CÁC CHUYÊN ð BI DƯNG HC SINH GII
GV: Nguyn Tt Thu – Trưng THPT Lê Hng Phong – Biên Hòa
Chuyên ð:
NG DNG CA ðNH LÍ LAGRANG
I. Lý thuyt:
1. ðnh lí Lagrang: Cho hàm s y=f(x) liên tc trên [a;b] và kh vi trên (a;b), khi ñó
tm ti s thc
( ) ( )
( ; ) : '( )
f b f a
c a b f c
b a
−
∈ = −
H qu 1:Nu hàm s y=f(x) liên ta trên [a;b] , kh vi trên (a;b) và f(a)=f(b) thì
Pt: f’(x)=0 có ít nht mt nghim trên (a;b)
H qu 2:Cho hàm s y=f(x) có ño hàm ñn cp n. .Nu pt
( )
( ) 0
n
f x
=
có k nghim thì
Pt
( 1)
( ) 0
n
f x
−
có nhiu nht (k+1) nghim
II. Các ng dng:
1.ng dng ñ/l Lagrang ñ gii pt:
Phương pháp: ð gii pt f(x)=0 ta s dng h qu 2 chng minh s nghim nhiu nht
ca pt có th có ñưc, sau ñó ta ch ra ñưc các nghim ca pt
Bài 1:Gii pt:
+ = +
  
(HSG Ngh an 2005)
Gii: Xét hàm s :
= + − −
  
Ta có:
= + −
     
= + > ∀ ⇒=
⇒ ⇒
        
 ! 
 !
Mà ta thy f(1)=f(0)=0 nên pt ñã cho có hai nghim x=0 và x=1
Bài 2: Gii pt:
osx osx
3 2 osx
c c
c
= +
Gii: ðt t=cosx;
[-1;1]
t
∈
khi ñ
ó pt tr
thành:
t t
3 2 3 2 0
t t
t t
= + ⇔ − − =
,
ta th
y pt
này có hai nghi
m t=0 và t=1 ta s
c/m
ñ
ó là s
nghi
m nhi
u nh
t mà pt có th
có:
Xét hàm s
:
( ) 3 - 2 -
t t
f t t
=
v
i
[-1;1]
t
∈
ta có
'( ) 3 ln3 2 ln 2 1
t t
f t
= − −
2 2
"( ) 3 ln 3 2 ln 2 0
t t
f x
= − > ⇒
f’(x)=0 có nhi
u nh
t 1 nghi
m nên f(x) =0 có nhi
u nh
t
hai nghi
m t
ñ
ó ta có
ñ
pcm
V
y pt có hai h
nghi
m:
2 ;
2
x k x k
π
π π
= = +
Bài 3:
Gi
i pt:
= + + +
"  "
(
TH&TT)
Gii
:
ð
k: x>-1/2
⇔ + = + + + ⇔ + = + + +
"  "  "  "

(1)
Xét hàm s
:
= +

ta có f(t) là hàm
ñ
ng bi
n nên
⇔ = + ⇔ = + ⇔ − − =
"  " " " 
Xét hàm s
:
= − − ⇒= − ⇒= >
"   
⇒=
có nhi
u nh
t là hai nghi
m, mà f(0)=f(1)=0 nên pt
ñ
ã cho có hai nghi
m
x=0 và x=1
CÁC CHUYÊN ð BI DƯNG HC SINH GII
GV: Nguyn Tt Thu – Trưng THPT Lê Hng Phong – Biên Hòa
Bài 4: Gii pt:
5 12 6 11
x x x x
+ = +
Gii:
12 11 6 5
x x x x
pt
⇔ − = −
. Gi s m là nghim ca pt, xét hàm s
( ) ( 1)
m m
f t t t= − − ta có f(12)=f(6) nên theo h qu 1 thì tn ti
(6;12)
c
∈
:
f’(c)=0
hay
1 1 1 1
( 1) 0 [ ( 1) ]=0 0, 1
m m m m
mc m c m c c m m
− − − −
− − = ⇔ − − ⇔ = =
Th li ta thy tho mãn. Vy x=0 và x=1 là nghim ca pt
Bài Tp: Gii các pt sau
2 2
1
1. 3 5 2.4
2. (1 )(2 4 ) 3.4
3. 9 3 (2 1)2
4. 4 2 3 3
x x x
x x
x x x
x x x x
x
x
+
+ =
+ + =
+ = +
+ = +
2.ng dng ñnh lí Lagrang ñ cm pt có nghim:
Phương pháp:ð cm pt f(x)=0 có nghim trên (a;b) ta ñi xét hàm F(x) có tính cht :tha
mãn các ñiu kin ñ/l Lagrang , F’(x)=f(x) sau ñó ta cm hàm F(x) tha mãn ñk ca H
qu 1 t ñó ta có ñiu phi chng minh
Bài 1: Cho các s thc a,b,c tha mãn ñk:
0
2 1
a b c
m m m
+ + =
+ +
. Cmr
2
4
b ac
≥
(1)
Gii: Ta có (1) chính là ñiu kin cn và ñ ñ pt: ax2+bx+c=0 có nghim nên ta chuyn
vic cm (1) v cm pt ax2+bx+c=0 có nghim
* Nu a=0 thì (1) luôn ñúng
* Nu
0
a
≠
. Xét hàm s
2 1
( )
2 1
m m m
x x x
f x a b c
m m m
+ +
= + +
+ +
ta thy f(x) có ño hàm trên R
và f(1)=
0
2 1
a b c
m m m
+ + =
+ +
=f(0) nên theo h qu 1 thì pt f’(x)=0 có nghim (0;1)
hay pt:
m+1 m m-1 2
ax +bx +cx =0 ax 0
bx c
⇔ + + =
có nghim trên (0;1) t ñó ta có ñpcm
Bài 2:Cho các s thc a,b,c và s nguyên n>0 tho mãn: 5c(n+2)+6(a+b)=0. Cmr pt
n n
a.sin . os .sinx+c=0
x b c x c
+ +
luôn có no trên
(0; )
2
π
(HSG Ngh an 2004)
Gii: Ta có:
5
2 6 2
a c b
gt
n n
⇔ + = −
+ +
(*)
Xét hàm s
2 n+2 3 2
sin os sin sin
( )
2 2 3 2
n
x c x x x
f x a b c c
n n
+
= − + +
+ +
trên
[0; ]
2
π
ta thy f(x) tho
mãn ñk ñ/l Lagrang trên
[0; ]
2
π
. Mt khác ta li có:
5
(0) ; ( )
2 2 2 6
b a c
f f
n n
π
= − = +
+ +
(0) ( )
2
f f
π
⇒=
(do (*) ). Theo ñ/l Lagrang thì pt f’(x) có nghim trên
(0; )
2
π
CÁC CHUYÊN ð BI DƯNG HC SINH GII
GV: Nguyn Tt Thu – Trưng THPT Lê Hng Phong – Biên Hòa
hay pt:
1 n+1 2
.sin . osx+cos sinx+c.sin . osx+c.sinx.cosx=0
n
a x c x x c
+
n n n n
sinx.cosx(asin . os inx+c)=0 a.sin . os .sinx+c
=0
x b c x cs x b c x c⇔ + + ⇔ + +
(vì sinx,
cosx >0 trên
(0; )
2
π
) có nghim trên
(0; )
2
π
(ñpcm)
Bài 3:Cho các s thc
1 2
, ,...,
n
a a a
tha mãn:
1 2
0
... 0
2 3 1
n
aa a
a
n
+ + + + =
+
và
2
1 2 n
0
a
... 0
2 3 1
n
a k a k k
a
n
+ + + + =
+
vi k >0. Cmr pt sau luôn có nghim
1 2
2 ... 0
n
n
a a x na x
+ + + =
Gii: Xét hàm s
2 3 1
1 2 n
0
a
( ) ...
2 3 1
n
a x a x x
f x a x
n
+
= + + + +
+
ta có f(0)=f(1)=f(k)=0
Nên theo h qu 1 thì pt:
2
0 1 2
'( ) ... 0
n
n
f x a a x a x a x
= + + + + =
có hai nghim phân bit
x1,x2
(
)
1 2
'( ) ' 0
f x f x
⇒= = ⇒
Pt
1
1 2
"( ) 2 .... 0
n
n
f x a a x na x
−
= + + + =
có nghim
Bài 4: Pt:
2 2
sin sinpx+q sin 0
a x p b c qx
+ =
(vi p,q là các s nguyên dương l) có ít
nht bao nhiêu nghim trên
[0;2 ]
π
?
Gii:
Xét pt: f(x)= asinx+bsinpx+csinqx=0 .
(0) ( ) (2 )
f f f
π π
= =
nên pt
'(x) osx .cos .cos 0
f ac pb px qc qx
= + + =
có 2 n
0
1 2 1 2
, : 0 2
x x x x
π π
< < < <
Vì p,q là các s
nguyên d
ươ
ng l
nên ta có :
1 2
'( ) 0 '( ) '( ) '( ) 0
2 2
f f x f x f
π π
=⇒= = =
⇒
pt f’’(x)=
2 2
sin sinpx+q sin 0
a x p b c qx
+ =
có 2 n
0
1 2
, :
y y
1 1 1 2 2
Min{x , }<y ax{x , }<y
2 2
M x
π π
< <
, H
ơ
n n
a
"(0) "( ) 0
f f
π
= =
V
y pt: f”(x)=0 có ít nh
t 4 nghi
m trên
[0;2 ]
π
.
CÁC CHUYÊN ð BI DƯNG HC SINH GII
GV: Nguyn Tt Thu – Trưng THPT Lê Hng Phong – Biên Hòa
3. ng dng ñ/l Lagrang ñ chng minh Bt ðng Thc:
Phương pháp:* ð c/m Bñt có dng:
( ) ( )f a f b
m M
a b
−
< <
−
ta xét hàm s y=f(x) tha
mãn ñiu kin ñ/l Lagrang trên [a;b], khi ñó có
( ) ( )
( ; ) : '( )
f a f b
c a b f c
a b
−
∈ = −
sau ñó ta
chng minh: m<f’(c)<M
* ð c/m Bñt có dng :
( ) ( )
m f a f b M
≤ − ≤
ta xét hàm s y=f(x) tha mãn ñiu kin
ñ/l Lagrang trên [a;b], khi ñó có
( ; ) : ( ) ( ) '( )( )
c a b f a f b f c a b
∈ − = −
sau ñó ta chng minh: m<(a-b)f’(c)<M
Bài 1: Cho 0<a<b. Cmr:
ln
b a b b a
b a a
− −
< <
Gii:Bñt ñã cho
1 ln ln 1
b a
b b a a
−
⇔ < <
−
Xét hàm s f(x)=lnx trên [a;b]. Ta thy f(x) tha mãn ñk ñ/l Lagrang trên [a;b] nên tn
ti s c: a<c<b:
1 ( ) ( ) ln ln
'( )
f b f a b a
f c
c b a b a
− −
= = =
− −
. Vì
1 1 1
( ; )c a b
b c a
∈⇒< <
Do ñó ta có
1 ln ln 1
b a
b b a a
−
< <
−
ñpcm
Bài 2: Cho 0<x<y và m là m t s nguyên dương bt kì. Cmr:
1 1
( )
1
m m
m
x x my
y
m
− −
+
<+
Gii: Bñt ñã cho
1
m m
m
y x
my
y x
−
−
⇔ <
−
Xét hàm s ( )
m
f t t
=
trên [x;y], ta thy f(t) tha mãn ñk ñ/l Lagrang trên [x ;y] nên tn
ti s
( )
1 1
( ) ( )
; : '( )
m m
f y f x
c x y f c mc my
y x
− −
−
∈ = = <
− ñpcm
Bài 3:Cmr :
( )
1
1 3
n
n
n n n
+
> + ∀ ≥
(ðH AN NINH 2001)
Gii:
Bñt
ln( 1) ln
( 1)ln ln( 1) 0 ( 1) ( ) 0
1
n n
n n n n f n f n
n n
+
⇔ + > + ⇔ − < ⇔ + − <
+
Vi
ln
( )
x
f x
x
=
ta thy f(x) tha mãn ñk ñ/l Lagrang trên [n;n+1] nên có s c: n<c<n+1
2
1- ln
( 1) - ( ) '( )( 1- ) '( ) 0
c
f n f n f c n n f c
c
+ = + = = < ⇒
ñpcm
Bài 4:
3
3 3
: sin cos( -1) sin( 1) cos cos .cos( -1)
CMR e e e e e e− − >
Gii:
Vì cose, cos(e-1)>0 nên B
ñ
t
33
sin sin( 1)
1
ose cos( -1)
e e
c e
−
⇔ − >
CÁC CHUYÊN ð BI DƯNG HC SINH GII
GV: Nguyn Tt Thu – Trưng THPT Lê Hng Phong – Biên Hòa
Xét hàm s:
3
sin
( )
cos
x
f x
x
= trên [e-1;e], ta có
2
34
2cos 1
'( ) 3 os
x
f x
c x
+
=
Áp dng ñ/l Lagrang thì có s e-1<c<e:
( ) ( 1) '( )
f e f e f c
− − =
Mt khác:
3
2 2 4
os os 1 3 os '( ) 1
c c c c c c f c
+ + ≥ ⇒>⇒
ñpcm