác nhau. Các phương án t i tr ng khác nhau lo i tr l n nhau. ði m thi t k s ñư c xác ñ nh t phương án t i tr ng tiêu chu n. Trong hình 4.9, t l thành ph n gi a thông s ch y u và thông s còn l i ñ i v i trư ng h p hai bi n ng u nhiên là 40%. Trong ñó n u hàm ñ tin c y là tuy n tính và ch s tin c y l n hơn tích s α*β , thì t p h p t t c các thông s k t h p n m bên ngoài ñư ng tròn tâm (0,0) và bán kính α*β . Ki m tra ñi m A và B ta xác ñ nh ñư c ñư ng biên c a ñư ng tròn này. Theo Tiêu chu n châu Âu, lý thuy t chu n hóa giá tr α là cơ s ñ xác ñ nh các h s an toàn thành ph n. HWRU/CE Project - TU Delft 44
Hình 4.9 Các ñi m ki m nghi m trong trư ng h p t h p hai thông s . 4.3.4 T h p t i tr ng trong tính toán ñ b n theo c p ñ I Như ñã ñ c p trong m c 4.3.3, theo Tiêu chu n châu Âu, vi c s d ng các giá tr α chu n hóa có th d n ñ n m t s phương án t i tr ng gi ñ nh. C n ph i xem xét t ng phương án t i tr ng tương ng v i m i thông s t i tr ng ch y u, trong ñó các t i tr ng còn l i ñư c coi là t i tr ng th y u. Ngoài ra, c n ph i xem xét thêm các t h p t i tr ng khác khi các t i tr ng tính toán ph thu c th i gian. Có nhi u mô hình t h p t i tr ng khác nhau. Tuy nhiên, ñ i v i phương pháp tính toán c p ñ I, không c n thi t ph i quan tâm ñ n các d ng phân ph i khác nhau c a m t thông s . Thông thư ng, m t phân ph i các giá tr c c h n s ñư c gi thi t cho m t th i ño n thi t k c th . Có th chia giai ño n thi t k thành m th i ño n ∆T = maxτi. Gi s các t i tr ng ñ c l p trong các th i ño n ∆T thì trong m i kho ng ∆T xác su t x y ra s c ñư c xác ñ nh qua công th c: Pf Pf' = (4.47) m trong ñó: P’f là xác su t x y ra s c trong kho ng ∆T Pf là xác su t x y ra s c trong th i ño n thi t k ; m = T/∆T; T là th i ño n thi t k Ch s ñ tin c y có tr ng s c a t i tr ng trong kho ng th i gian ∆T là:  Φ ( α Sβ )  αS β ' = −Φ −1   (4.48) m ði m thi t k áp c n th a mãn ñi u ki n sau: Φ (− α S β ) ( ) T i tr ng ch y u: P S1 > S1* = Φ (− α S β ') = (4.49a) m HWRU/CE Project - TU Delft 45
 Φ (− α S β )    ( ) T i tr ng khác: P S i > S i* = Φ (− 0.4α S β ') = Φ  + 0.4Φ −1   (4.49b)   m    Gi thi t m t giai ño n thi t k , các ñi u ki n sau c n tuân theo: ( ) T i tr ng ch y u: P S1 > S1* = mΦ (− α S β ') = Φ (− α S β ) (4.50a) ( ) = mΦ(− 0.4α β ') T i tr ng khác: P S i > S * (4.50b) i S Hàm phân b chu n ñư c tính toán g n ñúng theo: Φ ( − x ) = 10 − x for 3< x < 4 (4.51) Thay phương trình (4.50) vào phương trình (4.51), sau vài bi n ñ i ta ñư c giá tr c a các l c t i ñi m thi t k : T i tr ng ch y u: S1* = µ1 + α S βσ 1 T i tr ng khác: S i* = µ i + (0.4α S β − 0.6 log m )σ i (4.52) trong ñó: µi là giá tr kỳ v ng c a Si c c h n trong th i ño n thi t k ; σi là ñ l ch chu n c a Si c c h n trong th i ño n thi t k . H s t i tr ng thành ph n ñư c xác ñ nh: µ1 + αSβσ1 T i tr ng ch y u: γ 1= S1,rep µ i + ( 0.4αSβ − 0.6 log m ) σi T i tr ng khác: γ i = (4.53) Si ,rep trong ñó: Si, rep là giá tr ñ c trưng c a Si , Si,rep = µi + k σi. H i ñ ng cơ s k thu t xây d ng Hà Lan (TGB) không s d ng giá tr α chu n hóa. Các h s an toàn thành ph n ñư c xác ñ nh d a vào m t kh i lư ng l n các tính toán theo c p ñ II cho m t lo t các phương án t i tr ng khác nhau. Các d ng t h p t i tr ng c a TGB d a trên nguyên t c c a Turkstra . Theo TGB, công th c t ng quát dành cho t h p t i tr ng c a các l c bi n ñ i theo th i gian là: n S = γ 1 S1,rep + ∑ γ iSi ,rep (4.54) i= 2 trong ñó: S1,rep là giá tr c c h n ñ i di n c a t i tr ng S1; Si,rep là giá tr t c th i ñ i di n c a t i tr ng Si n là s lư ng các thông s t i tr ng ho c s các trư ng h p t i tr ng gi ñ nh Trong bi u th c (4.54), t t c các thông s ph i ñư c thay b ng các giá tr c c h n m t l n d n ñ n n t h p t i tr ng. T h p t i tr ng chu n ñư c xem xét. Tài li u tham kh o HWRU/CE Project - TU Delft 46
Joint Committee on Structural Safety, General principles on reliability for structural design. International Association for Bridge and Structural Engineering, 1981. GENZ en MALIK, 1980. OUYPORNPRASERT, W., Adaptive numerical integration for reliability analysis. Universität Innsbruck, Institut für Mechanik, Innsbruck, 1987. BUCHER, C.G., Adaptive sampling - An iterative fast Monte-Carlo procedure. Universität Innsbruck, Institut für Mechanik, Innsbruck, 1987. HASOFER, A.M. en N. LIND, An exact and invariant first order reliability format. Proceedings of the ASCE, Journal of Engineering Mechanics Division, 1974. RACKWITZ, R. en B. FIESSLER, An algorithm for calculation of structural reliability under combined loading. Berichter zur Sicherheitstheorie der Bauwerke, Lab. für Konstr. Ingb., München, 1977. KUIJPER, H.K.T., Maintenance in hydraulic engineering, economically sound planning of maintenance (in Dutch: “Onderhoud in de waterbouw, economisch verantwoord plannen van onderhoud”). Delft University of Technology, Delft, 1992. TURKSTRA, C.J. en H.O. MADSEN, Load combinations in codified structural design. Journal of Engineering Structural Division., ASCE, Volume 106, nr. St. 12, December 1980. FERRY BORGES, J. en M. CASTANHETA, Structural safety - 2nd edition. Laboratorio Nacional de Engenharia Civil, Lissabon, 1972. Tài li u tra c u CORNELL, C.A., A probability-based structural code. ACI-Journal, Volume 66, 1969. DITLEVSEN, 0., Fundamentals of second moment structural reliability theory. International Research Seminar on Safety of Structures, Trondheim, 1977. THOFT-CHRISTENSEN, P. en M.J. BAKER, Structural reliability theory and its applications. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, New York, March 1982. TURKSTRA, C.J., Application of Bayesian decision theory. Study nr. 3: Structural reliability and codified design. Solid Mechanics Division, University of Waterloo, Waterloo, 1970. VROUWENVELDER, A.C.W.M. en J.K. VRIJLING, Probabilistic Design (in Dutch:”Probabilistisch ontwerpen”). Delft University of Technology, Faculty of Civil Engineering, Delft, September 1987. HWRU/CE Project - TU Delft 47