Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Thể tích khối chóp
THỂ TÍCH KHỐI CHÓP (Phần 01)
ðÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Thể tích khối chóp (phần 01) thuộc khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn ñể giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Thể tích khối chóp (phần 01). ðể sử dụng hiệu quả, Bạn
cần học trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này.
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với ñáy và SA= a . Gọi M, N lần lượt là trung ñiểm của SB và SD; I là giao ñiểm của SC và mặt phẳng (AMN). Chứng minh SC vuông góc với AI và tính thể tích khối chóp MBAI. Giải:
⊥ AM BC BC SA BC AB
, (
⊥
⊥
,
)
(1)
Ta có
⇒
⊥ AM SC
AM SB SA AB , (
)
⊥
=
S
(2) SC⊥
Tương tự ta có AN SC⊥ AI Từ (1) và (2) suy ra Vẽ IH song song với BC cắt SB tại H. Khi ñó IH vuông góc với (AMB)
H
Suy ra
V
=
S
.
IH
ABM
ABMI
I
M
1 3 2
Ta có
S
=
ABM
N
a 4
2
2
B
A
=
=
=
= ⇒ =
IH
BC
=
a
2
2
2
SA 2 +
a +
SI IH = BC SC
1 3
AC
a
2
a
1 3
1 3
SA 3
Vậy
V
=
=
ABMI
SI SC . 2 SC 2 a a 1 3 4 3
a 36
D
C
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a , AD = 2a . Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng ñáy , cạnh bên SB tạo với mặt phắng ñáy một góc 600 .Trên cạnh SA lấy ñiểm M sao
a
3
cho AM =
, mặt phẳng ( BCM) cắt cạnh SD tại N .Tính thể tích khối chóp S.BCNM
3
Giải: Tính thể tích hình chóp SBCMN. ( BCM)// AD nên mặt phẳng này cắt mp( SAD) theo giao tuyến MN // AD
⊥ BC AB
Ta có :
.
⇒ ⊥
BC BM
⊥ BC SA
Tứ giác BCMN là hình thang vuông có BM là ñường cao
a
3
a
3
−
3
Ta có SA = AB tan600 = a 3 ,
⇔
=
MN SM = SA AD
MN a 2
2 = 3
a
3
- Trang | 1 -
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Thể tích khối chóp
2
Suy ra MN =
. BM =
a 4 3
a 3
Diện tích hình thang BCMN là :
2
+
2
a
2
a 4 3
BM
=
=
S =
2
+ BC MN 2
a 3
a 10 3 3
Hạ AH ⊥ BM . Ta có SH ⊥ BM và BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SH. Vậy SH ⊥ ( BCNM) ⇒ SH là ñường cao của khối chóp SBCNM
Trong tam giác SBA ta có SB = 2a ,
.
=
AB AM = SB MS
1 2 030
Vậy BM là phân giác của góc SBA ⇒ ⇒ SH = SB.sin300 = a
3
SBH∠ =
SH dtBCNM =
.(
)
1 3
S
Gọi V là thể tích chóp SBCNM ta có V = a 10 3 27
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với ñáy. Góc giữa mặt phẳng (SBC) và (SCD) bằng 600. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD. Giải: Gọi M là hình chiếu vuông góc của B lên SC. Chứng minh ñược góc DMB = 1200 và ∆ DMB cân tại M
M
Tính ñược: DM2 = a2 2 3
2
2
2
A
B
1 ∆ SCD vuông tại D và DM là ñường cao nên = + 1 1 DM DS DC
Suy ra DS = a 2 . Tam giác ASD vuông tại A suy ra SA = a.
D
C (
Vậy thể tích S.ABCD bằng a3 1 3
)
a 3 a > 0
Bài 4. Cho hình chóp S.ABC có SC ⊥ (ABC) và ∆ABC vuông tại B. Biết rằng AB = a, AC =
α=
. và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) bằng α với tan 13 6
2
Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a. Giải: Gọi H, K là hình chiếu của C lên SA, SB. Ta chứng minh ñược CK ⊥ (SAB), SA ⊥ (CHK) suy ra ∆CHK vuông tại K và SA ⊥ KH.
tan
=
⇒
sin
=
⇔
=
( ) 1
α
α
2
13 6
13 19
13 19
CK CH
2
2
Do ñó α=∠CHK. Từ
2
2
2
2
2 a x 3 2 + a 3
2
2
ðặt SC = x >0. Trong tam giác vuông SAC có = + ⇒ CH = 1 CH 1 CA 1 CS x
2
2 a x 2 2 + a 2
2
2
3
V
=
SC S .
=
2
a
Tương tự trong tam giác vuông SAC có CK = x
⇒
= ⇔ =
( ) 1
ABC
SABC
2
2
1 3
. Suy ra x 6 a 13 19
) )
+ +
( 2 3 a ( a 3 2
- Trang | 2 -
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
x x
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Thể tích khối chóp
Bài 5. Cho hình chóp SABCD ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD), SA = a, ñiểm M∈AD,
Gọi N là trung ñiểm của BM, K là giao ñiểm của AN và BC. Tính thể tích khối E∈CD, AM = CE = . a 4
=
chóp SADK theo a Giải
∆
ADK
∆
ADK
S
=
−
−
S SA . S a . + VSADK = 1 3 1 3
ADK
∆
ABCD
ABK
DCK
CK CD .
Mà : S S S S
1 2
= a2 - SABM -
a .
.
AB AM -
1 2
a 1 3 . 2 4 2
M
D
A
= a2 -
.
23 a 8
a 2
N
2
3
a = .
.
(cid:1) VSADK=
E
a 1 . 3 2
a 6
B
C
K
S
C'
= = a2 - a - . a 1 . 2 4
A B C D '
SA
SA
=>
⊥
')
(
(
)
'
'
D'
Bài 6. Cho hình chóp SABCD ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD), SA = a; A’, B’, C’, D’ lần lượt là trung ñiểm của SC, SD, SA, SB. S’ là tâm hình vuông ABCD. Tính thể tích khối chóp S’A’B’C’D’. Giải - (A’B’C’D’)// (ABCD). - ⊥ ABCD
SA SA / /
=>
S A '
'
⊥
(
A B C D '
'
'
')
B'
A'
S .
S A . .
'
'
-
'
'
'
'
A
1 3 A B C D
B
VS’A’B’C’D’=
Mà:
S'
1 2
a 2
D
+ SA’= SA=
C
2
2
3
+ A’B’C’D’ là hình vuông.
(cid:1) SA’B’C’D’ = A’B’.A’D’=
. = . . = => VS’A’B’C’D’ = a 2 a 2 a 4 1 3 a 4 a 2 a 24
Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn :
Hocmai.vn
- Trang | 3 -
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
