TÍCH PHÂN SUY R NGỘ
1. TÍCH PHÂN SUY R NG LO I 1 Ộ Ạ
( C N VÔ H N)Ậ Ạ
a. Kho ng l y c n là [a;+∞)ả ấ ậ
Gi s hàm s f(x) xác đ nh trên [a;+∞) và f(x) kh tích trên m i đo n [a;b], v iả ử ố ị ả ỗ ạ ớ
m i bọ (a; +∞). Ta g i và ký hi u tích phân suy r ng v i c n vô h n c a hàm sọ ệ ộ ớ ậ ạ ủ ố
f(x) trên [a;+∞) là gi i h n (h u h n ho c là vô h n) d i đây;ớ ạ ữ ạ ặ ạ ướ
N u gi i h n trên là h u h n thì ta nói tích phân suy r ng ế ớ ạ ữ ạ ộ là h i tộ ụ
và gi i h n trên là giá tr c a nó.ớ ạ ị ủ
N u gi i h n trên là không t n t i ho c vô h n thì ta nói tích phân suy r ngế ớ ạ ồ ạ ặ ạ ộ
là phân kỳ.
Ví d 1.a: ụ
Tích phân suy r ng đã cho là h i tộ ộ ụ
Ví d 2.a:ụ
Gi i h n ớ ạ không t n t i ồ ạ
Tích phân suy r ng đã cho là phân kỳộ
b. Kho ng l y tích phân là (-∞; b]ả ấ
T ng t nh kho ng l y tích ph n [a;+∞), ta có:ươ ự ư ả ấ ầ
Hàm f(x) xác đ nh trên (-∞; b] và kh tích trên m i đo n [c,a] v i m i c th a mãnị ả ọ ạ ớ ọ ỏ
: c (-∞;b).
Ta g i và ký hi u tích phân suy r ng v i c n vô h n c a hàm s f(x) trên [-∞;b)ọ ệ ộ ớ ậ ạ ủ ố
là gi i h n (h u h n ho c là vô h n) d i đây;ớ ạ ữ ạ ặ ạ ướ
Tính ch t gi ng v i kho ng l y tích ph n [a;+∞).ấ ố ớ ả ấ ầ
Ví d :ụ
Ví d 1.b: ụ
Tích phân là h i t .ộ ụ
Ví d 2.bụ
=
=
= - - ) = -
c. Kho ng l y tích phân là (-∞; +∞)ả ấ
Ta đ nh nghĩa:ị
Tích phân suy r ng r ng v trái đ c g i là h i t khi và ch khi hai tích phânộ ộ ế ượ ọ ộ ụ ỉ
suy r ng v ph i đ u h i t ( a là m t giá tr th c c đ nh b t kỳ).ộ ở ế ả ề ộ ụ ộ ị ự ố ị ấ
Ch c n b t kỳ m t tích phân suy r ng v ph i phân kỳ thì tích phân v tráiỉ ầ ấ ộ ộ ở ế ả ở ế
s phân kỳ.ẽ
Ví d 1.c : tính tích phân sau ụ
Ta có:
I =
Đ t ặ ;
- Tính A.
A = =
= =
= )
=
=>Tích phân A là h i tộ ụ
T ng t ta tính tích phân Bươ ự
B =
=
=
=>Tích phân B h i tộ ụ
=>Tích phân I = A + B = ( A,B cùng là h i t )ộ ụ
Tích phân I hôi tụ
Ví d :ụ
Ví d 1: xét s h i t c a tích phân: ụ ự ộ ụ ủ
+ v i ớ
+,N u n > 1: ế
Tích phân h i tộ ụ
+N u n<1: ế
Tích phân phân kỳ
+ v i n = 1ớ
= = +∞
Tích phân đó phân kỳ
V y: tích phân ậ (n> 0) h i t n u n > 1, phân kỳ n u n < 1ộ ụ ế ế
M t s đ nh lý so sánhộ ố ị
a.Đ nh lý 1:ị
Gi s 0 ≤ f(x) ≤ g(x), v i m i ả ử ớ ọ . Khi đó:
• n u ế h i t thì ộ ụ h i tộ ụ
• n u ế phân kỳ thì phân kỳ.
Ví d : xét tính h i t c a tích phân: ụ ộ ụ ủ
1.
Gi i: ta th yả ấ
0< < và là h i t ộ ụ tích phân đã cho h i t .ộ ụ
2.
Gi i.ả
Trên đo n [1;+∞) thì ạ và => h i tộ ụ
=> I hôi t .ụ
b.Đ nh lý 2ị
Gi s f(x) > 0, g(x) > 0, v i m i ả ử ớ ọ và
. Khi đó:
• n u k < +∞ và ế h i t thì ộ ụ h i tộ ụ
• n u k > 0 và ế phân kỳ thì phân kỳ
• n u 0< k <+∞ thì hai tích phân đó đ ng th i h i t ho c đ ng th i phânế ồ ờ ộ ụ ặ ồ ờ
kỳ.