Một số chuyên đề vận dụng và vận dụng cao VTED có lời giải chi tiết

MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ VẬN DỤNG VÀ VẬN DỤNG CAO VTED CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT

Sưu tầm và chỉnh sửa bởi tạp chí và tư liệu toán học

Link: https://www.facebook.com/OlympiadMathematical/

CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Cực trị

NHÓM GIẢI VẬN DỤNG CAO CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ - NĂM HỌC 2017-2018

VTED_2019 MÔN: TOÁN 12

Thời gian làm bài 90 phút

2

3

3

2

Câu 1. Tìm tập hợp trị thực của thị hàm số tham số m để đồ

 x m

m



y



x



mx 3



3

 1

có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành. tất cả các giá 

1;1

3 3 ; 2 2

2 2 ; 3 3

4 4 ; 3 3

  

  

  

  

  

  

3

. B. . C. . D. . A. 

y



x



23 x mx m





 có các điểm

2

Câu 2. Có bao nhiêu số nguyên không âm m đề đồ thị hàm số

C. Vô số. D. 3 . cực đại, điểm cực tiểu nằm về hai phía của trục hoành? B. 2 . A. 4 .

3

2

2

3

Câu 3. Tìm tập hợp trị thực của thị hàm số tham số m để đồ

y



x



mx 3



3

 x m

m



 1

có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung. tất cả các giá 

1;1

3 3 ; 2 2

2 2 ; 3 3

4 4 ; 3 3

  

  

  

  

  

  

4

4

y



x



22 x

 y mx



nx

. B. . C. . D. . A. 

 và 2

2 1  có chung ít

m n 3 .

Câu 4. [2D1-3] Cho biết hai đồ thị của hai hàm số

. nhất một điểm cực trị. Tính tổng 1015 A. 2018 . C. 2017 .

 D. 2018

B. 2017 .

3

2

2

3

Câu 5. [2D1-3] Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

y

 

x



2

m



x



m



 x m



 1



 1

2 3

;0

có 2 điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung.

 1; . ;1 .

0;1 . 

    . 1;



3

2



x



ax



bx c

,

A.  C.  B.  D. 

,a b c là các số thực. Biết

,

  f x

 có đồ thị 

C với

,O A B thẳng hàng. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

,

C có hai điểm cực trị A và B , ba điểm   S

 abc ab c

 bằng



Câu 6. [2D1-3] Cho hàm số



25 9

16 25

B. . C. . A. 9 . D. 1.

2

Câu 7. [2D1-2.10-3] [CỰC TRỊ - ĐẶNG THÀNH NAM] Có bao nhiêu số nguyên

y



3  x mx



2

m



x

 có hai điểm cực trị nằm về

3

 m  

 2018; 2018



 1

1 3

để đồ thị hàm số

hai phía của đường thẳng y A. 2017 .

x  ? B. 4034 .

C. 4033. D. 2016 .

3

y



x



23 x

2

Câu 8. [2D1-2.6-2] [CỰC TRỊ - ĐẶNG THÀNH NAM] Gọi A , B là hai điểm cực trị của đồ thị

 . Tính đố dài đoạn thẳng

.AB

AB 

2 17

AB 

2 5

AB 

2 10

AB 

2 2

hàm số

A. . B. . C. . D. .

3

y



x



25 x



3

x

1

Câu 9. [2D1-2.6-2] [CỰC TRỊ - ĐẶNG THÀNH NAM] Gọi A , B là hai điểm cực trị của đồ thị

 . Tìm tọa độ trung điểm của

.AB

hàm số

1 | VD_VDC

Tài liệu Vted_2019

M

N



;



5; 234

 Q  



 P 

 5; 14

358 27

5 3

338 27

A. . B. . C. . D. .

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18 5   ; 3 

  

  

  

3

y

   x

x

2 2 

x

1

 . Viết phương

,A B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

Câu 10.

[2D1-2] Gọi trình đường thẳng AB .

y

 

x



y



x

y



y

 

x

7 9

14 9

14 9

7  . 9

7 x 9

14 9

14 9

7  . 9

2

2

A. . B. C. . D.

y



3  x mx



m



x



 1

1 3

Câu 11. có hai [2D1-2] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

điểm cực trị A và B sao cho góc AOB nhọn.

1m 

 .

1m  .

m   .

1

y



x

3 3 

x

1

1 B. C. D. . A. 1 1 m      m

 . Tính

,A B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số





Câu 12. [2D1-2] Gọi . cos   ,OA OB

cos

cos

   OA OB   ,



   , OA OB 



2 5

A. . B. .

cos

cos

   OA OB  ,



   , OA OB  



1 5

2 5 1 5

C. . D. .

3

2

y



x



mx 6



9

 x m 2

Câu 13. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

,A B sao cho khoảng cách từ gốc tọa độ O đến

có hai điểm cực trị

4 5 5

. Tính tích các phần tử của S đường thẳng AB bằng

37 8

37 64

3

2

2

B. . C. . A. 1 . D. 1

,A B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

y



x



mx 3



3

m



3 x m m







 1

Câu 14. Gọi (với m là

tham số thực). Tính tổng tất cả các giá trị thực của tham số m để tam giác ABC vuông tại  C 

8 5

2;1 5  . 8

8  . 5

5 8

3

2

2

3

B. . A. C. D.

y



x



mx 3



3

m



 x m



 1

Câu 15. Biết rằng đồ thị hàm số luôn có hai điểm cực trị A và B ,

 . 1

 . 1

x 3

 . 1

 

 

3

3

y

x

y

y

y

x 3

 1

3

y



x



23 x m

C. B. D. trong đó A là điểm cực đại. Hỏi A nằm trên đường thẳng nào dưới đây? A. x

 có hai điểm cực trị A, B sao cho

Câu 16. Có bao nhiêu số thực m để đồ thị hàm số

3

2

2

3

B. 0 . góc  0120 AOB  A. 2 . C. 1. D. 4 .

,A B trong đó A

y



x



mx 3



3

m



 x m



 1

Câu 17. Biết rằng đồ thị hàm luôn có hai điểm cực trị

 . 1

x 3

 . 1

 

3

3

y

x

y

x

y

y

x 3

 1

C. B. D. là điểm cực tiểu. Hỏi A nằm trên đường thẳng nào dưới đây?  . A. 1  

3

2

2

Câu 18. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số

y



x



mx 3



3

m



3 x m m







 1

có hai điểm cực trị sao cho khoảng cách từ điểm cực đại

2 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Cực trị

của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ bằng 2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu đến gốc tọa độ. Tính tổng các phần tử của S .

3

2

. A. 6 . C. 6 . B. 4 2  D. 4 2

y



x



m



x



m





 1



3 1

4 3

2

x

2 4 

x

1 3  y

có điểm cực đại, điểm cực tiểu nằm khác Câu 19. Tìm m để hàm số

  ? 3 0

phía với đường tròn





.

1;1 .

2; 2 .

     . 1;

 ; 1



1 1 ; 2 2

  

  

4

2

mx 2



3

y

C. A  B.  D. 

 luôn có ba điểm cực trị. Tìm m khi bán kính

m 

0,

 x đường tròn ngoại tiếp tam giác tạo bởi ba điểm này có giá trị nhỏ nhất?

m 

3 2.

Câu 20. Với mọi đồ thị hàm số

1.m 

m 

.

m 

.

3

3

3 4

1 2

4

2

mx 2



x

3

A C. B. D.

 luôn có ba điểm cực trị. Hỏi bán kính đường

m 

0,

 y tròn ngoại tiếp tam giác tạo bởi ba điểm này có giá trị nhỏ nhất là?

Câu 21. Với mọi đồ thị hàm số

.

.

3 3 2 4

1 3 2

A 2. B. C. 1. D.

2

2

m



x



y

   x

2

m



x

m 3



2

4

 có điểm cực đại, điểm cực tiểu ằm về hai phía trục

Câu 22. Tìm cả trị của tham thị hàm số số m để đồ

tất  3 các giá   1 thực 

tung.

m   .

m   .

2m  .

2m

 .

1m  hoặc

1 2

1 2

3

2

m

m











2

2

3

y

x

x

x

A. C. D. B. 1



 m m 3



 1

Câu 23. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số   có hai điểm cực trị, đồng thời khoảng cách từ điểm

cực đại đến Ox bằng khoảng cách từ điểm cực tiểu đến Oy . Hỏi S có bao nhiêu phần tử?

2

A. 0 . B. 3 . C. 1. D. 4 .

y



2

3  x mx



12

x



13

có điểm cực đại và điểm Câu 24. Có bao nhiêu số thực m để đồ thị hàm số

3

y



x



23  x mx

C. 0 . D. 3 . cực tiểu cách đều trục tung. A. 2 . B. 1.

 2

Câu 25. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

y

x  . Tính tổng các phần tử của S .

1 2

có điểm cực đại, cực tiểu cách đều đường thẳng

2 3

3 2

2  . 3

3 2

3

2

y



x



mx 3



4

3 m

A. . B. . D. C. - .

có điểm cực đại và điểm cực

Câu 26. Có bao nhiêu số thực m để đồ thị hàm số x . tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y

3

3

2

y



x



m



2

2 2 x m x m







2

m

C. 0 . D. 3 . A. 2 . B. 1.

 m  

5;5





Câu 27. Có bao nhiêu số nguyên để đồ thị của hàm số

có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành? A. 8 . B. 5 . C. 7 . D. 6 .

3 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Tài liệu Vted_2019

2

2

0m  ; đồ thị hàm số

y



4 x mx m





Câu 28. Với mọi luôn có ba điểm cực trị. Biết parabol đi qua

ba điểm cực trị nay đi qua điểm . Mệnh đề nào sau đây đúng?

3m

 .

5m

 .

2m

 .

1 4 (2; 24)  .

A 7m

22 x

A. 1 B. 5 C. 3 D. 0

y



2;x x .Tính giá trị biểu thức

1

 x

3 

 x m 2

)

Câu 29. Biết rằng hàm số có hai điểm cực trị phân biệt

S



 

f x ( 2 x 2

.

S   .

S  . 4

S  . 2

S   .

4

f x ( ) 1 x 1 2

2 x m m



3  x m



1



y



A. B. C. D.

mC . Hỏi điểm nào trong các điểm

 1   x m

Câu 30. [2D1-4] Cho hàm số có đồ thị 

m m 1

mC tương ứng với

đồng thời cũng là điểm cực tiểu của

m m 2



;



P

;



Q

M

N

.

7 4

1 2

1 2

5 4

1 7 ; 2 4

  

  

  

  

  

  

  

  

2

. C. . D. . A. B. . dưới đây là điểm cực đại của  mC tương ứng với  1 5 ; 2 4

1m  . Viết



y

x 2

x   5 1   x m 2

3 x phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

y





Câu 31. [2D1-4] Biết rằng hàm số có hai điểm cực trị phân biệt với mọi

y





2

x m

3  m

2



x 

m

1

3  m

1

 1



 1

y





A. . B. .

y





x  m

2

3  m

2

 x 

m

1

3  m

1

 1



 1



4

2

C. . D. .

A B C là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số

, ,

y



x



x

 . Viết phương trình đường

2

1 2

Câu 32. Gọi

A B C . , ,

2

2

2

y

tròn đi qua ba điểm

  4 0

x



y



y

  7

0.

3 2

2

2

2

2

x



y



3

y



10 0

A 2 x . B.

 .

x



y



y

 

1 0.

3 2

2

4





2

y

x

2 m x m

C. D.

6

62; 2

Câu 33. Tìm tập hợp các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

2; 2

 có ba điểm cực trị và trục hoành chia tam giác tạo thành từ ba điểm cực trị thành hai đa giác có diện tích bằng nhau. A.  





2  m 2

x

m

3

6 2   vuông góc với đường

B.   D. 

 1

3

y



x



23 x

Câu 34. Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng C.    y

 1

thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

m  .

m  

3 4

1 m  4

1 2

3 m  2

x

4



A. B. C. D.

  song m

1

3

y



x

  y m 23 x



Câu 35. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng

 . 1

song với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

4 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

D.  . B.  1 .

Chuyên đề_Cực trị 3 .

6 .



x

m

4

  tạo với

A.  C. 

  y m

1

3

y



x



23 x

1

Câu 36. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng

 góc

045 .

; 2

  4;



;



đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

4; 2

4 3

2 3

4 3

2 3

  

  

  

  

  

  

4

y



x



2

2  mx m

A. . B. . . D. . C. 

có ba Câu 37. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

1m

1m  .

 .

2m

 .

2m  .

4

2

điểm cực trị cùng với gốc toạ độ O tạo thành một tứ giác. A. D. C. 0 B. 0

y



x



2

mx



m

có ba điểm cực trị cùng Câu 38. Tìm giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

.

2 4

1

1

m 

.

với gốc tọa độ O tạo thành một tứ giác có diện tích bằng

m 

2.

m 

.

m 

.

1 2

2

2 2

2

x





3

A. B. C. D.

y



.C Biết đồ thị 

C có một điểm cực trị thuộc

x m  3  x m

Câu 39. Cho hàm số có đồ thị 

y

x  . Tìm điểm cực trị còn lại của hàm số đã cho.

1

đường thẳng

x 

2.

x 

3.

x 

5.

x  7.

2

x

A. B. C. D.

y



.C Biết 

C có một điểm cực trị thuộc đường thẳng

2  x m   x m

y

x 4

 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

8

 

Câu 40. Cho hàm số có đồ thị 

  1.

A. m

 B. 1 m 0.

 C. 0 m 1. 

m  1.

3

2

y

   x

mx 3



m 3

1

 có hai điểm cực trị

D.

Câu 41. Tìm giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

y 8



74 0

 .

đối xứng nhau qua đường thẳng

4m  .

d x : m   . 4

2m  .

m   .

2

4

B. A. C. D.

y



x



22 x



2

m

có ba điểm cực trị cùng với Câu 42. Tìm giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

m 

2

gốc tọa độ O tạo thành một tứ giác nội tiếp.

0m  .

1m  .

m 

2 2

4

2

A. B. C. . D. .

y



x



2

2 m x m



 có ba điểm

1

Câu 43. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

cực trị lập thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp nhỏ nhất.

m  

m  

m  

m  

1 6 5

1 3 5

1 5

1 4 5

2

;

A. . B. . C. . D. .



  . Tính tỉ

y

3  x mx

x m





 ;A x y , 1

1

 B x 2

y là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số 2

1 3

2



Câu 44. Gọi

T

 

y x 2

số

T

 



m

T





m

T





m

T

 



m

 1

2

 1

2

 1

2

 1

2

y 1 x 1 2 3

2 3

1 3

1 3

A. . B. . C. . D. .

5 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

2

y

4   x

4

m

x

m

2

1

1m  , đồ thị hàm số

Câu 45. Với

Tài liệu Vted_2019   có ba điểm cực trị. Viết phương trình



  1

2

2

 . 1

 

m

m





2

2

y

x

y



2

m



x



2

m

 . 1





 1

B.

 . 1

m

m







6

2

y

y

 

6

m





2

m

 . 1





 2 x 1

3

y

4

3

x

x

22 x

C. D. của parabol đi qua ba điểm đó.  A. 1  2 x 1

    . Tính diện tích S của

,A B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

Câu 46. Gọi

tam giác OAB .

S 

S 

S 

S 

166 27

116 27

322 27

232 27



y

x

x m

A. . B. . C. . D. .

 có hai điểm cực

Câu 47. [2D1-3] Tìm các giá trị thực của tham số m đề đồ thị hàm số

3 3  ,A B và tam giác OAB có diện tích bằng 10 , với O là gốc tọa độ.    

10m 

m 

20

20

20

m

m

   

10

m

10

y



x

3 3 

x m

. B. A. C. . . D. trị là m

 . Hỏi tam giác OAB có

,A B là các điểm cực trị của đồ thị hàm số chu vi nhỏ nhất bằng bao nhiêu?( với O là gốc tọa độ).

Câu 48. [2D1-4] Gọi

3

y



x



ax b

A. 4 5 . B. 2 5 . C. 2 5 2 . D. 4 .

 có phương

Câu 49. [2D1-4] Biết đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

y

  6

x

 . Tính

7

 2y

y



33

y

y

y

 

33

trình .

  . 3

 . 3

 2

 2

 2

 2

2

A. . B. C. D. .

y



3  x mx



2

m



x

 3



 1

1 3

m



m



;

2m

1m  .

Câu 50. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số

 . 1

 .

  \ 1

1 2

  

  

3

2

2

 y ax



bx



 cx d a

,(



0,

b



ac 3



0)

. C. A. B. D. 0 có hai điểm cực trị nằm về cùng một phía với trục tung. 1   2

C . Biết gốc tọa độ O thuộc C . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Câu 51. Cho hàm số có đồ thị 

 abcd bc ad





? đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của  S







1 36

27 4

9  . 4

25 9

4

2

y



x



2

m



2

2  x m

A. . B. . C. D. .





Câu 52. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có ba

m   

m   

m 

2

2

m 

0 120 . điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác có một góc bằng 1 3 3

1 3 2

1 3 3

1 3 2

3

y



x



23 x





 

1 3

m

A. C. B. . . D. .

 3 1

 m x

có hai điểm Câu 53. Tìm giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

,A B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 4 .

cực trị

2m  .

4m  .

1m  .

m  .

1 2

3

2

2

A. B. D. C.

y



x



mx 3



3

m



3 x m m





,A B là hai điểm cực trị của đồ thì hàm số



 1

Câu 54. Gọi (với m là

 C 

đường tròn ngoại tiếp bằng 5 , trong đó . tham số thực). Tính tổng tất cả các giá trị thực của tham số m để tam giác ABC có bán kính 2;1

6 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Cực trị

5  . 8

8  . 5

5 8

8 5

4

2

y



x



mx 2

2

A. C. D. . B. .

 có ba điểm cực trị

,A B C sao cho tứ

,

Câu 55. Có bao nhiêu số thực để đồ thị hàm số

D

3 9 ; 5 5

  

giác ABCD nội tiếp với

C. 3 .

   B. 2 .

4

2

y



x



mx 2

2

A. 4 . D. 1.

 có ba điểm cực trị

,A B C sao cho

,

D

Câu 56. Có bao nhiêu số thực m để đồ thị hàm số

3 9 ; 5 5

  

. tứ giác ABCD nội tiếp với

C. 3 . A. 4 .

   B. 2 .

4

2

x



mx 2



2

m

3

D. 1.

 có ba điểm

 y cực trị và ba điểm này nội tiếp đường tròn có bán kính bằng 1.

3

5

m



1;

m



Câu 57. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

m



1;

m



  1 2

  1 2

3

A. . B. .

1m  .

m



  1 2

4

2

y



x



2

m



x



m 3

2

 có ba điểm cực

C. D. .



 1

Câu 58. Tìm giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

31 m   

15

31 m   

120

31 m   

60

m   

3 1 2 120

trị là ba đỉnh của một tam giác cân có độ dài cạnh bên gấp đôi độ dài cạnh đáy.

4

2

y



x



2

m



x



m 3

2

 có ba điểm

A. . B. . C. . D. .



 1

1m

1

1m 

0m 

Câu 59. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

m   .

 .

 .

 .

4

2

y



x



2

m



x



2

m

3

cực trị tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ hơn 1. C. 1 B. 0 A. D. 1

 có ba điểm cực



 1

Câu 60. Tìm giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

,A B C sao cho trục hoành chia tam giác ABC thành hai đa giác, biết tỉ số giữa diện tích

,

trị

4 9

15

3

3

5

1



15

m



m



m



m



của tam giác nhỏ được chia ra và diện tích tam giác ABC bằng .

  1 2

  1 2

 2

2

A. . B. . C. . D. .

----------HẾT----------

7 | VD_VDC

Tài liệu Vted_2019

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18 NHÓM GIẢI VẬN DỤNG CAO

CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ - NĂM HỌC 2017-2018

VTED_2019 MÔN: TOÁN 12

Thời gian làm bài 90 phút

Đề đã thay đổi thứ tự câu (sắp xếp theo độ khó tăng dần) so với đề gốc

BẢNG ĐÁP ÁN THAM KHẢO

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

HƯỚNG DẪN GIẢI

3

2

2

3

Câu 1: Tìm tập hợp trị thực của thị hàm số tham số m để đồ

y



x



mx 3



3

 x m

m



 1

có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành. tất cả các giá 

1;1

3 3 ; 2 2

2 2 ; 3 3

4 4 ; 3 3

  

  

  

  

  

B. . . C. . D. . A. 

   Lời giải

2

2

Chọn C

y

 

3

x



6

mx



3

m



   1 . 1

Ta có

0

1x ,

2x và

y y  . 1

2.

2

2

2

2

Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành khi  1 có hai nghiệm phân biệt

m



9

m

0

2

0 

0



2



2



0

  . y y 1

2

9 

  9 





 x m 1

 x m 2

  

    

2

2

9

m



9

m

  9

0

  

m

29 m  

4 0

2

2

2 3

2  . 3

4

m

 

4 4

2  m m



0

    

9 m  9 m 9 0 Khi đó ta có  2   m  0 x x 4 . 1 2    m x 1 x 2     

m

 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

2   3

2 3

3

Vậy

y



x



23 x mx m





 có các điểm

2

Câu 2: Có bao nhiêu số nguyên không âm m đề đồ thị hàm số

C. Vô số. D. 3 . cực đại, điểm cực tiểu nằm về hai phía của trục hoành? B. 2 . A. 4 .

Lời giải

y

 

23 x



6

 x m

Chọn D Ta có  1 .

0

1x ,

2x và

y y  . 1

2.

Để đồ thị hàm số có các điểm cực đại, điểm cực tiểu nằm về hai phía trục hoành khi  1 có hai nghiệm phân biệt

8 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Cực trị

 9 3

m



0

3

2

2

6

2

2

6

0 

0



0





0

  . y y 1

2



 1

   1





  

x 1

x 2

x x . 1 2

x 1

x 2



   1

 m 3

 m 3

  

  

  

     

 m        

3

3m  .

2

6

m

3



0

 3

  

 m        

m 

Khi đó ta có

2  m     3     0;1; 2 tập hợp

Vậy thỏa mãn yêu cầu bài toán.

3

2

2

3

Câu 3: Tìm trị thực của thị hàm số tham số m để đồ

y



x



mx 3



3

 x m

m



 1

có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung. tất cả các giá 

1;1

3 3 ; 2 2

2 2 ; 3 3

4 4 ; 3 3

  

  

  

  

  

. B. . C. . D. . A. 

   Lời giải

2

2

Chọn A

y

 

3

x



6

mx



3

m



   1 . 1

0

Ta có

x x  . 1

2x và

2.

2

2



9

 

0 0

2

Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục tung khi  1 có hai nghiệm phân biệt 1x ,

  

1

1m

 .

m  

2 1 0

3

m



m 

m  1

0 

0

  x x . 1 2

  



0

3

 9     

Ta có

 m  

1;1

4

4

y



x



22 x

 y mx



nx

Vậy thỏa mãn yêu cầu bài toán.

 và 2

2 1  có chung ít

m n 3 .

Câu 4: [2D1-3] Cho biết hai đồ thị của hai hàm số

B. 2017 . . nhất một điểm cực trị. Tính tổng 1015 A. 2018 . C. 2017 .

 D. 2018

Lời giải

4

y



x



22 x

2

y

 

34 x



4

x

Chọn D

 xem các điểm cực trị.

Ta khảo sát hàm .

A

B



C

. y



0;2



 1;1 ,

  1;1

 x 0      ' 0 1 x  a   nên ta có 1 0 Vì là điểm cực đại, là điểm cực tiểu.

,B C ứng với

Để đồ thị hai hàm số trên có chung ít nhất 1 điểm cực trị, điểm cực trị đó là

m

n 0,

4

 y mx



nx

 (các trường hợp còn lại loại) 0 2 1  có điểm cực đại là

,B C nên

trường hợp

y 1  2   m m 3 2018 1015     1 1    m n  0  4 m n 2    4 m n y  0 Hàm số   1    1      

3

2

2

3

    [2D1-3] Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số Câu 5:

y

 

x



2

m



x



m



 x m



 1



 1

2 3

;0

có 2 điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung.

 1; . ;1 .

0;1 . 

    . 1;



A.  C.  B.  D. 

9 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Tài liệu Vted_2019

Lời giải

2

2

Chọn A

y

  

2

x



m



x m

  .

1

 2 2

 1

1

Ta tính

y  có 2 nghiệm trái dấu

0



  

m

0

1

2

 m 2  3  ax



x



bx c

,

.

,a b c là các số thực. Biết

,

  f x

 có đồ thị 

C với

,O A B thẳng hàng. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

,

C có hai điểm cực trị A và B , ba điểm   S

 abc ab c

 bằng



Câu 6: [2D1-3] Cho hàm số



25 9

16 25

B. . C. . A. 9 . D. 1.

Lời giải

3

2

 y ax



bx



 cx d a

,

Chọn B

 là 0

2

y





x d

 

c 2 3

b 2 a 9

bc a 9

  

  

3

2



x



ax



Ta có công thức đường thẳng qua 2 điểm cực trị của hàm số

 bx c

  f x

2

d y :





x

  c

b 2 3

a 2 9

ab 9

  

  

Áp dụng vào bài, ta được đường thẳng qua 2 điểm cực trị của hàm số

,O A B thẳng hàng

,

  c

  

ab

0

9

c

ab 9

2

2

S



 abc ab c

 

9

c



9

c

  c

9

c





 

5 9

25 9

25 9

  

  

Ba điểm .

2

Câu 7: [2D1-2.10-3] [CỰC TRỊ - ĐẶNG THÀNH NAM] Có bao nhiêu số nguyên

y



3  x mx



2

m



x

 có hai điểm cực trị nằm về

3



 1

 m  

 2018; 2018

1 3

để đồ thị hàm số

C. 4033. D. 2016 . hai phía của đường thẳng y A. 2017 .

x  ? B. 4034 .

Lời giải

2

Chọn B.

y



3  x mx



2

m



x

  1 3



 1

1 3

Hàm số

y

 

2 x mx m





2

TXĐ: D   .

 1

y

 

2 x mx m





2

1

 có hai nghiệm phân biệt

Ta có

1m 

m  



 0



21

2





1;

2

m



2



m



3

Hàm số có  1 có hai điểm cực trị khi và chỉ khi



  1



11 3

1 3

 A m 1;  

  

 B m 2  

  

Khi đó hai điểm cực trị là và .

x  khi

Hai điểm A và B nằm về hai phía của đường thẳng y

10 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Cực trị

2



  1



3

2



4

8

m



12

m



m 3



10

 0

   m 3

 m  2 m   1 2 m  2  m  3  0 11 3 1 3        1  



2

8

m



2



4

m



4

m



5

 0

   m 3







6

1

 2

6





m



2

8 3

  m    1  2    m 

         

m

 m  

 2018; 2018



Vì là số nguyên thỏa mãn nên ta có

 m  

  2018; 2017;... 1;3; 4;...2018

có 4034 giá thị thỏa mãn.

3

y



x



23 x

2

Câu 8: [2D1-2.6-2] [CỰC TRỊ - ĐẶNG THÀNH NAM] Gọi A , B là hai điểm cực trị của đồ thị

 . Tính đố dài đoạn thẳng

.AB

AB 

2 17

AB 

2 5

AB 

2 10

hàm số

AB 

2 2

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C.

y

 

23 x



6

x

TXĐ: D   .

Ta có

y 

0

A

0; 2

B

2; 6

0 Khi đó 2 x     x



  và



 

AB 

2 5

Không mất tính tổng quát, giả sử hai điểm cực trị là

Dễ có

3

y



x



25 x



3

x

1

Câu 9: [2D1-2.6-2] [CỰC TRỊ - ĐẶNG THÀNH NAM] Gọi A , B là hai điểm cực trị của đồ thị

 . Tìm tọa độ trung điểm của

.AB

M

N



;



5; 234

hàm số

 Q  



 P 

 5; 14

358 27

5 3

338 27

5   ; 3 

  

  

  

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A.

23 x

 

y

10



x

3

 . Dễ có y luôn có hai nghiêm phân biệt nên hàm số luôn có hai cực trị

TXĐ: D   .



I

;



Ta có A , B . Trung điểm của đoạn thẳng AB là điểm uốn I

y

 

6

x



10

y 

0

x 

5 3

358 27

5 3

  

  

Ta có ; . . Hay I M

11 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Tài liệu Vted_2019

3

y

   x

x

2 2 

x

1

 . Viết phương

,A B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

Câu 10: [2D1-2] Gọi

trình đường thẳng AB .

y

 

x



y



x

y



y

 

x

7 9

14 9

14 9

7  . 9

7 x 9

14 9

14 9

7  . 9

A. . B. C. . D.

Lời giải

2

y

  

23 x



2

x

y

    3 0

x



2

x

2 0

Chọn B.

 , 2

  có hai nghiệm phân biệt là hoành độ

,A B



y



x



.

y



x



Ta có

y



x

1 3

1 9

14 9

7 9

14 9

7  . 9

  

  

2

2

Do nên phương trình đường thẳng AB là

y



3  x mx



m



x



 1

1 3

có hai Câu 11: [2D1-2] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

điểm cực trị A và B sao cho góc AOB nhọn.

1m 

 .

1m  .

m   .

1

1 B. C. D. . A. 1 m      m 1

Lời giải

Chọn D.

2

2

y

 

x



2

  mx m

  , 1

2

2

 Ta có . y 0  x m      x m   1 1 









  1 3

  1 3

2

2

2

m



m



4





2

cos

  , OA OB

  0

  . OA OB

0



0

      m 1





  1 9

2

m



 

1

 1



4

2

2

m  m  2 m  m  2 Do đó  1; ,  1; nhọn thì . Để AOB  A m         B m       



m



5

m



13

0

1 0

m

 

 

1

9

m         m

y



x

3 3 

x

1

.

 . Tính

,A B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số





Câu 12: [2D1-2] Gọi . cos   ,OA OB

cos

cos

   OA OB   ,



   , OA OB 



2 5

A. . B. .

cos

cos

   OA OB  ,



   , OA OB  



1 5

C. . D. .

2 5 1 5 Lời giải

A

B



1;3

y

 

33 x

Chọn A.

 , 3

y

     . Do đó

1

0

x

   1; 1 ,





Ta có .

 OA

 OB



1;3

cos

 

   1; 1 ,

  



   , OA OB  



4 2. 10

2 5

Do đó . Suy ra .

12 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18 Chuyên đề_Cực trị Câu 13: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

3

2

y



x



mx 6



9

 x m 2

,A B sao cho khoảng cách từ gốc tọa độ O đến

có hai điểm cực trị

4 5 5

. Tính tích các phần tử của S đường thẳng AB bằng

37 8

37 64

B. . C. . D. 1 A. 1 .

Lời giải

Chọn A

y

 

23 x



12

mx

 9

TXĐ: D  

y  có hai nghiệm phân biệt

0

m



2

3 2

  

36

m



27



0

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị

m

 

     

3 2

y



x





4

 1

  2 3 4

2  m x m

1 3

m 2 3

  

  y  

Lấy y chia cho y ta được:

 2 3 4

 

y m 4

 0

Phương trình đường thẳng  đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

2 m x

4

m



là 

 d O ;

  

4 5 5

m



1

  2 3 4

22

  

  

2

2



16

m



m



  4 3 4

2

  

 1  

16 5

2

m

4

2



1024

m



1616

m



592



0

2

m



 1 37 64

   

m

m 1;

  1

Theo giả thiết:

1

Kết hợp với điều kiện  1 suy ra giá trị m thỏa mãn là

   .

  1. 1

3

2

2

Do đó tích các giá trị m của S là

y



x



mx 3



3

m



3 x m m





,A B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số



 1

Câu 14: Gọi (với m là

2;1

tham số thực). Tính tổng tất cả các giá trị thực của tham số m để tam giác ABC vuông tại  C 

5  . 8

8 5

8  . 5

5 8

A. B. . C. D.

Lời giải

13 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Tài liệu Vted_2019

Chọn C

2

2

TXĐ: D  

y

 

3

x



6

mx



3

m



  1

Ta có:

y  có 2 nghiệm phân biệt

0

2

2

  

9

m



9

m



  luôn đúng với m

9

0



 1

x m

  1

   x m 1

21;

y



x





2

x

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị

1 3

m 3

  

  y  

x

y  0

Lấy y chia cho y ta được:

  1; 2

m



2

  1; 2

m



2

 phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là 2

 A m



 B m



Gọi ;

 AC



  3

m

 ;3 2

m

  1

m m ; 2



 BC





 1



  . AC BC

  

3

0

m



m



 3 2

0

và



 1





 m m 2

   1



m

25   m

8

m



0

0 8 5

     m 

Theo giả thiết

8  . 5

3

2

2

3

Vậy tổng tất cả các giá trị của tham số m là:

y



x



mx 3



3

m



 x m



 1

Câu 15: Biết rằng đồ thị hàm số luôn có hai điểm cực trị A và B ,

 . 1

 . 1

x 3

 . 1

 

 

3

3

y

y

y

x

y

x 3

 1

C. B. D. trong đó A là điểm cực đại. Hỏi A nằm trên đường thẳng nào dưới đây? A. x

Lời giải

Chọn B

TXĐ: D  

y  có 2 nghiệm phân biệt

0

2

2

  

9

m



9

m

   luôn đúng với m

9 0



 1

x m

  1

   x m 1

21;

y



x





2

 x m

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị

1 3

m 3

  

  y  

Lấy y chia cho y ta được:

x

 

y m

 0

 phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là 2

14 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

  1; 3

m



2

  1; 3

m



2

Gọi ; .

Chuyên đề_Cực trị  A m



 B m



x

y   hay 1 0

y

 

3

x

 1

3

y



x



23 x m

 có hai điểm cực trị A, B sao cho

Ta thấy điểm cực đại A nằm trên đường thẳng 3

Câu 16: Có bao nhiêu số thực m để đồ thị hàm số

B. 0 . góc  0120 AOB  A. 2 . C. 1. D. 4 .

Lời giải

x

  

0

y

m

A

3

2

2



Chọn C

y



x



3

x m

  

y

3

x



6

x

x

   

2

m



4

A y

B

B

    0 



4

 m m



0

.

 cos AOB cos



120



  

m



4

2

1    2

 1 2

2 3

 OA OB . OA OB m .

4



m



4





3

2

2

3

.

,A B trong đó A

y



x



mx 3



3

m



 x m



 1

Câu 17: Biết rằng đồ thị hàm luôn có hai điểm cực trị

 . 1

x 3

 . 1

 

3

3

y

y

x

y

x

y

x 3

 1

C. B. D. là điểm cực tiểu. Hỏi A nằm trên đường thẳng nào dưới đây?  . A. 1  

Lời giải



1

3

2

2

3

2

2



Chọn B

y



x



mx 3



3

m



x m

  

y

3

x



6

mx



3

m





 1



1

 x m 1  x m 2

      1 0 

       m 3

1

y

   2 3

x

.

 . 1

0a  nên

x CT

x m A

x C

D

A

A

Hàm số có hệ số

3

2

2

Câu 18: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số

y



x



mx 3



3

m



3 x m m







 1

có hai điểm cực trị sao cho khoảng cách từ điểm cực đại

của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ bằng 2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu đến gốc tọa độ. Tính tổng các phần tử của S .

. A. 6 . C. 6 . B. 4 2  D. 4 2

Lời giải

3

2

2

2

2

Chọn A

3 x m m



   1

 y  x  mx 3 3   m     y 3 x  6 mx  3 m 0

  1     y CD

 m 1 2 m  2

 m 1 m  2 x CD x CT     y 2 CT    

2

2

2

2

2

m



m



2



2

m





2

m



2

  m

6

m

   

1 0

  6

Theo giả thiết ta có:



 1

   2



 1







m m 2

1

 

 

.

15 | VD_VDC

Tài liệu Vted_2019

3

2



y

x



m



x



m





 1



3 1

4 3

2

có điểm cực đại, điểm cực tiểu nằm khác Câu 19: Tìm m để hàm số

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18 1 3  y

x

2 4 

x

  ? 3 0





phía với đường tròn

.

1;1 .

2; 2 .

     . 1;

 ; 1



1 1 ; 2 2

  

C. A  B.  D. 

   Lời giải

2





Chọn C

y



x



2

m

    y

0

x



 1

x 2

x



 0   m

 1

Ta có .

m   1.

2

2

;



x



y



4

x

Để hàm số có ĐCĐ, ĐCT thì

 3

 F x y



3

6

x

  

0

y

m

  

;



m



   .

3 0

m



 1

 F x y





 1

F 1

16 9

4 3

2

2

x



2

m

    

0

y

;



4

m





8

m

3 4

m

 . 1.

 1



 F x y





 1



    1

F 2

2

Khi đó, đặt

0

0

4

m

   

1 0

m



.

F F . 1 2

    F 2

 1 2

1 2

4

2

mx 2



3

y

Giả thiết suy ra

 luôn có ba điểm cực trị. Tìm m khi bán kính

m 

0,

 x đường tròn ngoại tiếp tam giác tạo bởi ba điểm này có giá trị nhỏ nhất?

m 

3 2.

Câu 20: Với mọi đồ thị hàm số

1.m 

m 

.

m 

.

3

3

3 4

1 2

B. C. D. A

Lời giải

3

y

 

4

x



4

mx



4



 2 x x m



x



0

y

   0

Chọn D

x

 

m

.

A

 0; 3



2



;



3

2



C

 3

 m m ;



  B m m 



Gọi ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là

BC



2

m



4  m m

 AB AC 2

 AH m

Khi đó, gọi H là trung điểm BC, ta có

16 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Cực trị

.

.

S



BC AH .



ABC

1 2

AB AC BC R 4

2

4  m m





Do đó,

2

2

3

  R    AB AC . AH 2 2 m m 2 1 m 2

2

    3 . m 2 1 m 4 1 m 4 1 32

  

m

.

m 2

1 m 4

1 3 2

4

2

mx 2



3

x

Dấu bằng xảy ra khi

 luôn có ba điểm cực trị. Hỏi bán kính đường

m 

0,

 y tròn ngoại tiếp tam giác tạo bởi ba điểm này có giá trị nhỏ nhất là?

Câu 21: Với mọi đồ thị hàm số

.

.

3 3 2 4

1 3 2

B. D. A 2. C. 1.

Lời giải

3

y

 

4

x



4

mx



4



 2 x x m



x



0

y

   0

Chọn B

x

 

m

.

A

 0; 3



2



;



3

2



C

 3

 m m ;



  B m m 



Gọi ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là

BC



2

m

 AB AC



4  m m

2

 AH m

.

.

Khi đó, gọi H là trung điểm BC, ta có

S



BC AH .



ABC

1 2

AB AC BC R 4

2

4  m m





Do đó,

2

2

3

  R    AB AC . AH 2 2 m m 2 1 m 2

2

    3  . m 2 1 m 4 1 m 4 1 32 3 3 2 4

  

m

.

m 2

1 m 4

1 3 2

Dấu bằng xảy ra khi

17 | VD_VDC

cả trị của tham

Tài liệu Vted_2019 số

2

2

   x

m

m





2

y

x

x



m 3



2

4

 có điểm cực đại, điểm cực tiểu ằm về hai phía trục

thị hàm số m để đồ

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18 Câu 22: Tìm tất  3

các giá   1 thực 

tung.

m   .

m   .

2m  .

2m

 .

1m  hoặc

1 2

1 2

A. C. D. B. 1

Lời giải.

2

2

   y 3

x



m





m 3



2

Chọn B.

 2 2

 1

  x m



Ta có

y   có hai nghiệm phân biệt trái dấu

0

2

2m 

1



3

m



m 3



2

 0

 .





2

3

m

m











2

3

2

x

y

x

x

Đồ thị hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu ằm về hai phía trục tung

 m m 3



 1



Câu 23: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số   có hai điểm cực trị, đồng thời khoảng cách từ điểm

cực đại đến Ox bằng khoảng cách từ điểm cực tiểu đến Oy . Hỏi S có bao nhiêu phần tử?

A. 0 . B. 3 . D. 4 . C. 1. Lời giải.

  y

23 x



6

m



x m m 3





2

Chọn D.



 1





2

y

   

0

x

2

m



x m m





2

 0

Ta có



 1





 đồ thị hàm số luôn có hai điểm cực 2 x m      x m 

3

trị với mọi m .

m  2



m



23 m m

  và 2

 y m



CTx

DCy

3

m



2 m m 3

    2

m

2

3

m



23 m m

  

2

m

Khi đó

 2

3

m



2 m m 3

     2

m

2

   

3

2

m



m 3

 

4 0

Ta có

3

2

m



m 3



2

m



0

   

 .

m  1    m 2    m 1   m 0

2

Vậy có 4 giá trị thực của m thỏa yêu cầu đề.

y



2

3  x mx



12

x



13

Câu 24: Có bao nhiêu số thực m để đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm

C. 0 . D. 3 . cực tiểu cách đều trục tung. A. 2 . B. 1. Lời giải.

Chọn B.

18 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Cực trị

  y

26 x



mx 2



12

    y

2 x mx

3

0

   * 6 0

Ta có ,

m 

2 72

 luôn đúng với mọi m .

0

Đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu khi

1x ,

2x .

 0

0m  .

0

x Giả thiết suy ra 1

x 2

m   3

Khi đó  * có hai nghiệm phân biệt

3

y



x



23  x mx

 2

Vậy có 1 số thực m thỏa đề bài.

Câu 25: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

y

x  . Tính tổng các phần tử của S .

1 2

có điểm cực đại, cực tiểu cách đều đường thẳng

3 2

2  . 3

2 3

3 2

C. - . D. A. . B. .

Lời giải

23 x

 



x m

 .

Chọn C Tập xác định D   . y 6 Đạo hàm:

0

y  có hai nghiệm phân biệt 1

2,x x

m

9 3

 

m

0

3

     1 . Khi đó đường thẳng đi qua hai điểm cực trị

,A B của đồ thị hàm số là

2

AB y :



c



x d

AB y :



(

  m

3)

x

  2

2 3

b a 3

bc    9 a

2 3

m 3

  

  

x 1

x 2

Hàm số có điểm cực đại, cực tiểu khi phương trình

I

;

(

  m

3)



2

(1;

I

m

)





x 1

x 2

 2

1 3

m 3

  

      

 2

x 1

x 2

với Tọa độ trung điểm I của AB là

y

1 x  2

Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đều đường thẳng d :





3

2

y



x



mx 3



3 m 4

3  1   m m   (khoâng thoûa maõn)   .     d AB d / /    I (thoûa maõn) 2 3    m 1  1 2       m  9 2 3 2

có điểm cực đại và điểm cực

Câu 26: Có bao nhiêu số thực m để đồ thị hàm số x . tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y

D. 3 . C. 0 . A. 2 . B. 1.

Lời giải

y

 

23 x



6

mx

Chọn A Tập xác định D   .

Đạo hàm ; y 0 0 2 m  x      x

A

0; 4

m B m ,

2 ; 0



0m  .   3

Khi đó hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là . Đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu 

19 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Tài liệu Vted_2019

3

2

x

 

OA OB

,A B đối xứng qua đường thẳng y



4

m

  m

2

4

m

   

m

2

1 2

3

3

2

y



x



m



2

2 2 x m x m







2

m

.

 m  

5;5





Câu 27: Có bao nhiêu số nguyên để đồ thị của hàm số

có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành? A. 8 . B. 5 . C. 7 . D. 6 .

C của hàm số đã cho có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành

Lời giải

C cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.

3

3

2

x



m



2

2 2 x m x m







2

m

0

Chọn C Đồ thị   





  1 .

  (

x m x m )(

 

2)(

 x m

) 0

m

Xét phương trình

m

2

 x m  x          x 

m

m

 

0

    

{ 4; 3; 2;1; 2;3; 4}

m

.

 1 có ba nghiệm phân biệt

 

1

 m  m 

m

m

2

.

  m      m 2       5;5

2

2

. Vậy có 7 giá trị nguyên của m thuộc 

0m  ; đồ thị hàm số

y



4 x mx m





Câu 28: Với mọi luôn có ba điểm cực trị. Biết parabol đi qua

1 4 (2; 24)  .

. Mệnh đề nào sau đây đúng?

3m

A 7m

 .

5m

 .

2m

 .

ba điểm cực trị nay đi qua điểm A. 1 B. 5 D. 0

C. 3 Lời giải

0

 x

3

y

Chọn B.

y

'



x



2

mx

x

 

2

m

    ' 0 

2

2

2

2

3

2

2

y



4 x mx m







x x (



2

mx

)





m



xy

 '



m

Ta có: .

1 4

mx 2

1 4

mx 2

1 4

2

2

y

 



m

.

) :P

mx 2

2

. Do đó các điểm cực trị của đồ thị hàm số thuộc parabol: (

A

(2; 24)

) :P

   24

2

m m

4

 m 6      m 

Vậy điểm . thuộc (

6m  .

22 x

Đối chiếu điều kiện ta có

y



2;x x .Tính giá trị biểu thức

1

 x

3 

 x m 2

)

Câu 29: Biết rằng hàm số có hai điểm cực trị phân biệt

S



 

f x ( 2 x 2

f x ( ) 1 x 1 2

4

.

S   .

S  . 4

S  . 2

S   .

A. B. D.

C. Lời giải

20 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Cực trị

 ) 0

Chọn B.

)





y



y x ( 0

y x '( 0 )



0

) )

) )

( ) u x v x ( )

v x ( 0

( u x 0 v x ( 0

u x '( 0 v x '( 0

  

u x v x '( ) ( )

u x v x ( ) '( )

y

'





) 0

 

) (

'(

)



) '(

(

Bổ đề: có thì

 ) 0

y x '( 0

u x v x 0 0

u x v x 0 0



)









) (

'(

)



) '(

(

)

u x v x 0 0

u x v x 0 0

y x ( 0

) )

) )

) )

) )

u x (  0 v x ( 0

( u x 0 v x ( 0

'( u x 0 v x '( 0

 ( ) v x u x '( 0 v x '( 0

Thật vậy:

)



3;

f x (

)

x 4

 . 3

f x ( 1

x 4 1

2

2

)

)

2

Áp dụng bổ đề ta có

S







4

 

f x ( x

f x ( ) 1 x 1

2

4( x  x 1 2  x x 1

2

2 x m m



3  x m



1



y



Vậy .

mC . Hỏi điểm nào trong các điểm

 1   x m

Câu 30: [2D1-4] Cho hàm số có đồ thị 

m m 1

mC tương ứng với

đồng thời cũng là điểm cực tiểu của

m m 2



;



P

;



Q

M

N

.

1 2

7 4

1 2

5 4

1 7 ; 2 4

  

  

  

  

  

  

  

  

. C. . D. . A. B. . dưới đây là điểm cực đại của  mC tương ứng với  1 5 ; 2 4

Lời giải

2

2

x





1

y

 

Chọn B.

 x m

2 

 mx m 2 

Ta có .

 y 0  x m      x m   1 1 

suy ra điểm CĐ điểm CT của đồ thị hàm số là

  1;

 

  1;

2 m m

 

2

 A m

 2 ;

 B m

. Lập BBT 2 m m và 

2  m m 2 2

N



;



 m 1   1 1  YCBT    m 2    2  2 m 1 2  m m 1 1     m 2        3 2 1 2

1 2

7 4

  

  

2



y

Suy ra điểm cần tìm là .

1m  . Viết

x 2

  x 1 5  x m  2

3 x phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

y





Câu 31: [2D1-4] Biết rằng hàm số có hai điểm cực trị phân biệt với mọi

y





x  m

2

3  m

2

x 

m

1

3  m

1

 1



 1



A. . B. .

21 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Tài liệu Vted_2019

y





y





x  m

2

3  m

2

x 

m

1

3  m

1

 1



 1



C. . D. .

Lời giải

2



x

6

m



2



2

Chọn C.

y

 

2



2

  x m

   x

 x m 5 2 

2

x



6

m



2

 x m 5

  . 2 0





Ta có

2;x x của hàm số thỏa mãn phương trình





6

m



2

Các điểm cực trị 1

x 2 

5

m



2

x 1 x x . 1 2

  

Theo định lý ViÉt ta có:

y



,A B của đồ thị hàm số thỏa mãn phương trình

6 2

x x

 

5 2

24

20



y









Các điểm cực trị .

y 1

2

6 2

 

5 2

6 2

 

5 2

22 

3 m m

 4  1

x x 1 2  4

x 1 x 1

x 2 x 2

 x x 1 2

   x  x 2 1   1  x x 1 2





1;

Ta có .

m 3  m 2

 I m 3   

  4    1 

y





. Gọi I là trung điểm của AB

x  m

2

3  m

2

 1



 1



4

2

. Suy ra I thuộc đường thẳng

y



x



x

 . Viết phương trình đường

2

A B C là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số

, ,

1 2

Câu 32: Gọi

A B C . , ,

2

2

2

y

tròn đi qua ba điểm

  4 0

x



y



y

  7

0.

3 2

2

2

2

2

x



y



3

y



10 0

A 2 x . B.

 .

x



y



y

 

1 0.

3 2

C. D.

Lời giải Chọn C

y x 0    2

y

 

32 x



2

x

 , y      x 1 0 y

A

y            x 1  3 2 3 2

B

1;

C

1;



0; 2

3 2

3 2

  

  

  

  

2

2

x



y



 ax by

0

c

Suy ra ba điểm cực trị là , , .

  . Thế lần lượt các toạ độ của

A B C là

, ,

Gọi đường tròn đi qua ba điểm

ba điểm vào phương trình ta có hệ

22 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Cực trị

a

0



b c 2    4

3 2   1

c

   b      

a  b c    .

2

2

  a b c    3 2 3 2 13 4 13 4        

x



y



y

  1 0

3 2

Vậy phương trình đường tròn là

3

x

Nhận xét: Dạng bài tập này nếu làm theo cách trên thì mang thiên hướng tự luận nhiều; sau đây tôi đưa ra một cách làm khác để bạn đọc tham khảo.

x  0

4

2

2

3

x



22 x

 

4 2

y

   y

4

2

x

Hoành độ các điểm cực trị là nghiệm của phương trình





x

  4

2

y



x

 x x



4

2

x



22 x

 

4 2

y

Ta thấy

4 2

y



2

x

 

4 2

y

 0

  

2

2

2

2

2

  4 y

18

y



2

x



 20 0

  y 4

6.2

y



2

x



 20 6

y

 0

2

2

2

2

2

2

  x 4

4

y



6

y

 

4 0

  4 y



x



2

x



 20 6

y



0

2   x

y



y

  1 0

 6 4



3 2

2

4





x

y

2 m x m 2

Ngoài ra,

6

62; 2

Câu 33: Tìm tập hợp các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

2; 2

 có ba điểm cực trị và trục hoành chia tam giác tạo thành từ ba điểm cực trị thành hai đa giác có diện tích bằng nhau. A.  

6 2

2





B.   D. 

4

2

2 m x

m





0

2

x

C.  Lời giải Chọn D

4

 m m



0

  m

1

Trước hết để trục hoành chia tam giác tạo bởi ba điểm cực trị  có bốn thành hai đa giác thì phương trình

m



0

  

2 k S



S

nghiệm phân biệt, tức là   *

AMN

ABC

Do tam giác AMN và tam giác ABC đồng dạng theo tỉ số k nên .

S



S



S



S

AMN

MNCB

AMN

ABC

1 2

1

1

1 Theo giả thiết . Do đó k  . 2

d A Ox ;



d A BC ;

  c

c











Δ a 4

2

2

Suy ra:

3

4

6

**

 m m m

  

 m m



6

0  m 1 2   m   2  0  2 2   m       m 

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Tài liệu Vted_2019

m 

6 2

** ta có

y



2

m



x

m

3

  vuông góc với đường

Từ  * và 



 1

3

y



x



23 x

Câu 34 Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng

 1

thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

m  .

m  

3 4

1 m  4

1 2

3 m  2

A. B. C. D.

Lời giải Chọn A

2

y

 

3

x



2

x





B

2; 3

0 y   , . y x    1        0 2 3 x y 

 . Suy ra hệ số góc của đường thẳng

0;1A 





Vậy hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là ,

AB là



  2

ABk

3 1    2 0

y



2

m



x

m

3

.

  vuông góc với AB nên

2

m

    .

m

1



 1

1 2

3 4

x

4



  song m

Do đường thẳng

1

3

y



x

  y m 23 x



 . 1

Câu 34: Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng

6 .

3 .

D.  . song với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số A.  B.  1 .

C.  Lời giải

3

2

2

y



x



3

x

  

' 3

1

y

x



6

x

Chọn D

0;1 , 2; 3 suy ra đường thẳng qua 2 điểm cực trị là

 



  2

d

x

y

 . 1

x y  y 0    1        ' 0 2 3 y x 

 :

Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị là  



x

m

4

d

y

  2

x



1

  y m

1

  song song 

 :



x

m

4

m    1 2 Ta có     m . 4  m  1   

  tạo với

  y m

1

3

y



x



23 x

1

Câu 35: Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng

 góc

045 .

; 2

  4;



;



đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

4; 2

4 3

2 3

4 3

2 3

  

  

  

  

  

  

A. . B. . . D. . C. 

Lời giải

3

2

2

y



x



3

x

  

' 3

1

y

x



6

x

Chọn A

24 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Cực trị

0;1 , 2; 3 suy ra đường thẳng qua 2 điểm cực trị là

 



  2

d

x

y

 . 1

x y  y 0    1        ' 0 2 3 y x 

 :



:



x

m

4

  .

Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị là  



  y m

 1

2



2

m

1

Đặt 

cos

d



  ,

 

    

2   2

5

m





1

 

   1 2 1

4 3

 m     m 

4

y



x



2  mx m 2

Ta có .

2m

1m

có ba

1m  .

 .

 .

2m  .

Câu 36: Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số điểm cực trị cùng với gốc toạ độ O tạo thành một tứ giác. A. B. 0 D.

C. 0 Lời giải

4

y



x



2  mx m 2

3

y

 ' 4

x



mx 4

Chọn B

.

0m  .

x

  

y m

0

y

x

    

m

y

2  m m

    ' 0 

2

Hàm số có 3 điểm cực trị

2 m m m













   

0

2  m m

  

0

0

m

 . 1

A B C O tạo thành 1 tứ giác (tứ giác lồi)

,

,

,

By

4

2

điểm cực trị là . Nên tọa độ 3 A m B m m m C 0;   ; , ,   ; 

y



x



2

mx



m

có ba điểm cực trị cùng Câu 37: Tìm giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

.

2 4

1

1

m 

.

m 

2.

với gốc tọa độ O tạo thành một tứ giác có diện tích bằng

m 

.

m 

.

1 2

2

2 2

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

3

y

'



4

x



4

2

y

'

  0

4



m



0

mx  x x



0

 x 2

x



m

  

Chọn B.

25 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Tài liệu Vted_2019

2

2

A m B

0;

,

 m m ;



m

, C

 m m ;



m



0m  hàm số có ba điểm cực trị











2

Với cùng với



 m m

m

 1.

    0

0

gốc tọa độ O tạo thành tứ giác khi

ABOC

ABO

B

A

2

x





3

1 Ta có S  2  2. . x . y m m    m . S  1 2 2   4 1 2 2 2

y



.C Biết đồ thị 

C có một điểm cực trị thuộc

x m  3  x m

Câu 38: Cho hàm số có đồ thị 

y

x  . Tìm điểm cực trị còn lại của hàm số đã cho.

1

đường thẳng

x 

2.

x 

3.

x 

5.

x  7.

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

2

x



mx





3

'

Chọn C.

y



  * .

 x m

2 

m 2 2 

2



x



2

mx



2

m

Ta có

 3.

  g x

Đặt



   

m

1

m



3.



0

m m

   1    1

m m

 

3 3

  '  g m

0 

  

    

Hàm số có 2 cực trị khi

y

x 2

 3.

y

x  nên tọa độ điểm cực trị là nghiệm

1

C có một điểm cực trị thuộc đường thẳng

Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị có phương trình

Đồ thị  của hệ sau:

m 

.

y  2 x  3 x  2  y   x 1 y  1      

7 2

Thay vào (*) suy ra

m  thay vào (*) ta có

x

  

2

x

5.

7 2

2

x

Với

y



.C Biết 

C có một điểm cực trị thuộc đường thẳng

2  x m   x m

y

x 4

 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

8

Câu 39: Cho hàm số có đồ thị 

D.

  A. m 1.

 B. 1 m 0.

 

 C. 0 m 1. 

m  1.

Hướng dẫn giải

Chọn D.

26 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Cực trị

2

x

2

'

y



  * .

 x m

 

 mx m 2 

2



x



2

 mx m .

Ta có

  g x

Đặt

  

m

0

m



1.



0

  '  g m

0 

  

Hàm số có 2 cực trị khi

y

x 2

 2.

y

x 4

 nên tọa độ điểm cực trị là

8

C có một điểm cực trị thuộc đường thẳng

Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị có phương trình

Đồ thị  nghiệm của hệ sau:

m 

.

y  2 x  2 x  3  y  4 x  8 y  4      

9 5

3

2

y

   x

mx 3



m 3

1

 có hai điểm cực trị

Thay vào (*) suy ra

Câu 40: Tìm giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

y 8



74 0

 .

đối xứng nhau qua đường thẳng

4m  .

d x : m   . 4

2m  .

m   .

2

B. A. C. D.

Lời giải

Chọn A.

2

0   y   Ta có: mx y ;  6 3 x . 2 m

3

3

 x     0 x Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì

 0; 3

A

m





m 3

  

2 ; 4

m m

 AB

0m  . 

 1 ;

 B m m 2 ; 4

 1





3

Giả sử hàm số có hai điểm cực trị là: .

m 3

 I m m ; 2

  . 1

d x :

y 8



74

0

 là AB vuông góc với

I

Trung điểm của đoạn AB là

y 8

d x :

74





0

 d



3



0

4

3 m



16

m



0







  m

2

0   2

Điều kiện để AB đối xứng nhau qua đường thẳng đường thẳng và

3

m



3 m



m 3

 74 0

m



23

m



 82 0

 m m 4  8 2

   1

   16 

 8.2    

2

  m  m    m

4

.

y



x



22 x



2

m

có ba điểm cực trị cùng với Câu 41: Tìm giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

m 

2

gốc tọa độ O tạo thành một tứ giác nội tiếp.

0m  .

1m  .

m 

2 2

A. B. C. . D. .

Lời giải

Chọn B

27 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Tài liệu Vted_2019

3

A

0; 2



1; 2

m





 m B ,



 1 ,

Ta có: . Khi đó 3 điểm cực trị là: y  ' 4 x  4 x

0 x       0 1 x     m C 1 1; 2

,A O I thẳng hàng

,

ABOC .

AB OB

 

    

0

m

    0

m

1

  AB OB .

Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp (nếu có) của tứ giác ABCD . Do tính chất đối xứng, ta AO là đường kính của đường tròn ngoại tiếp (nếu có) của tứ giác có:

 1



 1 2

 1

4

2

Vậy .

y



x



2

2 m x m



 có ba điểm

1

Câu 42: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

cực trị lập thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp nhỏ nhất.

m  

m  

m  

m  

1 6 5

1 3 5

1 5

1 4 5

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

3

Chọn B.

2 m x

0m  .

4

4

Ta có . y   4 x  4 m  x 0      0 x 



;

 

 C m m m ;



 A m 0;

 1 ,

 1 ,

   . 1



2

2

2

Khi đó ba điểm cực trị là: Điều kiện để hàm số có ba điểm cực trị là   B m m m

AB



8 m m AC



,



8 m m BC



,



4

m



2

m

8

4

Ta lại có: .

AI



m



m

BC



I

0;



4 m m



   và 1

4

. Gọi I là trung điểm của

S



.

 AI BC m m

.



ABC

1 2

. Diện tích tam giác ABC là:

2

8

2

m m m



AB AC BC

.





4

4

4

3

R









m







m



.3

.

m .



2

2

2

2

. S 4

4

4 m m

1 2

1 2 m

1 m

1 m

2

1 2

1 m

2

1 m

2

3 3 2 4

  

  

1   2 2 

  



ABC

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:

33 2 4

4

6

     

m

m

m

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nhỏ nhất bằng khi

2

1 m 2

1 2

1 6 2

2

;



.

  . Tính tỉ

y

3  x mx

x m





 ;A x y , 1

1

 B x 2

y là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số 2

1 3

2



Câu 43: Gọi

T

 

y x 2

số

T

 



m

T





m

T





m

T

 



m

 1

2

 1

2

 1

2

 1

2

y 1 x 1 2 3

1 3

2 3

1 3

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

28 | VD_VDC

Chuyên đề_Cực trị

2



y

2    x

mx 2

 và 1











y

m

x



 1

   

 x m y   

1 3

2 3

Ta có .

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18 m 2 3

2

 

y

m

,A B là



   x 1

2 3

m 2 3

2

2

 



Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị .

T

m

T



  . 1

 

2 3

y 1 x 1

y x 2

2

y

4   x

4

m

x

m

1

2

Giá trị chính là hệ số góc của đường thẳng AB . Do đó

  có ba điểm cực trị. Viết phương trình

1m  , đồ thị hàm số



  1

2

2

 

m

m





2

2

x

y

y



2

m



x



2

m

 . 1

Câu 44: Với

 . 1





 1

B.

 . 1

m

m







6

2

y

y

 

6

m





2

m

 . 1





 2 x 1

C. D. của parabol đi qua ba điểm đó.  A. 1  2 x 1

Lời giải

 



y

34 x

8

m





Chọn A

y

 . y

x

2

m

  . m

1

2



  và x 1



 2 x 1

1 4

y

  2

m

2

1

Ta có

  . m



 2  1 x

3

y

4

3

x

x

22 x

Do đó đường parabol đi qua ba điểm cực trị là

    . Tính diện tích S của

,A B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

Câu 45: Gọi

tam giác OAB .

S 

S 

S 

S 

166 27

116 27

232 27

322 27

B. . C. . D. . A. .

Lời giải

Chọn…

OABS 

76 27

 

y

23 x

4

4

Đáp án diện tích là .

  . x

2



Đạo hàm

y

  0

2 3

  x      x 

2;

.

B

 A  và 5



   

 2 121 ;    3 27

Các điểm cực trị là . Khi đó  AB   AB .          8 256 ; 3 27 8 1105 37

AB

: 32

x

y   . 19

0

9



d O AB 

;

Phương trình đường thẳng





19 2

2

19 1105



32

9





d O AB AB

;

.

1105

Ta có .

 .



OABS

1 2

1 19 2

8 27

76  . 27

1105

Vậy

29 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Tài liệu Vted_2019



y

x

x m

 có hai điểm cực

Câu 46: [2D1-3] Tìm các giá trị thực của tham số m đề đồ thị hàm số

trị là

3 3  ,A B và tam giác OAB có diện tích bằng 10 , với O là gốc tọa độ.    

10m 

m 

20

20

20

m

m

m

   

10

m

10

. B. A. C. . . D.

Hướng dẫn giải

y

 

23 x

Chọn D.

 3

x   và 1

1x  .

Ta có y 1  x       0 x 1 

 Hàm số đạt cực trị tại

x

   

y m

1

 . 2

Với

x

  

y m

1

 2

A



1;

m





2

Với



 2 ,

 B m 1;



 Đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị là

x

 

y m

 0

m

2

2

Đường thẳng AB có phương trình 2

AB





m

  

m

2

2



20



d O AB ;



   1 1









5

m



S



;

.



. 20.



m

 AB d O AB



OAB

1 2

1 2

5



10

,

OABS

y



x

3 3 

x m

Theo giả thiết . m  m 10       10 m 10 

 . Hỏi tam giác OAB có

,A B là các điểm cực trị của đồ thị hàm số chu vi nhỏ nhất bằng bao nhiêu?( với O là gốc tọa độ).

Câu 47: [2D1-4] Gọi

A. 4 5 . B. 2 5 . C. 2 5 2 . D. 4 .

Hướng dẫn giải

y

 

23 x

Chọn A

 3

Ta có y 1  x       0 x 1 

x   và 1

1x  .

 Hàm số đạt cực trị tại

x

   

y m

1

 . 2

Với

x

  

y m

1

 2

A



1;

m





2

Với



 2 ,

 B m 1;



2

2

2

2

 Đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị là

AB





m

  

m

2

2



2 5

OA



 1 (

m



2)

OB



 1 (

m



2)

   1 1





Ta có , , .

30 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Cực trị

2

2



OA OB AB







2 5



 1 (

m



2)



 1 (

m



2)

OABC

2

2



2 5



2 1



(2



m

)



2 1



(2



m

)

 u







   

m

2; 4

  u v

 Chu vi tam giác OAB là

 1; 2

  m v ,

 1; 2







2

2

Đặt



2 5



 u

 v



  u v   



2 5

2 5



2



4



4 5

OABC

. 



  m

0

1 1

2 2

 

m m

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi .

3

y



x



ax b

Vậy chu vi tam giác OAB nhỏ nhất bằng 4 5 .

 có phương

Câu 48: [2D1-4] Biết đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

 

6

x

 . Tính

7

 2y

y



33

y

y

y

 

33

trình

  . 3

 . 3

y  2

 2

A. . B. C. D. . .  2

 2 Hướng dẫn giải

y

 

23 x

Chọn B.

 a

Ta có

0a  .

y  có hai nghiệm phân biệt

0

Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị thì phương trình



 

x Khi đó hàm số đạt cực trị tại 1

x 2

 a 3

 a 3

3



và .

y



x



ax b

 

x y .



 ax b

1 3

2 3



 , b

y



ax

 . b

Ta có

y 1

ax 1

2

2

2 3

2 3

 Giá trị cực đại, giá trị cực tiểu của hàm số là

y



 ax b

2 3

 Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số có phương trình

 7

 

6

x

a

 

6





  9 7

a    b

7

2   3    b

y



x

3 9 

x

 7

Theo giả thiết, đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số có phương trình y

  3

 Hàm số đã cho có dạng

  2 y

31 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Tài liệu Vted_2019

2

y



3  x mx



2

m



x

 3



 1

1 3



m



;

m

Câu 49: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số

 . 1

2m

 .

1m  .

  \ 1

1 2

  

  

. C. A. B. D. 0 có hai điểm cực trị nằm về cùng một phía với trục tung. 1   2

Lời giải Chọn

y

'



 mx m 2

2

 1

2

2

y

   ' 0

x

 mx m 2

2

  , 1 0

  '

m



2

m

 1

21m 



m



   m 1

0

B. 2  x Ta có:

21

,x x là hai điểm cực trị. Để hai cực trị nằm về cùng một phía với trục tung thì;

Để hàm số có hai cực trị thì 

2

      . 1 0

m

m

2

0

x x . 1 2

1 2

m



;



Gọi 1

  \ 1

1 2

  

  

3

2

2

 y ax



bx



 cx d a

,(



0,

b



ac 3



0)

Vậy thỏa điều kiện bài toán đã cho. Đáp án B.

C . Biết gốc tọa độ O thuộc C . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Câu 50: Cho hàm số có đồ thị 

 abcd bc ad





? đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của  S







27 4

9  . 4

25 9

1 36

B. . C. D. . A. .

Lời giải

2

2

b



ac 3

0

y

 ' 3

ax



bx c 2

Chọn D

 ,

 (theo giả thiết) nên hàm số đã cho luôn có hai

  ' ' y

Ta có:

2

cực trị.

y



y

'.

x



c



x d

 



1 3

b a 9

2 3

b 2 a 9

bc a 9

  

  

  

  

2

Ta lại có: . Suy ra đường thẳng đi qua hai cực trị của

y



c



x d

 

2 3

b 2 a 9

bc a 9

  

  

hàm số là .

d



 0

  d

bc a 9

bc a 9

. Vì đường thẳng này đi qua O nên

 abcd bc ad







bc





2 2 b c



10

bc



bc



5



 

2







2 2 b c 9

bc 9

1 9

1 9

25 9

25 9

Ta có: .

bc   .

5



25 9

4

2

y



x



2

m



2

2  x m

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức đó là đạt được khi





có ba Câu 51: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

m   

m   

m 

2

2

m 

0 điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác có một góc bằng 120 . 1 3 3

1 3 2

1 3 3

1 3 2

A. C. B. . . D. .

32 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Cực trị

Lời giải

Chọn A.







 3

 3

3

2

 5 3  ' 4

x

y



4

m



2

x

Do nghiệm âm lớn nhất của phương trình là



4



m



2









m

 x x 2 0

 2

     . Khi đó ba điểm cực trị lần lượt là

m

2  0;A m ,

Ta có: .







.A Tham khảo

 2; 4 và m m B    4   2; 4 m  4 . Để hàm số có ba cực trị thì  C m

Do đặc điểm cực trị của hàm bậc bốn, tam giác ABC luôn là tam giác cân tại hình vẽ minh họa:

y

A

x

O

I

B

C

A 

3

Suy ra  120



m 

 . 2

 . Xét tam giác vuông ACI , ta có: 



 ,  30 ACI   2   m 1 m 3

1 3 3

m  4 4 tan C    m  2 AI IC 1   3  2

3

y



x



23 x





 

1 3

m

Đáp án A.

 3 1

 m x

có hai điểm Câu 52: Tìm giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

,A B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 4 .

cực trị

2m  .

4m  .

1m  .

m 

1 2

A. B. D. C. .

Lời giải

Chọn D

y

 

23 x



6

x





m

 3 1



TXĐ: D   .

,A B

0

y  có hai nghiệm phân biệt 1

2,x x

 



m

m

m

0

9

0

     . 0

 9 9 1



Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị



 1



 1

Hai điểm cực trị: , . A m m m ; 2  2 B m  ; 2 2 m m  

  1; 2







 AB  2 m  ; 4 m m  2 m m

33 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Tài liệu Vted_2019

AB y :

 

2

mx



2

m

 . 2

2

m



2

3



. 4

m



16

m

  

m

8

1

m



2

  4

d O AB AB .

;

.

 4





OABS

2

1 2

4

m



1

3

  m

22 m m

     . 0

m

1

4

3

2

2

Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị

y



x



mx 3



3

m



3 x m m





,A B là hai điểm cực trị của đồ thì hàm số



 1

Câu 53: Gọi (với m là

 C 

đường tròn ngoại tiếp bằng 5 , trong đó . tham số thực). Tính tổng tất cả các giá trị thực của tham số m để tam giác ABC có bán kính 2;1

5  . 8

8 5

8  . 5

5 8

A. B. . C. D. .

Lời giải

Chọn A

2

2

y

 

3

x



6

mx



3

m





3

x m

 

x m



 1

   1



 1

TXĐ: D   .

,A B

0

y  có hai nghiệm phân biệt 1

2,x x

   m

1

m

m

1

   .



 1; 2 2

m

B



m

  ; 2 2

m

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị

 A m



 1



Hai điểm cực trị: , .

AB x : 2

y  .

0

 AB 

 AC

 2; 4

1

m m ; 2



  

m

3; 2

m



3

 BC

Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị





   

 1 ,





.

.

, .

.

AB d C AB  ;

.





1 2

AB AC BC 4R

2

2

2

Ta có:



 1









2   1 . 4 5

0

4

3

2

m   2 m  m  3  2 m  3   4 1  .  1 2 5



25

m



80

m



64

m

  0

8 5

 m     m 

4

2

y



x



mx 2

2

.

 có ba điểm cực trị

,A B C sao cho tứ

,

Câu 54: Có bao nhiêu số thực để đồ thị hàm số

D

3 9 ; 5 5

  

giác ABCD nội tiếp với

C. 3 .

   B. 2 .

A. 4 . D. 1.

Lời giải

Chọn

TXĐ: D   .

34 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Cực trị 34 x

 

y



4

mx

0m  .

,A B C

,

A

Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị



0; 2

 B m

2



2

2

2

2

2

Ba điểm cực trị: , , . ; 2 m C  m ; 2  m

x



y



2

ax



by 2

  c

0

a



b

  c

0





0

a

0

4



3

2

m



1

2

2

2





ma

   

m

2



m

nên ta có: Gọi đường tròn ngoại tiếp ABC là:

   b c 4  2 2

 m b c





2

2

2

ma





   

m

2



m



2

m



2

 2 2

 m b c





      2 

 4 m m 2 3  4 m m

   a     b    c 

3

3

m



m



1



2

m

m



2

2

2



y



y



 . 0

.

 C x :

 4 m

4 m

Vậy phương trình đường tròn 

1

3

   



  l

4

2

y



x



mx 2

2

1 5 Theo đề: D C m  2 m    1 0 3 9 ; 5 5    1 0        m  2 m m     m     m   5 m     1 2   1 2

 có ba điểm cực trị

,A B C sao cho

,

D

Câu 55: Có bao nhiêu số thực m để đồ thị hàm số

3 9 ; 5 5

  

tứ giác ABCD nội tiếp với .

C. 3 . A. 4 . D. 1.

   B. 2 .

Lời giải

4

2

3

Chọn B

y



x



2

mx

  

2

y

'

4

x



4

mx





 2 x x m



m 

Ta có: .

  0 *

2

Đồ thị hàm số có 3 cực trị .



 0; 2 ,

 B m

 2 m C ,





Khi đó 3 cực trị là: cân đỉnh A, BC//Ox. A ; 2   m ; 2  m   ABC

35 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Tài liệu Vted_2019

I Oy

 

I



Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC  . Để ABCD nội tiếp thì

0; a tâm

2

2

2

2

2

2

2

2

2

  IA

IB



IC

  

ID

a

2



 



2





a







 m m a



3 5

9 5

  

  

  

  

0

  l

D phải thuộc đường tròn I này.

1

1





2

5



 m m





0

 1

 1

 a    m m  

5

  l

  1 2   1 2

 a 1   m   m      m      m  

.

ab

  

m

0

Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn đề ra.

  0 *

2

2

2

2

2

2

D



ABC

  m

2



m





m

    0

m

c

2



m





m



0









 b 2 2







 2 2



1

5

3

   m  

  m

2

m

m



5

m

  l

    1 0  

  1 2   1 2

Cách giải theo công thức tính nhanh:

4

2

x



mx 2



2

m

3

Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn đề ra.

 có ba điểm

 y cực trị và ba điểm này nội tiếp đường tròn có bán kính bằng 1.

3

5

m



1;

m



Câu 56: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

m



1;

m



  1 2

  1 2

3

A. . B. .

1m  .

m



  1 2

C. D. .

Lời giải

4

2

3

Chọn B

y



x



2

mx



2

m

  

3

y

'

4

x



4

mx





 2 x x m



m 

Ta có: .

  0 *

2

2

Đồ thị hàm số có 3 cực trị .



 3 ,

 B m m m ; 2

 3 ,



   

Khi đó 3 cực trị là: cân đỉnh A 0; 2 m    C  m m m ; 2  3 ABC

A, BC//Ox.

36 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Cực trị

I Oy

 

I

0; a

 kính

Gọi I là tâm đường tròn có bán kính bằng 1 ngoại tiếp tam giác ABC  . Để

2

2

2

2

2

  IA

IB



IC

a

1



3



2

m

 



2

m



3



1

1 ABC nội tròn có bán

 m m a



a



2

m



2



m

1

2

2

a





m

3

tiếp     đường 2 

m



2

m

 

1 0(

VN

)

5

a

m



2

4





a



2

m



4

2



 

2

m



3



1



3

       m m a 

5

m



2

m

 

1 0

         

l ( )

      m     m

  1 2   1 2

.

4

2

y



x



2

m



x



m 3

2

 có ba điểm cực

Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn đề ra chọn B.



 1

Câu 57: Tìm giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

31 m   

15

31 m   

120

31 m   

60

m   

3 1 2 120

trị là ba đỉnh của một tam giác cân có độ dài cạnh bên gấp đôi độ dài cạnh đáy.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

3

2

Chọn A

y

 ' 4

x



4

m



x



4



m





 1



 1

 x x 

  ;

0

Ta có

y

 x 2

x



m



1

   ' 0 

.

m   .

1

Để hàm số có ba điểm cực trị

Gọi ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là

2 m m

2 m m



 2 ,



 1 ,

 C m

   . 1

A 0;3 m  B  m   1;     1;

A Oy B C ;



,

2

2

Do cân tại A . đối xứng với nhau qua trục Oy nên ABC

AB



2

BC



AB



4

BC

4

3

3

Theo giả thiết

   m

m





16

m

  

m

     m

15

1

15

 1





 1

 1





 1

31 m   

15

(thỏa mãn).

4

m

m





16

m

 ta thay

   1



 1



Vậy .

 Nhận xét: Khi làm trắc nghiệm, khi tìm được điều kiện  1 lần lượt các giá trị của m ở đáp án vào biểu thức trên để tìm đáp án đúng.

4

2

y



x



2

m



x



m 3

2

 có ba điểm



 1

Câu 58: Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

m   .

1m

 .

1

1m 

 .

0m 

 .

cực trị tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ hơn 1. C. 1 B. 0 A. D. 1

Lời giải

Chọn D

37 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Tài liệu Vted_2019

y

A

x

O

H

B

C

3

2

y

 ' 4

x



4

m



x



4



m





 1



 1

 x x 

  ;

0

Ta có

y

 x 2

x



m



1

   ' 0 

1

.

m   .

Để hàm số có ba điểm cực trị

Gọi ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là

2 m m

2 m m



 2 ,



 3 ,

 C m



A 0;3 m  B  m   1;     1;   3 .

A Oy B C ;



,

Do đối xứng với nhau qua trục Oy nên ABC cân tại A .

S



AH BC x



.

y



y



m



m

 . 1



2 1



ABC

B

A

B

1 2

Khi đó

S

m

1

   . m

0

1

   

5 1



ABC

Theo giả thiết

0m 

 .

4

2

y



x



2

m



x



2

m

3

Kết hợp với điều kiện, ta được 1

 có ba điểm cực



 1

Câu 59: Tìm giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

,A B C sao cho trục hoành chia tam giác ABC thành hai đa giác, biết tỉ số giữa diện tích

,

trị

4 9

15

3

3

5

1



15

m



m



m



m



của tam giác nhỏ được chia ra và diện tích tam giác ABC bằng .

  1 2

  1 2

 2

2

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn D

38 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Cực trị

y

A

N

x

O

M

H

B

C

3

2

y

 ' 4

x



4

m



x



4



m





 1



 1

 x x 

  ;

0

Ta có

y

 x 2

x



m



1

   ' 0 

.

m   .

1

Để hàm số có ba điểm cực trị

2

2

Gọi ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là



 3 ,



 2 ,

 C m



. A 0; 2 m  B  m   1; m    1; m  2

A Oy B C ;



,

Do cân tại A . đối xứng với nhau qua trục Oy nên ABC

,M N lần lượt là giao điểm giữa

,AB AC với trục hoành; gọi H là trung điểm của BC .

2

2

Gọi

AMN

  *

2

4

2 A y



ABC



 2 

 3  1



B

A

1



15

2

  2 m

2

m

   

7 0

m

AO MN . m  y Ta có      S  S AO AH 4 9        m  y AH BC . 1 2 1 2

m

3 0,

m

1

     nên   *

4

1



15

m



. Do 2

m   nên 1

4

2

Do .

4

 3  1

 2  trị của m ở đáp án vào biểu thức trên để tìm đáp án đúng.

m  Nhận xét: Khi làm trắc nghiệm, khi tìm được điều kiện  ta thay lần lượt các giá 4 9 m 

39 | VD_VDC

Tài liệu Vted_2019

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

40 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Cực trị

NHÓM GIẢI VẬN DỤNG CAO CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ - NĂM HỌC 2017-2018

VTED_2019 MÔN: TOÁN 12

2

f





x



x



x



2

1

Thời gian làm bài 90 phút

 . Hàm số

y





 x

  x



 1

  1



  f x

  g x

 f x



Câu 1: Cho hàm số có đạo hàm

f



x



x

x



4

y



y



f

3



x

có bao nhiêu điểm cực trị. A. 3 . B. 4 . D. 1.







 f x









Câu 2: Cho hàm số có đạo hàm . Hàm số có bao nhiêu C. 2 .  2 1 

f

'





x



x

.

B. 0 . điểm cực đại. A. 3 . C. 2 . D. 1.

   Số điểm cực trị của hàm số

  x

 x x

 1

3 2 ,



y



2 2 

x

Câu 3: Cho hàm số

 f x

 f x có đạo hàm 

là

D. 4. A. 3. B. 2. C. 5.

y



 f x



Câu 4: Cho hàm số có bảng biến thiên như sau

y



f

3



x





Tìm số điểm cực trị của hàm số

2

2

y



A. 6. B. 3. D. 2.



x

f

'



x

x



6

x



4

y



  f x



  x



 f x

2

Câu 5: Cho hàm số có đạo hàm . Hàm số có bao C. 5.  1

2

2

nhiêu điểm cực trị. A. 6. B. 3 . C. 5 . D. 2 .

f

'



x

x

x

2



  x



  f x có

Câu 6: Cho hàm số , với mọi x   . Có bao nhiêu giá trị nguyên

  1   2 8  f x

   x m

dương của tham số m để hàm số có 5 điểm cực trị

A. 16. B. 17. C. 15. D. 18.

y



  f x

y

Câu 7: Cho hàm số là một đa thức có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm số điểm cực trị của hàm

  f x

  f 

  .

số

A. 5 . B. 3 . D. 6 . C. 4 .

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Tài liệu Vted_2019

2



f

x



x

x



x



15

y









 1 13

3

 f x



Câu 8: Cho hàm số có đạo hàm . Tìm số điểm cực trị của hàm

y

5 x 2 

x

4

   f 

  

số

B. 7 . D. 6 . A. 4 . C. 2 .

2 x x (

2 4) ,

y



f x ( )

Câu 9: Cho hàm số có đạo hàm f x '( )   1)( x     . Tìm số cực trị của hàm số x

2( f x

y  ) .

B. 5 . A. 3 . C. 2 . D. 4 .

2 x x (

2 4) ,

y



f x ( )

Câu 10: Cho hàm số có đạo hàm f x '( )   1)( x     . Tìm số điểm cực trị của x

2( f x

hàm số y  ) .

3

(

x



1)(4

x

x



15)

y



f x ( )

f x '( )



B. 5 . C. 3 . A. 4 . D. 2 .

 3

5)(13 x

y

Câu 11: Cho hàm số có đạo hàm . Tìm số điểm cực trị của hàm

5 x 2 

x

4

   f 

  

số .

y



f x ( )

'( )

y



f x ( )

A. 4 C. 3 . B. 7 . D. 6 .

f x trên  . Đồ thị của hàm số

y



f x ( )

Câu 12: Cho hàm số có đạo hàm như hình vẽ



2

Đồ thị hàm số có bao nhiêu điểm cực đại, cực tiểu?

A. 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu C. 2 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu B. 2 điểm cực tiểu, 3 điểm cực đại D. 1 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu

f

f

y



f x ( )

 x



 x



2

Câu 13: Cho hàm số có đạo hàm . Đồ thị của hàm số như hình vẽ

y



2



x

  f x

1

Hỏi điểm cực tiểu của hàm số là

2x  .

1x  .

x   .

0x  .

A. B. C. D.

f

f

y



f x ( )

 x



 x



Câu 14: Cho hàm số có đạo hàm . Đồ thị của hàm số như hình vẽ

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Cực trị

y



x

Đồ thị của hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

  3  f x B. 7 .

2

C. 3 . D. 2 . A. 4 .

2( f x

y



Câu 15: Cho hàm số có đạo hàm f x '( )  x  2 x y   x 8 ) có bao , mọi x R . Hàm số

f x ( ) nhiêu điểm cực trị? A. 6

3

B. 3 C. 5 D. 2

2  x(x 1) (

2

Câu 16: Cho hàm số f(x) có đạo hàm cấp 3 liên tục trên R thỏa mãn f (x) f"'(x)  x  4) mọi

g x ( )  (  x 2 ( ). "( ) f x f có bao nhiêu cực trị?

x R . Hàm số A. 3

f

(x)

'( )) x f B. 1 C. 2 D. 6

4

g

(x)

f(x). f'(x)

số có đạo hàm cấp hai liên tục trên R thỏa mãn



x R

f

f

(x). f''(x) 15 x

x 12 ,

'(x)





  . Hàm số



2

có bao nhiêu điểm cực

y

(x)

B. 1 C. 2 D. 4 Câu 17: Cho hàm  trị? A. 3

f

f

f

(x)

(x)

2

3

y 



Câu 18: Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số

A. 6 B. 5 C. 4 D. 3



  f x như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của

 f x có đạo hàm trên R và đồ thị   f x

  f x

Câu 19: Cho hàm số

y 

3



5

hàm số bằng:

A. 6 . B. 5 . D. 3 . C. 4

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Tài liệu Vted_2019

'f

  x như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của

  f x có đạo hàm trên R và đồ thị   f x

  f x

Câu 20: Cho hàm số

y 

2



3

hàm số bằng:

A. 3 . D. 7 . B. 2 . C. 4

----------HẾT----------

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Cực trị

NHÓM GIẢI VẬN DỤNG CAO CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ - NĂM HỌC 2017-2018

VTED_2019 MÔN: TOÁN 12

Thời gian làm bài 90 phút

Đề đã thay đổi thứ tự câu (sắp xếp theo độ khó tăng dần) so với đề gốc

BẢNG ĐÁP ÁN THAM KHẢO

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

2

f





x



x



x



2

1





HƯỚNG DẪN GIẢI

 . Hàm số

 x

  x



 1

  1



  f x

  g x

 f x



Câu 1: Cho hàm số có đạo hàm

y có bao nhiêu điểm cực trị. A. 3 .

B. 4 . C. 2 . D. 1.

2

 f

x

  1

x



x



x



2

Lời giải Chọn C

   g x







 1

  1



2

x



x



2



0

Ta có .



0

   x

 1

  1



  g x

1 2

x   1    x   x

Do đó .



x

Từ đó suy ra bảng xét dấu

 có hai cực trị.

  g x

  f x

f



x



x

x



4

Do vậy,

y



y



f

3



x

 f x















 2 1 

Câu 2: Cho hàm số có đạo hàm . Hàm số có bao nhiêu

điểm cực đại. A. 3 . B. 0 . C. 2 . D. 1.

2



 

3



x



  x

4



x

2 6 

x



8

x

y





x

Lời giải Chọn D







  . 1

 3f







 1 3



1



x

2 6 

x



8

x

0

Ta có

f 

3



x



0





   1





4 2

x      x   x

Do đó .

Ta có bảng xét dấu

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Tài liệu Vted_2019

f

'





x



x

.

Từ đó suy ra hàm số có một cực đại.

   Số điểm cực trị của hàm

  x

 x x

 1

3 2 ,

2 2 

y



là

số

  f x có đạo hàm  x

 f x

Câu 3: Cho hàm số

B. 2.

C. 5.

D. 4.

A. 3.

Hướng dẫn giải

2

2

2

Chọn A.





 f x

   

 f x











3

2

Ta có y  2 x y '  2 x '  2 x  2 f ' x  2 x

 x x



  1

3 2 .

y



2 2 

x

Từ đó suy ra hàm số

có 3 điểm cực trị

 f x



y



 2  2 x  x  2 x 

có bảng biến thiên như sau

  f x

y



f

3



x

Tìm số điểm cực trị của hàm số





Câu 4: Cho hàm số

A.

6.

B. 3.

C. 5. D. 2.

Hướng dẫn giải

y

f

3

  

x

y

'

f

3



x

'

 

f



x









 ' 3

   1





y



Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số

có 3 điểm cực trị.

 f x



y



f

3



x

cũng có 3 điểm cực trị

Như vậy từ  1 ta thấy hàm số





2

2

y



Chọn B. Ta có 

f

'



x

x



x



6

x



4

y



  f x

  x



 1



 f x

2

Câu 5: Cho hàm số có đạo hàm . Hàm số có bao

nhiêu điểm cực trị. A. 6. B. 3 . C. 5 . D. 2 .

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Cực trị

2

4

2

4

2

y

 ' 2 . x f

'

x



x x 2 .

x



x



6

x



4







 1



0

0

y

       ' 0

3

5

3



5

x

x

.

2

x

  3

5

x

 

3



5

 x  2   

 x     

y  có 5 nghiệm phân biệt và 5 nghiệm này là nghiệm đơn nên hàm số đã cho có 5

' 0

Cho

2

2

f

'



x

x

x

2



Do đó cực trị.

  x



  f x có

Câu 6: Cho hàm số , với mọi x   . Có bao nhiêu giá trị nguyên

  1   2 8  f x

   x m

dương của tham số m để hàm số có 5 điểm cực trị

A. 16. B. 17. C. 15. D. 18.

Hướng dẫn giải

C. Chọn

  f x

y

Câu 7: Cho hàm số là một đa thức có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm số điểm cực trị của hàm

y    f x

  .

  f 

số

D. 6 . A. 5 . B. 3 . C. 4 .

Lời giải

3

y





x



23 x

Chọn C.

 f x



 f x



3

  y

f



f

x



23 f

x

  f x









 

 

f



0

2









y



3

f



6

f



3

f



2

  0



0

  x f .

  x

    x f x .

    x f x .

  f x

 

 



2

   x   f x   f x

    

0

2

x

3



6

x



0

2

3

2

y

Vì hàm số là một đa thức nên dựa vào đồ thị ta có

3

x

  0

 f x



  f 

  có 4 điểm cực trị.

3

3

2



x

3

x



2

    x   



3

x 0

 x   x    x   x 

. Vậy hàm số

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Tài liệu Vted_2019

2



f



x

x



x



15

y



  x



 1 13

3

 f x



Câu 8: Cho hàm số có đạo hàm . Tìm số điểm cực trị của hàm

y

5 x 2 

x

4

   f 

  

số

B. 7 . D. 6 . C. 2 . A. 4 .

Lời giải

Chọn D.

2

  2 x

2

2

  y  . f 0 .  0 5 x 2  x 4        x 4  20 5  x  x 5 2  x 4           f    

0

3

2

2

2

1  x 4  15 x  60  f   0 0 4 . 5 x 2  x 4 5 x 2  x 4  2 x 5   x 4  2 x 65 x  4                        

3 4 3    x   x     x   x    x 

0x  là nghiệm bội chẵn. Vậy hàm số

y

5 x 2 

x

4

   f 

  

Trong đó có 6 điểm cực trị.

2 x x (

2 4) ,

y



f x ( )

2( f x

có đạo hàm f x '( )   1)( x     . Tìm số cực trị của hàm số x

)

B. 5 . Câu 9: Cho hàm số y .  A. 3 . D. 4 . C. 2 .

Lời giải

Chọn A.

2( f x

2

2

2

2

Theo đề bài ta có: y  ) suy ra

4 x x x

2

y  ' 2 . x f '( x )  2 . (  1)( x  4) .

5 x 2 .(

2 2) (

2

 x  1)( x  1)( x  x  2)

5 x 2 .(

Dễ thấy phương trình y   ' 0 x  1)( x  1)( x x  2)  có 3 nghiệm đơn hoặc 0 

2 2) ( 2( f x

x



0;

x



1;

x

  nên hàm số

1

nghiệm bội lẻ. là: đạt cực trị tại các điểm đó. y  )

2( f x

f

(1)

f

 suy ra hàm số có 2 cực trị. ( 1)

Vì là hàm số chẵn nên y  )

2 x x (

2 4) ,

f x ( ) .

y  2( f x

Câu 10: Cho hàm số có đạo hàm f x '( )   1)( x     . Tìm số điểm cực trị của x

) y 

D. 2 . hàm số A. 4 . B. 5 . C. 3 .

Lời giải

Chọn B.

8 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Cực trị

2( f x

2

2

2

2

Theo đề bài ta có: y  ) suy ra

4 x x x

2

. y  ' 2 . x f '( x )  2 . (  1)( x  4)

5 x 2 .(

2 2) (

2

 x  1)( x  1)( x  x  2)

2 2) (

Dễ thấy phương trình y   ' 0 x  1)( x  1)( x  x  2)  có 3 nghiệm đơn hoặc 0

5 x 2 .( 2( f x

3

(

x



1)(4

x

x



15)

f x '( )



y



f x ( )

nghiệm bội lẻ. nên hàm số có 3 điểm cực trị. y  )

 3

5)(13 x

y

Câu 11: Cho hàm số có đạo hàm . Tìm số điểm cực trị của hàm

5 x 2 

x

4

   f 

  

số .

A. 4 C. 3 . B. 7 . D. 6 .

Hướng dẫn giải

2

2

2

2

3

(5

x



x



4)(20

x



5

x



x



15

x



60)

u



Chọn B.

f u



u f u '( )

'.



 ( ) '

2

5 x 2 

x

4

20 5  2  x (

x 4)

2

5 3

(

x



4)

20)(65 x 5 2 

4

x

x



1,

x

 

2,

x



4;

x



3;

x

f u

 có các nghiệm bội lẻ là

 và điểm làm cho

Đặt . Ta có:

 ( ) ' 0

4 3

0

. Phương trình 

x  . (Đến đây phải chứng minh hàm f liên tục tại điểm

x  0

3

(

x



1)(4

x

x



15)

f x '( )



đạo hàm không xác định là

 3

5)(13 x

bằng cách lấy nguyên hàm , vượt quá kiến thức học kỳ I của lớp

y



f x ( )

'( )

y



f x ( )

12)

f x trên  . Đồ thị của hàm số

y



f x ( )

Câu 12: Cho hàm số có đạo hàm như hình vẽ



2

Đồ thị hàm số có bao nhiêu điểm cực đại, cực tiểu?

A. 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu C. 2 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu B. 2 điểm cực tiểu, 3 điểm cực đại D. 1 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu

x

x 0;

3

Hướng dẫn giải

f x  có nghiệm đơn là ( ) 0

 và nghiệm kép

1x 

'( ) 0

x

(0;1);

x

(1;3)

Chọn A. Từ đồ thị ta có:

f x  có 3 nghiệm đơn

1x 

  x 1

  x 2

Và và

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Tài liệu Vted_2019

x



0;

x



3;

y



  y

f x ( )

f ' 2 '( ).

x f x ( )



x x ; 1

2

2 1x  . Xem bảng xét dấu sau:

Ta có: có các nghiệm đơn là và nghiệm bội 3 là

y



f x ( )

f

f

  x

  x

2

Câu 13: Cho hàm số có đạo hàm . Đồ thị của hàm số như hình vẽ

y



2



x

  f x

Hỏi điểm cực tiểu của hàm số là

2x  .

1x  .

x   .

1

0x  .

A. B. C. D.



Hướng dẫn giải

x

f

  x

. Chọn   y 2 D.  2





y

  0

f

 

x

  x

1  .

2

x





1

1

2

y



 x 0    x   1 x   x 0

0 + 0  0 



y

0

0x  .

Điểm cực tiểu của hàm số là

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Cực trị

y



f x ( )

f

f

  x

  x

Câu 14: Cho hàm số có đạo hàm . Đồ thị của hàm số như hình vẽ

y



x

Đồ thị của hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

C. 3 .

  3  f x B. 7 .

A. 4 . D. 2 .

Hướng dẫn giải





y

  0

f

x

 

3

Chọn   f y C.   3  x





. 

x

2 0  x    x 1   x 1   x





1

1

2

y



0

0 

0 

0 



y

0

2

Hàm số đã cho có 3 điểm cực trị.

2( f x

y



Câu 15: Cho hàm số có đạo hàm f x '( )  x  2 x y   x 8 ) có bao , mọi x R . Hàm số

f x ( ) nhiêu điểm cực trị? A. 6

B. 3 C. 5 D. 2

Hướng dẫn giải

2

Chọn C

0x  hoặc

2x 

y



f x ( )

2

Xét hàm số có =0 f x '( )  x  2 x

2( f x

2

8 0

2 8 x



2

x

x

 , 0

Xét hàm số y   x 8 ) có y '  (2 x  8).f'(x  x 8 ) =0

'y đổi

4 3 2,

x



0,

x



4,

x



8,

x

 

4 3 2

2 8 x   , x    x dấu qua các nghiệm nên hàm số có 5 cực trị

3

và

2  x(x 1) (

2

f (x) f"'(x)  x  4) mọi

x 2 ( ). "( ) f x f g x ( )   ( có bao nhiêu cực trị? Câu 16: Cho hàm số f(x) có đạo hàm cấp 3 liên tục trên R thỏa mãn '( )) x f B. 1

x R . Hàm số A. 3

C. 2 D. 6

Hướng dẫn giải

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Tài liệu Vted_2019

Chọn C

Xét hàm số g(x)

3

Có

2 1) .(

g x '( )



2.

f

'( ). "(x)

x f



(2.

f

'(x).f"(x) 2.f(x).f"'(x))



  x

0,

x



1,

x

  . 4

g x chỉ đối dấu qua x=0,x= -4 nên hàm số có 2 cực trị

'( )

f

(x)

2 .( x x  x  4) =0 = 2.f(x).f"'(x)) =

4

g

(x)

f(x). f'(x)

số có đạo hàm cấp hai liên tục trên R thỏa mãn



f

f

x R

'(x)

(x). f''(x) 15 x

x 12 ,







  . Hàm số

2

có bao nhiêu điểm cực

4

g

B. 1 C. 2 D. 4 Câu 17: Cho hàm  trị? A. 3 Lời giải:

'(x)

f'(x). f'(x)

f(x). f''(x)





f

f

x

'(x)

(x). f''(x) 15 x

12







2

0

  x

4

g

x

Ta có  

'(x) 0

15x

12

 



 0

3

x

4 5

    

nên hàm số có 2 điểm cực trị.

y

Chọn đáp án C

(x)

f

f

f

(x)

2

3

y 



có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số Câu 18: Cho hàm số (x)



f

f

(x)

(x)

B. 5 C. 4 D. 3 A. 6 Lời giải:

 '(x). 2



f

'(x) 0 (1) f (x) (x)

2

ln 3 (2)

ln 2 3 

f   

f

y ' ln 3 Ta có f ln 2 3  0 

(x)

f

(x)

f

(x)

log



+ Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị nên phương trình (1) có 3 nghiệm

1  

3 2

2 3

(2) ln +    2 3 3 2      

Từ đồ thị hàm số suy ra phương trình (2) có 1 nghiệm kép

Vậy số điểm cực trị của hàm số là: 3

Chọn đáp án: D

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Cực trị

  f x như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của

 f x có đạo hàm trên R và đồ thị   f x

  f x

Câu 19: Cho hàm số

  5

y 

3

hàm số bằng:

B. 5 . D. 3 . A. 6 . C. 4

  f x

  f x

Lời giải B.

y

'



f

'

.3

ln 3



f

'

.5

ln 5

  x

  x

  f x

  f x

Chọn Ta có



 x  

 f ' 3  ln 3 5 ln 5  

  f x

  f x

  x

  x   f x

  f x

f '  0 y   ' 0 f ' 3  ln 3 5 ln 5 0     3  ln 3 5  ln 5 0     

'

 có 3 nghiệm phân

0

  f x có 3 điểm cực trị

  x f

Nhìn vào đồ thị ta thấy đồ thị hàm số

ln

  f x

5 3

  f x

  f x

biệt.

3

 ln 3 5

ln 5 0

 



ln





  f x

3 5

5 3

3 5

  

  

  

  

  

  

ln

5 3

y

f x cắt đường thẳng

Với



  0 f x  có hai

3 5

   

  

tại hai điểm phân biệt nên Do đồ thị hàm số 

  f x

  f x

y 



3

5

nghiệm phân biệt.

'f

  f x

Câu 20: Cho hàm số bằng 5   x như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của

y 

2

hàm số bằng: Vậy Số điểm cực trị của hàm số   f x có đạo hàm trên R và đồ thị   f x  3

A. 3 . D. 7 . B. 2 . C. 4

Lời giải

f

  x

  f x có

4 điểm cực trị.

  f x

  f x

  f x

  f x

Chọn C. Ta thấy đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt, suy ra hàm số

  x





  x

 . 2

 .ln 5 .

   Ta có y '  f .2 ln 2  f x .3 ln 3  f  ln 2 5

Tài liệu Vted_2019

  f x

  f x

y

  ' 0

f



0.

 x



Vì với mọi x nên  ln 2 5 .ln 5 2

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18 



  f x

  f x

y 

2



3

 . f x

Suy ra số điểm cực trị của hàm số bằng số điểm cực trị của hàm số

14 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Cực trị

NHÓM GIẢI VẬN DỤNG CAO CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ - NĂM HỌC 2018-2019

VTED_2019 MÔN: TOÁN 12

Thời gian làm bài 90 phút

MỐI QUAN HỆ GIỮA CỰC TRỊ VÀ ĐẠO HÀM CẤP 1

ĐẠO HÀM CẤP 2 (ĐỀ 01)

y



I. Mối quan hệ giữa cực trị và đạo hàm của hàm số

 f x có đạo hàm tại



0x . Khi đó nếu

0x

 f x



f

Định lý 1: Nếu hàm số đạt cực trị tại điểm

 . 0

 x

0

f

0

thì

 nhưng hàm số

 x

 f x không đạt cực



0

+ Điều ngược lại có thể không đúng, tức có thể

0x .

5

y



3 x y ,



x

trị tại

Chẳng hạn như hàm số

y



x

,

y





2

+ Hàm số có thể đạt cực trị tại điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm.

 x x



Chẳng hạn như hàm số .

Như vậy, một hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 , hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm.

0x là hàm số có đạo hàm triệt tiêu tại

0x hoặc hàm

+ Điều kiện cần để hàm số f đạt cực trị tại

0x .

số không có đạo hàm tại



+ Điều kiện đủ:

;a b chứa điểm

0x và có đạo hàm

liên tục trên khoảng 

  f x 

trên các khoảng 

y Định lý 2: Giả sử hàm số 0;a x và 

0;x b . Khi đó:





f

  

0,

x

a x ;

f

  

0,

x

y



  x



  x





  f x

0

x b ; 0

+ Nếu và thì hàm số đạt cực tiểu tại

0x .





f

x

  

0,

x

a x ;

f

x

  

0,

x

điểm















  f x đạt cực đại tại điểm

0

x b ; 0

0x .

+ Nếu và thì hàm số

Nói một các khác:





y



f



0,

f

II. Mối quan hệ giữa điểm cực trị và đạo hàm cấp hai của hàm số

 0

  f x









x 0

x 0

0x và

Định lí 3: Giả sử hàm số có đạo hàm đến cấp hai tại

0x là một điểm cực trị của hàm số. Hơn nữa,

thì

1 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

f

 thì 0

 x

0

0x là điểm cực tiểu.

f

+ Nếu

 thì 0

 x

0

0x là điểm cực đại.

f

0

+ Nếu

 thì chưa thể khẳng định được

 x

0x là điểm cực trị của hàm số hay

0

Trong trường hợp

không.

;

f

f

0

 và 0

 . Khi

;a b chứa điểm



 x

x 0

 x 0

0

Chứng minh







f

f



f

x







x 0



f







0





x 0

lim  x x 0

lim  x x 0

  x x



x

 

x 0

x 0





0



a b ;

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng  đó theo định nghĩa đạo hàm cấp hai, ta có:

h  0







   h

x 0

h x 0;

f x

  x  x 0

x







h

Do đó tồn tại sao cho và với mọi



x 0

h x ; 0

   x \ 0



x



  

0,

x



f

  

0,

x



.



  x







x 0

x 0

h x ; 0

x 0

h x ; 0



x



  

0,

x



h

f

  

0,

x



h

+ Vì nên



  x







x 0

x x ; 0 0

x x ; 0 0

f

+ Vì nên

 x



0x . Do đó hàm số f đạt cực tiểu tại

0x .

,

f

0

f

 nếu

 . 0

Vậy đổi dấu từ dương sang âm khi qua

;a b chứa điểm



 x

x 0

 x 0

0

Tương tự, hàm số f có đạo hàm trên khoảng 

0x .

Hàm số f đạt cực trị tại

Chú ý: Định lý này thường được sử dụng để nhận biết điểm cực đại, điểm cực tiểu của hàm số cho các hàm số có chứa lượng giác và hàm có chứa căn thức (khi việc xét dấu của đạo hàm khó khăn).

  f x có đạo hàm đến cấp n tại điểm

0x và

n

 1





f

 f

  ...

f

0

 và 0









 



   nf

x 0

x 0

x 0

0 x  . Khi đó:

Tổng quát của định lí 3. Nếu hàm số

0x .

0

+ n lẻ, hàm số không đạt cực trị tại điểm

   nf

0x ; cụ thể nếu

0 x  hàm số đạt cực tiểu tại điểm

0

   nf

0 x  hàm số đạt cực đại tại điểm

0x và nếu

0x .

0

+ n chẵn, hàm số đạt cực trị tại điểm

   nf

0 x  chưa kết luận được

0x có là điểm cực trị của hàm số hay không

Nếu

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

2 | VD_VDC

Chuyên đề_Cực trị

y



y

y

 f x



Câu 1: Cho hàm số . Đồ thị của hàm số như hình vẽ bên. Hỏi hàm số

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19   f x

  x f

 có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?

B. 3 A. 2 C. 4 D. 1

y

f x có đồ thị của

( )

y

f x như hình vẽ. Hỏi hàm số

( )

y

f x có bao nhiêu ( )

Câu 2: Cho hàm số điểm cực trị ?

B. 3 . A. 2 . C. 4 . D. 1.

y

f x có đồ thị của

( )

y

f x như hình vẽ. Hỏi hàm số

( )

y



f x ( )



x có bao

Câu 3: Cho hàm số nhiêu điểm cực trị ?

y



f x ( )

y



f x '( )

y



f x ( )

A. 2 . C. 1. B. 3 . D. 5 .

Câu 4: Cho hàm số . Đồ thị của hàm số như hình vẽ dưới. Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?.

3 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

A. 2 B. 3 . C. 4 . D. 5 .

y

'y

f

 f x . Đồ thị của hàm số



  x như hình vẽ bên.

Câu 5: Cho hàm số

y





x là?

 f x



Hỏi điểm cực đại của hàm số

1x

0x

2x

1 x

A. . B. . C. . D. .

y

'y

f

 f x . Đồ thị của hàm số



  x như hình vẽ bên.

y



2



x



Câu 6: Cho hàm số



2 1

có bao nhiêu điểm cực trị?

C. 3 . D. 0 . Đồ thị của hàm số A. 4 .

  f x B. 2 .

y

'y

f

 f x . Đồ thị của hàm số



  x như hình vẽ bên.

Câu 7: Cho hàm số

4 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Cực trị

y

Đồ thị của hàm số

  f x có bao nhiêu điểm cực trị? B. 3 .

C. 0 . A. 2 . D. 1.

y



f x ( )

y

f x ( )

Câu 8: Cho hàm số . Đồ thị hàm số như hình vẽ

y



3 ( ) 7

f x



x

Đồ thị của hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

B. 0 . D. 3 . A. 2 . C. 1.

( ) 0

f x

0x là nghiệm của phương trình

f x đạt cực trị tại

( )

 thì 0x thì hàm số có đạo hàm tại

0x là điểm cực trị của hàm số. 0x .

 . 0

)

Câu 9: Mệnh đề nào sau đây đúng?

0x thì

A. Nếu B. Nếu hàm số C. Hàm số có thể đạt cực trị tại điểm mà tại đó hàm số không tồn tại đạo hàm. f x D. Nếu hàm số đạt cực trị tại 0(

y



f x ( )

f x ( )

y

f x ( )

có đạo hàm xác định trên  . Đồ thị hàm số như hình Câu 10: Cho hàm số vẽ dướ đây:

y



2( f x

)

Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực đại và bao nhiêu điểm cực tiểu?

y

y

(x)

'(x)

f

f

A. 2 điểm cực đại, 1 điểm cực tiểu. B. 2 điểm cực tiểu, 1 điểm cực đại. C. 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu. D. 2 điểm cực tiểu, 3 điểm cực đại.

Câu 11: Cho hàm số . Đồ thị hàm số như hình vẽ

5 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

y

1

-1

x

2

O 1

-1

y

(x) x

f

 là:

Hỏi điểm cực tiểu của hàm số

1x 

0x 

2x 

x   1

A. B. C. D.

x

x



3 3 

Câu 12: Cho hàm số . Mệnh đề nào sau đây đúng?

y A. Cực đại của hàm số là 2 C. Cực đại của hàm số là -2

2

y

(x)

(x)

f

f

B. Cực đại của hàm số là -1 D. Cực đại của hàm số là 1



x (x 2) 

Câu 13: Cho hàm số có . Hỏi số điểm cực trị của hàm số là:

f '(x) B. 3

C. 1

y D. 0

2

A. 2

 f x ( )



x

x



x



2

y

f x có

( )

y

f x là ( )



 1



. Hỏi số điểm cực trị của hàm số

2

 f x ( )



x

x



3

B. 3 . Câu 14: Cho hàm số bao nhiêu ? A. 2 . C. 1. D. 4 .

y

f x có

( )

y

f x là bao

( )



2

Câu 15: Cho hàm số . Hỏi số điểm cực trị của hàm số

y



2

B. 3 . D. 0 . nhiêu ? A. 2 . C. 1.

Câu 16: Cực đại của hàm số là

A. 1.

3 3 x x   B. 1 .

C. 4 . D. 0 .

y



x

Câu 17: Các điểm nào dưới đây là điểm cực đại của hàm số

x



,

k

 

x



k

 



 k ,

 , k



x



k

x



,

k

A. B.

 

 

   k 4 2  4

2sin 2  3 4   3  k 4 2

C. D.

y

x

Câu 18: Các điểm nào dưới đây là điểm cực tiểu của hàm số

x



,

k

 

x



k

 



 k ,

 , k



x



k

x



,

k

A. B.

 

 

   k 4 2  4

2sin 2   3 4   3  k 2 4

3

2

C. D.

y



x



x



3

x

 . Mệnh đề nào sau đây đúng?

1 3

4 3

Câu 19: Cho hàm số

B. Chực tiểu của hàm số là 1 .



C. Cực tiểu của hàm số là . D. Cực tiểu của hàm số là 9 . A. Chực tiểu của hàm số là 3 . 23 3

y

a b 0x thuộc khoảng ( ; ).

f x ( ) Xét các mệnh đề sau:

Câu 20: Cho hàm số xác định và liên tục trên khoảng ( ; )a b và điểm

6 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Cực trị

'(



I. Nếu

f x (

0x là điểm cực trị của hàm số thì f x ), ( )

a b ( ; )

II. Nếu



f x ( ).

a b ( ; )\{

0 f x (

),

x

0

0

"(

)

f

f x thì f x  ( ) 0. ) 0 0x là điểm cực tiểu của hàm số   x   x f x ( ) } 0x là điểm cực đại của hàm số

f x ( ). 0x là điểm cực đại của hàm số x  f x thì ( ) 0. 0

III. Nếu thì

f x có đạo hàm trên khoảng ( ; )a b và điểm ( )

a b Xét các

0x thuộc khoảng ( ; ).

B. 2. C. 1. D. 0. IV. Nếu Số mệnh đề đúng là? A. 4.

f x thì ( )

0x là điểm cực trị của hàm số

f x  '( 0. ) 0

Câu 21: Cho hàm số mệnh đề sau: (1) Nếu

f x  thì '(

0

)

f x ( ).

0

0x là điểm cực trị của hàm số

  

  

(2) Nếu

f x '( )

0,

x

a x ( ;

)

f x '( )

0,

x

(

0

x b ; ) 0

0x là điểm cực đại của hàm số

và thì

  

  

(3) Nếu f x ( ).

f x '( )

0,

x

a x ( ;

)

f x '( )

0,

x

(

0

x b ; ) 0

0x là điểm cực tiểu của hàm số

và thì

(4) Nếu f x ( ).

f x thì tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( )

f x tại điểm ( )

(5) Nếu

(

x f x ;

(

0x là điểm cực trị của hàm số ))

0

0

song song hoặc trùng với trục hoành.

Số mệnh đề đúng là? A. 5. B. 3. C. 4. D. 2.

f

'(

0

)

0x ,

x  và hàm số f(x) có đạo 0

0x .

Câu 22: Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b) chứa điểm

hàm cấp 2 tại điểm Xét các mệnh đề sau:

f

"( ) 0

x  thì

0x là điểm cực đại của hàm số f(x).

(1) Nếu

f

"( )

x  thì 0

0x là điểm cực tiểu của hàm số f(x).

(2) Nếu

f

"( )

x  thì 0

0x không là điểm cực trị của hàm số f(x).

f

"( )

(3) Nếu

x  thì 0

0x là điểm cực trị của hàm số f(x).

f

"( ) 0

(4) Nếu

x  thì

)

f x là cực đại của hàm số f(x). 0(

f

(5) Nếu

x  thì 0

)

f x là cực tiểu của hàm số f(x). 0(

(6) Nếu "( )

Số mệnh đề đúng là?

0x thuộc khoảng (a,b).

A. 6 B. 4 C. 5 D. 2

f(x)

)

)

a b ( , )

  x

f x  0(

f x 0(

Câu 23: Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a,b) và , (1) Nếu thì là giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên khoảng (a,b).

f(x)

)

  x

a b ( , )

f x  0( )

f x là giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên khoảng (a,b). 0(

  x

a b ( , ) \

(2) Nếu , thì

f(x)

)

 0 x

f x  0( )

f x là cực đại của hàm số f(x). 0(

  x

a b ( , ) \

(3) Nếu , thì

)

f(x)

)

 0 x

f x  0(

f x là cực tiểu của hàm số f(x). 0(

(4) Nếu , thì

7 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

Số mệnh đề đúng là?

A. 0 B. 2 C. 1 D. 4

y



f x ( )

y



f x '( )

2

Câu 24: Cho hàm số . Đồ thị của hàm số như hình vẽ bên

y



2 ( ) x

f x



Đồ thị của hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 4 B. 2 C. 3 D. 5

y

f

f





 x . Đồ thị của hàm số

  x như hình dưới

 f x xác định và có đạo hàm đây. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Câu 25: Cho hàm số

y

; 2



A. Hàm số

y

 .    . ; 1

B. Hàm số

y

y

C. Hàm số

 f x đồng biến trên khoảng  f x đồng biến trên khoảng    f x có ba điểm cực trị. f x nghịch biến trên khoảng  

   

0;1 .

3

x



23 x



9

x



1

y

D. Hàm số

Câu 26: Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là A và B . Điểm nào dưới đây thuộc

P

1; 10N

1;10

. B. . C. . D. .

 đường thẳng AB ? 1;0  A.

  0; 1M





 Q



3

 



x

y



5

23 x OAB với O là gốc tọa độ.

Câu 27: Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là A và B . Tính diện tích S của tam giác

9S

5S

10S

S

10 3

y



x

3 3 

x

2

A. . C. . D. . B. .

 có 2 điểm cực trị A , B . Tìm tọa độ trung điểm M của đoạn

Câu 28: Đồ thị của hàm số

2;0M 

 M 

1;0

 M 

2; 4

3

B. . C. . D. . thẳng AB .   M  . A. 0; 2

y



x



26 x



9

x

 có 2 điểm cực trị A , B . Tính độ dài đoạn thẳng AB .

1

AB 

5

AB 

2 5

AB 

4 2

AB 

2 2

Câu 29: Đồ thị hàm số

A. . B. . C. . D. .

y



2 5  x  x 2

y

x 2

y

 

2

x

Câu 30: Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A , B . Hỏi đường thẳng đi qua hai điểm A , B

x .

x  .

là? A. . B. . C. 2 y D. 2 y

8 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Cực trị

2

x

1

y



AB 

2 5

AB 

2 15

AB 

2 13

Câu 31: Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A và B . Tính độ dài đoạn thẳng AB .

x   2  x B.

AB  .

5

4

A. . C. . D. .

 có ba điểm cực trị A , B , C . Gọi S là diện tích tam giác

2

x

y



28 x

Câu 32: Đồ thị hàm số

 ABC . Mệnh đề nào dưới đây đúng? . A.

S 

16

S 

32

4 2

S 

S 

8 2

4

2

B. . C. . D. .

 



2

3

y

x

 có ba điểm cực trị A , B , C . Gọi R là bán kính đường tròn

x 4 ngoại tiếp tam giác ABC . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Câu 33: Đồ thị hàm số

R 

R 

5 R  . 4

5 R  . 2

5 2

5 4

y



A. B. C. . D. .

 f x



y



Câu 34: Cho hàm số xác định và liên tục trên  có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ

 f x



Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

3

2

C. 3. B. 4. D. 1. A. 2 .

y



x



5

x



x

 1



Câu 35: Cực đại của hàm số

.

5 3

148 27

y



B. D. A. 1. C. 4.

 f x



y



Câu 36: Cho hàm số xác định và liên tục trên  có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ

 f x



Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực đại?

y



C. 3. B. 4. D. 1. A. 2 .

 f x



y



Câu 37: Cho hàm số liên tục trên R và có bảng xét dấu như hình vẽ

 f x



Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực đại.

y



'f

C. 3 . A. 2 . B. 4 . D. 1.

 f x





 x trên R . Đường cong ở hình vẽ bên là đồ thị của hàm

Câu 38: Cho hàm số có đạo hàm

y



 g x



 f x

 f x



  

 2   là

số . Số điểm cực trị của hàm số

9 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

C

y



y



f

'

y



f

"

x

  ,



 f x



  x





C 1

2

C 3

C. 5 . D. 9 .



y





x

"

f

f

'

  x





C

C

C

C

C

A. 4 . Câu 39: Cho 3 đường cong  , , . là đồ thị của các hàm số y y B. 7 .   ,   f x , , theo thứ tự, lần lượt tương ứng với Hỏi đồ thị các hàm số đường cong nào?

  ,

  ,

  ,

  ,

C . C. 



  ,

  ,

C . D. 



  ,

  ,

C 3

2

 C . 1

2

C 1

3

2

3

1

C 1

2

 C . 3

3

2

y



f x ( )



x



5

x



x

1 .

A.  B. 

 Cực đại và cực tiểu của hàm số lần lượt là?



Câu 40: Cho hàm số

4

2

x

y







f x ( )

x

.



B. 4 và 4. C. 1 và 1. A. 1 và 5 . 3 D. 4 và 148 . 27

1 2 và 2.





Câu 41: Cho hàm số Mệnh đề nào dưới đây đúng?

1 4 A. Cực tiểu của hàm số là 2 C. Cực tiểu của hàm số là 1 . 2

y



f x ( )



B. Cực tiểu của hàm số là 0. D. Cực tiểu của hàm số là 3 . 2

Câu 42: Cho hàm số Mệnh đề nào dưới đây đúng?

2 5  x  x 2 A. Cực đại của hàm số là 5. C. Cực đại của hàm số là 10.

4

2



y







2

4

x

x

f

x



x



  f x











Câu 43: Cho hàm số có đạo hàm . Số điểm cực trị của hàm số B. Cực đại của hàm số là 1. D. Cực đại của hàm số là 2.  1

y



  f x

là?

4

2

C. 4 . D. 1. B. 2 . A. 3.



y



x



x

1 4

Câu 44: Cho hàm số . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

1 2 1  . 2

A. Cực đại của hàm số là B. Cực đại của hàm số là 0 .

10 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Cực trị

2

3  . 2

C. Cực đại của hàm số là D. Cực đại của hàm số là và 2 .

y



  f x

Câu 45: Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ

y



2

 có bao nhiêu điểm cực trị?

3

  f x

Đồ thị hàm số

2

B. 7 . C. 5. D. 9. A. 4 .

y

  x

2sin

x .

Câu 46: Điểm cực đại của hàm số

x

 



   ,  k k

.

x

k

 2 ,

k

  .

x





 , k

k

x





k

 2 ,

k

A. B.

  .

  .

 12  7 12

    6  7 6

2

C. D.

y

  x

2sin

x .

Câu 47: Điểm cực đại của hàm số

x

 



   ,  k k

.

x

k

 2 ,

k

  .

A. B.

x





 , k

k

  .

x





k

 2 ,

k

  .

 12  7 12

    6  7 6

2

y

  x

2 sin

x

0; 2018 .

C. D.











trên khoảng  Câu 48: Gọi S là tập hợp tất cả các điểm cực đại của hàm số

412699 2

1221798 6

412271 2

3

2

C. . D. . A. B. . . Tính tổng tất cả các phần tử của S . 2468491 12



bx



c





Câu 49: Cho hàm số có đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt. Hỏi số cực trị



y

y  x   f x

 

ax 2

của hàm số

C. 3.

 2 . y y  B. 2 .

D. 1. A. 0 .

----------HẾT----------

11 | VD_VDC

Tài liệu Vted_2018

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19 NHÓM GIẢI VẬN DỤNG CAO

CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ - NĂM HỌC 2018-2019

VTED_2019 MÔN: TOÁN 12

Thời gian làm bài 90 phút

Đề đã thay đổi thứ tự câu (sắp xếp theo độ khó tăng dần) so với đề gốc

BẢNG ĐÁP ÁN THAM KHẢO

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

HƯỚNG DẪN GIẢI

MỐI QUAN HỆ GIỮA CỰC TRỊ VÀ ĐẠO HÀM CẤP 1

ĐẠO HÀM CẤP 2 (ĐỀ 01)

y



I. Mối quan hệ giữa cực trị và đạo hàm của hàm số

 f x có đạo hàm tại



0x . Khi đó nếu

0x

 f x



f

Định lý 1: Nếu hàm số đạt cực trị tại điểm

 . 0

 x

0

f

0

thì

 nhưng hàm số

 x

 f x không đạt cực



0

+ Điều ngược lại có thể không đúng, tức có thể

0x .

5

y



3 x y ,



x

trị tại

Chẳng hạn như hàm số

y



x

,

y





2

+ Hàm số có thể đạt cực trị tại điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm.

 x x



Chẳng hạn như hàm số .

Như vậy, một hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 , hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm.

0x là hàm số có đạo hàm triệt tiêu tại

0x hoặc hàm

+ Điều kiện cần để hàm số f đạt cực trị tại

0x .

số không có đạo hàm tại



+ Điều kiện đủ:

;a b chứa điểm

0x và có đạo hàm

  f x 

liên tục trên khoảng 

y Định lý 2: Giả sử hàm số 0;a x và  trên các khoảng 

0;x b . Khi đó:





f

  

0,

x

a x ;

f

  

0,

x

y



  x



  x





  f x

0

x b ; 0

+ Nếu và thì hàm số đạt cực tiểu tại

0x .

điểm

12 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Cực trị





f

x

  

0,

x

a x ;

f

x

  

0,

x















  f x đạt cực đại tại điểm

0

x b ; 0

0x .

+ Nếu và thì hàm số

Nói một các khác:





y



f



0,

f

II. Mối quan hệ giữa điểm cực trị và đạo hàm cấp hai của hàm số

 0

  f x









0x và

x 0

x 0

Định lí 3: Giả sử hàm số có đạo hàm đến cấp hai tại

0x là một điểm cực trị của hàm số. Hơn nữa,

f

thì

 thì 0

 x

0

0x là điểm cực tiểu.

f

+ Nếu

 thì 0

 x

0x là điểm cực đại.

0

f

0

+ Nếu

 thì chưa thể khẳng định được

 x

0

0x là điểm cực trị của hàm số hay

Trong trường hợp

không.

;

f

f

0

 và 0

 . Khi

;a b chứa điểm



 x

x 0

 x 0

0

Chứng minh







f







x 0



f







0





x 0

lim  x x 0

lim  x x 0

  x x

 

f x

 

f x 0

x x 0





0



a b ;

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng  đó theo định nghĩa đạo hàm cấp hai, ta có:

h  0







   h

x 0

h x 0;

f x

  x  x 0

x







h

Do đó tồn tại sao cho và với mọi



x 0

h x ; 0

   x \ 0



x



  

0,

x



f

  

0,

x



.



  x







x 0

x 0

h x ; 0

x 0

h x ; 0



x



  

0,

x



h

f

  

0,

x



h

+ Vì nên



  x







x 0

x x ; 0 0

x x ; 0 0

f

+ Vì nên

 x



0x . Do đó hàm số f đạt cực tiểu tại

0x .

,

f

0

f

 nếu

 . 0

Vậy đổi dấu từ dương sang âm khi qua

;a b chứa điểm



 x

x 0

 x 0

0

Tương tự, hàm số f có đạo hàm trên khoảng 

0x .

Hàm số f đạt cực trị tại

Chú ý: Định lý này thường được sử dụng để nhận biết điểm cực đại, điểm cực tiểu của hàm số cho các hàm số có chứa lượng giác và hàm có chứa căn thức (khi việc xét dấu của đạo hàm khó khăn).

  f x có đạo hàm đến cấp n tại điểm

0x và

n

 1





f

 f

  ...

f

0

 và 0









 



   nf

x 0

x 0

x 0

0 x  . Khi đó:

Tổng quát của định lí 3. Nếu hàm số

0x .

+ n lẻ, hàm số không đạt cực trị tại điểm

13 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

0

   nf

0x ; cụ thể nếu

0 x  hàm số đạt cực tiểu tại điểm

0

   nf

0 x  hàm số đạt cực đại tại điểm

0x và nếu

0x .

0

+ n chẵn, hàm số đạt cực trị tại điểm

   nf

0 x  chưa kết luận được

0x có là điểm cực trị của hàm số hay không

Nếu

y



y

y



BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

 f x



  x f

  f x

Câu 1: Cho hàm số . Đồ thị của hàm số như hình vẽ bên. Hỏi hàm số

có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?

B. 3 A. 2 C. 4 D. 1

Lời giải

a



Chọn B

f

  0 x

 x     x b   x c

Xét phương trình:

y

( )

y

( )

y

Khi đó ta có bảng xét dấu:

f x có đồ thị của

f x như hình vẽ. Hỏi hàm số

f x có bao nhiêu ( )

Câu 2: Cho hàm số

điểm cực trị ?

14 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Cực trị

B. 3 . A. 2 . D. 1. C. 4 .

Lời giải Chọn D.

y

f x ( )

Ta có bảng biến thiên từ sự quan sát đồ thị hàm số

y

f x có một điểm cực trị. ( )

y

( )

y

( )

y



f x ( )



Vậy hàm số

f x có đồ thị của

f x như hình vẽ. Hỏi hàm số

x có bao

Câu 3: Cho hàm số

nhiêu điểm cực trị ?

B. 3 . D. 5 . A. 2 . C. 1.

Lời giải Chọn A.

y



g x ( )



f x ( )



x , có

 g x ( )



f x

 ( ) 1

Ta đặt hàm số ;

 f x   ( ) 1 0

y

f x và ( )

1y

2x

1x

số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đường .

1 điểm

1 x , 2x .

 ( ) 1



f x

, nên ; tiếp xúc tại điểm và 1 x Từ đồ thị ta thấy hai đường cắt nhau tại 2  g x ( ) chỉ đổi dấu khi đi qua

y



f x ( )



x có hai điểm cực trị.

Vậy hàm số

15 | VD_VDC

f x ( )



y

y



f x '( )

f x ( )



y

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19 Câu 4: Cho hàm số

. Đồ thị của hàm số như hình vẽ dưới. Hỏi hàm số

Tài liệu Vted_2018 có

bao nhiêu điểm cực trị?.

A. 2 B. 3 . C. 4 . D. 5 .

Hướng dẫn giải

x



0,

x





y



f x ( )

Chọn B.

x x , 1

x 2

nên đồ thị hàm số có 3 điểm cực

Đạo hàm đổi dấu khi qua các điểm trị

y

'y

f

 f x . Đồ thị của hàm số



  x như hình vẽ bên.

Câu 5: Cho hàm số

y





x là?

 f x



Hỏi điểm cực đại của hàm số

1x

0x

1 x

2x

A. . B. . D. . .

C. Lời giải Chọn D.

16 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Cực trị

y





x có

y

'



f

'

x



1

  f x





Xét hàm số



y

  ' 0

f

'

1

  x

x x

  1 2

y

  ' 0

f

'

  x

    x   1      1 x 2

f

y

  ' 0

     1

1

x

'

2

  x Vậy hàm số đạt cực đại tại

1 x

y

'y

f

Từ đồ thị ta thấy

 f x . Đồ thị của hàm số



  x như hình vẽ bên.

y



2

x





Câu 6: Cho hàm số



2 1

Đồ thị của hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

C. 3 . D. 0 .

  f x B. 2 .

A. 4 .

Lời giải

y



2



x



Chọn C.

y

 ' 2 '

f

x



2

x



  f x



2 1







 1

Xét hàm số có

17 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

y

  ' 0

f

'

 

x

  x



 x 1       1 x 3 

y

  ' 0

f

'

 

x

  x



3

  x 3        1 x 1 

x

1

y

  ' 0

f

'

x

 

x







3          1 x 3

Từ đồ thị ta thấy:

Ta thấy hàm số có đạo hàm đổi dấu ba lần khi qua các nghiệm nên hàm số có ba cực trị.

y

'y

f

 f x . Đồ thị của hàm số



  x như hình vẽ bên.

Câu 7: Cho hàm số

y

Đồ thị của hàm số

  f x có bao nhiêu điểm cực trị? B. 3 .

C. 0 . A. 2 . D. 1.

f

'

x

0  

f

'

   

0

x

1

y

Lời giải Chọn C.

x R ;





  x

  f x đồng

Từ đồ thị hàm số ta thấy . Vậy hàm số

y



f x ( )

y

f x ( )

biến trên R do đó hàm số không có cực trị.

Câu 8: Cho hàm số . Đồ thị hàm số như hình vẽ

18 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Cực trị

y



3 ( ) 7

f x



x

Đồ thị của hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

B. 0 . D. 3 . A. 2 . C. 1.

Lời giải



Chọn C.

y



3 ( ) 7

 f x

 .



Ta có

y

  0

 ( ) f x

7  3

y

f x ( )

Xét phương trình

x  . 2

f x ( )

 có 2 nghiệm

x

 và 0

x 0

7 3

Từ đồ thị hàm số , ta thấy phương trình

 Bảng biến thiên của hàm số

y



3 ( ) 7

f x



x

y



3 ( ) 7

f x



x

:

Vậy đồ thị hàm số có đúng 1 điểm cực trị.

Câu 9: Mệnh đề nào sau đây đúng?

f x

( ) 0

 thì

0x là nghiệm của phương trình

A. Nếu

f x đạt cực trị tại

( )

0x thì hàm số có đạo hàm tại

0x là điểm cực trị của hàm số. 0x .

 . 0

)

B. Nếu hàm số

0x thì

C. Hàm số có thể đạt cực trị tại điểm mà tại đó hàm số không tồn tại đạo hàm. f x D. Nếu hàm số đạt cực trị tại 0(

Lời giải

Chọn C.

3



- Mệnh đề A sai.

y

  

x

y

23 x

x  là nghiệm của phương trình

0

x  . 0

y  , nhưng hàm số không đạt cực trị tại

0

Xét hàm số

19 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

x

- Mệnh đề B, D sai. Xét hàm số y

x  nhưng hàm số không có đạo hàm tại

0

x  . 0

Hàm số đạt cực tiểu tại

y



f x ( )

f x ( )

y

f x ( )

có đạo hàm xác định trên  . Đồ thị hàm số như hình

Câu 10: Cho hàm số vẽ dướ đây:

y



2( f x

)

Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực đại và bao nhiêu điểm cực tiểu?

A. 2 điểm cực đại, 1 điểm cực tiểu. B. 2 điểm cực tiểu, 1 điểm cực đại. C. 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu. D. 2 điểm cực tiểu, 3 điểm cực đại.

Lời giải

Chọn B.

y

f x ( )

0

Từ đồ thị hàm số , ta thấy:

 ( ) 0 f x

1 3

 x  x      x

 ( ) f x

; 0

3;

0

x

      







 ( ) f x

  

0

x



,



 0;1

 1;3



2



.

y



f x (



2 .

 ( x f x

)



 2 )

0

0

y

   0

1

2

)



0

 x   ( f x 

3

  x  x        x 

2

x



0

2

 ( f x

) 0

 

x

; 3



3;



   







2

x



3

  

Ta có

Bảng biến thiên

20 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Cực trị

y



2( f x

)

y

y

(x)

'(x)

f

f

Vậy hàm số có 2 điểm cực tiểu và 1 điểm cực đại.

Câu 11: Cho hàm số . Đồ thị hàm số như hình vẽ

y

1

-1

x

2

O 1

-1

y

(x) x

f

 là:

Hỏi điểm cực tiểu của hàm số

1x 

0x 

2x 

x   1

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

y

y

(x) x

'

f

f

Chọn C

 

'(x) 1 

y

'(x)

f

Ta có:

1y  tại 3 điểm trong đó có 1 điểm tiếp xúc nên

Đồ thị hàm số: cắt đường thẳng

y

'

'(x) 1 0

f

  có 3 nghiệm trong đó có 1 nghiệm kép.

phương trình

'y

y

(x) x

f

Dấu của

 là:

2x 

Vậy điểm cực tiểu của hàm số

x

x



3 3 

Câu 12: Cho hàm số . Mệnh đề nào sau đây đúng?

y A. Cực đại của hàm số là 2 C. Cực đại của hàm số là -2

B. Cực đại của hàm số là -1 D. Cực đại của hàm số là 1

Hướng dẫn giải

1

2

y

x

' 3 

Chọn A

  x x

1

 

3 0     

Ta có:

21 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

2

BBT:

y

(x)

(x)



x (x 2) 

f

f

Câu 13: Cho hàm số có . Hỏi số điểm cực trị của hàm số là:

A. 2

f '(x) B. 3

C. 1

y D. 0

Hướng dẫn giải

2

2

f

'(x) x (x 2) 0





Chọn C

0x  là nghiệm kép)

  

   x x 0 

Ta có: (

2

Vậy hàm số có 1 điểm cực trị.

 f x ( )



x

x



x



2

y

f x có

( )

y

f x là ( )



 1



Câu 14: Cho hàm số . Hỏi số điểm cực trị của hàm số

B. 3 . bao nhiêu ? A. 2 . C. 1. D. 4 .

2

Lời giải Chọn A.

 f x ( )



x

x



x



2

2 và 1, nghiệm kép là 0 nên



 1



2

Ta thấy có nghiệm đơn là

 f x ( )



x

x



x



2



 1



2

 f x ( )



x

x



3

đổi dấu qua hai nghiệm đơn. Vậy hàm số có hai điểm cực trị.

y

f x có

( )

y

f x là bao

( )



2

Câu 15: Cho hàm số . Hỏi số điểm cực trị của hàm số

B. 3 . D. 0 . nhiêu ? A. 2 . C. 1.

2

2

 f x ( )





3

x

x

 f x ( )



x

x



3

Lời giải Chọn D.





2

2 qua hai nghiệm đó. Vậy hàm số không có cực trị.

y





2

x

x

Ta thấy không đổi dấu có 2 nghiệm kép là 0 và 3 nên

Câu 16: Cực đại của hàm số là

D. 0 .

3 3  B. 1 .

A. 1. C. 4 .

y

 

23 x



3

y

 

23 x



3

Lời giải Chọn C.

1 x

+ Có , nghiệm của là .

1 x

y

6

y

4

 y

6

x , suy ra

1     



1  

+ , hàm số đạt cực đại tại , giá trị cực đại là .

y



2sin 2

x

Câu 17: Các điểm nào dưới đây là điểm cực đại của hàm số

22 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Cực trị

x



,

k

  B.

x



k

 



 , k

A.

x



k

  D.

x



,

k

 

 , k



 3 4   3  k 2 4

   k 4 2  4

C.

Lời giải

y



2sin 2

x

  y

' 4 cos 2

x

  

0

x

,

k

 

   k 4 2

Chọn C



y

''

 

8sin 2

x



y

''

 

8sin



0

khi k



l l 2 ,





   k 4 2

 2

  

  

  

  k  

Mà

x





 , k

k

  là các điểm cực đại của hàm số.

 4

Vậy

y



2sin 2

x

Câu 18: Các điểm nào dưới đây là điểm cực tiểu của hàm số

x



,

k

  B.

x



k

 



 , k

A.

 , k



x



k

  D.

x



,

k

 

   k 4 2  4

 3 4   3  k 2 4

C.

Lời giải

y



2sin 2

x

  y

' 4 cos 2

x

  

0

x

,

k

 

   k 4 2

Chọn B



y

''

 

8sin 2

x



y

''

 

8sin



0

khi k



l 2

  1, l



   k 4 2

 2

  

  

  

  k  

Mà

x





 , k

k

  là các điểm cực tiểu của hàm số.

 3 4

3

2

y



x



x



3

x

Vậy

 . Mệnh đề nào sau đây đúng?

1 3

4 3

Câu 19: Cho hàm số

B. Chực tiểu của hàm số là 1 .



C. Cực tiểu của hàm số là . D. Cực tiểu của hàm số là 9 . A. Chực tiểu của hàm số là 3 . 23 3 Lời giải

3

x

y

1

   

3

2

2

Chọn C

y



x



x



3

x

  

y

'

x



2

x

   3 0

1 3

4 3

3

y

 23 3

       x 

Ta có:

y

 '' 2

x



2;

y

''(3)

  4 0

Mà

23 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018



23 3

Vậy Cực tiểu của hàm số là

y

a b 0x thuộc khoảng ( ; ).

f x ( ) Xét các mệnh đề sau: I. Nếu

f x thì ( )

f x  '( 0. ) 0



Câu 20: Cho hàm số xác định và liên tục trên khoảng ( ; )a b và điểm

0x là điểm cực trị của hàm số thì f x ( ) ),

  x

a b ( ; )

f x (

f x ( ).

0

II. Nếu



f x ( ).

f x ( )

f x (

),

  x

a b ( ; )\{

x

0x là điểm cực tiểu của hàm số }

0

0

III. Nếu thì

"(

)

f

0x là điểm cực đại của hàm số

0x là điểm cực đại của hàm số x  f x thì ( ) 0. 0

IV. Nếu

Số mệnh đề đúng là? A. 4. B. 2. C. 1. D. 0. Hướng dẫn giải Chọn C.

f x có đạo hàm trên khoảng ( ; )a b và điểm ( )

a b Xét các

0x thuộc khoảng ( ; ).

Câu 21: Cho hàm số

f x thì ( )

0x là điểm cực trị của hàm số

f x  '( 0. ) 0

mệnh đề sau: (1) Nếu

f x  thì '(

0

)

f x ( ).

0

0x là điểm cực trị của hàm số

  

  

(2) Nếu

f x '( )

0,

x

a x ( ;

)

f x '( )

0,

x

(

x b ; ) 0

0x là điểm cực đại của hàm số

0

f x ( ).

  

  

(3) Nếu và thì

f x '( )

0,

x

a x ( ;

)

f x '( )

0,

x

(

x b ; ) 0

0x là điểm cực tiểu của hàm số

0

f x ( ).

(4) Nếu và thì

f x thì tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( )

f x tại điểm ( )

(5) Nếu

(

x f x ;

(

0x là điểm cực trị của hàm số ))

0

0

song song hoặc trùng với trục hoành.

C. 4. D. 2. Số mệnh đề đúng là? A. 5. B. 3. Hướng dẫn giải Chọn C.

f

'(

) 0

0x ,

x  và hàm số f(x) có đạo 0

Câu 22: Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b) chứa điểm

0x .

hàm cấp 2 tại điểm

Xét các mệnh đề sau:

f

"( ) 0

x  thì

0x là điểm cực đại của hàm số f(x).

(1) Nếu

f

"( )

x  thì 0

0x là điểm cực tiểu của hàm số f(x).

(2) Nếu

f

"( )

x  thì 0

0x không là điểm cực trị của hàm số f(x).

(3) Nếu

f

"( )

x  thì 0

0x là điểm cực trị của hàm số f(x).

(4) Nếu

)

f

"( ) 0

x  thì

f x là cực đại của hàm số f(x). 0(

(5) Nếu

24 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Cực trị

x  thì 0

f

)

f x là cực tiểu của hàm số f(x). 0(

(6) Nếu "( )

Số mệnh đề đúng là?

A. 6 B. 4 C. 5 D. 2

Hướng dẫn giải:

Các mệnh đề đúng là 1,2,5,6

0x thuộc khoảng (a,b).

Câu 23: Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a,b) và

)

f(x)

)

  x

a b ( , )

f x  0(

f x 0(

(1) Nếu , thì là giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên khoảng (a,b).

)

f(x)

)

  x

a b ( , )

f x  0(

f x 0(

  x

a b ( , ) \

(2) Nếu , thì là giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên khoảng (a,b).

f(x)

)

 0 x

f x  0( )

f x là cực đại của hàm số f(x). 0(

  x

a b ( , ) \

(3) Nếu , thì

)

f(x)

)

 0 x

f x  0(

f x là cực tiểu của hàm số f(x). 0(

(4) Nếu , thì

Số mệnh đề đúng là?

A. 0 B. 2 C. 1 D. 4

Hướng dẫn giải:

Các mệnh đề đúng là 1,2,3,4

y



f x ( )

y



f x '( )

2

Câu 24: Cho hàm số . Đồ thị của hàm số như hình vẽ bên

y



2 ( ) x

f x



Đồ thị của hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 4 B. 2 C. 3 D. 5

2

f x  2 ( ) x

Hướng dẫn giải:

Xét hàm số g(x)=

25 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

x   hoặc 2 2

4x  (quan sát đồ thị)

g x '( )



x 2 '( ) 2 x



f



0

  x

f

x '( )

BBT

Từ bbt ta có đt hàm số y= g(x) có 3 điểm cực trị

y

f

f





 x . Đồ thị của hàm số

  x như hình dưới

 f x xác định và có đạo hàm đây. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Câu 25: Cho hàm số

y



; 2



A. Hàm số .

y

   . ; 1

B. Hàm số

y

C. Hàm số

y

f x đồng biến trên khoảng    f x đồng biến trên khoảng   f x có ba điểm cực trị. f x nghịch biến trên khoảng  

   

0;1 .

D. Hàm số

Hướng dẫn giải C. Chọn Ta có bảng biến thiên

3

A, B, D sai, C đúng.

x



23 x



9

x



1

y

Câu 26: Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là A và B . Điểm nào dưới đây thuộc

P

1; 10N

1;10

. B. . C. . D. .

 đường thẳng AB ? 1; 0  A.

  0; 1M





 Q



2

2



Hướng dẫn giải



3

x

x

  

1

y

3

x



6

x



9

 y .



x

y



8

x



2

y . Ta có:

Chọn 3 x y  C.  9

1 3

  

   y

8

x



Lấy y chia cho

1 3 Vậy đường thẳng AB có phương trình là

1; 10N

.

  

2 

3

Thay tọa độ các điểm trong đáp án vào thì thỏa.

x   

y



5

23 x OAB với O là gốc tọa độ.

Câu 27: Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là A và B . Tính diện tích S của tam giác

26 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Cực trị

9S

5S

10S

S

10 3

A. . B. . C. . D. .

3

2





3

y    

5

3

x



6

Hướng dẫn giải

x

Chọn x y   C. 2 x

y    0 0 2  x x 

A

B

2;9

OA



5;

d B OA ;



d B Oy ;



x

2



 0;5 ;













B

Khi đó ta có 2 điểm cực trị . Ta có

S



;

.



.5.2 5



 OA d B Oy



1 2

1 2

. Diện tích tam giác OAB là

y



x

3 3 

x

2

 có 2 điểm cực trị A , B . Tìm tọa độ trung điểm M của đoạn

Câu 28: Đồ thị của hàm số

2; 0M 

 M 

1; 0

 M 

2; 4

B. . C. . D. . thẳng AB .   M  . A. 0; 2

Lời giải

 

y

     .

3 0

1

x

Chọn A TXĐ: D   . 23 x

 A  và 1; 4



 B 

1; 0

 M  0; 2



3

Suy ra tọa độ 2 điểm cực trị là . Vậy

y



x



26 x



9

x

 có 2 điểm cực trị A , B . Tính độ dài đoạn thẳng AB .

1

AB 

5

AB 

2 5

AB 

4 2

AB 

2 2

Câu 29: Đồ thị hàm số

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

2

y

 

3

x



12

x

Chọn D TXĐ: D   .

B

1;3A 



  . 3; 1

1 3

x       9 0 x

AB 

2 5

. Suy ra tọa độ 2 điểm cực trị là và

Vậy .

y



2 5  x  x 2

y

x 2

y

 

2

x

Câu 30: Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A , B . Hỏi đường thẳng đi qua hai điểm A , B

x .

x  .

là? A. . B. . C. 2 y D. 2 y

Lời giải

x

Chọn A TXĐ: D   .

y





2

x

x

 

  2 5   2

2

x

1

Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị là .

y



  x  2 x

5

AB 

2 5

AB 

2 15

AB 

2 13

Câu 31: Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A và B . Tính độ dài đoạn thẳng AB .

AB  .

A. B. . . D. .

C. Lời giải

Chọn C.

27 | VD_VDC

Tài liệu Vted_2018

2

2



2

2

x

x

  x

 1





4

1



 1



 

y

2

Ta có .

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19   2

x

x



2

x 

 x 2 

 x 

 

    x

2

3

    y

3 2 3

y 

0

  x

2 4

x

 

1 0

x

   2

3

y

  

3 2 3

  

  

2

2

.

AB 

2 3



4 3



2 15









4

Suy ra .

y



x



28 x

 có ba điểm cực trị A , B , C . Gọi S là diện tích tam giác

2

ABC . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Câu 32: Đồ thị hàm số

S 

16

S 

32

S 

4 2

S 

8 2

A. . B. . . D. .

C. Lời giải

A

2; 14

C

 2; 14

0; 14

Chọn D.

y

 

34 x



16

x



0



0;2

 B  







 M 



 x 0     2 x 

Ta có , , và là

trung điểm của BC .

AM 

16

BC  suy ra 4

S



AM BC .



.4.16 32



1 2

1 2

4

2

y

 

2

x



4

x

3

Ta có , .

 có ba điểm cực trị A , B , C . Gọi R là bán kính đường tròn

Câu 33: Đồ thị hàm số

ngoại tiếp tam giác ABC . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

R 

R 

5 R  . 4

5 R  . 2

5 2

5 4

A. B. C. . D. .

Lời giải

A

Chọn B.

y

  

38 x



8

x



0



0;3

 B 

1;5

1;5C 

0;5M 

x  0     x 1 

2

AB AC



2 1



2



5

Ta có , , và .

BC  và 2

AM  .

2

.

.

S



AM BC .



  R

Ta có ,



5. 5 2.2

5  . 4

1 2

AB AC BC R 4

AC AB . AM 2

y



Suy ra

 f x



y



Câu 34: Cho hàm số xác định và liên tục trên  có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ

 f x



Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 2 . C. 3. B. 4. D. 1.

Hướng dẫn giải

28 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Cực trị

3

2

Chọn B.

y



x



5

x



x

 1



Câu 35: Cực đại của hàm số

.

148 27

5 3

B. D. A. 1. C. 4.

Hướng dẫn giải

2

2 .



 1

2

y

 ' 3

x

  5

2

 x x x



2

2



 1

2

Chọn C.

y

    ' 0 x 3

5

2

1  x x x



1

 

1

x

2

1

(1)

x  thì (1)

   

5 2

3

x

x

5 3

    x 

1

2

1

Nếu

x  thì (1)

     5

2

3

x

x

 5 3

 x    x 

4

Nếu (loại)

1  y   .

y



Lập bảng biến thiên ta thấy cực đại của hàm số là

 f x



y



Câu 36: Cho hàm số xác định và liên tục trên  có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ

 f x



Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực đại?

C. 3. A. 2 . B. 4. D. 1.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

y



 f x



Câu 37: Cho hàm số liên tục trên R và có bảng xét dấu như hình vẽ

y



 f x



Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực đại.

A. 2 . B. 4 . D. 1. C. 3 .

Lời giải

Chọn A.

x   nên hàm số đạt cực đại tại

2

x   .

2

Đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua

y



'f

 f x





 x trên R . Đường cong ở hình vẽ bên là đồ thị của hàm

y



Câu 38: Cho hàm số có đạo hàm

 g x



 f x

 f x



  

 2   là

số . Số điểm cực trị của hàm số

29 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

B. 7 . C. 5 . D. 9 . A. 4 .

Lời giải

 

1

x 1 0

0

Chọn C.

  0





2

'

  g x '

  g x '

  f x f .

  x

f



0

   f x   x '

  

2

3

 x     x  x   1  x    x

Ta có ; .

x

0

3

1

2





1x

Bảng xét dấu

0

0

0

0

0

  'g x







+ + +

 g x



  

  2  f x  có 5 điểm cực trị.

C

y



y



f

'

y



f

"

x

Vậy hàm số

  ,



 f x



  x





C 1

2

3

, , . Câu 39: Cho 3 đường cong 

y







y

x

y

"

f

f

'

  C là đồ thị của các hàm số ,   f x

  x





Hỏi đồ thị các hàm số , , theo thứ tự, lần lượt tương ứng với

C

C

C

C

C

đường cong nào?

  ,

  ,

  ,

  ,

  ,

  ,

C . D. 



  ,

  ,



C 3

2

 C . 1

2

C 1

2

3

1

C 1

2

 C . 3

3

A.  B. 

C . C.  Lời giải

Chọn B.

30 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Cực trị

y



'g x đổi dấu

  g x '

 

0x , và

+ Nhận xét: Nếu đồ thì hàm số cắt Ox tại điểm có hoành độ

y



  g x

0x thì hàm số

0x .

khi qua đạt cực trị tại

2C đạt cực trị tại các điểm đồng thời là hoành độ giao điểm của 

1C và Ox .

+ 

1C đạt cực trị tại các điểm đồng thời là hoành độ giao điểm của 

3C và Ox .

+ 

y



y



f

'

y



f

"

x

  f x

  x





C



  ,

  ,

2

C 1

 C . 3

3

2

y



f x ( )



x



5

x



x

1 .

Vậy đồ thị các hàm số , , theo thứ tự, lần lượt tương ứng là

 Cực đại và cực tiểu của hàm số lần lượt là?



Câu 40: Cho hàm số

B. 4 và 4. C. 1 và 1. A. 1 và 5 . 3 D. 4 và 148 . 27

Hướng dẫn giải

3

2

x

x

5





(

x



1)

neáu x





      ; 1

 1;

f x ( )

D. Chọn + Tập xác định 

3

2





5

x

x

x



1 neáu x

  

 1;1

+

      1x  , ta có:

3

2

(1)

x



5



1)



 

1x 

 Hàm số không có đạo hàm tại

( ) f x x

 

f 1

x x

 

x ( 1

lim  1  x

lim  1  x

-Xét tại

x   , ta có:

1

3

2

x





1



 

x   1

 Hàm số không có đạo hàm tại





 ( ) f x  x

 ( 1) f 1

x  x 5  1 x

lim   ( 1)

x

lim   ( 1)

x

2

x



2

x



5

neáu x

      ; 1

 1;





/

f

x ( )

.

x 

-Xét tại

  \

 1;1

2

x



2

x



5

neáu x

  

 1;1

 3     3 

/

f

x ( ) 0

  

x

.

-Tại mọi thì

f

+

5 3 / ( ) x

+ Xét dấu

+Bảng biến thiên

31 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018



4

2

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số có giá trị cực đại là 4 và và giá trị cực tiểu là 148 . 27

x

y







f x ( )

x

.



1 2 và 2.





Câu 41: Cho hàm số Mệnh đề nào dưới đây đúng?

1 4 A. Cực tiểu của hàm số là 2 C. Cực tiểu của hàm số là 1 . 2

B. Cực tiểu của hàm số là 0. D. Cực tiểu của hàm số là 3 . 2

Hướng dẫn giải

/

3

D. Chọn + Tập xác định 

f

x ( )



x



x 2 .

0

 x 

/

f

x ( ) 0

2

  

2

x    x 

/ /

2

+ Hàm số có đạo hàm trên  và

f

x ( ) 3 x

 2.

f

(0)

 

.

x  , giá trị cực đại là

0

/ / (0)

f

    Hàm số đạt cực đại tại

2 0

1 2

f  (

2)

 

.

x  

2

+ Hàm số có đạo hàm cấp hai trên  và

/ / (



f

2)

   Hàm số đạt cực tiểu tại các điểm

4

0

3 2



, giá trị cực tiểu

Vậy hàm số đã cho chỉ có duy nhất một giá trị cực tiểu là 3 . 2

y



f x ( )



Câu 42: Cho hàm số Mệnh đề nào dưới đây đúng?

2 5  x  x 2 A. Cực đại của hàm số là 5. C. Cực đại của hàm số là 10.

B. Cực đại của hàm số là 1. D. Cực đại của hàm số là 2.

Hướng dẫn giải

Chọn C.

  2 \

2

/

x

5

f

x ( )



+ Tập xác định

x   và 2

4   x 2  x 2)

(

+ Hàm số có đạo hàm tại mọi

32 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Cực trị

/

f

x ( ) 0

1 x       x 5 

//

f

x ( )



.

x   và 2

18 

3 2)

(

x

//

f

(1)

0

   Hàm số đạt cực tiểu tại

1x  , giá trị cực tiểu là

f

(1)



2.

2 3

//

f

     Hàm số đạt cực đại tại ( 5)

0

x   , giá trị cực đại là

5

f   

( 5)

10.

2 3

+ Hàm số có đạo hàm cấp hai tại mọi

2

4



y



Vậy hàm số đã cho chỉ có duy nhất một giá trị cực đại là 10.

f

x



x



x



2

x



4

  f x







 1





Câu 43: Cho hàm số có đạo hàm . Số điểm cực trị của hàm số

y



  f x

là?

A. 3. B. 2 . C. 4 . D. 1.

Hướng dẫn giải

2

2

2



Chọn



f

x



x



2

x



2

  x

 1

 



f

Ta có . D. 

1x  .

 x



Khi đó chỉ đổi dấu khi đi qua

4

2

Do đó hàm só đã cho có 1 cực trị.

y



x



x



1 4

Câu 44: Cho hàm số . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

1 2 1  . 2

2

A. Cực đại của hàm số là B. Cực đại của hàm số là 0 .

3  . 2

C. Cực đại của hàm số là và 2 . D.Cực đại của hàm số là

y

 

Hướng dẫn giải

0

 x 

3

y

   0

x



2

x

0

2

A. 3 2x  x Chọn Ta có .

  

2

x    x 

.

Ta có bảng biến thiên.

33 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

1  . 2

Vậy cực đại của hàm số là

y



  f x

Câu 45: Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ

y



2

 có bao nhiêu điểm cực trị?

3

  f x

Đồ thị hàm số

B. 7 . C. 5. D. 9. A. 4 .

Hướng dẫn giải

Chọn B.

y



y



2



3

 f x

  f x

 3  2

Số điểm cực trị của hàm số bằng số điểm cực trị của hàm số .

y





C

  f x





3 2

Oy xuống dưới

Đồ thị của hàm số được suy ra từ đồ thị ban đầu bằng cách tịnh tiến theo trục

3 2

đơn vị.

y



 f x

C bằng cách giữ nguyên phần của 

C bên trên

 3  2

Đồ thị hàm số được suy ra từ 

C dưới trục Ox .

trục hoành; lấy đối xứng qua Ox phần của 

2

y

  x

2sin

x .

Dựa vào đồ thị suy ra số điểm cực trị là 7.

x

 



.

x

k

 2 ,

k

Câu 46: Điểm cực đại của hàm số

   ,  k k

  .

A. B.

x





 , k

k

  .

x

k

 2 ,

k

  .





 12  7 12

    6  7 6

C. D.

Hướng dẫn giải

y

  ' 1 2.2.cos .sin

x

x

Chọn TXĐ: A. D   .

34 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Cực trị

 

x





y

  ' 0

sin 2

x

 k   , k

1    2



 k

     x 

 12  7 12

y

" 4 cos 2



x

x

 



   ,  k k .

y





2 3



0



 12

 12

  

  k  

, suy ra hàm số đạt cực tiểu tại Ta có: "

x





   ,  k k .

y

"



 

2 3



0

 7 12

 7 12

  

  k  

2

, suy ra hàm số đạt cực đại tại

y

  x

2sin

x .

Câu 47: Điểm cực đại của hàm số

x

 



   ,  k k

.

x

k

 2 ,

k

  .

A. B.

x





 , k

k

  .

x

k

 2 ,

k

  .





 12  7 12

    6  7 6

C. D.

Hướng dẫn giải

y

  ' 1 2.2.cos .sin

x

x

 

x





y

  ' 0

sin 2

x

 k   , k

1    2



 k

     x 

 12  7 12

y

" 4 cos 2



x

Chọn TXĐ: C. D   .

x

 



   ,  k k .



y





2 3



0

 12

 12

  

  k  

, suy ra hàm số đạt cực tiểu tại Ta có: "

x





   ,  k k .

y

"



 

2 3



0

 7 12

 7 12

  

  k  

2

0; 2018 .

y

  x

2 sin

x

, suy ra hàm số đạt cực đại tại











trên khoảng  Câu 48: Gọi S là tập hợp tất cả các điểm cực đại của hàm số

412271 2

412699 2

1221798 6

A. B. . . C. . D. . Tính tổng tất cả các phần tử của S . 2468491 12

Hướng dẫn giải

x

 



 k

Chọn A.

y

  

1 4sin .cos

x

x

 

1 2sin 2

x

  

0

y

sin 2

x

  1     2



 k

 12  7 12

  x 

Ta có .

35 | VD_VDC

Tài liệu Vted_2018

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19 4 cos 2

 

x

y

y





4cos

k



2 3



0

 12

   6

    

  k  

  

  2  



y





4 cos



k

 

2 3 0



Do

x





 k

 7 12

 7 6

 7 12

  

  k  

  

  2  

nên hàm số đạt cực đại tại .

x



0; 2018

  0



 k



2018

  

0

k

641





 7 12



Mà

;...;

7699 12

, các phần tử này lập thành một cấp số cộng Ta có các phần tử của tập S là

  7 19 ; 12 12  7 12



641.



 642 2.  

   

T





có 642 số hạng với số hạng đầu và công sai d  .

 7 12 2

412271 2

3

2

y



x



c

. Do đó tổng của các phần tử tập S bằng





Câu 49: Cho hàm số có đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt. Hỏi số cực trị



y

  f x



của hàm số

A. 0 . C. 3.

ax bx   2 2 .   y y B. 2 .

D. 1.

Hướng dẫn giải

3

2









C.

f



 2 . y y



 2 . y y



2 .

y y

 

12

y

 

12

x



ax



bx



c

  x





3

2

Chọn Ta có

y



x



ax



bx



c

3

2

x



ax



bx

  có ba nghiệm đơn phân biệt.

0

c

Hàm số có đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt nên phương trình

f

 có ba nghiệm phân biệt và

  0 x

 f x đổi dấu qua các nghiệm đó



Chứng tỏ phương trình

  f x có 3 cực trị.

hay hàm số

36 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Cực trị

NHÓM GIẢI VẬN DỤNG CAO CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ - NĂM HỌC 2018-2019

VTED_2019 MÔN: TOÁN 12

3

y



x



23 x



9

x



15.

Thời gian làm bài 90 phút









8

y

x

y

:

:

  8

x



12.



:

y



12

x



:

y



12

x

Viết Câu 1. Gọi  là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

 . 8.

 . 8.

phương trình của đường thẳng  . A. 12. B. . . C. D.

,a m sao cho đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của hàm số

3

2

y



2

x



3

m



x



6

m



2

x

1

d y :

ax .

 song song với đường thẳng



 1





m

  2



m

  3



Câu 2. Tìm điều kiện của tham số

 a a

 0 .

 a a

 0 .

m

  

3



m

  

2



A. . B. .

 a a

 0 .

 a a

 0 .

2

3

2

b



ac 3



0,

y



ax



bx





0

C. . D. .

  cx d a

.C Biết

Câu 3. Cho hàm số tìm phương trình

 có đồ thị  .C

2

y



c



x d

 

.

đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của 

y



c



x

  d

.

2 3

b a 3

bc a 9

2 3

b a 3

bc a 9

  

  

  

  

2

y



c



x d

 

.

A. . B. .

y



c



x

  d

.

2 3

b a 3

bc a 9

2 3

b a 3

bc a 9

  

  

  

  

3

2

2

C. . D. .

y



ax



bx



cx

0







ac 3

.C Biết đường thẳng đi qua hai



 d b ,

Câu 4. Cho hàm số

bc .

ad

ab 3 .

cd



ad



bc 9 .

C. . D. . điểm cực trị đi qua gốc tọa độ c B. 9 A. 9 . có đồ thị  .O Mệnh đề nào dưới đây đúng? ab . .

,a m sao cho đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm

3

2

Câu 5. Tìm điều kiện của các tham số

ax

y



2

x



3

m



x



6

m



 1

  1 2

 m x

m



1



a



0

m



1



a



0

số . vuông góc với đường thẳng y









1 3

1 3

1 

a

1 a

  

  

  

  

m



1



a



0

m



1



a



0

A. . B. .









1 2

1 2

1 

a

1 a

  

  

  

  

3

2

3

C. . D. .

y



x



3

mx



4

m

,A B

Câu 6. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có hai điểm

1

cực trị sao cho tam giác OAB vuông cân tại O .

m   .

m   .

m   .

m  

1 4

1 2

1 2

3

2

2

A. B. C. D. .

y



x



2

mx



m



x

 luôn có hai cực trị

1

,x x . Tính giá trị 1

2



 1





 f x 2

Câu 7. Biết rằng với mọi m hàm số

k





  f x 1 x 1

x 2

2

2

biểu thức .

k



m 3



2

m



3

k



m 3



2

m



3









2 9

2 9

2

2

2

m



3

2

m



3









A. . B. .

k

 

k

 

9

9

C. . D. .

1 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

y



x

3 3 

x

5

,A B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

Câu 8. Gọi

Tài liệu Vted_2018  . Tính bán kính R của đường tròn

R 

5

R 

2 5

ngoại tiếp tam giác OAB .

5R  .

R 

10

3

y

23 x

8

x

x

A. B. . C. . D. .

    . Viết 6

Câu 9. Gọi  là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

   . 6

6

y

x

:

6

6

y

x

:

    . D. x 6

6

y

:

   . 6

6

y

x

:

phương trình của  .     . A. B. C.

3

2







y

2

x

m

x

m 6

y

Câu 10. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ

x  . 4

 3

  1

  1 2

 m x

thị hàm số là đường thẳng

1m  .

0m  .

m  .

m   .

1 2

1 3

A. B. C. D.

2

y

3   x mx

7

3

x

Câu 11. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ

  vuông góc với đường thẳng

y

 . 1

9 x 8

thị hàm số

m   .

6

m   .

1

m   .

12

m   .

10

A. B. C. D.

2

là khoảng cách nhỏ nhất giữa hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số Câu 12. Kí hiệu mind

y



3  x mx

x m

   . Tìm mind 1

1 3





.

. .

d B. min

d D. min

4 13 3

2 13 3

2  . 3

4  . 3

A. min d C. min d

3

2

x



y



x m

 nằm khác phía đối với đường thẳng y

x .

Câu 13. Tìm các giá trị thực của tham số m để điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số

m 3 2 0m  .

0m  .

0m  .

2m

 .

A. B. C. D. 0

3

y



x



3

2 2 x m x m



 đối xứng với nhau qua đường thẳng

y

1 x 2

5  2

Câu 14. Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số

m   .

1

0m  .

1m  .

m  .

1 2

3

2

 y mx

(2

1)

m

m





3

x

A. B. C. D.

1m  , đồ thị hàm số

  luôn có hai điểm cực trị và

 ; 3

;3

3;

K

K

K

K

Câu 15. Với mọi

 mx 3 gọi  là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị đó. Tìm điểm cố định K mà  đi qua. 1 2

1 2

1 2

1 2

  3; 

  

  

  

  

  

  

  

D. A. C. B. . . . .

,A B của đồ thị hàm

2

y



3 x mx - 3

 4

3 m

Câu 16. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hai điểm cực trị

m  

2.

m 

3.

m 

4.

1.

số cùng với gốc toạ độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4

m   .

3

2

2

2

A. . B. . C. . D.

x m -

- 3

m

- 3

m

m

m









2

2

y

x

x

 -1





 2 3

m 

1.

m 

4.

có hệ số góc bằng hàm số Câu 17. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị 

m   .

0;3 

 m  

1; 4

A. B. . C. . D. .

2 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Cực trị

2

3

y



3 x mx -



m

4 27

có hai Câu 18. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số

,A B cùng với gốc toạ độ tạo thành một tam giác có tâm đường tròn ngoại tiếp

điểm cực trị

I

(1; 2)

.

m



12.

6m 

m 

3.

m 

12.

4

2

4

y



x

- 2

mx



 m m 2

. B. . C. . D. . A. 0

có ba cực Câu 19. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

m 

3 3.

trị tạo thành một tam giác đều.

m 

2.

m 

3.

m 

3 2.

4

2

A. . B. . C. . D. .

y



ax



bx





0

,A B và C , khi đó tìm tung độ

 c a



Câu 20. Cho biết đồ thị hàm số có ba điểm cực

2

2

2

2

  c

  c

  c

  c

của điểm G là trọng tâm ABC

y G

y G

y G

y G

b 12

a

b a 6

b a 6

b a 12

4

y



4 2 x mx m m

 



A. B. C. D. . . . .

có ba điểm Câu 21. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

0120 .

m  

m  

m  

m  

3 3

cực trị tạo thành một tam giác có một góc bằng

1 3 3

2 3 3

4 3 3

4

2

y



x



2

mx



2

4 m m

A. . B. . C. . D. .

 có ba

Câu 22. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

m 

điểm cực trị đều thuộc các trục tọa độ.

1m  .

2m  .

3m  .

1 2

y



4  x mx

2 1  có ba điểm cực trị

A. B. C. . D.

Câu 23. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị thàm số

m   .

m   .

1

2

1m  .

2m  .

4

2

y



x



( 2

m



) 1

x



m 3

2

 có ba

tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1. A. B. C. D.

Câu 24. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân.

m  .

0m  .

1m  .

m   .

1 2

1 2

A. B. C. D.

2

x

1

y



Câu 25. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

x   2 x   . x 1 2

y

y

 

2

x

 . 1

y

 

2

x

 . 1

y

x 2

 . 1

y



A. B. C. D.

2;x x . Viết phương trình đườngthẳng đi

2   x mx n 2 1  x

Câu 26. Biết rằng hàm số có hai điểm cực trị 1

y



x n

y



x n

qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho.

 .

 .

B. D.

 A. y mx n

 .

 

mx n

 .

m 2

 m 2

2



x

 f x



2

f x (

)



C. y

k



2;x x . Tính

2   x m 2  2 x



x

  f x 1 x 1

2

Câu 27. Biết rằng hàm số có hai điểm cực trị 1

k  . 1

k   .

y   .

1

1 2

1 k  . 2

A. B. C. D.

3 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

4

2

y



ax



bx





0

 c a



Câu 28. Cho biết đồ thị của hàm số có ba điểm cực trị. Tìm bán kính R của

đường tròn ngoại tiếp tam giác có ba đỉnh là ba điểm cực trị đó.

R





R





R





R





21 b a 8

8 b

21 b a 4

8 b

21 b a 8

8 b

21 b a 4

8 b

4

2

 y mx



2

m



x

 1

A. . B. . C. . D. .



 1

Câu 29. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số

,A B C với A Oy và thỏa mãn OA BC

,

có ba điểm cực trị .

m 

m   .

m   .

m 

3 4

3 4

4 3

4 3

4

2

y



ax



bx



,



0

,

A. . B. C. D. .

,A B C với A Oy

 c a c



Câu 30. Cho biết đồ thị của hàm số có ba điểm cực trị

2

2

2

2

. Tìm hệ thức đúng trong các hệ thức sau.

  2

ac

b

b



4

ac

b



2

ac

b

  4

ac

4

y



x



2

m



3

2 x m

1

và thỏa mãn OB AC A. . B. . C. . D. .

  có ba điểm cực





Câu 31. . Tìm tất cả các tham số m sao cho đồ thị hàm số

3

3

3

  m 2 3.

3m 

3.

m

 

3.

trị là ba đỉnh của một tam giác đều.

m

3.

3   2

4

2

4

y



x



mx 2



 m m 2

A. . B. . C. . D. .

có ba điểm cực trijlaf ba Câu 32. Có bao nhiêu số thực m để đồ thị hàm số

3

2

2

đỉnh của một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1 A. 2.. C. 0. . B. 3. .

y



x



3

mx



3 x m m





m

3



 1

I

có Câu 33. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số D. 1. . 

1;1 

R 

5.

m

m

1;

.

m

m

  

1;

.

hai điểm cực trị cùng với điểm tạo thành một tam giác nội tiếp đường tròn có bán kính

3 5

3 5

3 5

3 5

   

 ;1 .  

   

  

   

 ;1 .  

  

  

A. . B. . C. . D. .

mx

1

y



Câu 34. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

2 2 x m     1 x 2

vuông góc với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất.

  . 1.

m



.

m

 

.

1 2

1 2

3

y



x



2 3  mx m 3

B. . D. . A. m 1. . C. m

Câu 35. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có hai điểm cực

C

1;

7 8

  

  

1

1

trị cùng với điểm tạo thành một tam giác cân tại C .

m   .

m   .

m  .

m   .

1 2

1 2

4

A. B. C. D.

y



x



2

m



2 x m

  có ba 3



 1

1 8

Câu 36. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

điểm cực trị cùng với gốc tọa độ là bốn đỉnh của một hình chữ nhật.

1m  .

2m  .

4m  .

m  .

1 2

A. B. C. D.

4 | VD_VDC

Chuyên đề_Cực trị

3

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19 2 3  mx m





2

y

x

 .

có hai điểm cực Câu 37. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

AOB 

4

m   2

m   6

m   2

trị A và B sao cho góc  120

m  

27 25

3 5

3 5

12 5

3

2

y



x



x



A. B. C. . . . D. .

m 9 2

3 m 27 2

có hai điểm Câu 38. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

3m  .

9m  .

0m  .

4





y

x

26 x

  4 x

6

,

C. B. cực trị A và B cùng với gốc tọa độ O là ba đỉnh của một tam giác vuông. D. A. Với mọi m .

,A B C . Hỏi ba điểm cực trị của



3 1 x  

2x

4

4

y

Câu 39. Biết đồ thị hàm số có ba điểm cực trị





  x

2

y

 23 x

2





y

3 x 

4

1 x 2

4

. B. A. . đồ thị hàm số thuộc đường cong nào dưới đây? 

y

x

 x 3

   . D. 2

4





y

x

2 2 m x 2

  2 m 1

C. .

Câu 40. Điều kiện đầy đủ của tham số m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị

0;1H 

là ba đỉnh của một tam giác có trực tâm là:

0m  .

4

4

A. B.





1

  2

2

m

 . 0

1

  2

2

m

 . 0

1m  .  2 m m



 2 m m



C. D.









m

4

1

m 2

y

x

Câu 41. Tìm tất cả các giá thực của trị tham số m để đồ

 21 x

120 .

m   1

m   1

m   1

1m  

thị hàm số  có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác có một góc bằng tập hợp  4

1 3 16

1 3 48

1 3 2

1 3 24

A. B. C. D. . . . .

2

2





y

3  x mx

m

x

Câu 42. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số

,A B sao cho

,A B nằm khác phía và cách đều



  1

1 3 đường thẳng

y

x  . Tính tổng tất cả các phần tử của S .

9

5

có hai điểm cực trị

A. 0 . B. 6 . C. 6 . D. 3.

3

2

2

y



x



2

m



x



1

 có hai điểm cực trị

, A B sao cho tam giác OAB có



 1



  m m x

1 3

1 2

Câu 43. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

2

2

diện tích bằng 2. Hỏi S có bao nhiêu phần tử nguyên. B. 0 . C. 2 . A. 1. D. 4 .

x

y







m

3  x mx

 có đồ thị là  1

mC . Biết rằng tồn tại duy nhất điểm

 1



Câu 44. Cho hàm số

m m 1

mC tương ứng với

và A là điểm cực tiểu ứng với

1

2

3

1 3 ,A a b sao cho A là điểm cực đại   m m 2 S  . 1

S   .

. Tính a b

S   .

S   .

B. A. C. D.

3

2

y



x

3 m

4



mx 3

Câu 45. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số

, A B nằm cùng một phía và cách đều đường thẳng

x

y 2

   . Tổng các phần tử của S là

1 0

có hai điểm cực trị

5 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

1  . 2

1 2

C

B. D. . A. 0 . C. 1.



5;9 .

2

2

Câu 46. Cho điểm Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

x

y



3  x mx



m



,A B sao cho tam giác ABC cân tại C . Tính



 1

1 3

có hai điểm cực trị

.



.

.

15 2

15 2

y

3 3 

x

1

mx

 (với

0m  là tham số thực). Gọi d là đường

B. . C. . D. . A. 0. . tổng tất cả các phần tử của S . 9 2

mC là đồ thị của hàm số

Câu 47. Cho 

1;0

 I 

 mC . Đường thẳng d cắt đường tròn tâm

bán kính

D. 0 . C. 3. thẳng đi qua hai điểm cực trị của  3R  tại hai điểm phân biệt A , B . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m sao cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất. Hỏi S có tất cả bao nhiêu phần tử? A. 1. B. 2 .

3

2

2

y



x



mx 3



3(

m



1)

3 x m m



 có hai điểm cực trị

,A B sao cho

Câu 48. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số



2.

OA OB

.S

Tính tổng tất

3

2

y



x



bx



cx d

cả các phần tử của A. 6 . B. 6 . C. 3 . D. 0 .

 có hai điểm cực trị và gốc tọa độ nằm trên đường

Câu 49. Biết đồ thị của hàm số

S



 bcd bc

.

B. 6 .

 d 3 D. 6 .

4

2

thẳng đi qua hai điểm này. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A. 4 . C. 4.

y



2

x



2

mx



m 3 2

Câu 50. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

 

3

có ba điểm cực trị cùng với gốc tọa độ tạo thành một tứ giác nội tiếp. Tính tổng tất cả các phần tử của S .

 A. 2 2 3

. B. 2 . D. 0 . C. 1 .

0;2017 để đồ thị hàm số



3

2

m 3

m













2

2

2

y

x

x

Câu 51.

,A B nằm về hai phía của trục

 1









có hai điểm cực trị [2D1-3] Hỏi có tất cả bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn    x m

 y mx

3 3 

x

B. 2015 . C. 2013. D. 2012 . hoành? A. 2014 .

Câu 52. [2D1-3] Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

,A B sao cho tam giác ABC đều với

2;1C 

có hai điểm cực trị . Tính tổng tất cả các phần tử

.S

của

1 3

4 3

2



y

3  x mx

34 m

B. . C. . D. 3. A. 0 .

 điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 4 với O là gốc tọa độ.

m

 

1;

m

Câu 53. có 2 [2D2-3] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

0m  .

1m  .

 . 1

m

 

;

m



1 4 2

1 4 2

A. B. C. . D.

6 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Cực trị

4

2

y



x



2

mx

3

1m

Câu 54. có 3

 .

1m  .

0m  .

m



0

4

y

 

34 x



mx 4

[2D2-3] Tìm tất của các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số điểm cực trị tạo thành 1 tam giác có diện tích nhỏ hơn 1. B. 0 A. D. C. .





 2 4x x m



4

2

y



x



mx 2

Câu 55. Ta có Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

2 1

có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp bằng

1m  .

m 

2 2 2

 .

m 

2

m 

2 1

 .

2

4

y

x

x

6

3





2

A. B. C. . D.

,B C là điểm

 , có đồ thị 

C . Gọi A là điểm cực đại của 

,B C đến d .

C ; C . Gọi d là đường thẳng đi qua A và S là tổng khoảng cách từ

Câu 56. Cho hàm số

4



6



cực tiểu của  Tính tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của S .

A. . B. .

 C. 4 4 5

2

4 5 5

3 10 5

4

2

y



x



m 3



x

3

 có ba điểm cực

. . D. 2



 1

Câu 57. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số

2 3

trị tạo thành một tam giác cân có độ dài cạnh đáy bằng độ dài cạnh bên.

m   .

m   .

m  .

5 m  . 3

3 5

3 5

5 3

3

y



x



23 x

2

C. A. B. D.

 có hai điểm cực

2

2

2

:

x



y



mx my m 2





4

5

  1 0

Câu 58. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số



mC

1

m 

1

trị nằm về hai phía của đường tròn 

m  .

m  . 1

   . 1 m

5  . 3

3 5

3 5

5 3

A. B. C. D.

3

2

y



x



mx 3



6

3 m

Câu 59. [2D1-3] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của

đồ thị hàm số tạo với trục hoành góc 45 .

m   .

1

m

 

1;

m

 . 1

m

 

;

m



m  

1 2

1 2

1 2

A. B. . C. D. .

4

2

4

 có các điểm cực trị đều nằm trên các trục tọa độ.

Câu 60.

2    x    ;0

mx   2

2; 2

  2

   ;0

. . . [2D1-3] Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y A.  D.  2 . C.  B. 

----------HẾT----------

7 | VD_VDC

Tài liệu Vted_2018

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19 NHÓM GIẢI VẬN DỤNG CAO

CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ - NĂM HỌC 2018-2019

VTED_2019 MÔN: TOÁN 12

Thời gian làm bài 90 phút

Đề đã thay đổi thứ tự câu (sắp xếp theo độ khó tăng dần) so với đề gốc

BẢNG ĐÁP ÁN THAM KHẢO

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

3

y



x



23 x



9

x



15.

HƯỚNG DẪN GIẢI

Viết Câu 1. Gọi  là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số









8

x

y

y

:

:

  8

x



12.



:

y



12

x

 8.



:

y



12

x

 8.

B. C. D. phương trình của đường thẳng  . A. 12.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

3

2

y



x



3

x



9

x



15.

2

 y' 3

x



6

x



9.

y

'

x   1      0 x 3

Ta có:

A



B



 1; 20 ,



  3; 12 .

y



ax b .

Đồ thị có 2 điểm cực trị là

 Ta có:

12

  

a

  8



   a b

20



12

3 a b   

  b 

Gọi phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là

y

 

8

x



12.

2

. Vậy phương trình của đường thẳng  là

m







6

2

3

x

x

y

,a m sao cho đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của hàm số 

 song song với đường thẳng

1

2

x

ax .

d y :



 1





m

  2



m

  3



Câu 2. Tìm điều kiện của tham số 3  m

 a a

 0 .

 a a

 0 .

m

  

2



m

3

  



A. B.

 a a

 0 .

D. C.

  a a 0 . Hướng dẫn giải

Chọn C.

8 | VD_VDC

Chuyên đề_Cực trị

Ta có phương trình đường

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19 là:

2

y



c



x

  d

.

2 3

b a 3

bc a 9

  

  

2

2

trị có dạng thẳng  đi qua hai điểm cực

y

m



6

m



9

x

 

m



3

m

 3.

  



Suy ra

:d y

ax

2

6

m

  9

a



m

2

m 3

  3

0

m





2

6

m

  

9

a

0.

      m

   .a

m

a

3

nên: Vì đường thẳng  song song song với đường thẳng

   .

a  thì 0

2

3

2

b

ac 3



0,

Với

ax

bx







y

  cx d a

.C Biết

Câu 3. Cho hàm số tìm phương trình

2

y



c



x d

 

.

có đồ thị   0  .C đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của 

y



c



x

  d

.

2 3

b a 3

bc a 9

2 3

b a 3

bc a 9

  

  

  

  

2

y



c



x d

 

.

A. B.

y



c



x d

 

.

2 3

b a 3

bc a 9

2 3

b a 3

bc a 9

  

  

  

  

C. D.

Hướng dẫn giải

3

2

y



ax



bx





0

  cx d a



2

y

 ' 3

ax



bx 2



c .

2

 

b



ac 3 .

2

b



ac 3



0,

'

0

Chọn B.

'y đổi dấu khi đi qua 2

2,x x và

1

Với phương trình

x



y  có 2 nghiệm phân biệt  ; y , B 1

 ; y . 2

 A x 1

2

nghiệm đó nên đồ thị có 2 điểm cực trị

'y ta được:

Lấy y chia cho



 nên ta có

0





 y x ' 1

 y x ' 2

2



c



  d

y 1

x 1

2 3

b a 3

bc a 9

2

y



c



  d

2

x 2

2 3

b a 3

bc a 9

     

     

      

2

y



c



x d

 

.

Vì

C là:

2 3

b a 3

bc a 9

  

  

Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của 

9 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

3

2

2

y



ax



bx



cx

0







ac 3

Câu 4. Cho hàm số

Tài liệu Vted_2018 .C Biết đường thẳng đi qua hai



 d b ,

ad

ab 3 .

cd



ad



bc 9 .

C. D. điểm cực trị đi qua gốc tọa độ c B. 9 A. 9 có đồ thị  .O Mệnh đề nào dưới đây đúng? ab .

bc . Hướng dẫn giải

Chọn A.

2

y



c



x

  d

.

2 3

b a 3

bc a 9

  

  

2

y



y

'.g



c



x d

 

.

  x

2 3

b a 3

bc a 9

  

  

Ta có phương trình đường trị có dạng là: thẳng  đi qua hai điểm cực

d



  0

9

ad



bc .

bc a 9

2

Vì đường thẳng đi qua hai điểm cực trị đi qua gốc tọa độ O nên:

ax

m

m







6

2

3

y

x

x

,a m sao cho đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm  m x

 1



m



1



a



0

m



1



a



0

số . vuông góc với đường thẳng y Câu 5. Tìm điều kiện của các tham số  3  1 2 









1 3

1 3

1 a

1 

a

  

  

  

  

m



1



a



0

m



1



a



0

A. . B. .









1 2

1 2

1 a

1 

a

  

  

  

  

C. . D. .

Lời giải

y

 



6

m



x



6

m

m



 1

  1 2



1

2

Chọn Ta có: . A. 26 x

y



y

'.

m



6

m



x m m 6







m



 1 1 2



   9

 1

x m   6 3

  

  

y

29 m



6

m



x m m







m

Khi đó: .



 1 1 2



  

 1

3

2

Do đó đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là: .

y



2

x





x



6

m

3

m

 1

  1 2

 m x

Vì hai điểm cực trị của đồ thị hàm số vuông góc với đường

 ax

y

0

0

2

thẳng nên



9

m



6

m



a

m 3

1



    

2 1



 1

m 3

   1

m



1   a

1 3

1 a

1 a

 a    

  1 

  

 a    

3

2

3

.

y



x



3

mx



4

m

Câu 6. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có hai điểm

1

cực trị sao cho tam giác OAB vuông cân tại O .

m   .

m   .

m  

1 4

,A B 1 2

1 2

B. . C. D. A. m   .

Lời giải

Chọn B.

10 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Cực trị

3

A

m

2



y



3

x



6

mx

  0

m

 2 ; 0

 0; 4  B m



   x 0     x 2 

Ta có: .

0m  .

0(

loai

)

6

2

m



4

m

Để hàm số có hai cực trị thì





m



0

 16   

 OA OB      . OA OB  

1 2

 m     m 

. Vì tam giác OAB vuông cân tại O nên

m  

1 2

3

2

2

Vậy .

y



x



2

mx



m



x

 luôn có hai cực trị

1

,x x . Tính giá trị 1

2



 1





 f x 2

Câu 7. Biết rằng với mọi m hàm số

k





  f x 1 x 1

2

2

biểu thức .

k



m 3



2

m



3

k



3

m



2

m



3



x 2 





2 9

2 9

2

2

2

m



3

2

m



3









A. . B. .

k

 

k

 

9

9

C. . D. .

2

Lời giải

y

 



4

 mx m

 . 1

2

2

3

Chọn Ta có: D. 2 x 3

y



y

'.



m



x



m



m



1

x 3

2 9

m 9

2 3

2 9

2 9

  

  

    

  

2

2

y



x



3 m



m



1

Khi đó: .

m 9

2 3

2 9

2 9

    

  

2

2

2

2

3

3







m



m

  

1



x



m



m



1

x 1

2

m 9

2 3

2 9

2 9

m 9

2 3

2 9

2 9



2

  

  

  

Do đó đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là: .

k





   x



 

 f x x

x 1

2

  f x 1 x 1

2

2

2

2

m



3

2





Nên

   k

m 9

2    3

9

y



x

3 3 

x

5

.

,A B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

 . Tính bán kính R của đường tròn

R 

5

R 

2 5

R 

10

Câu 8. Gọi

5R  .

ngoại tiếp tam giác OAB . A. B. . C. . D. .

Lời giải

y

 

     

3 0

1

x

A

B



1; 7

  1;3 ,





2

2

AB

A. 23 x Chọn Ta có: .

OA



10,

OB



5 2,

AB



2 5



cos

 AOB







2   OA OB OA OB 2. .

40 20 5

2 5

Khi đó: .

11 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018



sin



1





OA OB . .

.sin

. 10.5 2.

 . 5

 AOB



 S

OAB

 4  AOB 5

5 5

1 2

5 5

1 2

.

R





 5

10.5 2.2 5 4.5

OA OB AB . S 4

OAB

3

y

8

x

x

23 x

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB là:

    . Viết 6

6

y

x

:

Câu 9. Gọi  là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

   . 6

    . D. x 6

6

y

:

   . 6

6

y

x

:

6

6

x

y

:

B. C. phương trình của  .     . A.

Lời giải







y

x

y

  6 x

6

 

y

23 x

6

x

Chọn A

  . Ta có 6

   

   

1 3

1 3

Đạo hàm . Do đó đường thẳng đi qua hai

y

x   .

6

6

điểm cực trị là

3

2







y

2

x

m

x

m 6

y

Câu 10. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ

x  . 4

 3

  1

  1 2

 m x

thị hàm số là đường thẳng

1m  .

0m  .

m  .

m   .

1 2

1 3

A. B. C. D.

Lời giải

 



y

26 x

6

m

m

Chọn C

   6 1

 m x

  1 2



y

   0

Đạo hàm .

1 2

m

  x m     x 

Ta có .

    .

m

1 2

m

m

1 3

2

Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị thì





c

y

x

  d

b a 3

2 3

bc a 9

    

     đồ

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là , do đó đường

2



9

m

3

m

m

m





 1 .6

  1 2









y

6

m

m

x

thẳng qua hai điểm cực trị của thị hàm số là

  1 2



2 3

9.2

    

  1   6  

9

m





6

m

m

  4

.

k   nên 4

    m 0 2

23 m

1

  1 2



2 3

    

 2 1   6  

1

Đường thẳng có hệ số góc

1 3

  m      m 

.

1m  .

d

  . Do đó 0

1 m   thì 3

bc a 9

Nhận xét

12 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19 Chuyên đề_Cực trị Câu 11. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ

2

y

3   x mx

3

7

x

  vuông góc với đường thẳng

y

 . 1

9 x 8

thị hàm số

m   .

6

m   .

1

m   .

12

m   .

10

A. B. C. D.

Lời giải

 



y

23 x

2

mx

Chọn B

 . 7

Đạo hàm

y  có hai nghiệm phân biệt

0

2

      . m

21

0

0

2

2

2

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi













k

c

7

21

m





2 3

b a 3

2 3

m 3

2 9

     

     

     

     



2      m

25

1

21

m

.

Hệ số góc đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là .



2

2 9

9 8

  5 m     m 5 

Ycbt tương đường .

2



là khoảng cách nhỏ nhất giữa hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số Câu 12. Kí hiệu mind

y

3  x mx

x m

   . Tìm mind 1

1 3

d 

.

d 

d  .

d  .

4 13 3

2 3

4 3

2 13 3

. . B. min D. min A. min C. min

Lời giải

{Ban đọc xem lại hai cách giải để chọn đáp án đúng}

y

2    x

mx 2

1

Chọn C

 . Nhận xét

y  có hai nghiệm phân biệt với mọi m .

0

Đạo hàm

2

2

b

2











AB

  1

c

.

m

m

 1

22 

 . 9 1



4 9

b a 3

2 3

 ac 3 2 a

2 3

4 9

     

2      

   

  1  

6

4

2





  AB

4

m

4

m

5

m

 4

2 3

3

2





  

2, t m t

0

Khoảng cách giữa điểm cực trị là hai

 . Ta có

AB

t 4

t 4

t 5

4,

t

 0

2 3

3

2

y

t 4

t 4

t 5

4

Đặt

    với

t  . 0



 

y

y

4,

0

y

212 t

t 8

0,

5

Xét hàm số

      . Do đó t

   . t

 0

Đạo hàm

d  .

AB  . Vậy khoảng cách nhỏ nhất hai điểm cực trị là min

4 3

4 3

Do đó

y

 

x

2 2 

mx

Chọn D.

 1

Ta có

13 | VD_VDC

Tài liệu Vted_2018

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19 Xét phương trình

y  hay 0

x

2 2 

mx

  1 0

  

m

m

2 1 0,    

 Hàm số luôn có cực đại, cực tiểu.





2

m

,x x là nghiệm của phương trình

y  0

2

x 2  

1

x 1 x x 1 2

   

2

y



3  x mx

   

x m

1

x









m



1

. Gọi 1

 1

 2 m x

1 3

1 3

2 3

1 3

2 3

  

  m y  

 Giá trị cực đại, cực tiểu của hàm số là:

 





m

 , 1

y 1

 1

2 m x 1

2 3

2 3

y

 





m

 1

2

 1

2 m x 2

2 3

2 3

;

;

 Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là







 A x y B x y , 2

2

1

1

2

2

2

2

2

2

2

 

d AB









m









m





4











x 1

x 2

x 1

x 2

x 1

x 2

x x 1 2

 1

 

 1



 

4 9

4 9

 1  

    

2





(1



m

2 2 )

4

m



4

1



.4









4 9

4 9

2 13 3

 1  

  

  

  

Ta có

0m  .



Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

d Vậy min

2 13 3

.

2

3

x .

x m

 nằm khác phía đối với đường thẳng y

x



y



Câu 13. Tìm các giá trị thực của tham số m để điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số

0m  .

0m  .

2m

 .

m 3 2 0m  .

B. A. D. 0

C. Lời giải

y

 

23 x



mx 3

Chọn C.

2

y

   

3

0

x

mx 3

Ta có .

 x 0     0 x m

0

 Để hàm số có cực đại, cực tiểu thì phương trình

y  có hai nghiệm phân biệt

0m  .

x

y m

0

Xét phương trình

   .

x m

   

y m

Với

3 m 2

Với

14 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Cực trị

3

0m  , đồ thị hàm số có hai điểm cực trị

 Với

0;

;



 A m B m m ,



m 2

  

  

x



y



.

x thì 



 0 

A

x B

A

y B

3

4

0



m m m

 

  

0

  

m

0

0

Để A và B nằm khác phia đối với đường thẳng y



m 2

m 2

  

  

Hay 

3

y



x



3

2 2 x m x m



 đối xứng với nhau qua đường thẳng

y

1 x 2

5  2

Câu 14. Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số

m   .

1

0m  .

1m  .

m  .

1 2

A. B. C. D.

Lời giải

2

2

y

 

3

x



6

 x m

Chọn B

2

2

Ta có

y  0

  3 x

6

 x m

 0

2

   

9 3m

  

9 3

2 m

  

0

3

  m

3

Xét phương trình





2

x 1

x 2

2

Để hàm số có cực đại, cực tiểu thì .

2,x x



x x 1 2

m 3

     

2

2

3

. Khi đó hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại 1

y



x



3

2 2 x m x m







x





2



1

x m

 

1 3

1 3

m 3

m 3

  

  y  

  

  

2

2

 Giá trị cực đại, cực tiểu của hàm số là

Ta có



2



1

 

y 1

x m 1

m 3

m 3

  

  

2

2

,

y



2



1



2

 x m 2

m 3

m 3

  

  

;

;

.

 Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là







 A x y B x y , 2

2

1

1

AB

d y :

 thì

.

1 x 2

5 2

 d   M d

Đề A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng , với M là trung

y

2

x 2

y 1

x 1

2

M

;

điểm của AB

M m m



2

 1;



 2

 2

  

  

2 m m

  

2

.1

  

2 m m

Ta có hay

1 2

5 2

 m 0      0 1 m 

Vì M d nên

15 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

2











; 2

 AB





)





x 2

x y ; 1

2

y 1

x 2

x 1

x 2

x 1

m 3

  

 1 (  

  

  



2;1

 du 

2

AB

0

Ta lại có

2





2



1



  

m

0

0









x (do 1

x 2

  AB u  . d

x 2

x 1

x 2

x 1

m 3

  

  

Vì d nên hay )

0m  thì A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng

d y :

1 x 2

5  . 2

3

2

 y mx

(2

1)

m





x

m

3

Vậy với

  luôn có hai điểm cực trị và

1m  , đồ thị hàm số

 ; 3

;3

3;

K

K

K

K

Câu 15. Với mọi

1 2

1 2

1 2

 mx 3 gọi  là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị đó. Tìm điểm cố định K mà  đi qua. 1   2 

  3; 

  

  

  

  

  

  

D. A. C. B. . . . .

Lời giải

2

y

 

mx 3



 mx m 6

2

Chọn C.

 1

2

y

   0

mx 3



6

 mx m

2

Ta có

  1 0

  

29 m



m m 3 (2

 

1) 3 (

m m

1) 0,

m

    1

 Với mọi

1m  , hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại 1

,x x . 2

10

m

3

2



 y mx



mx 3



(2

m



1)

x

  

m

3

x



y





Xét phương trình

1 3

1 3

2 2  3 3

 3

  

  

  

 m x  

10

m







 Giá trị cực đại, cực tiểu của hàm số là:

y 1

2 3

2 3

 3

  

 m x  1 

10

m







y 2

2 3

2 3

 3

  

 m x  2 

;

;

 Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là







 A x y B x y , 2

2

1

1

10

m

y







 Đường thẳng  đi qua A và B có phương trình

2 3

2 3

 3

  

 m x  

2

m



x



3

y m

 

10 0

Ta có:

 .



 1

;

hay

K x y là điểm cố định mà  luôn đi qua khi m thay đổi





0

0



2

m





3

 

10 0,

   m 1



 0 x 1

y m 0



2





3



10 0,

   1 m



 1

x 0

 m x 2 0

y 0

Gọi

16 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Cực trị

 

1 0

2

 

x 0





  K

;3

1 2





3



10



0

1 2

  

  

x 0 x 2 0

y 0

  

y



3

0

    

,A B của đồ thị hàm

2

 4

3 m

Câu 16. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hai điểm cực trị

cùng với gốc toạ độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4 B. D. C. .

3 x mx  y - 3 số m   2. A.

m   1.

4.

m 

m 

3.

Lời giải

 ' 3

x

y



6

mx

2

y

   ' 0

3

x

6

mx



0

0 2

m

 x    x

Chọn D 2

0m  .

3

A

(0;4

) , (2 ;0)

Để hàm số có 2 cực trị

,A B là:

m B m . Suy ra tam giác OAB vuông tại O

3

Toạ độ 2 điểm

S

  4

OA OB . .

  4

. 4

m m 2

 4

OAB



1 2

1 2      1

4 1

m

m

2

2

2

3

Ta có

x m -

- 3

- 3

m

m

m

m









2

2

x

y

x

 -1





 2 3

m 

có hệ số góc bằng hàm số Câu 17. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị 

m   1.

m 

4.

0;3 

 m  

1; 4

A. B. C. D.

2

Lời giải

x



6(

m



1)

x



(2

m



m 3



2)

2

2

    ' 0

9(

m



1)



3(2

m



m 3



Chọn C 2  ' 3 y

 2) 0

3

5

2

  m

m 3

   1 0

3

5

  m    m 

 2  2

2

2

1

(2

m



2)(

m



1)

Hàm số có 2 cực trị

y



(

).

y

 '

(



2

m



)

2 x m m

 



x m   3 3

 2 m 3

2 3

 m 3 3

  

  

2

2

(2

m



2)(

m



1)

y



(



2

m



)

2 x m m

 



Ta có:

 2 m 3

2 3

 m 3 3

2





2

m

(t/m)

Suy ra đường thẳng đi qua 2 cực trị là:

0 3

 2 m 3

 2 3

 m 2 2       m 3 3

2

3

y



3 x mx -



m

Hệ số góc bằng .

4 27

,A B cùng với gốc toạ độ tạo thành một tam giác có tâm đường tròn ngoại tiếp

(1; 2)

Câu 18. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số có hai



12.

6m 

m 

3.

m 

12.

B. C. D. điểm cực trị . I m A. 0

Lời giải

17 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

 ' 3

x

y



2

mx 2

y

   ' 0

3

x

2

mx



0

 x

0 m 2 3

   x  Để hàm số có 2 cực trị

0m  .

A

(0;

B ) , (

;0)

Chọn C 2

,A B là:

34 m 27

m 2 3

2

2

IA



IO

Toạ độ 2 điểm .



OAB

 

IA IB IO

I

(1; 2)

2

2

IB



IO

     

3

3

2



2)



5

   2

2

3 (t/m)

m 4 27

là tâm đường tròn ngoại tiếp







0 (l)

2

m    m

(



1)

 

4 5

   1

1

m 2 3

m 4 27 m 2 3

 1 (       

      

4

2

y



x

- 2

mx



4  m m 2

. Chọn C

m 

3 3.

có ba cực Câu 19. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

m 

3.

2.

m 

3 2.

C. D. B. . trị tạo thành một tam giác đều. m  A.

Lời giải

x



mx 4



4 (

2  x x m )

0m  .

Chọn A 3  ' 4 y

4

2

2

A

(0; 2

 m m

) , (

B m m m ;





2 ) ,

m

C

(



4 m m m



;



m 2 )

Hàm số có 3 cực trị Toạ độ 3 điểm cực trị là 4 .

2

  AI

BC

4 I m m (0;





m 2 )

Rõ ràng ABC cân tại A.

3 2

0 (l)

 m

2

2

4

Để ABC đều . Với là trung điểm BC



4

AI



3

BC



4

m



m 12

 

3

3 (t/m)

 m

4

2

.

,A B và C , khi đó tìm tung độ

y



ax



bx





0

 c a



Câu 20. Cho biết đồ thị hàm số có ba điểm cực

2

2

2

2

  c

  c

  c

  c

của điểm G là trọng tâm ABC

y G

y G

y G

y G

b a 6

b 12

b a 6

b a 12

A. B. . . C. . D. .

a Hướng dẫn giải

 



ab  .

0

f có ba cực trị 

0

Chọn A TXĐ: D   . 34 bx ax y 2 .

y

   0

 b 2 a

 x     x 

Khi đó

18 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Cực trị

2

2

ac

x

 

  y

 



  c

x

   và y

0

c

 

b

2 4 

ac

2

 4 a

 b 2 a

ab a 4

b a 2

2   4 b 4 a

Với với .

A

c B ,

 

;



,

C



;





0;

b a 2

 4 a

b a 2

 4 a

   

   

   

   

2

y





A

y C



  c

Vậy đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là .

y G

y B 3

b a 6

4

y



4 2 x mx m m

 



. Tung độ của điểm G là trọng tâm ABC :

Câu 21. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có ba điểm

0120 .

m  

m  

m  

m  

3 3

cực trị tạo thành một tam giác có một góc bằng

2 3 3

4 3 3

1 3 3

B. . C. . D. . A. .

Hướng dẫn giải

3

y

 

4

x



2

mx



2

x

2

2  x m

. Chọn C TXĐ: D R



ab

m

0

0

.

     .

2

2

4

Đồ thị hàm số có ba cực trị

B

 

;

m







;

m





m

 0;A m m

4

m 4

m 2

m 4

m 2

 4 m C ,  

  

  

  

2

4

Khi đó ba điểm cực trị: , .

BC



I

0;

m





m

m 4

  

  

2

Gọi I là trung điểm .

AI



,

BI

 

m 4

m 2

0

4

0

.

cot 60

  

BI

3

AI

 



3.



AI BI

m 2

m 16

  l 2 3 3

 m     m 

4

2

y



x



mx 2



4 m m 2

 có ba

Theo đề .

Câu 22. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số điểm cực trị đều thuộc các trục tọa độ.

1m  .

2m  .

3m  .

m 

A. B. C. . D.

1 2 Hướng dẫn giải

3

. Chọn A TXĐ: D R

y

 

4

x



mx 4



4



 2 x x m

0

0

4

2

4

2

A

ab 4 m m

0;2

.

B



; 2

;2









,

     . 

 m m m m C m m m m





0

4

2

  2

m m m



  0

  m

1

Khi đó ba điểm cực trị: , . Đồ thị hàm số có ba cực trị 

2

  l 3    m m

1 0

m   m  

y



4  x mx

Yêu cầu bài toán .

2 1  có ba điểm cực trị

1

2

Câu 23. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị thàm số

m   .

m   .

1m  .

2m  .

tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1. A. B. C. D.

Hướng dẫn giải Chọn B

19 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

3

y

 

4

x



2

mx



2

x

2

2  x m

. TXĐ: D R



.

     .

ab

m

0

0

2

2

Đồ thị hàm số có ba cực trị

B

 

;1



,

C



;1



A



0;1

m 2

m 4

m 2

m 4

  

  

  

  

2

Khi đó ba điểm cực trị: , .

BC



I

0;1



m 4

  

  

2

. Gọi I là trung điểm

AI



,

BC



2



m 2

m 4

2

5

2

S



AI BC .

  2

.2

m

2

4

ABC

1 2

m 4

m        . 2

m 2

4

2

y



x



( 2

m



) 1

x



m 3

2

 có ba

.

Câu 24. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân.

m  .

0m  .

1m  .

m   .

1 2

1 2

A. B. C. D.

Lời giải

3

m  

Chọn A

y

'



4

x



( 4

m



) 1

x



4

  . Đồ thị hàm số có 3 cực trị

 2 x x m

2

.

A

0;3

m





1;1



2 m m C



,



m



1;1



 m m

 

ABC



 2 ,

 1  B m

  1 * 





Khi đó 3 cực trị là: cân

m

L

4

đỉnh A, BC//Ox. Để hàm số có có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân đỉnh A

  . AB AC



m

0



m

1 0

    

   

 1

0

  TM

  1 



 m

.

2

x

1

y



Câu 25. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

  x 2 x   . x 1 2

y

y

 

2

x

 . 1

y

 

2

x

 . 1

y

x 2

 . 1

A. B. C. D.

Lời giải

2

 1 '



y





2

x



1

Chọn D



x

x 

  x  2 '

y



Ta có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là:. .

2;x x . Viết phương trình đườngthẳng đi

2   x mx n 2 1  x

Câu 26. Biết rằng hàm số có hai điểm cực trị 1

qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho.

y



x n

 .

y



x n

 .

 .

 

mx n

 .

 m 2

m 2

B. D. A. y mx n  C. y

Lời giải

2



mx



 2 1

Chọn B

y

'





 

1

x x 1 2

2

x



 

  n x m 2  1

.

20 | VD_VDC

Chuyên đề_Cực trị

Hai điểm cặc

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19 là:





x 2



;1

;1



;

 MN







;

 u  

1;

trị

x 2

x 1

m 2

  

  

m x 2 1

 m x 1 x x 2 1 2

 M x  1 

 N x  2 

  

  

  

 m  x 2  2 phương của MN vậy chọn. B.

2



x

 f x



2

f x (

)



là vectơ chỉ

k



2;x x . Tính



x

2   x m 2  2 x

  f x 1 x 1

2

Câu 27. Biết rằng hàm số có hai điểm cực trị 1

k  . 1

y   .

1

k   .

1 2

1 k  . 2

D. A. B. C.

Lời giải

2



4

2

x





y

'





Chọn A

x x ; 1 2

2



2

2

x



2



 2 2  x    0

2

là hai nghiệm của phương Ta có

  2



 m x

 m x  x x 1 2

2

2

2

2

x 2









  1

  1







 f x 1

 f x 2

x 1 2

 x 1

 x 2 x 2 2

1 x 1

1 x 2

 x 1 x x 1 2





 f x 2

x 2

k





.







1 

 1 2

  f x 1 x 1

x 2

 x 1 x x 1 2

x 1

x 2

1 x x 1 2

trình:

2

2

x



4



2

f

'

  

0

x

2



 

f

'



Cách 2:

  x



 m x

  2 0 *

  x

2



2

  2 2  x

 m x 2 

Ta có ; .





2



8

m

     suy ra hàm số

0,

m

 f x luôn có hai điểm cực trị



  *

,x x với 1 2



2;

  . 2

 x mọi m và 1

2   x m 2

x x 1 2

2

2





2



4

x 2

x x 1 2

k



 

 

.

Mà

 2

1 2

2

12 4   m 2   m 4 12



2





2



4

m  m



 

 2 2 x x 1 2

x 1

x 2

x x 1 2

 m x 1   

 

4

2

y

ax

bx







0

Khi đó

 c a



Câu 28. Cho biết đồ thị của hàm số có ba điểm cực trị. Tìm bán kính R của

R

R

R













R





 đường tròn ngoại tiếp tam giác có ba đỉnh là ba điểm cực trị đó. 8 b

21 b a 4

21 b a 8

21 b a 8

8 b

8 b

21 b a 4

8 b

A. C. B. . . . D. .

Lời giải

0

3

2

Chọn A

y

 ' 4

ax



bx 2



2

x

2

ax



  ' 0

2



 b y ;

 

x

b a 2

 x   

Ta có .



 . 0

b a 2

Để hàm số có ba cực trị, điều kiện là

21 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

A

,

,A B C

,



0; c

Gọi là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số và giả sử

B

 

;



,

C



;



 

b

2 4 

ac

b a 2

b a 2

   4 a 

   

   4 a 

   

2

4

H

0;



  AH

;

 AB AC





với .

2

b a 16

b a 2

 4 a

b a 4

  

  

.

.

2

2

4

Gọi H là trung điểm của BC . Ta có:

S



AH BC .





4

R AH .



AB



ABC

1 2

AB BC CA R 4

2

2

2

4

2

2

Ta có



4

R

.





  R



2

b a 4

b a 16

b a 2

1 8

b a

8 b

  

  

  

  

4

2

 y mx



2

m



x

.

 1



 1

,

,A B C với A Oy và thỏa mãn OA BC

Câu 29. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số

.

m 

m   .

m   .

m 

3 4

4 3

4 3

A. . B. C. D. . có ba điểm cực trị 3 4

Lời giải

Chọn B

0m  hàm số có một cực trị. Không thỏa mãn bài toán.

0

2

*) Với

0m  , ta có

y

 ' 4



m



y

  ' 0



1

m

2

 x mx 

  1 ; 

x



 m

 x   

m

  1



1

m

0

*) Xét .

m

0

 m

   

1

m

1

m

Để hàm số có ba điểm cực trị, điều kiện là

A

B

;

,

C

;

y



  0; 1 ,

y 0

0

 m

 m

   

   

   

   

1

m

2

2

. Do A Oy , nên gọi

OA



BC

 

1 4.

   (thỏa mãn)

m

 m

4 3

Theo giả thiết

m   .

4 3

4

2

y



ax



bx



,



0

,

Vậy

,A B C với A Oy

 c a c



Câu 30. Cho biết đồ thị của hàm số có ba điểm cực trị

2

2

2

2

b

b



4

ac

b



2

ac

b

  4

ac

. Tìm hệ thức đúng trong các hệ thức sau. và thỏa mãn OB AC A.   ac 2 . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

22 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Cực trị

0

3

2

y

 ' 4

ax



bx 2



2

x

2

ax



  ' 0

2



 b y ;

 

x

b a 2

 x   

Ta có .



 . 0

b a 2

A

,

Để hàm số có ba cực trị, điều kiện là

B

 

;



,

C



;



 

b

2 4 

ac



0; c

b a 2

b a 2

   

   4 a 

   

   4 a 

2

4

b

ac

AC





với Do A Oy , nên giả sử .

OB

 

,

2

b a 16

b a 2

b a 2

2 4  a 4

  

   

ac



0

2

2

2

2

Ta có

OB



AC

  b

4

ac

b

2

b



2

ac

    

2

,

b



2

ac

Theo giả thiết

a c  nên 0

4

y



x



2

m



3

2 x m

1

Do .

  có ba điểm cực





Câu 31.

3

3

3

  m 2 3.

3m 

3.

m

 

3.

m

3.

. Tìm tất cả các tham số m sao cho đồ thị hàm số trị là ba đỉnh của một tam giác đều.

3   2

A. C. D. B.

Lời giải

3

y

 ' 4

x



m



3

x

Chọn B

 2 2



0

y

  ' 0

m

2

x



 x   

 3 2 2

m

Ta có:

  

m

0

.

 3 2 2

3 2

 Điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

2

2

m



4

m



13

m

 4

m



13

A

0;

  m

B

;

, C



;



 1 ,

 3 2 2

 m 8 4

 3 2 2

 m 8 4

   

   

   

   

2

2

12

m

m

m





4.

Để hàm số có 3 điểm cực trị thì

  9 4 4

 3 2 2

  

  

m

m

4



3





3.

 

3 2

m



3 2 3

  

m

3.

 3 2 16

 3 2 2

3 2

4

2

4

y



x



mx 2



 m m 2

Ta thấy AB AC nên để ABC đều thì AB BC

Câu 32. Có bao nhiêu số thực m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trijlaf ba

đỉnh của một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1 A. 2. C. 0. B. 3. D. 1.

Lời giải

23 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

3

y

 ' 4

x



mx 4

Chọn B

0

y

 x 2

x



m

   ' 0 

m 

0.

Ta có:

4

4

2

2

m B m m m

m







2

2

;

,

, C



4 m m m



;



2

m

 A m 0;



 Điểm cực trị của đồ thị hàm số là:  





4

 AB AC



 m m

Để hàm số có 3 điểm cực trị thì

2

2

Ta thấy

AI

BC

.

 

AI m

4  m m



0;

I

m



2

.

.

và Gọi I là trung điểm của BC nên để ABC  cân tại A . 



S



AI BC .

S







ABC

ABC

1 2

AB AC BC R 4

2

2

4

. Mà

1R  và AB AC



 2AI AB



 2m m m



1

  m

3 2

m

   1 0

5

 m    m 

  1 2

3

2

2

( vì )

y



x



3

mx



3

m



3 x m m







 1

I

có Câu 33. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số

1;1 

R 

m

m

1;

.

m

m

  

1;

.

hai điểm cực trị cùng với điểm tạo thành một tam giác nội tiếp đường tròn có bán kính

3 5

3 5

3 5

3 5

5.    

 ;1 .  

   

  

   

 ;1 .  

  

  

A. B. C. D.

Lời giải

2

2

Chọn B

y

 ' 3

x



6

mx



3

m



  1



2

2

y

   ' 0

x

2

 mx m

 x m      1 0 x m

 

1 1



m

  1

m

1

Ta có:

 ( luôn đúng ).

A

  m 1; 2

m



B

m



2

 Điểm cực trị của đồ thị hàm số là:



    2 , m 1; 2



 đường thẳng AB có phương trình: 2

x

y  .

0

 2 1

Để hàm số có 2 điểm cực trị thì

d I AB ;









3 5 5

 4 1

2

2

AB



2 5,

IA



m 5



12

m



9,

IB



m 5



m 8

 . 5

.

.

S



d I AB AB

;

.

S











ABI

ABI

1 2

AB AI BI . R 4

. Mà

24 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Cực trị

 

1

m

2

2



5

m



12

m



9. 5

m



8

m

  

6

5

3 5

    m 

.

mx

1

y



Câu 34. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

2 2 x m     1 x 2

vuông góc với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất.

  1.

m



.

m

 

.

1 2

1 2

B. D. A. m 1. C. m

Lời giải

2



2



1)

Chọn C

y

'



2

x



m x (2 

x 2  1

Ta có:

0m 

y  có hai nghiệm phân biệt

' 0

1 x   2

Để hàm số có 2 điểm cực trị thì

x   .

22 x

x 2

  có hai nghiệm phân biệt

1 0

1 2

2

(

mx

1) '

y





mx



1

vì

x m    2  1) ' (2 x

m   1

Đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là: .

x nên

3

y



x



2 3  mx m 3

Vì đường thẳng trên vuông góc với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất y

có hai điểm cực

1;

C

  

  

1

1

trị cùng với điểm tạo thành một tam giác cân tại C . Câu 35. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 7 8

m   .

m   .

m   .

m  .

1 2

1 2

A. C. D. B.

Lời giải Chọn

y

 



mx 6

2

0

  

36

m

0

B. 23 x Ta có .

y  có hai nghiệm phân biệt

   m 0

2

m

,x x là hai điểm cực trị của hàm số. Khi đó

Để hàm số có hai điểm cực trị thì

2

0

 x 1   x  2

. Gọi 1

 A m m 2 ; 3

3

3  0;B m .

và Gọi A và B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. Khi đó

3



3

Gọi là trung điểm của AB .

 ;M m m  AB



2 ; 4

  1;

m





7 8

  

  

 

3 m m CM m ,   . AB CM



0

6

3

2

  4 m

m



2

m



2

m

 0

m  .

CM AB 7 2

1 2

4

Ta có . Để tam giác ABC cân tại C thì

y



x



2

m



2 x m

  có ba 3



 1

1 8

Câu 36. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

điểm cực trị cùng với gốc tọa độ là bốn đỉnh của một hình chữ nhật.

25 | VD_VDC

Tài liệu Vted_2018

1m  .

2m  .

4m  .

m  .

A. B. C. D.

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19 1 2

Lời giải Chọn B

y

 



m



x

 2 2

 1

0

y

Ta có

8

m

    .

4 0

m

31 x 2  x 2

1 2

x



m 8



4

. Để hàm số có ba điểm cực trị thì

    0  ,

2

2

8

m



 4; 8

m



9

m





8

m



 4; 8

m



9

m

C

B



 A m 0;

 3 ,

là ba điểm trị của đồ hàm số. Khi đó Gọi

,A B C 

thị   . 1

0;

  

2

2

cực   1 , m 3 . Gọi I là trung điểm của AO



8

m



 4; 8

m



8

m



2

 AC

 AB

 4; 8

m

m

m







8

8



   I   2 ,



 2  Để ABOC là hình chữ nhật thì AB AC

2

4





m 8

m 8





2

0

2





   8 m

2

2



m 8



4



m 8



2



0





   m 8







Ta có

m

3

2



m 8



9

m

  1

 2

    

1 1 16

.

và I cũng là trung điểm của BC     m      m  

1m  thỏa mãn.

3

y



x



2

2 3  mx m

Nhận thấy

có hai điểm cực Câu 37. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

AOB 

4

m   2

m   6

m   2

trị A và B sao cho góc  120

m  

 . 3 5

27 25

3 5

12 5

A. B. . C. . . D. .

Lời giải

 

23 x



4

mx

y  có hai nghiệm phân biệt

0

2

  

16

m

   . m

0

0

m

,x x là hai nghiệm của

Chọn A y Ta có . Để hàm số có hai điểm cực trị thì

y  khi đó

0

2



4 3 0

x 2

  x 1   

3

3

. Gọi 1

,A B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. Khi đó



0;

,

 m B m



5 27

  

 khi

Gọi

AOB 

4  A m ;  3  ,A B ta nhận thấy để góc  120

3

m

2

2

4

 tan 30



m

  m

   m 2

Dựa trên tọa độ điểm

3   3

5 36

12 3 5

27 25

m

5 27 4 3

3

2

y



x



x



.

m 9 2

3 m 27 2

Câu 38. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có hai điểm

3m  .

9m  .

0m 

cực trị A và B cùng với gốc tọa độ O là ba đỉnh của một tam giác vuông. D. A. Với mọi m . C. B.

26 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Cực trị

Lời giải

 

23 x



mx 9

2

0

  

81

m

0

Chọn D y Ta có

y  có hai nghiệm phân biệt

   m 0

m 3

,x x là hai nghiệm của phương trình

Để hàm số có hai điểm cực trị thì

y  0

2

0

 x 1  x 2

  

3

B

0;

. Gọi 1

,A B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. Khi đó

 A m

 3 ;0 ,

m 27 2

  

  

Gọi

0m 

4



y

  4 x

6

x

26 x

,

Nhận thấy A nằm trên trục hoành và B nằm trên trục tung. Như vậy tam giác ABO luôn là tam giác vuông với mọi giá trị

,A B C . Hỏi ba điểm cực trị của

2



3 1 x  

2x

4

4

y

có ba điểm cực trị Câu 39. Biết đồ thị hàm số





  x

2

3

y

x

. B.

 đồ thị hàm số thuộc đường cong nào dưới đây?  . A.



2





y

3 x 

4

1 x 2

4

y

x

 x 3

   . D. 2

C. .

Lời giải

4

2

3











y

x

6

x

    6

4

x

y

4

x

12

x

4









;

y

0

34   x

12

x

4

0

Chọn A

x x x ; 2 3

. Phương trình này có 3 nghiệm phân biệt là 1

2





Chia y cho y ta được

 

 

y

x

3

x

3

x

6

3

y

3

x

x



   , 2



   và 2

y 1

2 x 1

x 1

2

2 2

2

  . y  

   

 

y

3

1 4 

3

2 x 3

   x 2 3

2

, khi đó ta có





y

3

x

  x

2





4





y

x

2 2 m x 2

  2 m 1

Vậy ba điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho thuộc đồ thị hàm số .

có ba điểm cực trị Câu 40. Điều kiện đầy đủ của tham số m để đồ thị hàm số

0;1H 

là ba đỉnh của một tam giác có trực tâm là:

0m  .

4

4

A. B.





1

  2

2

m

 . 0

1

  2

2

m

 . 0

1m  .  2 m m



 2 m m



C. D.

Lời giải

4

3









y

x

2

2 2 m x

    1

m

2

y

4

x

2 m x 4

Chọn C

0m  khi đó

  

0

m

2

y

1

4

 

y

0

x m

     m 1

m

2

y

4

 

m

     m 1

m

2

y

  x      x  

4





A

0; 2

m

m

2

C m m ;

m



 1 ,

 4     B m m ;

 1 ,

    2 1



. Để hàm số có ba cực trị thì

27 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

0;1H 

4

4





 BH

m m ;

  2 m

 AC

 m m ;



 2 ;





2

4

4

BH    AC

m

m

2

  1

m

2

0

 4 m m

    0 2

 2 m m

    . 2

là trực tâm của tam giác ABC thì BH AC Tam giác ABC cân tại A , để

thực của trị tham số m để đồ



y

x

m

m 2

1

120 .

m   1

m   1

1m  

m   1

Câu 41. Tìm  thị hàm số  có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác có một góc bằng tập hợp 4    4 tất cả các giá 21  x

1 3 16

1 3 48

1 3 2

1 3 24

B. C. D. . . . A. .

Lời giải

Chọn A

4

2

3









y

x

4

m

x

    1

m

2

y

4

x

8

m

x



  1



  1

Cách 1:

4.

8

m

    1

m

0



 

  1

   1

m

2

y

0

2







  

Để hàm số có ba cực trị thì

y

0

2

m

   y

4

m

m

2

1



 1



 1

 





2

m

   y

4

m

2

m

1

x



 1



2    1

  x     x    

2

2





  

A

0; 2

m

B

2

m

m

m

2

C

2

m

m

m



 1 ,



   1 ; 4



 1



   1 ; 4



 1

 

 1 ,



    1 2

 

ABC

Khi đó

BAC    60

OAC

m



m  

1









tan

 OAC

3

cân tại A do đó  120



3

x C 

1 3 m   1 24

y

1 24

4

m

A

y C

2 

  1 2  1

.

  x

0

3

Cách 2:

 





y

4x

8

m

1

x

0





2





x

2

m

1





   

Ta có

1m 



1



Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị

y

  0

 

  

 



m

x

2

y

2

m

1 4

m

y m 2   1



2 1

    x 0  

Khi đó





 





A

0; 2

m

B

2

m

m

1 4

m



 1 ;



 1 ; 2



 1

2



Suy ra ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là ,



 



C

2

m

m

1 4

m



 1 ; 2



 1

2



.

28 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Cực trị

0

A 

120

4

2

2

2











4

m

m

8

1





BC

0

. Do tam giác ABC luôn cân tại A







cos

A

cos120

m 4

  AB AC AB AC 2 .





 m

1

4

32

 m

1

 32  

1 

1 

 

3





3

8

m

1

1

1

Ta có

  





24

m

1

    m

1

1





3

3

1 2

24





8

m

1

1

 

 

3



.

cos

A

3

 

b b

8 8

a a

Cách khác: Áp dụng công thức .

2

2





Câu 42. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số

,A B sao cho

,A B nằm khác phía và cách đều

m

x

y

3  x mx



  1

y

x  . Tính tổng tất cả các phần tử của S .

9

5

có hai điểm cực trị

B. 6 . C. 6 . D. 3.

1 3 đường thẳng A. 0 .

Lời giải

2

2

2







2  

Chọn A

y

3  x mx

m

    y

x

x

2

mx m

1



 1

1 3

3

y

m

  3 m



 2

 

y

0

3

    1

x m

y

m

  3 m



 2

      1 x m       

3

3







1;

m

  m 3

1;

m

  3 m





  A m   

  B m   

   2   

1 3 1 3    2 ,   

1 3

1 3

y

9

5

Cách 1:

,A B nằm khác phía và cách đều đường thẳng

x  thì trung điểm I

y

5

x  9

Để hai điểm cực trị

3

3













của AB phải thuộc đường thẳng

m 3

m 5

9

m

3 m 

18

m

27

0



   m 3



     

1 3

 1  I m m ;   3

;

;

Với

m m m là nghiệm của phương trình này, khi đó ta có

1

2

3

m m     m 0 3

2

1

b a

Gọi

(Định lý Vi-et cho phương trình bậc ba).

2



Cách 2:

  y

x

2

2  mx m

 1

 

Ta có

    nên hàm số luôn có hai điểm cực trị với mọi m .

2  m m

2 1 1 0

m



x

x

A

B



m

Do

3  m m

  x I

  Iy

2

1 3

Gọi I là trung điểm của AB

29 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

y

x 5

 9

3

3







  



5x

 9

m m m

5

m

9

18

m

27

 0

y  I

I

1 3

YCBT  trung điểm I của AB thuộc đường thẳng

Suy ra tổng tất cả các giá trị của m bằng 0 .

3

2

2

x

y

2







m



x

 có hai điểm cực trị

1

, A B sao cho tam giác OAB có



 1

  m m x

1 3

1 2

Câu 43. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

 diện tích bằng 2. Hỏi S có bao nhiêu phần tử nguyên. B. 0 . C. 2 . A. 1.

D. 4 Lời giải:

2





y

y



x



2

m



2 x m m





Chọn A



 1

x m   x m

1

     0 

.

3

2

3

2

Suy ra hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

A m m ;



m



1



1;

m



m



1;

 AB   

1 3

1 2

1 3

1 2

5 6

1 6

  

 B m  

  

  

 

  

2

AB x :



6

3  y m 2



m m 3

6 0

,

   .

AB 

37 6

3

2

2

m



m 3



m



6

d O AB ;







37

Suy ra và

3

2

2

m



m 3



m



6

3

2

S



  2

2

m



m 3



m



6



24

12

Vậy diện tích tam giác OAB là

3m  .

2

2

Phương trình trên chỉ có một nghiệm nguyên là

y





m

3  x mx



x

 có đồ thị là  1

mC . Biết rằng tồn tại duy nhất điểm



Câu 44. Cho hàm số

m m 1

 1 mC tương ứng với

1

2

và A là điểm cực tiểu ứng với

1 3 ,A a b sao cho A là điểm cực đại   m m . Tính a b 2 S  . 1 A.

S   .

S   .

S   3

B. C. D.

Lời giải:



1

2

2



y

y

 

x



 mx m 2

Chọn B

 ; 1

x m



1

 x m      0 

m

m

 , 1

 . 1

3x dương nên

Ta có: .

CĐx

CTx

mC là đồ thị hàm số bậc ba có hệ số của

Do 

30 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Cực trị

a

, A a b là điểm cực đại nên



1m thì



b

  1 1m   y a

  

Với

,A a b là điểm cực tiểu nên



2m thì

a b

  2 1m    y a

  

Với

2

2

3

2

3

2

a

0

b

     1

a



a



a



a





a

  1

a



a



a



a





a



1



 1

 1





 1

 1



 

 1 

 

 1 

1 3

1 3

1

Từ hai điều trên ta có:

a  thì 0

1

2

A

Khi

1m  và 

m   thử lại vào hàm số kiểm tra điều kiện ta thấy thoả mãn yêu   . 0; 1

cầu bài toán. Vậy

3

2

y



x



mx 3



4

3 m

Câu 45. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số

, A B nằm cùng một phía và cách đều đường thẳng

x

y 2

  . Tổng các phần tử của S là

1 0

có hai điểm cực trị

1 2

1  . 2

D. B. A. 0 . C. 1.

Lời giải:

3

2

y



x



mx 3



4

3 m

Chọn B

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về cùng một phía và cách đều

x

y 2

  khi và chỉ khi

1 0

AB 

Δ

đường thẳng Δ :

22 m 

k   .

ABk

1 2

2

   2

k

m

Hệ số góc của đường thẳng AB là ; hệ số góc của Δ là Δ

     . m

ABk

Δ

1 2

1 2

3

Do đó

y



x



 có hai điểm cực trị là

m 

A

0;

1;0B 

1 2

23 x 2

1 2

  

  

1 2 trường hợp này vì

AB  Δ

3

thì đồ thị hàm số và ; loại Khi

m   thì đồ thị hàm số

y



x



 có hai điểm cực trị là

A

 B 

1;0

23 x 2

1 2

1 2

  0; 

  

1 2 Trường hợp này nhận.

C

và . Khi



2

2

Câu 46. Cho điểm Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

,A B sao cho tam giác ABC cân tại C . Tính

y





3  x mx

m



x

 1

1 3

có hai điểm cực trị

.



.

.

5;9 .  tổng tất cả các phần tử của S . 9 2

15 2

15 2

B. C. D. A. 0.

Lời giải

Chọn A.

31 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

3

3



m





29

m





2

 

4;

y



A

m 3 3

x



m



1

A

  AC m  

  

2

2

y

'



x



2

 mx m

   1 0



3

3



m



1

m





2

x B



m





25

  

y



 

6;

B

m 3 3 m 3 3

     

m 3 3

  BC m  

  

       

2

2

3

3

2

2



m





29



m





25

    

AC BC

m

4



  

m

6











m 3 3

m 3 3

  

  

  

  

3

3

3

Yêu bài cầu toán

  8 m

60

m



36 0

m

3

m

   m        

  3 2   3 2

3

3

.

S

  3





0.

  3 2

  3 2

x

3 3 

mx

1

 (với

0m  là tham số thực). Gọi d là đường

Vậy tổng

mC là đồ thị của hàm số

Câu 47. Cho 

1;0

 I 

bán kính

D. 0 . C. 3.

 y mC . Đường thẳng d cắt đường tròn tâm thẳng đi qua hai điểm cực trị của  3R  tại hai điểm phân biệt A , B . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m sao cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất. Hỏi S có tất cả bao nhiêu phần tử? A. 1.

B. 2 .

23 x



m 3

Lời giải

x

2 3 m

 có hai nghiệm phân biệt

0

Ta có , đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi

Chọn A   y 0m  .

d y :

m 2

 và 1

2

x

y





C

 . 9

2 1

  :

2

  .

 1 4



0

7

 m x

 2 m x

  2 1 2  IA

 IB

1; 2

1; 2

mx

mx













x

x

; 2

B x mx  ;

khi Khi đó đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có phương trình là

 1

 1





 Đường thẳng d cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt A , B nên hoành độ của điểm A , B là nghiệm của phương trình    A x mx  , 1 ; 2

 1



B

A

B

A

A

B

B

A

Ta có ; .



IA IB .

.sin

 AIB

IABS



1 2

 .

AIB   90

AIB 

x



x



mx



 1

   1

 1 2

 1

A

B

B

A

sin 1 Hay ta có    AIB

cos

 2 mx   IA IB .

x



mx





2



 1

   1

 1 2

 1

A

x B

A

mx B





0

2

mx



   x

 1

   1



 1 2

   0 1

A

x B

A

mx B

 3.3

2



x

  0

2

   1 2

 m x



A

B

A

B

   1 4

 m x x .

Khi đó suy ra diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất khi

32 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Cực trị





2

m



m

 

2 0

   1 2



2

   1 4



7  1 4

m

  2 1 2 m 2  m 1 4

  

  

  

  

  

7 8

m

    . m

0

7 8

3

2

2

y



x



mx 3



3(

m



1)

3 x m m



 có hai điểm cực trị

Câu 48. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số



2.

,A B sao cho

OA OB

.S

Tính tổng tất

D. 0 . C. 3 . cả các phần tử của A. 6 . B. 6 .

2

2

Lời giải Chọn D.

 

1) 0(*)

mx 6

 ' 3

3(

m



x

2

2



m

m

9(

' 9

1) 9 0

   (luôn đúng)

   Phương trình (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt với m   1

m

m









1

x

x

A

A



Cách 1: Tập xác định D   .  y

x



m



1



m



1

B

x B

  

  

Ta có

,A B có dạng:

y

 

2

x



A x (

 ; 2 );

x B x ( A B

 ; 2 ) x B

A

2

2

2

2

2

A

A

A

  2

  2

    

2

2

x

2

A

x B

2

2

2

2

OA OB

2 OA OB

 

y y

B

x x B

 

1;

x x B   1

Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị

x m A

x m B

2

2

2

2

x



2

  ( m

1)



2(

m

   

3 2 2

1)

m

A

x B

 

1;

TH1:

  1

x m A

x m B

2

2

2

2

x



2

  ( m

1)



2(

m

     m

3 2 2

1)

A

x B

TH2:

3

2

cx d

bx





y

x

Vậy tổng tất cả các phần tử của S bằng 0.

 có hai điểm cực trị và gốc tọa độ nằm trên đường

S



 bcd bc

Câu 49. Biết đồ thị của hàm số

. B. 6 .

 d 3 D. 6 .

 thẳng đi qua hai điểm này. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A. 4 .

C. 4.

Lời giải

 

23 x



bx c 2

  b

2 3 c

 . Khi đó đồ thị hàm số có hai điểm cực trị

 . 0

2

d y :



c



x d

 

Chọn A y Ta có

2 3

b a 3

bc a 9

  

  

bc

d

9

d

Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là .

 0;0O



 d



1a  .

bc     9

Vì ,

S



 bcd bc



d 3



29 d



12

d



3

d



2

   .

4

4



2

4

2

Vậy ta có

y



2

x



2

mx



m 3 2

 

3

Câu 50. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

có ba điểm cực trị cùng với gốc tọa độ tạo thành một tứ giác nội tiếp. Tính tổng tất cả các phần tử của S .  A. 2 2 3 B. 2 . . D. 0 . C. 1 .

33 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

2

Lời giải

 

38 x



mx 4



4

 x m

 2x

 22 x m

 có hai nghiệm phân biệt khác 0 khi và chỉ khi

0

Chọn B y Ta có .

m

m

m

m

Đồ thị hàm số có ba cực trị khi 0m  .

B



;



C

 

;



A

m 3 2

m 2

2 3  2

m 2

2 3  2

  0; 

  

   

   

   

   

I

Khi đó ba điểm cực trị là ; ; .



0; t

Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC .

2

2



t



t

2

2

m 3 2

t

 

IA



IO

  

Ta có hệ phương trình

2

2

2

2

2

4

3

IA



IB

m

m 3

   

m 3 4 12



4

m

m



8

m



0,

  



t

 





t

     

m 3 2

m 2

 2

  

  

  

          

0 (ktm)

3 (ktm)

4

3

4

m



12

m



m 8

.

3

 m  m 1          0 m 1      m 1 

3

 

. Từ   ta có

.

0;2017 để đồ thị hàm số



3

2

m 3

m









2

2

2

x

Câu 51.

,A B nằm về hai phía của trục

 1









có hai điểm cực trị

Vậy ta có tổng các phần tử của S là: 2 [2D1-3] Hỏi có tất cả bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn   y  x m   x hoành? A. 2014 . B. 2015 . C. 2013. D. 2012 .

Lời giải

 

y



m



 x m 3

2

 . Để hàm số có 2 cực trị

 2 2

 1

5



2

  

4

m



m 5

   5 0

5



105 8 105 8

  m    m 

Chọn A 23 x

3

2

x



x



m 3



2



2

m 2

 0

 1









2

x

x



2

 mx m



 0

2

  

 x m  

 x

2



x



2

mx m

  

2 0

  1 1   g x

  

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành là

  0 g x  có 2 nghiệm phân biệt

2

  

2 0

m

   

m

1

2





m



3

g

  

  g m m      1 0 

m

0;2017

m 

Để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị thì



 4,5, 6,..., 2017





So sánh điều kiện và suy ra có 2014 số nguyên m .

34 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Cực trị

 y mx

3 3 

x

Câu 52. [2D1-3] Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

,A B sao cho tam giác ABC đều với

2;1C 

có hai điểm cực trị . Tính tổng tất cả các phần tử

.S

của

4 3

B. . . C. D. 3. A. 0 .

1 3 Lời giải

2

y

 

mx 3



3

x

   

0

x

Chọn C

0m  )

1 m

I

Ta có . (Điều kiện:

A

 ; 2

;

B



; 2



0;0

1 m

1 m

1 m

1 m

   

   

   

    số trên.  AB

; 4

 CI

;

     2; 1

1 m

1 m

   2   

    ,A B sao cho tam giác ABC đều

Gọi là 2 điểm cực trị. Gọi là tâm đối xứng của hàm

  . AB CI



0





.

  

m

5

3

3

20 m

3 2



CI

AB 2

    

2



y

3  x mx

34 m

Để hai điểm cực trị

Câu 53. có 2

 [2D2-3] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 4 với O là gốc tọa độ.

0m  .

1m  .

m

 

1;

m

 . 1

m

 

;

m



1 4 2

1 4 2

A. B. C. . D.

Lời giải

2

y

 

3

x



6

mx

Chọn C

0 2

m

x      0 x

Ta có .

3

S



d







4

    1

m

4





 m m 2



x 1

x 2

1 2

bc a 9

1 2

  

  

4

2

y



x



2

mx

2 điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 4 với O là gốc tọa độ

3

1m



4

Câu 54. có 3

1m  .

 .

0m  .

[2D2-3] Tìm tất của các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số điểm cực trị tạo thành 1 tam giác có diện tích nhỏ hơn 1. B. 0 A. m D. .

C. 0 Lời giải

34 x

 

y

mx 4



0

0m  .

 có 3 cực trị Ta có 3 điểm cực trị tạo thành 1 tam giác có diện tích nhỏ hơn 1

5



2

5

S

 

 



m

   

1

1

m

 1

3

5 m 32 32

b a 32 So sánh điều kiện thì 0 34 x

mx 4

 



y

Chọn C





1m  thỏa yêu cầu.  2 4x x m



4

2

y



x



mx 2

Câu 55. Ta có Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

2 1

có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp bằng

35 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

1m  .

m 

2 2 2

 .

m 

2

m 

2 1

 .

A. B. C. . D.

Lời giải

Chọn A.

0m 

0

 x

y

x

 

m

    0 

A

Cách 1. Giải theo cách làm tự luận.  0m  2 Hàm số có ba điểm cực trị

;

C



 m m ;



0;0

 B m m

2



2

m

0;

I

, , và trung điểm AB là

2

2

 AB AC



4 m m

BC

m 2

Giả sử ba điểm cực trị lần lượt là 

 ,

AI m

2

Ta có ,

S



 BC AI m m

.



ABC

1 2

S

2 m m

  r



 2 1



 ABC p

4  m m



m

2





 2 1

m 3

m

 

1 1

m





 2 1

3 1 1   m



m

3 1  

m

 1



  2 1

3

2

  m

3 2 2



m



2

m

 0





  2 1



1

 m

m

 

2



  2 1

 

Diện tích tam giác ABC là

1m 

Đối chiếu điều kiện có

2

2

4

m

b





 2 1

r



3

3

1



 1 8

m

a

1



1



b a

   

   

4

2



3

6

2

x

x

,B C là điểm

C . Gọi A là điểm cực đại của 

 , có đồ thị 

,B C đến d .

Cách 2. Giải trắc nghiệm

C ;  y Câu 56. Cho hàm số cực tiểu của  C . Gọi d là đường thẳng đi qua A và S là tổng khoảng cách từ Tính tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của S .

4



6



2

A. . B. .

 C. 4 4 5

4 5 5

3 10 5

. D. 2 .

Lời giải

Chọn B.

36 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Cực trị

y

 

312 x



12

x

y

0

0  x       1 x 

A

Ta có



0;2

  B  1; 1

 C   1; 1



I

Giả sử ba điểm cực trị lần lượt là ,

 là trung điểm của đoạn BC



 0; 1

S



;



;





2

IA

Gọi

 d B d



 d C d



 d I d ; 2



Ta có

S

IA 2

 6

Vậy max

S



;



;

Ta xét hai trường hợp

 2

d x  . Ta có 0

:

 d B d



 d C d



d kx :

TH1:

y   2 0

k

  

3

3

k





S



;



;

 d B d



 d C d



6 2

2

k



1

k



1

TH2:



 k  

3;3

6 2

3 10 5

k



1

min

S 

Với ta có (Lập bảng biến thiên)

3 10 5

4

2

y



x



m 3



x

3

 có ba điểm cực

Vậy . Chọn đáp án B



 1

Câu 57. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số

2 3

trị tạo thành một tam giác cân có độ dài cạnh đáy bằng độ dài cạnh bên.

m   .

m   .

5 3

3 5

3 m  . 5

5 m  . 3

A. B. D. C.

Lời giải

Chọn A.

m 3

1 0

m

1      3

2



1





1

A

0; 3

B

;





3

Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi



  ,

m 3 2

 3 m 2

  

  

   

   

2



1





1

C



;





3

m 3 2

 m 3 2

  

  

   

   

4



1



1



1

BC



2

và Giả sử ba điểm cực trị là

AB



 m 3 2

 3 m 2

 3 m 2

   

  

Dễ có ,

4



1





1





1

BC



2

AB



2



m 3 2

2 3

m 3 2

 3 m 2

   

  

Theo bài ta ta có

37 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

4



1







1





8

m 3 2

m 3 2

  

  

  

  



1



l 0( )



   m



1

5 3



2

    

 3 m 2  3 m 2

3

y



x



23 x

2

 có hai điểm cực

2

2

2

:

x



y



mx my m 2





5

4

  1 0

Câu 58. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số



mC

1

m 

1

trị nằm về hai phía của đường tròn 

m  .

m  . 1

   . 1 m

5 3

5  . 3

3 5

3 5

A. B. C. D.

; 2

1R 

Lời giải

  I m m , bán kính

y

0

y

 

23 x



6

x

Chọn Ta có  C. mC có tâm

0 2

 x      x

A

B

2; 2

.



0;2



 

IA



25 m



m 8

Suy ra đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là và

 , 4

2

2

IB



m 5



4

m

  8

m 5





R



1



36 5

2 5

  

  

,A B nằm về hai phía của đường tròn 

mC khi và

Dễ có

mC . Vậy mC

IA  1



25 m



m 8

 

4 1

25   m

8

m

 

3 0

 1

3 m  5

Ta có B nằm ngoài đường tròn  chỉ khi A nằm trong đường tròn 

3

2

3 m 6

mx 3







y

x

Câu 59.

m   .

1

 . 1

 

m

m

1;

m  

 

m

m



;

1 2

. C. D. A. B. . [2D1-3] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của tạo với trục hoành góc 45 . đồ thị hàm số 1 2

1 2 Lời giải

0

y

0

y

 

23 x



mx 6

Chọn B.

0m  .

2

m

 x      x

3

3

Ta có , . Hàm số có 2 cực trị khi

0; 6

m B m m . Do đó

2 ; 2

,



m 2 ; 4



m

A

 AB









3



3

4

m



2

m

Các điểm cực trị của đồ thị hàm số là .

   m

0m  ).

3

1 2

4

m

 

2

m

  

(do Để đường thẳng AB tạo với trục hoành góc 45 thì

38 | VD_VDC

Chuyên đề_Cực trị Câu 60.

2

4

4

 có các điểm cực trị đều nằm trên các trục tọa độ. . .

.

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19 [2D1-3] Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y A. 

2    x    ;0

mx   2

2; 2

  2

   ;0

D.  2 . B. 

C.  Lời giải

0

y

y

  

34 x



4

mx

Chọn D.

 x 2  x m

    0 

A

0; 4

Ta có , .

 (thỏa

0m  . Khi đó điểm cực trị của đồ thị là





TH1: Hàm số có 1 điểm cực trị khi

mãn).

0m  .

2

2

TH2: Hàm số có 3 điểm cực trị khi

A

;



C



m m ;



4



  0; 4 ,

 B m m

 4 ,





m

2 4 0     (do m

2

Do đó các điểm cực trị của đồ thị hàm số là .

Để các điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm trên các trục tọa độ thì 0m  ).

m   

; 0



   2

Vậy .

39 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Cực trị

NHÓM GIẢI VẬN DỤNG CAO CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ - NĂM HỌC 2018-2019

VTED_2019 MÔN: TOÁN 12

3

2

y



2

x



mx 9



12

2 m x

1

Thời gian làm bài 90 phút

 ( với m là tham số thực). Tìm tất cả các giá trị thực

x

Câu 1. Cho hàm số

2 x CD

CT

của tham số m để hàm số có điểm cực đại, cực tiểu thỏa mãn .

m   2

m



A. B.

m   hoặc 2

4m 

 1 4 m   hoặc 2

m   4

4

2

 y ax



bx

c

B. D.

 với

,a b c là các số thực.

,

' 0

Câu 2. Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số

y  có 3 nghiệm thực phân biệt.

' 0

Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Phương trình

y  có đúng 1 nghiệm thực.

' 0

B. Phương trình

y  có đúng 2 nghiệm thực phân biệt.

' 0

C. Phương trình

y  vô nghiệm trên tập số thực.

3

2

 y ax



bx



cx d

D. Phương trình

 với

a b c d là các số thực.

,

,

,

Câu 3. Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số

' 0

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

y  có 2 nghiệm thực phân biệt.

' 0

A. Phương trình

y  có đúng 1 nghiệm thực.

' 0

B. Phương trình

y  vô nghiệm trên tập số thực.

C. Phương trình

y  có 3 nghiệm thực phân biệt.

' 0

3

2

 y ax



bx



cx d

,

,

,

D. Phương trình

 với

a b c d là các số thực.

Câu 4. Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

0

0

0

0

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

b



ac 3



0

b



ac 3



0

b



ac 3



0

b



ac 3



0

 a  2 

 a  2 

 a  2 

 a  2 

4

2

 y mx



m



2018

x



2019

A. B. C. D.





Câu 5. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số có ba điểm



0

m

 

2018

m



2018



cực trị

B. C. D. 0

 A. 2018

 0m

2018

m



0

m    m

  

4

2

 y ax



bx

c

 với

,a b c là các số thực. Mệnh

,

Câu 6. Đường cong ở hình bên là của đồ thị hàm số

đề nào dưới đây đùng

ab  0

ab  0

ab  0

ab  0

3

2

2

y



x



m



x



m



4

m



3

x

A. B. C. D.

 1



 1





2 3

Câu 7. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

 5m

 1m 

 5m 

  1

 

B. 1 C. 5 D. 1 có hai điểm cực trị m A. 5

S

3

2

2

10







10

1

y



x



m



2

m



x

x

 có hai điểm cực trị

Câu 8. Gọi là trị thực của tham số





1x và

2x thỏa mãn

1 3

1 x 2

. Hỏi tập hợp  các giá  số m để hàm 1 x 1

S có bao nhiêu phần tử nguyên A. 3

3

2

B. 4 C. 1 D. 2

y



x



ax



ax 3

 có 4

1 3

2





9

a

2 x 1





2

,x x thỏa mãn

Câu 9. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số a để hàm số

2

2

2 ax 2 2 a





9

a

x 2

. Tính tổng các phần tử của S . điểm cực trị 1

A. 6 . B. 12 .

a ax 2 1 C. 4 .

D. 12 .

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Cực trị

3

2

 y ax



bx



cx d

 có đồ thị như hình vẽ

Câu 10. Biết hàm số

y

x

1

a



0,

b



0,

c



0,

d

 . 0

 . 0

0,

0,







d

a

b

B. Mệnh đề nào dưới đây đúng: A. c 0,

a



0,

b



0,

c



0,

d

 0

a



0,

b



0,

c



0,

d

 . 0

y



D. C.

2 x m   x 1

  1;

1;

Câu 11. Cho hàm số ( với m là tham số thực ). Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có

   \ 1

 1;  .

      1 \

2

3

x

y

2

3







m

m





6

2

x

x

1

. hai điểm cực trị. A.   1;  . B.  C.  D. 

 1





Câu 12. Cho hàm số

3; 4

1;3





4; 3

.

. . .

 điểm cực đại, điểm cực tiêu đều thuộc khoảng  A. 

1; 4







B. 

 . Tìm tập hợp các giá trị của m để hàm số có 2;3 C. 

     

4;1

 3;1

3

2

 y ax



bx



cx d

.

D. 

 Mệnh đề nào sau đây

Câu 13. Đuờng cong ở hình vẽ bên là đồ thị của hàm số

a



0,

b



0,

c



0,

d

a



0,

b



0,

c



0,

d

đúng?

 0.

 0.

a



0,

b



0,

c



0,

d

a



0,

b



0,

c



0,

d

A B.

 0.

 0.

2

2

2018; 2018

y



3  x mx



m 3



4

 x m



2

m

C. D.





 m  



Câu 14. Có bao nhiêu số nguyên để hàm số có



f



x m

x .

2 3 



hai điểm cực tri trái dấu? A 2020. B. 2019. D. 2018.

   Tìm tập hợp tất cả các

y



  x



 f x



 5 ,

Câu 15. Cho hàm số có đạo hám C. 2017.  x m x

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

;



\





;



\





 5;1



 1;5

29 4

29 4

  

  

  

  

B. A



;



\



;



\





 5;1



 1;5

29 4

29 4

  

  

  

  

2

2

C. D.

y



3  x mx



 . Gọi S là tập tất cả các giá trị thực của tham số m

x



m

 2 3

 1

2 3

2 3 ,x x thỏa mãn



x

 . Hỏi S có bao nhiêu phần tử?

1

2





2

x 1

2

x x 1 2

Câu 16. Cho hàm số

D. 3. để hàm số có hai điểm cực trị 1 B. 0. A 2.

 C. 1.

3

2

2

y



x



3

x



m



8

 có hai cực

1



 m x

Câu 17. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số



19

19

4

trị trái dấu.

 8m

A. 0

0m  hoặc

8m  D.

m



3

3

2

2

C. B. 4 1 2

 x m

y



x



3

mx



3

m





   m 15 2  1

Câu 18. Cho hàm số . Tìm tất cả các giá trị thực m để hàm số có hai

 1m 

m   1

1m 

m   hoặc 1

1m 

3





y



6

mx

điểm cực trị trái dấu. A. 1 B. C. D.

 . Tìm tất cả các giá trị thực m để hàm số có hai điểm cực

23 x 4

1 2

Câu 19. Cho hàm số

x 2 1;1





;

;0

;0

.

 0;

1 16

1 16

  

  

  

  

  

  

3

2

A. B. D. C.  trị thuộc đoạn  1 16

y



x



m



2

x



5

m



4

 x m 3

 có hai điểm cực trị

1









1x ,

2x thỏa mãn

1 3

2

  . Mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu 20. Biết hàm số

x 1 A.

x 2 0m 

 1m

1m 

 2m

x



1

C. B. 0 D. 1

y



 4 sin x a cos a

cos x

có ba điểm Câu 21. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số a để hàm số

 7 0;  3 

  

0

a 

0

a 

cực trị thuộc khoảng .

1a  .

a  2

3 2

3 8

3

3



x



ax

2 2 

x

1

   x

bx

2 3 

x

1

. A. C. . B. 0 D. 0

 và

 có chung ít nhất một

  f x

 g x



b

Câu 22. Biết hai hàm số

6

điểm cực trị. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức a bằng

3

2

y



x



2

m



x



x

 1

A. 30 . B. 2 6 . C. 3 . D. 3 3



 1

1 3

1 2

50 9

Câu 23. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

2

x 22

.

2;3

. . có hai điểm cực trị 1 A. 

,x x thỏa mãn 1 x B. 

3; 2

   . 3; 2

2;3

C.  D. 

4 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Cực trị



2



3

2  x mx

5

 . Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để

  y m

 3 x



Câu 24. Cho hàm số

   . 3; 2

  . 2

. D. B. 

 0; . C. 

2;1

; 3

2;

  3;1 \        

2

hàm số có hai điểm cực trị thuộc khoảng  A.  

y



3  x m x



m x 3

 có hai điểm

2

Câu 25. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

a

;

   .Tính S b ;

ab

1 3 

 là  4

x 1

x 2

.

S  . 4

2;x x thỏa mãn S 

12

  S   .

4

S  

12

3

2

cực trị phân biệt 1 A. B. . C. D. .

a 

y



ax



b x



c x



d



0

Câu 26. Số điểm chực trị của hàm số có thể là?

3

A. 2 . B. 0 hoặc 2 . C. 1hoặc 2 . D. 0 hoặc 1hoặc 2 .

y



 x m x

 có cực trị.

1

Câu 27. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

0m  .

0m  .

0m  .

0m  .

4

2

A. B. C. D.

y



x



2

m x



3

Câu 28. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

0m  .

0m  .

0m  .

A. B. C. có cực trị. D. m   .

y

  x

m x

có cực trị. Câu 29. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

0m  .

0m  .

0m  .

0m  .

4

2

y



x



mx 3

4

 có ba điểm cực trị đều

A. B. C. D.

0

m

. Câu 30. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 2; 2  nằm trong khoảng 

0m  .

   . m

0m   .

 . 0

8   3

4 3

3

2

3

2

A. B. C. 2 D.



x



x



ax

 và 1



x



x



ax a 3

 . Tìm tất cả các giá trị

 f x



 g x



1 3

1 2

1 3

a  

Câu 31. Cho hai hàm số

a  .

0

a

0

a  



hoặc A. B. thực của tham số a để mỗi hàm số trên đều có hai điểm cực trị đồng thời giữa hai điểm cực trị của hàm số này có một điểm cực trị của hàm số kia. 1 4

  .

15 4 15 4

1 a  . 4 15 4

4

2

y



x



mx 2

1

 có ba điểm cực trị đều

C. D. .

Câu 32. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

1m  .

0m  .

1m  .

  . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng về cực trị của hàm số

 x a x b x c







y

lớn hơn 1 . 0m  . A. B. 0 C. D. 0







 

. Câu 33. Cho các số thực a b c 

 . c

b x 2



a



 . c

x 2

 a x 1 x 2    a c

tại thỏa mãn

 hoặc 1 x x 2

x thỏa mãn 1 x thỏa mãn 1

. A. Hàm số không có cực trị. ;x x B. Hàm số đạt cực trị 1 2 ;x x C. Hàm số đạt cực trị tại 1 2 ;x x D. Hàm số đạt cực trị tại 1 2

5 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

2

y



3  x mx



m



6

 x m 2

 có cực

1





1 3

2m  . B. 2

 .

Câu 34. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

m   hoặc 3  . 2m 

3m  m   hoặc 2

3m  .

3

2  x mx

5

2



x

3



 có cực trị.

D. trị. A. C. 3

Câu 35. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

  y m 1m  hoặc

 3m  .

m   .

1m  3m 

1m 

B.

 hoặc  .

A. 3 C. 1

2 D. 3

 .

3

2

 y mx



mx 3



m



x

1

 không có



 1

Câu 36. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

cực trị.





m

 . 0

0

m



m

 . 0

0

m

4 13

4 13

1   4

1  . 4

4

2

 y mx



2

m



x

1

 có ba điểm cực

B. C. . D. A.



 1

Câu 37. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

 . 1m  . 1m

 

0m  hoặc 1m  hoặc

m   . 1 0m  .

4

2

B. D. trị. A. 0 C. 1

y



 x mx

 chỉ có cực tiểu mà

1 4

3 2

Câu 38. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

0m  .

0m  .

0m  .

2

không có cực đại. A. B. C. D.





3

 x m

y





0m  .  x m x

  1

1

x x  . Tính tổng các phần tử của S . 1 2

Câu 39. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

đạt cực trị tại 1 A. 1.

2,x x thỏa mãn B. 2 .

C. 1 . D. 2 .

m

3

2

tất cả các giá trị thực của tham số để hàm số



m



3

x



4

m



3

2 x m m







y

x









2,x x

1



đạt cực trị tại các điểm thỏa mãn

x 2

3

3

. Câu 40. Tìm 1 3   1 x 1

m   .

1m  hoặc

m   .

m   .

m

  . 3

7   2

7 2

3

2

A. C. D. B.

y



x



m



2

x



(5

m



4)

x





1 3

   1

có hai Câu 41. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

x 2x thỏa mãn 1

x 2

. điểm cực trị 1x ,

m   .

3

m   .

3

m   .

m   .

1 7

1 7

3

2

y



x



a



a x







(cos

3 sin )

a x 8(1 cos 2 )

1

2 3

A. B. C. D.

1

2

S





Câu 42. Cho hàm số (với a là tham số thực). Biết hàm

,x x . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2 x 1

số luôn có hai điểm cực trị

B. 18 . C. 38 .

2 x 2 D. 33 .

A. 8 .

6 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Cực trị

3

2

2

y



x



m



x



m



m



x

(

1)

(

4

3)

2 3

S



ab



 a b

2(

)

Câu 43. Biết hàm số có hai điểm cực trị a và b. Tìm giá trị lớn

2

2

B. 18 . C. 38 . D. 33 . nhất của biểu thức A. 8 .

y



3  x mx



2(

m



3)

x

2 3

2x

2x

đạt cực trị tại Câu 44. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

các điểm 1x , sao cho 1x , là độ dài các cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài

5 2

m  

m  

m 

cạnh huyền bằng

m 

14 2

13 2

13 2

14 2

2

3

2

A. . B. . C. . D. .

3  x mx

mx







 x mx



mx

 . Tìm tất cả các

 và 1

g x ( )

f x ( )

3

4

1

1 3

1 3 giá trị thực của tham số m để hai điểm cực trị của hàm số

f x nằm giữa hai điểm cực trị của ( )

Câu 45. Cho hai hàm số

g x ( ).

hàm số

m

 

m





m

 . 0

 . 0

1 56

0 4

1   4

1 56

1   4

m     m



A. . B. . D. C.

  g x xác

  f x



 . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số

  f x m

y   f x có đạo hàm

  'g x

Câu 46. Cho hàm số liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ bên, một hàm số

 

0m

 

0m

định theo   g x có duy nhất một điểm cực trị.

 .

 .

0

0

m   4    m

m   4    m

3

2

 y mx



x



m



x

3

 có hai điểm

A. 4 B. . . C. D. 4



 1

Câu 47. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

3



21

3



21

3



21

3



21

cực trị và điểm cực tiểu nằm bên trái điểm cực đại.

0



m



0



m





m

 . D.

0



m

 . 0

3

3

6

6

4

2

 y ax



bx

c

A. . B. . C.

 có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu 48. Cho hàm số

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

a



0,

b



0,

c

a



0,

b



0,

c

0

a



0,

b



0,

c

0

a



0,

b



0,

c

 . 0

 . C.

 . D.

 . 0

3

2

y



x



m



3

x



2

m



x

1

A. B.

 có hai điểm cực trị lớn hơn 1.







 1

1 3

1 2

1m

1m 

1

Câu 49. Tìm m để hàm số

 .

1m  .

 .

m   .

3

2

 y mx



mx 3



m



x

1

A. 0 B. C. 1 D.

 có hai

 3 2

 1



2



3



4



5

 . 1

2 x 1

x x 1 2

2 x 2

x 1

x 2

2,x x thỏa mãn

1;

  1;

Câu 50. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

4 11

4 11

4 11

 ;1  

  

  

  

 1;  

  

  

  

2

2



y



A. . B. . C. . D. . điểm cực trị 1 4 11

f

x

x

x





mx





5

2

x

  f x







y



  1 có đúng một điểm cực trị.

Câu 51. Cho hàm số có đạo hàm . Có bao nhiêu giá trị

 f x



nguyên của tham số m để hàm số

3



x



2  x mx

A. 3. B. 4 . C. 6 . D. 5.

 f x





Câu 52. Biết hàm số có một cực trị bằng 1. Cực trị còn lại của hàm số đã cho bằng.

5 27

13 27

11 27

5 27

3

y



x



m





m



4

x

4

A. . B. . C. . D. .

 có giá trị cực đại và



 21 x





Câu 53. Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số

3

y

2



x





  có hai cực trị trái dấu.

C. 12 . D. 14 . giá trị cực tiểu đều dương. A. 11. B. 13 .

Câu 54. Có bao nhiêu số nguyên dương m để hàm số

23 x mx m C. vô số.

3

2

D. 3. A. 4 . B. 2 .

y



x



mx



4

x



10

2,x x . Giá trị lớn nhất của biểu thức

1 3

1 2

Câu 55. Cho hàm số có hai điểm cực trị 1



x



9

S



2 2

2 x 1

 1



là?

 A. 49 .

5

3

y



x



(

m



1)

x



(2

m



3)

x

1

B. 49 . C. 1. D. 1 .

 có

1 5

2 3

Câu 56. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

m

6;

m

bốn điểm cực trị lập thành một cấp số cộng.

 6m 

 9m 

14 9

14 3

   

  

 9;   

  

2

A. . B. . C. . D. .

y



3  x m

4



x

Câu 57. Tập hợp các giá trị thực của tham số m để hàm số có ba điểm cực trị là

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Cực trị









   6;6 \ 0

   2; 2 \ 0

   6;6 \ 0

   2; 2 \ 0

4

2

y



x



2(

m



2)

x



4(

m



3)

x

1

 có ba

. . . . B.  C.  A.  D. 

Câu 58. Tập hợp các giá trị thực của tham số m để hàm số

điểm cực trị.

m  

m  

  5

m

 

  5

m

 

11 4

13 4

13 4

11 4

4

3

2

y



x



mx 8



3

m



2

x

4

 chỉ có

A. . B. . C. D. . .





Câu 59. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

 

m

đúng một điểm cực trị.

2m  hoặc 2

  . 1

m   hoặc 2

m

1   2

2  . 3

2m 

1

A. B.

2m  hoặc

m   . D. 1

 .

C.

m

2

3

2



y

m



2

m



x

2

3





9

 có hai điểm cực trị

2

2,x x thỏa mãn

1

  m m x

tất giá của tham số để số trị 2 và thực 2 m x hàm x x 2 1 cả  các 



x x 1 2

mx 2

mx 1

Câu 60. Tìm   .

m

0

m

5  . 2

m

A. B.

0m  .

m  .

1   2 1   2

5  . 2 5  và 2

1 m   hoặc 2

5 2

C. D.

y



3 2 x mx mx





 có hai điểm cực trị

1

2,x x

1

1 3



2 2

Câu 61. Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số

x 1

x 2

thỏa mãn .

m   hoặc 1 1m  hoặc

2m  . B. 0m  . D.

m   hoặc 2 0m  hoặc

1m  . 2m  .

3

2

2

2

A. C.

y



x



2

m



x



m



4

m



x



2

m

 có hai

2



 1



 1







Câu 62. Tìm tất cả giá trị thực của m để hàm số





x 1

x 2

2,x x thỏa mãn

1 x 1

m 

. điểm cực trị 1

1 1 2 x 2 1;5

1;5 

 m  

 m 

1;1

 m 

5;1

3

2

 y ax



bx



cx d

. A. . B. C. . D. .

 có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

Câu 63. Cho hàm số

Mệnh đề nào sau đây đúng?

a



0,

b



0,

c



0,

d

 . 0

a



0,

b



0,

c



0,

d

 . 0

a



0,

b



0,

c



0,

d

a



0,

b



0,

c



0,

d

A. B.

 . 0

 . 0

C. D.

3

2

3

2

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19 

 ( ) 2

f x

x

ax 3



6

x

1

g x

 ( ) 2

x



bx 3



12

x

4

 và

Câu 64. Biết hàm số

Tài liệu Vted_2018  có chung ít nhất một

b bằng

điểm cực trị.Giá trị nhỏ nhất của biểu thức a

3

f x ( )



x



3

2  x mx

1

A. 2 2 2 . B. 2 6 . C. 3 2 . D. 3 6 .

 . 3

2 x 1

2 x 2

 có hai điểm cực trị 1

2,x x thỏa mãn

Câu 65. Tìm m để hàm số

m   .

m  .

m  .

m   .

3 2

2 3

3 2

2 3

3

2

y



x



m



2

x

2

A. B. C. D.

 có hai

   1

 m x





Câu 66. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

2

 

1m

điểm cực trị trái dấu.

m   .

 .

1m  .

1

3

2

2

x

 y mx



3

m



x



9

m



1

A. B. 2 C. D. .

 có hai điểm

m   2    m 



 1



1

 bằng

x 2x thỏa mãn 1

Câu 67. Tổng tất cả các giá trị thực của m để hàm số

22 x 5 3

4 3

8 3

3

2

 y ax



bx



cx d

A. . . B. C. . D. . cực trị 1x , 10 3

 có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

a



0,

b



0,

c



0,

d

Câu 68. Cho hàm số

a



0,

b



c



0,

d

 . 0

 . 0

0, A. B.

a



0,

b



0,

c



0,

d

 . 0

a



0,

b



0,

c



0,

d

 . 0

4

1x

2x

3x



22 x

1

 có ba điểm cực trị

C. D.

   f x mx







2

2 x 1

2 x 2

2 x 3

, , thỏa mãn Câu 69. Tìm m để hàm số

.

1m  .

2m  .

m  .

m  .

1 2

1 4

3

y



x



A. B. C. D.

Câu 70. Có bao nhiêu giá trị thực của m để hàm số có một cực trị bằng 1 .

B. 3 .

23  x mx C. 0 .

D. 2 . A. 1.

----------HẾT----------

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Cực trị

NHÓM GIẢI VẬN DỤNG CAO CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ - NĂM HỌC 2018-2019

VTED_2019 MÔN: TOÁN 12

Thời gian làm bài 90 phút

Đề đã thay đổi thứ tự câu (sắp xếp theo độ khó tăng dần) so với đề gốc

BẢNG ĐÁP ÁN THAM KHẢO

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

3

2

y



2

x



mx 9



12

2 m x

1

HƯỚNG DẪN GIẢI

 ( với m là tham số thực). Tìm tất cả các giá trị thực

x

Câu 1: Cho hàm số

2 x CD

CT

. của tham số m để hàm số có điểm cực đại, cực tiểu thỏa mãn

m   2

m



A. B.

m   hoặc 2

4m 

 1 4 m   hoặc 2

m   4

B.

2

D. Lời giải

x



18

mx



12

m

2

2

2

  

0

   m 0

  

 m 9   . m

m 72 m x 2 ; 2  

2 ;

m x

m

m

Chọn A 2  y ' 6

    thì m

  m

x CD

CT

0

2

4

m

   m

L ( )

2 x CD

  x CT

 m    m 

 1 4

 

m x ;

  2

m

m

m

0

 + Nếu 2

    thì m

x CD

CT

L 0( )

2

m

m

2 x CD

 m         x 2 CT m 2(

TM

)



4

2

 y ax



bx

c

HS có CĐ, CT m ' 81 x Khi đó 2 điểm cực trị là 1  + Nếu 2 0

 với

,a b c là các số thực.

,

' 0

Câu 2: Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số

y  có 3 nghiệm thực phân biệt.

Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Phương trình

Tài liệu Vted_2018

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19 B. Phương trình

y  có đúng 1 nghiệm thực.

' 0

y  có đúng 2 nghiệm thực phân biệt.

' 0

' 0

C. Phương trình

y  vô nghiệm trên tập số thực.

D. Phương trình

' 0

y  có 3 nghiệm thực

Lời giải

3

2

 y ax



bx



cx d

,

,

,

Chọn A Dựa vào đồ thị thấyđồ thị hàm số có 3 điểm cực trị  Phương trình phân biệt.

 với

a b c d là các số thực.

Câu 3: Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

y  có 2 nghiệm thực phân biệt.

' 0

A. Phương trình

y  có đúng 1 nghiệm thực.

' 0

' 0

B. Phương trình

y  vô nghiệm trên tập số thực.

' 0

C. Phương trình

y  có 3 nghiệm thực phân biệt.

D. Phương trình

' 0

y  có 2 nghiệm thực

Lời giải

3

2

 y ax



bx



cx d

Chọn A Dựa vào đồ thị thấyđồ thị hàm số có 3 điểm cực trị  Phương trình phân biệt.

 với

a b c d là các số thực.

,

,

,

Câu 4: Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số

0

0

0

0

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

b



ac 3



0

b



ac 3



0

b



ac 3



0

b



ac 3



0

 a  2 

 a  2 

 a  2 

A. B. C. D.

 a  2  Lời giải



a  0

2

 bx c 2 Dựa vào đồ thị thấy Mà đồ thị hàm số có 2 cực trị  PT

y  có 2 nghiệm phân biệt 

' 0

  '

b



ac 3

 0

Chọn A 2  ax y ' 3

Chuyên đề_Cực trị

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19 4

2

 y mx



2019

m



2018



x





có ba điểm Câu 5: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số



0

m

 

2018



m



2018

cực trị

 A. 2018

 0m

2018

m



0

m    m

B. C. D. 0

   Lời giải

3

y

 

4

mx



2

m



2018

x

Chọn D





x



0

3

y

   0

4

mx



2

m



2018

x





2

2  mx m



   2018 0 1

    0 

x  0

Ta có ;

m



0;

m



2018

 2

 0 2018



0





m  0



2018

0



m



2018

  

m   m m m

 2018 0





    

4

2

 y ax



bx

c

,

Hàm số có ba điểm cực trị  phương trình  1 có hai nghiệm phân biệt

 với

,a b c là các số thực. Mệnh

Câu 6: Đường cong ở hình bên là của đồ thị hàm số

đề nào dưới đây đùng

ab  0

ab  0

ab  0

ab  0

A. B. D.

C. Lời giải

3

2

Chọn B

y

 

4

ax



2

bx



x

4

ax



2

b





x



0

y

   0

2

x

 

b a 2

   

0

0

Ta có:

a  và do hàm số có ba điểm cực trị nên

y  phải có ba

Từ dáng điệu đồ thị hàm số suy ra

0b 

ab  0

nghiệm phân biệt, do đó

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

3

2

2

y



x



m



x



 1

m

m





3

4

x



 1

Câu 7: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

Tài liệu Vted_2018 



2 3

  1

 

 5m

 1m 

 5m 

có hai điểm cực trị m A. 5 B. 1 C. 5 D. 1

Lời giải

2

2

y

 

2

x



2

m



 x m



m 4

Chọn B

 3



 1

Ta có

y  có hai nghiệm phân biệt

0

2

2

  

'

m





2

m



4

m



3

 0



 1





 

m

2 6 

m

   

5 0

1

m

 5

Hàm số có hai điểm cực trị

S

3

2

2

10





Câu 8: Gọi là trị thực của tham số



10

 có hai điểm cực trị

y



x



m



2

m



x

1

x





1x và

2x thỏa mãn

1 3

1 x 2

. Hỏi tập hợp  các giá  số m để hàm 1 x 1

S có bao nhiêu phần tử nguyên A. 3

D. 2 B. 4

C. 1 Lời giải

2

2

y

 

x



2

m



2

 x m



10

Chọn C





2

14m



4

 

m



2



m



10



2

Ta có

  4

m

14 0

    m

7 2

0

Hàm số có hai điểm cực trị

y  lần lượt là 1x và

2x .



  

10



10

Khi đó, gọi hai nghiệm của phương trình

x 1

x 2

x x 1 2

1 x 1

1 x 2

2

2

 

2

m



2



10

m

10

10

m



2

m



96

 0







  



m

3

t m /





16 5

     m 

Theo giả thiết:

3

2

Vậy có 1 giá trị nguyên của m

y



x



ax



ax 3

 có 4

1 3

2





9

a

2 x 1



2



,x x thỏa mãn

Câu 9: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số a để hàm số

2

2

2 ax 2 2 a





9

a

a ax 2 1

x 2

. Tính tổng các phần tử của S . điểm cực trị 1

14 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Cực trị A. 6 .

B. 12 . C. 4 . D. 12 .

Lời giải

3

2

2



x

Chọn C

y



x



ax



ax 3

  4

y



2

ax



a 3

1 3

x

2 2 

ax



a 3

0

.

,x x thì 2

 có hai nghiệm phân biệt 1

,x x . 2

2

 

a



a 3

Để hàm số có điểm cực trị 1

 a 0      0 3 a 





2

a

2



2



a 3 ;





a 3

.

2 x 1

ax 1

x 2

ax 2 2

x 2  

a 3

x 1 x x . 1 2

  

2

2

2



12

a

2



a 3

2



9

a



 a x 1

ax 1

ax 2



  2





2

a  a 3

2



2



9

a

 x 2 2 a

2



12

a

 2 a



ax 2

ax 1

 a x 1

a  x 2

2





12

2.2

12





x 1





  2



   

2

a

4(

tm

)

2





12

 a a

a  a

2.2

12

x 2 a





a x 2

x 1

3

2

 y ax



bx



cx d

Theo vi-et: và

 có đồ thị như hình vẽ

Câu 10: Biết hàm số

y

x

1

a



0,

b



0,

c



0,

d

0,

0,







b

d

a

 . 0

 . 0

B. Mệnh đề nào dưới đây đúng: A. c 0,

a



0,

b



0,

c



0,

d

 0

a



0,

b



0,

c



0,

d

 . 0

D. C.

Lời giải

Chọn A

d  . 0

a  . 0

y

  nên

- Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên

y

 

23 ax



bx c 2

0

- Vì lim  x

  có hai nghiệm

- Hàm số có hai điểm cực trị dương nên phương trình

dương phân biệt. Do đó

15 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

  

0

b

0

  

0

c

0

 2 b  3 a  c   a 3

y



2 x m   x 1

  1;

1;

Câu 11: Cho hàm số ( với m là tham số thực ). Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có

 1;  .

   \ 1

 1;  .

      1 \

. hai điểm cực trị. A.  B.  D. 

C.  Lời giải

2

x



2



Chọn A

y



  y



0

2  x m  x 1

x





 x m 2  1

x

2 2 

 x m

0

 có hai nghiệm phân biệt khác 1 .

1

       m 1 0 m   1 2       0 m 1 m 

2

3

y

x

2

3







m

m





2

6

x

x

1

có hai nghiệm phân biệt. Khi đó, phương trình

 1





Câu 12: Cho hàm số

3; 4

1;3





4; 3

.

. . .

 điểm cực đại, điểm cực tiêu đều thuộc khoảng  A. 

1; 4







     

4;1

 3;1

B.  D. 

 . Tìm tập hợp các giá trị của m để hàm số có 2;3 C.  Lời giải

  1

3

2

2



y



2

x



3

m



x



6

m



2

x

  

1

y

6

x



6

m



x



6

m



2



 1







 1





2

x        0 x m 

Chọn A

2;3

x

1

 



4

2;3

      



m 3

1      m

1

2

  x m 2      m 

3

2

 y ax



bx



cx d

.

thì Để hàm sô có điểm cực đại, điểm cực tiêu đều thuộc khoảng 

 Mệnh đề nào sau đây

Câu 13: Đuờng cong ở hình vẽ bên là đồ thị của hàm số

đúng?

16 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Cực trị

a



0,

b



0,

c



0,

d

a



0,

b



0,

c



0,

d

 0.

 0.

a



0,

b



0,

c



0,

d

a



0,

b



0,

c



0,

d

B. A

 0.

 0.

D. C.

Lời giải

y

  nên

a  0.

Chọn A

Vì lim  x

x

    y 0.

d

0

a c .

0

Đồ thị cắt trục tung thì

   c 0.

Vì hai điểm cực trị của hàm số trái dấu nên

x



  

b

0

0.

 b 3 a

2

2

Điểm uốn

2018; 2018

y



3  x mx



m 3



4

 x m



2

m





 m  



Câu 14: Có bao nhiêu số nguyên để hàm số có

C. 2017. D. 2018. hai điểm cực tri trái dấu? A 2020. B. 2019.

Lời giải

Chọn A

a c .

m

m

4

0

0

3

4        3

 m  

 2018,...,1



Ta có giả thiết



f



2 3 

x m

   Tìm tập hợp tất cả các

x .



y

  x



 f x

 x m x

 5 ,

 giá trị của m để hàm số có ba điểm cực trị?

Câu 15: Cho hàm số có đạo hám

;



\





;



\



 5;1

 

 1;5

29 4

29 4

  

  

  

  

B. A

;



\



;



\





 5;1

 

 1;5

29 4

29 4

  

  

  

  

D. C.

Lời giải

Chọn B

Tài liệu Vted_2018

f

 có ba nghiệm phân biệt.

Ta có giả thiết suy ra

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19   0 x

2



f

  

0



3

x m

 

5

 0

  x



 x m x





x

2 3 

x m     x m

  5 0 1

Mà

  

9 4

m



 20 0



2

m



m m 3

  

5 0

m





m

  

 29 4  1;5

2

2

Do đó, PT (1) có 2 nghiệm phân biệt khác m:

y



3  x mx



 . Gọi S là tập tất cả các giá trị thực của tham số m

x



m

 2 3

 1

2 3

2





x

1

 . Hỏi S có bao nhiêu phần tử?



2 3 2,x x thỏa mãn

x x 1 2

x 1

2

Câu 16: Cho hàm số

để hàm số có hai điểm cực trị 1 B. 0. A 2.

 C. 1.

D. 3.

Lời giải

Chọn B

2

2

y



3  x mx



m



x

 2 3

 1

2 3

2  3

2

2

y

 

2

x



2

mx



m

2

2

x

y

2

0

 2 3 mx

2

 1 m





0

 1

2

2

x mx

 



0

m 3



    

   2 3   1

Ta có

m



2 / 13

2

m

 

4 0

m

 

2 / 13



  m

.

13 2

2 3

 

1 2

m



1

     3 m 

m



0

m



2 / 3

      

3

2

2

Giả thiết suy ra:

y



x



3

x



m



8

 có hai cực

1



 m x

Câu 17: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số



19

19

4

trị trái dấu.

 8m

A. 0

0m  hoặc

8m  D.

m



C. B. 4 1 2

   m 15 2 Lời giải

Chọn D.

18 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Cực trị

3

2

2

y





3

x

m



8

 có hai cực trị trái dấu khi và chỉ khi đồ thị hàm số

1

 m x

3

2

2

y



x



3

x



m



8

 cắt trực hoành tại ba điểm phân biệt

1

x 

   m x

3

2

2

3

2

2

Hàm số

x



3

x



m



8

 

1 0

  x

3

x

   1

m



8



 m x

 m x



3

2

x





1

2



 

m



m 8

Xét phương trình:  1

0

x  . 0

x  không phải là nghiệm của  1 nên  1





x 3 x

3

2

x





1

2





x



3

x

Vì , với

 , với

x  . 0

  f x

3 x x

1 x

1





Xét hàm số

f

x



2

x

  3

f

x

  0









1 2 x

 x     x 

1 2

Ta có: ;

1

1

0

x

∞

2

∞

+

Bảng biến thiên

+

+

0

0

+

f' x( )

∞+

+ ∞

+∞

f x( )

15

4

∞

2

m



8

m

m





15   4

1 2

15 2

Từ bảng biến thiên:  1 có ba nghiệm phân biệt   

3

2

2

3

Chọn D.

y



x



3

mx



3

m



 x m



 1

Câu 18: Cho hàm số . Tìm tất cả các giá trị thực m để hàm số có hai

m   1

1m 

m   hoặc 1

1m 

 1m 

B. C. D. điểm cực trị trái dấu. A. 1

Lời giải

Chọn A.

2

2

Tập xác định: D   .

y

 

3

x



6

mx



3

m



  . 1

2

2

Ta có

y

 

3

x



6

mx



3

m



 0



 1

2

a c  .

0

1m 

Hàm số có hai điểm cực trị trái dấu khi và chỉ khi phương trình

 . Chọn A

   1 0

 m 9

 1

3

y



6

mx





có hai nghiệm trái dấu

 . Tìm tất cả các giá trị thực m để hàm số có hai điểm cực

23 x 4

1 2

Câu 19: Cho hàm số

x 2 1;1

. trị thuộc đoạn 

19 | VD_VDC

Tài liệu Vted_2018





;

;0

;0

 0;

A. B. D. C. 

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19 1 16

1 16

1 16

  

  

  

  

  

  

Lời giải

Chọn D.

y

 



 x m 6

Tập xác định: D   .

23 x 2

3 2

Ta có .



1;1

y

 



 x m 6

0

Hàm số có hai điểm cực trị thuộc đoạn khi và chỉ khi phương trình

  1 có hai nghiệm

 1;1

 x x   1

2;

23 x 2

3 2



 x m 6



0



m

.

2   

x

x

4

m

  4  f x

23 x 2

3 2

2



x

Phương trình .

 x

 f x





f

x

x

 ; 1



 2 



f



2

x

1 0

x

  x

1     2

Ta có:

1

x

1

1

2

y'

0

+

2

0

y

1

4

4

m

  

0



m

0

Bảng biến thiên

 . Chọn

1   4

1 16

3

2

Từ Bảng biến thiên ta được: D.

y



x



m



2

x



5

m



4

 x m 3

 có hai điểm cực trị

1









1x ,

2x thỏa mãn

1 3

2

  . Mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu 20: Biết hàm số

x 1 A.

x 2 0m 

 1m

1m 

 2m

C. B. 0 D. 1

Lời giải

2

y

 

x

2 2 

m



2

x



4



m 5

Chọn A.







x 1

  x 2

2x thỏa mãn    2 0

Ta có . Hàm số có hai điểm cực trị

 2

0

 y  có hai nghiệm phân biệt 1x ,

1x , x 2x thỏa mãn 1

x 2

khi và chỉ khi phương trình

20 | VD_VDC

2

2

m

9

m



;0

9;

m

2

5

m



4



0

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19     















2



 

4 0

 

m

0

  2

 

2

0

 

0 

x x 1 2

x 1

x 2

 m 

   

  9 

x 1

x 2

    

Chuyên đề_Cực trị       

 0m  . Chọn A

x



1

y



 4 sin x a cos a

cos x

có ba điểm Câu 21: Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số a để hàm số

 7 0;  3 

  

0

a 

0

a 

cực trị thuộc khoảng .

1a  .

a  2

3 8

3 2

A. C. . . B. 0 D. 0

Lời giải



D



\



 k ;

k



Chọn C.

a  . 0

   2 

  và  

y

 

 4 a cos a

sin x 2 x

y

   0

sin

x



4

a

Tập xác định:

x

a 4

 7 0;  3 

  

Để hàm số có ba điểm cực trị thuộc khoảng có 3 nghiệm thì phương trình sin

 7 0;  3 

  

s inx

thuộc khoảng .

  f x 

 

0 4

a

   

a

0

Xét hàm số .

y



sin

x

3 2

3 8

 7 0;  3 

  

3

3



x



ax

2 2 

x

1

   x

bx

2 3 

x

1

Dưa vào đồ thi hàm số trên ta có YCBT .

 và

 có chung ít nhất một

  f x

 g x



b

Câu 22: Biết hai hàm số

6

điểm cực trị. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức a bằng

A. 30 . B. 2 6 . D. 3 3 .

C. 3 Lời giải



f



23 x



2

ax

 

23 x



bx 2

 , 2

 3

  x

  g x



Chọn A.

0x là điểm cực trị chung của hai hàm số.

2



3



2

 

2 0

x 0

ax 0

2

Gọi

  x 6

2

 

5 0



  a b x 0

2

  3



 

3 0

  x    g x

x 0

bx 2 0

 f   

Ta có hệ:

21 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

   

a b

0

   

a b

30

30



2

a



b



a

    

a b

b

30

Vì hai phương trình có nghiệm chung nên tồn tại .

Ta có

b là 30 .

3

2

Vậy giá trị nhỏ nhất của a .

y



x



2

m



x



x

 1



 1

1 3

1 2

50 9

Câu 23: Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

2

x 22

.

2;3

. . có hai điểm cực trị 1 A. 

,x x thỏa mãn 1 x B. 

3; 2

   . 3; 2

2;3

D. 

C.  Lời giải

2

y

 

x



2

m



x





 1

50 9

,x x là nghiệm của phương trình

y  nên ta có hệ phương trình:

0

Chọn A.

2



2

m





  1 1

x 2

x 1



Vì 1

 3

 2

  2

x x . 1 2

2

50 9   3

x 2

       x 1

        2

1 5

m

m

3

x 2

x 1

2 x 2

  

      

m

m

5

1

2

2

x 2

x 1

5 3  5 3

10 3  10 3

  25    9  

. Thay vào ta được:

 m  

2;3



2



3

2  x mx

5

Vậy .

 . Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để

  y m

 3 x



Câu 24: Cho hàm số

   . 3; 2

  . 2

. D. B. 

 0; . C. 

2;1

; 3

2;

  3;1 \        

hàm số có hai điểm cực trị thuộc khoảng  A.  

Lời giải

2

y

 

3

m



2

x



6

 x m





0

0; thì phương trình

y  có 2 nghiệm thuộc



Chọn B.

 0; .

Để hàm số có hai điểm cực trị thuộc khoảng  khoảng 

22 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Cực trị

 

2 0

m

2



6

m

 

9 0





1

  2 m   3 m





  

3

m

 

2



0

2

0  a   0  P  S

0 0

m m

0    2

      

      



0

2

  3 m   m   m   2    m

2

.

y



3  x m x



m x 3

 có hai điểm

2

Câu 25: Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

a

;

   .Tính S b ;

ab

 là  4

1 3 

x 1

x 2

.

S  . 4

2;x x thỏa mãn S 

12

S  

12

  S   .

4

cực trị phân biệt 1 A. B. . D. .

C. Lời giải

2

Chọn A.

y

'



x



2

m x



3

m

3

Ta có .

y  có hai nghiệm phân biệt

' 0

2

m        ' 0 m



 

2

m

Để hàm số có cực trị thì .

y  . Theo định lý vi et ta có:

' 0

2;x x là hai nghiệm của

x 2 

m 3

x 1 x x . 1 2

  

. Gọi 1



4



16

   

2

x 1

x 2

x 1

x 2

2



  

16

m

4

12

m



16 0

 

Theo giả thiết

2

   x 1

x 2

x x 4 . 1 2

  1  4

 m 4     m 1 

a    b 

3

2

a 

.

y



ax



b x



c x



d



0

Câu 26: Số điểm chực trị của hàm số có thể là?

A. 2 . B. 0 hoặc 2 . C. 1hoặc 2 . D. 0 hoặc 1hoặc 2 .

Lời giải

' 0

y  có hai nghiệm phân biệt hoặc không có cực trị.

Chọn B.

3

Hàm số bậc ba chỉ có thể có 2 cực trị khi

y



 x m x

 có cực trị.

1

Câu 27: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

0m  .

0m  .

0m  .

0m  .

A. B. D.

C. Lời giải

y

 ' 3

2 x m

' 0

Chọn C.

 để hàm số có cực trị thì

y  có hai nghiệm phân biệt.

x m

0

23

   có hai nghiệm phân biệt

     .

0m

0

2

4

Ta có



2

m x



3

x

Câu 28: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

0m  .

0m  .

y  0m  .

A. B. có cực trị. D. m   .

C. Lời giải

23 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

Chọn B.

Nhận xét: hàm số bậc bốn trung phương luôn có cực trị nên chọn đáp án D.

với câu hỏi này nên hỏi có một hay ba cực trị thì hay hơn.

0

3

Hoặc giải như sau.

y

 ' 4

x



4

m x



4

' 0

 2 x x m



 x 2

x



m

     y 

Ta có .

0m  thì

x  nên hàm số có 1 cực trị.

0

y  có nghiệm

' 0

Nếu

0m  thì

y  có nghiệm có ba nghiệm nên hàm số có ba cực trị.

' 0

Nếu

Vậy với mọi m thì hàm số đều có cực trị.

y

  x

m x

có cực trị. Câu 29: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

0m  .

0m  .

0m  .

0m  .

A. B. C. D.

Lời giải.

D  

Chọn B.

  \ 0

y 

0

2x  

m

Tập xác định .

y

   1

  1

 0

m 2 x

m 2 x

Ta có ,  * .

y  có nghiệm và y đổi dấu khi đi qua nghiệm đó.

0

0m  .

Để hàm số có cực trị thì

4

2

y



x



mx 3

4

 có ba điểm cực trị đều

Do đó  * có hai nghiệm phân biệt

0

m

. Câu 30: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 2; 2  nằm trong khoảng 

   . m

 . 0

0m  .

0m   .

4 3

8   3

A. B. D. C. 2

Lời giải.

0

 x

  y

34 x



mx 6

Chọn D.

y  0

2

x

 

  

m 3 2

0

0

  

m

 . 0

Ta có ,

2; 2 

8 3

m

 





2

8 3

 m    

m 3 2

 m     

Hàm số có ba điểm cực trị nằm trong 

24 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Cực trị

3

2

3

2



x



x



ax

 và 1



x



x



ax a 3

 . Tìm tất cả các giá trị

 f x



 g x



1 3

1 2

1 3

a  

Câu 31: Cho hai hàm số

a  .

0



0

a

a  

hoặc A. B. thực của tham số a để mỗi hàm số trên đều có hai điểm cực trị đồng thời giữa hai điểm cực trị của hàm số này có một điểm cực trị của hàm số kia. 1 4

  .

1 a  . 4 15 4

15 4 15 4

C. D. .

Lời giải.

2

2

f



x



x



x



2

x



a 3

Chọn C.

  và x a





  g x



a



0

g x có hai điểm cực trị khi

a  .

  f x và







0

1 4

1 4    1 3  a 

1



a

  x

   x

1

 1 3 a

f



0



0

Ta có .

 x



 g x



 1 4 2

1



a

  1

 1 3 a



 1 4

a



 2 1 3 a

 

a 3 1 4

  4

a

Khi đó , .

 3

 1 4 2

24   a

15

a

 0

 

  .

0

a

15 4

1



a

1



 1 3 a



 

1 4

a



 2 1 3 a

*  3

 1

a

 1 4

a



4

a

 1

   1 3





 1 4 2

0

24 a

a

   0

a  (vì 0

4

1 a  ). 4

 a    a



0

a

*

  .

15 4

4

2

y



x



mx 2

1

Vậy

 có ba điểm cực trị đều

Câu 32: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

1m  .

0m  .

1m  .

C. lớn hơn 1 . 0m  . A. B. 0 D. 0 Lời giải.

0

  y

34 x



mx 4

Chọn B.

y

 x 2

x



m

    0 

Ta có , .

0m  .

m 

  1

1m  .

Hàm số số có ba điểm cực trị khi

Ba điểm cực trị lớn hơn 1

1m

 .

Vậy 0

25 | VD_VDC

Tài liệu Vted_2018   . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng về cực trị của hàm số

 x a x b x c





y

.

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19 Câu 33: Cho các số thực a b c  







 

 . c

b x 2



a



 . c

x 2

 a x 1 x 2    a c

tại thỏa mãn

 hoặc 1 x x 2

x thỏa mãn 1 x thỏa mãn 1

. A. Hàm số không có cực trị. ;x x B. Hàm số đạt cực trị 1 2 ;x x C. Hàm số đạt cực trị tại 1 2 ;x x D. Hàm số đạt cực trị tại 1 2

Lời giải

;x x 2

.

0

a  nên 1

;x x 2

Chọn B Ta có đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt nên hàm số có hai điểm cực trị 1 Do hàm số bậc ba có hệ số lần lượt là điểm cực đại và cực tiểu của hàm số.

c

a

x2

b

x1

x

 

 . c

 a x 1

b x 2

2

Do đó

y



3  x mx



m



6

 x m 2

 có cực

1





1 3

2m  . B. 2

 .

Câu 34: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

m   hoặc 3  . 2m 

3m  m   hoặc 2

3m  .

D. trị. A. C. 3

2

Lời giải



x



2

mx m

6

  .

x

2 2 

mx m

   có hai nghiệm phân biệt

6 0

Chọn D y ' Ta có

Hàm số có cực trị  phương trình       6 0

3

2 ' m m m   2     m

3

2  x mx

5

2



x

3



 có cực trị.

.

Câu 35: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

m   .

  y m 1m  hoặc

 3m  .

B.

1m  3m 

 hoặc  .

A. 3 C. 1

2 D. 3

1m 

 .

y



23 x



2

x

5

2

m   : hàm số trở thành

 . Hàm số có điểm cực tiểu nên

m   thỏa 2

2

 Xét mãn.  Xét

m   :

Lời giải Chọn D

26 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Cực trị

2

y

 ' 3

m



2

x



6

x m

 .





2

Ta có

3

m



2



6

 x m

 có hai nghiệm phân biệt

0

x





2

6

m

  9 0

     m 3 '  .    1m 3

3

2

 y mx



mx 3



m



x

1

Hàm số có cực trị  phương trình

 không có



 1

Câu 36: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

cực trị.

0

m





m

 . 0

0

m



m

 . 0

1  . 4

4 13

4 13

1   4

A. B. C. . D.

Lời giải

0m  : hàm số trở thành

0m  thỏa mãn.

y

x  . Hàm số không có điểm cực trị nên

1

 Xét

0m  :

2

y

 ' 3

mx



mx m 6

1

Chọn A  Xét

  .

2

mx 3



6

mx m

1 0

   vô nghiệm hoặc có nghiệm

Ta có

2

  

' 12

m 3

 0



m  0

m 1  . 4

4

2

 y mx



2

m



x

1

 có ba điểm cực

Hàm số không có cực trị  phương trình kép



 1

Câu 37: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

 . 1m  . 1m

 

0m  hoặc 1m  hoặc

m   . 1 0m  .

B. D. trị. A. 0 C. 1

Lời giải

3

2

y

 

4

mx



4

m



x



4



m



 1

 x mx

  1



0

m

0

Chọn A

y  có ba nghiệm phân biệt

 . 1

 m m

1     0

Hàm số có ba điểm cực trị

4

2

y



ax



bx

Giải nhanh:

 c

  

ab

0

    0

0

m

 . 1

Hàm số trùng phương có 3 cực trị

4

2

bậc  m m 2 bốn  1

y



 x mx

 chỉ có cực tiểu mà

1 4

3 2

Câu 38: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

0m  .

0m  .

0m  .

0m  .

không có cực đại. A. B. D.

C. Lời giải

3

2

Chọn C

y

 

x



2

mx





2

m

 x x



.

27 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

0

x

0

x

y

   0

 2

 2

x



2

m

x



2

m



0

  *

  

   

.

 * vô nghiệm hoặc có nghiệm kép là

Hàm số chỉ có cực tiểu mà không có cực đại

    . 0

m

m

2

0

0

4

2

y



ax



bx

c

Giải nhanh:

 chỉ có cực tiểu mà không có cực đại

0

0

Hàm số





  m

0

0

 a   ab 



0

1    4  m   4

2

.

y







3

 x m



 x m x

  1

1

,x x thỏa mãn

2

x x  . Tính tổng các phần tử của S . 1 2

Câu 39: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

đạt cực trị tại 1 A. 1. B. 2 . D. 2 . C. 1 .

Lời giải

2

2

y

 

x



3

x m

  

1





3



3

x



2

m



3

 x m 2

Chọn B

 1



 x m x 2







x x  1 1 2

Ta có

2,x x thỏa mãn

2

2 12 



0

m

 

m



3



m





0



 3 2

 1

Hàm số đạt cực trị tại 1







2

2

1

2   1



1

 m  m 

  1

  m 3

   m    m 

    

.

m

3

2

tất cả các giá trị thực của tham số để hàm số



y

x



m



3

x



4

m



3

2 x m m













2,x x

1



đạt cực trị tại các điểm thỏa mãn

x 2

3

3

m

. Câu 40: Tìm 1 3   1 x 1

m   .

  . 3

m   .

1m  hoặc

m   .

7 2

7   2

A. C. D. B.

Lời giải

2

y

 

x



2

m



3

x



4

m



3

Chọn B









 



.

2,x x thỏa mãn

1 x 1

x 2

 



0

y  có hai nghiệm phân biệt 1

2,x x thỏa mãn

1 x 1

x 2

Hàm số có cực trị 1

28 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Cực trị

2

m

4

m



3



0

0





2

m

  3

0

m





0

23  

m

0

   m 2

x 1

x 2





0

4

  m



3

  

m

2



3

 

1 0

   1   1 .

 1   1

2 

   2 

3 



x 1

 x 2

        

       

       m 

 7 2

m





 1;

m

  . 3

    m

2

 7   2

       ; 3      m 

 7 2

3

2

y



x



m



2

x



(5

m



4)

x





1 3

   1

có hai Câu 41: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

x 2x thỏa mãn 1

x 2

. điểm cực trị 1x ,

m   .

3

m   .

3

m   .

m   .

1 7

1 7

A. B. C. D.

Lời giải

2

y

 

x



2

m



2

 x m 5

ChọnD.

 . 4





2

Ta có

y

   

0

x

2

m



2

x



5

m

  4

0 (*)





9

2

  m

m

.

9

0  

   0

,x x 1 2

0

m    m

 

m

Để hàm số có hai cực trị

x 2 

4 2  m

5

4

  x 1  x x .  1 2

   1

Theo hệ thức viet : (*)

2x thỏa mãn

x 1

x 2









1x ,   (**)

(

1)(

1)

  0

(

) 1 0

x 1

x 2

x x 1 2

x 1

x 2



m



m

      .

m

Hàm số đã cho có hai điểm cực trị khi và chỉ khi

5

4 1 0

3

Từ (*) và (**) ta có : 4 2

m   3

3

2

y



x



a



a x







(cos

3 sin )

a x 8(1 cos 2 )

1

2 3

Đối chiếu điều kiện ta có :

2

1

S





Câu 42: Cho hàm số (với a là tham số thực). Biết hàm

,x x . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2 x 1

số luôn có hai điểm cực trị

B. 18 . C. 38 .

2 x 2 D. 33 .

A. 8 . Lời giải

3

Chon B.

y



x



a



a x





'

2

2(cos

3 sin )

a 8(1 cos 2 )

Ta có :

29 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

3

y

  

x

a



a x





'

2

0

2(cos

3 sin )

a 8(1 cos 2 )

 (*) 0

2

1

,x x nên theo hệ thức viet :



a



a

x 2  

3 sin 

cos a 4((1 cos 2 )

  x 1  x x  1 2

2

2

S









a







(

)

2

(3sin

a cos )

a 8(1 cos 2 )

x 1

x 2

x x 1 2

Theo giả thiết hàm số luôn có hai điểm cực trị

2

2

a





a





a 8(1 cos 2 )

9 sin 

cos a

 a 

a 6 sin cos a







a





9

3 sin 2

a 8(1 cos 2 )

1 cos 2 2

1 cos 2 2





a



a

13 4 cos 2

3 sin 2

 

a



a

S



 

Do đó :

4 cos 2

3 sin 2

5

13 5

18

 với mọi giá trị a nên max

3

2

2

Do 5

y



x



m



x



m



m



x

(

1)

(

4

3)

2 3

S



ab



 a b

2(

)

Câu 43: Biết hàm số có hai điểm cực trị a và b. Tìm giá trị lớn

C. 38 . D. 33 . B. 18 . nhất của biểu thức A. 8 . Lời giải

3

2

Chon B.

y



x



m



 x m



m

'

2

2(

1)

4

 3

3

2

y

  

x

m



 x m



m

'

0

2

2(

1)

4

  (*) 0

3

2

2

m



m



m



     0

(

'

1)

2(

4

3)

1

2

Ta có :

,x x

 0

2

 

m



m

    

m

6

0

5

5

  1

m

a b

1

2

m



m



3

ab



        

4 2

Để hàm số luôn có hai điểm cực trị

2

m





7

S



ab



 a b



2(

)

m 8 2

2





m

f m m ( )

8

7

Theo hệ thức viet :

   trên ( 5; 1)

Xét hàm số

-4

x

– ∞ +

+ ∞ + ∞

– 1 – 5

– 8

y

f m (

)

-9

0

  là

Nên miền giá trị của trên ( 5; 1)

30 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Cực trị

0; 9 

 

S



max

9 2

2

2

Do đó

y



3  x mx



2(

m



3)

x

2 3

2x

2x

đạt cực trị tại Câu 44: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

các điểm 1x , sao cho 1x , là độ dài các cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài

5 2

m  

m  

m 

cạnh huyền bằng

m 

14 2

13 2

13 2

14 2

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

3

2

Chọn B.

y



x



mx



m

'

2

2

2

 6

3

2

y

  

x

mx



m

'

2

0

2

2

  (*) 0

6

2

1

Ta có :

,x x là độ dài các cạnh của một tam giác

m







6

 

m



3

6

S P



  '    

3

3





0

   6 0  m     0 0   0   m     m 

x 1

x 2

(*) có hai nghiệm



m

2

x 2 

m



3

  x  1  x x  1 2

Để hàm số luôn có hai điểm cực trị

2



  





(

)

2

2 x 1

2 x 2

x 1

x 2

x x 1 2

5 2

5 2

Theo hệ thức viet :

2

2

m



m

2       

m

m

2

6

5 2

7 2

14 2

Theo giả thiết:

Hay

m 

14 2

Đối chiếu điều kiện ta được:

2

2

3  x mx

mx







3  x mx



mx

Vậy ta chọn đáp án B.

 . Tìm tất cả các

 và 1

g x ( )

f x ( )

3

4

1

1 3

1 3 giá trị thực của tham số m để hai điểm cực trị của hàm số

f x nằm giữa hai điểm cực trị của ( )

Câu 45: Cho hai hàm số

g x ( ).

hàm số

31 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

m

 

m





m

 . 0

 . 0

1 56

0 4

1   4

1 56

1   4

m     m

A. . B. C. . D.

Lời giải

2

3

Chọn B.

f



x



mx



m



x



mx



m

x '( )

2

3

g x '( )

2

4

Ta có: ;

f x có hai cực trị ( )

( )g x có hai cực trị

,x x và 1 2

,x x khi và chỉ khi 3

4

2



0

m



m



f

x

3

0

4

'(

)





2





m



0

0

m



m



4

0

g x '( )

  m  

    

    

2

   m

m



m

3

x 1

Để

f

x  có hai nghiệm:

'( )

0

2

   m

m



m

3

x 2

   

2



m



m



m

4

x 3

g x  có hai nghiệm

'( )

0

2



m



m



m

4

x 4

   

Khi đó

f x nằm giữa hai điểm cực trị của hàm số ( )

( )g x khi và chỉ khi







x 3

x 1

x 2

x 4

2

2

2

2

m



m



m

   m

m



m

m



m



m



m



m

4

3

2

3

4

(1)

Để hai điểm cực trị của hàm số



(*)

2

2

2

2

  m

m



 m m



m



m

m



m



m



m



m

3

4

3

2

4

(2)

    

    

hay

4m 

2

2

2

2

2

2



 m m



m



m m



 m m

  m

m m

 

m m



m

(1)

4

3

4

3

4

4

4

3

 0

Nếu thì

4m  nên trường hợp này bị loại

Vô nghiệm với

0m 

2

2

2

2

2

2

m



m

m



m



m

m



m



 m m



m



m m



m

3

  2

4

3

4

4

4

4





(*)

2

2

2

2

2

2

m



m



m



m



m

m



m



m



m m



 m m



m

3

2

4

3

4

4

3

4

    

    

2

2

 

m





m

m



m

m m (4

1 4

m 4 )

0

4

  1

4

4

(3)

Nếu thì





0m  )

2

2

 

m





m

 

m



m

m m (4

1 4

m 3 )

0

4

1 4

3

(4)

    

    

(do

0m  nên (3) luôn đúng

m

 

m

  1

0

4





   m

(4)

2

2

m



m

 

m



1 56

8

1 16(

m 3 )

   16 

       m 

1 4 1 56

Do

m

 

0

1 56

Vậy

32 | VD_VDC

Chuyên đề_Cực trị



Câu 46: Cho hàm số liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ bên, một hàm số

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19   g x xác

  f x



 . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số

  f x m

y   f x có đạo hàm

  'g x

 

0m

 

0m

định theo   g x có duy nhất một điểm cực trị.

 .

 .

0

0

m   4    m

m   4    m

A. 4 B. . D. 4 . C.

Lời giải

y



y



Chọn C

 có đồ thị bằng cách tịnh tiến đồ thị

  f x m

  f x

0

'

g x  có một nghiệm mà

  g x có duy nhất một điểm cực trị khi và chỉ khi

 

'g x đổi dấu qua nghiệm này.

Hàm số theo trục Oy m đơn vị.



y



Để hàm số  

 nên

 phải cắt trục Ox tại một điểm (điểm còn lại có thể

  'g x

  f x m

  f x m

Mà

0

m   4    m

3

2

 y mx



x



m



x

3

 có hai điểm

tiếp xúc với trục Ox ) và điều kiện là



 1

Câu 47: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

3



21

3



21

3



21

3



21

cực trị và điểm cực tiểu nằm bên trái điểm cực đại.

0



m



0



m





m

 . D.

0



m

 . 0

6

3

3

6

A. . B. . C.

Lời giải

Chọn D

0m  hàm số không có cực trị.

2

y

 ' 3

mx



2

x m

1

Với

  .

0m  . Ta có

  

' 1 3

Xét

 m m

   0 1

3



21

3



21

2

Để hàm cố có hai điểm cực trị, điều kiện là

  3 m

m 3

   1 0



m



6

6

.

0m  .

Để điểm cực tiểu nằm bên trái điểm cực đại, điều kiện là

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

3



21



m

 . 0

6

4

2

 y ax



bx

c

Vậy

 có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu 48: Cho hàm số

a



0,

b



0,

c

 . 0

a



0,

b



0,

c

 . C.

0

a



0,

b



0,

c

 . D.

0

a



0,

b



0,

c

 . 0

A. B.

Lời giải

y

    .

0

a

Chọn A

Do lim  x

0b  .

,a b trái dấu. Suy ra

Đồ thị có hai điểm cực trị, nên

x

    (đồ thị cắt trục Oy tại điểm phía trên trục hoành).

0

0

c

y

Cho

a



0,

b



0,

c

 0

3

2

Vậy

y



x



m



3

x



2

m



x

 có hai điểm cực trị lớn hơn 1.

1







 1

1 3

1 2

1m

1m 

1

Câu 49: Tìm m để hàm số

 .

1m  .

 .

m   .

A. 0 B. C. 1 D.

Lời giải

2

y

'



x



m



3

x



2

m

Chọn A







  . 1

Ta có

 

m





8

m



 0



23 



 1

y

Để hàm số có hai điểm cực trị, điều kiện là

   . Khi đó 1

m

0

   m

21

1

x  2      ' 0 x m 

m

    .

1 1

m

0

.

Để hàm số có hai điểm cực trị lớn hơn 1 khi

1m

 .

3

2

 y mx



mx 3



m



x

1

 có hai

Vậy 0

 3 2

 1



2



3



4



5

 . 1

2 x 1

x x 1 2

2 x 2

x 1

x 2

Câu 50: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

2,x x thỏa mãn

điểm cực trị 1

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

1;

  1;

A. . B. . C. . D. .

Chuyên đề_Cực trị 4 11

4 11

4 11

4 11

  

 ;1  

  

  

  

  

  

 1;   Lời giải

2

2

Chọn



mx 3



m



x



1

  y

mx 3



6

mx



m

 3 2

 1

 3 2

  . 1 y  có hai nghiệm phân

0

A. 3  y mx Ta có:

2,x x khi và chỉ khi phương trình 0

0

m

 





1 3

Hàm số đã cho có hai điểm cực trị 1

2,x x

2

9

m



9

0

m

m

0

 m m 2

   1

 m     

m



0

1     3

 m    

   





2

x 1

x 2

biệt 1

1

2

 

x x 1 2

 m m

2



2



3



4



5



1

 

4 2



4.2



 1

x



2

x



4



x



x

 1







2 x 1

2 x 2

x 1

x 2

2 x 2

x 2

    x x 1 2

   x 1

2

2 2

x 1

2

2

 

1

x 2

x

   3 0

2   2 x 2

2



x 2

   

3 2

2

1

2

1

3

Khi đó

1m 

 

3.

    

 1

x 2

x 1

    mà 1 2 x x

2

2

Vơi

 



 

m  

x 2

x 1

1    mà 1 2 x x 2

3 2

3 1 . 2 2

4 11

 1m m  1m m

 m m  m 1 m

2

2



y



Vơi

x

f

x

x





mx





2

5

x

  f x





y



Câu 51: Cho hàm số có đạo hàm . Có bao nhiêu giá trị

  1 có đúng một điểm cực trị.

   f x

nguyên của tham số m để hàm số

A. 3. C. 6 . D. 5. B. 4 .

y

Lời giải Chọn

f

'

0

  f x

  x  có đúng 1 nghiệm bội

D.  Hàm số có đúng một điểm cực trị khi và chỉ khi

x

2 2 

mx

  vô nghiệm hoặc có nghiệm kép

5 0

m  

2 5 0  

 

5

  m

5

lẻ  phương trình

 m   

 2; 1;0;1; 2

Do m nguyên nên .

3



x



2  x mx

Vậy có 5 giá trị thỏa mãn.

 f x





Câu 52: Biết hàm số có một cực trị bằng 1. Cực trị còn lại của hàm số đã cho bằng.

5 27

13 27

11 27

5 27

A. . B. . C. . D. .

3

2

Lời giải

x





f

'



3

x



2

x m

 .

  x

  

' 1 3

m

0

D. 2  x mx Chọn    f x

   . m

1 3

Hàm số có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi

35 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018



 

x 1

x 2

2 3

2,x x là hai điểm cực trị của hàm số



x x . 1 2

m 3

     

y



'

x

y





m 3



x



Giả sử 1



 1

1 3

1 9

2 9

m 9

  

1

Ta có

   1  y x  .

Giả sử





m 3









 

m



m







 1



 y x

 y x 1

 y x 2

x 1

x 2

2

2 9

2 3

2

2

2

36

3 m

.



m 3













Ta có .





 1

 m m 3

 1





 y x 1

 y x 2

x x 1 2

x 1

x 2

4 81

2 9 1 2 . 9 9

23 27 m 81

m 9 243

2

3

36

m

m







 y x 2

 9 243

2

3

36

m

3

2

 

m







36

m



9

m



162

m



207 0

    . m

1

 m 9 243

2 3

23 27

Mặt khác

 

 y x

2

5 27

3

y



x



m





m



4

x

4

 có giá trị cực đại và

.



 21 x





Câu 53: Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số

B. 13 . C. 12 . D. 14 . giá trị cực tiểu đều dương. A. 11.

Lời giải



m



m



4

x

 4



  y

m

2



 23 x



x m

  4

Chọn 3  x y

  1

0

B.  21  x 

y  có hai nghiệm phân biệt

45

  m

2    m m

 11 0

  

m





m 3



12

 0



21

45

   m 

  1 2   1 2

2

2





x 1

x 2

Hàm số đã cho có cực đại, cực tiều khi và chỉ khi phương trình

2,x x là hai điểm cực trị của hàm số

m

 m 3 4



x x 1 2

 3 qua

. Giả sử 1

2

2

d y :

 



5

m



13

m



x

m



5

m



13

 . 3





      thẳng 

Ta phương đường đi hai điểm cực trị là

2

2



 



5

m



13





m



5

m



13

m

 6







 y x 1

 y x 2

x 1

x 2









2 9

2

2

 

m



5

m



13

m

m



5

m



13

 6

   1







2 9 

4 27

2 9

có 2 9 trình 1  9 Ta có

Đang tính, số lẻ

36 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Cực trị

3

y

2



x





  có hai cực trị trái dấu.

Câu 54: Có bao nhiêu số nguyên dương m để hàm số

23 x mx m C. vô số.

D. 3. B. 2 . A. 4 .

Lời giải



23 x mx m

  y

 

2

23 x Hàm số có hai cực trị khi và chỉ khi

6  .  x m    m 9 3

0 

   m 3   x 2 1

x 2

Chọn 3  x y B. 

2,x x là hai điểm cực trị của hàm số



x x 1 2

m 3

    

  y

y

'

x





m



3



m



3

Giả sử 1









1 3

1 3

2 3

2 3

  

  

2

2

2

ycbt



.

 0



m



3



m



3





m



3

 0











 







 y x 1

 y x 2

x x 1 2

x 1

x 2

4 9

4 9

4 9



  1 0

3m  .

  

2

  1 0





  x x 1 2

x 1

x 2

m 3

m 

.

1; 2 

3

2

Do m nguyên nên

y



x



mx



4

x



10

2,x x . Giá trị lớn nhất của biểu thức

1 3

1 2

Câu 55: Cho hàm số có hai điểm cực trị 1



x



9

S



2 2

2 x 1

 1



là?

 A. 49 .

B. 49 . C. 1. D. 1 .

Lời giải

 

m

Chọn A 2    x mx y

2,x x

Ta có

S

















3

3

9

x

x

x

 1







2 x 1

x 1

x 1

2 2

2

2



2

2

2

 

 

3 3

3 3





x

x









3

3



x





3

 1













 . 4 2 16 0    nên hàm số luôn có hai điểm cực trị 1  m    1 1 



x x 1 2

x 1

2

x x 1 2

x x 1 2

x x 1 2

x 1

x 1

2

2

3



   

m

0

Khi đó

1S  xảy ra khi

x 1

x 2

 4 3

5

3

y



x



(

m



1)

x



(2

m



3)

x

. Vậy max

 có 1

1 5

2 3

Câu 56: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

m

m

bốn điểm cực trị lập thành một cấp số cộng.

 6m 

 9m 

14 9

14 3

 6;   

  

 9;   

  

A. . B. . C. . D. .

4

2

Lời giải

 

2

m



x



2

m

 . 3



 1

4

2

y

   

0

x

2

m



x



2

m

3 0

 1

  .  1

2

2

Chọn A  x y

t



x

t



0

t



2

m



t



2

m

3 0

 





 1

  .  2

Đặt ta được phương

t

t 



2,t

t 1

2

. Hàm số đã cho có bốn điểm cực trị   2 có hai nghiệm phân biệt dương 1

37 | VD_VDC

Tài liệu Vted_2018



2

m



3



0



m

0

  m

.

3 2

P



0

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19 21       1   3 0

m  m

2

  0     S 0   

    2   



t

;



;

;

t

2

t 1

t 1

2

t



 

2

2

t 1

t 1

  t

3

. Khi đó phương trình  1 có bốn nghiệm là

2

t 1

  t 2

t 9 1



t



2



t 1

2

t 1

2(

m



) 1



t



2(

m



1)

t 1

2

Bốn nghiệm này lập thành cấp số cộng khi .





2

m



3



2

m



3

 

 t 9 1  t 9. 1

t 1 t 1

t t 1 2

  

      

6

2

  9 m

68

m



84 0

 

Theo định lí Vi-ét thì

3 m  ). 2

14 9

 m    m 

2

(thỏa mãn điều kiện





x

có ba điểm cực trị là Câu 57: Tập hợp các giá trị thực của tham số m để hàm số









3 4  x m    2; 2 \ 0

   6;6 \ 0

   6;6 \ 0

   2; 2 \ 0

. . . . B.  A.  D. 

y C.  Lời giải

 D  

2; 2

mx

m

2

Chọn A Tập xác định của hàm số là .

y

 

3

x





x

3

x



2

2

4



x

4



x

  

  

0

y

   0

m

.

3

x





  0 1

2

4



x

 x    

2

.



x 3 . 4



x



 

2

 1

 m x



2

2

3

x

 6

x



2

2



f



3. 4



x





.



x 3 . 4



x

  x

  f x

2

12 2

4



x

4



x



Xét hàm số có .

f

x

   

0

x

2





.

Bảng biến thiên

   6;6 \ 0

 m   0 . Suy ra y luôn có 3 nghiệm đơn và y đổi dấu khi qua các nghiệm này.

Từ bảng biến thiên ta thấy khi thì  1 luôn có hai nghiệm đơn phân biệt khác

 m  

   6;6 \ 0

4

2

y



x



2(

m



2)

x



4(

m



3)

x

1

Vậy khi thì hàm số có ba điểm cực trị.

 có ba

Câu 58: Tập hợp các giá trị thực của tham số m để hàm số

m  

m  

  5

m

 

  5

m

 

điểm cực trị.

11 4

13 4

13 4

11 4

A. . B. . C. D. . .

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Cực trị

Lời giải

 

4

m



2

x



4

m



3









3

2

y

   

0

4

x

4

m



2

x



4

m



3

  

0

x

x

 

x m



3

 . 0











 1



1

Chọn D 34  x y

 x 2

x

   

x m

  3 0 1

  

.

 1 có hai nghiệm phân biệt khác 1

3



m



0

m

 





Hàm số đã cho có ba điểm cực trị



  5

m

 

11 4

     m 3 0

1 4     1 1 

11   4     m 5 

4

3

2

y



x



8

mx



3

m



2

x

4

. 

 chỉ có





Câu 59: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

đúng một điểm cực trị.

m

2m  hoặc 2

 

m

  . 1

m   hoặc 2

1   2

2  . 3

A. B.

2m  hoặc

m   . D. 1

2m 

 .

1

C.

0

3

2

y

 

4

x



24

mx



6

m



2

x

Lời giải Chọn B.

y





 x 2

2

x



12

mx



3

m



2







 0 *



    0 

0

Ta có ;

2

36



6

m



2



0





m   hoặc 2

m

1   2

2  . 3

m

3



2



0

  

m 

  

Hàm số đã cho có đúng một điểm cực trị  phương trình  * vô nghiệm hoặc có một nghiệm x  ; hoặc có một nghiệm kép khác 0 .

m

2

3

2



y

m



2

m



x

2

3





9

2

 có hai điểm cực trị

,x x thỏa mãn 1

2

  m m x

tất giá của tham số để số trị 2 và thực 2 m x hàm x x 1 2 cả  các 



x x 1 2

mx 2

mx 1

Câu 60: Tìm   .

0

m

m

5  . 2

m

B. A.

m  .

0m  .

1   2 1   2

5  . 2 5  và 2

1 m   hoặc 2

5 2

C. D.

Lời giải

m

29 0m

  và 2 0

 , với mọi m .

0m  .

C. 2 2 m Chọn Ta thấy

2,x x 

0

x  và

Hàm số có hai điểm cực trị 1

x  , với mọi m . 2

Khi đó ta thấy 1 0

39 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

2  m m



2

 2

2   x 2 m  Theo định lí Viet, ta có

2

2

2

2  m m









 



m





x x Theo giả thiết, 1 2

mx 2

mx 1

  x x 1 2

 m x 1

x 2

2

2

m 3  2

m

m



2

m



2

m



 2

   

   

0m  .

m



3

 2m

2 m m



  

1   2

5  và 2

  x x 1 2  2 m 2 m 3  2 m  2 m    x  1    

y



3 2 x mx mx





 có hai điểm cực trị

1

2,x x

1

1 3



2 2

Câu 61: Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số

x 1

x 2

thỏa mãn .

m   hoặc 1 1m  hoặc

2m  . B. 0m  . D.

m   hoặc 2 0m  hoặc

1m  . 2m  .

A. C.

Lời giải

2 2 

 .

m

m

1

    . 0

Chọn   x y A. mx m

2,x x





2

m

Hàm số có hai điểm cực trị 1

x x 1 2  x x m 1 2

  



2 2

m

1

2



24 m



4

m

 

8 0

Khi đó, Theo định lí Viet, ta có

    . m



4



8

2

x 1

x 2

   x 1

x 2

x x 1 2

3

2

2

2

Theo giả thiết,

y



x



2

m



x



m



4

m



x



2

m

 có hai

2



 1



 1







Câu 62: Tìm tất cả giá trị thực của m để hàm số





x 1

x 2

2,x x thỏa mãn

1 x 1

m 

. điểm cực trị 1

1;5 

 m  

 m 

1;1

 m 

5;1

1 1 2 x 2 1;5

A. . B. C. . D. . .

2

2

Lời giải



4



 x m



4

m

 . 1

 1

2

   

m

2

3

   

m

2

3

Chọn   x y 3 A.  m

  m

4

m

 

1 0

,x x 2

4



 1



 

x 1

x 2

. Hàm số có hai điểm cực trị 1

2

m



 m 3  m

1



x x 1 2

4 3

    

Khi đó, Theo định lí Viet, ta có

40 | VD_VDC

Chuyên đề_Cực trị

m



4

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19  1







0











0





x 1

x 2



   x 1

x 2

2

1 2

1 2

m





1

1 x 1

1 x 2

1 x x 1 2

  

  



2

3 m 4 3

    

1

1m  (chọn) hoặc

m   (loại) hoặc

5m  (chọn).

m 

Theo giả thiết,

1;5 

3

2

 y ax



bx



cx d

Kết luận .

 có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

Câu 63: Cho hàm số

a



0,

b



0,

c



0,

d

a



0,

b



0,

c



0,

d

Mệnh đề nào sau đây đúng?

 . 0

 . 0

a



0,

b



0,

c



0,

d

a



0,

b



0,

c



0,

d

A. B.

 . 0

 . 0

C. D.

Lời giải B.

d 0;

 . 0

Chọn Từ đồ thị ta thấy đồ thị bên phải đi lên và giao điểm với trục tung nằm phía trên Ox nên a

,a c cùng dấu, suy ra

c  . 0

Hai điểm cực trị nằm về bên phải trục tung, nên chúng cùng dấu, do đó

0b  .



 . Suy ra

0

b a 3

3

2

3

2

f x

 ( ) 2

x



ax 3



6

x

1

g x

 ( ) 2

x



bx 3



12

x

4

Tâm đối xứng của đồ thị nằm bên phải trục tung nên

 và

 có chung ít nhất một

Câu 64: Biết hàm số

b bằng

điểm cực trị.Giá trị nhỏ nhất của biểu thức a

A. 2 2 2 . B. 2 6 . C. 3 2 . D. 3 6 .

Lời giải

f x và

( )

( )g x .Vì

( )

f x g x có đạo hàm trên  ( ),

 ;  nên

a

   t

2

f

 '( ) 0 t

t 6



6

at

 

6 0

  t

t

t

t

b

Gọi t là điểm cực trị của hàm số

2

g t

 '( ) 0

1 t

2   t

1     t

2 t

t 6



bt 6



 12 0

  

    

t

1 t 2 t

        b 



2

t





2 6

.Ta có: a

3 t

.Chọn B.

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

3

f x ( )



x



3

2  x mx

1

 . 3

2 x 1

2 x 2

 có hai điểm cực trị 1

2,x x thỏa mãn

Câu 65: Tìm m để hàm số

m   .

m  .

m  .

m   .

3 2

2 3

3 2

2 3

A. B. C. D.

2

f x

 '( ) 3

x



6

 x m

x D  .Giả sử hàm số

Lời giải

f x có hai điểm cực trị

( )





2

x 1

x 2

TXĐ: D   ; ta có

 3

f x 

'( ) 0

2 x 1

2 x 2

2,x x

1

2,x x

1



x x 1 2

m 3

    

  4

   .(Đến đây có thể chọn đáp án:Chọn B. )

m

3

x



2

 3

2

   x 1

2

x x 1 2

m 2 3

3 2

là các nghiệm của phương trình .Do đó

m  , thử trực tiếp thấy hàm số

f x có hai điểm cực trị.Chọn B.

( )

3 2

3

2

y



x



m



2

x

2

 có hai

Với

   1

 m x





Câu 66: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

điểm cực trị trái dấu.

m   .

2

 

1m

 .

1m  .

m   2    m 1

A. C. D. . B. 2

2

f x





2



2

x D  .Giả sử hàm số

f x có hai điểm

( )

Lời giải

  '( ) 3 1

 m x

  x m







TXĐ: D   ; ta có

f x 

'( ) 0

x x 1 2

2,x x

2,x x

1

 

2 m

m  3 1



0

'( ) 0

là các nghiệm của phương trình .Do đó cực trị 1

f x  có hai nghiệm phân

x x   1 2

2

 

2 m

m   3 1 ,x x đồng thời

m  1      0 m  f x đổi dấu qua các nghiệm đó '( )

m   2    m 1 f x ( )

2

.Mặt khác khi thì

,x x . 2

biệt 1 có hai điểm cực trị 1

3

2

 y mx



3

m



x



9

m



2

x

1

 có hai điểm

Chọn D.



 1





1

 bằng

x 2x thỏa mãn 1

Câu 67: Tổng tất cả các giá trị thực của m để hàm số

22 x 5 3

8 3

. B. . C. D. . A. . cực trị 1x , 10 3

4 3 Lời giải

y



23 x



18

x

1

Chọn D

 đồ thị chỉ có một cực trị, không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

0m  ta có

Với

2

mx 3



6

m



x



9

m



2

0m  .  

y

Với



 1





2

mx 3



6

m



x



9

m



2

0

. Ta có

 có hai nghiệm phân biệt



 1





6

2

6

2

2





m



  

18

m



36

m

 

9 0

Để đồ thị hàm số có hai cực trị khi

 2

 2

2

2

6



khi .







  1 2

  1

  3

x 1

x 22

x 1

x 2

x x 1 2

 m m

 m 3 m

Theo vi et ta có ; ; .

42 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Cực trị

4

2

 m

26 m

m 16

 

8 0

2

m



x 2

2 3

   m 

 m 3 m  m

  x 1   

. Từ  1 và  2 ta có thay vào  3 ta có

2

  .

2 3

8 3

3

2

 y ax



bx



cx d

Vậy ta có tổng các giá trị của tham số m là:

 có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Câu 68: Cho hàm số

a



0,

b



0,

c



0,

d

 . 0

a



0,

b



c



0,

d

 . 0

a



0,

b



0,

c



0,

d

a



0,

b



0,

c



0,

d

A. B. 0,

 . 0

 . 0

C. D.

Lời giải



 

bx c 2

 .

0

a  , đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên ta có

23 ax Dựa vào đồ thị hàm số ta có d  . 0 Mặt khác đồ thị có hai điểm cực trị, một điểm cực trị có hoành độ bằng 0 , theo Vi-et ta có

0

0b  , (vì

c  .



 



0



0

x 1

x 2

a  ); 1 0

x x 2.

c a 3

c   a 3

2 b a 3

4

1x

2x

3x



22 x

1

Chọn C y Ta có

 có ba điểm cực trị

   f x mx







2

2 x 1

2 x 2

2 x 3

Câu 69: Tìm m để hàm số , , thỏa mãn

.

m  .

2m  .

m  .

1m  .

1 2

1 4

B. C. D. A.

y

 

22 x

1

Lời giải Chọn A

0m  ta có

 đồ thị chỉ có một cực trị, không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Với

3

2

0m  .  

y

4

mx



4

x

Với



4

 x mx

  . 1

0

2

Ta có

4

 0

0m 

 x mx 

 1

 

x 3

1 m 1 m

   x 1     x  2    

0

ktm











2



22 m



2

m



0

Đồ thị hàm số có ba cực trị khi . ,



2

2 x 1

2 x 2

2 x 3

 

1 1   m m

1

 m  m

Khi đó ta có .

1m  .

3

y



x



23  x mx

Vây ta có

Câu 70: Có bao nhiêu giá trị thực của m để hàm số có một cực trị bằng 1 .

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

B. 3 . C. 0 . D. 2 . A. 1.

Lời giải

 

23 x



6

x m

 .

Chọn A y Ta có

3m

2



6

2

m



6





Đồ thị hàm số có hai cực trị khi

,x x là hai

;

;

2

    . 0  1  x m m 3

 2  x m 3

  

 B x  2 

  

 A x  1  23 x



6

 x m

Gọi hai điểm cực trị là ; , với 1

 . 0

2

m



6





  1

nghiệm của phương trình

  x 1

2

1 2

 1  x m 3

 m 3   m 3



  2

. TH1: A là điểm có cực trị bằng 1 , khi đó ta có

   

m

x Theo Vi-et ta có 1

x 2

2

x x . 2

5 x   mà 1 2

15 4

m 3  m

2

6





  1

.

  x 2

2

1 2

 2  x m 3

3  m   m 3



  2

. TH2: B là điểm có cực trị bằng 1 , khi đó ta có

x   mà

   

m

x Theo Vi-et ta có 1

x 2

1

x x . 1 2

5 2

m 3

15 4

.

m  

15 4

Vậy thử lại thỏa mãn yêu cầu bài toán.

44 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Đơn điệu

NHÓM GIẢI VẬN DỤNG CAO CHUYÊN ĐỀ ĐƠN ĐIỆU - NĂM HỌC 2017-2018

VTED_2019 MÔN: TOÁN 12

3

Thời gian làm bài 90 phút

 .Mệnh đề nào sau đây đúng?

2

x

x

3





 0; .

;0 và nghịch biến trên khoảng   ;  .  ;  .

Câu 1: Cho hàm số

  f x A. Hàm số đồng biến trên khoảng  B. Hàm số nghịch biến trên khoảng  C. Hàm số đồng biến trên khoảng  D. Hàm số nghịch biến trên khoảng 

;0 và đồng biến trên khoảng 

 0; .

y



2 2 

x

1

Câu 2: Hỏi hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

 0; .

1;1

 ;  .

;0 .

;  ?

. A.  B.  C.  D. 

3

Câu 3: Hỏi hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng 

y



y



y



x

 . x

y

   x

3 3

x

x x

 

1 3

  

x x

1 2

3

A. . B. C. D. . .

x

y







23 x

0;2 .  2; . 0;2 .

Câu 4: Cho hàm số . Mệnh đề nào sau đây đúng?

  f x A. Hàm số nghịch biến trên khoảng  B. Hàm số nghịch biến trên khoảng  C. Hàm số đồng biến trên khoảng  D. Hàm số nghịch biến trên khoảng 

;0 .

2

y



    . Mệnh đề nào sau đây đúng?

1,

x

 1; .

Câu 5: Cho hàm số

    f x x ' f x  có đạo hàm ;0 . A. Hàm số nghịch biến trên khoảng  B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng  C. Hàm số nghịch biến trên khoảng  D. Hàm số đồng biến trên khoảng 

1;1 .  ;  .

4

22 x

   . ; 2    . ; 2

y   Câu 6: Cho hàm số . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

1;1

.

1;1

. x A. Hàm số đồng biến trên khoảng  B. Hàm số nghịch biến trên khoảng  C. Hàm số đồng biến trên khoảng  D. Hàm số nghịch biến trên khoảng 

y



f x ( )

x

-2

2

-

0

+

_

_

+

0

y'

0

+

Câu 7: Cho hàm số có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

1 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Tài liệu Vted_2018

2;0 ;0 . 0; 2 .

.

   . ; 2

A. Hàm số đồng biến trên khoảng  B. Hàm số đồng biến trên khoảng  C. Hàm số nghịch biến trên khoảng  D. Hàm số nghịch biến trên khoảng 

y

1



Câu 8: Cho hàm số

 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1;1  0; .

.

22 x A. Hàm số nghịch biến trên khoảng  B. Hàm số đồng biến trên khoảng  C. Hàm số đồng biến trên khoảng  D. Hàm số nghịch biến trên khoảng 

;0 .  0;  .

Câu 9: Xét các mệnh đề sau:

a; b . Hàm số

y



f x ( )

y



f x ( )



 ( ) 0, f x

  

x

a; b

a; b khi và chỉ khi

(1) Cho hàm số đồng biến trên có đạo hàm trên khoảng 







. khoảng 

a; b . Hàm số

y



f x ( )

y



f x ( )



 ( ) 0, f x

  

x

a;b

a; b khi và chỉ khi

(2) Cho hàm số đồng biến trên có đạo hàm trên khoảng 







. khoảng 

y



f x ( )

 ( ) 0, f x

   . Khi đó 0

x

  \ 0R

(3) Cho hàm số xác định và có đạo hàm trên tập và

,a b khác 0 ta có ( ) f a



f b ( )

  . a

b

với mọi

y



f x ( )

 ( ) 0, f x

   . Khi đó 0

x

  \ 0R

(4) Cho hàm số xác định và có đạo hàm trên tập và

,a b khác 0 ta có ( ) f a



f b ( )

  . a b

với mọi

Số mệnh đề đúng là:

B. 3. C. 0 . A. 2 D. 1.

f x có đạo hàm trên   

;a b . Xét các mệnh đề sau:



f

  

0,

x

a b ;

Câu 10: Cho hàm số

  x

f x đồng biến trên khoảng   

;a b .







(1) Nếu thì hàm số

f

  

0,

x

a b ;

  x

f x nghịch biến trên khoảng   

;a b .







(2) Nếu thì hàm số

  

0,

x

a b ;

f

f x đồng biến trên khoảng   

;a b .





  x



(3) Nếu thì hàm số

  

0,

x

a b ;

f

f x nghịch biến trên khoảng   

;a b .





  x



f

  

0,

x

a b ;

(4) Nếu thì hàm số

f x đồng biến trên   

;a b thì

  x







f

  

0,

x

a b ;

(5) Nếu hàm số .

f x nghịch biến trên   

;a b thì

  x





(6) Nếu hàm số .





f

0,

f

  

0,

x

2; 2

  f x

  x

     x

 2; 2 ;

  x

  \



Số mệnh đề đúng là? A. 6 B. 4 C. 0 D. 2

0

f

thỏa mãn và

     x

 2; 2

Câu 11: Cho hàm số    x .

2 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Đơn điệu

Xét các mệnh đề sau:

2; 2

2;  .

. (1) Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 

  và   ; 2



(2) Hàm số đã cho nghịch biến biến trên mỗi khoảng 

2;2

2;  .

. (3) Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 



  và   ; 2

(4) Hàm số đã cho nghịch biến biến trên mỗi nửa khoảng 

2; 2

; 2

2;

. (5) Hàm số đã cho là hàm hằng trên đoạn 

     .





(6) Hàm số đã cho nghịch biến biến trên 

C. 4 D. 2 Số mệnh đề đúng là? A. 5 B. 6

2; 2

Câu 12: Cho hàm số . Mệnh đề nào sau đây đúng?

f

f



f

f



2



A.



f

f

f

f



2





f

f

f

f



2



B.

C.



f

f

f

f



2



f x đồng biến trên đoạn        1     1     1     1

  2   2   2   2

  1   1   1   1

   

   

D.

2;2

Câu 13: Cho hàm số . Mệnh đề nào sau đây đúng?

f

f



f

f



2





f

f

f

f



2



A.



f

f

f

f



2



B.

C.



f

f

f

f



2



f x nghịch biến trên đoạn        1     1     1     1

  2   2   2   2

  1   1   1   1

   

   

D.

2; 2



 x x   1 2

2





x

 . Mệnh đề nào sau đây đúng?

0

 f x





2

x 1

2

 f x 1

Câu 14: Cho hàm số và với mọi , 2;2 và x ta luôn có x 1

f



f

f

f



2



A.



f

f

f

f



2





f

f

f

f



2



B.



f

f

f

f



2



C.

f x xác định trên đoạn        

   1    1    1    1

    1   1   1   1

  2   2   2   2

   

    



D.

 

x

2 1,

    . Mệnh đề nào sau đây đúng?

x

f

  x

;  .



1;  .

  và   ; 1



Câu 15: Cho hàm số

1;1

;  .

.

  f x có đạo hàm A. Hàm số đồng biến trên khoảng  B. Hàm số đồng biến trên các khoảng  C. Hàm số đồng biến trên khoảng  D. Hàm số nghịch biến trên khoảng 



;  ?



x

y



y



x x

Câu 16: Hỏi hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng 

2 1 

y



y

 

x

2

2 

1

x

1 x

2 2  x  x 1

A. B. C. D.

3 | VD_VDC

Tài liệu Vted_2018

;  ?

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18 Câu 17: Hỏi hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng 



x

y



y



y

  x

cos 2

x

y



2 2

x 

x

1

2 2  x  x 1

x 2 1 

x

;  ?

A. B. C. D.



3

Câu 18: Hỏi hàm số nào dưới đây nghịch biến trên khoảng 

y



y



y



cos

x



2

x

2

 1 x 2  3 x

1 

1

x





f

,

  x



A. B. C. D. y   x x

 . Mệnh đề nào sau đây đúng?

  x

  f x có đạo hàm

2



 4 2 1

 x x  x 0; 4 .

;  .



;  .



4;  .

Câu 19: Cho hàm số

;0 và 







A. Hàm số nghịch biến trên khoảng  B. Hàm số nghịch biến trên khoảng  C. Hàm số đồng biến trên khoảng  D. Hàm số đồng biến trên các khoảng 

f

    và

0,

x

f

  

0

x



 , k

k

  . Mệnh đề

  f x có đạo hàm

  x

  x

 3

;  .



;  .

Câu 20: Cho hàm số





 ; k



k

nào sau đây đúng? A. Hàm số đồng biến trên khoảng  B. Hàm số nghịch biến trên khoảng 

 3

 3

  2  

  ;

\

,

k





 .

C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng .



      3 

  k  

D. Hàm số đồng biến trên 

y



;a b . Mệnh đề nào dưới đây sai?

 f x





f

  

a b ;

0,

x

Câu 21: Cho hàm số có đạo hàm trên khoảng 

 ;a b thì

   x

A. Nếu .

f

x

0,

  

; b

a

  ;a b .



B. Nếu thì

  

a b ;

0,

x

f

 

 ;a b .

C. Nếu thì

  

a b ;

0,

x

f

f x đồng biến trên khoảng          f x đồng biến trên khoảng   x f x nhận giá trị không đổi trên khoảng       x   f x nhận giá trị không đổi trên     x

 ;a b thì





D. Nếu .

y



;a b . Mệnh đề nào dưới đây sai?

 f x





  

a b ;

0,

x

f

Câu 22: Cho hàm số có đạo hàm trên khoảng 

 ;a b thì

   x

A. Nếu .

f

x

0,

  

; b

a

  ;a b .



B. Nếu thì

  

a b ;

0,

x

f

 

 ;a b .

C. Nếu thì

  

a b ;

0,

x

f

f x nghịch biến trên khoảng          f x nghịch biến trên khoảng   x f x nhận giá trị không đổi trên khoảng       x   f x nhận giá trị không đổi trên     x

 ;a b thì







y



f

  

0,

x

a b ;

D. Nếu .

 f x



  x





;a b và

Câu 23: Cho hàm số . Xét các mệnh đề có đạo hàm trên đoạn 

;a b .

sau: (1) Hàm số đồng biến trên 

 ;a b .

(2) Hàm số đồng biến trên 

4 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Đơn điệu

 ;a b .

(3) Hàm số đồng biến trên nửa khoảng 

;a b .

(4) Hàm số đồng biến trên nửa khoảng 

Số mệnh đề đúng là?



B. 3 . A. 1. C. 4 . D. 2 .

y



f

  

0,

x

a b ;

 f x



  x





;a b và

Câu 24: Cho hàm số . Xét các mệnh đề có đạo hàm trên đoạn 

;a b .

sau: (1) Hàm số nghịch biến trên đoạn 

 ;a b .

 ;a b .

(2) Hàm số nghịch biến trên 

(3) Hàm số nghịch biến trên nửa khoảng 

;a b .

(4) Hàm số nghịch biến trên nửa khoảng 

Số mệnh đề đúng là?

B. 3 . A. 1. C. 4 . D. 2 .



y

 f x

;a b .

 Xét các mệnh đề sau:



f

  

0,

x

a

; b

Câu 25: Cho hàm số có đạo hàm trên đoạn 

  x







f x đồng biến trên đoạn  

;a b .



(1) Nếu thì

f

  

0,

x

a

; b

  x

f x đồng biến trên khoảng  



 ;a b .







(2) Nếu thì

f

  

0,

x

a

; b

  x

f x nghịch biến trên khoảng  



 ;a b .







(3) Nếu thì

f

  

0,

x

a

; b

  x







f x nghịch biến trên đoạn  

;a b .

f

0

x



a b ;

f

(4) Nếu thì

 có nghiệm

  x





  x

0

0x .

(5) Nếu phương trình thì đổi dấu khi qua

Số mệnh đề đúng là?



y



f

x

0,

x

f

2

A. 5 . D. 3 . B. 2 . C. 4 .

 . Mệnh đề nào dưới đây

  f x





     và 0;



 1

Câu 26: Cho hàm số có đạo hàm

f

 . 4

f

f

 . 4

B.

f

f

 . 4

f

f

 . 4

  4   4

  2   2

  4   4

y



C. D. đúng?   A. f 2   2



  f x

1;3 . Đặt

 g x



 f x

2

y



Câu 27: Cho hàm số . Mệnh đề nào dưới đây đồng biến trên khoảng 

  f x

y



đúng? A. Hàm số

  f x

B. Hàm số

y



  f x

1;3 .  1; 3 . 1;3 .

C. Hàm số đồng biến trên khoảng  đồng biến trên khoảng  nghịch biến trên khoảng 

5 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Tài liệu Vted_2018

y



  f x

 1; 3 .





D. Hàm số nghịch biến trên khoảng 





 ? 0







x x , 1 2

 x ; 1

x 2

x 1

x 2

 f x 1

 f x 2





4

y



x



22 x

Câu 28: Hàm số nào dưới đây thỏa mãn điều kiện thì 

 . 1

y

  .

x

3

3

y



x

y



x



x

2 3 

x

1 x 22  x

A. B.

 . 1

 . 1





C. D.





 ? 0







x x , 1 2

 x ; 1

x 2

x 1

x 2

 f x 1

 f x 2





3

1y

Câu 29: Hàm số nào dưới đây thỏa mãn điều kiện thì 

  . x

y



x  3 2  1 x

y



x

3 3 

x

A. B. .

 . 1

y



x 2 1 

x

C. . D.

y



  f x

Câu 30: Cho hàm số xác định và liên tục trên  có bảng xét dấu của đạo hàm như sau

y



 f x



Hỏi số nguyên nào dưới đây thuộc khoảng đồng biến của hàm số ?



y



f

0,

x

f

2

A. 1 . C. 0 . B. 1. D. 3.

 . Mệnh đề nào dưới đây

 f x



  x

     và 0;



 1

f

f

f

4

2

Câu 31: Cho hàm số có đạo hàm

 . 1

 . D.

 2

  2

  4

2018

f

f

2019

B. C. A.







y



. có thể xảy ra 1  f   . 

 f x



;a b . Mệnh đề nào dưới

f

x

x

0,

a b ;

  

Câu 32: Cho hàm số có đạo hàm và là hàm đơn điệu trên khoảng 



f

x

0,

a b ;

  

A. .



x

f

  

a b ;

0,

x

B. .

  

f

C. .

   không đổi dấu trên khoảng 

;a b .

y



D. đây đúng?      x     x

 f x



f

  

a b ;

0,

x

x

Câu 33: Cho hàm số

;a b . Mệnh đề nào dưới đây sai?  





  

a b ;

0,

x

x

f

f x đồng biến trên khoảng       



 . ;a b .



  

a b ;

0,

x

f

A. Nếu có đạo hàm trên khoảng  ;a b thì

;a b thì





f

  

0,

x

a b ;

. B. Nếu C. Nếu hàm số nghịch biến trên 

  x





;a b

y



D. Nếu thì hàm số nghịch biến trên khoảng     x thì hàm số đồng biến trên khoảng 

 f x



;a b . Mệnh đề nào dưới đây

Câu 34: Cho hàm số có đạo hàm và đồng biến trên khoảng 

f

'

  

0,

x

a b ;

f

'

  

0,

x

a b ;

đúng?

  x





  x





A. . B. .

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

f

'

  

0,

x

a b ;

f

'

  

0,

x

a b ;

C. . D. .

Chuyên đề_Đơn điệu   x





  x





y



  f x

;a b . Mệnh đề nào dưới đây

Câu 35: Cho hàm số có đạo hàm và nghịch biến trên khoảng 

f

'

  

0,

x

a b ;

f

'

  

0,

x

a b ;

đúng?

f

'

  

0,

x

a b ;

f

'

  

0,

x

a b ;

A. . B. .

  x   x

 

 

  x   x

 

 

C. . D. .

y



f x ( )

  . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

)

;

Câu 36: [2D1-1] Cho hàm số đồng biến trên (

A.   ta có )  ) . B.   ta có )  ) . ,x x 1 2 f x ( 1 f x ( 2 x x , 1 2 x 2 f x ( 1 f x ( 2

C.   ta có )  ) . D.   ta có )  ) . ,x x 1 2 f x ( 1 f x ( 2 x x , 1 2  , x 1  , x 1 x 2 f x ( 1 f x ( 2

y



f x ( )

f

x ( )

3;3

3;3

Câu 37: [2D1-2] Cho hàm số và có đạo hàm . Đồ thị trên  liên tục trên 

y

f x ( )

4

2

1

-3

3

O

1

5

-1

-1

-2

của hàm số như hình vẽ sau

  và   3; 1

1;3 .

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

.

1;1 2;3

.

  và   3; 1

1;3 .

A. Hàm số đồng biến trên các khoảng  B. Hàm số nghịch biến trên  C. Hàm số đồng biến trên  D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng 

y



f x ( )

y

f x ( )

Câu 38: [2D1-2] Cho hàm số . Hàm số có đồ thị như hình vẽ dưới đây

y



f x ( )

Hàm số đồng biến trên khoảng

2;  .

   . ; 1



1;1

1; 4 .

. A.  B.  C.  D. 

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Tài liệu Vted_2018

 ( ) f x





2

y



f x ( )

 x x

3

Câu 39: Cho hàm số có đạo hàm với mọi x   . Hàm số đã cho nghịch

1; 0

1;3 .

0;1 .

2; 0

2

y



x



x

. . biến trên khoảng nào dưới đây? A.  B.  C.  D. 



2

Câu 40: Hàm số nghịch biến trên khoảng nào sau đây

0;

0;1 .

2; 0

1; 2 .

1 2

  

  

B. . . A.  C.  D. 

y





Câu 41: Cho hàm số có bảng biến thiên như sau

 f x 

1 2

1 0



x ,y





+ + 0 0 +

y



  f x nghịch biến trên khoảng nào sau đây

Hàm số



; 0



0;1 .

   . ; 1

1; 2 .

y



. A.  B.  C.  D. 



Câu 42: Cho hàm số có bảng biến thiên như sau

2





 f x x ,y



+ 0

y



0  0 1 5 

  f x đồng biến trên khoảng nào sau đây



; 0

Hàm số

2;  .

1;5 .

0; 2 .





. A.  B.  C.  D. 

y



 f x

Câu 43: Cho hàm số có bảng biến thiên như sau

 

1 0

3



x ,y



+ 0 +



y

4  2

  f x đồng biến trên khoảng nào sau đây



; 4

Hàm số

2;  .

3;  .



2; 4





. . A.  B.  C.  D. 

y



 f x



Câu 44: Cho hàm số có đồ thị hình vẽ bên

8 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Đơn điệu

  f x đồng biến trên khoảng nào sau đây

Hàm số

1;

  . ; 2

2;  .

1; 2 .





3 2

  

  

D. . A.  B.  C. 

4

Câu 45: [2D1-2] Hàm số nào dưới đây đồng biến trên  ?

2 1  .

3 1  .

y



y



x 

x

1

1 2 

x

1

A. . B. y  x  x C. D. y x .

  f x có bảng biến thiên như sau

x

-∞

-1

2

+∞

y'

0

+

-

0

+

4

y

2

2

-5

Câu 46: [2D2-2] Cho hàm số

y



  f x

Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây ?

1;  .

5; 2

1; 2

   . ; 1



2

4

3

2

3

4

. . A.  B.  C.  D. 

Câu 47: [2D1-2] Hàm số nào dưới đây đồng biến trên  ? C. A. B. . . D.     x x y x x y y  x  . x y  x  . x

y



Câu 48: [2D1-2] Cho hàm số có bảng biến thiên sau

A. 30 .

  f x B. 36 .

C. 34 . D. 32 .

y



Câu 49: [2D1-2] Cho hàm số có bảng biến thiên như sau

A. 30 .

  f x B. 36 .

C. 34 . D. 32 .

----------HẾT----------

Tài liệu Vted_2018

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18 NHÓM GIẢI VẬN DỤNG CAO

CHUYÊN ĐỀ ĐƠN ĐIỆU - NĂM HỌC 2017-2018

VTED_2019 MÔN: TOÁN 12

Thời gian làm bài 90 phút

Đề đã thay đổi thứ tự câu (sắp xếp theo độ khó tăng dần) so với đề gốc

BẢNG ĐÁP ÁN THAM KHẢO

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

3

HƯỚNG DẪN GIẢI

 .Mệnh đề nào sau đây đúng?

x

x

3

2





 0; .

;0 và nghịch biến trên khoảng   ;  .  ;  .

Câu 1: Cho hàm số

  f x A. Hàm số đồng biến trên khoảng  B. Hàm số nghịch biến trên khoảng  C. Hàm số đồng biến trên khoảng  D. Hàm số nghịch biến trên khoảng 

;0 và đồng biến trên khoảng 

 0; .

2

'



3

x

    

0

3

x

Hướng dẫn giải

Chọn B   x f Do

y



2 2 

x

1

Câu 2: Hỏi hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

 0; .

1;1

 ;  .

;0 .

. A.  B.  C.  D. 

Hướng dẫn giải Chọn A

f

'



  

0

x

0

  x

2

4  x 2  1)

(

x

;  ?

Do

3

Câu 3: Hỏi hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng 

y





y

y



x

 . x

y

   x

3 3

x

x x

 

1 3

  

1 2

A. . B. C. . D. .

x x Hướng dẫn giải

2

'



3

x

    

1 0

x

3

Do Chọn B   x f

x

y





23 x



Câu 4: Cho hàm số . Mệnh đề nào sau đây đúng?

  f x A. Hàm số nghịch biến trên khoảng  B. Hàm số nghịch biến trên khoảng 

0;2 .  2;  .

10 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Đơn điệu

0;2 .

;0 .

C. Hàm số đồng biến trên khoảng  D. Hàm số nghịch biến trên khoảng 

2

Hướng dẫn giải

'



3

x



6

x

  

0

x

(0; 2)

2

Do Chọn A   x f

y



    . Mệnh đề nào sau đây đúng?

1,

x

 1; .

Câu 5: Cho hàm số

    f x x ' f x  có đạo hàm A. Hàm số nghịch biến trên khoảng  ;0 . B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng  C. Hàm số nghịch biến trên khoảng  D. Hàm số đồng biến trên khoảng 

1;1 .  ;  .

2

'



x

    

1 0

x

Hướng dẫn giải

4

22 x

Chọn D   x f Do

   . ; 2

   . ; 2

y   Câu 6: Cho hàm số . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

1;1

.

1;1

. x A. Hàm số đồng biến trên khoảng  B. Hàm số nghịch biến trên khoảng  C. Hàm số đồng biến trên khoảng  D. Hàm số nghịch biến trên khoảng 

Hướng dẫn giải

3

y

 

4

x



4

x

Chọn B

1

x 1         0 0 x 

Ta có .

y



f x ( )

x

-2

2

-

0

+

_

_

+

0

y'

0

+

Câu 7: Cho hàm số có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

2;0 . ;0 . 0; 2 .

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

   . ; 2

A. Hàm số đồng biến trên khoảng  B. Hàm số đồng biến trên khoảng  C. Hàm số nghịch biến trên khoảng  D. Hàm số nghịch biến trên khoảng 

Hướng dẫn giải

y

1



Chọn C

Câu 8: Cho hàm số

.

22 x A. Hàm số nghịch biến trên khoảng  B. Hàm số đồng biến trên khoảng 

 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1;1  0; .

11 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Tài liệu Vted_2018

;0 .  0;  .

C. Hàm số đồng biến trên khoảng  D. Hàm số nghịch biến trên khoảng 

Hướng dẫn giải Chọn B

a; b . Hàm số

Câu 9: Xét các mệnh đề sau:

y



f x ( )

y



f x ( )



 ( ) 0, f x

  

x

a; b

a; b khi và chỉ khi

đồng biến trên có đạo hàm trên khoảng 







. (1) Cho hàm số khoảng 

a; b . Hàm số

y



f x ( )

y



f x ( )



 ( ) 0, f x

  

x

a;b

a; b khi và chỉ khi

(2) Cho hàm số đồng biến trên có đạo hàm trên khoảng 







. khoảng 

y



f x ( )

 ( ) f x

   . Khi đó 0

0,

x

  \ 0R

(3) Cho hàm số xác định và có đạo hàm trên tập và

,a b khác 0 ta có ( ) f a



f b ( )

  . a b

với mọi

y



f x ( )

 ( ) 0, f x

   . Khi đó 0

x

  \ 0R

(4) Cho hàm số xác định và có đạo hàm trên tập và

,a b khác 0 ta có ( ) f a



f b ( )

  . a b

với mọi

Số mệnh đề đúng là:

B. 3. C. 0 . A. 2 D. 1.

Hướng dẫn giải Chọn C

a; b , khi nhắc đến điều kiện



 ( ) 0, f x

  

x

a;b

a; b thì gồm

Mệnh đề (1) và (2) sai. Với hàm

f x

( ) 0

 tại

f x có đạo hàm trên khoảng  ( ) 





và

 a; b .

x

1

cần và đủ để hàm số đồng biến trên khoảng  hữu hạn điểm trên khoảng 

f x ( )



 ( ) f x



   , với 0

0,

x

 x

1 2 x

a

b 1;

 

1, a

 nhưng

b

f

(1) 0, f( 1)

 



2, f(1)

  . f( 1)

Mệnh đề (3) sai. Chẳng hạn xét hàm có

Tương tự mệnh đề (4) sai.

f x có đạo hàm trên   

;a b . Xét các mệnh đề sau:



Câu 10: Cho hàm số

f

  

0,

x

a b ;

  x

f x đồng biến trên khoảng   

;a b .







(1) Nếu thì hàm số

  

0,

x

a b ;

f

f x nghịch biến trên khoảng   

;a b .





  x



(2) Nếu thì hàm số

  

0,

x

a b ;

f

f x đồng biến trên khoảng   

;a b .





  x



f

  

0,

x

a b ;

(3) Nếu thì hàm số

  x

f x nghịch biến trên khoảng   

;a b .







f

  

0,

x

a b ;

(4) Nếu thì hàm số

f x đồng biến trên   

;a b thì

  x







(5) Nếu hàm số .

f

  

0,

x

a b ;

f x nghịch biến trên   

;a b thì

  x





(6) Nếu hàm số .

Số mệnh đề đúng là? A. 6 B. 4 C. 0 D. 2

12 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Đơn điệu

Hướng dẫn giải





f

0,

f

  

0,

x

2; 2

  f x

  x

     x

 2; 2 ;

  x

  \



Chọn. B. (1) Và (2) sai, 4 mệnh đề còn lại đúng.

0

f

thỏa mãn và

     x

 2; 2

Câu 11: Cho hàm số    x . Xét các mệnh đề sau:

2; 2

2;  .

. (1) Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 

  và   ; 2



(2) Hàm số đã cho nghịch biến biến trên mỗi khoảng 

2;2

2;  .

. (3) Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 



  và   ; 2

(4) Hàm số đã cho nghịch biến biến trên mỗi nửa khoảng 

2; 2

; 2

2;

. (5) Hàm số đã cho là hàm hằng trên đoạn 

     .





(6) Hàm số đã cho nghịch biến biến trên 

Số mệnh đề đúng là? A. 5 B. 6 C. 4 D. 2

Hướng dẫn giải

C. Chọn. Chỉ có (5) và (6) sai.

2; 2

Câu 12: Cho hàm số . Mệnh đề nào sau đây đúng?

f

f



f

f



2





f

f

f

f



2



A.

B.



f

f

f

f



2



C.



f

f

f

f



2



f x đồng biến trên đoạn        1     1     1     1

  2   2   2   2

  1   1   1   1

   

   

D.

Hướng dẫn giải

Chọn. D.

2;2

f

f

f



2



. Mệnh đề nào sau đây đúng? Câu 13: Cho hàm số

A.



f

f

f

f



2



B.



f

f

f

f



2



C.



f

f

f

f



2



f x nghịch biến trên đoạn         f 1     1     1     1

  2   2   2   2

  1   1   1   1

   

   

D.

Hướng dẫn giải

Chọn. A.

13 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Tài liệu Vted_2018

2; 2



 x x   1 2

2



x

 . Mệnh đề nào sau đây đúng?

0







 f x

x 1

2

 f x 1

2

Câu 14: Cho hàm số và với mọi và ta luôn có , 2;2 x x 1

f



f

f



f



2

A.



f

f

f



f



2

B.



f

f

f



f



2

C.



f

f

f



f



2

f x xác định trên đoạn        

   1    1    1    1

    1   1   1   1

  2   2   2   2

    

   

D.

Hướng dẫn giải



Chọn. D.

f

 

x

2 1,

    . Mệnh đề nào sau đây đúng?

x

  x

;  .



1;  .

  và   ; 1



Câu 15: Cho hàm số

1;1

;  .

.

  f x có đạo hàm A. Hàm số đồng biến trên khoảng  B. Hàm số đồng biến trên các khoảng  C. Hàm số đồng biến trên khoảng  D. Hàm số nghịch biến trên khoảng 



Hướng dẫn giải

;  ?

Chọn. D.



x

y



y



x x

Câu 16: Hỏi hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng 

2 1 

y



y

 

x

2

2 

1

x

1 x

2 2  x  x 1

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

x

y



Chọn.

y

x

  có tập xác định không là 

 ;  nên loại.

1 x

 4

x

Hàm và D. 2 2  x  x 1

0x  nên không thể đồng biến trên khoảng

y

 

y



2

2

2 

1

x

x





2 1

;  . Vậy chỉ có hàm

;  .

y



x x





2 1  đồng biến trên 



;  ?

Hàm có đổi dấu tại



x

y



y



Câu 17: Hỏi hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng 

y

  x

cos 2

x

y



2 2

x 

x

1

2 2  x  x 1

x 2 1 

x

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

y



Chọn.

;  .

y

 

  

0,

x

 nên hàm số đồng biến trên 



2

2

x

x



x



1

1  1



;  ?

Hàm có D. x 2 1 



Câu 18: Hỏi hàm số nào dưới đây nghịch biến trên khoảng 

14 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Đơn điệu

3

y



y



y



cos

x



2

x

2

x  1 2  3 x

1 

1

x

A. B. C. D. y   x x

Hướng dẫn giải

;  .



cos



2

x

y

  

sin

x

0,

2

x

     nên hàm số nghịch biến trên 







f

,

  x



có Chọn. Hàm y D. x

 . Mệnh đề nào sau đây đúng?

  x

  f x có đạo hàm

2



 4 2 1

 x x  x 0; 4 .

;  .



;  .



4;  .

;0 và 



Câu 19: Cho hàm số

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng  B. Hàm số nghịch biến trên khoảng  C. Hàm số đồng biến trên khoảng  D. Hàm số đồng biến trên các khoảng 

Hướng dẫn giải







f



,

  x

Chọn. A.



f

4;

0,

x

  x

  x

       ;0







2



 x x  x

 4 2 1



f

  

0,

x

0; 4

  x





Ta thấy nên và

0; 4 .





. Vậy hàm số nghịch biến trên 

f

    và

0,

x

f

  

0

x



 , k

k

  . Mệnh đề

  f x có đạo hàm

  x

  x

 3

;  .



;  .

Câu 20: Cho hàm số





 ; k



k

nào sau đây đúng? A. Hàm số đồng biến trên khoảng  B. Hàm số nghịch biến trên khoảng 

 3

 3

  2  

  ;

\

,

k





 .

C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng .



      3 

  k  

D. Hàm số đồng biến trên 

Hướng dẫn giải



A.

f

  

0,

x





x x ; 1

2

2

2





;  .



 f x



  x  Hàm số đồng biến trên 



  :  x thì suy ra hàm số đồng biến trên x x , 1 x 1



;x x 1

2

 f x 1

2

Chọn. Với mọi cặp số đoạn 

y



;a b . Mệnh đề nào dưới đây sai?

 f x





Câu 21: Cho hàm số có đạo hàm trên khoảng 

f

  

a b ;

0,

x

 ;a b thì

   x

A. Nếu .

f

x

0,

  

; b

a

  ;a b .



  

a b ;

0,

x

f

B. Nếu thì

 

 ;a b .

  

a b ;

0,

x

f

C. Nếu thì

f x đồng biến trên khoảng     f x đồng biến trên khoảng        x f x nhận giá trị không đổi trên khoảng       x   f x nhận giá trị không đổi trên     x





D. Nếu .

 ;a b thì Lời giải

15 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Tài liệu Vted_2018



Chọn B.

f

  

0,

x

a b ;

f

 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc

0

  x





  x



 ;a b thì

f x đồng biến trên  



 ;a b .

y



Phát biểu đúng là: Nếu và

;a b . Mệnh đề nào dưới đây sai?

 f x





Câu 22: Cho hàm số có đạo hàm trên khoảng 

  

a b ;

0,

x

f

 ;a b thì

   x

A. Nếu .

f

x

0,

  

; b

a

  ;a b .



B. Nếu thì

  

a b ;

0,

x

f

 

 ;a b .

C. Nếu thì

  

a b ;

0,

x

f

f x nghịch biến trên khoảng          f x nghịch biến trên khoảng   x f x nhận giá trị không đổi trên khoảng       x   f x nhận giá trị không đổi trên     x





D. Nếu .

 ;a b thì Lời giải



Chọn B.

f

  

0,

x

a b ;

f

 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc

  x





  0 x



 ;a b thì

f x nghịch biến trên  



 ;a b .



Phát biểu đúng là: Nếu và

y



f

  

0,

x

a b ;

 f x



  x





;a b và

Câu 23: Cho hàm số . Xét các mệnh đề có đạo hàm trên đoạn 

;a b .

sau: (1) Hàm số đồng biến trên 

 ;a b .

 ;a b .

(2) Hàm số đồng biến trên 

(3) Hàm số đồng biến trên nửa khoảng 

;a b .

(4) Hàm số đồng biến trên nửa khoảng 

Số mệnh đề đúng là?

B. 3 . A. 1. D. 2 . C. 4 .

Lời giải

Chọn C.

;a b nên hàm số liên tục trên 

;a b .

y



Do hàm số có đạo hàm trên 



;a b và liên tục trên 

;a b thì



 f x ;a b ,  

đồng biến trên 

 ;a b .

Ta dựa vào kết quả sau: Nếu hàm số ;a b ,  f x đồng biến trên các tập  



Tất cả các mệnh đề trên đều đúng.

y



f

  

0,

x

a b ;

 f x



  x





;a b và

Câu 24: Cho hàm số . Xét các mệnh đề có đạo hàm trên đoạn 

;a b .

sau: (1) Hàm số nghịch biến trên đoạn 

 ;a b .

(2) Hàm số nghịch biến trên 

16 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Đơn điệu

 ;a b .

(3) Hàm số nghịch biến trên nửa khoảng 

;a b .

(4) Hàm số nghịch biến trên nửa khoảng 

Số mệnh đề đúng là?

B. 3 . A. 1. D. 2 . C. 4 .

Lời giải

Chọn C.

;a b nên hàm số liên tục trên 

;a b .





;a b và liên tục trên 

;a b thì



  f x ;a b ,  

Do hàm số có đạo hàm trên 

y ;a b , 

Ta dựa vào kết quả sau: Nếu hàm số f x nghịch biến trên các tập   nghịch biến trên  ;a b .

Tất cả các mệnh đề trên đều đúng.



y

 f x

;a b .

 Xét các mệnh đề sau:



Câu 25: Cho hàm số có đạo hàm trên đoạn 

f

  

0,

x

a

; b

  x







f x đồng biến trên đoạn  

;a b .



f

  

0,

x

a

; b

(1) Nếu thì

  x

f x đồng biến trên khoảng  



 ;a b .







(2) Nếu thì

f

  

0,

x

a

; b

  x

f x nghịch biến trên khoảng  



 ;a b .







(3) Nếu thì

f

  

0,

x

a

; b

  x







f x nghịch biến trên đoạn  

;a b .

(4) Nếu thì

f

 có nghiệm

0

x



a b ;

f

  x





  x

0

0x .

(5) Nếu phương trình thì đổi dấu khi qua

Số mệnh đề đúng là?

A. 5 . D. 3 . B. 2 . C. 4 .

Lời giải

Chọn C.

;a b nên hàm số liên tục trên 

;a b .





;a b và liên tục trên 

;a b thì



  f x ;a b ,  

Do hàm số có đạo hàm trên 

y ;a b , 

Ta dựa vào kết quả sau: Nếu hàm số f x nghịch biến trên các tập   nghịch biến trên  ;a b .



Suy ra 4 mệnh đề đầu tiên đúng còn mệnh đề (5) chưa có đủ cơ sở để kết luận.

y



f

x

0,

x

f

 . Mệnh đề nào dưới đây

2

  f x





     và 0;



 1

f

f

f

 . 4

Câu 26: Cho hàm số có đạo hàm

 . 4

f

f

f

f

B.

 . 4

 . 4

  4   4

  2   2

  4   4

C. D. đúng?   A. f 2   2

17 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Tài liệu Vted_2018



Hướng dẫn giải

f

x

0;

0,

x

y



y





     nên hàm số



  f x

  f x

0;  .





f



f



2,

f



f

  2

f



f

có đạo hàm đồng biến trên Chọn Hàm số A. 

 . 4

  2

  1

  4

  1

  2

  4

Do đó

y





  f x

1;3 . Đặt

 g x



 f x

2

Câu 27: Cho hàm số . Mệnh đề nào dưới đây đồng biến trên khoảng 

y



  f x

đúng? A. Hàm số

y



  f x

y



B. Hàm số

  f x

C. Hàm số

y



  f x

1;3 .  1; 3 . 1;3 .  1; 3 .

D. Hàm số đồng biến trên khoảng  đồng biến trên khoảng  nghịch biến trên khoảng  nghịch biến trên khoảng 



Hướng dẫn giải

y



f

  

0,

x

1;3 suy ra

  x

 1;3



0

2

x



0



2



Chọn Hàm số . B.   f x đồng biến trên khoảng 



2

f

x

.

x

0

   g x





0

2

x



0



  x    f      x    f 

Ta có .

2

0 Có     1 x 3 .  f x  0  x  3 0 2  x  1   x    

f



f



2,

f



f

  2

f



f

 . 4

  2

  1

  4

  1

  2

  4







x



Do đó

 ? 0





 f x



x x , 1 2

 x ; 1

x 2

x 1

2

 f x 1

2





4

y



x



22 x

Câu 28: Hàm số nào dưới đây thỏa mãn điều kiện thì 

 . 1

y

  .

x

3

3

y



x

y



x



x

2 3 

x

1 x 22  x

A. B.

 . 1

 . 1

C. D.

Hướng dẫn giải







 suy ra hàm số

0

y







 f x



  f x

x x , 1 2

 ; x 1

x 2

x 1

x 2

 f x 1

2





D.  Chọn Ta có đồng biến thì 

3

3

x

x

2 3 

x

  y

23 x



2

x

3 0,

x

y



x



x

2 3 

x

1

 có 1

    nên hàm số

 đồng

  y Với biến trên  .







x



trên  .

 ? 0





 f x



x x , 1 2

 x ; 1

x 2

x 1

2

 f x 1

2





Câu 29: Hàm số nào dưới đây thỏa mãn điều kiện thì 

18 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Đơn điệu

3

1y

  . x

y



x  3 2  1 x

y



x

3 3 

x

B. . A.

 . 1

y



x 2 1 

x

D. C. .

Hướng dẫn giải





x



 suy ra hàm số

0

y







 f x



  f x

x x , 1 2

 ; x 1

x 2

x 1

2

 f x 1

2





A.  Chọn Ta có nghịch biến thì 

3

1y

   y

23 x

0,

x

1y

x

trên  .

3   có x

   nên hàm số

  nghịch biến trên  .

Với

y



  f x

Câu 30: Cho hàm số xác định và liên tục trên  có bảng xét dấu của đạo hàm như sau

y



 f x



?

Hỏi số nguyên nào dưới đây thuộc khoảng đồng biến của hàm số A. 1 . C. 0 . B. 1. D. 3.

Hướng dẫn giải

D.

y



  f x



  và   ; 2

 2;  .



y



f

0,

x

f

2

Chọn Dựa vào bảng xét dấu của đạo hàm suy ra các khoảng đồng biến của hàm số là

 . Mệnh đề nào dưới đây

 f x



  x

     và 0;



 1

2

f

f

f

4

Câu 31: Cho hàm số có đạo hàm

 . 1

 . D.

 2

  2

  4

2018

f

f

2019

A. B. C.







. có thể xảy ra 1  f   . 



Hướng dẫn giải

x

0,

0;









f

f

f

Chọn A f Ta có:

 2

       hàm số đồng biến trên khoảng  x f x đồng biến trên khoảng   

 0;  ,

  2

  1

 0;  .   2

0; 





f



f



4

Loại B do

f x đồng biến trên khoảng   

  2

  4



f f

 

2 f



2

  2   4

  

0; 



f

2018



2019

f

Loại C do

f x đồng biến trên khoảng   







  2 



y



Loại D do

 f x



;a b . Mệnh đề nào dưới

f

x

  

0,

x

a b ;

Câu 32: Cho hàm số có đạo hàm và là hàm đơn điệu trên khoảng 



f

  

0,

x

a b ;

A. .



x

f

  

0,

x

a b ;

B. .

  

  

C. . đây đúng?      x  

Tài liệu Vted_2018

f

D.

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18   x

không đổi dấu trên khoảng 

;a b . Hướng dẫn giải



 f x



f

  

a b ;

0,

x

Chọn D

;a b . Mệnh đề nào dưới đây sai?    x



  

a b ;

0,

x

f

A. Nếu . có đạo hàm trên khoảng  ;a b thì

B. Nếu

y Câu 33: Cho hàm số f x đồng biến trên khoảng        x



 ;a b .



  

a b ;

0,

x

f

;a b thì





f

  

0,

x

a b ;

. C. Nếu hàm số nghịch biến trên 

  x





;a b

D. Nếu



f

  

0,

x

a b ;

thì hàm số nghịch biến trên khoảng     x thì hàm số đồng biến trên khoảng  Hướng dẫn giải

 ;a b thì

  x





y



Nếu . Chọn A f x đồng biến trên khoảng   

 f x



;a b . Mệnh đề nào dưới đây

f

'

x

  

0,

x

a b ;

'

f

  

0,

x

a b ;

Câu 34: Cho hàm số có đạo hàm và đồng biến trên khoảng 

f

'

x

  

0,

x

a b ;

f

'

  

0,

x

a b ;

A. . B. .

 

 

 

 

 

C. . D. . đúng?  

  x   x Hướng dẫn giải



f

  

0,

x

a b ;

 ;a b thì

  x





y



. Chọn C f x đồng biến trên khoảng    Nếu

 f x



;a b . Mệnh đề nào dưới đây

f

'

x

  

0,

x

a b ;

'

f

x

  

0,

x

a b ;

Câu 35: Cho hàm số có đạo hàm và nghịch biến trên khoảng 

f

'

x

  

0,

x

a b ;

f

'

  

0,

x

a b ;

A. . B. .

 

 

 

 

 

C. . D. . đúng?  

    x Hướng dẫn giải



f

  

0,

x

a b ;

;a b thì

  x





. Chọn D f x nghịch biến trên khoảng    Nếu

y



f x ( )

  . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

)

;

Câu 36: [2D1-1] Cho hàm số đồng biến trên (

A. . B. ta có .   ta có )  )   )  ) ,x x 1 2 f x ( 1 f x ( 2 x x , 1 2 x 2 f x ( 1 f x ( 2

C.   ta có )  ) . D.   ta có )  ) . ,x x 1 2 f x ( 1 f x ( 2 x x , 1 2  , x 1  , x 1 x 2 f x ( 1 f x ( 2

Hướng dẫn giải

Chọn B.

y



f x ( )

f

x ( )

3;3

3;3

Câu 37: [2D1-2] Cho hàm số và có đạo hàm . Đồ thị trên  liên tục trên 

y

f x ( )

của hàm số như hình vẽ sau

20 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Đơn điệu

4

2

1

-3

3

O

1

5

-1

-1

-2

  và   3; 1

1;3 .

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

.

1;1 2;3

.

1;3 .

A. Hàm số đồng biến trên các khoảng  B. Hàm số nghịch biến trên  C. Hàm số đồng biến trên  D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng 

  và   3; 1 Hướng dẫn giải

Chọn C.

 ( ) f x

0,

y

f x ( )

     x

 2;3

Từ đồ thị của hàm số , ta thấy .

x

 

2,

x

 . 1

Dấu “=” xảy ra tại

2;3

.  Hàm số đồng biến trên 

y



f x ( )

y

f x ( )

Câu 38: [2D1-2] Cho hàm số . Hàm số có đồ thị như hình vẽ dưới đây

y



f x ( )

Hàm số đồng biến trên khoảng

2;  .

   . ; 1



1; 4 .

1;1

. A.  B.  D. 

C.  Hướng dẫn giải

Chọn C.

 ( ) f x

0,

y

f x ( )

     x

 1;1

   4;



Từ đồ thị của hàm số , ta thấy

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Tài liệu Vted_2018

1;1

 ( ) f x





2

.  Hàm số đồng biến trên 

y



f x ( )

 x x

3

Câu 39: Cho hàm số có đạo hàm với mọi x   . Hàm số đã cho nghịch

1; 0

1;3 .

0;1 .

2; 0

. . biến trên khoảng nào dưới đây? A.  B.  C.  D. 

Hướng dẫn giải



0

Chọn C.

f x

 ( ) 0

x 

 x x 

32



0; 2

Ta có

0; 2

 Hàm số nghịch biến trên 

0;1 .

2

 Hàm số nghịch biến trên 

y



x



x



2

Câu 40: Hàm số nghịch biến trên khoảng nào sau đây

0;

0;1 .

2; 0

1; 2 .

1 2

  

  

. B. . A.  C.  D. 

Lời giải

0

2

y

1

y

 ' 2.

x



x

x

Chọn C.

  ; 1



  . 2

   x     ' 0 x

1 2

  x 

Ta có .

'y :

Xét dấu



;1

; 0

1 2

  

  

y



và . Do đó chọn C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng 

  f x

Câu 41: Cho hàm số có bảng biến thiên như sau

x ,y



1 0

1 2







+ + 0 0 +

y



  f x nghịch biến trên khoảng nào sau đây

Hàm số



; 0



0;1 .

   . ; 1

1; 2 .

. A.  B.  C.  D. 

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Đơn điệu

Lời giải

Chọn D.

1; 2 .

Hàm số nghịch biến trên 

y



  f x

Câu 42: Cho hàm số có bảng biến thiên như sau



2



x ,y



+ 0

y



0  0 1 5 

  f x đồng biến trên khoảng nào sau đây

Hàm số

2;  .



; 0

1;5 .

0; 2 .





. A.  B.  D. 

C.  Lời giải

Chọn B.

0; 2 .

Hàm số đồng biến trên 

y



  f x

Câu 43: Cho hàm số có bảng biến thiên như sau

x ,y



3

1 0





+ 0 +



y

4  2

  f x đồng biến trên khoảng nào sau đây

Hàm số



; 4

2;  .

3;  .



2; 4





. . A.  B.  D. 

C.  Lời giải

3;  . Do đó chọn D.

Chọn B.

  và   ; 1



y



Hàm số đồng biến trên các khoảng 

  f x

Câu 44: Cho hàm số có đồ thị hình vẽ bên

  f x đồng biến trên khoảng nào sau đây

Hàm số

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Tài liệu Vted_2018

  . ; 2

2;  .

1;

1; 2 .





3 2

  

  

D. . A.  B.  C. 

Lời giải

Chọn D.

1;

3 2

  

  

Hàm số đồng biến trên .

4

Câu 45: [2D1-2] Hàm số nào dưới đây đồng biến trên  ?

2 1  .

3 1  .

y



y



x 

x

1

1 2 

x

1

A. . B. C. D. . y  x  x y x

Lời giải Chọn D.

D 

 \

  1

3

2

A. TXĐ : .

0x  .

y

 ' 4 x



2

x



x

  với 0

 x 2 2

 1

2

x

y

'





0

B. Ta có

0x  .

2

x



2

C. với

 D. Ta có

2 1 x ' 3

y  với x   . 0

  f x có bảng biến thiên như sau

x

-∞

-1

2

+∞

y'

0

+

-

0

+

4

y

2

2

-5

Câu 46: [2D2-2] Cho hàm số

y



 f x



Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây ?

1;  .

5; 2

1; 2

   . ; 1



. . A.  B.  D. 

C.  Lời giải

4

3

2

2

3

4

Chọn B.

Câu 47: [2D1-2] Hàm số nào dưới đây đồng biến trên  ? C. A. B. . . D.     x x y y x x y  x  . x y  x  . x

2

Lời giải Chọn C.

Ta có y x ' 3   với x   1 0

y



Câu 48: [2D1-2] Cho hàm số có bảng biến thiên sau

A. 30 . C. 34 . D. 32 .

  f x B. 36 .

24 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Đơn điệu

x

-∞

-1

3

+∞

y'

0

+

-

0

+

+∞

4

y

-∞

-2

y



 f x



Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây ?

3;  .

2; 4

   . ; 1

1;3



. . A.  B.  D. 

C.  Lời giải Chọn D.

y



Câu 49: [2D1-2] Cho hàm số có bảng biến thiên như sau

A. 30 . C. 34 . D. 32 .

  f x B. 36 .

3

-2

0

x

-∞

+∞

-

y'

0

+

-

0

0

+

y

3

3

-1

-∞

-∞

y



 f x



Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây

  . ; 2

2; 0



 0;  .

0; 2 .

. A.  B.  D. 

C.  Lời giải Chọn A.

25 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Đơn điệu

NHÓM GIẢI VẬN DỤNG CAO CHUYÊN ĐƠN ĐIỆU - NĂM HỌC 2018-2019

VTED_2019 MÔN: TOÁN 12

Thời gian làm bài 90 phút

LÝ THUYẾT

f x có đạo hàm trên K (với K là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng)

( )

Xét hàm số

K



f

'

   và x K

0,

f

'

0

f x đồng biến trên

( )

  x

  x  chỉ đạt tại hữu hạn điểm

(cid:0) Hàm số

thuộc K .

K



f

'

   và x K

0,

f

'

0

f x nghịch biến trên

( )

  x



 x  chỉ đạt tại hữu hạn điểm

(cid:0) Hàm số

thuộc K .

(cid:0) Các bất phương trình trên thường cô lập tham số và dùng các kiến thức bổ sung dưới đây:



,

   

x K

m

  m f x

  f x

max K

.



,

   

x K

m

  m f x

  f x

min K

.

f x ( )



;a b

(cid:0) Với là một hàm tục trên đoạn khi đó



,

  x

a b ;

 

,

  x

a b ;

 m f x







 m f x





. liên 

f x ( )



;a b



,

  x

a b ;

 

,

  x

a b ;

 m f x







 m f x



(cid:0) Với là một hàm tục trên đoạn khi đó



liên 

Nếu không cô lập được tham số thường đưa về xét nghiệm của một phương trình bậc hai, hoặc tìm giá nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của đạo hàm bằng bất đẳng thức.

2

So sánh nghiệm của một phương trình bậc hai với một số



ax



bx

c

 f x



 có hai nghiệm phân biệt 1

2,x x thỏa mãn

Xét





af

 . 0

  

x 1

  x 2

af



0

(cid:0)





x 2

x 1

0

     S     2  

af



0

(cid:0) .





x 1

x 2

0

     S     2  

(cid:0) .

1 | VD_VDC

Đề thi thử nghiệm_2018

af



0

af



0







x 2

x 1

 2

(cid:0) .

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18              2    S    0

af



0









x 1

x 2

af



0

     

     

(cid:0) .

3

y



x



26  x mx

1

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

 đồng biến

Câu 1: Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

 0;  .

48;  .

12;  .

3;  .



 36;  .





trên khoảng 

3

A.  B.  C.  D. 

0;  ?

y



2

x



mx



 đồng biến trên khoảng  1



Câu 2: Có bao nhiêu số nguyên âm m để hàm số

A. 10. B. 8 .

1 3 x C. 9 .

3

D. 11.

y

 

x



23  x mx

 nghịch biến

1

; 0 

3;  .

1;  .

Câu 3: Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số





   . ; 3

   . ; 1

3

2

trên khoảng  A.  B.  C.  D. 

y



x



3

x



mx

 đồng biến trên khoảng  1

 0; 

Câu 4: Có bao nhiêu số nguyên âm m để hàm số

A. 1. D. 2 .

3 2 C. 4 .

3

 2y

x



xm

2 6 

x



3

B. 3 .

 0;  .

Câu 5: Có bao nhiêu số nguyên âm m để hàm số đồng biến trên khoảng

B. 6 .

 A. 5 .

3

2

2

C. 4 .

y



x



3

m



x



3

m



2



 1



2;3 .

nghịch biến trên Câu 6: Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số D. 7 .  m x

3

2







y

 x mx

m

6

x

D. 2 . khoảng  A. 1. C. 4 . B. 3 .





1; 3

Câu 7: Có bao nhiêu số nguyên âm m để hàm số đồng biến trên khoảng 

3

2

2









A. 1. B. 3. C. 4. D. 2.

 nghịch biến trên

m  

(

20

; 20

)

y

x

3

mx

3

m

1

x

1







1; 3 .

Câu 8: Có bao nhiêu số nguyên để hàm số

2

2







y

3   x

m

x

m

3

3

2

B. 31. C. 28. D. 29 khoảng  A. 30.



 1



 m x

2;

  và   ; 3

Câu 9: Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số đồng biến trên mỗi

khoảng  A. 1.

 . B. 3.

C. 4. D. 2.

2 | VD_VDC

Chuyên đề_Đơn điệu

8

5

4

y

m

x

x

   

 3

Câu 10: Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số đồng biến trên khoảng

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19    9

 2 m x

0;

 .

B. 6. C. 4. D. 5.

 A. 7.

8

5

4

y



x



m



4

x









 16

 2 m x

 0; 

đồng biến trên khoảng Câu 11: Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số

 A. 7

8

5

4

B. 6 C. 9 D. 8

y



x



m



5

x



25









 2 m x

 0; 

đồng biến trên khoảng Câu 12: Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số

 A. 10

3

2

2

C. 9 D. 8 B. 11

10;10

y



x



m



x



m



x

 m  





 1



 1

Câu 13: Có bao nhiêu số nguyên để hàm số nghịch biến

2; 0

?

4

2

y



x



2

m



x

1

C. 8 . D. 7 . B. 11. trên khoảng  A. 10 .

 đồng biến trên khoảng



 1

Câu 14: Có bao nhiêu số nguyên dương m để hàm số

  1;  . A. 0 .

4

2

y



x



2

m



x

m

3

B. 2 . D. 3 . C. 1.

  đồng biến



 1

1;3 .

Câu 15: Tìm tập hợp các giá trị thực của tham số m để hàm số



1; 2 .

 ;11

; 2 .

3

2

. B.  C.  D.  trên khoảng  1; 2 . A. 

y

 

x



m



x



2

mx

 đồng

5



 1

2 3

Câu 16: Tìm tập hợp các giá trị thực của tham số m để hàm số

0; 2 .

m   

3 2 2

m   

3 2 2

biến trên khoảng 

m  .

m  .

2 3

2 3

2

A. . B. . C. D.

y

 

x m x



2

x

 đồng biến trên khoảng

3



 ;  .

Câu 17: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số

m 

1m 

 .

 

1m

 .

m



m   .

1 2

1   2

1 2

1 2

3

B. . C. A. 1 D. 1 hoặc

y

 

x



23 x



3

mx

 nghịch biến trên

1

 0; .

Câu 18: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

m   .

1

0m  .

m   .

1

0m  .

2

2

2

3

y



 (m 1) x



 (m 4 m 3) x m





khoảng  A. B. C. D.

2 x 3

Câu 19: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

 1;  m   5

 1m 

đồng biến trên  1m  hoặc A. B. 5

m   5

m 

2 3

 hoặc

m  

 2 3

C. D. 5

3 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Đề thi thử nghiệm_2018

4

y



x



2

2 mx m

Câu 20: Cho hàm số

A.

 1;  D.

1m 

 . Tìm m để hàm số đồng biến trên  0m 

 1m

0m 

B. C. 0

y



2

 1x   x m

x

nghịch biến trên Câu 21: Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

4;  .

  . ; 2

1;1 

?



; 0  .

   . ; 2

2

B.  C.  D.  khoảng  A. 





2

x



x



3

 đồng

x



3

 y m x



4 3

 3;  ?

Câu 22: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

biến trên nửa khoảng 

m  .

m  .

m  .

m  .

2 3

1 2

1 4

1 3

3

2

A. B. C. D.

y

 

x



m



x



m



3

x

 đồng

4



 1





1 3

0;3 .

Câu 23: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

3m  .

m   .

3

m 

m 

18 7



2

mx

A. . B. C. . D. biến trên khoảng  12 7

y



2 6  x  x 2

  1;  .

  ;

  ;



;



Câu 24: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng

; 0 .

14 5

14 5

4 15

  

  

  

  

  

  

2

4

2

 y m (



1)

x



mx 2

A. . C. . D. . B. 

Câu 25: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số nghịch biến trên

)

 

1

m

m



1

1



65



65

khoảng (2;

1



m





m

 . D.

1

65

1



65

8

8



m



1

m



8

8

   

   1 

2018; 2018

A. . B. . C. 1 .

 m  



3

2

2

2

y



x



3(

m



m 3



3)

x



3(

2 m



1)

x m

2

  đồng biến trên khoảng (1;

)

Câu 26: Có bao nhiêu số nguyên để hàm số

3

2



A. 2017 . B. 2018 . C. 2019 . D. 2016 .

y



f



x



2

x



m



x m

  . Tìm tổng tất cả các giá

 f x



  x



 1

1 x

2;   .



Câu 27: Cho hàm số có đạo hàm

3



y



f

   x

mx 3

  2

C. 8 . B. 3 . D. 6 . trị nguyên dương của tham số m để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  A. 1.

 f x



  x

Câu 28: Cho hàm số có đạo hàm . Tìm tất cả các giá trị thực của

1 3 x  1;   .

tham số m để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 

0m  .

m  .

m  .

1m  .

2 3

1 3

A. B. C. D.

4 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Đơn điệu

2

2

x



2

m



1

y



mx  2  x m

đồng biến trên Câu 29: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

 2; 

 ;

khoảng 

;



   2;

;1 .

; 2 .

5 4

5 4

  

  

  

  

C. . D. . A.  B. 

y





x m

  đồng biến trên tập xác định.

1

Câu 30: Có bao nhiêu số nguyên dương m để hàm số

A. 2. B. 1. D. 1.

21 x 8 C. 4.

y

  x

 10;  .

2 1m   x m

Câu 31: Có bao nhiêu số nguyên dương m để hàm số đồng biến trên khoảng 

3

A. 10. B. 5. C. 4. D. 6.

m 

0; 2018

 y mx



9

x







1 3 x

0;

  .

Câu 32: Có bao nhiêu số nguyên để hàm số đồng biến trên khoảng

B. 2013. D. 2016. C. 2014.

 A. 2015.

 y mx



0;2 .

Câu 33: Có bao nhiêu số nguyên dương m để hàm số nghịch biến trên khoảng 

A. 36 . B. 35 . D. 3.

36  x 1 C. 4 .

3

 y mx

2

x





 0; .

Câu 34: Có bao nhiêu số nguyên âm m để hàm số đồng biến trên khoảng 

A. 8 . B. 9.

1 3 x C. 6 .

D. 5.

 đồng biến trên khoảng

10m  để hàm số

y

3   x

23  x mx

1

).

Câu 35: Có bao nhiêu số nguyên

B. 6. D. 3.

(0; A. 13.

3

   đồng biến trên khoảng

C. 7

y

x mx

3 x

).

Câu 36: Có bao nhiêu số nguyên dương m để hàm số

B. 5. D. 4.

(0; A. 6.

2

y



4  x mx

C. 7



Câu 37: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để hàm số đồng biến trên khoảng

B. 4 C. 3 D. 2

 1,  ? A. 1

y



4  x mx

2 8 

x

0,  ?



Câu 38: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để hàm số đồng biến trên khoảng

B. 6 D. 10 C. 12

 A. 5

2

y

  

4 x mx

)

Câu 39: Có bao nhiêu số nguyên dương m để hàm số nghịch biến trên (2;

C. 4 . B. 8 . A. 7 . D. 3 .

)

y



3  x mx



2

Câu 40: Có bao nhiêu số nguyên âm m để hàm số đồng biến trên (1;

B. 3 . C. 4 . D. 1. A. 2 .

5 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Đề thi thử nghiệm_2018

m

100

y



 0;  .

1

Câu 41: Có bao nhiêu số nguyên để hàm số nghịch biến trên khoảng 

B. 99 . D. 96 .

 x m 2   x x C. 97 .

A. 98 .

y



3 x mx 



2

x đồng biến trên

 0;  .

Câu 42: Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số

  

x m x

B. 0 . khoảng  A. 3 . C. 2 . D. 4 .

Câu 43: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y đồng biến trên (1;4) .

m  4.

m  2.

 4m

 4m

y



3cos

 x m

2 cos

x

A. B. C. 2 D. 2

(0;

) .

đồng biến trên Câu 44: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

m  0.

m  0.

m 

.

m 

.

3 2

3 2

4

2

A. B. C. D.

y



3cos

x



cos

 x m

cos

x

 1

3 2

;

Câu 45: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

   

 3

 2 3

   

đồng biến trên nửa khoảng .

m   .

9

0m  .

m  

m 

1 3

1 3

3

2

y



2sin

x



3sin

 x m

sinx

. A. B. C. D. .

đồng biến Câu 46: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

   

  trên khoảng 0 ;   2

.

m  .

m  .

m  .

0m  .

3 2

3 2

3 2

2

2

tan



1

B. C. D. A.

y



2 tan  x m  x m 2  x m tan

Câu 47: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số đồng biến

m

1

0

1

0

m

trên nửa khoảng 0; .

0m  .

   . m

1m  .

    4      . m

2

y



2

mx



2 cos

 x m

x .sin .cos

x



2 cos 2

x

B. C. D. A.

1 4

Câu 48: Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số đồng

   ;   12 4  

biến trên nửa khoảng .

m   .

m   .

m   .

1

m   .

1

1 2

1 2

y



3  x mx



A. B. C. D.

m

5

1 x 5

Câu 49: Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số để hàm số đồng biến trên

0;  





4

5

3

0

khoảng ?

y

  x

A. . B. . D. . C. .

 1;   .

m  x m

Câu 50: Tìm các giá trị của tham số m để hàm số đồng biến trên khoảng 

6 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Đơn điệu

3

5

1m

 .

3

5

 2  2

  m    m 

5

3

5

3

A. . B. 0



m

 . 1

m



 2

 2

2

mx

D. C. .

y



  x m  1

mx



 0;

đồng biến trên khoảng Câu 51: Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số

 

0m

 .

1m

 .

0

m

m

 . 0

1  . 2

1   2

2

B. C. A. 1 D. 0

y m x

x

x



  

1 2

5

Câu 52: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số đồng biến trên nửa

0;

  1 2

   

   

m 

m 

khoảng .

4m  .

4m  .

4 2

4 2

2

A. B. . C. D. .

y



mx 2



x



2

x

 đồng biến trên 

11

Câu 53: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số

   . m

 

1m

 .

m  .

m  .

1 2

1 2

1 2

1 2

4

2

2  y m (



1)

x



mx 2

A. B. D. C. 1

  1;  .

5

1

đồng biến trên khoảng Câu 54: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số

m   hoặc 1

1m  B.

m   hoặc 1

m



 2

5

1

A. .

m   .

1

m   hoặc 1

m



 2

2

D. C. .

y



m





mx 3



 31 x

Câu 55: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số đồng biến trên

 1;  .

5

1

khoảng 

m



m   hoặc 1

1m  .

m   hoặc 1

 2

5

1

A. B. .

m   hoặc 1

m   .

1

m



 2

2

3

C. D. .

y



2



9

mx

m



x



 1

1

đồng biến trên Câu 56: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

m   hoặc 2 m   hoặc 1

m   . 1 2m  .

m   . 2m  .

4

3

2

20; 20

B. D. khoảng   1;  . m   hoặc A. 2 m   hoặc C. 1

y



3

x



4

x



12

x



m

 m  





;1 .

Câu 57: Có bao nhiêu số nguyên để hàm số nghịch biến trên

khoảng  A. 4 . B. 30. C. 8. D. 15.

7 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Đề thi thử nghiệm_2018

4

2

y



 x mx

 đồng biến trên khoảng

9

  .

Câu 58: Có bao nhiêu số nguyên không âm m để hàm số

 1; A. 3 .

B. 6 . C. 7 . D. 4 .

y



5  x mx

4

 đồng biến trên khoảng 

 1;  .

Câu 59: Có bao nhiêu số nguyên dương m để hàm số

A. 4 . B. 5 . C. 6 . D. 3 .

  f x có

u x liên tục trên đoạn   

0;5 và có bảng biến thiên như hình vẽ, hàm số

3

x

x



f



Câu 60: Cho hàm số

10;10



  x m

 m  



 f x



 10 2    u x

0;5 .

đạo hàm . Có bao nhiêu số nguyên để hàm số

B. 6 . C. 3 . D. 4 .

đồng biến trên đoạn  A. 5 .

----------HẾT----------

8 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Đơn điệu

NHÓM GIẢI VẬN DỤNG CAO CHUYÊN ĐỀ ĐƠN ĐIỆU - NĂM HỌC 2018-2019

VTED_2019 MÔN: TOÁN 12

Thời gian làm bài 90 phút

Đề đã thay đổi thứ tự câu (sắp xếp theo độ khó tăng dần) so với đề gốc

BẢNG ĐÁP ÁN THAM KHẢO

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

3

y



x



26  x mx

1

HƯỚNG DẪN GIẢI

 đồng biến

 0;  .

12;  .

3;  .

48;  .

 36;  .







Câu 1: Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

B.  C.  D.  trên khoảng  A. 

Hướng dẫn giải

 . 1

C. 26  x mx

 

y



12

 x m

3

y



x



26  x mx

0;

0

y

Chọn 3 x  y  23 x

 đồng biến trên khoảng  1

 0; 

      x



   m

23 x

12

0;

x

     .



 

23 x



12

Hàm số

  g x

 

6

x

   x 0

0

   g x   g x '

Đặt

12m 

3

Vậy .

0;  ?

y



2

x



mx



 đồng biến trên khoảng  1



Câu 2: Có bao nhiêu số nguyên âm m để hàm số

A. 10. B. 8 .

1 3 x C. 9 .

D. 11.

Hướng dẫn giải

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Đề thi thử nghiệm_2018

2

y

 

6

x



 . m

Chọn

3

A. 3 4 x

0;

0

y

y



2

x





mx

 đồng biến trên khoảng  1

 0; 

      x



1 3 x

2

   m 6

x



x

     0;

3 4 x

2

Hàm số

  6

x



  g x

3 4 x

 

12

x



   g x

12 5 x

    x 1

0

 g x '



x 0



1

g

0







g 

9

9

m   .

Đặt

m           .

 9; 8; 7; 6; 5; 4; 3; 2; 1



3

Vậy Mà m là số nguyên âm nên

y

 

x



23  x mx

 nghịch biến

1

; 0 

3;  .

1;  .

Câu 3: Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số





   . ; 3

   . ; 1

trên khoảng  A.  B.  C.  D. 

2



x

; 0

y

' 0

x

; 0

Hướng dẫn giải

   

   



2

2

 

3

x



6

 x m



0

     ; 0

m

x

3

x



x 6

x

; 0





   



2

  m

x



x 6 )

min(3    ;0

2

g x ( )



3

x



x 6 ,

; 0

x

Chọn A. y   3 ' x m  6 Hàm số nghịch biến trên khoảng 

    

g x '( )

x 6

 6

g x

'( ) 0

    x 1

Xét hàm số

Bảng biến thiên

10 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Đơn điệu

m   3

3

2

y



x



3

x



mx

Từ bảng biến thiên ta có

 đồng biến trên khoảng  1

 0; 

Câu 4: Có bao nhiêu số nguyên âm m để hàm số

A. 1. B. 3 . D. 2 .

3 2 C. 4 .

Hướng dẫn giải

y

 ' 3



mx 3



3

2

Chọn Ta có D. 2 x

x mx

   ' 0



m



2

2

y

 0; 

 

  1 0

Do đó 2

0

y 2 4m  2 4 0 TH1:      m       suy ra hàm số đồng biến trên  nên đồng biến trên khoảng  Khi đó x ' 0,  thỏa mãn 2m   2  2

m m

TH2:

     y  có hai nghiệm phân biệt ' 0





,x x 1 2

x 1

x 2

Khi đó



Ta có bảng xét dấu

và   2;x 

x 2

1; x y  có hai nghiệm phân biệt 1 ' 0 x

 0;  khi

 0





0

0





  m

0

x 2 

0

x 1 x x . 1 2

m      1 0

  

m   2

Dựa vào bảng xét dấu ta có hàm số đồng biến trên khoảng  Do đó hàm số đồng biến trên khoảng 

3

 2y

x



xm

2 6 

x



3

Kết hợp với đk ta có m >2 Kết hợp hai trường hợp ta có   Do m nguyên âm nên có hai giá trị của m là 2; 1

 0;  .

đồng biến trên khoảng Câu 5: Có bao nhiêu số nguyên âm m để hàm số

B. 6 . C. 4 .

 A. 5 .

D. 7 .



y



6

x

2 2 

x m



6

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có .

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Đề thi thử nghiệm_2018

3

 2y

x



xm

2 6 

x



3



 0; 

2

y

 

6

x



2

xm

    0,

6

x

; 0



  .

Hàm số đồng biến trên khoảng khi

2





3



3



3

2

m   .

6

  m

,

0;

x

  m

3

     x

3 0,

xm

0;

x

   







m  0;

ax  

x x

3

2

2

Suy ra

nghịch biến trên

23 x x Câu 6: Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số

y



x



3

m



x



3

m



2



 1



 m x

2;3 .

B. 3 . D. 2 . khoảng  A. 1. C. 4 .

Hướng dẫn giải

2

2

Chọn D

y

 

3

x



6

m



x



3

m

m



 1

3

2

2

Ta có .

y



x



3



 x

 

m

2

3



2;3 khi



 1

2

2

2

2

y

 

3

x



6

m



x



3

m



2

m

  x

2

m





2

m

  

0,

x

; 2 3

2     

0,

x

 m x 2;3



 1



 1





  x m



m 

 

2

x

2 2 

m



x



m



2

m

Hàm số nghịch biến trên khoảng



 1





2

Lại có nên kết hợp với bảng biến thiên suy ra

   2;m

2

2

3

. hàm số nghịch biến trên 

m





3

2

x

y



x



3

m



2;3 thì

  x m          0 x m   m  1





 m x

  

2 2

m

  

4

m

  3

Vậy để hàm số nghịch biến trên khoảng 

  m

3

  

3

2







.

y

 x mx

m

6

x





1; 3

Câu 7: Có bao nhiêu số nguyên âm m để hàm số đồng biến trên khoảng 

B. 3. C. 4. D. 2. A. 1.

Hướng dẫn giải

2

2





   



y

'

3

x

2

 mx m

6 0

x

1; 3

   m

  x

1; 3

  m

max

   m

3





  g x





 g x



x 3 x 2

 6  1

3

2

2









Chọn B Ta có

 nghịch biến trên

m  

(

20

; 20

)

y

x

3

mx

3

m

1

x

1







1; 3 .

Câu 8: Có bao nhiêu số nguyên để hàm số

khoảng  A. 30. B. 31. C. 28. D. 29

Hướng dẫn giải

2

af

0





m

6

m

0

2

2









y

'

3

x

6

 mx m

3

3 0

1; 3

x

  f x

      



2





af

0

 3

m

18

m

 24 0

    1    3

 3    

    





     

; 2

m

3

17 ;

m

20; 2

3

17 ; 20





    





   







17

; 3

m

17 ;

     

0; 



       m ; 2      3 

2

2







y

3   x

m

x

m

3

3

2

Chọn A Ta có



 1

 m x



2;

Câu 9: Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số đồng biến trên mỗi

  và   ; 3

 .

khoảng 

12 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Đơn điệu

A. 1. B. 3. D. 2. C. 4.

Hướng dẫn giải

2

2











y

x

m

x

m

m

'

3

6

3

2

Chọn C



 1





Ta có

  và   ; 3

 2;

2





2   x

m

m

x

2

2

2;

0

 1

         . ; 3







  x m



2

2

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng 







x

m

m

2

2

  0



 1



  x m

2

  x m     x m 

2

2







                

x

m

m

m m

m

x

2

2

2;

3

2

0

2

3

0



 1



 ; 3





  x m



Vì nên

8

5

4

y

m

x

x

hay có 4 giá trị của m thoả mãn bài toán.

   

 3

   9

 2 m x

0;

 .

Câu 10: Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số đồng biến trên khoảng

 A. 7.

B. 6. C. 4. D. 5.

Hướng dẫn giải

7

4

3

3

4

2





















y

x

m

x

x

x

m

x

m

'

8

5

8

5

Chọn D



 3



 3

 4 9

 2 m x

 4 9

   

  

7

  

m

y

x

x

3

'

8.

0

0

Ta có:

   

3m  thoả mãn bài toán.

4

3

3

   

m

y

x

x

x

m

3

'

    0

3

+TH1:

   không thoả mãn bài toán.

 8

 30

30 8

4

2

      











  

m

x

y

x

m

x

m

x

0

3

0

'

8

5

0

0

+TH2:

  g x



 3

 4 9





 0

  g x

min    0;



m

 5 3



3

3







  

x

m

x

+ TH3:

32

5

0

  g x '



 3 ,

  g x '

32



m

 5 3



2

3

  

 



m

x

g

m

Ta có:

   (không thoả mãn)

3

9

0

  g x

  0

0;

0 min   

32





m

m

 5 3



 5 3



3

3

 





  x

g

0

TH3.1:

3m 

  g x

0;

0 min   

32

32

      

      

TH3.2:

13 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Đề thi thử nghiệm_2018





m

m

 5 3



 5 3



3

3



   

g

m

m

  m

4

0

1.95

3

   3



32

15 4

32

       

        

         

     3     

 m  

 1; 0;1;2;3

8

5

4

Vậy có 5 giá trị m thoả mãn bài toán là

y



x



m



4

x









 16

 2 m x

 0; 

đồng biến trên khoảng Câu 11: Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số

 A. 7

B. 6 C. 9 D. 8

3



0

x

7

4

3

y

Hướng dẫn giải Chọn D

y

 

8

x



5

m



4

x









 4 16

 2 m x

4

2

x



5

m



4

x





m



0





 4 16



     0 8 

4

2

Ta có: ;



8

x



5

m



4

x





m

  g x





 4 16





m



m

 5 4



 5 4



3

3

3

  

0

x

  x



Xét



32

x



5

m



4

   g x

   g x





x 0

32

32

Có ;

0

Ta có bảng xét dấu

 0;  thì



0 g x  .

4

m

m

 5 4



 5 4



2

3

3



8



5

m







m



0

Để hàm số đồng biến trên khoảng 





 4 .

 g x 0

 4 16



 32

 32

   

   

m

m

 5 4



 5 4



3

3





m

.





m

4



m

m

4

 0

 5 4



 4 4







 32

 32



5    4 4



m





m



0  5 4

3

4  

3, 0326



m 0





m



0



 m  m 

 4 4



 32

    Vậy

  

m m

0

 4

15 4  g x

0

0 

Có

m

m

      

 3; 2; 1;0;1; 2;3; 4

8

5

4

Vì . Vậy có 8 giá trị của m

y



x



m



5

x



25









 2 m x

 0; 

đồng biến trên khoảng Câu 12: Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số

 A. 10

C. 9 D. 8 B. 11

3



0

x

7

4

3

y

Hướng dẫn giải Chọn C

y

 

8

x



5

m



5

x









 4 25

 2 m x

4

2

x



5

m



5

x





m



0





 4 25



     0 8 

4

2

Ta có: ;



8

x



5

m



5

x





m

 g x







 4 25



Xét

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Đơn điệu



m



m

 5 5



 5 5



3

3

3

  

0

x

  x





32

x



5

m



5

  g x



   g x





x 0

32

32

Có ;

0

Ta có bảng xét dấu

 0;  thì



0 g x  .

4

m

m

 5 5



 5 5



2

3

3



8



5

m







m



0

Để hàm số đồng biến trên khoảng 





 5 .

 g x 0

 4 25



 32

 32

   

   



m



m

 5 5



 5 5



3

3





m

.





m

5



m

m

5

 0

 5 5



 4 5







32

32



5    4 5



m

5





m

0  5 5



3

 

3,9516



m 0







m



0

 m  m 

 4 5



 32

  

m m

0

    Vậy

 5

15 4  g x

0

0 

Có

m

m

      

 3; 2; 1; 0;1; 2;3; 4;5

3

2

2

10;10

Vì . Vậy có 9 giá trị của m

y



x



m



x



m



x

 m  





 1



 1

Câu 13: Có bao nhiêu số nguyên để hàm số nghịch biến

2;0

?

B. 11. C. 8 . D. 7 . trên khoảng  A. 10 .

Hướng dẫn giải

3

2

2

2

2

Chọn C

y



x



m



1

x



m



x

y

 ' 3

x



2

m





 1

  x m

  . 1







 1

Ta có: nên

y

2; 0

2; 0

     ' 0, x



2

2

2 0

    .

 Phương trình

3

x



2

m



1



0

  x m

 1

x  có hai nghiệm phân biệt 1

x 2





2

2

2





2

m



m





0





   2



  

7 0

 1 

nên . Hàm số nghịch biến trên 

2

2

24  m m     m 1 0 



2

m





m





0



  1 .    1 . 0

  3. 3.      3. 3. 0 

 1 

   

1





m

113 8

1



.

  m

1



113 8

113 8

1

      m   m

.

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Đề thi thử nghiệm_2018

1





10



m



10;10

 m  



113 8

m         

Vì nên nguyên .

 9; 8; 7; 6; 5; 4; 3; 2



4

2

y



x



2

m



x

1

 đồng biến trên khoảng

Nên các giá trị nguyên cần tìm là: nguyên .



 1

Câu 14: Có bao nhiêu số nguyên dương m để hàm số

  1;  . A. 0 .

B. 2 . C. 1. D. 3 .

Hướng dẫn giải

3

Chọn B

y

 ' 4

x



4

m



x



 1

1;  khi và chỉ khi

y

x

Ta có: .



     . ' 0; 1;



34   x

4

m



x

   

0;

x

       1 0;

2 x m

x

2 1

x



 1

 1;



 1;



       m x ;

 1;

2

  m

x

  . 1

 min   1;

Hàm số đồng biến trên 

x

2 1 2;

     . x

 1;



Mà:

m 

1; 2 

4

2

. Nên: m  . Vì m nguyên dương nên

y



x



2

m



x

  đồng biến

m

3



 1

1;3 .



Câu 15: Tìm tập hợp các giá trị thực của tham số m để hàm số

1; 2 .

 ;11

; 2 .

. B.  C.  D.  trên khoảng  1; 2 . A. 

Hướng dẫn giải

y

 

4

x



4

m



x



4



 1

2

   . 1 2 x m

    0,

x

y

     

1 0,

x

   m

1

x

,

  x

Chọn C 3

 2 x x m  1;3

 1;3



 1;3



YCBT .



x

2,

x



  1;3



 f x



m

1 1

m

2

. Xét hàm số

    .

3

2

Dựa vào BBT suy ra:

y

 

x



m



x



2

mx

 đồng

5



 1

2 3

Câu 16: Tìm tập hợp các giá trị thực của tham số m để hàm số

0; 2 .

m   

3 2 2

m   

3 2 2

biến trên khoảng 

m  .

m  .

2 3

2 3

A. . B. . C. D.

Hướng dẫn giải Chọn C

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Đơn điệu

2

   y

22 x



2

m



 x m 2

  

0,

x

0; 2

  m

,

  x

0; 2



 1









x x

 x  1

2

YCBT .



,

  x

0; 2

 f x







x x

 x  1

2

    x

1

2

x



2

1



f



0

  x

x



x

   1

2



 x 2  1

   

Xét hàm số .

m  .

2 3

2

Dựa vào BBT suy ra:

y

 

x m x



2

x

 đồng biến trên khoảng

3



 ;  .

Câu 17: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số

1m 

 .

m



m   .

 

1m

 .

1 m  hoặc 2

1   2

1 2

1 2

. C. B. A. 1 D. 1

Hướng dẫn giải

2

x



2

x

  3



x



1

 1

y

  ' 1

m



2

2

x



2

x



3

x



2

x

 m x 3



2

x



  2





 1



2

 1 x



2

x

 m x 3



2

x



  2



x



 1



0

1

' 0

A. Chọn + Tình đạo hàm

m   thay vào

y  hàm số đồng biến.

2

 1 x



2

x

  3

+ Nhận thấy với suy ra

D.

0m  thay được y

x là hàm số đồng biến. Vậy loại C.

3

Loại B, + Thay

y

 

x



23 x



mx 3

 nghịch biến trên

1

 0;  .

Câu 18: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

0m  .

m   .

1

m   .

1

0m  .

B. C. D. khoảng  A.

Hướng dẫn giải

2

2

  3

x



6

 x m 3

Chọn

0;

 m x



2

x

 với 0

 x   Suy ra



2

y





x



2 ;

x x

0;

A. y ' + Điều kiện

  f x

   ta được



 Min y   1



+ Xét giá trị nhỏ nhất của hàm số

m   1

+ Vậy

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Đề thi thử nghiệm_2018

2

2

2

3

y



 (m 1) x



 (m 4 m 3) x m





2 x 3

Câu 19: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

 1;  m   5

 1m 

m 

2 3

m  

đồng biến trên  1m  hoặc A. B. 5

 hoặc

m   5

 2 3

C. D. 5

Hướng dẫn giải

2

2

y

 ' 2

x



2(m 1) x m 4







m

Chọn C

 3

2

2

y

 ' 2

x



2(m 1) x m 4







m

3 0,

Ta có:

 1;  

      x

 1;

2

2

Δ '



 (m 1)



2(m 4 m 3)





 

2  m 6

m

5 0

; 5

m

1;

Hàm số đồng biến trên 

         







2

m



m



6

m

 

5 0

2

TH1:

 Δ ' 0 y '(1) 0

 

m



6

m

; 3

0

7

2



2 3;

m

    

  2 3;1

 

 

 



m





1



1

      5; 1           m       3 :  

 b 2 a

 2(m 1) 4

      

      

m

   

2 3;

 

TH2:



 ; 5



 

4

y



x



2

2 mx m

Vậy:

 . Tìm m để hàm số đồng biến trên  0m 

 1m

Câu 20: Cho hàm số

C. 0

 1;  D.

0m 

1m 

B. A.

Hướng dẫn giải

3

y

 ' 4

x



4

mx

Chọn A

3

2

  y

' 4

x



4

mx

m x ,

0,

x

Ta có:

 1; 

          x

 1;

 1;



2

y

x

Hàm số đồng biến trên 

 1; 

Xét hàm số: trên 

BBT:

1m 

Từ BBT:

y



2

1x    x m

x

nghịch biến trên Câu 21: Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số



?

  . ; 2

4;  .



1;1 

; 0

   . ; 2

. B.  C.  D.  khoảng  A. 

Hướng dẫn giải

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Đơn điệu

2   

x m

x

 , 0

C.

1;1

 x  

1;1

m

2

   m

2;



Chọn Để hàm số xác định trên khoảng 

   m

x

 , x

 x  

1;1

1 4

  

  

    m 

  2 1 4

2



(*). Loại B.

  y



0

  m

x





21

 x  

1;1

 x  

1;1

2

2

  m x  

 1 x m

x





Ycbt , ,

  m



x





0

  g x



2 1

 

 

min    1;1

.

m    thỏa mãn. ; 2





2

Kết hợp với điều kiện (*)





2

x



x



3

 đồng

x



3

 y m x



4 3

 3;  ?

Câu 22: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

biến trên nửa khoảng 

m  .

m  .

m  .

m  .

2 3

1 4

1 3

1 2

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

 

y m x

2



2



2

x

   , 3 1 0





  x   3;

2

Ycbt

3;

  m



f

 





 m f x



 f x



  4

 x  

max    3;

1  . 2

  x 3 1  2 x 2

,

m  thỏa mãn đề bài.

1 2

3

2

Vậy

y

 

x



m



x



m



3

x

 đồng

4



 1





1 3

0;3 .

3

Câu 23: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

3m  .

m   .

m 

m 

18 7

A. . B. C. . D. biến trên khoảng  12 7 Hướng dẫn giải

2

Chọn A.

y

'

 

x



2

m



 x m

 . 3



 1

2

    ' 0,

y

x

0;3

 

x



2

m



 x m

   

3 0,

x

0;3

+

0;3







 1





2

x

3

2

x

 m x



2

x

  

3,

x

0;3

+ Hàm số đồng biến trên 

  m

,

  x

0;3

   2

 1









2   x  1 2 x

2

x

3

.



,

x



0;3

  f x





  x 2  1 2 x

2

13

2



2

6

f

'

  

0

x

f

'



+ Xét hàm số

  x

  x

  1 2

2

x



x 

 x 2  1

; .

19 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Đề thi thử nghiệm_2018

ycbt

3

m  .



2

mx

+ BBT

y



2 6  x  x 2

  1;  .

  ;



;



  ;

nghịch biến trên khoảng Câu 24: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

;0 .

14 5

4 15

14 5

  

  

  

  

  

  

C. . D. . A. . B. 

Hướng dẫn giải

2

mx



4

14

y

'



Chọn A.

2

x



 mx 2 



1; 

' 0,

y

+ .



      x

 1;

2

  mx

4

mx



14 0,

   

x

  m

,

x

+ Hàm số nghịch biến trên khoảng 

 1;



    1;



 14 2  4

x

x

.



,

x

  f x

   1;



 14 2  4

x

x

x





f

'



    x

0,

  x

 1;



2

x



4

x

 14. 2 

4 2 

+ Xét hàm số

ycbt

m  

14 5

4

2

2  y m (



1)

x



mx 2

.

Câu 25: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số nghịch biến trên

)

khoảng (2;

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Đơn điệu

 

1

m

m



1

1



65



65

1



m





m

 . D.

1

65

1



65

8

8



m



1

m



8

8

   1 

   

A. . B. . C. 1 .

Hướng dẫn giải

2

3

y

 ' 4(

m



1)

x



mx 4

Chọn A.

(2;

Ta có:

)

2

3

y

 ' 4(

m



1)

x



mx 4

0 (

(2;

x

     ))

2

2

2

2





1)

 x m

      

0 (

(2;

m

))

x

(

1)

 x m

    

0 (

(2;

x

))

(*)

 4 . ( x m 

 

Để hàm số nghịch biến trên khoảng thì điều kiện là:

m   (*) không thỏa mãn.

1

TH 1:

1m  (*) luôn đúng nên

m

 

1 (

TM

)

1



65

1



65

TH 2:

  2



m



1m  (*) trở thành

m 2 

1

m

8

8

m 2  1 m TH 3: thỏa mãn khi

1



65

1



65

1



m



1



m



x   m 2  1 m   x    

1m  ta được

8

8

Kết hợp đk => chọn đáp án B

2018; 2018

 m  



3

2

2

2

2

y



x



3(

m



m 3



3)

x



3(

m



1)

x m

2

  đồng biến trên khoảng (1;

)

Câu 26: Có bao nhiêu số nguyên để hàm số

A. 2017 . B. 2018 . C. 2019 . D. 2016 .

Hướng dẫn giải

2

2

2

y

 ' 3

x



6(

m



m 3



3)

x



3(

2 m



1)

Chọn A.

Ta có:

(1;

)

y

x

   ' 0 ( 2

1) 2

2

2

  3 x

6(

m



m 3



3)

x



3(

m



1)

  

0 (

x

1)

2

2

2

2

  x

2(

m



m 3



3)

 x m (



1)

  

0 (

x

1)

2

2

(

m

1)

2

  x



2(

m



m 3



3) 0 (

  

x

1)

 x

2

2

2

2

(

m

1)

(

m

1)

2

2

Để hàm số đồng biến trên khoảng thì điều kiện là:

g x ( )

  x



2(

m



m 3



3)

g x

'( ) 1

 

  

x m

0

 1

 x

 2 x

2

Min g x ( )



g m (

   1) m 6

Đặt Ta có

 4

Lập BBT ta được

21 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Đề thi thử nghiệm_2018

2

2

(

m

1)

2

g x ( )

  x



2(

m



m 3



3) 0 (

   x 1)

 x

Min g x

( ) 0 (

    

1)

x

6

m

   

4 0

m

 2 3

Để thì

3

2



Kết hợp đề bài ta được số giá trị nguyên cần tìm là: 2018

y



f



x



2

x



m



x m

  . Tìm tổng tất cả các giá

 f x



  x



 1

1 x

2;   .



Câu 27: Cho hàm số có đạo hàm

C. 8 . B. 3 . D. 6 . trị nguyên dương của tham số m để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  A. 1.

Hướng dẫn giải

Chọn A

3

2

2;  

 f

x

    

2;

0,

x

  x

2

x



m



x m

       0,

2;

x















 1





Để hàm số đã cho đồng trên khoảng

3

2

 

biến 1 x

2;



x



2

x

  x

;

x

 m x x

   1

x     1 .





 m x

   1

     2;



1 x ;

1   x x

 1



,

f

t

f

  1

2;

0,

t

 2;   có

  t

  t

       .

1   trên  t

1 2 t

 

m f

Xét hàm số

  2

3  . 2

3



Vậy   1

y



f

   x

mx 3

  2

 f x



  x

Câu 28: Cho hàm số có đạo hàm . Tìm tất cả các giá trị thực của

1 3 x  1;   .

tham số m để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 

m  .

1m  .

0m  .

m  .

2 3

B. C. D. A.

1 3 Hướng dẫn giải

Chọn B.

A sa

3

 f

    

0,

x

   x

mx 3

  2

    

0,

x

 1;  



  x

 1;



 1;



Để hàm số đã cho biến trên khoảng

3

2



mx 3



x

  2

,

x

  3 m x

,

x

     1;



      . 1;

1 3 x

2   x

1 4 x

2

y



x

nghịch 1 3 x

  1;   ,

2   x

1 4 x

3

3

2

x

x

4



   1

y

 

2

x







0,

x

       . 1;

5

2 2 x

4 5 x

x

Xét hàm số trên có

22 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Đơn điệu

2

  m y 3



2

 m x 3

,

x

m  .

  1

     1;



2   x

1 4 x

2 3

2

2

x



2

m



1

Suy ra

y



 mx 2  x m

đồng biến trên Câu 29: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

 2; 

 ;

khoảng 

;



   2;

;1 .

; 2 .

5 4

5 4

  

  

  

  

C. . D. . A.  B. 

Hướng dẫn giải

Chọn D.

y





x m

  đồng biến trên tập xác định.

1

Câu 30: Có bao nhiêu số nguyên dương m để hàm số

A. 2. B. 1. D. 1.

21 x 8 C. 4.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

y

  x

 10;  .

2 1m   x m

Câu 31: Có bao nhiêu số nguyên dương m để hàm số đồng biến trên khoảng 

A. 10. B. 5. D. 6. C. 4.

Hướng dẫn giải

y



  x

 f x



2

2

2

2

m





x



2

1

 1



y

  ' 1



 2

  x m

   x m

 x m

2 1m  x m     1 2 

 

 x m 

m 2 

mx 



2

 1m 

'

  1

2

m

   1 0

  

1

m



1

m

2 1 0       y

' 0,

x m

Chọn D

1

m    m

* Khi

2

  '

m

1 0

' 0

y

Trong trường hợp này không có giá trị nguyên dương nào của m thỏa ycbt.

x

,x x 



    có 2 nghiệm phân biệt 1

2

x 1

2

2

 

1 0

m  '

 m 1     m 1  Để hàm số đồng biến trên 

 10;  thì

x  2 10

  m

m

2 1 10  



m

2 1 10  

 m

10

m



0

2

m

  1

m



20

m



100

10     2 

101 20

 m     m

* Khi

23 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Đề thi thử nghiệm_2018

m   hay

1

1

m



101 20

.

Trong trường hợp này có 4 giá trị của m thỏa ycbt.

m   ,

1

1;  suy ra hàm số đồng

1 0

y    hàm số đồng biến trên 

1;  hoặc  



10;  (thỏa ycbt).

* Khi



biến trên khoảng 

Trong trường hợp này có 2 giá trị của m thỏa ycbt.

3

Vậy có 6 giá trị của m thỏa ybct

m 

0; 2018

 y mx



9

x







1 3 x

0;

  .

Câu 32: Có bao nhiêu số nguyên để hàm số đồng biến trên khoảng

 A. 2015.

B. 2013. D. 2016.

C. 2014. Hướng dẫn giải

y

0;

x

Chọn A

 0;  thì:

      ' 0,

2

9



3

1

2



mx 3



   

9 0

m







,

x

     0;

 4

3 2 x 2

3 2 x

1 4 x

x x

3

x

3 2 x

2

3

1

Để hàm số đồng biến trên khoảng 

0;  ta được

x 

y







  g x

  g x

 4

max    0;

6 3

x x

9  tại 4

Khảo sát hàm số: trên 

m   có 2015 giá trị nguyên của m thỏa yêu cầu bài toán.

9 4

Ta có:

 y mx



0;2 .

Câu 33: Có bao nhiêu số nguyên dương m để hàm số nghịch biến trên khoảng 

36  x 1 C. 4 .

A. 36 . B. 35 . D. 3.

Hướng dẫn giải

   y m

Chọn C

2

36  1)

(

x

   y m

  

0;

x

(0 : 2)

Ta có: .

0;2 khi và chỉ khi

2

36  1)

(

x

(0 : 2)

  x

m ;





4



36 ;

  x

(0 : 2)

  

m

m

4

Hàm số nghịch biến trên khoảng 

2

2

2

36  1)

x

x

(

(

36  1)

(

x

36  1) Vậy có 4 giá trị nguyên dương m thỏa mãn.

3

Hay: . Mà nên .

 y mx





2

x

 0; .

1 3 x

Câu 34: Có bao nhiêu số nguyên âm m để hàm số đồng biến trên khoảng 

24 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Đơn điệu

A. 8 . B. 9. D. 5. C. 6 .

Hướng dẫn giải

2

0; khi và chỉ khi

  y m





6

x

0;

0;

x

Chọn B



     

3 4 x

2

Hàm số đồng biến trên khoảng 

m

 



6

x



h(x);

x

     . 0;

3 4 x



 h (x)





12 ;x

h (x) 0

   . Bảng biến thiên của ( )h x

1x

Hay:

 0; :

12 5 x

x

1

0

+

h'(x)

Trên 

+

0

-

-9

h(x)

-

-

m



h(x);

0;

x

   . Vậy có 9 số nguyên âm m

m 9

   



Dựa vào bảng biến thiên ta thấy

thỏa mãn yêu cầu bài toán.

 đồng biến trên khoảng

10m  để hàm số

y

3   x

23  x mx

1

).

Câu 35: Có bao nhiêu số nguyên

B. 6. D. 3.

(0; A. 13.

2



C. 7 Hướng dẫn giải Chọn C.

y

'

3

x

  x m

6

Ta có

      ) 0,

(0;

x

y

)

'

      ) 6 ,

x x

(0;

m

23 x

2

  m

x 6 )

 max( 3 x   (0; x

 )

2

 

Hàm số đồng biến trên khoảng (0;

g x ( )

3

x

 x 6

(0;

)

2

x 6 )

 3.

 max( 3 x   (0; x

 )

Lập bảng biến thiên của hàm số trên ta có

.m

m  Kết hợp với

3.

10m  ta có 3

m  Vậy có 7 giá trị nguyên của

10.

3

   đồng biến trên khoảng

Do đó

y

x mx

3 x

).

Câu 36: Có bao nhiêu số nguyên dương m để hàm số

C. 7

(0; A. 6.

B. 5. D. 4. Hướng dẫn giải Chọn A.

25 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Đề thi thử nghiệm_2018

2



 

y

'

3

x m

.

3 2 x

Ta có

2



(0;

        x

(0;

0,

m

y

)

)

'

3

x

,

   ). (0;

x

3 2 x

2

  m

min 3

x

 3     2  x

       x

(0;

)

2

Hàm số đồng biến trên khoảng

3

x

  Do đó 0 6.

m 

6.

3 2 x

Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:

.m

2

y



4  x mx

Vậy có 6 số nguyên của



Câu 37: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để hàm số đồng biến trên khoảng

B. 4 C. 3 D. 2

 1,  ? A. 1

Hướng dẫn giải

2

y



4  x mx

Chọn D

 1, 

3

y

 ' 4

x



2

mx

 

m Min x

2 (2 )

1x 

1x 

 

22m x

0 với

Xét hàm trên 

2m  .

m

m 1;

với

 . 2

y



4  x mx

2 8 

x

Vì m là số nguyên dương nên

0,  ?



Câu 38: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để hàm số đồng biến trên khoảng

 A. 5

B. 6 C. 12 D. 10

y



4  x mx

2 8 

x

Hướng dẫn giải:

 0, 

4

3

y

 ' 4

x



mx 2



8

0 với

x 

0

6m 

0, 

  m

Xét hàm trên 



32  x x

trên 

2

y

  

4 x mx

Vì m là số nguyên dương nên m=1,2,3,4,5,6. Có 6 giá trị

)

Câu 39: Có bao nhiêu số nguyên dương m để hàm số nghịch biến trên (2;

C. 4 . A. 7 . B. 8 . D. 3 .

Hướng dẫn giải

3

2

y

'

 

4

x



2

mx



2

x



2

 x m





2

y

  

4 x mx

Chọn B.

)

y

    ' 0, )

(2;

x

2

  2

2 x m

      

0,

x

)

2.2

Hàm số khi và chỉ khi nghịch biến trên (2;

m

m

0

(2;     8

26 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Đơn điệu

8m

 .

Vậy 1

)

y



3  x mx



2

Câu 40: Có bao nhiêu số nguyên âm m để hàm số đồng biến trên (1;

B. 3 . A. 2 . C. 4 . D. 1.

Hướng dẫn giải

f x ( )



3  x mx

Chọn B.

 2

f x

 '( ) 3

2  x m

f x ( )



3  x mx

2

Xét hàm số

 đồng biến

)

y



3  x mx



2

f x ( )



Hàm số khi và chỉ khi đồng biến trên (1;

2 0,

(1;

) và

    x

(1;

0,

)





   m 3

 

m m

 

0 0

f x f

'( ) 3    (1) 3

2 x m   m 0

3   3 

  

m 

3  x mx      x ) trên (1;

  . 1

m

100

Vậy 3

y



 0;  .

1

Câu 41: Có bao nhiêu số nguyên để hàm số nghịch biến trên khoảng 

B. 99 . D. 96 . A. 98 .

x m  2   x x C. 97 . Hướng dẫn giải

Chọn B.

x

0; 

y







2

 x m 2   x mx 2

x 



m

y

'



với Xét hàm số

2

x

x  

1   1 2  1

x 

y

0;

x

y



Ta có:

 0;  khi

     ' 0



x m  2 x  

x

1

2

2

Để hàm số nghịch biến trên khoảng 



x



2

mx

  1

m

      0;

0

m

x

0;

x





   



1 2

 x

x 

1

2

(*)



x

  0;

 g x







1

1 2

 x

x 

2

2



2





0

0;

x

Xét hàm số

  g x '

   



 2

2

x



x  1

x  2 

0; 

x



g



1

Có .

g x nghịch biến trên khoảng





 0

 1m



 g x m

 100

 . Vậy 1

Suy ra hàm số . Vậy

, mà m nguyên nên

  1; 2;3;...;99

y



3 x mx 



2

x đồng biến trên

Để (*) nghiệm đúng khi và chỉ khi m

 0;  .

Câu 42: Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số

khoảng  A. 3 . B. 0 . C. 2 . D. 4 .

Hướng dẫn giải Chọn C.

27 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Đề thi thử nghiệm_2018

y



3 x mx 



2

x với

x

0; 





2

Xét hàm số

y

' 3

x m

 

1 x

y

0;

x

Có

 0;  khi

     ' 0



2

Để hàm số đồng biến trên khoảng 

2   

x m

3

     0

0

3

x

x

m x    

0

1 x

1 x

1

1

1

1

2

2

5

3

x



=3

x



+







5

0;

x

(*)

   



3 4 4

1 x

4

x

x

4

x

4

x

Có

x

5

4 1 144

5

5

m  

5

m    5

Dấu bằng xảy ra khi

3 4 4

3 4 4

Để (*) nghiệm đúng khi và chỉ khi

m

   

 2; 1

Mà m nguyên âm nên

  

x m x

Câu 43: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y đồng biến trên (1;4) .

m  4.

m  2.

 4m

 4m

A. B. C. 2 D. 2

Hướng dẫn giải

m

  2

 x m

  

0

x

(1;4)



2

x m x

  

(1;4)

Chọn A.

   1

  

0

x

(1;4)

2

x



m 4

 . Chọn A

y



3cos

 x m

2 cos

x

Ycbt  ' y

(0;

) .

đồng biến trên Câu 44: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

m  0.

m  0.

m 

.

m 

.

3 2

3 2

B. C. D. A.

Hướng dẫn giải

2

2

y

'

 

x sin (3cos

 x m

2 ) 0

  

x

(0;

 )



3cos

 x m 2

  

0

x

(0;

 )

Chọn C.

2



3cos

x



2

m x

 

(0;

 )



m

3  2

4

2

Ycbt 

y



3cos

x



cos

 x m

cos

x

 1

3 2

;

Câu 45: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

   

 3

 2 3

   

đồng biến trên nửa khoảng .

m   .

9

0m  .

m  

m 

1 3

1 3

A. B. C. D. . .

Hướng dẫn giải Chọn A.

28 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Đơn điệu



x

;

t

  .

cos x

y

4   3 t

mt

1

   

  

 3

 2 3

1 1 ; 2 2

23 t 2

   

    

với . Hàm số trở thành:  Đặt t

312 t

   t m 3



 





y

3 cos x

3

cos x m .sinx

  ty

 x

 y .t t

 x

 12



x

;

.

sin x  . Do đó bài toán tương đương “Tìm m để hàm số

0

   

 3

 2 3

   

  nghịch biến trên nửa khoảng

Với thì

y

4   3 t

mt

1

  

1 1 ; 2 2

23 t 2

   

  

  





t

t

 

312 t

0

   , t m 3

.

m

312 t

 , 3 t

  ty

  

  

1 1 ; 2 2

1 1 ; 2 2

   

   

3

  m



t 12



t 3

.

 





1 3

min 1 1    ;   2 2  

3

2

y



2sin

x



3sin

 x m

sinx

.

đồng biến Câu 46: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

   

  trên khoảng 0 ;   2

.

m  .

m  .

m  .

0m  .

3 2

3 2

3 2

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

3

2

x

y

mt

t 2

Chọn C.

   . t 3

sin x

t

 ;

0 1

   

  0 ;   2

t m 6

26 t

    

với  . Hàm số trở thành: Đặt t









y

6

2 sin x

6

sin x m .cosx

ty





 x

 y .t t

 x

x

0

.

cos x  . Do đó bài toán tương đương “Tìm m để hàm số

   

Với thì

y

4   3 t

mt

1

  đồng biến trên khoảng 

0 1;

  0 ;   2 23 t 2 26 t

0





m

t 6

26    , t

.

  t

  t



0 1 ;

0 1  ;

     , ty t m 6

  m

t 6

 2   t 6



max

3  . 2



 ; 0 1

2

2

tan



1

.

y



2 tan  x m  x m 2  x m tan

đồng biến Câu 47: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

trên nửa khoảng 0; .

    4      . m

0

1

m

0m  .

   . m

1

1m  .

m

A. B. D. C.

0 Hướng dẫn giải

Chọn B.

m

   (*) m

0

1

    4  

2

2

2

tan



1

Để hàm số liên tục trên 0; thì

y





tan

x m

 

 x m  x m 2 tan 2  x m tan

m tan

 1  x m

Ta có

29 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Đề thi thử nghiệm_2018

2

m



1

  y

2

1 2 cos

x

tan

 x m





  1  

   

y

0,

x

    4  

      0;  4  

2

m



1

  1

0,

0;

2

    x 

   4 

tan

 x m





2



tan

 x m

2 tan

x

x

      1 0, 0;  4  

x

t



tan

x

t 

Để hàm số đồng biến trên 0; thì



0;1

   0;  4  

Đặt . Vì nên .

t

2 2 

mt

   

1 0,

t

t

2 ,

m t

 





 0;1

 0;1

1   t

Khi đó bất phương trình hay

f

t ( )

  t

,

t





 0;1

1 t

2

t

1

Xét hàm số

f

 ( ) 1 t

 



  

0,

t



 0;1

 2

1 2 t

t



f

t ( )



f

(1)

  

2,

t



 0;1

Ta có

2m  hay

1m 

 Để

t

2 ,

m t

 



 0;1

1   t

thì 2

0m  .

2

Đối chiếu với (*), ta có

y



2

mx



2 cos

 x m

x .sin .cos

x



2 cos 2

x

1 4

đồng Câu 48: Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số

   ;   12 4  

1

1

biến trên nửa khoảng .

m   .

m   .

m   .

m   .

1 2

1 2

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn C.

y

 

2

m



2sin 2

 x m

cos 2

x



x sin 2 .cos 2

x

Ta có



m



sin 2

x

2 cos 2



x







y

0,

x

x

.

   ;   12 4  

       ;  12 4  

       x m 0, ;  12 4  

Để hàm số đồng biến trên thì hay sin 2

30 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Đơn điệu

x



sin 2

x

 1

1 2

    ;  12 4  

 x m

0,

Vì nên

m   .

1 m  hay 2

1 2

      x ;  12 4  

Để sin 2 thì

m

y



3  x mx



5

1 x 5

0;  

Câu 49: Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số để hàm số đồng biến trên





khoảng ?

5

3

0

4

D. . A. . B. . C. .

Hướng dẫn giải

0;  

Chọn. D.





2

Hàm số xác định và liên tục trên khoảng .

x 

0;

 

0;  

y

 

3

x m

 









1 6 x

Ta có , . Hàm số đồng biến trên khoảng khi và chỉ khi

x 

0;

 

0; 

y

 

3

2 x m

 



0









1 6 x

2

x 

0;

 

, . Dấu đẳng thức chỉ xảy ra ở hữu hạn điểm trên .

   m 3

x









  g x

1 6 x

8

 6



6

 g x

  

x

1



,

 

6

x



  0

   g x

7

x x

6 7 x

Ta có ;

x 

0;

 

Bảng biến thiên

  m



g

 

4

   m g x





  g x

  1

max    x 0:





m  

Suy ra ,

 m   

  4; 3; 2; 1

Mà .

y

  x

 1;   .

m  x m

3

5

Câu 50: Tìm các giá trị của tham số m để hàm số đồng biến trên khoảng 

1m

 .

3

5

 2  2

  m    m 

5

3

5

3

A. . B. 0

m





m

 . 1

 2

 2

C. . D.

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Đề thi thử nghiệm_2018

Hướng dẫn giải

0;  

Chọn C.





m

Hàm số xác định và liên tục trên khoảng .

y

   1

 1;   khi và chỉ



 x m



2

m

Ta có, . Hàm số đồng biến trên khoảng

y

   1



0

x    . Dấu đẳng thức chỉ xảy ra ở hữu hạn điểm trên

 1;



 1;   .

 x m



2

2

2



 x m



 m x



2

mx m m







0

2



,

  x

1

  f x  x m



 0

   



0

min

1

5

3





  m

 2

2 m m m







0

 m  1 2  



   f x     1;       m 1; 

2

mx

khi ,

y



  x m  1

mx



 0;

đồng biến trên khoảng Câu 51: Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số

0

m

m

 . 0

 

0m

 .

1m

 .

1  . 2

1   2

B. C. A. 1 D. 0

Hướng dẫn giải: Chọn. D.

m

        y

' 1 0

0

y

x

x

Trường hợp 1:

0m 

Vậy nhận

0m 

2

mx

Trường hợp 2:



D



\

y



x m    1

mx

 1  m 

  

2

2 2 m x

2

mx

m

; Tập xác định

y

'



mx



 

  1 2  1

4

2

2





m

   m 0

0

y

  ' 0

2 m x



2

mx

  1

m

 (*);

0

*'  

.

32 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Đơn điệu

2

mx

y



 0;

 * có 2 nghiệm phân biệt

x m    1

mx



0

 0



x 2 

0

x

 và 0

x 1

2

 1 m



0

   x 1  x x .  1 2  1  m 



0

2

2

1





0

:



;





TheoViet x x . 2

1

x 1

x 2

m 2

m 2

 m

 2 m

  

  

0

 2  m  1    m   m  

0



  0

m



1

Hàm số đồng biến trên khoảng 

 . 1m

m



1

v m



0

 m    1 

2

Vậy 0

y m x

x

x



  

1 2

5

Câu 52: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số đồng biến trên nửa

0;

  1 2

   

   

m 

m 

4 2

4 2

khoảng .

4m  .

4m  .

A. B. . C. D. .

Hướng dẫn giải

Chọn C

x



2

1

  y m



2

2

x

x  

2

1

x



5

2

1

5

m

x

5 Hàm số xác định trên 0;   1 2        



0;

2 0,

0;

2

  1 2

  1 2

x

x  

2

1

   

   

       

   

2

5

4

1

5

x

x  

 

0;

,2

1 0

m  

,

0;

x

  1 2

x 2

x    1

  1 2

   

   

 x    

   

   

   

2

4

1

5



g x ( )

Hàm số đồng biến trên

0;

x

  1 2

x 2

x    1

   

   

Xét hàm số trên

33 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Đề thi thử nghiệm_2018

2

x

x





8

8

4



 g x ( )

2

x

x



x  

(2

1)

1

m



g x ( )

m   4.

max   1 5 0; 2

   

   

2

y



mx 2



x



2

x



11

Từ bảng biến thiên, ta có:

Câu 53: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đồng biến trên 

   . m

 

1m

 .

m  .

m  .

1 2

1 2

1 2

1 2

A. B. D. C. 1

Hướng dẫn giải

Chọn



1

y

 ' 2

m



  

0,

x

 .

2



2

x



11

x 1

x



 .





2 ,

m x

 

2

x



2

x



11

x



1

D. x



f x ( )





f

x '( )



  

0,

x

2

2

10 x 2

x





11

2

x



11

x  x

 1

x



1

Xét hàm số

f x ( )





1

2

2

lim  x

x



2

x



11

x



2

x



11

m 

.

Hàm số đồng biến trên  , .

1 2

4

2

2  y m (



1)

x



mx 2

Vậy

  1;  .

5

1

m



đồng biến trên khoảng Câu 54: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số

m   hoặc 1

1m 

m   hoặc 1

 2

5

1

1

A. B. .

m   hoặc 1

m   .

m



 2

C. . D.

Hướng dẫn giải

y

Chọn



1)

3 x



mx 4

0,

1

   . x

2 m (



1)

2 x m

x

    . 0, 1

2 m

   

1 0

2 x

B. 2  ' 4( m Ta có:

m 2  m

1

Nếu không thỏa mãn.

m     không thỏa mãn.

1 0

1

Nếu

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Đơn điệu

m     thỏa mãn. 1 0

1

2

2 m

   

1 0

x

Nếu

 1; 

2

m

m 2  1 m       ; 1



m

1

5

m

;





     

 ; 1

5

1

5

1

 2

;



m





  

   

 2

 2

  1 0 m 2 

m

1

   1  

   

    ;   

 1;   

  

    

5

1

Nếu , để hàm số đồng biến trên khoảng 

m   hoặc 1

m



 2

2

Vậy .

y



m





mx 3



 31 x

đồng biến trên Câu 55: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

 1;  .

5

1

khoảng 

m   hoặc 1

1m  .

m   hoặc 1

m



 2

5

1

A. B. .

m   hoặc 1

m   .

1

m



 2

C. D. .

Hướng dẫn giải

2

2

2

2

y

 

3

m



x



3

m

  

0,

x

1

 x m

   . x

0,

1



 1

   m

 1

B. Chọn Yêu cầu bài toán tương đương với

Tới đây có thể sử dụng tam thức bậc hai hoặc phương pháp hàm số.

m   thoả mãn.

1

m

2 1 0      , thử lại chỉ có 1

m

2

2

+ Nếu

m



 x m

  

0,

x

1



m

2      . m m

1 0

0

m   , ta có  2 1 0

 21

   m

 2 1 .1

 

1

m

2

m

 

1 0

+ Nếu

5

1

2 m m

  

1 0

   

    m 

 2

2

m



2  x m

 

2 1 0

Kết hợp lại ta có .

m   , ta có



 1

 

 

lim  x

5

1

+ Nếu nên không thỏa mãn.

m   hoặc 1

m



 2

2

3

Vây .

y



2



9

mx

m



x



 1

1

đồng biến trên Câu 56: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

m   . 2m  .

m   hoặc 2 m   hoặc 1

m   . 1 2m  .

B. D. khoảng   1;  . m   hoặc A. 2 m   hoặc C. 1

Hướng dẫn giải

Chọn D.

35 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Đề thi thử nghiệm_2018

2

2

2

2

y

 

6

m



x



9

m

  

0,

x

1



2

m



x



m 3

   . x

0,

1



 1



 1

Yêu cầu bài toán tương đương với

Tới đây có thể sử dụng tam thức bậc hai hoặc phương pháp hàm số.

m   thoả mãn.

1

m

2 1 0      , thử lại chỉ có 1

m

+ Nếu

2

2

2

2

2

m



x

m 3

  0



m





3

m

  

0,

x

1



2

2

m



m 3

  .

0

2

Nếu ta có

 1

2 1 0 m   ,  2 1 .1



2

m

 

1 0

+ 

2

2

m



m 3

 

2 0

m   1     m 2

   

2

2

m



x



m 3

 

Kết hợp lại ta có .

m   , ta có

2 1 0



 1

 

 

lim 2  x

+ Nếu nên không thỏa mãn.

m   hoặc 1

2m  .

4

3

2

20; 20

Vây

y



3

x



4

x



12

x



m

 m  





;1 .

Câu 57: Có bao nhiêu số nguyên để hàm số nghịch biến trên

khoảng  A. 4 . B. 30. C. 8. D. 15.

Hướng dẫn giải

4

3

Chọn

x



4

x



12

2  x m

3

2

2











/ f (x)

12

x

12

x

24

x

12

x( x

  x

2

)



/ f (x)

0

.

2

  x 0       x 1    x

D.  ( ) 3 f x Xét hàm số

Bảng biến thiên

-∞

+∞

+

-

x f '(x)

2 +0

-1 0

- +∞

+∞

0 0 m

f (x)

m-5

m-32

y



f x ( )

   ; 1

m  

5 0

Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số khi và chỉ khi nghịch biến trên 

20; 20

 m  



Kết hợp với m nguyên ta được tập hợp các giá trị của m thỏa đề bài là



m



5



m





 19

.

36 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Đơn điệu

4

2

Vậy có 15 giá trị nguyên của m thỏa đề bài.

y



 x mx

 đồng biến trên khoảng

9

  .

Câu 58: Có bao nhiêu số nguyên không âm m để hàm số

D. 4 .

 1; A. 3 .

B. 6 . C. 7 .

2

SSHướng dẫn giải

f x ( )





9, ( )= ( ) .

g x

f x

m 

2 36. 

Chọn Đặt A. 4  x mx

m 

6.

Để xét dấu f(x) ta xét dấu biệt thức

2

m





36

2

x



2

m 2

+ Trường hợp 1:

4  x mx

   0

9

2

m





36

2

x





1

     

m 2

sss

Bảng biến thiên:

2

m





36

Từ bảng biến thiên ta thấy đồ thì hàm số f(x) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt, trong đó điểm

y



f x ( )



  

1,

m

6

x 4

m 2

có hoành độ lớn nhất là nên hàm số không thể

1;  . Do đó, không có giá trị nào của m thỏa mãn trong trường hợp này.

đồng



biến trên 

6m 

2



m

  6

f x ( )



4  x mx

     x

9 0,

g x ( )



f x ( )



f x ( )

/



/ g x ( )



f

 ( ) 2 (2 x

x

2  x m )

2



1;

/ g x ( )

0,

x

x 2 (2

 x m

)

0,

x

( )g x

  

      1;



      1;

  m

+ Trường hợp 2:

x

     1;

  m

22 , x

x

    1;



m  2.

đồng biến trên  22 , x

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Đề thi thử nghiệm_2018

0; 1; 3 .



Kết hợp với m nguyên không âm ta được tập hợp các giá trị của m thỏa đề bài là 

Vậy có 3 giá trị nguyên không âm của m thỏa đề bài.

y



5  x mx

4

 đồng biến trên khoảng 

 1;  .

Câu 59: Có bao nhiêu số nguyên dương m để hàm số

A. 4 . B. 5 . C. 6 . D. 3 .

Hướng dẫn giải



5  x mx

Chọn B.

 4

  f x

4

4





f



5

4  x m f

,

  

0

x

;

x

 

Xét

  x

  x

m 5

Suy ra .

1;  khi và chỉ khi

y



5  x mx

4

 đồng biến trên khoảng 

m 5 

f

0



  1



0



  m

5

Hàm số

4



1

5  m    m 5 

m 5

.

     Câu 60: Cho hàm số

  f x có

u x liên tục trên đoạn   

0;5 và có bảng biến thiên như hình vẽ, hàm số

3

x

x



f



10;10

   x m

 m  



 f x



  u x

 10 2 

đạo hàm . Có bao nhiêu số nguyên để hàm số

0;5 .

đồng biến trên đoạn 

A. 5 . B. 6 . C. 3 . D. 4 .

Hướng dẫn giải

3

x

x

3

x

x



f



  0



m

Chọn A.



  x m

  1

 10 2    u x

  u x

 10 2 

Ta có

 . 1

1



 với

4

x 

  u x



0;5

1   u x

Ta có nên



3

x



 10 2

x

  g x

0;5

Xét trên 

  0

3 10 2



x



2 3

x

  3 x





  g x '

 g x '



3 2 3

x

1  10 2

x

Ta có ,

 g x  5



max   0;5

5

m

Ta có

Do đó từ  1 ta có

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

m 

Vậy .

Chuyên đề_Đơn điệu   5; 6; 7;8;9

39 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Giá trị lớn nhất_Nhỏ nhất

NHÓM GIẢI VẬN DỤNG CAO CHUYÊN ĐỀ GTLN-GTNN - NĂM HỌC 2017-2018

VTED_2019 MÔN: TOÁN 12

2

2

2

Thời gian làm bài 90 phút

x

y

2





m

 x m



C (với m là tham số thực) thoả mãn



Câu 1. Cho hàm số có đồ thị 

 1  . Mệnh đề nào sau đây đúng?

y y  8

2m

 .

2m  .

 

m

  . 1

m   hoặc 2

2

2

D. max min 1;1      1;1  . 1m  A. 1 C. 1 B. 2

2

2

P



x y  . Hỏi giá trị lớn nhất của biểu thức 0 Câu 2. Cho hai số thực ,x y thay đổi thoả mãn

2

24 y

x 

 xy



10



10

x  2 5

y  

5



10

2



10

 3 2



là?

3

5

15

15

2

2

A. . . B. . C. . D.

,x y thay đổi thỏa mãn

3

3

P x

  

y

x



y

Câu 3. Cho hai số thực x y  . Hỏi giá trị lớn nhất của biểu thức 1

là

5 5 4

15 3

5 3 4

5 15 9

2

2

A. . B. . C. . D. .

,x y thay đổi thỏa mãn

2

2

Câu 4. Cho hai số thực x  xy  y  . Hỏi giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2

là. S  x  xy  y

2 3

1 3

P

 

1 2cosx

 

1 2sin

x

A. . B. . C. 3 . D. 2 .

Câu 5. Hỏi giá trị nhỏ nhất của biểu thức là

P

 

1 2cosx

 

1 2sin

x

B. 3 1. . D. 2  3. . C. 1. . A. 2 1. .

Câu 6. Hỏi giá trị lớn nhất của biểu thức là

2

2

A. 2 3 1. . B. 3 1. .  C. 2 2 3. . D. 2 2 2.  .

,x y thay đổi thỏa mãn

x



xy



y

 Hỏi giá trị lớn nhất của biểu thức

2.

2

2

Câu 7. Cho hai số thực

S



x



xy



y

là?

4 3

2

B. . C. 3. D. 6. A. 2 .

y



2sin

x



2sin

x

 là? 1

Câu 8. Hỏi giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số

M

 

1,

m

M

m 3,

M

  . 3

M

m 3,

  . C.

1

3   . B. 2

3   . D. 2

3 m , 2

A.

y



2cos2

x



2sin

x

M

m 0,

M

m 4,

. Câu 9. Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số

M

  . 4

M

m 4,

 . 0

9   . 4

9   . 4

9 m , 4

4

2



4sin

A. B. C. D.

Câu 10. Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số

M

 y x sin   . m 5, 2

x M

 . 5  

2,

m

  . 5

M

m 2,

  . 5

M

m 5,

 . 2

A. B. C. D.

1 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Tài liệu Vted_2018-2019

2

cos

 | 1

y



 x | cos

| cos x  x | 1

Câu 11. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số là?

5 2

7 2

3 2

B. . C. . A. . D. 3 .

,a b là hai số thực thay đổi và khác 0 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

4

2

2

4



P







4

2

2

4

a b

b a

b a

Câu 12. Với

a b A. 2 .

b a   bằng b a B. 2 .

3

2



x



ax



bx c

C. 4 . D. 4 .

 với

,

  f x

 x

Câu 13. Cho hàm số

,m n sao cho đường thẳng đi qua hai điểm



f  ;B n f n đi qua gốc tọa

 0  có hai nghiệm   



phân biệt

độ O . Hỏi giá trị nhỏ nhất của biểu thức S





25 9

,a b c là các số thực. Biết    ;A m f m ,  là?  abc ab c 16 25

2

2

B. . C. . A. 9 . D. 1.



4



y



4



2

xy



32







3

  y

3 3 

xy



2

y

x



S



x

Câu 14. Cho hai số thực . Hỏi giá trị nhỏ nhất của

,x y thay đổi thỏa mãn  x 

 1



5

7

7

5

là? biểu thức

 17 5 5 4

 17 5 5 4

 4

 4

B. . C. . D. . A. .

x

  y

x

  1

2

y

 . Gọi

2

,x y thay đổi thỏa mãn

,a b lần lượt là

2

2

Câu 15. [1D1-3] Cho hai số thực

S



x



y



2

x



y

8 4

  . Tính y

x



 1

   1

P 

43

giá tị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

. B. . C. . D. .

P a b   A. P  44

P 

42

P 

41

x y ,

cos 2

x



cos 2

y



2sin

2

x



y

 . Tính giá trị nhỏ nhất





  0; 2 

  

4

4

x

y

Câu 16. [1D1-3] Cho thỏa mãn



P



cos y

của biểu thức

1 

 4

cos x 2 

 5

y 

4



B. . A. . C. . D. .

y

y  

1

,a b để hàm số





 

b 1

và max . có min Câu 17. Hỏi có bao nhiêu cặp số thực 

ax 2 x C. 3 .

2



ax

bx

0

,

,

2

D. 0 . A. 2 . B. 1.

  với c

a b c a  là các số thực thỏa mãn

1  f   ,

  f x





f

f

2

y

 , 2

 . Hỏi giá trị lớn nhất của hàm số

 0

 1

  f x

Câu 18. Cho hàm số

1;1 là?

trên đoạn 

5 2

9 2



ab



cos

a



b 2



ab a 3

 

b 2

D. . B. . A. 2 . C. 4 .

 . 3

,a b dương thỏa mãn

 cos 3 3







Câu 19. [2D1-3] Cho hai số thực

  là?







Hỏi giá trị nhỏ nhất của biểu thức P a b

9 11 19 9

9 11 19 9

 18 11 29 21

2 11 3 3

A. . B. . C. . D. .

2 | VD_VDC

Chuyên đề_Giá trị lớn nhất_Nhỏ nhất

ab a b

 a b

sin





2

2



ab

   . Hỏi

,a b dương thỏa mãn

Câu 20. [2D1-3] Cho hai số thực

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19 





 sin 2 2

P a

 

b 2









giá trị nhỏ nhất của biểu thức là?

2 10 3 2

3 10 7 2

2 10 1 2

2 10 5 2

A. . B. . C. . D. .

y



y

  f x

 x f



2

Câu 21. Cho hàm số . Đồ thị của hàm số được cho như hình vẽ. Đặt



2



x

g

g



g



g

  g x

  f x



   3

  1

  0

  3

. Biết rằng . Mệnh đề nào dưới đây đúng

g



g

g

g



g



g

  3



A. . B.

g



g

g

g

g



g

  1   3

 

   3    3

  3   1

   3

  3

  1 

  . 3   1

max y 

2

C. . D. .

,a b là các số

y



m





a b

Câu 22. Cho hàm số khi , với ( m là tham số thực). Biết

  a b

 x m 2 x  4 a b

nguyên dương và là phân số tối giản. Tính S

cos

2



ab





  

a b ab

2

A. 9 . B. 71. C. 72 . D. 69 .

,a b thỏa mãn

 . Hỏi giá trị nhỏ





 cos a b



P a

 

b 2

Câu 23. Cho hai số thực dương





nhất của biểu thức là?

2 6 2 3

2 6 1 2

2

2

1



ab



ab



  

1

a

b 2



a



b 2

1

A. 6 1 . C. 2 6 3 . B. . D. .

,a b thỏa mãn

 . Hỏi giá



 1





Câu 24. Cho hai số thực dương

S

  a

b 2

trị nhỏ nhất của biểu thức là?

y



x

2 2 

x m

 

4

m

.

A. 2 6 4 . B. 2 6 2 . C. 6 2 . D. 2 6 3 .

 có đồ thị (

)C . Hỏi giá tri lớn nhất của hàm số trên





Câu 25. Cho hàm số

2;1

có giá trị nhỏ nhất là?

3

y

x







23 x m m

.

đoạn  A 3. . B. 2. . C. 1. . D. 5.

  có đồ thị (

)C . Hỏi giá tri lớn nhất của hàm số trên



Câu 26. Cho hàm số

 1;2 có giá trị nhỏ nhất là? B. 4. .

đoạn  A 2. . C. 1. . D. 3.

y





 f x



2; 4 

 max f x     2; 4

Câu 27. Cho hàm số như hình vẽ bên. Tìm . có đồ thị trên 

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Tài liệu Vted_2018-2019

y

2

1

-2 -1

O

x

2

4

-1

-3

 0f

4

3

2



8

x



ax



bx



B. . C. 3. A. 2 . D. 1.

 cx d

 1,

 f x



 f x



     x

  1;1

2

2

2

2

Câu 28. Cho hàm số thỏa mãn . Tính



c



d

 b 65

S 

129

S 

17

S 

35

.

a S  S  A.

2

2

x

y

2

. B. . C. . D. .

 . Giá

;x y

3

3

Câu 29. Cho hai số thực thỏa mãn trị lớn nhất của biểu thức

 P x



y



4

xy



(

x



y

)

3 2

bằng

110 27

115 27

122 27

2

x



(

m



2

y



A. . B. . D. . C. 5.

 1)  x

 x m 2 2

Câu 30. Cho hàm số (với m là tham số thực). Hỏi có giá trị nhỏ nhất max y  1;1 

là bao nhiêu?

3 2

1 2

2

x y  ;

A. . B. . D. 3. C. 2 .

P





 1; 2



x y

y 4 2 x

Câu 31. Cho hai số thực . Hỏi giá trị LN-NN của biểu thức là?

33 2

35 2

2

2

B. . D. . A. 3 . C. 20 .

x



2

x



4x 5

 

y



y



2

y

  .Hỏi giá trị lớn nhất của

0

2

;x y thỏa mãn 





 1

3

3

Câu 32. Cho hai số





y

 P xy x



biểu thức là?

243 16

243 5

1 12

81 4

a





A. . B. . C. . D. .

,a b thỏa mãn

2

b

1

34a   1 b

Câu 33. Cho hai số thực dương . Hỏi giá trị lớn nhất của biểu thức

   S a b ab









8

13

là?

8 13 13 54

13 3 8 3

9

8 3 13 27

3







A. . B. . . C. D. .

y

4

1

2

6 2

x 

x 

1

x

x

1

  

  

Câu 34. Hỏi giá trị nhỏ nhất của hàm số là?

5 2

9  . 2

A. . C. B. 5 . D. 3 .

4 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Giá trị lớn nhất_Nhỏ nhất

6

4

2

a



6

a



3 3 a b





6

ab



10

 . Hỏi giá trị

0

, a b thoả mãn

  15 3

 2 b a

Câu 35. Cho hai số thực dương

S

  a

b 2

nhỏ nhất của biểu thức là

A. 2 6 . B. 2 3 . C. 6 3 . D. 2 32 .



3sin 2

 x m

y



2 cos 2

cos





x

x

x

 2 sin

3 y  . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

8

Câu 36. Cho hàm số (với m là tham số thực) thoả mãn

max R A.

7m  .

4m

 .

3m

 .

7m

 .

2

x



y

x



2

y

5 0

B. 3 C. 0 D. 4

  . Gọi

,M m lần lượt là giá trị lớn nhất

,x y thỏa mãn

Câu 37. Cho các số thực



S

  x

2 6  y 2

P 

và giá trị nhỏ nhất của biểu thức . . Tính P M m 

P 

10

P  

10

P 

25 4

5 13 4

y   2

A. . B. . C. . D. .

y





 x m 2 1  x

Câu 38. Cho hàm số . Mệnh đề nào dưới đây đúng? (với m là tham số thực). Biết min

m   .

2

 

0m

 .

2m

 .

2m  .

2

x

y



y

 

y



5.

A. D. B. 2 C. 0

,a b là tham số thực). Biết min



2, max 

+ax+b 2  x 1

2

2

2

2

2

2

2

2

Câu 39. Cho hàm số (với Mệnh đề nào

a

b



44.

a

b



52.

a

b



28.



a

20.

y



y 

.

B. . C. . D. . sau đây đúng? A. b .

2

max 

4 3

  x x a x

 36



4.

2.

3.

8.

Câu 40. Cho hàm số (với a là tham số thực). Biết Mệnh đề nào sau đây

a   .

a   .

a   .

a   .

B. C. D. đúng? A.

y



f

C như hình vẽ và có đạo hàm

  f x

x  . Gọi

0

Câu 41. Cho hàm số liên tục trên khoảng

  x C tại điểm có hoành độ





có đồ thị  ;  , Đường thẳng ở hình vẽ bên là tiếp tuyến của 

m là giá trị nhỏ nhất của hàm số

y

  x f

. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

m   .

2

 

0m

 .

2m  .

A. D. B. 2  . 2m C. 0

,M m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

y



 x 1  x 2 1

Câu 42. Gọi trên đoạn





2;0

. . Tính S M m 

S   .

S   .

S  . 0

6 5

6 S  . 5

4 5

A. B. C. D.

4   x

24 x

  

  

Câu 43. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số y 3 .  trên đoạn 0; 3

m   .

1

2m  .

0m  .

A. B. C. m   . 3 3 D.

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Tài liệu Vted_2018-2019

y

x

  trên khoảng 

 0;   là?

9 2 x

3

m 

Câu 44. Giá trị nhỏ nhất m của hàm số

6m  .

m 

3.

m 

9 4

36 9 2

82 9

4

2

y



cos

x



3 sin

x

 2

A. B. . C. D. . .

Câu 45. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số

3M  .

M  

3

5 4

2

A. M   2 3 . B. C. . D. M   3 3 .

x y  ,

P





 1; 2



x y

2 y 2 x

Câu 46. Cho hai số thực . Giá trị lớn nhất của biểu thức là

17 2

5 2

33 4

1



10

y



A. . B. . C. . D. . 3 3 2

y



max 

8

mx 2 x

 1  4

2 1m

1

2 2m

2

2 3m

3

2 4m

Câu 47. Cho hàm số (với m là tham số thực). Biết . Mệnh đề nào dưới đây

 .

 .

 .

 .



b 3



2

đúng? A. 0 B. C. D.

,a b thỏa mãn

39  a a  1 b

S

a b

 là?

Câu 48. Cho hai số thực dương . Hỏi giá trị lớn nhất của biểu thức

6  89 12

82 3

11 3

17 12

A. . B. . C. . D. .

y



 ;  là?

x 2 1 

x

Câu 49. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng 

1  . 4

1  . 2

y



f

y

C. D. A. 0 . B. 1 .

  f x

  x

  x f

f

Câu 50. Cho hàm số có đạo hàm . Đồ thị của hàm số như hình vẽ

  4

y



  0 f   f x

    1 f 2   f  0; 4 là? trên đoạn 

f

f

f

f

f

f

f

f

Biết . Hỏi tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

  0

  2

  2

  4

  0

  4

  0

  1

A. . B. . C. . D. .

----------HẾT----------

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Giá trị lớn nhất_Nhỏ nhất NHÓM GIẢI VẬN DỤNG CAO

CHUYÊN ĐỀ GTLN-GTNN - NĂM HỌC 2017-2018

VTED_2019 MÔN: TOÁN 12

Thời gian làm bài 90 phút

Đề đã thay đổi thứ tự câu (sắp xếp theo độ khó tăng dần) so với đề gốc

BẢNG ĐÁP ÁN THAM KHẢO

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

HƯỚNG DẪN GIẢI

7 | VD_VDC

Tài liệu Vted_2018-2019

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

2

2

2

x

y

2





m

 x m



C (với m là tham số thực) thoả mãn



Câu 1. Cho hàm số có đồ thị 

 1  . Mệnh đề nào sau đây đúng?

y y  8 min  1;1 

 .

2m

 .

2m  .

 

m

  . 1

m   hoặc 2

D. max    1;1 1m  A. 1 B. 2

C. 1 Lời giải

Chọn A Ta có hàm số là hàm bậc hai có bảng biến thiên sau.

2

2

2



m 3



3,

 

m

  1



4

m

1 4

m

     1



Max y    1;1

Min y    1;1

 Max y Min y  

 1;1

 1;1



2

2

Qua bảng biến thiên ta thấy:

2

2

P



Câu 2. Cho hai số thực ,x y thay đổi thoả mãn x y  . Hỏi giá trị lớn nhất của biểu thức 0

2

24 y

x 

 xy



10



10

x  2 5

y  

5



10

2



10

 3 2



là?

15

5

3

15

A. . . B. . C. . D.

Lời giải

2

1

2

2

Chọn A

y x

   

  

x

  

P

0

2

2

 1

1



y x

y x

   4 

  

t  t 6 Ta xét: . Đặt t    P   P ' y x  t 1   t 1 t 4   t t 4  1 22 

2

2

P '     x 3 0 10 ta có bảng biến thiên sau:

 2 5



P



2

x 

 xy

y 

24 y

x

 10 Qua bảng biến thiên ta thấy giá trị lớn nhất của biểu thức là 15

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Giá trị lớn nhất_Nhỏ nhất

2

2

,x y thay đổi thỏa mãn

3

3

P x

  

y

x



y

Câu 3. Cho hai số thực x y  . Hỏi giá trị lớn nhất của biểu thức 1

là

5 5 4

15 3

5 3 4

5 15 9

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

2

2

2

2

Chọn D



x



y

2



xy











 y x



2

2

2

2

Ta có . P    x y x  y x  y  xy     y x x  y  xy

P



x



y

2 2 

xy

2



xy

xy

2



xy



   1 2









2

2

xy

Suy ra .

x



y

   

1

xy

 hay

t

1 2

1 2

1 1 ; 2 2

   

  

2

3

2

Đặt t , do .

P



f

2



t

 

t 2



7

t



t 4



4,

t

  t

   t 1 2



2

1 1 ; 2 2

   

  

Khi đó .

2

  t

  t

t 1     3 1 1 ; 2 2 Có f '   t 6  t 14  4; f '   0

t     2 1 1 ; 2 2                 

f





;

f





;

f



0

1 2

9 2

1 3

125 27

1 2

  

  

  

  

  

  

Mà

max



max

P



  125  f x 27

5 15 9

2

2

nên .

,x y thay đổi thỏa mãn

2

2

Câu 4. Cho hai số thực x  xy  y  . Hỏi giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2

là. S  x  xy  y

2 3

1 3

A. . B. . D. 2 . C. 3 .

Lời giải

2

2

Chọn A

S

 

2 2

xy

2

2

x



y



x



y



2

xy

 

2 3

xy

    . xy

0

Theo giả thiết khi đó . x  y   2 xy

2

2 3

Ta có 

S

 

2 2

xy

min

S

2   3

2  . 3

P

 

1 2cosx

 

1 2sin

x

Khi đó

Câu 5. Hỏi giá trị nhỏ nhất của biểu thức là

C. 1. A. 2 1. B. 3 1. D. 2  3.

9 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Tài liệu Vted_2018-2019

Lời giải

2

Chọn B

P

 

6 4 s inx cos



x



2 1 2 s inx cos





x



4 s inx cos

x









Ta có: .

t 

2

t



 s inx cos

x



2.sin

  x 4 

  

Đặt với

2 1  2

3

3

2

t 4

  t 8

4 khi t



;

t



  1 2

2

2

P



f

 

t 6 4



t 2 2



t 2

 = 1

  t

  1 2 3

3

2



8 khi

  t

     4 t 

  1 2

  1 2

3

3



8 khi t<

;

t





f

'

  t

3

3

t 8 khi

  t

 8 t      

  1 2   1 2

  1 2   1 2

t  s inx cos x  .

BBT

  t



2  3 1

   4 2 3  . Min   2 ; 2 f  

P

 

1 2cosx

 

1 2sin

x

P min  3 1  .

Câu 6. Hỏi giá trị lớn nhất của biểu thức là

A. 2 3 1. B. 3 1.  C. 2 2 3. D. 2 2 2. 

Lời giải

2

Chọn D

P

 

6 4 s inx cos



x



2 1 2 s inx cos





x



4 s inx cos

x









Ta có: .

t



 s inx cos

x



2.sin

t 

2

  x 4 

  

Đặt với

2 1  2

t .  s inx cos x 

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Giá trị lớn nhất_Nhỏ nhất

3

3

2

t 4

  t 8

4 khi t



;

t



2

2

  1 2

P



f

 

t 6 4



t 2 2



t 2

 = 1

  t

  1 2 3

3

2



8 khi

  t

     4 t 

  1 2

  1 2

3

3



8 khi t<

;

t





f

'

  t

3

3

t 8 khi

  t

 8 t      

  1 2   1 2

  1 2   1 2

BBT

  t



2  2 1



MaxP



2 2 2

 .

2

2

   12 8 2  4 . Max f    2; 2 

,x y thay đổi thỏa mãn

x



xy



y

 Hỏi giá trị lớn nhất của biểu thức

2.

2

2

Câu 7. Cho hai số thực

S



x



xy



y

là?

4 3

B. . C. 3. D. 6. A. 2 .

2

2

Lời giải Chọn D

x



xy



y



x



y



xy

   2

xy

xy



2

2

2



S

6

S



x



xy



y

 

2 2

xy

max

y  x  xy 2

   

2

y



2sin

x



2sin

x

 là? 1

Ta có

Câu 8. Hỏi giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số

M

 

1,

m

M

m 3,

M

  3

M

m 3,

  . C.

1

3   . B. 2

3   . D. 2

3 m , 2

A.

Lời giải Chọn C

t với

 t  

1;1

Đặt sin x

y

 

t 4

 2

y



22 t



t 2

 , 1

Khi đó

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Tài liệu Vted_2018-2019

y

0

1      t 2

y

3

M

m 3,

3   2

 



1 2

3 2

  

       1 1 y     1     y    

Ta có. . Kết luận

y



2cos2

x



2sin

x

M

m 0,

M

m 4,

. Câu 9. Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số

M

m 4,

 . 0

M

  . 4

9   . 4

9   . 4

9 m , 4

A. B. C. D.

Lời giải

2

2

2sin

x

 

4sin

x



2sin

x

y



2cos2

x

x





2sin



x

 . 2

Chọn A

2

Ta có

t



sin ,

x t

t 4



t 2

y

  . 2

  2 1 2sin       1;1



Đặt

y

t 8

t

1        2 0 4

Ta có:

x

1

1

1 4

y



0



9 4

y

0

4

Bảng biến thiên:

M



,

m

  . 4

9 4

4

2



4sin

M

x M

 . 5  

2,

m

Từ bảng biến thiên ta có:

 y x sin Câu 10. Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số   . m 5, 2

  . 5

  . 5

m 2,

m 5,

 . 2

M

M

A. C. B. D.

2

2

Lời giải



sin

x t ,



  y

t



t 4

 . 5



 0;1

Chọn B Đặt t

y

 

t 2

   

4 0,

t

2 4  t

0;1 . Do đó

 0;1

 M y



5,

 m y

  . 2

  0

  1

2

cos

 | 1

Ta có: suy ra y  t 5  nghịch biến trên 

y



 x | cos

| cos x  x | 1

Câu 11. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số là?

3 2

5 2

D. 3 . . C. A. . B. .

7 2 Lời giải

Chọn B

12 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Giá trị lớn nhất_Nhỏ nhất

2

t

1

t , hàm số đã cho trở thành

t  . 1

y



f



  t

t    1 t

2



t 

t 



0;1



0;1

Đặt cos x , với

f

'





0

  t

t



t 

t 2 2  1

(cid:0) Nếu thì với mọi .



f



f

 ; 1

  1

  0

t Min ( ) f    t 0;1

t Max ( ) f    t 0;1

3  2

2

t



 t  

1; 0

 t  

1; 0

Ta có:

f

'





0

  t

2

  t



t 2  1

(cid:0) Nếu thì với mọi .

f



f

  .

f

t ( )



f

 ; 1



 1

  0

1;0

Min    t 1;0



t Max ( )     t

3 2

Ta có:



f

t

f

t

  

 1;1

Min ( ) Max ( ) 1     t   t

 1;1

3 2

5 2

Suy ra tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho bằng:

,a b là hai số thực thay đổi và khác 0 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2

2

4

4









P

2

2

4

4

a b

b a

b a

Câu 12. Với

a b A. 2 .

b a   bằng b a B. 2 .

C. 4 . D. 4 .

Lời giải

2

2

2

2

2

2

t







  

2

2   t

2



Chọn B

t

  , khi đó ta có

2

2

2

2

a b

b a

a b

b a

a b

b a

a b

b a

  

  

2

4

2

2

2

2







2

t

2



2

Đặt .

2

2

   



a b

b a

a b

b a

  

  

  

  

4

4

2

2

2

2

2

Đồng thời .

P











t



2

  2

t



2

 t

4

4

2

2









a b

b a

a b

b a

a   b

b a

4

P



f



t



25 t

4

t

Do đó,

  .

  t

2

2

2

Hay

t





 

2 2.

2 4

  nên |

t  . | 2

2

2

a b

b a

a b . b a

4

Do

f



t



25 t

  trên miền

4

t

; 2

2;

  t





 D      .



3

2

f

'



t 4



t 10

f

''



t 12



10

0

Xét hàm số

 ; 1

 với mọi t D .

  t

  t

y



f

'

Ta có

2;  .

  t



  và   ; 2

Từ đó suy ra là hàm số liên tục và đồng biến trên các khoảng 

t   thì

f

'

f



13 0

 . Suy ra

f

  t

  ' 2

  t

2;  .

 

 2; khoảng 

(cid:0) Nếu là hàm số liên tục và đồng biến trên

13 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Tài liệu Vted_2018-2019

f

 . 2

  t

 2

Suy ra

'

f

'



2

 

11 0

 . Suy ra

f

t    thì ; 2

  t





  t

 trên khoảng 

f  f    . ; 2

là hàm số liên tục và nghịch biến (cid:0) Nếu

f

f



  . 2

  t



2

Suy ra

P



f

  . 2

  t

Từ kết quả trên suy ra

t   , tức là a

2

b  .

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

3

2



x



ax



bx c

Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P bằng 2 .

 với

,

  f x

 x

Câu 13. Cho hàm số

,m n sao cho đường thẳng đi qua hai điểm



f  ;B n f n đi qua gốc tọa

 0  có hai nghiệm   

phân biệt



độ O . Hỏi giá trị nhỏ nhất của biểu thức S





25 9

C. . B. . A. 9 . D. 1.

,a b c là các số thực. Biết    ;A m f m , abc ab c  là?  16 25 Lời giải

 có hai nghiệm phân biệt m , n nên ta có



 

   ;A m f m ,

  ;B n f n là điểm cực

3

2



x

ax

Chọn B   0 x f Vì

  f x

trị của đồ thị hàm số

 

 . bx c        ;B n f n có phương trình là ;A m f m ,



2

b 6

a

y



x



Đường thẳng đi qua hai điểm

 2 9

 c ab 9 9

2

b 6

a

y



x



.

 2 9

 c ab 9 9

9

Mặt khác đường thẳng đi qua gốc tọa độ O nên ta có

  ab

c 9



0

c ab 9

.



 abc ab c





29 c



10

c



9

c





 

,

   .

c

25 9

25 9

  

2

2

Vậy ta có S

x



4



y



4



2

xy



32

25   9  





3

  y

3 3 

xy



2

y

x



S



x

Câu 14. Cho hai số thực . Hỏi giá trị nhỏ nhất của

,x y thay đổi thỏa mãn  

 1



5

7

7

5

là? biểu thức

 17 5 5 4

 17 5 5 4

 4

B. . . C. D. . A. .

 4 Lời giải

2

2



4



y



4



32

x

y

2 8 

x



y



0

x

    . x

0

8

y







  







t 

x

Chọn B Ta có 

  suy ra y

2 xy  0;8



Đặt t .



y

3 3 

xy



x

  y

2

S



x



x



y

3 3 

x



y



6

xy



6

33 t



 1











Khi đó 3    3 t 6 xy  6

14 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Giá trị lớn nhất_Nhỏ nhất

3

S



t



t 3



 (vì

6

23 t 2

2

2

2

2

2

2   t

x



y



2

x



y



2

x



y



4

xy

Suy ra

t

  x

y













3



t 

f



23 t

3

f



t





t 3

xy  ). t 4

 , 6

  ; t 3

  t

  t



0;8

23 t 2

1

5

  t

f

Đặt ta có

  0 t 

1

5

t







 0;8

 2  2

   

.

BBT

S



f



  t

min   0;8

 17 5 5 4

x

  y

x

  1

2

y

2

Dựa vào bảng biến thiên ta có .

 . Gọi

,a b lần lượt là

,x y thay đổi thỏa mãn

2

2

Câu 15. [1D1-3] Cho hai số thực

S



x



y



2

x



y

8 4

  . Tính y

x



 1

   1

giá tị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P 

43

. B. . . D. .

  P a b A. P  44

P 

42

P 

41

C. Lời giải

1

x

  

0

y

  S

18

Chọn

  1

 x  y 

Trường hợp 1:

x

2

Trường hợp 2:

  *

   x



2

x



y



2

2

y

    x

1 2

1

y

 

2 4

x



y



 2 2

x

y

y  , ta có 0   

1 2

2

y

  x

   x



 1 2











  *

   x



2

y



4

x

y

y

   x







{0}

t 



  1 2 x  1. 2 y  2      1 x y y x y    x y y

  điều kiện

y

x

    4 x  1, 4



2

2

S



x



y

2 2 

x



y

8 4

  

y

x

x



y



2

x



y

 

2 8 4



x



y



 1

   1













t 

{0}



Đặt t

2 2  t

 1, 4



0

 t

S

 

t 2

  2

4  4

t

t

 

1 2 2

   0 

a



S



S





 13 8 2 8 3 2 2







27.63

max



b



S



S

18



min a b 

 1 2 2   0 45.63

Do dó biểu thức trở thành S  t   2 8 4  với t

x y ,

cos 2

x



cos 2

y



2sin

2

x



y

Vậy .

 . Tính giá trị nhỏ nhất





  0; 2 

  

Câu 16. [1D1-3] Cho thỏa mãn

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Tài liệu Vted_2018-2019

4

4

x

y



P



cos y

của biểu thức

1 

 4

cos x 2 

. C. D. . B. . A. .

 5 Lời giải

cos 2

x



cos 2

y



2sin

x



y

 2





2

2



sin

x



sin

y



2sin

x



y

 0







sin

x

sin

x



cos

y



sin

y

sin

y



cos

x

 0









2

2

2

2



x sin .



y sin .



0

sin sin

x x

 

cos cos

y y

sin sin

y y

 

cos cos

x x

2

2

x



sin

y

.





0

  1 sin



sin  x

x cos

sin

y

sin

sin  y

y cos

x

  

  

x



0

x y ,

Chọn B Ta có

y



0

  0; 2 

  

sin , cos x   sin ,cos y 

2

2

Vì suy ra

 1 sin

x



sin

y

  0

sin

x



cos

y

   x

y

 2

2

2

4

4

sin

x



sin

y

x

y

2



do đó

P









cos y

cos x

x



y

2 

y 

4



Mặt khác .

y

y  

1

,a b để hàm số





 

b 1

và max . có min Câu 17. Hỏi có bao nhiêu cặp số thực 

D. 0 .

ax 2 x C. 3 .

A. 2 . B. 1.

Lời giải

Chọn A.

2

Tập xác định: D   .

2

y

 

  Ta có y   x  ax   bx a 2 2  1

a  thì 0

2



x

 2 bx 2 1



y

0

 nên hàm số có GTLN và GTNN khi

Dễ có nếu . Hàm số chỉ có GTLN hoặc GTNN (không thỏa mãn)

y  có hai nghiệm phân

0

0

a  . Ta có lim 

x



y

4

y

  1

Vậy

 y x

2

min 

max 

2

2

2

2

và biệt 1 ,x x và 2

a

b

0





3

a



a x 2 2

a x 2 1

   3 b    a 4 

2

  4

.

   3 0       1 x 1 1 x 2

a x 2 2

a x 2 1

       

1  y x    b    a      2  

  4 4 a x x 1 2

16 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Giá trị lớn nhất_Nhỏ nhất

,a b là 

4;3 và 

4;3

2



Vậy có hai cặp số thực 

ax

  với c

bx

a b c a  là các số thực thỏa mãn

0

,

,

2

1  f   ,

  f x





f

f

2

y

 , 2

 . Hỏi giá trị lớn nhất của hàm số

 0

 1

  f x

Câu 18. Cho hàm số

1;1 là?

trên đoạn 

5 2

9 2

B. . D. . A. 2 . C. 4 .

Lời giải

f



f

  1



  1



f



a

  0

f

c



f

2 

f

  1



  1

f

a b c



f

Chọn B.

  0

2

f

a b c

  0        1       1

    

f

  0

    b     c  

f



f

f



f

  1



  1

  1



  1

2



f

x



f

x



f



  0

  0

  0

  f x

2

2

  

  

  

  

f

 1

f

1

2

2

2

x



x



x



x



f



x



x









  0 1



 

 2

2

Ta có:

f

1

f

 1

2

2

2



x



x



x



x



f



x



x

  f x

  



 

   1 0





2

 2

2

2

2



x



x



x



x



2

x

  x













 1

5 2



ab



cos

a



b 2



ab a 3

 

b 2

Suy ra:

 . 3

,a b dương thỏa mãn

 cos 3 3







Câu 19. [2D1-3] Cho hai số thực

  là?







Hỏi giá trị nhỏ nhất của biểu thức P a b

9 11 19 9

9 11 19 9

 18 11 29 21

2 11 3 3

A. . B. . C. . D. .

Lời giải



ab



a



b 2



ab a 3

 

ab

 3 3

cos

ab

b 2

b 2













a

a

 cos 3 3















f

   t

 cos

t

 cos 3 3 t

0

t

f

 Xét hàm số

Chọn D.

     . Do đó hàm số đồng biến trên

cos   t

b 2   3   1 sin   t

 . Khi đó phương trình có dạng:

trên  ,

f

 3 3

ab



b 2

3 3

ab

    b 2

a

b





 f a

   

a  3  a 3 2

2

3

.

3a  .

P a

 



a b  nên 0 0

,

 3 a  a 3 2

a   a 3  a 3 2

2

9



12

7

3

11



Khi đó . Do



  

0

a

0;3 ,

  f a



  f a



 f a



23 a   a  2 a 3

  2 3

a 3



2

a 

 a 2 

Xét hàm số , . trên 

17 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Tài liệu Vted_2018-2019

11

 





f



 f a



  2 3

3 2 11 3

2 11 3 3

   

   



ab



sin

 a b



2

ab a b

2

Khi đó ta dễ thấy . . Vậy giá trị nhỏ nhất của P là

   . Hỏi

,a b dương thỏa mãn

 sin 2 2







P a

 

b 2

Câu 20. [2D1-3] Cho hai số thực









giá trị nhỏ nhất của biểu thức là?

2 10 3 2

3 10 7 2

2 10 1 2

2 10 5 2

A. . B. . C. . D. .

Lời giải



ab



sin

 a b



2

ab a b

   

2



ab



 2 2

ab



sin

 a b



 a b

Chọn A.

 sin 2 2







 sin 2 2

















f

  t

sin

t

f

t

0

t

.

    . Do đó hàm số đồng biến trên

  t

  1 cos   t

f

 2 2

ab



2 2

ab

   

a b

b

 . Khi đó phương trình có dạng:

Xét hàm số trên  ,





 f a bb

   

a  2  a 2 1

2

.

2a  .

a b  nên 0 0

,

2

2 a 4  Khi đó P a   2. . Do a  2  a 2 1 a    a 1 2

10

  

0

a

0; 2 ,

 f a



  f a



  f a



  1 2

22 a 2

10

 





f



4 4  4 9 Xét hàm số   , . trên  a    1 a 2 a  a   a 2  1

 f a



  1 2

3 2 10 2

2 10 3 2

   

   

Khi đó ta dễ thấy . . Vậy giá trị nhỏ nhất của P là

y



y

  f x

 x f



2

Câu 21. Cho hàm số . Đồ thị của hàm số được cho như hình vẽ. Đặt



2



x

g

g



g



g

  g x

  f x



   3

  1

  0

  3

. Biết rằng . Mệnh đề nào dưới đây đúng

g



g

g

g



g



g

  3



g



g

g

g

g



g

A. B.

  1   3

 

   3    3

  3   1

   3

  3

  1 

  3   1

C. D.

Lời giải

Chọn D

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Giá trị lớn nhất_Nhỏ nhất



2



x

   g x

  f x

 

 



Ta có

  có các nghiệm là

0

x

f

x

x

 

3;

x



1;

x

 3





Từ đồ thị hàm số, suy ra:

g

g



g

g

g

 g x





   3

  0

  1

  3

  1

Bảng biến thiên của suy ra và

g

g



g



g



g



g



g



g



   3

  1

  0

  3

  1

  0

  3



  3

Theo trên

g



g

  0

g



g

  1

  0

  3



  3

Do

g

g



g



   3

  3

  1

max y 

2

Vậy ta có:

,a b là các số

y



m





a b

Câu 22. Cho hàm số ( m là tham số thực). Biết khi , với

  a b

 x m 2 x  4 a b

nguyên dương và là phân số tối giản. Tính S

D. 69 A. 9 B. 71 C. 72

Lời giải

     y

2,

2

x

Chọn B



max y 

Theo giả thiết





2

x m  2  x 4

 x m



22 x

8

, x  

 , x  

2

  m

x

  x

8



 min 2





63 8

a b  

  63 8 71

cos

2



ab





  

a b ab

2



,a b thỏa mãn

 . Hỏi giá trị nhỏ





 cos a b



Câu 23. Cho hai số thực dương

P a

 

b 2





nhất của biểu thức là?

2 6 2 3

2 6 1 2

A. 6 1 . B. . C. 2 6 3 . D. .

Lời giải

cos

2



ab





  

a b ab

  2

cos

2



ab



2



ab







 a b

Chọn C





 cos a b











 cos a b







  1

.

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Tài liệu Vted_2018-2019



f



cos

t

  t

 

1 sin

t

    ( dấu bằng xảy ra tại hữu han điểm

0,

t

f

  t

;a b bất kỳ) nên hàm số đồng biến trên  .

  t 

Xét hàm số

trên khoảng 



f

2



ab



  

2

ab

   

a b

b

  1





 f a b



2 a

 

a 1

2



a

a

4



P a

 

b a 2

 



,

a



0

 2 2 a



1

  a  1 a

2

a

4



2 6 3



,

a



0

.

 .

 g a



 g a



min    0;

  a  1 a

2

2

1



ab



ab



  

a

1

b 2



a



b 2

1

Lập bảng biến thiên của hàm số ta có

 . Hỏi giá

,a b thỏa mãn



 1





Câu 24. Cho hai số thực dương

S

  a

b 2

trị nhỏ nhất của biểu thức là?

A. 2 6 4 . B. 2 6 2 . C. 6 2 . D. 2 6 3 .

Lời giải

2

2

1



ab



ab



  

1

a

b 2



a



b 2



1



 1





2

2



ab



  1

a



b 2



  a

b 2

a

1

b 2



 1









    



2

t





1

2



Chọn A

 . Vậy hàm số đồng

f



t

   t

1

f



  

0,

t

  1

  t

  t

t 2

t 2

t



1

t



1

Xét hàm số

biến trên  .

f

         1

ab

b 2

b 2

a

a

b

 f ab

   1





1 a

 

a 2

2

S

  a

b a 2

 

2.



,

a



0

Từ giả thiết ta có: .

1 a

 

a 2

a a

 2  2



2 6 4



,

a



0

.

 .

 g a



 g a



min    0;

2 2  a  a 2

y



x

2 2 

x m

 

4

m

.

Lập bảng biến thiên của hàm số ta được

 có đồ thị (

)C . Hỏi giá tri lớn nhất của hàm số trên





Câu 25. Cho hàm số

2;1

có giá trị nhỏ nhất là?

đoạn  A 3. B. 2. C. 1. D. 5.

Lời giải

Chọn B

Ta có

20 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Giá trị lớn nhất_Nhỏ nhất

m



4

y

m



5

y

y

m



1

    2     1    1

5





1

5

1

.

y



m



5 ;

m



1





 . 2



max    2;1

  max   2;1

 m m 2

   m m 2

m

1

  m

3.

Khi đó,

" xảy ra khi

m



m





0

   m 

5  5 1

    

3

x

y





23 x m m



.

Dấu "

  có đồ thị (

)C . Hỏi giá tri lớn nhất của hàm số trên



 1;2 có giá trị nhỏ nhất là?

Câu 26. Cho hàm số

B. 4. C. 1. D. 3. đoạn  A 2.

Lời giải

Chọn C

y



m



4

Ta có

y



m



2

  2   1

4



 m m



2

4

   m m

2

.

y



m



4 ;

m



2





 . 1



max   1;2

  max  1;2

2

2

  m

3.

Khi đó,

" xảy ra khi

4 

2 

4

0

  m m     m m 2

    

Dấu "

y



 f x





2; 4 

 max f x     2; 4

Câu 27. Cho hàm số như hình vẽ bên. Tìm . có đồ thị trên 

y

2

1

-2 -1

O

x

2

4

-1

-3

 0f

B. . C. 3. A. 2 . D. 1.

Lời giải.

Chọn C.



f x trên đoạn  

2; 4 

Vẽ đồ thị hàm số

21 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Tài liệu Vted_2018-2019

y

3 2 1

-2 -1

O

x

2

4

-1

-3

f

3

.





1   .

 max f x     2; 4

4

3

2



8

x



ax



bx



Dựa vào đồ thị ta thấy

 cx d

 1,

 f x



 f x



     x

  1;1

2

2

2

2

Câu 28. Cho hàm số thỏa mãn . Tính



c



d

.

. B. . C. . D. .

 S a S  A.

 b 65

S 

129

S 

17

S 

35

Lời giải.

4

2

Chọn A.



8

x



8

x

 và 1





 g x



 h x



 f x



 g x



1 0

h

f



 

1 0



f





  

Xét đa thức .

0

   1 1 2 

    1 1   2    1 0

 h x



 có 4 nghiệm phân biệt thuộc đoạn 

1;  .



f

 

1 0

   f

     f 0 1     2     1 0

  1

     h       h 0   1   h    2     h 1 

Ta có

 0,

 h x là một đa thức bậc ba nên có tối đa ba nghiệm. Vậy



 h x



     x

  1;1

4

2





8

x



8

x

Mà .

 . 1

 f x



 g x



8

S 

65

Suy ra

0a  ,

b   ,

0c  ,

1d  nên

2

2

x

y

2

Do đó .

 . Giá

;x y

3

3

Câu 29. Cho hai số thực thỏa mãn trị lớn nhất của biểu thức

 P x



y



4

xy



(

x



y

)

3 2

bằng

110 27

115 27

122 27

A. . B. . C. 5. D. .

2

a

2

2

2

2

x

y

2

Lời giải Chọn B

 ta có

a



b 2

  

b

2

  ,

x

y

b

x y .

 2

từ giả thiết Đặt a

22 | VD_VDC

Chuyên đề_Giá trị lớn nhất_Nhỏ nhất

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19 có

2

2

3

a

2

a

2

3

3



a



a 3 .



4



a

P



x



y



3



y



4

xy



x



y



a



ab 3



b 4



a





 xy x







3 2

 2

 2

3 2

3

2

Ta





a



4

a



a 3



8



 f a

3 2 





1 2

x

y

2

1 2 2 



2

2

2



x



y



y

2

4

2

x

y

.

      hay 2

   .

2a

   x



3

Lại có

 2 a 3

 

a



24 a



8

 f a



 trên 

Xét .

2; 2       a 3



 

23 a



8

a

 

3 0

  f a





2; 2 . 2; 2

f

 2

 

6 ;

f

 

10;



f





  2

230 27

  

  

2

y

2

.  1      a  3 1 3

max

max

P 

 f a 

 130 27

115 27

x

  y

 1 3

2   x    

2

x



(

m



2

y



Vậy suy ra đạt được khi .

 1)  x

 x m 2 2

Câu 30. Cho hàm số có giá trị nhỏ nhất (với m là tham số thực). Hỏi max y  1;1 

là bao nhiêu?

3 2

1 2

A. . B. . D. 3. C. 2 .

2

2

x

2

x

2

Lời giải Chọn B

y





  | m t m

|

t



     

[ 2; 1],

[ 1;1]

x

  x  x 2

  x  2 x

Ta có trong đó

|

m



2 |

|

m

1|

| (

m



2)

1) |





   2

   m ( 2

1  2

Do đó y   t m  | max{| m  2 |,| m  1|} max{|  m  2 |,|   m 1|} max    1;1 max |     2; 1

m

       . 1

m

m

2

3 2

2

x y  ;

Dấu bằng đạt tại

P





 1; 2



x y

4 y 2 x

Câu 31. Cho hai số thực . Hỏi giá trị LN-NN của biểu thức là?

35 2

33 2

D. . B. . A. 3 . C. 20 .

Lời giải

t

;2

x y  ;

ChọnB.

y

  

t x

t

 1; 2



1 2

y x

   

  

2

2

2

P





t 4

Đặt do nên dương ta

x   y

4 y 2 x

x t x

1   t

có: . 2 4 . t x 2 x

23 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Tài liệu Vted_2018-2019

2

f

   t 4

f

'



t 8

f

'

   . t

0

  t

  t

  t

1 t

1   2 t

1 2

Xét hàm:

2t  .

P 

33 2

2

2

Lập bảng biến thiên ta suy ra giá trị lớn nhất của khi

x



2

x



4x 5

 

y



y



2

y

  .Hỏi giá trị lớn nhất của

2

0

;x y thỏa mãn 





 1

3

3

Câu 32. Cho hai số





y

 P xy x



biểu thức là?

243 16

243 5

1 12

81 4

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

2

2

2

2

x



2

x



4x 5

 

y



y



2

y

    0

2

x

2

x



2

1

y



y

Chọn D.





 1









    1



 1



 . 1

2

2

2

f



t

t

  1

f

'



t

  1

  t 0

Ta có:

  t

  t

t 2

t



1

x

x

y

2 1

3

y

3

3

3





y

3x

xy







y

x



y

 y x







. xét hàm

      . 

2

y



y

Do đó ta có:  P xy x

 P xy

 27 9x

y





y

y









 .9x . 27 9x



 1 9

 27 9x 2

81 4

  

 1 9x   9 

a





.

2

b

1

,a b thỏa mãn

34a   1 b

Câu 33. Cho hai số thực dương . Hỏi giá trị lớn nhất của biểu thức

   S a b ab









8

13

là?

8 13 13 54

13 3 8 3

9

8 3 13 27

A. . B. . . C. D. .

Lời giải

3

3

3

3













Chọn A.



  







2a

2a

2

b

1

2

b

2

b

1

8

a

2

a

2

b

2

2

b

1





  1 1









a 4 b

 a  1

3

Ta có

  f t

  trên  t t

 0;  .





Xét hàm số

f

23 t

   t 1 0

  t

  f t

 0;  .

1

Ta có đồng biến trên 





  

  

f

2

a

f

2

b

1

2

a

2

b

1

b









24  a 2

2

2

4

a

1

4

a

1

3

2

 















. Nên   1

S a

a .

4

a

4

a

3

a

  f a



 1

 2

 2

1 2



2

13

2



Từ đó









  

f

12

a

8

a

3

0

a

  a





1 2

6

Ta có .

24 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Giá trị lớn nhất_Nhỏ nhất



Ta có BBT



MaxS

8 13 13 54

3

Vậy .

2

Câu 34. Hỏi giá trị nhỏ nhất của hàm số    là? y 4 1 6 2 x  x  1 x x 1      

9  . 2

5 2

C. A. . B. 5 . D. 3 .

Lời giải

Chọn A.



t

x 2 1 

x

2

2

2

Đặt .



x

    x

1 2

x

1

  x

x

1

t









1 2

1 2

1      . 2

1 2

Do





 với

t

y

34 t

t 6

1

1 1 ; 2 2

   

  

Khi đó .

    hàm số đồng biến trên

  y

212 t

0

6

t

1 1 ; 2 2

  

  

.

   y y 1 2 5 2       max   1 1  ;  2 2  

Câu 35. Cho hai số , a b thoả

thực dương

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Tài liệu Vted_2018-2019

6

4

2

a

6

a

0

6











ab

10

3 3 a b

 2 b a

  15 3

b 2

a

S

 . Hỏi mãn giá trị nhỏ nhất của biểu thức

  là

3

32

A. 2 6 B. 2 3 C. 6 D. 2 .

3

3

6

4

2

2

2

a



6

a



3 3 a b





6

ab



10



0

2



3

a



2



ab





3

ab





 1



   1 *

  15 3

 2 b a

   a







3

f

t



t 3

  t



 3 0,

23 t





t

f

f

  t

 xác định Xét t    nên   trên , đồng biến trên . Do  * đó đẳng

Lời giải Chọn A

thức

26 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Giá trị lớn nhất_Nhỏ nhất

2

a

1

2

a

  2

ab

  

b

1

 a

tương đương (vì 0

a  ).

2

2

a





 1

S

  a

2 6

a 3





ra,

a

2 a

 Suy (theo bất đẳng thức Cauchy).

b 

2 6

Vậy giá trị nhỏ nhất S  đạt được của S là min khi

a  và 5 6

.

6 3

6

2 cos 2

3sin 2

x m

cos









x

x

y

x

 2 sin

3

Câu 36. Cho hàm số  (với m là

27 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Tài liệu Vted_2018-2019

8

max R

tham số thực) thoả y  . Mệnh đề mãn là sau đây nào đúng?

 3m

7m

 .

7m 

 4m

A. D. 4 B. 3

2

C. 0 Lời giải Chọn D

t



sin

x



cos

x

2

2

2 cos 2

x

  1

t





2

t

4  . t



2 1

Đặt ,Khi đó ta có và t x  t  1      2; 2 , sin2 

2

4

3

2

3

2

y



f



t 2



t



t 2



3

t





m

4    t

t 2



t



m

 với

3

Ta viết lại hàm số như sau

  t



 1

3

2





f

  t 4



t 6



t 2

f

m

f

m

t 2; 2     

 , 3

 , 3

f

0

  t

 0

 1

  t

   t     t

t



0 1 1 2

  

; . Ta có

f



m





2



2

1 2

47 16

  

  

, f m  4 2 3  , f  m   4 2 3 

max

y





m

      5 3 8

m

m

3

f

  t

max   2 ; 2

 

2

x



y

x

y

2



5 0

Vậy

,x y thỏa mãn và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

  . Gọi ,M m lần lượt là giá trị lớn nhất . . Tính P M m 



S

  x

2 6  y 2

P 

Câu 37. Cho các số thực

P 

P 

10

P  

10

25 4

5 13 4

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

28 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Giá trị lớn nhất_Nhỏ nhất

2

2

2

x



y

2 6 

x



2

y

   

5 0

x



y



 5



 3



 1

x



2

y



x



3



2

y

Từ







   5 1

A



x



3



2

y

    

A

5

5

x



3



2

y

Biến đổi



 1











  1

Đặt

2

2

2

x



3



2

y



x



3



y









 1

   1 4





 1

 

 

   

 

A

        

5 5

5.5

A

A

5

0

10

Áp dụng bất đẳng thức BCS:

  

25

y   2

.

y





 x m 2 1  x

2

 

0m

2m

Câu 38. Cho hàm số . Mệnh đề nào dưới đây đúng? (với m là tham số thực). Biết min

m   .

 .

 .

2m  .

A. B. 2 D.

C. 0 Lời giải

2





1

y

'



Chọn B

x (

 2 x

mx 2 2  1)

2

Ta có:

2

2

2

2

2

2

  1 m 2 ( m  m  1) m ( m   1)  1 y   ' 0 . ( m  m  1) m  1    x     x 

( m  m  1)  1   y      y 

2





1

y

   2

  2

m  

1.875

Bảng biến thiên

m 2

2

Min 

m

(

m





1)



1

2

x

y



.

,a b là tham số thực). Biết min

y

 

y



5.



2, max 

+ax+b 2  x 1

2

2

2

2

2

2

2

2

Câu 39. Cho hàm số (với Mệnh đề nào

a

b



44.

b

52.

a

b



28.

b



a

20.

B. . C. . D. sau đây đúng? A. .

 a Hướng dẫn giải

Chọn. C.

D   .

Ta có

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Tài liệu Vted_2018-2019

2



ax





 2 1

y

'



2

x



 

 b x a 2  1

2

y

'

  

0

ax





 

0(*).

 2 1

 b x a

.

2

2

0  : 1   '    0 b a 0  1  a  b   Vì hàm số đạt GTLN, GTNN nên phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 khi  a   



b

 2 1







x 1

x 2

a

  1

x x 1 2

    

a

2

y



   2





    

2

.





 y x 1

 y x 1

x 1

min 

x 1 2

a 6

 

 x 1

 ' u x 1  ' v x 1

a

2

y



  5





  

5

.





 y x 2

 y x 2

x 2

max 

x 2 2

a 8

 

 x 2

 ' u x 2  ' v x 2

Ta có theo định lí Viet,

Thay vào Viet, ta được:

 2 1



2

2   a

 b 2    b  52. . a a  48 b   2  a 8 2 a a 6  48     

y 

.

y



2

max 

4 3

  x x a x

 36



Câu 40. Cho hàm số (với a là tham số thực). Biết Mệnh đề nào sau đây

a   .

8.

a   .

4.

a   3.

đúng? A. B. C. D.

a   . 2. Hướng dẫn giải

Chọn A.

D   .

2

Ta có

y

 1.

2



2

ax  72 x a y '  36 2 và lim  x x  36  

72

x

y

'



y '    ax 0 72 x  36 a  0(*).

a  thì 0

2

x



36



2

0

Với , lập bảng biến thiên ta thấy hàm số không có giá trị lớn nhất.

a  , theo giả thiết

y





 y x

0x là một nghiệm của phương trình (*).

0

max 

4 3

Với suy ra

30 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Giá trị lớn nhất_Nhỏ nhất

2



36

a



0



72

2

x a 0



72



36

a



0

x a 0

Do đó, ta có hệ phương trình sau:



a

x 0 



2





x 0 

144



0

x 0

ax 3 0

   

4 3

x 0 2 

36

x 0 x 0

    



2

4

x 72 0 2  x 36 0 



108



144



0



5184



0

x 0

ax 3 0

x 0

x 72 0 2  x 36 0 2 x 0

  a   

  a   

   

12

a

8

 

72 x 0 2  x 36 0

    8

12

a

x 0 x 0

  



144

2 x 0

  a   

 

a   thỏa mãn yêu cầu bài toán.

8

Thử

y



f

C như hình vẽ và có đạo hàm

  f x

x  . Gọi

0

Câu 41. Cho hàm số liên tục trên khoảng

  x C tại điểm có hoành độ





y

m là giá trị nhỏ nhất của hàm số

có đồ thị  ;  , Đường thẳng ở hình vẽ bên là tiếp tuyến của 

  x f

2m

. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

 .

m   .

2

 

0m

 .

2m  .

A. C. 0 D. B. 2

3

2

2



Lời giải



ax



bx



f



ax 3



2

bx



c

  cx d a

   0

  x

1

x  nên 1

Chọn Gọi y D.    f x

C đạt cực đại tại

x   và đạt cực tiểu tại

2

2

2

ac 3



0

0

0

Hàm số 

f

0

 0

  *

0 0



f

0

  b    3 a   3  a 

   ac 3 3 ac b       a c b c 2 3      b c 2 b 0 

   b        1      1 

.

x  0



C

y

 f

x



0



f



cx d

 .

  0



  0

Phương trình tiếp tuyến của tại điểm có hoành độ là:

x  đi qua gốc tọa độ

0

d  . 0

C tại điểm có hoành độ

0; 0O 

nên Vì tiếp tuyến của 

a  nên giá trị nhỏ nhất của hàm số

0

y

y

  x f

  x f

Ta có: là hàm số bậc hai có là:

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Tài liệu Vted_2018-2019

2

2

2



b

 m f







  c

  c

0

b a 3

b a 3

b 2 a 3

 3 ac 3 a

  

  

.

,M m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

y



 x 1  x 2 1

Câu 42. Gọi trên đoạn





2;0

. . Tính S M m 

S   .

S   .

S  . 0

6 5

6 S  . 5

4 5

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn

3

y

 



0

2

x





2 1

D.  Ta có: .

 M f



2



;

 m f

  . Vậy

1

S M m





     . Chọn D.





  0



 1

1 5

1 5

4 5

Do đó:

4   x

24 x

  

  

. Câu 43. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số y 3  trên đoạn 0; 3

m   .

1

2m  .

0m  .

A. B. C. m   . 3 3 D.

Lời giải

2

2

Chọn A

  

y

4   x

4

x

3

y

x

1

2



2   .

2

2

2



       

Ta có

x

0; 3

2

2

0

3

x

x

1

  1

x

   . 1

2

3



2

  

  

Do suy ra

  , đạt được khi

y

1

x 

2

min   x 0; 3 

  

Vậy .

y

x

  trên khoảng 

 0;   là?

9 2 x

3

Câu 44. Giá trị nhỏ nhất m của hàm số

6m  .

m 

3.

m 

m 

9 4

82 9

36 9 2

A. B. . C. . D. .

Lời giải

3

3

      



Chọn C

y

x

y

3

3.

.

9 2 x

x 2

x 2

9 2 x

x x . 2 2

9 2 x

9 4

3

3



  

y

3.

Ta có .

x

18

min    x 0;



9 4

x 2

9 2 x

4

2

Do đó , đạt được khi .

y



cos

x



3 sin

x

 2

Câu 45. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số

3M  .

M  

3

5 4

A. M   2 3 . B. C. . D. M   3 3 .

Hướng dẫn giải

32 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Giá trị lớn nhất_Nhỏ nhất

2

Chọn A.

t



cos

x

;

t





 0;1

2

t 

y



t



t

Đặt

  với 2

 3 1





0;1

  y

t 2



3

Khi đó, ta có

2

Bảng biến thiên

t



cos

x

 hay

0

x





 , k

k



   .

 2

2

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là M   2 3 khi

x y  ,

P





 1; 2



x y

y 2 2 x

Câu 46. Cho hai số thực . Giá trị lớn nhất của biểu thức là

33 4

17 2

5 2

D. . B. . C. . A. . 3 3 2

Hướng dẫn giải

Chọn B

x y  ,

t



t  2

 1; 2



y x

1 2

Đặt . Vì nên

t

; 2

 P f

t ( )



t 2

 với

1 2

2 1 t

   

  

3

Khi đó .

1 t 4 Ta có . f  ( ) t  t 4    2 1 2 t t

Bảng biến thiên

t  hay 2

x

y 1,

 . 2

max

P 

17 2

Vậy khi

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Tài liệu Vted_2018-2019

1



10

y



y



max 

8

mx 2 x

 1  4

Câu 47. Cho hàm số . Mệnh đề nào dưới đây (với m là tham số thực). Biết

0

2  1m

1

2  2m

2  3m

3

2  4m

đúng? A. B. D. C.

2 Lời giải:

2

2



2



 1



2



 m x

y

'





Chọn C

2

2

 x



4

4



x

 x m 4 2 

2

mx  2 0m

  

1 4

 nên phương trình

 4   x m 4

 x mx 2   , 0

Ta có:

y  luôn có hai nghiệm

0

2

4

m

1 1

y

0

y     0 mx  2

 nên giá trị lớn nhất của hàm số đạt tại

x

  m 2

4

m

1 1



x 2

  m

  x 1    

1x hoặc

2x .

2

4

m



1

1



10

1



10







phân biệt là . Mặt khác vì lim 

 1 y x

2

2

8

8

4

m

1 1



4

  m

   

   

2

2

2

t



4

m

  1

4

m



t

1

TH1: Nếu

 (điều kiện

1t  , chú ý

0m  không thỏa điều kiện bài toán ).

2

1



10

t

1

1



10

2





t .



t 2



t 2

Đặt

2





8

 4

8

t





4

t   1 2 m

2

Phương trình trở thành:



 3    1 l 0 ( )

10 t  t 10  0 t

l 1 ( )

2

2

10   t    t   t

4

m

    

1 10

m

2;3





9 4

Với suy ra t  10

3

l 0 ( )

   1



TH2: Tương tự ta được phương trình t 10 t  t 10 0 l 1 ( )

l 10 ( )   t  t         t 

2 m 

2;3







b 3



2

Vậy Đáp án C

,a b thỏa mãn

39  a a  1 b

S

a b

 là?

Câu 48. Cho hai số thực dương . Hỏi giá trị lớn nhất của biểu thức

11 3

82 3

17 12

6  89 12

C. B. D. A.

Lời giải:

Chọn C

34 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

t

  

b 3



b

2

t

t (



2)

Đặt

Chuyên đề_Giá trị lớn nhất_Nhỏ nhất 2 2  3

2

t

2

3

3

9

a

  a

27

a



a 3

3   t

t

1

 3

  

   t  

3



Thay vào pt ta được: (1)

f



x

2 1 0

  nên hàm số luôn đồng biến.

  x



f

a 3



f

    

a 2 3

a 3

b 3

t

  1





  t





1

Xét f x ( )  x  , x

S

0

   S b

7     b 3

3  b 3

2

Suy ra S  6 a b   b 2 3   . 2 b ,

7

0

x

+∞

3

S'

0

S

11

3

Bảng biến thiên:

Suy ra đáp án C

y



 ;  là?

x 2 1 

x

Câu 49: Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng 

1  . 2

1  . 4

A. 0 . B. 1 . C. D.

Lời giải

2

Chọn C

y

0

2

 x 1       x 1 



 x  TXĐ: D   . y   . . x  1 2  1

;  là

Bảng biến thiên:



1  . 2

y



f

y

Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng 

  f x

  x

 x f



Câu 50: Cho hàm số có đạo hàm . Đồ thị của hàm số như hình vẽ

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Tài liệu Vted_2018-2019

f

  4

y



  0 f   f x

    1 f 2   f  0; 4 là? trên đoạn 

f

f

f

f

f

f

f

f

Biết . Hỏi tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

  0

  2

  2

  4

  0

  4

  0

  1

A. . B. . C. . D. .

Lời giải



y



0;

y



f

,

x



0,

x

Chọn A

 . 2

  x

1S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi



y



0;

y



f

x

,

x



2,

x

Gọi

 . 4





2S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi

2





-

f

x d

 



f



f

  0

f



f

Gọi

  x

  f x

  0

  2

  0

  2

S 1

2 0



0

4



Theo hình vẽ ta có: .

S



f

d

x





f



f

  0

f



f

  x

  f x

  4

  2

  4

  2

2

4 2



2

f



f

.

  0

  4

S 1

  S 2

y



Theo hình vẽ ta có: .

  f x

 0f

0; 4 là

y



Vậy GTLN của hàm số . trên 

  f x

 2f

0; 4 là

Vậy GTNN của hàm số . trên 

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Khoảng cách

NHÓM GIẢI VẬN DỤNG CAO CHUYÊN ĐỀ KHOẢNG CÁCH - NĂM HỌC 2017-2018

VTED_2019 MÔN: TOÁN 12

SA SB BC







1,

AD

[1H3-3] Cho hình chóp Câu 1:

)

 . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (

SBD .

.

.

Thời gian làm bài 90 phút .S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B . Cạnh bên 2.

3 2

2 3

2 5 5

A. B. C. D. 1.

.S ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , cạnh a ,

a

SA



,

SA



(

ABCD

).

Câu 2: [1H3-3] Cho hình chóp

a

a

a

2

.

.

Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC).

15 2 285 19

285 38

285 38

2

A. B. C. D.

.S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , ABC

SCD .

)

SD và (

ABCD bằng )

) 030 . Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (

21

2

a

.

.

Câu 3: [1H3-3] Cho hình chóp vuông góc H của S lên mặt phẳng ( đều, hình chiếu ABCD trùng với trọng tâm của tam giác ABC , goác giữa

.a

a 21

21 7

C. A. B. D. a 3.

.S ABC có đáy ABC là một tam giác vuông tại A ,

BC

a 2

a

Câu 4: Cho hình chóp ,  60 ABC   . Gọi

M là trung điểm của BC . Biết

SA SB SM







39 3

ABC theo a .



. Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt

B. 2a . C. 3a . D. 4a phẳng  A. a .

AB a

2

.S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có

a 2

Câu 5: Cho hình chóp và



SA . Cạnh bên . SBC

a

ABCD . Tính khoảng cách d từ D đến mặt phẳng  a 2

3

3

vuông góc với mặt đáy 

2a

10 2

a 3

3

.S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại



 ,A B ; AB BC SA a

 ; , cạnh bên SA vuông góc với đáy; M là trung điểm AD . Tính khoảng cách từ M đến

A. . B. . C. . D. .

 SCD .

a

6

a

6

a

3

Câu 6: Cho hình chóp a 2 AD mặt phẳng 

d 

d 

d 

a d  . 3

6

3

6

A. B. . C. . D.

SA a

2

.S ABCD

Câu 7: Cho hình chóp và vuông có đáy là hình vuông tâm O cạnh a . Cạnh bên

 SCD .

a

6

a

3

góc với đáy. Tính khoảng cách d từ B đến mặt phẳng 

a .

d 

d 

3

2

C. d a 3 . D. B. . . A. d

,

OA OB OC

,

OA OB OC





2

3



a 3

Câu 8: Cho có tứ diện OABC

. Tính khoảng cách d từ O đến mặt phẳng  đôi một vuông góc với nhau, biết rằng  ABC .

d 

d 

d 

d 

a 3 14

a 3 13

a 3 12

a 3 11

A. . B. . C. . D. .

1 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19 .S ABCD Câu 9: Cho hình chóp

Tài liệu Vted_2018 có đáy là hình vuông cạnh a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy,

SB hợp với đáy một góc bằng 60 . Tính khoảng cách d từ D đến mặt phẳng 

 SBC .

a

3

a .

d 

d 

2

a 3 3

A. . B. . D. . C. d d a 3

BC

AB

SB

.S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại a 2

a 3

a 4

a

a

a

Câu 10: Cho hình chóp B. Cạnh SB vuông góc với mặt . Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng , , phẳng đáy.Cho biết (SAC)

12 61 61

12 29 29

3 14 14

a 4 5

' 0A

A. B. C. D.

(ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC. Biết

a

a

a

Câu 11: Cho lăng trụ ABC. A’B’C’, có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A’ lên a . Tính khoảng cách từ B’ đến (A'BC)

a 3 4

3 21 21

3 13 13

3 28 28

A. B. C. D.

mặt đáy một góc Câu 12: Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD, Đáy ABCD có tâm 0, cạnh đáy bằng 1, cạnh bên hợp với 060 .Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC)

1 2

2 2

7 2

42 14

A. B. C. D.

.S ABC cạnh đáy bằng 2a và chiều cao bằng

3

2

a

5

Câu 13: Cho hình chóp tam giác đều 3a . Tính khoảng cách từ tâm O của đáy ABC đến một mặt bên.

a

a

3 10

2 5

a 3

2

A. . B. . C. . . D.

.S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 1. Tam giác SAB đều và

Câu 14: Cho hình chóp



 SCD .

d 

2

nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy 

1d  .

d 

d 

ABCD . Tính khoảng cách d từ A đến  21 7

2 3 3

A. B. . D. C. . .

.S ABCD có đáy ABCD là hình vuông,

 . Cạnh

a



SA



(

ABCD

)

SB 2

SC 3

Câu 15: Cho khối chóp .

a 3

a 6

a 2

A. C. B. . . . D. . Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) . a 3

.S ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a và có góc  060

Câu 16: Cho hình chóp . Đường BAD 

SO 

a 3 4

thẳng SO vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD và . Tính khoảng cách từ A đến mặt

SBC )

a

3

phẳng (

2

A. .

a . B. 3 2

a . C. 2 3

a . D. 3 4

.S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA vuông góc với mặt 060 . Gọi M là trung điểm của cạnh

ABC . Góc giữa SB và mặt phẳng (

)

ABC bằng ) SMC .

)

a

39

Câu 17: Cho hình chóp phẳng ( AB . Tính khoảng cách d từ B đến mặt phẳng (

a .

d 

a d  . 2

13

A. d a 3 . B. . C. d D.

2 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Khoảng cách

a

.S ABCD có cạnh đáy bằng a và có thể tích

V 

3 3 6

Câu 18: Cho hình chóp tứ giác đều . Gọi J là

điểm cách đều tất cả các mặt của hình chóp. Tính khoảng cách d từ J đến mặt phẳng đáy.

d 

d 

d 

d 

a 3 4

a 3 2

a 3 6

a 3 3

A. . B. . C. . D. .

.S ABCD có đáy là hình chữ nhật với

a 2

SA



2

a

,

Câu 19: Cho hình chóp . Cạnh bên

và  AD a AB ,M N lần lượt là trung điểm của SB và SD . Tính khoảng cách d từ  AMN .

a

d

a 2

d 

d 

3

a 3 2

vuông góc với đáy. Gọi S đến mặt phẳng  6 A. . B. . D. . C. . d a 5

.S ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a . Cạnh bên

Câu 20: Cho hình chóp SA a 3 và vuông góc

a

a

3

 SBC . a

5

với đáy. Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng 

a .

d 

d 

d 

15 5

2

5



A. . D. . C. . B. d

; AC 2

 AB a



a

Câu 21: Cho lăng trụ

 có đáy là tam giác vuông tại A có 

. Hình chiếu của ABC nằm trên đường thẳng BC . Tính theo a khoảng cách từ A đến

ABC A B C . A lên mặt phẳng   A BC



5

2

a

3

.

a 5

2

a 2 3

a

A. . B. . . C. D. a .

.S ABCD , có cạnh đáy bằng a

3 2 6

Câu 22: Cho hình chóp tứ giác đều và thể tích khối chóp bằng .

)

a

6

a

6

a

6

đến mặt phẳng ( SBC . Tính theo a khoảng cách từ điểm A

6

2

3

. C. D. 6a . . A. . B.

2 , BC

AC

a .





a

Câu 23: Cho hình chóp

.S ABCD , có đáy ABCD là hình chữ nhật với A B ,

, C.

a

3

a

5

đều các điểm Tính khoảng cách d từ trung điểm M của SC đến mặt phẳng ( Đỉnh S cách SBD ).

a .

d



d



4

2

C. d a 5 . A. . B. . D. d

.S ABC , có đáy ABC là tam giác vuông cân tại

AB a SA SB SC

,A

,







.

Câu 24: Cho hình chóp

)

Góc ABC bằng 45o . Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt

ABC ).

a

3

a

2

d

a

2

giữa đường thẳng SA và mặt phẳng ( phẳng (

d



3

2

. A. B. . C. . D. d a 3 .

S.

SA



;3

SB



;6

SC



9

ABCD khoảng cách d từ C đến 

Câu 25: Cho hình chóp ; . Tính ASB ASC ASB  

2

biết góc    060   SAB .

d

27 2

'

'

A. 69d . B. 62d . C. D. 63d . .

ADa

AB



AAa

,

, PNM ,

Câu 26: Cho hình hộp chữ nhật có . Gọi lần lượt

BC

,

' '

' DCBA  ;2 . Tính khoảng cách từ A đến 

 3' a MNP .

là trung điểm của

a .

a .

a .

a .

15 22

3 4

15 11

ABCD . ,' DC ' DD 9 11

A. C. D. B.

3 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19 Câu 27: Cho hình chóp đều

.S ABCD có SAC

Tài liệu Vted_2018 nội tiếp đường tròn có bán kính bằng 9 . Gọi d là ABCD và T là diện tích tứ giác ABCD . Tính d khi biểu thức



d 

17

d 

13

d 

12

10

. C. . D. . đạt giá trị lớn nhất. B. . khoảng cách từ S đến  P d T . d  A.

a

a

a

14 4

14 2

14 3

Câu 28: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a , cạnh bên bằng 3a .Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD)?

a

14

A. B. C. D.

2

a

21

57

4

21

2

21

4

7

a 57

a 21

a 21

Câu 29: Cho chóp tứ giác SABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a và tam giác SAD đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ tâm đường tròn nội tiếp tam giác SAD đến mặt phẳng (SBC) theo a?

A. B. C. D.

6

a

2a

3

a 5

Câu 30: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB=BC=a, AD=2a. Cạnh bên SA=a vuông góc với mặt phẳng (ABCD).Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD)? 2 B. C. D. 2a A.

Câu 31: Cho hình chóp

 AB a BC

A 

,



.S ABCD có đáy là hình thang vuông tại & . .AB Biết 2 ,

B Hình chiếu vuông góc của S Góc giữa hai mặt 10. a BD a SCD gần với giá trị

)

) & (

SBD

060 . Tính d là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (

trên đáy trùng với trung điểm của

ABCD là ( ) nào nhất trong các giá trị sau đây? B. 0.85a A. 0.80a

a

.

C. 0.95a D. 0.98a

.S ABC có cạnh đáy bằng

,a cạnh bên bằng

21 6

SBC ).

a

3

.

Câu 32: Cho hình chóp tam giác đều Tính khoảng

d 

d 

.

.

d 

.

6

a 4

3 4

A. B. C. D. cách d từ đỉnh A đến mặt phẳng ( a 3 4

.S ABCD có đáy là hình chữ nhật có

a AD a .

2 ,



ABCD là trung điểm H của

 AB Hình chiếu của S lên 045 . Tính khoảng cách từ ;AB SC tạo với đáy góc

Câu 33: Cho hình chóp

a

3

a

6

a

6

a

6

mặt phẳng ( ) SCD A đến mặt phẳng ( ).

.

.

.

.

3

4

3

6

AB a BC a ;





3

A. B. C. D.

.S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B có

3

SA vuông góc với mặt phẳng đáy và diện tích xung quanh của khối chóp

.S ABC bằng

Câu 34: Cho hình chóp

SBC gần nhất với giá trị nào sau đây?

)

. . Biết rằng 25 a 2





ABCD A B C .

D

Tính theo a khoảng cách d từ A đến mặt phẳng ( A. 0, 72a . B. 0,90 a . C. 0,80a . D. 1,12a .

 có cạnh bằng 1. Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt

d 

d 

d 

Câu 35: Cho hình lập phương phẳng (BDA )

2 2

3 3

6 4

A. B. . C. . D. d  3 .

4 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Khoảng cách

AD

BC



2

.S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B , . Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (

)

, ABCD . Gọi E là trung điểm Câu 36: Cho hình chóp 3  

a

3

d 

d 

AB BC a của cạnh SC . Tính khoảng cách d từ điểm E đến mặt phẳng (SAD)

3 2

2

A. d a 3 B. . C. . D. d  3 .

.S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a ,

SD 

a 3 2

 SBD .

Câu 37: Cho hình chóp . Hình chiếu vuông góc của

d 

d 

d 

d 

a 2 3

a 3 5

a 3 2

D. A. C. B. . . . . điểm S trên mặt phẳng đáy là trung điểm của cạnh AB . Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  a 3 4

.S ABC có các cạnh

SB

a 2

,

,

SC

a 3

SA SB SC đôi một vuông góc nhau và SA a ,  ABC ?

Câu 38: Cho hình chóp ,

a 5 6

a 6 7

a 6 5

A. . C. B. . . D. . . Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng  a 7 6

.S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a ,

a 2

AD

SBD theo a ?

Câu 39: Cho khối chóp tứ giác đều . 060 . Tính khoảng cách

a

3

5

2

a

5

a

2

Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, góc giữa SD với mặt đáy bằng  d từ điểm C đến mặt phẳng 

d 

d 

d 

2

a 5

2

3

A. . B. . C. . . D.

AB x , tất cả các cạnh còn lại có độ dài bằng 2 . Gọi S là diện tích thì biểu

ABC . Với giá trị nào của x



V

.

Câu 40: Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC , h là khoảng cách từ D đến mặt phẳng 

S h đạt giá trị lớn nhất?

thức

1 3 .

1x

2x





A. B. . C. . D. . 6x x 2 6

ABC A B C có mặt đáy ABC là tam giác đều, độ dài cạnh

A

ABC



Câu 41: Cho hình lăng trụ

a . Hình 2AB của cạnh AB . Biết góc



 ACC A .

 . lên mặt phẳng  chiếu vuông góc của giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60 , tính theo a khoảng cách h 

 a

2

21

a

39

2

a

15

a

trùng với trung điểm H từ điểm B đến mặt phẳng

h



h



h



h



7

13

5

15 5

.S ABC

. A. B. . C. . D. .

AB a , SBC đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng d phẳng  a

 SAC . 39

39

2

a

3

Câu 42: Cho hình chóp 3 AC a có đáy ABC là tam giác vuông tại A , . Tam giác cách từ B đến mặt

a .

d



d



d



13

a 13

2

C. . D. A. . . B. d



a

a

30

a

13

a

tại A vuông thang hình là đáy và B, là trung điểm cạnh AB, SH là đường cao của hình chóp chóp BC a 2 , có a H 2 . Câu 43: Cho S.ABCD hình AD a AB   a SA 3 ,  , S.ABCD. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD).

30 7

10

10

13 7

A. B. C. D.

5 | VD_VDC

Tài liệu Vted_2018

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19 Câu 44: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B với AB a và  030 .

a

BAC  Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính khoảng cách từ điểm A đến

a

3

3 3 36 5

a

mặt phẳng (SBC), biết khối chóp S.ABC có thể tích bằng .

d 

d 

d 

d 

6

5

a 2 5

a 3

.

'

'

ABC A B C có tất cả các cạnh đều bằng a. Góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy bằng Hình chiếu H của điểm A’ lên mặt phẳng (ABC) thuộc đường thẳng BC. Tính khoảng cách

A. B. D. C.

a

3

a

21

a

a

3

Câu 45: Cho lăng trụ 030 . từ điểm B đến mặt phẳng (ACC’A’).

4

14

21 7

2

A. B. C. D.

,a cạnh bên bằng .S ABC có cạnh đáy bằng SBC ),

Câu 46: Cho hình chóp tam giác đều 3. Gọi O

SBC Tính ).

1d là khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (  d

2.

22

2

22

2

22

8

22

8

là tâm a 2d là khoảng cách từ đỉnh O đến mặt đáy, phẳng (  d d 1

d 

.

d 

.

d 

.

d 

.

a 11

a 33

a 33

a 11

A. B. C. D.

a

2

a

7

2

a

7

,a các cạnh bên của hình chóp bằng nhau Câu 47: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh SCD và bằng 2 .a Tính khoảng cách d từ A đến ( ).

d 

.

d 

d 

a d  2

2

30

30

.S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Hình chiếu vuông góc của S ABCD là điểm H thuộc cạnh AB sao cho . Cạnh SC tạo với mặt

HA

HB



2



ABCD một góc 60 . Tính khoảng cách từ trung điểm K của HC đến mặt phẳng



a

a

a

A. B. C. D.

13 4

13 8

B. . C. a 13 . D. . A. . Câu 48: Cho hình chóp lên mặt phẳng  phẳng đáy    SCD . 13 2

.S ABCD có đáy là hình vuông,

SAB đều và nằm trong mặt



a , mặt bên   SCD

3AB phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ A đến  a 3 a

2

a

6

21

37

Câu 49: Cho hình chóp

3

3

7

a 3 37

A. . B. . C. . D. .



 SBC

ABC , tam giác SBC đều cạnh a

a

.S ABC có đáy là tam giác vuông tại A ,  030 SAB vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách từ A đến  6

a

3

a

6

a

5

3

3

6

Câu 50: Cho hình chóp và mặt phẳng  6 A. . B. . C. . D. .

----------HẾT----------

6 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Khoảng cách

NHÓM GIẢI VẬN DỤNG CAO CHUYÊN ĐỀ KHOẢNG CÁCH - NĂM HỌC 2018-2019

VTED_2019 MÔN: TOÁN 12

Thời gian làm bài 90 phút

Đề đã thay đổi thứ tự câu (sắp xếp theo độ khó tăng dần) so với đề gốc

BẢNG ĐÁP ÁN THAM KHẢO

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

HƯỚNG DẪN GIẢI

SA SB BC







1,

AD

.S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B . Cạnh bên 2.

 . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (

SBD . )

.

.

[1H3-3] Cho hình chóp Câu 1:

2 5 5

3 2

2 3

A. B. C. D. 1.

Hướng dẫn giải

Chọn C.

S

K

A

D

H

B

C

AH BD AK SH ,







d A SBD

( ,(

))



AK





2

2

2



AK



.

2 3





2

2

2

1 AB 1 AH

1 AD 1 AS

1 AH 1 AK

    

Kẻ . Ta có

7 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19 Câu 2:

[1H3-3] Cho hình chóp

Tài liệu Vted_2018 .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , cạnh a ,

a

SA



,

SA



(

ABCD

).

a

a

2

a

.

.

Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC).

285 38

285 38

2

15 2 285 19

B. C. D. A.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

S

H

A

D

O

B

C



 AH BC

AH SB H SB ,(





)



BC



(

SAB

)

 BC AB Kẻ (1). Ta có (2)  BC SA   





d(A,(SBC)) AH



a



AH



d O SBC ;(

(

))



d A SBC

( ,(

))



.

. Từ (1) và (2) ta có AH (SBC)

2

1 2

1 2

285 38

SA SB . 2 SA



AB

2

Ta có

.S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , ABC

SCD .

)

SD và (

ABCD bằng )

) 030 . Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (

21

2

a

.

.

Câu 3: [1H3-3] Cho hình chóp vuông góc H của S lên mặt phẳng ( đều, hình chiếu ABCD trùng với trọng tâm của tam giác ABC , goác giữa

.a

a 21

21 7

A. B. C. D. a 3.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

S

A

D

E

O

H

B

C

a

3

0

HC 

,

SH



tan 30

HD



a

HE SC E SC ,(





)

2 3

3

Kẻ . Ta có .

8 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Khoảng cách





HE



(

SCD

)



d H SCD HE

,(



)

(

a 2 21 21

a



HE



d B SCD ,(

(

)



d H SCD ,(

(

))

. HC CD   SH CD   

3 2

21 7

BD HD

Ta có   . Suy ra . BD HD 3 2

3 2 3 3

BC

a 2

.S ABC có đáy ABC là một tam giác vuông tại A ,

a

Câu 4: Cho hình chóp ,  60 ABC   . Gọi

SA SB SM







M là trung điểm của BC . Biết

39 3

ABC theo a .



. Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt

phẳng  A. a . B. 2a . D. 4a C. 3a . Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có: M là trung điểm BC mà ABC vuông tại A

 

ABM

 

MB MA MC





 a

BC 2

cân mà  60 ABC     ABC đều

  Tứ diện



.S ABM là hình chóp tam giác đều

mà SA SB SM

 ABM

O là trọng tâm ABC



OM



.BM



a

3 2 . 3 2

3 3

  SO

ABM







SO









  d S ABM ;



  d S ABC ;



2

2

2

Gọi O là hình chiếu của S lên mặt phẳng 

  SO

2  SM OM



a



a



2

a

39 3

3 3

   

   

   

   

.

AB a

2

.S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có

a 2

Câu 5: Cho hình chóp và



SA . Cạnh bên . SBC

a

ABCD . Tính khoảng cách d từ D đến mặt phẳng  a 2

3

3

vuông góc với mặt đáy 

2a

10 2

a 3

3

A. . B. . C. . D. .

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

Hướng dẫn giải

AD BC / /



AD

/ /

SBC

Chọn C







d

D;

SBC



d

A;

SBC













Ta có:

 AH SB H BC







, BC



SA





AH

Kẻ đường cao

 BC AH BC AB





  d A SBC ;



3

2

3

2







AH







Mà



  d D SBC ;



2

2

2

1 AH

1 SA

1 AB

a 3

a 3



.S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại

 ,A B ; AB BC SA a

 ; , cạnh bên SA vuông góc với đáy; M là trung điểm AD . Tính khoảng cách từ M đến

Ta có: .

 SCD .

a

6

a

6

a

3

Câu 6: Cho hình chóp 2 a AD mặt phẳng 

d 

d 

d 

6

3

6

a d  . 3

A. B. . C. . D.

Hướng dẫn giải

Chọn C

 AB BC  90  ABC



  

 

AC AB

2



a

2

Ta có:

 

DMC

 

AC DC

 Ta có: AMC

 

ACD

 Tứ giác ABCD là hình vuông

cân mà  45 CAM  

 

ACD

 

AC CD

vuông cân

Chuyên đề_Khoảng cách

 AH CD CD SA CD SC





;



Kẻ AH SC tại H SC mà

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19 

  AH

SCD





AH







  d A SCD ;



a

6











AH



2

2

2

2

1 AH

1 SA

1 AC

1 2 a

1 a 2

3

.S ABCD

SA a

2

Ta có:

Câu 7: Cho hình chóp và vuông có đáy là hình vuông tâm O cạnh a . Cạnh bên

 SCD .

a

6

a

3

góc với đáy. Tính khoảng cách d từ B đến mặt phẳng 

a .

d 

d 

3

2

C. d a 3 . D. B. . . A. d

Hướng dẫn giải

  AK

SCD

Chọn B.





SA AD .

a

6

Trong SAD . kẻ AK SD





AK









  d B SCD ;



  d A SCD ;



2

2

3

SA



AD

a

6

Ta có .

d 

3

Vậy .

,

OA OB OC

,

OA OB OC





2

3



a 3

Câu 8: Cho có tứ diện OABC

. Tính khoảng cách d từ O đến mặt phẳng  đôi một vuông góc với nhau, biết rằng  ABC .

A. d  . B. d  . C. d  . D. d  . a 3 14 a 3 13 a 3 12 a 3 11

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

1













2

2

2

2

2

1 a 9

4 a 9

1 2 d

1 2 a

14 2 a 9

 Khi đó . Ta có tứ diện OABC là tam diện vuông tại O 1 1 OA OB OC

Vậy d  . a 3 14

.S ABCD

SB hợp với đáy một góc bằng 60 . Tính khoảng cách d từ D đến mặt phẳng 

 SBC .

a

3

Câu 9: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy,

a .

d 

d 

2

a 3 3

A. . B. . D. d a 3 . C. d

Hướng dẫn giải

Chọn A.

 .

SBA  . 3

SA AB .

a

3

  SBC Ta có SB hợp với đáy một góc bằng 60 suy ra  60 Trong tam giác SAB có  SA AB   AK Trong SAB .tan 60  a  . kẻ AK SB





AK









  d D SBC ;



  d A SBC ;



2

2

2

SA



AB

a

3

d 

Ta có .

2

Vậy .

BC

AB

SB

.S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại a 2

a 3

a 4

a

a

a

Câu 10: Cho hình chóp B. Cạnh SB vuông góc với mặt . Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng , , phẳng đáy.Cho biết (SAC)

12 61 61

12 29 29

3 14 14

a 4 5

A. B. C. D.

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Khoảng cách

Hướng dẫn giải

Chọn A

S

I

B

C

H

A

BH AC

AC

(SBH)

  

BI SH

BI

d

(SAC)

(B,(SAC)) BI

  



- Dựng

a

4





BH 

- Dựng 

2

2

2

1 BH

1 BC

5

a

12

BH 





- Ta có: 

2

2

2

1 BI

1 SB

1 AB 1 BH

61

' 0A



(ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC. Biết

a

a

a

Câu 11: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’, có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A’ lên a . Tính khoảng cách từ B’ đến (A'BC)

a 3 4

3 21 21

3 28 28

A. B. C. D.

3 13 13 Hướng dẫn giải

Chọn C

B'

C'

A'

I

M

C

B

0

A

Gọi M là trung điểm của BC.

13 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

d

d

d

(B',(A'BC))



(A,(A'BC)) 3 (0,(A'BC)) 

(A'AM)

(A'BC)

(A'AM)

BC  





' 0

AM BC  BC A 

  

I

d

Ta có:

A M '

(A'BC)

(0; (A'BC)) 0I



I 0  





a

a

3

3

AM



M 0  

2

6

a

a

3

(B',(A'BC))





I 0  

d



2

2

2

1 M

1 I 0

1 A 0 '

0

13

13

Dựng 0

mặt đáy một góc Câu 12: Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD, Đáy ABCD có tâm 0, cạnh đáy bằng 1, cạnh bên hợp với 060 .Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC)

1 2

2 2

7 2

42 14

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn D

S

I

A

B

H

0

D

C

O (S H)

SBC (

)

O (S H)

BC  





Gọi H là trung điểm của BC.

 OH BC   SO BC  

Ta có:

OI

SH

OI

O

OI

(SBC)

d(

;(SBC))

  





OH

OB

SO

;

;

.tan60







0

1 2

2 2

2 2

6 2

1



OI  

2

2

2

42 14

1 OI

1  SO OH

Dựng

.S ABC cạnh đáy bằng 2a và chiều cao bằng

Câu 13: Cho hình chóp tam giác đều 3a . Tính khoảng cách từ tâm O của đáy ABC đến một mặt bên.

14 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Khoảng cách

3

2

a

5

a

a

3 10

a 3

2

A. . B. . C. . . D.

2 5 Hướng dẫn giải

S

H

A

C

O

M

B

Chọn A.

Gọi O là trọng tâm tam giác ABC và M là trung điểm đoạn thẳng BC .

Ta có

SO



ABC





 

 



SBC



SAM

SBC













BC  SAM  BC AM  và  BC SM BC  SBC       





 SAM SM

OH



SBC

 

,

và 

SAM , kẻ OH SM











 OH d O SBC



thì . Trong mặt phẳng 

3

2

a

3

Mặt khác

AM





a

3

  OA

AM



a 2

1 3

3

SO OM .

 Tam giác ABC đều cạnh 2a nên đường cao



OH





a





2

2

2

2

2

3 10

1 OH

1 SO

1 OM

 SO OM



OH a



 Tam giác SOM vuông tại O có



  d O SBC ,



3 10

Vậy .

.S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 1. Tam giác SAB đều và

Câu 14: Cho hình chóp



 SCD .

d 

2

nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy 

1d  .

d 

d 

ABCD . Tính khoảng cách d từ A đến  21 7

2 3 3

A. B. . D. C. . .

Hướng dẫn giải

Chọn A.

15 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

S

I

B

C

K

H

A

D

Gọi H , K là trung điểm đoạn thẳng AB và CD .



SAB

ABCD

ABCD

  

SH

AB

ABCD

SAB



Ta có





 

           SH AB 

AB CD //









AB

SCD

//









  d A SCD ,



  d H SCD ,





SCD





  CD 



 

 

 

 

 

     

HI

  

SK

HI

SCD

  HI

 SHK SCD  SHK Lại có   SCD SCD  SHK  SK  CD HK    CD SH   CD   CD 

 SHK , kẻ







  d H SCD ,



Trong mặt phẳng 

Mặt khác

HK  .

1

SH 

3 2





  HI



;  Tam giác SAB đều cạnh bằng 1 nên đường cao

2

2

2

1 HI

1 SH

1 HK

3 7

21 7

.  Tam giác SHK vuông tại H có

,





 d A SCD 



21 7

Vậy .

.S ABCD có đáy ABCD là hình vuông,

SA



(

ABCD

)

 . Cạnh

a



SB 2

SC 3

Câu 15: Cho khối chóp .

a 3

a 6

a 2

A. C. B. . . . D. . Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) . a 3

Hướng dẫn giải

Chọn D.

16 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Khoảng cách

2

d A SCD 

, (

))

(

SB a  2

2

 SB a 2  BC a Ta có:   a    SA a SB 2 SC 3  SC a 3       

.S ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a và có góc  060

Câu 16: Cho hình chóp . Đường BAD 

SO 

a 3 4

thẳng SO vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD và . Tính khoảng cách từ A đến mặt

SBC )

a

3

phẳng (

A. .

a . B. 3 2

a . C. 2 3

a . D. 3 4

2

Hướng dẫn giải

Chọn D.

S

H

D

C

I

O

K

A

B



 ABD BCD ,

Ta có tam giác là những tam giác đều.

,BC BI ta có OK BC

,I K lần lượt là trung điểm của 

;(

))

a

a 3 3 . 4

OH







suy ra . Kẻ OH SK Gọi OH d O SBC (

OK SO . 2

2

a 3 8

OK



SO

4 3

a

2

2

)



(

(

)

4

a 3 4

Ta có: c suy ra

d A SBC ; (

(

))



2 (

d O SBC ;(

))



OH 2



a 3 4

ABC . Góc giữa SB và mặt phẳng (

)

.S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA vuông góc với mặt 060 . Gọi M là trung điểm của cạnh

Suy ra

ABC bằng ) SMC .

)

a

39

Câu 17: Cho hình chóp phẳng ( AB . Tính khoảng cách d từ B đến mặt phẳng (

a .

d 

a d  . 2

13

A. d a 3 . B. . D. C. d

Hướng dẫn giải

17 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

Chọn B.

S

H

A

C

M

B

d B SMC ; (

(

))



d A SMC ; (

(

))

AH d A SMC (

; (



))

a .

3

a

39

0

AH







Ta có: dễ thấy . Kẻ AH SM

AM



;

 SA AB

. tan 60



a

3

2

13

a 2

AM SA . 2  AM SA

2



a 3

a 2 2 a 4

a

39

Do nên

d B SMC 

;(

))

(

13

a

Suy ra

.S ABCD có cạnh đáy bằng a và có thể tích

V 

3 3 6

Câu 18: Cho hình chóp tứ giác đều . Gọi J là

điểm cách đều tất cả các mặt của hình chóp. Tính khoảng cách d từ J đến mặt phẳng đáy.

d 

d 

d 

d 

a 3 4

a 3 2

a 3 6

a 3 3

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

Chọn C.

S

J

H

D

C

I

O

A

B

r ta có:

OH SI

 

OH d O SBC (

; (



))

I là trung điểm của BC . Kẻ

a

3

Gọi đặt OJ

OI 

SO





a 2

V .3 S ABCD S

2

ABCD

,

18 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Khoảng cách

a

3

OH





2

4

SO OI . 2  SO OI

Suy ra . Ta

d J SBC

))



d O SBC . ( ;(

))



d O SBC . ( ; (

))



d J ABCD

( ;(

))

SJ SO

 SO r SO

có ( ; (

a

3

a .

3

3

3

a

3

2

r



d O SBC . ( ;(

))

  r

.

  r





 SO r SO

 SO r a SO

4

6

. SO a  SO a

4

3

a

3

4.



a

3

2

Nên ta có:

.S ABCD có đáy là hình chữ nhật với

a 2

SA



a

2

,

Câu 19: Cho hình chóp . Cạnh bên

và  AD a AB ,M N lần lượt là trung điểm của SB và SD . Tính khoảng cách d từ  AMN .

a

d

a 2

d 

d 

3

vuông góc với đáy. Gọi S đến mặt phẳng  6 B. . D. d a 5 . C. . A. .

a 3 2 Hướng dẫn giải

S

K

N

M

D

C

A

B

3

S AMN

.

Chọn A.

S AMN

.

S ABD

.

S ABD

.

2

2 SA

AB

AM



SB





a

2

 2

1 2

2

2 SA

AD

a

5

AN



SD





 2

1 2

2

2

2

AB

AD

5

a

MN



BD





 2

2

1 2

a

S



AMN

2 6 4

a

6

  d

d S AMN ;(

)









.3 V S AMN S

3

AMN

Ta có  . .  V  V  SA AB AD . . .  V V SA SM SN SA SB SD 1 1 . 2 2 1   4 1 4 a 6 1 1 . 4 3 1 2

19 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

.S ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a . Cạnh bên

Câu 20: Cho hình chóp và vuông góc SA a 3

 SBC . a

5

a

a

3

với đáy. Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng 

a .

d 

d 

d 

5

15 5

2

C. . A. . D. . B. d

Hướng dẫn giải

  BC

SAM

Chọn A





  AH

SBC

. Gọi M là trung điểm của BC







d A SBC ;(

)



AH





S

H

C

A

M

B

Gọi H là hình chiếu của A lên SM





2

2

2

1 AH

1 AM

1 AS

a

3

Ta có

AM 

2

a

Trong đó , SA a 3









  d

d A SBC , (

)



AH







2

2

2

2

1 AH

4 a 3

1 a 3

5 a 3

15 5



.

; AC 2

 AB a



a

Câu 21: Cho lăng trụ

 có đáy là tam giác vuông tại A có 

. Hình chiếu của ABC nằm trên đường thẳng BC . Tính theo a khoảng cách từ A đến

ABC A B C . A lên mặt phẳng   A BC



5

2

a

3

.

a 5

2

a 2 3

A. . B. . . C. D. a .

Hướng dẫn giải

Chọn B

20 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Khoảng cách

C'

A'

B'

A

C

K

H

B



A H



(

ABC

)

. Gọi H là hình chiếu của A lên BC

  AK

(

A BC

)

2

2 AB AC .

5

2





d A A BC ;(

)



AK







2

2

a 5

AB



AC

a

Gọi K là hình chiếu của A lên BC .

.S ABCD , có cạnh đáy bằng a

3 2 6

Câu 22: Cho hình chóp tứ giác đều và thể tích khối chóp bằng .

)

a

6

a

6

a

6

Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SBC .

3

6

2

. B. . C. . A. D. 6a .

Hướng dẫn giải

Chọn B.

S

A

B

O

a

D

thì do

C là hình chóp đều nên

.S ABCD

(

ABCD ).

Gọi O là tâm hình vuông ABCD SO

3

3

a

a

a

a

2

2

2

2

V

.S

.SO

2 .a .SO











SO  

S.ABCD

ABCD

6

1 3

6

6

2

1 3

2

2

a

2

a

2

2

2

SB SC 



SO OC 







a .

2

2

   

   

   

   

đề Theo 3 .

21 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

.

V



S

d A SBC . ( ;(

))



d(A;(SBC))



.

S ABC

.

ABC

V 3 S ABC S

1 3

ABC

3

2

a

V 



V



.

S ABC

.

S ABCD

.

1 2

12

a

ABC



đều cạnh bằng a

S

.





ABC

2 3 4

a

6

d(A;(SBC))

.



3

Vậy

2 , BC

AC

a .





a

Câu 23: Cho hình chóp

.S ABCD , có đáy ABCD là hình chữ nhật với A B ,

, C.

a

5

a

3

đều các điểm Tính khoảng cách d từ trung điểm M của SC đến mặt phẳng ( Đỉnh S cách SBD ).

a .

d



d



2

4

B. . C. d a 5 . A. . D. d

Hướng dẫn giải

Chọn A.

S

M

D

A

H

D

a

2a

a

A

2a

O

C

C

B

a 3

B

ABCD là hình chữ nhật nên gọi O là trung điểm của BD ABC

(1)

SA SB SC

 



S nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp

ABC

(2)

(1), (2)

 SO

(

ABCD )

thì O là tâm đường tròn ngoại tiếp

SBD

), (

)

ABCD vuông góc và cắt nhau theo giao tuyến BD nên gọi H là hình

SBD ).

d(M;(SBD) d(C;(SBD)). M là trung điểm của SC   1 2

CB CD a

3

Hai mặt phẳng ( chiếu của C trên BD thì H cũng là hình chiếu của C trên (

d C SBD ;(

(

))



CH





.

2

. BD

a

3

d(M;(SBD)

.

Do đó,



4

Vậy

22 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Khoảng cách Câu 24: Cho hình chóp

.S ABC , có đáy ABC là tam giác vuông cân tại

AB a SA SB SC

,A

,







.

)

Góc ABC bằng 45o . Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt

ABC ).

a

3

a

2

giữa đường thẳng SA và mặt phẳng ( phẳng (

d

a

2

d



3

2

. A. B. . C. . D. . d a 3

Hướng dẫn giải

Chọn B.

S

C

O

45o

a

B

a

A

ABC vuông tại A nên gọi O là trung điểm của thì O là tâm đường tròn ngoại tiếp của nó (1)

SA SB SC

 



S nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp

ABC

(2)

(1), (2)

SO  

(

ABC

)



d S ABC

( ; (

))



SO .

SO (ABC)



SO AO 

SAO









 o (SA, AO) (SA,(ABC)) 45

o 45

    

    

a

2

SO OA

BC

.

 





1 2

2

a

2

d(S;(ABC))

.



vuông cân tại O

2

Vậy

S.

SA



;3

SB



;6

SC



9

ABCD khoảng cách d từ C đến 

Câu 25: Cho hình chóp ; . Tính ASB ASC ASB  

2

biết góc    060   SAB .

d

27 2

A. 69d . B. 62d . C. D. 63d . .

Hướng dẫn giải

Chọn D.

S



sin.6.3.

60

0 

SAB

1 2

39 2

+ Ta có .

23 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

,' CB

'

SB,

SC

SB

'

 SC

 3'

+ Lấy điểm lần lượt trên sao cho .

SAB

'C

'



SABV

C ' '

2.33 12

29 4

2

C '

'

Tứ diện là tứ diện đều cạnh là 3 nên .



.





.6



 SABCV

V SAB V

SB ' SB

SC ' SC

1 6

29 4

27 2

SABC

+ .

SABC

V



. S

,

SAB



,

SAB



 Cd



 

 . Cd



 

SABC



SAB

1 3

3 V S



SAB

2 .3 +  63 . 

27 2 39 2

'

'

ADa

AB



AAa

,

, PNM ,

Câu 26: Cho hình hộp chữ nhật có . Gọi lần lượt

BC

,

' '

' DCBA  ;2 . Tính khoảng cách từ A đến 

 3' a MNP .

là trung điểm của

a .

a .

a .

a .

ABCD . ,' DC ' DD 9 11

15 22

3 4

15 11

B. A. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn D.

K NP CC





'











AD

+ Gọi . , E NP CD , I AC ME , Q ME 











AC cắt 

MNP tại I





  d A MNP ,



  d C MNP , .



5 3

AI AQ  CI MC

5 3

 

  d A MNP ,   d C MNP ,

 

.

CM CK CE đôi một vuông góc

,

,

1

1

1

1















2

2

2

2

1  2 CM CK

1 CE

1 2 a

121 2 a 81



  d C MNP ,

 

 2  

a 9 2

a 3 2

  

  

  

  

+ Tứ diện CMKE có





a





a



a





  d C MNP ,



  d A MNP ,



9 11

5 9 . 3 11

15 11

.

.S ABCD có SAC

Câu 27: Cho hình chóp đều



nội tiếp đường tròn có bán kính bằng 9 . Gọi d là ABCD và T là diện tích tứ giác ABCD . Tính d khi biểu thức

10

d 

17

d 

13

d 

12

đạt giá trị lớn nhất. B. . . C. . D. . khoảng cách từ S đến  . P d T d  A. Hướng dẫn giải

Chọn D.

 + Gọi O AC BD



  I

SO

2

2

2

OI

d

AO



2  AI OI



81



d



9



d



d

. , I là tâm đường tròn ngoại tiếp SAC

 , 9





 . 18



2

 

P d T .



d d 2 .



d

T



S



AC BD .



2.

AO

 . 18



ABCD

1 2

+ Ta có: .

24 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Khoảng cách

3





18



d

d 2

d 2

P



8.



d



8.



48

 . 18



d d . 2 2

3

    

    

.

" xảy ra khi



18

  

d

d

12

d 2

Dấu " .

a

a

a

14 4

14 3

Câu 28: Cho hình chóp đều SABCD có cạnh đáy =2a, cạnh bên =3a.Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD)?

a

14

A. B. C. D.

14 2 Hướng dẫn giải

Chọn C

+) Gọi K là hình chiếu của O trên CD, H là hình chiếu của O trên SK

AC OC

2

2

2

2

+) d(A,SCD)= .d(O,SCD)=2. d(O,SCD)=2.OH

 SD OD



a (3 )



(

a

2)



a

7

1 2

+) Xét tam giác SOD vuông tại D, SO= ,OK= .BC=a

a

a

2

2

2

14 4

14 2



2

1 a nên d(A,SCD)=2. =       OH 1 OH 1 SO 1 OK 1 2 a 14 4 a 7

57

4

21

2

21

4

2

a

21

a 57

a 21

7

Câu 29: Cho chóp tứ giác SABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a và tam giác SAD đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ tâm đường tròn nội tiếp tam giác SAD đến mặt phẳng (SBC) theo a?

B. C. D. A.

a 21 Hướng dẫn giải

Chọn D

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

HI

d(H,SBC)= +) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAD, K là trung điểm của BC,I là hình chiếu của H trên SK. Ta có d(O,SBC)= d(H,SBC)=

a 2 .

a

3

3 2

+) Xét tam giác SHK vuông tại H, HK=AB=2a, SH=

2

2

2

2



2

21

4

1       HI 1 HI 1 SH 1 HK 1 a (2 ) 2 21 7 a 3

.



2 2 21 3

7

a 21

+) d(O,SBC)=

6

a

2a

3

Câu 30: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB=BC=a, AD=2a. Cạnh bên SA=a vuông góc với mặt phẳng (ABCD).Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD)? 2 B. C. D. 2a A. a 5 Hướng dẫn giải

Chọn C

2a

+) Gọi H là hình chiếu của A trên SC. Ta có AC vuông góc CD. Lại có d(A,SCD)=AH

+) Xét tam giác SAC vuông tại A có AC= ,SA=a

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Khoảng cách

1

a

6









  AH

2

2

2

1 AH

1 SA

1 AC

1 2 a

3

a

2



2

Câu 31: Cho hình chóp

 AB a BC

A 

,



.S ABCD có đáy là hình thang vuông tại & . .AB Biết 2 ,

B Hình chiếu vuông góc của S Góc giữa hai mặt 10. a BD a SCD gần với giá trị

)

) & (

SBD

060 . Tính d là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (

trên đáy trùng với trung điểm của

ABCD là ) ( nào nhất trong các giá trị sau đây? B. 0.85a A. 0.80a

C. 0.95a D. 0.98a Hướng dẫn giải

Chọn B

S

D

A

P

H

K

C

I

B

G

J

E

SH



(

ABCD

).

Gọi H là trung điểm của AB thì

.CD

Gọi là hình chiếu của &A H lên là hình chiếu của A và H trên ,K I ;BD gọi & JG

AB CD & .

1

a 3

a 3









  AK

  HI

là giao điểm của Gọi E

2

2

2

2

2

1 AK

1 AB

1 AD

10

2 10

a

a 3

1 







Ta có

SBD

) & (

ABCD là )

060 nên  060 .

a 3 3

0

SH HI

.tan 60



.

SIH  Theo giả thiết, Góc giữa hai mặt (

2 10

.SJ

Từ đó ta có

trên Gọi P là hình chiếu vuông góc của H

HP



(

SDE

).

AD



a BC 3 ;

  

EB

2

a

EA

  

AE

2

a

  a AD G 3

Khi đó

.ED

2 3

2

2

2

AG



  HJ

AG





.

Tâ có là trung điểm của

5 6

a 3 2

a 5 3 . 2 6

a 15 12

Từ đó ta có

27 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

1

1









  HP

a .

2

2

2

2

2

675 1216

1 HP

1 SH

1 HJ

a 3 3

a

15 2 12

2 10

   

   

   

   



AE



HE



d A SDC

( ;(

))



d H SCD ;(

(

))

a 0.85 .

Ta có

6 5

6 5

a

.

Do

,a cạnh bên bằng

.S ABC có cạnh đáy bằng

21 6

SBC ).

a

3

.

Câu 32: Cho hình chóp tam giác đều Tính khoảng

d 

d 

.

.

d 

.

6

a 4

A. B. C. D. cách d từ đỉnh A đến mặt phẳng ( a 3 4

3 4 Hướng dẫn giải

Chọn B

S

C

K

A

H

I

B

)

ABC thì H là tâm của tam giác đáy. Gọi I là

.SI

là hình chiếu vuông góc của S lên (

HK



(

SBC

).

Gọi H trung điểm của BC và K là hình chiếu vuông góc của H lên

2

2

a

a

2

2

SI



SB



BI







;

Khi đó, ta có

21 6

a 2

3

  

  

   

   

2

2

a

2

2

SH



SI



HI







;

a . 3 6

a 2

3

  

  

   

   

1

1









HK



.

2

2

2

2

2

a 4

1 HK

1 HI

1 HS

16   2 a

a 2

  

  

a . 3 6

   

   

AI



3

HI



d A SBC

( ;(

 )) 3 (

d H SBC ;(

))



.

Ta có

a 3 4

Do

28 | VD_VDC

Chuyên đề_Khoảng cách

.S ABCD có đáy là hình chữ nhật có

Câu 33: Cho hình chóp

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19  2 ,

a AD a .

 AB Hình chiếu của S lên 045 . Tính khoảng cách từ ;AB SC tạo với đáy góc

ABCD là trung điểm H của

a

3

a

6

a

6

a

6

mặt phẳng ( ) SCD A đến mặt phẳng ( ).

.

.

.

.

3

4

3

6

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn C

S

K

C

B

I

H

A

D

.SI

trên Gọi I là trung điểm của CD và K là hình chiếu vuông góc của H

)



(

SHI

)

  HK

(

SBC

).

SBC Do (

SH



(

ABCD )



(

SC ABCD

,(

))



 0  SCA 45 .

2

2

2

2

 SH HC



 BC HB



a



a



a

2

Do

1

a

6







HK



.

2

2

2

2

3

1 HK

1 HI

1 HS

1   2 a

a

2





a

6

AB

/ /(

SCD

)



d A SCD , (

)



d H SCD , (

)



.

Ta có









3

Do

AB a BC a ;





3

.S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B có

3

Câu 34: Cho hình chóp

SA vuông góc với mặt phẳng đáy và diện tích xung quanh của khối chóp

.S ABC bằng

SBC gần nhất với giá trị nào sau đây?

)

. . Biết rằng 25 a 2

Tính theo a khoảng cách d từ A đến mặt phẳng ( A. 0, 72a . B. 0,90a . C. 0,80a . D. 1,12a .

Hướng dẫn giải

S

H

C

A

B

Chọn B

29 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

3

2

2

x 

3

Gọi SA x . Ta có phương trình:

 x a x a .

.2



x



a

.a 3



25 a 2

1 2





. Giải phương trình ta tìm được . = 

)

SBC bằng AH ( AH SB

2

2

1 AH

1 2 SA

1 AB

) với: . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (

AH 

3 2





ABCD A B C .

D

Ta tính được .

 có cạnh bằng 1. Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt

d 

d 

d 

Câu 35: Cho hình lập phương phẳng (BDA )

2 2

3 3

6 4

B. . C. . D. . A. d  3

Hướng dẫn giải

A

D

O

B

C

K

D'

A'

C'

B'





Chọn B

AK A O

'

2

2

1 AK

1 AO

1 AA

2 '

. Ta có: . Tính được Gọi O là tâm hình vuông ABCD , kẻ

AK 

3 3

AD

BC



2

)

.

.S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B , . Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (

Câu 36: Cho hình chóp 3   , ABCD . Gọi E là trung điểm

a

3

d 

d 

AB BC a của cạnh SC . Tính khoảng cách d từ điểm E đến mặt phẳng (SAD)

3 2

2

A. d a 3 B. . C. . D. d  3 .

Hướng dẫn giải

S

E

H

D

A

C

B

Chọn B

30 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Khoảng cách

3

CH AB . / /

d E SAD =

(

)

;

d

(C;

)

CH









 SAD 

1 2

AB a  2

2

1 2

suy ra Kẻ CH AD

.S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a ,

SD 

a 3 2

 SBD .

Câu 37: Cho hình chóp . Hình chiếu vuông góc của

d 

d 

d 

d 

a 2 3

a 3 5

a 3 2

D. A. C. B. . . . . điểm S trên mặt phẳng đáy là trung điểm của cạnh AB . Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  a 3 4

Hướng dẫn giải

3

a

5

2

2

2

2

Chọn B.

  SH

 SD HD

  a

V



V



HD



HA



AD



S ABD

.

S ABCD

.

2

a 6

a

5

2

2

Ta có .

SB



HB



SH



He rong  

S

2  





 d A SBD ;



SBD

 

 

2

a 3 4

1 2 .3 V S ABD S

a 2 3

SBD

.

.S ABC có các cạnh

SB

a 2

,

,

SC

a 3

SA SB SC đôi một vuông góc nhau và SA a ,  ABC ?

Câu 38: Cho hình chóp ,

a 5 6

a 6 7

a 6 5

A. . C. B. . . D. . . Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng  a 7 6

Hướng dẫn giải

3

Chọn



V

SA SB SC a .



.

S ABC

.

2

2

2

2

Ta có . B. 1 6

AB



2 SA



SB

5

AC



2 SA



SC



SB



SC



a

13

10

; .

 He rong

 d S ABC ;



ABC

 a .3 V S ABC S

BC ; a 6 7

 a 2 a 7 2

ABC

a 2

AD

. S        

.S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a ,

SBD theo a ?

Câu 39: Cho khối chóp tứ giác đều . 060 . Tính khoảng cách

a

3

5

2

a

5

a

2

Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, góc giữa SD với mặt đáy bằng  d từ điểm C đến mặt phẳng 

d 

d 

d 

2

a 5

2

3

A. . B. . C. . . D.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

;





 SD ABCD

 

  0  SDA 60 

3

2

a

3

0

Xác định nhanh góc .



 

SA AD

. tan 60



2

a

3



V



V



S BCD

.

S ABCD

.

3

2

1 2 2

2

SA AD 2

SB



2 SA



AB



a

13

SD



2 SA



AD

a

BD



AB



AD



a

5

4

. Ta có  SDA tan

a

3

; ;

 He rong

S

2  

a

4





 d C SBD ;



SBD

 

 

 V .3 S BCD S

2

SBD

.

31 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19 Câu 40: Cho tứ diện ABCD có

Tài liệu Vted_2018 AB x , tất cả các cạnh còn lại có độ dài bằng 2 . Gọi S là diện tích thì biểu

ABC . Với giá trị nào của x



V

.

tam giác ABC , h là khoảng cách từ D đến mặt phẳng 

S h đạt giá trị lớn nhất?

1 3 .

thức

1x

2x

A. B. 6x . C. x 2 6 . D. . Hướng dẫn giải

ADC BDC đều nên

,





Chọn B. Gọi E là trung điểm DC . Ta có hai tam giác

AF



,

DC

do



ABE

AF

AE tại F . Ta có

  ABE  AF  

 ABC

DC AE DC BE ,    

DC  

2

3

Kẻ

.

S



AF

.

V





BCD

ax

m

1 1 2 . 3 3   FAE FAE

Khi đó

4 0

AE AF DC    FAE AE cos ABE

E

ax

mV 2

      cos vuông tại





  x AE  3. 2  6

ABC A B C có mặt đáy ABC là tam giác đều, độ dài cạnh

A

ABC



Câu 41: Cho hình lăng trụ

a . Hình 2AB của cạnh AB . Biết góc



 ACC A .

 . lên mặt phẳng  chiếu vuông góc của giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60 , tính theo a khoảng cách h 

 a

2

21

a

39

2

a

15

a

trùng với trung điểm H từ điểm B đến mặt phẳng

h



h



h



h



7

13

5

15 5

. A. B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải







   d B ACC A



   d H ACC A



    2 ;  2. ;    AB AH

E . Kẻ

HF

A E

F . Ta



;

HF











tại có tại HF Chọn D.     A ACC A BH        d B ACC A ;      d H ACC A ; HE AC Từ H kẻ       d H ACC A   ACC A

2

2

2

1 HF

1 HE

1  HA

Có:

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Khoảng cách

a

3



HE



;

 HA



AH

. tan

 A AH a 

.tan 60

 

a

3

2

2

a

15



 HF a



;



2

a





   d B ACC A



3 5

3 5

5

Mà

.S ABC

AB a , SBC đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng d phẳng  a

 SAC . 39

39

2

a

3

3 AC a Câu 42: Cho hình chóp có đáy ABC là tam giác vuông tại A , . Tam giác cách từ B đến mặt

a .

d



d



d



13

a 13

2

B. d C. . D. A. . .

Hướng dẫn giải

C.

SH

SH BC . Mà tam giác SBC đều và nằm trong mặt phẳng  ABC

Chọn Gọi H là trung điểm BC . Ta có vuông góc với đáy nên

HF

SAC





HF

 HE AC tại E . Kẻ

HF SE tại F . Ta có







  d H SAC ;







Từ H kẻ

2

2

2

1 HF

1 HE

1 HS

Có:

HE



AB



;

BC



2 ;

a HS BC 



a

3

3 2

1 2

a 2

 HF a





HF a 



  d H SAC ;



3 13

3 13



2



BH



SAC

C  

Mà





CB CH

39

2





a

2





2.







  d B SAC ;



  d H SAC ;

a 13

    d B SAC ;     d H SAC ; 3 13

Lại có



a

a

30

a

13

a

là tại A vuông thang hình đáy và B, là trung điểm cạnh AB, SH là đường cao của hình chóp chóp BC a 2 , có a H 2 . Câu 43: Cho S.ABCD hình AD a AB   a SA 3 ,  , S.ABCD. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD).

30 7

10

13 7

A. B. C. D.

10 Hướng dẫn giải

Chọn B

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

Gọi M là giao điểm của AB và CD. Gọi K, I lần lượt là hình chiếu của H lên CM và SK. Dễ dàng chứng minh được HI vuông góc với mặt phẳng (SCD).



  

  MB MA MA AB MA



3

3

 

AB MA MA

 

2

 AB a

MAD và MBC đồng dạng nên

AD BC

1 2

Tam MA MB giác 1 3

2

2

2

giác tại B nên ta có



BC



a 3



a 3





MC



a 3

2





Tam 2  MC MB MBC 2   vuông 2   a 2. 3

2

2

2

2

2

SH



SA



AH



2

a



a



a 3

Mà tam giác MKH và MBC đồng dạng nên HK    a 2 KH MH  BC MC 1   3 . BC MH MC 3 .2 a a a 2 3



2

Tam giác SHA vuông tại H nên ta có

2

Tam giác SHK vuông tại H có HI là đường cao ứng với cạnh huyền nên ta có:

2

2

2

2

2

2

2

a

30

a a       HI    HI  1 HI 1 SH 1 HK 1 a 3 1 a 2 5 a 6 a 6 5 30 5 6 5

d A SCD , (

(

))



d H SCD , (

(

))



HI



1 2

1 2

10

Suy ra

a

Câu 44: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B với AB a và  030 . BAC  Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính khoảng cách từ điểm A đến

a

3

3 3 36 5

a

d 

d 

mặt phẳng (SBC), biết khối chóp S.ABC có thể tích bằng .

6

5

A. d  B. d  D. C. a 2 5 a 3 Hướng dẫn giải

Chọn C

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Khoảng cách

SA



ABC





Hai mặt phẳng (SAC) và (SAB) cùng vuông góc với đáy (ABC) nên ta có

0

 tại B ta có

2

a

3

a

3

a 3 BC AB tan 30   Xét ABC 3 a 3

S



AB BC .



a .





ABC

1 2

6

3

1 2

2

3

a

3

a

3

là Suy ra diện tích ABC

V



SA S .



a SA . .



S ABC

.



ABC

1 3

1 3

6

36

a   SA 2

Thể tích khối chóp S.ABC là

(1) Kẻ AH SB

BC AB BC SA ,





BC



(

SAB

)

 

BC AH

(2)

AH



SBC

Mà (do SA vuông góc với đáy (ABC)) nên





Từ (1) và (2) suy ra suy ra khoảng cách từ A đến (SBC) là AH

Câu 45: ta có

a

5

a

2









AH





d A SBC , (

(

))



AH

2

2

SAB 1 AH

1 2 a

2 a   5

5

5

là đường cao ứng với cạnh huyền nên 5 Cho vuông 1 2 SA

tại A có AH 5 1 1   2 2 a a AB 4

a

3

a

21

a

a

3

lăng trụ (ABC.A’B’C’) có tất cả các cạnh đều bằng a. Góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy bằng 030 . Hình chiếu H của điểm A’ lên mặt phẳng (ABC) thuộc đường thẳng BC. Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (ACC’A’).

4

14

2

A. B. C. D.

21 7 Hướng dẫn giải

Chọn C

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

a

3

0

0

Gọi K là hình chiếu của H lên A’M, dễ dàng chứng minh được HK vuông góc với (ACC’A’)

 A H AA

'

'.sin 30



;

 AH AA

'.co s 30



a 2

2

a

3

Xét tam giác A’AH vuông tại H ta có

AM 

2

Xét tam giác ABC đều cạnh a suy ra trung tuyến AM cũng là đường cao có độ dài

HC 

a 2

a

3

0

suy ra H là trung điểm của BC từ đó có nên ta có H M

sin

 

HI HC

sin 60



 C



HI HC

4

Xét tam giác HIC vuông tại I có

2

a

21

2









HK

  

HK



2

2

2

1 HK

1 HA

2 '

1 HI

28   2 a 3

a 3 28

14

a 3 2 7

1 2 a 4

1 a 3 16

a



d B AA C C

, (

(

'

'

))



2 (

d H AA C C

, (

'

'

))



2

HK



21 7

Xét tam giác A’HI vuông tại H có HK là đường cao ứng với cạnh huyền nên ta có:

,a cạnh bên bằng .S ABC có cạnh đáy bằng SBC ),

Câu 46: Cho hình chóp tam giác đều Gọi O 3.

1d là khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (  d

SBC Tính ).

2.

22

2

22

2

22

8

22

8

là tâm a 2d là khoảng cách từ đỉnh O đến mặt  d đáy, phẳng ( d 1

d 

.

d 

.

d 

.

d 

.

a 11

a 33

a 33

a 11

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn C

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Khoảng cách

S

C

K

A

O

I

B

.SI

Gọi I là trung điểm của BC và K là hình chiếu vuông góc của O lên

OK



(

SBC

).

2

2

a

2

2

Khi đó, ta có

SI



SB



BI



a

3





;





a 2

11 2

  

  

2

2

a

2

6

2

2

SO



SI



OI







;

11 2

a . 3 6

a 3

   

   

   

   

1

1

2

a

2











  OK

.

2

2

2

2

2

1 OK

1 OI

1 OS

99 2 a 8

3 11

a

3

6

a 2 . 6 3

   

   

   

   

Ta có

AI



OI 3



d A SBC

( ;(

d )) 3 (O;(



SBC

))



a 2

2

a 2

2

a 8

2

d





d







2 a 2 Do . 11

d 1

2

3 11

11

3 11

Vậy

a

7

2

a

7

a

2

,a các cạnh bên của hình chóp bằng nhau Câu 47: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh SCD và bằng 2 .a Tính khoảng cách d từ A đến ( ).

d 

.

d 

d 

a d  2

2

30

A. B. C. D.

30 Hướng dẫn giải

Chọn B.

37 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

ABCD Suy ra SO là đường cao của hình chóp

.

SABCD .

Gọi O là tâm của hình vuông

ON SM .

 ON SCD (

).







Suy ra ,CD kẻ Gọi M là trung điểm

d

d A SCD ( ; (

))

2 (

d O SCD ;(

))

ON 2

.

a

2

2







Ta có

OM

;

SO

 SD OD

.

a 2

14 2

OM SO .

a







Ta lại có

d

ON 2

2.

.

2

2

210 15

 SO OM

.S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Hình chiếu vuông góc của S ABCD là điểm H thuộc cạnh AB sao cho . Cạnh SC tạo với mặt

HA

HB



2



ABCD một góc 60 . Tính khoảng cách từ trung điểm K của HC đến mặt phẳng



a

a

a

Vậy

13 4

13 8

A. . B. . C. a 13 . D. . Câu 48: Cho hình chóp lên mặt phẳng  phẳng đáy    SCD . 13 2

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Gọi E là hình chiếu của H lên CD , F là hình chiếu của H lên SE .

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Khoảng cách





HF





  d K SCD ,



  d H SCD ,



1 2

1 2

AH



AB



a

BH



AB



a

Ta có .

1 3

1 3

2 3

2 3

2

2

CH



BH



BC



a

Ta có ; .

13 3

ABCD là góc  60

.



SH



 tan 60 .

CH



a

SCH   . Góc giữa SC và mặt đáy 

39 3











  HF

a

Do đó .

2

2

2

2

2

13 4

1 HF

1 HE

1 SH

1 2 a

9 a 39

48 a

39





HF



a

Ta có .





  d K SCD ,



  d H SCD ,



1 2

13 8

1 2

Vậy .

SAB đều và nằm trong mặt

.S ABCD có đáy là hình vuông,



a , mặt bên   SCD

3AB phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ A đến  a 3 a

2

6

a

21

37

Câu 49: Cho hình chóp

3

3

a 3 37

A. . B. . C. . D. .

7 Hướng dẫn giải

Chọn C.

,H E lần lượt là trung điểm của AB và CD ; F là hình chiếu H của lên SE .





Gọi

HF





  d A SCD ,



  d H SCD ,



3

Ta thấy

3AB

a nên

SH



a 3 2

21

a 3

Do tam giác SAB đều cạnh











HF  

2

2

2

2

2

2

1 HF

1 a 9

1 HE

4 a 27

7 a 27

7

Ta có .

1 SH .S ABC có đáy là tam giác vuông tại A ,  030 SAB vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách từ A đến 



 SBC

ABC , tam giác SBC đều cạnh a

Câu 50: Cho hình chóp và mặt phẳng 

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

a

6

a

6

a

3

a

6

5

3

3

6

. A. . B. . C. . D.

Hướng dẫn giải

a

3

Chọn D.

AC



;

AB



a 2

2

SH

SAB vuông góc với mặt phẳng đáy nên

ABC nên Ta thấy ABC là tam giác vuông tại A ,  030





 ABC

Gọi D là hình chiếu của S lên AB . Do 

SB SC nên

DB DC . Gọi E là trung điểm của BC suy ra

DE BC

a

3

a

6

2

2

Do



  

BD

SD  

SB



BD



EB DB

3 2

3

3

3

2

3

a

6

a

2

a

3

V



S

SD .



a a .

.





S



,





S ABC

.

ABC

SBC

  d A SBC , .



   d A SBC .

1 3

1 1 . . 3 2 2

2

3

24

1 3

1 3

4

a

6

Ta có  DBE cos





  d A SBC ,



6

Suy ra .

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Khoảng cách

NHÓM GIẢI VẬN DỤNG CAO CHUYÊN ĐỀ KHOẢNG CÁCH - NĂM HỌC 2018-2019

VTED_2019 MÔN: TOÁN 12

Thời gian làm bài 90 phút

Câu 1: Cho hình chóp

.S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , mặt bên (SAB) là tam giác đều ABCD . Tính khoảng cách h từ A đến mặt

)

và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (

a

a

a

7

a

3

h 

h 

h 

h 

phẳng (SCD) .

15 5

21 7

3

4

B. . C. . D. A. .

.S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 4a ,

a 2

SA

)

Câu 2: Cho hình chóp

(SBC) .

3

2

3

2

a

3

h 

h 

h 

h

a

3

và vuông góc với mặt ABC . Tính khoảng cách h từ trọng tâm G của tam giác ABC đến mặt phẳng phẳng đáy (

a 3

a 9

3

B. . C. . D. A. .

A B C D của tứ diện đã

,

,

,

Câu 3: Cho tứ diện ABCD . Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng cách đều bốn đỉnh



cho? A. vô số. C. 7 mặt phẳng. D. 3 mặt phẳng. B. 4 mặt phẳng.

 có đáy ABC là tam giác vuông tại A và

Câu 4: Cho hình lăng trụ đứng ABCA B C

AB



1,

AC



2,

AA

2 

C đến mặt phẳng 

 A BC .

. Tính khoảng cách h từ

h

h

h

h

6 2

6 3

2 3

3 2

A. . B. . C. . D. .

.S ABCD có đáy là hình vuông cạnh

a SD ,



a 3 2

ABCD là trung điểm của cạnh AB . Tính khoảng cách h từ A đến mặt phẳng



Câu 5: Cho hình chóp , hình chiếu vuông góc của S

h



h



h



h



lên mặt phẳng    SBD .

a 3

a 4 3

a 3 4

a 2 3

A ABC 

,

B. . C. . D. . A. .

.S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại  0 30

 SBC là  ABC . Tính

Câu 6: Cho hình chóp , mặt bên 

a

13

a

13

a

39

tam giác đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy   khoảng cách h từ C đến mặt phẳng  SAB .

h 

h 

h 

h 

a 3 13

13

39

13

.

'

'

ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại A và 'CC . Tính khoảng cách h từ M đến mặt

A. . B. . C. . D. .

'  . Gọi M là trung điểm cạnh ' 2

AA



1, AB  phẳng 

2,  'A BC .

Câu 7: Cho hình lăng trụ đứng AC

h 

h 

h 

h 

6 3

6 4

6 12

6 6

A. . B. . C. . D. .

1 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18 Câu 8: Cho hình chóp

M

ABCD BAD

. Tính khoảng cách

Đề thi thử nghiệm_2018 .S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt là trung điểm cạnh BC và  045

SMA 

  0  120 , ,  SBC .

a

6

a

6

a

6

a

6

phẳng đáy  h từ D đến mặt phẳng 

h 

h 

h 

h 

2

4

6

3



 có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , hình chiếu vuông góc của

ABC là trung điểm cạnh AB , góc giữa đường thẳng A C

A. . B. . C. . D. .



ACC A

và mặt phẳng đáy

  .

13

a

13

13

2

13

h 

h 

h 

h 

Câu 9: Cho hình lăng trụ ABC. A B C A mặt phẳng  bằng 60 . Tính khoảng cách h từ B đến mặt phẳng 

a 3 13

13

a 13

a 3 26

A. . B. . C. . D. .

.S ABCD có tất cả các cạnh bằng a . Tính khoảng cách h từ A đến

SCD .

Câu 10: Cho hình chóp tứ giác đều



a

2

a

a

3

a

3

h 

h 

h 

h 

mặt phẳng 

4

2

6

6

,

,

,

A. . B. . C. . D. .

,M N P lần lượt trên các cạnh

AB AC AD thỏa mãn

,

,M N P đến mặt phẳng

,





,

h h h lần lượt là khoảng cách từ

,

,

2

3

 . Kí hiệu 1

1 2

AN AC

AP AD

1 3

2 3

AM AB BCD . Mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu 11: Cho tứ diện ABCD . Các điểm

 A.

   .

  .



  .

h 2

h 3

h 1

h 2

h 3

h 1

h 2

 . h 3

h 2

h 3

h 1



 . Các điểm

B. D. C. 1 h

ABC A B C .





,  lần lượt là các mặt phẳng qua

ABC . Kí hiệu

 





,  . Mệnh đề nào sau đây đúng ?

.

,M N thuộc cạnh AA sao cho AM MN NA ,M N và song song với mặt đáy  ABC , 

 



1

2

3









Câu 12: Cho hình lăng trụ Gọi  h h h lần lượt là khoảng cách từ A đến  , ,









2

. . . .

h B. 1

h 2 2

h 4 3

h C. 1

h 3 2

h 9 3

h 2

h 3 3

h 2

h 3

3 2

3 2



A. 1 h D. 1 h

 . Các điểm

 sao cho

ABC A B C .

,M N P lần lượt thuộc cạnh

,

AA BB CC

 ,

 ,

,

,

h h h lần lượt là khoảng cách từ

;

;







,

,M N P đến 

 ABC .

Câu 13: Cho hình lăng trụ

2

3

2 3

1 2

CP  CC

1 3











. Kí hiệu 1

.

BN AM   BB AA Mệnh đề nào sau đây đúng ? h h B. 1 A. 1

 . h 3

h 2

h 2

 . h 3

h C. 1

h 3

h 2

h D. 1

h 3

 . h 2

ABC bằng 9 . Các điểm

,M N

.S ABC có khoảng cách từ S đến mặt phẳng 



Câu 14: Cho hình chóp

 . Tính tổng khoảng cách từ



;

,M N đến mặt phẳng

SM SA

1 3

SN SA

1 2



 ABC .

thuộc cạnh SA sao cho

21 2

15 2

9 2

A. . B. . D. . C. 6 .

   song song với nhau. Điểm A thuộc mặt phẳng 

  ,

  ,



 , biết

,  lần lượt là 9

Câu 15: Cho ba mặt phẳng 

 



và 3 . Một đường thẳng d thay khoảng cách từ A đến các mặt phẳng 

2 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Khoảng cách

,

,M N P . Hỏi giá trị nhỏ nhất của biểu thức

   

  ,

  ,

P MN 

lần lượt tại

là đổi cắt cả ba mặt phẳng  2 144  MP

372 4 .







B. A. 108 . C. 96 . D. 129 .

 ABCD A B C D . Các điểm

.

,M N P lần lượt thuộc các cạnh

,

  AA BB CC ,

 ,





;



;

Câu 16: Cho hình lăng trụ

DD tại Q . Biết khoảng

MNP cắt cạnh

AM  AA

1 2

BN  BB

2 3

CP  CC

1 3

ABCD bằng 12 . Tính khoảng cách h từ Q đến mặt phẳng



ABCD .

sao cho . Mặt phẳng 

9h

4h

3h

 6h .

. C. . D. . cách từ P đến mặt phẳng   A. B.

.S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Các điểm

,M N P lần lượt trên các

,

,





,



,

,

Câu 17: Cho hình chóp

SA SB SC sao cho

MNP cắt cạnh SD tại Q .

1 2

SM SA

1 3

SP 2 SC 3  ABCD bằng

0h . Tính khoảng cách h từ O đến mặt

ABCD .



cạnh . Mặt phẳng 

h . 0

h . 0

h . 0

h . 0

SN SB Biết khoảng cách từ S đến mặt phẳng  phẳng  2 7

5 7

1 6

5 6

A. B. C. D.

.

'

'

.O Hình chiếu

,a tâm

Câu 18: Cho hình hộp

.O Biết tam giác

'A AC vuông cân tại

ABCD trùng với

ABCD A B C D có đáy ABCD là hình vuông cạnh ' '  'A lên mặt phẳng 

'.A Tính khoảng cách h từ D đến mặt phẳng 

 ABB A ' . '

a

6

a

2

a

2

a

6

vuông góc của

h 

.

h 

.

h 

.

h 

.

6

3

6

3

.

'

'

A. B. C. D.

.O Hình chiếu

,a tâm

ABCD trùng với

'A AC vuông cân tại

ABCD A B C D có đáy ABCD là hình vuông cạnh ' '  'A lên mặt phẳng 

Câu 19: Cho hình hộp

.O Biết tam giác  BCC B ' . '

a

6

a

6

h

h 

.

vuông góc của '.A Tính khoảng cách h từ D đến mặt phẳng 

a .

h 

.

h 

.

3

6

a 2

 A AB a BC

,

,



a 2 .

B. C. D. A.

a

3

ABC tại H lấy điểm S sao cho

.

CH 

Câu 20: Cho tam giác ABC vuông tại Điểm H thuộc cạnh AC sao cho



3  090 . CSA 

Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 

. SBC

6

2

a

6

a

6

a

6

Tính khoảng cách h từ A đến mặt phẳng 

h 

.

h 

.

h 

.

h 

.

a 9

6

3

9

SA



SBC

 SA SC



4,

SB



3,

BC

5

B. C. D. A.

 . Tính khoảng cách từ h





Câu 21: Cho khối chóp .S ABC có ,

 ABC .

từ S đến mặt phẳng 

h 

h 

h 

h 

6 34 17

34 12

2 34 17

34 4

A. B. C. D. . . .

3 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

ABCD

SA



.S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Cạnh bên

Câu 22: Cho hình chóp

Đề thi thử nghiệm_2018 ; 

SA a

3

 SBC .

a

3

2

. Tính khoảng cách h từ A đến mặt phẳng 

h 

h 

h 

h 

a 3 4

a 4 3

2

a 3

A. . B. . C. . D.

SH



ABCD





Câu 23: Cho hình thoi ABCD cạnh bằng a , tâm O và AC a , từ trung điểm H của cạnh AB dựng

 SCD .

a

7

a

3

a

với SH a . Tính khoảng cách h từ H đến 

h 

h 

h 

h 

3

2

21 7

a 2

A. . B. . C. D .

ABCD A B C D cạnh bằng '

.

'

'

'

,a tính khoảng cách h từ A đến mặt

Câu 24: Cho hình lập phương

A BD ).

'

a

a

a

phẳng (

h 

h 

h 

a h  3

2

6

3

B. C. D. A.

.

'

'

'

'

a b c Tính khoảng cách h từ ,

, .

ABCD A B C D có ba kích thước là ACB ').

B đến mặt phẳng (

abc

abc

Câu 25: Cho hình hộp chữ nhật





h

h









2 2 a b

2 2 b c

2 2 c a

3

2 2 a b

2 2 b c

2 2 c a

ab

  bc

ca

ab

  bc

ca

A. B.





h

h

2

2

2

2

a

2   b

c

3

a

2   b

c





C. D.

'

.

'

AB

1,

AC

2,

 0  BAC 120

Câu 26: Cho lăng trụ đứng và kí hiệu D là trung điểm

BDA 

'

ABC ).

'A đến mặt phẳng (

cạnh Tính khoảng cách h từ

ABC A B C có ' ',CC biết  0 90 . B.

h 

7

h 

2 7

2 5

h 

5

h 







A. C. D.







   60  A AB BAD A AD 

ABCD A B C D .  . Tính khoảng cách h từ A đến mặt phẳng 

 ABCD

a

a

a

a

6

6

6

6

Câu 27: Cho hình hộp có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng a ,

h 

h 

h 

h 

9

6

3

2

A. B. C. D.

.S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , mặt bên SAD là tam giác cân tại

Câu 28: Cho hình hóp

SC 

S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy 

 ABD . Biết

a 3 2

h từ S đến mặt phẳng 

 ABCD

. Tính khoảng cách

h 

h 

a 3 4

a 2 3

a h  3

.S ABCD có SB a , tất cả các cạnh còn lại bằng b . Tính khoảng cách h từ S

A. B. C. D. h a

 ABCD

2

ab

a

2

2

2

2

h

h





Câu 29: Cho hình chóp đến mặt phẳng 

h

a

b

h

a

b









2

2

2

2

a b

b a

a

b

b a

b





A. B. C. D.

.S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tam giác SAB đều và tam giác

ABCD ?

SCD vuông cân tại S . Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng 



Câu 30: Cho hình chóp

4 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Khoảng cách

a

3

a

3

a

5

h 

d 

d 

2

4

5

a d  . 2

A. . B. C. . D. .

.S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA a và vuông góc ABCD . Gọi I là trung điểm AB . Tính khoảng cách từ điểm I đến mặt



Câu 31: Cho hình chóp

 SCD ?

a

3

a

6

a

3

a

2

với mặt phẳng đáy phẳng 

3

6

2

2

. A. . B. . C. . D.

.S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA và vuông góc với

a

3

Câu 32: Cho hình chóp

ABCD . Biết khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng 



 SBD bằng

3

. Tính mặt phẳng đáy

SA

a 2

SA a

3

SA a

2

độ dài SA ?

A. SA a . B. . C. . D. .

.S ABCD , có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a , tâm O ,

SA a

3.

SA

(

ABCD

),

)

Câu 33: Cho hình chóp

SBC .

a

3

a

3

Tính khoảng cách h từ điểm O đến mặt phẳng (

h



h



h

h

2

4

 a 3 4

 a 4 3

o

A. . B. . C. . D. .

.S ABCD , có đáy ABCD

 a BAD

,

60

a

3

SA SB SD







.

Câu 34: Cho hình chóp là hình thoi cạnh và

. ABCD

2

a

a

6

Tính khoảng cách h từ S đến mặt phẳng 

a .

h



h



h

15 6

3

 a 2

SA SB SC a 





6

,A

A. . B. . D. . C. h

.S ABC , có đáy ABC là tam giác vuông tại

BC

2 .

a Tính khoảng cách h từ S đến mặt phẳng (

ABC ).

a

h

a

5

Câu 35: Cho hình chóp và

2h

a .

h

a

2

h



30 6

a

6

A. . B. . C. . D.

.S ABC có đáy là tam giác đều cạnh a .

SA 

2

Câu 36: Cho hình chóp và vuông góc với mặt đáy.

SBC .

)

a

2

a

6

a

2

a

3

Tính khoảng cách h từ A đến mặt phẳng (

h 

h 

h 

h 

4

3

2

4

A. . B. . C. . D. .

.S ABC có

SA

a 3

AB

a 2

SA



(

ABC

)

 o BAC  120

Câu 37: Cho hình chóp và và . Tam giác ABC cân tại A có

SBC .

)

a

10

10

h 

h 

. Tính khoảng h cách từ A đến mặt phẳng (

h 

h 

30

a 3 10

a 4 3

a 3 4

a

3

A. . B. . C. . D. .

.S ABC có cạnh đáy bằng a , O là tâm của đáy,

SO 

3

Câu 38: Cho hình chóp đều . Tính khoảng

SBC .

)

a

15

a

5

a

3

cách h từ O đến mặt phẳng (

h 

h 

h 

h 

15

a 5 15

5

5

A. . B. . C. . D.

5 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

.S ABCD có đáy ABCD

AB AD a 2 ,

,

thang vuông

Đề thi thử nghiệm_2018 tại A và D ,  060 . Gọi I là trung SBC bằng ABCD . Tính khoảng cách h từ

)

)

là hình góc giữa đáy và mặt phẳng  SCI cùng vuông góc với ( ),(

SBI SBC . )

a

15

a

15

5

Câu 39: Cho hình chóp   CD a điểm của AD . Biết ( I đến mặt phẳng (

h 

.

h 

.

h 

.

h 

.

15

15 5

a 3 10

a 3 5

A. B. C. D.

BCD .

)

a

3

a

6

a

33

a

3

Câu 40: Cho tứ diện ABCD đều cạnh a , tính khoảng cách h từ A đến mặt phẳng (

h 

.

h 

.

h 

.

h 

.

3

3

12

2

 SA SB SC a



.

 ASB CSB

A. B. C. D.

.S ABC có   060 ,

 Tính khoảng cách

  090 , ASC 

h từ S đến mặt phẳng (ABC) .

2

2

a

3

a

6

a

2

Câu 41: Cho hình chóp

h 

.

h 

.

h 

.

h 

.

a 3

3

3

2

A. B. C. D.

.S ABC có SA SB SC a





 và    0 CSA 60 ,

0 90 ,

BSC

ASB







0 120 .

Câu 42: Cho hình chóp Tính

. ABC

a

3

a

2

a

3

khoảng cách h từ S đến mặt phẳng 

h 

.

h 

.

h 

.

h 

.

2

2

4

a 2

/

/

/

/

A. B. C. D.

AB



1,

AD



2,

AA



3.

.

/

A đến mặt phẳng 

/ ABCD A B C D có  A BD .

Câu 43: Cho hình hộp chữ nhật Tính khoảng cách h từ

h 

.

h 

.

h 

.

h 

.

6 7

7 6

36 49

49 36

/

/

/

/

/

A. B. C. D.

.

ABCD A B C D có tất cả các cạnh bằng nhau và

AC

Câu 44: Cho hình hộp

 A BD .

a

3

h 

.

h

a

3.

đỉnh A bằng nhau và bằng Biết các góc tại a 3 . 060 . Tính khoảng cách h từ A đến mặt phẳng  /

h

a .

h 

.

3

a 2 3

A. B. C. D.

.S ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O ,

SO



ABCD





AC



2,

BD



2 3,

SO

1

 . Tính khoảng cách h từ O đến mặt phẳng 

 SBC .

Câu 45: Cho hình chóp . Biết

h 

h 

h 

h 

21 7

3 2

3 7

7 3

A. . B. . C. . D. .

.S ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D , đáy nhỏ của hình là CD ,

SC a

15

Câu 46: Cho hình chóp

. Tam giác SAD là tam giác đều cạnh 2a và nằm trong mặt phẳng vuông

 SHC bằng

2 6a . Tính thể tích V của khối chóp

.S ABCD .

3

3

3

3

V



8 6

a

V



12 6

a

V



4 6

a

V



24 6

a

cạnh bên góc với đáy. Gọi H là trung điểm cạnh AD , khoảng cách từ B đến mặt phẳng 

A. . B. . C. . D.

6 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Khoảng cách Câu 47: Cho hình chóp

.S ABCD có đáy là hình chữ nhật với

AB  ,

3

4

5 SC  . Tam giác SAC SAC tạo với nhau

BC  , SAB và  



nhọn nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Các mặt phẳng 

ABCD .

cos





3 29

góc  thỏa mãn . Tính khoảng cách h từ đỉnh S đến mặt phẳng 

h  . 4

5h  .

h 

h 

3 29 4

51 13

BC

AB

8,



6

A. B. . C. D. .

.S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B ,

 . Biết

SA  và 6 vuông góc với mặt phẳng đáy. Tồn tại điểm M thuộc phần không gian bên trong của hình chóp và cách đều tất cả các mặt của hình chóp một khoảng bằng h . Tính h .

h 

h 

h 

h 

Câu 48: Cho hình chóp

4 9

2 3

4 3

2 9

A. . B. . C. . D. .

,M M lần lượt trên các cạnh

1

2

BM



2017



2018

DM

Câu 49: Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng 1. Các điểm

1

CM CM , 1

2

2

(

),(

)

1d là tổng khoảng cách từ ),(

)

ABD ACD và

,BC CD sao cho 1M đến các mặt ABC ABD . Mệnh đề nào

2d là tổng khoảng cách từ điểm

2M đến các mặt (

. Gọi

d

d

d

dưới đây đúng?

 . 1

d



d 1

2

d 1

2

d 1

2

d 1

2

2 3

A. C. . C. D. . .

.S ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a . Tồn tại điểm M nằm bên trong

Câu 50: Cho hình chóp đều

( 6

2)

a

( 6

2)

a

h



h



hình chóp và cách đều tất cả các mặt của hình chóp một khoảng bằng h . Tính h

 12

 4

( 6

2)

a

( 6

2)

a

h



h



A. . B. .

 2

 6

C. . D.

----------HẾT----------

7 | VD_VDC

Đề thi thử nghiệm_2018

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18 NHÓM GIẢI VẬN DỤNG CAO

CHUYÊN ĐỀ KHOẢNG CÁCH - NĂM HỌC 2018-2019

VTED_2019 MÔN: TOÁN 12

Thời gian làm bài 90 phút

Đề đã thay đổi thứ tự câu (sắp xếp theo độ khó tăng dần) so với đề gốc

BẢNG ĐÁP ÁN THAM KHẢO

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

HƯỚNG DẪN GIẢI

Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng bằng phương pháp trực tiếp



Một số dấu hiệu xác định chân đường cao hình chóp:





SA 1

A A A A 3... n 1 2

1SA chính là đường cao hình chóp.

(

...

  SH









SA A k k

  )

1

A A A A 1 2 3 n

A A A A 3... n 1 2

(cid:0) Nếu thì

 SH A A 

k

k

1

  SH





SA

(cid:0) thì .





A A A A 3... n 1 2

SA k

SA 

k

1

k



2

A A A

1

k

k

k

 2

(

);(

)

(cid:0) Nếu với H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác



SA A k k

SA A k k

 1

 cùng vuông góc với mặt phẳng đáy 1

 A A A A 1 2

3... n

(cid:0) Nếu thì





  SA k

A A A A 1 2 n

3...

.

Các bạn nên nhớ nhanh để làm bài thi trắc nghiệm, khi trình bày tự luận thì áp dụng tương tự cách chứng minh trong bài giảng.

PHƯƠNG PHÁP ĐỔI ĐIỂM

,M N và mặt phẳng (

)P .

MN

/ /(

P 

)) d(N;(P))

Xét hai điểm phân biệt

P , ta có d(M;( )

P



(cid:0) Nếu

MN

P (

)

 , ta có:

I

)) d(M;( d(N;(P))

MI NI

(cid:0) Nếu

P 

)) d(N;(P))

)



. Đặc biệt trong trường hợp này với I là trung điểm đoạn MN , ta có d(M;(

)P cách đều hai điểm

,M N

MN I

/ /( P P ( )

  

MN .

Nhận xét: Vậy mặt phẳng ( với I là trung điểm đoạn

8 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Khoảng cách

Phương pháp đổi điểm được thực hiện như sau:

Ta sẽ đổi khoảng cách từ M về điểm N sao cho thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:

)P là mặt bên của hình chóp (H) .

(cid:0) (

)P xác định đơn giản và sử dụng tỷ số khoảng cách theo hai

(cid:0) N là chân đường cao của hình chóp (H) .

Khi đó khoảng cách từ N đến ( trường hợp liệt kê phía trên.

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Cho hình chóp

)

.S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , mặt bên (SAB) là tam giác đều ABCD . Tính khoảng cách h từ A đến mặt

và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (

a

a

a

7

a

3

h 

h 

h 

h 

phẳng (SCD) .

15 5

21 7

3

4

B. . C. . D. A. .

Hướng dẫn giải

S

I

A

D

H

K

B

C

Chọn C

HI

SK

,H K

,AB CD .

a

d(A;(SCD)) d(H;(SCD)) HI







21 7

Gọi lần lượt là trung điểm Kẻ .

.S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 4a ,

a 2

SA

)

Câu 2: Cho hình chóp

(SBC) .

a

3

3

2

3

2

h 

h 

h 

h

a

3

phẳng đáy ( và vuông góc với mặt ABC . Tính khoảng cách h từ trọng tâm G của tam giác ABC đến mặt phẳng

3

a 3

a 9

A. . B. . C. . D.

Hướng dẫn giải

Chọn A

9 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Đề thi thử nghiệm_2018

S

I

B

M

G

A

C



SM

 nên

d(G;(SBC)) d(A;(SBC))

GM AM

1 3

a

3

d(G;(SBC))



d(A;(SBC))



A

I



Gọi M là trung điểm BC . Kẻ AI . Ta có :

1 3

1 3

3

,

,

,

.

A B C D của tứ diện đã

Câu 3: Cho tứ diện ABCD . Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng cách đều bốn đỉnh

cho? A. vô số. B. 4 mặt phẳng. C. 7 mặt phẳng. D. 3 mặt phẳng.

Hướng dẫn giải

C. Chọn Ta có, các mặt phẳng cách đều 4 đỉnh của tứ diện chia làm hai loại

Loại 1: Mặt phẳng đi qua trung điểm của 3 cạnh bên có chung đỉnh  có 4 mặt phẳng thỏa mãn.

Loại 2 : Mặt phẳng qua trung điểm của 4 cạnh ( 4 cạnh này thuộc hai cặp cạnh, mỗi cặp cạnh là chéo nhau)  có 3 mặt phẳng thỏa mãn.

Vậy có 7 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu.



Chuyên đề_Khoảng cách Câu 4: Cho hình lăng trụ đứng ABCA B C

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19  có đáy ABC là tam giác vuông tại A và

AB



1,

AC



2,

AA

2 

C đến mặt phẳng 

 A BC .

. Tính khoảng cách h từ

h

h

h

h

6 2

6 3

2 3

3 2

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

Chọn B.

C'

A'

B'

H

A

C

I

B





,







   d C A BC ,



   d A A BC .



Ta có:

AI



 BC AH A I  

,



AH .



  d A A BC ,



Kẻ

S



AB AC .



AI BC .

AI  



ABC

AB AC . 2

2

1 2

1 2

2 5

AB



AC

2





Ta có .



S



A A AI .



 AH A I .



AH



 A AI

2 A A AI . 2

2

1 2

1 2

6 3

 A A



AI

. Ta có

h

6 3

Vậy .

.S ABCD có đáy là hình vuông cạnh

a SD ,



a 3 2

ABCD là trung điểm của cạnh AB . Tính khoảng cách h từ A đến mặt phẳng



Câu 5: Cho hình chóp , hình chiếu vuông góc của S

lên mặt phẳng    SBD .

h



h



h



h



a 2 3

a 3

a 4 3

a 3 4

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

Chọn A.

11 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Đề thi thử nghiệm_2018

S

K

A

D

H

I

C

B



2

,





  d A SBD ,



   d H SBD .

a

2

Ta có,

HI

  

BD

HI

AC



1 4

4

Kẻ .

HK SI

 



HK .



  d H SBD ,



a

5

Kẻ

HD



,

SD

  

SH a .

2

a 3 2

Ta có,

HK





SH HI . 2

2

a 3

SH



HI



Ta có, .



  d A SBD ,



a 2 3

A ABC 

,

Vậy .

.S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại  0 30

 SBC là

 ABC . Tính

Câu 6: Cho hình chóp , mặt bên 

a

13

a

13

a

39

tam giác đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy   khoảng cách h từ C đến mặt phẳng  SAB .

h 

h 

h 

h 

a 3 13

13

39

13

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Khoảng cách Gọi

,I K lần lượt là hình chiếu vuông góc của H lên

,AB SI .

(



(

SHI

))

  HK

SAB





 HK AB AB  HK SI

  

a

3

0

 AC AB

.sin 30

  

HI

Ta có

SH 

2

a 2

a 4

a

39





HK







  d H SBC ,



HI SH . 2

2

26

HI



SH

a

39



2



Ta có ,





  d C SAB ,



  d H SAB ,



13 '

.

'



Ta có .

AA

'  . Gọi M là trung điểm cạnh ' 2

ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại A và 'CC . Tính khoảng cách h từ M đến mặt

1, AB  phẳng 

2,  'A BC .

Câu 7: Cho hình lăng trụ đứng AC

h 

h 

h 

h 

6 3

6 4

6 12

6 6

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

Chọn D.

I



'

,K H lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên

BC A K . '

,

AH BC BC





AA K '









AH



A BC '

Gọi ,





AM A C    AH A K

'

   

Ta có

AK





AB AC . 2

2

2 5 5

AB



AC



d

A,

A

'BC



AH













AK.AA' 2

6 3



AA

2 '

AK







Ta có







  d M SAB ,



  d H SAB ,



  d H SAB ,



MI AI

1 2

6 6

Ta có .

SMA 

Câu 8: Cho hình chóp

.S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt là trung điểm cạnh BC và  045

M

. Tính khoảng cách

  0  120 , ,  SBC .

phẳng đáy  ABCD BAD h từ D đến mặt phẳng 

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Đề thi thử nghiệm_2018

a

6

a

6

a

6

a

6

h 

h 

h 

h 

2

4

6

3

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

Chọn B.

 

ABC

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên AM .



AH BC BC



SAM





 AB BC  060  BAC 





AH



SBC

Ta có là tam giác đều cạnh a .





 AH SM

      

a

3

a

3

Ta có

AM



,

 SM AM





 SMA

0 45

2

2

a

6



d



d



AH



Ta có

 D, SBC



 A, SBC











4



 có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , hình chiếu vuông góc của

ABC là trung điểm cạnh AB , góc giữa đường thẳng A C

.



 ACC A

và mặt phẳng đáy



13

a

13

13

3

13

2

h 

h 

h 

h 

. Câu 9: Cho hình lăng trụ ABC.A B C A mặt phẳng  bằng 60 . Tính khoảng cách h từ B đến mặt phẳng 

a 3 13

13

a 26

a 13

A. . B. . D. . C. .

Hướng dẫn giải

A'

C'

B'

I

A

C

K

H

B

A CH



Chọn A

ABC là góc  60

 .



Gọi H là trung điểm AB . Ta có góc giữa A C và mặt phẳng 

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Khoảng cách





h





2



2

HI

Gọi K là hình chiếu vuông góc của H lên AC và I là hình chiếu vuông góc của H lên A K .





   d B; ACC A



   d H; ACC A





a

3

A H .HK

13

A H HC.tan

 

60

 

Ta có: .

HK 

HI





2

2

a 3 2

4

a 3 26

 A H



HK

13

Mà ; . Do đó: .

h 

a 3 13

S. ABCD

a

A

Vậy

SCD





Câu 10: Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng . Tính khoảng cách h từ đến

a

2

a

a

3

a

3

h 

h 

h 

h 

mặt phẳng .

4

2

6

6

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

S

A

D

Q

P

O

B

C





SO



ABCD

Chọn B





OQ 2







2

h

Gọi O AC BD , ta có: .





  d A; SCD



a

3

a

2

OP.SO

a

6

SP



,OP



SO 

  OQ



2

2

Gọi P,Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của O lên CD,SP .  d O;( SCD Khi đó: . Ta có:

2

a 2

2

6

OP



SO

2

a

h



.

.

6

Vậy

,M N P lần lượt trên các cạnh

,

AB AC AD thỏa mãn

,

,

h h h lần lượt là khoảng cách từ

,

,

,





,

,M N P đến mặt phẳng

,

 . Kí hiệu 1

2

3

1 2

AN AC

AP AD

1 3

2 3

AM AB BCD . Mệnh đề nào sau đây đúng?





Câu 11: Cho tứ diện ABCD . Các điểm

 A.

  .

h 2

   . h 1

h 3

h 2

h 3

h 1

 . h 3

h 2

h 3

 . h 1

B. D. C. 1 h

h 2 Hướng dẫn giải

15 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Đề thi thử nghiệm_2018

A

N

M

B

C

K

P

H

D

 BCD .











  d M ; BCD



Chọn B

 . h 1

MK AH

AH 2

    d M ; BCD     d A; BCD

2













h 2

h 3

  d N; BCD



  d P; BCD



Ta có: Gọi H ,K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A,M lên  1 2

AH 3

AH 3





h 1

h 3

h 2



ABC A B C .





 . Các điểm

Tương tự ta có: ; .

,  lần lượt là các mặt phẳng qua

ABC . Kí hiệu

 





,  . Mệnh đề nào sau đây đúng ?

.

,M N thuộc cạnh AA sao cho AM MN NA ,M N và song song với mặt đáy  ABC , 

 



3

2

1





4





. Do đó: Câu 12: Cho hình lăng trụ Gọi  h h h lần lượt là khoảng cách từ A đến  , ,









2

. . . .

h B. 1

h 2 2

h 3

h C. 1

h 3 2

h 9 3

h 2

h 3 3

h 2

h 3

3 2

3 2

A. 1 h D. 1 h

Hướng dẫn giải

Chọn A.





 AA



 A M



3

 A N



  



 

   , d A ABC



  , d A



  , d A 3



3 2

3 2





Ta có ( do ).

h 2

h 3 3

3 2

. Suy ra 1 h



ABC A B C .

Chuyên đề_Khoảng cách Câu 13: Cho hình lăng trụ

 . Các điểm

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19  sao cho

,M N P lần lượt thuộc cạnh

,

AA BB CC

 ,

 ,

,

,

h h h lần lượt là khoảng cách từ

;

;







,

,M N P đến 

 ABC .

2

3

2 3

1 2

CP  CC

1 3











. Kí hiệu 1

.

BN AM   BB AA Mệnh đề nào sau đây đúng ? h h B. 1 A. 1

 . h 3

h 2

h 2

 . h 3

h C. 1

h 3

h 2

h D. 1

h 3

 . h 2

Hướng dẫn giải

Chọn A.









h 1

  d M ABC ,



   , d A ABC







.





h 2

  d N ABC ,



   , d B ABC



.









h 3

  d P ABC ,



   , d C ABC





d

 C ,

ABC

.







2 3 1 2 1 3     , d B ABC







   , d A ABC 

   . h 3

h 2

h Suy ra 1

Mà .

ABC bằng 9 . Các điểm

,M N

.S ABC có khoảng cách từ S đến mặt phẳng 





;

Câu 14: Cho hình chóp

 . Tính tổng khoảng cách từ

,M N đến mặt phẳng

SM SA

1 3

SN SA

1 2



 ABC .

thuộc cạnh SA sao cho

21 2

15 2

9 2

A. . B. . D. . C. 6 .

Hướng dẫn giải





 . 6





h 1

  d M ABC ,



  d S ABC ,



2 3

Chọn A.

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Đề thi thử nghiệm_2018









h 2

  d N ABC ,



  d S ABC ,



1 2

9  . 2



h 1

h 2

21 2

.

   song song với nhau. Điểm A thuộc mặt phẳng 

  ,

  ,



 , biết

,  lần lượt là 9

Câu 15: Cho ba mặt phẳng 

 



,

,M N P . Hỏi giá trị nhỏ nhất của biểu thức

   

  ,

  ,

và 3 . Một đường thẳng d thay

P MN 

lần lượt tại

là khoảng cách từ A đến các mặt phẳng  đổi cắt cả ba mặt phẳng  2 144  MP

372 4 .

A. 108 . B. C. 96 . D. 129 .

Hướng dẫn giải

Chọn D

,B C lần lượt là hình chiếu của A lên 

   , 

   song song với nhau nên ta có

Gọi

MN MP 

3

  ,

  ,



AB MP  AC MN

1   3

2

P MN 



9

2 MP

144 MP

144 MP

MP AB 



3

. Do ba mặt phẳng 

(Điều kiện )



9

x



,

x



3

 f x



2 144 x

3

18

x

144





f



18

x



;

f

x

  

0

x

2



Xét hàm

  x





144 2 x

 2 x

Có:

Bảng biến thiên

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Khoảng cách

MinP

  

129

MP

3







.

Vậy

 ABCD A B C D . Các điểm

,M N P lần lượt thuộc các cạnh

,

  AA BB CC ,

 ,



;



;



Câu 16: Cho hình lăng trụ

DD tại Q . Biết khoảng

MNP cắt cạnh

AM  AA

1 2

BN  BB

2 3

CP  CC

1 3

ABCD bằng 12 . Tính khoảng cách h từ Q đến mặt phẳng



ABCD .

9h

4h

3h

sao cho . Mặt phẳng 

 6h .

cách từ P đến mặt phẳng   A. B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải









.

Chọn A.

ABCD A B C D là hình hộp nên MNPQ là hình bình hành.







,O E F lần lượt là tâm của các hình bình hành

,

 MNPQ ABCD A B C D . Trong

,

,







 OE BB OF BB ,

 

,

,

 DBB D có

O E F thẳng hàng.

Do







Gọi 



DQ BN    DD BB

AM CP   AA CC

2 EO EF





Dễ dàng chứng minh được:





;

CC DD 





DQ  DD

1     2

1 3

2 3

DQ  DD

1 6

CP  CC

1 3

DQ CP

1 2









DCC D PQ DC T .

Suy ra: . Mà

,

;

Trong 



;



;



6





  d Q ABCD



  d P ABCD



TQ DQ  TP CP

1   2

1 2

;

 

  d Q ABCD   d P ABCD

 

Ta có: .

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18 Câu 17: Cho hình chóp

.S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Các điểm

Đề thi thử nghiệm_2018 ,M N P lần lượt trên các

,

,





,



,

,

SA SB SC sao cho

MNP cắt cạnh SD tại Q .

1 2

SM SA

1 3

SP 2 SC 3  ABCD bằng

0h . Tính khoảng cách h từ O đến mặt

ABCD .



cạnh . Mặt phẳng 

h . 0

h . 0

h . 0

h . 0

SN SB Biết khoảng cách từ S đến mặt phẳng  phẳng  2 7

5 7

1 6

5 6

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải





SBD NI

SD Q 

Chọn B.

SAC MP SO I . Trong 

,

, 

 

)

Q SD MNP .  (

Gọi O là tâm của ABCD . Trong 





SA  SM SP

SC SB SD  SN SQ

2 SO SI

Dễ dàng chứng minh được

2 1

SD      SQ

SD SQ

3 1

3 2

7 2

;

SQ



 



;



;

Suy ra:



 ABCD D





  d Q ABCD



  d S ABCD



5 7

DS DQ

7   5

;

  d S ABCD   d Q ABCD

   

Có

.

'

'

.O Hình chiếu

,a tâm

ABCD trùng với

'A AC vuông cân tại

ABCD A B C D có đáy ABCD là hình vuông cạnh ' '  'A lên mặt phẳng 

Câu 18: Cho hình hộp

.O Biết tam giác  ABB A ' . '

a

6

a

2

a

2

a

6

vuông góc của '.A Tính khoảng cách h từ D đến mặt phẳng 

h 

.

h 

.

h 

.

h 

.

6

3

6

3

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Khoảng cách

A'

B'

D'

C'

H

I

A

B

O

D

C

h



2

,

'

'

.

Chọn D



  d O ABB A



AB OI

 

AB .

Ta có

A OI OH A I '



:

'

Gọi I là trung điểm



OH



ABB A

'

'



,

'

'



OH

.

Trong 







  d O ABB A



2

Ta chứng minh được

 AC a

2,

A O '



.

AC a  2

2

OI 

.

+

a 2

+

.

OA OI '.

a

6

a

6

a 2 2

a 2

OH







  h

.

2

2

2

6

3

2  OA OI '

a

2



2

a 2

  

  

  

  

Suy ra:

.

'

'

.O Hình chiếu

,a tâm

Câu 19: Cho hình hộp

.O Biết tam giác

'A AC vuông cân tại

ABCD trùng với

ABCD A B C D có đáy ABCD là hình vuông cạnh ' '  'A lên mặt phẳng 

'.A Tính khoảng cách h từ D đến mặt phẳng 

 BCC B ' . '

a

6

a

6

h 

.

vuông góc của

h

a .

h 

.

h 

.

6

3

a 2

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn D

21 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Đề thi thử nghiệm_2018

A'

B'

D'

C'

A

H

B

I

O

D

C

AD OI

 

AD .

,

'

'



,

'

'



2

,

'

'

Ta có







  d D BCC B



  d B ADD A



  d O ADD A



A OI OH A I '



:

'

Gọi I là trung điểm



Trong 

OH



ADD A

'

'



,

'

'



OH

.







  d O ADD A



2

Ta chứng minh được

 AC a

2,

A O '



.

AC a  2

2

+

OI 

.

a 2

.

OA OI '.

a

6

a

6

a 2 2

a 2

+

OH







  h

.

2

2

2

6

3

2  OA OI '

a

2



2

a 2

  

  

  

  

Suy ra

 A AB a BC

,

,



a 2 .

a

3

ABC tại H lấy điểm S sao cho

CH 

.

Câu 20: Cho tam giác ABC vuông tại Điểm H thuộc cạnh AC sao cho



3  090 . CSA 

Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 

. SBC

a

6

6

2

a

6

a

6

Tính khoảng cách h từ A đến mặt phẳng 

h 

.

h 

.

h 

.

h 

.

9

a 9

6

3

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

22 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Khoảng cách

 AC a

3



AH



AC





SBC

.







  d A SBC ,



 d 3 H,



2 3

HI



 BC I BC

,

.

Ta có:

SHI HK SI

 

:



HK

.

+ Kẻ





  d H SBC ,



3

a

3

+ Trong 

HI



d A BC ,





.



.





1 3

. AB AC BC

1 3

a a . 2

a

6

a

6

+

SAC SH :



HA HC .



.

3

a

6

a

6

HK









.

+ Trong tam giác vuông



  d A SBC ,



2

9

3

HS HI . 2  HS HI

SA



SBC

 SA SC



4,

SB



3,

BC

5

Suy ra:

 . Tính khoảng cách từ h





Câu 21: Cho khối chóp .S ABC có ,

 ABC .

từ S đến mặt phẳng 

h 

h 

h 

h 

6 34 17

34 12

2 34 17

34 4

A. B. C. D. . . .

Hướng dẫn giải

Chọn B

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Đề thi thử nghiệm_2018

2

2

2

BC



BS



CS

  

BS CS

25

2

2

2

2

AB



AS



SB

AC



2  SA CS



4 2

 ; 5





  p

 

5 2 2

AC AB BC 2









2 34

  p p AC p BC p AB







 S

ABC

S ABC

Ta có:









  d S ABC ;



6 34 17

V .3 S

ABC

SA



ABCD

.

.S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Cạnh bên



;

SA a

3

Câu 22: Cho hình chóp

 SBC .

a

3

2

. Tính khoảng cách h từ A đến mặt phẳng 

h 

h 

h 

h 

2

a 3 4

a 4 3

a 3

A. . B. . C. . D.

Hướng dẫn giải





Chọn A

 AH SB H SB



  BC

SAB

 

BC AH

Kẻ





 BC AB  BC SA

  

  AH

SBC





AH







  d A SBC ;



a

3

a

3

Ta có:







AH









  d A SBC ;



2

2

2

1 AH

1 SA

1 AB

2

2

.

SH



ABCD





Câu 23: Cho hình thoi ABCD cạnh bằng a , tâm O và AC a , từ trung điểm H của cạnh AB dựng

 SCD .

a

7

a

3

a

với SH a . Tính khoảng cách h từ H đến 

h 

h 

h 

h 

3

2

21 7

a 2

A. . B. . C. D .

Hướng dẫn giải

Chọn A

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Khoảng cách

HO CD CD

  

SHO









SHO

SO

kẻ

 SO SCD







  HI

SCD





HI







  d H SCD ;



kẻ HI mà





  HI

2

2

2

1 HI

1 SH

1 HO

a 2

h 

a 2

Ta có:

ABCD A B C D cạnh bằng '

.

'

'

'

,a tính khoảng cách h từ A đến mặt

Câu 24: Cho hình lập phương

A BD ).

'

a

a

a

phẳng (

h 

h 

h 

a h  3

3

2

6

A. B. C. D.

a



d A A BD ;(

'

))

AH

.

Hướng dẫn giải Chọn B.

2

,A B khi đó ( ' Gọi I là hình chiếu của A lên

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18 Câu 25: Cho hình hộp chữ nhật

.

'

'

'

'

Đề thi thử nghiệm_2018 a b c Tính khoảng cách h từ ,

ABCD A B C D có ba kích thước là ACB ').

B đến mặt phẳng (

abc

abc

. ,





h

h









2 2 a b

2 2 b c

2 2 c a

3

2 2 a b

2 2 b c

2 2 c a

ab

  bc

ca

ab

  bc

ca

A. B.





h

h

2

2

2

2

a

2   b

c

3

a

2   b

c

C. D.

.BH Khi đó

Hướng dẫn giải Chọn A.

,H K lần lượt là hình chiếu vuông góc của B lên AC và

'

))

BK

.

BA BC .

ab

Gọi d B B AC ,( (





BH

.

2

2

2

2





BA

BC

a

b

c .

ab 2

2

BH BB .

'

abc



a

b







BK

.

2

2







BH

BB

'

2 2 a b

2 2 b c

2 2 c a

2



c

2

2 2 a b 2 

b

a





  Đặt  Khi đó AB a BC b BB , , ' c .

AB

1,

AC

2,

 0  BAC 120

.

'

'

Câu 26: Cho lăng trụ đứng và kí hiệu D là trung điểm

BDA 

'

ABC A B C có ' ',CC biết  0 90 .

'A đến mặt phẳng (

ABC ).

cạnh Tính khoảng cách h từ

h 

7

h 

2 7

h 

5

h 

2 5

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải Chọn B.

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Khoảng cách

2

2

2













AA x  Ta có

0.

'

A B '

x

1,

BC

7 ,

BD

7 ,

A D '

 4.

x 4

x 4

2

2

2

2

2



Đặt

A B '

2  A D BD

'

20

x

1

x

4

x

7

2

a

5.

2 x           4

x 4







Ta có







   60  A AB BAD A AD 

ABCD A B C D .  . Tính khoảng cách h từ A đến mặt phẳng 

 ABCD

a

a

a

a

6

6

6

6

Câu 27: Cho hình hộp có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng a ,

h 

h 

h 

h 

9

6

3

2

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

B

C

I

O

A

D

C'

B'

A'

D'

Chọn C

là tứ diện đều có tất cả các cạnh đều bằng a . Khi đó: Từ giả thiết ta có tứ diện AA BD

 A O





 ,





  d A ABCD



   d A ABD ,



với O là trọng tâm tam giác ABD .

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Đề thi thử nghiệm_2018

2

a

a

3

6

2

2

2 

 A I

AA

AO

a











3

3

   

   

Ta có:

.S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , mặt bên SAD là tam giác cân tại

Câu 28: Cho hình hóp

SC 

S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy 

 ABD . Biết

a 3 2

h từ S đến mặt phẳng 

 ABCD

. Tính khoảng cách

h 

h 

a 3 4

a 2 3

a h  3

A. B. C. D. h a

Hướng dẫn giải

S

D

C

H

A

B

Chọn D

 ABD

Mặt bên SAD là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy 

SH

,



  d S ABCD



2

a

5

2

2

2

HC

a



CD HD 







nên với H là trung điểm AD .

a 2

2

  

  

2

2

a

5

2

2

Ta có: .

SH

a



SC HC 







a 3 2

2

  

  

   

   

.S ABCD có SB a , tất cả các cạnh còn lại bằng b . Tính khoảng cách h từ S

Khi đó:

 ABCD

2

ab

a

2

2

2

2

h

h





Câu 29: Cho hình chóp đến mặt phẳng 

h

a

b

h

a

b









2

2

2

2

a b

b a

a

b

b a

b





A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

28 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Khoảng cách

Chọn A

DAC

BAC

Ta có: ABCD hình thoi.



 

 

SO DO BO

BD

 





1 2

2

2

SBD

a

b

 

BD  



Lại có SAC (c.c.c)

SH AC

vuông tại S

SH BD

 

SO AC

SBD

AC  





(*) mà

SBD

ABCD





SBD  

(**) Trong  kẻ 

ABCD

SH

SH  

,







  d S ABCD



ab

SH BD SB SD SH

 



.

.

Từ (*) và (**) hay

2

2

a

b



Lại có:

.S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tam giác SAB đều và tam giác

ABCD ?

SCD vuông cân tại S . Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng 



a

3

a

3

a

5

Câu 30: Cho hình chóp

h 

d 

d 

2

4

5

a d  . 2

A. . B. C. . D. .

Hướng dẫn giải

C.

S

,M N lần lượt là trung điểm của

,AB CD .

a

3

SN 

Chọn Gọi

SM 

2

2

2

Ta có ; và MN a

2 

a 2  

SMN



SM SN MN

vuông tại S .

A

D

  AB SM

H

M

  AB

SMN



ABCD



SMN













.

N

//



B

C

   Kẻ





  SH

ABCD

AB CD SN  SH MN H MN







a

3

.





  d

SH



2

2

2

1 SH

1 SM

1 SN

4

.

.S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA a và vuông góc ABCD . Gọi I là trung điểm AB . Tính khoảng cách từ điểm I đến mặt



Câu 31: Cho hình chóp

 SCD ?

a

3

a

6

a

3

a

2

với mặt phẳng đáy phẳng 

3

6

2

2

. A. . B. . C. . D.

Hướng dẫn giải

AB CD / /



AB

/ /

SCD





Chọn D.





 d I SCD ;



 d A SCD ;



 

 

CD



SAD



SCD



SAD

Do

  . theo giao tuyến SD .











  

Dễ thấy

29 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Đề thi thử nghiệm_2018

  

AH



SCD





AH

 AH SD H SD







 d A SCD ;



 

 

2

Kẻ .

A



AH



 d I SCD ;



  

 . 

SD a  2

2

Tam giác SAD vuông cân tại

.S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA và vuông góc với

a

3

Câu 32: Cho hình chóp

ABCD . Biết khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng 



 SBD bằng

3

. Tính mặt phẳng đáy

SA a

3

độ dài SA ?

SA

a 2

SA a

2

B. . C. . D. . A. SA a .

Hướng dẫn giải

Chọn A

S

H

A

D

O

B

C

SBD

BD







SAC











a

3

theo giao tuyến SO . Gọi O là giao điểm AC và BD .  Ta có SAC

 H SO





AH





 d A SBD ;



 

 

3





  . SA a

2

2

2

1 AH

1 SA

1 AO

. Kẻ AH SO 

.S ABCD , có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a , tâm O ,

SA a

3.

SA

(

ABCD

),

)

Câu 33: Cho hình chóp

SBC .

a

3

a

3

Tính khoảng cách h từ điểm O đến mặt phẳng (

h



h



h

h

2

4

 a 3 4

 a 4 3

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

B. Chọn CÁCH 1

S

S

H

a 3

a 3

2a H

A

a

a

B

A

B

O

a

D

C

30 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Khoảng cách



d O (

, (SBC))



d

(A, (SBC))

d O ( , (SBC)) d (A, (SBC))

OC AC

1   2

1 2

ABCD là hình vuông  BC AB.

SA (ABCD)



 

BC SA.

BC AB 

BC (SAB)

(S BC)

(SAB).

 





BC SA 

   

SAB SBC vuông góc và cắt nhau theo giao tuyến SB nên gọi H là hình

  ,



SBC . Do đó,

Vì O là trung điểm của AC nên ta có





AH



  d A SBC ,



a

3

SAB vuông tại A đường cao AH



AH SB AS AB 

.

.

  AH



.

. AS AB SB

2

a

3

d(O;(SBC))



Hai mặt phẳng  chiếu của A trên SB thì H cũng là hình chiếu của A trên 

.

4

Vậy

CÁCH 2

S

I

a 3

I

a 3

2

K

a 2

B

A

a

O

a 2

B

O

C

a

D

C

Gọi I là trung điểm của SC thì tứ diện OIBC là tứ diện vuông tại đỉnh O. Do đó, gọi K là hình chiếu của O trên mặt phẳng (IBC) thì

d(O;(SBC)) OK.



a

3

1

2















OK  

2

2

2

2

2

2

4

1 OK

1 OI

1 OB

1 OC

16 2 a 3

a

a

3

2

2

2

  

  

  

  

a

3

.

d(O;(SBC))

+



4

Vậy

31 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Đề thi thử nghiệm_2018

o

.S ABCD , có đáy ABCD

 a BAD

,

60

a

3

SA SB SD







.

Câu 34: Cho hình chóp là hình thoi cạnh và

. ABCD

2

a

a

6

Tính khoảng cách h từ S đến mặt phẳng 

a .

h



h



h

15 6

3

 a 2

A. . B. . D. . C. h

Hướng dẫn giải

Chọn A.

S

B

C

a 3

2

a

G

O

B

60o

O

G

C

a 60o

a

A

D

A

a

D

ABD

(1)

SA SB SD

 



S nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp

ABD là tam giác đều nên gọi G là trọng tâm thì G tam giác này (2).

d S ABCD

( , (

))



SG .

cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp của

a

3

ABD là tam giác đều cạnh

a



AG



3

2

2

a

3

a

3

a

2

2

SG  

SA



AG







SAG vuông tại G

2

3

15 6

  

  

  

  

a

d S ABCD

( ;(

))



.

Từ (1) và (2) ta có SG là trục của đường tròn ngoại tiếp ABD . Do đó,

15 6

SA SB SC a 





6

,A

Vậy

.S ABC , có đáy ABC là tam giác vuông tại

BC

2 .

a Tính khoảng cách h từ S đến mặt phẳng (

ABC ).

a

h

a

5

Câu 35: Cho hình chóp và

2h

a .

h

a

2

h



30 6

A. . B. . C. . D.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

32 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Khoảng cách

S

a 6

a 6

I

2a

C

B

A

ABC vuông tại A nên gọi I là trung điểm của BC thì I cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp của nó (1)  

SA SB SC



ABC

(2)

S nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp

d S ABC

( , (

))



SI .

2

2

2

SI  

SB



IB



a

6



a



a 5.

SIB vuông cân tại I



2

Từ (1) và (2) ta có SI là trục của đường tròn ngoại tiếp ABC . Do đó,

d(S;(ABC))

a

.



5

a

6

Vậy

.S ABC có đáy là tam giác đều cạnh a .

SA 

2

Câu 36: Cho hình chóp và vuông góc với mặt đáy.

SBC .

)

a

2

a

6

a

2

a

3

Tính khoảng cách h từ A đến mặt phẳng (

h 

h 

h 

h 

4

3

2

4

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

S

Chọn C

  BC

(

SAM

)

Gọi M là trung điểm của BC



AH



(

SBC

)



d A SBC ;(

)



AH





H

Gọi H là hình chiếu của A lên SM





2

2

2

C

1 AH

1 AM

1 AS

A

a

3

M

Ta có

AM 

2

B

a

2











AH



2

2

2

2

1 AH

4 a 3

4 a 6

12 2 a 6

2 2 a

Vì ABC đều cạnh a nên

33 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Đề thi thử nghiệm_2018

a

2

h 

2

hay

.S ABC có

SA

a 3

AB

a 2

SA



(

ABC

)

 o BAC  120

Câu 37: Cho hình chóp và và . Tam giác ABC cân tại A có

SBC .

)

a

10

10

. Tính khoảng h cách từ A đến mặt phẳng (

h 

h 

h 

h 

30

a 3 10

a 4 3

a 3 4

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

S

Chọn D

  BC

(

SAM

)

Gọi M là trung điểm của BC



AH



(

SBC

)



d A SBC ; (

)



AH





H

Gọi H là hình chiếu của A lên SM





2

2

2

C

1 AH

1 AM

1 AS

A

M

Ta có

BAC 

AM



 AB a

1 2

B









AH



2

2

1 AH

1 2 a

1 a 9

10 2 a 9

a 3 10

10

nên Vì ABC cân tại A ,  o 120

d A SBC ;(

)

h 





a 3 10

a

3

Hay

.S ABC có cạnh đáy bằng a , O là tâm của đáy,

SO 

3

Câu 38: Cho hình chóp đều . Tính khoảng

SBC .

)

a

15

a

5

a

3

cách h từ O đến mặt phẳng (

h 

h 

h 

h 

15

a 5 15

5

5

A. . B. . C. . D.

Hướng dẫn giải

Chọn A

34 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

S

.S ABC đều có O là tâm của đáy nên

Chuyên đề_Khoảng cách Vì hình chóp SO (

ABC



)

  BC

(

SAM

)



OH



(

SBC

)

Gọi M là trung điểm của BC



d O SBC ; (

)



OH





C

A

1

H

Gọi H là hình chiếu của O lên SM



2

2

1 OH

1  2 OM OS

O

M

a

3

a

3

Ta có

AM





OM



B

2

6









2

2

1 OH

9 a 3

36 2 a 3

15 2 a

a

15

 

h OH



15

Vì ABC đều cạnh a nên

.S ABCD có đáy ABCD

AB AD a 2 ,

,

thang vuông

)

)

tại A và D ,  060 . Gọi I là trung SBC bằng ABCD . Tính khoảng cách h từ là hình góc giữa đáy và mặt phẳng  SCI cùng vuông góc với ( ),(

SBI SBC . )

a

15

a

15

5

Câu 39: Cho hình chóp   CD a điểm của AD . Biết ( I đến mặt phẳng (

h 

.

h 

.

h 

.

h 

.

15

15 5

a 3 10

a 3 5

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn C.

S

H

B

A

I

K

D

C

SI



(

ABCD

)

IK BC K BC (





)



BC

SIK

)

(

Ta có . Kẻ

   0 SBC ABCD 60 ), (

SKI



))

((





BC a

5,

. Kẻ

IH SK H SK (





)



d I SBC

( , (

))



IH

2

5

.IS

0

IK







SI



IK

sin 60



IH





. Ta có

IBCS  BC

a 3 5

a 3 15 5

IK SK

a 3 15 10

BCD .

)

. Suy ra

Câu 40: Cho tứ diện ABCD đều cạnh a , tính khoảng cách h từ A đến mặt phẳng (

35 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Đề thi thử nghiệm_2018

a

3

a

6

a

33

a

3

h 

.

h 

.

h 

.

h 

.

3

3

12

2

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

a

a

6

V





.h

  h

Chọn B.

ABCD

S

BCD

3 2 12

1 3

3

Ta có

 SA SB SC a

 Tính khoảng cách



.

.S ABC có   060 ,

 ASB CSB

  090 , ASC 

h từ S đến mặt phẳng (ABC) .

2

2

a

3

a

6

a

2

Câu 41: Cho hình chóp

h 

.

h 

.

h 

.

h 

.

a 3

3

3

2

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

S

A

B

C

2

 





.

AC a

2

S

ABC

a 2

3

a

2

a

2

V



  h



. h

, Ta có AB a BC . Suy ra tam giác ABC vuông tại B

S ABC

.

S

ABC

1 3

12

2

Mà

.S ABC có SA SB SC a





 và    0 CSA 60 ,

0 90 ,

BSC

ASB







0 120 .

Câu 42: Cho hình chóp Tính

. ABC

a

3

a

2

a

3

khoảng cách h từ S đến mặt phẳng 

h 

.

h 

.

h 

.

h 

.

a 2

2

2

4

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

.B

AB SA SB a BC SB









,

2



a

2,

 AC a

3.

Ta có Suy ra ABC vuông tại



 ,AC do SA SB SC a

 nên hình chiếu vuông góc của S lên 

 ABC là O .

2

Gọi O là trung

SO h

 

2 SA





.

AC 2

a 2

  

  

Suy ra

36 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Khoảng cách

S

B

C

O

A

/

/

/

/

AB



1,

AD



2,

AA



3.

.

/

A đến mặt phẳng 

/ ABCD A B C D có  A BD .

Câu 43: Cho hình hộp chữ nhật Tính khoảng cách h từ

h 

.

h 

.

h 

.

h 

.

6 7

7 6

36 49

49 36

A. B. C. D.

/

Hướng dẫn giải Chọn A.







  h

.

ABDA là tứ diện vuông nên

/ 2

2

2

1 2 h

1 AA

1 AB

1 AD

6 7

Ta có

B

C

A

D

B'

C'

A'

D'

/

/

/

/

/

.

AC

ABCD A B C D có tất cả các cạnh bằng nhau và

Câu 44: Cho hình hộp

 A BD .

a

3

h 

.

đỉnh A bằng nhau và bằng Biết các góc tại a 3 . 060 . Tính khoảng cách h từ A đến mặt phẳng  /

h

a .

h

a

3.

h 

.

3

a 2 3

A. B. C. D.

/

Hướng dẫn giải C.

/AA BD đều. Gọi G là trọng tâm tam giác

060 và tất cả các cạnh của hình hộp bằng nhau nên ta A BD O là tâm của hình hộp. Suy

,

/

Chọn Do các góc tại đỉnh A bằng nhau và bằng suy ra tứ diện

AG

AO



AC



a .



1 3

h

2 3 a .

ra

Vậy,

37 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Đề thi thử nghiệm_2018

B'

C'

A'

D'

O

G

B

C

M

A

D

.S ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O ,

SO



ABCD





AC



2,

BD



2 3,

SO

1

 . Tính khoảng cách h từ O đến mặt phẳng 

 SBC .

Câu 45: Cho hình chóp . Biết

h 

h 

h 

h 

21 7

3 2

3 7

7 3

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

S

K

A

D

O

B

C

H

OK

Chọn A



  d O SBC ;



Kẻ OH BC và OK SH . Từ đó dễ dàng suy ra được .











     

OK

2

2

2

2

2

2

1 OK

1 SO

1 OH

1 SO

1 OB

1 OC

1 1 1 1 3 1

7 3

21 7

.

;





 d O SBC 



21 7

Vậy .

.S ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D , đáy nhỏ của hình là CD ,

SC a

15

Câu 46: Cho hình chóp

. Tam giác SAD là tam giác đều cạnh 2a và nằm trong mặt phẳng vuông

 SHC bằng

2 6a . Tính thể tích V của khối chóp

.S ABCD .

3

3

3

3

V



8 6

a

V



12 6

a

V



4 6

a

V



24 6

a

cạnh bên góc với đáy. Gọi H là trung điểm cạnh AD , khoảng cách từ B đến mặt phẳng 

A. . B. . C. . D.

38 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Khoảng cách

Hướng dẫn giải

S

A

B

H

C

D

Chọn C

SH



ABCD

SH a

3

  HC

2

a

3





3

Theo đề ta có: ; .



;

.

SH HC . .



2

a

a 6.

3.2

a

3



2

a

6



V







SHC

.

S HBC

 d B SHC S .



  d B SHC ; .



1 3

1 2

1 6

1 3 Mặt khác:

.





AH AB DC

AH AB .

DH DC .





AD AB DC



.



S

S



S











ABCD

HAB

HCD

1 2

1 2

1 1 . 2 2

1 2

3

V 2



V





S

a

6

4

S



.

S ABCD

S HBC

ABCD

.

.

HBC

3

4

1 2 1 2 .S ABCD có đáy là hình chữ nhật với

. Suy ra:

AB  ,

5 SC  . Tam giác SAC SAC tạo với nhau

Câu 47: Cho hình chóp

BC  , SAB và  



nhọn nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Các mặt phẳng 

ABCD .

cos





3 29

góc  thỏa mãn . Tính khoảng cách h từ đỉnh S đến mặt phẳng 

5h  .

h  . 4

h 

h 

3 29 4

51 13

B. . C. D. . A.

Hướng dẫn giải

S

K

I

D

H

A

O

B

C

Chọn D

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Đề thi thử nghiệm_2018

SAC



ABCD

SAC



ABCD



AC













Ta có  và 

ABCD , kẻ BH AC

BH



SAC







2

2

AC



AB



BC

 5

 

SC AC

 5

thì Trong mặt phẳng 

SAC 

Tam giác ABC vuông tại B có

cân tại C ; gọi K là trung điểm SA thì CK SA

SA

  SA

BHI

 

SA BI

SAC , kẻ HI CK







thì HI và BH SA Trong mặt phẳng 

   HIB

Khi đó  SAC SAB , ( ) (

BH



 BH AC AB AC

.

Mặt khác

. 2

AH AC AB



.

  

AH



12 5 9 5

     

Tam giác ABC vuông tại B có

cos



cos

 cot



 3  HIB 29

3 8 13

HI BH 

.cot





9 10 13

  CK







HI CK

. IH AC AH

IH CK

AH AC

5 2 13

2

2

có và Tam giác HBI vuông tại H

KA



AC



KC



5 51 2 13

, (



.



d S ABCD

, (

)





 d S ABCD AC KC SA ) .







KC SA . AC

51 13

BC

AB

8,



6

Tam giác KAC vuông tại K có

.S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B ,

 . Biết

SA  và 6 vuông góc với mặt phẳng đáy. Tồn tại điểm M thuộc phần không gian bên trong của hình chóp và cách đều tất cả các mặt của hình chóp một khoảng bằng h . Tính h .

h 

h 

h 

h 

Câu 48: Cho hình chóp

4 9

2 3

4 3

2 9

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải





24



S



S

S



S



30



S



S

ABC

S 1

2

3

SAC

SAB

4

SBC

V













(



S



S



C. S Chọn Ta có: và

S h . 1

S h 2

S h 3

S h 4

S SA . 1

S 1

2

3

S h ) 4

1 3

1 3

1 3

1 3

1 3

1 3

h 



6.24  24 24 30 30





4 3

Ta có

40 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Khoảng cách Câu 49: Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng 1. Các điểm

,M M lần lượt trên các cạnh

1

2

BM



2017



2018

DM

1

CM CM , 1

2

2

(

),(

)

1d là tổng khoảng cách từ ),(

)

ABD ACD và

,BC CD sao cho 1M đến các mặt ABC ABD . Mệnh đề nào

2d là tổng khoảng cách từ điểm

2M đến các mặt (

. Gọi

d

d

d

d



dưới đây đúng?

 . 1

d 1

2

d 1

2

d 1

2

d 1

2

2 3

A. C. . C. D. . .

Hướng dẫn giải

Chọn C.

V





h

  h

2 12

3 1 . 3 4

2 3



d M ABD ;(

[

)]



d M ACD ;(

[

)]



h



h

d 1

1

1

 h

d



[

)]



[

)]



h



 h h

2

d M ABC ;( 2

d M ABD ;( 2

2017 2018 2018 2019

1 2018 1 2019

Ta có

.S ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a . Tồn tại điểm M nằm bên trong

Câu 50: Cho hình chóp đều

( 6

2)

a

( 6

2)

a

h



h



hình chóp và cách đều tất cả các mặt của hình chóp một khoảng bằng h . Tính h

 12

 4

( 6

2)

a

( 6

2)

a

h



h



A. . B. .

 2

 6

C. . D.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

2

2

2

3

SO



SA



AO



a

  V

a a .



a

2 2

1 2 . 3 2

2 6

2

2

2



a



4.

a

  (1

3)

a

tpS

3 4

a

2

( 6

2)

a

h







3 V S

 4

2(1



3)

tp

Làm tương tự câu 48.

41 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Khoảng cách

NHÓM GIẢI VẬN DỤNG CAO CHUYÊN ĐỀ KHOẢNG CÁCH - NĂM HỌC 2018-2019

VTED_2019 MÔN: TOÁN 12

Thời gian làm bài 90 phút

.S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , các mặt bên là các tam giác nhọn 060 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên mặt

ABC . Tính khoảng cách giữa AH và SB theo a .

Câu 1: Cho hình chóp



a

2

a

3

d AH SB  ,

và cùng hợp với mặt đáy một góc bằng phẳng 

d AH SB  ,









2

2

a

2

d AH SB  ,

A. . B. .

d AH SB  ,









4

a 3

ABC A B C có đáy ABC

.

'

'

C. . D. .

 ' 3

MA

' . M là điểm thuộc cạnh



a

AB cách giữa hai đường chéo nhau BC và

'C M .

d 

d 

d 

tam giác vuông ở A , MA Tính khoảng là 'AA sao cho Câu 2: Cho hình 2 , lăng  a AC a AA , trụ đứng  ' 4

d 

a 6 7

a 8 7

a 4 3

a 4 7

A. . B. . C. . D. .

.S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB a cạnh bên SA vuông góc

Câu 3: Cho hình chóp

2

. Gọi M là trung điểm của AB . Tính khoảng cách d giữa hai đường

a

3

a

2

a

3

d 

d 

d 

với đáy và SA a thẳng SM và BC .

2

3

3

a d  . 2

A. . B. . C. . D.

.S ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , cạnh a . Cạnh bên SA vuông góc

Câu 4: Cho hình chóp

SBD 

a

3

a

6

a

2

a

5

. Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng AB và SO . với đáy, góc  060

d 

d 

d 

d 

3

4

2

5

A. . B. . C. . D. .

.S ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với 

 ABCD

Câu 5: Cho hình chóp

a

3

a

2

a

6

và SA BC . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC .

2

6

2

a 2

SA

. A. . B. . C. D. a .

Câu 6: Cho hình chóp .S ABCD ,có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tâm O . Cạnh bên

)

và ABCD . Gọi H và K lần lượt là trung điểm của cạnh BC và CD . Tính

a

3

vuông góc với mặt đáy ( khoảng cách giữa hai đường thẳng HK và SD .

3

a 3

a 2 3

A. . B. . . D. C. 2a .

.S ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O có cạnh AB a , đường cao SO

Câu 7: Cho hình chóp

5

2

a

5

a

5

5

2

vuông góc với mặt phẳng đáy và SO a . Khoảng cách giữa SC và AB là

a 7

7

5

a 5

A. B. C. D.

1 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19 Câu 8: Cho hình lăng trụ '

.

'

'

)

lên mặt phẳng (

Tài liệu Vted_2018 ABC A B C có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của 'A ABC trùng với trọng tâm tam giác ABC . Biết thể tích của khối lăng trụ bằng

a

'A A và BC là

3 3 12

a

3

. Khoảng cách giữa hai đường thẳng

a 4 3

a 3 2

4

a 2 3

A. B. C. D.

.S ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O , cạnh bằng 4a . Cạnh bên

SA

a 2

ABCD là trung điểm H của đoạn



Câu 9: Cho hình chóp

22

4

d 

. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng  AO . Tính khoảng cách d giữa các đường thẳng SD và AB là

d

a 2

d

a 4

d 

a 11

a 3 2 11

A. B. C. D.

AB a

,

Câu 10: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có gọi là góc giữa mặt bên và mặt đáy của hình



d

a  cos

a  sin



d

d

d



a

cos 2



C. B. . . D. . chóp S.ABCD. Tính khoảng cách d giữa SA và CD theo a và  a  sin 2 . A. 

B AB ,

a 4 .





Câu 11: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại

Cạnh bên SA a BC 3 , 060 . Gọi M là trung điểm AC, tính khoảng

3a

3a

vuông góc với đáy. Góc tạo bởi SC và đáy bằng cách giữa hai đường thẳng AB và SM.

a 5 2

a 10 3 79

A. . B. . C. . D. 5 .

A BC ,



2 ,

a AB a .



Câu 12: Cho hình lăng trụ đứng ABC. A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại

a

3

3

a

3

a 3 2

a 2

2

3



a SA

Khoảng cách giữa hai đường thẳng AA’ và BC’ theo a là: 3 2 A. . B. . C. . . D.

B BC ,

2 ,

.S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại

a 2

3.

Câu 13: Cho hình chóp vuông góc với mặt

.AC Khoảng cách giữa hai đường thẳng

SA phẳng đáy và AB và SM bằng

a

a

2

39

2

39

3

2

.

.

.

.

Gọi M là trung điểm của

a 13

13

a 13

13

.

'

'

'

A. B. C. D.

ABC A B C có đáy là một tam giác vuông cân tại



,

a M 2,

Câu 14: Cho lăng trụ đứng tam giác

.BC Tính khoảng cách giữa hai đường

  B AB BC a AA ' , .B C thẳng AM và '

a

a

a

3

2

a

.

.

.

3.

là trung điểm cạnh

2

7

5





,

3.

A. B. C. D.

.S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại

Câu 15: Cho hình chóp

Cạnh bên SA B AB a BC a , 060 . Gọi M là trung điểm

a 51

a

2

3

a

51

3

2

d 

.

d 

.

vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc tạo bởi giữa SC và đáy bằng ,AC tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng AB và SM. của

d 

d 

.

.

17

a 17

17

17

A. B. C. D.

2 | VD_VDC

.S ABCD có đáy là hình vuông tâm

Chuyên đề_Khoảng cách Câu 16: Cho hình chóp góc với đáy và

SO 

3.

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19 ,O cạnh bằng 2. Đường thẳng SO vuông SA

BD .

d 

d 

.

.

d  2.

d 

2.

30 5

A. C. B. D. Tính d là khoảng cách giữa & 15 5

A AB ;

cm 4 .

.S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại

Câu 17: Cho hình chóp Tam giác SAB đều

M SC CM



:



2

MS

.

Khoảng cách giữa hai

&AC BM là :

và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, đường thẳng

cm .

cm .

cm .

cm .

4 21 21

8 21 21

2 21 3

4 21 7

SA



(

ABC

),

 B AB SA a .



,

A. B. C. D.

.S ABC có

.SB Khoảng cách giữa

&AH BC bằng

H là hình chiếu của A lên

a

3

a

2

Câu 18: Cho hình chóp Gọi đáy ABC là tam giác vuông tại

.a

.

.

.

a 2

2

2

A. B. C. D.

.

'

'

'

'

ABCD A B C D có cạnh bằng a . Tính khoảng cách giữa hai đường

Câu 19: 1. Cho hình lập phương

'CB .

'BD và

a

6

6a

thẳng

a 2

6



A. . D. . . C. B. a .

 BCC B

Câu 20: Cho hình lăng trụ đứng

AB AC a



ABC A B C .  . Đường thẳng AC  hợp với mặt phẳng 

 có thể tích V có đáy là tam giác vuông cân,  o30 . Tính

một góc bằng

a

3

a

3

a

3

khoảng cách giữa BC và AC  .

3

4

2

a 2 3



. A. B. . . C. . D.

 có

ABC A B C .

 AB a AA



;



2

a

Câu 21: Cho hình lăng trụ tam giác đều . Tính khoảng cách giữa hai

5

a

17

17

2

đường thẳng AB và A C

17

a 17

a 5 17

a 2 17

A. . B. . C. . D. .

ABCD A

.

'B'C'D'

'A B và

'DB là:

a

6

a

6

a

6

Câu 22: Cho hình lập phương có cạnh bằng a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng

6a

6

2

3

a

2

A. . . B. . C. D.

.S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh

AC 

2

060 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và

Câu 23: Cho hình chóp . Cạnh bên SA vuông

a

3

a

2

a

3

góc với đáy, SB hợp với đáy một góc .SC

d 

d 

d 

4

2

2

a d  . 2

3a

A. . B. . C. D.

.S ABCD có đáy hình thoi cạnh bằng 2

SAM cùng vuông góc mặt đáy. Biết thể tích khối chóp

Câu 24: Cho hình chóp .Gọi M là trung , góc  60o ABC 

SBD và  



điểm CD , hai mặt phẳng 

32 a

3

là . Tính khoảng cách d giữa AC và SB .

3 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

16

a

d 

d 

d 

d 

15 3

a 15

a 17

a 3 17





A. . B. . C. . D.

AC a,BC a

5

SAB vuông góc với mặt phẳng đáy và tam giác SAB đều. Gọi K là điểm thuộc cạnh SC sao





. Mặt phẳng Câu 25: Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A ,

SC

SK 3

21

2

a

21

2

a

21

2

2

d 

d 

d 

d 

cho . Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng AC và BK theo a .

a 17

17

7

a 17



 . Các cạnh bên của

A. . B. . C. . D. .

AB

2

a,BC a

2a

Câu 26: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật,

hình chóp bằng nhau và bằng . Gọi M ; N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB;CD ,

KD

KA 2

K là điểm thuộc cạnh AD sao cho và SK theo a .

a

a

3

a

2

d 

d 

d 

d 

. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN

21 7

7

3

a 3 2





A. . B. . C. . D. .

 có đáy ABC là tam giác vuông BA BC a

 , cạnh bên

a 

2

Câu 27: Cho hình lăng trụ đứng ABC. A B C

. Gọi M là trung điểm cạnh BC . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và

AA B C

a

7

a

2

d AM ; B C



d AM ; B C



.









7

2

a

3

a

5

d AM ;B C



d AM ; B C



A. . B. .









3

5

C. . D. .

.S ABC có các cạnh

SA SB SC đôi một vuông góc nhau và

,

,

 SA a SB

,



2

a

SC

a 3

Câu 28: Cho tứ diện ,

2

a

2

, I là trung điểm của BC . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AI theo a .

2a

a 3 2

2

 AB a AC

,



 a BAC

2 ,



 120 ,

SA



ABC

. A. B. . D. . C. a .

.S ABC có





ABC bằng 60 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB bằng:



SBC và mặt phẳng 





19

2

a

19

Câu 29: Cho hình chóp , góc giữa mặt bên

d AC SB  ,

d AC SB  ,









a 19

19

a

19

B. . A. .

d AC SB  ,

d AC SB  ,









19 9

a 3 19

D. . C. .

 ,



.

'

'

'

ABC A B C ,đáy ABC là tam giác vuông cân tại B có AB BC a

Câu 30: Cho hình lăng trụ đứng

a 2 'B C .

. Gọi M là trung điểm của cạnh BC . Tính khoảng cách giữa hai đường

a

7

a

5

7a

cạnh bên AA  ' thẳng AM và

7

a 7 14

5

A. . . B. C. . . D.

ABCD và SO a . Khoảng cách giữa SC và AB bằng:

Câu 31: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, SO vuông góc với mặt



a

5

3

2

5

2

phẳng 

a 3 15

5

a 15

a 5

A. . B. . C. . D. .

4 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Khoảng cách

BD 

2 5

Câu 32: Cho tứ diện ABCD có AB = 2, AC = 3, AD = BC = 4, ,CD 5 . Khoảng cách giữa

D. 3 . hai đường thẳng AC và BD gần nhất với giá trị nào sau đây? A. 4 . C. 2 . B. 1.

Câu 33: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAD đều và nằm

a

21

a

2

a

d 

d 

d 

trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng SA và BD.

a .

14

2

21 7

A. . B. . C. . D. d

.S ABCD có cạnh đáy bằng a . Gọi

,M N lần lượt là trung điểm của ABCD bằng 60 . Khoảng cách giữa hai



SA và BC . Biết góc giữa MN và mặt phẳng  đường thẳng BC và DM là.

Câu 34: Cho hình chóp tứ giác đều

a

a

a

a

15 62

30 31

15 68

15 17

'

.

A. . B. . C. . D.

ABC A B C có ' '

;

 ' 2 a 'AC và BC .

'AC và a

57

2

a

Câu 35: Cho hình lăng trụ tam giác đều . Gọi S là giao điểm của

d 

d 

d 

d 

 AB a AA 'A C . Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng a 57 19

19

57 9

a 57

A. C. B. . D. . .

ABC A B C có mặt đáy là tam giác đều cạnh

.

'

'

AB

a 2

Câu 36: Cho hình lăng trụ . Hình chiếu vuông

ABC trùng với trung điểm H của cạnh AB . Biết góc giữa cạnh

' 'A lên mặt phẳng 



'AA theo

góc của

2

a

21

a

2

a

15

a

39

bên và mặt đấy bằng 60 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau BC và a .

7

15 5

5

13

. A. B. C. D. . .

.S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA vuông góc với đáy. Góc giữa

SB và mặt đáy bằng 60o . Tính khoảng cách giữa AC và SB theo a .

a

2

a

a

7

Câu 37: Cho hình chóp

2

15 5

7

. B. C. . . D. A. 2a .

ABCD A B C D có đáy ABCD là hình vuông cạnh

.

'

'

'

'

AA

a ' 2

2a

Câu 38: Cho hình hộp chữ nhật , .

'CD .

5

2

a

5

Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng BD và

d

a 2

d

a

2

d 

d 

a 5

5

A. . B. . C. . D. .

.

'

'

'

ABC A B C có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , hình chiếu vuông góc

Câu 39: Cho hình lăng trụ

ABC trùng với tâm G của tam giác ABC và

A G  '

'A lên mặt phẳng 



a 3

của . Khoảng cách

'AA và BC là

a

3

a

3

a

3

a

2

giữa

4

2

3

4



ABC A B C .

. A. . B. . C. . D.

 có đáy ABC là tam giác đều cạnh có độ dài bằng 2a . Hình ABC trùng với trung điểm H của BC . Tính khoảng



Câu 40: Cho hình lăng trụ

. chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng  cách d giữa hai đường thẳng BB và A H

5 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

a

3

a

3

d

a 2

a .

d 

d 

2

3

A. . B. d C. . D. .

ABCD , I là trung điểm của





.S ABCD có SI vuông góc với mặt phẳng đáy   ,

 . Gọi

,M N K lần lượt là trung điểm

,

,

,AB ABCD là hình vuông cạnh a , SA SB AB a BC SD SB . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AK và MN là.

a

2

a

2

Câu 41: Cho hình chóp

a h  . 4

a 2

4

2

. A. . B. C. D. .

.S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và

AB



2 ,

a BC a

 .Các cạnh bên

Câu 42: Cho hình chóp

2a

,E F lần lượt là trung điểm của AB và CD . K là

của hình chóp bằng nhau và bằng . Gọi

a

3

a

6

a

a

điểm bất kì trên BC . Khoảng cách giữa hai đường thẳng EF và SK là.

3

3

15 5

21 7

.S ABCD có đáy ABCD là hình vuông bằng 10 . Cạnh bên SA vuông góc với

. A. . B. C. . D. .

SC 

10 5

,M N lần lượt là trung điểm của SA và CD . Tính khoảng

. Gọi

Câu 43: Cho hình chóp mp  ABCD và cách d giữa BD và MN .

d 

3 5

d 

5

5d  .

d 

10

A. . B. . C. D. .

Câu 44: Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’ có tất cả các cạnh đều bằng 1 và các góc phẳng đỉnh A đều

'AB và

'A C '

bằng

3 11

060 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng 22 11

2 11

2 11

a

A. B. C. . . . D. .

.S ABCD có đáy hình vuông cạnh a ,

SD 

17 2

ABCD là trung điểm của đoạn $AB$. Gọi K là trung điểm của $AD$. Tính



Câu 45: Cho hình chóp . Hình chiếu vuông góc H

a

3

a

3

a

của S lên mp khoảng cách giữa hai đường $SD$ và $HK$ theo a .

7

5

21 5

a 3 5

.

'

'

'

. A. B. . C. . D. .

ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại A ,

AB a AC a ;



3

'

'

 BB C C là hình vuông. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng

Câu 46: Cho lăng trụ đứng .

AA BC ', '

a

3

a

2

Mặt bên

d

(AA ,

BC

  )

d

(AA ,

BC

  )

2

d

(AA ,

BC

  )

A. . B. .

d

(AA ,

BC

  )

a 2

2 a 3

C. D. . .

.S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a ,cạnh bên SA vuông góc với 045 . Gọi E là trung điểm của cạnh BC . Tính khoảng cách

Câu 47: Cho hình chóp

a

38

a

5

a

đáy. Góc giữa SC và mặt đáy bằng giữa hai đường thẳng DE và SC

a 5 19

19

5

38 5

A. . B. . C. . D. .

.S ABCD có đáy ABCD là hình vuông với đường chéo

AC

Câu 48: Cho hình chóp , SA vuông

a 2 ABCD . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD là

)

góc với đáy mặt phẳng (

6 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Khoảng cách

3a

2a

a 2

a 3

AB a AD



,



 0  60

a DAB

2 ,

A. . B. . C. . D. .

SAB là )

S ASB 

2

)

Câu 49: Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình bình hành, . Mặt bên (

SAB vuông góc với mặt đáy. Gọi M là trung

a  .sin





d

d

a  .sin





d

d

a  .cos

, mặt phẳng (

1 2

a  .cos D. A. C. B. . . . tam giác vuông cân tại , điểm của CD . Tính theo a và  khoảng cách giữa 2 đường thẳng AM và SD . 1 2

.S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Gọi

Câu 50: Cho hình chóp

,AB BC . Hai đường thẳng

,AN DM cắt nhau tại

SH a

3

của các cạnh

,M N lần lượt là trung điểm ,H SH vuông góc với mặt đáy và 2L là khoảng cách

. Gọi

1L là khoảng cách giữa hai đường thẳng AN và SD ; gọi L 1 L 2

giữa hai đường thẳng CM và SD . Hỏi tỉ số gần với kết quả nào sau đây nhất

B. 0,85 C. 0,95 D. 0,65

A. 0,75

----------HẾT----------

7 | VD_VDC

Tài liệu Vted_2018

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19 NHÓM GIẢI VẬN DỤNG CAO

CHUYÊN ĐỀ KHOẢNG CÁCH - NĂM HỌC 2017-2018

VTED_2019 MÔN: TOÁN 12

Thời gian làm bài 90 phút

Đề đã thay đổi thứ tự câu (sắp xếp theo độ khó tăng dần) so với đề gốc

BẢNG ĐÁP ÁN THAM KHẢO

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

HƯỚNG DẪN GIẢI

.S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , các mặt bên là các tam giác nhọn 060 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên mặt

ABC . Tính khoảng cách giữa AH và SB theo a .

Câu 1: Cho hình chóp



a

2

a

3

d AH SB  ,

và cùng hợp với mặt đáy một góc bằng phẳng 

d AH SB  ,









2

2

a

2

d AH SB  ,

A. . B. .

d AH SB  ,









4

a 3

C. . D. .

Lời giải Chọn C

,

AB BC CA

,

,

,M N P lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ H đến

a

3

 nên

Gọi







HA HB HC





'

'

'



SH

.cot 60



6

. Ta có    60 SHM SHN SHP

SH  .

Do đó

a 2 NQ SB , Q SC

/ /

ANQ chứa AH và song song với SB Gọi I là hình

)

AN

QI

IJ



Kẻ suy ra mặt phẳng (

ABC , kẻ IJ )

SH a  4 2

a

2

chiếu của Q trên (

d AH SB

(

,

)



d B ANQ , (

(

))



BN

.sin

  QJI BN

.sin

45



4

.

'

'

ABC A B C có đáy ABC

.

 ' 3

MA



a

' . M là điểm thuộc cạnh

AB cách giữa hai đường chéo nhau BC và

'C M .

d 

d 

d 

d 

tam giác vuông ở A , MA Tính khoảng Câu 2: Cho hình 2 , lăng  a AC a AA , trụ đứng  ' 4 là 'AA sao cho

a 6 7

a 8 7

a 4 3

a 4 7

A. . B. . C. . D. .

'

/ /

'

'/ /

'

B C BC nên



Lời giải Chọn B

;

'



 d BC C M d BC C MB

;

'

'

d B C MB ;

'

'

Ta có

 BC MB C . 











Suy ra .

8 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Khoảng cách

V



V



V



BB SA B C

'.

'.

'

'

B HB C

.

'

'

M B BC '

.

'

A B BC '

'.

'

MB

'

a

13

MB a

5

C B '

'

a

5

Lại có

S





 p b

 p c

Mà , , .

 p p a





 d BC C M d BC C MB

;

;

'

'



d B C MB ;

'

'



'



Sử dụng công thức Hêrông, ta tìm được .













 a 8 7

3 V S

Suy ra .

2

.S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB a cạnh bên SA vuông góc . Gọi M là trung điểm của AB . Tính khoảng cách d giữa hai đường

Câu 3: Cho hình chóp

a

3

a

2

a

3

d 

d 

d 

với đáy và SA a thẳng SM và BC .

a d  . 2

2

3

3

A. . B. . C. . D.

Lời giải

AH a

2





Chọn B Gọi N là trung điểm AC , H là hình chiếu vuông góc của A lên SB .

2

2

2

1 AH

1 AS

1 AB

/ /MN

Ta có nên .

/ /MN BC nên



 SBC hay

a

2

d SM BC

,









AH



Khi đó ta có











  d MN SBC ,



  d M SBC ,



  d A SBC ,



1 2

1 2

2

.

.S ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , cạnh a . Cạnh bên SA vuông góc

SBD 

Câu 4: Cho hình chóp

. Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng AB và SO .

a

a

6

a

2

a

5

d 

d 

d 

d 

3

4

2

5

với đáy, góc  060 3 A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

  

 060 SBD

SB a

2

  SA a

a .

a

5









,

,

Chọn D.







  d AB SO d A SOM AN



5

a 2 5

a

2

Gọi M là trung điểm AD suy ra

.S ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với 

 ABCD

Câu 5: Cho hình chóp

và SA BC . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC .

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

a

3

a

2

a

6

2

6

2

. A. . B. . C. D. a .

Hướng dẫn giải

 



Chọn C.

OH SC

,

  BD SAC



 d BD SC OH



a

2

a .

a

6













Ta có , kẻ

 OHC OH

SAC

6

. OC SA SC

3

Có

2 a Câu 6: Cho hình chóp .S ABCD ,có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tâm O . Cạnh bên

a 2

SA

)

và ABCD . Gọi H và K lần lượt là trung điểm của cạnh BC và CD . Tính

a

3

vuông góc với mặt đáy ( khoảng cách giữa hai đường thẳng HK và SD .

3

a 3

a 2 3

A. . B. . C. 2a . . D.

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Khoảng cách

a a 2 .

2

a

3











,

,

 HK SBD //



   d HK SD d H SBD





 d A SBD ,







1 2

AI 2

3

2

a

6

Ta có

.S ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O có cạnh AB a , đường cao SO

5

2

a

5

a

5

5

2

Câu 7: Cho hình chóp vuông góc với mặt phẳng đáy và SO a . Khoảng cách giữa SC và AB là

a 7

7

5

a 5

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn D.

S

H

D

A

O

I

B

C



//AB

SCD

d AB SC

,



//AB CD











  d A SCD ,





AC



OC 2



Ta có . Do đó





  d A SCD ,



  d O SCD 2 ,



Hơn nữa . (1)

 

CD OH

OH



SCD

Gọi I là trung điểm CD, H là hình chiếu vuông góc của O lên SI





CD SO     CD OI 

OH

Ta có ; mà SI OH nên .



  d O SCD ,



a

5

Do đó . (2)







OH



2

2

2

5

1 OH

1 OI

1 SO

5 2 a

5

2

.



2







  d A SCD ,



  d O SCD ,



a 5

Vậy .

.

'

'

'

ABC A B C có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của 'A ABC trùng với trọng tâm tam giác ABC . Biết thể tích của khối lăng trụ bằng

)

a

Câu 8: Cho hình lăng trụ lên mặt phẳng (

'A A và BC là

a

3

. Khoảng cách giữa hai đường thẳng

a 4 3

a 3 2

4

3 3 12 a 2 3

B. C. D. A.

Lời giải

Chọn D

11 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

A'

C'

B'

H

A

C

G

I

B

'A G



ABC





. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Theo đề ta có

 BC A G

'

  BC

AA I '

Gọi I là trung điểm của BC .





 BC AI

  

BC



Ta có: .

 

BC IH

 IH A A

'



' AA I

BC và

'AA .

2

Kẻ . Hơn nữa . Do đó IH là đoạn vuông góc chung của

a

.

ABCS

3 4

3

2

a

3

a

3

V



S

.

A G '

Diện tích tam giác đều: .





.

A G '

 '

A G 

ABC A B C . '

'.

'

ABC

a 3

12

4

Gọi M là hình chiếu của G lên AA .

GM

// HI





  HI

GM

Ta có:

GM AG  AI HI

2 3

3 2

Xét tam giác AA G

vuông tại G , ta có:

1

1

1

a

3















GM



2

2

2

2

2

2

2

2

1 GM

1   GA GA

1 GH

1  GA

1 GA

6

a

3

a 3

  

  

3

  

  

a

3

a

3



 , d AA BC



HI



GM



.



Vậy





3 2

3 2

4

6

a 2

.S ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O , cạnh bằng 4a . Cạnh bên ABCD là trung điểm H của đoạn



.

22

4

d 

Câu 9: Cho hình chóp . Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng  SA AO . Tính khoảng cách d giữa các đường thẳng SD và AB là

d

a 2

d

a 4

d 

a 11

a 2 3 11

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn A.

12 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Khoảng cách

S

K

A

D

H

I

O

B

C



//AB

SCD

,

,

//AB CD





  d AB SD d A SCD











Ta có . Do đó



AC



HC







  d A SCD ,



  d H SCD ,



4 3

4 3

Hơn nữa . (1)

 

CD HK

HK



SCD

Gọi I là hình chiếu của H lên CD, K là hình chiếu vuông góc của H lên SI





 CD SH   CD HI  

HK

Ta có nên . ; mà SI HK



  d H SCD ,



2

2

2

SH



SA



AH



2

a



a

2



a

2

Do đó . (2)

HI



AD



a 3







2

3 4

;

22







HK



2

2

2

2

2

2

2

a 3 11

1 HK

1 HI

1 SH









22

22

4

1 1    . 1 HK 11 a 18 a 3 a 2











  d A SCD ,



  d H SCD ,



4 3

a 4 3 . 11 3

a 11

AB a

,

Vậy . Chọn A.

a  sin





d

d

d

d



a  cos 2

Câu 10: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có gọi là góc giữa mặt bên và mặt đáy của hình

a  cos .

chóp S.ABCD. Tính khoảng cách d giữa SA và CD theo a và  a  sin 2  . A. C. B. . D. .

Hướng dẫn giải

Chọn B.

13 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

Gọi H là chân đường vuông góc của S lên đáy, do hình chóp đều nên H là giao điểm AC và

MH AB

BD. Gọi M là trung điểm AB, suy ra

AB MH AB SH ,

  

AB



SMH

 

AB HK





  2

HK



SAB



d H SAB , (

(

))



HK





kẻ HK vuông góc với SM (1). Mà

Từ (1) và (2) suy ra

MH  , góc tạo bởi mặt bên (SAB) và mặt đáy (ABCD) là 

a 2

HK MH 

.sin





sin

Ta có



a 2

 d SA CD d CD SAB

, (

(

)

(

,

))



d C SAB , (

(

 )) 2 (

d H SAB , (

 )) 2

sin



Xét tam giác HMK vuông tại K ta có

B AB ,

a 4 .





Suy ra HK a 

Cạnh bên SA a BC 3 , 060 . Gọi M là trung điểm AC, tính khoảng

10

3a

3a

Câu 11: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại vuông góc với đáy. Góc tạo bởi SC và đáy bằng cách giữa hai đường thẳng AB và SM.

a 5 2

a 3 79

A. . D. 5 . B. . C. .

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Khoảng cách

 d AB SM d AB SMN

SMN

AB

/ /(



, (

)

)

,

d A SMN , (

)



song với AB. Suy ra







Kẻ MN vuông góc với BC. Suy  ra MN  song 

SMN

SH







0

SA AC

 

tan 60

A



3

5

a

Gọi K là hình chiếu của A lên MN, gọi H là hình chiếu của A lên SK. Dễ dàng chứng minh được

2

10

2

Xét tam giác SAC vuông tại Xét tam giác SAK vuông tại A có AK là đường cao ứng với cạnh huyền nên ta













AH





AH



2

2

2

2

2

2

1 AH

1 SA

1 AK

1 a 75

1 a 4

79 a 300

a 300 79

a 3 79

10

có

, (

,

)



AH



  d AB SM d A SMN







a 3 79

A BC ,



2 ,

a AB a .



Suy ra

3

3

a

a

3

a 3 2

a 2

3

2

Câu 12: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại Khoảng cách giữa hai đường thẳng AA’ và BC’ theo a là: 3 2 A. . B. . . D. C. .

Hướng dẫn giải

AH



(

BCC

')

C. Chọn Gọi H là hình chiếu của A lên BC, ta có

AA CC '/ /

'



AA

'/ /(

BCC

')



d AA BC ',

(

')



d AA BCC ', (

(

'))



d A BCC , (

(

'))



AH

2

2

2

2

2

2

BC

AC

AB









a



a 3

Ta có

3

a

3

 AH BC AB AC

.

.



AH





d AA BC ',

(

')







AB AC a a . 2

. BC

a

a . 3 2

2

Xét tam giác ABC vuông tại A có a 4 Xét tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao ta có

.S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại

a 2

3.

 a SA Câu 13: Cho hình chóp vuông góc với mặt B BC , 2 ,

.AC Khoảng cách giữa hai đường thẳng

SA phẳng đáy và AB và SM bằng

a

a

2

39

2

39

3

2

.

.

.

.

Gọi M là trung điểm của

a 13

13

a 13

13

A. B. C. D.

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

S

H

I

C

A

M

N

B





Chọn A

BC

AB

SMN

AB MN / /

/ /(

)





  d

 d AB MN ,



  d AB SMN ,

 

  d A SMN ,

 

  M AI MN

Gọi N là trung điểm của

.



AH

SMN

SMN AH SI chứng minh được ,

+ I đối xứng N qua

 :



.

AI AS .

a a .2

3

39

2









  d

AH

.

  d A SMN ,

 

2

2

2

2

a 13





AI

AS

a

a

12

.

'

'

'

+ Trong 

ABC A B C có đáy là một tam giác vuông cân tại



a M 2,

,

Câu 14: Cho lăng trụ đứng tam giác

.BC Tính khoảng cách giữa hai đường

  B AB BC a AA ' , .B C thẳng AM và '

a

a

a

3

2

a

.

.

.

3.

là trung điểm cạnh

2

7

5

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn A

16 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Khoảng cách

A'

C'

B'

K

A

N

C

M

B

I





 BN AM d AM BC

/ /

,

'

,

'



 '

  d AM C BN ,

 

  d C C BN

 

1 2

+

.BN



  C BN CK C I '

:

'

C K '

+ I là hình chiếu vuông góc của C trên



 C BN '



a

2





  

CI

.

+Trong 

CI BC

2 CBI sin 5

5

a

2

a

2.

a

7

CC C '.

I

7

2

5









.

CK

+  AMB sin

,

'

.

 d AM BC  ,

 '

  d C C BN

 

2

2

2

a 7

7



CC

CI

'

2



a

2

a 4 5



,

3.

+ Vậy

.S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại

Câu 15: Cho hình chóp

 vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc tạo bởi giữa SC và đáy bằng ,AC tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng AB và SM. của

a

2

3

a 51

a

51

3

2

d 

d 

.

.

Cạnh bên SA B AB a BC a , 060 . Gọi M là trung điểm

d 

d 

.

.

17

a 17

17

17

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn D

17 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

S

N

H

A

I

C

A

M

M

C

B

N

I

B





BC

AB

SMN

AB MN / /

/ /(

)





  d

 d AB MN ,



  d AB SMN ,

 

  d A SMN ,

 

  M AI MN

Gọi N là trung điểm của

.



AH

SMN

SMN AH SI chứng minh được ,

+ I đối xứng N qua

 :



.

AI AS .





  d

AH

  d A SMN ,

 

2

2



AI

AS



+ Trong 

,

SC AC ,



  0  SCA 60 .

     SC ABC

a

3

0





  AS

AC

a

AI

.tan 60

2

3,

.

2

a

3

a

.2

3

51

2





d

+ Lại có

.

2

a 17

2



a

12

2 a 3 4

.S ABCD có đáy là hình vuông tâm

,O cạnh bằng 2. Đường thẳng SO vuông SA

SO 

3.

+ Vậy

BD .

d 

d 

.

.

d 

2.

Câu 16: Cho hình chóp góc với đáy và

d  2.

30 5

C. B. D. A. Tính d là khoảng cách giữa & 15 5 Hướng dẫn giải

Chọn B

18 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Khoảng cách

S

H

C

B

O

A

D

Từ giả thiết ta suy ra được hình chóp .S ABCD là hình chóp đều.

.SA

SAC

)



(

SBD

)

 là đoạn vuông góc chung của

OH

.S ABCD là hình chóp đều nên ( Do SA BD & ;

Gọi H là hình chiếu của O trên

OA 

2.

1

1











OH



Ta có

2

2

2

2

30 5

1 OH

1 2 OA

1 SO

3

2









Ta có

d 

.

30 5

Vậy

.S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại

Câu 17: Cho hình chóp

A AB ;  M SC CM 2



:

4 cm . MS .

&AC BM là :

cm .

cm .

Tam giác SAB đều Khoảng cách giữa hai

cm .

cm .

8 21 21

4 21 7

A. B. C. D. và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, đường thẳng 4 21 21

2 21 3 Hướng dẫn giải

Chọn D

S

M

N

E

C

A

K

H

B

)

ABC thì H là trung điểm của

.AB

.BN

/ /

,

là hình chiếu vuông góc của S lên ( Gọi H

MN SC và gọi K là hình chiếu vuông góc của H lên

Qua M kẻ

AC



(

SAB

)

MN SC MN



/ /



(

SAB

).

Ta có mà

19 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

 HK BN

  HK

(

BMN

).

 HK MN

  

2

3

S



S







AE BN .

  AE



.

Ta có, ta có

BNA

SBA

2 3

2 4 . 3

4

8 3 3

1 2

2 S BNA BN

4 21 7

Ta có

AC

/ /(

BMN

)



 d AC BM d AC BMN

, (

)

(

(

,

))



d A BMN

( , (

))



2 (

d H BMN , (

))



2

HK



.

4 21 7

Do

 B AB SA a .



,

(



ABC

.S ABC có H là hình chiếu của A lên

SA ), .SB Khoảng cách giữa a

2

a

3

Câu 18: Cho hình chóp Gọi đáy ABC là tam giác vuông tại

.a

.

.

.

&AH BC bằng a 2

2

2

B. C. D. A.

Hướng dẫn giải

Chọn B

S

H

A

C

B

AH BC & .

BC



(

SAB

)

a

2

Ta có nên HB là đoạn vuông góc chung của

.

 A AB SA a

 

,

AH



2

a

2

2

HB



AB



AH



.

Do SAB là tam giác vuông tại

2

a

2

Từ đó

&AH BC bằng

.

2

.

'

'

'

'

Vậy khoảng cách giữa

ABCD A B C D có cạnh bằng a . Tính khoảng cách giữa hai đường

'CB .

'BD và

a

6

6a

Câu 19: 1. Cho hình lập phương

6

A. . . C. D. . B. a . thẳng a 2

Lời giải

Chọn C.

20 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Khoảng cách

B

C

A

O

D

B'

H

C'

A'

D'

B

'C



BC D '

'

'BC và

'CB .





'BD tại H ta có OH là đường vuông góc chung của

'BD và

Ta có , gọi O là giao điểm của

d BD B C OH '

',

Từ O hạ OH vuông góc với 'CB .





'

Vậy .

BC D ta có: '

'

a

6

Xét tam giác





OH





OH C D '

'

BO BD

'

. BO C D ' BD '

6



.

 BCC B

Câu 20: Cho hình lăng trụ đứng



ABC A B C .  . Đường thẳng AC  hợp với mặt phẳng 

 có thể tích V có đáy là tam giác vuông cân,  o30 . Tính

3

a

a

3

a

3

một góc bằng

3

4

2

AB AC a khoảng cách giữa BC và AC  . a 2 3

A. B. . . . C. . D.

Lời giải

Chọn A.

B'

C'

A'

K

H

C

B

N

A

I

21 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018



BC

   

AH BC





 BCC B

. Gọi H là trung điểm của

AC H 











//

d BC AC ,





.









BCC B AH là góc  o30   d C AC N ,



a

2

CI

  

AN

CI

 AC N



 CC I



 AC N

. Dựng hình bình hành ABCN Khi đó góc giữa AC  với mặt phẳng   BC AC N

CI AH















2



 CK C I

  

CK

 AC I



d BC AC ,



CK

Kẻ và . theo giao tuyến C I









a

6



Kẻ .

 A C



2

 AH a

2



CC



AC a

 .

C H 



0

AH tan 30

2 ta có Xét tam giác vuông CC I

1

a

3

a

3











  CK



d BC AC ,







2

2

2

2



3

3

1 CK

1 CI

1 CC

1 2 a

3 2 a

a

2

2

  

  



 AB a AA



;



2

a

Ta có ,

 có

ABC A B C .

Câu 21: Cho hình lăng trụ tam giác đều . Tính khoảng cách giữa hai

5

17

2

a

17

đường thẳng AB và A C

a 5 17

a 2 17

a 17

17

B. . C. . D. . A. .

Lời giải

Chọn B

A'

C'

D'

M

B'

H

C

A

B









 , d AB A C













   d A C AB D ,



    d A AB D ,













A H

Ta có



 



    d A AB D ,





17

2







 A H





Hạ A M B D tại M , hạ A H AM tại H . Khi đó

2

2

1  A H

1  A M

1 2  A A

2 2  . A M A A 2 2   A M A A

a 17

Ta có .

22 | VD_VDC

Chuyên đề_Khoảng cách Câu 22: Cho hình lập phương

ABCD A

.

'B'C'D'

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19 có cạnh bằng a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng

'A B và

'DB là:

a

6

a

6

a

6

6a

6

2

3

A. . . B. . C. D.

Hướng dẫn giải:

Chọn B

B'

C'

D'

A'

K

I

J

C

B

A

D

I A B AB '

   '

I A B



'



(

ADC B ') '

Trong (ABB’A’) gọi

'IK B D tại K.

Trong (ADC’B’), kẻ

A B '



(

ADC B

'

')



A B IK 

'



',

Dễ chứng minh được

d AB B D IK '





Khi đó:

AB '

a

2

Ta có:

'J B D ),

a

6

Xét tam giác AB’D với AJ là đường cao ( có:







AJ  

2

2

2

1 AJ

1 AD

1 AB

2 '

3 a 2

3

(

IK AJ (vì cùng vuông góc B’D) mà I là trung điểm AB’ nên IK là đường

/ /

a

6

Trong (ADB’),

IK  



AJ 2

6

a

2

trung bình của tam giác ADB’

.S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh

AC 

2

060 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và

Câu 23: Cho hình chóp . Cạnh bên SA vuông

a

3

a

2

a

3

góc với đáy, SB hợp với đáy một góc .SC

d 

d 

d 

4

2

2

A. . B. . C. D.

a d  . 2 Hướng dẫn giải:

Chọn. A.

23 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018



SB ABCD

;



SB AB ;



 ABCD







  0  SBA 60





a

2

Ta có AB là hình chiếu của SA lên 

 AC AB

2





AB

2

  AB

2

a 2

Mặt khác

BC



SAB

 

BC AE

Dựng AE SB tại E





AE



SBC

Dễ dàng chứng minh được





AD BC ||





d AD SC

;







AE

Vậy tại E

 AD SBC ||











  d AD SBC ;



  d A SBC ;



Lại có

sin

  

AB

0 sin 60 .



a

a 2

3 4

AE AB

Hơn nữa  SBA

a

d AD SC

;







3 4

3a

Vậy

.S ABCD có đáy hình thoi cạnh bằng 2

Câu 24: Cho hình chóp , góc  60o ABC 

SBD và  



32 a

3

.Gọi M là trung SAM cùng vuông góc mặt đáy. Biết thể tích khối chóp

a

16

điểm CD , hai mặt phẳng  là . Tính khoảng cách d giữa AC và SB .

d 

d 

d 

d 

15 3

a 15

a 17

a 3 17

A. . B. . C. . D.

Hướng dẫn giải

Chọn. D.

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Khoảng cách

SH



ABCD





/ /Ox

Gọi H là giao điểm AM và DB. Suy ra .

SB

/ /

SB và Ox cắt SH tại I suy ra



 IAC

Dựng

d SB AC ,









  d B IAC ,



Suy ra

HE



  d H IAC ,









3

HE

Mặt khác ta có Với E là hình chiếu vuông góc của H lên OI .



  d B IAC ,



OH OB

1   3



  d H IAC ,   d B IAC ,

   

HE   d B IAC ,



3

Và ta có (1)

SH



 ; a

OH



 a

AD 6

V .3 S ABCD S

ABCD

HI

HO HI HB HS

HI a      a 4

1 4

Ta có





  HE

2

2

2

1 HE

1 HI

1 OH

a 17

(2)





d SB AC ,







  d B IAC ,



a 3 17





Từ (1) và (2) suy ra

AC a,BC a

5

 cho

21

21

a

a

2

2

d 

d 

d 

d 

Câu 25: Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A ,

 SK 3 SC a 21 2 17

17

7

D. C. B. A. . . . . . Mặt phẳng SAB vuông góc với mặt phẳng đáy và tam giác SAB đều. Gọi K là điểm thuộc cạnh SC sao . Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng AC và BK theo a . a 2 17

Hướng dẫn giải

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

S

K

D

E

I

C

B

G

H

A

Chọn C

KG

ABC









d AC;BK

. Gọi H là trung điểm AB ta có SH là đường cao của hình chóp. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC suy ra KG //SH . Do đó 





  d AC; BKD

 

  d G; BKD

 

3 2

. Dựng chữ nhật ABDC , ta có:







Gọi I ; E lần lượt là hình chiếu vuông góc của G lên BD; KI .

GE

GI

AB

. a 2

  d G; BKD

 

2 3

2 3

a 4 3

GI .GK



GK

Khi đó . Ta có:



  GE

2

2

2 SH 3

a 2 3 3

a 4 21



GI

GK

2

a

21

d 

.

7



 . Các cạnh bên của

Vậy .

AB

2

a,BC a

Câu 26: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật,

KA 2

. Gọi M ; N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB;CD , . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN KD

a

3

a

2

d 

d 

d 

d 

21 7

7

3

a 3 2

hình chóp bằng nhau và bằng 2a K là điểm thuộc cạnh AD sao cho và SK theo a . a A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

Chọn A

26 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Khoảng cách

S

Q

C

D

N

K

P

O

B

M

A









d MN;SK

  d MN; SAD

 

 

  d O; SAD Gọi P là trung điểm của đoạn AD và Q là hình chiếu vuông góc của O lên SP .

2

a

3

2







SO

a 2

OQ

. Khi đó: Gọi O AC BD  ta có SO là đường cao của hình chóp. 

OP

 , a

  d O; SAD

 

a 5 4

2

AB 2

a



d MN;SK

OQ

Ta có: ; .





21 7





Vậy .

 có đáy ABC là tam giác vuông BA BC a

2

 , cạnh bên . Gọi M là trung điểm cạnh BC . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và

a  .

AA B C

a

7

a

2

d AM ; B C



d AM ; B C



Câu 27: Cho hình lăng trụ đứng ABC. A B C









7

2

a

3

a

5

A. . B. .

d AM ;B C



d AM ;B C











3

5

. C. . D.

Hướng dẫn giải

Chọn A

27 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

C'

A'

B'

N

C

A

M

B









d AM ; B C



d C;( AMN

Gọi N là trung điểm BB .













   d B; AMN .

  d B C; AMN











2

2

2

1 2 BA

1 BM

1 BN

7 2 a

1  d B; AMN

Ta có:



 

a

7

d AM ; B C







7

. Mà

.S ABC có các cạnh

SA SB SC đôi một vuông góc nhau và

 SA a SB



2

,

,

,

Vậy .

a 3

2

a

2

Câu 28: Cho tứ diện SC , a , I là trung điểm của BC . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AI theo a .

2a

a 3 2

2

. A. B. . D. . C. a .

Lời giải Chọn A.

A

H

B

S

M

I

C

28 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Khoảng cách

IM SC (tính chất đường trung bình) nên

 

IM SH

SAB

SC



IM



SAB









, mà . Gọi M là trung điểm SB , H là hình chiếu của S trên AM . / / Ta có:

SH



AIM





. Suy ra: Và AM SH

SC

d SC AI

AIM



/ /



,





SH









  d S AIM ;



   Tam giác SAM vuông tại S , đường cao SH nên:

a

2

Ta có: . .   d SC AIM ;









  

SH

2

2

2

1 SH

1 SM

1 SA

1 2 a

1 2 a

2 2 a

2

 AB a AC

,



 a BAC 2 ,



 120 ,

SA



ABC

.





ABC bằng 60 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB bằng:

.S ABC có 





19

2

SBC và mặt phẳng  19

a

, góc giữa mặt bên Câu 29: Cho hình chóp

d AC SB  ,

d AC SB  ,









a 19

19

19

B. . A. .

d AC SB  ,





a 3 19

a

C. D. .

d AC SB  ,





19 9

.

Lời giải Chọn C

S

I

A

B

H

K

C

SBC

ABC



60

 .

  ;



 Ta có : 

   SHA

AB a AC



,



 a BAC

2 ,



120

 nên:

2

2

2

BC



AB



AC



2.

AB AC .

.cos

 BAC

  

BC a

27 a

7

Xét tam giác ABC có:

.



AB AC .

.sin

 2  a BAC

ABCS

3 2

1 2

2

Lại có: .

 nên:

AH





 SA AH

tan

SHA



a . 3



a

ABCS BC

a 21 7

21 7

3 7 7

Suy ra: . Mà  60 SHA  .

BAK 

 .

Bx AC AK Bx K Bx

/ /



,

,

 . Suy ra:  30

Kẻ:

29 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

AK



a

3 2

Nên: .

Gọi I là hình chiếu vuông góc của A trên SK .

AI



SBK



d AC SB

;





AI











  d AC SBK ;



1

1











Suy ra: .

  AI

a

2

2

2

2

2

1 AI

1 SA

1 AK

19 2 a 9

3 19 19

a

a

3 7 7

3 2

  

  

  

  

Ta có: .

'

.



'

'

ABC A B C ,đáy ABC là tam giác vuông cân tại B có AB BC a  , . Gọi M là trung điểm của cạnh BC . Tính khoảng cách giữa hai đường

a 2 'B C .

Câu 30: Cho hình lăng trụ đứng

a

7

a

5

7a

cạnh bên AA  ' thẳng AM và

7

a 7 14

5

A. . . B. C. . . D.

Lời giải

Chọn B.

A

C

M

B

N

C'

A'

B'

'



 . h

d AM B C ,

'

'











/ / MN B C 

  d B AMN ,



 'BB   d B C AMN ,



1

1

1

Gọi N là trung điểm Nên .   d C AMN ;













2

2

2

2

  .B AMN là góc tam diện vuông tại B nên: 7 2 a

1  2 BM BN

1 2 a

1 BA

a

a 2

  

  

2 2

  

  

. Tam diện 1 2 h

  h

a

7 7

.

ABCD và SO a . Khoảng cách giữa SC và AB bằng:

Câu 31: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, SO vuông góc với mặt



a

5

3

2

5

2

phẳng 

a 3 15

5

a 15

a 5

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

Chọn D.

30 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Khoảng cách

SOH

CD



tại K



OK



Do tại H , OK SH Dựng OH CD    CD OK





O,

SCD

OK

d

.





. Suy ra 







2

2

2

1 OK

SCD  1 OH

 1 SO

5 2 a

a

5

.

OK 

5

5

2

d AB SC

,







OK 2



.









  d AB SCD ,



  d A SCD ,



a 5

BD 

2 5

.

Câu 32: Cho tứ diện ABCD có AB = 2, AC = 3, AD = BC = 4, ,CD 5 . Khoảng cách giữa

hai đường thẳng AC và BD gần nhất với giá trị nào sau đây? A. 4 . C. 2 . B. 1. D. 3 .

Hướng dẫn giải

Chọn C.







//

AC

ABC . Tam giác ADC và tam giác ABD vuông tại

AD  DB d . ,

AH d AK SH ,





Dựng d qua B và song song với AC . Khi đó A. Do đó 

Dựng

Tài liệu Vted_2018

  d

SAH

AK



d

Do

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19 



  AK



;

 d AC BD d AC d DB

;

;



;

;



AK









 d DB ; 



  d A d DB



cos

  1   BAC 4

sin

BAC

sin









AH



.

  15 HBA 4

AH AB

15 4

15 2

.

AK



1.74





2

2

2

1 AK

1 AD

1 AH

.

a

21

a

2

a

d 

d 

d 

Câu 33: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAD đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng SA và BD.

a .

14

2

21 7

A. . B. . C. . D. d

Hướng dẫn giải

a





2

HI

Chọn C.





  d H SAG 2 ,



Khoảng cách d giữa hai đường thẳng SA và BD . 21 7

.S ABCD có cạnh đáy bằng a . Gọi

,M N lần lượt là trung điểm của ABCD bằng 60 . Khoảng cách giữa hai



SA và BC . Biết góc giữa MN và mặt phẳng  đường thẳng BC và DM là.

Câu 34: Cho hình chóp tứ giác đều

a

a

a

a

15 62

30 31

15 68

15 17

A. . B. . C. . D.

Lời Giải

Chọn B

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Khoảng cách

MH

Gọi H là trung điểm của AO , mà M là trung điểm của SA



;



;



60







MH



ABCD

 MN ABCD



   MN HN MNH













MH

SO

   

MH SO / / 1 2

BC AD BC



/ /

/ /

SDM



 d BC DM d BC SDM

;

;



là đường trung bình của SAO



















  d C SDM ;



K BC

Ta có





AH



AC

Qua M kẻ đường thẳng HK song song với đường thẳng AB 

1 4

  BK

BC

BN



BC

  KN

BC



Ta có H là trung điểm của AO

K là trung điểm BN

1 4

a 4

1 4

1 2

mà

AH



AC

  HC

AC



a

1 4

3 4

3 4

2

2

2

2

Ta có

HN



KH



KN



a



a



a

3 4

1 4

10 4

  

  

  

  

a

a

a

MH HN MNH

tan



 10 

tan 60

 

  SO

2

HM



Ta có:

4

30 4

30 2

  AD

SOI

  OI

AD

Ta có: NHM có:





OL AD AD





SOI

  OL

SAD





OL

SI

GỌI I là trung điểm AD















  d O SAD ;



1

1

Kẻ đường cao OL mà





















;

 d O SAD OL a



2

2

2

2

2

2

1 2 OL

1 SO

1 OI

4 a 30

4 2 a

62 a

15

15 62

a

a 2

  

  

30 2

  

  

Ta có:

Tài liệu Vted_2018





2



a





  d C SAD ;



  d O SAD ;



BO BC

1   2

30 31

 

Ta có:

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19   d O SAD ;   d C SAD ;

 

.

'

ABC A B C có ' '

;

' 2  a 'AC và BC .

'AC và a

57

2

a

Câu 35: Cho hình lăng trụ tam giác đều . Gọi S là giao điểm của

d 

d 

d 

d 

 AB a AA 'A C . Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng a 57 19

19

57 9

a 57

A. C. B. . D. . .

Lời Giải

'

'A C CA là hình chữ nhật, mà S là giao điểm hai đường chéo

S là trung

Chọn B

Ta có: Tứ giác 'A C điểm

'A B

IS

BC





    

IS BC / / 1 2

a 2



d BC AC ;

'













  d BC AIS ;



  d B AIS ;







Gọi I là trung điểm của

IA

'

IB





  d B ASI ;



  d A ASI ';



2

A B '



2 A A '



AB



a

5

Ta có:

'A AC có hai đường trung tuyến là lần lượt là

'A AB và

Ta có:

A C a

5

 

AI AS







A B ' 2

2

' 2

2

a

19



p



a

S



p

p



SI

p



AI

p



SA











ASI



ASI

ASI

ASI

ASI

ASI

5 2

16

   

 1     4 

Xét hai tam tam giác bằng nhau ,AI AS

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Khoảng cách

3

a

3

V



V



AA S '.



.

A AIS '.

A ABC

'



ABC

AI AS . AB AC

AI AS . AB AC

1 6

24

3

a

3

3

57

2

57

2

A ASI '.











d BC AC ;

'



Ta có:







  d A ASI ';



a 19

a 19

3 V S

ASI

24 19 16

.

'

a 2

AB

ABC A B C có mặt đáy là tam giác đều cạnh

.

' 'A lên mặt phẳng 



' . Hình chiếu vuông ABC trùng với trung điểm H của cạnh AB . Biết góc giữa cạnh 'AA theo

Câu 36: Cho hình lăng trụ góc của

2

a

21

a

2

a

15

a

39

bên và mặt đấy bằng 60 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau BC và a .

7

15 5

5

13

. A. B. C. D. . .

Lời Giải



AA

'/ /

BCC B

'

'

Chọn C

AA BB ' '/ /







d AA BC

';



';

'

'



;

'

'









  d AA B BCC



  d A B BCC



Ta có:

'A B '



 C G A B

'

'

'



a

3

3 2

  BG

A B C '

'

'



 A B A A

'

'



BB

'

   '

BA

B BA '

'

Gọi G là trung điểm của



'A AB







'



60



Ta có: cân cân tại B

 A A ABC ;



'A trên

 ABC



   A AH '



 A H AH

'

tan '

 A AH a



tan 60

 

a

3

 

BG A H a '



3



AA

'





2

a

AH  A AH '

cos

BG G C a '





3



 BC GB '

2



a

6

 

'GC B

Ta có: H là hình chiếu của



 '

 '

'

'

cân tại G 



BB C '

'

p





a

BB C '

'

BB BC B C 2

6 2

  2  

   

2

a



S



p

p



BB

'

p



BC

'

p



CC

'











BB C '

'

BB C '

'

BB C '

'

BB C '

'

BB C '

'

15 2

Xét có

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

2

a

3

2

a

15

A B BC '

.

'

A ABC

'.

ABC

;

'

'













  d A B BCC



3 V S

3 V S

' A H S . S

5



B BC '

'



B BC '

'



B BC '

'

3. a 2 a 15 2

2

a

15



d AA BC

';



;

'

'









  d A B BCC



5

Ta có

.S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA vuông góc với đáy. Góc giữa

SB và mặt đáy bằng 60o . Tính khoảng cách giữa AC và SB theo a .

a

2

a

a

7

Câu 37: Cho hình chóp

2

15 5

7

. B. C. . . D. A. 2a .

Lời giải

Chọn D

S

x

K

H

B

A

C

o

Góc giữa SB và mặt đáy là góc SBA.

 SA AB

.tan 60



a

3

Suy ra: .

o

AH AB

.cos 30

Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa C kẻ tia Bx song song với AC , gọi H là hình chiếu của A lên Bx và K là hình chiếu của A lên SH .

a  . 2

4

2

a

7

Xét tam giác AHB , ta có:

AK







2

2

2

2 . AH AS 2  AS AH

7



a 4.3 a 3

a 4

.

36 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Khoảng cách

ABCD A B C D có đáy ABCD là hình vuông cạnh

.

'

'

'

'

AA

a ' 2

2a

'CD . 2

5

a

5

d

a 2

d

a

2

Câu 38: Cho hình hộp chữ nhật , . Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng BD và

d 

d 

a 5

5

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

C'

B'

D'

A'

B

K

C

H

x

A

D

||Cx BD . Gọi H là hình chiếu của D

'D H .

Trên nửa mặt phẳng bờ CD không chứa điểm B , kẻ tia lên Cx và K là hình chiếu của D lên

DH



 . a

BD a  2

2. 2 2

2

2

2

5

DK







Ta có:

2

2 2 DH DD . ' 2  DD DH

2 '

a 2 a

a .4  a 4

a 5

Suy ra: .

.

'

'

ABC A B C có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , hình chiếu vuông góc

Câu 39: Cho hình lăng trụ

ABC trùng với tâm G của tam giác ABC và

A G  '

'A lên mặt phẳng 

' 

a 3

của . Khoảng cách

'AA và BC là 3

a

3

a

3

a

2

4

2

3

4

giữa a A. . . B. . C. . D.

Lời giải

Chọn A

37 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

A'

C'

H

B'

A

C

G

M

B





'

HM AA

'

BC



A AM '

d AA BC HM

',

. Khi đó nên Gọi M là trung điểm của BC , kẻ

HM AA

'







BC AM BC A G , 

o

a 3

tan '

A AG



 A AG '



30

. Mà nên . suy ra BC HM

'A AG , ta có:

3   3

A G '  AG a

3

3

a

a

3

o

Xét tam giác .

HM AM

.sin 30





3 1 . 2

2

4



. Xét tam giác HAM ta có:

ABC A B C .

 có đáy ABC là tam giác đều cạnh có độ dài bằng 2a . Hình ABC trùng với trung điểm H của BC . Tính khoảng



Câu 40: Cho hình lăng trụ

a

3

a

3

. chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng  cách d giữa hai đường thẳng BB và A H

d

a 2

a .

d 

d 

2

3

A. . C. . D. . B. d

Hướng dẫn giải

Chọn B.

C'

B'

A'

C

B

H

A

38 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Khoảng cách





 , d BB AH













   , d BB A AH



  d B A AH ,





 A H



ABC



 A H BC

Ta có, .







và . Ta có, tam giác ABC đều cạnh 2a nên AH BC

BH



 A AH





BH a

 .







  d B A AH ,



Do đó:





 . Gọi

ABCD , I là trung điểm của ,M N K lần lượt là trung điểm

,

,

.S ABCD có SI vuông góc với mặt phẳng đáy  ,AB ABCD là hình vuông cạnh a , SA SB AB a  , BC SD SB . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AK và MN là.

a

2

a

2

Câu 41: Cho hình chóp

a h  . 4

a 2

4

2

. A. . B. C. D. .

Hướng dẫn giải

Chọn D.

S

N

K

A

D

I

O

B

C

M

OI



SAB

Gọi O là giao điểm của AC và BD .





SAB

/ /

OMN



d AK MN ,



d





OI

Ta có .













  SAB OMN ,









  d O SAB ,



a  . 2

Ta có: 

.S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và

AB



2 ,

a BC a

 .Các cạnh bên

Câu 42: Cho hình chóp

,E F lần lượt là trung điểm của AB và CD . K là

. Gọi

a

3

a

6

a

a

của hình chóp bằng nhau và bằng 2a điểm bất kì trên BC . Khoảng cách giữa hai đường thẳng EF và SK là.

3

3

15 5

21 7

. A. . B. C. . D. .

Hướng dẫn giải

Chọn D.

39 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

S

H

A

D

E

F

O

B

C

K

I

SO

ABCD





 Gọi O là tâm hình chữ nhật ABCD , do các cạnh bên bằng nhau nên

d EF SK

,













  d EF SBC ,



  d O SBC ,



Ta có, .

OH SI

 



OH



  d O SBC ,



a

3

OI SO .

a

. Gọi I là trung điểm của BC và kẻ

OI



a SO ,



,

OH





2

2

2

21 7

OI



SO

Ta có .

.S ABCD có đáy ABCD là hình vuông bằng 10 . Cạnh bên SA vuông góc với ,M N lần lượt là trung điểm của SA và CD . Tính khoảng

SC 

. Gọi

5d  .

d 

10

3 5

d 

d 

5

Câu 43: Cho hình chóp mp  10 5 ABCD và cách d giữa BD và MN . B. . A. . C. D. .

Hướng dẫn giải

Chọn B.

S

M

A

D

H

N

O

I

B

C

P



d BD MN ,









BD NP / / 

  

+ Gọi P là trung điểm BC, I NP AC ta được     d O MNP d BD MNP , , nên



,





  OH d O MNP



tại H, ta chứng minh được + Kẻ OH MI

+Tính OH :

40 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Khoảng cách

AI



AC



10 2



3 4

3 4

15 2 2

2

2

- Tính được

SA



SC



AC



10 3

2

- Tính được

MI



2  AM AI



5 30 2

- Tính được



5

  

OH

. AM OI MI

- Tính

,

5



OH OI AM MI   d O MNP 



+ Vậy

Câu 44: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh đều bằng 1 và các góc phẳng đỉnh A đều

'A C '

bằng

3 11

'AB và 2 11

060 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng 22 2 11 11

A. B. C. . . . D. .

Hướng dẫn giải

A. Chọn

B

C

Hình 2

1

3

C

A

D

1

A

600

1

3

1

3

1

C'

B'

B'

O'

1

A'

D'

D'

'/ /

'

'

AC A C nên '

/ /

'

  A C mp AB C

+ Vì

d A C AB '

',

'



'

'



'



'











  d A C AB C ',



  d O AB C ';



  d D AB C ',



1 2

B D D C B C '





'

'

'



1

suy ra

D AB C (hình 2), tính được

'.

'

AB

'



 AD AC '



3

  

+ Xét hình chóp

V



dvtt



',

'









A B D C '

.

'

S

AB C '

 d D AB C 



2 22 11

2 6

11 4

Tính ra và suy ra

d A C AB  ',

'

'





22 11

a

SD 

+ Vậy

.S ABCD có đáy hình vuông cạnh a ,

17 2

ABCD là trung điểm của đoạn AB . Gọi K là trung điểm của AD . Tính



Câu 45: Cho hình chóp . Hình chiếu vuông góc H

a

3

a

3

a

của S lên mp khoảng cách giữa hai đường SD và HK theo a .

a 3 5

7

5

21 5

. A. . B. C. . D. .

41 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

Hướng dẫn giải

Chọn B.

S

A

K

D

I

H

O

M

B

C

/ /

+ Ta có

d HK SD





,









Suy ra

  HK BD nên HK mp SBD / /       d H SBD d HK SBD , , SM , dễ dạng chứng minh được

HM AO HI

/ /

;

HI





  d H SBD ,



+ Kẻ

a

2

HM



AO



AC



1 2

1 4

4

a

5

2

2

2

2

+ Tính được

HD



 AD AH



SH



 SD HD



a

3

2

a

3





  HI

suy ra

2

2

2

1 HI

1 SH

1 HM

5

a

3

+ Có

d HK SD HI

,







5

Vậy

.

'

'

'

ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại A ,



3

.

AB a AC a ; AA BC ' ',

'

'

 BB C C là hình vuông. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng

a

3

a

2

Câu 46: Cho lăng trụ đứng Mặt bên

d

(AA ',

BC  ')

d

(AA ',

B C  ')

2

A. . B. .

d

(AA ',

BC  ')

d

(A A ',

BC  ')

a 2

2 a 3

C. . D. .

Lời giải

Chọn A.

42 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Khoảng cách

H

B

C

A

B'

C'

A'

AH BC H BC





(

)

AH



(

BB C C '

'

)

Kẻ ta có

AB a AC a ;





3

  BC

2

a

3

a

3

Ta có

d

(AA ',

BC

')



d

(AA ', (

BB C C '

'

)



d

(A, (

BB C C '

'

)



AH







AB AC a a . 2

. BC

a

2

Suy ra

.S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a ,cạnh bên SA vuông góc với 045 . Gọi E là trung điểm của cạnh BC . Tính khoảng cách

Câu 47: Cho hình chóp

a

a

5

a

a 5 19

19

5

38 5

đáy. Góc giữa SC và mặt đáy bằng giữa hai đường thẳng DE và SC 38 B. . A. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B.

1a  ta có:

SA AC a



2

Dễ thấy . Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ và chọn

D

(0;1;0);

E

(1;

;0);

S

(0;0; 2);

C

(1;1;0)



(1;1;



2)

 DE

 SC



(1;

; 0);

 1 2

 

 DC 

(1;0; 0)

  ; DE SC

(

; 2;

)

. Suy ra và

d DE SC

(

;

)





 

  

3 2

2 2

38 19

 1 2     DC DE SC ; .    ; DE SC

 

 

; Suy ra .

.S ABCD có đáy ABCD là hình vuông với đường chéo

AC

a 2 ABCD . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD là

Câu 48: Cho hình chóp , SA vuông góc với đáy mặt phẳng (

2a

3a

a . 2

) a . 3

A. B. C. . D. .

Lời giải

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

Chọn C.

S

A

D

2a

B

C

CD SAB / /(

)

SB

d SB C D ,

(

)



d C D SAB , (

(

))



d D SAB , (

(

))

2

  AD

(

SAB

)



Ta có nên khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD là

d D SAB , (

(

))



DA





a

2



 AD AB  AD SA

AC 2

a 2

  

 AB aAD



 0  60

a DAB

2 ,

Mặt khác ta có:

SAB là )

S ASB 

2

)

Câu 49: Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình bình hành, . Mặt bên (

SAB vuông góc với mặt đáy. Gọi M là trung

a  .sin





d

d

a  .sin





d

d

a  .cos

, mặt phẳng (

1 2

a  .cos D. A. C. B. . . . tam giác vuông cân tại , điểm của CD . Tính theo a và  khoảng cách giữa 2 đường thẳng AM và SD . 1 2

Hướng dẫn giải

S

E

A

D

M

H

B

C

SH







a .cot

Chọn D.

a  tan

AH  ASH

tan

2

2

2

0

2

2

2

BD



AB



AD



2

AB AD .

.cos 60



a 3



AB



AD



,D HD a

 

AE AD a

suy ra ABD vuông tại

 .

0

0

0   60

 EAD



120



    HDE HDA ADE ADE

0   30







90

Trong mặt phẳng đáy, dựng hình bình hành AMDE

 d AM SD d AM SDE

;(

]

[

[

;

)]



d A SDE

[ ;(

)]

Do  BAD , tức là HD DE

Khi đó:

44 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Khoảng cách

AH HD .

a a . cot





d H SDE ;(

[

)]







a .cos



2

2

2

2

2

1 2

1 2

1 2

1 2

AH



HD

a



a

.cot



.S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Gọi

,AB BC . Hai đường thẳng

,AN DM cắt nhau tại

Câu 50: Cho hình chóp

3

,M N lần lượt là trung điểm ,H SH vuông góc với mặt đáy và 2L là khoảng cách

của các cạnh SH a . Gọi

1L là khoảng cách giữa hai đường thẳng AN và SD ; gọi L 1 L 2

giữa hai đường thẳng CM và SD . Hỏi tỉ số gần với kết quả nào sau đây nhất

A. 0,75 B. 0,85 C. 0,95 D. 0,65

Hướng dẫn giải

Chọn C.

S

F

K

D

A

M

H

A

D

M

H

E

B

C

B

N

C

N

2

 DE a

5,

DE



HD ED

 

HD

  HD

a

3 2

5 2

5

SH HD .

2 3

AN HD AN SH ,

  

AN



(

SHD

)

 

AN SD

Dễ chứng minh DM AN



d H SD ;

[

]





a

L 1

2

2

19



HD

Ta có nên

SH như hình vẽ

2

MK



2 [ ;

d A DF

 ] 2



a

. AF AD DF

5

d



d H DF ;

[

]



MK



a

MD



a HD

;



a MD





HD

Trong mặt phẳng đáy, dựng hình bình hành CDFM và MK DF

8 5 25

4 5

5 2

5 4

2 5

SH d .



d CM SDF ;(

[

)]



d M SDF ;(

[

)]



d H SDF ;(

[

)]



L 2

2

2

5 4

5 4

SH



d



0,961

Ta có nên

L 1 L 2

Vậy

45 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_LOGARIT

NHÓM GIẢI VẬN DỤNG CAO CHUYÊN ĐỀ LOGARIT - NĂM HỌC 2018-2019

VTED_2019 MÔN: TOÁN 12

2

Thời gian làm bài 90 phút

.

P



log

a



log

a



log

a  .

a  đặt 1,

log 9a

3

3

1 3



2 

2 

 2 1

2 

P



Tính giá trị của biểu thức theo Câu 1: Cho 0

P   .

3

P



P





 2 5 

 1 10 

b



0, 0

  Khẳng định nào sau đây đúng?

a

2

2

2

1. 2

A. . . B. . C. D.

2log



b

log

b



2log

b

log

b

 

2log

b

log

b

 

2 log

b

a

a

a

a

a

a

a

a

Câu 2: Cho hai số thực với b log A. . B. . C. . D. .

a b  ,

P



log

b



log

a

.

2

b

a 



3



P



tính theo  giá trị của biểu thức Câu 3: Cho a và b là hai số thực dương, khác 1. Đặt log 3

P



P



P



2 12  

2 12   2

24    2

2 3  

. A. B. . C. . D. .

2

2

Câu 4: Cho a và b là hai số thực dương, với

log

a



ab

log

 a b

 a b

log

log

ab



a









a

b

a

a

2

2

A. B.

log

a



ab

 

 a b

 

 a b

log

ab



a









1 1   2 2 2 2 log a

1 1   2 2 2 2 logb

 

1a  . Hỏi khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?  

 

 

a

a

C. D.

2

2

Câu 5: Cho a và b là hai số thực dương, với

log

a



2

ab

log

a



b 2

log

log

ab

b 2





2

a

a

2

2









a

b

a

a

1   2

1 2

1   2

1 2

2

2

A. B.

log

a



2

ab

 

2 2 log

a



b 2

2 2 log

 

log

ab





2

2

a

a

b

2

2









a

b

 

1a  . Hỏi khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?  

 

 

a

a

2

a



C. D.

a và b phân

 a log 3 3

    1 1

log 2 1 3

a

b

b 2



S 

27



27

Câu 6: Cho hai số thực biệt thỏa mãn

 b log 3 3

    1 1

log 2 1 3

S 

45

S 

204

S 

180

S 

và . Tính tổng .

27 2

1z  và đặt

a



y

b



y

log z

A. B. C. D.



log

yz



. Tính log xy yz theo a và b .

log

yz



log

yz



log

yz



xy

xy

xy

xy



 

 

 

log x  b a  a b

 a b  b a

 a a  b b

 1  1

 b b  a a

 1  1

A. . B. . C. . D. . ,  1  1 Câu 7: Cho ba số thực x , y ,  1  1

a



y

1z  và đặt

b



z

log x

log y

2

2



, Câu 8: Cho ba số thực x , y ,



log

yz



log

yz



xz

xz

log

yz



log

yz



. Tính log xz yz theo a và b .  A. . B. .

xz

xz

2

 b a 2 ab  2 2  ab   a b 2



 a b  2  2 ab 2  ab   b a 2 2



2

2

log

b

log

a

a

b

 P a



b

C. . D. .

4

4

P



a



b

theo a và b . Câu 9: Cho hai số thực a , b dương và khác 1. Tính giá trị biểu thức

  .

  .

 P a



b

1 a

1 b

A. P . C. P a b D. . B.

1 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

LOGARIT_VTED_2019

b



log

z

yz

x y z khác 1. Nếu đặt ,

,

a



log

y

y

x

Câu 10: Cho ba số thực dương , thì giá trị của logxy



2



2

log

yz



log

yz



theo a và b là

xy

xy

a

2



2

a

4



2



2

log

yz



log

yz



A. . B. .

xy

xy

 

4

b



2

 a b   b a  b 2

   2  2

 a b   b a 

   

a

2



,a b thỏa mãn

2

2

C. . D. .



a

a

ln 2



2

2 1 b  5  b

 b a

1

2

A. . B. . Câu 11: Cho hai số thực  1 log 5 . Hỏi khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?  1 ln 5

a



b



 .

 1 log 5 0 3



log 2 3

 1 log 5 1 log 2



2 b  

1 2

2

5

a b

1

C. . D.

   . Hỏi khẳng định nào dưới đây là khẳng định

Câu 12: Cho hai số thực a và b thỏa mãn 0

1   2

1 log

b

a

1 log

b

1   2

1 log

a

a

b

a

b





A. . B. . đúng? 1 log

1 log

1 log

b

a

1  . 2

1 log

b

1 log

a

1  . 2

b

a

b

1

0.

C. D.

 và hai số thực

x y  Hỏi khẳng định nào dưới đây là khẳng .

,x y thỏa mãn

Câu 13: Cho



log

x



log

y

.

log

xy



log

x



log

y

.

B.

a a a 0; định đúng?  A. xy log



a

a

a

a

a

a



log

x



log

y

.



log

y



log

x

.

a

a

a

a

a

a

 x y

 x y

a

.



; ;

C. log D. log

a b c d thỏa mãn ;

2

2

3 b

c 3 d

 1

 1

2

2

2

4 2 

b

a

ln 3



d





c

ln 3



  c

b



a



d



Câu 14: Cho 4 số thực Hỏi khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

3

3

4  1 ln 4.





 1 ln 4



 1 log 4.



2

2

2

2

d



.

a c

 

.

A. B.

 a c  1 log 4

 b  1 log 3

3

4

 1 log 4  d b log 2 3

C. D.

,a b thỏa mãn

log

a



log

b



3.

3

3

3

2 3

Câu 15: Cho hai số thực Giá trị nhỏ nhất của tổng a b là

22.3 .

33 .

4.3

.

2 33

.

x

A. B. C. D.

S



f



f

  ...

f

  f x 

x

1 2018

2 2018

2018 2018

3 

3

  

  

  

  

  

  

1008.

1009.

1009.

1008.

S 

S 

S 

Câu 16: Cho . Đặt . Hỏi khẳng định nào dưới

3 đây là khẳng định đúng? A.

S  ,a b c là các số thực dương khác 1. Hỏi khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng? , log

log

log

log

log

log

log

log

b

a

a

c

c

c

c

c

b

a

b

a

b

c

b

b

D. C. B.

a

b

.

a

c

.

a

b

.

c

.

Câu 17: Cho a A. B. C. D.

log

x



log

a



log

b

a b  thỏa mãn

0

,

3

9

3 3

2

32



x

3 a b

x



ab

x



a

b

3 .

x



a

b

2 .

Câu 18: Cho . Giá trị của x là?

B. C. D.

2 . log

x



3log



5 log

a

a

x



a 3



b 5

x 

A. Câu 19: Tìm x biết

3 . . b 3 b 3 .5a

x



3 5. a b

x 

3



b 5

A.

3 .

3 B.

. C. D. .

2 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_LOGARIT

a 

ln 2

b 

ln 5

I 

ln

ln



.....



ln



I

 

2

 a b

I



2

 

2

 a b

I



2

 a b

1 2  a b

99 100 I

Câu 20: Đặt , . Tính theo a và b.

2 3 .

















A. . B. C. . D. .

log

.....



log

  3



log



Câu 21: Tìm số tự nhiên n biết .

n 1  n C.

D. A.

1 2 B. n 

2 3 310  . 1

n 

103

 1

n 

310

 . 1

103

n 

x

A



log tan

x

 

log cot

x

  

Câu 22: Cho . Tính giá trị biểu thức

A 

10

 . 1    0; 2  0A 

1A 

A   1







.....





B. C. D. A.

1x 

1 log

1 log

1 log

x

x

x

1 log

x

120 x log

2 3

n 3

Câu 23: Tìm số tự nhiên n thỏa mãn với 0

B.

3 3 C.

3 D.

3 20

n 

n 

12

n 

10

n 

15

log

b

log

c

log

a

a

b

c





c

A.

P



b

a log

b log

c

log

a

a

c

b

a



b





Câu 24: Cho $a,b,c$ là các số thực dương khác 1. Rút gọn biểu thức

   2 a b c 2 2

2

2



b



c

a

  a b c 2 2   c b

a

  a b c   b a

c

c    2 a b c a





b

 c

1



log

x





log

x



A. B. C. D.

c

c

loga x m , logb x n ,









1 log

x

1 log

x

1 log

1 1 1 1 p m n

abc

a

b

logc x theo m,n,p (giả thiết các logarit đều có nghĩa)

Câu 25: Cho . Tính









logc x

logc x

A. B.

log



log



c x

c x









1 1 1  p m n 1 1 1 1 p m n

1 1 1  p m n 1 1 1 1 p m n

T



(log

b



log

a



2)(log

b



log

b

)log

a

1

C. D.

 ta được kết quả? (giả thiết

a

b

a

ab

b

Câu 26: Rút gọn biểu thức

các logarit đều có nghĩa) A. loga b B. logb a C. - loga b D. - logb a

log (log (log

x

))



y

))



z

))

0

 . Tính tổng T

   ? y

x

z

2

3

4

4

2

3

Câu 27: Cho

A. 82

log (log (log 3 B. 24

log (log (log 4 2 C. 89

2

D. 32

,a b là các số thực dương) ta được kết quả

T



 a



 b

1 4 

ab





   

   

T



 a



 b 2

 2T

b   a



b   a



Câu 28: Rút gọn biểu thức ( với

 b  .

4 5

là A. T a B. . C. . D. T .

a

3 4a

log



log

,a b thoả mãn

b

b

1 2

2 3

Câu 29: Cho hai số thực và . Hỏi khẳng định nào dưới đây là

b 1,

 . 1

a

a



1, 0

  .

b

1

  a

1, 0

  . D. 0 1

b

  a

1,

b

 . 1

P 

4

khẳng định đúng? A. B. C. 0

10

P 

15

Câu 30: Tính giá trị biểu thức P  A. .

log 3.log 4.log 5....log C. B.

3 .

2 P 

11

4096. 12 .

4095 P 

D. .

3 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

LOGARIT_VTED_2019

1 3

1 3

a

b



a

P



,a b là các số thực dương. Rút gọn biểu thức

b 6

6

a



b

1

3

3P 

ab



ab

P



2 2 a b

P



Câu 31: Cho .

3

ab

ln

a



ln 2,

b



ln 5

A. . B. . C. P . D. .

16 25

ln



2(

 a b

)

ln



4

a



b 2

Câu 32: Đặt . Hãy biểu diễn theo a và b .

ln



4

a



b 2

ln



2(

 a b

)

A. . B. .

16 25 16 25

16 25 16 25

2 3

3

3 3

2 3

(

a



1)(



a

)



P



C. D.

1a  . Rút gọn biểu thức

a 4 3

a 3

a

P a

3 1

P a

Câu 33: Cho 0 .

 .

2 3 1 

3 1 

2 3 1 

A. B. D.

a  C. P a

log

a log 5



3log

b



4log

c

x



4

4

c

a

x



x



x





x

Câu 34: Tìm số thực x thỏa mãn .

. 5 3 b

2 4 25a c 3 b

5a 3 4 b c

P a 1 2 5ac 3 b

t

t

1  1

t  1



t

,

y



t

t (

0,

t

 . 1)

A. . C. D. B.

x

x

y

y

x

x 1 y

Câu 35: Tìm mối liên hệ giữa x và y biết

y

x

y

x

 1 yy

y

x



.y x y

A. . B. . C. . D. .

1 log 1000 81

theo a . Câu 36: Cho log 3 a .Tính





12

a

3 a 4

4 a 3

1 12a

1 log 1000 81

1 log 1000 81

1 log 1000 81

1 log 1000 81

A. . B. . C. . D. .

log (log (log

x

))



log

y

2

3

4

2

2

2

y

y

x 

64 y

x 

34

x 

34

x 

24 y

Câu 37: Cho hai số thực x và y thỏa mãn: . Tìm hệ thức giữa x và y .

A. . B. . C. . D. .

log

1

20172

 x  . Cho biết log 2 0,30103.

Hỏi số Câu 38: Với mỗi số thực dương x , khi viết x dưới dạng thập phân thì số các chữ số đứng trước dấu khi viết trong hệ thập phân ta 

phẩy của x là  được một số có bao nhiêu chữ số? ( kí hiệu  x là số nguyên lớn nhất không vượt quá x . A. 607 . C. 609 . B. 606 . D. 608 .



x

 1 sin

x



log 1, 25 0

 1 sin

x

 1 cos

x

 log 1 cos





 . Giá trị của 





2

1 2

Câu 39: Cho biết là?



10



10





2 10



2 10

13 4

13 2

13 2

 13 4

A. B. C. D.

  x

log

24 cos

2cot x là?



 x  . Giá trị của

24sin

x

3 2

 2

thỏa mãn Câu 40: Cho 0

log

1000 2

0

D. 5 . A. 8 . B. 7 .

,a b là các số nguyên dương thỏa mãn

 . Giá trị lớn nhất của

a





2

b 2







Câu 41: Cho C. 6 .  log log 2

B. 375 .

ab là? A. 500 .

C. 250 . D. 125 .

4 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_LOGARIT

2



nx

  f x





 1 logm

2

1

m

log

xác định một đoạn có độ dài bằng Câu 42: Tập hợp các số thực x để hàm số

m

n 1,

 ). Giá trị của

0

2016

 mn

(với là?

C. 1.

1 2016 A. 1 .

D. 2 . B. 0 .

x y z là ba số thực dương thỏa mãn ;

;

y



2 log

4

z



log

8

yz

 . Giá trị

0

4











 2 log 2 x

2

x

2

x

Câu 43: Cho

5xy z được viết dưới dạng

p q

1 p q

của trong đó là phân số tối giản. Giá trị của p q là

2 B. 48 .

A. 49 . C. 50 . D. 52 .

Câu 44: Có bao nhiêu số tự nhiên n thỏa mãn log12, log 75 và log n là độ dài ba cạnh một tam giác A. 895. D. 892.

a b  và 0

,

log

ab

, log

5 8 a b

, log

a b







Câu 45: Cho biết theo thứ tự là số hạng đầu, số hạng thứ B. 894.   2 C. 893.  10 11

hai và số hạng thứ ba của một cấp số cộng. Số hạng thứ 2016 là log nb . Giá trị của n là? A. 36270. D. 36260. C. 36265. B. 36275.

x



log

cos x

  và 1

x



cos x



log

n

 . Giá trị của n là?

 log sin







 log sin



 1



1 2

Câu 46: Cho

B. 10.

3 log

x

 ; 5

log

 

3 log

y

 ; 4

log

,



5

2

3

A. 9. Câu 47: Cho C. 11.   xyz D. 12.  xyz

 . Giá trị của

3 log

 

xyz

log

4

z

5 log

y



 z



log



S

log

 x



5

5

5

là

x y z là các số thực dương thỏa mãn ,  4 A. 0.

2

2

D. 3.



x

y

x





x y ;



y

 

1 log

Câu 48: Cho biết

5 C. 2. 



S 1

2

2

S



x y ;



x



y

 

2 log

x







2

 

    y

    Tỉ số diện tích của

2S chia

8 15

5 12

,

a b  và 0

A. 99. D. 102.

3 7 a b

log

a b

a b

, log

, log



Câu 49: Cho biết theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. C. 101.  

 logn

b .

B. 1.  log 1  log 2 1S là? B. 100.   Công sai của cấp số cộng này là

,

,A B C lần lượt

A. 6 . B. 7 . C. 8 .



log

x y ,





x 3log

y thuộc đồ thị các hàm

D. 9 . Câu 50: Hình vuông ABCD có diện tích bằng 36, AB song song với trục hoành và

x y 2log , a

a

. Giá trị của a là.

B. 3 . D. 6 .

a C. 3 6 .

A. 6 3 .

----------HẾT----------

5 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

LOGARIT_VTED_2019

NHÓM GIẢI VẬN DỤNG CAO CHUYÊN ĐỀ LOGARIT - NĂM HỌC 2017-2018

VTED_2019 MÔN: TOÁN 12

Thời gian làm bài 90 phút

Đề đã thay đổi thứ tự câu (sắp xếp theo độ khó tăng dần) so với đề gốc

BẢNG ĐÁP ÁN THAM KHẢO

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

2

P



log

a



log

a



HƯỚNG DẪN GIẢI

a  đặt 1,

.

log

a  .

log 9a

3

3

1 3



2 

2 

 2 1

2 

P



P



Câu 1: Cho 0 Tính giá trị của biểu thức theo

P   .

3

P





 2 5 

 1 10 

A. . B. . C. D. .

Hướng dẫn giải

2 

2

P



log

a



log

a



 

log

a



4log

a



   5





.

Chọn A.

log 9 a

3

3

3

2 log

a

 2 5 2  

3

1 3

b



0, 0

  Khẳng định nào sau đây đúng?

a

2

2

2

1. 2

log

b



2 log

b

log

b

 

2 log

b

Ta có

2log



b

log

b

 

2 log

b

a

a

a

a

a

a

a

a

Câu 2: Cho hai số thực với b log A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

2

log

b



2log

b

.

Chọn C.

b  nên 0

a

a

Do

a b  ,

P



log

b



log

a

.

2

b

a 



3



P



tính theo  giá trị của biểu thức Câu 3: Cho a và b là hai số thực dương, khác 1. Đặt log 3

P



P



P



2 12  

2 12   2

24    2

2 3  

B. . C. . D. . . A.

Hướng dẫn giải

log

12

3

P



log

b



log

a



log

b







.

Chọn B.

2

a

b

a

1 2

6 log

b

2 b a 2log

 12 b

2   2 

a

a

Ta có

6 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_LOGARIT Câu 4: Cho a và b là hai số thực dương, với

2

2

log



ab

log

 a b

 a b

log

log

ab











a

b

2

2

A. B.

log

a



ab

 

 a b

 

 a b

log

ab



a









1 1   2 2 2 2 log a

1 1   2 2 2 2 logb

 a a 

 

1a  . Hỏi khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?  

 a a 

a

a

C. D.

Hướng dẫn giải

2

Chọn A

log

a



ab



log



log

 a b

 a a b







a

a





a

 

 

1 2

1   2

1 2

Ta có:

2

2

Câu 5: Cho a và b là hai số thực dương, với

log

a



2

ab

log

a



b 2

log

log

ab

b 2





2

a

a

2

2









a

b

a

a

1   2

1 2

1   2

1 2

2

2

A. B.

log

a



2

ab

 

2 2 log

a



b 2

2 2 log

 

log

ab

b 2





2

a

a

2

2









a

b

 

 

1a  . Hỏi khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?  

 

a

C. D.

a Hướng dẫn giải

2

Chọn C

log

a



2

ab



2 log



2

b

 

2 2 log

a



b 2

2

 a a







a

a





a

 

 

2

a



Ta có:

a và b phân

 a log 3 3

    1 1

log 2 1 3

a

b

b 2



Câu 6: Cho hai số thực biệt thỏa mãn

S 

27



27

 b log 3 3

    1 1

log 2 1 3

và . Tính tổng

S 

45

S 

204

S 

180

S 

27 2

B. C. D. A.

Hướng dẫn giải

x

2

x



Chọn D

 log 3 3

    1 1

log 2 1 3

Ta thấy a và b đều thỏa phương trình nên a và b là 2 nghiệm phân

x

 1

2

2

x



 log 3 3

   1

x

x



3



6.3

 

2 0

log 2 1 3





x

 1

  2

x

x

x





7

a





7

3

  3

7

 1

x







x

  2

x

   1 

log 2 3  1

 

3

  3

7

x





7

b





7

   

 log 3 3  log 3 3

 

 log 3 3  log 3 3

 

    

    

x

x

2   3

 log 3 3   log 2 3  3  2

6.3

3

3

3

3

3

3



7



7

a

b





S



27



27



a 3



b 3



 log 3 3 3



 log 3 3 3



3



7



3



7



180

















  

  

  

  

1z  và đặt

a



y

y

b



log z

biệt của phương trình.



log

yz



. Tính log xy yz theo a và b .

log

yz



log

yz



log

yz



xy

xy

xy

xy



 

 

 

 a b  b a

 a a  b b

 1  1

 b b  a a

 1  1

A. . B. . C. . D. . ,  1  1 Câu 7: Cho ba số thực x , y ,  1  1

log x  b a  a b Hướng dẫn giải

7 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

LOGARIT_VTED_2019

1



log

yz

 1 log

z

y

Chọn A



log

yz







xy

log

xy

log

x

1

y 

 

 a b  b a

 1  1

y

y

1



1 b 1 a

Ta có .

1z  và đặt

a



y

b



z

log x

log y

2

2

xz 

2



yz theo a và b . 





yz

log

, Câu 8: Cho ba số thực x , y ,

log

yz



xz

xz

log

yz



yz



log

A. . . B.

xz

xz

2

 b a 2 ab  2 2  ab   a b 2





C. . . D. . Tính log  a b ab  2 2  ab   b a 2 2

Hướng dẫn giải

1



log

yz

 1 log

z

2

y



log

yz







Chọn B



xz

  2 a b  2 ab

log

xz

log

x



y log

z

y

y

y



b 2 b 4

1 a 2

2

2

log

b

log

a

a

b

 P a



b

Ta có .

4

4

P



a



b

 P a



b

theo a và b . Câu 9: Cho hai số thực a , b dương và khác 1. Tính giá trị biểu thức

  .

  .

1 a

1 b

A. P . C. P a b D. . B.

Hướng dẫn giải

2

2

log

a

log

b

2

2

log

b

log

a

a

b

2

2

2

2

4

4

a

b

Chọn D



b



a



b



a

 P a



b



a



b

















b



log

z

Ta có .

yz

x y z khác 1. Nếu đặt ,

,

a



log

y

y

x

Câu 10: Cho ba số thực dương , thì giá trị của logxy



2



2

log

yz



log

yz



theo a và b là

xy

xy

a

4



2

2

a



2



2

log

yz



log

yz



B. . A. .

xy

xy

 

4

b



2

 a b   b a  b 2

   2  2

 a b   b a 

   

D. . C. .

Hướng dẫn giải

Chọn B.



a



log

y

b



log

z

log

z



log

y .log

z



ab

x

y

y

x

x

1 4

1 2

1 2

log

y



log

z

a



ab





x

x



2

1 2

log

yz









Cách 1. Theo đề bài ta có và

xy

log x log

yz xy

 1 log

y

a

4



2

 a b 

 

x

x

a

1 4 1 2

1 2  2 1  

.

z vào các biến

y và log

    và gán giá trị log

5

x



2,

y



3,

z

,A B .

y

x

Cách 2. Chọn giá trị

8 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_LOGARIT



log

3.5



2.3

A

2



2

 A B 

 2 

Khi đó thử bằng phép tính tương tự cho đáp án còn lại. Phép tính ứng

a

2

2 1 b  5



,a b thỏa mãn

2

2

với phương án chọn nào ra bằng 0 thì chính là đáp án.



a

ln 2



a

2

 b

 b a

1

2

A. . B. . Câu 11: Cho hai số thực  1 log 5 . Hỏi khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?  1 ln 5

a



b



 .

 1 log 5 0 3



log 2 3

 1 log 5 1 log 2



2 b  

1 2

2

5

D. C. .

Hướng dẫn giải

a

2

2 1 b  5



Chọn D.

2

a



(*)

 A đúng.

2

2

a

ln 2

Lấy loga cơ số 2 hai vế của (*) ta được

 B đúng.

 b  b

 1 log 5   1 ln 5

Lấy loga nê-be hai vế của (*) ta được

2

1

2

a

log 2



b













Lấy loga cơ số 10 hai vế của (*) ta được



 1 log 5

a 1 log 5



2 b   1 log 2

a log 2.5 2

 b 1 log 2.5 5

2

5

2

2









a

b

a

b



  D sai.

C đúng.

 1 log 5



 1 log 5 0 3

log 2 2 3

log 2 3

3

a b

1

Lấy loga cơ số 3 hai vế của (*) ta được 

   . Hỏi khẳng định nào dưới đây là khẳng định

Câu 12: Cho hai số thực a và b thỏa mãn 0

1 log

1   2

1 log

b

a

b

1   2

1 log

a

a

b

a

b





B. . A. . đúng? 1 log

1 log

b

1 log

a

1  . 2

1 log

1 log

a

b

1  . 2

a

b

b

a

D. C.

Hướng dẫn giải

2 log

b

 và log

2



2 log

a

 . 2

A.





a

b

b a

Chọn Ta có 0 log

1 log

b

a b 1   2

1 log

a

a

b

1

0.

Do đó .

 và hai số thực

x y  Hỏi khẳng định nào dưới đây là khẳng .

,x y thỏa mãn



log

x



log

y

.

log

xy



log

x



log

y

.

Câu 13: Cho

B.

a a 0; định đúng?  A. xy log



a

a

a

a

a

a

log



x



log

y

.



log

y



log

x

.

a

a

a

a

a

a

 x y

C. log D. log

 x y Hướng dẫn giải:

;x y có thể cùng âm.

A, C sai vì

9 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

LOGARIT_VTED_2019

a

a b c d thỏa mãn ;

; ;

.



2

2

3 b

c 3 d

 1

 1

2

2

2

Câu 14: Cho 4 số thực Hỏi khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

a

ln 3



d





c

ln 3



4 2 

b

a



d



  c

b



3

3



 1 ln 4

4  1 ln 4.







 1 log 4.

2

2

2

2

d



.

a c

 

.

A. B.

a c   1 log 4

b   1 log 3

3

4

 1 log 4  d b log 2 3

C. D.

2

2

b



d

2

2

 a c   3

4

   a c

b



d



2

2

log 4(1) 3





a 3 b

 1

c 3 d

 1

4

4

B đúng.

Hướng dẫn giải

2

2

+  1

   a c

b



d

.





ln 4 ln 3

2

2

2

2

d

2

2

   a c

b



d









suy ra A đúng. +  1





 a c  1 log 4

 b  1 log 3

log 4 12 log 3 12

 a c log 12 3

 d b log 12 4

3

4

suy ra C đúng. +   1

,a b thỏa mãn

log

a



log

b



3.

3

3

3

2 3

Câu 15: Cho hai số thực Giá trị nhỏ nhất của tổng a b là

22.3 .

33 .

4.3

.

2 33

.

A. B. C. D.

3

Hướng dẫn giải

log

a



log

b

  3

log

ab

  

ab

3

3

3

3

3

3 2

a b

 

2

ab



2.3

Ta có

x

Áp dụng bđt côsi . Chọn B.

S



f



f

  ...

f

  f x 

x

1 2018

2 2018

2018 2018

3 

3

  

  

  

  

  

  

Câu 16: Cho . Đặt . Hỏi khẳng định nào dưới

3 đây là khẳng định đúng? A.

1008.

S 

S 

1009.

S 

1008.

S 

1009.

B. C. D.

Hướng dẫn giải

x

x

x



f



x











1

Chọn D.

  f x

 1



x

 1 3 x

x

x

3 

3

3

 1 3



3

3

3 

3

3

3 

3

Ta có

S



f



f

  ...

f

1 2018

2 2018

2018 2018

  

  

  

  

  

  



f



f

  ...

f



f



f



f

  1

1 2018

2017 2018

1008 2018

1010 2018

1 2

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  



1008



1009.

1   2

3 

3

3

Từ đó

,a b c là các số thực dương khác 1. Hỏi khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?

,

Câu 17: Cho

10 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_LOGARIT

log

c

log

a

log

c

log

c

log

c

log

b

log

c

log

a

b

b

b

a

b

a

b

c

a

c

.

a

b

.

a

c

.

a

b

.

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

a

b

log

c

log

c

.log

a

.log

c

log

c

log

a

b

a

b

c

a

b

Chọn A.

a



a



a



c

.



log

Ta có

log

x



log

a



log

b

a b  thỏa mãn

0

,

3

9

3 3

2

32

Câu 18: Cho . Giá trị của x là?

x



3 a b

2 .

x



ab

3 .

x



a

b

3 .

x



a

b

2 .

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

3

2

log

x



log

a



log

b



log

x



log

a



log

b

3

9

3

3

3

3 3

2

2



log

x



log

3 a b

  x

3 a b

.

3

3

Chọn A.

log

x



3log



5 log

a

a

Câu 19: Tìm x biết .

A.

3 .

3 B.

x



a 3



b 5

x 

b 3 b 3 .5a

x



3 5. a b

x 

3



b 5

. C. D. .

H(cid:0)(cid:0)ng d(cid:0)n gi(cid:0)i

3

5

log

3log

a



5 log

b



log

x



log

a



log

b

3

3

3

3

3

3

5

5



log

x



log

3 a b .

  x

3 a b .

3

3

a 

ln 2

b 

ln 5

Chọn Ta có C.  x

I 

ln

ln



.....



ln



Câu 20: Đặt , . Tính theo a và b.

2 3 .

I

 

2

 a b

I



2

 

2

 a b

I



2

 a b

1 2  a b

99 100 I

















A. . B. C. . D. .

H(cid:0)(cid:0)ng d(cid:0)n gi(cid:0)i

Chọn

I



ln



ln



.....



ln



ln

...

.

.

2 3

99 100

1 2 3 99 2 3 4 100

  

  



2



ln10



ln

 

 2 ln 2.5





 

 



1 100  2 ln 2 ln 5



 2 a b



Ta có A. 1 2

log

.....



log

  3



log



n 

n 

310

n 

103

. Câu 21: Tìm số tự nhiên n biết

1 2 B. n 

2 3 310  . 1

n 1  n C.

 1

 . 1

 . 1

D. A.

103 H(cid:0)(cid:0)ng d(cid:0)n gi(cid:0)i

Chọn B.

log



log



.....



log

   3

log

.....

  3

1 2

2 3

n 

n

1

1 2 . 2 3

n 

n

1

  

  



3



log

   3



10

1 

n

1

1 

1

n

  

   3

3

     1 10

n

n

10

 1

Ta có

11 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

LOGARIT_VTED_2019

A



log tan

x

 

log cot

x

x

  

Câu 22: Cho . Tính giá trị biểu thức

   0; 2  0A 

A 

10

1A 

A   1

A. B. C. D.

A



log tan

x



log cot

x



log tan .cot

x

x



Hướng dẫn giải

 log1 0

x





   0; 2 

  







.....





Ta có: với thì

1x 

x

1 log

1 log

1 log

x

1 log

x

x

120 x log

2 3

n 3

Câu 23: Tìm số tự nhiên n thỏa mãn với 0

A. B.

3 3 C.

3 D.

n 

15

3 20

n 

n 

n 

10

12 Hướng dẫn giải







.....





1 log

x

1 log

x

1 log

x

1 log

x

120 x log

3

3

2 3

3 3

n 3









.....





1 log

x

2 log

x

3 log

x

n log

x

120 x log

3

3

3

3

3

   1 2 3 ....



n



Ta có:



1 log

x

120 x log

3

3

n

)



120

 



n (1 2

log

b

log

c

log

a

a

b

c





c

P



Suy ra: n =15

a log

b

b log

c

log

a

a

c

b



b

a



Câu 24: Cho $a,b,c$ là các số thực dương khác 1. Rút gọn biểu thức

   2 a b c 2 2

2

2

a



b



c

  a b c 2 2   b c

a

c     2 a b c a





b

 c

c

A. B. C. D.

  a b c   b a Hướng dẫn giải

log

b

log

c

log

a

b

log

log

c

log

a

a

b

c

a

b

c





c

Ta

P



a 2log

b

c

2log

a

a log

b

b log

c

log

a

a

b

c

a

b

c

 b 2log  b

c   c

a

b

b log

c

a

a

b

c

a log a

 b

 c log c





2

2

2

log

b

log

c

log

a

a

b

c

a b c   2 2   c b

a

a



b



c





 



 2 



có: =

1



log

x





log

x



Chọn đáp án: A

c

c

loga x m , logb x n ,









1 log

x

1 log

x

1 log

1 1 1 1 p m n

abc

a

b

logc x theo m,n,p (giả thiết các logarit đều có nghĩa)

Câu 25: Cho . Tính









logc x

logc x

1 1 1  p m n

1 1 1  p m n

A. B.

log



log



c x

c x









1 1 1 1 p m n

1 1 1 1 p m n

C. D.

12 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_LOGARIT

Hướng dẫn giải

1



log

x





log

x



log

abc



log

a



log

b



log

c

c

c

x

x

x

x









1 log

x

1 log

x

1 log

1 1 1 1 p m n

abc

a

b

T



(log

b



log

a



2)(log

b



log

b

)log

a

1

Chọn C

 ta được kết quả? (giả thiết

a

b

a

b

ab

Câu 26: Rút gọn biểu thức

các logarit đều có nghĩa) A. loga b B. logb a C. - loga b D. - logb a

Hướng dẫn giải

t



b

loga

Chọn A

t



1



21

T



t

2

t



.

  

T

1





1

1   t

1 t

t

1 

t

1

  

  

 . 1  

  

1 t

    

    1 

x

z

Đặt

   ? y

log (log (log

x

))



y

))



z

))

 . Tính tổng T

0

2

3

4

4

2

3

Câu 27: Cho

A. 82

log (log (log 3 B. 24

log (log (log 4 2 C. 89

D. 32

Hướng dẫn giải

log (log (log

x

))

  0

x

) 1

 

  

3

x

64

2

3

4

log (log 3

4

log x 4

log (log (log

y

))

  0

y

) 1

 

  

4

y

16

3

4

2

log (log 4

2

log y 2

log (log (log

z

))

  0

z

) 1

 

   z 9

2

4

2

3

log (log 2

3

log z 3

T

    y

x

z

64 16 9 89

 



2

T



 a



 b

1 4 

ab

Chọn C

,a b là các số thực dương) ta được kết quả





   

   

T



 a



 b 2

 2T

b   a



b   a



Câu 28: Rút gọn biểu thức ( với

 b  .

là A. T a B. . C. . D. T .

Hướng dẫn giải

2

 2

 2

 2

 2



a



2

  a b



b



4

  a b



a



2

  a b



b



b   a

T



 a



 b

1 4 

ab



2





   

   

  T

b   a

Chọn D.

13 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

LOGARIT_VTED_2019

4 5

a

3 4a

log



log

,a b thoả mãn

b

b

1 2

2 3

Câu 29: Cho hai số thực và . Hỏi khẳng định nào dưới đây là

b 1,

 . 1

a

a



1, 0

  .

b

1

  a

1, 0

  . D. 0 1

b

  a

1,

b

 . 1

khẳng định đúng? A. B. C. 0

Hướng dẫn giải

4 5

Chọn

1a  .

a

4  , 5

Do nên 0 D. 3 4a

1b  .

log



log

b

b

3 4 2  , 3

1 2

1 2

2 3

P 

4

nên

A. .

log 3.log 4.log 5....log C. B.

3 .

10

P 

15

2 P 

11

4096. . 12

4095 P 

D. . Câu 30: Tính giá trị biểu thức P 

Hướng dẫn giải

b



log

c

P 

12

b

a

log 4096 2

1 3

1 3

a

b



a

P



C. c nên . Chọn Do log .log a

,a b là các số thực dương. Rút gọn biểu thức

b 6

6

a



b

1

3

3P 

ab



ab

P



2 2 a b

P



Câu 31: Cho .

A. . B.

C. P

D.

.

.

3

ab

.

Hướng dẫn giải

1 6

1 3

1 6

1 2

1 2

a

a



(

b

)

3

P









ab

 b b 6

6

1 3 a b . 6

1 3 b a . 6

1 3 a b a . 6

 6

a



b

a



b

a



b

ln

a



ln 2,

b



ln 5

Chọn 1 3 A. 1 3 .

16 25

ln



2(

 a b

)

ln



4

a



b 2

Câu 32: Đặt . Hãy biểu diễn theo a và b .

ln



4

a



b 2

ln



2(

 a b

)

A. . B. .

16 25 16 25

16 25 16 25

C. D.

Hướng dẫn giải

ln



ln16 ln 25 4ln 2 2ln 5 4









a



b 2

Chọn B.

16 25

2 3

3

3 3

2 3

(

a



1)(



a

)



P



Ta có

1a  . Rút gọn biểu thức

a 4 3

a 3

a

P a

a P a

Câu 33: Cho 0 .

 .

A.

 B.

P a

P a

3 1 3 1 

2 3 1  2 3 1 

C. D.

Hướng dẫn giải

14 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_LOGARIT

3

3

3

3

2 3

3 3

3

3

(

a



1).(

a

(

  1

a

)

(

a





a 1).

3

P







a



1

 a 1). 4 3

a 3

1).( 3

a 3 3

a



a

(

a

a



1)

log

x



a log 5



3log

b



4log

c

Chọn A.

4

4

c

a

x



x



x



x



Câu 34: Tìm số thực x thỏa mãn .

B. A. .

C.

D.

1 2 5ac 3 b

2 4 25a c 3 b

5a 3 4 b c

. 5 3 b

Hướng dẫn giải

4

c

a

3

4

log 5

a



3log

b



4log

c



log 5

a



log

b



log

c



log

Chọn A.

5 3

1 2

b

4

4

c

a

c

a

log

x



log

  x

Ta có:

5 3

5 3

b

b

t

t

1  1

t  1

Vậy .



t

,

y



t

t (

0,

t

 . 1)

x

x

y

y

x

x 1 y

Câu 35: Tìm mối liên hệ giữa x và y biết

y

x

y

x

y

x



.y x y

 1 yy

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

t

t

1  1

t  1

Chọn A.



t

(1)

x



t

,

y



t

y x

Theo đề bài ta có: suy ra .

lg

x



t .lg , lg

y



.lg

t





t

(2)

1 

t

1

t 

t

1

lg lg

y x

x

y

x

lg

y



y

lg

x

  y

x

Lấy lg hai vế của biểu thức x và y ta được:

lg lg

y x

y   x

Từ (1) và (2) ta có:

1 log 1000 81

Câu 36: Cho log 3 a .Tính theo a .





12

a

3 a 4

4 a 3

1 12a

1 log 1000 81

1 log 1000 81

1 log 1000 81

1 log 1000 81

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

Chọn B.



log

81







a

1000

log 81 log1000

4.log 3 3

4 3

1 log 1000 81

Ta có:

log (log (log

x

))



log

y

2

3

4

2

2

y

2

y

Câu 37: Cho hai số thực x và y thỏa mãn: . Tìm hệ thức giữa x và y .

x 

34

x 

64 y

x 

34

x 

24 y

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

15 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

LOGARIT_VTED_2019

Chọn C.

log (log (log

x

))



log

y

3

4

2

2



log (log (log

x

))



2 log

y

2

2

3

4

2



log (log (log

x

))



log

y

2

3

4

2

2

2

y

y

3



x

)

2   y

log

x

  

3

x

4

log (log 3

4

4

20172

Ta có: .

log

1

 x  . Cho biết log 2 0,30103.

Hỏi số Câu 38: Với mỗi số thực dương x , khi viết x dưới dạng thập phân thì số các chữ số đứng trước dấu khi viết trong hệ thập phân ta 

phẩy của x là  được một số có bao nhiêu chữ số? ( kí hiệu  x là số nguyên lớn nhất không vượt quá x . A. 607 . C. 609 . B. 606 . D. 608 .

Hướng dẫn giải

2017

Chọn C.

log 2



2017.log 2



2017.0,30103 607,17751



20172

Ta có:

 

1 608

 607,17751

20172

suy ra số các chữ số đứng trước dấu phấy của . là: 

Nên số khi viết trong hệ thập phân ta được một số có 608chữ số.



x

 1 sin

x



log 1, 25 0

 1 sin

x

 1 cos

x

 log 1 cos





 . Giá trị của 





2

1 2

Câu 39: Cho biết là?



10



10



2 10



2 10



13 2

 13 4

13 4

A. B. D. C.

13 2 Hướng dẫn giải



x

 1 sin

x



 log 1, 25 0

 log 1 cos





2

1 2





x

 1 sin

x



 log 1 cos





2

log 1, 25 2

x

 1 sin

x



1, 25

   1 cos





 

1 sin

x



cos

x



x sin cos

x



1, 25



sin

x



cos

x

x sin .cos

x

1   4

2

2



sin

x

cos

x



x sin cos

x



 0

15 16

5 2

Chọn C.

16 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_LOGARIT



x sin .cos

x



l ( )



2



x (sin .cos ) x



65 20 10 4



x sin .cos

x



n ( )

     

5 2 10 4 5 2 10 4



x

 1 cos

x



   1 sin





13 4 10 4

  x

log

24 cos

2cot x là?



 x  . Giá trị của

24sin

x

 2

3 2

thỏa mãn Câu 40: Cho 0

A. 8 . B. 7 . D. 5 . C. 6 .

Hướng dẫn giải

3

2

3

3 2

24 cos

x



24sin

x



cos

x



2 6. sin

x



cos

x



24sin

x

log

24 cos

x









24sin

x

3   2

2

3



24 sin

x



sin

x

   1 0

sin

x

1  . 3

1

2

cot

x



  1

 

1 8

Chọn A.

2

1 2 sin

x

1 3

  

  

Vậy

log

1000 2

 . Giá trị lớn nhất của

0

,a b là các số nguyên dương thỏa mãn

a





2

b 2





 log log 2



Câu 41: Cho

ab là? A. 500 .

B. 375 . D. 125 .

C. 250 . Hướng dẫn giải

a

log

1000 2



0



log

log

1000 2



log

1000 2



2

 1

a

a













b 2

2

b 2

b 2

2









B.



ab .2



1000 2



2



1000



.2ab

Chọn  log log 2

3

3  1000 2 .5

a



3,

b

  

125

a b .

375

.

2



nx

Ta có nên để tích ab lớn nhất thì .

  f x





 1 logm

2

1

m

log

xác định một đoạn có độ dài bằng Câu 42: Tập hợp các số thực x để hàm số

m

n 1,

 ). Giá trị của

0

2016

 mn

(với là?

B. 0 . D. 2 . C. 1.

1 2016 A. 1 .

Hướng dẫn giải

nx m m



x

Chọn A.

 

 1



 1

m nx

1   m

1     mn

m n

ĐKXĐ: 1 log



1 m   n mn

1 2016

2

1

m

log

Yêu cầu bài toán

  . 1

2016

 mn

Suy ra

17 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

LOGARIT_VTED_2019

x y z là ba số thực dương thỏa mãn ;

;

y



2 log

4

z



log

8

yz

 . Giá trị

0

4











 2 log 2 x

2

x

2

x

Câu 43: Cho

5xy z được viết dưới dạng

p q

1 p q

của trong đó là phân số tối giản. Giá trị của p q là

2 B. 48 .

D. 52 . A. 49 .

C. 50 . Hướng dẫn giải

Chọn A.

y



2 log

4

z



log

8

yz

 . t

4











 2 log 2 x

2

x

2

x



t 2

t 12

x



y

2

Đặt:





4

t

t

1 6

t 2

t 2

t 2

t 2

2

2

x

z

t .2 . 2

x



x



t 2 .

x

3   x

2

4

t

 

t 2 .

 x

yz

x . 2 t 5 12

     4   8  









2

t 5 12

t 5 12

43 6

   y      2    z  2 4

5 xy z



1  2 .2 6

5 .2



2



p q 

49

1 43 6

2

Do đó: . Vậy

Câu 44: Có bao nhiêu số tự nhiên n thỏa mãn log12, log 75 và log n là độ dài ba cạnh một tam giác A. 895. B. 894. C. 893. D. 892.

Hướng dẫn giải

log12, log 75 và log n là độ dài ba cạnh một tam giác



log12 log 75 log





n



 log 75 log12



log 900 log



n



log

  

900

n

Chọn C.

25 4

25 4

.

10 11

2

Mà n là số tự nhiên nên

a b  và 0

,

ab

5 8 a b

, log

, log

a b

log

n  

  . Vậy có 893 số. 7,8, 9,10,....,899    



Câu 45: Cho biết theo thứ tự là số hạng đầu, số hạng thứ

hai và số hạng thứ ba của một cấp số cộng. Số hạng thứ 2016 là log nb . Giá trị của n là? A. 36270. D. 36260. C. 36265. B. 36275.

Hướng dẫn giải

x



log

cos x

x



cos x



log

n

Chọn B.

  và 1

 . Giá trị của n là?

 log sin







 log sin



 1



1 2

Câu 46: Cho

A. 9. B. 10. C. 11. D. 12.

Hướng dẫn giải

log

xyz

 

3 log

x

log

xyz

 

3 log

y

Chọn D.

 ; 5

 ; 4

,





2

5

3

5

3 log

 

xyz

log

4

z

 . Giá trị của

Câu 47: Cho



S

 x

log



log

 z

y



log



5

5

5

là

x y z là các số thực dương thỏa mãn ,  4 A. 0.

B. 1.

5 C. 2.

D. 3.

18 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_LOGARIT

Hướng dẫn giải

2

2



x y ;



x



y

x



y

 



S 1

 log 1



 

 

Chọn D.

2

2

S



x y ;



x



2 log

y

 



y

x





2

 log 2

 

 1 log  

Câu 48: Cho biết

2S chia

Tỉ số diện tích của

 1S là? B. 100.

A. 99. C. 101. D. 102.

Hướng dẫn giải

5 12

8 15

Chọn D.

a b  và 0

,

3 7 a b

log

, log

a b

, log

a b









 Công sai của cấp số cộng này là

 logn

b .

Câu 49: Cho biết theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.

B. 7 . D. 9 . C. 8 . A. 6 .

8 15

5 12

Hướng dẫn giải

, log

2

8 15

5 12

11 22

10

24

Vì

11 22 a b





10 24 b a

a b 



 log

 a b

a b

 



log

a b



b

log

3 7 a b 

, log 

 a b  log2







. Chọn D  3 7 a b

log  Lại

5

5 12

số cộng là





b

3 7 a b

d



log

a b



log



  9 log b

a b  công 



 theo thứ tự lập thành một cấp số cộng nên   og a l sai cấp 



 2 5 log a b





. có  của 22   log b

,A B C lần lượt

,



log

x y ,





x 3log

y thuộc đồ thị các hàm

Câu 50: Hình vuông ABCD có diện tích bằng 36, AB song song với trục hoành và

x y 2log , a

a

. Giá trị của a là.

B. 3 . D. 6 . A. 6 3 .

a C. 3 6 . Hướng dẫn giải







x 3log

y ,A B C lần lượt thuộc đồ thị các hàm

,

a

a

Chọn A Vì và AB song

 A d

 d ,

 B b

log  b ,

, x y  C b

x y 2log , a  b .

; log a

; 2 log a

;3log a

2

log

d



b 2log

  d

b

song với trục hoành nên

a

a

2

BC



b

Lại có AB song song với trục hoành nên

 AB d b

 

b

 và

b

2

2

2

Suy ra

AB





b

      . b

36

6

3

b

b

b

log a 

6

log 3 6





BC



  6

Do vậy diện tích hình vuông là

log 3 a

 

6



a

a log 3 a

  

3 1 6 3

. Do vậy

. 2   a    

19 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

LOGARIT_VTED_2019

20 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Mũ_Logarit

NHÓM GIẢI VẬN DỤNG CAO CHUYÊN ĐỀ MŨ_LOGARIT - NĂM HỌC 2018-2019

VTED_2019 MÔN: TOÁN 12

Thời gian làm bài 90 phút

,a b là các số thực dương khác 1. Mệnh đề nào sau đây đúng?

loga b

loga b

loga b

logb a

Câu 1. Cho

a

a

b

a

b b

a

a

A. . B. . C. . D. .

a

0,

a

Câu 2. Cho

log



log x.log y

log







x

y

log

x



y

 

 và 1 

,x y là hai số thực dương. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?  log x y



a

a

a

a

a

a

B. . . A.



 log x log y



log x.log y





 log xy a

a

a

 log xy a

a

a

C. . D. .

,x y là hai số thực dương. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?

a



0,

a

 và 1

Câu 3. Cho



log

x



log

y



log

x



log

y

a

a

a

a

a

a

x y

x y

a

a

. . A. log B. log

log



log



a

a

x y

log log

x y

x y

log log

y x

a

a

C. D. .

2

2

2

log

x



log

x

log

x



2 log

x

log

2 x



2log

x

log

x



log

x

Câu 4. Cho x là số thực khác 0 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?



2

2

2

2

2

2

2

2

2

1 2

A. . B. . C. . D. .

1a  và các số nguyên dương m , n , p , q lớn hơn 1. Khẳng định nào sau đây là

p

p



q

q



Câu 5. Cho

n

n

a

a

a  , 0 khẳng định đúng? m p . n q

n q . m p

p

p

q



q



A. log . B. log .

n

n

a

a

m q . n p

n p . m q

C. log . D. log .

a b  và khác 1. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

0

,

log

ab

 

b

log

ab

 

b

2

2

Câu 6. Cho hai số thực









2 2loga

2 loga

a

a

b

b

a

log

ab



log

2

2

A. . B. .







 ab 

a

a

 1 log 2

log a 2

a b  và khác 1. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

0

,

2 3 a b

log

 

2 3log

b

log

2 3 a b

 

2 3log

b

C. . D. .

a

a

a

a







log

2 3 a b

log

b

log

2 3 a b

log

a

A. . B. . Câu 7. Cho hai số thực 

a

a

a

b









1   2

1 3

1   2

1 3

2

2

C. . D. .

a



b



98

ab

Câu 8. Cho hai số thực dương thoả mãn . Khẳng định nào sau đây là khẳng định

2 log

 a b



log

a



og

b

log



log

 a l

og

b

đúng?





2

2

2

2

2

2

 a b 2

A. . B. .

1 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

2 log



log

a



log

b

log



a



log

b

 2 log



2

2

2

2

2

2

 a b 10

 a b 10

2

2

2

a



b



98

ab

a b



100

ab



2log

 a b



lo

b a g 1 0 0



2log



2 log

a



g lo

b

C. . D. .

  







2

2

2

2

2

 a b 10

Câu 9.

x



log

y N

 Khi đó N bằng

.

b

Biết log

.

.

a b xy .



ab xy .

ab

a b

a x y

x y

A. log D. log B. log C. log

x



log

y



log

z N

 Khi đó N bằng

.

b

c

Câu 10. Hỏi Biết log

xyz abc .

a abc xyz .

B. log A. log

log

 

.

log

  y

z

.







xyz a b c

 abc x

x

y

C. D.



4



z 12 .



xy



yz



zx



. Câu 11. Biết 3 Tính S

S  1.

S  3.

S  0.

S



12

.xyz

A. B. C. D.

a b  thỏa mãn

0

2 log

 a b



log

a



log

b

 Tính

2.





2

2

2

a b

Câu 12. Cho

 . 2

 . 4

 4

 

3 2 2

 

3 2 2

a b

a b

a b

a b

a b

a

b

c

,



4



6

S



A. B. C. . D. .

,a b c khác 0 thỏa mãn 9

c a

c  b

Câu 13. Cho các số thực . Tính

S  . 2

S 

36

S  . 6

1 S  . 6

b

c

,



4



12

S

A. B. . C. D.

a ,a b c khác 0 thỏa mãn 3

 

c a

c b

Câu 14. Cho các số thực . Tính

1S  .

S  . 2

S  . 4

1 S  . 2

a

c

S



ab bc ca 3 .







b 125



15

A. B. D. C.

,a b c khác 0 thỏa mãn 27 ,

Câu 15. Cho các số thực . Tính

S  . 0

1S  .

S  . 3

1 S  3

log

x



2

y



log

x



2

y

1

A. B. C. D.

 . Giá trị nhỏ nhất của

,x y thỏa mãn









4

4

S



x



y

Câu 16. [2D2-2] Cho hai số thực

?

3 2

1 2

log 7 6

log 3 2

log 5 4

,

A. 3 . B. . C. . D. 2 .

,a b c khác 1 thỏa mãn

a



2,

b



4,

c



6

2 log 3 2

2 log 5 4

2 log 7 6



b

 P a .

Câu 17. [2D2-2] Cho các số thực . Tính giá trị

 B.

P   5

3



7

P 

8 3

log 3 2

log 5 4

,

a

b

8

C. . D. . biểu thức P  24 A. c 1P  .

,a b c khác 1 thỏa mãn

 . Tính giá trị biểu thức

2 log 3 2

2 log 5 4

S



a



b

Câu 18. [2D2-2] Cho các số thực

2 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Mũ_Logarit

P 

 27 5 5

P 

32

P 

128

P 

152



a



b



2

2

 a b 4

X



,

Y



2

A. . B. . C. . D. .

,a b bất kì. Đặt

 2

2

X

Y 2

X Y

22X Y

Câu 19. [2D2-2] Cho hai số thực . Khẳng định nào sau đây là

khẳng định đúng? A. X Y . B. . C. . D. .

,a b thỏa mãn

a

b  . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

1

Câu 20. [2D2-2] Cho hai số thực

b

 

1 log

a

b

 

1 log

a

b



log

a

 . D. log

1

b



log

a

 . 1

a

b

a

b

a

b

a

b

1

A. log . B. log . C. log

,a b thỏa mãn

a b  . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

Câu 21. [2D2-2] Cho hai số thực

  1

  1



 . D.

1



 . 1

1 log

b

1 log

a

1 log

b

1 log

a

1 log

b

1 log

a

1 log

b

1 log

a

a

b

a

b

a

b

a

b

A. . B. . C.

   . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng

a b

1

,a b thỏa mãn 0

Câu 22. Cho hai số thực dương

b

 

1 log

a

b

 

1 log

a

b



log

a

 D. log

1

b



log

a

 1

b

a

b

a

b

b

a

a

1

A. log B. log C. log



 D.

  1



1



 1

1 log

b

a

   . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? 1 log

a b 1 log

1 log

1 log

1 log

b

a

a

b

b

1 log

a

b

a

b

a

b

a

b

a

2

2

2

A. C. B. Câu 23. Cho hai số thực dương 0 1 log

,a b c thỏa mãn

,

a



1,

b



1,

c

 và 1

a



b



c

2

2

2

2

2

2

Câu 24. Cho các số thực dương . Khẳng định nào sau

2

c



b

 4

log

c



a



log

c



b

 4

log

c



a



log

a

b

b

a

















2

2

2

2

log

c



a



log

c



b



đây là khẳng định sai 2 B. A.

a



log

a



2 log

a .log

a

c

c

 log 4 4 c

 c b

 c b

 c b

 c b









C. D. log

,a b x là các số thực dương khác 1 và các phát biểu sau ,

b

I ( ) : log

x



log

x ;

b

a

a

log

x

b

b

(

II

) : log



;

a

ab x

  1 log a log a

b

(

III

) : log

b .log

x .log

a  1.

b

a

x

Câu 25. Cho

Tìm các phát biểu đúng.

A. Chỉ (I) và (II) đúng. B. Chỉ (II) và (III) đúng.

a

b

C. Chỉ (I) và (III) đúng. D. Cả (I), (II), (III) đúng.

,a b c thỏa mãn 4 .5 .7 ,

c  Khẳng định nào sau đây sai?

1.

 a b



c

a





Câu 26. Cho các số thực

 log 7 0.

 2 log 5 2 log 7 0. c b

log 5 4

2

2

4

a

 

b c

a



b

c

A. B.

 log 7 0.

  0.

log 4 5

log 4 7

log 5 7

5

a

C. D.

b ,a b c và d thỏa mãn 3 .7 ,



d c 9 .49 .

Khẳng định nào sau đây là khằng định

Câu 27. Cho các số thực đúng?

3 | VD_VDC

Tài liệu Vted_2018

và A.

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19 c 2

d 2

a

b

d

B. a c và b

a



c 2 ) ln 3 (2



 d b

) ln 7.

a



c 2 )ln 7 (2



 d b

) ln 3.

log 7 3

log 11 7

log 25 11

C. ( D. (

a



27,

b



47,

c



11.

,a b c là các số thực dương thỏa mãn

,

2 log 7 3

2 log 11 7

2 log 25 11

Câu 28. Cho các số Giá trị

a



b

là?

của biểu thức A 343.

c  B. 469.

2



log

x

.

 N f





f

f

C. 87. D. 138.

  f x

  11

 14



2002

Câu 29. Cho hàm số Hỏi có giá trị là?

  13 C. 2.

3

m



log

3.

D. 3. A 0. B. 1.

b a 

a b

a b

Câu 30. Cho log Tính ?

m 

3 3.

m  

3 3

.

m  

m 

.

3 3

3 3

B. C. D. A

m 

log

90

,a

log 5 b . Tính

3

9

2

a

ab

log 3 2 2

a

ab

Câu 31. Cho theo a và b .

m



m



  1 a 2

  1 a 4

2

a

ab

2

a

ab

B. . A. .

m



m



  1 a 2

  1 a 4

3

D. C. .

20

b . Tính

m 

log

60

2

30

3

m





m

Câu 32. Cho theo a và b .

3

3

  2  a b 1     ab a 1

log 3 a , log    a b 1 2     ab a 1

a



b 2

m



m



B. . A. .

 ab a

 ab a

3

 3 2

 1    1

a 

 b 2 1     1

3

D. C. .

m 

log

16

a . Tính

9

Câu 33. Cho theo a và b .

m 

m 

m 

m 

log 2 3 a 8 3

a 2 3

a 4 3

a 4 9

m 

3

2

log 63 6

A. . B. . C. . D.

a

a



Câu 34. Cho

m





m



m

m



log 3 a , log 7 b . Tính    b 2 1  a 1

1   a b  1 a

1   a b  1 a

B. . . C. . A. D. . theo a và b .   b 2  1 a

log

100

b . Tính

m 

log

300

log 5 a ,

15

2

1

m



m



Câu 35. Cho theo a và b .

2   ab a 2   1 2 a

3  b 2 ab 2

  ab a 2   1 2 a

 2 b ab 2

1

m



m



A. . B. .

  ab a 2 2 2    a ab b 2 2

1

   b 2 ab a 2   2 2 2 ab a

C. . D. .

log 5 a ,

log 8 b . Tính

m 

3

3

log 40 45

Câu 36. Cho theo a và b .

4 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

m



m



m



m



A. . B. . C. . D. .

Chuyên đề_Mũ_Logarit 2b   a b

2a   a b

a b   b 2

a b   a 2



x



y

x



y 3 )



log(

x



y 3 )

 . Giá trị nhỏ nhất của S

2

,x y thỏa mãn log(

Câu 37. Cho hai số thực

là?

20 2 3

5 6 2

3

a 

A. . D. . B. 10 . C. 10 2 .

m 

log

log 2 5

100 5

5 4

Câu 38. Cho . Tính .

m



m



m



m



4  2 a  3 12 a

12  3 a  2 4 a

4  2 a  3 12 a

a  3 12  2 a 4

a



b



A. . B. . C. . D. .

log

30 theo a và b.

log 5, 2

log 5 3

60

)

Câu 39. Cho . Tính

log

30



log

30



60

60

ab a b     ab b

a 2 )

2(

2( ab b

ab a b     2 a

)

A. . B. .

log

30



log

30



60

60

ab a b     ab a

b 2 )

2(

2( ab a

ab a b     2 b

C. . D.



a

log

60 theo a và b .

log 3, 5

log 2 3

15

 

 

1

ab a

ab a

1

 b  2 2

Câu 40. Cho

 2 2







log

60

log

60

15

15



b

1

 a b

 

ab a

1

 2 2



2

1

. Tính  . A. B.





log

60

log

60

15

15



a

1

  ab a  a b

1  1 log

b

1  1 log

c

C. . D. .





a

10

,

b

10

1

1

 1 log

 1 log

1  1 log

ab

1  1 log

a





a b

b a

Câu 41. Cho . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?









c

10

c

10

c

10

c

10

A. . B. . . C. . D.





a

b

log 54 24









Câu 42. Cho

  . B.

 . C.

 a b

ab

5

1

ab

 a b

 a b

ab

5

5

1

  . D. 1

ab

5

 a b

 . 1

log 18, 12  











A. . Tìm hệ thức độc lập giữa a và b . 

a 

b 

log 40 20

log 50 10  ab

b 2





b 2



ab 5

 5

Câu 43. Cho , . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

a A. 3

a B. 3

 1

a



b 3



ab

 5

C. 2

a



b 3



ab 5

 1

1

D. 2

x 

3 2017!

A









1 log

x

1 log

x

log

x

2

3

2017

Câu 44. Tính giá trị biểu thức , với .

3A 

A 

3

1 3

C. D. B. A. 1

5 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018



log

x

S



f

2017

 f x







2

1 2017

   f  S 

log

   2017

Câu 45. Cho . Tính giá trị của .

S  1

S  0

S 

log 2017 2

2

A. B. D. C.



a b c  thỏa mãn

1

,

,

2 3 a b

c Giá trị biểu thức

.

6

6

2 log

c

3 log

c

a

b

là Câu 46. Cho biết

1 6

1 3

1 4

1 5

D. . A. . B. . C. .

,x y là 2 số thực dương thỏa mãn

.

log

x



log

y



log

x



2

y

3



Câu 47. Cho Giá trị nhỏ nhất của



log

y

x

log

2

là

C. 3 .

2 A. 1.

2

B. 2 . D. 4 .

,x y là hai số thực dương thỏa mãn

y là?

ln

x

ln

x



ln

y





y



Câu 48. Cho . Giá trị nhỏ nhất của x

 2

2

y



log

.

. . . C. 3 A. 2 2 3 . B. 3 2 2  D. 3

,A B là hai điểm có hoành độ tương ứng

 x C



a

,x x thuộc đồ thị hàm số 1

2

C tại điểm có

Câu 49. Gọi Đường

2

2

thẳng qua trung điểm của đoạn thẳng AB song song với trục hoành cắt đồ thị  hoành độ





x



x

x 32 .

x 2

x x 1 2

32 .

C. D. A. 1 x

3.x Khẳng định nào sau đây đúng? B. x  1

x 3 .

x 2

x x 1 2

3 .

,a b c thỏa mãn

,

a b c  và đặt 1

,

,

x



log

b



log

a

, y



log

b





log

c



log

a .

b

a

log c, z b

c

a

c

2

2

2

Câu 50. Cho các số thực

x



y



z



xyz

Giá trị của biểu thức là?

C. 3 A. 1 B. 2 D. 4

----------HẾT----------

NHÓM GIẢI VẬN DỤNG CAO CHUYÊN ĐỀ MŨ LOGARIT - NĂM HỌC 2018-2019

VTED_2019 MÔN: TOÁN 12

6 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Mũ_Logarit

Thời gian làm bài 90 phút

Đề đã thay đổi thứ tự câu (sắp xếp theo độ khó tăng dần) so với đề gốc

BẢNG ĐÁP ÁN THAM KHẢO

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

HƯỚNG DẪN GIẢI

,a b là các số thực dương khác 1 . Mệnh đề nào sau đây đúng?

loga b

loga b

loga b

logb a

Câu 1: Cho

a

a

b

a

b b

a

a

A. . B. . . D. .

C. Lời giải

Chọn B Công thức sách giáo khoa.

a

0,

a

Câu 2: Cho

log



log x.log y

log







x

y

log

x



y

 

 và 1 

,x y là hai số thực dương. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?  log x y



a

a

a

a

a

a

B. . . A.



 log x log y



log x.log y





 log xy a

a

a

 log xy a

a

a

C. . D. .

Lời giải Chọn C

a



0,

a

 và 1

,x y là hai số thực dương. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?

Câu 3: Cho



log

x



log

y



log

x



log

y

a

a

a

a

a

a

x y

x y

a

a

. . A. log B. log

log



log



a

a

x y

log log

x y

x y

log log

y x

a

a

C. D. .

Lời giải

Chọn A

2

2

2

log

2 x



2log

x

log

x



log

x

log

x



2log

x

Câu 4: Cho x là số thực khác 0 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

log

x



log

x



2

2

2

2

2

2

2

2

2

1 2

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B.

a  , 0

1a  và các số nguyên dương m , n , p , q lớn hơn 1. Khẳng định nào sau đây là

Câu 5: Cho

khẳng định đúng?

7 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

p

p

q



q



n

n

a

a

m p . n q

n q . m p

p

p

q



q



A. log . . B. log

n

n

a

a

m q . n p

n p . m q

C. log . . D. log

Lời giải

Chọn C.

a b  và khác 1. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

0

,

log

ab

 

b

log

ab

 

b

Câu 6. Cho hai số thực

2

2









2 2loga

2 loga

a

a

b

b

a

log

ab



log

2

2

A. . B. .







 ab 

a

a

 1 log 2

log a 2

C. . D. .

Lời giải

b

a

log

ab



log

a



log

b



2

Chọn C









a

a

a

1 2

 1 log 2

a b  và khác 1. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

0

,

2 3 a b

log

 

2 3log

b

log

2 3 a b

 

2 3log

b

.

a

a

a

a







2 3 a b

log

log

b

log

2 3 a b

log

a

A. . B. . C.

a

a

a

b









1 3

1   2

1 3

. D. . Câu 7. Cho hai số thực  1   2

Lời giải

2

3

log

2 3 a b



log

a



log

b

 

2 3log

b

Chọn A

a

a

a

a





2

2

Ta xét:. .

a



b



98

ab

log



log

 a l

og

b

2log

 a b



log

a



og

b

Câu 8. Cho hai số thực dương thoả mãn . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?





2

2

2

2

2

2

 a b 2

2 log



log

a



log

b

log



a



log

b

A. . B. .

 2 log



2

2

2

2

2

2

 a b 10

 a b 10

C. . D. .

Lời giải

2

2

2

a



b



98

ab

a b



100

ab



2log

 a b



lo

b a g 1 0 0



2log



2 log

a



g lo

b

Chọn C

  







2

2

2

2

2

 a b 10

Câu 9:

x



log

y N

 Khi đó N bằng

.

b

a

Biết log

.

.

a b xy .



ab xy .

ab

a b

x y

x y

B. log C. log A. log D. log

Lời giải

Chọn C

8 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Mũ_Logarit

N

  

x

a

a x N

N

Ta có: log

  

y

b

b y N

N

  xy

ab

  N

log

xy

log





ab

.

x



log

y



log

z N

 Khi đó N bằng

.

b

a

c

Câu 10: Hỏi Biết log

xyz abc .

abc xyz .

B. log A. log

log

 

.

log

  y

z

.







xyz a b c

 abc x

C. D.

Lời giải

N

Chọn A

  

x

a

a x N

N

Ta có: log

  

y

b

b y N

N

log

  

z

c

c z N

N

  xyz

abc

  N

log

xyz

log





abc

x

y

.



4



z 12 .



xy



yz



zx



. Câu 11: Biết 3 Tính S

S  1.

S  3.

S  0.

S



12

.xyz

A. B. C. D.

Lời giải

log

N

x

y



z

Chọn D

3



4



12

3 log

N

N

4 log

N

12

 x     y    z 

  S

log

N

.log

N



log

N

.log

N



log

N

.log

N

3

4

4

3

12

12

Đặt





1 log 3.log 4

1 log 4.log 12

1 log 12.log 3

N

N

N

N

N

N





N

N

N

N

=



 0

log 12 log 3 log 4 N log 3.log 4.log 12 N

N

N

 log 12 log 12 log 3.log 4.log 12 N

N

N

0

2 log

 a b



log

a



log

b

2.

=

a b  thỏa mãn

 Tính





2

2

2

a b

Câu 12. Cho

 . 2

 . 4

 

3 2 2

 

3 2 2

a b

a b

a b

a b

A. B. C. . D. .

Lời giải

Chọn C

9 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

2

2 log

 a b



log

a



log

b

  2

log

ab



 a b









2

2

2

 log 4 2

2

2

2

2

2

  a

2

 ab b

  

ab

4

a

6

 ab b

0

3 2 2

 a     b

a

b

c

Ta có:

S



,a b c khác 0 thỏa mãn 9

,



4



6

c a

c  b

Câu 13. Cho các số thực . Tính

S  . 2

S 

36

S  . 6

1 S  . 6

A. B. . C. D.

Lời giải

a

b

c

Chọn A.



4



6

 t

log

t

9

log

t

S





 log 9 log 4



2.

4

6

6

c     a

c b

log 9 t log 6 t

log 4 t log 6 t

log

t

6

 a  b      c

1 log 9 t 1 log 4 t 1 log 6 t

  a   b       c 

b

c

,



4



12

Từ giả thiết ta có 9

a ,a b c khác 0 thỏa mãn 3

S

 

c a

c b

Câu 14. Cho các số thực . Tính

1S  .

S  . 2

S  . 4

1 S  . 2

A. B. D. C.

Lời giải

c

a Từ giả thiết ta có 3



b 4



12

 t

S





log 3 log 4 1.





12

12

c     a

c b

log 3 t log 12 t

log 4 t log 12 t

1 log 3 t 1 log 4 t 1 log 12 t

  a   b       c 

a

c

S



ab bc ca 3 .





,



b 125



15

Chọn A.

,a b c khác 0 thỏa mãn 27

Câu 15. Cho các số thực . Tính

S  . 0

1S  .

S  . 3

1 S  3

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn A

10 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Mũ_Logarit

a

c



b 125



15

 t

log

t

27

t

  S

ab bc ca 3







3log

t

.log

t



log

t

.log

t



log

t

.log

t



0

log

15

15

27

125

125

27

log

125 t

15

 a  b      c

log

x



2

y



log

x



2

y

1

Ta có 27

 . Giá trị nhỏ nhất của

,x y thỏa mãn









4

4

S



x



y

Câu 16. [2D2-2] Cho hai số thực

?

3 2

1 2

A. 3 . B. . C. . D. 2 .

2

  x

 4 4

y



2

y



log

x



2

y



1

2

y

x



2

y

 4







   x





4

Lời giải

2

S



x



y



 4 4

y



y



 f y



Chọn A  x log 4 Do đó

y  0

 f y là hàm chẵn nên chỉ xét trường hợp



8

y

2



f

y



   

1 0

4

y

4 4

    y

y

f



3





2

1 3

1 3

  

  

2 4 4



y

log 3 2

log 5 4

log 7 6

Do

a



2,

b



4,

c



6

,a b c khác 1 thỏa mãn

,

2 log 7 6

2 log 3 2

2 log 5 4



b

 P a .

Câu 17. [2D2-2] Cho các số thực . Tính giá trị

 B.

P   5

3



7

P 

8 3

C. . D. . biểu thức A. P  24 c 1P  . Lời giải

log 32

log 7 6

2 log 7 6

2 log 3 2

2 log 5 4

log 5 4

1 2

1 2

 P a



b

2







4



3 5

 

7

  log 5 4

log 3 2

Chọn C Ta có

 Câu 18. [2D2-2] Cho các số thực

6 c ,a b c khác 1 thỏa mãn a ,

3  b

5 7 8

 . Tính giá trị biểu thức

2 log 3 2

2 log 5 4

S



a



b

P 

32

P 

 27 5 5

P 

128

P 

152

A. . B. . C. . D. . Lời giải

3

2 log 3 2

2 log 5 4

log 3 2

log 5 2

3 2

3 2

S



a



b



log 3 8 2



log 5 8 4



2



2



3 3



5



 27 5 5









a



b



2

2

 a b 4

X



,

Y



2

Chọn C Ta có

,a b bất kì. Đặt

  2

2

X

Y 2

Câu 19: [2D2-2] Cho hai số thực . Khẳng định nào sau đây là

X Y

22X Y

khẳng định đúng? A. X Y . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C.

Theo bất đẳng thức AM – GM ta có:

11 | VD_VDC

Tài liệu Vted_2018

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19 a





b



2

2



b

  (

a b

)

2

 a b 2

X





 a 2 .2

  X

2

  X

2

 

X Y

 2

.

a b  . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

1

,a b thỏa mãn

Câu 20: [2D2-2] Cho hai số thực

b

 

1 log

a

b

 

1 log

a

b



log

a

 . D. log

1

b



log

a

 . 1

a

a

b

b

b

a

b

a

A. log . B. log . C. log

Lời giải

Chọn B.

a b  nên log 1

b



log

a



log

b

 , log

1

a



log

b



log

a

 . 1

b

b

b

a

a

a

Do

a b  . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

1

,a b thỏa mãn

Câu 21: [2D2-2] Cho hai số thực

  1

  1



 . D.

1



 . 1

1 log

b

1 log

a

1 log

b

1 log

a

1 log

b

1 log

a

1 log

b

1 log

a

a

b

a

b

a

b

a

b

A. . B. . C.

Lời giải

Chọn A.

1

a b  nên log 1 log



b



log

a

 

0 log

b

 , log

1

a



log

b



log

a

 . 1

a

a

a

b

b

a

b

  1

Do

1 log

b

1 log

a

a

b

Do đó .

   . Khẳng định nào sau đây là khẳng định

a b

1

,a b thỏa mãn 0

b

 

1 log

a

b

 

1 log

a

b



log

a

 D. log

1

b



log

a

 1

a

b

a

b

a

b

a

b

Cho hai số thực dương Câu 22. đúng A. log B. log C. log

Lời giải

log

a



log

b

a

a



log

b

 

1 log

a

Chọn B

   nên

a b

1

a

b

log

b



log

a

b

b

  

Vì 0

1

Câu 23. Cho hai số thực dương 0



 D.

  1



1



 1

1 log

b

1 log

a

   . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? 1 log

a b 1 log

1 log

1 log

1 log

b

b

a

a

b

1 log

a

a

b

a

b

b

a

a

b

A. C. B.

Lời giải

log

a



log

b



log 1 a

 

0 log

b

 

1 log

a

a b

1

Chọn A

   nên

a

b

a log

b



a log

a

b

b

  



log

a



log

b

b

a

Vì 0

12 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Mũ_Logarit



  1

1 log

a

1 log

b

b

a

2

2

2

,a b c thỏa mãn

,

a



1,

b



1,

c

 và 1

a



b



c

2

2

2

2

2

2

2

Câu 24. Cho các số thực dương . Khẳng định nào sau

log





a

c

c



b

 4

log

c



a



log

c



b

 4

b

a

a

b

















2

2

2

2

log

c



a



log

c



b



B. đây là khẳng định sai 2 log A.

a



log

a



2 log

a .log

a

c

c

 log 4 4 c

 c b

 c b

 c b

 c b









C. D. log

Lời giải

2

2

2

2

2

2

log

c



a



log

c



b



log

b



log

a

Chọn C

   2 2 4

b

a

b

a









Khẳng định A đúng, vì

b

, log

a  . Do đó:

0

a



1,

b



1,

c

 nên log

1

b

a

2

2

2

2

log

c



a



log

c



b



2log

b



2 log

a



b

a

 4

a

b

a

4 log .log a

b

b









Khẳng định B đúng, vì

2

2

2

2

log

c



a



log

c



b



 log 4 2 log

b



log

a





ab







 2 log 2c

c

c

c

log 2 c

c

c









2

2

2

2

Khẳng định C sai, vì:



ab



2log

c

 4

a



b



c

2ab c



 2log 2 c

c



2

có nên

log

a



log

a





 c b

 c b

log

log

1   c b



a

a

2

2

  b

log

log

a





a log

.log

log

.log

  c b 

    c b

   c b

  c b 

1  c b   c a   c b

log 

   c b



a

a

a

a

2







2 log

a .log

a

 c b

 c b

a a .log

log

 c b

log

 c b

 c b

log   c b













2  .log

a

a

a

a

Khẳng định D đúng, vì

,a b x là các số thực dương khác 1 và các phát biểu sau ,

b

I ( ) : log

x



log

x ;

b

a

a

log

x

b

b

(

II

) : log



;

a

ab x

  1 log a log a

b

(

III

) : log

b .log

x .log

a  1.

b

a

x

Câu 25. Cho

Tìm các phát biểu đúng.

A. Chỉ (I) và (II) đúng. B. Chỉ (II) và (III) đúng.

13 | VD_VDC

Tài liệu Vted_2018

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19 C. Chỉ (I) và (III) đúng.

D. Cả (I), (II), (III) đúng.

Lời giải

b

I ( ) : log

x



b .

log

x



log

x .

b

a

a

a

1 b

(

II

) : log



ab

)



log

x



log

a



log

b



log

x

a

log ( a

a

a

a

a

ab x

log

x

b

b

b

b









.

log log

a a

1 log

a

log log

x a

  1 log a log a

b

b

b

b

(

III

) : log

b .log

x .log

a



log

x .log

a

 1.

b

a

x

a

x

a

b

Chọn D

,a b c thỏa mãn 4 .5 .7 ,

c  Khẳng định nào sau đây sai?

1.

 a b



c

a





Câu 26. Cho các số thực

 log 7 0.

 2 log 5 2 log 7 0. c b

log 5 4

4

2

2

a

 

b c

a



b

c

A. B.

 log 7 0.

  0.

log 4 5

5

log 4 7

log 5 7

C. D.

Lời giải

a

c

b log (4 .5 .7 ) 0

  

a b



c

  

a

b



c

 log 7 0.

4

log 5 4

log 7 0 4

log 5 2

2

1 2

1 2

a

Chọn B

b ,a b c và d thỏa mãn 3 .7 ,



d c 9 .49 .

Khẳng định nào sau đây là khằng định

Câu 27. Cho các số thực đúng? d 2 c a 2 b A. và   c a C. ( 2 ) ln 3 (2  d b ) ln 7.

c và b B. a d   c a D. ( 2 )ln 7 (2

 d b

) ln 3.

Lời giải

b

d

b

2

d



2

c

2

 d b



2

c

2

 d b

a 3 .7



c 9 .49



a 3 .7



c 2 3 .7



a 3



7



a ln(3

)



ln(7

)

  ( a

c 2 ) ln 3 (2



d



7) ln 7.

log 7 3

log 11 7

log 25 11

Chọn C

a



27,

b



47,

c



11.

,a b c là các số thực dương thỏa mãn

,

2 log 7 3

2 log 11 7

2 log 25 11

Câu 28. Cho các số Giá trị

a



b



c

của biểu thức là ?

C. 87. D. 138. A 343. B. 469.

Lời giải

Chọn B

Ta có

14 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Mũ_Logarit

log 7 3

log 11 7

log 25 11

2 log 7 3

2 log 11 7

log 7 3

log 11 7

2 log 25 11

log 25 11

a



b



c



a



b



c











log 25 11

log 7 3

log 11 7



27



49



11









 



3



7



2 11

 

5 469

2



log

x

.

 N f



f



f

  f x

  11

 13



 14



2002

Câu 29. Cho hàm số Hỏi có giá trị là?

C. 2. D. 3. A 0. B. 1.

Lời giải

Chọn C

 N f

f





f

 13

 14



2

2

2



log

   11 11 .13 .14

2002



2 log

11.13.14 2.



2002

3

3.

Ta có

m



log

b a 

a b

a b

Câu 30. Cho log Tính ?

m 

3 3.

m  

3 3

m 

.

m  

.

3 3

3 3

C. D. A B.

Lời giải

Chọn B

3

3

Ta có

a b

a b

a b

m  log  log a  log b a b

a b

a b

 log a  log b 1 3 1 2

a

b

a

 2 log

 1

 3 log

1 1   a  log b a 

 1

1  

 3 2  1 1 2 1 3 3 2            







2 3   3     3 1  3 2 3  3 2  3 2 3 2 3 3 

m 

log

90

,a

log 5 b . Tính

9

log 3 2

3

Câu 31. Cho theo a và b .

15 | VD_VDC

Tài liệu Vted_2018

2

a

ab

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19 2

ab

a

m



m



  1 a 2

  1 a 4

2

a

ab

2

a

ab

B. . A. .

m



m



  1 a 2

  1 a 4

D. . C.

Lời giải.

Chọn A.



log

9.2.5







m 

log

90



2

b









9

log 9 log 2 log 5 3

3

3

23

1 2

1 4

1 4

1   a

  

  

2

a

ab

Ta có:

m



  1 a 4

3

.

20

b . Tính

m 

log

60

2

3

30

b 2





b 2



m

m



Câu 32. Cho theo a và b .

log 3 a ,  ab a

3

 ab a

3

log  1    1

a 

 1    1

a 



b 2

a

m



m



A. . B. .

 ab a

3

 ab a

 1    1

a 

 3 2

 1 b 2     1

C. . D.

Lời giải.

Chọn D.



b 

 log 4 log 5

b 

log

20





3

3

3

1 2

2

b













b



log 2.log 5

log 5 3

log 5 3

3

2

1 2 log 3

  

1 2   a 2 

1 2   a 2 

  

2

  

  

Theo đề:



b









ab



2

.log 5 2

log 5 2 2

1 a

1 2   a 2 

  

.

3





m 

log

60











 1 log 2



30

log 60 30

30

1 3

1 3

1 1 log 3 log 5





1 3

1 3

1 log 30 2

2

2

  1 

  

  1 

  

Ta có:

m



1 3

1

  a

ab



2

ab a 2    ab 2

1

a

1 2

  1 

  

1    3 

  

3

.

log 2 a . Tính

m 

log

16

9

Câu 33. Cho theo a và b .

m 

m 

m 

m 

3 a 8 3

a 2 3

a 4 3

a 4 9

A. . B. . C. . D.

Lời giải.

Chọn B.

16 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Mũ_Logarit

4

3

m 

log

16









log 16 9

log 2 3

9

log 2 2 3

1 3

1 3

a 2 3

2 3

Ta có: .

2

3

a

a



Câu 34. Cho

m





m



m

m



log 3 a , log 7 b . Tính   b 2 1  a

 1

log 63 m  6 1  a b   1 a

1  a b   1 a

B. . . C. A. . D. . theo a và b .  2  b  1 a

Lời giải.

a

2



b

2







Chọn C.

m 







log 63 6

2  log 7 log 3 3 3  log 3 log 2

 a



1

log 63 3 log 3 3

3

3

1



b 1 a

Ta có .

log

100

b . Tính

m 

log

300

log 5 a ,

15

2

1

m



m



Câu 35. Cho theo a và b .

2   ab a 2   1 2 a

3  b 2 ab 2

  ab a 2   1 2 a

 2 b ab 2

1

m



m



A. . B. .

2 2 2   ab a    ab b 2 a 2

1

ab    2 2 b a   2 2 2 ab a

C. . D. .

Lời giải.

1

a

Chọn D.







b 

log

100





log 10 3

3

log 3 2

 b

log 10 2 log 3 2

 1 log 5 2 log 3 2

log

300



2

2

2

2

m 

log

300





.



.

15

1 2

 log 3 log 100  log 3 log 5

1 2

 log 3 2 log 5 2 2  log 3 log 5

log 15 2

2

2

2

2

1

a



2

a



2

1

Ta có .





.

 b 1

a

  a  2 2

2 a

ab  2 b  2 ab

1 2



a

 b

.

log 5 a ,

log 8 b . Tính

m 

3

log 40 45

m



m



m



m



Câu 36. Cho theo a và b .

3 2b   a b

2a   a b

a b   b 2

a b   a 2

A. . B. . C. . D. .

Lời giải.

Chọn D.

m 







log 40 45

a b   a 2

log 40 3 log 45 3

log 8 log 5  3 3 2  log 5 log 3 3 3

Ta có .

17 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19 Câu 37: Cho hai số thực

Tài liệu Vted_2018





x

y

,x y thỏa mãn log(

x



y 3 )



log(

x



y 3 )

 . Giá trị nhỏ nhất của S

2

là?

20 2 3

5 6 2

A. . B. 10 . C. 10 2 . D. .

Lời giải

2

2

Chọn B

log(

x



y 3 )



log(

x



y 3 )



2



log

x



9

y

 2





  x

29 y



100

2   x

29 y



100

Ta có

S



x



y



29 y



100



y



10

.

Do đó .

x



10,

y

 . 0

3

a 

Dấu bằng xảy ra khi

m 

log

log 2 5

100 5

5 4

Câu 38: Cho . Tính .

m



m



m



m



4  2 a  3 12 a

12  3 a  2 4 a

4  2 a  3 12 a

a  3 12  2 a 4

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

a  

2 5a

log 2 5

2

2

2

2



1

 1

 a 3

m



log

5





Ta có



2

a

1 2

4  2 a  3 12 a

5

  

  

2

a



 a 3 1 2

a



b



Suy ra .

log

30 theo a và b.

log 5, 2

log 5 3

60

)

Câu 39: Cho . Tính

log

30



log

30



60

60

  ab a b   ab b

a 2 )

2(

2( ab b

  ab a b   2 a

)

log

30



A. . B. .

log

30



60

60

ab a b     ab a

b 2 )

2(

2( ab a

ab a b     2 b

C. . D.

Lời giải

2

log

30 2 log 30









Chọn C

60

6 0

 2 2log 3 2log 5 2 2 log 3 log 5

 



   

2log 30 2 log 60 2

2

2

2log (2 3 5) 2   2 3 5 log 2 2

a





a

log 5 2

Ta có









log 5 3

log 3 2

a b

   

log 5 2 log 5 2 log 3 2

   b  

Theo giả thiết .

18 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Mũ_Logarit

2





2

a

)

log

30





60

2( ab a

ab a b     2 b

2

a

2 a b a   b

Vậy .



a

log

60 theo a và b .

log 3, 5

log 2 3

15

 

 

1

ab a

ab a

1

 b  2 2

Câu 40: Cho

 2 2







log

60

log

60

15

15



b

1

 a b

 

ab a

1

 2 2



2

1

. Tính  . A. B.





log

60

log

60

15

15



a

1

  ab a  a b

C. . D. .

Lời giải

2

5



Chọn D.







log

60 2 log 60 2

2

15

15

log 60 5 log 15 5

 log 2 .3.5   log 3.5 5





 

ab a





 2 2

 1

5

5







Ta có

2







a

1

 2 log 2 log 3 1 5 5 log 3 1 5

 2 2 log 3.log 2 log 3 1 3 log 3 1 5

1  1 log

b

1  1 log

c

.





a

10

,

b

10

1

1

 1 log

 1 log

1  1 log

ab

1  1 log

a





a b

b a

Câu 41: Cho . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?









c

10

c

10

c

10

c

10

A. . B. . . C. . D.

Lời giải



1

log

1  1 log

b







Chọn A.





a

10

log

a

log

b

  1

1  1 log

b

1 log

a

a log

a

1  1 log

c











b

10

log

b

log

c

  1

  1

a 

1  1 log

c

1 log

b

log a

log

1

1  1 log

a

1  1 log

a

  c

10

Ta có





a

b

log 54 24









Câu 42: Cho

  . B.

 . C.

 a b

ab

5

1

ab

 a b

 a b

ab

1

5

5

  . D. 1

ab

5

 a b

 . 1

log 18, 12  











A. . Tìm hệ thức độc lập giữa a và b . 

Lời giải

Chọn B

log 3 t 2

Đặt

19 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018









a

log 18 12

 

1 2 log 3 2 2 log 3

 1 2 t  t 2

log 18 2 log 12 2

2







b

 

1 3log 3 2 3 log 3

 1 3 t  t 3

log 54 2 log 24 2

2

  ab

5

 a b

 1





Ta có: .

a 

b 

log 40 20

log 50 10  ab

b 2

 5

Câu 43. Cho , . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

a A. 3



a B. 3



b 2



ab 5

 1

a



b 3



ab

 5

a



b 3



ab 5

 1

C. 2 D. 2

Lời giải:

Chọn C

a



  a

 

  a 1

log 50 10

log 5 1 10

log 5 10

Ta có:

1 log 10





 log 2 log 5



  log 2 1 log 5

  2 a

10

10

10

10

10

b







  b

  2

a

b 3



ab



5

log 40 20

5 2  a  a 3

log 40 10 log 20 10

 2 log 2 1 10  log 2 1 10

1

x 

3 2017!

Ngoài ra

A









1 log

x

1 log

x

log

x

2

3

2017

A 

3

Câu 44. Tính giá trị biểu thức , với .

3A 

1 3

B. C. D. A. 1

Lời giải:

1



 log 2 log 3





A









x

x

log 2017 x

1 log

x

1 log

log

x

x

2

3

2017

1



 log 2017!

x

log

x

2017!

Chọn C

3A 

x 

3 2017!



log

x

Với thì

S



f

2017

 f x







2

1 2017

   f  S 

log

   2017

Câu 45. Cho . Tính giá trị của .

S  1

S  0

S 

log 2017 2

2

A. B. D. C.

Lời giải:

Chọn B

x  thì 0



f



log

x



log





  f x

2

2

log 1 0 2

1 x

1 x

  

  

Ta có với mọi

20 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

thì ta có

Chuyên đề_Mũ_Logarit 2017 Với

x 

S  0



a b c  thỏa mãn

1

,

,

2 3 a b

c Giá trị biểu thức

.

6

6

2 log

c

3 log

c

a

b

Câu 46. Cho biết là

1 3

1 4

1 5

1 6

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

3log

a

2 log

b

log

c

c





log

a



log

b





c

c

6

6

2 log

c

3 log

c

1 3

1 2

 6

3 2 a b c 6

1  6

a

b

Chọn D.

,x y là 2 số thực dương thỏa mãn

log

x



log

y



log

x



2

y

.



3

Câu 47. Cho Giá trị nhỏ nhất của

log

x



log

y

2

2

là

C. 3 . A. 1. B. 2 . D. 4 .

Lời giải

3

0

3

3

  y

1

xy

      

2

2

x

y

y

x

 x y

 1

2 y

y 

1

2

y



0

  x   3 

   

3

2

2 y

1

log



log

Chọn C.

log

x



log

y



log



2

2

2

2

2

y  y

1

x y

 2 y   y

  



,

y



1

.

 f y



22 y  y 1

2



f

'

y



2.





y



y 

y 2 2  1

0

f

'

y

Đặt .





2

y      0 y

Min



f

  8

log

x



log

y

.

 . 3

 f y



  2

2

2

x



log

y

3

Lúc này

 . Dấu bằng xảy ra

  y

2,

x



16

 Min log



2

2

Vậy .

21 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

2

y là?

,x y là hai số thực dương thỏa mãn

ln

x



ln

y



ln

x



y





2

2

Câu 48. Cho . Giá trị nhỏ nhất của x

A. 2 2 3 . B. 3 2 2  . C. 3 . D. 3 .

Lời giải

2

0

2

2

2

  x

1

Chọn A.

xy



x

y

y

x

ln

x



ln

y



ln

x

       1

 y x



   y

x  x

1

x



0

  y   2 

   

2

x

.

x

  

x

y



x  x

1

22  x  1 x

x

Ta có .



,

x



1

  f x

22  x  1 x

2

2



4

1

f

'

x







x



x 

 x 2  1

2

2

Đặt .

f

'

  

0

x

  x

 2

2

2

.

Min



f

 

3 2 2

  f x

 2

   

   

2

2



Lúc này, .

Min

x

y

 

3 2 2

  x

;

y







 2

4 3 2 2

y



log

.

Nên , dấu bằng xảy ra .

,A B là hai điểm có hoành độ tương ứng

 x C



a

,x x thuộc đồ thị hàm số 1

2

C tại điểm có

Câu 49. Gọi Đường

2

2

thẳng qua trung điểm của đoạn thẳng AB song song với trục hoành cắt đồ thị  hoành độ



x





x

x 32 .

x 2

x x 1 2

32 .

C. D. A. 1 x

3.x Khẳng định nào sau đây đúng? B. x  1

x 3 .

x 2

x x 1 2

3 .

Hướng dẫn giải

;log

;log

.

Chọn D.





 A x 1

a

 x B x , 1 2

a

x 2

x 1

x 2

I

;

log

.

Ta có

a

x x 1 2

 2

1 2

  

  

y



log

.

Gọi I trung điểm của đoạn thẳng AB nên

a

x x 1 2

1 2

Đường thẳng qua trung điểm của đoạn thẳng AB song song với trục hoành là

22 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Mũ_Logarit

C là:

2

log



log

.

a

x 3

a

x x 1 2

  x 3

x x 1 2

1 2

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng đó và đồ thị 

,a b c thỏa mãn

,

a b c  và đặt 1

,

,

x



log

b



log

a

, y



log

b





log

c



log

a .

a

b

log c, z b

c

a

c

2

2

2

Câu 50. Cho các số thực

x



y



z



xyz

Giá trị của biểu thức là?

C. 3 A. 1 B. 2 D. 4

Hướng dẫn giải

Chọn D.

2

2

2

x



log

b



log

a

 2.

b

a

2

2

2

y



log

b





c

log c 2. b

2

2

2

z



log

c



log

a

 2.

a

c

2

2

2

2

2

2

xyz

 

2 log

b



log

a



log

b





c



log

a .

a

b

c

log c log b

a

c

2

2

2

x



y



z



xyz



4.

Ta có:

Vậy

23 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

24 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Thực tiễn Logarit

NHÓM GIẢI VẬN DỤNG CAO CHUYÊN ĐỀ LOGARIT - NĂM HỌC 2018-2019

VTED_2019 MÔN: TOÁN 12

Thời gian làm bài 90 phút

Câu 1. Giả sử sau mỗi năm diện tích rừng của nước ta giảm xphần trăm diện tích hiện có. Hỏi sau bốn

4

4

4

năm diện tích rừng của nước ta sẽ là bao nhiêu phần trăm hiện nay?

1

1



x 4 100

x 100

x 100

x   100 

  

  1 

  

  1 

  

A. . B. . C. . D. .

log 4







(giờ). (giờ). Câu 2. Người ta thả một số lá bèo vào một hồ nước, sau 10 giờ số lượng lá bèo sẽ sinh sôi kín mặt hồ. Biết rằng sau mỗi giờ số lượng lá bèo tăng gấp 10 lần số lượng lá bèo trước đó và tốc độ tăng trưởng là không đổi. Hỏi sau khoảng thời gian bao lâu số lượng lá bèo phủ kín tối thiểu một phần tư hồ? A. 1 0 (giờ). D. 10 10 log 4 B. 10 log 4 (giờ). C. 1 10 log 4

Câu 3. Ngày 01/01/2016, dân số thế giới khoảng 7,3 tỉ người. Nếu tỉ lệ tăng dần số thế giới hằng năm là 1,3% và tỉ lệ này ổn định trong 10 năm liên tiếp thì ngày 01/01/2026 dân số thế giới khoảng bao nhiêu tỉ người? A. 8 tỉ người. C. 8.306 tỉ người. B. 8,33 tỉ người. D. 8,4 tỉ người.

Câu 4. Số lượng vi khuẩn ban đầu có 100 con và sau mỗi giờ số lượng vi khuẩn tăng lên x phần trăm

và sau 5 giờ số lượng vi khuẩn là 300 con. Hỏi sau 15 giờ số lượng vi khuẩn là? A. 2700 con. C. 1500 con. B. 900 con. D. 1200 con.

Câu 5. Dân số của một quốc gia trong 2 năm tăng từ 30 triệu người lên 3 0 0 4 8 2 8 8 người. Tính tỉ lệ tăng dân số hằng năm của quốc gia đó trong 2 năm kể trên (kết quả làm tròn hai chữ số thập phân). A. 0,14% . D. 0, 21% . C. 0,18% . B. 0, 08% .

0N (triệu người) lên

1N (triệu người). Tính tỉ lệ

Câu 6. Dân số của một quốc gia trong 10 năm tăng từ

1

1

x



log

x

 

1 log

10

10

tăng dân số hằng năm %x của quốc gia đó trong 10 năm kể trên.

 . 1

x



 . 1

x

  1

N 1 N

N 1 N

N N

N N

0

0

0

0

A. B. C. D. . .

Câu 7. Tỉ lệ tăng dân số hằng năm ở Việt Nam duy trì ở mức 1, 0 6 % . Theo số liệu của Tổng cục Thống kê, dân số Việt Nam năm 2014 là 90 728 600 người. Với tốc độ tăng dân số như thế thì năm 2050 dân số Việt Nam là? A. 160 663 675 người. C. 153 712 400 người. B. 132 616 875 người. D. 134 022 614 người.

Câu 8. Năm 2016, số tiền để đổ đầy bình xăng cho một chiếc xe máy trung bình là 70000 đồng. Giả sử tỉ lệ lạm phát hàng năm của Việt Nam trong 10 năm tới không đổi ở mức 5% , tính số tiền đổ đầy bình xăng cho chiếc xe máy đó vào năm 2022.

70000. 1, 05 (đồng).

70000. 1, 05 (đồng).





A. B.

70000. 1, 05 (đồng).



7 9

 70000. 1, 05

6 10

C. D. (đồng).

Câu 9. Theo số liệu của tổng cục thống kê, dân số Việt Nam năm 2015 là 91, 7 triệu người. Giả sử tỉ lệ tăng dân số hàng năm của Việt Nam trong giai đoạn 2015-2040 ở mức không đổi 1,1% . Hỏi đến năm bao nhiêu dân số Việt Nam đạt mức 113 triệu người?

1 | VD_VDC

Tài liệu Vted_2018

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19 A. Năm 2033.

B. Năm 2032. C. Năm 2031. D. Năm 2034.



Câu 10. Trong tin học, độ hiệu quả của một thuật toán tỉ lệ với tốc độ thực thi chương trình và được tính

  E n

P n là độ phức tạp của thuật 

n   P n toán. Biết rằng một thuật toán có

bởi , trong đó n là số lượng dữ liệu đầu vào và



log

n

n 

300

  P n

2

n 

và khi thì để chạy nó, máy tính mất

0, 02 giây. Hỏi khi A. 3 giây.

90000 B. 6 giây.

P 

x 

thì phải mất bao lâu để chạy chương trình tương ứng? D. 600 giây. C. 4 giây.

0

mmHg là áp suất không khí ở mực nước biển  . Trong đó 0 760

Câu 11. Áp suất không khí P ( đo bằng milimet thủy ngân, kí hiệu là mmHg) suy giảm theo hàm số mũ so với độ cao x (đo bằng mét) tính từ mực nước biển, tức là P giảm theo công thức 0. xi  P P e , i là hệ số suy giảm. Biết rằng ở độ cao 1000m thì áp suất không khí là 6 7 2 , 7 1 mmHg. Hỏi áp suất không khí ở độ cao 3000m là bao nhiêu A. 5 2 7 , 0 6 mmHg. B. 5 2 6, 0 6 mmHg. C. 5 2 8, 0 6 mmHg. D. 5 2 9, 0 6 mmHg.

32



54. 0, 9 t  

Câu 12. Một lon nước ngọt ở 86 F được đưa vào một máy làm lạnh chứa đá tại 32 F

. Nhiệt độ của lon nước ngọt ở phút thứ t kể từ thời điểm cho vào máy làm lạnh được tính bởi công thức   . Hỏi phải làm mát lon nước ngọt trong bao lâu để nhiệt độ của nó là T t  50 F A. 9, 4 2 7 2 phút. D. 1 0, 4 2 7 2 phút. C. 1 2, 4 2 7 2 phút. B. 1 1, 4 2 7 2 phút.

LM (Richter) tính theo thang Richter được xác định theo công

Câu 13. Cường độ một trận động đất

thức:





log

log

A 0

LM

.

Richter. B. 8, 3 log 4 

Richter.

A Với A là biên độ tối đa đo được bằng địa chấn kế (biên độ của những sóng địa chấn đo ở 0A là một biên độ chuẩn. Đầu thế kỉ 20, một trận 100km cách chấn tâm của cơn động đất) và động đất ở SanFrancisco có cường độ 8,3 Richter. Trong cùng một năm đó, một trận động đất khác ở Nam Mỹ có biên độ mạnh gấp bốn lần thì cường độ của nó là bao nhiêu? A. 8, 3.log 4 Richter. C. 8, 3 10 log 4 



t T

Richter.D. 8, 3 log 4

m



0m là khối

  m t

0

1 2

  

   0t  ) và T là chu kỳ bán rã. Biết chu kì bán rã lượng chất phóng xạ ban đầu (tức tại thời điểm của một chất phóng xạ là 24h (một ngày đêm). Hỏi 100 gam chất phóng xạ đó sẽ còn lại bao nhiêu gam sau 4 ngày đêm?

Câu 14. Biết rằng khối lượng chất phóng xạ tại thời điểm t là , trong đó

25 4

5

3

A. 5gam. gam. C. gam. D. 4gam. B. 25 8

4.10 m . Biết tốc độ sinh trưởng của các cây ở khu rừng đó



 là 4% mỗi năm. Hỏi sau 5 năm, khu rừng đó sẽ có số mét khối gỗ là bao nhiêu?

5

5

5

3

5

3

Câu 15. Một khu rừng có trữ lượng gỗ là





 4.10 . 1, 4 m .

 4.10 . 0,04 m .

5

5

5

3

5

3

A. B.





 4.10 . 1, 04 m .

   

 4.10 . 1, 004 m .

   

C. D.

2 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Thực tiễn Logarit Câu 16. Với mức tiêu thụ thức ăn của trang trị A không đổi như dự đình thì lượng thức ăn đủ cho 100 ngày. Nhưng thực tế, kể từ ngày thứ hai trở đi lượng thức ăn của trang trại đã tăng thêm 4% so với ngày trước đó. Hỏi lượng thức ăn của trang trại A đủ dùng cho bao nhiêu ngày? A. 39 (ngày).

B. 40 (ngày). C. 41 (ngày). D. 42 (ngày).

M



log

A



log

Câu 17. Cường độ một trận động dất M (Richter) tính theo thang Richter được xác định theo công thức

A 0

. Với A là cường độ tối đa đo được bằng địa chấn kế (biên độ của những

1,5

E

sóng địa chấn đo ở 100 km cách chấn tâm của cơn động đất) và

ME

lượng được phát ra bởi một trận động đất có cường độ M được xác định bởi

trong đó

0A là một biên độ chuẩn. Năng 0.10 M 0E là một hằng số dương. Hỏi năng lượng phát ra bởi một trận động đất có cường độ 8 Richter gấp khoảng bao nhiêu lần năng lượng phát ra của một trận động đất có cường độ 5 Richter? A. 31 (lần).

C. 31623 (lần). D. 3163 (lần). B. 316 (lần).

M



log

A



log

Câu 18. Cường độ một trận động dất M (Richter) tính theo thang Richter được xác định theo công thức

A 0

. Với A là cường độ tối đa đo được bằng địa chấn kế (biên độ của những

1,5

E

sóng địa chấn đo ở 100 km cách chấn tâm của cơn động đất) và

lượng được phát ra bởi một trận động đất có cường độ M được xác định bởi

0E là một hằng số dương. Hỏi với hai trận động đất có biên độ

0A là một biên độ chuẩn. Năng 0.10 M ME 2,A A thỏa mãn

1

trong đó

1

, thì tỉ lệ năng lượng được phát ra bởi hai trận động đất này là?

A 24A A. 8.

D. 16 . B. 4. C. 12.

là số phần trăm cacbon 14 còn lại trong một chuyển hóa thành nitơ 14. Biết rằng nếu gọi Câu 19. Các loài cây xanh trong quá trình quang hợp sẽ nhận được một lượng nhỏ cacbon 14 (một đồng vị của cacbon). Khi cây bị chết thì hiện tượng quang hợp của nó cũng ngưng và nó sẽ không nhận thêm cacbon 14 nữa. Lượng cacbon 14 của bộ phận đó sẽ phân hủy một cách chậm chạp,  P t

 P t

t 5750



100.

%

được tính theo công thức: bộ phận của một cây sinh trưởng từ t năm trước đây thì

  P t





1 2

  

  

. Phân tích một mẫu gỗ từ một công trình kiến trúc cổ, người ta thấy

 4U

9 7 x y 10 10

lượng cacbon 14 còn lại trong mẫu gỗ đó là 65% . Niên đại của công trình kiến trúc là? D. 3400 năm. A. 4000 năm. C. 3574 năm. B. 4500 năm.

Câu 20. Cho biết hàm lợi ích của một người tiêu dùng có dạng

0 , 4

0 ,7

. Giá một đơn vị sản phẩm x là 2 USD, giá một đơn vị sản phẩm y là 3 USD, ngân sách dành cho tiêu dùng là 960 USD. Xác định cơ cấu mua sắm để người tiêu dùng thu được lợi ích tối đa. A. 210 sản phẩm x và 180 sản phẩm y . C. 300 sản phẩm x và 120 sản phẩm y . B. 150 sản phẩm x và 220 sản phẩm y . D. 270 sản phẩm x và 140 sản phẩm y .

U



x

y

.

Câu 21. Cho biết hàm lợi ích của một người tiêu dùng

. Hãy xác định chi phí nhỏ nhất 1,140 , trong điều kiện giá thị trường 40 USD một sản phẩm x

nhưng vẫn đảm bảo mức lợi ích và 70 USD một sản phẩm y . A. 4400 USD. B. 440 USD. C. 2200 USD. D. 220 USD.

3 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

M



log

A



log

A 0

A là biên độ rung chấn tối đa và

Câu 22. [2D2-2] Cường độ một trận động đất được cho bởi công thức (Richter) với

0A là một biên độ chuẩn (hằng số). Đầu thế kỷ 20, một trận động đất ở San Francisco có cường độ 8 độ Richter. Trong cùng năm đó, trận động đất khác ở Nhật Bản có cường độ đo được 6 độ Richer. Hỏi trận động đất ở San Francisco có biên độ gấp bao nhiêu lần biên độ trận động đất ở Nhật Bản? A. 1000 lần.

B. 1024 lần. D. 100 lần. C. 2lần.



Câu 23. [2D2-2] Số các chữ số của số .

20172 B. 607 .

trong hệ thập phân, cho biết log 2 C. 1400.

0.301 D. 1397 .

A. 608 .

74207281

M 

Câu 24.

[2D2-2] Đầu năm 2016, Curtis Cooper và các cộng sự tại nhóm nghiên cứu Đại học Central Mis-souri, Mỹ vừa công bố số nguyên tố lớn nhất tại thời điểm đó. Số nguyên tốt này là 1 số dạng số nguyên tố Mersenne có giá trị bằng A. 2233862 chữ số. C. 22338617 chữ số.

 2 1 B. 22338618 chữ số. D. 2233863 chữ số.

n

22

1

nF   với n là một số nguyên dương không âm, Fermat dự đoán

Câu 25. Nhà toán học người Pháp Pierre de Fermat là người đầu tiên đưa ra khái niệm số Fermat nF là một số nguyên tố

nhưng Euler đã chứng minh được

A. 2467 . B. 2466 .

5F là hợp số. Hãy tìm số chữ số của 13F . C. 2468 .

2016

10

12 a b

D. 2465 .

a b  và

,a b là hai số tự nhiên lớn hơn 1 thỏa mãn

,a b thỏa mãn bài toán là?

Câu 26. Cho là một số tự nhiên có

973 chữ số. Cặp số  A. 

5;5 .

6;4 .

8;2 .

7;3 .

2017

B.  C.  D. 

a b 

17

27 a b

,a b là hai số tự nhiên lớn hơn 1 thỏa mãn

;a b thỏa mãn bài toán là?

Câu 27. và là một số tự

 12;5 .

 11; 6 .

 10;7 .

 13; 4 .

2 017

[2D2-3] Cho nhiên có 1598 chữ số. Cặp  B.  A.  C.  D. 

a b 

25

6 a b

,a b là hai số tự nhiên lớn hơn 1 thỏa mãn

;a b thỏa mãn bài toán là?

Câu 28. và là một số tự

 12;13 .

 13;12 .

 17;8 .

 8;17 .

[2D2-3] Cho nhiên có 1829 chữ số. Cặp  B.  A.  C.  D. 

Câu 29. Trong gia đoạn từ năm 1980 đến năm 1994 , tỉ lệ phần trăm giữa những gia đình ở Mỹ (United States) có ít nhất một đầu máy video (VCR) đã được mô hình hóa bởi hàm số

t 

14



  V t

0,6

t

75 e   1 74

. với t là thời gian được tính bằng năm từ giữa năm 1980 , vì thế 0

Hỏi vào năm nào thì con số VCR tăng nhanh nhất. A. 1983 . B. 1994 . C. 1987 . D. 1988 .

Câu 30. Ban đầu có bốn triệu vi khuẩn Escherichia coli (E. Coli) trong phòng thí nghiệm. người ta cho vào đám vi khuẩn đó một chất kháng khuẩn thì số lượng vi khuẩn giảm đi một nửa sau 6 gờ. Vậy sau bao lâu số lượng vi khuẩn còn lại khoảng 300.000 con? A. 2 2, 4 giờ. D. 2 3, 4 giờ. C. 2 0, 4 giờ. B. 21, 4 giờ.



  P t

0 ,8

t

1500000 e  

1 5000

Câu 31. Số lượng của một loại vi khuẩn được xác định bởi công thức trong đó t là

thời gian được tính bằng giờ. Hỏi vào thời gian nào thì số lượng vi khuẩn tăng nhanh nhất

4 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Thực tiễn Logarit

A. 8, 6465 giờ. B. 1 1, 6 4 6 5 giờ. C. 10, 6465 giờ. D. 12, 64 65 giờ.

Câu 32. Một nghiên cứu chỉ ra rằng sau khi tham gia một khóa học, phần trăm kiến thức sinh viên còn



 92 20ln

t

  p t



  1

t 

24

nhớ sau t tháng kết thúc khóa học được xác định bởi:

 p t

Trong đó được tính bằng % và 0 . Hỏi sau bao lâu thì % kiến thức sinh viên

còn nhớ chỉ là 50%. A. 7 , 1 tháng. B. 6, 2 tháng. C. 8 , 2 tháng. D. 7 , 2 tháng.

0.15

t



15000

e

  V t

Câu 33. Giá trị còn lại của một chiếc xe theo thời gian khấu hao t được xác định bởi công thức

 V t chiếc xe chỉ là 5000 USD?

trong đó, được tính bằng USD và t tính bằng năm. Hỏi sau bao lâu giá trị còn lại của

2000ln

feet



t

A 6,3 năm. B. 7,3 năm. C. 8,3 năm. D. 9,3 năm.

  h t



    1 3t  phút.

Câu 34. Một máy bay cất cánh từ sân bay gần mực nước biển có quỹ đạo lên cao theo hàm số , trong đó t tính bằng phút. Tính tốc độ lên cao của máy bay tại

feet

/ min .

feet

/ min .

feet

/ min .

feet

/ min .

. . . thời điểm A 500 B. 400 C. 300 D. 600

( )S t

t 0,5

20

e

t 

24

 với 0

Câu 35. [2D2-3] Để đo lường khả năng ghi nhớ kiến thức của sinh viên sau khi kết thúc khóa học, các nhà nghiên cứu tiến hành khảo sát bằng cách cho sinh viên làm các bài kiểm tra mỗi tháng của sinh viên tham gia trong vòng 24 tháng kể từ ngày kết thúc khóa học. Điểm trung bình

là thời gian được

 ( ) 75 S t bài khảo sát được mô hình bởi công thức tính bằng tháng. Hỏi điểm số trung bình của sinh viên sau 12 tháng kết thúc khóa học là? A. 21,186 .

C. 20,186 . B. 22,186 . D. 23,186 .

Câu 36.

d f (

ln



b

a

)

f

 ,a b là hằng số. Dựa vào hình vẽ trên

[2D2-3] Hình 6-2m cho bên dưới mô tả một radio AM quay số đời cũ. Như chúng ta thấy, khoảng cách giữa con số giảm xuống khi tần số tăng lên. Nếu như bạn từng học về nguyên lý đằng sau việc xoay núm vặn radio, bạn sẽ biết khoảng cách từ đầu cuối bên trá của radio tới . Trong một giá trị tần số thay đổi theo hàm logarittm của tần số đó. Cụ thể là

)

d f (

là số centimet từ số 53 tới tần số f trên mặt số

 

107,802

107,802

107,802

 

107,802

đó hãy xác định các hằng số a và b.

27,152

 

27,152

27,152

 

27,152

a    b

 a  b 

 a   b

a   b 

A. . B. . C. . D. .

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19 Câu 37.

Tài liệu Vted_2018 [2D2-3] Số lượng tế bào còn sống trong khoảng thời gian t (phút) kể từ lúc tiến hành thí

f t ( )

. bt a e

nghiệm được xác định bởi trong đó

C. 13 phút.

,a b là các hằng số cho trước. Nếu bắt đầu một thí nghiệm sinh học với 5.000.000 tế bào thì có 45% các tế bào sẽ chết sau mỗi phút, hỏi sau ít nhất bao lâu nó sẽ còn ít hơn 1.000 tế bào? A. 14 phút.

B. 14, 25phút. D. 13, 25 Phút.

t 0,24

t 0,12



0,495e

0,005e





0

t 

18

cm . 3



Câu 38. Trong y học các khói u ác tính được điều trị bằng xạ trị và hóa trị (sử dụng thuốc hóa học trị liệu). Xét một thí nghiệm y tế trong đó những con chuột có khối u ác tính được điều trị bằng một loại thuốc hóa học trị liệu. Tại thời điểm bắt đầu sử dụng thuốc khối u có thể tích khoảng 3 0,5 cm , thể tích khối u sau t (ngày) điều trị xác định bởi công thức

P



10log

   V t Hỏi sau bao nhiêu ngày thì thể tích khối u là nhỏ nhất? A. 10, 84 ngày. B. 9,87 ngày. C. 16, 25 ngày. D. 8,13 ngày.

I I

0

2

được đo bằng Câu 39. Mức cường độ âm P của một nguồn âm cho trước xác định bởi

 12 0 10 W/ m I

2   

t

t

là cường độ âm Decibel (db), trong đó I là cường độ độ âm có đơn vị là W và

  1 W

3t  giây.

chuẩn mà tai người có thể nghe thấy được. Giả sử một nguồn âm phát ra cường độ âm với t là thời gian được tính bằng giây. Xác định tốc độ thay đổi mức cường I







. . . . độ âm tại thời điểm A. 2, 3385 db/s  B. 2, 485 db/s C. 3, 385 db/s D. 2,1385 db/s

t 0,24

t 0,12



0,495e

0,005e





0

t 

18

cm . 3



Câu 40. Trong y học các khói u ác tính được điều trị bằng xạ trị và hóa trị (sử dụng thuốc hóa học trị liệu). Xét một thí nghiệm y tế trong đó những con chuột có khối u ác tính được điều trị bằng một loại thuốc hóa học trị liệu. Tại thời điểm bắt đầu sử dụng thuốc khối u có thể tích khoảng 3 0,5 cm , thể tích khối u sau t (ngày) điều trị xác định bởi công thức

P



10log

   V t Hỏi sau bao nhiêu ngày thì thể tích khối u là nhỏ nhất? A. 10, 84 ngày. B. 9,87 ngày. C. 16, 25 ngày. D. 8,13 ngày.

I I

0

2

được đo bằng Câu 41. Mức cường độ âm P của một nguồn âm cho trước xác định bởi

 12 0 10 W/ m I

2   

t

t

là cường độ âm Decibel (db), trong đó I là cường độ độ âm có đơn vị là W và

  1 W

3t  giây.

chuẩn mà tai người có thể nghe thấy được. Giả sử một nguồn âm phát ra cường độ âm với t là thời gian được tính bằng giây. Xác định tốc độ thay đổi mức cường I







. . . . độ âm tại thời điểm A. 2, 3385 db/s  B. 2, 485 db/s C. 3, 385 db/s D. 2,1385 db/s

Câu 42. Một quần thể của loài ong mật lớn lên tại một nhà nuôi ong bắt đầu với 50con ong, tại thời



  P t

0,5932

t

7520  1 1503e



điểm t số lượng ong của quần thể này được mô hình hóa bởi công thức: .

trong đó t là thời gian được tính bằng tuần. Hỏi sau bao lâu thì quần thể ong có tốc độ phát triển nhanh nhất.

A. 12.332 Tuần. B. 11.332 Tuần. C. 10.332 Tuần. D. 13.332 Tuần.

6 | VD_VDC

Chuyên đề_Thực tiễn Logarit Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19 Câu 43. Ban đầu có bốn triệu vi khuẩn Escherichia coli (E.Coli) trong phòng thí nghiệm, người ta cho vào đám vi khuản đó một chất kháng khuẩn thì số lượng vi khuẩn giảm đi một nửa sau 6 giờ. Vậy sau 24 giờ số lượng vi khuẩn còn lại là? A. 300.000 con.

x

D. 180.000 con. C. 200.000 con. B. 250.000 con.

 S x

1x  .

1000

x là số tiền chi cho quảng cáo đơn vị

được mô hình bởi công thức: Câu 44. Tổng số tiền một công ty thu về khi thực hiện một chiến dịch quảng cáo cho sản phẩm mới  400 250log   

USD, trong đó

được tính bằng đơn vị USD đơn vị là là 1000 USD. Hỏi để thu được số tiền tối thiểu là 600000 USD thì số tiền chi cho quảng cáo tối thiểu là?

A. 631 USD. B. 63110 USD. C. 6310 USD. D. 63000 USD.

Câu 45. Khi một kim loại được làm nóng đến 600 C

. . . . , độ bền kéo của nó giảm đi 50% . Sau khi kim , nếu nhiệt độ kim loại tăng thêm 5 C thì độ bền kéo của nó giảm đi loại vượt ngưỡng 600 C 35% hiện có. Biết kim loại này có độ bền kéo 280MPa dưới 600 C và được sử dụng trong việc xây dựng các lò công nghiệp. Nếu mức an toàn tối thiểu độ bền kéo của vật liệu này là 38 MPa thì nhiệt độ an toàn tối đa của lò công nghiệp bằng bao nhiêu, tính theo độ C . A. 605 C D. 618 C C. 606 C B. 615 C

s

 0 .2t

 0s

, trong đó là số lượng vi khuẩn A lúc ban đầu, Câu 46. Số lượng của loại vi khuẩn A trong một phòng thí nghiệm được tính theo công thức   s t là số lượng vi khuẩn

  S t A có sau t phút. Biết sau 3 phút thì số lượng vi khuẩn A là 625 nghìn con. Hỏi sau bao lâu, kể từ lúc ban đầu, số lượng vi khuẩn A là 10 triệu con? A. 48 phút.

B. 19 phút. D. 12 phút. C. 7 phút.



s

  S t

 0 . rt e

 0s

s t là dân số sau t năm và r là tỉ lệ tăng dân số hằng năm. Đầu năm 2010 ,

Câu 47. Cho biết sự tăng dân số được tính theo công thức trong đó là dân số của

t 3 2

 e



năm lấy làm mốc,   dân số của tỉnh X là 1.038.229 người, tính đến đầu năm 2015 dân số tỉnh X là 1.153.600 người. Hỏi nếu tỉ lệ tăng dân số hằng năm giữ nguyên thì đến đầu năm 2025 dân số tỉnh X khoảng bao nhiêu người? A. 1.424.000 người. B. 1.424.117 người. C. 1.424.337 người. D. 1.424.227 người.

  Q t Q

 0 1  

Câu 48. Một điện thoại đạng nạp pin, dung lượng nạp được tính theo công thức ,

với t là khoảng thời gian được tính bằng giờ và

C. 1 giờ.

   0Q là dung lượng tối đa khi pin đầy. Nếu điện thoại nạp pin từ lúc cạn pin (tức dung lượng pin lúc bắt đầu nạp là 0% ) thì sau bao lâu sẽ nạp được 90%. (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm). A. 1, 2 giờ.

D. 1, 34 giờ. B. 1, 54 giờ.

  s t

 0 . rt e

 0s

Câu 49. Cho biết sự tăng dân số được tính theo công thức trong đó

năm lấy làm mốc,

s  là dân số của  s t là dân số sau t năm và r là tỉ lệ gia tăng dân số hằng năm. Đầu năm 2010, dân số của tỉnh X là 1038229 người, tính đến đầu năm 2015 dân số tỉnh X là 1153600 người. Hỏi nếu tỉ lệ gia tăng dân số giữ nguyên thì đầu năm 2025 dân số tỉnh X khoảng bao nhiêu người. A. 1424000 người.

D. 1424227 người. C. 1424337 người. B. 1424117 người.

7 | VD_VDC

Tài liệu Vted_2018 Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19 Câu 50. Trong nông nghiệp, bèo hoa dâu được dùng làm phân bón, nó rất tốt cho cây trồng. Mới đây một nhóm các nhà khoa học Việt Nam đã phát hiện ra bèo hoa dâu có thể dùng để chiết xuất ra chất có tác dụng kích thích hệ miễn dịch và hỗ trợ điều trị bệnh ung thư. Bèo hoa dâu được thả nuôi trên mặt nước. Một người thả một lượng bèo hoa dâu chiếm 4% diện tích mặt hồ. Biết rằng sau đúng một tuần bèo phát triển thành 3 lần lượng đã có và tốc độ phát triển của bèo ở mọi thời điểm như nhau. Hỏi sau bao nhêu ngày bèo sẽ phủ kín mặt hồ?



7 log 24



7 log 25 .

2 5 73

7



3

3

24 3

A. B. . C. . D. .



s

D. 20. C. 18 . B. 19 . Câu 51. Chuyện kể rằng: Ngày xưa có một ông vua hứa sẽ thưởng cho một vị quan món quà mà vị quan được chọn. Vị quan tâu: “Hạ thần chỉ xin Bệ Hạ thưởng cho một số hạt thóc thôi ạ! Cụ thể như sau: Bàn cờ vua có 64 ô với ô thứ nhất, thần xin nhận 1 hạt, ô thứ 2 thì gấp đôi ô đầu, ô thứ 3 thì gấp đôi ô thứ 2,., ô sau nhận số hạt thóc gấp đôi phần thưởng dành cho ô liền trước”. Giá trị nhỏ nhất của n để tổng số hạt thóc mà vị quan nhận được từ n ô đầu tiên (từ ô thứ nhất đến ô thứ n) lớn hơn 1 triệu là? A. 21.

  s t

 0 . rt e

 0s

Câu 52. Cho biết sự tăng dân số được tính theo công thức trong đó

năm lấy làm mốc,

là dân số của  s t là dân số sau t năm và r là tỉ lệ tăng dân số hàng năm. Theo thống kê dân số thế giới, đến tháng 1/2017 dân số của Việt Nam là 94.970.597 người và có tỷ lệ tăng dân số hàng năm là 1, 0 3 % . Nếu tỉ lệ tăng dân số không đổi qua các năm thì đến tháng 1/2020 dân số của Việt Nam khoảng bao nhiêu người? (Kết quả làm tròn đến hàng triệu). A. 98 triệu người. B. 100 triệu người. C. 99 triệu người. D. 104 triệu người.

M



log

Câu 53. Cuối tháng 2/2017 tại khu vực Thủy điện Sông Tranh 2, tỉnh Quảng Nam của Việt Nam xảy ra liên tiếp hai trận động đát có cường độ khoảng 4 độ Richter, biết rằng cường độ của một trận

0A

A A 0

động đất được tính theo công thức , trong đó M được tính theo Richter và A ,

B. 1000 lần. C. 1.048.576 D. 40 lần. lần. lần lượt là biên độ của trận động đất và biên độ chuẩn. Hỏi hai trận động đất kể trên có biên độ gấp khoảng bao nhiêu lần biên độ chuẩn? A. 4 lần.

M



log

Câu 54. Một trận động đất có cường độ 8 Richter có biên độ mạnh gấp mấy lần biên độ của một trận động đất có cường độ 6 Richter? Biết rằng cường độ của một trận động đất được tính theo công

,A A lần lượt là biên độ của trận

0

A A 0

thức trong đó M được tính theo đơn vị Ritcher,

B. 100 lần. C. 2 lần. D. 1024 lần. động đất và biên độ chuẩn. A. 1000 lần.

log 8.3

log 8.3

log 4

log 4









s

. . . . Câu 55. Đầu thế kỉ 20, một trận động đất ở San Fransico có cường độ là 8.3 Richter. Trong cùng năm đó, một trận động đất được ghi nhận ở Nam Mỹ có biên độ mạnh gấp 4 lần biên độ ở San Fransico. Hỏi cường độ động đất ở Nam Mỹ là bao nhiêu? A. 8.3 B. 3.3 C. 4 D. 4

  s t

 0 3t

0

Câu 56. Số lượng một loại vi khuẩn được xác định theo công thức

t  (giờ) và

s

là số lượng vi khuẩn tại thời điểm ban đầu

, trong đó t là thời gian  s t là số lượng (tính bằng giờ), (0) vi khuẩn sau t (giờ). Biết rằng sau 9 giờ, số lượng vi khuẩn là 250 nghìn con. Hỏi sau bao nhiêu giờ là số lượng khuẩn là 1 triệu con?

8 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Thực tiễn Logarit

9 log 4



9 log 3



9.

9



3

4

4 3

3 4

M



log

A. (giờ). B. (giờ). C. (giờ). D. (giờ).

I I

0

Câu 57. Cường độ một tran động đất được tính theo công thức , trong đó M được tính bằng

Richter và

0,I I lần lượt là biên độ trận động đất và biên độ chuẩn. Hỏi với hai trận động đất có ,M M thỏa mãn

22M M

1

1

2

2

2

I





I

I





cường độ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

2

2 I 1

I 0.

I 1

2

I 0.

2

I 1

2 I 1 I

I 2 I

0

0

ln

s

  s t   0

   

   

1 t  a e

A. . B. . C. . D. .

 0s

0t  (ngày) và

Câu 58. Tốc độ phát triển của một loại tảo biển xác định theo công thức , trong đó

là  s t là khối lượng tảo biển tại thời khối lượng tảo biển tại thời điểm ban đầu điểm ban đầu t (ngày). Biết rằng sau một tuần khối lượng tảo biển là 9 tấn và sau một tháng khối lượng tảo biển là 1000 tấn. Hỏi ban đầu khối lượng tảo biển là? A. 2tấn. D. 4,146 tấn. C. 2,146 tấn. B. 3,146 tấn.

ln







1

t

  s t





t

t

0

30

t 

Câu 59. Số lượng của một loại vi khuẩn được xác định theo công thức , trong đó



24 1   s t là số lượng vi khuẩn có tại ngày thứ t .

là thời gian được tính bằng ngày và

B. Ngày thứ 13 . C. Ngày thứ 23.

 Hỏi vào ngày thứ bao nhiêu thì số lượng vi khuẩn nhỏ nhất? A. Ngày thứ 12.

D. Ngày thứ 24.

thì tổng giá

thì tổng kinh tế toàn cầu

t

ka , trong đó

, tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm

,k a là hằng số dương.

  f t

thì

thì tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm đến 20% ? Câu 60. Các khí thải ra gây hiệu ứng nhà kính là nguyên nhân chủ yếu làm trái đất nóng lên. Theo OECD (Tổ chức Hợp tác và Phát triển kinh tế thế giới), khi nhiệt độ trái đất tăng thì tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm. Người ta ước tính được rằng, khi nhiệt độ trái đất tăng 2 C trị kinh tế toàn cầu giảm 3% ; còn nhiệt độ trái đất tăng thêm 5 C giảm 10%. Biết rằng, nếu nhiệt độ trái đất tăng thêm t C  %f t Khi nhiệt độ trái đất tăng thêm bao nhiêu C



s

. B. 7,6 C . . . A. 9 , 3 C C. 6 , 7 C D. 8 , 4 C

 0 . rt e

là dân số của Câu 61. Cho biết sự tăng dân số được tính theo công thức   s t trong đó  0s

năm làm mốc,  s t là dân số sau t năm và r là tỉ lệ tăng dân số hàng năm. Dân số khu vực Đồng bằng sông Hồng năm 2009 là khoảng 19, 6 triệu người, đến năm 2015 dân số khu vực này là khoảng 20,8 triệu người. Với tỉ lệ tăng dân số trung bình hàng năm như vậy, đến năn 2020 dân số khu vực Đồng bằng sông Hồng là bao nhiêu người? A. 21, 856 (triệu người). B. 22, 073 (triệu người). C. 22, 373 (triệu người). D. 2,1640 (triệu người).

Câu 62. Một nguồn âm đẳng hướng đặt tại điểm O có công suất truyền âm không đổi. Mức cường độ

L



log

(

ben

)

M

2

k R

ben )

ben )

5(

3(





với k là âm tại điểm M cách O một khoảng R được tính bởi công thức

BL

và . Tính mức cường độ âm tại trung điểm của đoạn thẳng AB . một hằng số. Biết điểm O thuộc đoạn AB và mức cường độ âm tại A và B lần lượt là AL

9 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

)ben .

C. 3, 61(

Tài liệu Vted_2018 )ben .

ben . )

ben . )

D. 4( A. 3, 59( B. 3, 06(

Câu 63. Một vi sinh đặc biệt X có cách sinh sản vô tính kì lạ. Tại thời điểm 0h có đúng 2 con X, với mỗi con X sống được cho đến giờ thứ n ( với n nguyên dương) thì ngay lập tức tại thời điểm đó nó đẻ ra một lần 2n con X khác. Tuy nhiên do chu kì sống của con X ngắn nên ngay sau khi đẻ xong lần thứ tư nó lập tức chết. Hỏi lúc 6h01 có bao nhiêu con vi sinh X đang sống? A. 4992 con. C. 19264 con. B. 3712 con. D. 5008 con.

Câu 64. Một vi sinh đặc biệt X có cách sinh sản vô tính kì lạ. Tại thời điểm 0h có đúng 2 con X, với mỗi con X sống được cho đến giờ thứ n ( với n nguyên dương) thì ngay lập tức tại thời điểm đó nó đẻ ra một lần 2n con X khác. Tuy nhiên do chu kì sống của con X ngắn nên ngay sau khi đẻ xong lần thứ tư nó lập tức chết. Hỏi lúc 7h01 có bao nhiêu con vi sinh X đang sống? D. 19264 con. A. 14336 con. B. 20170 con. C. 19328 con.

Câu 65. Ở một địa phương X, người ta tính toán thấy rằng: nếu diện tích khai thác rừng hàng năm không đổi như hiện nay thì sau 50 năm nữa diện tích rừng sẽ hết, nhưng trên thực tế thì diện tích khai thác rừng tăng trung bình hàng năm là 6% / năm. Hỏi sau bao nhiêu năm nữa diện tích rừng sẽ bị khai thác hết? Giả thiết trong quá trình khai thác, rừng không được trồng thêm, diện tích rừng tự sinh ra và mất đi (do không khai thác) là không đáng kể. A. 23. C. 22 . B. 24 . D. 21.

Câu 66. Khi một đèn flash của máy ảnh tắt đi, pin ngay lập tức bắt đầu được nạp vào tụ điện của flash



t 2



e

.

  Q t Q

 0 1  

  

theo công thức

0Q là điện tích tối đa và t đo bằng giây, tính từ thời điểm tụ điện của flash bất đầu

Trong đó

được nạp. Hỏi phải mất bao lâu để sạc điện cho tụ điện của flash đến 90% công suất?

A. 2, 2 giây. B. 4, 4 giây.

C. 4, 6 giây. D. 2, 3 giây

----------HẾT----------

NHÓM GIẢI VẬN DỤNG CAO CHUYÊN ĐỀ LOGARIT - NĂM HỌC 2017-2018

VTED_2019 MÔN: TOÁN 12

Thời gian làm bài 90 phút

Đề đã thay đổi thứ tự câu (sắp xếp theo độ khó tăng dần) so với đề gốc

BẢNG ĐÁP ÁN THAM KHẢO

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

10 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Thực tiễn Logarit

26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

HƯỚNG DẪN GIẢI

4

4

4

Câu 1: Giả sử sau mỗi năm diện tích rừng của nước ta giảm x phần trăm diện tích hiện có. Hỏi sau bốn năm diện tích rừng của nước ta sẽ là bao nhiêu phần trăm hiện nay?

1



1

x 100

x 100

x 4 100

x   100 

  

  

  1 

  

B. . . C. D. . A. .

  1  Lời giải

Chọn C

0S là diện tích rừng hiện tại.

n

Gọi

S

x 100

 0 1  

  

4

. Sau n năm diện tích hiện tại là

x 100

  1 

  

lần hiện tại. Vậy sau 4 năm diện tích rừng sẽ là





(giờ). . (giờ). Câu 2: Người ta thả một số lá bèo vào một hồ nước, sau 10 giờ số lượng lá bèo sẽ sinh sôi kín mặt hồ. Biết rằng sau mỗi giờ số lượng lá bèo tăng gấp 10 lần số lượng lá bèo trước đó và tốc độ tăng trưởng là không đổi. Hỏi sau khoảng thời gian bao lâu số lượng lá bèo phủ kín tối thiểu một phần tư hồ? A. 10 log 4  (giờ). D.10 10 log 4 B. 10 log 4 (giờ). C. 1 10 log 4

Lời giải

Chọn A

Gọi n là số lá bèo thả vào hồ nước ban đầu.

iu là số lá bèo ở giờ thứ i .

0

2

10

Gọi

u

  n

n .10



u



1 n .10

u





n .10

n

.10

0

u 1

0.10

u 1.10

2

u 10

10

Ta có: , , … .

n .10 4

Số lượng lá bèo phủ kín tối thiểu một phần tư hồ là .

log



 10 log 4

1010 4

Vậy thời gian số lượng lá bèo phủ kín tối thiểu một phần tư hồ là: (giờ)

Câu 3. Ngày 01/01/2016, dân số thế giới khoảng 7,3 tỉ người. Nếu tỉ lệ tăng dần số thế giới hằng năm là 1,3% và tỉ lệ này ổn định trong 10 năm liên tiếp thì ngày 01/01/2026 dân số thế giới khoảng bao nhiêu tỉ người? A. 8 tỉ người. C. 8.306 tỉ người. B. 8,33 tỉ người. D. 8,4 tỉ người

Lời giải

Chọn C

11 | VD_VDC

Tài liệu Vted_2018

n

 A a

 7,3. 1 0, 013





r



8,306

.

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19  . 1





10

Câu 4. Số lượng vi khuẩn ban đầu có 100 con và sau mỗi giờ số lượng vi khuẩn tăng lên x phần trăm

và sau 5 giờ số lượng vi khuẩn là 300 con. Hỏi sau 15 giờ số lượng vi khuẩn là? A. 2700 con. C. 1500 con. B. 900 con. D. 1200 con.

Lời giải

5

5

Chọn A

300 100. 1





  

A

3

100. 1





3 100.3



2700

x 100

x 100

x 100

  

  

   1  

  

  

15   

Ta xét: .

Câu 5: Dân số của một quốc gia trong 2 năm tăng từ 30 triệu người lên 30 048 288 người. Tính tỉ lệ tăng dân số hằng năm của quốc gia đó trong 2 năm kể trên (kết quả làm tròn hai chữ số thập phân). A. 0,14% . D. 0, 21% . B. 0, 08% . C. 0,18% .

Lời giải

1 y

Chọn B

x

%





f s

  

  

   

  1 .100%  

Ta có công thức tỉ lệ tăng dân số hàng năm là .

f 

30 048 288

Trong đó: : giá trị cuối;

s 

30 000 000

y  : số năm.

2

1 2

: giá trị đầu;

30048 288 30000 000

  

  

    

  1 .100% 0, 08%    

Thay vào công thức là được

0N (triệu người) lên

1N (triệu người). Tính tỉ lệ

Câu 6: Dân số của một quốc gia trong 10 năm tăng từ

10

10

x



x

  1

tăng dân số hằng năm %x của quốc gia đó trong 10 năm kể trên.

 . 1

x



log

 . 1

x

 

1 log

N 1 N

N 1 N

N 1 N

N 1 N

0

0

0

0

A. B. C. . D. .

Lời giải

1 y

Chọn A

x

%





f s

  

  

   

  1 .100%  

Ta có công thức tỉ lệ tăng dân số hàng năm là .

f N

1

Trong đó: : giá trị cuối;

s N

0

y 

10

: giá trị đầu;

: số năm.

12 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Thực tiễn Logarit

1 10

10

x



  1



1

N 1 N

N 1 N

0

0

  

  

Thay vào công thức ta được: .

Câu 7: Tỉ lệ tăng dân số hằng năm ở Việt Nam duy trì ở mức 1, 06% . Theo số liệu của Tổng cục

Thống kê, dân số Việt Nam năm 2014 là 90 728 600 người. Với tốc độ tăng dân số như thế thì

năm 2050 dân số Việt Nam là? A. 160 663 675 người. B. 132 616 875 người.

C. 153 712 400 người. D. 134 022 614 người.

Lời giải

1 y

Chọn B

x

%





f s

  

  

   

  1 .100%  

Ta có công thức tỉ lệ tăng dân số hàng năm là .

f : giá trị cuối (cần tính);

s 

90 728 600

Trong đó:

y 

2050 2014 36





người: giá trị đầu;

năm: số năm;

x 

1, 06

.

1 36

36

36

1, 06









1.0106





 1.0106



f 90728600

f 90728600

f 90728600

  

  

    

  1 .100   

f 

 .90728600 132616875

Thay vào công thức ta được:

 1.0106

36

.

Câu 8: Năm 2016, số tiền để đổ đầy bình xăng cho một chiếc xe máy trung bình là 70000 đồng. Giả sử tỉ lệ lạm phát hàng năm của Việt Nam trong 10 năm tới không đổi ở mức 5% , tính số tiền đổ đầy bình xăng cho chiếc xe máy đó vào năm 2022.

70000. 1, 05 (đồng)

70000. 1, 05 (đồng)



6



7

A. B.

70000. 1, 05 (đồng)



9

 70000. 1, 05

10

C. D. (đồng)

Lời giải

Chọn B

Ta có: Từ năm 2016 đến năm 2022 là 6 năm.

6

6

T 





Trong 10 năm ( từ năm 2016) lạm phát là 5% nên số tiền đổ đầy bình xăng cho chiếc xe máy đó vào năm 2022 là :

 70000. 1 5%



 70000. 1, 05



( đồng).

13 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19 Tài liệu Vted_2018 Câu 9: Theo số liệu của tổng cục thống kê, dân số Việt Nam năm 2015 là 91, 7 triệu người. Giả sử tỉ lệ

tăng dân số hàng năm của Việt Nam trong giai đoạn 2015-2040 ở mức không đổi 1,1% . Hỏi

đến năm bao nhiêu dân số Việt Nam đạt mức 113 triệu người?

A. Năm 2033. B. Năm 2032. C. Năm 2031. D.Năm 2034.

Lời giải

6

Chọn D

113.10 ( người).

n

6



6 113.10









  n

log



19

91, 7.10 . 1 1,1% n  

  1, 01

1,011

1130 917

1130 917

Giả sử sau n năm dân số Việt Nam là

Vậy đến năm 2034 thì dân số Việt Nam là 113 triệu người.

Câu 10. Trong tin học, độ hiệu quả của một thuật toán tỉ lệ với tốc độ thực thi chương trình và được tính



  E n

 P n là độ phức tạp của thuật

n   P n toán. Biết rằng một thuật toán có

bởi , trong đó n là số lượng dữ liệu đầu vào và

n 

300



log

n

  P n

2

n 

và khi thì để chạy nó, máy tính mất

0,02 giây. Hỏi khi A. 3 giây.

90000 B. 6 giây.

thì phải mất bao lâu để chạy chương trình tương ứng? D. 600 giây. C. 4 giây. Lời giải

Chọn A.

E

300







300 log 300 2

Ta có máy tính phải chạy mất 0,02 giây.

E

90000







90000 log 90000

2

E



 giây.

3

 90000 .0,02 E 300





Suy ra máy tính phải mất thời gian để chạy là:

760

x 

0

P  0

. Trong đó mmHg là áp suất không khí ở mực nước biển 

Câu 11. Áp suất không khí P ( đo bằng milimet thủy ngân, kí hiệu là mmHg) suy giảm theo hàm số mũ so với độ cao x (đo bằng mét) tính từ mực nước biển, tức là P giảm theo công thức 0. xi , i là  P P e hệ số suy giảm. Biết rằng ở độ cao 1000m thì áp suất không khí là 672,71 mmHg. Hỏi áp suất không khí ở độ cao 3000m là bao nhiêu A. 527,06 mmHg. B. 526,06 mmHg. C. 528,06 mmHg. D. 529,06 mmHg.

ln

i

  

  

Lời giải Chọn A



1000 e 760.



672,71

  i

P 1000

672,71 760 1000

i 3000.

Ta có .



e 760.



527,06

P 3000

Suy ra mmHg.

Câu 12. Một lon nước ngọt ở 86 F được đưa vào một máy làm lạnh chứa đá tại 32 F . Nhiệt độ của lon nước ngọt ở phút thứ t kể từ thời điểm cho vào máy làm lạnh được tính bởi công thức

14 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19



. Hỏi phải làm mát lon nước ngọt trong bao lâu để nhiệt độ của nó là

Chuyên đề_Thực tiễn Logarit 32 54. 0,9 t     T t  50 F A. 9,4272 phút.

B. 11,4272 phút. C. 12, 4272 phút. D. 10, 4272 phút

Lời giải



86

 0

t

Ta có . Chọn D T



 50 32 54. 0,9



  t

log



10,4272

  T t





0,9

18 54

giây.

LM (Richter) tính theo thang Richter được xác định theo công

Câu 13: Cường độ một trận động đất





A

log

thức:

A 0

LM

.

Richter.

log Với A là biên độ tối đa đo được bằng địa chấn kế (biên độ của những sóng địa chấn đo ở 0A là một biên độ chuẩn. Đầu thế kỉ 20 , một trận 100km cách chấn tâm của cơn động đất) và động đất ở SanFrancisco có cường độ 8,3 Richter. Trong cùng một năm đó, một trận động đất khác ở Nam Mỹ có biên độ mạnh gấp bốn lần thì cường độ của nó là bao nhiêu ? B. 8,3 log 4 A. 8,3.log 4 Richter. 

Richter. Richter. C. 8,3 10 log 4  D. 8,3 log 4 

Lời giải





A

A





log

log

log

 8,3 log

 8,3 log

8,3

log

A





A 0

A 0

A 0

log 4

log 4

log

log

log

A

A











Chọn D Gọi A là biên độ của trận động đất ở SanFrancisco. Do trận động đất ở SanFrancisco có cường độ 8,3 Richter, nên ta có:





A 0

A 0

.

t T



. Biên độ của trận động đất khác ở Nam Mỹ có biên độ là 4A . Do đó trận động đất khác ở Nam Mỹ có cường độ là: LM  log 4 8,3  Chọn đáp án D.

  m t m 0

0m là khối

1 2

  

  

0

t  ) và T là chu kỳ bán rã. Biết chu kì bán rã lượng chất phóng xạ ban đầu (tức tại thời điểm của một chất phóng xạ là 24h (một ngày đêm). Hỏi 100 gam chất phóng xạ đó sẽ còn lại bao nhiêu gam sau 4 ngày đêm ?

Câu 14: Biết rằng khối lượng chất phóng xạ tại thời điểm t là , trong đó

25 8

A. 5 gam. B. gam. gam. C. D. 4 gam.

25 4 Lời giải

t T



T 

24

t 

 4.24 96

m 

Chọn C

  m t m 0

0 100

1 2

  

  



m

96

100.



Thay , , vào công thức , ta có:





25 4

  

96 241   2  Chọn đáp án C.

gam.

15 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

5

3

4.10 m . Biết tốc độ sinh trưởng của các cây ở khu rừng đó



 là 4% mỗi năm. Hỏi sau 5 năm, khu rừng đó sẽ có số mét khối gỗ là bao nhiêu ?

5

3

5

5

3

Câu 15: Một khu rừng có trữ lượng gỗ là

4.10 . 1, 4 m .









5

5

3

5

3

5

A. B.



    4.10 . 1,04 m .



 4.10 . 1,004 m .

C. D.

  5 4.10 . 0,04 m .    Lời giải

5

5

5

5

3





4.10 . 1,04 m

Chọn C

 4.10 . 1 0,04





 



Sau 5 năm, khu rừng đó sẽ có số mét khối gỗ là: .

Chọn đáp án C.

C. 41 (ngày). D. 42 (ngày). Câu 16: Với mức tiêu thụ thức ăn của trang trị A không đổi như dự đình thì lượng thức ăn đủ cho 100 ngày. Nhưng thực tế, kể từ ngày thứ hai trở đi lượng thức ăn của trang trại đã tăng thêm 4% so với ngày trước đó. Hỏi lượng thức ăn của trang trại A đủ dùng cho bao nhiêu ngày? A. 39 (ngày). B. 40 (ngày).

Lời giải

Chọn C

Gọi a là lượng thức ăn mỗi ngày theo dự kiến và n là số ngày thức tế hết lượng thức ăn đã chuẩn bị.

Lượng thức ăn đã chuẩn bị là: 100a .

n

2

 a a

.1,04





  ...

 a . 1, 04

thức ăn đã tiêu thụ sẽ là Vì là lượng  1 . thực 3  tế nên . 1, 04 n   a số ngày   1. 1, 04

3

n

 1

2

 a a

.1, 04





  ...



a 100.

 1. 1, 04



 a . 1, 04



 a . 1, 04



2

n

 1



 

... 1.04



a 100.

   a 1 1, 04 1.04



n

 1

1

n

 1



a



a 100.



  

5

n

41, 035 41



 1, 04



   1, 04  1 1, 04

Do lượng thức ăn không đổi nên ta có phương trình sau:

Vậy lượng thức ăn đủ dùng cho 41 ngày

log

log

M

A





Nhận xét: Với cách hỏi của đề, nếu hiểu là đủ dùng thì chỉ đủ 41 ngày, song thực tế ngày thứ 42 vẫn còn thức ăn, nhưng không đủ cho cả ngày đó.

A 0

Câu 17: Cường độ một trận động dất M (Richter) tính theo thang Richter được xác định theo công thức . Với A là cường độ tối đa đo được bằng địa chấn kế (biên độ của những

1,5

E

sóng địa chấn đo ở 100 km cách chấn tâm của cơn động đất) và

0.10 M

trong đó

0A là một biên độ chuẩn. Năng lượng được phát ra bởi một trận động đất có cường độ M được xác định bởi 0E là một hằng số dương. Hỏi năng lượng phát ra bởi một trận động ME đất có cường độ 8 Richter gấp khoảng bao nhiêu lần năng lượng phát ra của một trận động đất có cường độ 5 Richter? A. 31 (lần).

C. 31623 (lần). D. 3163 (lần). B. 316 (lần).

16 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Thực tiễn Logarit

Lời giải

1,5

M

1



10

1,5

E

Chọn C

ME

0.10 M

1,5

M

2

E 1 E



10

2

   

1,5







 1,5 8 5



 M M 2

1

. Theo công thức ta có:



10



10



31623

E 2 E 1

log

log

M

A





Suy ra .

A 0

Câu 18: Cường độ một trận động dất M (Richter) tính theo thang Richter được xác định theo công thức . Với A là cường độ tối đa đo được bằng địa chấn kế (biên độ của những

1,5

E

sóng địa chấn đo ở 100 km cách chấn tâm của cơn động đất) và

0.10 M

0E là một hằng số dương. Hỏi với hai trận động đất có biên độ

0A là một biên độ chuẩn. Năng lượng được phát ra bởi một trận động đất có cường độ M được xác định bởi ME ,A A 1 2 thỏa mãn

trong đó

A 24A

1

, thì tỉ lệ năng lượng được phát ra bởi hai trận động đất này là?

A. 8 . D. 16 . B. 4 . C. 12 .

Lời giải

1,5

M

1



10

1,5

E

Chọn A

ME

0.10 M

1,5

M

2

E 1 E



10

2

   

1,5

M

2

1,5log



log

1,5log 4

 1,5



 1,5 log



 M M 2

1

A 1

A 2

A 1 A 2





10



10



10



10

Theo công thức ta có .

 . 8

1,5

M

1

10 10

E 2 E 1

Suy ra

Câu 19: Các loài cây xanh trong quá trình quang hợp sẽ nhận được một lượng nhỏ cacbon 14 (một đồng

vị của cacbon). Khi cây bị chết thì hiện tượng quang hợp của nó cũng ngưng và nó sẽ không nhận thêm cacbon 14 nữa. Lượng cacbon 14 của bộ phận đó sẽ phân hủy một cách chậm chạp,  P t là số phần trăm cacbon 14 còn lại trong một chuyển hóa thành nitơ 14. Biết rằng nếu gọi

 P t

t 5750

được tính theo công thức: bộ phận của một cây sinh trưởng từ t năm trước đây thì



100.

%

  P t





1 2

  

  

. Phân tích một mẫu gỗ từ một công trình kiến trúc cổ, người ta thấy

t 5750

t 

5750.log

lượng cacbon 14 còn lại trong mẫu gỗ đó là 65% . Niên đại của công trình kiến trúc là ? A. 4000 năm. B. 4500 năm. C. 3574 năm. D. 3400 năm. Lời giải Chọn C



3573, 558166

100.



65

1 2

  

  

65 100 1 2

9 10

Ta có .

 4U

7 x y 10

Câu 20: Cho biết hàm lợi ích của một người tiêu dùng có dạng . Giá một đơn vị sản phẩm x

là 2 USD, giá một đơn vị sản phẩm y là 3 USD, ngân sách dành cho tiêu dùng là 960 USD. Xác định cơ cấu mua sắm để người tiêu dùng thu được lợi ích tối đa. A. 210 sản phẩm x và 180 sản phẩm y . C. 300 sản phẩm x và 120 sản phẩm y . B. 150 sản phẩm x và 220 sản phẩm y . D. 270 sản phẩm x và 140 sản phẩm y .

Lời giải Chọn A

17 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

x

  y

x

y 3



960

 960 2 3

7

9 10

x

7 10

10 960 2

7 10

9 10

9 10



.

x



x

U



4.

x

.

y

Ta có 2 .

.



4.

x

 . 960 2



 3

  

  

4 9 3 10

x



18

x



x





U

 



Khi đó .

 7 960 2 3 10

6720 32 3 10

1 10

1 10

 960 2

x

4 9 3 10

10.

x

4 9 3 10

 960 2

x

10.

x





    

    

      210

x 

      6720 32

  0x

0U  



Ta có .

x 

210

.

  y



180

 960 2.210 3

0,4

0,7

Lập bảng biến thiên ta có hàm số đạt giá trị lớn nhất tại .

 U x

.

y

1,140 , trong điều kiện giá thị trường 40 USD một sản phẩm x

Câu 21: Cho biết hàm lợi ích của một người tiêu dùng . Hãy xác định chi phí nhỏ nhất

11 7

0,4

0,7

1,1

B. 440 USD. C. 2200 USD. D. 220 USD. nhưng vẫn đảm bảo mức lợi ích và 70 USD một sản phẩm y . A. 4400 USD. Lời giải Chọn A

x

.

y



40

  y

40 4 7

x

11 7

  t

40

x



70.40

x



70

y



t

Ta có .

1 4 7

x

11 7

11 7

40.

x

t

   

0

x

40

Khi đó ta có 40

t

 

 40.40 11 7

x

suy ra .

x 

40

t 

Bảng biến thiên

M



log

A



log

A 0

A là biên độ rung chấn tối đa và

4400 . Vậy ta có . Dựa bảng biến thiên ta có chi phí thấp nhất khi Câu 22. [2D2-2] Cường độ một trận động đất được cho bởi công thức (Richter) với

0A là một biên độ chuẩn (hằng số). Đầu thế kỷ 20, một trận động đất ở San Francisco có cường độ 8 độ Richter. Trong cùng năm đó, trận động đất khác ở Nhật Bản có cường độ đo được 6 độ Richer. Hỏi trận động đất ở San Francisco có biên độ gấp bao nhiêu lần biên độ trận động đất ở Nhật Bản? A. 1000 lần.

B. 1024 lần. D.100 lần. C. 2 lần. Lời giải

1A là biên độ rung chấn tối đa trận động đất ở San Francisco.

Chọn C

Gọi 2A là biên độ rung chấn tối đa trận động đất ở Nhật Bản. Khi đó:

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Thực tiễn Logarit

8 10



6



 100 A 1   A 2  6 log  10 A 1 A 0 A 2 A 0 A 1 A 0 A 2 A 0       

 8 log        [2D2-2] Số các chữ số của số Câu 23. trong hệ thập phân, cho biết log 2 0.301 .

20172 B. 607 .

A. 608 . C.1400 . D.1397 . Lời giải

log 2

2017 log 2

  1

  1

607,117

 

1 608

 

 

2017.0, 301  

 

 

 

20172    1 

74207281

M 

Chọn A Số các chữ số của số 2017 trong hệ thập phân là  

Câu 24. [2D2-2] Đầu năm 2016, Curtis Cooper và các cộng sự tại nhóm nghiên cứu Đại học Central Mis-souri, Mỹ vừa công bố số nguyên tố lớn nhất tại thời điểm đó. Số nguyên tốt này là 1 số dạng số nguyên tố Mersenne có giá trị bằng A. 2233862 chữ số. C. 22338617 chữ số.

 2 1 B. 22338618 chữ số. D. 2233863 chữ số.

74207281

Lời giải

1

2 74207281

log

M

  1

74207281log 2

  1



  1

22338617.48

 

1 22338618

M   log 2

 1

 

 

 

 

 

 

 

 trong hệ thập phân là  

n

 với n là một số nguyên dương không âm, Fermat dự đoán

22

1

nF  nhưng Euler đã chứng minh được

Chọn B Số các chữ số của số

5F là hợp số. Hãy tìm số chữ số của

Câu 25: Nhà toán học người Pháp Pierre de Fermat là người đầu tiên đưa ra khái niệm số Fermat nF là một số nguyên tố 13F .

A. 2467 . B. 2466 . C. 2468 . D. 2465 .

Lời giải



 , ở đó

n

log

A

1

Chọn A.





log A là phần nguyên của log A - là số nguyên lớn nhất không vượt qua log A .





132







Ta sử dụng kiến thức: Xét số tự nhiên A log A có n chữ số. Khi đó

n

log

1

1



13F là

13 F

 log 2

  

    1  

13 2

  1

13 2



Khi đó số chữ số của

log 2

n

 log 2

1

  

    1  

   

   



  





13 2 .log 2

1

n

13 2

1

  

  

   

  1 .log 2  



2467, 0377...

  n

2467,338754...

Dễ có

n 

2467

Vậy

a

b  và 10

,a b là hai số tự nhiên lớn hơn 1 thỏa mãn

12 2016 a b

973 chữ số. Cặp số 

,a b thỏa mãn bài toán là?

Câu 26: Cho là một số tự nhiên có

5;5 .

6; 4 .

8; 2 .

7;3 .

A.  B.  C.  D. 

Lời giải

19 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

Chọn D.

12 2016 a b

log

12 2016 a b

973



  

    1  





log

12 2016 a b

972



  

   





2016 log

b

972



   b

 12 log 10 

 

Ta có số các chữ số của là

27 2017

Kiểm tra đáp số bằng cách sử dụng máy tính ta thu được đáp án đúng là D.

a b 

17

,a b là hai số tự nhiên lớn hơn 1 thỏa mãn

a b

;a b thỏa mãn bài toán là?

Câu 27: [2D2-3] Cho và là một số tự

 12;5 .

 11; 6 .

 10;7 .

 13; 4 .

nhiên có 1598 chữ số. Cặp  B.  A.  D. 

C.  Lời giải

27 2017

Chọn B.

a b

27 2017

27 2017

log

a b

1 1598



 1597 log

a b



1598



 1597 27 log

a



2017 log

b



1598

Do là một số tự nhiên có 1598 chữ số nên









 

   

.

b



1598

  . Lại có 6

b

a

  15

27 log

a

  32

2017 log

b



1565

  . b

5

Ta có 2017 log

b  . Do đó

6

a 

11

6 2017

Vậy .

a b 

25

,a b là hai số tự nhiên lớn hơn 1 thỏa mãn

a b

;a b thỏa mãn bài toán là?

Câu 28: [2D2-3] Cho và là một số tự

 12;13 .

 13;12 .

 17;8 .

 8;17 .

nhiên có 1829 chữ số. Cặp  B.  A.  D. 

C.  Lời giải

6 2017

Chọn C.

a b

6 2017

6 2017

log

a b

1 1829



 1828 log

a b



1829



 1828 27 log

a



2017 log

b



1829

Do là một số tự nhiên có 1829 chữ số nên









 

   

.

b



1829

  . Lại có 8

b

a

  24

6 log

a

  9

2017 log

b



1819

  . b

7

a 

17

Ta có 2017 log

8b  . Do đó

Vậy .



  V t

0,6

t

75 e  1 74

Câu 29. Trong gia đoạn từ năm 1980 đến năm 1994 , tỉ lệ phần trăm giữa những gia đình ở Mỹ (United States) có ít nhất một đầu máy video (VCR) đã được mô hình hóa bởi hàm số

t 

14

. Hỏi vào năm nào

Với t là thời gian được tính bằng năm từ giữa năm 1980 , vì thế 0 thì con số VCR tăng nhanh nhất.

A. 1983 . B. 1994 . C. 1987 . D. 1988 .

20 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Thực tiễn Logarit

Lời giải

Chọn C

f







  t

 V t

   1

  V t



0,6

t

0,6

t



  1

75  1 74 e

75  e

 1 74



0,6

t



0,6

t



  1

75.74.

e



e





Đặt

f



  t



0,6

t



0,6

t



  1

e

e

  1 74



  1 74



Ta có

t  7

Sử dụng máy tính Casio 580VN X, ta tìm được

 

Vậy vào năm 1980 7 1987 thì con số VCR tăng nhanh nhất.

Câu 30. Ban đầu có bốn triệu vi khuẩn Escherichia coli (E. Coli) trong phòng thí nghiệm. người ta cho vào đám vi khuẩn đó một chất kháng khuẩn thì số lượng vi khuẩn giảm đi một nửa sau 6 gờ. Vậy sau bao lâu số lượng vi khuẩn còn lại khoảng 300.000 con? B. 21, 4 giờ D. 23, 4 giờ A. 22, 4 giờ C. 20, 4 giờ

Lời giải

n

Chọn A

n lương vi khuẩn còn lại là

.4000000

1 2

  

  

n

Ta có: sau khoảng thời gian t

 .4000000 300000

1 2

  

  

n 

3,83

Theo giả thiết, ta có phương trình





Vậy khoảng thời gian cần để vi khuẩn giảm còn 300.000 con là 6 3,83 22, 4



  P t

t

1500000 e 0,8 

1 5000

Câu 31. Số lượng của một loại vi khuẩn được xác định bởi công thức:

trong đó t là thời gian được tính bằng giờ. Hỏi vào thời gian nào thì số lượng vi khuẩn tăng nhanh nhất A. 8,6465 giờ D. 12,6465 giờ. C. 10,6465 giờ. B. 11,6465 giờ.

Lời giải



0,8

t



0,8

t











300000

Chọn C

  P t

   P t

2

t

0,8



t

1500000  0,8 

e 1 5000

6000000000. e  0,8 t e 4.1.5000



e 6000000000.  e 1 5000





0,8

t

e 1 5000



  t

10,6465

.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi giờ.

Câu 32. Một nghiên cứu chỉ ra rằng sau khi tham gia một khóa học, phần trăm kiến thức sinh viên còn

nhớ sau t tháng kết thúc khóa học được xác định bởi:

21 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018



 92 20 ln

t

  p t



  1

t 

24

 p t

Trong đó được tính bằng % và 0 . Hỏi sau bao lâu thì % kiến thức sinh viên còn

B. 6, 2 tháng.. C. 8, 2 tháng.. D. 7, 2 tháng. nhớ chỉ là 50% . A. 7,1 tháng.

Lời giải

 92 50 20



 92 20ln

  

50 92 20ln



t

t

  

t

e

 

1 7,16666

Chọn D

  p t



 1



 1

.

0.15

t



15000

e

  V t

Câu 33. Giá trị còn lại của một chiếc xe theo thời gian khấu hao t được xác định bởi công thức

 V t chiếc xe chỉ là 5000 USD?

được tính bằng USD và t tính bằng năm. Hỏi sau bao lâu giá trị còn lại của trong đó,

A 6,3 năm. B.7,3 năm. C. 8,3 năm. D. 9,3 năm.

Lời giải

Chọn B



0.15

t



15000

e



5000

 

t 0,15

ln

t

7,3.

  V t

1    3

2000 ln

feet



t

Ta có

  h t





   1 t  phút. 3

Câu 34. Một máy bay cất cánh từ sân bay gần mực nước biển có quỹ đạo lên cao theo hàm số , trong đó t tính bằng phút. Tính tốc độ lên cao của máy bay tại

feet

/ min .

feet

/ min .

feet

/ min .

feet

/ min .

thời điểm

A 500 C. 300 D. 600 B. 400

Lời giải

Chọn A



2000 ln

t



  h t



 1



h t ( )

=

Ta có

 h

(3)



500

feet

/ min

=





2000  t 1 2000  3 1

.

22 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19 Chuyên đề_Thực tiễn Logarit Câu 35. [2D2-3] Để đo lường khả năng ghi nhớ kiến thức của sinh viên sau khi kết thúc khóa học, các nhà nghiên cứu tiến hành khảo sát bằng cách cho sinh viên làm các bài kiểm tra mỗi tháng ( )S t của sinh viên tham gia trong vòng 24 tháng kể từ ngày kết thúc khóa học. Điểm trung bình

t 0,5

 ( ) 75

20



e

t 

24

là thời gian được với 0

S t bài khảo sát được mô hình bởi công thức tính bằng tháng. Hỏi điểm số trung bình của sinh viên sau 12 tháng kết thúc khóa học là? A. 21,186 .

C. 20,186 . B. 22,186 . D. 23,186

Lời giải

Chọn. C.

t 

12

0,5x12

Điểm trung bình của sinh viên sau 12 tháng tức là thay vào công thức ta được:

S



75.

e



20



20,186

 12



.

Câu 36.

 

a b

d f (

ln

)

f

[2D2-3] Hình 6-2m cho bên dưới mô tả một radio AM quay số đời cũ. Như chúng ta thấy, khoảng cách giữa con số giảm xuống khi tần số tăng lên. Nếu như bạn từng học về nguyên lý đằng sau việc xoay núm vặn radio, bạn sẽ biết khoảng cách từ đầu cuối bên trá của radio tới . Trong một giá trị tần số thay đổi theo hàm logarittm của tần số đó. Cụ thể là

d f (

)

đó ,a b là hằng số. Dựa vào hình vẽ trên là số centimet từ số 53 tới tần số f trên mặt số

 

107,802

107,802

107,802

a

 

107,802

hãy xác định các hằng số a và b .

27,152

 

27,152

27,152

b

 

27,152

a    b

 a  b 

 a   b

  

A. . B. . C. . D.

Lời giải

Chọn. A.

 

a b

ln

f

 d f







Ta có

a b 

 (1 )

0

f 

53

 d f 

 0

 ln 53



Khi thì

a b 



30

f 

160

 d f 

 30

 ln 160



b 



27,152

Khi thì (2)

a  

107,802

30  

 ln 160

 ln 53



Từ (1) và (2) suy ra . Từ đó suy ra .

Chọn A.

f t ( )

. bt a e

Câu 37. [2D2-3] Số lượng tế bào còn sống trong khoảng thời gian t (phút) kể từ lúc tiến hành thí

,a b là các hằng số cho trước. Nếu bắt đầu một

nghiệm được xác định bởi trong đó

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018 thí nghiệm sinh học với 5.000.000 tế bào thì có 45% các tế bào sẽ chết sau mỗi phút, hỏi sau ít nhất bao lâu nó sẽ còn ít hơn 1.000 tế bào? A. 14 phút.

B. 14, 25phút. C. 13phút. D. 13, 25 Phút.

f

. bt a e

Lời giải Chọn. B.

  t

t

  0

f



5.000.000

0.   a e

5.000.000

  a

5.000.000

Ta có

  0

ba e   .

a

  b

ln

t

  1

f



a



a

Khi

  100 45 1

 100

55 100

55 100

55 100

  

  

ln

bt

  

  

f



a e .



1000

  t

Khi .

 14, 245

  t

1000 a b

Theo đề ta có bất phương trình

Chọn. B.

Câu 38.

0,24

0,12



t

t

0, 495e

0,005e





0

t 

18

3cm .



Trong y học các khói u ác tính được điều trị bằng xạ trị và hóa trị (sử dụng thuốc hóa học trị liệu). Xét một thí nghiệm y tế trong đó những con chuột có khối u ác tính được điều trị bằng một loại thuốc hóa học trị liệu. Tại thời điểm bắt đầu sử dụng thuốc khối u có thể tích khoảng 3 0,5 cm , thể tích khối u sau t (ngày) điều trị xác định bởi công thức

   V t Hỏi sau bao nhiêu ngày thì thể tích khối u là nhỏ nhất? A. 10,84 ngày . B. 9,87 ngày. C. 16, 25 ngày. D. 8,13 ngày.

Lời giải.

0,24

t



0,12

t



e



e

Chọn A.

   V t

3 2500

297 5000

V t

t 

ln

  0 

0t

25 9

99 2



10,84

Ta có

t 

ln

 V t

25 9

99 2

nhỏ nhất khi ngày.

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Thực tiễn Logarit

P



10 log

I I

0



12

2

I



được đo bằng Câu 39. Mức cường độ âm P của một nguồn âm cho trước xác định bởi

0 10 W / m

Decibel (db), trong đó I là cường độ độ âm có đơn vị là W và là cường độ

2   

t

t

 1 W



3

t  giây.







âm chuẩn mà tai người có thể nghe thấy được. Giả sử một nguồn âm phát ra cường độ âm I với t là thời gian được tính bằng giây. Xác định tốc độ thay đổi mức cường

độ âm tại thời điểm  A. 2,3385 db/s . B. 2,485 db/s . C. 3,385 db/s . D. 2,1385 db/s .

Lời giải.

2

P



10 log



10log

I



10log

I

Chọn A.



10 log

t

t

10 log

I

0

0



    1

I I

0

Ta có



10.

   P t

2

t

2  1 t    1 ln10 t





P



10.

Mức độ thay đổi cường độ âm được tính theo biểu thức :

  3

7 13ln10

Suy ra 2,3385 db/s  .

Câu 40.

0,24

0,12



t

t

0, 495e

0,005e





0

t 

18

3cm .



Trong y học các khói u ác tính được điều trị bằng xạ trị và hóa trị (sử dụng thuốc hóa học trị liệu). Xét một thí nghiệm y tế trong đó những con chuột có khối u ác tính được điều trị bằng một loại thuốc hóa học trị liệu. Tại thời điểm bắt đầu sử dụng thuốc khối u có thể tích khoảng 3 0,5 cm , thể tích khối u sau t (ngày) điều trị xác định bởi công thức

   V t Hỏi sau bao nhiêu ngày thì thể tích khối u là nhỏ nhất? A. 10,84 ngày . B. 9,87 ngày. C. 16, 25 ngày. D. 8,13 ngày.

Lời giải.

0,24

t



0,12

t



e



e

Chọn A.

   V t

3 2500

297 5000

V t

t 

ln

  0 

0t

25 9

99 2



10,84

t 

ln

Ta có

 V t

25 9

99 2

nhỏ nhất khi ngày.

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

P



10log

I I

0

12

2

Câu 41. Mức cường độ âm P của một nguồn âm cho trước xác định bởi được đo bằng

I



0 10 W / m

là cường độ Decibel (db), trong đó I là cường độ độ âm có đơn vị là W và

2

I



t

  t

âm chuẩn mà tai người có thể nghe thấy được. Giả sử một nguồn âm phát ra cường độ âm

 1 W



t  giây.

3







với t là thời gian được tính bằng giây. Xác định tốc độ thay đổi mức cường

. . . . độ âm tại thời điểm  A. 2,3385 db/s B. 2,485 db/s C. 3,385 db/s D. 2,1385 db/s

Lời giải.

2

P



10log



10log

I



10log

I

Chọn A.



10 log

t

t

10 log

I

0

0



    1

I I

0

Ta có



10.

   P t

2

t

2  1 t    1 ln10 t





Mức độ thay đổi cường độ âm được tính theo biểu thức :

P



10.

  3

7 13ln10

Suy ra . 2,3385 db/s 

Câu 43. Một quần thể của loài ong mật lớn lên tại một nhà nuôi ong bắt đầu với 50 con ong, tại thời



  P t

0,5932

t

7520  1 1503e



. điểm t số lượng ong của quần thể này được mô hình hóa bởi công thức:

trong đó t là thời gian được tính bằng tuần. Hỏi sau bao lâu thì quần thể ong có tốc độ phát triển nhanh nhất.

A. 12.332 Tuần. B. 11.332 Tuần. C. 10.332 Tuần. D. 13.332 Tuần.

Lời giải



0,5932

t

ChọnA.



  P t '



e 7520.1503.0,5932. 0,5932 t 1 1503e





0,5932

t



0,5932

t

2 e 7520.1503.(0,5932) .







  P t ''

Ta có: .



0,5932

t



  1 1503e 3 

 1 1503e



0,5932

t



0,5932

t



  0

1503e

  1

e



  t



12,332

.

  P t ''

1 1503

ln1503 0,5932

.

Câu 44. Ban đầu có bốn triệu vi khuẩn Escherichia coli (E.Coli) trong phòng thí nghiệm, người ta cho vào đám vi khuản đó một chất kháng khuẩn thì số lượng vi khuẩn giảm đi một nửa sau 6 giờ. Vậy sau 24 giờ số lượng vi khuẩn còn lại là? A. 300.000 con. C. 200.000 con. B. 250.000 con. D. 180.000 con.

Lời giải

ChọnB.

26 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Thực tiễn Logarit

nu với công bội

1 q  . 2

Số lượng vi khuẩn giảm đi là cấp số nhân giảm 

4.000.000

Ta có: 6 giờ cho ta một số hạng vậy 24 giờ cho ta số 4 hạng.



2.000.000

u  1

  u 2

u 1

1 2

.

24 4

u





.4.000.000





250.000

4

u 1

1 2

1 2

4.000.000 16

  

  

  

  

Sau thì số lượng vi khuẩn còn lại giờ 4 là: .



x

1x 

được mô hình bởi công thức: . Câu 45. Tổng số tiền một công ty thu về khi thực hiện một chiến dịch quảng cáo cho sản phẩm mới   400 250log  S x 

được tính bằng đơn vị USD đơn vị là 1000 USD, trong đó x là số tiền chi cho quảng cáo đơn vị là 1000 USD. Hỏi để thu được số tiền tối thiểu là 600000 USD thì số tiền chi cho quảng cáo tối thiểu là?

A. 631 USD. B. 63110 USD. C. 6310 USD. D. 63000 USD.

Lời giải

ChọnC.

5

Theo giả thiết đơn vị là nên ta có phương

600 400 250log





x



log

x



  

x

10

 10000 6,30957



1000 4 5

 600 400 250

USD 4 5 trình: .

Quy đổi đơn vị ta có:

x 

 6,30957.1000 6309.57 6310



.

Câu 46: Khi một kim loại được làm nóng đến 600 C

, nếu nhiệt độ kim loại tăng thêm 5 C

.

. . . . , độ bền kéo của nó giảm đi 50% . Sau khi kim loại vượt ngưỡng 600 C thì độ bền kéo của nó giảm đi 35% hiện có. Biết kim loại này có độ bền kéo 280MPa dưới 600 C và được sử dụng trong việc xây dựng các lò công nghiệp. Nếu mức an toàn tối thiểu độ bền kéo của vật liệu này là 38MPa thì nhiệt độ an toàn tối đa của lò công nghiệp bằng bao nhiêu, tính theo độ C A. 605 C C. 606 C D. 618 C B. 615 C Lời giải

Chọn C.

f

  t là độ bền kéo của kim loại khi nhiệt độ đang ở 600 C

t

Gọi tăng lên t độ.



f

f

140

MPa

  f t

   0 . 0, 35

 5

 0

t

  

Ta có và .

 .

  38

38

t

6, 2

  f t

 140. 0, 35

 5

Để nhiệt độ an toàn thì

Vậy nhiệt độ an toàn tối đa của lò là 606 .

27 | VD_VDC

s

, trong đó là số lượng vi khuẩn A lúc ban đầu,

Tài liệu Vted_2018 Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19 Câu 47: Số lượng của loại vi khuẩn A trong một phòng thí nghiệm được tính theo công thức   s t là số lượng vi khuẩn

 0 .2t

 0s

  S t A có sau t phút. Biết sau 3 phút thì số lượng vi khuẩn A là 625 nghìn con. Hỏi sau bao lâu, kể từ lúc ban đầu, số lượng vi khuẩn A là 10 triệu con? A. 48 phút.

B. 19 phút. D. 12 phút. C. 7 phút. Lời giải

3

Chọn C.







s

  625

S

S

625

  0 .2

  0

 3

625 8

t





Theo giả thiết: (nghìn con) .

10000

.2

10000

  S t 

625 8

7t  phút.

Thời điểm số lượng vi khuẩn A là 10 triệu con thì



s

  S t

 0 . rt e

 0s

Câu 48: Cho biết sự tăng dân số được tính theo công thức trong đó là dân số của

  s t là dân số sau t năm và r là tỉ lệ tăng dân số hằng năm. Đầu năm

năm lấy làm mốc,

2010 , dân số của tỉnh X là 1.038.229 người, tính đến đầu năm 2015 dân số tỉnh X là 1.153.600 người. Hỏi nếu tỉ lệ tăng dân số hằng năm giữ nguyên thì đến đầu năm 2025 dân số tỉnh X khoảng bao nhiêu người? A. 1.424.000 người.

B. 1.424.117 người. C. 1.424.337 người. D. 1.424.227 người. Lời giải

Chọn D.

5r

Từ sự biến động dân số từ năm 2010 đến năm 2015 ta có:



 1.153.600 1.038.229. e

  r

ln

A

1 5

1153600 1038229



.

1038229.

Ae 15

1.424.227



t 3 2

người. Suy ra số dân của tỉnh X đến đầu năm 2025 là



Q

e

  Q t

 0 1  

  

t là khoảng thời gian được tính bằng giờ và

0Q là dung lượng tối đa khi pin đầy. Nếu điện thoại nạp pin từ lúc cạn pin (tức dung lượng pin lúc bắt đầu nạp là 0% ) thì sau bao lâu sẽ nạp được 90%. (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 49. Một điện thoại đạng nạp pin, dung lượng nạp được tính theo công thức , với

C. 1 giờ A. 1, 2 giờ B. 1, 54 giờ D. 1, 34 giờ.





t 3 2

t 3 2

Lời giải Chọn B

90%



1



e

  1

e



90%

  t

1, 54

Q 0

Q 0

  

  

Từ yêu cầu bài toán ta có giờ.

28 | VD_VDC

Chuyên đề_Thực tiễn Logarit



s

Câu 50. Cho biết sự tăng dân số được tính theo công thức là dân số của trong đó

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19  0s  0 . rt e

  s t

  s t

năm lấy làm mốc, là dân số sau t năm và r là tỉ lệ gia tăng dân số hằng năm. Đầu năm

2010, dân số của tỉnh X là 1038229 người, tính đến đầu năm 2015 dân số tỉnh X là 1153600 người. Hỏi nếu tỉ lệ gia tăng dân số giữ nguyên thì đầu năm 2025 dân số tỉnh X khoảng bao nhiêu người.

A. 1424000 người B. 1424117 người C. 1424337 người D. 1424227 người.

Lời giải Chọn D

s



1038229

 0

s



1153600

X là

người và đến đầu năm 2015 thì dân số tỉnh Đầu năm 2010 dân số tỉnh X là

 5

s

5

r

r

s



s

5   e

  5

  e 0 .

s

  5   0

nên ta có

3

3

s

s

r

Do đó đến đầu năm 2025 dân số tỉnh X sẽ là

s



s



s



1424227



 15



  15 e 0 .

  0 .

2

s

s

  5   0

  5   0

   

   

người.

7 log 25



7 log 24



Câu 51. Trong nông nghiệp, bèo hoa dâu được dùng làm phân bón, nó rất tốt cho cây trồng. Mới đây một nhóm các nhà khoa học Việt Nam đã phát hiện ra bèo hoa dâu có thể dùng để chiết xuất ra chất có tác dụng kích thích hệ miễn dịch và hỗ trợ điều trị bệnh ung thư. Bèo hoa dâu được thả nuôi trên mặt nước. Một người thả một lượng bèo hoa dâu chiếm 4% diện tích mặt hồ. Biết rằng sau đúng một tuần bèo phát triển thành 3 lần lượng đã có và tốc độ phát triển của bèo ở mọi thời điểm như nhau. Hỏi sau bao nhêu ngày bèo sẽ phủ kín mặt hồ ?

25 73

7



3

3

24 3

A. B. C. D. .

Lời giải Chọn A

Giả sử tốc độ phát triển của bèo hoa dâu là x .

7



1

x

x

3

 12% 4% 1

7     

Ban đầu bèo chỉ chiếm 4% mặt hồ, tuy nhiên sau đúng một tuần thì đã chiếm 12%. Như vậy ta có

y

7



100%



3

  

25

y

log

25

 

7 log 25

7

   4% 1

yx 

3

3





Gọi y là số ngày để bèo phủ kín hồ. Khi đó ta có

Câu 52. Chuyện kể rằng: Ngày xưa có một ông vua hứa sẽ thưởng cho một vị quan món quà mà vị quan được chọn. Vị quan tâu: “Hạ thần chỉ xin Bệ Hạ thưởng cho một số hạt thóc thôi ạ! Cụ thể như sau: Bàn cờ vua có 64 ô với ô thứ nhất, thần xin nhận 1 hạt, ô thứ 2 thì gấp đôi ô đầu, ô thứ 3 thì gấp đôi ô thứ 2 , ..., ô sau nhận số hạt thóc gấp đôi phần thưởng dành cho ô liền trước”. Giá

29 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

D. 20 . C. 18 . B. 19 .

Tài liệu Vted_2018 trị nhỏ nhất của n để tổng số hạt thóc mà vị quan nhận được từ n ô đầu tiên (từ ô thứ nhất đến ô thứ n ) lớn hơn 1 triệu là? A. 21 .

q

Lời giải

 . 1

u 12,

n

n

  S

YCBT





.

1.000.000

u 1

Chọn D. Nhận xét: Bài toán biến đổi theo quy luật cấp số nhân với công bội

 2 1  2 1

 1  1

n   2

1.000.001

  n

log 1.000.001 19,93



2

Áp dụng công thức tính tổng CSN q q

Vậy giá trị nhỏ nhất của n là 20 .



s

  s t

 0 . rt e

 0s

Câu 53. Cho biết sự tăng dân số được tính theo công thức trong đó là dân số của

  s t

năm lấy làm mốc, là dân số sau t năm và r là tỉ lệ tăng dân số hàng năm. Theo thống kê

dân số thế giới, đến tháng 1/2017 dân số của Việt Nam là 94.970.597 người và có tỷ lệ tăng dân số hàng năm là 1, 03% . Nếu tỉ lệ tăng dân số không đổi qua các năm thì đến tháng 1/2020 dân số của Việt Nam khoảng bao nhiêu người? (Kết quả làm tròn đến hàng triệu). A. 98 triệu người. D. 104 triệu người. B. 100 triệu người. C. 99 triệu người.

Lời giải

s



94.970.597

 0

3.1,03%

Chọn C. Ta có .

s



94.970.597

e



97950998,51

  3

Ta có .

Câu 54. Cuối tháng 2/2017 tại khu vực Thủy điện Sông Tranh 2, tỉnh Quảng Nam của Việt Nam xảy ra liên tiếp hai trận động đát có cường độ khoảng 4 độ Richter, biết rằng cường độ của một trận

M



log

0A

A A 0

động đất được tính theo công thức , trong đó M được tính theo Richter và A ,

B. 1000 lần. C. 1.048.576 D. 40 lần. lần. lần lượt là biên độ của trận động đất và biên độ chuẩn. Hỏi hai trận động đất kể trên có biên độ gấp khoảng bao nhiêu lần biên độ chuẩn? A. 4 lần.

Lời giải

4

Chọn B.

M



log

 

4

4



log

10



10000

A A 0

A   A 0

A A 0

Ta có: .

Câu 55. Một trận động đất có cường độ 8 Richter có biên độ mạnh gấp mấy lần biên độ của một trận động đất có cường độ 6 Richter? Biết rằng cường độ của một trận động đất được tính theo công

,A A lần lượt là biên độ của trận

M



log

0

A A 0

thức trong đó M được tính theo đơn vị Ritcher,

B. 100 lần. C. 2 lần. D. 1024 lần. động đất và biên độ chuẩn. A. 1000 lần.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

30 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Thực tiễn Logarit

8M  Richter.

,A M là biên độ và cường độ của trận động đất thứ nhất. Suy ra 1

1

1

Gọi

,A M là biên độ và cường độ của trận động đất thứ nhất. Suy ra

6M  Richter.

2

2

2

M

M

Gọi

M



log

10

  A

10

.

A 0

A A 0

A   A 0

M

1

2

 M M 1

2





10



10



100.

Ta có

2

10 M 10

A 1 A 2

A 0 A 0

Suy ra .

. . . . Câu 56. Đầu thế kỉ 20, một trận động đất ở San Fransico có cường độ là 8.3 Richter. Trong cùng năm đó, một trận động đất được ghi nhận ở Nam Mỹ có biên độ mạnh gấp 4 lần biên độ ở San Fransico. Hỏi cường độ động đất ở Nam Mỹ là bao nhiêu? A. 8.3 log 4  C. 4 log 8.3  D. 4 log 8.3  B. 3.3 log 4 

Hướng dẫn giải

8.3

Chọn. A.

,A M là biên độ và cường độ của trận động đất ở San Fransico. Suy ra 1

1

M  1

Gọi Richter.

,A M là biên độ và cường độ của trận động đất ở Nam Mỹ.

2

2

M

M

Gọi

M



log

10

  A

10

.

A 0

A A 0

A   A 0

M

2

 M M 2

1





10

  

4



log 4

  M

 8.3 log 4.

Ta có

M M 2

1

2

M

1

10 10

A 2 A 1

A 0 A 0

.

s

  s t

 0 3t

Câu 57. Số lượng một loại vi khuẩn được xác định theo công thức , trong đó t là thời gian

t  (giờ) và

0

s

  s t

là số lượng vi khuẩn tại thời điểm ban đầu là số lượng (tính bằng giờ), (0)

9 log 4



9 log 3



vi khuẩn sau t (giờ). Biết rằng sau 9 giờ, số lượng vi khuẩn là 250 nghìn con. Hỏi sau bao nhiêu giờ là số lượng khuẩn là 1 triệu con?

9.

9

 (giờ).

3

4

4 3

3 4

A. (giờ). B. (giờ). C. (giờ). D.

Hướng dẫn giải

Chọn. A.

s





250000.



s



1000000.

  9   s t

  9 s 0 3   t 0 3

   

s



9





  4

t 3

    t

9

4

  

9 log 4.

t

log 4 3

3

s

s

  s t   9

  t 0 3   9 0 3

Theo giả thiết ta có,

31 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

M



log

I I

0

Câu 58: Cường độ một tran động đất được tính theo công thức , trong đó M được tính bằng

Richter và

0,I I lần lượt là biên độ trận động đất và biên độ chuẩn. Hỏi với hai trận động đất có ,M M thỏa mãn . Mệnh đề nào sau đây đúng?

M 22M

1

2

1

2

2

I





cường độ

I



I

I



I

2

I 1

2

2 1

I 0.

1

I 0.

2

2 I 1 I

I 2 I

0

0

A. . B. . . . C. D.

Lời giải

2

Chọn D.

M



log

M



log

1

2

I 1 I

I I

0

0

2

2

I

Ta có: và .

M



2

M



log



2 log

2

1

  I 1

I 1 I

I 2 I

I 1   I

I 2 I

2 I

  

  

ln

s

  s t   0

   

   

Theo bài ra: .

1 t  a e

 0s

Câu 59: Tốc độ phát triển của một loại tảo biển xác định theo công thức , trong đó là

t  (ngày) và

0

  s t

khối lượng tảo biển tại thời điểm ban đầu là khối lượng tảo biển tại thời

điểm ban đầu t (ngày). Biết rằng sau một tuần khối lượng tảo biển là 9 tấn và sau một tháng khối lượng tảo biển là 1000 tấn. Hỏi ban đầu khối lượng tảo biển là? A. 2 tấn. C. 2,146 tấn. D. 4,146 tấn. B. 3,146 tấn.

Lời giải

ln

1 7

9   0s

   

   

Chọn C.

 a e

ln

1 30

1000   0s

   

   

 a e

. Sau một tuần khối lượng tảo biển là 9 tấn nên ta có:

. Sau một tháng khối lượng tảo biển là 1000 tấn nên ta có:

ln

ln

1 7

s

1 30

9   0

1000   s 0

ta có phương trình: ra

   

   

e



e



ln 9



ln

s



ln1000



ln

s

  0

  0

1 7

1 7

1 30

1 30

ln 3



ln10

60 23

21 23

Theo     bài     .



ln

s



ln 3



ln10



ln

s



ln 3



ln10



s



e



2,146

  0

  0

  0

1 10

60 23

21 23

23 210

2 7

.





ln

t



  s t



 1

24  1

t

t

0

30

t 

Câu 60: Số lượng của một loại vi khuẩn được xác định theo công thức , trong đó



  s t

là thời gian được tính bằng ngày và là số lượng vi khuẩn có tại ngày thứ t .

 Hỏi vào ngày thứ bao nhiêu thì số lượng vi khuẩn nhỏ nhất? A. Ngày thứ 12 .

B. Ngày thứ 13 . C. Ngày thứ 23 . D. Ngày thứ 24 .

Lời giải

Chọn C.

32 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Thực tiễn Logarit

24

 



  

0

t

23

   s t

1 

t

1

t





2 1

Ta có .

Bảng biến thiên:

Vậy vào ngày thứ 23 thì số lượng vi khuẩn nhỏ nhất.

thì tổng giá

thì tổng kinh tế toàn cầu

t

ka

f

,k a là hằng số dương.

, tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm

  t

, trong đó thì Câu 61. Các khí thải ra gây hiệu ứng nhà kính là nguyên nhân chủ yếu làm trái đất nóng lên. Theo OECD (Tổ chức Hợp tác và Phát triển kinh tế thế giới), khi nhiệt độ trái đất tăng thì tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm. Người ta ước tính được rằng, khi nhiệt độ trái đất tăng 2 C trị kinh tế toàn cầu giảm 3% ; còn nhiệt độ trái đất tăng thêm 5 C giảm 10% . Biết rằng, nếu nhiệt độ trái đất tăng thêm t C  %f t

thì tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm đến 20% ?

B. 7,6 C . . . . Khi nhiệt độ trái đất tăng thêm bao nhiêu C A. 9,3 C C. 6,7 C D. 8, 4 C

Lời giải

3

Chọn C

2

5

3

3

3



f

3.

a    3 10 3  Theo bài ra ta có .  10        k a .    k a .   3. k 9 100  

  t

9 100

10 3

   .  

t     

Do đó .

3

3





20

3.

  t

log

6,7

Khi kinh tế toàn cầu giảm đến 20% thì nhiệt độ trái đất tăng lên số nhiệt độ t thỏa mãn

3

9 100

10 3

   .   

t      

10 3

3

3.

          

           

20 9 100

.

Bài toán. Một tỉnh A đưa ra nghị quyết về giảm biên chế các bộ công chức, viên chức hưởng lương từ ngân sách nhà nước trong giai đoạn 2015 – 2021 ( 6 năm) là 10,6% so với số lượng hiện có năm 2015. Theo phương thức “ra 2 vào 1” ( tức là khi giảm đối tượng hưởng lương từ ngân sách nhà nước được 2 thì được tuyển dụng 1 người mới). Giả sử tỉ lệ giảm và tuyển dụng mới hàng năm so với năm trước là như nhau. Tính tỉ lệ tuyển dụng mới hàng năm (làm tròn đến 0, 01% ).

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

A. 1,13% . B. 2,02% . C. 1,85% . D. 1, 72% .

Lời giải

Chọn C

Gọi T là tổng số công chức, viên chức hưởng lương theo ngân sách sau năm 2015.

T



10, 6%

T

Đến năm 2021 theo mục tiêu số công chức, viên chức hưởng lương còn lại là .

là tỉ lệ hàng năm số công chức, viên chức được tuyển thêm, khi đó số công chức viên

Gọi %r chức ra ngoài biến chế là 2 %r .

T



2

rT rT T







r

 1



Sau năm 2016 số công chức, viên chức còn lại trong biên chế là .

chức, viên chức còn lại trong biên chế là

rT

T







r

r



T



r

 1

 1



. Sau năm 2017  số  1 công 2

2

2

chức, viên chức còn lại trong biên chế là số

rT

T







r

r



T



r

 1

 1



 1

. Sau năm 2018  công 3 

…

r

 1T

6

6

Sau năm 2021 số công chức, viên chức còn lại trong biên chế là .

T



r





T

  r

1,85%

 1



 1 10,6%





Theo bài ra ta có .

s

 0 . rt e

s t là dân số sau t năm và r là tỉ lệ tăng dân số hàng năm. Dân số khu vực

là dân số của Câu 63. Cho biết sự tăng dân số được tính theo công thức   s t trong đó  0s

năm làm mốc,  

Đồng bằng sông Hồng năm 2009 là khoảng 19,6 triệu người, đến năm 2015 dân số khu vực

2020 dân số khu vực Đồng bằng sông Hồng là bao nhiêu người?

này là khoảng 20,8 triệu người. Với tỉ lệ tăng dân số trung bình hàng năm như vậy, đến năn

A. 21,856 (triệu người). B. 22,073(triệu người).

C. 22,373(triệu người). D. 2,1640 (triệu người).

Lời giải

.6



19,6.

re

20,8

  r

ln

Chọn B

1 6

20,8 19,6

Theo bài ra, tỉ lệ tăng dân số hàng năm được xác định .

ln

.12

1 20,8 6 19,6



Dân số khu vực Đồng bằng sông Hồng đến năm 2020 là

e 19,6.

22,073

( triệu người).

Câu 64. Một nguồn âm đẳng hướng đặt tại điểm O có công suất truyền âm không đổi. Mức cường



log

ben (

)

L M

k 2 R

độ âm tại điểm M cách O một khoảng R được tính bởi công thức với k là

34 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Thực tiễn Logarit

ben

3(



BL

. Tính mức cường độ âm tại trung điểm của đoạn thẳng AB .

một hằng số. Biết điểm O thuộc đoạn AB và mức cường độ âm tại A và B lần lượt là  AL A. 3, 59(

5( ben ) B. 3, 06(

) và )ben .

)ben .

)ben .

)ben

C. 3, 61( D. 4(

Lời giải



log



3



3 10



L A

2

2

Chọn C.







log



5



5 10

L B



2

2

k OA k OB

k OA k OB

      

      

k 10 2 10 k 10 4 10

 OA     OB  

 OM OA





OA



OA OB OA OB 

Từ giải thiết, ta có hệ

AB 2

 2

 2

k

OM



99 10 4 2.10

Vì O thuộc đoạn AB , M là trung điểm của AB nên

 Mức

M của

AB là:

8

7

cường độ tại trung điểm đoạn âm



log



log



log



3, 61

L M

2

k OM

k 4.10 2 k 99 .10

4.10 2 99

(ben)

Câu 65. Một vi sinh đặc biệt X có cách sinh sản vô tính kì lạ. Tại thời điểm 0h có đúng 2 con X,

với mỗi con X sống được cho đến giờ thứ n ( với n nguyên dương) thì ngay lập tức tại thời điểm đó nó đẻ ra một lần 2n con X khác. Tuy nhiên do chu kì sống của con X ngắn nên ngay sau khi đẻ xong lần thứ tư nó lập tức chết. Hỏi lúc 6h01 có bao nhiêu con vi sinh X đang sống? A. 4992 con. C. 19264 con. B. 3712 con. D. 5008 con.

Lời giải

Chọn B

Câu 66. Một vi sinh đặc biệt X có cách sinh sản vô tính kì lạ. Tại thời điểm 0h có đúng 2 con X,

với mỗi con X sống được cho đến giờ thứ n ( với n nguyên dương) thì ngay lập tức tại thời điểm đó nó đẻ ra một lần 2n con X khác. Tuy nhiên do chu kì sống của con X ngắn nên ngay sau khi đẻ xong lần thứ tư nó lập tức chết. Hỏi lúc 7h01 có bao nhiêu con vi sinh X đang sống? A. 14336 con. C. 19328 con. B. 20170 con. D. 19264 con.

Lời giải

Chọn A

D. 21 . C. 22 . B. 24 . Câu 67: Ở một địa phương X, người ta tính toán thấy rằng: nếu diện tích khai thác rừng hàng năm không đổi như hiện nay thì sau 50 năm nữa diện tích rừng sẽ hết, nhưng trên thực tế thì diện tích khai thác rừng tăng trung bình hàng năm là 6% / năm. Hỏi sau bao nhiêu năm nữa diện tích rừng sẽ bị khai thác hết? Giả thiết trong quá trình khai thác, rừng không được trồng thêm, diện tích rừng tự sinh ra và mất đi (do không khai thác) là không đáng kể. A. 23.

Lời giải Chọn B

35 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

50



S

x



nên:

Tài liệu Vted_2018 Gọi x là diện tích khai thác rừng hiện nay. Vì nếu diện tích khai thác rừng hàng năm không đổi như hiện nay thì sau 50 năm nữa diện tích rừng sẽ hết nên diện tích rừng hiện tại là Vì diện tích khai thác hàng năm tăng 6%r   Diện tích khai thác năm thứ nhất:  1 r x







r

x

 1

 r x

 r x r

   1

2



x

nr 

n

2

50

...





x

x

x

r

r

2  (1,06 1,06



 

n x ... 1,06 )



50

x

    1

   1

 r x





n

n

Diện tích khai thác năm thứ 2 :  1 ……. Diện tích khai thác năm thứ n :  1 Giả sử sau n năm diện tích rừng bị khai thác hết, khi đó:  1



1, 06

  50

1,06



n 

log



23, 05

1,06

203 53

1 1, 06   1 1, 06

203 53

.



t 2



e

.

  Q t Q

 0 1  

  

Tức là sau 23 năm vẫn chưa hết, nên phải đến năm thứ 24 rừng mới bị khai thác hết. Câu 68: Khi một đèn flash của máy ảnh tắt đi, pin ngay lập tức bắt đầu được nạp vào tụ điện của flash theo công thức

0Q là điện tích tối đa và t đo bằng giây, tính từ thời điểm tụ điện của flash bất đầu

Trong đó

được nạp. Hỏi phải mất bao lâu để sạc điện cho tụ điện của flash đến 90% công suất?

A. 2, 2 giây B. 4, 4 giây

C. 4, 6 giây D. 2, 3 giây

Lời giải



t 2

Chọn C

1



e



90%

Q 0

Q 0

  

  



t 2

  1

e

   

0,9

  t

4, 6

Để đạt đến 90% công suất thì ta có:

  ln 0,1

t 2

.

36 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Thực tiễn Logarit

37 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Nguyên hàm_Tích Phân

NHÓM GIẢI VẬN DỤNG CAO CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HÀM - NĂM HỌC 2018-2019

VTED_2019 MÔN: TOÁN 12

LÝ THUYẾT



Các tính chất của nguyên hàm

  f x dx

  f x



 





'f







 x dx

  f x C







dx





 f x



  g x

  f x dx

 g x dx



 

 











k

  kf x dx

  f x dx





 với k là hằng số khác 0 .

Các nguyên hàm cơ bản

Dựa trên định nghĩa của nguyên hàm ta dễ chứng minh được các công thức nguyên hàm cơ bản dưới đây

 

x C



 0dx C  dx 

dx



ln

 x C

dx



ln

  ax b C





1 x

1  ax b

1 a

 1





 1

 ax b

dx





C

  

 

 x dx



x



C

  







 1



 1





a

1

1  

1

 ax b 

   

x

1

 

x a dx







0,

a



dx





C

 C a

 1

2





1 

a ln

a

 ax b

  a ax b







 ax b

 ax b

x

 

e

dx



e



C

x e dx



 e C





1 a

 bx c

 bx c

 

a

dx



a



C



1 ln

b

a

kx



kx



sin

kxdx





C

cos

kxdx





C





cos k

sin k

1 cos 2



kx

kx

2

sin

kxdx



dx



C

 





x   2

sin 2 k 4

2

1 cos 2



kx

kx

2



cos

kxdx



dx



C





x   2

sin 2 k 4

2

3sin

kx

sin 3

kx

kx

3



sin

kxdx



dx

 





C





 4

3cos k 4

cos 3 kx k 12



1 | VD_VDC

Tài liệu Vted_2018

cos 3

kx

3cos

kx

kx

3

kxdx

cos



dx







C







Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19  4

sin 3 kx k 12

3sin k 4

dx



tan

 x C

dx

 

cot

 x C





1 2 cos

x

1 2 sin

x

kx

kx

 

dx





C

dx

 



C





1 2 cos

kx

tan k

1 2 sin

kx

cot k

1

2

 

dx



ln

x



x



 a C

dx



ln



C

2

2

2

2





1 

x

a

1 a 2

x a   x a

x



a

 

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM



  f x

1  x

5

2

Câu 1: Tìm một nguyên hàm của hàm số .



ln 5

x

  2

C



ln 5

x

  2

C

  f x dx

  f x dx





1 5

A. . B. .



x



2



C

ln 5

x

  2

C

  f x dx=

 ln 5



  f x dx=





1 2



cos 3

x

C. . D. .

 f x



x



3sin 3

 x C

x d

x





C

Câu 2: Tìm một nguyên hàm của hàm số .

d

 f x



  f x





x

x



sin 3

 x C

d

A. . B. .

x

 



C

d

 f x



  f x





sin 3 3 sin 3 3

x

C. . D. .



x



xe

 F x





1 x e

  G x

  f x và

Câu 3: Cho và lần lượt là một nguyên hàm của các hàm số





 f x



 g x

x    e C







2

x



x  e C

x d

.

 g x

 f x





  f x

 g x





 1

x  e C









x d

A. . B. .

  g x

  f x

  f x

 g x



   1 2

 x x e C

g x . Tìm một nguyên hàm của hàm số  d x  d x

  

  

 

 

 



log

x

. C. D. .

 f x . Tìm một nguyên hàm của hàm số



2



 log 2 f x .

log 2



log

 x C

log 2



ln

 x C

x d

x d

Câu 4: Cho là một nguyên hàm của

  F x   



 f x







  f x





A. . B. .

log 2

x





C

d

log 2

x





C

d





 f x







  f x





x log log 2

x ln ln10

C. . D. .

 f x 

 7 x

x

Câu 5: Tìm một nguyên hàm của hàm số

x d





C

x



7 ln 7



C

  f x

 d f x





17  x  x 1

x

A. B.

x d





C

d

x

C 1

7 x



 f x



  f x







C. D.

f

x

f



10

7 ln 7   f x thỏa mãn

  3 5sin   x

 0

Câu 6: Cho hàm số và . Mệnh đề nào dưới đây

đúng?

2 | VD_VDC



x

 5

5cos



x

A. B.

5cos



x

x



15

5cos

 2



x

x

C. D.

Chuyên đề_Nguyên hàm_Tích Phân   3  x f x 5cos  3   f x

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19   3   x f x 2   3  f x

F



2



sin

x



cos

x

 F x của hàm số

  f x

Câu 7: Tìm nguyên hàm thỏa mãn

 

cos

x



sin

x

 3



cos

x



sin

  2  x

    3

A. B.

 

cos

x



sin

x

 1

 

cos

x



sin

x

 1

  F x   F x

  F x   F x

C. D.



2 sin

x

 f x



2

Câu 8: Tìm nguyên hàm của hàm số .



sin 2

 x C



sin

 x C

  f x dx

  f x dx



2 cos

 x C

 

2cos

 x C

B. . A. .

  f x dx

  f x dx

 

 

x

D. . C. .



e



2

x

F

 F x của hàm số

  f x

  0

3  . 2

x

2

x

2

Câu 9: Tìm nguyên hàm thỏa mãn



e



x



2

e



x

  F x

  F x

1  . 2

x

2

x

2



e



x



e



x

B. A.

  F x

  F x

3  . 2 1  . 2

5  . 2

x

x

D. C.



7

  3 f x 

x

x

x

x



 3 ln 3 7 ln 7



C

Câu 10: Tìm một nguyên hàm của hàm số .







C

  f x dx

  f x dx





x

 1

x

 1



3



7



C

A. . B. .







C

  f x dx

  f x dx





3 ln 3  1 x 3 x



1

7 ln 7  1 x 7 x



1

C. . D. .



3

x

 . 4

  f x

2

3

x



4



3

Câu 11: Tìm một nguyên hàm của hàm số

x d





C

d

x





C

  f x

  f x





9

3 x 2 3



4

2

3

x



4



3

A. . B. .

d

x



6

3

x



4



C

d

x





C

  f x



3

  f x





3



23 x



m 2



 x m 2

 f x





 1

 F x

C. . D. .

F



3

F

của

15

 0

 1

m 

m  

3

. Tìm giá trị thực của m để nguyên hàm  Câu 12: Cho hàm số   f x hàm số thoả mãn và .

3m  .

m   .

21 2

21 2

3

2



2

x



3

x



4

x



5

F



3

 F x

  f x

 2

A. . B. C. D. .

4

3





x



22 x



5

x



13



26 x



6

x

Câu 13: Tìm một nguyên hàm của hàm số thoả mãn .

 . 9

  F x

  F x

4

x 2 4

3

3





x



22 x



5

x



15

A. B. .





x



24 x

  . 9

  F x

  F x

x 2

x 2

ln10

e  x

e

 f x





 1F

C. . D.

 F x của hàm số

Câu 14: Tìm một nguyên hàm thỏa mãn

3 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

x

x







e

e

9

e

10 x e

 F x



  10  F x

 F x

 11  e

  F x 

xe 10

e 9 10



A. . B. . C. . D. .

3 2

x

 3

 f x



2

x





Câu 15: Tìm nguyên hàm của hàm số

C .

2

x



3



C . C.

2

x



3



C . D.

2

x



3



C .



4 3



4



4



4

33 8

33 2

32 3

33 4



A. B.

 f x



1 2 cos 2

x



Câu 16: Tìm nguyên hàm của hàm số

x C .

tan 2

x C .



tan 2

x C .

1 2

1 2

1

A. 2 tan 2 x C . B. 2 tan 2 C. D.



  f x

2

sin

x 2

Câu 17: Tìm một nguyên hàm của hàm số

 

cot



C .



cot



C .

  f x dx

  f x dx





1 2

1 2

A. B.

 

2cot



C .



2 cot



C .

  f x dx

  f x dx





x 2 x 2

x 2 x 2



sin

x



cos

C. D.

 f x





2 x

Câu 18: Tìm một nguyên hàm của hàm số

x  

cos 2

x C . 

x  

cos 2

x C . 

1 2

1 2

A. B.

x  

2 cos 2

x C . 

x  

2 cos 2

x C . 

   f x dx    f x dx

   f x dx    f x dx

3

C. D.



cos

x

 f x



4

2

Câu 19: Tìm một nguyên hàm của hàm số



cos

x C . 

 

3cos

x .sin

x C . 

   f x dx

   f x dx

A. B.



sin 3

x



sin

x C 

 

sin 3

x



sin

x C . 

   f x dx

   f x dx

1 4 1 12

3 4

1 12

3 4

C. D.



 f x



2

c os

sin 4 2  x

 

cos 2

 x C



cos 2

 x C

Câu 20: Tìm một nguyên hàm của hàm số

  f x dx

x   f x dx

x sin 



A. B.

 

cos 2

 x C



cos 2

 x C

  f x dx

  f x dx





1 2

1 2



2

x



3

C. D.

  f x



2018



x



3



C



2

x



3



C

Câu 21: Tìm một nguyên hàm của hàm số

  f x dx

 4038 2

2019



  f x dx

2019





A. B.



2

x



3



C



2

x



3



C



  f x dx

2019

  f x dx

2019







1 2019 1 4038

1 6057



C. D.

  f x

2

1 

x

16

Câu 22: Tìm một nguyên hàm của hàm số



ln



C



ln



C

  f x dx

  f x dx





1 32

x x

 

4 4

x x

 

4 4

1 8

A. B.



ln



C



ln



C

  f x dx

  f x dx





1 32

x x

 

4 4

x x

 

4 4

1 8

C. D.

4 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19



4

Chuyên đề_Nguyên hàm_Tích Phân Câu 23: Tìm một nguyên hàm của hàm số



10 x 3

  f x

x

4



x

4



x d





C

x d





C

.

  f x

 f x







x d





C

x d





C

A. . B. .

  f x

  f x





3 10 ln10  x 3 4 10 3

3 10 3ln10  x 3 5 10 x 3



4

C. . D. .



e  2 3x

  f x

2

x

2

x

Câu 24: Tìm một nguyên hàm của hàm số .

d

x



e

C 3 

x d



e

C 3 

 f x



  f x





2

x

A. . B. .

d

x



e

C 3 

d

x



2 x 2 e

C 3 

 f x



 f x







1 2 1 3

1



C. . D. .

  f x

3

x



4



2

Câu 25: Tìm một nguyên hàm của hàm số .

x d

 



C

x d

 



C

  f x

  f x





4

3

A. . B. .

d

x





C

d

x

 



C

  f x

 f x







1  x 3 1  x

4

3



4

3  x 4 1 x



 3 3

C. . D. .

f x ( )



2 sin 2

x

Câu 26: Tìm một nguyên hàm của hàm số .

f x

( ) d

x

sin 4

 x C

f x

( ) d

x

sin 4

 x C





1 8

A. . B. .

f x

( ) d

x

8sin 4

 x C

f x

( ) d

x

8sin 4

 x C





x   2 x   2

x 1   2 8 x   2

C. . D. .

f x ( )



2

2

1 x .cos

sin

f x

( ) d

x



2 tan 2

 x C

f x

( ) d

x

 

2 cot 2

 x C

Câu 27: Tìm một nguyên hàm của hàm số .

A. . B. .

f x

( ) d

x

 

2 tan 2

 x C

f x

( ) d

x



2cot 2

 x C

x  

 

f x ( )



tan

x



cot

x

C. . D. .



2

f x

( ) d

x



tan

x



cot

 x C

Câu 28: Tìm một nguyên hàm của hàm số .

f x

( ) d

x



tan

x



cot

x



C

2







1 3

A. . B. .

f x

( ) d

x

 

tan

x



cot

 x C

f x

( ) d

x



tan

x



cot

 x C





C. . D. .



  f x

1 2

x



1

2



ln



C

.



ln

x



x

  1

C

.

Câu 29: Tìm một nguyên hàm của hàm số

  f x dx

  f x dx

x 2





x



1

x

2



ln



C .



ln

x



x

  1

C .

A. . B. .

  f x dx

  f x dx





2 1  x

2



x



4034

x



2017.2018



,

f



f

f

,

n



2.

 f x



  x

  f x

  x

  x

f 1

n

n

 1





C. . D. .

Câu 30: Cho hàm số . Kí hiệu

f

  x .

2018

Tìm một nguyên hàm của hàm số

5 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

2017

 1

2

x



f





2017

 x C



 x dx

2018



2017

 1

x



f





2017

 x C

A.



 x dx

2018



2018

 1

x







2017

 x C

f

B.



 x dx

2018



2018

 1

x





C.





2017

 x C

f



 x dx

2018

2017 2018



  2017 2017  2 1 2   2017 2017 1  2 2   2017 2018 1  2 2   1

2

D.



,

f



f

f



  x

  f x

  x

  x

  f x

f 1

n

n

 1





x 2 1 

x

x

f





Câu 31: Cho hàm số . Kí hiệu

.

2018 x

f

  x

2

Tìm một nguyên hàm của hàm số

dx



ln

x



x





C



1 2018

2018 x

1 2018

x

f





2

A.

dx



ln

x



x





C



1 2018

2018 x

1 2018

f

  x

2

dx



2018ln

x



x





C

B.



1 2018

2018 x

f

  x

2

C.

dx



ln

x



x



2018



C



2018 x

1 2018

x

1

5

f x ( )



.

D.

 x

e

x

x

Câu 32: Tìm một nguyên hàm của hàm số

f x dx ( )



x  

e C.

f x dx ( )



x   e C.





5 e

5 e

1     ln 5 1

  

1     ln 5 1

  

x

x



x



x

A. B.

f x dx ( )





e



C.

f x dx ( )





e



C.





5 e

5 e

1     ln 5 1

  

1     ln 5 1

  

C. D.

f x ( )



x sin 5 cos . x

Câu 33: Tìm một nguyên hàm của hàm số

f x dx ( )

 

cos6

x



cos4

x



C.

f x dx ( )

 

cos6

x



cos4

x



C.





1 8

1 8

A. B.

f x dx ( )



cos6

x



cos4

x



C.

f x dx ( )



cos6

x



cos4

x



C.





1 12 1 12

1 8

1 12 1 12

f x ( )





.

C. D.

1 

x

1

2 

x

2

Câu 34: Tìm một nguyên hàm của hàm số

f x dx ( )



ln



C.

f x dx ( )



ln



C.





x x

 

1 2

2

1  x   x 2

x





A. B.

f x dx ( )



ln



C.

f x dx ( )



ln



C.





 22  x  x 1

2

x



1 2



C. D.

6 | VD_VDC

Chuyên đề_Nguyên hàm_Tích Phân

x



y



f



x







d

c

x

  f x

  x



1 x e

Câu 35: Cho hàm số thỏa mãn và . Mệnh đề nào

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19   f x

  ax b e





2

a b  .

1

a b  .

3

a b  .

0



y



f

f

x



sin

x

B. C. D. sau đây là đúng? a b  . A.

 , 1

 f x



 0

  2  x

2

2

Câu 36: Cho hàm số thỏa mãn . Mệnh đề nào dưới đây đúng?



x



cos

x



x



cos

x

2

2

A. . B. .



x



cos

x

 . 1



x



cos

x

 . 2

  f x   f x

  f x   f x



y



C. D.

f



;0

  f x

  x

1 2 sin

x

  6 

  

Câu 37: Biết và đồ thị hàm số đi qua điểm . Mệnh đề nào dưới đây

đúng?



cot

x



3

 

cot

x



3

  f x

 f x



A. . B. .



tan

x



 

tan

x



  f x

 f x



1 3

1 3

C. . D. .



 f x



3



2

x

  3

C



2. 2

x

  3

C

. Câu 38: [2D3.1-1] Tìm một nguyên hàm của hàm số

1 2  x   f x dx

  f x dx





B. . A. .



2

x

  3

C

 

2

x

  3

C

  f x dx

  f x dx





2 3

1 2

3

2

4

x

x



1

C. . D. .



  f x

 5 2 x

2

2

. Câu 39: [2D3.1-1] Tìm một nguyên hàm của hàm số



x



5

x

C



2

x



5

x

C

  f x dx

  f x dx





1   x

1   x

2

B. . A. .



22 x



5

x



2ln

 x C

C



2

x



5

x

  f x dx

  f x dx





1   x

2

. C. . D.



x

2

x

  f x

3   x

3

3

Câu 40: [2D3.1-1] Tìm một nguyên hàm của hàm số .

  x





C





3ln

x



x



C

  f x dx

  f x dx





3 2 x

x 3

4 3

1 x

3

3

A. . B. .





3ln

x



3

x



C



2

x







C

  f x dx

  f x dx





x 3

3 2 x

1 x

f x  ( )

ln sinx

C. . D. .

Câu 41: Hàm số là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây?

 D. y cos x



tan x

f x  ( )

ln cosx

C. y sin x  A. y B. y cot x 



cot x

 

tan x

 

cot x



tan x

Câu 42: Hàm số là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây?

3

2



3

x



9

x

6

A. y B. y C. y D. y

 là một nguyên hàm của hàm số f(x). Tìm giá trị nhỏ nhất m của

Câu 43: Biết

F x  x ( ) hàm số f(x)? 1m  A.

6m 

8m 

3m 

1

f x ( )



B. C. D.

2

x



3



2018

Câu 44: Tìm một nguyên hàm của hàm số .

7 | VD_VDC

Tài liệu Vted_2018

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19 1

f x dx ( )

 



C

f x dx ( )





C





x



3

x



3

 2.2018 2

2017

 1  2.2017 2

2017

1

1



C

f x dx ( )





C

f x dx ( )

 

A. . B. .





x



3

x



3

 3.2017 2

2017

 3.2017 2

2017

. D. . C.

f x ( )



cos 2 x 2 x sin

. Câu 45: Tìm một nguyên hàm của hàm số

f x dx ( )



cot

x



2

 x C

f x dx ( )

 

cot

x



2

 x C

A. . B. .

f x dx ( )



2

x



cot

 x C

f x dx ( )



2

x



cot

 x C

 

 

C. . D. .

f x ( )



cos 2 2 cos

x x

. Câu 46: Tìm một nguyên hàm của hàm số

f x dx ( )



2

x



tan

 x C

f x dx ( )



2

x



tan

 x C

A. . B. .

f x dx ( )

 

2

x



tan

 x C

f x dx ( )

 

2

x



tan

 x C

 

 

x

2

C. . D. .

f x  ( )

(2



x 3 )

x

x

x

x

3

Câu 47: Tìm một nguyên hàm của hàm số

f x dx ( )





x 3 )



C

.(2

f x dx ( )









C





3 ln 3

6 ln 6

x

x

2 ln 2 x

x

x

x

A. . B. .

f x dx ( )









C

f x dx ( )









C





9 ln 3

2.6 ln 6

4 2 ln 2

9 2 ln 3

2.6 ln 6

1 3 4 ln 2

C. . D. .

f x ( )



1 2 x cos (3



2)

Câu 48: Tìm một nguyên hàm của hàm số

f x dx ( )



. tan(3

x



2)



C

f x dx ( )

 

.tan(3

x



2)



C





1 3

1 2

A. . B. .

f x dx ( )

 

.tan(3

x



2)



C

f x dx ( )



. tan(3

x



2)



C





1 3

1 2

C. . D. .

f x ( )



sin(3

x



2)

Câu 49: Tìm một nguyên hàm của hàm số

f x dx ( )

 

c . os(3

x



2)



C

f x dx ( )



c . os(3

x



2)



C





1 2

1 3

A. . B. .

f x dx ( )



c . os(3

x



2)



C

f x dx ( )

 

c . os(3

x



2)



C





1 2

1 3

C. . D. .

f x  ( )

1 1 s inx



f x dx ( )

 

cot(



C

f x dx ( )



tan(



C





Câu 50: Tìm một nguyên hàm của hàm số





x 2

 ) 4

x 2

A. . B. .

f x dx ( )



cot(



C

f x dx ( )

 

tan(





C







x 2

 ) 4

 ) 4  ) 4

x 2

C. . D. .

----------HẾT----------

8 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Nguyên hàm_Tích Phân

NHÓM GIẢI VẬN DỤNG CAO CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HÀM - NĂM HỌC 2018-2019

VTED_2019 MÔN: TOÁN 12

BẢNG ĐÁP ÁN THAM KHẢO

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

HƯỚNG DẪN GIẢI



  f x

1  x

5

2

Câu 1: Tìm một nguyên hàm của hàm số .



ln 5

x

  2

C



ln 5

x

  2

C

  f x dx

  f x dx





1 5

A. . B. .



x



2



C

ln 5

x

  2

C

  f x dx=

 ln 5



  f x dx=





1 2

C. . D. .

Hướng dẫn giải

Chọn A.

dx





ln 5

x

  2

C

  f x dx





1  x

5

2



cos 3

x

Ta có .

1 5 Câu 2: Tìm một nguyên hàm của hàm số

 f x



x



3sin 3

 x C

x d

x





C

.

d

 f x



  f x





x

x



sin 3

 x C

d

B. . A. .

x

 



C

d

 f x



  f x





sin 3 3 sin 3 3

D. . C. .

Hướng dẫn giải

x

Chọn B





C

x x cos 3 . d



x

sin 3 3 

x



xe

.



 F x



1 x e

  G x

  f x và



Câu 3: Cho và lần lượt là một nguyên hàm của các hàm số



 f x



 g x

x    e C







2

x



x  e C

x d

.

 g x

 f x





  f x

 g x





 1

x  e C









x d

A. . B. .

  g x

  f x

  f x

 g x



   1 2

 x x e C

g x . Tìm một nguyên hàm của hàm số  d x  d x

  

  

 

 

 

. C. D. .

x











2

x



Hướng dẫn giải

 f x



  g x



 1 x e

x





x



e

     F x f x     g x G x

xe 

1

Ta có . Chọn B    

9 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

x





x

2







2

x

e



x e C 2

 

2

x



x  e C

x d

dx e x

  f x

  g x



 1

 1





 1





 log

x



 là một nguyên hàm của

.

 f x . Tìm một nguyên hàm của hàm số



2



 log 2 f x .

log 2

x



log

 x C

log 2



ln

 x C

d

x d

Câu 4: Cho

  F x   



 f x







  f x





A. . B. .

log 2

x





C

d

log 2

x





C

d





 f x







  f x





x log log 2

x ln ln10

C. . D. .

Hướng dẫn giải Chọn A





 f x



 F x



1 x .ln 2

Ta có .

x



.ln

 x C



log 2.log

 x C



log

 x C

log 2

x



d

d





  f x

2



log 2 1  x ln 2

. Suy ra

log 2 ln 2  7 x

 f x 

x

Câu 5: Tìm một nguyên hàm của hàm số

x d





C

x



7 ln 7



C

  f x

 d f x





 x 17  x 1

x

A. B.

x d





C

d

x

C 1

7 x



 f x



  f x





7 ln 7

C. D.

Hướng dẫn giải



Chọn C

f

x

f



10

  f x thỏa mãn

  3 5sin   x

 0

Câu 6: Cho hàm số và . Mệnh đề nào dưới đây

đúng?

x



5cos

x

 5



5cos

x

 2

A. B.

x



5cos

x



15

x



5cos

x

 2

  3  f x  3   f x

  3  x f x   3  f x

C. D.

Hướng dẫn giải



Chọn A



f



3 5sin





3

x



5cos

 x C

  f x

  x dx



 x dx





Ta có

f

  

10

5

C

   .

10

C

5

 0

Vì

F



2



sin

x



cos

x

 F x của hàm số

  f x

Câu 7: Tìm nguyên hàm thỏa mãn

 

cos

x



sin

x

 3



cos

x



sin

    2    x 3

A. B.

 

cos

x



sin

x

 1

 

cos

x



sin

x

 1

  F x   F x

C. D.

  F x   F x Hướng dẫn giải

Chọn C



sin

x



cos

 

cos

x



sin

 x C

  F x



 x dx



Ta có:

10 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

  

F

1

2

C

  

C

2

1

Vì

Chuyên đề_Nguyên hàm_Tích Phân   2 

  



2 sin

x

 f x



2

 x C

sin





sin 2

 x C

.

  f x dx

 

2cos

 x C



2 cos

 x C

  f x dx

  f x dx

 

 

Câu 8: Tìm nguyên hàm của hàm số   f x dx A. . B. .

C. . D. .

Hướng dẫn giải

sin

xdx

 

cos

x C

 

2sin

xdx

 

2cos

 x C





Chọn C.

x

F



  0



e



2

x

  f x

 F x

3 2

Ta có .

x

2

x

2



2

e



x





e



x



  F x

  F x

1 2

3 2

Câu 9: Tìm nguyên hàm của hàm số thỏa mãn .

x

2

x

2



e



x





e



x



  F x

  F x

5 2

1 2

. A. B. .

. C. D. .

Hướng dẫn giải

x



e

2x 



e



2  x C

  F x



 x dx



Chọn D.

0

F



e

  0

C

  

C

  0

3 2

3 2

1 2

Ta có: .

x

2



e



x



 F x



1 2

nên Mà: .

x

x



7

  3 f x 

Vậy: .

x

x

x

x







C

  f x dx



 3 ln 3 7 ln 7



C

  f x dx



3 ln 3

7 ln 7



Câu 10: Tìm một nguyên hàm của hàm số .

x

 1

x

 1

x

 1

x

 1







C

  f x dx



3



7



C



  f x dx

3 x

7 x



1



1



B. . A. .

D. . C. .

Hướng dẫn giải

x

x a dx





C



a ln

a

Chọn A.

x

x







C

  f x dx



3 ln 3

7 ln 7

. Ta có:

Nên: .



3

x

 . 4

  f x

Câu 11: Tìm một nguyên hàm của hàm số

11 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

2

3

x



4



3

x d





C

d

x





C

  f x

  f x





9

3 x 2 3



4

2

3

x



4



3

A. . B. .

d

x



6

3

x



4



C

d

x





C

  f x



3

  f x





3

C. . D. .

1 2

1 2



3

x



4

d

x



3

x



4

x



4

x



3

x



4d

x





 d 3







  d f x









1 3

2

3

x



4



3

3 2



3

x



4



 . C





1 2 . 3 3

9



23 x



m 2



 x m 2

 f x





 1

 F x

Hướng dẫn giải Chọn B

F



3

F

của

15

 0

 1

m 

m  

. Tìm giá trị thực của m để nguyên hàm  Câu 12: Cho hàm số   f x hàm số thoả mãn và .

3m  .

m   .

3

21 2

21 2

A. . B. C. D. .

2

2

m



x



 1

2

3

Hướng dẫn giải Chọn A

3

x



2

m



x m x 2 d





x





2

 mx C



 1

 

 



2

3







F

F



15

 và 3

. Ta có

 0

 1

1

2

m



  C

15

m



C    1 2   

 m 2

C     

3 21 2

3

2



2

x



3

x



4

x



5

F



3

 F x

  f x

 2

nên . Vì

4

3



26 x



6

x





x



22 x



5

x



13

Câu 13: Tìm một nguyên hàm của hàm số thoả mãn .

 . 9

  F x

  F x

4

x 2 4

3

3





x



22 x



5

x



15

A. B. .





x



24 x

  . 9

  F x

  F x

x 2

x 2

C. . D.

4

3

2

3

2

Hướng dẫn giải Chọn C

2

x



3

x



4

x



x





x



2

x



5

 x C

 

 5 d 



x 2

4

3

2

F

3

 nên

. Ta có



2



2.2



5.2



C

   

C

3

15

 2

2 2

4

3

. Vì





x



22 x



5

x



15

  F x

x 2

ln10

e  x

e

 f x





 1F

Vây .

 F x của hàm số

x

x









Câu 14: Tìm một nguyên hàm thỏa mãn

e

10

e

9

e

10 x e

 F x



  F x

 F x

 11  e

  F x 

xe 10

e 9 10

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

Chọn C.

12 | VD_VDC



x

ln10

ln10

x

 x

 

    





dx e

e

F

C

9

e

e

10

9

e

e

  1

Ta có mà

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19  F x



 C F x



Chuyên đề_Nguyên hàm_Tích Phân 



3 2

x

 3

 f x



2

x





Câu 15: Tìm nguyên hàm của hàm số

C .

2

x



3



C . C.

2

x



3



C . D.

2

x



3



C .



4 3



4



4



4

33 4

32 3

33 2

33 8

A. B.

Hướng dẫn giải

4

3

3

1 3













Chọn C.

2

x

3

dx

2

x

3

dx

2

x

3

C













3 8



Ta có

 f x



1 2 cos 2

x

Câu 16: Tìm nguyên hàm của hàm số



x C .

tan 2

x C .



tan 2

x C .

1 2

1 2

C. D. A. 2 tan 2 x C . B. 2 tan 2

Hướng dẫn giải



Chọn C.

dx

tan 2

 x C



1 2

1 2 cos 2

x

1

Ta có



  f x

2

sin

x 2

Câu 17: Tìm một nguyên hàm của hàm số

 

cot



C .



cot



C .

  f x dx

  f x dx





1 2

1 2

 

2cot





2 cot



A. B.

C .

C .

  f x dx

  f x dx





x 2 x 2

x 2 x 2

C. D.

Hướng dẫn giải



sin

x



cos

Chọn C.

 f x





2 x

Câu 18: Tìm một nguyên hàm của hàm số

x  

cos 2

x C . 

x  

cos 2

x C . 

1 2

1 2

A. B.

x  

2 cos 2

x C . 

x  

2 cos 2

x C . 

   f x dx    f x dx

   f x dx    f x dx

C. D.





x  

cos 2

x C 

  f x dx

 1 sin 2

 x dx





1 2

3



cos

Hướng dẫn giải Chọn A

x

 f x



4

2

Câu 19: Tìm một nguyên hàm của hàm số



cos

x C . 

 

3cos

x .sin

x C . 

   f x dx

   f x dx

A. B.



sin 3

x



sin

x C 

 

sin 3

x



sin

x C . 

   f x dx

   f x dx

3 4

1 12

3 4

1 4 1 12

C. D.

Hướng dẫn giải

13 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

3



cos

x



cos 3

x



cos

x



sin 3

x



sin

x C 



 f x



  f x dx



3 4

3 4

1 4

Chọn C.



 f x



2

c os



cos 2

 x C

 

cos 2

 x C

Câu 20: Tìm một nguyên hàm của hàm số

x   f x dx

  f x dx

1 12 sin 4 x 2 sin  x 



B. A.



cos 2

 x C

 

cos 2

 x C

  f x dx

  f x dx





1 2

1 2

D. C.

Hướng dẫn giải:

x

Chọn A.



2sin 2x





  f x

2

sin 4 2  x

x sin

x

x 2sin 2 cos 2 os2

c

x

c

os



2sin 2

xdx



Ta có



cos 2x C

 . Chọn A

  f x dx







2

x



3

Do đó

  f x



2018

Câu 21: Tìm một nguyên hàm của hàm số



x



3



C



2

x



3



C

  f x dx

 4038 2

2019

  f x dx

2019







A. B.



2

x



3



C



2

x



3



C

  f x dx

2019

  f x dx

2019









1 6057

1 2019 1 4038

C. D.

Hướng dẫn giải:

2





2

x



dx





2

x



3



C

Chọn C.

.



C

  f x dx



2018 3



2019





1 2

2019  x 3 2019

1 4036

Ta có: . Chọn C



  f x

2

1 

x

16

Câu 22: Tìm một nguyên hàm của hàm số



ln



C



ln



C

  f x dx

  f x dx





1 32

x x

 

4 4

1 8

x x

 

4 4

A. B.



ln



C



ln



C

  f x dx

  f x dx





1 32

x x

 

4 4

1 8

x x

 

4 4

C. D.

Hướng dẫn giải:

Chọn D.





 f x



2

1 

x

16

x



4

x



4





1 

x



4

x



4







 

 

1 8







  f x

x



4

x



4

1 8

1 

x

4

x

4

1 

  

  

 



 

Ta có: .

ln

x

  4

ln

x



4





dx



  f x dx









1 8

1 8

1 

1 

x

4

x

4

  

  

Do đó:

14 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Nguyên hàm_Tích Phân



ln



C

  f x dx



1 8

x x

 

4 4



4

. Chọn D



10 x 3

  f x

x

4



x

4



x d





C

x d





C

Câu 23: Tìm một nguyên hàm của hàm số .

  f x

 f x







x d





C

x d





C

A. . B. .

  f x

  f x





3 10 ln10  x 3 4 10 3

3 10 3ln10  x 3 5 10 x 3



4

C. . D. .

Hướng dẫn giải

 bx c

 bx c

x d



a



C

Chọn B.



a b ln

a

x

4



x



4

3 10

x d





C

Áp dụng công thức .



3 10 3ln10

Do đó .



e  2 3x

  f x

2

x

2

x

Câu 24: Tìm một nguyên hàm của hàm số .

d

x



e

C 3 

d

x



e

C 3 

 f x



  f x





2

x

A. . B. .

d

x



e

C 3 

d

x



2 x 2 e

C 3 

 f x



 f x







1 2 1 3

C. . D. .

Hướng dẫn giải

 ax b

e

 ax b

x d



e



C

Chọn B.



a

2

x



3

2

x



3

Áp dụng công thức .

e

d

x



e



C



1 2

1



Do đó .

  f x

3

x



4



2

. Câu 25: Tìm một nguyên hàm của hàm số

x d

 



C

x d

 



C

  f x

  f x





4

3

d

x





C

A. . B. .

d

x

 



C

  f x

 f x









4

3 4  x 1 x

1 3  x 1  x

4

3



 3 3

C. . D. .

Hướng dẫn giải

1

dx

 



C

Chọn D.

2





 ax b

1  a ax b







1

x d

 



C

Áp dụng công thức .

2



1  x

4

3

x



4



 3 3





f x ( )



2 sin 2

x

Do đó .

Câu 26: Tìm một nguyên hàm của hàm số .

15 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

f x

( ) d

x

sin 4

 x C

f x

( ) d

x

sin 4

 x C





1 8

A. . B. .

f x

( ) d

x

8sin 4

 x C

f x

( ) d

x

8sin 4

 x C





x 1   2 8 x   2

x   2 x   2

C. . D. .

Hướng dẫn giải

x



Chọn A.

f x ( )



2 sin 2

x



1 cos 4 2

Ta có



f x x ( )d



x x (1 cos 4 )d



sin 4

 x C





x 1   2 8

1 2

.

f x ( )



2

2

1 x .cos

sin

f x

( ) d

x



2 tan 2

 x C

f x

( ) d

x

 

2 cot 2

 x C

Câu 27: Tìm một nguyên hàm của hàm số .

f x

( ) d

x

 

2 tan 2

 x C

f x

( ) d

x



2cot 2

 x C

A. . B. .

x  

 

C. . D. .

Hướng dẫn giải

Chọn B

f x ( )





2

2

1 x .cos

x

4 2 sin 2

x

sin



f x x ( )d



d

x

 

2 cot 2

 x C

Ta có





4 2 sin 2

x

f x ( )



tan

x



cot

x

.



2

f x

( ) d

x



tan

x



cot

 x C

Câu 28: Tìm một nguyên hàm của hàm số .

f x

( ) d

x



tan

x



cot

x



C

2







1 3

f x

( ) d

x

 

tan

x



cot

 x C

f x

( ) d

x



tan

x



cot

 x C

A. . B. .





C. . D. .

Hướng dẫn giải

2

2

2

2

Chọn B.

f x ( )



tan

x



cot

x



tan

x



cot

x

 

2 (tan

x

  1)

(cot

x

  1)





2

1 2 cos

1 2 sin

x

x

Ta có



f x x ( )d





d

x



tan

x



cot

 x C





1 2 cos

1 2 sin

x

x

  

  

.



  f x

1 2

x



1

2



ln



C

.



ln

x



x

  1

C

.

Câu 29: Tìm một nguyên hàm của hàm số

  f x dx

  f x dx

x 2





x



1

x

2



ln



C .



ln

x



x

  1

C .

A. . B. .

  f x dx

  f x dx





2 1  x

C. . D. .

16 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Nguyên hàm_Tích Phân

Hướng dẫn giải

Chọn A.

t

  x

x

2 1

 .

dt



1



dx



dx

Đặt



x 2

t 2

dt t

dx 2 1 

x

x



1

x



1

  

  

2

Suy ra hay .



ln

t



ln

x



x

  1

C



dt t



x

2 4034 

x



2017.2018



,

f



f

f

,

n



2.

 f x



  x

  f x

  x

  x

f 1

n

n

 1





Suy ra .

Câu 30: Cho hàm số . Kí hiệu

f

  x .

2018

2017

 1

2

x



f





2017

 x C

Tìm một nguyên hàm của hàm số



 x dx

2018



2017

 1

x



A.

f





2017

 x C



 x dx

2018



2018

 1

x







2017

 x C

f

B.



 x dx

2018



2018

 1

x







2017

 x C

f

C.



 x dx

2018



  2017 2017  2 1 2   2017 2017 1  2 2   2017 2018 1  2 2   2017 2018  2 1

D.

2

2



2017.2

x



2017



2017

Hướng dẫn giải Chọn

  f x



2017



2017

 x

2

2

2



2017



 2017 2017



2017

f







  x

2

   f g x



 

x  

22



2017



2017

 x



2018

 1

2

2017

x

2



f



x



2017



2017



f





2017

 x C

.

C.  x Ta có

  x







 x dx

2018

2018



  2017 2018  2 1



,

f



f

f

Dự đoán



  x

  f x

  x

  x

  f x

f 1

n

n

 1





x 2 1 

x

x

f





Câu 31: Cho hàm số . Kí hiệu

.

2018 x

f

  x

2

Tìm một nguyên hàm của hàm số

dx



ln

x



x





C



2018 x

1 2018

1 2018

x

f





2

A.

dx



ln

x



x





C



2018 x

1 2018

1 2018

f

  x

2

dx



2018ln

x



x





C

B.



2018 x

1 2018

C.

17 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

f

  x

2

dx



ln

x



x



2018



C



2018 x

1 2018

D.

x

Hướng dẫn giải Chọn A.



f



f



f



  x

  x

  x

  x

f 1

2

3

2018

2

x 22 x



1

x 23 x



1

x 2 1 

x

2018

x



1

f

1

  x





2

2018 x

x



1

f

1

1

2018   x

Ta có , , …

dx



dx



dx

2







2018 x

1 2018

2

2018

x



1

x



1 2018

2

Khi đó

t

  x

x



1 2018

x

t

dx

dt



1



dx



dx





Đặt .

dt t

2

2

2

x



x



x



1 2018

1 2018

1 2018

     

     

2

Suy ra .



ln

t C

 

ln

x



x





C



dt t

1 2018

1 2018

1 2018

1 2018

x

1

5

.

f x ( )



Do đó

 x

e

x

x

Câu 32: Tìm một nguyên hàm của hàm số

f x dx ( )



x  

e C.

f x dx ( )



x   e C.





5 e

5 e

1     ln 5 1

  

1     ln 5 1

  

x

x



x



x

A. B.

f x dx ( )





e



C.

f x dx ( )





e



C.





5 e

5 e

1     ln 5 1

  

1     ln 5 1

  

C. D.

Hướng dẫn giải

x

x

x

1

5



x

f x ( )











e

 x

e

5 e

1 x e

5 e

  

  

  

  

x

x

x

5 e



x



x



x

  

f x dx ( )





e

dx





e



C





e



C

.





5 e

1  ln 5 1

5 e

  

  

  

  

   

   

ln

   5 e

Chọn C.

f x ( )



x sin 5 cos . x

Câu 33: Tìm một nguyên hàm của hàm số

f x dx ( )

 

cos6

x



cos4

x



C.

f x dx ( )

 

cos6

x



cos4

x



C.





1 8

1 8

A. B.

f x dx ( )



cos6

x



cos4

x



C.

f x dx ( )



cos6

x



cos4

x



C.





1 12 1 12

1 8

1 12 1 12

C. D.

Hướng dẫn giải

18 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Nguyên hàm_Tích Phân

f x ( )



x sin 5 cos

x



sin 6

x



x



 sin 4 .

1 2

f x dx ( )



sin 6

x



sin 4





cos 6

x



x cos4



C

 

cos 6

x



cos4

 x C

.



 x dx





1 2

1 4

1 12

1 8

1 2

1 6

  

  

f x ( )





.

Chọn A.

1 

x

1

2 

x

2

Câu 34: Tìm một nguyên hàm của hàm số

f x dx ( )



ln



C.

f x dx ( )



ln



C.





x x

 

1 2

2

 x 1   x 2

x





A. B.

f x dx ( )



ln



C.

f x dx ( )



ln



C.





 22  x  x 1

2

x



1 2



C. D.

Hướng dẫn giải

/

/

(

(

f x dx ( )





dx





2

dx



ln

x

 

1 2 ln

x

  2

C







1 

x

1

2 

2

x x

1)   1

x x

 

2) 2

x

  

  

  

  

x



x



2



ln

x

 

1 ln(

x



2)



C



ln



C



ln



C

Chọn C.

2

2

2

x



2

x



1 



1 



x



y



f



x



.

d

x





c

  f x

  x



1 x e

  f x



  ax b e



1

3

0

2

Câu 35: Cho hàm số thỏa mãn và . Mệnh đề nào

a b  .

a b  .

a b  .

B. C. D. sau đây là đúng? a b  . A.

Hướng dẫn giải

x



D. Chọn

d

x





c

  f x



 x   ax a b e

  f x



  ax b e



x

x





ax



2



x



e

f

Ta có , đạo hàm hai vế ta có (*)



  a b e



 1

a



1

a



  x 1



   a b

0

Đạo hàm hai vế của (*) ta có

2

a b

 

1

  1

  

  b 



y



f

f

x



sin

x

Từ đó ta có .

 , 1

 f x



 0

  2  x

2

2

Câu 36: Cho hàm số thỏa mãn . Mệnh đề nào dưới đây đúng?



x



cos

x



x



cos

x

2

2

A. . B. .



x



cos

x

 . 1



x



cos

x

 . 2

  f x   f x

  f x   f x

C. D.

Hướng dẫn giải

2



Chọn

f

d

x



x



cos

 x C



  f x

  x

Ta có .

f

C

C

2

      . 1

2



x



cos

x

D.  1 Do

 . 2

 0   f x

Vậy

19 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018



y



f



;0

  f x

  x

1 2 sin

x

  6 

  

Câu 37: Biết và đồ thị hàm số đi qua điểm . Mệnh đề nào dưới đây

đúng?



cot

x



3

 

cot

x



3

  f x

 f x



A. . B. .



tan

x



 

tan

x



  f x

 f x



1 3

1 3

C. . D. .

Hướng dẫn giải



Chọn



f

x

 

cot

 x C

  f x

  d x

Ta có . B. 

f

 

3



C

  

C

0

3

Do .

 

cot

x



3

  6   f x

   

Vậy .



  f x

3

Câu 38: [2D3.1-1] Tìm một nguyên hàm của hàm số .



2. 2

x

  3

C



2

x

  3

C

  f x dx

1 2  x   f x dx







2

x

  3

C

 

2

x

  3

C

A. . . B.

  f x dx

  f x dx





1 2

2 3

C. . D. .

Hướng dẫn giải



1 2

1   1 2



2

3x

C

  .



2

x



3

dx



x



3



C

.

  f x dx





 . 2







1 2

1

1 1   2

3

2

4

x

x



1

Chọn B.



  f x

 5 2 x

2

2



2

x



5

x

C



x



5

x

C

Câu 39: [2D3.1-1] Tìm một nguyên hàm của hàm số .

  f x dx

  f x dx





1   x

1   x

2



22 x



5

x



2ln

 x C

A. . B. .



2

x



5

x

C

  f x dx

  f x dx





1   x

C. . D. .

Hướng dẫn giải

2



2

x



5

x

  .

C



4

x

  5

dx

  f x dx





1 x

1 2 x

  

  

2



x

2

x

Chọn A.

  f x

3   x

3

3

Câu 40: [2D3.1-1] Tìm một nguyên hàm của hàm số .

  x





C





3ln

x



x



C

  f x dx

  f x dx





3 2 x

x 3

4 3

1 x

3

3

A. . B. .





3ln

x



3

x



C



2

x







C

  f x dx

  f x dx





x 3

3 2 x

1 x

C. . D. .

Hướng dẫn giải

20 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Nguyên hàm_Tích Phân

 1

1

2

3

3

3

1 2

1 2



x

2.

x

dx



x



3ln

x



x

 . C

.



x



3ln

x



2.



C

.

x

  f x dx





3   x

1 3

1 3

4 3

  

  



1

1 2

f x  ( )

ln sinx

Chọn B.

Câu 41: Hàm số là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây?

A. y=tanx B. y=cotx C. y=sinx D. y=cosx

Hướng dẫn giải

f x ( )



ln sinx



f x '( )





cot

x

cos sin

x x

f x  ( )

ln cosx

Chọn B.



cot x

 

tan x

 

cot x



tan x

Câu 42: Hàm số là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây?

A. y B. y C. y D. y

Hướng dẫn giải

f x ( )



ln cosx



f x '( )



 

tan

x

 sin x cos x

3

2

Chọn B.



3

x



9

x

 là một nguyên hàm của hàm số f(x). Tìm giá trị nhỏ nhất m của

6

Câu 43: Biết

B. C. D.

 x F x ( ) hàm số f(x)? 1m  A.

6m 

8m 

3m 

f x ( )



F x

( ) '



23 x



6

x

9

1

f x ( )



Hướng dẫn giải:  . Giá trị nhỏ nhất =6 tại x=1

2

x



3



2018

1

f x dx ( )

 



C

f x dx ( )





C

Câu 44: Tìm một nguyên hàm của hàm số .





x



3

x



3

 2.2018 2

2017

 1  2.2017 2

2017

1

1

f x dx ( )

 



C

f x dx ( )





C

A. . B. .





x



3

x



3

 3.2017 2

2017

 3.2017 2

2017

C. . D. .

Hướng dẫn giải

1

f x dx ( )

 



C

Chọn B



x



3

 2.2017. 2

2017

Đáp án đúng là

f x ( )



x cos 2 2 x sin

Câu 45: Tìm một nguyên hàm của hàm số .

f x dx ( )



cot

x



2

 x C

f x dx ( )

 

cot

x



2

 x C

A. . B. .

f x dx ( )



2

x



cot

 x C

f x dx ( )



2

x



cot

 x C

 

 

C. . D. .

21 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

Hướng dẫn giải

2

x

dx



dx



(



2)

dx

 

cot

x



2

 x C

2







cos 2 x 2 x sin

 1 2sin sin x

1 2 sin

x

Chọn B

f x ( )



cos 2 2 cos

x x

Câu 46: Tìm một nguyên hàm của hàm số .

f x dx ( )



2

x



tan

 x C

f x dx ( )



2

x



tan

 x C

A. . B. .

f x dx ( )

 

2

x



tan

 x C

f x dx ( )

 

2

x



tan

 x C

 

 

C. . D. .

Hướng dẫn giải

2

dx



1 dx

(2





)

dx



2

x



 tanx C







cos 2 x 2 x cos

2cos cos

 x 2 x

1 2 cos

x

x

2

Chọn A

f x  ( )

(2



x 3 )

x

x

x

x

3

Câu 47: Tìm một nguyên hàm của hàm số

f x dx ( )





x 3 )



C

.(2

f x dx ( )









C





3 ln 3

6 ln 6

x

x

x

2 ln 2 x

x

x

A. . B. .

f x dx ( )









C

f x dx ( )









C





9 ln 3

2.6 ln 6

1 3 4 ln 2

4 2 ln 2

9 2 ln 3

2.6 ln 6

C. . D. .

Hướng dẫn giải

Chọn D.

x

2

x

x

x

x

(2

f x dx ( )





x 3 )

dx



(4



x 2.2 .3



x 9 )

dx



(4



2.6



x 9 )

dx







x

x

x







 C

 9 2 ln 3

4 2 ln 2

2.6 ln 6

Ta có:

f x ( )



1 2 x cos (3



2)

f x dx ( )



. tan(3

x



2)



C

f x dx ( )

 

.tan(3

x



2)



C

Câu 48: Tìm một nguyên hàm của hàm số





1 3

1 2

A. . B. .

f x dx ( )

 

.tan(3

x



2)



C

f x dx ( )



. tan(3

x



2)



C





1 3

1 2

C. . D. .

Hướng dẫn giải

Chọn A.

dx



.tan(ax



 b C

)



2 cos (

1  ax b

)

1 a

dx



.tan(3

x



2)



C



2 cos (

1  ax b

)

1 3

Áp dụng công thức ta được

22 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

f x ( )



sin(3

x



2)

Chuyên đề_Nguyên hàm_Tích Phân Câu 49: Tìm một nguyên hàm của hàm số

f x dx ( )

 

c . os(3

x



2)



C

f x dx ( )



c . os(3

x



2)



C





1 3

1 2

A. . B. .

f x dx ( )



c . os(3

x



2)



C

f x dx ( )

 

c . os(3

x



2)



C





1 3

1 2

C. . D. .

Hướng dẫn giải

Chọn D.

sin(

 ax b dx

)

 

cos(ax



 b C

)



1 a

sin(

 ax b dx

)

 

c . os(3

x



2)



C



1 3

Áp dụng công thức ta được

f x  ( )

1 1 s inx



Câu 50: Tìm một nguyên hàm của hàm số



f x dx ( )

 

cot(



C

f x dx ( )



tan(



C







x 2

x 2

 ) 4

A. . B. .



f x dx ( )



cot(



C

f x dx ( )

 

tan(





C





 ) 4  ) 4

x 2

x 2

 ) 4

C. . D. .

Hướng dẫn giải

Chọn A.

1

f x dx ( )



dx



dx



dx



dx











2

2

1 1 s inx



)

1 2s in . os



c

(s in



c os

2.s in(



1 x 2

x 2

x 2

x 2

1 x 2

 ) 4

 

cot(



 C

x 2

 ) 4

Ta có:

23 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

24 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Nguyên hàm_Tích Phân

NHÓM GIẢI VẬN DỤNG CAO CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH VẬT THỂ - NĂM HỌC 2018- 2019 VTED_2019 MÔN: TOÁN 12

Thời gian làm bài 90 phút

y



Câu 1: Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng (H) được giới

 f x



hạn bởi đồ thị của hàm số liên tục trên đoạn [a;b] (a < b), trục hoành và hai đường

b

b

b

b

2

2

đường thẳng x a và x b quanh trục hoành.

V

f

V

V

f

V

  x dx

  f x dx

  x dx

  f x dx

 

 

 

 

a

a

a

a

A. . B. . C. . D. .

y



 2 cos

x

Câu 2: Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong , trục hoành và các đường thẳng

x  và 0

x



 2

. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao

V  









nhiêu?

V   .

V   .

1

V   .

1

1



1



A. B. . C. D.

 2 sin



x

Câu 3: Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong

V

V   2

2V 

22V 

, trục hoành và các đường thẳng y x  và x  . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao 0 nhiêu?

  2

  . 1



  . 1

x

y

e

A. B. C. . D. .

x  , 0

1x  .

2

e

, trục hoành và các đường thẳng Câu 4: Cho phẳng D giới hạn bởi các đường cong

   e

 2 1

V



V



V



V



2

2

2 1  2

 e 2

Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?   2 1   e B. . C. . A. . D. .

y

x

2 1

 , trục hoành và các đường thẳng

1x  . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao

x  , 0 nhiêu?

2V 

V



Câu 5: Cho phẳng D giới hạn bởi các đường cong

V  .

2V  .

 4 3

4 3

B. . C. D. A. .



1 x x e 2. 2

2

y x  . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao

1x  , nhiêu?

2

2

V

e

V

e

, trục hoành và các đường thẳng Câu 6: Cho phẳng D giới hạn bởi các đường cong

e

V

2. e

 

  . e

 

  . e

A. B. . D. . C. V

1x  .

y



2

x 

4

x

Câu 7: Gọi H Là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục Ox và đường thẳng

Thế tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình H xung quanh trục Ox

V 

ln

V 

ln

V 

ln

V   .

ln

 2

4 3

1 2

4 3

 2

3 4

4 3

A. . B. . C. . D.

Câu 8: Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi

e .

y



x

ln

x

đồ thị hàm số , trục hoành và đường thẳng x

1 | VD_VDC

35 e



2

35 e



1

2

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19 

 

Tài liệu Vted_2018   1



V



V



V



V



35  e 27

35  e 27

27

27

2

2

x



2



y



2

1

 . Tính thể tích khối tròn







C : 

A. . B. . C. . . D.

Câu 9: Cho hình phẳng H giới hạn bởi đường tròn  xoay thu được khi quay H quanh trục hoành.

24 .

22 .

 2



.

 4



.

28 3

56 3

  

  

  

  

A. B. C. D.

4

x  xung quanh trục Ox . Đường

y



x y ,

 và 0

x



a

( 0

  a

4)

Câu 10: Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường

x

thẳng tại cắt đồ thị hàm số y

1V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay tam giác OMH quanh trục Ox . Biết rằng

điểm M ( như hình vẽ bên). Gọi

V 12V

khi đó:

a  . 2

5 a  . 2

a 

2 2

A. B.

3a  .

f x ( )



y

C. . D.

f x ( )



y

Câu 11: Cho hàm số bậc hai

có đồ thị như hình bên. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục Ox xung quanh Ox .

A. . B. .

 16 15  16 5

 4 3  12 15

x

C. . D. .

y

e

x



k k (



0)

Câu 12: Kí hiệu H là hình phẳng giới hạn bởi các đường , trục

hoành, trục tung và đường thẳng. . Khi quay H xung quanh trục hoành ta được

0

1

1

1

một khối tròn xoay có thể tích bằng 3 . Mệnh đè nào sau đây đúng?

k  .

k  .

k  .

1 2

1 2

4 3

4 k  3

A. B. C. D.

0

y  (tham khảo hình vẽ bên) quanh trục hoành được tính theo công thức

x ,



 , y 2 x y nào dưới đây?

2

1

2

V



(2



x dx )



2 x dx

V

(2



x dx )

1

0

0

 

 

 

Câu 13: Thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường thẳng

2

1

1

V



xdx



2



xdx

V



2 x dx



2





 x dx

1

0

0

1

 

 

 

 

A. B. 2 C. D.

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Nguyên hàm_Tích Phân

2

y

x

x  và trục hoành (tham khảo hình vẽ bên). Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục hoành được tính theo công thức nào dưới đây?

4

4

4

4

2

2

V





xdx



x



2

dx

V





xdx



x



2

dx

, Câu 14: Cho hình phẳng được giới hạn bởi các đường thẳng y

















0

2

2

0

  

  

  

  

2

4

4

2

2

2

V





xdx



x



2

dx

V





xdx



x



2

dx

A. B.

















0

2

2

0

  

  

  

  

4

2

C. D.

bx





c

y

 và trục hoành như hình vẽ bên. Gọi ax V là thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục Ox. Mệnh đề nào sau đây đúng?

V



V 

10

Câu 15: Cho đồ thị (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số

 3V

 4V

11 A. 2 B. 3 C. 10 D. 9

y

xe

,x



trục hoành, trục tung và đường Câu 16: Kí hiệu H là hình phẳng giới hạn bởi các đường

k

k

x

1)

(0

x  Đường thẳng

1.

  chia H thành hai miền phẳng

1

thẳng

bên. Khi quay

,

V V Biết . 2

1

V 2

2,S S như hình vẽ 2,S S quanh trục hoành ta được các vật thể tròn xoay có thể tích tương ứng là 1 V 12 .









Mệnh đề nào sau đây là đúng?

ke

.

ke

.

ke

.

ke

.

1 

1 

e (1

k

)

2  e 3 (1

k

)

2  e 3 (1

k

)

e (1

k

)

A. B. C. D.

Tài liệu Vted_2018 Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19 Câu 17: Gọi V là thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bới các đường

x







 và đường thẳng

  cắt đường cong

x  Đường thẳng

1.

x

a (0

1)

a

y

e

,

y

0,

x

0

x

.A Gọi

y

e

1V là thể tích của vật thể tròn xoay khi quay tam giác OAB quanh

tại điểm

.Ox Biết

V

V 13 .

e

e

trục Mệnh đề nào sau đây là đúng?

a

.

a

.

a

e ln(

 1).

a

e ln(

 2).

  ln   

  ln   

  1     3

  1     3

8

A. B. C. D.

6.

AA  và độ dài trục nhỏ )E có độ dài trục lớn )P cho đường elip ( ' BB  Đường tròn tâm O đường kính 'BB như hình vẽ. Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng nằm bên ngoài đường tròn và bên trong elip (phần hình phẳng tô đậm trong hình vẽ bên) quanh trục

'.AA



Câu 18: Trong mặt phẳng ( '

V

 36 .

V

 12 .

V

 16 .

V

.

 64 3

0

A. B. C. D.

a  , thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới

2

y



ax



x

Câu 19: Cho

hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành bằng . Tìm a?

1a 

a  2

a  4

π 16 15 a  3

A. B. D. C.

Câu 20: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục 0x hình phẳng giới hạn bởi đồ thị

y 

2(x 2).e x 

V e

4 13 

V

e 13

, trục hoành, trục tung.

 4

V



4(e



13)

π

V



 (13e 4)

π

2

2

A. B. C. D.

(E) :



 quanh trục 0x, Ta được vật thể tròn xoay có thể tích là:

1

2

2

x a

y b

Câu 21: Khi quay Elip

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Nguyên hàm_Tích Phân

3

2

π 4

4

(ab) 3

π  2 (a b) ab 3

πab 3

2 πa b 4 3

A. B. C. D.

y



3, x y



0,

x



0,

x

1

 quanh trục hoành bằng:

Câu 22: Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng ( H) giới hạn bởi các đường:

V



V



V



V



 4

 2 5

 6

 7

A. B. C. D.

y

e

1x  , trục hoành và đường thẳng

 . Biết khi quay H xung quanh trục hoành ta được vật thể tròn xoay có thể tích

1)



k k

ln (

 (

V

V



k

 (

k



k ln )

V

 (

k



ln

k

1)

V

 (

k



ln

k

Câu 23: Kí hiệu ( H) là hình phẳng giới hạn bởi đường cong

x V. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. k ln )

 D.

 1)

B. C.

Câu 24: Kí hiệu V là thể tích vật thể tròn xoay khi quay quanh trục Ox hình phẳng (H) được giới hạn

y



ln

x



k k (

 . Mệnh đề nào sau đây đúng?

1)

bởi các đường , trục hoành và đường thẳng

V

(

k



1) ln

k

V

 (

k



k ln )

V

k

(ln

k

V

 (

k



k ln )

A.

   

x   B. 1    D. 1) 1

C.

----------HẾT----------

5 | VD_VDC

Tài liệu Vted_2018

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19 NHÓM GIẢI VẬN DỤNG CAO

CHUYÊN ĐỀ THỂ TICH VẬT THỂ - NĂM HỌC 2018-2019

VTED_2019 MÔN: TOÁN 12

Thời gian làm bài 90 phút

Đề đã thay đổi thứ tự câu (sắp xếp theo độ khó tăng dần) so với đề gốc

BẢNG ĐÁP ÁN THAM KHẢO

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

HƯỚNG DẪN GIẢI

y



Câu 1: Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng (H) được giới

 f x



hạn bởi đồ thị của hàm số liên tục trên đoạn [a;b] (a < b), trục hoành và hai đường

b

b

b

b

2

2

đường thẳng x a và x b quanh trục hoành.

V

f

V

V

f

V

  x dx

  f x dx

  x dx

  f x dx

 

 

 

 

a

a

a

a

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

y



 2 cos

x

Câu 2: Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong , trục hoành và các đường thẳng

x  và 0

x



 2

. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao

V  









1

1

nhiêu?

V   .

V   .

V   .

1



1



A. B. . C. D.

Lời giải

 2

V





2



cos





  

 1



2  x dx



0

Chọn C

 2 sin



x

Câu 3: Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong

V

V   2

2V 

22V 

, trục hoành và các đường thẳng y x  và x  . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao 0 nhiêu?

  2

  . 1



  . 1

A. B. C. . D. .

Lời giải

6 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Nguyên hàm_Tích Phân



V





2



sin





   2

 1

2  x dx





0

x

Chọn B

x  , 0

1x  .

y

e

, trục hoành và các đường thẳng Câu 4: Cho phẳng D giới hạn bởi các đường cong

2

e

   e

 2 1

  2 1   e

V



V



Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?

V



V



2

2

 e 2

2 1  2

A. . B. . C. . D. .

Lời giải:

2

e



2

1

 

 1

x

2

x

Chọn D

V



e

dx



2 x e dx



e







0

 2

2

1   0

1   0

Ta có .

x

y

2 1

 , trục hoành và các đường thẳng 1x  . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao

x  , 0 nhiêu?

2V 

Câu 5: Cho phẳng D giới hạn bởi các đường cong

2V  .

V  .

V



4 3

 4 3

B. . C. D. A. .

Lời giải:

2

2

2

V



x



1

dx



x



dx



Chọn A



 1





 4 3

1   0

1   0

Ta có .



1 x x e 2. 2

2

y x  . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao

1x  , nhiêu?

2

2

V

e

V

e

, trục hoành và các đường thẳng Câu 6: Cho phẳng D giới hạn bởi các đường cong

e

V

2. e

 

  . e

 

  . e

A. B. . D. . C. V

Lời giải:

2

2

x 2

V



dx



x x e dx .



 e

1 x e . 2

Chọn D

2   1

2   1

  

  

Ta có: .

1x  .

y



2

x 

4

x

, trục Ox và đường thẳng Câu 7: Gọi H Là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

Thế tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình H xung quanh trục Ox

7 | VD_VDC

Tài liệu Vted_2018

V 

ln

V 

ln

V 

ln

V   .

ln

A. . B. . C. . D.

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19  2

4 3

1 2

4 3

 2

3 4

4 3

Lời giải

Chọn A.

  

0

x

0

2

x 

4

x

Phương trình hoành độ giao điểm cảu đồ thị với trục hoành:

1

2

2

V



dx

 

d

4



x

 

.ln 4



x

 

ln



ln

Thể tích cần tìm là

2

2





1 0

x 

4

x

1 

x

 2

3 4

 2

4 3

 2

1   0

  2 4 0

.

Câu 8: Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi

e .

y



x

ln

x

35 e



2

35 e



1

2



 



  1

đồ thị hàm số , trục hoành và đường thẳng x

V



V



V



V



27

27

35  e 27

35  e 27

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

0

Chọn A.

x

ln

x

  0

  x

1

0

1

 x  x    x

e

2

2

V

x

ln

xdx

Xét phương trình

 

1



ln

x

du

2

ln

x



Có

2 x 3

2

x

  u   dv 

x 3

      v 

e

3

2

2

2

2

V



x

ln

xdx





ln

x



x

ln

xdx



e 1

x 3

 2 3

1

e   1

e

3

3

3

3

e

e

3









ln

x



2 x dx







x



1

1

 e 3

 2 3

x 3

 2 9

 e 3

 2 e 9

 2 27

1

3

3

3

3

e 5



2



 











Đặt

 e 3

 2 e 9

 2 e 27

 2 27

27

2

2

x



2



y



2

1

 . Tính thể tích khối tròn







C : 

.

Câu 9: Cho hình phẳng H giới hạn bởi đường tròn  xoay thu được khi quay H quanh trục hoành.

8 | VD_VDC

Chuyên đề_Nguyên hàm_Tích Phân

24 .

22 .

 2



.

.

 4



28 3

A. B. D. C.

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19 56 3

  

  

  

  

Lời giải

2

2

2

2

2

x



2



y



2

1

y

2

 

x



4

x

      2

3

y

x

4

x



  x

3









   



 3 1



2

2

2

2

2

V



2

 

x



4

x



3



2

 

x



4

x



3

dx



8



x



4

x



dx 3



2  4

Chọn B.









  

  

3   1

3   1

(bấm

máy).

4

x  xung quanh trục Ox . Đường

y



x y ,

 và 0

x



a

( 0

  a

4)

Câu 10: Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường

x

thẳng tại cắt đồ thị hàm số y

1V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay tam giác OMH quanh trục Ox . Biết rằng

điểm M ( như hình vẽ bên). Gọi

V 12V

khi đó:

a  . 2

5 a  . 2

a 

2 2

A. B.

3a  .

C. . D.

Lời giải

V



(

2 x dx )



 8

Chọn D.

4   0

Ta có

Khi quay tam giác OMH quanh trục Ox ta được 2 khối nón có cùng bán kính đáy là: R= a ,

a

2 ) .(

a

  4

a

)



V 1

1  .( 3

 4 a 3

chiều cao lần lượt là: a và 4-a Suy ra:

V

  

 8

2.

  . a

3

V 2 1

 4 a 3

f x ( )



y

Theo đề bài ta có:

f x ( )



y

Câu 11: Cho hàm số bậc hai

có đồ thị như hình bên. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục Ox xung quanh Ox .

 16 15

 4 3

A. . B. .

 16 5

 12 15

C. . D. .

Lời giải

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

1

1

2

2

f x ( )

 

x



2

x



1

Chọn A.

y



f x ( )



a x .



bx

 ta có

c

0

a     b    2    c

0

   a b c    b  2 a   c

2



x



2

x

0

Giả sử

0 2

 x     x

2   x

2 x dx

2 )

V



(

f x ( )



y

Xét phương trình:

 16 15

x

và trục Ox xung quanh Ox là: Khi đó thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2   0

y

e

, trục hoành, trục tung và đường thẳng. Câu 12: Kí hiệu H là hình phẳng giới hạn bởi các đường

x



k k (



0)

3 . Mệnh đè nào sau đây đúng?

0

1

1

1

. Khi quay H xung quanh trục hoành ta được một khối tròn xoay có thể tích bằng

k  .

k  .

k  .

1 2

4 3

4 k  3

1 2

A. B. C. D.

Lời giải

6



x

2

2

k

V



(

e

)

dx



2 x e dx



.(

e

   

1) 3

k

.ln



0,51

Chọn B.

 2

1 2

 

k   0

k   0

Ta có: .



y  (tham khảo hình vẽ bên) quanh trục hoành được tính theo công thức

0

x ,

 , y x

2 y nào dưới đây?

1

2

2

V



(2



x dx )



2 x dx

V

(2



Câu 13: Thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường thẳng

0

1

0

 

 

 

1

2

1

2

V



xdx



2



xdx

V



2 x dx



2



x dx ) A. B.



 x dx

0

1

0

1

 

 

 

 

C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn D

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Nguyên hàm_Tích Phân

2S

1S

1S ,

2S quanh trục Ox

1

2

1

2







2 x dx



2



V



2 x dx



2



Thể tích cần tìm được tạo thành khi quay



 x dx

V V V 1 2



2 x dx

0

1

0

1

 

 

 

 

2

y

=

x

x  và trục hoành (tham khảo hình vẽ bên). Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục hoành được tính theo công thức nào dưới đây?

4

4

4

4

2

2

V





xdx



x



2

dx

V





xdx



x



2

dx

, Câu 14: Cho hình phẳng được giới hạn bởi các đường thẳng y

















0

2

2

0

  

  

  

  

2

4

4

2

2

2

V





xdx



x



2

dx

V





xdx



x



2

dx

A. B.

















0

2

2

0

  

  

  

  

C. D.

B

Hướng dẫn giải

C

A

Chọn B





Thể tích cần tìm V V V với V được tạo thành khi quay tam giác cong OAB quanh Ox,

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

2V được tạo thành khi quay tam giác CAB quanh Ox

4

4

2

4

4

2

V





x



2

 dx V





xdx



x



2

dx











2  x dx

0

2

 

 





0

2

  

  

4

2

bx





c

y

 và trục hoành như hình vẽ bên. Gọi ax V là thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục Ox. Mệnh đề nào sau đây đúng?

V



V 

10

Câu 15: Cho đồ thị (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số

 3V

 4V

11 A. 2 B. 3 C. 10 D. 9

Hướng dẫn giải

4

2

y



ax



bx

c

a b c

Chọn C

   , 0

c   2

 đi qua 3 điểm 

1, 0

1, 0 , ,

 0, 2 ta có

3

y

 ' 4

ax



bx 2

0

a

b 2

0

1

24 ax

b 2

0

 nên

x  hoặc 0

 có 4

 (thay

x   )

4

2

y

 

2

x



4

x

2

(C)

a   , 2

b  , 4

c   có hàm

 2

2

1

4

2

V





2

x



4

x



2

dx

Ta được









1

 

1024 315

Thể tích hình (H) =

y

xe

,x



trục hoành, trục tung và đường Câu 16: Kí hiệu H là hình phẳng giới hạn bởi các đường

k

k

x

1)

(0

x  Đường thẳng

1.

  chia H thành hai miền phẳng

1

thẳng

bên. Khi quay

,

V V Biết . 2

1

V 2

2,S S như hình vẽ 2,S S quanh trục hoành ta được các vật thể tròn xoay có thể tích tương ứng là 1 V 12 .









Mệnh đề nào sau đây là đúng?

ke

.

ke

.

ke

.

ke

.

1 

1 

e (1

k

)

2  e 3 (1

k

)

e (1

k

)

2  e 3 (1

k

)

A. B. C. D.

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Nguyên hàm_Tích Phân

1

2

x









V

xe

dx

Hướng dẫn giải Chọn B.







0

k

k

2

2

2

2





Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình H quanh trục Ox là

       2

V

2

xe

dx

xe

dx

V 2

V V 1

V 1

V 1

V 1













1 3

   3

1 3

0

0

k

k

k

x

k

k



  

  

  

x xe dx

ke

e

k

(

1)

e

e

.



0

1 3

1 3

2 3

2  k

1)

3(

0

Ta có

x







 và đường thẳng

  cắt đường cong

x  Đường thẳng

1.

x

a (0

1)

a

y

e

,

y

0,

x

0

x

Câu 17: Gọi V là thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bới các đường

.A Gọi

y

e

1V là thể tích của vật thể tròn xoay khi quay tam giác OAB quanh

tại điểm

.Ox Biết

V

V 13 .

e

e

trục Mệnh đề nào sau đây là đúng?

a

.

a

.

a

e ln(

 1).

a

e ln(

 2).

  ln   

  ln   

  1     3

  1     3

A. B. C. D.

x

2







Hướng dẫn giải Chọn C.

V

(

e

)

dx

x e dx

 (

e

1).

1   0

1    0

a

Ta có





e

a h , 1



  1

.a

e

và khối nón Khi quay tam giác OAB quanh trục Ox ta được hai khối nón có 1 r

a h , 2

a

1)

a

2

a

2

a

có 2 r















a . .(

e

)

.(1

a

).(

e

)

     e

1

a

e

ln(

e

1).

V 1

 3

 3

 e 3

V 1 3

  ( e 3

8

Vì vậy

)P cho đường elip ( BB  Đường tròn tâm O đường kính

6.

AA  và độ dài trục nhỏ )E có độ dài trục lớn ' 'BB như hình vẽ. Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo

Câu 18: Trong mặt phẳng ( '

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018 thành khi quay hình phẳng nằm bên ngoài đường tròn và bên trong elip (phần hình phẳng tô đậm trong hình vẽ bên) quanh trục

'.AA



V

 36 .

V

 12 .

V

 16 .

V

.

 64 3

A. B. C. D.

2

2

2

2

Hướng dẫn giải Chọn B.





x

y

 9.

1;

x 16

y 9

2

Phương trình elip phương trình đường tròn



y 

3 1

;

x 16

2

Do đó phần đường elip nằm bên trên trục hoành là phần đường tròn nằm bên





y

9

x

.

2

4

3

2

2

2











trên trục hoành là

V

3 1

dx

9

x

dx

 12 .





x 16

   4

   3

   

   

0

Ta có

a  , thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới

2

Câu 19: Cho

y



ax



x

π 16 15

hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành bằng . Tìm a?

1a 

a  2

a  3

a  4

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn B

a

2

0

ax



x

0

a

a

5

4

5

4

3

2

2

ax



x

 V π

 dx π

x



2

ax











  

a

2

 x     x 22  



 a x dx π





a 0

x 5

ax 2

2 3 a x 3

πa 30

π 16 15

0

0

  

  

Ta có:

Câu 20: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục 0x hình phẳng giới hạn bởi đồ thị

y 

2(x 2).e x 

, trục hoành, trục tung.

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Nguyên hàm_Tích Phân

V

e 13

 4

V



4(e



13)

π

V



 (13e 4)

π

V e

4 13 

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

x

Chọn A



   x 2

0

2

2

2

x

2

 V π

2

x



2

e

dx



π 4



4

x



4

2 x e dx

x









 

 





0

0

du



2

x



4

dx

2



x



4

x



4



Ta có: 2(x 2).e

2

x

dv



2 x e dx

v



e

  u   

 1 2

    

2

2

2

2

2

x

2

x

2

x

V



π 4

x



4

x



4

e

e

2

x



4

dx



π 4

  2

 (x 2) e

dx















0

1 2

1 2

0

0

  

  

  

  

du



dx

  x

2

Đặt:



v



2 x e dx

dv



2 x e dx

u   

1 2

   

2

4

2

2

2

x

2

x

4

V



π 4

  2

x



2

e



2 x e dx



π 4

   2 1

e



π 4

  3





e



13

π











0

0

1 2

1 2

1 4

e 4

1 4

0

  

  

  

  

  

  

2

2

Đặt:

(E) :



 quanh trục 0x, Ta được vật thể tròn xoay có thể tích là:

1

2

2

x a

y b

3

2

π 4

4

Câu 21: Khi quay Elip

(ab) 3

πab 3

2 πa b 4 3

π  2 (a b) ab 3

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

2

2

2

(E) :



   

1

y

b

1



Chọn A

2

2

2

x a

y b

x a

a

2

2

2

2

3



1



 dx πb

x



x



2

2

 V π b

a

x a

1 a 3

πab 4 3

  

a    



a

  

  

y



3, x y



0,

x



0,

x

Ta có:

Câu 22:

Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng ( H) giới hạn bởi các đường:

 1

quanh trục hoành bằng:

V



V



V



V



 4

 2 5

 6

 7

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn D.

15 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018 Ta có thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng ( H) giới hạn bởi các đường:

1

V

6 x dx



y



3, x y



0,

x



0,

x

1

 quanh trục hoành bằng:

 . 

 7

0

Câu 23:

e

y

Kí hiệu ( H) là hình phẳng giới hạn bởi đường cong x

ln (

k k

1)



1x  , trục hoành và đường thẳng  . Biết khi quay H xung quanh trục hoành ta được vật thể tròn xoay có thể tích V. Mệnh

k ln )

 (

V



V

 (

k



k ln )

V

 (

k



ln

k

1)

V

 (

k



ln

k

đề nào sau đây đúng? k A.

B.

C.

 D.

 1)

Lời giải

k

x

x

k

V



(

e



1)

dx



 .(

e



x



 (

k



ln

k



1)

ln  .

Chọn D.

ln ) | 0



0

Ta có:

Câu 24:

Kí hiệu V là thể tích vật thể tròn xoay khi quay quanh trục Ox hình phẳng (H) được giới hạn bởi các

x



k k (

1)

đường

, trục hoành và đường thẳng

 . Mệnh đề nào sau đây đúng?

ln

x

y

(

V

k



1) ln

k

V

 (

k



k ln )

B.

A.

  

  1

V

 (

k



k ln )

V

k

(ln

k

D.

C.

 

   1) 1

Lời giải

V





xdx





x .( .ln

x







k ( .ln

k

  

1)

k

x

k

(ln

k

 

Chọn C.

 

 1) 1

k ) | 1

k  . ln 1

Ta có:

16 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Nguyên hàm_Tích Phân

17 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Thể tích

NHÓM GIẢI VẬN DỤNG CAO CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH - NĂM HỌC 2017-2018

VTED_2019 MÔN: TOÁN 12

'

'

'

' . Tính thể tích khối hộp đó

3,



ABCD A B C D , trong đó ABCD là hình thoi có hai đường chéo '



a

AA

a

a

Thời gian làm bài 90 phút

3 6

32 a

. 2 3 6 4

ABCD A B C D , trong đó ABCD là hình thoi có hai đường chéo

.

'

'

'

' . Tính thể tích khối hộp đó

3,



A C a



'

a

a

A. . B. . C. . D. . a 6 Câu 1: Cho khối hộp đứng , AC a BD a  3 6 2

3 6

32 a

3 3 6 2

A. . B. . C. a . D. 6 . Câu 2: Cho khối hộp đứng , AC a BD a  3 6 4

ABCD A B C D , '

.

'

'

'

là hình thoi cạnh trong đó ABCD

 ' 2

AA

a

,

a BAD 3

3

3

. Tính thể tích khối hộp. Câu 3: Cho khối hộp đứng  0  30 ,

3a .

a 2

a 3

a 4

'

.

'

'

, 2a

a ; cạnh

ABCD A B C D , trong đó ABCD là hình thoi có hai đường chéo ' tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng

A. . B. . C. . D.

3

Câu 4: Cho khối hộp ' 2a bên

3a .

AA  32 a 3

030 . Tính thể tích khối hộp. 34 a 3







ABCD A B C D .

. A. B. . C. D. .

a 3  , trong đó A ABD

a

a

a

a

3 2

là tứ diện đều cạnh a . Tính thể tích khối hộp Câu 5: Xét khối hộp đó.

3 2 4

3 2 2

3 2 6

A. . B. . C. . D. .

.S ABCD , trong đó SABC là tứ diện đều cạnh a và ABCD là hình thoi.

a

a

a

a

Câu 6: Xét khối chóp tứ giác Tính thể tích khối chóp đó.

3 2 2

3 2 3

3 2 6

3 2 12

A. . B. . C. . D. .

cạnh AB , điểm Q thuộc cạnh AD ( vuông. Tính thể tích khối chóp tứ giác Câu 7: Cho khối chóp đỉnh S , có thể tích V , có đáy là hình vuông ABCD với tâm I . Điểm P thuộc ,P Q không phải là đỉnh hình vuông) sao cho PIQ là góc .S APIQ .

V 3

V 4

V 6

V 2

B. . C. . D. . A. .





.S ABC có thể tích bằng V . Gọi S là điểm sao cho S là trung điểm của đoạn AS  và B, C theo thứ tự là trung điểm của AB , AC . Tính thể tích của khối chóp tam giác

 .

.S AB C

Câu 8: Cho khối chóp tam giác

V 2

V 4

V 3



B. . C. . D. . A. V .

 ABCD A B C D .

 có thể tích V , có tâm (đối xứng) là I . Gọi

,

,

,

Câu 9: Cho khối hộp

M N P Q theo thứ ABCD . Tính thể tích phần khối hộp đó

,

,



tự là trung điểm các cạnh

 AB BC CD DA của đáy  , .I MNPQ ?

không nằm trong khối chóp tứ giác

V 5 6

V 3 4

V 11 12

V 7 8

A. . B. . C. . D. .

1 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Câu 10: Cho khối chóp tứ giác có đỉnh S ; đáy là hình thoi ABCD với góc ở A bằng

Đề thi thử nghiệm_2018 060 , cạnh bằng a và hình chiếu của S lên mặt đáy là tâm (đối xứng) I của hình thoi. Khối chóp có thể tích bằng

a

V 

 SAB ?

3 2 4

a

6

a

6

. Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng 

2

3

a 4

a 3

a

A. . . B. C. . . D.

.S ABCD có AB a . Thể tích của khối chóp bằng

3 2 3

Câu 11: Cho khối chóp tứ giác đều . Tính

 SAB ?

2

2

a

2

a

2

khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng 

a 3

2

3

a 3





A. . . B. . C. D. .

 cạnh a . Gọi S là điểm thuộc đường thẳng AA sao cho  cắt đường thẳng AB tại E ,

S B D ,

P đi qua ba điểm

, .S AEF ?

 ABCD A B C D . A là trung điểm của SA. Mặt phẳng  cắt đường thẳng AD tại F . Tính thể tích khối chóp

3

Câu 12: Xét khối lập phương

3a .

32 a 3

a 2

34 a 3

A. . B. . C. D. .

ABCD A B C D cạnh bằng '

'

Câu 13: Xét khối lập phương

. 'A là trung điểm của

.a Gọi S là điểm thuộc đường thẳng AA' S B D cắt các đường thẳng '

',

,

' ' .SA Mặt phẳng 

P qua các điểm

S AEF .

.

,AB AD lần lượt tại

.E F Tính thể tích phần khối lập phương nằm trong khối chóp

,

sao cho

.

.

.

3.a

35 a 6

32 a 3

34 a 3

'

A. B. C. D.

ABCD A B C D cạnh bằng '

Câu 14: Xét khối lập phương

. 'A là trung điểm của

',

,

' ' .SA Mặt phẳng 

P qua các điểm

.a Gọi S là điểm thuộc đường thẳng AA' S B D cắt các đường thẳng ' .S AEF không nằm trong khối lập

.E F Tính thể tích phần khối chóp

,

3

sao cho

.

.

.

.

32 a 3

33 a 4

,AB AD lần lượt tại phương. 3 a 3

a 2

'

'

.

C. D. A. B.

ABCD A B C D cạnh bằng '

.SA Tính thể tích phần khối chóp

.a Gọi S là điểm thuộc đường thẳng AA' .S ABD nằm ngoài khối lập

' 'A là trung điểm của

3

3

3

.

.

.

.

Câu 15: Xét khối lập phương

a 12

a 48

a 36

B. A. C. D. sao cho phương. 3 a 24

.

'O là điểm đối xứng của tâm O của

'.O ABCD .

ABCD A B C D cạnh a . Gọi ' '

' '

' '

'

A B C D .Tính thể tích khối chóp tứ giác



3

3

Câu 16: Cho khối lập phương

a 2

' khối lập phương qua mặt phẳng  32 a 3

a 3

33 a 4

C. . A. B. . . D. .

ABCD A B C D cạnh a . Gọi

' '

' '

' '

' '

A B C D .Tính thể tích phần khối chóp tứ giác

'O là điểm đối xứng của tâm O của khối '.O ABCD nằm



. lập phương qua mặt phẳng  ngoài khối lập phương.

3

3

3

Câu 17: Cho khối lập phương

a 54

a 27

a 18

3 a 36

A. . B. . C. . D. .

ABCD A B C D cạnh a . Gọi

' '

' '

' '

' '

A B C D .Tính thể tích phần khối chóp tứ giác



'O là điểm đối xứng của tâm O của khối O ABCD nằm

. lập phương qua mặt phẳng  trong khối lập phương.

Câu 18: Cho khối lập phương

2 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Thể tích

3

a 13 27

314 a 27

34 a 9

35 a 9

C. . D. . A. . B. .

.

'

'

'

ABCD A B C D cạnh a . Gọi S là điểm đối xứng của tâm I của hình

.S ABCD .

' A B C D .Tính thể tích phần khối chóp tứ giác

'

'

'

'

Câu 19: Cho khối lập phương



3

3

vuông ABCD qua mặt phẳng 

32 a 3

a 2

a 3

33 a 4

A. . B. . C. . D. .

'B'C'D' cạnh a . Gọi S là điểm đối xứng của tâm I của hình A B C D . Tính thể tích phần khối chóp tứ giác S.ABCD nằm ' ' '

'



D. ABC A vuông ABCD qua mặt phẳng  ngoài khối lập phương.

3

3

3

Câu 20: Cho khối lập phương

a 6

a 12

a 9

32 a 9

A. . B. . C. . D. .

'B'C'D' cạnh a . Gọi S là điểm đối xứng của tâm I của hình A B C D . Tính thể tích phần khối chóp tứ giác S.ABCD nằm ' ' '

'



D. ABC A vuông ABCD qua mặt phẳng  trong khối lập phương.

Câu 21: Cho khối lập phương

37 a 12

35 a 12

35 a 12

35 a 9

A. . B. . C. . D. .

'B'C'D' cạnh a . Gọi ABC là điểm đối xứng của tâm I của hình A B C D . Tính thể tích phần khối lập phương nằm ngoài khối ' '

'

'



ABC A D. vuông ABCD qua mặt phẳng  chóp tứ giác S.ABCD.

Câu 22: Cho khối lập phương

35 a 12

34 a 9

B. . D. . A. D . C. E .

V  24 3 , góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng

.S ABCD có tất cả các cạnh bằng a . Tính thể tích khối chóp.

a

a

a

a

B. 3 . C. 1. D. 3. Câu 23: Xét khối chóp tam giác đều S.ABC có thể tích 30 . Tính chiều cao của khối chóp A. E .

3 2 6

3 2 3

3 2 12

.S ABCD mà tam giác SAC đều cạnh a . Tính thể tích khối chóp.

a

a

a

A. . B. . C. . D. . Câu 24: Xét khối chóp tứ giác đều 3 2 2

32 a 3

3 3 6

3 3 3

A. . B. . C. . D. Câu 25: Xét khối chóp tứ giác đều 3 3 12

.S ABC có cạnh đáy bằng a , chiều cao của khối chóp bằng chiều

3

3

a

a

Câu 26: Xét khối chóp tam giác đều cao của tam giác đáy. Tính thể tích khối chóp.

a 8

a 6

3 3 12

3 3 8

A. . B. . C. . D.

.S ABC , đáy ABC là tam giác vuông cân có AB AC

SA

a 3 3a . Tính độ dài cạnh AB .

2a

Câu 27: Xét khối chóp , cạnh bên tao

a

V 

với mặt phẳng đáy một góc 30 . Biết thể tích khối chóp bằng A. C. 2a . B. a . . D. 3a

.S ABCD có cạnh đáy bằng a và có thể tích

3 3 6

Câu 28: Cho khối chóp tứ giác đều . Tìm số

a

3

a

3

a

3

a

3

r 

r 

r 

r 

dương r sao cho có điểm E nằm bên trong khối chóp, mà khoảng cách từ E đến các mặt bên và đến mặt đáy đều bằng r .

2

3

4

6

A. . B. . C. . D. .

3 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18 Câu 29: Cho khối chóp tam giác

Đề thi thử nghiệm_2018 .S ABC . Mặt phẳng đi qua trọng tâm của ba mặt bên của khối chóp

chia khối chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần đó.

1 3

1 2

2 3

8 19

,

A. . D. C. B. .

.S ABC có thể tích V . Gọi

,G H K là trọng tâm của ba mặt bên của

.S GHK .

Câu 30: Cho khối chóp tam giác khối chóp. Tính thể tích của khối chóp

V 6

V 27

V 9

V 2 27  AE

.

'

'

'

'

A. . D. . C. . B. .

ABCD A B C D có thể tích bằng V . Gọi E là điểm sao cho

'

 3 AB  E ADD . tích của khối đa diện gồm các điểm chung của khối hộp đó và khối chóp tam giác .

Câu 31: Cho khối hộp . Tính thể

V 4 27

V 25 54

V 19 54

V 2

.S ABCD có thể tích V , đáy ABCD là hình bình hành. Lấy điểm S sao . Tính thể tích của khối đa diện gồm các điểm chung của khối chóp đó và khối

 

 AB 

.S ABCD

A. D. C. . B.

V 2

V 3

 SS

 

2

 AB

D. . A. . B. . C. . Câu 32: Cho hình chóp tứ giác  cho SS 2 chóp tứ giác V 5 9 theo V . V 4 9

.S ABC có thể tích V . Lấy điểm S sao cho 

.S ABC nằm trong khối chóp

. Tính thể tích Câu 33: Cho khối chóp tam giác phần khối chóp theo V .

V 2

V 6

.S ABC V 4

V 3

A. . D. . C. . B. .

 SS

 

2

 AB

,

 ,

S S A B C

,

,

Câu 34: Cho khối chóp tam giác . Tính thể tích khối đa diện lồi có các đỉnh là

V 24

V 4 3

.S ABC có thể tích V . Lấy điểm S sao cho theo V . V 8

A. . D. . C. . B. 3V .

.S ABCD có SA vuông góc với mặt đáy, ABCD là hình thoi cạnh bằng

3

 AE

 AC



2

a , góc  60

Câu 35: Cho khối chóp tứ giác

BAD   . Khối chóp có thể tích V  . Gọi E là điểm xác định bởi .

a

6

a

6

Tính khoảng cách từ điểm E đến mặt phẳng 

6

2

4

a 4

a 4  SBD . 3 6a D. . . A. . B. C. .

060 . Khối chóp có thể tích

Câu 36: Cho khối chóp tứ giác SABCD, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, ABCD là hình thoi cạnh a,

V



32 a

12

. Gọi E là điểm xác định bởi

 AC



2

a

3

a

3

3

4

góc tại đỉnh A bằng  AE . Tính khoảng cách từ E đến mặt phẳng (SBC)

A. 3a B. C. D. a

3cm

3cm

2cm . Tính thể tích khối chóp đó? 3cm

3cm

Câu 37: Tổng diện tích các mặt của khối lập phương là 150 S A. 25 B. 75 D. 100 C. 125

060 . Đường chéo lớn của đáy

Câu 38: Đáy lớn của một khối hộp đứng là hình thoi cạnh a, góc nhọn

a

a

3 3 2

3 2 3

3 6 2

33 a 2

bằng đường chéo nhỏ của khối hộp. Tính thể tích khối hộp? a

B. C. D. A.

Chuyên đề_Thể tích Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18 Câu 39: Một khối lăng trụ tam giác có các cạnh đáy bằng 6cm, 8cm,10 cm, cạnh bên bằng 14 cm, góc

030 . Tính thể tích khối đó?

giữa cạnh bên và mặt đáy bằng

3cm

3cm

3cm

3cm

A. 112 B. 56 3 C. 112 3 D. 168

045 ,lăng trụ có cạnh bên

2a . Góc góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng

045 . Tính thể tích khối đó.

Câu 40: Một khối lăng trụ tứ giác có đáy là một hình thoi cạnh a, góc nhọn

3a

32a

3 2 a 3

3 a 3

AE

EB

3

A. B. C. D.



Câu 41: Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V và điểm E trên cạnh AB sao cho . Tính thể

V 3

V 5

V 2

A. B. D. C. tích của khối tứ diện EBCD. V 4

Câu 42: Cho khối lăng trụ tam giác ABC. A’B’C’.Đường thẳng đi qua trọng tâm của tam giác ABC song song với BC cắt AB tại D, cắt AC tại E. Mặt phẳng đi qua A’, D, E chia khối lăng trụ thành hai phần, tính tỉ số thể tích (số bé chia cho số lớn) của chúng.

2 3

4 23

4 27

4 9

A. B. D. C.

Câu 43: Mặt phẳng đi qua các đỉnh A, B của khối hộp ABCD. A’B’C’D’ và đi qua trung điểm E của cạnh A’D’ chia khối hộp thành hai phần.Tính tỉ số thể tích (số bé chia cho số lớn) của chúng.

1 2

1 3

2 3

1 4

ABCD A B C D có thể tích bằng V . Tính thể tích của khối tứ diện có các đỉnh

.

'

'

'

'

A. B. D. C.

AB B C C D . ',

,

'

'

Câu 44: Cho khối hộp là

'C và các trung điểm của các cạnh V 12

V 6

V 8

' V 24

B. . . A. D. . C.

Câu 45: Xét khối chóp tam giác đều cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng hai lần chiều cao tam giác đáy. Tính thể tích của khối chóp.

3

2

2

2

31 a 2

31 a 6

31 a 3

31 a 4

A. . B. . C. . D. .

060 . Tính

3

3

3

3

a

a

Câu 46: Xét khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng thể tích của khối chóp.

a 3

a 6

3

6

D. . C. B. . A. .

3

a

Câu 47: Tính thể tích khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a , góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng

a

3 2

3 2 2

a 3

045 . 3 a 6

D. . C. . B. . A. .

060 .

a

a

a

a

Câu 48: Tính thể tích của khối chóp tứ giác đều có cạnh bằng a , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng

.

.

.

.

3 3 6

3 2 12

3 3 12

3 3 4

B. C. D. A.

'

'

ABCA B C có thể tích V và P là một điểm trên đường thẳng

'

.

' 'AA . Tính thể tích của khối chóp tứ giác

.

.

.

.

V 3

P BCC B '. V 2 3

V 4

V 2

Câu 49: Cho khối lăng trụ tam giác

B. C. D. A.

5 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

'

'

ABCA B C và P thuộc cạnh

Câu 50: Cho khối lăng trụ tam giác

Đề thi thử nghiệm_2018 'BB , điểm

'AA , điểm Q thuộc cạnh

'

'CC sao cho

R thuộc cạnh

' PA QB  QB PA

'

R ABQP .

.

.

.

.

.

. Thể tích khối lăng trụ đó bằng V , hãy tính thể tích

V 3

V 2 3

V 3 4

khối chóp V 2 B. B. C. D.

'

'

'

'

ABCDA B C D cạnh a . Xét khối tứ giác đỉnh A , đáy là tứ giác có 'AA . Tính thể tích của

'AA hay chứa

Câu 51: Cho khối lập phương

đỉnh là các tâm của các mặt của khối đó song song với khối chóp đó

a .

a .

3 a .

a .

31 4

31 6

1 12

31 3













.

ABCD A B C D cạnh a . Tính thể tích khối chóp tứ giác

D ABC D .

B. C. D. A.

3

a

a

. a 3

a 4

3 2 6

3 2 3

Câu 52: Cho khối lập phương 3 B. . C. . D. . A. .

Câu 53: Diện tích toàn phần của một khối hộp chữ nhật là S , đáy của nó là một hình vuông cạnh a . Tính thể tích của khối hộp đó.

 a S

22 a

 a S

22 a



3 a .



32 a .

aS 4

aS 4

  . A. B. C. . D. 2 2

Câu 54: Cho một khối chóp tam giác có ba góc phẳng vuông tại đỉnh, có thể tích V và hai cạnh bên bằng a , b . Tính cạnh bên thứ ba của khối chóp đó.

3V ab

4V ab

5V ab

6V ab

SA AB c ,





AC b , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và

.S ABC . Tính thể tích khối chóp đó.

2

2

bc

A. . B. . C. . D. .

bc 6

bc 12

2 3 6







A. . B. . C. . D. . Câu 55: Khối chóp tam giác  30 BAC  2 3 bc 12

ABC A B C . Mặt phẳng đi qua

C và các trung điểm của

AA ,

BB

. chia khối lăng trụ thành hai phần, tính tỉ số thể tích của chúng.

Câu 56: Xét khối lăng trụ tam giác

1 3

2 3

1 2

A. . B. . D. . C. 1.



'.

'

'

ABC A B C Mặt phẳng đi qua C và các trung điểm của AA , BB

. chia khối lăng trụ thành hai phần, tính tỉ số thể tích của chúng.

Câu 57: Xét khối lăng trụ tam giác

1 3

1 2

2 3





D. . A. . B. . C. 1.

ABCD A B C .

 có thể tích V . Tính thể tích khối chóp

A

Câu 58: Cho khối hộp .

V 2 5

 .BB D D V 6

 D V 3

V 3 8





A. B. . C. . . D.

D

 có thể tích V . Gọi E là trung điểm của A B

 , F là trung điểm

ABCD A B C .  , Tính thể tích khối tứ diện

BD

EF

Câu 59: Cho khối hộp .

V 5

V 8

V 10

A. B. . C. . D. . của B C V 6

ABCD A B C .

 có thể tích V . Mặt phẳng đi qua các đỉnh A , qua các trung  tại

  D  và C D

 tại E, cắt đường thẳng A D

 cắt đường thẳng A B

Câu 60: Cho khối hộp

AA

EF

. điểm của các cạnh B C F .Tính thể tích khối tứ diện

6 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Thể tích

V 3

V 3 8

V 2 3

V 3 4

A. B. . C. . D. .

'

'

.

'

ABC A B C . Điểm P thuộc đoạn

Câu 61: Cho khối lăng trụ tam giác

.

'BB sao cho mặt phẳng đi qua ,A P song song với BC chia khối lăng trụ thành hai phần có thể tích bằng nhau. Tính tỉ số PB PB ' A. 3.

C. 6 . D. 4 . B. 2 .

'AA , điểm

ABCD A B C D . Mặt phẳng đi qua đỉnh D , điểm Q thuộc cạnh

.

'

'

R thuộc cạnh

'CC sao cho

 chia khối lập phương thành hai phần, tính tỉ số

3



,

' ' QA QA '

1 3

RC RC

'

Câu 62: Xét khối hộp

thể tích của chúng.

1 4

1 3

1 2

A. . B. . C. . D. 1 .

'BB

ABC A B C có thể tích bằng V . Xét điểm P thuộc đoạn

.

'

'

'

Câu 63: Cho khối lăng trụ tam giác

'CC sao cho

 , điểm Q thuộc đoạn

 . Tính thể tích của khối chóp tứ

QC CC

'

1 4

sao cho

V 5

V 6

V 4

PB 1 BB ' 2 .A BCQP . giác V 2 9

B. . C. . D. . A. .

Câu 64: Cho khối hộp H có thể tích V . Xét tất cả các khối tứ diện có cả 4 đỉnh là đỉnh của H và có ít nhất một cạnh là cạnh của H (do đó có một mặt nào đó của khối tứ diện phải nằm trong một mặt của khối hộp). Chọn câu đúng:

A. Tất cả các khối tứ diện đó có thể tích bằng .

V 3 V 6

B. Tất cả các khối tứ diện đó có thể tích bằng .

V 6

V 3

C. Có khối tứ diện đó có thể tích bằng , có khối tứ diện đó có thể tích bằng .

V 3

D. Không có khối tứ diện đó có thể tích bằng và không có khối tứ diện đó có thể tích bằng

V 6

.

Câu 65: Cho khối hộp H có thể tích V . Xét tất cả các khối tứ diện có cả 4 đỉnh là đỉnh của H nhưng không có cạnh nào là cạnh của H , tức là 6 cạnh của tứ diện là 6 đường chéo của 6 mặt của khối hộp. Khẳng định nào sau đây đúng:

V 3

A. Tất cả các khối tứ diện có thể tích bằng .

V 6

B. Tất cả các khối tứ diện đó có thể tích bằng .

V 6

V 3

C. Có khối tứ diện có thể tích bằng , có khối tứ diện có thể tích bằng .

V 6

V 3

D. Không có khối tứ diện nào có thể tích bằng và không có khối nào có thể tích bằng .

Câu 66: Cho khối hộp H có thể tích V . Xét tất cả các khối chóp tứ giác có đỉnh của chóp và các đỉnh của mặt đáy đều là đỉnh của hộp. Khẳng định nào sau đây đúng:

7 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Đề thi thử nghiệm_2018

V 3

A. Tất cả các khối chóp có thể tích bằng .

V 6

B. Tất cả các khối chóp đó có thể tích bằng .

V 3

V 6

C. Có khối chóp có thể tích bằng , có khối chóp có thể tích bằng .

V 3

V 6

D. Không có khối chóp nào có thể tích bằng và không có khối nào có thể tích bằng .

Câu 67: Cho khối lăng trụ tam giác H có thể tích V . Xét tất cả các khối chóp tứ giác có đỉnh của chóp và các đỉnh của mặt đáy đều là đỉnh của H . Khẳng định nào sau đây đúng:

V 3

A. Tất cả các khối chóp có thể tích bằng .

V 2 3

. B. Tất cả các khối chóp đó có thể tích bằng

V 3

V 2 3

. C. Có khối chóp có thể tích bằng , có khối chóp có thể tích bằng

V 3

V 2 3

. D. Không có khối chóp nào có thể tích bằng và không có khối nào có thể tích bằng

P Q R lần lượt thuộc cạch

,

,

AB BC BD sao ,

,

Câu 68: Cho tứ diện ABCD có thể tích V . Xét các điểm

 , 3

 , 2

 . Tính thể tích của khối tứ diện BPQR theo V .

4

PA PB

RB RD

QB QC

cho

V



V



V



V



BPQR

BPQR

BPQR

BPQR

V 5

V 4

V 3

V 6

A. . B. . C. . D. .

.S ABCD . Mặt phẳng chứa đường thẳng AB , đi qua điểm

'C của

Câu 69: Xét khối chóp tứ giác đều

. cạnh SC chia khối chóp thành 2 phần có thể tích bằng nhau. Tính tỉ số

.

.

.

.

1 2

2 3

'SC SC 4 5

 5 1 2

A. B. C. D.

.

.

.

.

Câu 70: Gọi G là trọng tâm của một tứ diện cho trước. Mặt phẳng đi qua G song song với một mặt của tứ diện chia khối tứ diện thành hai phần. Tính thể số thể tích (số lớn chia số bé) của chúng.

3 2

35 25

37 27

4 3

A. B. C. D.

2a

. Tính thể tích của khối Câu 71: Một khối chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng

a

a

a

3 7 6

3 7 12

3 5 12

3 5 4

đó. a A. . B. . C. . D. .

h

3

3

h

Câu 72: Cho khối chóp tam giác đều có chiều cao h và cạnh bên 2h . Tính thể tích của khối đó.

3 3 4

33 h 4

39 h 4

3 3 12

A. B. C. D.

,a góc giữa mặt

.S ABC có SA vuông góc với đáy, SBC là tam giác đều cạnh

(

SBC với đáy là

. Tính thể tích của khối chóp.

3

2

sin 2

sin 2

a

cos

cos 2

Câu 73: Cho khối chóp









) 31 a 16

31 a 8

1 10

31 a 8

A. B. C. D.

,a cạnh bên

,b góc giữa cạnh bên và mặt đáy

Câu 74: Một khối lăng trụ có đáy là tam giác đều cạnh

060 . Tính thể tích của khối lăng trụ đó.

bằng

8 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Thể tích

3

2 a b 8

23 a b 8

2 a b 4

2 a b 8

A. B. C. D.

a

a

a

a

Câu 75: Các trung điểm của các cạnh của một tứ diện đều cạnh a là các đỉnh của một khối đa diện đều. Tính thể tích của khối đó.

3 2 24

3 3 16

3 3 12

3 2 12

'

.

'

'

'

,A trung điểm của các cạnh

ABCD A B C D Mặt phẳng đi qua C B C D ' '& ' '. A A B C D thành 2 phần. Tính tỉ số(số lớn chia số bé) của thể tích 2 phần đó.

.

'

'

C. D. A. B.

' ' B. 3

Câu 76: Cho khối hộp chia khối chóp A. 5 C. 7 D. 8

.S ABCD . Mặt phẳng đi qua A , trung điểm F của cạnh SC và song

Câu 77: Xét khối chóp tứ giác đều

3 2



D. C. . . B. 2 . A. 1. song với BC chia khối chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích giữa chúng. 4 3

 chia khối

 ABCD A B C D .

 . Mặt phẳng A và trung điểm của các cạnh

,BB DD

 hộp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích giữa chúng.

Câu 78: Cho khối hộp

3 2

4 3







 ABCD A B C D .

C. . D. . A. 2 . B. 1.

 và E là điểm thuộc cạnh BB sao cho

BE



BB 4

Câu 79: Cho khối hộp , điểm F

,A E F chia khối hộp thành hai

,

DE



DD

3 4

. Mặt phẳng đi qua thuộc cạnh DD sao cho

phần, tính tỉ số thể tích của hai phần đó.

3 2

4 3





 ABCD A B C D .

 . Nền là hình chữ nhật ABCD có , chắp thêm một khối trụ tam giác đều mà một mặt bên

m  3

AA

C. . D. . A. 2 . B. 1.

3

3

3

Câu 80: Một nhà kho có dạng khối hộp chữ nhật  m 6  và A B

54m .

m



4

3



3

m

3 m .







27 2

m BC 3 ,  AB    là A B C D 27 3 2

A. D. C. B. . . , chiều cao  là một cạnh đáy của lăng trụ. Tính thể tích của nhà kho. 9  12 2

----------HẾT----------

9 | VD_VDC

Đề thi thử nghiệm_2018

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18 NHÓM GIẢI VẬN DỤNG CAO

CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH - NĂM HỌC 2017-2018

VTED_2019 MÔN: TOÁN 12

Thời gian làm bài 90 phút

Đề đã thay đổi thứ tự câu (sắp xếp theo độ khó tăng dần) so với đề gốc

BẢNG ĐÁP ÁN THAM KHẢO

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

HƯỚNG DẪN GIẢI

ABCD A B C D , trong đó ABCD là hình thoi có hai đường chéo

.

'

'

'

'

Câu 1: Cho khối hộp đứng

AC a BD a ,





3,

AA

'



a

2

a

a

. Tính thể tích khối hộp đó

3 6

32 a

3 6 2

3 6 4

A. . B. . C. . D. . a 6

Hướng dẫn giải

2

2

3

a

3

a

3

a

6

Chọn A.

S



AC.BD



 

V a

2.



ABCD

1 2

2

2

2

Ta có

B

A

C

D

B'

A'

C'

D'

ABCD A B C D , trong đó ABCD là hình thoi có hai đường chéo

.

'

'

'

'

Câu 2: Cho khối hộp đứng

AC a BD a ,





3,

A C a



'

3

a

a

. Tính thể tích khối hộp đó

3 6

32 a

3 6 4

3 6 2

A. . B. . C. a . D. 6 .

Hướng dẫn giải

Chọn B.

10 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Thể tích

B

A

C

D

B'

A'

C'

D'

2

a

3

2

3



AC BD .



S

a

3

a

6

ABCD

 

V a

2.



1 2

2

2

2

2

2

2

2

'



A C '



A C '

'



a 3



a



a

2

    CC 

.

ABCD A B C D , '

.

'

'

'

là hình thoi cạnh trong đó ABCD

a BAD

 ' 2

AA

a

,

3

3

3

. Tính thể tích khối hộp. Câu 3: Cho khối hộp đứng  0  30 ,

3a .

a 2

a 3

a 4

A. . B. . C. . D.

Hướng dẫn giải

2

2

3

Chọn D.

S



AB AD .

.sin

  BAD a a . .

  

V

a 2 .



a

ABCD

1 2

a 2

a 2

Ta có

B

A

C

D

B'

A'

C'

D'

.

'

'

'

'

ABCD A B C D , trong đó ABCD là hình thoi có hai đường chéo

, 2a

a ; cạnh

' 2a

Câu 4: Cho khối hộp

3

bên tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng

3a .

a 3

030 . Tính thể tích khối hộp. 34 a 3

AA  32 a 3

B. . D. . C. . A.

Hướng dẫn giải

Chọn C.

11 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Đề thi thử nghiệm_2018

'

'

'



 A B C D '

0

 0   AA H 30 '

 AH AA

'.sin 30



a 2 .

 a

1 2

2

2

3

Gọi H là hình chiếu của A lên mặt khi đó

S



a a . .2

  

V a a .

a



a

.

ABCD

1 2

Ta có

B

A

C

D

B'

H

A'

C'

D'







ABCD A B C D .

 , trong đó A ABD

a

a

a

a

3 2

là tứ diện đều cạnh a . Tính thể tích khối hộp Câu 5: Xét khối hộp đó.

3 2 2

3 2 6

3 2 4

B. . C. . D. . A. .

Lời giải

Chọn B

B'

C'

D'

A'

B

C

A

D

3

3

V



a



V 3.2.



a













ABCD A B C D .

A ABCD

A ABD

.

A ABD

 .

2 12

2 2

Ta có suy ra V  . V .3

.S ABCD , trong đó SABC là tứ diện đều cạnh a và ABCD là hình thoi.

Câu 6: Xét khối chóp tứ giác

a

a

a

a

Tính thể tích khối chóp đó.

3 2 2

3 2 3

3 2 6

3 2 12

A. . B. . C. . D. .

12 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Thể tích

Lời giải

Chọn C

S

A

D

B

C

3

3

S

V



a



V 2





V

a



A ABD

.

S ABCD

.

S ABC

.

ABC

ABCD

2 12

2 6

1 S 2

Ta có và .

cạnh AB , điểm Q thuộc cạnh AD (

vuông. Tính thể tích khối chóp tứ giác Câu 7: Cho khối chóp đỉnh S , có thể tích V , có đáy là hình vuông ABCD với tâm I . Điểm P thuộc ,P Q không phải là đỉnh hình vuông) sao cho PIQ là góc .S APIQ .

V 2

V 3

V 4

V 6

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

S

A

Q

D

P

I

B

C

PIQ 

 .

Đặc biệt hóa: Lấy P , Q lần lượt là trung điểm của AB , AD thỏa  90

P

B

A

Q

I

C

D

13 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Đề thi thử nghiệm_2018

S



V



V



APIQ

ABCD

S APIQ

.

S ABCD

.

1 4

V 4

1 S 4

Ta có .





.S ABC có thể tích bằng V . Gọi S là điểm sao cho S là trung điểm của đoạn AS  và B, C theo thứ tự là trung điểm của AB , AC . Tính thể tích của khối chóp tam giác

 .

.S AB C

Câu 8: Cho khối chóp tam giác

V 2

V 3

V 4

B. . D. . C. . A. V .

Lời giải

Chọn B

S'

S

A

C

C'

B'

B





S

S

 





 AB C

ABC

  d S ABC ;



   ; d S ABC



1 2

1 4

và . Ta có S là trung điểm của S A

V

2.

V .





 

S AB C

 .

S ABC

.

1 4

V 2



Suy ra .

 ABCD A B C D .

 có thể tích V , có tâm (đối xứng) là I . Gọi

M N P Q theo thứ

,

,

,

Câu 9: Cho khối hộp

ABCD . Tính thể tích phần khối hộp đó

,

,



tự là trung điểm các cạnh

 AB BC CD DA của đáy  , .I MNPQ ?

không nằm trong khối chóp tứ giác

V 5 6

V 3 4

V 11 12

V 7 8

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

C.

MNPQ S

ABCD

 C A I



ABCD







Chọn Gọi V  là thể tích phần không gian cần tìm. S Theo giả thiết ta có 1  . 2





CI  CA

1 2

1 2

    d I ABCD ;       d A ABCD ;  

  ;   d I ABCD        ; d A ABCD  

Do .

14 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Thể tích

.

S

.

;

 d I ABCD



MNPQ

 

 

V







.

1



I MNPQ . V

1 1 1 . 3 2 2

V     V

1 12

1 12

11 12

1 3 S

.

 d A ABCD



ABCD

 ; 

 

.

060 , cạnh bằng a và hình chiếu của S lên mặt đáy là tâm (đối xứng) I của hình thoi. Khối chóp có thể tích bằng

a

V 

Câu 10: Cho khối chóp tứ giác có đỉnh S ; đáy là hình thoi ABCD với góc ở A bằng

 SAB ?

3 2 4

a

6

a

6

. Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng 

2

3

a 3

a 4

. B. C. . . D. A. .

Hướng dẫn giải

a

3

IA



 

AC a

3

Chọn D.

2

2

a

3

a

6

. Do ABD đều cạnh a nên BD a và

S



AC BD .



  SI



ABCD

2

V .3 S ABCD S

2

1 2

ABCD

V



S

.

SI



S

.





.

SI

Khi đó

 d C SAB ;



 d C SAB ;



S ABC

.

ABC

SAB

 

 

 

 

1 3

S ABC S

1 3

SAB

3

a

7

He rong

2

2

2

2

SB



SI



IB



 

S

(*)

SA



SI



IA



SAB

23 a 8

2

a 3 2

a

6

(*)

ABC

;

 



 d C SAB ;



 

 

S S

3

2 3

SAB

a

Khi đó ta có .

.S ABCD có AB a . Thể tích của khối chóp bằng

3 2 3

Câu 11: Cho khối chóp tứ giác đều . Tính

 SAB ?

2

2

a

2

a

2

khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng 

a 3

2

3

a 3

A. . . B. . C. D. .

Hướng dẫn giải

  SO



a

2

Chọn D.

ABCD là hình vuông cạnh a có tâm O

.3 V S ABCD S

ABCD

2

a

 He rong

2

 SA SB



2  SO OA



 

S

.

SAB

a 3 4

10 2

2

2

.





 d C SAB ;



 

 

.3 V S ABC S

a 3

SAB





Vậy .

 cạnh a . Gọi S là điểm thuộc đường thẳng AA sao cho  cắt đường thẳng AB tại E ,

S B D ,

,

P đi qua ba điểm

 ABCD A B C D . A là trung điểm của SA. Mặt phẳng  cắt đường thẳng AD tại F . Tính thể tích khối chóp

.S AEF ?

3

Câu 12: Xét khối lập phương

3a .

32 a 3

a 2

34 a 3

A. . B. . C. D. .

15 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Đề thi thử nghiệm_2018

Hướng dẫn giải

S

  AA 2  ABB A

.

 a 2  , SB cắt AB tại E .   ADD A

, SD cắt AD tại F .

B'

C'



S

D'



 A B

AB

/ /

  

AE

2

a

A'

 A B AE

1 2

Chọn D. SA Theo giả thiết Trong cùng mặt  Trong cùng mặt   SA   SA (theo Ta-lét)

E





 A D AD / /

  

AF

2

a

C

A'

B

D'

 SA   SA

 A D AF

1 2

A

F

D



AEF

B'

C'

2

(theo Ta-lét) Dễ thấy vuông cân tại

A



S



AE AF .



2

a

AEF

D

A

1 2

F

3

.

V



S

.

SA



S AEF

.

AEF

B

1 3

a 4 3

C

E

.

ABCD A B C D cạnh '

.

'

'

.SA Mặt phẳng

' .a Gọi S là điểm thuộc đường thẳng AA' sao cho

'A là trung điểm của

,

S B D cắt các đường thẳng

',

'

,AB AD lần lượt tại

.E F Tính thể tích phần

,

Câu 13: Xét khối lập phương

S AEF .

.

.

.

.

bằng P qua các điểm  khối lập phương nằm trong khối chóp

3.a

32 a 3

34 a 3

A. B. C. D.

35 a 6 Lời giải:

CCB D '. '

3

V



S .

CC .

'



2 a a . .



a

.

C B C D '

.

'

'

C B D

'

'

'

1 1 . 3 2

1 6

1 3

.

'

Cần thể tích khối đa diện cần tính là khối tứ diện

ABCD A B C D cạnh bằng '

Câu 14: Xét khối lập phương

'A là trung điểm của

.a Gọi S là điểm thuộc đường thẳng AA' S B D cắt các đường thẳng

',

,

'

' ' .SA Mặt phẳng 

P qua các điểm

.S AEF không nằm trong khối lập

.E F Tính thể tích phần khối chóp

,

,AB AD lần lượt tại phương.

sao cho

16 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Thể tích

3

3

.

.

.

.

a 3

a 2

32 a 3

33 a 4

A. B. C. D.

Lời giải: (Hình vẽ ở câu 13)

.S AEF không nằm trong khối lập phương là V.

3

2

Thể tích phần khối chóp

V



V 3



3.

a .



.

S A B D '

.

'

'

1 1 . 3 2

a 2

'

'

.

Ta có:

ABCD A B C D cạnh bằng '

.SA Tính thể tích phần khối chóp

.a Gọi S là điểm thuộc đường thẳng AA' .S ABD nằm ngoài khối lập

' 'A là trung điểm của

Câu 15: Xét khối lập phương

3

.

.

a 24 3

a 12 3

sao cho phương. 3 A. B.

.

.

a 36

C. D.

a 48 Lời giải:

2

3

V



SA .

'



.

a .



.

S A EF '

.

.S 

A EF '

1 3

1 1 . 3 2

a 2

a 24

  

  

Ta có:

ABCD A B C D cạnh bằng '

'

'

.

.SA Tính thể tích phần khối chóp

.a Gọi S là điểm thuộc đường thẳng AA' .S ABD nằm trong khối lập

' 'A là trung điểm của

Câu 16: Xét khối lập phương

3

.

.

a 24 3

a 12 3

sao cho phương. 3 A. B.

.

.

a 48

a 36

C. D.

Lời giải: (Hình vẽ ở bài 15)

.S ABD nằm trong khối lập phương là V

Thể tích phần khối chóp

S S

F F

A' A'

D' D'

E E

B' B'

C' C'

A A

D D

B B

C C

Ta có:

17 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Đề thi thử nghiệm_2018

2

3

2

 V V



V



a

.2

a



.

a .



.

S ABD

.

S A EF '

.

1 1 . 3 2

1 1 . 3 2

a 2

a 7 24

  

  

.

'O là điểm đối xứng của tâm O của

' ABCD A B C D cạnh a . Gọi '

' '

' '

'

A B C D .Tính thể tích khối chóp tứ giác

'.O ABCD .



3

3

Câu 17: Cho khối lập phương

' khối lập phương qua mặt phẳng  32 a 3

a 3

a 2

33 a 4

A. B. . . C. . D. .

Lời giải

2

S

a

Chọn C

h

a 



ABCD

a 3 2

a 2 3

Ta có và chiều cao .



V



.

O ABCD

'.

S h . d

a 2

1 3

21 a 3

a 3 2

Suy ra .

ABCD A B C D cạnh a . Gọi

'O là điểm đối xứng của tâm O của khối '.O ABCD nằm

' '

A B C D .Tính thể tích phần khối chóp tứ giác

' '

' '

' '



. lập phương qua mặt phẳng  ngoài khối lập phương.

3

3

3

Câu 18: Cho khối lập phương

a 27

a 18

3 a 36

a 54

B. . C. . D. . A. .

Lời giải

A B C D tại '

'

'

'

,

,

,

'

'

'

'

'

E F G H I và ,

,

,

,

'

O A O B O C O D O O cắt  ,



'OO cắt 

 ABCD tại

I .

2

3

'

2

2

S

S .



a



Chọn A Giả sử

V



a

.



EFGH

ABCD

O EFGH

'.

' O I OI

1 9

1 1 . 3 9

a 2

a 54

  

  

Do đó . Suy ra .

ABCD A B C D cạnh a . Gọi

' '

' '

' '

' '

A B C D .Tính thể tích phần khối chóp tứ giác



'O là điểm đối xứng của tâm O của khối O ABCD nằm

. lập phương qua mặt phẳng  trong khối lập phương.

3

Câu 19: Cho khối lập phương

35 a 9

a 13 27

314 a 27

34 a 9

B. . C. . D. . A. .

Lời giải

2

S

a

Chọn C

h

a 



ABCD

a 3 2

a 2 3

Ta có và chiều cao .





.

V

O ABCD

S h . d

. Suy ra

A B C D tại '

'

'

'

21 a 3 '

a 3 2 '

1 3 ,

,

,

'

'

'

E F G H I và ,

,

,

,

'

a 2 O A O B O C O D O O cắt  ,



'OO cắt 

 ABCD tại

I .

2

3

'

2

2

S

S .



a



V



a

.



Giả sử

EFGH

ABCD

O EFGH

'.

' O I OI

1 9

1 1 . 3 9

a 2

a 54

  

  

3

3

3

 V V



V







Do đó . Suy ra .

O ABCD

'.

S EFGH

.

a 2

a 54

a 13 27

Do vậy .

18 | VD_VDC

Chuyên đề_Thể tích Câu 20: Cho khối lập phương

.

'

'

'

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18 ABCD A B C D cạnh a . Gọi S là điểm đối xứng của tâm I của hình

.S ABCD .

' A B C D .Tính thể tích phần khối chóp tứ giác

'

'

'

'



3

3

vuông ABCD qua mặt phẳng 

32 a 3

a 2

a 3

33 a 4

A. . B. . C. . D. .

2

Lời giải

a

h a a

  

2

a

ABCD

Chọn A S Ta có và chiều cao .



V





.2

a

S ABCD

.

S h . d

32 a 3

21 a 3

Suy ra . 1 3

'B'C'D' cạnh a . Gọi S là điểm đối xứng của tâm I của hình A B C D . Tính thể tích phần khối chóp tứ giác S.ABCD nằm ' ' '

'



D. ABC A vuông ABCD qua mặt phẳng  ngoài khối lập phương.

3

3

3

Câu 21: Cho khối lập phương

a 6

a 12

a 9

32 a 9

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

Chọn B.

'

'B'C'D' cạnh a . Gọi S là điểm đối xứng của tâm I của hình A B C D . Tính thể tích phần khối chóp tứ giác S.ABCD nằm ' ' '



D. ABC A vuông ABCD qua mặt phẳng  trong khối lập phương.

Câu 22: Cho khối lập phương

37 a 12

35 a 12

35 a 12

35 a 9

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

Chọn A.

'B'C'D' cạnh a . Gọi ABC là điểm đối xứng của tâm I của hình A B C D . Tính thể tích phần khối lập phương nằm ngoài khối ' '

'

'



ABC A D. vuông ABCD qua mặt phẳng  chóp tứ giác S.ABCD.

Câu 23: Cho khối lập phương

35 a 12

34 a 9

B. . D. . C. E . A. D .

Hướng dẫn giải

Chọn B.

, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng V  24 3

Câu 24: Xét khối chóp tam giác đều S.ABC có thể tích 30 . Tính chiều cao của khối chóp

B. 3 . C. 1. D. 3. A. E .

Hướng dẫn giải

A. Chọn

19 | VD_VDC

Đề thi thử nghiệm_2018

.S ABCD có tất cả các cạnh bằng a . Tính thể tích khối chóp.

a

a

a

a

A. . B. . C. . D. .

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18 Câu 25: Xét khối chóp tứ giác đều 3 2 2

3 2 6

3 2 3

3 2 12

S

A

D

O

B

C

Lời giải Chọn B.

2

a

2

a

2

2

2

2

2

Gọi O là tâm mặt đáy.

S

a

SO



 SD OD



a





ABCD

2

2

   

   

3

a

2

; .

V



SO S .



S ABCD

.

ABCD

1 3

6

.S ABCD mà tam giác SAC đều cạnh a . Tính thể tích khối chóp.

a

a

a

Vậy

32 a 3

3 3 6

3 3 3

S

A

D

O

B

C

A. . B. . C. . D. Câu 26: Xét khối chóp tứ giác đều 3 3 12 Lời giải Chọn A.

2

a

3

S



Gọi O là tâm mặt đáy.

AC a

  

AB

SO 

ABCD

2

a 2

a 2

3

a

3

; . Tam giác SAC đều cạnh a suy ra

V



SO S .



S ABCD

.

ABCD

1 3

12

Vậy

20 | VD_VDC

Chuyên đề_Thể tích Câu 27: Xét khối chóp tam giác đều

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18 .S ABC có cạnh đáy bằng a , chiều cao của khối chóp bằng chiều

3

3

a

a

cao của tam giác đáy. Tính thể tích khối chóp.

a 8

a 6

3 3 12

3 3 8

A. . B. . C. . D.

Lời giải

S

C

A

O

M

B

3

a

a

Chọn C.

SO AM





S

ABC

2

3

Theo giả thiết: ; Gọi O là tâm mặt đáy, M là trung điểm BC . 2 3 4

V



SO S .



S ABC

.

ABC

a 8

SA

Vậy .

1 3 Câu 28: Xét khối chóp

.S ABC , đáy ABC là tam giác vuông cân có AB AC

, cạnh bên tao

a 3 3a . Tính độ dài cạnh AB .

với mặt phẳng đáy một góc 30 . Biết thể tích khối chóp bằng

2a

A. . D. 3a B. a . C. 2a .

S

3a

30°

A

C

H

M

B

SH



ABC

Lời giải Chọn C.





Gọi M là trung điểm BC . Kẻ  1 .

21 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Đề thi thử nghiệm_2018













AM

SK AM SK

 



ABC



ABC

 BC AM Ta có: .   BC SAM  SAM  ABC   







. Kẻ  2 . BC SH  

2

2

3

.

3   a

SH S .

V

3   a

SA

 .sin 30 .

.

AB

3   a

a .3 .

.

AB

  

AB

a

2

a

S ABC

ABC

.

 Mặt khác:  SAM  Từ  1 và  2 suy ra K H Theo giả thiết: 1 3

1 3

1 2

1 6

1 2

a

;

.S ABCD có cạnh đáy bằng a và có thể tích

V 

3 3 6

Câu 29: Cho khối chóp tứ giác đều . Tìm số

a

3

a

3

dương r sao cho có điểm E nằm bên trong khối chóp, mà khoảng cách từ E đến các mặt bên và đến mặt đáy đều bằng r .

r 

r 

2

3

a

3

a

3

A. . B. .

r 

r 

4

6

C. . D. .

Hướng dẫn giải

Chọn D.

S

F

r

E

A

D

r

H

M

B

C

3

a

3

a

3

2

V



SH S .



SH a .



  SH



SM a



,sin

 MSH



ABCD

1 3

6

2

1 3

HM SM

1  2

a

a

3

 r EH EF SE MSH

.sin







r

.

  r

Do E cách đều 4 bốn mặt bên nên E thuộc SH ( H là tâm đáy). Gọi M là trung điểm của CD và F là hình chiếu của E lên SM .

1 2

6

  3    2 

   

.

.S ABC . Mặt phẳng đi qua trọng tâm của ba mặt bên của khối chóp

Câu 30: Cho khối chóp tam giác

chia khối chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần đó.

B. . A. .

8 19 1 2

1 3 2 3

D. C.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

22 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Thể tích

S

P

G3

M

G1

G2

N

A

C

B

3

S MNP

.



.

.







. S MNP V

SM SN SP SA SB SC

2 3

8   27

V V

8 / 27  1 8 / 27

8 19

  

  

ABC MNP .

,

V Gọi các điểm như hình vẽ. Ta có

.S ABC có thể tích V . Gọi

,G H K là trọng tâm của ba mặt bên của

Câu 31: Cho khối chóp tam giác

.S GHK .

khối chóp. Tính thể tích của khối chóp

B. . A. .

V 9 V 2 27

V 6 V 27

D. . C. .

Hướng dẫn giải

Chọn D.

S

K

G

H

A

C

P

M

N

B

V

,

,

,

S



S

,M N P lần lượt là trung điểm của

AB BC CA . Ta có



MNP



ABC

1 4

. S MNP V

1  4

3

S GHK

.



.

.





V

V





V



V

Gọi nên

S GHK

.

S MNP

.

V V

SG SH SK SM SN SP

2 3

8 27

8 27

8 1 . 27 4

2 27

  

  

S MNP

.

.

'

'

'

'

 AE

Mặt khác . Suy ra

ABCD A B C D có thể tích bằng V . Gọi E là điểm sao cho

.

'

 AB  3 E ADD . tích của khối đa diện gồm các điểm chung của khối hộp đó và khối chóp tam giác

Câu 32: Cho khối hộp . Tính thể

A. B.

V 4 27 V 19 54

V 2 V 25 54

C. . D.

Hướng dẫn giải

23 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Đề thi thử nghiệm_2018

Chọn C.

E

B

M

C

N

B'

C'

D

A

A'

D'





Đặc biệt hóa hình hộp thành hình lập phương.

EM EN  ED ED

'

BM BN  BC BC

'

EB EA

2  3

2



BMN

BMN





.



S



S

Khi đó dễ thấy được



BMN

BCC B

'

'

S S

S  S 2

1 2

BM BN . BC BC

'

2   9

2 9

2 1  .  2 3 

  

BCC B

'

'



BCC

'



V



EB S .

.2



V

E BMN

.



BMN

BCC B

'

'

1 3

2 AB S . 9

E BMN

.



.

.

V



V



V

E ADD

.

'

E BMN

.

V V

1 3 EB EM EB EA ED EA

8   27

1 2

4 27 27 8

E ADD

.

'

V



V



V



V



V



V

chung

E ADD

.

'

E BMN

.

1 2

4 27

19 54

.S ABCD có thể tích V , đáy ABCD là hình bình hành. Lấy điểm S sao . Tính thể tích của khối đa diện gồm các điểm chung của khối chóp đó và khối

 

 AB 

.S ABCD

Ta có

V 3

V 2

A. . B. . C. . D. . Câu 33: Cho hình chóp tứ giác  cho SS 2 chóp tứ giác V 5 9 theo V . V 4 9

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Thể tích

 , H S D SC

 .



 Gọi G S A SB Ta cần tính thể tích khối đa diện ABCDGH theo V . AB Do

GB 2

SG



2

SH



2

HC

SS

 S S

AB

//

a





1;

b

;

c





;

d







nên . Tương tự và .

 . 1

SC SH

3 2

SD SD

SA SA

S ADHG

.

Đặt



  SB 3 SG 2    a b c d abcd 4

5  . 9

V V

S ABCD

.

Ta có

V .

4 9

Vậy thể tích khối đa diện ABCDGH bằng

 SS

 

2

 AB

.S ABC có thể tích V . Lấy điểm S sao cho 

. Tính thể tích

.S ABC nằm trong khối chóp

Câu 34: Cho khối chóp tam giác phần khối chóp theo V .

V 2

V 3

.S ABC V 4

V 6

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

Chọn B.

.O ABC theo V .

  OB

SB

SS

 

2

AB

 SO OB 2

Ta tính thể tích khối chóp

 S S

//

AB

1 3

Do và nên .





ABC

 d O ABC S .



OABC V





ABC

 d S ABC S .



V



, V   OB SB 1  . 3 , 1 3 1 3

O ABC

.

V 3

 SS

 

2

 AB

Vậy .

Câu 35: Cho khối chóp tam giác . Tính thể tích

.S ABC có thể tích V . Lấy điểm S sao cho theo V .

S S A B C

 ,

,

,

,

khối đa diện lồi có các đỉnh là

V 24

V 8

V 4 3

A. . C. . D. . B. 3V .

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Đề thi thử nghiệm_2018

SS

 

2

AB

S O

 

 S S

//

AB

OA 2 Do và nên .

S S A B C

,

,

,

 ,

S ABC

.

Thể tích khối đa diện lồi có các đỉnh là = V . V  . S SBC



 SBC S .

SBC

 d S





S SBC

 V .

S ABC

A SBC

.





SBC

 d A SBC S .



S S A B C

,

,

,

 ,

 ,    2  V 2 . V V  S O AO , 1 3 1 3 Vậy thể tích khối đa diện lồi có các đỉnh là . 3V

.S ABCD có SA vuông góc với mặt đáy, ABCD là hình thoi cạnh bằng

3

a , góc  60

Câu 36: Cho khối chóp tứ giác

 AE

 AC



2

BAD   . Khối chóp có thể tích V  . . Gọi E là điểm xác định bởi

a

6

a

6

6

3

Tính khoảng cách từ điểm E đến mặt phẳng  a 4  SBD .

2

4

a 4

. A. . B. C. . D. 6a .

Hướng dẫn giải



Chọn C.

OE

AO 3





  d E SBD ,



  d A SBD 3 ,



Ta có nên .



SBD



SAC















SBD

 BD AC   BD SAC  BD SA



.    Dựng AH SO  AH

a

3

a

Suy ra ABCD là hình thoi cạnh bằng a , góc  60 BAD   nên ABD đều.

AO 

,

S

S 2



ABCD

ABC

2

2 3 2

.

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Thể tích

3

SA



2

V .3 S ABCD S

ABCD

3 a 3 a 4   . 2 a 3

a

6





AH



2

2

2

4

1 AH

1 2 SA

1 AO

6





.





  d E SBD ,



  d A SBD 3 ,



a 3 4

.

32 a

V



060 . Khối chóp có thể tích

Câu 37: Cho khối chóp tứ giác SABCD, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, ABCD là hình thoi cạnh a,

12

. Gọi E là điểm xác định bởi

 AC



2

a

3

a

3

3

4

. Tính khoảng cách từ E đến mặt phẳng (SBC) góc tại đỉnh A bằng  AE

A. 3a D. a B. C.

S

H

D

A

K

B

C

E

 AE

 AC

2



Hướng dẫn giải

+ nên AE=EC,   nên d(E,SBC)= d(A,SBC) = AH ( kẻ AK 1 d E SBC , d A SBC , ( ( ) )

EC AC vuông góc với BC, kẻ AH vuông góc với SK )

060 nên

3

a

2

2

2

3.

a

3

a

3

V 3

+) Tam giác ABD có AB=AD, góc A= tam giác ABD

S

S 2.



2.





ABCD

ABD

2

4

2

S

a  . 2

12 3

a

ABCD

2

a

3

a

3

đều , SA=





2

2

2

1 AH

1 SA

1 AK

a 2

2

4

a

3

+) Xét tam giác vuông SAK có với SA= , AK= ta được AH=

4

nên d(E,SBC)=

Câu 38: Tổng diện tích các mặt của khối lập phương là 150

3cm

3cm

2cm . Tính thể tích khối chóp đó? 3cm

3cm

A. 25 B. 75 D. 100 C. 125

Hướng dẫn giải

2

+) Gọi cạnh=a cm.

    cm

25

5

a

a

+) Diện tích 6 mặt = 6 2a =150

3cm

+) Thể tích V= 3a = 35 =125

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Câu 39: Đáy lớn của một khối hộp đứng là hình thoi cạnh a, góc nhọn

Đề thi thử nghiệm_2018 060 . Đường chéo lớn của đáy

a

a

a

3 3 2

3 2 3

3 6 2

33 a 2

bằng đường chéo nhỏ của khối hộp. Tính thể tích khối hộp?

B

A. B. C. D.

A

D

C’

Hướng dẫn giải: C

D’

a

3

+)Xét khối hộp đứng A’B’C’D’.ABCD có đáy lớn A’C’= đường chéo nhỏ B’D của khối hộp,

2

a

a

= 3a =B’D góc A’= 060 => tam giác A’B’D’ đều =>BD’=a, A’C’=2A’O=2.

2 3 4

2 3 2

2

2

2

(

a

3)



a



a

2

2 'B D BD

+) Diện tích A’B’C’D’=2. diện tích A’B’D’=2. =

2

3

a

3

a

6

a

2.



+) Xét tam giác B’D’D vuông tại D’ có DD’= =

2

2

+) V hộp= DD’. diện tích A’B’C’D’=

Câu 40: Một khối lăng trụ tam giác có các cạnh đáy bằng 6cm, 8cm,10 cm, cạnh bên bằng 14 cm, góc

030 . Tính thể tích khối đó?

giữa cạnh bên và mặt đáy bằng

3cm

3cm

3cm

3cm

A'

A. 112 B. 56 3 C. 112 3 D. 168

B'

H

A

C

B

Hướng dẫn giải C'

2cm

+) Xét lăng trụ A’B’C’.ABC có đáy ABC với AB=6cm, AC=8cm, BC=10 cm nên đáy ABC là tam giác vuông tại A có diện tích ABC=0,5.AB.AC=0,5.6.8=24

030 (góc tạo bởi giữa cạnh bên

+) Gọi H là hình chiếu của A’ trên (ABC)

030 =14.0,5=7cm

+) Xét tam giác A’AH vuông tại H có AA’= 14cm, góc A’AH= AA’ và (ABC), A’H= AA’.sin

3cm

+) Thể tích lăng trụ = A’H. diện tích ABC= 7.24=168

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Thể tích

045 ,lăng trụ có cạnh bên

2a . Góc góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng

045 . Tính thể tích khối đó.

Câu 41: Một khối lăng trụ tứ giác có đáy là một hình thoi cạnh a, góc nhọn

3a

32a

3 2 a 3

3 a 3 Lời giải:

2 a

2

S

2.

0 a a . .sin 45





A. B. C. D.

ABCD

1 2

2

+ Ta có:

DD H  '

a

' .sin

a 2 .

2

DH DD 



+ Gọi H là hình chiếu vuông góc của D lên (A’B’C’D’):  0 45

 2 DD H '  2

3 V a

Chiều cao:

+ Thể tích:

Chọn đáp án: B

A

B

D

C

B'

A'

H

C'

D'

AE

EB

3



Câu 42: Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V và điểm E trên cạnh AB sao cho . Tính thể

V 2

V 5

V 3 Lời giải:

AECD

V

V

V

V  



A. B. C. D. tích của khối tứ diện EBCD. V 4

AECD

EBCD

V V

3   4

3 4

1 4

ABCD

+ Ta có:

Chọn đáp án: B

29 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Đề thi thử nghiệm_2018

A

E

B

D

C

Câu 43: Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’.Đường thẳng đi qua trọng tâm của tam giác ABC song song với BC cắt AB tại D, cắt AC tại E. Mặt phẳng đi qua A’, D, E chia khối lăng trụ thành hai phần, tính tỉ số thể tích (số bé chia cho số lớn) của chúng.

4 23

4 9

4 27

2 3 Lời giải:

A. B. C. D.

.

 .sin BAC





ADE

ABC

S 

S 

V

V

V .







+Gọi thể tích khối lăng trụ là V

A ABC

' .

1 4 . 3 9

4 27

1 2 . 2 3 ',(ABC)



 d A

2 AB AC 3  d

4 9  (A'B'C'),(ABC)



    

+ Ta có:

4 23

A'

A'

A'

E

A

C

G

D

Suy ra: tỉ số thể tích:

B

Câu 44: Mặt phẳng đi qua các đỉnh A, B của khối hộp ABCD.A’B’C’D’ và đi qua trung điểm E của cạnh A’D’ chia khối hộp thành hai phần.Tính tỉ số thể tích (số bé chia cho số lớn) của chúng.

1 3

1 4

2 3

1 2 Lời giải:

A. B. C. D.

'C' F

B

 là trung điểm của B’C’

+ (ABE)

+Gọi V là thể tích khối hộp

30 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Thể tích

S



AA

'DD'

AA E '

S 

V

V





AA E BB F .

'

'

1 4

),(BB'F)

'DD'),(BB'C'C)

(

'





 d AA (



1 4  d AA E

    

+ Ta có:

1 3

Suy ra: Tỉ số thể tích:

A

D

B

C

A'

D'

E

B'

F

C'

ABCD A B C D có thể tích bằng V . Tính thể tích của khối tứ diện có các đỉnh

.

'

'

'

'

Chọn đáp án: B

'C và các trung điểm của các cạnh

AB B C C D . ',

,

'

'

'

Câu 45: Cho khối hộp là

V 24

V 12

V 6

V 8

C. A. . B. . D. .

Lời giải

A

D

M

C

B

D'

A'

P

B'

C'

N

C.

,M N P lần lượt là trung điểm của các cạnh

,

AB B C C D ' ',

,

'

'

h là chiều cao của hình hộp xuất phát từ đỉnh A  h cũng là chiều cao của tứ diện M NC P .

.

'

Chọn Gọi

S



C N C P .

'

'

.sin

 NC P '

C NP '

1 2

'.

C D '

'.sin

 NC P '



C B C D '.

'

'

'.sin

 NC P '



C B '

1 8

1 2

'

'

'

'

1 1 . 2 2 1 S 8 A B C D

Do

V



h S .



h . .

S



V

M NC P

.

'

C NP '

A B C D '

'

'

'

1 3

1 3

1 8

1 24

Vậy

31 | VD_VDC

Đề thi thử nghiệm_2018 Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18 Câu 46: Xét khối chóp tam giác đều cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng hai lần chiều cao tam giác đáy.

Tính thể tích của khối chóp.

3

2

2

2

31 a 2

31 a 6

31 a 4

A. . B. . C. . D. .

31 a 3 Lời giải

Chọn B.

S

C

A

O

I

B

a

3

Gọi hình chóp đều như hình vẽ bên.

AI 

2

a

3

. Đáy ABC là tam giác đều nên đường cao

SA



2

AI



2.



a

3

2

2

2

a

3

2

6

3

a

3

2

2

Cạnh bên bằng hai lần đường cao tam giác đáy nên

SO



SA



AO



a

3





AO



AI









2 3

a 2 3 2

3

3

a 3

   

   

2

3

6

a

3

a

2

Mà nên

V



SO S . .



.



S ABC

.

ABC

1 3

1 2 . 3

a 3

4

6

Vậy

060 . Tính

3

3

3

3

a

a

Câu 47: Xét khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng thể tích của khối chóp.

a 3

a 6

6

3

A. . B. . D. . C.

Lời giải

Chọn A.

S

A

D

60°

O

B

C

2

S

a

ABCD

ABCD

SO





 ABCD

ABCD là  060

Do Diện tích của mặt đáy  nên OC là hình chiếu của SC xuống mặt phẳng 



2

2

2

2

2

SCO  Khi đó góc giữa cạnh bên SC và mặt phẳng 

AC



AB



BC



a



a



a

2

  OC

AC a  2

2

Với

32 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Thể tích

a

2

a

6

0

0

tan 60



 

SO AC

tan 60



. 3



SO AC

2

2

3

a

6

a

6

2

Trong tam giác SOC vuông tại C :

V



SO S . .



a .

.



S ABCD

.

ABCD

1 3

2

6

1 3

Vậy

045 . .

3

3

a

Câu 48: Tính thể tích khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a , góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng

a

3 2

3 2 2

a 6

a 3

A. . B. . C. . D. .

Lời giải Chọn A.

S

A

D

45°

I

O

B

C

2

S

a

ABCD

Diện tích của mặt đáy

(1)

  CD

SOI









ABCD







Khi đó

SOI

SI

   (2) CD SI



SOI 

045

 Từ (1),(2) góc của mặt bên 

SCD và mặt đáy 



 ABCD là góc

Dựng OI CD  CD OI   CD SO SO   Mà

 

SOI

SOI 

045

 

OC OS



a 2

3

2

Tam giác SOI vuông tại O có vuông cân tại O

V



SO S . .



a .

.



S ABCD

.

ABCD

1 3

a 2

a 6

1 3

Vậy

060 .

a

a

a

a

Câu 49: Tính thể tích của khối chóp tứ giác đều có cạnh bằng a , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng

.

.

.

.

3 3 6

3 2 12

3 3 12

3 3 4

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn C.

33 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Đề thi thử nghiệm_2018

  

SO



ABCD

  AC BD O





SCO



060

Gọi

060 nên

a

3

0

0

CO SC

.cos 60

SO SC

.sin 60



Vì góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng

2

a  2

2

3

a

3

a

3



V



SO S .



.

.



.

S ABCD

.

ABCD

1 3

1 3

2

a 2

12

Ta có và AB  . a 2

'

'

ABCA B C có thể tích V và P là một điểm trên đường thẳng

'

.

' 'AA . Tính thể tích của khối chóp tứ giác

.

.

.

.

V 2

V 3

V 4

P BCC B '. V 2 3

Câu 50: Cho khối lăng trụ tam giác

A. B. D. C.

Hướng dẫn giải

V 2

'

'

V

V





Chọn A.

P BCC B

.

'

'

A BCC B

.

'

'

ABCA B C ' 3

V 2 3

Ta thấy

'

'

'

ABCA B C và P thuộc cạnh

'AA , điểm Q thuộc cạnh

'BB , điểm

Câu 51: Cho khối lăng trụ tam giác

'CC sao cho

R thuộc cạnh

' . Thể tích khối lăng trụ đó bằng V , hãy tính thể tích PA QB  QB PA '

R ABQP .

.

.

.

.

.

V 2

V 3

V 2 3

V 3 4

khối chóp

B. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Thể tích

AB

 '

 A B M

'





Gọi



S



S



V



V



' Do PQ  đi qua M PA QB  QB PA '

ABQP

ABB A

'

'

R ABQP

.

C ABB A

.

'

'

1 2

V 3

( theo bài 49)

'

'

'

'

ABCDA B C D cạnh a . Xét khối tứ giác đỉnh A , đáy là tứ giác có 'AA . Tính thể tích của

'AA hay chứa

Câu 52: Cho khối lập phương

đỉnh là các tâm của các mặt của khối đó song song với khối chóp đó

a .

a .

a .

3 a .

31 3

31 4

31 6

1 12

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

,

,

,

',

',

',

'

'

'

'

Chọn D.

M N P Q lần lượt là tâm của mặt

ABB A BCC B DCC D ADD A '

'',

'',

'',

''

',

',

',

A B C D lần lượt là trung điểm của

AA BB CC DD '

2

Gọi

MNPQ

/ /





 ABCD và

MNPQ

A B C D ''

''

''

''

2

3

S  Dễ thấy  1 S 2 a 2

 d A MNPQ S ) .



A MNPQ

.

MNPQ













.

D ABC D .

.

ABCD A B C D cạnh a . Tính thể tích khối chóp tứ giác

 V  , (  .  . 1 3 a a 1 . 3 2 2 a 12

3

a

a

3 2 6

3 2 3

Câu 53: Cho khối lập phương 3 A. . B. . C. . D. . a 4 a 3 Lời giải

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Đề thi thử nghiệm_2018

3

Chọn B

V

V

V



















'

'

'















 ADD BCC .

D ABC D

C BCD

 .

.

 ABCD A B C D . 2

 ABCD A B C D . 6

BCD B C D . 3

V Ta có V V V    . a 3

 ABCD A B C D . 2 Câu 54: Diện tích toàn phần của một khối hộp chữ nhật là S , đáy của nó là một hình vuông cạnh a .

Tính thể tích của khối hộp đó.

 a S

22 a

 a S

22 a





3 a .

32 a .

aS 4

aS 4

2

  . A. B. C. . D. 2 2 Lời giải Chọn A

2

2

a S Ta có S  2 a    ah 4 h , với h là chiều cao khối hộp.  4 2 a

 a S

2

2

ABCD

 2 a a S Từ đó . V S  h .  a .   4 2 a 4 Câu 55: Cho một khối chóp tam giác có ba góc phẳng vuông tại đỉnh, có thể tích V và hai cạnh bên

bằng a , b . Tính cạnh bên thứ ba của khối chóp đó.

3V ab

4V ab

5V ab

6V ab

A. . B. . C. . D. .

Lời giải Chọn D

Chuyên đề_Thể tích

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18 AC b .

AB a ,

Giả sử khối chóp đã cho là ABCD với AB , AC , AD đôi một vuông góc và

V



S

.

AB

b AD a . .



AD  

ACD

1 3





1 6 .S ABC

6 V ab SA AB c ,

AC b , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và

Khi đó .

2

2

bc

. Tính thể tích khối chóp đó.

2 3 6

2

A. . B. . C. . D. . Câu 56: Khối chóp tam giác  30 BAC  2 3 bc 12 bc 6 bc 12 Lời giải Chọn D

V



S

SA .



AB AC .

.sin

 BAC SA .

ABC

1 3

1 1 . 3 2







ABC A B C . Mặt phẳng đi qua

C và các trung điểm của

AA ,

BB

. chia khối lăng trụ thành hai phần, tính tỉ số thể tích của chúng.

 . bc 12 Câu 57: Xét khối lăng trụ tam giác

1 3

2 3

1 2

A. . B. . C. 1. D. .

AA ,

BB ,

CC .

V

V

V





Lời giải Chọn D













DEF A B C .

 C A B EF

 .

ABC A B C .

'

1 3

Ta có .

V

V









 C A B EF

ABCC DE

.

Suy ra . Gọi D , E , F lần lượt là trung điểm 2 3 1 2



'.

'

'

ABC A B C Mặt phẳng đi qua C và các trung điểm của AA , BB

. chia khối lăng trụ thành hai phần, tính tỉ số thể tích của chúng.

Câu 58: Xét khối lăng trụ tam giác

2 3

1 3

1 2

A. . B. . D. . C. 1.

Hướng dẫn giải

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Đề thi thử nghiệm_2018

A

C

B

M

N

C'

A'

B'

Chọn D

 ,V là thể tích khối

ABC A B C Ta có: '

'.

.

'

,M N lần lượt là trung điểm AA , BB





V

Gọi

'.AB '

B A

'

C MNB A

'.

'

'

1 V 2 C

V 1 2 . 2 3

1 3

1 2

V 2 3





V = , suy ra khối còn lại có thể tích và tỉ số bằng .

ABCD A B C .

 có thể tích V . Tính thể tích khối chóp

A

Câu 59: Cho khối hộp .

V 2 5

 .BB D D V 6

 D V 3

V 3 8

A. B. . C. . . D.

Hướng dẫn giải

D

A

C

B

D'

A'

C'

B'

V



V



V



V

ABB D D '

'

ABD

A'B'D'

2 3

2 1 . 3 2

1 3





D

Chọn B

 có thể tích V . Gọi E là trung điểm của A B

 , F là trung điểm

ABCD A B C .  , Tính thể tích khối tứ diện

Câu 60: Cho khối hộp

BD

EF

.

V 5

V 8

V 10

A. B. . C. . D. . của B C V 6 Hướng dẫn giải

Chọn B

38 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Thể tích

D

A

C

B

D'

A'

E

C'

F

B'

S



S

;

S



S



S

   

(1

S

)

A D E '

'

D C '

'F

A B '

'C'D'

BEF

A B '

'C'D'

S nên DEF

'

'C'D'

1 4

1 8

1 1 1 4 4 8 A B

V

V



V

Ta có: .

 

1 3 . 3 8

1 8

. Do đó: BD EF

ABCD A B C .

 có thể tích V . Mặt phẳng đi qua các đỉnh A , qua các trung  tại

  D  và C D

 tại E, cắt đường thẳng A D

 cắt đường thẳng A B

Câu 61: Cho khối hộp

EF

.

V 3

V 3 8

V 3 4

A. B. . C. . D. . điểm của các cạnh B C AA F .Tính thể tích khối tứ diện V 2 3

Hướng dẫn giải

D

A

B

C

F

D'

A'

N

B'

C'

M

E

S





S



S

V



V

Chọn D

B EM '

S C MN '

D NF '

A B '

'C'D'

S nên A'

EF

A B '

'C'D'

AAV

  EF

1 9 . 3 8

3 8

1 8

9 S 8

. Do đó: .

ABC A B C . Điểm P thuộc đoạn

.

'

'

'

'BB sao cho mặt phẳng đi qua ,A P song song với BC chia khối lăng trụ thành hai phần có thể tích bằng nhau. Tính tỉ số

Câu 62: Cho khối lăng trụ tam giác

.

C'

A'

C.

PB PB ' A. 3. 6 .

B. 2 . D. 4 .

H

Hướng dẫn giải

B'

A.

P

Chọn Ta tính tỉ lệ

A

C

39 | VD_VDC

B

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Đề thi thử nghiệm_2018

V

V

P ABC

.

V





P ABC

.

1   2

PHABC 2

LTru 4

V V

S .



d .

S .



d

(

P ABC

,(

))

ABC

(

B ABC

',(

))

ABC

1 4

PHABC 1 3 d

(

P ABC

,(

))





d

3 4

(

B ABC

',(

))

 3

PB B B '

3   4

PB PB

'

Suy ra

.

'

'

'

'

ABCD A B C D . Mặt phẳng đi qua đỉnh D , điểm Q thuộc cạnh

'AA , điểm

'CC sao cho

R thuộc cạnh

 chia khối lập phương thành hai phần, tính tỉ số

3



,

QA QA '

1 3

RC RC

'

Câu 63: Xét khối hộp

thể tích của chúng.

1 3

A. . B. .

1 4 1 2

C. . D. 1 .

Hướng dẫn giải

Chọn D.

,



 3

1 3

RC RC

'

'DQB R

QA QA ' + Suy ra QR đi qua tâm O của khối hộp là trung điểm AC. Nên thiết diện tạo bởi mặt phẳng 

DQR và hình hộp là tứ giác

+ Ta có tỉ lệ

S

S

DQR chia khối hộp thành 2 phần có thể tích

AQRC

C RQA

'

'

+ Tính được nên mặt phẳng 

bằng nhau. Suy ra tỉ lệ là 1

.

'

'

'

ABC A B C có thể tích bằng V . Xét điểm P thuộc đoạn

'BB

Câu 64: Cho khối lăng trụ tam giác

'CC sao cho

 , điểm Q thuộc đoạn

 . Tính thể tích của khối chóp tứ

QC CC

'

1 4

sao cho

PB 1 BB ' 2 .A BCQP .

giác

V 2 9

V 5

V 6

V 4

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

Chọn

BCQP

S

1  3

BCC B

'

'

A. S + Tính được

ra

A BCQP

.

V



V .



V

A BCQP

.

A BCC B

.

'

'

ABC A B C .

'

'

'

V

1   3

1 3

1 2 . 3 3

A BCC B

.

'

'

+Suy V

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Thể tích

V



A BCQP

.

V 2 9

+ Hay là

Câu 65: Cho khối hộp H có thể tích V . Xét tất cả các khối tứ diện có cả 4 đỉnh là đỉnh của H và có ít nhất một cạnh là cạnh của H (do đó có một mặt nào đó của khối tứ diện phải nằm trong một mặt của khối hộp). Chọn câu đúng:

A. Tất cả các khối tứ diện đó có thể tích bằng .

V 3 V 6

B. Tất cả các khối tứ diện đó có thể tích bằng .

V 6

V 3

C. Có khối tứ diện đó có thể tích bằng , có khối tứ diện đó có thể tích bằng .

V 3

D. Không có khối tứ diện đó có thể tích bằng và không có khối tứ diện đó có thể tích bằng

V 6

.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

S

1 S 2 MatHop

+ Vì một mặt nằm trong một mặt của khối hộp nên chọn nó làm đáy và

V



h S . .



V .

Tudien

hop

1 3

1 6

+ Suy ra

Câu 66: Cho khối hộp H có thể tích V . Xét tất cả các khối tứ diện có cả 4 đỉnh là đỉnh của H nhưng không có cạnh nào là cạnh của H , tức là 6 cạnh của tứ diện là 6 đường chéo của 6 mặt của khối hộp. Khẳng định nào sau đây đúng:

V 3

A. Tất cả các khối tứ diện có thể tích bằng .

V 6

B. Tất cả các khối tứ diện đó có thể tích bằng .

V 3

V 6

C. Có khối tứ diện có thể tích bằng , có khối tứ diện có thể tích bằng .

V 6

D. Không có khối tứ diện nào có thể tích bằng và không có khối nào có thể tích bằng .

V 3 Lời giải

Chọn A.

41 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Đề thi thử nghiệm_2018

D'

C'

B'

A'

D

C

A

B

  V

4.

V



ACB D

'

'

BB

'AC

DD'AC

A

'AB'D'

C CB D

'

'

'

1 6

V 2 3

. V   V V  V  V  V

Câu 67: Cho khối hộp H có thể tích V . Xét tất cả các khối chóp tứ giác có đỉnh của chóp và các đỉnh của mặt đáy đều là đỉnh của hộp. Khẳng định nào sau đây đúng:

V 3

A. Tất cả các khối chóp có thể tích bằng .

V 6

B. Tất cả các khối chóp đó có thể tích bằng .

V 3

V 6

C. Có khối chóp có thể tích bằng , có khối chóp có thể tích bằng .

V 3

V 6

D. Không có khối chóp nào có thể tích bằng và không có khối nào có thể tích bằng .

Lời giải

Chọn A.

D'

C'

B'

A'

D

C

A

B

V



V



V



V



V



V

.

V

A ABCD

'.

A B

' DD '

B

'

ABD A B D .

'

'

'

A ABD

'

1 6

1 2

1 3

1 V 3

+ ;

Câu 68: Cho khối lăng trụ tam giác H có thể tích V . Xét tất cả các khối chóp tứ giác có đỉnh của chóp và các đỉnh của mặt đáy đều là đỉnh của H . Khẳng định nào sau đây đúng:

V 3

A. Tất cả các khối chóp có thể tích bằng .

V 2 3

. B. Tất cả các khối chóp đó có thể tích bằng

V 3

V 2 3

C. Có khối chóp có thể tích bằng , có khối chóp có thể tích bằng .

42 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Thể tích

V 2 3

V 3

D. Không có khối chóp nào có thể tích bằng và không có khối nào có thể tích bằng .

Lời giải

Chọn B.

A'

C'

B'

A

C

B

V

 

V V

  V

V



A BCC B

'.

'

'

A ABC

'

1 3

V 2 3

.

P Q R lần lượt thuộc cạch

,

,

AB BC BD sao ,

,

Câu 69: Cho tứ diện ABCD có thể tích V . Xét các điểm

 , 3

 , 2

 . Tính thể tích của khối tứ diện BPQR theo V .

4

PA PB

RB RD

QB QC

cho

V



V



V



V



BPQR

BPQR

BPQR

BPQR

V 5

V 4

V 3

V 6

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A.

A

P

R

B

D

Q

C

BPQR



.

.

V



BPQR

1 3 4 3 4 5

1  5

V 5

ABCD

V .  . . V BP BQ BR BA BC BD

.S ABCD . Mặt phẳng chứa đường thẳng AB , đi qua điểm

'C của

Câu 70: Xét khối chóp tứ giác đều

'SC SC

. cạnh SC chia khối chóp thành 2 phần có thể tích bằng nhau. Tính tỉ số

.

.

.

.

1 2

2 3

4 5

 5 1 2

A. B. C. D.

43 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Đề thi thử nghiệm_2018

Lời giải

ABCD của hình chóp tứ giác đều

.S ABCD .

Chọn C



'AC .

SAC , gọi I là giao điểm của SO và

Gọi O là tâm mặt đáy 



'D là giao điểm của BI và SD .

Trong 

 SBD , gọi



ABC

'



ABC D

'

'

Trong 









.

'SC SC

'

'

CD C D / /

'

'





Tính :

 . k

SC SC

SD SD

Ta có

2 k V .

S ABCD

.

S ABCD

.

2 k V .

'

.

'

'

.

S AC D

.

'

'

.

S ACD

.

S ABC V

S ABC V

S ABCD

.

S ABCD

.

S ABCD

.

S ABCD

.

2

k V .  V  V k V .  1 2 1 2    V S ABC D V V 1  . 2

k

k

1   2

1 2

1   2



l ( )

  k    k 

 5 1 2  5 1 2

.

.

.

.

.

Câu 71: Gọi G là trọng tâm của một tứ diện cho trước. Mặt phẳng đi qua G song song với một mặt của tứ diện chia khối tứ diện thành hai phần. Tính thể số thể tích (số lớn chia số bé) của chúng.

3 2

35 25

37 27

4 3

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn C

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Thể tích

.A BCD .

Gọi M là trung điểm của AB , N là trung điểm của CD .

G là trung điểm của MN





 d G BCD ;



 d M BCD ;



 

 

 

 . 

1 2





M là trung điểm của AB

 d M BCD ;



 d A BCD ;



 

 

 

 . 

1 2





 d G BCD ;



 d A BCD ;



 

 

 

 . 

1 4

'

'

'

BCD .

 Trung điểm G của MN chính là trọng tâm của tứ diện

B C D qua G và song song 





'

'

'







1

AB AB

AC AC

AD AD

1    . 4

3 4

Vẽ mặt phẳng 



V



.

.

V .



AB C D '

'

'

ABCD

3 3 3 4 4 4

27 64

V

'

.



V

V







B C D BCD '.

'

'

ABCD

37 64

' B C D BCD '. V

37 27

AB C D '

'

'

2a

.

a

a

a

a

Câu 72: Một khối chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng . Tính thể tích của khối đó.

3 7 6

3 7 12

3 5 12

3 5 4

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Đề thi thử nghiệm_2018

a

3

a

3

a

3

AH 

AO 

.



2

2 3

3

2

2

.

2

2

2

a

a SO  SA  AO  2 a   . a 3 9 15 3

S



ABC

2 3 4

2

3

a

3

a

a

.

V





ABCD

1 3

4

15 3

15 3

.

3

3

h

h

Câu 73: Cho khối chóp tam giác đều có chiều cao h và cạnh bên 2h . Tính thể tích của khối đó.

33 h 4

39 h 4

3 3 12

3 3 4

B. C. D. A.

Lời giải

2

2

2

Chọn B

AO



2 SA



SO



4

h



h



h 3

  AB

h 3



AH



h . 3



3 2

h 3 3 2

2

2

9

h

3

3

.

S





ABC

AB 4

4

.

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Thể tích

2

3

h

3

h 3

3

V



h .



1 9 . 3

4

.

4 Câu 74: Cho khối chóp

,a góc giữa mặt

.S ABC có SA vuông góc với đáy, SBC là tam giác đều cạnh

(

SBC với đáy là

. Tính thể tích của khối chóp.

3

2

sin 2

sin 2

a

cos

cos 2









31 a 8

1 10

31 a 8

) 31 a 16

A. B. C. D.

S

H

C

A

I

B

Hướng dẫn giải

Đáp án A

.SI

trên Gọi I là trung điểm của BC và H là hình chiếu vuông góc của A

)



(

SBC

)

  SH

(

SBC

).

a

SAI Do (

2 3 4

SBC

) & (

ABC

)

là Diện tích tam giác SBC

Góc giữa ( là góc  . SIA 

Ta có

2

2

2

2

2

2

2

2

2

a

a

3



AH SI  

.sin .cos





.sin 2





.sin 2

3 1 . 2

2

4



2

3

a

3

a

3

a



V



AH S .



.

.sin 2





      SA SI   SI AI .sin .cos   1 AH 1 AI 1 AS 1 .cos SI 1 .sin  SI  SI .cos 1 2   .sin   

SBC

1 3

1 3

4

4

.sin 2 16

nên

,b góc giữa cạnh bên và mặt đáy

,a cạnh bên

Câu 75: Một khối lăng trụ có đáy là tam giác đều cạnh

060 . Tính thể tích của khối lăng trụ đó.

3

bằng

2 a b 8

23 a b 8

2 a b 4

2 a b 8

A. B. C. D.

47 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Đề thi thử nghiệm_2018

A'

C'

B'

A

C

H

B

Hướng dẫn giải

)

Đáp án C

ABC thì góc giữa cạnh bên và đáy là

'A lên (

là hình chiếu vuông góc của

a

Gọi H  0 A AH  60 . '

2 3 4

0

 A H A A

'

'

.sin 60



b

.

là Diện tích tam giác ABC

3 3

2

a

3

b

3

V



A H S ' .



.



ABC

2

4

2 a b 3 8

ĐƯờng cao

a

a

a

a

Câu 76: Các trung điểm của các cạnh của một tứ diện đều cạnh a là các đỉnh của một khối đa diện đều. Tính thể tích của khối đó.

3 3 12

3 2 12

3 2 24

3 3 16

A. B. C. D.

A

N

M

R

B

D

S

Q

P

C

Hướng dẫn giải

.

Đáp án D

a 2

Dễ dàng nhận thấy khối đa diện tạo thành là một bát diện đều có cạnh bằng

48 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Thể tích

a

3 3 2

3

3

a

3

a 2

  

V





Ta đã biết thể tích của khối bát diện đều cạnh a là

a 2

3    2

16

Do đó, thể tích khối bát điện đều cạnh là

ABCD A B C D Mặt phẳng đi qua '.

.

'

'

'

C B C D ' '& '

'

,A trung điểm của các cạnh

A A B C D thành 2 phần. Tính tỉ số(số lớn chia số bé) của thể tích 2 phần đó.

.

'

'

Câu 77: Cho khối hộp

chia khối chóp A. 5

' ' B. 3

C. 7 D. 8

B

C

A

D

I

B'

C'

J

A'

D'

Hướng dẫn giải

Đáp án C

A A B C D thành 2 khối đa diện đều có chung nhau

.

'

'

'

'

,A I J chia

,

Ta thấy mặt phẳng đi qua

.A Do diện tích của tam giác

S



S



V



V

JIC

'

A B C D '

'

'

'

A

. JIC'

A A B C D '

.

'

'

'

1 8

1 8

đường cao kẻ từ

Do đó, tỉ số thể tích 2 khối là 7.

.S ABCD . Mặt phẳng đi qua A , trung điểm F của cạnh SC và song

Câu 78: Xét khối chóp tứ giác đều

D. C. . . B. 2 . A. 1. song với BC chia khối chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích giữa chúng. 4 3

3 2 Lời giải

S

F

E

C

D

O

B

A

Chọn?

49 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Đề thi thử nghiệm_2018

)P là mặt phẳng đi qua A , trung điểm F của cạnh SC và song song với BC .

Gọi (

)P cắt SB tại E là trung điểm của SB .

 (

)P là hình thang ADFE .

S AEF

.

Khi đó thiết diện của hình chóp cắt bởi (



.

.

V



V



V

S AEF

.

S ABC

.

S ABCD

.

V V

SA SE SF SA SB SC

1   4

1 4

1 8

S ABC

.

S ADF

.



.

.

V



V



V

S ADF

.

S ADC

.

S ABCD

.

V V

SA SD SF SA SD SC

1   2

1 2

1 4

S ADC

.



V



V



V





V



V

S ADFE

.

S AEF

.

S ADF

.

S ABCD

.

S ABCD

.

1 8

1 4

3 8

  

  

Ta có .

)P là

5 3

.  Tỉ số thể tích giữa hai phần của khối chóp chia bởi (

)//P BD thì tỉ số giữa hai phần đó là 2 .





Nếu (

 chia khối

 ABCD A B C D .

 . Mặt phẳng A và trung điểm của các cạnh

,BB DD

Câu 79: Cho khối hộp

hộp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích giữa chúng.

4 3

. C. D. . A. 2 . B. 1.

3 2 Lời giải

C

D

A

B

N

M

D'

C'

B'

A'

Chọn B

AMN đi qua C .

,M N lần lượt là trung điểm của các cạnh

,BB DD

 . Khi đó 



AMC N

Gọi



AMC N

đi qua tâm O của khối hộp.  Mặt phẳng 









 ABCD A B C D .

chia khối hộp thành hai phần bằng nhau.  Mặt phẳng 

 và E là điểm thuộc cạnh BB sao cho

BE



BB 4

Câu 80: Cho khối hộp , điểm F

DE



DD

,A E F chia khối hộp thành hai

,

3 4

. Mặt phẳng đi qua thuộc cạnh DD sao cho

phần, tính tỉ số thể tích của hai phần đó.

50 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Thể tích

4 3

. C. D. . A. 2 . B. 1.

3 2 Lời giải

C

D

A

B

E

F

D'

C'

B'

A'



Chọn B.

 

BE D F

 D F



DD

1 4

Theo giả thiết, ta có

AEC F

là hình bình hành.  Tứ giác AEC F



đi qua tâm O của khối hộp.  Mặt phẳng 

,A E F chia khối hộp thành hai phần có thể tích bằng nhau.

,





 ABCD A B C D .

 . Nền là hình chữ nhật ABCD có , chắp thêm một khối trụ tam giác đều mà một mặt bên

m  3

AA

m BC 3 ,  

 AB  là A B C D

 Mặt phẳng đi qua

3

3

3

Câu 81: Một nhà kho có dạng khối hộp chữ nhật  m 6  và A B

54m .

3 m .

m



3

4



3

m







27 2

9 2

27 3 2

D. C. B. . . A. , chiều cao  là một cạnh đáy của lăng trụ. Tính thể tích của nhà kho.  12

Lời giải

E

F

B'

C'

A'

D'

C

B

A

D





 . ABB EA DCC FD

BC

m 6

 có chiều cao

Chọn B.

, Theo giả thiết, nhà kho có dạng khối lăng trụ đứng  . đáy là ngũ giác ABB EA

51 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Đề thi thử nghiệm_2018

2

2



S



S



S



 . AA AB



 A B



3.3



2 .3



m



  ABB EA

 ABB A

  A B E

3 4

3 4

3 4

 9 1   

   

3

Ta có

V



AD S .



6.9. 1





4



3

m

  ABB EA





3 4

27 2

   

   

 Nhà kho có thể tích

52 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Tỉ số thể tích

NHÓM GIẢI VẬN DỤNG CAO CHUYÊN ĐỀ TỈ SỐ THỂ TÍCH - NĂM HỌC 2017-2018

VTED_2019 MÔN: TOÁN 12



Thời gian làm bài 90 phút

SC

a và 2

SC

(

ABC

).

2.

,SA SB lần lượt tại

.D E ,

) qua C và vuông góc với

,SA (

) cắt

Câu 1: Cho hình chóp SABC có Đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và

AB a Tính thể tích khối chóp

Mặt phẳng (

SCDE . 38 a 27

32 a 9

34 a 9

316 a 27



B. C. D. A.

SC

a và 2

SC

(

ABC

).

,SA SB lần lượt tại

.D E ,

2.

Câu 2: Cho hình chóp SABC có Đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và

,SA (

) cắt

AB a Tính thể tích khối chóp

Mặt phẳng (

) qua C và vuông góc với ABCDE . 38 a 27

32 a 9

34 a 9

319 a 27

C. B. D. A.

SA

2 ,

ABCD

,

,

)P qua A vuông góc với SC và cắt

a và  2 a SA ). ( H K J Tính thể tích SB SC SD lần lượt tại . ,

,

SAHKJ .

Câu 3: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh

38 a 27

38 a 9

34 a 9

A. B. C. D. Mặt phẳng ( khối chóp 34 a 27

,

,

,

,

M N P Q lần lượt là trọng tâm của các tam giác

.S ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi với O là giao điểm của AC và BD . Gọi ,V V lần lượt

2

Câu 4: Cho hình chóp ,

.S ABCD và

.O MNPQ . Khi đó tỷ số

SAB SBC SCD SDA . Gọi 1 , V 1 V 2

là thể tích của các khối chóp là?

27 4

27 2

B. . C. . D. 9 . A. 8 .

,M N lần lượt thuộc các

',

BB CC sao cho '

có thể tích V . Các điểm

.A BMNC là?

,

 . Thể tích của khối chóp



. ABC A B ' NC CC

'

'C' 1 4

cạnh Câu 5: Cho khối lăng trụ tam giác MB BB '

.

.

.

.

1 2 V 3 8

V 6

V 4

V 3

.

'

'

'

B. C. D. A.

ABC A B C . Mặt phẳng qua điểm A và điểm P thuộc cạnh

'BB đồng thời song song cạnh BC , chia khối lăng trụ thành hai khối đa diện có thể tích bằng nhau.

Câu 6: Cho khối lăng trụ tam giác

PB PB

'

Tính tỉ số

'

'

C. 6 . A. 3 . D. 4 B. 2 .

'AA , điểm R thuộc

ABCD A B C D . Mặt phẳng qua D , điểm Q thuộc cạnh

Câu 7: Cho khối hộp

'CC sao cho

 chia khối hộp thành hai phần. Tính thể tích của phần

3

' RC RC

'

1  , 3

cạnh

. ' QA QA ' DABC .

chứa mặt đáy 

V 4

V 3

V 2 3

V 2

A. . B. . C. . D. .

.S ABCD có thể tích V với đáy ABCD là hình bình hành. Mặt phẳng qua

A M P cắt cạnh SC tại N với

,

,

,M P là các điểm thuộc SB , SD sao cho

SM SB

1  , 2

SP SD

2  . 3

Câu 8: Cho hình chóp

ABCD MNP . .

Tính thể tích khối đa diện

1 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Tài liệu Vted_2018

V .

V .

V .

V .

14 15

23 30

7 30

1 15

'

'

A. B. C. D.

ABCD A B C D có thể tích V . Các điểm

,M N P trên các cạnh

,

AA BB CC sao cho

',

',

'

,M N P cắt

,

 . Mặt phẳng 

 qua ba điểm

' BN BB

1  , 2

1  , 3

CP CC

'

2 3

' . AM ' AA ' 'DD tại Q . Tính thể tích của khối đa diện

ABCD MNPQ . .

Câu 9: Cho hình hộp

V .

V .

V .

V .

7 8

11 12

5 12







A. B. C. D. cạnh 7 12



x





y

z

Câu 10: Cho hình hộp

BB , CC sao cho

 qua ba điểm M , N , P cắt

. ABCD A B C D AM  AA

 có thể tích V . Các điểm M , N , P , Q trên các cạnh AA , BN  BB

CP  CC



t

, , . Mặt phẳng 

ABCD MNPQ . .

y

3

x

3

x

  

y

z

t

DQ  DD     t z







. Tính thể tích của khối đa diện cạnh DD tại Q sao cho

V

V



V



V

ABCD MNPQ .

ABCD MNPQ .

y

x

4 z

x

y

t

t



V

V

V

V



. A. B. .

ABCD MNPQ .

ABCD MNPQ .

   8

C. D. . .







ABCD A B C D .

AC

 

4

a

 có

8    z 4  ,   120  A AD A AB các cạnh của khối hộp bằng nhau. Tính thể tích V của khối hộp đã cho.

3

3

V

V



a

 và  60 BAD   Câu 11: Cho khối hộp  . Biết tất cả

V

a 16

V



332 a

38 a 3

32 3







 ADD A

ABCD A B C D .

A. . B. . C. . D. .



A BD

 ABB A



,



3

a

a

3

, 

D. A. C. B. . . . .

 có ABD là tam giác đều cạnh a . Các mặt phẳng  Câu 12: Cho khối hộp  cùng tạo với mặt phẳng đáy góc 60 và hình chiếu vuông góc của A lên mặt đáy nằm khác phía với điểm A so với đường thẳng BD . Tính thể tích của khối hộp đã cho. 33 a 4

3 3 12

33 a 2

3 3 4

.S ABCD có thể tích V và đáy ABCD là hình bình hành. Mặt phẳng qua A và , PM . Tính thể tích nhỏ nhất của khối chóp

,SB SD lần lượt tại

Câu 13: Cho hình chóp

trung điểm N cạnh SC cắt .S AMNP

V 8

V 3 8

V 4

V 3



A. B. C. D.

 có thể tích V . Mặt phẳng qua

Câu 14: Cho khối hộp

,A M là trung điểm cạnh CC ABCD PMQ .

cắt các cạnh

  . ABCD A B C D  lần lượt tại ,BB DD V 2

,P Q . Tính thể tích của khối đa diện V 4

V 8





A. không đủ dữ kiện B. C. D.

 . Mặt phẳng 

 nhỏ nhất. Gọi

Câu 15: Cho hình chóp ASB BSC CSA 

.S ABC có    30  ,SB SC lần lượt tại

A cắt hai cạnh

P qua ,V V 2

1



 và SA SB SC a  sao cho chu vi tam giác AB C  ,B C

,

.S A B C

.S ABC . Tính thể tích

V 1 V 2









lần lượt là thể tích các khối chóp



 3 3 5

 

4 2 3

3 3 5 2

3 3 2 2

V 1 V 2

V 1 V 2

V 1 V 2

V 1 V 2

A. B. C. D.

2 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Tỉ số thể tích

0

0 30 ,

ASB

60







 . Mặt phẳng ( '

'

)P AB C nhỏ nhất.

Câu 16: Cho hình chóp

.S ABC có    BSC CSA   ',

,SB SC lần lượt tại

'

qua A cắt hai cạnh và SA SB SC a B C sao cho chu vi của tam giác

S AB C S ABC . Tính tỉ số:

',

.

.

'

2

V 1 V 2





,V V lần lượt là thể tích các khối chóp . Gọi 1



.



.



 3 3 5.

 

4 2 3.

3 3 5 2

3 3 2 2

V 1 V 2

V 1 V 2

V 1 V 2

V 1 V 2

A. B. C. D.

,M N P lần lượt thuộc các cạnh

,

,AB AC và

BD thỏa mãn



,



.

Câu 17: Cho tứ diện ABCD có thể tích là V . Các điểm

MNP .

1 2

2 3

AN BP AM  AC BD AB Tính thể tích khối tứ diện AMNS .

Gọi S là giao điểm của AD và mặt phẳng 

V

.

V.

.

2 3

V 3

3 4

V 4





A. B. C. D.

.S ABC có

2 10

AB

SC

SB

SA

6,

4,

2,







Câu 18: Cho khối chóp và góc  90 SBC  ,  120  ASC

S BMN

.

Mặt phẳng  .  P đi qua B và trung điểm N của cạnh SC đồng thời vuông góc với mặt phẳng

SAC cắt SA tại M . Tính tỉ số thể tích





V V

S ABC

.

.

2 9

2 5

1 4

1 6

A. . B. . D. . C. .

.S ABC có

Câu 19: Cho hình chóp

.S AMN và

.A BCNM . Tính tỉ số

.

2V là thể tích khối chóp

,M N lần lượt là trung điểm các cạnh ,SB SC . Gọi 1V là thể tích khối V 1 V 2

chóp



4.

 3.



.



.

1 3

1 4

V 1 V 2

V 1 V 2

V 1 V 2

V 1 V 2

A. B. C. D.

,H K lần lượt là hình chiếu của A lên

,SB SC . Gọi

Câu 20: Cho hình chóp

.S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt  ABC . Gọi 1V là thể tích khối

phẳng đáy 

.S AHK và

.A BCKH . Biết



2V là thể tích khối chóp

81 19

V 1 V 2

chóp . Tính thể tích V của khối

. a

a

3

a

chóp

V 

V 

V 

V 

. S ABC 3 3 4

3 3 6

33 a 4

3 3 2

A. B. C. D.

.S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 1, mặt bên SAB là tam giác cân SAB . Goi H là hình chiếu



S AHB

.

.

Câu 21: Cho hình chóp

S ABC .



16 19

S ABC

.

. Tính thể tích V của khối chóp vuông góc của A lên SC . Biết tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy  V V

V 

V 

V 

V 

3 12

3 6

3 4

3 2

A. B. C. D.

.S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích bằng V . Gọi

,M N P

,

Câu 22: Cho hình chóp

SA SB SC sao cho

,

,

)MNP cắt

 . Mặt phẳng (



;



;

SM SA

SN SB

2 3

SP SC

1 3

1 2 ABCD MNPQ .

V .

V .

V .

V .

lần lượt là các điểm trên

SD tại Q .Tính thể tích khối đa diện A. 5 63

B. 10 63 C. 53 63 D. 58 63

3 | VD_VDC

Tài liệu Vted_2018 .S ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi. Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho

) song song với mặt phẳng (

ABCD và đi qua M chia khối chóp

)



3 4

3

. Mặt phẳng (

3

3

3

3

100 dm thì thể tích khối đa

A. C. B. D.

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18 Câu 23: Cho hình chóp SM SA thành hai khối đa diện. nếu thể tích khối đa diện chứa đỉnh A là diệncòn lại là? dm . )

dm . )

dm . )

(

(

(

dm . )

(

324 7

2700 37

3700 37

2025 64

.S ABCD có đáy là hình chữ nhật,

, SB SC SD lần lượt tại

Câu 24: Cho hình chóp

AD a  ,

3, ,

,

 AB a ) đi qua A vuông góc với SC cắt .S AMNP

3

SA vuông góc với đáy và ,M N P .Tính

SA a . Mặt phẳng ( thể tích khối đa diện a .

33 a . 40

33 a . 10

33 a . 30

3 3 40

B. C. D. A.

V . Tìm k .

Câu 25: Cho khối chóp S.ABCD có thể tích V và có đáy là hình bình hành. Điểm S' thỏa mãn k 0 . Biết thể tích phần chung của hai khối chóp S.ABCD và S' .ABCD là

  SS' = k DC  7 25 A.

9k

6k

11k

4k

. B. . C. . D. .

Câu 26: Khối hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cả các mặt là hình thoi cạnh a , các góc xuất phát từ đỉnh A

đều bằng

V



V



V



V



060 . Tính thể tích V của khối hộp đã cho. 32 a 3

33 a 6

32 a 2

32 a 6

A. C. B. . . D. .

, BAD

 '

V

V

V

V









32 a 6

33 a 6

D. A. C. B. . . . Câu 27: Khối hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cả các mặt là hình thoi cạnh a , các góc  060 . Tính thể tích V của khối hộp đã cho. 32 a 2   0 ' A AB A AD  120 32 a 3

)P qua A và vuông góc với SC

Câu 28: [2H1-3] Cho hình chóp tứ giác đều

 . Gọi

SB SC SD lần lượt tại B’, C’, D’ và

,

,

V V lần lượt là thể tích khối

,

'

.S ABCD . Mặt phẳng ( ' SB SB

2 3

.

'

'

S AB C D . Tính tỉ số '

cắt

'V V

'

'

'

'



.



.



.



.

. chóp .S ABCD và

V V

4 9

V V

2 9

V V

1 3

V V

2 3

A. B. C. D.

)P qua A vuông góc với SC cắt

 . Tính thể tích

Câu 29: [2H1-3] Cho hình chóp tứ giác đều

S AB C D . '

.

'

'

SB SC SD lần lượt tại

,

,

B C ',

', D'

.S ABCD . Mặt phẳng ( ' SB SB

2 3

3

và AB a ,

V 

.

V 

.

V 

.

V 

.

36 a 18

36 a 27

a 2 6 27

36 a 9

A. B. C. D.

.S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, thể tích V . Gọi P là trung

Câu 30: [2H1-3] Cho hình chóp

,M N . Tính tỉ số

,SB SD lần lượt tại

SM SB

. Biết thể tích của điểm SC . Mặt phẳng chứa AP cắt

.S AMNP bằng

V 27 56



.



.



.



.

khối chóp .

SM SB

3 4

SM SB

3 5

SM SB

3 7

SM SB

3 8

A. B. C. D.

4 | VD_VDC

Chuyên đề_Tỉ số thể tích Câu 31: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với

AB a AD b ;



  x



c





Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19  và cạnh bên SA c vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). Gọi M là một điểm trên cạnh SA sao cho AM x 0 .Tìm x để mặt phẳng (MBC) chia khối chóp đã cho thành hai khối đa diện có thể tích bằng nhau.

2



3

ab

3



5

c

c

3



2

c











  5 1





x



x



x



x



c 2

2

2

2

A. . B. . C. . D.

Câu 32: Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’ có đáy ABCD có M,N,P lần lượt là trung điểm của ba cạnh A’B’, BB’ và DD’. Mặt phẳng (MNP) cắt đường thẳng AA’ tại I. Biết thể tích khối tứ diện IANP là V. Tính thể tích khối hộp đã cho. A 6V . B. 12V . D. 2V . C. 4V .

Câu 33: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Gọi H là hình hộp chữ nhật có bốn đỉnh là bốn trung điểm của các cạnh bên SA, SB, SC, SD và bốn đỉnh còn lại nằm trong đáy ABCD. Biết thể tích khối hộp H là V. Tính thể tích khối hộp đã cho.

V

V .

8 3

4 3

ACB

'

'

B. 2V D. 6V C. A

BA C chia khối lăng

.

'

'

  ' ;



ABC A B C có thể tích V hai mặt phẳng  ' trụ thành bốn phần. Tính thể tích của phần có thể tích lớn nhất.

Câu 34: Cho khối lăng trụ

V .

V .

V .

V .

3 5

5 12

2 5

1 2

AB CD CD

;

4

AB . Gọi M là điểm nằm



B. C. D. A.

SM SA . Tìm tỉ số

CDM chia khối chóp thành hai



trên cạnh SA sao cho 0  sao cho Câu 35: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với SM SA









SM SA

SM SA

 26 4 2

SM SA

 17 3 2

SM SA

 23 4 2

A. B. . . C. . D. . phần có thể tích bằng nhau.  13 3 2

V sao cho



;



.S ABC có thể tích là  qua MN và song song với SC chia khối chóp thành

Câu 36: Cho điểm M trên cạnh SA , Cho điểm N trên cạnh SB của hình chóp

SM SA

1 3

SN SB

2 3

mặt phẳng 

hai khối đa diện. Tính thể tích của khối đa diện có thể tích lớn hơn.

V 5 6

V 5 8

V 5 9

V 7 12



A. . B. . C. . D. .

.S ABC có M trên cạnh SA sao cho

SM SA



x

Câu 37: Cho khối chóp và điểm N trên cạnh SB sao

1 3  qua MN và song song với SC chia khối chóp thành hai khối đa

SN SB

cho . Mặt phẳng 

5

8

4

10

5

4

8



10

x

x

x

x

 3

6

 6

9







diện có thể tích bằng nhau. Tìm x .  A. . B. . C. . D. .

ABCD A B C D có thể tích bằng V . Gọi

.





,E F lần lượt là trung điểm AEF chia khối lập phương thành hai phần. Tính thể tích

 ,

 B C C D . Mặt phẳng  



Câu 38: Cho khối lập phương

các cạnh của phần thể tích nhỏ hơn.

V .

V .

V .

V .

3 8

25 72

5 16

9 32

A. B. C. D.

5 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18 Câu 39: Cho hình chóp

.S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và thể tích bằng V . Gọi

Tài liệu Vted_2018 ,M N lần

2



4

V là thể tích

AB AD  AM AN

V .

. Gọi lượt là các điểm di động trên các cạnh AB và AD sao cho

V .

V .

V .

V .

.S AMN . Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 6

1 8

1 3

A. B. C. D. khối chóp 1 4

2

4

Câu 40: Cho hình chóp S. ABCD có ABCD là hình bình hành và thể tích bằng V . Gọi M ,N lần lượt là

 . Gọi V  là thể tích khối

AB AD  AM AN

các điểm di động trên các cạnh AB và AD sao cho:

chóp S.MBCDN . Tìm giá trị lớn nhất của V  .

V .

V .

V .

V .

1 4

2 3

3 4

1 3

A. B. C. D.

AB,BC và E là điểm đối xứng với B qua D . Mặt phẳng  thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh A có thể tích V . Tính V .

3

3

3

Câu 41: Cho khối tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Gọi M ,N lần lượt là trung điểm của các cạnh MNE chia khối tứ diện ABCD

V 

V 

V 

V 

a 13 2 216

a 7 2 216

32 a 18

a 11 2 216

A. . B. . C. . D. .

2

Câu 42: Cho khối tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Gọi M ,N lần lượt là các điểm trên cạnh AB,AC

 . Mặt phẳng 

 chứa M ,N , song song với AD chia khối tứ diện

AM BM

1  , 2

AN CN

ABCD thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh A có thể tích V . Tính V .

3

3

3

3

sao cho

V 

V 

V 

V 

a 4 2 108

a 5 2 108

a 4 2 81

a 11 2 342

A. . B. . C. . D. .

,AB BC và E

Câu 43: Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh a . Gọi

k

 . Tìm k để mặt phẳng 

MNE chia khối tứ

,M N lần lượt là trung điểm các cạnh BE BD

3

là điểm thuộc tia đối của tia DB sao cho

a 11 2 294

. diện thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh B có thể tích bằng

k  . 5

k  . 4

k  . 6

6 k  . 5

 có thể tích V . Các điểm



,M N P trên các cạnh

,

AA BB CC

 ,

 ,

A. B. C. D.

ABC MNP . .





,



BN  BB

1 2

2 3

sao cho . Tính thể tích khối đa diện Câu 44: Cho lăng trụ đứng ABCA B C AM  AA

V .

V .

V .

V .

2 3

 CP  CC 9 16

20 27

11 18

A. B. C. D.

SP



2

.S ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích là V . Gọi M là trung điểm AMN cắt cạnh SC tại DP

Câu 45: Cho hình chóp



. Mặt phẳng 

của SB , P là điểm thuộc cạnh SD sao cho N . Tính thể tích khối đa diện ABCDMNP .

V



V

V

V

V

V



V



ABCDMNP

ABCDMNP

ABCDMNP

ABCDMNP

19 30

2 V 5

7 30

23 30

A. . B. . C. D. . .

.S ABC có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng a . Gọi

,M N lần ,SA BN sao cho

,P Q trên các đường thẳng

Câu 46: [2H1-3.2-4] Cho khối chóp

,AB SC . Các điểm .S BNP

. Tính thể tích V của khối chóp lượt là trung điểm của các cạnh PQ CM

V 

V 

V 

V 

32 a 36

32 a 72

32 a 18

32 a 9

A. B. C. D.

6 | VD_VDC

Chuyên đề_Tỉ số thể tích Câu 47: Cho khối hộp

tất cả các mặt

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19 và thoi,

ABCD A B C D có '

'

'

a ' 6

AC

3

3

3

3

là hình

. 60 B.

a 2 3 C. V  . . D. V  a 6 3 .

 'A AB BAD 'A AD  . A.  a 6 2

V

'  . Tính thể tích V của khối hộp đã cho. V

3 2



a

.S ABCD có thể tích V , đáy là hình bình hành. Mặt phằng

 đi qua điểm A , và trọng tâm G của tam giác SAC cắt các cạnh

Câu 48: Cho hình chóp

 SM MB 2 ,N P . Tính thể tích khối chóp

điểm M cạnh SB thỏa mãn ,SC SD lần lượt tại

V 2 3

V 3

.S AMNP V 2 9

V 4 9

A. . B. . . C. D. .

.S ABCD có thể tích V , đáy là hình bình hành tâm O . Mặt phẳng ,M N P . Tính thể tích SB SC SD lần lượt tại

,

,

,

  đi qua A , trung điểm I của SO cắt các cạnh nhỏ nhất của khối chóp .S AMNP .

Câu 49: [2H1-3.3-4] Cho hình chóp

V 18

V 3

V 6

V 4 9

A. . B. . C. . D. .



Câu 50: [2H1-3.3-3] Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh a . Gọi E là điểm đối xứng của A qua D . Mặt ABD cắt cạnh AB tại điểm F . Tính thể tích V

a

a

a

a

phẳng qua CE và vuông góc với mặt phẳng  của khối tứ diện AECF

3 2 30

3 2 60

3 2 40

3 2 15

A. . B. . C. . D. .

 . Gọi



120

 60 ,

BSC

 90 ,



 .S ABC có SA SB SC a



,M N

Câu 51: Cho khối chóp



 ,    CSA AM AB

ASB  CN SC

lần lượt là các điểm trên cạnh AB và SC sao cho . Khi khoảng cách giữa M và N

3

3

nhỏ nhất, tính thể tích V của khối chóp SAMN .

32 a 72

a 5 2 72

a 5 2 432

32 a 432

A. . B. . C. . D. .

.S ABCD có thể tích V và các điểm

1

1

1

Câu 52: Cho khối chóp , ,

,

,

,

1

1

2

2

, , , SA B C D có thể tích 1V ; các điểm

SA SB SC SD , khối chóp ,

1 1 ,

2

2

1

1

đoạn thẳng là trung điểm của các đoạn thẳng , , 2 2 SA B C D có thể tích 2

2 ,

n

n

n

n

n

A B C D lần lượt là trung điểm các 1 A B C D lần lượt 2V . Cứ A B C D là trung điểm các , ,

n 

 1

1

n

1 SA B C D có thể tích n n   V V V V V 3

2018

2

1

2018

2018

2019

V





S

S

S



V

S



V

V

n 1   1 2018

 1 2019

 1 2019

 1 2018

16 15.16

16 15.16

8 7.8

  ... SA SB SC SD và khối chóp 1 nV với . 2019 A. B. . C. . D. . . tiếp tục như thế ta được khối chóp  . Tính SA B C D đoạn thẳng  n 1 n 8 7.8

1

1

1V , các đỉnh

1A ,

1D lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD , CDA , DAB , ABC . Khối tứ diện thể tích

2D lần lượt là trọng tâm các tam giác

1

1

1

2A ,

2B ,

n

n

1

2 2 B C D , 1 A B C D có thể tích  ,

n C D A n n

 ,

 1

 1

 1

1

1

n

n B C D n n

n

1C , 1B , A B C D có 2 2 C D A , 1 1 nV , các đỉnh  , D A B  1 n n

 1

1

n

 1

Câu 53: Khối tứ diện ABCD có thể tích V , khối tứ diện A B C D có thể tích 1 1

2018

1

 1

 1

n

2019

2018

n 2018 3

  . S V V 1 2

2019 3

2V , các đỉnh 2C , A B C . Cứ tiếp tục như thế ta được khối tứ diện 1 1 nD lần lượt là trọng tâm các tam giác nC ,  . Tính V   V 1

 1



 1



 1

2018

2019

2018

2019

27 27 V   V  V ...    D A B , 1 1 1 nB , nA , A B C n  . B. S  . C. S  . D. S  . A. S  2.3 26.27 26.27 2.3

----------HẾT----------

7 | VD_VDC

Tài liệu Vted_2018

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18 NHÓM GIẢI VẬN DỤNG CAO

CHUYÊN ĐỀ TỈ SỐ THỂ TÍCH - NĂM HỌC 2017-2018

VTED_2019 MÔN: TOÁN 12

Thời gian làm bài 90 phút

Đề đã thay đổi thứ tự câu (sắp xếp theo độ khó tăng dần) so với đề gốc

BẢNG ĐÁP ÁN THAM KHẢO

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50



SC

(

ABC

).

HƯỚNG DẪN GIẢI

SC

a và 2

2.

Câu 1: Cho hình chóp SABC có Đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và

) qua C và vuông góc với

) cắt

AB a Tính thể tích khối chóp

,SA SB lần lượt tại .D E , ,SA ( Mặt phẳng (

34 a 9

SCDE . 38 a 27

32 a 9

316 a 27

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải Chọn C.

3

SCED



Theo giả thiết thì SB SA . , ,E D lần lượt là hình chiếu vuông góc của C lền



V

V .

.

ABC

SABC

SCDE

SABC

SE SD . SB SA

V V

SE SD . SB SA

SABC

2

  Ta có: và hay V SC S . 1 3 a 2 3

2     

2

 SC SE SB . . Trong tam giác vuông SBC có      SE   SB SC SB 2 3

2     

3

 Trong tam giác vuông SBC có SC SD SA . .      SD   SA SC SA 1 2

SCED

SABC

 Vậy V . 1 V 3 a 2 9

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Tỉ số thể tích

SC

a và 2

SC

(

ABC

).

2.

 Câu 2: Cho hình chóp SABC có Đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và

) cắt

AB a Tính thể tích khối chóp

,SA SB lần lượt tại .D E , Mặt phẳng ( ,SA (

34 a 9

) qua C và vuông góc với ABCDE . 38 a 27

32 a 9

319 a 27

A. C. B. D.

Hướng dẫn giải

3

SCED

Chọn A. Theo giả thiết thì SB SA , . ,E D lần lượt là hình chiếu vuông góc của C lền



.

ABC

SABC

V V

SE SD . SB SA

SABC

2

  Ta có: và V SC S . 1 3 a 2 3

2     

2

 SC SE SB . . Trong tam giác vuông SBC có      SE   SB SC SB 2 3

2     

3

SCED

 Trong tam giác vuông SBC có . SC SD SA .      SD   SA SC SA 1 2

V

.

ABCDE

SABC

SCDE

SABC

1 V 3

V V

1  hay 3

SABC

 Do đó Suy ra V . 2 V 3 a 4 9

SA

2 ,

ABCD

a 2 SB SC SD lần lượt tại

Câu 3: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh

a và SA . ,

,

)P qua A vuông góc với SC và cắt

SAHKJ .

, ,  ). ( H K J Tính thể tích

38 a 27

38 a 9

34 a 9

A. B. C. D. Mặt phẳng ( khối chóp 34 a 27 Hướng dẫn giải Chọn D.

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Tài liệu Vted_2018

,H J lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lền

Theo giả thiết thì SB SD , .

ABCD .

Gọi O là tâm của hình vuông

SBD Gọi N là giao điểm của HJ và SO .

) :

.AN

Trong (

SAC K là giao điểm của SC và

) :

Trong (





a

 1,

c

,

2     

2     

SA SA

SC SK

   nên

    Đặt b , d .           SB SH SB SA 3 2 SD SJ SD SA 3 2

d

b

c

c  2.

V

a

d

SAHKJ



Vì a

 Vậy .

SAHKJ

V

   c b abcd 4

1 3

34 a 9

SABCD

Do đó  V .

,

,

,

,

M N P Q lần lượt là trọng tâm của các tam giác

.S ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi với O là giao điểm của AC và BD . Gọi ,V V lần lượt

2

Câu 4: Cho hình chóp ,

.O MNPQ . Khi đó tỷ số

.S ABCD và

SAB SBC SCD SDA . Gọi 1 , V 1 V 2

là thể tích của các khối chóp là?

27 4

27 2

B. . C. . A. 8 . D. 9 .

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Tỉ số thể tích

S

Q

P

M

H

A

D

N

G

I

E

C

F

B

/ /



 MNPQ . Khi đó:

,

,



,





  d S MNPQ



  d S ABCD



2 3

2   3

ABCD

S,

d

 Ta có:  ABCD     d S MNPQ    

(1)

,



,



,







  d O MNPQ



  d F MNPQ



  d S MNPQ



1 2

(2)

,



,

.





  d O MNPQ



  d S ABCD



1 3

Từ (1) và (2), ta được:

S



;

S



S

;

S



S

;

S



S

S

BEF

ABC

DHG

ACD

CGF

DBC

AEH

ABD

1 4

1 4

1 4 

Ta lại có:

1 4 S

EFGH

ABCD

EBF

CGF

AEH



S



S



S



S



S









ABCD

ABC

ACD

DBC

ABD

DHG 1 4

1 4

1 S 2 ABCD

2

2

ABCD

S



S



S



S





S  S  S  S   S

EFGH

MNPQ

MNPQ

ABCD

1 2

3 2

3 2

S S

9 2

  

  

  

  

MNPQ

Mặt khác:





ABCD

 d S ABCD S . .







MNPQ

 d O MNPQ S . .



, Ta có:   3.  . 9 2 27 2 V 1 V 2 , 1 3 1 3

,M N lần lượt thuộc các

có thể tích V . Các điểm

BB CC sao cho '

',

.A BMNC là?

,



 . Thể tích của khối chóp

. ABC A B ' NC CC

'

'C' 1 4

cạnh Câu 5: Cho khối lăng trụ tam giác MB BB '

.

.

.

.

1 2 V 3 8

V 6

V 4

V 3

B. C. D. A.

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

11 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Tài liệu Vted_2018

m



n ,



V

V

ABMNC

 m n 3

CN CC'

BM BB

   

  

Cách 1. Công thức giải nhanh với

.

m



,

n

 , ta được

V

ABMNC

1 V 4

1 2

1 4

Áp dụng:

,D E lần lượt là trung điểm

AA CC '; '

DME

||

ABC



V



V



V

Cách 2. Gọi







ABC

.DME

ABC A B C .

'

'

'

1 2

1 2

V

V

  V

V



V



V



V



V



V



V



Ta có 

A

.DEM

ABC

.DME

A BCEM

.

ABC

.DME

A

.DEM

1 3

1 1 . 3 2

1 6

1 2

1 6

1 3

Mà

S



S



S



S



V



V



V



V



MNE

BCEM

BCNM

BCEM

A BCNM

.

A BCEM

.

3 4

3 4

3 1 . 4 3

1 4

1 4

Lại có:

.

'

'

'

ABC A B C . Mặt phẳng qua điểm A và điểm P thuộc cạnh

'BB đồng thời song song cạnh BC , chia khối lăng trụ thành hai khối đa diện có thể tích bằng nhau.

Câu 6: Cho khối lăng trụ tam giác

PB PB

'

Tính tỉ số

A. 3 . C. 6 . B. 2 . D. 4

Hướng dẫn giải

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Tỉ số thể tích

PQ BC nên

/ /

 , Do

x



 x

BP BB

'

BP BB

'

CQ CC

'

Đặt

ABCQP





ABC A B C .

'

'

'

V Áp dụng công thức tỉ số thể tích ta có .   x  x  V 1 3 BP CQ  BB CC ' ' 1 3 x 2 3      

ABCQP

V

V

x

ABCQP

APQA B C '

'

'

x 2     3

1 2

3 4

ABC A B C .

'

'

'

V Mà giả thiết cho nên suy ra V 1  2

4

BP



3

PB



3

PB

'

  PB

3

PB

'





3

BP BB

'

3   4

BP  BP PB

'

3   4

PB PB

'

Suy ra

'

'

'AA , điểm R thuộc

ABCD A B C D . Mặt phẳng qua D , điểm Q thuộc cạnh

Câu 7: Cho khối hộp

'CC sao cho

 chia khối hộp thành hai phần. Tính thể tích của phần

3

' RC RC

'

1  , 3

. ' QA QA ' DABC .

cạnh

chứa mặt đáy 

V 2 3

V 3

V 2

V 4

B. . A. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

Chọn D.

A

D

Q

C

B

A'

D'

R

C'

B'



ADQ

 

 

'

'

ABCD A B C D là khối hộp nên chứng minh được:

.

'

'

'

'

 C B R c g c



Ta có: Vì .

DQ RB

'



A B Q '

'

 

  

 B Q DR

'

Suy ra: .

 CDR c g c



Chứng minh tương tự ta có: .

'B QDR là hình bình hành.

  'B

DQR

Do đó: tứ giác

QD B R / /

'





Nên .





  1 0

AQ CR  AA CC

'

'

DD BB  BB DD

' '

'

1 4

CR CC

'

Ta có: hay:

CR CC

'

3  . 4

Suy ra:

13 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Tài liệu Vted_2018

ABCD QB R và

.

'

DQB R A C D . .

'

'

'

'

DQR chia khối hộp thành

Mặt phẳng 

V

ABCD QB R .

'

Áp dụng công thức tính nhanh tỉ số thể tích ta có:







  

1

0

1  . 2

1 4

AQ BB  AA

CR DD  BB CC DD

' '

'

'

'

3 4

V

  

  

1 1   4 4 

  

ABCD A B C D '

.

'

'

'

V

ABCD QB R .

'

=

V



V

ABCD QB R .

'

V

1   2

1 2

ABCD A B C D '

.

'

'

'

Vậy: .

.S ABCD có thể tích V với đáy ABCD là hình bình hành. Mặt phẳng qua

A M P cắt cạnh SC tại N với

,

,

,M P là các điểm thuộc SB , SD sao cho

SM SB

1  , 2

SP SD

2  . 3

Câu 8: Cho hình chóp

ABCD MNP . .

Tính thể tích khối đa diện

V .

V .

V .

V .

14 15

23 30

7 30

1 15

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

S

P

Q

N

I

M

D

A

O

C

B

.S ABCD đáy là hình bình hành. Mặt

SA SB SC SD lần lượt tại

,

,

,

,

M N P Q như hình vẽ.

,

,

 cắt các cạnh

Ta có công thức cho bài toán tổng quát: cho hình chóp phẳng 



x

,



y

,



z

,

 . Khi đó ta có:

t

SM SA

SN SB

SP SC

SQ SD

1 x

1   z

1 1  . t y

Đặt:

Áp dụng vào bài toán ta có:

14 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Tỉ số thể tích

S

N

P

M

I

D

A

O

B

C

AMNP là mặt phẳng cắt nên:

 , 1

 , x





SA SA

SM SB

1  , 2

SN SC

SP SD

2  . 3

x

1 1   x 1

5      . 2

2 5

1 x

1 1 2

1 2 3

SAMN

SANP

Suy ra:



1.



1.



V V

1 2 . 2 5

1  ; 5

V V

2 2 . 5 3

4 15

SABC

SACD

S AMNP

.

SAMN

SANP

S AMNP

.

Khi đó: .











V V

V V

V V

7 30

1 4   5 15

7 15

7 15

SABC

SACD

S ABC

.

D

V

S ABC

.

D

V 1 2

Nên: hay: .



V AMNP BCD . V

23 30

S ABCD

.

Do đó: .

ABCD A B C D có thể tích V . Các điểm

'

'

,M N P trên các cạnh

,

AA BB CC sao cho

',

',

'

,M N P cắt

,

 . Mặt phẳng 

 qua ba điểm

' BN BB

1  , 2

1  , 3

CP CC

'

2 3

ABCD MNPQ . .

. ' AM ' AA ' 'DD tại Q . Tính thể tích của khối đa diện

Câu 9: Cho hình hộp

V .

V .

V .

V .

7 8

11 12

5 12

B. C. D. A. cạnh 7 12

Hướng dẫn giải

Chọn A.

15 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Tài liệu Vted_2018

A'

D'

Q

C'

B'

M

F

P

N

E

A

D

B

C



AM CP  CC AA

'

'

BN DQ  BB DD

'

'

Công thức tính nhanh: ta có: .

  



1 2

2 3

1 3

DQ DD

'

DQ DD

'

5  . 6

Suy ra:

ABCD MNPQ .





.

7 12

1 2

2 3

1   2 

  

ABCD A B C D '

.

'

'

'

V Do đó tỉ số thể tích: .  V 1 2 AM CP  CC AA ' '      

V



V

ABCD MNPQ .

7 12







Vậy: .



x





y

z

Câu 10: Cho hình hộp

BB , CC sao cho

 qua ba điểm M , N , P cắt

ABCD A B C D . AM  AA

 có thể tích V . Các điểm M , N , P , Q trên các cạnh AA , BN  BB

CP  CC



t

, , . Mặt phẳng 

ABCD MNPQ . .

y

3

x

3

x

  

y

z

t

DQ  DD     t z









V

V

V



V

. Tính thể tích của khối đa diện cạnh DD tại Q sao cho

ABCD MNPQ .

ABCD MNPQ .

4 z

x

t

y

x

y

t

V



V

V



V

A. . B. .

ABCD MNPQ .

ABCD MNPQ .

   8

8    z 4

. C. D. .

Hướng dẫn giải

Chọn D.

16 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Tỉ số thể tích

Ta có tứ giác MNPQ là hình bình hành.

 BN DQ AM CP







2

EF

Gọi E , F lần lượt là giao điểm của AC và BD ; MP và NQ .

là các hình thang nên hay Khi đó AMPC , BNQD

   . y

z

t

z

x

x

z

z

x



V



V



V



V



V

có x













ABC A B C .

ABC A B C .

ABC MNP .

N ABC

.

N ACPM

.

y 3

 3

y 6

 6

  y 6

x

t

V



V

Ta có V  V  V .

ACD MPQ .

  z 6

z

x

x

t

2

x



2

  y t

V



V



V



V



V



V

Tương tự ta có .

ABCD MNPQ .

ABCC MNP .

ACD MPQ .

  y 6

  z 6

z 6

Do đó .

4

x



4

2

y



t 2







V



 z 12

   t y 12

3

x



3

3

y



t 3

x

t

z

y



V



V

3 x  3 z   2 y  t 2 3 x  3 z  z 2 y  t 2  V  V .  x 12

 z 12

   4

x

t

z

y

V



V

.

ABCD MNPQ .

   4







Vậy .

 có

ABCD A B C D .

AC

 

a

4

3

3

3

V

V



a

V

a 16

V



a 32

 Câu 11: Cho khối hộp và  60 BAD    . Biết tất cả  ,   120  A AD A AB các cạnh của khối hộp bằng nhau. Tính thể tích V của khối hộp đã cho.

38 a 3

32 3

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Tài liệu Vted_2018

2

Gọi x là độ dài cạnh của khối hộp, theo quy tắc hình hộp ta có



2

2



AB



2   AD AA

2 2. 

        . . AB AD AD AA AA AB .









2

2

2

2

2

 AC    AC      AB AD AA  



3

x



2

x



x



x



2

x



4

a

  x

2 2

a

1 2

1 2

1 2

  

  

.

 .

.

2

2

1 2.cos



      2  A AB BAD

 A AD

 A AD

 A AB

BAD

.cos

.cos

cos

cos

cos







V



Do đó Áp dụng công thức

 A A BD

.

AA AB AD 6

.

2

2

2

3

V



V 6



x

 1 2.

.







 A A BD

.

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

  

  .    

  

  

  

    

  

    

  

3

2 2

a

x

3



3







16

a

Ta có

2

2







 ADD A

ABCD A B C D .

.



A BD

 ABB A



,



a

3

3

a

, 

D. C. A. B. . . . .

 có ABD là tam giác đều cạnh a . Các mặt phẳng  Câu 12: Cho khối hộp  cùng tạo với mặt phẳng đáy góc 60 và hình chiếu vuông góc của A lên mặt đáy nằm khác phía với điểm A so với đường thẳng BD . Tính thể tích của khối hộp đã cho. 33 a 4

3 3 12

33 a 2

3 3 4

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Tỉ số thể tích

ABCD .



 ADD A

 ABB A

A BD

Gọi H là hình chiếu của A trên mặt phẳng 







cùng tạo với mặt phẳng đáy góc 60 nên ,  , 



 .tan 60

Do các mặt phẳng  khoảng cách từ H đến các đường thẳng AB , AD , BD bằng nhau. Do đó H là tâm đường tròn bàng tiếp góc BAD của tam giác BAD .

ar

ABDS  p BD









p



(với là bán kính đường tròn ngoại tiếp góc Ta có h A H .tan 60 

BAD của tam giác BAD và

AB AD BD 2

).

2





  p p AB p AD p BD





V



S

h .



. tan 60





.tan 60



A ABD

 .

ABD

1 3

1 3

ABDS  p BD

1 3





   p BD



Khi đó

  p p AB p AD

.tan 60

3

    3

a 3

3

  p p AB p AD





2.

.

3









 ABcD A B C D .

A ABD

 .

a a a 3 . 2 2 2

4

6    .tan 60 Vậy V  V 6  . 3

.S ABCD có thể tích V và đáy ABCD là hình bình hành. Mặt phẳng qua A và , PM . Tính thể tích nhỏ nhất của khối chóp

,SB SD lần lượt tại

Câu 13: Cho hình chóp

trung điểm N cạnh SC cắt .S AMNP

V 8

V 3 8

V 3

A. B. C. D.

V 4 Lời giải

Chọn D

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Tài liệu Vted_2018

S

N

M

C

B

P

A

D

Ta có

x



 , 1

y



z



t



   1 2 3

SM SB

SA SA

SN SC

1  ; 2

SP SD

1 z

1   x

1 1  t y

1 1   y t

V



xyzt

  

V

; và





ytV



  3 3 .

S AMNP

.

1 4

1 x

1 y

1 1 t z

1 4

1 yt V . 2

3 4

  

  

2

y

t

Do đó

V



yt





S AMNP

.

4 yt  9

V 3

 3

yt 3



Mặt khác .

 có thể tích V . Mặt phẳng qua

Câu 14: Cho khối hộp

,A M là trung điểm cạnh CC ABCD PMQ .

cắt các cạnh

  . ABCD A B C D  lần lượt tại ,BB DD V 2

V 8

A. không đủ dữ kiện B. C. D.

,P Q . Tính thể tích của khối đa diện V 4 Lời giải

A'

B'

C'

D'

M

P

Q

B

A

C

D

Chọn C

x





0

y



z





t



x

0

y

z

t

BP  BB

CM  CC

1 2

DQ  DD

1       2

1 2

AA  AA

Ta có ; ; ; và

20 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Tỉ số thể tích

0

x

t

z

y

1 2

V



V



V



ABCD PQM .

   4

1   2 4

V 4

Do vậy:





 . Mặt phẳng 

 nhỏ nhất. Gọi

Câu 15: Cho hình chóp ASB BSC CSA 

A cắt hai cạnh

.S ABC có    30  ,SB SC lần lượt tại

P qua ,V V 2

1



 và SA SB SC a  sao cho chu vi tam giác AB C  ,B C

,

.S A B C

.S ABC . Tính thể tích

V 1 V 2









lần lượt là thể tích các khối chóp



 3 3 5

 

4 2 3

3 3 5 2

3 3 2 2

V 1 V 2

V 1 V 2

V 1 V 2

V 1 V 2

A. B. C. D.

Lời giải

S

C'

B'

A

C

B

Chọn C

x



y





xy

 SB SB

 SC SC

V 1 V 2

2

2

2

2

2

2

AB

 

a



2 a x



23 a x

Đặt , , ta có và theo định lí cos ta có:

AC

 

a



2 a y



23 a y

 B C

 

2 a x



2 a y



23 a xy

; ;

2

2

2

2

2

2

2

p



a



2 a x



3

2 a x



a



2 a y



2 a y 3



2 a x



2 a y



3

2 a xy

2

2

2

2

Khi đó chu vi tam giác là:

2

2

2

2

2



a



y





y



x





x



3

x



1

x

3 2

1 2

3 2

1 2

  

  

  

  

   

   

   

   

    

    

 a x  3 x   1 y  3 y   1 x  y  3 xy      

21 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Tài liệu Vted_2018

2

2



a



x

  1

x

  x

1





af

a

2

  af x



   3 1

3 2

3 2

   

   

    

    

x

y



3 2

x



y  

x

 3 1



y

3 2

Dấu bằng đạt tại ; x   3 1



 

4 2 3



2  3 1

V 1 V 2

0

Khi đó

0 30 ,

ASB

60







 . Mặt phẳng ( '

)P AB C nhỏ nhất.

'

.S ABC có    BSC CSA   ',

,SB SC lần lượt tại

Câu 16: Cho hình chóp

'

và SA SB SC a B C sao cho chu vi của tam giác qua A cắt hai cạnh

S AB C S ABC . Tính tỉ số:

',

.

.

'

2

V 1 V 2





. ,V V lần lượt là thể tích các khối chóp Gọi 1



.



.



 3 3 5.

 

4 2 3.

3 3 5 2

3 3 2 2

V 1 V 2

V 1 V 2

V 1 V 2

V 1 V 2

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải Chọn B

S

A

C'

H

I

C'

C

B'

A

B'

A

B

B

.S ABC ra mặt phẳng.

Sử dụng kỹ thuật trải phẳng, trải hình chóp

AB C nhỏ nhất khi và chỉ khi các điểm

'

'

A

, B', C', A

0







Ta có chu vi của tam giác thẳng hàng

SAB ta có: '

0

0

0

SB ' SA

SB ' 15

sin

SA 135

sin

sin sin

15 135

0

Xét tam giác .

SAC ta có: '







0

0

0

SC ' SA

SC ' 15

sin

SA 15

sin

sin sin

15 105

0

0



CABS

.

'

'

Tương tự xét tam giác .





.



0

0

V V

SA SA

SB ' SB

SC ' SC

533 2

sin sin

15 135

sin sin

15 105

S

.

ABC

Ta có: .

22 | VD_VDC

Chuyên đề_Tỉ số thể tích Câu 17: Cho tứ diện ABCD có thể tích là V . Các điểm

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19 ,AB AC và

,M N P lần lượt thuộc các cạnh

,



,



.

BD thỏa mãn

MNP .

1 2

2 3

AN BP AM  AC BD AB Tính thể tích khối tứ diện AMNS .

Gọi S là giao điểm của AD và mặt phẳng 

V

.

V.

.

2 3

V 3

3 4

V 4

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải Chọn A

A

M

P

D

B

N

S

C

(MNP .

)

Kéo dài MP cắt AD tại S thì S là giao điểm của AD và

A MNS

.





.2

V



V

.

A MNS

.

V V

AM AN AS AB AC AD

1 2 . 2 3

2   3

2 3

A BCD

.





Ta có: D là trung điểm của SA .

.S ABC có

2 10

AB

SC

SA

SB

2,

4,

6,







Câu 18: Cho khối chóp SBC  và góc  90 ,  120  ASC

S BMN

.

Mặt phẳng  .  P đi qua B và trung điểm N của cạnh SC đồng thời vuông góc với mặt phẳng

SAC cắt SA tại M . Tính tỉ số thể tích





V V

S ABC

.

.

2 9

2 5

1 4

1 6

A. . B. . D. . C. .

Hướng dẫn giải

1A sao cho

1

SA  . Khi đó 2 Chọn C. Trên cạnh SA lấy điểm

2

2

2

2

2

ta có

2  AA 1 AB AA . 1

2 2

A B  1

AS SB AB A B 1 cos  SAB     AB AS AB 2 .  2

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Tài liệu Vted_2018

2 3

BN



SC

 , 2

A N  1

1 2

Mặt khác .

1A BN vuông tại B .

Suy ra tam giác

1

SA SB SN   2  nên D là tâm

 1A BN . Do 1A BN . Do đó D trung điểm

1A N .

SD



SAC



Gọi D là hình chiếu của S xuống mặt phẳng  đường tròn ngoại tiếp tam giác











A BN 1

A BN 1

  A M 1

S BMN

.

Vậy ta có . nên 

k







V V

SA SN 1 . SA SC

1 1 . 3 2

1  . 6

S ABC

.

Từ đó ta có

.S ABC có

Câu 19: Cho hình chóp

.S AMN và

.A BCNM . Tính tỉ số

.

2V là thể tích khối chóp

,SB SC . Gọi 1V là thể tích khối ,M N lần lượt là trung điểm các cạnh V 1 V 2

chóp



4.

 3.



.



.

1 3

1 4

V 1 V 2

V 1 V 2

V 1 V 2

V 1 V 2

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn C

.S ABC

S AMN

.

Gọi V là thể tích khối chóp



V V

SM SN . SB SC

1  4

S ABC

.

Ta có:







1 3

V 1 V 2

V 1  V V 1

V 1  V V 4 1 1

Ta có

,H K lần lượt là hình chiếu của A lên

,SB SC . Gọi

Câu 20: Cho hình chóp

.S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt  ABC . Gọi 1V là thể tích khối

phẳng đáy 

Chuyên đề_Tỉ số thể tích



.S AHK và

.A BCKH . Biết

2V là thể tích khối chóp

81 19

chóp . Tính thể tích V của khối

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19 V 1 V 2

. a

a

3

a

chóp

V 

V 

V 

V 

S ABC . 3 3 4

3 3 6

33 a 4

3 3 2

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn A

Ta có:  SAB   SAC SH SK   HB HC    

V

V 1

V V 2 1      81 19

81 19

81 100

V 1 V 2

2

S AHK

.







  

Ta có:

V 1 V

V V

SH SK . SB SC

SH SB

SH SB

9 10

81 100

  

  

S ABC

.

2

AB



BH SB .

Ta có:

2

2   a

Ta có:





  a Py ta go 3



2

3

a

3

a

3



V



SA S .



a 3



S ABC

.



ABC

1 3

4

4

1 3

SB SH SB     SB a 10   SA  SB 10

.S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 1, mặt bên SAB là tam giác cân SAB . Goi H là hình chiếu



S AHB

.

Câu 21: Cho hình chóp

S ABC .

.



16 19

S ABC

.

. Tính thể tích V của khối chóp vuông góc của A lên SC . Biết tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy  V V

V 

V 

V 

V 

3 12

3 6

3 4

3 2

A. B. C. D.

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Tài liệu Vted_2018

CG



Chọn B

 

SG CG

AB

 ABC  ABC

SG  

   SAB    SAB



    

ABC

mà Gọi G là trung điểm AB CG AB      SG AB 

CG 

3 2





,



 

GH SC

đều có CG là đường trung tuyến đồng thời là đường cao

 AB SC AB SG GC  AH SC

  

S AHB

.

Ta có:





V V

SH SC

16 19

S ACB

.

Ta có:

2

2



CG



CH CS .

CS HS CS





CS

  CS

  SG 2





3 19

19 2

3   4



V





.2.



S ABC

.

SG S .

ABC

1 3

3 4

3 6

1 3

Xét SGC vuông tại G

.S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích bằng V . Gọi

,M N P

,

Câu 22: Cho hình chóp

SA SB SC sao cho

,

,

)MNP cắt

 . Mặt phẳng (



;



;

SM SA

SN SB

2 3

SP SC

1 3

1 2 ABCD MNPQ .

V .

V .

V .

V .

lần lượt là các điểm trên

SD tại Q .Tính thể tích khối đa diện A. 5 63

B. 10 63 C. 53 63 D. 58 63

Lời giải

Chọn D.

x





;

y





;

z





;

t



SN SB

2 3

SP SC

1 3

SQ SD

SM SA

1 2

Đặt

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Tỉ số thể tích

  

;

t

1 t

1 x

1   z

1 1 t y

7 2

2  7

Ta có:

S MNPQ

.

S ABCD

.

. . V Và  .(     .(2    3 )  1 y V xyzt 4 1 x 3 2 7 2 5 63 1 1 ) t z 1 2 1 2 . 2 3 3 7 4

V



V



V

  V

V



V

S MNPQ

.

MNPQ ABCD .

5 63

58 63

5 63

.S ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi. Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho

) song song với mặt phẳng (

ABCD và đi qua M chia khối chóp

)

 . Mặt phẳng (

3 4

3

Suy ra

3

3

3

3

100 dm thì thể tích khối đa

dm . )

dm . )

(

(

(

dm . )

(

324 7

2700 37

3700 37

2025 64

A. C. B. D. Câu 23: Cho hình chóp SM SA thành hai khối đa diện. nếu thể tích khối đa diện chứa đỉnh A là diệncòn lại là? dm . )

Lời giải

Chọn C.

3

Gọi thể tích khối chóp ban đầu là V



100

dm

V 1

thể tích khối đa diện chứa đỉnh A là

2V

thể tích khối đa diện còn lại là

) đi qua M và song song với mặt phẳng (

ABCD thỏa mãn

)



SM SA

3 4

3

3

3

Theo đề bài ta có mặt phẳng (



(

)

  

V



(

dm

)



(

dm

)

V . 1

   V 2

V V 1

V 1 V

3 4

27 64

64 27

6400 27

3700 27

Nên

.S ABCD có đáy là hình chữ nhật,

, SB SC SD lần lượt tại

Câu 24: Cho hình chóp

AD a  ,

3, ,

,

 AB a ) đi qua A vuông góc với SC cắt .S AMNP

3

SA a . Mặt phẳng ( thể tích khối đa diện a .

SA vuông góc với đáy và ,M N P .Tính

3 3 40

33 a . 40

33 a . 10

33 a . 30

A. B. C. D.

Lời giải

3

Chọn B.

V



a a . .

a 3.



S ABCD

.

1 3

a 3 3

Ta có

27 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Tài liệu Vted_2018

S

P

A

D

N

M

B

C

) đi qua A vuông góc với SC cắt

SB SC SD lần lượt tại

,

,

,M N P dễ ràng

,

Mặt phẳng (

AM SB AP SD ,





2







.

chứng minh được rằng:

2

2

SM SM SB SB

. SB

SA SB

1 4

2

Trong tam giác vuông SAB ta có:







.

2

2

SN SN SC SA . SC SC SC

1 5

2







.

Trong tam giác vuông SAC ta có:

2

2

SP SD

SP SD SA . SD SD

1 2

Trong tam giác vuông SAD ta có:

x





1;

y





;

z





;

t



SM SB

1 4

SN SC

1 5

SP SD

1  2

SA SA

Suy ra

S AMNP

.

S ABCD

.

3

3



V



V .



.



S AMNP

.

S ABCD

.

3 40

3 40

a 3 3

a 3 40

1. Và  .(        .(1 4 5 2)  V V xyzt 4 1 x 1 y 1 1 ) t z 1 1 1 . . 4 5 2 4 3 40

V . Tìm k .

Câu 25: Cho khối chóp S.ABCD có thể tích V và có đáy là hình bình hành. Điểm S' thỏa mãn k 0 . Biết thể tích phần chung của hai khối chóp S.ABCD và S' .ABCD là

B. . C. . D. .

  SS' = k DC  7 25 A.

6k

11k

4k

9k

.

Hướng dẫn giải

Chọn D.

28 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Tỉ số thể tích

I



 SC S D

'

J

 

SB S

'A

Gọi ,

V nên

7 25

V



V



V



V

ICD.JAB

S .IJAD

7 25

18 25

Ta có thể tích phần chung của hai khối chóp S.ABCD và S ' .ABCD là

  

SI

k

SC



 SS I CDI ,

'

k

1

Ta có là hai tam giác đồng dạng nên

  

SJ

k

SB





SS

'J,



BAJ

k  k 

k

1

SS SI '  IC CD ' SJ SS AB JB

S ADI

.





V



V

S ADI

.

S ADC

.

Ta có là hai tam giác đồng dạng nên

SI  SC k

k 

1

k 

k

1

S ADC

.

2

2

S AIJ .







V



V

S AIJ .

S ACB

.

V V

SI SJ . SC SB

k 

k

1

k

1

k 

  

  

  

  

S ACB

.

2

Ta có V V

S ADC

.

S ACB

.

S ADI

.

S AIJ .

S ABC

.

2

 Mà V V  V  V  .V k  1 k 1 k    k           

S .IJAD

k  4

.  V  V  V  1 2 k  k 1 1 18 25 k    k           

Câu 26: Khối hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cả các mặt là hình thoi cạnh a , các góc xuất phát từ đỉnh A

đều bằng

V



V



V



V



060 . Tính thể tích V của khối hộp đã cho. 32 a 3

33 a 6

32 a 2

32 a 6

A. C. B. . . D. .

Hướng dẫn giải

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Tài liệu Vted_2018

Chọn C.



ABA

'

BA AD AA





'







'

(các cạnh của hình thoi) nên ta có ,  A AD ' và

3

a

2

V



A

'.ABD

12

3

a

2

Vì    0  60 ' là các tam giác đều cạnh a '  ADA ' Suy ra Vì thế  BAD BAA , ABD A B A D A A a   và AB AD BD a  ' 'A ABD là tứ diện đều cạnh a

  V

V 6



A

'.ABD

2

.

BAD ,

 '

V

V

V

V









32 a 6

33 a 6

D. A. C. B. . . . Câu 27: Khối hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cả các mặt là hình thoi cạnh a , các góc  060 . Tính thể tích V của khối hộp đã cho. 32 a 2   0 A AB A AD  120 ' 32 a 3

Hướng dẫn giải



A B D '

'

'

 , AB AD a

 nên ABD

Chọn C.

là tam giác đều cạnh a . Vì thế cũng là

Ta có  060 BAD tam giác đều cạnh a .

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

0

B A '

'



 A D AA '

'

'



AB A '

'

và (các cạnh hình thoi) nên ta có ,

Chuyên đề_Tỉ số thể tích Mặt khác   0  .120 ' D'

B AA '

AA



'



60

1 2



AD A '

'

AD AA a





'

'

A B '

'



 A D B D a



'

'

'

'

là các tam giác đều cạnh a .

AB '

'

 và ' AA B D là tứ diện đều cạnh a

3

2

a

V



A

.A'B'D'

12

3

a

2

Từ đó suy ra Vì thế '

  V

V 6



A

.A'B'D'

2

)P qua A và vuông góc với SC

.

Câu 28: [2H1-3] Cho hình chóp tứ giác đều

 . Gọi

SB SC SD lần lượt tại B’, C’, D’ và

,

,

V V lần lượt là thể tích khối

,

'

.S ABCD . Mặt phẳng ( ' SB SB

2 3

cắt

S AB C D . Tính tỉ số '

.

'

'

'V V

'

'

'

'



.



.



.



.

. chóp .S ABCD và

V V

4 9

V V

2 9

V V

1 3

V V

2 3

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn C.

S

B'

C'

H

D'

B

A

O

D

C

'

'

'

'

'

AB C D . Ta có '







SB SB

SD SH  SD SO

2 3

SC SC

1  . 2

'

'

'

'

'

'







.



.



1 2

SC SD ' ' . SC SD

1 2

SC SB ' . SC SB

1 3

V V

V . S AC D V 2

V . S AC B V 2

S ACD

.

S ACB

.

Ta có thiết diện là tứ giác

)P qua A vuông góc với SC cắt

Chọn C.

 . Tính thể tích

Câu 29: [2H1-3] Cho hình chóp tứ giác đều

S AB C D . '

.

'

'

SB SC SD lần lượt tại

,

,

B C ',

', D'

.S ABCD . Mặt phẳng ( ' SB SB

2 3

3

và AB a ,

V 

.

V 

.

V 

.

V 

.

36 a 18

36 a 27

a 2 6 27

36 a 9

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn A.

31 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Tài liệu Vted_2018

S

B'

C'

H

D'

B

A

O

D

C

'

'

'

AB C D . Ta có '

'

'











 

SAC

SB SB

SD SD

SH SO

2 3

SC SC

1 2

A

3

a

2

a

6

Ta có thiết diện là tứ giác cân tại



SA AC a





2

SO



V V



S ABCD

.

2

6

. Ta có .

3

a

6

'

'

'

'

'

'

'

'







V



V





.



.



S AB C D '

.

'

'

1 3

19

1 2

' SC SD . SC SD

1 2

SC SB ' . SC SB

1 3

V . S AB C D ' V

V . S AC D V 2

V . S AC B V 2

S ABCD

.

S ACD

.

S ACB

.

.S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, thể tích V . Gọi P là trung

Lại có

,M N . Tính tỉ số

Câu 30: [2H1-3] Cho hình chóp

,SB SD lần lượt tại

SM SB

. Biết thể tích của điểm SC . Mặt phẳng chứa AP cắt

.S AMNP bằng

V 27 56



.



.



.



.

. khối chóp

SM SB

3 5

SM SB

3 4

SM SB

3 7

SM SB

3 8

B. A. C. D.

Lời giải

Chọn A.

S

M

P

H

N

B

A

O

D

C

V



.

.



.





(1)



1 2

SM SB

1 2

1 1 . 2 2

SN SD

SM SN  SD SB

27 14

V

27 56

S AMNP

.

Ta có

  1





3 (2)

SB SD  SM SN

SC SP

SB SD  SM SN

Lại có

SM SB

3  7

Từ (1) và (2) ta có

32 | VD_VDC

Chuyên đề_Tỉ số thể tích Câu 31: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với

AB a AD b ;



  x



c





Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19  và cạnh bên SA c vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). Gọi M là một điểm trên cạnh SA sao cho AM x 0 .Tìm x để mặt phẳng (MBC) chia khối chóp đã cho thành hai khối đa diện có thể tích bằng nhau.











  5 1





2  3 ab 3  5 c c 3  2 c A. x  . B. x  . C. x  . D. x  2 c 2 2 2 Lời Giải

Chọn D

/ /MN AD

- Gọi N là giao điểm của mặt phẳng (MBC) với SD . Theo định lý giao tuyến 3 mặt phẳng ta có

S MNCB

.

S MNC

.

S BMC

.

V  V  V - Ta có

S ABCD

.

S ADC

.

S ABC

.

2

2

2

c

x

c

x

c

x

S MNC

.



.

.





V



V .



V

S MNC

.

S ADC

.

V V

SM SN SC SA SD SC

 x

1 2

 x

 x

  

  

  

  

  

  

S ADC

.

c

x

x

c

 V V  V 2  V 2

V



V .



V

S MBC

.

S ABC

.

 x

1 2

 x

  

  

  

  

2

2

c

c

x

c

x

x

c

x

Tương tự ta cũng có

V



V



V

  V





1

S MNCB

.

1 2

 x

1 2

 x

1 2

 x

 x

  

  

  

  

  

  

  

  

2

c

x

c

x

2

2

2

2

2

2

  

1

c

2

cx



x



cx



x



x

  

0

x

cx



c



0





 x

 x

  

  

  

  

c 5

tm (

)

  x

c

  x

 ( 5 1) 2

c 5

loai (

)

   x 

  c 2   c 2

Suy ra

Câu 32: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD có M,N,P lần lượt là trung điểm của ba cạnh A’B’, BB’ và DD’. Mặt phẳng (MNP) cắt đường thẳng AA’ tại I. Biết thể tích khối tứ diện IANP là V. Tính thể tích khối hộp đã cho. A 6V . B. 12V . D. 2V . C. 4V .

Lời Giải

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Tài liệu Vted_2018

Chọn C

Gọi Q là giao điểm của PI với A’D’. Gọi a là độ dài AA’. Gọi h là khoảng cách từ N đến mặt phẳng (AA’D’D). Gọi b là khoảng cách từ P đến AA’



IQA

'

 

PQD

'

 

IA IA

a

 

S AIP



d P AA AI

').

(

,



b . .

a



ab

3  ' AA'= AA ' = 2

3 2

1 2

1 2

3 2

3 4

có Ta

AA D D '

'

S  AA b '.  ab



V



d N API , (

(

S )).



h . .

ab V

 

abh



V 4

V

I ANP .

N API .



API

1 3

1 3

3 4

Suy ra

ABCD A B C D '

.

'

'

'

AA D D '

'

 d N AA D D S )). ' , ( ( '  d N AA D D , ( ( ' ' )).AA '. ( d P AA , ')  abh  V 4 V

Câu 33: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Gọi H là hình hộp chữ nhật có bốn đỉnh là bốn trung điểm của các cạnh bên SA, SB, SC, SD và bốn đỉnh còn lại nằm trong đáy ABCD. Biết thể tích khối hộp H là V. Tính thể tích khối hộp đã cho.

V

V .

4 3

C. A B. 2V D. 6V

8 3 Lời giải

Chọn C

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Tỉ số thể tích

h 2

Gọi h là chiều cao của khối chóp, a là độ dài cạnh đáy. Ta có chiều cao khối hộp là

2

2

Thể tích khối hộp là

MNPQ M N P Q

.

'

'

'

'

V  . .     ha V V 8 h a a 2 2 2 ha 8

V



S

h



2 a h



S ABCD

.

ABCD

1 3

V 8 3

1 3

ACB

'

'

Suy ra thể tích khối chóp là:

BA C chia khối lăng

.

'

'

  ' ;



ABC A B C có thể tích V hai mặt phẳng  ' trụ thành bốn phần. Tính thể tích của phần có thể tích lớn nhất.

Câu 34: Cho khối lăng trụ

V .

V .

V .

V .

3 5

5 12

2 5

1 2

A. B. C. D.

Lời giải Chọn C.

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Tài liệu Vted_2018

BGHB

'

B A B C '

.

'

'

B AGHC

'.

'

 V Ta có: V 1 3  V  V  V     V  1 12 1 4

V



V suy ra

V

V . Thể tích phần lớn nhất là

V





V

B AGHC

.

AGA CHC '

'

AGA CHC '

'

1 4

5 12

5 12

AB CD CD

;

4

AB . Gọi M là điểm nằm

CDM chia khối chóp thành hai

Tương tự

SM SA . Tìm tỉ số





trên cạnh SA sao cho 0  sao cho Câu 35: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với SM SA









SM SA

SM SA

 26 4 2

SM SA

 17 3 2

SM SA

 23 4 2

A. B. . . C. . D. . phần có thể tích bằng nhau.  13 3 2

2



2 k  

V



2 k .V



V

Lời giải Chọn A

S .DAB

S .DMN

V S .DMN V

SM SN . SA SB

k 5

S .DAB

S .DCN



k  

V



k.V



V

S .DMN

S .DBC

V V

SN SB

k 4 5

S .DBC

2

V

k

k 4

2



  

k 2

k 8

   

5 0

k

Có

S .DCNM V

 5

1 2

 26 4 2

Suy ra

V sao cho



;



.S ABC có thể tích là  qua MN và song song với SC chia khối chóp thành

Câu 36: Cho điểm M trên cạnh SA , Cho điểm N trên cạnh SB của hình chóp

SM SA

1 3

SN SB

2 3

mặt phẳng 

hai khối đa diện. Tính thể tích của khối đa diện có thể tích lớn hơn.

V 5 6

V 5 8

V 5 9

V 7 12

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C.

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Tỉ số thể tích

AMNQ ANPQ ABNP

;

;

Chia khối đa diện ABMNPQ thành ba khối tứ diện

V



S



S







AMNQ

AMN

ABC

  d Q AMN . ,



  d C SAB ,



2 3

1 4 . 3 9

1 3

V 8 27

V



S





S





APNQ

APQ

ABC

  d N APQ . ,



  d S ABC ,



V



S



S







ABNP

APB

ABC

  d N APB . ,



  d S ABC ,



1 3 1 3

1 4 . 3 9 1 1 . 3 3

1 3 1 3

V 4 27 V 9

Có

V



ABMNPQ

V 5 9



Vậy

.S ABC có M trên cạnh SA sao cho

SM SA



x

Câu 37: Cho khối chóp và điểm N trên cạnh SB sao

1 3  qua MN và song song với SC chia khối chóp thành hai khối đa

SN SB

cho . Mặt phẳng 

5

4

8

10

5

4

8



10

x

x

x

x

 3

6

 6

9

diện có thể tích bằng nhau. Tìm x .  A. . B. . C. . D. .

Lời giải

MQ SC , trong 

 SBC kẻ

NP SC thì thiết diện tạo bởi 

 và hình chóp là

B.  SAC kẻ

Chọn Trong  MNPQ .

V



V



V



V

AB MNPQ

.

AMNQ

ANPQ

ANPB

S ABC

.

Ta có: ; đặt V  V

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Tài liệu Vted_2018

x



   1

2

ANBPV V

V



V .



V .



.

.

V .



V .

AMNQ

.

A SNQ

S ABQ

.

AM SN . AS SB

AM SN AQ AS SB AC

x 4 9

V

V





V .



.

.

V .





 x . . 1

 x V

ANPQ

ANPC

B ANC

.

AQ PC . AC BC

2 3

BN BP . BS BC AM AS AQ AC V

AQ PC BN AC BC BS V

2

   1



 1



. AB MNPQ V

AB MNPQ . V

8



10

x



loai vi dieu kien x (





 0;1 )

2

6



x



x



x



x

    

 1



 1



8



10

4 9

2 3

1 2

(

nhan

)

6

  x 







Suy ra: x  x  x  x , mà  nên: 4 9 2 3 1 2

ABCD A B C D có thể tích bằng V . Gọi

.





 ,

,E F lần lượt là trung điểm AEF chia khối lập phương thành hai phần. Tính thể tích

 B C C D . Mặt phẳng  



Câu 38: Cho khối lập phương

các cạnh của phần thể tích nhỏ hơn.

V .

V .

V .

V .

3 8

25 72

5 16

9 32

A. B. C. D.











 A B C D ,

EF



A D P EF 

;



 A B Q 













ABA B AQ BB M .





Lời giải

  ADA D ,

AP DD N ; trong  

Chọn B. Trong   Trong 

,   PA



P NFD

.



.

.



 

V V

PD PF PN PA PQ PA

1 27

 P QAA

.

V



Q MEB

.

    Có    D F FC B Q     A B   PN PN PD D F   A Q PA PA 1 3 1 2



.

.



 

V

QM QB QE QA QA QP

1 27



Q AA P

.

Tương tự



V

V



V



V



1



V



V













  1

V 2

A B D AMNEFN

 .

V   2

PAA Q

 P D NF

.

Q MEB

.

PAA Q

PAA Q

2 27

25 27

  

  

2

2



 A B

 A Q

V

S



PAA Q



A PQ

1 3   2 2 

  









Đặt

2

2





1 2  A B

 A B

9 8

V

S











  A A B C D

.

 A B C D

Mặt khác:

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Tỉ số thể tích



V



V .



V .



V

(2)







PAA Q

  A A B C D

.

9 8

3 8

V



V

   1 2

V   2

25 3 . 27 8

9 1 . 8 3 25 72

.S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và thể tích bằng V . Gọi

,M N lần

2



4

Câu 39: Cho hình chóp

V là thể tích

AD AB  AM AN

V .

V .

. Gọi lượt là các điểm di động trên các cạnh AB và AD sao cho

V .

V .

V .

.S AMN . Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 6

1 3

A. B. C. D. khối chóp 1 4

1 8 Lời giải

.





V



V



.

V

A SMN

.

A SBD

.

S ABCD

.

V A SMN V

AM AN . AB AD

AM AN . AB AD

1 2

AM AN . AB AD

A SBD

.

1

1

1



V



V



V



V



V

A SMN

.

S ABCD

.

S ABCD

.

S ABCD

.

S ABCD

.

2

2

1 4



2.

AD AB .2. AM AN

AD AN

AB AM

4 2

  

  

2

    

    

  V

V

1 4

Chọn A.

2

4

Câu 40: Cho hình chóp S. ABCD có ABCD là hình bình hành và thể tích bằng V . Gọi M ,N lần lượt là

 . Gọi V  là thể tích khối

AB AD  AM AN

các điểm di động trên các cạnh AB và AD sao cho:

chóp S.MBCDN . Tìm giá trị lớn nhất của V  .

V .

V .

V .

V .

1 4

2 3

3 4

1 3

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải Chọn C.

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Tài liệu Vted_2018

S

D

A

N

M

B

C

V

AMN







S . AMN V

S S

AM .AN AB.AD 2

AM AN . AD AB

2

ABCD



x, x

0



Ta có: .

 . Từ giả thiết suy ra:

AB AM

2 AD AN

1 

4

x

V



V

Đặt .

S . AMN

1  4

x

x





2

x

x

x

4



x





4



V

V

 

V



V

  V

Do đó: .





S .AMN

S .MBCDN

  4 2

1 4

3 4

  

  

Mà .

V .

3 4

Vậy V  đạt giá trị lớn nhất là

AB,BC và E là điểm đối xứng với B qua D . Mặt phẳng  thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh A có thể tích V . Tính V .

3

3

3

Câu 41: Cho khối tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Gọi M ,N lần lượt là trung điểm của các cạnh MNE chia khối tứ diện ABCD

V 

V 

V 

V 

a 13 2 216

a 7 2 216

32 a 18

a 11 2 216

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải Chọn D.

40 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Tỉ số thể tích

A

M

Q

E

B

D

P

N

C

MNE với CD, AD .

V V

V

V

V







AMNP

ANCP

AMNCPQ

AMPQ

Gọi P,Q lần lượt là các giao điểm của mặt phẳng  Khi đó: .

V



.V



V



V

Dễ thấy P,Q lần lượt là trọng tâm các tam giác BCE, ABE .

ABPD

ABPD

ABCD

AM AQ . AB AD

1 3

1 9

V



V

V



. Ta có: AMPQ

AMNP

ABCD

ABNP

1 6

V



V

V



.

ABCD

ANCP

ABCD

1 9

1   6

1 3

1 2 1 V 3

11 18 ABCDV

  

  

3

. Do đó: .



V 

32 a

ABCDV

12

a 11 2 216

Mà . Vậy .

2

Câu 42: Cho khối tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Gọi M ,N lần lượt là các điểm trên cạnh AB,AC

 . Mặt phẳng 

 chứa M ,N , song song với AD chia khối tứ diện

AM BM

1  , 2

AN CN

ABCD thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh A có thể tích V . Tính V .

3

3

3

3

sao cho

V 

V 

V 

V 

a 4 2 108

a 5 2 108

a 4 2 81

a 11 2 342

A. . B. . C. . D. .

A

M

Q

D

B

N

P

C

Hướng dẫn giải Chọn A.

 với CD,BD .

Gọi P,Q lần lượt là các giao điểm của mặt phẳng 

41 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Tài liệu Vted_2018

V V



V



V



V

AMNPDQ

AMPQ

ANPQ

AQPD

V



.V







. V

. V

Khi đó: .

ABCQ

ABCQ

ABCD

1 2 3 3

2 2 9 3

4 27 ABCDV



. V

V



V

. Ta có: AMNQ

ANPQ

ACPQ

ABCD

2 27 ABCDV

V



V



. V

.

AQPD

ABCD

ABCD

2 3 1 2 3 3





V



V

.

ABCD

AM AN . AB AC 2 1 3 9 2 9 2 27

4 27

2 9

  

  

3

3

Do đó: .

32 a





V 

ABCDV

12

4 9 ABCDV a a 4 2 2 27 108

. Mà . Vậy

,AB BC và E

Câu 43: Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh a . Gọi

k

 . Tìm k để mặt phẳng 

MNE chia khối tứ

,M N lần lượt là trung điểm các cạnh BE BD

3

là điểm thuộc tia đối của tia DB sao cho

a 11 2 294

. diện thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh B có thể tích bằng

k  . 5

k  . 4

k  . 6

6 k  . 5

B. C. D. A.

Hướng dẫn giải

Chọn C.

B

N

M

C

A

P

Q

D

E

3

a

2

V  0

12

Ta có, thể tích tứ diện đều ABCD là .

42 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Tỉ số thể tích

V



.

.



BMNE

V 0

V 0

BM BN BE BA BC BD

k 4

.

2

Theo Thales, ta có:

 1

EDPQ

BMNE

2

 2

 2

 1  1

2

3

k



k



k

1

V





.

.



1



k  2 k  k  1 k 1  V  . . V  . . .   V 0 EP EQ ED EN EM EP  k k 4 EP EQ  EN EM k  1 k  4  ( k   1) 1 2

B MNPDQ

.

V 0

V 0

V 0

2

2

k 4

 k

k 4

k 4

 2

k



k

k



4 

 1  1

 4  2

 1  1

   

   

3

k



V



1



  k

4





Do đó, .

B MNPDQ

.

V 0

V 0

V 0

2

22 49

k 4

22 49

k

k



 4  2

 1  1

   

   



 có thể tích V . Các điểm

,M N P trên các cạnh

,

AA BB CC

 ,

 ,

Theo giả thiết, ta có .

ABC MNP . .





,



BN  BB

1 2

2 3

sao cho . Tính thể tích khối đa diện Câu 44: Cho lăng trụ đứng ABCA B C AM  AA

V .

V .

V .

V .

 CP  CC 9 16

2 3

20 27

11 18

B. A. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn D.

C'

A'

N

B'

M

P

A

C

B

ABC MNP .

M ABC .

M BCPN

.

BCPN

Ta có, V  V  V .

V



V



V .



V



V





MBCPN

MBCC B

M ABC .

S S

2 2 . 3 3

4 9

V 6





BCC B

Trong đó, và .

43 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Tài liệu Vted_2018

V



V



V



V

ABCMNP

1 6

4 9

11 18

Vậy .

.S ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích là V . Gọi M là trung điểm AMN cắt cạnh SC tại DP

SP



2

Câu 45: Cho hình chóp



. Mặt phẳng 

của SB , P là điểm thuộc cạnh SD sao cho N . Tính thể tích khối đa diện ABCDMNP .

V



V

V

V

V

V



V



ABCDMNP

ABCDMNP

ABCDMNP

ABCDMNP

2 V 5

7 30

23 30

19 30

A. . B. . C. D. . .

Hướng dẫn giải

Chọn A.

S

N

P

M

I

D

A

O

C

B

O AC BD SO MP I ,

  

N AI









SC

Gọi .

Xét tam giác SBD :

S

M

P

H

O

E

B

D

O

DH SB . / /

 và

Kẻ MP BD E 

.

.

  

1

EO DP SI ED PS IO

SI 4 I O 3

Có:

Xét tam giác SAC :

44 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Tỉ số thể tích

S

N

I

C

A

O

.

.

  1

AC OI SN AO IS NC

SN NC

SN    . SC

2 5

2 3

Ta có:

V



V



V



V



V .



.

.

V



.

.

V



V

SAMNP

SAMN

SANP

SABC

SACD

SM SN . SB SC

SN SP . SC SD

1 2 1 2 5 2

2 2 1 5 3 2

7 30

.

V



V

ABCDMNP

23 30

.S ABC có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng a . Gọi

Vậy .

,M N lần ,SA BN sao cho

,P Q trên các đường thẳng

Câu 46: [2H1-3.2-4] Cho khối chóp

,AB SC . Các điểm .S BNP

. Tính thể tích V của khối chóp lượt là trung điểm của các cạnh PQ CM

V 

V 

V 

V 

32 a 36

32 a 72

32 a 18

32 a 9

A. B. C. D.

Lời giải

S

Q

P

N

I

C

A

M

B

Chọn B

  SA a SB b SC c 





 SC

 a

  ,

  ,



  SA SB 







  b c 





1 2

1 2

1 2

   . Ta có: CM SM SC   Đặt

45 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Tài liệu Vted_2018



   1

   1    PQ SQ SP

Và:  c    SP kSA ka    SQ mSN     m b m 2

   1

  m SB  ka  c        m b         m 2

  ,PQ CM

1

 ka

 a





 c n 



  b c 



k

m  

;

   1

  m b

m 2  1

m 2

1 2

1 2

4 3

1  3

  

  

k    1 2

m  1 2

3

3

V



Theo giải thiết ta lại có hai vecto cung phương, ta có:





.

V . S ABC

.

SP SN . SA SC

1 1 . 3 2

a 2 12

a 2 72

Do đó:

ABCD A B C D có '

'

'

AC

a ' 6

3

3

3

3

Câu 47: Cho khối hộp tất cả các mặt là hình thoi, và

. 60 B.

'  . Tính thể tích V của khối hộp đã cho. V

3 2



a

a 2 3 C. V  . . D. V  a 6 3 .

 'A AB BAD 'A AD  . A.  a 6 2

V

Hướng dẫn giải

Chọn D.

A

D

O

B

C

I

A'

D'

B'

C'

 'A AB  'A AB là các tam giác đều. Do đó khối tứ diện

'A AD ,

 nên các tam giác ABDA là khối tứ diện đều cạnh

60 '

'AC và

'A O .

Vì các mặt của hình hộp là hình thoi và BAD 'A AD ABD , x .

Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD , I là giao điểm của

'A O là trung tuyến của tam giác

'A BD .

Khi đó ta có:



AI OI  IA IC

'

'

AO A C '

'

1  . 2

Và:

'A BD .

 và I là trọng tâm tam giác đều

AI AC

'

1 3

Nên:

46 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

AI



BDA

AI



.6

a



2

a



'

Do đó: và .

Chuyên đề_Tỉ số thể tích 1 3

2

2

2

2

AI



A A '



A I '



x



x



x

3 3

6 3

   

   

x

  

a

2

x

a

6

Ta có: .

6 3

Suy ra: .

33a

.

a

6

'A A BD cạnh bằng



3

2 12

3

x a 6  Khối tứ diện đều có thể tích là: .

V



V 6.



a 6. 3

ABCD A B C D '

.

'

'

'

A A BD '

.

Suy ra thể tích khối hộp là: .

.S ABCD có thể tích V , đáy là hình bình hành. Mặt phằng

2

 đi qua điểm A , và trọng tâm G của tam giác SAC cắt các cạnh

Câu 48: Cho hình chóp

 SM MB ,N P . Tính thể tích khối chóp

điểm M cạnh SB thỏa mãn ,SC SD lần lượt tại

V 2 3

V 3

.S AMNP V 2 9

V 4 9

A. . B. . . C. D. .

Hướng dẫn giải

Chọn B.

O AC BD N AG SC P MG SD













,

,

Gọi

SG SM  SO SB

SP 1    SD 3

1 3

S ANP

.

Ta có





V



V

S ANP

.

S ACD

.

V V

SN SP . SC SD

1 2 . 2 3

1   3

1 3

S ACD

.

.



V



V

S ANM

.

S ACB

.

V S ANM V

SN SM . SC SB

1   3

1 3

S ACB

.

Ta có

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Tài liệu Vted_2018

V



V



V

S ACD

.

S ACB

.

1 2

Mà

V



V



V



.2

V



S AMNP

.

S ANP

.

S ANM

.

S ACD

.

1 3

V 3

Nên

.S ABCD có thể tích V , đáy là hình bình hành tâm O . Mặt phẳng ,M N P . Tính thể tích SB SC SD lần lượt tại

,

,

,

 đi qua A , trung điểm I của SO cắt các cạnh  nhỏ nhất của khối chóp .S AMNP .

Câu 49: [2H1-3.3-4] Cho hình chóp

V 18

V 3

V 6

V 4 9

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải











 

Chọn C.

 thì ta có

a

,

b

,

c

,

d

a

1,

c

3,

b d

2

   . bd

4

4

SA SA

SB SM

SC SN

SD SP

SO SI

a

c d

S AMNP

.









Đặt

MinV

S AMNP

.

V V

   b abcd 4

8 db 12

2 bd 3

1   6

V 6

S ABCD

.

Mà



Câu 50: [2H1-3.3-3] Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh a . Gọi E là điểm đối xứng của A qua D . Mặt ABD cắt cạnh AB tại điểm F . Tính thể tích V

a

a

a

a

phẳng qua CE và vuông góc với mặt phẳng  của khối tứ diện AECF

3 2 30

3 2 60

3 2 40

3 2 15

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Chuyên đề_Tỉ số thể tích

tròn ngoại tiếp

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19 ra







 



CH

ABD

ABD

CHE

F EH AB

giác ABD tam suy





Gọi H  là  tâm  đường 

.

  1

.

1

FB FA

4 1 . 3 2

FB     FA

3 2

AF AB

2  5

HF FB EA 1 . FA EF HB 1

3

3

a

2

a

2











Lại có

V

V .

.

S . 

S . 

ACEF

ACE

ACD

ABCD

,

,

 F ADB



 B ACD



d 



d .2. 



1 3

4 5

4 5

12

15

1 2 . 3 5

Có (có thể dùng tỷ số thể

tích)

 . Gọi



120

 60 ,

BSC

 90 ,



 .S ABC có SA SB SC a



,M N

Câu 51: Cho khối chóp



 ,    CSA AM AB

 ASB CN SC

lần lượt là các điểm trên cạnh AB và SC sao cho . Khi khoảng cách giữa M và N

3

3

nhỏ nhất, tính thể tích V của khối chóp SAMN .

32 a 72

a 5 2 72

a 5 2 432

32 a 432

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

Chọn C.

S

N

A

C

H

M

B

AB a BC a ,





2,

 AC a

3





Ta có, nên tam giác ABC vuông tại B .

 nên chân đường cao của hình chóp là trung điểm của AC .

3

a

2

Do SA SB SC a

V



SH S . .



a a . .

2



.

.

SABC

ABC

a 1 1 3 2 2

12

1 3

Ta có, .

2

2

3

3

a

2

(Cách 2 : Dùng công thức tính nhanh thể tích khi biết thông tin tại đỉnh

V



1



c os

2 



c os

2 



c os

2 



1 0

 





abc 6

a 6

1 2

1 2

12

  

  

  

  

)

  SA a SB b SC c 

  ,

  ,









m

0



m

 và giả sử

 1



CN SC

AM AB

Đặt .

49 | VD_VDC

Tài liệu Vted_2018

2

2

  . b c

,

  c a .



0,



 

, .

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18    Ta có a . a b

a 2

a 2

 b  c    a

 SN

   1

  m c









 .  m a m b

  MN

   Ta có , .   SM SA AM a m AB a m b a        .   

   MN SN SM











   1



   1

  m c

   1

  m c

   a m b a



 

 

2

2



2

2

2

Do đó: .

MN





 .  m a m b



m 3



5

m



3

a



 1



   1

  m c









a 11 12

Ta có: .

m  .

5 6

3

3

Dấu bằng đạt tại

V



V .



V .



m





.



.

 1

 m V .

SAMC

SABC

SABC

SN SC

SN AM . SC AB

5 1 . 6 6

a 2 12

a 5 2 432

Ta có

.S ABCD có thể tích V và các điểm

1

1

1

Câu 52: Cho khối chóp , ,

,

,

,

1

1

2

2

, , , SA B C D có thể tích 1V ; các điểm

SA SB SC SD , khối chóp ,

1 1 ,

1

2

2

1

đoạn thẳng là trung điểm của các đoạn thẳng , , 2 2 SA B C D có thể tích 2

2 ,

n

n

n

n

n

A B C D lần lượt là trung điểm các 1 A B C D lần lượt 2V . Cứ A B C D là trung điểm các , ,

n 

 1

1

n

1 SA B C D có thể tích n n   V V V V V 3

2018

2

1

2018

2018

2019

V





S

S

S



V

S



V

V

n 1   1 2018

 1 2019

 1 2019

 1 2018

16 15.16

16 15.16

8 7.8

  ... SA SB SC SD và khối chóp 1 nV với . 2019 A. B. . C. . D. . . tiếp tục như thế ta được khối chóp  . Tính SA B C D đoạn thẳng  n 1 n 8 7.8

Hướng dẫn giải

Chọn B.

S

D1

A1

D

B1

C1

A

B

C

3

3

3

 V V



V



V



V



V



V

1

SACB

SACD

SABCD

SA C B 1 1 1

SA C D 1 1 1

1 2

1 2

1 2

1 2

  

  

  

  

  

  

  

  

3

3 Ta có, .

V 2

V 1

1 2

   

  

Tương tự, .

……………………….

50 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Tỉ số thể tích

3

V n

V 

n

1

1 2

   

  

2018

1

2018

1 8

   



.



.

V

V 1

1

2

2018

 1 2018

8 7.8

1



   1 8

Vậy:     ... V .  V V V V 3

1

1

1V , các đỉnh

1A ,

1D lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD , CDA , DAB , ABC . Khối tứ diện thể tích

2D lần lượt là trọng tâm các tam giác

2B ,

1

1

1

2A ,

n

n

1

2 2 B C D , 1 A B C D có thể tích  ,

n C D A n n

 ,

 1

 1

 1

n

1

1

n B C D n n

 1

n

1C , 1B , A B C D có 2 2 C D A , 1 1 nV , các đỉnh  , D A B  1 n n

 1

n

1

Câu 53: Khối tứ diện ABCD có thể tích V , khối tứ diện A B C D có thể tích 1 1

2018

1

 1

 1

n

2019

2018

n 2018 3

  . S V V 1 2

2019 3

2V , các đỉnh 2C , A B C . Cứ tiếp tục như thế ta được khối tứ diện 1 1 nD lần lượt là trọng tâm các tam giác nC ,  . Tính V   V 1

 1



 1



 1

2018

2019

2018

2019

27 27 V   V  V ...    D A B , 1 1 1 nB , nA , A B C n  . B. S  . C. S  . D. S  . A. S  2.3 26.27 26.27 2.3 Lời giải Chọn C







 BCD nên







B C D 1 1

 1 //

1

1

1

1

  d A B C D , 1



  d D BCD ,



  d A BCD ,



. Ta có 

S

BCD

1

B C D 1 1 1

1 k  nên 3

1 3 1 S 9

Lại có   BCD với tỉ số đồng dạng . B C D 1 1



V

1 27

. Do đó 1 V





V





V

V



V

V 2

V 1

V 3

V 2

2018

2

3

1 27

1 27

1 2018 27

1 27

2018

Tương tự: ta có , , …, .



 V 1

S





  ...

V

2018

2

1 27

1 27

1 2018 27

  

  

1 27 1 2018 27 1 27

1  27 Khi đó:  . V  . 1 27 26.27 1 

Tài liệu Vted_2018

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

52 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Tỉ số thể tích

NHÓM GIẢI VẬN DỤNG CAO CHUYÊN ĐỀ TỈ SỐ THỂ TÍCH - NĂM HỌC 2017-2018

VTED_2019 MÔN: TOÁN 12

Thời gian làm bài 90 phút

.V Gọi

,M N P lần lượt là trung điểm các cạnh

,

BC CA AB

,

,

'

Câu 1: Cho khối chóp S.ABC có thể tích

'V là thể tích khối chóp

S MNP Tính tỷ số

.

.

.

V V

'

'

'

'

và



.



.



.



.

V V

V V

V V

3 4

1 3

1 2

V V

1 4

A. B. C. D.

.S ABCD có thế tích

.V Gọi

M N P Q lần lượt là trung điểm các cạnh

,

,

,

'

'V là thể tích khối chóp

.

AB BC CD DA Gọi ,

.

,

,

S MNPQ Tính tỷ số

.

.

V V

'

'

'

'

Câu 2: Cho khối chóp



.



.



.



.

3 4

1 8

V V

V V

V V

V V

1 2

1 4

A. B. C. D.



Câu 3: Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V . Gọi V  là thể tích của khối tám mặt có các đỉnh là









. trung điểm các cạnh của khối tứ diện ABCD . Tính tỉ số

V V

1  . 4

V V

3  . 4

V V

1  . 8

V V 1  . 2

V V

D. A. B. C.



Câu 4: Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V . Gọi V  là thể tích khối tứ diện có bốn đỉnh là trọng

V V









. tâm các mặt của khối tứ diện ABCD . Tính tỉ số







V V

8 27

V V

1 27

V V

4 27

V V

4  . 9

A. . B. . C. . D.



Câu 5: Cho khối tứ diện đều ABCD có thể tích V . Gọi M , N , P lần lượt là trọng tâm các tam giác

ABC , ACD , ADB và V  là thể tích khối tứ diện AMNP . Tính tỉ số

V V















.

V V

8 81

V V

6 81

V V

4 27

V V

4  . 9

A. . B. . C. . D.

,M N P lần lượt là trọng tâm các

,

Câu 6: Cho khối tứ diện đều ABCD có độ dài cạnh bằng a . Gọi

,

,

3

V 

V 

V 

V 

tam giác

ABC ACD ADB . Tính thể tích V của khối tứ diện AMNP 32 a 72

a 2 2 81

32 a 144

32 a 162

A. C. B. D.

.S ABCD có thể tích V và

M N P Q lần lượt là trọng tâm các tam giác

,

,

,



SAB , SBC , SCD , SDA . Gọi V  là thể tích khối chóp

.S MNPQ . Tính tỉ số







V V 







Câu 7: Khối chóp tứ giác

V V

8 81

V V

4  9

V V

8 27

4 27

V V

B

C

M

A. B. C. D.

A

D

N

k



Câu 8: Người ta cần cắt một khối lập phuwong thành hai khối đa diện bởi mặt phẳng đi qua đỉnh A (như hình vẽ) sao cho phần thể tích của khối đa diện chứa đỉnh B bằng một nửa thể tích của khối đa

P

CN  CC

B'

C'

diện còn lại. Tính tỉ số

A'

D'

A. B.

1 k  3 3 k  4

2 k  3 1 k  2

C. D.

1 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18 Câu 9: Cho khối chóp

Tài liệu Vted_2018 ,P Q

.S ABCD có thể tích V và đáy ABCD là hình vuông tâm I . Các điểm

,P Q không phải là đỉnh của hình vuông). Tính

,AB AD sao cho  90

PIQ 

 (

.S APIQ .

V 4

V 2

V 6

ABCD A B C D có thể tích V . Các điểm

'

'

,M N P là các điểm thỏa mãn

,

A. B. . . C. . D. . lần lượt trên cạnh thể tích của khối chóp tứ giác V 3

 AD

.  AN



3.

 AP

 ' 2.

, , . Tính thể tích khối tứ diện AMNP . Câu 10: Cho khối hộp  AB

V 72

 AM 4 V 6

' '  AA V 144

V 48

. A. B. . C. . D. .

,M N P lần .

Câu 11: Cho tứ diện ABCD có các cạnh

,AB AC và AD đôi một vuông góc. Các điểm a 6

a 4

AC

AB

, AD

a 7

,BC CD và BD . Cho biết

3

3

3

, ,

37V a

a 28

V



V



14

a

V



a 21

A B C lần lượt thuộc các tia

',

',

'

SA SB SC và không trùng

,

,

lượt là trung điểm các đoạn thẳng Tính thể tích của khối tứ diện AMNP . . A. B. . C. . D. .

'

'

'C'

'C'





Câu 12: Cho khối chóp SABC các điểm với

.

.

.

.

.

.

.S Hỏi khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? V SA B ' V

SA SB SC SA SB SC '

V SA B ' V

1 3

'

'

SA SB SC ' SA SB SC

SABC

SABC

'

'

'C'

'C'

A. B.





.

.

.

.

.

.

V SA B ' V

SA SB SC SA SB SC '

'

'

1 3

SA SB SC ' SA SB SC

V SA B ' V

SABC

SABC

SA SB SC SD Mệnh đề nào .

,

,

,

C. D.

V

V

V

V

SMNPQ

SMNPQ

SMNPQ

SMNPQ



Câu 13: Cho hình chóp SABCD có MNPQ lần lượt là trung điểm của dưới đây là đúng?

.

V

1  . 2

V

1  . 4

V

1  . 8

V

1 16

SABCD

SABCD

SABCD

SABCD





 Gọi a 3 .

a AD

,

,

a AC 6 , .

AB ,

,M N P 9 , ABC ACD ABD Tính thể tích V của khối tứ diện

A. B. C. D.

34 a

V

36V a

V

a

32 .

B. C. D. Câu 14: Cho tứ diên ABCD có các góc tại đỉnh A vuông, lần lượt là trọng tâm của các tam giác AMNP . 38V A. a

,M N P là các điểm thỏa mãn

,

Câu 15: Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V và các điểm

  , AC AP



3

 AD



4

 AM



2

. Hỏi khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?

V

V 8 .

V



V 24 .

V



.

V



.

AMNP

AMNP

AMNP

AMNP

V 8

  , AB AN V 24

B. C. D. A.

AB a CD b ,

 , khoảng cách giữa



,AB CD bằng d và góc giữa

Câu 16: Cho khối tứ diện ABCD có

V



abd  sin .

V



abd  sin .

chúng bằng . Tính thể tích V của khối tứ diện ABCD .

A. B.

V



abd  cos .

V



abd  cos .

1 6 1 3

1 6 1 6



,

C. D.

 và đôi một vuông góc. Gọi

,M N P lần lượt là

 ,

AB BC CA . Tính thể tích V của khối tứ diện OMNP .

,

Câu 17: Cho tứ diện OABC có OA OB OC a

3

3

3

V 

.

V 

.

V 

.

V 

.

a 4

a 24

a 6

a 12

trung điểm các cạnh 3 A. B. C. D.

.S ABC có chiều cao bằng 9, diện tích đáy bằng 5. Gọi M là trung điểm cạnh

NS



2

NC

.A BMNC .

Câu 18: Cho hình chóp

SB và điểm N trên cạnh SC sao cho A. 15 .

B. 5 . . Tính thể tích V của khối chóp C. 30 . D. 10 .

2 | VD_VDC

EB



3

Chuyên đề_Tỉ số thể tích Câu 19: Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V và điểm E trên cạnh AB sao cho

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19 . Tính thể AE

V 3

V 2

V 5

'

'

.

)

'

ABC A B C . Đường thẳng đi qua trọng tâm của tam giác ABC và song song ' A DE chia khối lăng trụ thành hai ,AB AC lần lượt tại

,D E . Mặt phẳng (

A. B. . . C. D. . tích của khối tứ diện EBCD . V 4

4 23

2 3

4 27

A. C. B. . . D. . Câu 20: Cho khối lăng trụ với BC cắt cạnh phần, tính tỉ số thể tích (số bé chia số lớn) của chúng. 4 9

4

Câu 21: Cho tứ diện ABCD có thể tích V . Xét điểm P thuộc cạnh AB , điểm Q thuộc cạnh BC và

 , 2

 , 3

 . Tính thể tích của khối tứ diện

PA PB

RB RD

QB QC

điểm R thuộc cạnh BD sao cho

BPQR . V 5

V 4

V 3

V 6

.S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Các điểm A ,C

 thỏa mãn

 SC

 SA

 SC

 SA

 

 

A. . B. . C. . D. .

 cắt các cạnh SB,SD lần lượt tại

P chứa đường thẳng A C

1 5 V





B ,D

 và đặt

, . Mặt phẳng  Câu 22: Cho hình chóp tứ giác 1 3

k



  S . A B C D V

S . ABCD

. Giá trị nhỏ nhất của k là?

15 16

1 60

1 30

4 15

 thỏa mãn

.S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Các điểm A ,C

 SC

 SA

 SC

 SA

 

 

A. . B. . C. . D. .

 cắt các cạnh SB,SD lần lượt tại

P chứa đường thẳng A C

1 5 V





B ,D

k



 và đặt

, . Mặt phẳng  Câu 23: Cho hình chóp tứ giác 1 3

  S . A B C D V

S . ABCD

. Giá trị lớn nhất của k là?

4 27

4 105

1 30

4 15

A. . B. . C. . D. .

x 

x 

x 

x 

h 4 4

h 3 6

h 3 3

D. A. C. B. . . . . Câu 24: Cho tứ diện đều có chiều cao h , ở ba góc của tứ diện người ta cắt đi các tứ diện đều bằng nhau có chiều cao x để khối đa diện còn lại có thể tích bằng một nửa thể tích của khối đa diện đều ban đầu. Tìm x . h 3 2

Câu 25: Cho tứ diện đều có chiều cao h , ở bốn góc của tứ diện người ta cắt đi các tứ diện đều bằng

3 4

thể tích của khối đa diện đều nhau có chiều cao x để khối đa diện còn lại có thể tích bằng

x 

x 

x 

x 

h 3 16

h 4 12

h 3 6

A. . B. . C. . D. . ban đầu. Tìm x . h 3 4

Câu 26: Mặt phẳng đi qua trọng tâm của một tứ diện, song song với một mặt của tứ diện và chia khối tứ diện đã cho thành 2 phần. Tính tỉ số thể tích (số bé chia số lớn) của hai phần đó.

2 3

5 7

27 37

3 4

A. . B. . C. . D. .

3 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Tài liệu Vted_2018

'

.

'

'

'

'

ABCD A B C D và điểm E thuộc cạnh

'BB thỏa mãn

BE 

BB 4

Câu 27: Cho khối hộp , điểm F

,A F E chia khối hộp thành

,

DF



DD

'

'DD thỏa mãn

3 4

thuộc cạnh . Mặt phẳng qua ba điểm

hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.

3 2

4 3

C. D. . A. 2 . B. 1.

.

'

'

AB



4 ,

a AD



6 ,

a AA

 ' 7

a

Câu 28: Cho khối hộp hình chữ nhật . Các điểm

 AM



2

' ABCD A B C D có '   AD AP ,

  AB AN ,

 ' AA





4

3

,

3

3

3

. Tính thể tích V của khối tứ diện

,M N P thỏa mãn AMNP . 3 A.

168a .

672a .

336a .

1008a .

B. C. D.

.S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi

'C là trung điểm cạnh SC .

'

'

'AC cắt các cạnh

,SB SD lần lượt tại

B D . Đặt '

',

m



Câu 29: Cho hình chóp

P chứa đường

V . S B C D ' V

ABCD

Mặt phẳng 

Gía trị nhỏ nhất của m là?

2 27

4 27

1 9

2 9

,SB SD lần lượt tại

,B D

A. . B. . C. D. .

.S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi C là trung điểm của P chứa đường thẳng AC cắt các cạnh  . Đặt





 S B C D

.

Câu 30: Cho hình chóp tứ giác cạnh SC . Mặt phẳng 

m



S ABCD

.

. Giá trị nhỏ nhất của m là ?

V V 1 9

1 8

3 8

4 9







. A. B. . C. . D. .

 có thể tích V . Tính thể tích khối tứ diện AB CD

 theo V .

Câu 31: Cho khối hộp

V 3 4

ABCD A B C D . V 6

V 3

V 4







,

,M N P thoả mãn

A. . B. . C. . D. .

 có thể tích V . Các điểm

 AM

 AC



2

,

 AB



 AP

. ABCD A B C D  AD



4

, . Tính thể tích của khối tứ diện AMNP theo V . B. 4V . Câu 32: Cho khối hộp  AN 3 A. 8V . D. 18V .

.

S AMN

,M N . Đặt

m



ABC cắt các cạnh

Câu 33: Cho khối tứ diện đều đi qua S và trọng tâm của tam giác

,AB AC lần lượt tại

S ABC

.

. Giá trị nhỏ nhất của m là? C. 6V . P .S ABC cạnh bằng a . Mặt phẳng  V V

2 3

2 9

4 9

1 3

 SM

  , SA SP

 SC



3



2

,

,M N P lần lượt là các điểm thỏa mãn

A. . B. . C. . D. .

S MNP

.

và

 . Tìm k .

.S ABC có V 1 V 6

S ABC

.

. Biết Câu 34: Cho hình chóp   SN k SB 

1k  .

k 

36

k 

1 36

1 k  . 6

,

,

,

,

,

A. . B. D. . C.

M N P Q R S lần lượt là trung điểm của các cạnh

3 9 2 cm . Tính

,

,

,

,

Câu 35: Cho khối tứ diện đều ABCD . Gọi

AB AC AD BC CD BD . Biết rằng thể tích khối bát diện đều MQNPSR bằng , độ dài cạnh của tứ diện ABCD . A. 2 cm .

C. 6 cm . B. 3 cm . D. 3 2 cm .

4 | VD_VDC

Chuyên đề_Tỉ số thể tích Câu 36: Một khối gỗ hình lập phương có độ dài cạnh bằng

cmx 

80cm

x 

(như hình vẽ bên). Tìm thể tích V của khối gỗ sau khi đục biết rằng

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19 . Ở chính giữa mỗi mặt của hình lập phương, người ta đục một lỗ hình vuông thông sang mặt đối diện, tâm của lỗ hình vuông là tâm của mặt lập phương, các lỗ hình vuông song song với cạnh của hình lập phương và có độ dài  cmy , y 

20cm

3

3

3

3

V 

490000cm

V 

432000cm

V 

400000cm

390000cm

.

V  A. . B. . C. . D. .

cmx 

Câu 37: Một khối gỗ hình lập phương có độ dài cạnh bằng

. Ở chính giữa mỗi mặt của hình lập phương, người ta đục một lỗ hình vuông thông sang mặt đối diện, tâm của lỗ hình vuông là tâm của mặt lập phương, các lỗ hình vuông song song với cạnh của hình lập phương và có độ dài

cmy 

S V

(như hình vẽ bên). Tính tỉ số , trong đó V là thể tích của khối gỗ sau khi đục và S





là tổng diện tích mặt (trong và ngoài) khối gỗ sau khi đục.

S V

6 

y

x

S V

3 

y

x













A. . B. .

S V

2 

 2  2

y

x

S V

9 

 2  2

y

x

  y 3 x  y  x  3  y x   x y





  y 3 x  y  x  3  y x   x y









.S ABC . Trên cạnh bên SA lấy các điểm M , N sao cho SM MN NA

 là các mặt phẳng song song với mặt phẳng 

C. . D. .

 , 

3

3

3

3

3

3

3

3

3

. Gọi  ABC và lần lượt đi qua M , N . Khi  chia khối chóp đã cho thành 3 phần. Nếu phần trên cùng có thể

10dm thì thể tích của hai phần còn lại lần lượt là? 80 dm và 70 dm và

190 dm . 200 dm .

70 dm và 80 dm và

190 dm . 180 dm .

.S ABCD là hình bình hành. Trên cạnh SA lấy các điểm



,M N sao ABCD và lần lượt đi

Câu 38: Cho hình chóp   ,  đó hai mặt phẳng  tích A. C. B. D.

,  song song với mặt phẳng 

 



3

10dm thì

 ,M N chia khối chóp đã cho thành ba phần. Nếu phần trên cùng có thể tích là

3

3

3

3

Câu 39: [2H1-3.3-2]Cho hình chóp cho SM MN NA  . Hai mặt phẳng 

70 dm .

80 dm .

180 dm .

190 dm .

qua phần ở giữa có thể tích là? B. A. C. D.













Câu 40: [2H1-3.3-2]Cho

ABCD . Tính thể tích V của khối tứ

AB

8

cm

AC

9

cm

AD

10

cm











, , tứ , diện 

3

3

3

3 cm .

60 2cm .

180 2cm .

250 2cm .

có    060 BAC CAD DAB diện đã cho. 250 2 A. B. C. D.

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18 Câu 41: [2H1-3.3-2]













Cho diện

,

, . Gọi

Tài liệu Vted_2018 ABCD A B C D lần lượt là

,

,

8

AD

cm

cm

10

9









1

1

1

1

tứ  ,

 cm AC , ,

,

,

AB BCD ACD ABD ABC . Tính thể tích V của khối tứ diện

A B C D .

1

1

1

1

3

3

có    060 BAC CAD DAB trọng tâm của các tam giác

3 cm .

3 cm .

20 2cm .

60 2cm .

20 2 3

20 2 9

;

;

.S ABCD . Một mặt phẳng song song mặt đáy cắt các cạnh M N P Q lần lượt là hình chiếu của M N P Q . Gọi , ,

SA SB SC SD lần ; M N P Q lên mặt đáy. Tìm

',

',

',

,

,

,

,

'

A. B. C. D.

MNPQ M N P Q lớn nhất. '

.

'

'

'

để thể tích khối đa điện tỉ số Câu 42: Cho hình chóp lượt tại SM SA

SM SA

3  . 4

SM SA

2  . 3

1 2

1  3

ABC cắt các cạnh bên

.S ABC . Một mặt phẳng song song với mặt đáy 

A. B. C. . D.

,

M N ,

, P.

', N', P'

SA SB SC lần lượt tại

SM SA  lần lượt là hình chiếu vuông góc của

ABC . Tìm tỉ số

Câu 43: Cho hình chóp , Kí hiệu

,

MNP M N P đạt giá '

.

'

'

,PM N lên mặt phẳng 



M SM SA

để thể tích khối đa diện

SM SA

1  . 2

SM SA

3  . 4

SM SA

2  . 3

A. B. C. D. trị lớn nhất. SM 1  . SA 3

.S ABC . Một mặt phẳng (P) song song với mặt đáy (ABC) cắt các cạnh bên SA,

Câu 44: Cho hình chóp

SM SA





SB, SC lần lượt tại M, N, P. Tìm tỷ số để (P) chia khối chóp đã cho thành hai khối đa diện





3

SM SA

1 2

SM SA

1 4

SM SA

SM SA

1 4

.S ABC có tất cả các cạnh đều bằng a , một mặt phẳng 

ABC cắt các cạnh bên

P song song với mặt ,M N P . Tính diện tích tam giác MNP

,

SA SB SC lần lượt tại

,

,



2

2

a

a





S

S

A. . B. . C. . D. . có thể tích bằng nhau. 1 3 2



S



S

MNP

MNP

MNP

MNP

2 3 16

P chia khối chóp đã cho thành hai khối đa diện có diện tích bằng nhau. a 3 4 4 4

a 3 3 4 2

A. D. C. B. . . . . Câu 45: Cho hình chóp đáy  biết mặt phẳng  2 3 8

2

2

2

2

Câu 46: Một viên đá có dạng khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a . Người ta cưa viên đá theo mặt phẳng song song với mặt đáy của khối chóp để chia viên đá thành hai phần có thể tích bằng nhau. Tính diện tích thiết diện viên đá bị cưa bởi mặt phẳng nói trên.

a 2

a 3 4

a 3 2

a 32 2

A. . B. . C. . D. .

.A GBC .

Câu 47: Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 12 và G là trọng tâm tam giác BDC . Tính thể tích V

4V  .

6V  .

5V  .

.

B. C. D. của khối chóp 3V  . A.

' mp ABC góc

'AC tạo với

ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , cạnh AC  . Tính thể tích của khối đa

' 4

060 và

' 

' 

AC  diện

Câu 48: Cho hình lăng trụ tam giác 2 2

. Biết ABCB C . ' '

V 

V  .

V 

V 

8 3 3

16 3 3

16 3

8 3

B. . C. . D. . A.

,M N P lần lượt là trọng tâm của các tam giác

,

ABC ACD ADB . Tính thể tích V của khối tứ diện AMNP .

,

,

Câu 49: Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 54. Gọi

6 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Tỉ số thể tích

. A. B. 4.

27 2 C. 9 .

D. 16 .

'

'

.

'

'

ABCD A B C D có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng 6 và góc nhọn bằng 045 . Tính thể tích

Câu 50: Cho hình hộp

D. C. . . . .

045 , cạnh bên của hình hộp bằng 10 và tạo với mặt phẳng đáy một góc V của khối đa diện 180 A.

' '. ABCDD B . V  60 B.

V 

V 

V 

120

90

.

'

'

'



4

';

'

'

'BB MN .

ABB C . '

'

'

'

',

' MA MA NB

NB PC ';

PC

' 2







3

4

';

'

. BB CC sao cho '

ABC A B C có thể tích bằng 60. Gọi M, N, P lần lượt thuộc các . Tính thể tích khối đa

D. Khối C. Khối Câu 51: Cho khối lăng trụ tam giác ABC A B C . Gọi M, N lần lượt thuộc các cạnh bên AA ', 'CC sao . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Hỏi trong bốn khối tứ diện ' NC  MA MA NC ', ' , ' ', B. Khối 'A BCN . cho GA B C BB MN ABB C A BCN , khối tứ diện nào có thể tích nhỏ nhất? ' GA B C . A. Khối ' '

Câu 52: Cho khối lăng trụ tam giác cạnh bên AA ', diện BCMNP

85 3

A. 40. B. 30. C. 31. D. .

4000

2



2



2

4 2 2



 4000 2

3



Câu 53: Một miếng bìa hình tròn có bán kính là 20cm. Trên biên của miếng bìa, ta xác định 8 điểm A, B, C, D, E, F, G, H theo thứ tự chia đường tròn thành 8 phần bằng nhau. Cắt bỏ theo các nét liền như hình vẽ để có được hình chữ thập ABNCDPEFQGHM rồi gấp lại theo các nét đứt MN, NP, PQ, QM tạo thành một khối hộp không nắp. Thể tích của khối hộp thu được là:

2

B. . A. .



2

4 2 2



4000

2

2

 4000 2

 2 

3



D. . C. .

.S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và thể tích bằng 48 . Kí hiệu

MA MB ND



,



2

NC

,AB CD sao cho

,M N . Tính thể tích của khối

V 

40

V 

20

V 

28

Câu 54: Cho hình chóp

.S MBCN . .

8V  .







ABCD A B C D .

lần lượt là các điểm thuộc cạnh chóp A. B. C. . D. .

 tâm I , các điểm

M N P Q lần lượt là trung điểm các cạnh

,

,

,

,

,

Câu 55: Cho khối hộp

.I MNPQ . AB BC CD DA . Tính thể tích của phần khối hộp nằm bên ngoài khối chóp V 7 8

, V 11 12

V 5 6

V 3 4



D. C. B. . . . . A.

 SS

.S ABCD có thể tích là V và đáy ABCD là hình bình hành. Kí hiệu S là điểm 2

 DC

.S ABCD và

.S ABCD

Câu 56: Cho khối chóp   thỏa mãn . Tính thể tích phần chung của hai khối chóp .

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Tài liệu Vted_2018

V 5 9

V 4 9

V 3

V 2

'

.

,

M N trên các cạnh

, P

AA BB CC sao ',

',

'

A. . B. . C. . D. .

ABC MNP .

.

.



 . Tính thể tích khối đa diện



,

,

AM AA '

ABC A B C có thể tích V . Các điểm BN BB

' CP CC

' 1 3

2 3

'

'

cho Câu 57: Cho lăng trụ 1 2

V .

V .

V .

V .

7 16

7 18

11 18

1 2

A. B. C. D.

'

.

,

M N trên các cạnh

, P

ABC MNP .

.

.

AA BB CC sao cho

',

',

'

 . Tính thể tích khối đa diện





,

ABC A B C có thể tích V . Các điểm AM AA '

' BN BB

CP CC

' 1 2

2 3

'

'

Câu 58: Cho lăng trụ đứng

V .

V .

V .

V .

7 16

7 18

11 18

1 2

A. B. C. D.

'

.

M N trên các cạnh

, P

,

'

',

Câu 59: Cho lăng trụ

ABC MNP bằng

.



x

,

 . Biết thể tích khối đa diện



y

z

,

V . Khẳng định

ABC A B C có thể tích V . Các điểm BN BB

' ' CP CC

'

AA BB CC sao ', 1 2

AM AA ' ' nào sau đây đúng?

cho

x

   . z

y

x

   . z

y

x

   . z

1

y

x

   . z

2

y

3 2

2 3

A. B. C. D.

----------HẾT----------

8 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Tỉ số thể tích

NHÓM GIẢI VẬN DỤNG CAO CHUYÊN ĐỀ TỈ SỐ THỂ TÍCH - NĂM HỌC 2017-2018

VTED_2019 MÔN: TOÁN 12

Thời gian làm bài 90 phút

Đề đã thay đổi thứ tự câu (sắp xếp theo độ khó tăng dần) so với đề gốc

BẢNG ĐÁP ÁN THAM KHẢO

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

HƯỚNG DẪN GIẢI

KIẾN THỨC CẦN NHỚ

S A A A và ...

.

S B B B có chung đỉnh S và hai mặt đáy cùng nằm trên

...

.

1

2

n

1

2

n

1. Cho hai khối chóp

V

S

...

...

S A A . 1 2

A n

A A 1 2

A n



V

S

...

...

S B B . 1 2

B n

B B 1 2

B n

'

'

một mặt phẳng ta có

.S ABC có

 A SA

, B' SB, C





SC

S ABC

.



.

.

.

V V

SA SB SC SA SB SC

'

'

'

S A B C '

.

'

'

2. Khối chóp tam giác ta có

.

'

'





; V

.

Kiến thức cần nhớ đối với khối lăng trụ tam giác và khối hộp

ABC A B C ) '

A ABC

A BCC B

'.

'

'

V 3

V 2 3



;

V



.

(V là thể tích khối lăng trụ tam giác ► '. V

A

BDA C

'

'

V 6

V 3

► '.ABD V

2

2

2. Một số công thức nhanh cho các trường hợp hay gặp

:AH



,



.

BH BC

AB BC

CH CB

AC BC

  

  

  

  

S A A A và cắt cạnh

...

.

►Tam giác ABC vuông tại A có đường cao

 song song với mặt đáy của khối chóp

1

2

n

kSA tại

kM thỏa

V

.

...

3

n

1

2

k



p

.

►Mặt phẳng 



p

,

S M M M V

SM SA k

...

S A A . 1 2

A n

z

x

mãn ta có

ABC A B C có '

.

'

'



x

,



y

,

 thì z

V



V

.

ABC MNP .

AM AA '

BN BB

'

CP CC

'

  y 3

►Hình lăng trụ tam giác

9 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Tài liệu Vted_2018

ABCD A B C D có

.

'

'

'

'



x

,



y

,

z

.

 Mặt phẳng 

MNP cắt D 'D tại Q

AM AA '

BN BB

'

CP CC

'

x

t

z

y

►Hình hộp

t



V



V

.

   với y

z

t

ABCD MNPQ .

DQ DD

'

   4

và thì ta có đẳng thức x

.S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và



x

,



y

,

 Mặt phẳng

z .

SP SC

►Hình chóp

t



 với



MNP cắt SD

SM SA 1 x

SN SB 1 y

1   z

1 t

SQ SD

V



xyzt

  

V .

S MNPQ

.

1 x

1 y

1 1 t z

1 4

  

  

thì ta có đẳng thức và tại Q

,

,

,

►Định lí meneleus cho 3 điểm thẳng hàng: Cho tam giác ABC đường thẳng d cắt các đường

AB BC CA lần lượt tại

,M N P khi đó

.

.

 1.

MA NB PC MB NC PA

thẳng

CÁC VÍ DỤ

.V Gọi

,M N P lần lượt là trung điểm các cạnh

,

BC CA AB

,

,

'

Câu 1: Cho khối chóp S.ABC có thể tích

'V là thể tích khối chóp

S MNP Tính tỷ số

.

.

.

V V

'

'

'

'



.



.



.



.

và

V V

3 4

V V

1 3

V V

1 2

V V

1 4

A. B. C. D.

Lời giải

2

'







.

Chọn D.

V V

S MNP S

1 2

1 4

  

  

ABC

Ta có:

.S ABCD có thế tích

.V Gọi

M N P Q lần lượt là trung điểm các cạnh

,

,

,

'

.

'V là thể tích khối chóp

AB BC CD DA Gọi ,

.

,

,

S MNPQ Tính tỷ số

.

.

V V

'

'

'

'

Câu 2: Cho khối chóp



.



.



.



.

V V

3 4

V V

1 8

V V

1 2

V V

1 4

A. B. C. D.

Lời giải

A

Q

M

D

B

P

N

C

Chọn C.

10 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Tỉ số thể tích S

'





.

V V

MNPQ S

1 2

ABCD

Ta có



Câu 3: Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V . Gọi V  là thể tích của khối tám mặt có các đỉnh là









trung điểm các cạnh của khối tứ diện ABCD . Tính tỉ số .

V V

1  . 8

V V

1  . 4

V V 1  . 2

V V

3  . 4

B. D. C. A.

V V Lời giải

3

V



.

.

V .



V



Chọn C

A MNP

.

AM AN AP AB AC AD

V 8

1 2

  

Ta có .

V

V



V





B MSQ

.

C NQR

.

D PSR

.

   V 8

V 8

V 8

V

V  

4.



Tương tự, ta có , , .

   .

V 8

V V

1 2

V 2

Do đó



Câu 4: Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V . Gọi V  là thể tích khối tứ diện có bốn đỉnh là trọng

V V















. tâm các mặt của khối tứ diện ABCD . Tính tỉ số

V V

8 27

V V

1 27

4 27

V V

4  . 9

A. . B. . C. . D.

V V Lời giải

BCD ,  

ACD ,  

ABD ,  

 ABC .









 A B AB

 A C AC

 A D AD

1  . 3







Chọn B Gọi A , B , C , D lần lượt là trọng tâm các mặt   Ta có

 đồng dạng với khối tứ diện ABCD theo tỉ số

1 k  . 3







Khối tứ diện A B C D

V V

1 27

31   3 

  

Do đó .



Câu 5: Cho khối tứ diện đều ABCD có thể tích V . Gọi M , N , P lần lượt là trọng tâm các tam giác

ABC , ACD , ADB và V  là thể tích khối tứ diện AMNP . Tính tỉ số

V V









.







V V

8 81

V V

6 81

4 27

V V

4  . 9

A. . B. . . C. D.

V V Lời giải

Chọn B

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Tài liệu Vted_2018

MNP cắt các mặt của tứ diện theo các đoạn giao tuyến EF , FH , HE do

MNP

//



 BCD và











  d A BCD ,



2 3

2

S



S



S



S

. Ta dễ có  Ta có mặt phẳng  vậy thiết diện là tam giác EFH .   d A MNP ,

MNP

EFH

BCD

BCD

1 4

1 9

1 2   4 3 

  

V

,



,





Ta cũng có .









AMNP

MNP

BCD

 d A MNP S .



 d A BCD S .



1 3

6 81 ABCDV

2 81

Do đó .

,M N P lần lượt là trọng tâm các

,

,

,

Câu 6: Cho khối tứ diện đều ABCD có độ dài cạnh bằng a . Gọi

ABC ACD ADB . Tính thể tích V của khối tứ diện AMNP

3

V 

V 

V 

V 

tam giác

32 a 72

a 2 2 81

32 a 144

32 a 162

A. B. C. D.

Lời giải

D

H

N

P

A

C

F

M

E

B

MNP cắt các mặt của tứ diện theo các đoạn giao tuyển EF , FH và HE .

Chọn D



MNP

BCD



Ta có mặt phảng  Do vậy thiết diện là tam giác EFH .











  d A MNP ;



  d A BCD ;



2 3

và ; Ta dễ có 

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Tỉ số thể tích

2

S



S



S .



S

.

MNP

EFH

BCD

BCD

1 4

1 4

2 3

1 9

  

  

3

3



V





Ta cũng có

V

;



;











ABCD

AMNP

MNP

BCD

 d A MNP S .



 d A BCD S . .



6 81

a 2 6 . 81 12

a 2 162

1 3

2 81

,

,

,

Do đó

.S ABCD có thể tích V và

M N P Q lần lượt là trọng tâm các tam giác



SAB , SBC , SCD , SDA . Gọi V  là thể tích khối chóp

.S MNPQ . Tính tỉ số







V V 

Câu 7: Khối chóp tứ giác







V V

8 81

V V

4  9

V V

8 27

V V

4 27

A. B. C. D.

Lời giải

S

Q

H

E

P

M

F

G

N

D

A

B

C

V 

Chọn D

.S ABCD có diện tích đáy là S , chiều cao h ta có

Sh 3

Khối chóp tứ giác

MNPQ cắt các cạnh

SA SB SC SD lần lượt tại

,

,

,

E F G H ta có

,

,

,





Mặt phẳng

S

d



d



h

S

S

MNPQ

EFGH

EFGH

S MNPQ

S ABCD

 ;



 ;











2 3

2 3

1 S 2

   

22   3 

2



và và

V

 

S

d .



.

S .

.

h





V

MNPQ

S MNPQ

;









1 3

1 1 . 3 2

2 3

2 3

Sh 4 3.27

4 27

V   V

4 27

  

  

Do đó

Câu 8: Người ta cần cắt một khối lập phuwong thành hai khối đa diện bởi mặt phẳng đi qua đỉnh A (như hình vẽ) sao cho phần thể tích của khối đa diện chứa đỉnh B bằng một nửa thể tích của

k



CN  CC

khối đa diện còn lại. Tính tỉ số

13 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Tài liệu Vted_2018

B

C

M

A

D

N

P

B'

C'

A'

D'

2 k  3

3 k  4

1 k  2

1 k  3

B. C. D. A.

Lời giải

Chọn B

0

k



V

 

V



V

Gọi V  là thể tích khối đa diện chứa đỉnh B và V là thể tích khối lập phương.

V

 

V

AA CN   AA CC 2

 2

1 3

1 V 3

2 k  3

Theo giả thiết, ta có và

,P Q

.S ABCD có thể tích V và đáy ABCD là hình vuông tâm I . Các điểm

Câu 9: Cho khối chóp

PIQ 

 (

,AB AD sao cho  90

,P Q không phải là đỉnh của hình vuông). Tính

lần lượt trên cạnh

.S APIQ .

thể tích của khối chóp tứ giác

V 4

V 2

V 3

V 6

A. . B. . D. . C. .

Hướng dẫn giải

Chọn C.

S

A

D

Q

P

I

B

C

V

S

S APIQ

.

APIQ



V

S

S ABCD

.

ABCD

Ta có: .

14 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Tỉ số thể tích



API

 

DQI g c g

 



S



S





DQI

API

Chứng minh được: .



S



S



S



S



S



S



S

APIQ

API

AIQ

QID

AIQ

AID

ABCD

1 4

V

S

S APIQ

.

APIQ





.



V



V

S APIQ

.

V

S

1 4

1 4

S ABCD

.

ABCD

ABCD A B C D có thể tích V . Các điểm

'

'

,M N P là các điểm thỏa mãn

,

 AD

.  AN



3.

 AP

 ' 2.

Suy ra: .

Câu 10: Cho khối hộp  AB , , . Tính thể tích khối tứ diện AMNP .

V 72

 AM 4 V 6

' '  AA V 144

V 48

. A. B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

Chọn B.

A

N

D

M

C

B

P

D'

A'

B'

C'

V



V



V

ABA D

'

ABCD A B C D '

.

'

'

'

1 6

1 6

AMNP

.







.

.

V V

AM AN AP AB AD AA '

1 1 1 . . 4 3 2

1 24

ABA D

'

V



V .



V .



V

Lại có: .

AMNP

ABA D

'

1 24

1 1 . 24 6

1 144

,

,M N P lần

,AB AC và AD đôi một vuông góc. Các điểm

Suy ra: .

AB

a 4

AC

a 6

AD

a 7

Câu 11: Cho tứ diện ABCD có các cạnh

,BC CD và BD . Cho biết

3

3

3

lượt là trung điểm các đoạn thẳng , , .

37V a

a 28

V



V



14

a

V



a 21

Tính thể tích của khối tứ diện AMNP . . A. B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

Chọn A.

15 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Tài liệu Vted_2018

B

P

M

D

A

N

C

AB AC AD đôi một vuông góc nên:

,

,

3

Khối chóp ABCD có



AB AC AD

.

.



.4 .6 .7

a a a



28a

ABCDV

1 6

1 6

.

1 2

Tam giác MNP và tam giác ABC đồng dạng theo tỉ số .

MNP



BCD















  d A MNP ;



  d A BCD ;



AMNP

MNP

. Mà: 



V V

S S

1  . 4

ABCD

BCD

3

3

Nên:

V



a .28



7

a

AMNP

ABCD

1 V . 4

1 4

A B C lần lượt thuộc các tia

',

',

'

SA SB SC và không trùng

,

,

Suy ra: .

Câu 12: Cho khối chóp SABC các điểm

'

'

'C'

'C'

với





.

.

.

.

.

.

.S Hỏi khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? V SA B ' V

SA SB SC SA SB SC '

V SA B ' V

1 3

'

'

SA SB SC ' SA SB SC

SABC

SABC

'

'

'

'C'

'C'

A. B.





.

.

.

.

.

.

V SA B ' V

SA SB SC SA SB SC '

'

'

V SA B ' V

1 3

SA SB SC SA SB SC

SABC

SABC

C. D.

Hướng dẫn giải Chọn B.

Công thức tỉ số thể tích cho hình chóp có đáy là tam giác.

SA SB SC SD Mệnh đề nào .

,

,

,

Câu 13: Cho hình chóp SABCD có MNPQ lần lượt là trung điểm của

V

V

V

V

SMNPQ

SMNPQ

SMNPQ

SMNPQ



dưới đây là đúng?

.

V

1  . 2

V

1  . 4

V

1  . 8

V

1 16

SABCD

SABCD

SABCD

SABCD

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn C.

16 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

nên áp dụng lí thuyết:

Chuyên đề_Tỉ số thể tích  Vì ( MNPQ ABCD )

(

)

SA A A và cắt cạnh

2...

n

1

kSA tại điểm

V

...

n

1

k

 ta có

3  ” p

.

p

,

kM thỏa mãn

SM M M 2 V

...

SM SA k

SA A A 2 n

1

V

SMNPQ

“ Mặt phẳng ( ) song song với mặt đáy của khối chóp

.

    

3     

V

SM SA

1 8

SABCD





 Gọi a 3 .

a AD

,

a AC 6 , .

AB ,

,

,M N P 9 , ABC ACD ABD Tính thể tích V của khối tứ diện

Ta được:

34 a

V

V

36V a

V

a

32 .

B. C. D. Câu 14: Cho tứ diên ABCD có các góc tại đỉnh A vuông, lần lượt là trọng tâm của các tam giác AMNP . 38 a A.

Hướng dẫn giải Chọn D.





V

AB AC AD

.

.

3 a 2 .

AMNP

1 81

,

,M N P là các điểm thỏa mãn

Áp dụng công thức tính nhanh

Câu 15: Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V và các điểm

 AM

  , AB AN

  , AC AP



3



2

 AD



4

. Hỏi khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?

V

V 8 .

V



V 24 .

V



.

V



.

AMNP

AMNP

AMNP

AMNP

V 24

V 8

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

AMNP

Chọn C.



.

.

  24

V



V 24 .

AMNP

V V

AM AN AP AB AC AD

ABCD

Ta có

AB a CD b ,

 , khoảng cách giữa



,AB CD bằng d và góc giữa

Câu 16: Cho khối tứ diện ABCD có

V



abd  sin .

V



abd  sin .

1 6

1 6

chúng bằng . Tính thể tích V của khối tứ diện ABCD .

A. B.

V



abd  cos .

V



abd  cos .

1 6

1 3

C. D.

Hướng dẫn giải

V



abd  sin .

Chọn A.

1 6

Theo công thức tính nhanh đã biết thì

 và đôi một vuông góc. Gọi





,M N P lần lượt là

,

Câu 17: Cho tứ diện OABC có OA OB OC a

AB BC CA . Tính thể tích V của khối tứ diện OMNP .

,

,

3

3

3

3

trung điểm các cạnh

V 

.

V 

.

V 

.

V 

.

a 4

a 24

a 6

a 12

A. B. C. D.

17 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Tài liệu Vted_2018

Hướng dẫn giải

3

.

Chọn B.

V





.

OABC

OA OB OC a . 6

6

3

V

S

V



,



.





.







OMNP

MNP

 d O MNP S .



  d O ABC ,



1 3

ABC 4

ABCD 4

a 24

1 3

Ta có

.S ABC có chiều cao bằng 9, diện tích đáy bằng 5. Gọi M là trung điểm cạnh

NS



2

NC

SB và điểm N trên cạnh SC sao cho

Câu 18: Cho hình chóp

.A BMNC .

. Tính thể tích V của khối chóp

S

M

N

C

B

A

B. 5 . D. 10 . A. 15 . C. 30 .

Hướng dẫn giải

V



  1

  1

  1

V



 .9.5 15

Chọn D.

S ABC

.

V

S BCNM S

S SMN S

SM SN . SB SC

1 2 . 2 3

2  3

1 3

S ABC

.

SBC

SBC

V



 .15 10

. Ta có:

S ABC

.

2 V 3

2 3

AE



3

EB

Suy ra

Câu 19: Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V và điểm E trên cạnh AB sao cho . Tính thể

tích của khối tứ diện EBCD .

A

E

B

D

C

V 5

V 2

V 3

V 4

D. . C. A. . B. .

Hướng dẫn giải

Chọn B.

18 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Tỉ số thể tích

V



.

.

V

V V

 

  V

V

V



E BCD

A ECD

.

.

. A ECD V

3   4

1 4

3 4

'

'

)

'

AE AC AD AB AC AD ABC A B C . Đường thẳng đi qua trọng tâm của tam giác ABC và song song . ' A DE chia khối lăng trụ thành hai ,AB AC lần lượt tại

,D E . Mặt phẳng (

Câu 20: Cho khối lăng trụ với BC cắt cạnh phần, tính tỉ số thể tích (số bé chia số lớn) của chúng.

B'

C'

A'

C

B

E

D

A

2 3

4 23

4 9

4 27

A. . B. . C. D. .

Hướng dẫn giải

A ADE

'.

ADE

V







Chọn B.

A ABC

'

V 3

V V

S S

AD AE . AB AC

4  , 9

A ABC

'.

ABC

V

A ADE

'.

V



V



V

 

V V





suy ra Ta có và

A ADE

'.

BCED A B C .

'

'

'

A ADE

'.

4 27

23 27

V

4 23

BCED A B C .

'

'

'

. Khi đó

4

Câu 21: Cho tứ diện ABCD có thể tích V . Xét điểm P thuộc cạnh AB , điểm Q thuộc cạnh BC và

 , 2

 . Tính thể tích của khối tứ diện

 , 3

PA PB

RB RD

QB QC

BPQR .

điểm R thuộc cạnh BD sao cho

V 4

V 3

V 6

V 5

B. . C. . D. . A. .

Hướng dẫn giải

B

P

R

A

D

Q

C

Chọn A.

Áp dụng công thức tỉ số thể tích, ta có:

19 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Tài liệu Vted_2018

V

BPQR



.

.



.



V



BPQR

V

BP BQ BR BA BC BD

1 3 4 . 3 4 5

1 5

V 5

BACD

.

 thỏa mãn

.S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Các điểm A ,C

 SA

 

 SA

 SC

 

 SC

 cắt các cạnh SB,SD lần lượt tại

Câu 22: Cho hình chóp tứ giác

P chứa đường thẳng A C

1 3

1 5 V





B ,D

 và đặt

, . Mặt phẳng 

k



  S . A B C D V

S . ABCD

. Giá trị nhỏ nhất của k là?

15 16

1 60

1 30

4 15

A. . B. . C. . D. .



x,

y



x; y

Hướng dẫn giải

 với 0

 . 1

x

y  0

Đặt Chọn  SB SB A.  SD SD Không mất tính tổng quát giả sử

V





k





3

  

5

.

3 5

  



  2

  8 1 ;

  S . A B C D V

xy 60

1 x

1 y

1 x

1 y

S . ABCD

  

  

k



xy

  3

y



k





  f x

Áp dụng kết quả “Bài toán 1” ta có:

   và 8 x

x  thay vào  3 ta được: 1 x

8

2 x

4 15 1 y

1 4

24 x   x 15 8

 1

2

0

x







f

x



  0





2

y



  f x

1 4

  

x



 4 8  15 8

x 2  1

Từ  1 suy ra: . Từ  1 và  2 ta có: 1   x

 1 ;   có

 x    x 

1 4

f



; f



  1

1 4

1 60

4 105

  

  

Xét hàm số trên .

k 

1 60

4 105

. Ta có:

k

k

. Do đó:

1 60 . Giá trị lớn nhất của

4 105 .

S

D'

A'

C'

I

B'

D

A

O

C

B

Vậy giá trị nhỏ nhất của là là

20 | VD_VDC

Chuyên đề_Tỉ số thể tích Câu 23: Cho hình chóp tứ giác

.S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Các điểm A ,C

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19  thỏa mãn

 SA

 

 SA

 SC

 

 SC

 cắt các cạnh SB,SD lần lượt tại

P chứa đường thẳng A C

1 3

1 5 V





B ,D

k



 và đặt

, . Mặt phẳng 

  S . A B C D V

S . ABCD

. Giá trị lớn nhất của k là?

4 27

1 30

4 15

4 105

B. . C. . D. . A. .

Hướng dẫn giải

S

D'

A'

C'

I

B'

D

A

O

C

B

Chọn A.

.S ABCD có đáy là hình bình hành. Một mặt phẳng (

) cắt các

/

/

/

/

Bài toán 1: Cho hình chóp

A B C D . Đặt ,

,

,

SA SB SC SD của hình chóp lần lượt tại các điểm

,

,

,

/

/

/

V

/

/

/



(

  



x ;



y

;



z

;

 và t

 . Khi đó

/ . S A B C D V

xyzt 4

1 x

1 1 ) t z

1 y

SA SA

SB SB

SC SC

/SD SD

1 x

1   z

1 y

1 t

S ABCD

.

cạnh bên

Lời giải

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Tài liệu Vted_2018

/

/

/

/

,B I D thẳng hàng.

,

I A C





SO

/

/

/

/

. Suy ra Gọi O là giao điểm của AC và BD ;

AM A C CN A C . Ta có:

/ /

/ /

;









1 x

1   z

SA / SA

SC / SC

SM SN  SI SI

 SM SN SI

2SO SI

Kẻ

1 1   t y

2SO SI

Chứng minh tương tự ta cũng có: , Suy ra điều phải chứng minh.

V



V



V

/

/

/

/

/

/

/ S A B C D

.

/ S A B C

.

/ S A D C

.

/

V

/

/



x z y . .

2)Ta có



V



xzy V .

/

/

S ABCD

.

/ SA B C

/ SA B C V

1 2

SABC

.

V



xzt V .

/

/

S ABCD

.

/ SA D C

1 2

V



xz y (

t

Chứng minh tương tự ta có

 (1) )

/

/

/ S A B C D

.

/

1 2

Suy ra

V



yt x (



z

)

/

/

/ S A B C D

.

/

1 2

xyzt x

z

V







  

/

/

Tương tự ta có (2)

/ S A B C D

.

/

 xz

 y t yt

xyzt 4

1 x

4

1 1 t z

1 y

  

  

  

  

Từ (1) và (2) ta được .

x 

x 

x 

x 

h 4 4

h 3 6

h 3 3

D. A. C. B. . . . . Câu 24: Cho tứ diện đều có chiều cao h , ở ba góc của tứ diện người ta cắt đi các tứ diện đều bằng nhau có chiều cao x để khối đa diện còn lại có thể tích bằng một nửa thể tích của khối đa diện đều ban đầu. Tìm x . h 3 2

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Tỉ số thể tích

'

'

'

AB C D (như hình vẽ)

3

'

'

'

'



.

.

Gọi tên diện đều có chiều cao h là ABCD , tên của một trong ba tứ diện đều bằng nhau có chiều cao x bị cắt đi là

V AB C D ' V

AB AC AD ' AB AC AD

x h

   

  

ABCD

3

3



V

V





V

AB C D '

'

'

ABCD

x h

x h

  

  

  

  

Ta có

3

Ta có khối đa diện còn lại có thể tích bằng một nửa thể tích của khối đa diện đều ban đầu nên

V 3

  V

3



AB C D '

'

'

1 2

x h

1 2

  

  

x 

h 3 6

suy ra

Câu 25: Cho tứ diện đều có chiều cao h , ở bốn góc của tứ diện người ta cắt đi các tứ diện đều bằng

3 4

thể tích của khối đa diện đều nhau có chiều cao x để khối đa diện còn lại có thể tích bằng

x 

x 

x 

x 

h 3 16

h 4 12

h 3 6

A. . B. . C. . D. . ban đầu. Tìm x . h 3 4

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Tài liệu Vted_2018

'

'

'

AB C D (như hình vẽ)

3

'

'

'

'



.

.

Gọi tên diện đều có chiều cao h là ABCD , tên của một trong bốn tứ diện đều bằng nhau có chiều cao x bị cắt đi là

V AB C D ' V

AB AC AD ' AB AC AD

x h

   

  

ABCD

3

3



V

V





V

AB C D '

'

'

ABCD

x h

x h

  

  

  

  

Ta có

3 4

3

V 4

  V

4



AB C D '

'

'

x h

1 4

1 4

  

  

x 

h 3 16

Ta có khối đa diện còn lại có thể tích bằng thể tích của khối đa diện đều ban đầu nên suy ra

Câu 26: Mặt phẳng đi qua trọng tâm của một tứ diện, song song với một mặt của tứ diện và chia khối tứ diện đã cho thành 2 phần. Tính tỉ số thể tích (số bé chia số lớn) của hai phần đó.

2 3

5 7

27 37

3 4

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Tỉ số thể tích Kiến thức cũ:





  GA GB GC GD   



 0



(cid:0) G là trọng tâm của tứ diện ABCD (G là trung điểm của đoạn thẳng nối từ trung điểm của 2 cạnh chéo nhau)

(cid:0) Giao điểm của 2 đoạn nối từ đỉnh đến trọng tâm của mặt đối diện cũng là trọng tâm chủa tứ diện

,I K lần lượt là trọng tâm của 2



 ACD BCD ,

HDG: Gọi và M là trung điểm của CD .

 

Ta có AK BI G nên G là trọng tâm tứ diện ABCD .

IK AB IK

/ /

,



AB

MI MK  MA MB

1   3

1 3



Ta có



IKG



BAG





KG IK  AG AB

1   3

AG AK

3 4

Ta có

',

',

'

B C D lần lượt là giao điểm của mặt phằng qua G và song song với mặt phẳng 

 BCD

3

'

'

'

'C'D'







Gọi





V A B . V

3 4

27   64

V 'C'D'.BCD B V

37 64

AB AB

AC AC

AD AD

3  4

  

  

A BCD

.

ABCD

V

A B .

'C'D'

Ta có





27 37

V B

'C'D'.BCD

'

.

.

'

'

'

'

ABCD A B C D và điểm E thuộc cạnh

'BB thỏa mãn

BE 

BB 4

Câu 27: Cho khối hộp , điểm F

,A F E chia khối hộp thành

,

DF



DD

'

'DD thỏa mãn

3 4

thuộc cạnh . Mặt phẳng qua ba điểm

hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.

4 3

C. D. . A. 2 . B. 1.

3 2 Lời giải

Chọn C.

A

D

B

C

E

F

J

D'

A'

I

B'

C'

,A F E chia khối hộp thành hai phần: Phần ,

H chứa điểm A

'H còn lại.  V

V



A BCIE

.

.

A DCIF

.

Giả sử mặt phẳng qua ba điểm



và phần  Khối HV 

25 | VD_VDC

AB



4 ,

a AD



6 ,

a AA

a

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18 Câu 28: Cho khối hộp hình chữ nhật

Tài liệu Vted_2018 . Các điểm  ' 7

.

'

'

 AM



2

' ABCD A B C D có '   AD AP ,

  AB AN ,

 ' AA





4

3

,M N P thỏa mãn

,

3

3

3

. Tính thể tích V của khối tứ diện

AMNP . 3 A.

168a .

672a .

336a .

1008a .

B. D.

C. Lời giải Chọn B.

P

A'

D'

A

B'

N

D

C'

C

B

M

AM



2

AB



a



a 8

2.4



 AM

  , AB AN

  , AD AP



3

 ' AA



4



2

AN AP

 

AD 3. AA 4

 a 3.6  ' 4.7 a

 

a 18 a 28

    

Từ

ABCD A B C D là hình hộp chữ nhật nên

.

'

'

'

'

AB AD AA đôi một vuông góc

,

,

'

,

,

Do

AM AN AP đôi một vuông góc cũng đôi một vuông góc.

3

Suy ra

V



AM AN AP

.

.



.8 .18 .28

a

a

a



672

a

A MNP

.

1 6

1 6

Vậy

.S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi

'C là trung điểm cạnh SC .

'

'

'AC cắt các cạnh

,SB SD lần lượt tại

B D . Đặt '

',

m



Câu 29: Cho hình chóp

P chứa đường

V . S B C D ' V

ABCD

Mặt phẳng 

Gía trị nhỏ nhất của m là?

2 27

4 27

2 9

A. . B. . C. D. .

1 9 Lời giải

Chọn C.

S

C'

D'

B'

D

A

B

C

a

;

b

b





 ; 1



1

c





2

d



SC  SC

SD  SD

SB  SB d

3

b

Đặt ; ; .

SA SA       . a c b d    . b 2 1

Ta có d Do

26 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Tỉ số thể tích













 S B C D

.



.

.

.

m







1 2

 SB SC SD SB SC SD

V V

1  b 4 (3

b

)

S ABCD

.

S BCD

.





b

.

2b 



  f b   ( ) 12 8 b f b



V  S B C D . 2 V  b 4 3

0

   f b

3    b 2

với 1 Đặt

f



8;

f



8;

f



9

  1

  2

3 2

  

  

  Max f b  9  1;2



.

1 9

,B D

,SB SD lần lượt tại

. Suy ra giá trị nhỏ nhất của m là

.S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi C là trung điểm của P chứa đường thẳng AC cắt các cạnh  . Đặt





 S B C D

.

Câu 30: Cho hình chóp tứ giác cạnh SC . Mặt phẳng 

m



V V

S ABCD

.

. Giá trị nhỏ nhất của m là ?

1 9

1 8

3 8

4 9

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

Chọn A.

c





2

d



a

;

1

b

b







 ; 1

SC  SC

SD  SD

3

b

SB  SB d













 S B C D

.

.

m







.

.

; . Đặt ;



 SB SC SD SB SC SD

1 2

1  b 4 (3

b

)

S ABCD

S BCD

.

.





b

. Ta có d Do V V

2b 



  f b   ( ) 12 8 b f b



SA SA a c b d       .    . b 2 1 V  S B C D . 2 V  b 4 3

0

   f b

3    b 2

với 1 Đặt

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Tài liệu Vted_2018

f



8;

f



8;

f



9

  1

  2

3 2

  

  

  Max f b  9  1;2



.

1 9





. Suy ra giá trị nhỏ nhất của m là

 có thể tích V . Tính thể tích khối tứ diện AB CD

 theo V .

Câu 31: Cho khối hộp

V 3 4

 ABCD A B C D . V 6

V 3

V 4

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải



V



V

Chọn C.







 AB CD

V .4

 C C B D





.

V



,



V











 C C B D

.

  C B D

kh

  d C C B D S .



kh 1 3

1 6

V

V



4.

V



V

.

 

kh

kh

 AB CD

kh

1 6

1 3







 AM

 AC



2

,

 có thể tích V . Các điểm

,M N P thoả mãn

.

 AB



,

 AP

. ABCD A B C D  AD



4

,

Câu 32: Cho khối hộp  AN 3 A. 8V . . Tính thể tích của khối tứ diện AMNP theo V . B. 4V . C. 6V . D. 18V .

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Tỉ số thể tích

AMNP



 2.3.4 24



.

.



V V

AM AN AP  AC AB AD





ACB D

V

V

.

 



ACB D

1 3

V 8

Mà

AMNPV

Suy ra .

S AMN

.

m



,M N . Đặt

Câu 33: Cho khối tứ diện đều đi qua S và trọng tâm của tam giác

ABC cắt các cạnh

,AB AC lần lượt tại

P .S ABC cạnh bằng a . Mặt phẳng  V V

S ABC

.

. Giá trị nhỏ nhất của m là?

2 3

2 9

4 9

1 3

A. . B. . C. . D. .

2

AMG

Lời giải Chọn C.





  1

AM AG . AB AH

AM 3

S S

ABH

2

ANG

Ta có





  2

AN AG . AC AH

S S

AN 3

ACH





AM AN .

Ta có

 AM AN 3

S AMM S

ABC

Cộng  1 và  2 ta được

3

 AM AN AM AN



.



2

AM AN .



AM AN .

4  . 9

S AMN

.

Ta có:

m





V V

AM AN . AB AC

4  . 9

S ABC

.

Vậy

4 9

khi AM AN . Giá trị nhỏ nhất của m là

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

,

.S ABC có

 SM



 SC



3

2

,M N P lần lượt là các điểm thỏa mãn

Tài liệu Vted_2018   và , SA SP

S MNP

.

 . Tìm k .

V V

1 6

S ABC

.

k 

36

Câu 34: Cho hình chóp   SN k SB  . Biết

1k  .

k 

1 36

1 k  . 6

B. A. . C. D. .



2







3



3



Lời giải Chọn A.

 2 SM SA  3 SC SP  SN kSB

  2 SM SA   SC SP    SN k SB

    

     



k

        

S MNP

.





.

.



k 2.3.



6

k

  

k

V V

SM SN SP SA SB SC

1 36

SM SA SP SC SN SB 1 6

S ABC

.

Ta có:

.

M N P Q R S lần lượt là trung điểm của các cạnh

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

AB AC AD BC CD BD . Biết rằng thể tích khối bát diện đều MQNPSR bằng

3 9 2 cm . Tính

Câu 35: Cho khối tứ diện đều ABCD . Gọi

độ dài cạnh của tứ diện ABCD .

A. 2 cm . B. 3 cm . C. 6 cm . D. 3 2 cm .

Lời giải Chọn C.

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Tỉ số thể tích

A MNP

.



.

.



.

.

.

AM AN AP AB AC AD

1 1 1 2 2 2

1  . 8

ABCD

V



V



V 4



V



4.

V

Gọi x AB V V

ABCD

bat dien

AMNP

bat dien

ABCD

1 8





V 2



18 2

bat dien

3



x



18 2

  x

6

ABCDV 2 12

Ta có: .

cmx 

80cm

x 

Câu 36: Một khối gỗ hình lập phương có độ dài cạnh bằng . Ở chính giữa mỗi mặt của hình lập

(như hình vẽ bên). Tìm thể tích V của khối gỗ sau khi đục biết rằng

20cm

3

3

3

3

V 

490000cm

V 

432000cm

V 

400000cm

V 

390000cm

. phương, người ta đục một lỗ hình vuông thông sang mặt đối diện, tâm của lỗ hình vuông là tâm của mặt lập phương, các lỗ hình vuông song song với cạnh của hình lập phương và có độ dài cmy  , y 

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Tài liệu Vted_2018 Thể tích khối cần tính bằng thể tích khối lập phương ban đầu trừ đi thể tích 6 khối hình hộp chữ

x

cm

cmy

y 2 . Vì vậy thể tích khối gỗ là:

nhật có đáy là hình vuông cạnh ; rồi trừ đi thể tích khối lập phương , chiều cao

x

y

3

2

3

có độ dài cạnh bằng cmy

V



x



6

.

y



y

 2

  

  

3

2

3



432000 cm

x 

80 cm

y 

20cm

.

V



80



6

.20



20



3

 80 20 2

  

  

Áp dụng với , , ta có .

cmx 

Câu 37: Một khối gỗ hình lập phương có độ dài cạnh bằng . Ở chính giữa mỗi mặt của hình lập

phương, người ta đục một lỗ hình vuông thông sang mặt đối diện, tâm của lỗ hình vuông là tâm của mặt lập phương, các lỗ hình vuông song song với cạnh của hình lập phương và có độ dài

cmy 

S V

(như hình vẽ bên). Tính tỉ số , trong đó V là thể tích của khối gỗ sau khi đục và S

6

y

3

3

y

3





là tổng diện tích mặt (trong và ngoài) khối gỗ sau khi đục.

S V

x



x



y

S V

x



x



y













A. . B. .

S V

x

2 

 2  2

y

S V

x

9 

 2  2

y



  x  y   y 3 x   x y





  x  y   y 3 x   x y



C. . D. .

Hướng dẫn giải

x

cmy

A. Chọn Thể tích khối cần tính bằng thể tích khối lập phương ban đầu trừ đi thể tích 6 khối hình hộp chữ

cm

nhật có đáy là hình vuông cạnh ; rồi trừ đi thể tích khối lập phương , chiều cao

y 2 . Vì vậy thể tích khối gỗ là:

2

x

y

3

2

3

có độ dài cạnh bằng cmy



x



y

x



2

y

V



x



6

.

y



y



 



 2

  

  

.



y

 y x



2

2

S



x



y



6.4.



6

x



y

x



3

y

Tổng diện tích các mặt của khối gỗ sau khi đục là











2

.

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Tỉ số thể tích 6

3

y



S V

 y

x



 2

y

x



 x 









.S ABC . Trên cạnh bên SA lấy các điểm M , N sao cho SM MN NA

Vậy .

 là các mặt phẳng song song với mặt phẳng 

. Gọi ABC và lần lượt đi qua M , N . Khi

  chia khối chóp đã cho thành 3 phần. Nếu phần trên cùng có thể

 , 

3

Câu 38: Cho hình chóp   ,  đó hai mặt phẳng 

10dm thì thể tích của hai phần còn lại lần lượt là?

3

3

3

tích

80 dm và

3 190 dm . B.

70 dm và

190 dm .

3

3

3

A.

70 dm và

3 200 dm . D.

80 dm và

180 dm .

C.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

 cắt SB , SC lần lượt tại P ; Q .

Giả sử 

 cắt SB , SC lần lượt tại E ; F .

V V

V

V V

V

Giả sử 

.S MPQ

V 2

NEF MPQ .

.S ABC

V 3

ABC NEF .

3

3



.

.

V



V



V

Gọi ; ; . ; 1

V 

270 dm

V 1

SM SP SQ SA SB SC

1 3

1 27

  

  

3

3



.

.

V



V



V



80dm

Ta có .

 V V 1 2

SN SE SF SA SB SC

2 3

8 27

  

  

3

3

Tương tự ta có .

 80 10 70 dm



 





190 dm

V  2

V 3

V V V 1 2

.S ABCD là hình bình hành. Trên cạnh SA lấy các điểm



Do đó , .

,M N sao ABCD và lần lượt đi

,  song song với mặt phẳng 

 



3

10dm thì

 ,M N chia khối chóp đã cho thành ba phần. Nếu phần trên cùng có thể tích là

Câu 39: [2H1-3.3-2]Cho hình chóp cho SM MN NA  . Hai mặt phẳng 

qua phần ở giữa có thể tích là?

Tài liệu Vted_2018

3

3

3

A. B. C. D.

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18 70 dm . 3

80 dm .

180 dm .

190 dm .

Hướng dẫn giải

a

c d

3

S MHEF

.











Chọn A.

 . 3

V

270

dm

S ABCD

.

V V

   b abcd 4

1   27

SA SB  SM SH SE

SC SD  SF

12 4 4.3

S ABCD

.

V

S NIJK

.

a

c d

6

3













Ta có

V

80

dm

S NIJK

.

4

V

   b abcd 4

8   27

SA SB SC SD   SN SI SK

SJ

3 2

S ABCD

.

4.

3 2

  

  

3



Lại có

V

70

dm

MHEFNIJK

Vậy

ABCD













Câu 40: [2H1-3.3-2]Cho tứ

AB

8

cm

AC

9

cm

AD

10

cm











, , , . Tính thể tích V của khối tứ diện 

3

3

3

có    060 BAC CAD DAB diện đã cho.

60 2cm .

180 2cm .

250 2cm .

3 cm .

250 2 3

B. C. D. A.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Tỉ số thể tích

 AM AN

  8

ABMN



V

ABMN

128 2 3

ABMN







Lấy M, N lần lượt trên cạnh AC, AD sao cho là tứ diện đều

V

60 2

ABCD

V V

AM AN . AC AD

8 8 . 9 10

32   45

ABCD

Có

ABCD













Câu 41: [2H1-3.3-2] Cho diện

AB

8

9

cm

AD

10

cm

A B C D lần lượt là

,

,

,



 cm AC ,







1

1

1

1

, . Gọi , tứ 

,

,

,

BCD ACD ABD ABC . Tính thể tích V của khối tứ diện

A B C D .

1

1

1

1

3

3

có    060 BAC CAD DAB trọng tâm của các tam giác

20 2cm .

3 cm .

3 cm .

60 2cm .

20 2 3

20 2 9

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải



Chọn C.

60 2

ABCDV













Theo câu 31 ta có

BD B C ,

BC

A D 1 1

AD A B , 1

1

AB A C , 1

1

AC C D , 1

1

CD B D , 1

1

1

1

1 3

1 3

1 3

1 3

1 3

1 3

20 2

ABCDV





Ta có

V

nên

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18 Câu 42: Cho hình chóp

.S ABCD . Một mặt phẳng song song mặt đáy cắt các cạnh

Tài liệu Vted_2018 SA SB SC SD lần ;

;

;

M N P Q . Gọi ,

,

,

M N P Q lần lượt là hình chiếu của

',

',

',

'

M N P Q lên mặt đáy. Tìm

,

,

,

.

'

'

'

lượt tại

MNPQ M N P Q lớn nhất. '

SM SA

tỉ số để thể tích khối đa điện

SM SA

3  . 4

SM SA

2  . 3

1 2

SM SA

1  3

A. B. C. . D.

Hướng dẫn giải

x



Chọn. B.

 . Suy ra

 . x

SM SA

SN SB

SP SQ  SC SD

.

'

'

'

,

'

Đặt

h h lần lượt là chiều cao hình chóp và chiều cao khối đa diện

MNPQ M N P Q . '

  x



 MN x AB

.

Gọi

/ /MN AB nên ta có

SM MN  AB SA

MN AB

 BC x NP

.

Do .



Tương tự ta có

S



2 x S .



S



2 x S

MNP

ABC

MNPQ

ABCD

Ta có ( Vì tam giác MNP đồng dạng tam giac ABC )



' AM h h AS





' SA SM h h

 SA

1

h

x

'

 1

 x h

h '       h

2

V



h S '.

Mặt khác ta có

   1

 x h x S . .

   1

 2 x x h S . .

MNPQ M N P Q

.

'

'

'

'

MNPQ

ABCD

ABCD

2



V

Ta có

h S ,

 1 x x

MNPQ M N P Q

.

'

'

'

'

ABCD

Do không thay đổi nên đạt đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi 

lớn nhất.

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Tỉ số thể tích

3

1

  

x

x 2

2

  

  







x



4.



 x x

 4. 1



x 2 27

4 27

x x 2 2

Ta có  1

1

    .

x

x

2 3

x 2

Dấu  xảy ra khi và chỉ khi

ABC cắt các cạnh bên

.S ABC . Một mặt phẳng song song với mặt đáy 

,

,

M N ,

, P.

M

', N', P'

SA SB SC lần lượt tại

Câu 43: Cho hình chóp

 lần lượt là hình chiếu vuông góc của

,

ABC . Tìm tỉ số

Kí hiệu

MNP M N P đạt giá '

.

'

'

,PM N lên mặt phẳng 



SM SA

để thể tích khối đa diện

SM SA

1  . 2

SM SA

3  . 4

SM SA

2  . 3

A. B. C. D. trị lớn nhất. SM 1  . 3 SA

Hướng dẫn giải:



x ,0

1

x

Chọn. D.

  .

SM SA



x







Đặt

||MN AB

 . Tương tự ta có

 x

MN SN SM SA SB AB

MP NP  AC BC

MNP



ABC

có Tam giác SAB

2   x

S



2. x S





ABC

MNP

S  S



ABC

'

G SG MM



||

'







1

x

SG



ABC

Vậy MNP  theo tỷ số x . Suy ra .

  .





MM AM SA SM SG

 SA

AS



 MM SG '



x

 . 1



2

V



MM



SG



x

.

x

Dựng tại

MNP M N P là: '

.

'

'

 1



'.S 

.S 

MNP M N P

.

'

'

'

MNP

ABC

V







V 3

.

'

'

'

Suy ra Thể tích

MNP M N P đạt giá trị

SG S . 

SG S . 

S ABC

.

ABC

ABC

S ABC

.

x

Mà không đổi nên thể tích

1 3  2 1x



lớn nhất khi đạt giá trị lớn nhất.

Tài liệu Vted_2018

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18 



x

x

, 0

1

x

  .

  f x

 2 1



2

f

'

  3

x



2

x

  x

f

'

x

  0





Xét hàm số

n ( )

l 0 ( ) 2 3

 x    x 

.

'

'

Lập bảng biến thiên:

MNP M N P lớn nhất khi '

SM SA

2  . 3

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, Thể tích

.S ABC . Một mặt phẳng (P) song song với mặt đáy (ABC) cắt các cạnh bên SA,

Câu 44: Cho hình chóp

SM SA

SB, SC lần lượt tại M, N, P. Tìm tỷ số để (P) chia khối chóp đã cho thành hai khối đa diện





có thể tích bằng nhau.





3

SM SA

1 2

SM SA

1 4

SM SA

SM SA

1 3 2

1 4

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

Chọn. A.

S

M

P

N

A

C

B

.

Mặt phẳng (P) chia khối chóp S.ABC thành hai khối đa diện S.MNP và MNPCAB có thể tích

V S MNP V

1  2

S ABC

.

3

.

MNP

ABC





/ /

bằng nhau. Khi đó



.

.







SM SN SP  SB SN SA

V S MNP V

SM SN SP SA SB SC

SM SA

   

  

S ABC

   

  

.

3

  

.

Mặt khác:

1 3

SM SA

SM SA

1 2

2

  

  

Suy ra:

Chuyên đề_Tỉ số thể tích Câu 45: Cho hình chóp

.S ABC có tất cả các cạnh đều bằng a , một mặt phẳng 

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19 P song song với mặt

ABC cắt các cạnh bên

SA SB SC lần lượt tại

,

,

,M N P . Tính diện tích tam giác MNP

,



P chia khối chóp đã cho thành hai khối đa diện có diện tích bằng nhau.

2

2

a

a

đáy  biết mặt phẳng 

S



S



S



S



MNP

MNP

MNP

MNP

2 3 8

2 3 16

a 3 3 4 2

a 3 4 4 4

A. . B. . C. D. . .

S

M

P

N

C

A

B

Lời giải

ABC và cắt các cạnh bên

SA SB SC lần lượt tại

,

,

,M N P .

,

Chọn D

P song song với 



Mặt phẳng 



  .

0

x

SM SN  SB SA

SP SC

3

.

Theo Ta-let ta có:



.

.



x

 . 0

V S MNP V

SM SN SP SA SB SC

SABC

3

.

Do đó

x

x

MN



V S MNP V

1       2

1 2

MN SM  SA AB

1 3 2

1   3 2

a 3 2

SABC

Theo giả thiết: .

a 3 2

2

3

2

a 3 2

  

Vì tam giác ABC đều cạnh a nên tam giác MNP là tam giác đều có cạnh bằng .

S





MNP

   4

a 3 4 4 4

Vậy .

2

2

2

2

Câu 46: Một viên đá có dạng khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a . Người ta cưa viên đá theo mặt phẳng song song với mặt đáy của khối chóp để chia viên đá thành hai phần có thể tích bằng nhau. Tính diện tích thiết diện viên đá bị cưa bởi mặt phẳng nói trên.

a 2

a 3 4

a 3 2

a 32 2

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

39 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Tài liệu Vted_2018

S

M

Q

N

P

A

D

O

B

C

Chọn D

MNPQ song song với

.S ABCD theo mặt phẳng 



ABCD như hình vẽ.





Giả sử cắt viên đá khối chóp tứ giác đều



  .

0

x

SM SN  SB SA

SQ SP  SC SD

Theo Ta-let ta có:

V

V



V

V

S MNPQ

.

.

S MPQ

.

S MPQ

.

S MNP

.





.



Theo giả thiết ta có:

V

1   2

S MNP V 2

1   2

V V

V

1   2

1 2

SM SP SN SQ   SA SC SB SD 

  

S ABCD

.

S ABC

.

S ABC

.

S ACD

.

3

.

    

2

x

x

MN



MN SM  SA AB

1 2

1 3 4

1   3 4

a 3 4

2

2

S





.

MNPQ

a 3 4

a 3 2 2

a 3 4

  

  

. Vậy . Vì ABCD là hình vuông nên MNPQ là hình vuông cạnh

.A GBC .

Câu 47: Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 12 và G là trọng tâm tam giác BDC . Tính thể tích V

4V  .

6V  .

5V  .

B. C. D. của khối chóp 3V  . A.

A

D

B

G

M

C

Lời giải

40 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Tỉ số thể tích

M AGC

.

Chọn B



.

.

V



V



V



V



.12

 . 4

G ABC

.

M ABC .

A GBC

.

ABCD

V V

MA MG MC MA MB MC

1   3

2 3

2 1 . 3 2

1 3

M ABC .

Ta có:

ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , cạnh

.

Câu 48: Cho hình lăng trụ tam giác

' mp ABC góc

AC 

2 2

'AC tạo với

AC  . Tính thể tích của khối đa

' 4

060 và

' 

' 

. Biết

ABCB C . '

'

V 

V 

diện

V 

V  .

8 3 3

16 3 3

16 3

8 3

B. . C. . D. . A.

Hướng dẫn giải

Chọn D.

C'

A'

B'

h

600

A

C

B

V



h S .



Sin .

0 60 .

AC

'.

2 2

ABCC B

'

'

ABC



2

2 3

2 3

1 2



16 3 3

Ta tính tỉ lệ

,M N P lần lượt là trọng tâm của các tam giác

,

ABC ACD ADB . Tính thể tích V của khối tứ diện AMNP .

,

,

Câu 49: Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 54. Gọi

27 2

A. . C. 9 . D. 16 . B. 4.

Hướng dẫn giải

B. Chọn + Ta có tỉ lệ

41 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Tài liệu Vted_2018

A

P

N

M

K

D

B

J

I

C

.



.



V A MNP V

2 2 2 . 3 3 3

8 27

A IJK .



V



V .



V

 4

A MNP

.

A IJK .

8 27

8 1 . 27 4

'

.

'

'

'

ABCD A B C D có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng 6 và góc nhọn bằng 045 . Tính thể tích

Câu 50: Cho hình hộp

D. C. . . . .

045 , cạnh bên của hình hộp bằng 10 và tạo với mặt phẳng đáy một góc V của khối đa diện 180 A.

' '. ABCDD B . V  60 B.

V 

V 

90

V 

120

Hướng dẫn giải

Chọn D.

B

C

D

A

h

B'

C'

A'

450

D'

0

h 

sin 45 AA ' 5. 2

0

S



S 2.



2.

A B A D '.

'

'

'.sin 45

ABCD

A B D '

'

'

 1 2

+Tính được



36



18 2

2 2

+Tính

42 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Tỉ số thể tích

V

 

V V



V

ABCDB D

'

'

C BCD

'.

V



  V

2

V



h S . .

A B C D '

'

'

'

1 6

A ABD '. 2 3

2 3

  

  



.5 2.18. 2 120



2 3

.

'

'

'

+Vậy

ABC A B C . Gọi M, N lần lượt thuộc các cạnh bên AA ',

'CC sao

MA MA NC



';



4

NC

'

Câu 51: Cho khối lăng trụ tam giác

',

',

,

'

'

'

'

'

GA B C BB MN ABB C A BCN , khối tứ diện nào có thể tích nhỏ nhất?

cho . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Hỏi trong bốn khối tứ diện

'A BCN .

GA B C . '

'

'

ABB C . '

'

'BB MN .

A. Khối B. Khối C. Khối D. Khối

Hướng dẫn giải

'

ABC A B C có thể tích bằng 60. Gọi M, N, P lần lượt thuộc các . Tính thể tích khối đa

. BB CC sao cho '

',

' MA MA NB

NB PC ';

' 2

PC







4

3

';

'

Chọn A.

Câu 52: Cho khối lăng trụ tam giác cạnh bên AA ', diện BCMNP

85 3

A. 40. B. 30. C. 31. D. .

Hướng dẫn giải

Chọn C.

4000

2



2



4 2 2



2

 4000 2

3



Câu 53: Một miếng bìa hình tròn có bán kính là 20cm. Trên biên của miếng bìa, ta xác định 8 điểm A, B, C, D, E, F, G, H theo thứ tự chia đường tròn thành 8 phần bằng nhau. Cắt bỏ theo các nét liền như hình vẽ để có được hình chữ thập ABNCDPEFQGHM rồi gấp lại theo các nét đứt MN, NP, PQ, QM tạo thành một khối hộp không nắp. Thể tích của khối hộp thu được là:

2



4 2 2



2

4000

2

2

A. . B. .

 4000 2

 2 

3



C. . D. .

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18 Câu 54: Cho hình chóp

.S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và thể tích bằng 48 . Kí hiệu

Tài liệu Vted_2018 ,M N

,AB CD sao cho

MA MB ND



,



2

NC

V 

40

V 

20

V 

28

lần lượt là các điểm thuộc cạnh . Tính thể tích của khối

.S MBCN . .

8V  .

chóp A. B. C. . D. .

Lời giải

S



AB d .

ABCD

Chọn C

S



S



S



S

ABCD

AMN

ADN

Gọi d là khoảng cách từ đỉnh A đến cạnh CD . Diện tích hình bình hành



AB d .



AM d .



 DN d AB d .

.



AB d .



AB d .



AB d .



1 4

1 3

5 12

5 S 12 ABCD

1 2

1 2

V



V



 .48 20

Ta có MBCN

S MBCN

.

S ABCD

.

5 12

5 12







ABCD A B C D .

,

,

,

Vậy .

 tâm I , các điểm

M N P Q lần lượt là trung điểm các cạnh

,

,

,

AB BC CD DA . Tính thể tích của phần khối hộp nằm bên ngoài khối chóp

.I MNPQ .

Câu 55: Cho khối hộp

V 11 12

V 5 6

V 3 4

V 7 8

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

B'

C'

D'

A'

I

N

B

C

M

P

A

Q

D

Chuyên đề_Tỉ số thể tích

V



.S

,



S

h



.

V



I MNPQ .

MNPQ

ABCD

  d I ABCD .



1 3

1 1 . 3 2

1 2

Ta có .

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19 1 12

V

 

V V

  V



ngoai

IMNPQ

V 12

V 11 12

.

.S ABCD có thể tích là V và đáy ABCD là hình bình hành. Kí hiệu S là điểm



 SS

 

2

 DC

.S ABCD

Câu 56: Cho khối chóp

.S ABCD và

. Tính thể tích phần chung của hai khối chóp .

V 4 9

V 3

V 2

B. . C. . D. . A. . thỏa mãn V 5 9

Lời giải

 SS

 

2

 DC

Chọn B

 SM MB

2

 M SB AS N SC DS ,

 



. Ta có:

SN



2

NC

     

V

 

V V

2 phan chung

SADNM

GỌI

V

.



1



V



1



V



V

V 2

phanchung

S ADNM V

5 9

4 9

  

  

  

  

.

'

'

'

Suy ra:

ABC A B C có thể tích V . Các điểm

M N trên các cạnh

, P

,

AA BB CC sao ',

',

'

.

.

Câu 57: Cho lăng trụ

ABC MNP .



,



,

 . Tính thể tích khối đa diện

AM AA '

1 2

BN BB

'

1 3

CP CC

'

2 3

cho

V .

V .

V .

V .

1 2

7 16

7 18

11 18

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Tài liệu Vted_2018

B

N

A

C

B'

M

P

A'

C'

ABC MNP .







V V

1 3

AM BN  AA

CP  BB CC '

'

'

1   3

2 3

1 2

  

  

1 1   3 2 

  

ABC A B C .

'

'

'

Ta có

ABC A B C có thể tích V . Các điểm

.

'

'

'

M N trên các cạnh

, P

,

ABC MNP .

.

.

AA BB CC sao cho

',

',

'

 . Tính thể tích khối đa diện



,



AM AA '

1 2

BN BB

'

CP CC

'

2 3

Câu 58: Cho lăng trụ đứng

V .

V .

V .

V .

1 2

7 16

7 18

11 18

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

ABC MNP .

Chọn D.







V V

1 3

AM BN  AA

CP  BB CC '

'

'

2   3

2 3

11 18

  

  

1 1   3 2 

  

ABC A B C .

'

'

'

Ta có

B

A

C

N

B'

M

P

A'

C'

.

'

'

'

, P

,

',

'

ABC A B C có thể tích V . Các điểm

M N trên các cạnh

AA BB CC sao ',

.

ABC MNP bằng

Câu 59: Cho lăng trụ



y

,

 . Biết thể tích khối đa diện

z

V . Khẳng định



x

,

BN BB

CP CC

'

1 2

AM AA ' ' nào sau đây đúng?

cho

x

   . z

y

x

   . z

y

x

   . z

1

y

x

   . z

2

y

3 2

2 3

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn C.

46 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Tỉ số thể tích

ABC MNP .





x

  y

z







V V

1 3

AM BN  AA

CP  BB CC '

'

'

1 3

1 2

  

ABC A B C .

'

'

'

    y

x

z

   3 2

Ta có

47 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Nguyên hàm_Tích Phân

NHÓM GIẢI VẬN DỤNG CAO CHUYÊN ĐỀ TICH PHAN - NĂM HỌC 2018-2019

VTED_2019 MÔN: TOÁN 12

1

Thời gian làm bài 90 phút

F x ( )



f x ( )



ax  1  5 x

x



5



2

Câu 1: Tìm giá trị thực của a sao cho : là một nguyên hàm của hàm số

a   .

a  . 6

2 a  . 5

3 a  . 5

2 5

x



3

A. B. C. D.

F x ( )



f x ( )



 ax 1  x 2 1

2

x



3 1

Câu 2: Tìm giá trị thực của a để là một nguyên hàm của hàm số

a  . 4

a  . 5

a   .

4

4  a   .

5

x









x e m x

n

x

e

x

x

A. B. C. D.

sin

cos

2sin

3cos

.



  f x





Câu 3: Biết là một nguyên hàm của hàm số

   F x   S m n .

Tính

S   1.

S   3.

S  2.

5 S  . 2

x

2

2





  bx

x

e

ax

  x 2

.x

D. A. B. C.

  f x

 c e



 3

Câu 4: Biết là một nguyên hàm của hàm số Tính

B. C. D.

S A.

S  6.

S  10.

   F x    a c b 3 . 2 S  4.

S  7.

2

x

10

  x 7

2

2





ax

  bx

c

x

 là một nguyên hàm của hàm số

2

1

  f x

  F x







x

2

1

.

S

a

Câu 5: Biết trên

   c b .

  1   ;     2 

Tính

S  0.

S   6.

S   2.

S  3.

2

20

x



7

2



B. C. D. A.



ax



bx



c

2

x



3

 f x



  F x





 30 x  2

x 3

Câu 6: Biết là một nguyên hàm của hàm số trên

;



  

khoảng . Tính P abc .

3 2 .

3P

8 P

   0P

4P

2

x

cos

B. . C. . D. . A.

tdt . Tính

  F x .

  F x

 

0

 F x

x

Câu 7: Cho hàm số

x .



cos

  2 cos 

   F x



A. B.

 

x 2 sin



x 2 cos

  F x



   F x

 x . 

 x .



 x .

x

y



cos



0

C. D.

 tdt x





0

x

x

y

 

y

 

Câu 8: Tính đạo hàm của hàm số .

cos 2

x

2cos x

cos

x

x

y

 

y

  

A. . B. .

x

cos 2

x

C. . D. .

1 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

x

2

3





y





3

f



3

f



3

dt

 f x



  f x

  t

  t







0

f

Câu 9: Cho hàm số có đạo hàm trên  thỏa mãn . Tính

 x

f

f

.

  . 2

f

  

31

2

f

 

31

2

   2 x  .

 x



  x

  x

x

y

sin

2 t dt

A. B. . C. . D.

0x 

 

1

y

 

y

 

Câu 10: Tính đạo hàm của hàm số . , 

y

 

y

 

sin

x

cos 2

x x

sin 2

x x

sin 2

x x

sin

x

y

2 t dt 3

A. . B. . C. . D. .

 

2

3

2

3

Câu 11: Tính đạo hàm của hàm số .

y

 

3cos

x .sin

x

y

3sin

x

y

 

3sin

x .cos

x

y

 

3cos

x

1  

x

53 x



96

f

t dt ( )

y



f x ( )

A. . B. . C. . D. .

 

a

Câu 12: Cho hàm số liên tục trên  thỏa mãn . Tìm a

.

96 a   4a  .

a   . 2 a  15

x

x

 

1 11

f t dt ( )



;



y



f x ( )

A. C. B. D.

 

a

1 2

  

a 

120

a 

60

a 

121

a 

61

Câu 13: Cho hàm số liên tục trên thỏa mãn 2 . Tìm a

   .

2

x

f

t dt ( )



x

cos(

x

)

y



f x ( )

f

(4)

A. . B. C. D. .

) thỏa mãn



0

f

(4) 1

f

f

(4)

f

(4)

Câu 14: Cho hàm số liên tục trên (0; . Tính

 .

 (4) 4

 . 2

1  . 4

f x (

)



A. B. C. D.

2 t dt

x

cos(

x

).

y

f x ( )



0

Câu 15: Cho hàm số thỏa mãn Mệnh đề nào dưới đây đúng?

f

'(2).

f

 1

f

'(2).

f

   1 2



2 (2)



2 (2)

A. B.

f

'(2).

f

  1

f

'(2).

f

  1

2



2 (2)



2 (2)

C. D.

    và

y

f x ( )

f  Tìm giá trị nhỏ nhất m (1)

1.

f x '( )

0

x

x

,

1 x

Câu 16: Cho hàm số thỏa mãn

f

(2).

của

m   2

2 ln 2

ln 2

1 m   2

B. A.

m  

1 ln 2

ln 2

5 m   2

3)







D. C.

F x ( )

a

ln

x

ln(2

x

3)

f x ( )

.

    b   

    

c x

 ln(2 x 2 x

S

   b c .

a

Câu 17: Biết là một nguyên hàm của Tính

S   1

1 S  3

7 S  3

4 S   3

B. C. D. A.

2 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Nguyên hàm_Tích Phân

f x ( )

y



f x

( ) :

2 t dt



x

cos(

x

).

f

(4).



0

3

3

3

3

Câu 18: Cho hàm số Tính

f

(4)



4.

f

(4)

 

12.

f

(4)

 

4.

f

(4)



12.

3

2

A. B. C. D.

F x ( )



mx



x



3

x

 là một nguyên hàm của hàm số

4

2

f x ( )

 

x



2

x

 3.

Câu 19: Tìm các giá trị thực của m để

m   1.

1.m 

m 

.

m  

.

1 3

1 3

x

2

A. B. C. D.

y



f x ( )

f x ( )



t

f

t '( )

dt

.

  1

 



0



f

f

(2)



f 2 (3).

f

(1)



f

(2)



f 2 (3).

Câu 20: Cho hàm số liên tục trên  thỏa mãn Mệnh đề nào dưới

đây là đúng? A. (1) B.

f

(1)



f

(2)



f 2 (3).

f

(1)



f

(2)



f 2 (3).

x

dt



0.

C. D.

t 2



0

t



1

Câu 21: Tìm tập nghiệm của bất phương trình

;  .

  ;

\ {0}





 0;  .

;0 .

y



/f

. A.  B.  C.  D. 

 f x



  x liên tục trên  thỏa mãn

x

2

2

/



f



f

dt



2018.

Câu 22: Cho hàm số nhận giá trị dương và có đạo hàm

  f x

  t

  t











2



  

  

0

f



e 2018.

f



2018

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

f



2018

f



e 2018.

 1

 1

 1

 1

3

x

f



.

y



f

A. B. . C. . D. . .

  t dt

 f x



 1 .



xe  x

1

0

Câu 23: Cho hàm số liên tục trên  thỏa mãn Tính

f

f



f

f

 1

 1

 1

 1

e  . 3

e 12

e  . 6

e  . 4

y



f

A. B. . C. D.

 x



  f x

x

2

2

2



Câu 24: Cho hàm số nhận giá trị dương và có đạo hàm liên tục trên R thỏa mãn

2



f



f

4

dt



2018

  f x

  t

  t









 

 



 

 

0

2

2

f



e 1009

f



e 1009

. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

f



1009

e

f



1009

e

  1

 1

 1

  1

3

x

y



f



2

x



2

A. . B. . C. . D. .

  f x

 1f

  t dt



0

f

f

f

f

Câu 25: Cho hàm số thỏa mãn . Tính .

 . 2

  1

  1

  1

 1

1  . 2

2  . 3

1  . 6

1

x f( )



A. B. C. D.

F x ( )



 ax b 2

2

x



2

x



3

x



2

x



3



3

P ab .

Câu 26: Biết rằng là một nguyên hàm của hàm số . Tính

1P  .

2P  .

4P  .

A. B. C. D. 1 P  . 4

3 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

4

3

2

ax



bx



cx



dx



3

2

x

 3



  F x



4

3

2

9

x

  5

x

12

x



1

Câu 27: Biết là một nguyên hàm của hàm số

;





  f x

3 2

x 

 3

 2

  

  

6 x 2

2

2

2

2



c



d

b .

trên khoảng . Tính

e  B.

15

S 

40

. C. . D. . S 

a S  A. S 

 12

y



  f x

0;1 . Đặt

x

Câu 28: Cho hàm số nhận giá trị không âm và liên tục . 35 S  trên 

f



x 

  g x

  t dt

  g x

  f x



0;1



2

   1 2

0

2

. Biết với mọi . Tìm giá trị lớn nhất M của



x



2

x



  g x

0;1

hàm số

  h x

1

A. M 4. trên đoạn  B. M 1. C. M 3. D. M 2.

2018

y



f

'

0

x 

  f x

  x 

  f x dx 



0;1



0

x

f

  t dt



0

Câu 29: Cho hàm số có và . Tìm giá trị nhỏ nhất

y



0;1

m 

2018.

m của hàm số trên nửa khoảng 

x B. m 1009. 

m 

1009.



2018.

A. C. D. m

y



f

  f x

 x



x

3

3

3

2







f



f



3

f

f

x d



2018

Câu 30: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên  thỏa mãn điều kiện:

  f x

  t

  t

  t

  t



















 

 

0

3

3

. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

f



e 2018

f

 

e 2018

f



e 2018

f

 

e 2018

  1

  1

 1

 1

2

x

e

t

t ln .d t

A. . B. . C. . D. .

 f x



 

x

e

Câu 31: Hàm số đạt cực tiểu tại điểm nào dưới đây?

x  . 0

x 

ln 2

x  

ln 2

x 

2 ln 2

2

t

t d



x

cos

A. B. . C. . D. .

y



 x



 f x



 9f 

  f x 

Câu 32: Cho hàm số có đạo hàm trên  thỏa mãn . Tính .

0 1  . 9



y



f



2018

f



1

 f x



  x

  f x

 0

 1f

A. 27 . B. 3 . C. D. 1 .

2018

Câu 33: Cho hàm số thỏa mãn . Tính . và

f



e 2018

e

f



2018e

f



 1

  1f

 1

 1

e 2018

f x ( )

1

x

2 t dt

e

A. . B. . C. D. . .

y



f x ( )

f x dx ( )





0

0

3

3

Câu 34: Cho hàm số liên tục trên  thỏa mãn . Tích phân bằng:

e

e

3 3 3

1e

1e

33 3

3 3



3 1



3 1





 33



A. . B. . C. . D. .

4 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Nguyên hàm_Tích Phân

3



a

1



x



  F x

b 

1

x

2

x

1





 f x



Câu 35: Biết rằng là một nguyên hàm của hàm số

0,1 . Giá trị của biểu thức a b bằng:

2

3

1



x



x

x

 1



trên khoảng 

a b  .

a b   .

a b   .

2

a b  .

2

8 3

8 3

8



y



f

  

0,

x

A. B. C. D.

10

 f x



  x

  f x 



 0;8



0

Câu 36: Cho hàm số có đạo hàm và . Giá trị lớn nhất của

f

  g x

  t dt

0;8 bằng?

1 x   x

0

hàm số trên nửa khoảng 

4 5

5 4

x

2

3





y



A. . B. 10 . D. 8 . C. .



3

f



3

f



dt 3

 f x



  f x

  t

  t







0

1

Câu 37: Cho hàm số có đạo hàm trên  thỏa mãn . Tính

  f x dx



0

3

2

2

2

2

2

bằng.

31  2

 2

33  2

31   2

8



y



f

  

0,

x

A. . B. . C. . D. .

10

 f x



  x

  f x 



 0;8



0

x

Câu 38: Cho hàm số có đạo hàm và . Giá trị nhỏ nhất của



f

0;8 bằng?

  g x

  t dt

1   x

8

0

hàm số trên nửa khoảng 

4 5

5 4

x

y



f

A. . C. . B. 10 . D. 8 .

 f x



  g x

  t dt

0;1 . Đặt

   1 2

0

1

2

3

x 

Câu 39: Cho hàm số . nhận giá trị không âm và liên tục trên

  g x

 g x





0;1

 

 

  

  3 f x   với mọi



Biết . Tích phân có giá trị lớn nhất bằng

0 4 3

5 3

x

3

2

y



A. . C. . D. 5 . B. 4 .

3

 

f

'



3

f

'



3

dt

  f x

  f x

  t

  t

 

 

 

 







0

1

Câu 40: Cho hàm số có đạo hàm trên  thoản mãn .

  f x dx



0

2

2

2

2

Tích phân bằng

31  2

32  2

33  2

31   2

A. . B. . C. . D. .

----------HẾT----------

5 | VD_VDC

Tài liệu Vted_2018

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19 NHÓM GIẢI VẬN DỤNG CAO

CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN - NĂM HỌC 2018-2019

VTED_2019 MÔN: TOÁN 12

Thời gian làm bài 90 phút

Đề đã thay đổi thứ tự câu (sắp xếp theo độ khó tăng dần) so với đề gốc

BẢNG ĐÁP ÁN THAM KHẢO

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

1

HƯỚNG DẪN GIẢI

F x ( )



f x ( )



ax  1  5 x

x



5



2

Câu 1: Tìm giá trị thực của a sao cho : là một nguyên hàm của hàm số

a  . 6

a   .

2 a  . 5

3 a  . 5

2 5

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

5

a

1

' F x ( )



f x

( )

  x



2

( )F x là một nguyên hàm của

f x nên ( )

x



5

x



5

 

 1 2 





 

5

a

   

1 1

a

 2 5

x



3

Chọn D.

F x ( )



f x ( )



1  ax  x 2 1

2

x



3 1

Câu 2: Tìm giá trị thực của a để là một nguyên hàm của hàm số

4  a   .

5

a  . 4

a  . 5

a   .

4

D. A. B. C.

Hướng dẫn giải

a

2

x

  1

(

ax



1)

(

ax



' 1) 2

x



ax



1)

 1 '(

1 x

2

Chọn A.

F x '( )





2

1 2

2

x

1

 

2

x



1

  1 

 



  1)

(



1)

F x '( )





   x

1 2



2

x

2

x



1

x 2    ax a 1 3   1

a x (2 

ax 3 

( )

F x '( )



f x

( )

x

Ta có

( )F x là một nguyên hàm của

f x khi

1    2

x



3





a

x

4

3

1      2



2

x

2

x



ax a 

  1 3  1

4 

 1

Ta có

6 | VD_VDC

x









x

n

x

x

x

e

sin

cos

3cos

2sin

.



Câu 3: Biết là một nguyên hàm của hàm số

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19 

  f x



Tính

Chuyên đề_Nguyên hàm_Tích Phân    x e m F x   S m n .

S   1.

S   3.

S  2.

5 S  . 2

A. B. C. D.

Lời giải:









x e m x

n

x

x

n

x

Chọn đáp án B.

sin

cos

cos

sin

  F x '





 x e m







x

sin

cos

  F x '



   x m n



  2 e m n  

  





   S

3.

2   

3

   m n    m n  

 

1 2 5 2

   m       n 

x

2

2





ax

  bx

x

e

  x 2

.x

Ta có

  f x

 c e



 3

Câu 4: Biết là một nguyên hàm của hàm số Tính

S A.

   F x    c b a 3 . 2 S  4.

S  6.

S  10.

S  7.

B. C. D.

Lời giải:

x

x

x

2

2













ax

  bx

ax

ax

a

  b

2

2

Chọn đáp án C.

  F x '



 b e



 b x



 c e

  

 c e  





a

a

1

      

S

2

10.



1 a b   c

3

0 3

     2    b   

     b    c   

2

x

10

  x 7

2

2





ax

  bx

c

x

Ta có:

 là một nguyên hàm của hàm số

2

1

  f x

  F x







x

2

1

.

S

a

Câu 5: Biết trên

   c b .

  1   ;     2 

Tính

S  3.

S  0.

S   6.

S   2.

A. B. C. D.

Lời giải:

2

2

 

c b

ax 5

2

   b 3

ax

  bx

c







ax

b

x

Chọn đáp án D

2

2

  1

  F x '









x

x

2

1

 a x 1

2





a

2

         

S

10 a

7

2.

 

b

2

1 3

  a 5    b 3 2       c   

     b    c   

Ta có:

7 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

2

20

x



7

2





ax



bx



c

2

x



3

 f x



  F x





30  x  2

x 3

Câu 6: Biết là một nguyên hàm của hàm số trên

;



  

3 2 .

khoảng . Tính P abc .

   0P

3P

8 P

4P

A. B. . . D. .

C. Lời giải

u

Chọn D.

udu  

dx và

x



u



2

x



3

2 u  

2

x



3

2 3  2

4

2

4

2

2

Đặt



u 5



u 15



7

du





u 5



7



C



2

x



x



2

x



  F x



 u u



 3 4



 1



Khi đó

8 P

2

x

cos

Vậy .

tdt . Tính

  F x .

  F x

 

0

 F x

x

Câu 7: Cho hàm số

x .



cos

  2 cos 

   F x



A. B.

 

x 2 sin



x 2 cos

  F x



   F x

 x . 

 x . D.

C.

  x . Lời giải

I

cos

I

u 2 cos

Chọn.

udu .

2

udu



dt thì

tdt , đặt u

t

 

 

I



2

u

sin

u



cos

u



+ Xét

c





I  

2

t

sin

t



cos

t



c





2

x



2

t

sin

t



cos



2

x

sin

x



cos

x



t

Theo phương pháp nguyên hàm từng phần ta có

  F x

 1







0



2

x

sin

x



cos

x





x



x

cos

x



sin

x



2

x

cos

Suy ra

x .

   F x



  1

 2 sin



Từ đây ta có

x không có đạo hàm

0x

0x

Giáo viên giải: nếu bài toán không cho điều kiện thì hàm số y

x

y



cos



0

tại 0x Thế nên với Xin ý kiến các thầy cô! ta chọn đáp án B và D.

 tdt x





0

x

x

y

 

y

 

Câu 8: Tính đạo hàm của hàm số .

cos 2

x

2 cos x

cos

x

x

y

 

y

  

A. . B. .

x

cos 2

x

C. . D. .

Lời giải

8 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Nguyên hàm_Tích Phân

x

x

y



cos

tdt



sin

t



sin

x

Chọn A.

0



0

x

Xét

y

 

cos 2

x

x

2

3





y



Từ đây ta có .



3

f



3

f



3

dt

 f x



  f x

  t

  t







0

f

Câu 9: Cho hàm số có đạo hàm trên  thỏa mãn . Tính

 x

f

f

.

  . 2

f

  

31

2

f

 

31

2

   2 x  .

 x



  x

  x

A. B. . C. . D.

Lời giải

Chọn C.

3

2

2















f



3

f

x



3

f

 

3 0

Ta có

f

x



3 3

f

x



3

f



3

 

31

2

  x





  x

  x f









  x













x

y

sin

2 t dt

.

0x 

 

1

y

 

y

 

Câu 10: Tính đạo hàm của hàm số . , 

y

 

y

 

sin

x

cos 2

x x

sin 2

x x

sin 2

x x

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

x

2

2

y

dt

Chọn B.

y

 

 

sin t t 2

sin 2

x x

1

sin

x

y

2 t dt 3

Ta có suy ra .

 

2

3

2

3

Câu 11: Tính đạo hàm của hàm số .

1  

y

 

3cos

x .sin

x

y

3sin

x

y

 

3sin

x .cos

x

y

 

3cos

x

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

3

2

y



sin

x



1

  y

3sin

x .cos

x

Chọn C.

x

53 x



96

f

t dt ( )

y



f x ( )

Ta có .

 

a

Câu 12: Cho hàm số liên tục trên  thỏa mãn . Tìm a

.

96 a   4a  .

a   . 2 a  15

A. C. B. D.

Hướng dẫn giải

x

5

4

g t ( )



f

t dt ( )



f

t dt ( )



g x ( )



g a ( )



f x ( )



g x '( )



(3

x



 96) ' 15

x





a

Chọn B.

9 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

x

5

5

5

3

x



96



15

4 t dt



3

x

    2

a 3

a



a

x

x

 

1 11

f t dt ( )



;



y



f x ( )

Suy ra

 

a

1 2

  

a  a 

60 61

a  a 

120 121

Câu 13: Cho hàm số liên tục trên thỏa mãn 2 . Tìm a

   . .

B. D. A. C. .

Hướng dẫn giải

x

1

g t ( )



f

t dt ( )



f

t dt ( )



g x ( )



g a ( )



f x ( )



g x '( )



( 2

x

 

1 11)'







a

2

x



1

x

x

 

1 11





2

x

  1

2

a

  

1

a

60

Chọn B.



a

dt  t 2

1

2

x

f

t dt ( )



x

cos(

x

)

y



f x ( )

f

(4)

Suy ra 2

) thỏa mãn



0

f

(4) 1

(4)

f

Câu 14: Cho hàm số liên tục trên (0; . Tính

 .

f

f

(4) 2

1  . 4  (4) 4

A. B.

 .

C. D.

Hướng dẫn giải

2

x

2

g t ( )

f t dt ( )



g t '( )



f t ( )



t dt ( )



g x (

)



g

(0)

f

Chọn A.

0

2

2

g x (

)



g



2

xg x '(

)

 x

)) '



cos(

   ) x

x

sin(

 x

)

 f x ( )





  x ( cos(

  cos(

 (0) '  sin(

 x

)

x

2

g x '(

)



f

(4)

g

'(4)

. Ta có:

2x  ta được:

   ) x 2 x

1  4

f x (

)



. Cho

2 t dt

x

cos(

x

).

y

f x ( )



0

Câu 15: Cho hàm số thỏa mãn Mệnh đề nào dưới đây đúng?

f

'(2).

f

 1

f

'(2).

f

   1 2



2 (2)



2 (2)

A. B.

f

'(2).

f

  D. 1

f

'(2).

f

2

  1



2 (2)



C.

2 (2) Hướng dẫn giải

v x (

)





Chọn A.

F x ( )

f t dt ( )

F x '( )

v x f v x

'( ) [ ( )]

u x f u x

'( ) [ ( )],

 

u x (

)

2

2











Áp dụng công thức thì ta có:

cos(

x )

x

sin(

x

)

f x f x

'( )

( ).

f

'(2)

f

(2)

 1.

Suy ra

    và

y

f x ( )

f  Tìm giá trị nhỏ nhất m (1)

1.

f x '( )

x

0

x

,

1 x

Câu 16: Cho hàm số thỏa mãn

f

(2).

của

m   2

2 ln 2

ln 2

1 m   2

A. B.

10 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Nguyên hàm_Tích Phân

m  

1 ln 2

ln 2

5 m   2

C. D.

Hướng dẫn giải Chọn D.

f x ( )

ln

x C

 .

f x '( )

x

2 x   2

1   suy ra x

Ta có

f

(1)

  mà C

C  .

f  suy ra (1) 1

1 2

1 2

Mặt khác

f x ( )

ln

x

 Vậy .

f   (2)

ln 2.

2 x   2

1 2

5 2

3)







Do đó

F x ( )

a

ln

x

ln(2

x

3)

f x ( )

.

    b   

    

c x

 ln(2 x 2 x

S

   b c .

a

Câu 17: Biết là một nguyên hàm của Tính

S   1

1 S  3

B. A.

4 S   3

7 S  3

D. C.

3)





Hướng dẫn giải Chọn A.

F x ( )

f x dx ( )

dx .





 ln(2 x 2 x



  



Ta có

u

ln(2

x

du

3)

dx

dv

dx

   .

v

2 

2

x

3

1 x

1 2 x

Đặt và

 

 



F x ( )

ln(2

x

  3)

dx

ln(2

x

  3)

x ln(2 )

x

C

 ln 2

   3





1 x

1 3

1 3

1 x

4 x 2

2

x



 3



  



ln

x

ln(2

x

  3)

ln 2

C

    

    

1 3

1 3

1 3

1 x



 

Suy ra

S   1.

a

,

b

,

c

  Vậy 1.

1 3

1 3

f x ( )

y



f x

( ) :

2 t dt



x

cos(

x

).

f

(4).

Vậy



0

3

3

3

3

Câu 18: Cho hàm số Tính

f

(4)



4.

f

(4)

 

12.

f

(4)

 

4.

f

(4)



12.

A. B. C. D.

Hướng dẫn

f x ( )

3

3

2 t dt



x

cos(

x

)

Đáp án: A





x

cos(

 x

)



f x ( )



x

cos(

 x

)





f x ( ) 0



t 3

0

Ta có

11 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

3



f

(4)



 4 cos(4 )

  4

f x ( )



4.



3

3

2

F x ( )



mx



x



3

x

 là một nguyên hàm của hàm số

4

2

f x ( )

 

x



2

x

 3.

Câu 19: Tìm các giá trị thực của m để

m   1.

1.m 

m 

.

m  

.

1 3

1 3

A. B. C. D.

Hướng dẫn

3

2

2

Đáp án: B

F x ( )



mx



x



3

x

 là một nguyên hàm của hàm số

4

f x ( )

 

x



2

x

 3.

2

2



mx 3



2

x

   3

x



2

x

    x

m

3,

.



F x '( )



f x

( ),

 x

1 3

x

2

y



f x ( )

Ta có

f x ( )



t

f

t '( )

dt

.

  1

 



0

Câu 20: Cho hàm số liên tục trên  thỏa mãn Mệnh đề nào dưới



f

f

(2)



f 2 (3).

f

(1)



f

(2)



f 2 (3).

B. đây là đúng? A. (1)

f

(1)



f

(2)



f 2 (3).

f

(1)



f

(2)



f 2 (3).

C. D.

Hướng dẫn

Đáp án: B

x

x

x

x

2

2

2

2

f x ( )





t

f





t

f

  x

t

df

t ( )

  x

t

f

t ( )

 2

  t



 tf t dt ( )

x 0

x 0

 1 

 t dt '( ) 

 

 t dt '( ) 

 

 









0

0

0

0

   

   

x

2

  x

x f x

tf

.



 t dt ( )

  ( ) 2

0

1

1

Ta có

f

(1) 1

 

f

 (1) 2

tf



f

(1)





tf



 t dt ( )



 t dt ( )





1 2

0

0

2

3

Khi đó,



f

(2)





tf

;

f

(3)



tf



 t dt ( )



 t dt ( )





2 5

2 5

3 10

1 5

0

0

Tương tự,

1

2

3

1

3

f

(1)



f





tf



tf

tf





tf



tf

   (2) 2 f 3



 t dt ( )



 t dt ( )



 t dt ( )



 t dt ( )



 t dt ( )











9 10

2 5

3   5

2 5

3 10

2 5

0

0

0

0

2

x

dt



0.

Suy ra

t 2



t



1

0

Câu 21: Tìm tập nghiệm của bất phương trình

;  .

  ;

\ {0}





 0;  .

;0 .

. A.  B.  D. 

C.  Lời giải

Chọn C.

12 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Nguyên hàm_Tích Phân

x

x

x

2

2

2

dt

  0

   

0

t

1

    

0

0

x

x

0.

 d t

 1

t 2

1 2





t



1

2

t



1

0

0

0

y



/f

Ta có

 f x



  x liên tục trên  thỏa mãn

x

2

2

/



f



f

dt



2018.

Câu 22: Cho hàm số nhận giá trị dương và có đạo hàm

  f x

  t

  t











2



  

  

0

f



e 2018.

f



2018

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

f



2018

f



e 2018.

 1

 1

 1

 1

A. B. . C. . D. . .

2

2

2

/

/

/

/

2.





f

f





f

  0



f





c e .

.x

Lời giải

  f x f .

  x

  x

  f x

  x

  f x

  x

  f x

 

 

 

 

x

2

2

2

x

x

x

2

x

2

x

2

c e .



c e .



c e .

dt



2018



2 c e .



2 c e .



c



2018

  c

2018.

Chọn D. Lấy đạo hàm 2 vế ta được   x













  

  

0

  0 f x  ).

x



e 2018.



f



e 2018. .

( vì Từ đó 

 f x



  1

3

x

y



f

Suy ra

f



.

 f x



 1 .

  t dt



xe  x

1

0

Câu 23: Cho hàm số liên tục trên  thỏa mãn Tính

f

f



f

f

 1

 1

 1

 1

e  . 3

e 12

e  . 6

e  . 4

A. B. . C. D.

Lời giải

3

/

x

x

x

x

x

/

xe

xe

3

3

3

f







F





3





3



.

  t dt

  0

2

2

 F x



 2 / x F x



 2 x f x









e  x

1

e  x

1

x



x



0

  

  



 1



 1

f



.

B. có Chọn Ta

 1

e 12

y



f

Suy ra,

  f x

 x



x

2

2

2



Câu 24: Cho hàm số nhận giá trị dương và có đạo hàm liên tục trên R thỏa mãn

2



4

f



f

dt



2018

  f x

  t

  t









 

 



 

 

0

2

2

f



e 1009

f



e 1009

. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

f



1009

e

f



1009

e

  1

 1

  1

A. . B. . C. . D. .

 1 Hướng dẫn giải

2

2

2







x



2



f

x



f



2

Chọn D

 0

  f x f .





 f x







  x

  f x













f

2

x

 f

x



2

k  0



  2

ln



2

x C

 



k e .





  f x

  f x

  f x

4    x   f x

Đạo hàm hai vế ta được:

Thử vào đẳng thức đã cho suy ra

13 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

x

x

x

x

4

t

2

2

2 4 k e



8

2 4 t k e dt



2018



2

2 4 k e



2 k e 2 .



2018

  2 k

2018

  k

1009

0



0

2

x

2



1009

e



f



1009

e

  f x

  1

3

x

f



2

x



2

y



Vậy

  t dt

  f x

 1f



0

f

f

f

f

Câu 25: Cho hàm số thỏa mãn . Tính .

 . 2

  1

  1

  1

 1

1  . 2

2  . 3

1  . 6

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

1

1

3

3

3









f



  1

 2 x f x



 f x



1 6

2

x



2

2 3 . 2

x

x



2

1

Chọn D Đạo hàm hai vế ta được:

x f( )



F x ( )



 ax b 2

2

x



2

x



3

x



2

x



3



3

P ab .

Câu 26: Biết rằng là một nguyên hàm của hàm số . Tính

1P  .

2P  .

4P  .

x



1

2

a x



2

x

  3

 ax b





2

x



2

x



3

A. B. C. D. 1 P  . 4 Hướng dẫn giải Chọn A

F x ( )





F x '( )



2

 ax b 2

x



2

x



3

x

x





3

0

 

a b



1





   a b

.



F x '( )



3

2

2

 

1

1 2

  3 a b 

x



2

x



3



x



3

2

x





2   a b x 

 a b 3 

4

3

2

.

ax



bx



cx



dx



3

2

x

 3



  F x



4

3

2

9

x

  5

x

12

x



1

Câu 27: Biết là một nguyên hàm của hàm số

;





  f x

3 2

x 

 3

 2

  

  

6 x 2

2

2

2

2



c



d

b .

trên khoảng . Tính

e  B.

15

S 

40

. C. . D. . . S 

a S  A. S 

 12

S 

35

Hướng dẫn giải

Chọn C.

y



  f x

0;1 . Đặt

x

Câu 28: Cho hàm số nhận giá trị không âm và liên tục trên 

f



x 

  g x

  t dt

  g x

  f x



0;1



2

   1 2

0

2

. Biết với mọi . Tìm giá trị lớn nhất M của





x



2

x

  g x

0;1

  h x

hàm số

trên đoạn  A. M 4. B. M 1. C. M 3. D. M 2.

Hướng dẫn giải

14 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Nguyên hàm_Tích Phân

1

Chọn B.

2018

y



f

'

0

x 

  f x dx 

  f x

  x 



0;1



0

x

f

  t dt



0

Câu 29: Cho hàm số có và . Tìm giá trị nhỏ nhất

y



0;1

m của hàm số trên nửa khoảng 

m 

1009.



2018.

A. C. D. m

x B. m 1009. 

m 

2018.

Hướng dẫn giải

y



f

Chọn A.

  f x

 x



x

3

3

3

2







f



f



3

f

f

x d



2018

Câu 30: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên  thỏa mãn điều kiện:

  f x

  t

  t

  t

  t



















 

 

0

3

3

f



e 2018

f

 

e 2018

. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

f



e 2018

f

 

2018

e

  1

  1

 1

 1

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

x

3

3

3

2







f



f



3

f

f

x d



2018

  f x

  t

  t

  t

  t

Chọn C



















 

 

0

3

3

2







23 f





f



3

f

  x f .

  f x

  x

  x

  f x

  x









3







  0







f

f

  0



f

 1 .

  f x

   f x

  x

  x







. x c e

Lấy đạo hàm hai vế của  1 ta được:    x

   f x   f x

x

3

3

3

2

x

t

t

t

c e .



c e .



c e .



t d



2018

(với c là hằng số).









 t c e c e 3 . .







  

  

0

x

x

t

x

t

x

x

3

3



3 3 c e



3 3 c e 3

t d



2018



3 3 c e



3 3 c e



2018



3 3 c e



3 3 c e



c



2018

  c

2018



x 0

0

3

Thay vào  1 ta được: 





3 2018. x e

f



e 2018.

  f x

  1

2

x

e

t

t ln .d t

. Vậy

 f x



 

x

e

Câu 31: Hàm số đạt cực tiểu tại điểm nào dưới đây?

x  . 0

x 

ln 2

x  

ln 2

x 

2 ln 2

A. B. . C. . D. .

Lời giải



t

.ln

t



t

.ln

t

 G t

 g t

   G t

2

x

2

x

e

e

2

x

x

. Gọi là nguyên hàm của . Suy ra: Chọn A   Đặt g t



t

t ln .d







 f x



  t G t

 G e



 G e



x



x

e

x

2

x

2

x

2

x

2

x

x

x

2







f



2.





e 2.

e .

.ln

e



x e e .

.ln

e

.

Ta có: .

  x

 2 e G e .



e  x  e G e



.

15 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

4

x

2

x

2

x

2

x

 f



x e 4 .



x e .



x e .

e 4

  x



 x 0        1 0 x

ln 2



2

x

x

4



f



4

e

x



e

x

.

  x



  1 2



.

x  . 0

f 

  . Vậy hàm số

3 0

  1 4  0

  f x đạt cực tiểu tại điểm

2

t

t d



x

cos

y



Khi đó:

 x



 f x



 9f 

  f x 

Câu 32: Cho hàm số có đạo hàm trên  thỏa mãn . Tính .

0 1  . 9

. C. A. 27 B. 3 . D. 1 .

3

  f x

3

3

2

Lời giải

x

cos





x

cos



f



x

cos



f



x 3 cos

t d

t



  x



  x



  x

  x



  x

  x



1 3

t 3

0

0



f



   27

f

  . 3

  3 9

 3.9.cos 9

2



. Chọn C   f x 



3.

f

x

.

f



3cos

 3 x

sin

    x

  9 





  x

  x



2

2









3.

f

f



3cos 9

  

3 .9.sin 9





f

f

   1

f

 

  9 .

  9

  9 .

  9

  9

1   9

f

1   2 9



y



f



2018

f



1

 f x



  x

  f x

 0

 1f

Mặt khác: .

2018

Câu 33: Cho hàm số thỏa mãn và . Tính .

f



e 2018

e

f



2018e

f



 1

  1f

 1

 1

e 2018

A. . B. . C. D. . .

f



f



2018





2018

Lời giải Chọn B

  x

  f x

   x   f x

1

1

1

1

f

f

Ta có: .



x d



x 2018.d



ln



2018

x



ln



2018

  f x





0

0

f

   x   f x

  1   0

0

0

2018

.

ln

f



2018



f



e

 nên

1

f

  1

  1



2018

x



2018

x



2018

x

2018



e

f

'



2018.



e

 ' 0



f

'

  f x

  x

  f x e .

  f x

. Mà

 0 Cách 2   x





1

1



2018

x



e

'

dx



0

dx

  f x









0

0

1

2018

x

2018



  0

f



e

 f x



  1

 e 

 

0

f x ( )

1

x

2 t dt

e

y



f x ( )

f x dx ( )





0

0

3

3

Câu 34: Cho hàm số liên tục trên  thỏa mãn . Tích phân bằng:

e

e

3 3 3

1e

1e

33 3

3 3



3 1



3 1





 33



A. . B. . C. . D. .

Lời giải

16 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Nguyên hàm_Tích Phân

f x ( )

3

f x ( )

3

f x ( )





3

x

2 t dt

x   e

x   e

x   e

f x ( )



e 3



t 3

3

0

0

1

1

1

3

x

x

3

f x dx ( )



e 3



3 e 3 3



3 e 3 3



3 3 3



3 3 3

e





 1





0

0

0

3

Ta có:



a

1



x



  F x

b 

1

x

2

x

1





 f x



Câu 35: Biết rằng là một nguyên hàm của hàm số

0,1 . Giá trị của biểu thức a b bằng:

2

3

1



x



x

x

 1



trên khoảng 

a b  .

a b   .

a b   .

2

a b  .

2

8 3

8 3

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:

2

x

1

Chọn D





dx

  f x dx

2

3





1



x



x

x

 1



2

x

Ta có:



dx

I 1

3



1



x

2

 3

x

3

3

Xét

t



1

  

dt

x

dx

dt





1



x



  I 1

C 1

3



 2 3

 2  t C 1 3

 2 3

2 1



x

1

Đặt

I



dx

2

2





x

x

 1



1

Xét

t

    x

dt

1

dx

2

x







I Suy ra 2

C 2

C 2



dt 2 2 t

2    t

 2 

1

x

3

Đặt



1



x





C

  f x dx



 2 3

 2 

1

x

3

Vậy



a

1



x



  F x

  f x suy ra

1

x

a



;

b

    

a b

2

 2 3

b   8 3

Mà là một nguyên hàm của hàm số

17 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

8



y



f

  

0,

x

10

 f x



  x

  f x 



 0;8



0

Câu 36: Cho hàm số có đạo hàm và . Giá trị lớn nhất của

f

  g x

  t dt

0;8 bằng?

1 x   x

0

hàm số trên nửa khoảng 

4 5

5 4

A. . C. . B. 10 . D. 8 .

Hướng dẫn giải

x



f

  x f x .

  t dt







Chọn C.

   g x

0 2

  h x 2 x

x

x









xf





xf

  

0,

x

Ta có .



f

   h x

  f x

  x

  f x

  x



  h x

  x f x .

  t dt

 0;8

 

0



h

  

0,

x

Trong đó: và .

  h x

  0



 0;8 .

8

Do đó



  

0,

x

0;8





g



f





   g x



  8

  t dt





1 8

10 8

5 4

  h x 2 x

max 

  g x  0;8

0

x

2

3





y



Suy ra .



3

f



3

f



dt 3

 f x



  f x

  t

  t







0

1

Câu 37: Cho hàm số có đạo hàm trên  thỏa mãn . Tính

  f x dx



0

3

2

2

2

2

2

bằng.

31  2

 2

33  2

31   2

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

2

3









Chọn A.

f



3

f



3

f

  3

f





2

 

31

2

  x

  x

  x

  x

  x f







 1

x

3

3

Đạo hàm hai vế ta có : .





2





2

x

  f x

 1

 dt

 1





0

1

1

2

3

Thay vào giả thiết ta có .





2

xdx



  f x dx

 1







31  2

0

0

8



y



f

  

0,

x

Suy ra .

10

 f x



  x

  f x 



 0;8



0

x

Câu 38: Cho hàm số có đạo hàm và . Giá trị nhỏ nhất của



f

0;8 bằng?

  g x

  t dt

1   x

8

0

hàm số trên nửa khoảng 

4 5

5 4

A. . C. . B. 10 . D. 8 .

Hướng dẫn giải

18 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Nguyên hàm_Tích Phân

x

8





f



   x f x .

  t dt



Chọn C.





   g x

0 2

  h x 2 x

8



x





x

Ta có .



8



x

.

f

  h x





  f x

  t dt

 

0





 



8







8



x

  

0,

x

0;8

Trong đó: và

   h x

  f x



 x f

  x

 f x





 x f











h

  

0,

x

.

  h x

  0

 0;8 .



8

Do đó



  

0,

x

0;8





g



f





   g x



  0

  t dt





1 8

10 8

5 4

  h x 2 x

  g x  0;8

min 

0

x

y



Suy ra .

f

 f x



  g x

  t dt

0;1 . Đặt

   1 2

0

1

2

3

x 

Câu 39: Cho hàm số . nhận giá trị không âm và liên tục trên

 g x



  g x



0;1

 

 

  

  3 f x   với mọi



Biết . Tích phân có giá trị lớn nhất bằng

0 4 3

5 3

A. . C. . D. 5 . B. 4 .

Hướng dẫn giải

g

Chọn

 0

x

x

3



2



2



  2

dx



2

dx

  g x '

 f x



  g x





3

3

  g x '   g x

  g x '   g x

0

0

2

2



3

3

  x

2

  2 x



2

x



  g x

  g x

 

 

 

 

3

x 0

3 2

3 2

3 2

   x d g x    g x

0

1

1

2

2

3

4

3

3

3



4

x

  3

dx



dx



 g x



 g x



 

 

 

 





 x 3

5 3

  

  

0

0

3

3

4



Ta có A.  và đạo hàm ta có 1

 g x



 x 3

   

  

x

3

2

y



3

 

f

'



3

f

'



3

dt

Dấu bằng xảy ra .

  f x

  f x

  t

  t

 

 

 

 







0

1

Câu 40: Cho hàm số có đạo hàm trên  thoản mãn .

  f x dx



0

Tích phân bằng

19 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

2

2

2

2

31  2

32  2

33  2

31   2

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

x

3

2

3

 

f

'



3

f

'



3

dt

(1)

 f x



  t

  t

 

 

 

 







0

3

f

  0

f



0

  0

  0

0

Chọn A.

x  vào  1

3

2

g t ( )



f

'



3

f

'



3

(cid:0) Thay ta được .

  t

  t

 G t

 

 

 

 

3

2





f

'



3

f

'



3

  G t '

  t

  t

 

 

 

 

3

2





f

'



3

f

'



3

  G x '

  x

  x

 

 

 

 

x

3

 

 



 f x



  G t

 G x G



  0

0

(cid:0) Gọi là nguyên hàm của hàm số

3

2



f 3 '

 

f

'

x



3

f

'



3

  x





  x

 

 

 

  3



f

'

x





2





 

1  

3



f

'

3   

2

1

2

  x

  f x



3

f

    C

0

0

2

x

(cid:0)

  0

   1      1 f x

x C  

Vì

20 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Nguyên hàm_Tích Phân

21 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Nguyên hàm_Tích Phân

NHÓM GIẢI VẬN DỤNG CAO CHUYÊN ĐỀ TICH PHAN_TP - NĂM HỌC 2018-2019

VTED_2019 MÔN: TOÁN 12

Thời gian làm bài 90 phút A – PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

'



'



.u

x

    u x v x .

   u x v x .



  v x '





 

 

Xuất phát từ đạo hàm của hàm số tích, ta có

'

dx



'



u x v x dx '

    u x v x

    u x v x

 

 





 

 









'



    u x v x

  u x v x dx





 u x v x dx '

 















    u x v x



    u x d v x



    v x d u x







Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

b

b

'

dx



'



v x u x dx

.

'

    u x v x .

   u x v x .



 





 

 

 

 





a

a

b

b

b







 



   u x v x



  u x d v x



     v x d u x







a

a

a

b

b

Lấy tích phân hai vế ta được:





.

  u x v x dx ' .

 

    u x v x

  v x u x dx '

 





b a

a

a

Hay

x

,sin

, ln

,

,

f

'

,

f

"

Tổng quát sử dụng tích phân từng phần khi có sự kết hợp giữa hai loại hàm chẳng hạn

 f x

 x ,

 f x

 x . hoặc đơn giản là có

 F x



  f x

  x

  x

 f x e ,



,

x





B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

1 x e

  2x f x e . Tìm một nguyên hàm của hàm



x

'

f

Câu 1: Cho là một nguyên hàm của hàm số

  F x  2 x e .



2

xx

x

số

f

'



 e C

f

'



 4 2



C



 2 x x e dx

  2 x x e dx



 x e





 2

x

A. B.

f

'



x



2

 e C

f

'



2







 2 x x e dx







 2 x x e dx



 x x e C





F x ( )



.

C. D.

2

( ) f x x

1 x 2

Câu 2: Cho hàm số là một nguyên hàm của hàm số Tìm một nguyên hàm của hàm

f x

x '( ).ln .

số

f

x '( ).ln

xdx







C

.

f

x '( ).ln

xdx





C

.



x 2

2

x 2





A. B.



f

x '( ).ln

xdx

 



C

.

f x

'( ).ln

xdx

 





C

.

1 x 2 x 2

2

1 2 x x 2





ln x

1 x 2

ln x

1 2 x

ln x   

  

ln x   

  

C. D.

1 | VD_VDC

2

2

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19 Câu 3: Cho hàm số

( )F x

x

là một nguyên hàm của hàm số

Tài liệu Vted_2018 f x e Tìm một nguyên hàm của hàm

( ).

.x

2

'( ).e .x

2

x

2

2

x

2

số

f

x '( ).e

dx



2

x



2

 x C

.

f

x '( ).e

dx

 

2

x



2

 x C

.

2

x

2

2

x

2

A. B.

f

x '( ).e

dx

 

x

 

x C

.

f

x '( ).e

dx

 

x



2

 x C

.

f x  

 

1

C. D.

y



f x ( )

(3

x



1).

f

'( )



1 & 4 (1)

f



f

(0)



2017.



 x dx



0

1

I

f x dx ( ) .

 

Câu 4: Cho hàm số thỏa mãn Tính

0 I  

2016.

I 

672.

I 

2016.

I  

672.

1





xe f

1

e. f

f

2

A. B. C. D.

 . Tính tích phân

  x dx

  f x thỏa mãn

  1

  0



0

1

I

Câu 5: Cho hàm số và

  x e f x dx

 

3

.

I  . 3

I   .

0 1I  .

I   .

1

1



1

A. B. C. D.

2

  ln x 1 f x dx

 



  f x thỏa mãn

 1 f  . Tính tích phân



0

1



I

dx

Câu 6: Cho hàm số và

.

  f x  1 x 0 1I  .

I 

2 ln 2 1

 .

I   .

1

I  

1 2ln 2

1

1

2







x

f

2

I

2

f

f

1

A. B. C. D. .

 . Tính tích phân

  x dx

  x f x dx

  1

  0



 1



 

0

0

Câu 7: Cho và .

I   .

1

1I  .

I  . 3

I   .

1 2

1

2

A. B. C. D.

x





2

 F x là một nguyên hàm của hàm số

 f x thỏa mãn



  f x dx .



 1



0

1

2

F

F

1

 . Tính

Câu 8: Gọi và

I

  1

  0

  xF x dx

 

0

I



.

1I  .

3 I  . 2

1 I  . 2

 1 2

x

e



cos

x

C. D. B. A. .

  2x f x e . Tìm một nguyên hàm của hàm

x

'

f

Câu 9: Cho là một nguyên hàm của hàm số



x

x

số

f

'

 

e

sin

x



cos

'



e

sin

x



cos

f

  F x  2 x e .   2 x x e dx



  x C

  2 x x e dx



  x C

x

x

A. . B. .

f

'

 

e

sin

x



cos

x



C

'



e

sin

x



cos

x



C

f

  2 x x e dx





  2 x x e dx





 

 

1

1

f

'

cos .

x dx 

1

I

sin .

x dx

  x

  f x



 

0

0

C. . D. .

f

f



2018

  0

Câu 10: Cho và . Tính .

I 

2017

I 

  1 .cos1 2019

I  

2019

I  

2017

A. . B. . C. . D. .

2 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Nguyên hàm_Tích Phân

F x ( )

 

3

1 x 3

( ) f x x

Câu 11: Cho là một nguyên hàm của hàm số . Tìm một nguyên hàm của hàm số

 ( ) ln f x

x

.



 ( ) ln f x

xdx





C

 ( ) ln f x

xdx







C

x 3

3

x 3

5





1 x 3

A. . B. .



 ( ) ln f x

xdx

 



C

 ( ) ln f x

xdx







C

x 3

3

x 3

5





ln x ln x

1 x 3

ln x ln x

1 x 5 1 x 5

C. . D.



F x ( )

 f x . Tìm một nguyên hàm của hàm số





f x

Câu 12: Cho là một nguyên hàm của hàm số

  f x

xe x  ( ) . x e



x

x

x

x

2

e

x e .



e







f x

x e dx





C

.



f x

x e dx





C

  f x

  f x



 ( ) .



 ( ) .

2





x

e x

x

x

x

x

2

e

x e .



e





A. . B. .



f x

x e dx

 



C



f x

x e dx

 



C

  f x

  f x



 ( ) .



 ( ) .

2





x

e x

1

1

e f .

f



10

xe f

'

1

I

C. D. .

  f x thỏa

  1

  0

  x dx 

  x e f x dx



 

0

0

I 

11

11

9

Câu 13: Cho hàm số và . Tính

I   .

I   .

I  9

A. . B. C. D.

f

0;  thỏa mãn

 f x có đạo hàm



 x







x

 f

x



e

. 2

x

1

 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

  f x





Câu 14: Cho hàm số liên tục trên nửa khoảng 

4 e f

f



4 e f

f

 

  4

  0

  4

  0

A. . B. .

4 e f

f

 . D.

4 e f

f

  4

  0

  4

  0

26 3 4 3

26 3 4   . 3

2

F

F

1

C.

 và

 F x là một nguyên hàm của hàm số

  f x thỏa mãn

  1

  0

1

1

10

I



x



Câu 15: Gọi

 F x dx 





 1

  f x dx





9

. Tính .

0 A.

0 B.

I  . 9

I   .

I 

11

I   .

11

y



,

y



. C. D.

  f x

  g x

0;1 thỏa mãn

1

x







I

f





,

  x

f

f

0

Câu 16: Cho hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn 

 . Tính tích phân

  f x g x dx

 

 .

   x g x .



 x x

 e 1 .

  0 .

  1



 0;1

 

và .

I

e  .

3

I  . 0

e .

  .

3

e

0 I

1

1



f

x d



1

f

f 2

2

I



x d

y

( )

A. B. D. C. I

f x thoả mãn

 . Tính

  1

  0

2





x

  x  1

x

0

0

  f x   1

Câu 17: Cho hàm số và .

I   .

1

 I  . 1

I  . 0

I  . 3

1

x   d 1

F

( )

A. B. C. D.

f x với

 , 1

 F x



 F x là một nguyên hàm của hàm số

 1



0

1

x d

I

Câu 18: Gọi . Tính

  xf x

 

.

0 I  . 0

I   .

1

I   .

2

I  . 2

A. B. C. D.

3 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

f



y

f x có đạo hàm liên tục trên  thoả mãn ( )

Câu 19: Cho hàm số . Tính

Tài liệu Vted_2018  1 sin1 10

1



I



f x

( ) cos

x



f

x

sin

x

x d











20

I  

10

I  

20

I 

10

0 I 





A. . B. . C. . D. .

2 x x e

 F x



 f x x

ln

x

 f x '



2

2

3

x





Câu 20: Cho là một nguyên hàm của hàm số . Tìm một nguyên hàm của hàm số

ln

xdx

ln

x

2

x

ln

 x x

C

e





3

2

2

 





A. .

ln

xdx

ln

x

2

x

ln

C

 

2

2

3







B. .

ln

xdx

ln

x

2

x

ln

 x x

C

2

2

3

x







C. .

ln

xdx

ln

x

2

x

ln

 x x

C

x

e

  f x '   f x '   f x '   f x '

 x x  

x  x e x  x e x 

   



D. .

x . Tìm một nguyên hàm của hàm số

 f x

sin

 F x



cos x x

cos

x

 f x '



2

x

f

'

cos

xdx

 



x

cos

x C 



Câu 21: Cho là một nguyên hàm của hàm số

  x



cos x

cos 2 x

x x sin 2

x

f

'

cos

xdx

 



x

cos

x C 



A. .

  x



cos x

cos 2 x

x x sin 2

x

f

'

x

cos

xdx





x

cos

x C 



B. .







cos 2 x

x

f

'

cos

xdx

 



x

cos

x C 



C. .

  x



cos x cos x

x x sin 2 x cos 2 x x sin

a

D. .

b

x

tan

xdx

  x

 

 2

0

2

2

a

a

2

dx a 

tan

a



b 2

dx b a  

tan

a

và .Mệnh đề nào dưới đây đúng? Câu 22: Cho 0





x cos

x

x cos

x

  

  

  

  

0

0

2

2

a

a

2

2

dx a 

tan

a



b 2

dx a 

tan

a b 

A. . . B.





x cos

x

x cos

x

  

  

  

  

0

0

y



C. . . D.

 f x





Câu 23: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên  . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

x



f



x







 1

  x dx



 1

  f x

  f x dx



A. .

x



f

 

x



 



 1

  x dx



 1

  f x

  f x dx



B. .

f

x





x







 1

  x dx



 1

  f x

   f x dx



C. .

f

x



 

x



 



 1

  x dx



 1

  f x

  f x dx

   



y



D. .

 f x



2

2



dx



x

  1

x



1

f

có đạo hàm liên tục trên  . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

  f x

  x dx

2





x

A. . Câu 24: Cho hàm số   xf x  1

4 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Nguyên hàm_Tích Phân  xf x

2

2



dx



x

  1

x



1

f

  f x

  x dx

2





1 2

1 2

2

2



dx



x

  1

x



1

f

. B.

  f x



 x dx

2





2

2



dx



x

  1

x



1

f

. C.

  f x



 x dx

2





1 2

1 2

 x 1    xf x x 1    xf x  1

x

 2

. D.

b

x

cot

xdx

a

 

   và 2

a

2

2

 2

 2

. Mệnh đề nào dưới đây đúng? Câu 25: Cho 0

dx

 

a

2 cot

a



b 2

 dx a

2 cot

a



b 2





x sin

x

x sin

x

  

  

  

  

a

a

2

2

 2

 2

A. . . B.

dx

 

a

2 cot

a



b 2

 dx a

2 cot

a



b 2





x sin

x

x sin

x

  

  

  

  

a

a

 2

 2

C. . . D.

f x thỏa mãn ( )

sin . ( )

x f x dx



f



1

I

cos .

x f x dx '( )

  0

 



0

Câu 26: Cho hàm số . Tính .

I  . 0

0 I   .

1

1I  .

I  . 2

B. A. C. D.

'f

f

f

 . Biết

1

  f x có đạo hàm

  x liên tục trên  thỏa mãn

  0

  1

1

2017

2018

xe



f

'



.

Câu 27: Cho hàm

S



a



b

  f x

   x dx a e b







1

. Tính .

0 A.

1S  .

S   .

S  . 0

S  . 2

y



B. C. D.

 f x



2

2

Câu 28: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên  . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

.

f

'





4

dx



 x dx

  f x

3





x 

x

2

x 

x

2

  

  

  

  

x



2

2

.

f

'





2

dx

A. .



 x dx

  f x

3





x 

x

2

x 

x

2

  

  

  

  

x



2

2

B. .

.

f

'





2

dx



 x dx

  f x

3





x 

x

2

x 

x

2

  

  

  

  

x



2

2

C. .

.

f

'





4

dx



 x dx

  f x

3





x 

x

2

x 

x

2

  

  

  

  

x

  xf x   2   xf x   2   xf x   2   xf x   2



2

 f

2

x

y



D. .

  . Mệnh đề

  f x

  x



2

3

3

e 5

ef





f

2 e f



f



Câu 29: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên  thỏa mãn

  0

  1

  1

  0

 f x nào dưới đây đúng? 35  e 4 e 2

2 e f





f

ef



f



e 2

A. B.

 1

 4  1

  0

  1

  1

  0

y



C. D.

 f x



Câu 30: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên  . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

5 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018



f

x



x



dx





 ln sin

 x dx

 f x



 ln sin









f

x



x



dx

A.





 ln sin

 x dx

 f x



 ln sin









B.

f



x

cot

xdx



  x

 ln sin

 x dx

  f x

 ln sin

  f x sin x   f x cos x   f x





f



x

tan

xdx



C.

  x

 ln sin

 x dx

  f x

 ln sin

  f x



 

 

2

a

ln

x





 1

D.

1a  và

b

dx

 

x

1

2

2

dx



a ln .ln

a

b

dx



a ln .ln

a

b

Câu 31: Cho số thực . Mệnh đề nào dưới đây đúng?



   1



   1

ln x 2  1

ln x 2  1

1 2

1 2

1

1

2

2

dx

 

a ln .ln

a

b

dx

 

a ln .ln

a

b

A. B.



   1



   1

a x  x a x  x

x ln 2  1

1 2

1 2

a x  x a x  x

x ln 2  1

1

1

f

C. D.

  x

0;1 thoả mãn

f

f

  f x có đạo hàm cấp hai f 

2018



 , 1

Câu 32: Cho hàm số liên tục trên đoạn 

  1

  0

 0

1

1





f



x

d

x



1

. Mệnh đề nào dưới đây đúng.

f



x

d

x

 

2018

  x 1



  x 1







0

0

1

1





f

x



x

x d



2018

A. . B. .

f

x



x

d

x

 

1



 1





 1







0

0

y



C. . D. .

 f x



1

1

2



x



d

x



f



f



2

x



d

x

Câu 33: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên  . Mệnh đề nào dưới đây đúng.

  x

  1

  0



 1

 f x



 x f







0

0

1

1

2



x



d

x

 

2

x



d

x

A. .

  x



 1

  f x

 x f







0

0

1

1

2



x



x d



2

x



x d



f



f

B. .

  x



 1

  f x

  1

  0

 x f







0

0

1

1

2



C. .

x



d

x



2

x



d

x

  x



 1

  f x

 x f







0

0

f

D. .

  f x có đạo hàm cấp hai

  x

0;1 thoả mãn

1

f

f

 , 0

Câu 34: Cho hàm số liên tục trên đoạn 

2018

  1

  0

  f x 



0

1

1

2

2





x



x

x d



2018

x



d

x

 

4036

. Mệnh đề nào dưới đây đúng.





  x

 x f

 x f









0

0

1

1

2

2





x



x d

 

2018

A. . B. .

x



x

x d



4036

  x





 x f



 x f







0

0

C. . D. .

6 | VD_VDC

Chuyên đề_Nguyên hàm_Tích Phân

y



,

y



  f x

  g x

Câu 35: Cho hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn 

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19 0;1 thỏa mãn

1

I

.

f

'



2

x

  2,

f



f

g

 f x g x dx '

 





  x g x



    g 1 . 1

  0 .

  0



 0;1 .

 

0

2



2

 2 4

 2 4







I



.

I



.

Tính tích phân

I 

3.

I  1.

3

A. B. C. D.



  F x

1 2018

3   f x x

x

f

'

x ln .

  x

x

x

là một nguyên hàm của hàm số . Tìm một nguyên hàm của hàm số Câu 36: Cho

ln

xf

'

 

ln

xf

'

 





C

.





C

.

  x dx

  x dx

1 2018

1 2018





x

x

A. B.







C

.

ln

xf

'





C

.

ln

xf

'



  x dx

  x dx

x 1 2018

x 1 2018





2018ln 2018 x 2018ln 2018 x

x

2018ln 2018 x 2018ln 2018 x

x

a

b

tan

x xe dx .

C. D.

  a

 

 2

0

a

a

x

x

a

a

và Mệnh đề nào dưới đây đúng? Câu 37: Cho 0

dx



e

tan

 a b .

dx



e

tan

 a b .

2

2





e cos

x

e cos

x

0

0

a

a

x

x

a

a

A. B.

dx

 

e

tan

 a b .

dx

 

e

tan

 a b .

2

2





e cos

x

e cos

x

0

0

 2

b

cot

x xe dx

C. D.

  a

 

 2

a

x

x

 2

 2

a

a

dx



e

cot

 a b

dx

 

e

cot

 a b

và . Mệnh đề nào sau đây đúng? Câu 38: Cho 0

2

2





e sin

x

e sin

x

a

a

x

x

 2

 2

a

a

dx



e

cot

 a b

dx

 

e

cot

 a b

A. B.

2

2





e sin

x

e sin

x

a

a



C. D.

y



,

y



f

  f x

  g x



   x g x .



Câu 39: Cho hai hàm số có đạo hàm liên tục trên  . Mệnh đề nào







dưới đây đúng?

   f x g x dx





    f x g x

  g x f



 x dx











A.

   f x g x dx





    f x g x

  g x f

  x dx







 



B.

    f x g x dx



    f x g x

  g x f

  x dx







 



C.

    f x g x dx



    f x g x

  g x f



 x dx





a

b

dx

D.

1a  và

 

xe x

1

Câu 40: Cho . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

7 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

a

a

a

a

ln .

x x e dx



e

ln

 a b

ln .

x x e dx

 

e

ln

 a b





1

1

a

a

a

a

ln .

x x e dx

 

e

ln

 a b

ln .

x x e dx



e

ln

 a b

A. B.





1

1

1

f

C. D.

 và 0

d

x 

 1

f x có đạo hàm liên tục trên đoạn   

0;1 thỏa mãn

 2 x f x





1 3

0

1



Câu 41: Cho hàm số .

3 x f

d

x

  x



0

Tích phân bằng





A. 3. B. 1. C. 3 . D. 1 .

x f sin .

d

x

 

1

f x có đạo hàm liên tục trên đoạn   

0; thỏa mãn

  x



0



Câu 42: Cho hàm số . Tích

cos .

d

x

  x f x



0

phân bằng

b

A. 1. C. 0. D. 2. B. 1 .

a

a  và cos

b

0

b   .

,a b thỏa mãn a b và

x

sin d

x x 



a

b

Câu 43: Cho hai số thực , đồng thời cos

x dx



a

bằng Tích phân cos

145 12

A. . B. . C.  . D. 0.

f x và ( )

( )g x có nguyên hàm lần lượt là

( )F x và

( )G x trên đoạn [0; 2] .

2

2

F x g x dx 

( ) ( )

3

f x G x dx

( )

( )

F

 (0) 0,

F

 (2) 1,

G

(0)

 

2,

G

(2) 1

Câu 44: Cho hai hàm số liên tục

 và





0

0

Biết . Tính

y



f x ( )

A. 3 . B. 0 . C. 2 . D. 4 .

[0;1]

1

1

1

f x dx ( )



xf x dx '( )



''( )

x dx



0

2 x f

Câu 45: Cho hàm số có đạo hàm cấp hai liên tục trên đoạn thỏa mãn







0

0

0

f f

'(1) (1)

. Giá trị của biểu thức bằng

3 2

2 3

y



f x ( )

f

(1) 0

B. 2 . C. 3 . D. . A. .

 và

1

1

 1

nx f x dx  ( )

2018

nx

f x dx '( )

Câu 46: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn





0

0



n

. Tích phân bằng

 . 1)

n  . 1)

2018 1n 

2018  1n

A. 2018(  B. 2018( C. . D.

----------HẾT----------

8 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Nguyên hàm_Tích Phân

NHÓM GIẢI VẬN DỤNG CAO CHUYÊN ĐỀ TICH PHÂN_TP - NĂM HỌC 2018-2019

VTED_2019 MÔN: TOÁN 12

Thời gian làm bài 90 phút

Đề đã thay đổi thứ tự câu (sắp xếp theo độ khó tăng dần) so với đề gốc

BẢNG ĐÁP ÁN THAM KHẢO

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

x





HƯỚNG DẪN GIẢI

1 x e

  2x f x e . Tìm một nguyên hàm của hàm



x

'

f

Câu 1: Cho là một nguyên hàm của hàm số

  F x  2 x e .



2

xx

x

số

f

'



 e C

f

'



 4 2



C



 2 x x e dx

  2 x x e dx



 x e





 2

x

x

A. B.

f

'



x



2

e



C



2





C

f

'



 2 x x e dx





 2 x x e dx



 x e





C. D.

 Hướng dẫn giải



x



Chọn D

  F x



1 x e

  2x f x e

2

x

x

x

x

x

x





x



e



e



e

.

x

x e x .

Ta có : là một nguyên hàm của hàm số

e

C

  f x e



 1



   1

2   f x e dx

    1 x



 



x

Suy ra : và

I

'

  2 f x e dx

 

2x



Khi đó :





u

e

du

22 x e dx

dv

v

  f x dx

  f x

Đặt và và

2

2

x

x

x

x

x

x













 

2

2

2

I

e

.

e

.

x

e

x e x .

x

e

C e

.

  f x

2   f x e dx .

  f x

 .

  1

 2 .

  1



   x C



F x ( )



.

có : Ta

2

( ) f x x

1 x 2

Câu 2: Cho hàm số là một nguyên hàm của hàm số Tìm một nguyên hàm của hàm

f x

x '( ).ln .

số

f

x '( ).ln

xdx







C

.

f

x '( ).ln

xdx





C

.



x 2

2

x 2





A. B.

f

x '( ).ln

xdx

 

f

x '( ).ln

xdx

 





C

.





C

.

1 2 x x 2

2

1 2 x x 2





ln x

1 x 2

ln x

1 2 x

ln x   

  

ln x   

  

C. D.

Hướng dẫn

9 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

Chọn C

f x

'( ).ln

xdx



ln

xd f x ( ( )



f x

( ).ln

x



f x

( ).

dx



f x

( ).ln

x





C

.

2







1 x

1 x 2

Ta có

F x ( )



2

1 x 2

'



F x '( )





f x ( )

 



.

2

( ) f x x

( ) f x x

1 x 2

1 2 x

  

  

Do là một nguyên hàm của hàm số

f

x '( ).ln

xdx

 





C

.

x 2

2



ln x

1 x 2

  

  

2

2

Vậy thay vào ta có

( )F x

x

f x e Tìm một nguyên hàm của hàm

( ).

.x

2

'( ).e .x

Câu 3: Cho hàm số là một nguyên hàm của hàm số

2

x

2

2

x

2

số

f

x '( ).e

dx



2

x



2

 x C

.

x '( ).e

dx

 

2

x



2

 x C

.

f

2

x

2

2

x

2

A. B.

f

x '( ).e

dx

 

x

 

x C

.

x '( ).e

dx

 

x



2

 x C

.

f

f x  

C. D.

  Hướng dẫn

2

x

x

2

x

2

x

2

x

2

Chọn B

f

x '( ).e

dx



2 e d f x ( ( )



f x

( ).e



2

f x

( ).e

dx



f x

( ).e



x



C

.







2

x

2

2

x

2

Ta có

( )F x

x

f x e ( ).



(

x

) '



f x e ( ).



f x ( )



.

x 2 2 x e

2

x

2

Do là một nguyên hàm của hàm số

f

x '( ).e

dx

 

2

x



2

 x C

.



1

Vậy thay vào ta có

y



f x ( )

(3

x



1).

f

'( )



1 & 4 (1)

f



f

(0)



2017.

 x dx





0

1

I

f x dx ( ) .

 

Câu 4: Cho hàm số thỏa mãn Tính

0 I  

2016.

I 

672.

2016.

I  

672.

A. B. D. C.

I  Hướng dẫn

1

1

1

(3

x



1).

f

'( )



(3

x



1)

df x ( )



f x

( )(3

x



1)



3

f x dx ( )

 x dx





1 0

Chọn B





0

0

0

1

1

1



f 4 (1)



f

 (0) 3

f x dx ( )



2017 3



f x dx ( )

  1

f x dx ( )



672.







0

0

0

1





xe f

1

Ta có  

 . Tính tích phân

e. f

f

2

  x dx

  f x thỏa mãn

  1

  0



0

1

I

Câu 5: Cho hàm số và

  x e f x dx

 

0

.

10 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

I  . 3

I   .

3

A. B. C. D.

Chuyên đề_Nguyên hàm_Tích Phân I  . 1

I   .

1

Hướng dẫn giải

1







du

f

  f x

  x dx

I

Chọn A.

  x e f x dx

x

 





dv

x e dx

e

0

  u     

     v  

1

1

1

x











I

x e f

e. f

f

x e f

Xét . Đặt .

   . 2 1 1

  x dx

  1

  0

  x dx

|   e f x





0

0

0

1



1

Do đó:

2

  ln x 1 f x dx

 



  f x thỏa mãn

 1 f  . Tính tích phân



0

1



I

dx

Câu 6: Cho hàm số và

.

I 

2 ln 2 1

 .

I   .

1

I  

1 2 ln 2

  f x  x 1 0 I  . 1

B. C. D. . A.

1





I

dx

Hướng dẫn giải Chọn B.

  f x  x 1



  x dx 1

0

  f du      ln x v 

  f x dx  x

1

  u       dv  

1









I

. f

Xét . Đặt .

 .

ln 2

2 1

f

ln

 2 1

   f x .ln x

 ln x

 1

  x dx

 1



1 |    1 0

0

1

1

2







x

f

2

I

Do đó

 . Tính tích phân

2

f

f

1

  x dx

  x f x dx

  1

  0



 1



 

0

0

Câu 7: Cho và .

I  . 3

I   .

I   .

1

1I  .

1 2

A. B. C. D.

1

2

2







J

x

f

Hướng dẫn giải Chọn C.

  x dx



 1





f

xdx 2   f x

1   x dx

0

  du     v 

    u x      dv 

1

1

2



 







2

  J

x

2

Xét . Đặt .

1 2I

2

f

f

2

I

I   .

  x f x dx

  1

  0



 1

|   f x

0



1 2

0

1

2

Do đó

x





2

 F x là một nguyên hàm của hàm số

 f x thỏa mãn



  f x dx .



 1



0

1

2

F

F

1

 . Tính

Câu 8: Gọi và

I

  1

  0

  xF x dx

 

0

.

I



1I  .

 1 2

1 I  . 2

3 I  . 2

A. . B. C. D.

Hướng dẫn giải

11 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

1

1

1

2

Chọn B.

2



x







 

F



F

  f x dx .

  2 x f x dx .

  f x dx A .

  1

  0



 1

 

 







0

0

0

2

1

x

2

Ta có gọi (1)

A

  x f x dx .

 

  f x dx

0

  u   dv 

1

1

2

2

Tính theo tích phân từng phần với suy ra

A







2





2.

I

  x f x dx .

 x F x



  xf x dx F .

  1

1





1 0

0

0

2

F





2

  1

  0



I 1

F 2

1  2

x

e



cos

x

thay vào (1) ta được

  2x f x e . Tìm một nguyên hàm của hàm

x

'

f

Câu 9: Cho là một nguyên hàm của hàm số



x

x

số

f

'

 

e

sin

x



cos

'



e

sin

x



cos

f

  F x  2 x e .   2 x x e dx



  x C

  2 x x e dx



  x C

x

x

A. . B. .

f

'

 

e

sin

x



cos

x



C

'



e

sin

x



cos

f

  2 x x e dx





  2 x x e dx



  x C

 

 

C. . D. .

Hướng dẫn giải

x

x

x

'

x





e

cos

e

cos

x



sin

x



Chọn A.

  F x '



  2 f x e

2

x

x

 

 e

sin

x

f

'

 

x e 2 cos

x

x

cos

 tính

+ Tính đạo hàm

 

  f x



 x e .

x

Suy ra

.

.

I



f

'

2

e

cos .

x dx

   2 x x e dx

  



+ Tính dùng NH từng phần hai lần tính ra đáp án A

1

1

I

sin .

x dx

f

'

cos .

x dx 

1

  f x

  x

 



0

0

Hoặc dùng casio thử đáp án chọn A.

f

f



2018

  0

Câu 10: Cho và . Tính .

I 

2017

I 

  1 .cos1 2019

I  

2019

I  

2017

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

1



cos

du



x dx

f

'

cos .

x dx

Chọn A.



  x



dv



f

'

v



x   x dx

sin .   f x

0

u     

    

1

1

1

1



f

'

cos .

x dx



cos .

sin .

x dx



  x

  x f x

  f x





0

0

0

1



sin .

x dx



f



f

 

1 2017

 f x



  1 .cos1

  0



0

+ Tính theo từng phần, đặt suy ra

F x ( )

 

3

1 x 3

( ) f x x

Câu 11: Cho là một nguyên hàm của hàm số . Tìm một nguyên hàm của hàm số

 ( ) ln f x

x

 ( ) ln f x

xdx







C

 ( ) ln f x

xdx







C

.

x 3

3

x 3

5





ln x

1 x 3

ln x

1 x 5

A. . B. .

12 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

 ( ) ln f x

xdx

 





C

 ( ) ln f x

xdx







C

C. . D.

Chuyên đề_Nguyên hàm_Tích Phân x 3

3

x 3

5





ln x

1 x 3

ln x

1 x 5

Hướng dẫn giải

Chọn A



F x ( )



f x ( )



( ) f x x

( ) f x x

1   4 x

1 3 x

Ta có:

I

 ( ) ln f x

xdx

 

u

du



Xét



ln  x 

dv

f x dx ( )

  

dx x f x ( )

     v

Đặt

I



f x

( ) ln

x



dx







C

.

x 3

3



( ) f x x

ln x

1 x 3

.

F x ( )



 f x . Tìm một nguyên hàm của hàm số





f x

Câu 12: Cho là một nguyên hàm của hàm số

  f x

xe x  ( ) . x e



x

x

x

x

2

e

x e .



e





.



f x

x e dx





C



f x

x e dx





C

  f x

  f x



 ( ) .



 ( ) .

2





x

e x

x

x

x

x

2

e

x e .



e







f x

x e dx

 



C

A. . B. .



C



f x

x e dx

 

  f x

  f x



 ( ) .



 ( ) .

2





x

e x

D. . C.

Hướng dẫn giải

/

x

x

e



 1



F x ( )







f x ( )



Chọn A

  f x

 f x



e x

 x 2 x

  

  

Ta có:

I

f

( ). x  x e dx

 

x

e

du



x e dx

Xét



dv



f

'

v



f x ( )

  x dx

  

  u    

x

x

x

I



f x e dx

 ( ).





  e f x .

  f x e dx





1

2

Đặt



f x

x e dx





e



C

  f x

  x e f x



 ( ) .



 x x . 2 x

1

1

e f .

f



10

xe f

'

1

I

Vậy .

  f x thỏa

  1

  0

  x dx 

  x e f x dx



 

0

0

I 

11

11

Câu 13: Cho hàm số và . Tính

I   .

I  9

I   .

C. D. A. . B.

9 Hướng dẫn giải

Chọn D

13 | VD_VDC

Tài liệu Vted_2018

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19 1

xe f

'

1

  x dx 



0

x

x

 u e



dv



f

'



v



 x dx

 du e dx   f x

    

    

1

1

1

x





x e f

'



Ta có

  x dx

 x e f x



  e f x dx

0





0

0

1

1

x

x





  1

e f .



o e f .

 

1 10 1 9

 

 e f x dx



 e f x



  1

  0

 

 

0



0

Đặt

f

0;  thỏa mãn

 f x có đạo hàm



 x







x

 f

x



e

. 2

x

1

 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

  f x





Câu 14: Cho hàm số liên tục trên nửa khoảng 

4 e f

f



4 e f

f

 

  4

  0

  4

  0

A. . B. .

4 e f

f

4 e f

f

  4

  0

  4

  0

26 3 4  . 3

26 3 4   . 3

C. D.

Hướng dẫn giải



x







f



e

. 2

x

  1



x e f

x



2

x

Chọn A.

 1

  f x

  x

  x e f x





x

x



x e f



2

x

  1



2

x



1





e

  x

 e f x .



  f x



 

 

x





.



2

x



1

   e f x C



4



4 e f .



f



2

x



dx 1



  4

  0



26 3

0

Từ giả thiết

2

F

F

 và

1

 F x là một nguyên hàm của hàm số

  f x thỏa mãn

  1

  0

1

1

10

I



x



Câu 15: Gọi

 F x dx 





 1

  f x dx





. Tính .

0 A.

0 B.

I  . 9

I   .

9

I 

11

I   .

11

. C. D.

  x



du

Hướng dẫn giải



dv





1   v F x

    

1

1

I



x





x







2

F



F



  10 1 10

  9

Đặt C. 1   f x Chọn u     



 1

  f x dx



 1 .

  F x

  F x dx

  1

  0





1 0

0

0

y



,

y



Khi đó:

  f x

  g x

0;1 thỏa mãn

1

x







I

Câu 16: Cho hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn 

f





,

  x

f

f

 . Tính tích phân

0

  f x g x dx

 

 .

   x g x .



 x x

 e 1 .

  0 .

  1



 0;1

 

I

3

3

e

0 I

và .

e  .

I  . 0

e .

  .

A. B. C. I D.





Hướng dẫn giải

f

 nên

0

f



0 và

f

 0

  0 .

  0

  1

Chọn  Do f D.    1

14 | VD_VDC

Chuyên đề_Nguyên hàm_Tích Phân 



0;



g

f

f

g

 nên ta có

0

g



0;

g

 0

  1 .

  1

  0 .

  0

  1

Lại có

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19   0

1

1



I





f



   f x g x dx .

 

    f x g x .

    x g x dx .





1 0

0

0

1



f



f

g





x e dx

  3

e

    g 1 . 1

  0 .

  0

 x x

 1



0

1

1



f

x d



1

I



x d

f

f 2

2

 . Tính

y

f x thoả mãn

( )

  1

  0

2





x

  x  1

x

0

0

  f x   1

Câu 17: Cho hàm số và .

I  . 0

I  . 3

I   .

1

 I  . 1

A. B. C. D.



d

u



f

x d

Hướng dẫn giải



v d



x d

v

 

2

  x 1 

x

x



 1





 1

    

Đặt . A.   f x 1

1

1



f

Chọn u     

 

f



2

f

 

1 0

I

 



x d

 



f

 1

  0

  1

  0

 

 



  f x  x 1

f x

  x  1

  1 2

1 2

0

0

1

x   d 1

F

.

 , 1

f x với

( )

 F x



 F x là một nguyên hàm của hàm số

 1



0

1

x d

I

Câu 18: Gọi . Tính

  xf x

 

.

0 I  . 0

I   .

1

I   .

2

I  . 2

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải



x



u d

D.



v d



x d



  f x

x d  v F x



    

1

1

1

I



x d



F



x d



2

  xF x

 F x



  1

 F x



0

 



0

0

f



Đặt . Chọn u     

y

f x có đạo hàm liên tục trên  thoả mãn ( )

 1 sin1 10

1



I



f x

( ) cos

x



f

x

sin

x

x d











Câu 19: Cho hàm số . Tính

20

I  

10

I  

20

I 

10

0 I 

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

1

1

1



I



f x

( ) cos

x



f

x

sin

x

x d

sin

x



sin

x



f

10

Chọn D.





 f x



  f x

  1 sin1



x  d









0

 



0

0

.

15 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018





2 x x e

 F x



 f x x

ln

x

 f x '



2

2

3

x





Câu 20: Cho là một nguyên hàm của hàm số . Tìm một nguyên hàm của hàm số

ln

xdx

ln

x

2

x

ln

 x x

C

e





3

2

2

 





A. .

ln

xdx

ln

x

2

x

ln

C

 

2

2

3







B. .

ln

xdx

ln

x

2

x

ln

 x x

C

2

2

3







C. .

ln

xdx

ln

x

2

x

ln

 x x

C

  f x '   f x '   f x '   f x '

 x x  

x  x e x  x e x  x e x

   

D. .

Hướng dẫn giải



2

x

3

x











Chọn D.

x

2

x

2

 f x





 x e



 2 x e

 f x x



du

x









  I

ln

x

dx

ln

2  x x e

C

  f x

 f x





ln 

dv

'

  f x x

Ta có

x   f x dx

  u    

     v

2

x

3

2



  I

e

x

ln

x

2

x

ln

 x x

 C

1 dx x   f x 





Đặt

x . Tìm một nguyên hàm của hàm số

 f x

sin

 F x



cos x x

cos

x

 f x '



2

x

f

'

cos

xdx

 



x

cos

x C 



Câu 21: Cho là một nguyên hàm của hàm số

  x



cos x

cos 2 x

x x sin 2

x

f

'

cos

xdx

 



x

cos

x C 



A. .

  x



cos x

cos 2 x

x x sin 2

x

f

'

x

cos

xdx





x

cos

x C 



B. .







cos x

cos 2 x

x x sin 2

x



f

'

cos

xdx

 



x

cos

x C 

C. .

  x



cos x

cos 2 x

x x sin

D. .

Hướng dẫn giải



x

sin

cos

x

x





Chọn C.

sin

x

  f x

  f x

 x 2

cos 2

1    x

x

x

sin

x

2

x

f

'

x

cos

xdx



cos



sin



cos

xf x F x C

  







x

cos

x C 





 xf x



  xf x dx





 



cos x

cos 2 x

x x sin



a

Ta có

b

x

tan

xdx

  x

 

 2

0

2

2

a

a

2

dx a 

tan

a



b 2

dx b a  

tan

a

và .Mệnh đề nào dưới đây đúng? Câu 22: Cho 0





x cos

x

x cos

x

  

  

  

  

0

0

A. . B. .

16 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Nguyên hàm_Tích Phân

2

2

a

a

2

2

dx a 

tan

a



b 2

dx a 

tan

a b 





x cos

x

x cos

x

  

  

  

  

0

0

C. . D. .

Hướng dẫn giải

2

a

a

a

2

2

dx



x

tan

x



2

x

tan

xdx a 

tan

a



b 2

Chọn C.









0

x cos

x

  

  

0

0

y



Ta có

 f x





Câu 23: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên  . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

x



f



x







 1

  x dx



 1

  f x

  f x dx



A. .

x



f

 

x



 



 1

  x dx



 1

  f x

  f x dx



B. .

x





x





f



 1

  x dx



 1

  f x

   f x dx



C. .

x



 

x



f

 



 1

  x dx



 1

  f x

  f x dx

   



D. .

Hướng dẫn giải

du



Chọn A.



dv

v



1 x     f

 x dx

dx   f x

u     

    



Đặt .

x



f



x







 1



 1

  f x

  f x dx





y



Do đó .

  x dx  f x



2

2



dx



x

  1

x



1

f

có đạo hàm liên tục trên  . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

  f x

  x dx

2





2

2



dx



x

  1

x



1

f

A. .

  f x

  x dx

2





1 2

1 2

2

2



dx



x

  1

x



1

f

B. .

  f x



 x dx

2





2

2



dx



x

  1

x



1

f

C. .

  f x



 x dx

2





1 2

1 2

x

D. . Câu 24: Cho hàm số   xf x x 1    xf x  1 x   xf x x 1    xf x  1

Hướng dẫn giải

 f x



du



f

  x dx

Chọn A.



2

dx

dv



v



x



1

 x 2

    

1

  u    

2

2



dx



x

  1

x



1

f

. Đặt

  f x

  x dx

2





x    xf x  1

x

 2

b

x

cot

xdx

a

Do đó .

 

   và 2

a

Câu 25: Cho 0 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

17 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

2

2

 2

 2

dx

 

a

2 cot

a



b 2

 dx a

2 cot

a



b 2





x sin

x

x sin

x

  

  

  

  

a

a

2

2

 2

 2

. . B. A.

dx

 

a

2 cot

a



b 2

 dx a

2 cot

a



b 2





x sin

x

x sin

x

  

  

  

  

a

a

. . D. C.

Hướng dẫn giải

2

x

du



2

xdx

Chọn D.



v

 

cot

x

dv



dx

  

1 2 sin

x

  u    

2

 2

 2

2

2

Đặt .

dx

 

x

cot

x



2

x

cot

xdx



a

cot

a



b 2

 2 a





x sin

x

  

  

a

a

 2

 2

Do đó .

f x thỏa mãn ( )

sin . ( )

x f x dx



f



1

I

cos .

x f x dx '( )

  0



 

0

Câu 26: Cho hàm số . Tính .

1I  .

0 I   .

1

I  . 2

A. B. C. D.

I  . 0 Hướng dẫn giải

 2

Chọn D

I

cos .

x f x dx '( )

 

0



cos

x dx

du

 

Xét tích phân: :



dv



f

'



x   x dx

sin .   f x

u   

  v 

 2

 2

 2

I



cos .

x f x dx '( )



cos .

x df x ( )



cos .

f x ( ).



sin



Đặt: .

  x f x



 x dx

 2 0







0

0

0

 2



f



sin . ( )

x f x dx

  

1 1 2

Khi đó:

  0



0

.

I  . 2

Vậy

'f

f

f

 . Biết

1

  f x có đạo hàm

  x liên tục trên  thỏa mãn

  0

  1

1

2017

2018

xe



f

'



.

Câu 27: Cho hàm

S



a



b

  f x

   x dx a e b







. Tính .

0 A.

1S  .

S   .

1

S  . 2

B. D. C.

S  . 0 Hướng dẫn giải

Chọn D.

18 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Nguyên hàm_Tích Phân 1

1

1

x

e



f

'





x e f

'

  f x

  x e f x dx

  x dx



   x dx







0

0

0

Ta có: .

1

1

1

1

1

x

x

x e f

'









f



  

1

e

.



  x dx

  x e df x

  x e f x .

  f x de .

  e f . 1

  0

  f x de .

  x e f x dx

0











0

0

0

0

0

1

xe



f

'

  e

1

Xét: 1 .

  f x



   x dx



0

Suy ra: .

a

b 1;

  . 1

Vậy:

S 

20171

 . 2

  

2018 1

y



Nên

 f x



2

2

Câu 28: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên  . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

.

f

'





4

dx



 x dx

  f x

3





x 

x

2

x 

x

2

  

  

  

  

x



2

2

A. .

.

f

'





2

dx



 x dx

  f x

3





x 

x

2

x 

x

2

  

  

  

  

x



2

2

B. .

.

f

'





2

dx



 x dx

  f x

3





x 

x

2

x 

x

2

  

  

  

  

x



2

2

C. .

.

f

'





4

dx



 x dx

  f x

3





x 

x

2

x 

x

2

  

  

  

  

x

  xf x   2   xf x   2   xf x   2   xf x   2



D. .

Hướng dẫn giải

2

Chọn D.

I

.

f

'



 x dx

2

x      x

  

2

4

x

2

du



dx

du



2.

.

dx

3

2



x 

2

2

  

x



2





Xét: :







dv

x    x  ' f





  2    x dx .

  x   f x

  x    f x

 u    

    v 

    v 

2

Đặt: .

I



.



4

dx

 f x



3



2

x    x

  

 xf x 

2

x

 



2

 f

2

x

y



Nên: .

  . Mệnh đề

  f x

  x



2

3

3

e 5

ef





f

2 e f



f



Câu 29: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên  thỏa mãn

  0

  1

  1

  0

 f x nào dưới đây đúng? 35  e 4 e 2

2 e f





f

ef



f



e 2

A. B.

 1

 4  1

  0

  1

  0

C. D.

  1 Hướng dẫn giải

Chọn B

19 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

2

x



2

 f

  x

2





2 x e f



x



2

e

 f x



  x

 2 x e f x 2



  x





x





x



 2 x e f x





 22 e



 

1

1

1

2

x



e

dx



x



2

2 x e dx



2 e f



f



x



2

2 x e dx

  f x





  1

  0







 







0

0

0

du



dx

Ta có:



2

x

v



e

dv

  x 2 2 x e dx



u   

   

1 2

1

1

1

2

x

2

x

2

x

Đặt

2 e f



f



e

x



2

2 x e dx



e

x



2



e

  1

  0









 

1 2

1 2

1 2

1 4

  

  

0

0

0

2

e 5

3

2

2

2



e

.3



e



1





e

Khi đó

1 2

1 4

1 4

5 4

3   4

 4

  

  

  

  

y



.

 f x





f

x



x



dx

Câu 30: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên  . Mệnh đề nào dưới đây đúng?





 ln sin

 x dx

 f x



 ln sin









f

x



x



dx

A.





 ln sin

 x dx

 f x



 ln sin









f



x



cot

xdx

B.

  x

 ln sin

 x dx

  f x

 ln sin



  f x x sin   f x cos x   f x



f



x

xdx

tan



C.

  x

 ln sin

 x dx

  f x

 ln sin



  f x

 

D.

  Hướng dẫn giải



du

dx



cot

xdx

Chọn C



dv

  x ln sin    f x dx

 u    

x cos x sin   f x



f



x

cot

xdx

  x

 ln sin

 x dx

  f x

 ln sin



  f x



     v  

2

a

ln

x





 1

Đặt: . Khi đó:

1a  và

b

dx

 

x

1

2

2

dx



a ln .ln

a

b

dx



a ln .ln

a

b

Câu 31: Cho số thực . Mệnh đề nào dưới đây đúng?



   1



   1

ln x 2  1

ln x 2  1

1 2

1 2

1

1

2

2

dx

 

a ln .ln

a

b

dx

 

a ln .ln

a

b

A. B.



   1



   1

a x  x a x  x

ln x 2  1

1 2

1 2

a x  x a x  x

ln x 2  1

1

1

C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn B

dx

a x 

x ln 2 x  1

1

Xét .

20 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Nguyên hàm_Tích Phân

ln

x

du



dx x

2



   

 1

2

dv



dx



2

2

ln

x





 1

x 

1

x

 d x x

1 2



1

u     

  v 

1 2

2

2

a

a

a

a

ln

x



ln

x





 1



 1

2

2

dx



x ln .ln

x





dx



a ln .ln

a

dx



 1







x x

ln 2 

x 1

1 2

1 2

x

1     1 2

x

1 2

1

1

1

1

2



a ln .ln

a

b

Đặt . Khi đó:



   1

1 2

1 2

f

.

  x

0;1 thoả mãn

f

f

  f x có đạo hàm cấp hai f 

2018



 , 1

Câu 32: Cho hàm số liên tục trên đoạn 

  1

  0

 0

1

1





f



x

d

x



1

. Mệnh đề nào dưới đây đúng.

f



x

d

x

 

2018

  x 1



  x 1







0

0

1

1





f

x



x

x d



2018

A. . B. .

f

x



x

d

x

 

1



 1





 1







0

0

C. . D. .

  1

u d

 

Hướng dẫn giải Chọn A







v d



f

x d

v



f

x   x

x d   x

u     

    

1

1

1

1











f

x

x d

 

f

f

x d

Xét .

f



x

d

x

   1

 x f

  x





  0

  x

  x 1



0

 

 



0

0

0

1

1





f

x d



f



f



0

Do vậy .

f



x

d

x

 

2018

  x

  1

  0

  x 1







0

0

Lại có nên .

y



.

 f x



1

1

2



x



d

x



f



f



2

x



d

x

Câu 33: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên  . Mệnh đề nào dưới đây đúng.

  x

  1

  0



 1

 f x



 x f







0

0

1

1

2



x



d

x

 

2

x



d

x

A. .

  x



 1

  f x

 x f







0

0

1

1

2



x



x d



2

x



x d



f



f

B. .

  x



 1

  f x

  1

  0

 x f







0

0

1

1

2



C. .

x



d

x



2

x



d

x

  x



 1

  f x

 x f







0

0

D. .

Hướng dẫn giải

2

d

u





 x 1 d

Chọn B



v d

x d

v



x  x    f x

 x 2   f x

  u    

    

Xét .

21 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

1

1

1

1

2

2





x



2

x



x d

 

2

x



x d



x



d

x



 1

  f x



 1

  f x

  x



   x f x

 x f









0

0

0

0

f

Do vậy .

  f x có đạo hàm cấp hai

  x

0;1 thoả mãn

1

f

f

 , 0

Câu 34: Cho hàm số liên tục trên đoạn 

2018

  1

  0

  f x 



0

1

1

2

2





x



x

x d



2018

x



d

x

 

4036

. Mệnh đề nào dưới đây đúng.





  x

 x f

 x f









0

0

1

1

2

2





x



x d

 

2018

A. . B. .

x



x

x d



4036

  x





 x f



 x f







0

0

C. . D. .

Hướng dẫn giải

2

Chọn D

 x 1 d

 

1

1

1

1

2

2









x



2

x



f

x d

 

2

x



f

x d



d u  x Xét  .  v d  f x d v  f  x   x  x 2   x   u         

x



d

x



 1

  x



 1

  x

  x



   x f x



 x f







0

0

0

0

1

u d





2

x



f

x d

Do vậy .





 1

  x



  

v d

x d

v



2 x  1    f x

x 2d   f x

0

u     

    

1

1

1

1



2

x



f

x d



2

x



x d



f



f

x d

 

4036

Với tích phân ta đặt .



 1

  x



 1

  f x

  f x

  1

  0

  f x

0



  2

  2

0

0

0

1

2



Khi đó .

x



d

x



4036

  x



 x f



0

y



,

y



Do vậy .

  f x

  g x

0;1 thỏa mãn

1

I

.

f

'



2

x

  2,

f



f

g

Câu 35: Cho hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn 

 f x g x dx '

 





  x g x



    g 1 . 1

  0 .

  0



 0;1 .

 

0

2



2

 2 4

 2 4







I



.

I



.

I 

3.

Tính tích phân

I  1.

3

3

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

f

'



2

x

  2,

Chọn







 0;1 .

1

1



f

'



2

x



dx 2 ,



    x g x dx



 0;1 .





0

0



'





Ta có A.   x g x

  g x f '

dv



v



  x dx

  g x '   f x

u     

u     

Đặt

22 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Nguyên hàm_Tích Phân

1

1

1



.

.



2

x



dx 2 ,





  g x

  f x

  f x g x dx '







 0;1 .

0





0

0

1

2

 2x

dx

Suy ra



0

2

t



2

x

  

2

t

2

x

Mà tính được

 2

tdt 2



2

xdx

  tdt

xdx

x

  

0

t

2

Đặt

x

  

1

t

2

2

2

1

3



Đổi cận:

2

x



2

dx



2 t dt









t 3

8 2 2 3

0

2

2

1

1





.



.



Khi đó

   f x g x dx '



  g x

  f x

0



8 2 2 3

0





g

f



g

f



,

 

  1

  1

  0

  0



 0;1 .

8 2 2 3

2

 2 4







 



,

 



 0;1 .

8 2 2 3

3



Suy ra

  F x

1 2018

  f x x

x

f

'

x ln .

  x

x

x

Câu 36: Cho là một nguyên hàm của hàm số . Tìm một nguyên hàm của hàm số

ln

xf

'

 

ln

xf

'

 





C

.





C

.

  x dx

  x dx

1 2018

1 2018





x

x

A. B.



ln

xf

'





C

.

ln

xf

'







C

.

  x dx

  x dx

x 1 2018

x 1 2018





2018ln 2018 x 2018ln 2018 x

x

2018ln 2018 x 2018ln 2018 x

x

C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn B.



  F x

1 2018

  f x x

x













 F x '



 f x



  f x

 2018 2018 x

 2018 2019 x

 f x x

ln

'xf

là một nguyên hàm của hàm số nên



 x dx



u



ln

x



'

u

Ta tính



dv



f

'

  x dx

  

1 x  f x



     v



x



Đặt



ln

xf

'



ln .



dx







C

.

  x dx

  x f x

2018 ln 2018

1 2018





 f x x

x

x

Suy ra

23 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018

a

b

tan

x xe dx .

  a

 

 2

0

a

a

x

x

a

a

và Mệnh đề nào dưới đây đúng? Câu 37: Cho 0

dx



e

tan

 a b .

dx



e

tan

 a b .

2

2





e cos

x

e cos

x

0

0

a

a

x

x

a

a

B. A.

dx

 

e

tan

 a b .

dx

 

e

tan

 a b .

2

2





e cos

x

e cos

x

0

0

D. C.

Hướng dẫn giải

a

Chọn

dx

x

x

e

x

e

Ta tính A. xe  2 0 cos



tan

x

dv



dx

  u '   v 

1 2 cos

x

  u    

a

a

x

a

x

x

a



dx



e

tan

x



e

tan

xdx



e

tan

 a b .

Đặt

2

0





e cos

x

0

0

 2

Suy ra

  a

b

cot

x xe dx

 

 2

a

x

x

 2

 2

a

a

và . Mệnh đề nào sau đây đúng? Câu 38: Cho 0

dx



e

cot

 a b

dx

 

e

cot

 a b

2

2





e sin

x

e sin

x

a

a

x

x

 2

 2

a

a

A. B.

dx



e

cot

 a b

dx

 

e

cot

 a b

2

2





e sin

x

e sin

x

a

a

C. D.

Hướng dẫn giải

x

 2

 2

x

x

dx

x e d

cot

x

 

e

cot

x

e

cot

xdx

Chọn C.





2

 2 a



 

e sin

x

a

 2    a

a

 

0



ae

cot

a



b



ae

cot

a b

 . Chọn C.







Ta xét:

y



,

y



f

  f x

  g x



   x g x .



Câu 39: Cho hai hàm số có đạo hàm liên tục trên  . Mệnh đề nào







dưới đây đúng?

   f x g x dx





    f x g x

  g x f



 x dx











A.

   f x g x dx





    f x g x

  g x f

  x dx







 



B.

    f x g x dx



    f x g x

  g x f

  x dx





C.

24 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Nguyên hàm_Tích Phân



 



    f x g x dx



    f x g x

  g x f



 x dx





D.

Hướng dẫn giải

Chọn B.



    f x g x dx



   f x d g x



 

 









    f x g x

 

  g x d f x  

 





Theo công thức nguyên hàm từng phần ta có:



    f x g x

  g x f

  x dx

 

a

b

dx

. Chọn B.

1a  và

 

xe x

1

a

a

a

a

ln .

x x e dx



e

ln

 a b

ln .

x x e dx

 

e

ln

 a b

Câu 40: Cho . Mệnh đề nào dưới đây đúng?





1

1

a

a

a

a

ln .

x x e dx

 

e

ln

 a b

ln .

x x e dx



e

ln

 a b

A. B.





1

1

C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn D.

a

a

a

a

x

x

ln .

x x e dx



ln



e

.ln

x

x e d

ln

x





 xd e



1





 

1

1

1

a

x

a

a



e

ln

a



dx



e

ln

 a b

Theo công thức nguyên hàm từng phần ta có:



e x

1

1

f

. Chọn D.

 và 0

d

x 

 1

f x có đạo hàm liên tục trên đoạn   

0;1 thỏa mãn

 2 x f x





1 3

0

1



Câu 41: Cho hàm số .

3 x f

d

x

  x



0

Tích phân bằng

A. 3. B. 1. D. 1 . C. 3 .

Hướng dẫn giải

1

1

1

2 x x 3 d

2



Chọn D.



I



3 x f

x

d

x





3

d

x





 3 x f x



  x f x

0





v d

x d

  v

  f x

0

0

3     x u    f 

3.

f  I



  . 1

  1

u d   x 1 3

Đặt

25 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu Vted_2018





x f sin .

d

x

 

1

f x có đạo hàm liên tục trên đoạn   

0; thỏa mãn

  x



0



Câu 42: Cho hàm số . Tích

cos .

d

x

  x f x



0

phân bằng

A. 1. C. 0. D. 2. B. 1 .







  d u

f

x d







Hướng dẫn giải



I



cos .

x d



sin .

x f sin .

d

x



  x f x

 x f x



  x

0





  v

  x x sin

v d



0

0

Đặt A.   f x x x cos .d

1

b

Chọn u    I  .

a

a  và cos

b

0

b   .

,a b thỏa mãn a b và

x

sin d

x x 



a

b

Câu 43: Cho hai số thực , đồng thời cos

x dx



a

bằng Tích phân cos

145 12

A. . B. . C.  . D. 0.

b

b

Hướng dẫn giải

u

x

x d

b



 

x

x x sin d

 

x

cos

x

x x cos d



a





v d



x x sin .d

   v

cos

x

a

a

b

b

D.    d Đặt Chọn u   

  

b

cos

 b a

cos

a

x x cos d



x x cos d



0











a

a

.

f x và ( )

( )g x có nguyên hàm lần lượt là

( )F x và

( )G x trên đoạn [0; 2] .

2

2

F x g x dx 

( ) ( )

3

f x G x dx

( )

( )

F

 (0) 0,

F

 (2) 1,

G

(0)

 

2,

G

(2) 1

Câu 44: Cho hai hàm số liên tục

 và





0

0

Biết . Tính

A. 3 . B. 0 . C. 2 . D. 4 .

Hướng dẫn giải

2

2

2

2

f x G x dx

( )

( )



G x d F x ( ) (

( ))





F x g x dx ( ) ( )

Chọn C.

| F x G x ( ) ( )

0







0

0

0

F G (2)

(2)



F G (0)

(0) 3 1 0 3

      2

y



f x ( )

Ta có:

[0;1]

1

1

1

f x dx ( )



xf x dx '( )



''( )

x dx



0

2 x f

Câu 45: Cho hàm số có đạo hàm cấp hai liên tục trên đoạn thỏa mãn







0

0

0

f f

'(1) (1)

. Giá trị của biểu thức bằng

2 3

3 2

B. 2 . A. . D. . C. 3 .

Hướng dẫn giải

Chọn D.

26 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Nguyên hàm_Tích Phân 1

1

1

1

2

I



f x dx ( )



xf x dx '( )



xf x dx [ ( )]'





f

(1)

| xf x ( )

0







0

0

0

1

1

1

3

I



2

xf x dx '( )



2 x f

''( )

x dx



1 2 x f x [

'( )]'

dx



2 x f x [



f

'(1)

Ta có

| '( )]

0





0

0



Và

 0 '(1) (1)

f f

3 2

I I

3  2

y



f x ( )

f

(1) 0

Suy ra

 và

1

1

 1

nx f x dx  ( )

2018

nx

f x dx '( )

Câu 46: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn





0

0



n

. Tích phân bằng

 . 1)

n  . 1)

2018 1n 

2018  1n

A. 2018(  B. 2018( C. . D.

Hướng dẫn giải

1

1

1

1

1

n

 1

n

 1

n

 1

n

 1

x

f x dx '( )



x

d f x (

( ))



x

f x d x ( ) (

)

 

(

n



1)

n x f x dx ( )

 

2018(

n



1)



| f x ( )

0







0

0

0

0

Chọn A.



27 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Tiếp tuyến

NHÓM GIẢI VẬN DỤNG CAO CHUYÊN ĐỀ TIẾP TUYẾN - NĂM HỌC 2017-2018

VTED_2019 MÔN: TOÁN 12

Thời gian làm bài 90 phút

y



4 

x

1

Câu 1: (VTED_2019_Tiếp tuyến) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ

có phương trình là? B. C. D.

x   y A.

1 x   .

3

y

x   .

2

y

x  .

1

y

x  .

2

y



1 2

x

Câu 2: (VTED_2019_Tiếp tuyến) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ

x 

có phương trình là?

1 2 x A. 2

 . 1

x

y 2

  . 1

x

y 2

 . 3

x

y 2

  . 3

3

2

y 2 B. 2 C. 2 D. 2

y

 

x



9

x

1 2

x   y

2 30

Câu 3: (VTED_2019_Tiếp tuyến) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành

28





30

x



28

y



42

x



52

y



42

x



52

có phương trình là? y x độ A. B. . . C. . D. .

g x ( )

f x ( )





y

y



y

f x ( ) g x ( ) có cùng hệ số góc khác 0. Mệnh đề nào sau đâu đúng?

Câu 4: (VTED_2019_Tiếp tuyến) Cho các hàm số có tiếp tuyến tại và ,

x 

0

f

(0)

điểm hoành độ

f

(0)

f

(0)

f

(0)

1  . 4

1  . 4

1  . 4

1  . 4

A. B. C. D.

  1

g

g

g

g



1

f

f

f

f

  1

 1

Câu 5:

  0

  0

  0

  0

  0

  0

  0

D. C. B. (VTED_2019_Tiếp tuyến) Cho các hàm số y = f (x), y = g(x) và y = f (x).g(x) có tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 0 có cùng hệ số góc và khác 0. Mệnh đề nào sau đây đúng?   0 A.

Câu 6:

2 2 

24;0

24;0





đều có hệ số góc không âm. 2018 



6;0



3

y





22 x

1

x

(VTED_2019_Tiếp tuyến) Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để mọi tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 x mx y   mx 6;0 A.  C.  D.  B. 

  có đồ thị là (C). Trong tất cả các

x 3

Câu 7: (VTED_2019_Tiếp tuyến) Cho hàm số

y

  3

x



y

  5

x



y

  3

x

y

  5

x

tiếp tuyến với đồ thị (C), hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất.

23 3

7  D. 3

7  3

11 3

2

A. B. C.

Câu 8: , biết tiếp tuyến đó y x (VTED_2019_Tiếp tuyến) Viết phương trình tiếp tuyến của parabol đi qua điểm A(0;−1).

y   x  1 A. B. C. D.  1   y x 2   1 y x 2    y x 1   x 1 y  1   y x 4   1 4 x y          y  x  1      1 2 1 2

Câu 9:

   1

0

x

,

y



C là đồ thị của hàm số





1 x C sẽ bay theo phương tiếp tuyến của 

C tại

. Biết rằng tên lửa (VTED_2019_Tiếp tuyến) Trong một trò chơi điện tử máy bay xuất hiện ở góc trái màn hình rồi bay sang phải theo quỹ đạo 

được bắn ra từ máy bay tại một điểm thuộc 

1 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Đề thi thử nghiệm_2018 C sao cho tên lửa bắn ra từ đó bắn trúng mục

0x của các điểm thuộc 

4;0 .

điểm đó. Tìm hoành độ tiêu nằm ở trên màn hình có tọa độ 

1

5

1

3

2

3

1

2

x    0

x    0

x   0

x    0

A. . B. . C. . D. .

y



1 

x

1

Câu 10: (VTED_2019_Tiếp tuyến) Tìm một điểm trên đồ thị của hàm số sao cho tiếp tuyến

 ; 4







;

;

 0; 1 .

1 4

4 7

3 4

3 4

  

  

  

  

  

  

D. A. C. . . . B.  tại đó cùng với các trục tọa độ tạo thành một tam giác vuông có diện tích bằng 2 . 4 3

2 17 

P

Câu 11: (VTED_2019_Tiếp tuyến) Một điểm M chuyển động trên parabol y   x x  66



2;0

, hãy xác định các giá trị theo 0x của

y

 . 4  . 8  . 8   8   4 C. B. 4 D.   8   . 4 hướng tăng của x . Một người quan sát đứng ở vị trí hoành độ điểm M để người quan sát có thể nhìn thấy được điểm M . x A. 0 x 0 x 0 x 0

 tại điểm có hoành độ

0a  cắt trục

1 x

Ox , Oy lần lượt tại các điểm I , J . Tính diện tích của tam giác OIJ .

Câu 12: (VTED_2019_Tiếp tuyến) Tiếp tuyến của hypebol

OIJS

OIJS

OIJS

OIJS

1  . 2

2

2

A.  . 4 B.  . 2 D.  . 8 C.



;x y 0 0

2

2









Câu 13: (VTED_2019_Tiếp tuyến) Phương trình tiếp tuyến của elip  1 là  tại điểm  x a y b

 . 1

 . 1

  . 1

  . 1

x x 0 2 a

y y 0 2 b

x x 0 2 a

y y 0 2 b

x x 0 2 a

y y 0 2 b

x x 0 2 a

y y 0 2 b

2

x

A. B. C. D.

y 

2

1 Câu 14: (VTED_2019_Tiếp tuyến) Cho hai hàm số y  , . Tìm góc giữa hai tiếp tuyến x 2

090 .

00 .

045 .

060 .

3

của mỗi đồ thị hàm số tại giao điểm của chúng? A. B. C. D. Câu 15: (VTED_2019_Tiếp tuyến) Hỏi có tất cả bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số

 4; 22 ?

 x  3 x 2  đi qua điểm 

D. 0 .

  C y : A. 1.

3

B. 2 .

y

C . Biết có hai điểm phân . Hỏi AB 

4 2

 có đồ thị  1 ,A B song song nhau và

,A B thuộc 

1; 2

N

Câu 16: (VTED_2019_Tiếp tuyến) Cho hàm số

M   .



4; 2





 P 

1; 2

 Q  . 1; 2



C. 3 . 23   x x C tại C sao cho tiếp tuyến của  biệt đường thẳng AB đi qua điểm nào dưới đây? A. C. B. . . D.

3

Chuyên đề_Tiếp tuyến Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18 Câu 17: (VTED_2019_Tiếp tuyến) Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hệ số góc của các 2 mx

0;

.

0;

.

0;

.

0;

.

  3 2 x

9 4

9 4

9 4

9 4

  

   

   

   

A. B. C. D. tiếp tuyến của đồ thị hàm số      y mx       1      đều dương là    

1x  của đồ



3

y



y



y



.

Câu 18: (VTED_2019_Tiếp tuyến). Hệ số góc của các tiếp tuyến tại điểm có hoành độ

 ; f x

  g x



3

  f x   g x

thị hàm số và Mệnh đề nào sau đây đúng?

.

.

.

.

  f   1

  f   1

  f x 

  f  1

11 4

11 4

11 4

11 4

3

A. B. C. D. .

23 x

,A B cùng thuộc (C) mà tiếp tuyến của (C) tại A, B song

,A B cùng thuộc (C) mà tiếp tuyến của (C) tại A, B song

,A B cùng thuộc (C) mà tiếp tuyến của (C) tại A, B song song

,A B cùng thuộc (C) mà tiếp tuyến của (C) tại A, B song song

Câu 19: (VTED_2019_Tiếp tuyến) Cho hàm số y  x   có đồ thị (C). Mệnh đề nào sau đây 1

đúng? A. Không tồn tại hai điểm phân biệt song với nhau. B. Có duy nhất hai điểm phân biệt song với nhau. C. Chỉ có 3 cặp điểm phân biệt với nhau. D. Có vô số cặp điểm phân biệt với nhau.

y



C

.





2 x  x 2

Câu 20: (VTED_2019_Tiếp tuyến) Cho hàm số Biết trên (C) có hai điểm phân biệt

,A B sao cho khoảng cách từ điểm

,A B là lớn

 I 

2;2

đến tiếp tuyến của (C) tại các điểm

AB  4.

.AB AB  8.

AB 

4 2.

AB 

2 2.

I

nhất. Tính độ dài đoạn thẳng A. B. C. D.

1;1 

y



Câu 21: (VTED_2019_Tiếp tuyến) Hỏi khoảng cách lớn nhất từ điểm đến tiếp tuyến của đồ thị

x x

 

1 1

hàm số là?

y



C

A. 4 2. B. 2 2.

;0

P





  

  

,A B song song với nhau và

C sao cho tiếp tuyến của 

C tại ,A B là?

5 16 .

Câu 22: (VTED_2019_Tiếp tuyến) Cho hàm số và điểm . Biết hai điểm C. 2. x  2 1  x 2 D. 2. 9 2

5 2 .

5 . 4

D. phân biệt A và B thuộc đồ thị  tam giác PAB cân tại P . Hỏi hệ số góc của tiếp tuyến tại 25 4 . A. C. B.

y



Câu 23: (VTED_2019_Tiếp tuyến) Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để mọi tiếp

tuyến của đồ thị hàm số đều có hệ số góc dương

4; 4 . 

2; 2 . 

2;2 . 

C.  D.  A. 

 2 mx 2 x m  4;4 . B.  

y



x  1 2  5 x

Câu 24: (VTED_2019_Tiếp tuyến) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm với trục

y

 

x



.

y

 

x



.

y



x



.

y



x



.

hoành có phương trình là?

4 11

2 11

4 11

2 11

4 11

2 11

4 11

2 11

A. B. C. D.

3 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Đề thi thử nghiệm_2018

4

2

y



x



3

x

 có đồ thị 

C . Hỏi có bao nhiêu

3 2

1 2

Câu 25: (VTED_2019_Tiếp tuyến) Cho hàm số

A

0;

C cùng đi qua điểm

3 2

  

  

? tiếp tuyến của 

 x m



D. 0 . A. 4 . B. 2 .

y



C





m

mC tại giao điểm của trục hoành song song với đường thẳng

Câu 26: (VTED_2019_Tiếp tuyến) Cho hàm số . Tập hợp tất cả các giá trị thực C. 3 .   m 3 1  x m

x   là?

5

của tham số m để tiếp tuyến của  y



;



1 1 ; 2 6

1 2

1 6

1 1 ; 2 6

1 1 ; 6 2

  

  

  

  

  

  

  

  

2

x m m







A. . B. . C. . D. .



y



  1m 3  x m

x

y 

 là?

thị hàm số Câu 27: (VTED_2019_Tiếp tuyến) Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để tiếp tuyến của đồ mC tại giao điểm của trục hoành song song với đường thẳng

1;

  1;

11 0 1 6

1 5

1 6

  

  

  

  

  

  

2

2

E

:

1



 . Xét điểm M trên tia Ox , điểm N trên

. A. C. . D. . B.  1 .



x 16

y 9

E . Hỏi độ dài nhỏ nhất của đoạn thẳng

Câu 28: (VTED_2019_Tiếp tuyến) Cho elip 

2

tia Oy sao cho đường thẳng MN tiếp xúc với elip MN là? A. 6 . B. 7 . C. 8 . D. 9 .

x

4y

 

M

(1; 3)

Câu 29: (VTED_2019_Tiếp tuyến) Tiếp tuyến của Parabol tại điểm tạo với hai trục toạ độ một tam giác có diện tích là?

25 2

25 4

3 2

3 4

A. B. C. D.

y

Câu 30: (VTED_2019_Tiếp tuyến) Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để mọi tiếp tuyến của



đồ thị hàm số đều có hệ số góc âm là?

x m 2  mx 2  B.

2; 2

; 2

2;

; 2   



2; 2

    D.   2;







 

 

 

 

3

A.  C. 

y

x

x

23 x

3

2







 . Kí hiệu A,B là hai điểm thuộc

Câu 31: (VTED_2019_Tiếp tuyến) Cho hàm số

1; 1

045 .

.

3

(C) mà tiếp tuyến của (C) tại A,B song song với nhau. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Đường thẳng AB song song với trục hoành. B. Đường thẳng AB đi qua điểm  C. Đường thẳng AB tạo với trục hoành góc D. Đường thẳng AB tạo với trục hoành góc arctan 2

y

x

23 x

2 (C)

 





.Tiếp tuyến của (C) có hệ số

y

y

y

y

x 3

 1

 1

x 3

 7

x 3

 7

3

2

B. C. D. Câu 32: (VTED_2019_Tiếp tuyến) Cho hàm số góc lớn nhất có phương trình là? A. x 3

x



2

x



2

x

 tại giao điểm với trục

1

1 3

Câu 33: (VTED_2019_Tiếp tuyến) Tiếp tuyến của hàm số y=

1x 

1x 

 1x

 1x

tung là? A. y= 2 B. y= 2 C. y= 2 D. y= 2

4 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Tiếp tuyến

x  1 2  1 x

Câu 34: (VTED_2019_Tiếp tuyến) Cho hàm số y= có đồ thị (C). Trong các cặp tiếp tuyến của

(C) song song với nhau thì khoảng cách lớn nhất giữa chúng là? A. 4 3 C. 4 6 B. 2 3 D. 2 6

ax b   1 x

Câu 35: (VTED_2019_Tiếp tuyến) Cho hàm số y= có đồ thị (C). Biết (C) cắt trục 0y tại A(0,-

1), đồng thời tiếp tuyến của (C) tại A có hệ số góc bằng 3. Tính S= a b ? A. S=3 B. S=-3 C. S=5 D. S=-5

23 x

1

Câu 36: (VTED_2019_Tiếp tuyến) Cho hàm số y= 3 x

C. 8

 có đồ thị (C). Biết 2 điểm A,B phân biệt thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại A, B song song với nhau và diện tích tam giác OAB bằng 4. Hỏi hệ số góc tiếp tuyến tại A, B của (C) là bao nhiêu? B. 3 2 A. 6

3

D. 4 2

23 x

x

y





 (C). Biết có hai điểm phân biệt

1

,A B ,A B song song với nhau. Hỏi khoảng cách lớn nhất từ

Câu 37: (VTED_2019_Tiếp tuyến) Cho hàm số

1;5C 

thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại điểm đến đường thẳng AB là

3

A. 6 . B. 3 2 . D. 4 2 .

x

y



2

 có đồ thị (C). Hỏi có tất cả bao nhiêu

C. 8 . 23  x Câu 38: (VTED_2019_Tiếp tuyến) Cho hàm số

điểm trên đường thẳng A. Vô số điểm. D. 3 điểm.

y   mà từ điểm đó kẻ đến (C) hai tiếp tuyến vuông góc với nhau? 2 B. 2 điểm.

y



1 1

x x

Câu 39: (VTED_2019_Tiếp tuyến) Cho hàm số có đồ thị (C). Tiếp tuyến của (C) tại các C. 1 điểm.  

2

2

. . . . D. 2 B. 2 điểm có hoành độ lớn hơn 1 tạo với hai trục toạ độ một tam giác có diện tích nhỏ nhất là?  A. 6 4 2



y

có đồ thị (C). Hỏi có tất cả bao nhiêu điểm Câu 40: (VTED_2019_Tiếp tuyến) Cho hàm số

C. 6 4 2  x  1 2  2 x thuộc đồ thị (C) mà tiếp tuyến của (C) tại điểm đó tạo với hai trục toạ độ một tam giác có diện

tích bằng ?

B. 1 điểm.

2 5 A. 4 điểm.

y



D. 3 điểm.

)C . Với mọi m đường thẳng

 

Câu 41: (VTED_2019_Tiếp tuyến) Cho hàm số có đồ thị (

2,k k lần lượt là hệ số góc tiếp tuyến 1

)C tại hai điểm phân biệt ,A B . Mệnh đề nào sau đây đúng?

y của (





C. 2 điểm.   x 1 2 x  1 ,A B . Gọi

1 4

1



. . A. 1 2 k k B. 1 2 k k

x m luôn cắt ( )C tại 1 9 1 16

y



. . D. 1 2 k k C. 1 2 k k

)C . Với mọi m đường thẳng

 

  x 1 x  2 1 ,A B . Gọi

2,k k lần lượt là hệ số góc tiếp tuyến 1

x m luôn cắt ( )C tại

)C tại hai điểm phân biệt 2,k k là?

,A B . Giá trị lớn nhất của 1

Câu 42: (VTED_2019_Tiếp tuyến) Cho hàm số có đồ thị (

y của ( A. 6 C. 1 .



y

B. 2 . D. 4 .

)C . Với mọi m đường thẳng

1 1

:  

  x  x 2 ,A B . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m )C tại hai điểm phân biệt

x m luôn cắt (

d y để tiếp tuyến của (

)C tại

,A B tạo với d một tam giác đều.

Câu 43: (VTED_2019_Tiếp tuyến) Cho hàm số có đồ thị (

5 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Đề thi thử nghiệm_2018

m

  1

m

  1

2

1 2

A. B. .

m

   1

2

m

   1

1 2

3

2

C. D. . .

m x m

(1 2 )

 

 

2 (1)

m x

(2







y

)

Câu 44: (VTED_2019_Tiếp tuyến) Cho hàm số

. Tìm tất cả x các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng

cos



d x :

y   một góc  với

7 0

1 26

.

;

;



;

;



1    4

1 2

1    2

1 4

  

  

  

  

  

  

  

  

A. . B. .

1 1 ; 4 2

1 1 ; 2 4

  

  

  

  

3

2

C. . D. .

y



mx



(

m



1)

x



 (4 3 )

m x



1 (

C

)

m

1 3

Câu 45: (VTED_2019_Tiếp tuyến) Cho hàm số . Tìm tất cả

y 2

d x :

các giá trị thực của tham số m sao cho tồn tại duy nhất 1 điểm có hoành độ âm mà tiếp tuyến   . tại đó vuông góc với đường thẳng 3 0

0;

0;

;



;



   ;0

   ;0

3 2

2 3

2 3

3 2

  

  

  

  

  

  

  

  

A. . B. . . C.  . D. 

3

2

Câu 46: (VTED_2019_Tiếp tuyến) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để trên đồ thị hàm

y



mx



(

m



1)

x



 (4 3 )

m x



1 (

C

)

m

1 3

d x :

y 2

số tồn tại đúng hai điểm có hoành độ dương mà tiếp

  . 3 0

tuyến tại các điểm đó vuông góc với đường thẳng

0;

;



   ;0

2 3

2 3

  

  

  

  

A. . . B. 

0;



 ;



;



1 2

1 2 ; 2 3

1 2

2 3

  

  

  

  

  

  

  

  

C. . D. .



y

C . Điểm A thuộc 

C , tiếp

3 1

Câu 47: (VTED_2019_Tiếp tuyến) Cho hàm số có đồ thị là 

B. 3 điểm.

x   x tuyến tại A cắt trục hoành tại B và tam giác OAB vuông ( O là gốc tọa độ). Hỏi có tất cả bao nhiêu điểm A như vậy? A. 1 điểm.

D. 2 điểm. C. 4 điểm.

y



Câu 48: (VTED_2019_Tiếp tuyến) Cho hàm số  1 . Viết phương trình tiếp tuyến của  1



biết tiếp tuyến đó cách đều 2 điểm .

y

 

5

x

 . 1

y

 

5

 A   , 1; 2  . 1

x

 

5

x

 . 3

y

  5

x

 . 3

A. B. D.

 3 x x 2  1; 0  B C. y



y

Câu 49: (VTED_2019_Tiếp tuyến) Cho hàm số (1). Gọi M là điểm thuộc (1) sao cho tam

2 x  x 1 giác IOM cân (với O là gốc tọa độ và I là hình chiếu của M lên trục hoành). Hỏi có bao nhiêu điểm M như vậy? A. 4.

3

D. 3. B. 2 .

y



9

x

 (1). Hỏi có tất cả bao nhiêu tiếp

1

A

Câu 50: (VTED_2019_Tiếp tuyến) Cho hàm số



2;7

x   B 

và

tuyến của (1) cách đều hai điểm A. 4. D. 3. C. 1. 26  x 2;7 . C. 1. B. 2 .

----------HẾT----------

6 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Tiếp tuyến

NHÓM GIẢI VẬN DỤNG CAO CHUYÊN ĐỀ TIẾP TUYẾN - NĂM HỌC 2017-2018

VTED_2019 MÔN: TOÁN 12

Thời gian làm bài 90 phút

Đề đã thay đổi thứ tự câu (sắp xếp theo độ khó tăng dần) so với đề gốc

BẢNG ĐÁP ÁN THAM KHẢO

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

HƯỚNG DẪN GIẢI

y



4 

x

1

y

1

3

y

2

y

2

Câu 1: (VTED_2019_Tiếp tuyến) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ

x   1 x   . A. y

x   .

x  .

x  .

có phương trình là? B. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

y    2 ( 1)

y

'



    '( 1)

y

1

2

 4  1)

(

x

;

x   1

y



4 

x

1

y

 

1(

x

1) 2

y

  hay

x   3

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hành độ có phương trình

y



1 2

x

Câu 2: (VTED_2019_Tiếp tuyến) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ

x 

có phương trình là?

x

y 2

 . 3

C. 2

1 2 A. 2 x

 . 1

x

y 2

  . 1

x

y 2

  . 3

y 2 B. 2 D. 2

Hướng dẫn giải



1

Chọn C.

y



1

y

'





y

'

 

1

3

1 2

1 2

  

  

  

  

2 2

x

;

x 

y



1 2

1 2

x

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ có phương trình là

y

 

1

x





1

y

2

x

x

3

y

 3

3      2

1 2

  

  

hay

7 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Đề thi thử nghiệm_2018

3

2

y

 

x



9

x

1 2

Câu 3: (VTED_2019_Tiếp tuyến) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành

y



42

x



52

x   y

2 30

28





30

x



28

y



42

x



52

độ A. B. . . C. . D. . có phương trình là? y x

Hướng dẫn giải

Chọn A.

y

'

 

  x

18

y

 '(2) 30

y

 (2) 32

23 x 2

;

x 

2

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hành độ có phương trình

y



30(

x



 2) 32

y



30

x



28

hay

g x ( )

f x ( )





y

y



y

f x ( ) g x ( ) có cùng hệ số góc khác 0. Mệnh đề nào sau đâu đúng?

Câu 4: (VTED_2019_Tiếp tuyến) Cho các hàm số có tiếp tuyến tại và ,

x 

0

f

(0)

điểm hoành độ

f

(0)

f

(0)

f

(0)

1  . 4

1  . 4

1  . 4

1  . 4

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

f

(0).

g

'(0)

h x ( )





h

'(0)



f x ( ) g x ( )

 '(0). (0) g f 2 g (0)

x 

0

y



f x ( )

y



g x ( )

Chọn C.

y



( ) f x g x ( )

f

(0).

g

'(0)

Cho các hàm số , và có tiếp tuyến tại điểm hoành độ có

f

'(0)



g

'(0)



 g '(0). (0) f 2 g (0)

(0)

g

2

cùng hệ số góc khác 0 tức là

  1

g

(0)



g

(0)



f

(0)

 0

(0) g

 f 2 (0)

Suy ra

  

f 1 4 (0) 0

 

f

(0)

1  4

Suy ra

  1

g

g

g

g



1

f

f

f

f

  1

 1

Câu 5:

  0

  0

  0

  0

  0

  0

  0

D. C. B. (VTED_2019_Tiếp tuyến) Cho các hàm số y = f (x), y = g(x) và y = f (x).g(x) có tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 0 có cùng hệ số góc và khác 0. Mệnh đề nào sau đây đúng?   0 A.

y



f

Lời giải Chọn C

x  là 0

k 1

y



k

g

Hệ số góc của hàm số tại

x  là 0

  ' 0   ' 0

2

y





f

g



f

g

Hệ số góc của hàm số tại

x  là 0

  ' 0

  0

  0

  ' 0

k 3



k

Hệ số góc của hàm số tại

  f x   g x     f x g x  k 3

2

Theo giả thuyết ta có: 1 k

8 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Tiếp tuyến



f

g



g

f



f



g

  ' 0



f

g

f

f



f

  ' 0   ' 0

  0   0

  ' 0   ' 0



g



1

  ' 0   ' 0    0

  0    0   f 0

có cùng hệ số góc và khác 0. Mệnh đề nào sau đây đúng?

2

Câu 6:

2018





2

24;0

24;0





đều có hệ số góc không âm.



6;0



(VTED_2019_Tiếp tuyến) Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để mọi tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 x mx y  mx  6;0 A.  D.  B. 

2

C.  Lời giải





2

mx



2018

2

  y

' 3

x



2

 mx m

2

Chọn B 3  x mx y

2

  y

' 3

x



2

 mx m

2



0



6;0

    m





0

3 0   a ' 2    m m 6 y '

  

3

Hệ số góc của mỗi tiếp tuyến không âm:

y





22 x

  có đồ thị là (C). Trong tất cả các

1

x

x 3

Câu 7: (VTED_2019_Tiếp tuyến) Cho hàm số

y

  3

x



y

  5

x



y

  3

x

y

  5

x

tiếp tuyến với đồ thị (C), hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất.

7  D. 3

7  3

11 3

23 3

A. B. C.

3

2





y

2

x

  x

1

2

Lời giải



4



1

2

  y

'

x



2

   3

3

x 

x 

Chọn A x 3   y '

M

 7 2;  3 

  

y

  3

x



 Tiếp tuyến tại điểm

Tuyến tuyến có hệ số góc nhỏ nhất là 3 tại điểm

M

11 3

 7 2;  3 

  

2

có phương trình là

y

x

y

 

x



1

x



1

y

   x

1

x



1

Câu 8: , biết tiếp tuyến đó (VTED_2019_Tiếp tuyến) Viết phương trình tiếp tuyến của parabol đi qua điểm A(0;−1).

2

x



1

y

  x

1

4

x



1

y   2    y 

  

y   4    y 

y



x



1

1 2 1 2

A. B. D. C.

     Lời giải

2

  

' 2

y

x

x

y



2



0

 

1

Chọn A Ta có: y

 .Gọi



 x x 0

x x 1 2 . 0

0

 ,M x x 0

2

Gọi tiếp tuyến cần tìm là: là tiếp điểm

9 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Đề thi thử nghiệm_2018

,

  y

x x 2 .

 1

0

0

0

 M x x

2

x



1

2

     Phương trình tiếp tuyến cần tìm là

1

1

2   x 0

2 x 0

x 0

2

x



1

y   2    y 

Ta có:

Câu 9:

   1



0

y

x

,

C là đồ thị của hàm số





1 x C sẽ bay theo phương tiếp tuyến của  C tại C sao cho tên lửa bắn ra từ đó bắn trúng mục

. Biết rằng tên lửa (VTED_2019_Tiếp tuyến) Trong một trò chơi điện tử máy bay xuất hiện ở góc trái màn hình rồi bay sang phải theo quỹ đạo 

4;0 .

1

5

1

3

2

3

1

2

được bắn ra từ máy bay tại một điểm thuộc  0x của các điểm thuộc  điểm đó. Tìm hoành độ tiêu nằm ở trên màn hình có tọa độ 

x    0

x    0

x   0

x    0

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

y



x





Chọn A.



x



  1









 y x 0

x 0

 y x 0

0x là

0 x

1 x 0

1 2 x 0

Phương trình tiếp tuyến tại điểm .



4;0

Theo giả thiết, tiếp tuyến đi qua điểm nên:

   

1

5



0

4



  1



0







x 0

x 0

0 x

1 2 x 0

1 x 0

y



.

1 

x

1

Câu 10: (VTED_2019_Tiếp tuyến) Tìm một điểm trên đồ thị của hàm số sao cho tiếp tuyến

 ; 4







;

;

 0; 1 .

4 7

1 4

3 4

3 4

  

  

  

  

  

D. A. . . . C. B.  tại đó cùng với các trục tọa độ tạo thành một tam giác vuông có diện tích bằng 2 . 4 3

   Lời giải

1

y



x





Chọn C.

 

x













 y x 0

x 0

 y x 0

0x là

0 x

2

1 

1



x 0



 1

x 0

2

1;0

Phương trình tiếp tuyến tại điểm .

B

0;





A x  02



x 0

   

 x 1 0   2   1 

Tọa độ giao điểm của tiếp tuyến với các trục tọa độ là , .

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Tiếp tuyến

2



x 0

S





2

.

; 4

OAB

x  0

2

1 2

3 4

3     4 

  



 2 

 1  1

x 0

Suy ra .

y

 

x

2 17 

x



66

P

Câu 11: (VTED_2019_Tiếp tuyến) Một điểm M chuyển động trên parabol



2;0

, hãy xác định các giá trị theo 0x của

 . 4

 . 8

 . 8

  8

  4

4

  8

  . 4

x 0

x 0

x 0

C. B. D. hướng tăng của x . Một người quan sát đứng ở vị trí hoành độ điểm M để người quan sát có thể nhìn thấy được điểm M . A. x 0

Lời giải

 2



17

x







17



66

Chọn C.





x 0

x 0

2 x 0

x 0

0x là y  

  4









17



66

Phương trình tiếp tuyến tại điểm .

2;0

    2 0

 17 2



x 0

x 0

2 x 0

x 0



8

x 0 x 0

   

. Tiếp tuyến đi qua điểm 

  4

 . 8

x 0

0

Vậy

a  cắt trục

y

 tại điểm có hoành độ

1 x

Ox , Oy lần lượt tại các điểm I , J . Tính diện tích của tam giác OIJ .

Câu 12: (VTED_2019_Tiếp tuyến) Tiếp tuyến của hypebol

 . 4

 . 2

 . 8

OIJS

OIJS

OIJS

OIJS

1  . 2

A. B. D. C.

Lời giải

Chọn B.

a là

y

 

 x a





1 2 a

1  . a

I

a 2 ;0

Phương trình tiếp tuyến tại điểm x

J

0;





2 a

  

  



.2

a

.

Tọa độ giao điểm của tiếp tuyến với các trục tọa độ là , .

 . 2

OIJS

1 2

2 a

2

2



1

Suy ra

 tại điểm 



;x y 0 0

2

2

x a

y b



Câu 13: (VTED_2019_Tiếp tuyến) Phương trình tiếp tuyến của elip là

  . 1



 . 1



 . 1



  . 1

x x 0 2 a

y y 0 2 b

x x 0 2 a

y y 0 2 b

x x 0 2 a

y y 0 2 b

x x 0 2 a

y y 0 2 b

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

A.

y



x







  .



;x y 0 0

 y x 0

x 0

y 0

2

2





    y

0



1



là (1) Chọn Phương trình tiếp tuyến của elip tại điểm 

 , đạo hàm hai vế ta được

x 2

2

2

2 a

2 . y y 2 b

2 b x 2 a y

x a

y b



 

Từ phương trình elip



 y x 0

2 b x 0 2 a y 0

(*)

11 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Đề thi thử nghiệm_2018

y

 

x





















x 0

  y 0

2 2 a y 0

2 2 b x 0

2 b x x . 0

2 a y y . 0

. x x 0 2 a

. y y 0 2 b

2 x 0 2 a

2 y 0 2 b

2 b x 0 2 a y 0



Khi đó thế (*) vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến như sau:

 . 1





1

 ; do 



;x y 0 0

2 x 0 2 a

2 y 0 2 b

. x x 0 2 a

. y y 0 2 b

2

1

x

y



thuộc elip nên

y 

x

2

2

Câu 14: (VTED_2019_Tiếp tuyến) Cho hai hàm số , . Tìm góc giữa hai tiếp tuyến

045 .

090 .

00 .

060 .

của mỗi đồ thị hàm số tại giao điểm của chúng? A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

2

1

x

3

Chọn B.

     .

1

1

x

x

x

2

2

2

x

k 



2

Phương trình hoành độ giao điểm

y 

1x  là 1

2.1 2

2 1

y



k  

 

Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại điểm .

1x  là 2

1 2 1 . 2

1 2

x

2

1

k k   nên hai tiếp tuyến vuông góc nhau hay góc giữa chúng là

090 .

Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại điểm .

2.

Do 1

3



x



3

x

2

 đi qua điểm 

 4; 22 ?

Câu 15: (VTED_2019_Tiếp tuyến) Hỏi có tất cả bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số

C. 3 . D. 0 .

  C y : A. 1.

B. 2 .

d y :





4



22

Hướng dẫn giải

 4; 22 là

 k x



. Chọn C. Đường thẳng đi qua điểm 

 k x



C  Hệ

2

3   x   3 

2

3

2

3

3

2

  

32 0

  2

22

12









3

2

3

4

3

x

x

x

x

x

x

3 x   2  4  22 (1) có nghiệm Để d tiếp xúc  x   3 k (2)



  





3

   x  x 2    x 2  Ứng với một nghiệm x là một giá trị k hay một tiếp tuyến nên có tất cả 3 tiếp tuyến.

3

Thế (2) vào (1) ta được

y

4 2

 có đồ thị  1 ,A B song song nhau và

C . Biết có hai điểm phân . Hỏi AB 

,A B thuộc 

1; 2

N

Câu 16: (VTED_2019_Tiếp tuyến) Cho hàm số

23 x x   C tại C sao cho tiếp tuyến của  biệt đường thẳng AB đi qua điểm nào dưới đây? A.

M   .

 P 

1;2



4; 2





 Q  . 1; 2



C. B. . . D.

Hướng dẫn giải

;

;

Chọn B.



2 x 3 1

2 x 3 2

x 1

x 2

 3 A x x 1 1

  , 1

 3 B x x 2 2

  với  1

Cách 1. Gọi .

12 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Tiếp tuyến

,A B song song nhau nên chúng có cùng hệ số góc k .

Do tiếp tuyến tại

    (*)

0

3

k

23 x



6

x

  có hai nghiệm phân biệt

0

k

2

2

2

2

2

AB











3















3



3









x 2

x 1

3 x 2

3 x 1

2 x 2

2 x 1

x 2

2 x 1

x 1

x x 1 2

2 x 2

x 1

x 2





    9 3 k 



 

 

 1  

  

2

2

2

32







4









3



Khi đó













x 1

x 2

x x 1 2

x 1

x 2

x x 1 2

x 1

x 2

 

 

 

 

 1  

2

4



6





   

2

2

  32

 3 9 .

9

k



9

 0

   k

x Với 1

x 2

 và 1 2





 k 3

 k 9

k x x   nên (1) 3

9

k  (thỏa mãn (*))

x

1



2

(1)

3

x



6

x

   9 0



AB x :

  

2 0

y

x

  3

B

  

N

Khi đó

      A 1; 3   3;1 4; 2



. Do đó đường thẳng AB đi qua điểm

,A B của đồ thị song

Cách 2. Tính chất “Với đồ thị hàm bậc ba, với tiếp tuyến tại hai điểm

,A B đối xứng nhau qua điểm uốn”.





y



  

6

x

y

x

6 0

1

x

      là điểm uốn. I

  1; 1

;

song nhau thì

 là điểm cần tìm.

2 x 3 1

23 x  3 A x x 1 1

6  1

Gọi

AB

4 2

  IA

2 2

2

2

2

2

2

2

2

IA

  8







3

  

2

8











3

Theo đề bài và tính chất thì .



 1



 1



 1

 1

x 1

3 x 1

2 x 1

x 1

x 1



 

x  1 

 

3

2

0

(2)

t  thì PT (2)

t



  t

t

t



3

    0

8

t

6

t



10

t

    4

8

0

t

 x

21



2

x

1



2

Đặt với

t

  

4

x

,A B có tính đối xứng.



 1

x

  3

B

     A 

 1; 3  3;1

    4 

N

AB x :

2 0

Với ; do

y   nên đường thẳng AB đi qua điểm



4; 2

3

Khi đó .





2

3

x

 đều dương là

0;

.

0;

.

0;

.

0;

.

Câu 17: (VTED_2019_Tiếp tuyến) Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hệ số góc của các 2 mx

9 4

9 4

9 4

9 4

y mx      

1    

  

   

   

   

A. B. C. D. tiếp tuyến của đồ thị hàm số     

    Chọn

B.

0m  hàm số đã cho là hàm bậc nhất suy ra

0m  không thỏa mãn.

2





Nếu

y

mx

mx

m  ta có:

0,

'

3

4

 3

0

y

    ' 0 x R

  0

m



.

Nếu

2

9 4

 

' 4

m



9

m



0

 m  

Bài toán tương đương với

1x  của đồ



3

y



.

Câu 18: (VTED_2019_Tiếp tuyến). Hệ số góc của các tiếp tuyến tại điểm có hoành độ

y



y



 ; f x

  g x



3

  f x   g x

thị hàm số và Mệnh đề nào sau đây đúng?

.

.

.

.

  f   1

  f   1

  f x 

  f  1

11 4

11 4

11 4

A. B. C. D. .

Chọn

11 4 A.

13 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Đề thi thử nghiệm_2018



3



  h x



3

  f x   g x

Đặt

f



g



h

 k

  ' 1

  ' 1

  ' 1

f

'





3

  x

  g x



  f x

 

 

 

Giả sử



 h x '



 g x ' 2

  3    g x

 

 3 

f

g

f

 

 

 

  k





1

  1 2

  1 2

g



3

g



   1   1

   1   1

 k g   

 

 

 3 



g



5

g



f

  Tồn tại

0.

9

g

    

11 4

f

  0

f

 

.

  2 1

  1

  1

  1

  1

  1

11 4

3

Ta có:

y



x



23 x

 có đồ thị (C). Mệnh đề nào sau đây

1

,A B cùng thuộc (C) mà tiếp tuyến của (C) tại A, B song

,A B cùng thuộc (C) mà tiếp tuyến của (C) tại A, B song

,A B cùng thuộc (C) mà tiếp tuyến của (C) tại A, B song song

,A B cùng thuộc (C) mà tiếp tuyến của (C) tại A, B song song

Câu 19: (VTED_2019_Tiếp tuyến) Cho hàm số

2

y

 ' 3

x



6

x

đúng? A. Không tồn tại hai điểm phân biệt song với nhau. B. Có duy nhất hai điểm phân biệt song với nhau. C. Chỉ có 3 cặp điểm phân biệt với nhau. D. Có vô số cặp điểm phân biệt với nhau. Chọn D.







;x x mà 1 2

 y x ' 1

 y x ' 2

Ta có suy ra có vô số cặp số hay Có vô số cặp điểm

,A B cùng thuộc (C) mà tiếp tuyến của (C) tại A, B song song với nhau.

phân biệt

y



.

C





x 2  x 2

Câu 20: (VTED_2019_Tiếp tuyến) Cho hàm số Biết trên (C) có hai điểm phân biệt

,A B là lớn

 I 

2; 2

đến tiếp tuyến của (C) tại các điểm

.AB AB  8.

AB  4.

AB 

4 2.

AB 

2 2.

C. D. B.

,A B sao cho khoảng cách từ điểm nhất. Tính độ dài đoạn thẳng A. Chọn

4

y

'



.

C.

;

.

a 2  a 2

 A a  

  

x



2



2

8

a





4

4

a

x

  y





0



,



Giả sử Ta có

:A

 d A d



2

2

a 2  a 2

a



2

a



2









a



2



16

 2 4



PT tiếp tuyến của (C) tại

,A B thuộc hai nhánh khác nhau, không mất tính tổng quát giả sử

t

0.

2

a

t

    Khi đó

a   Đặt 2.

,



.

 d A d



Ax

t 8 4

t



16

Do tính đối xứng nên

14 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Tiếp tuyến

t 8

f



f

f



t



  t

  2 .

  t



 0 ,

4

max  t 0

t



16

Xét từ BBT ta có Vậy khoảng cách từ I đến tiếp

a  hay 0

A



0;0 .

 B 

4; 4 .

Do tính đối xứng nên tuyến tại A lớn nhất khi

AB 

4 2.

Vậy

I

1;1 

Câu 21: (VTED_2019_Tiếp tuyến) Hỏi khoảng cách lớn nhất từ điểm đến tiếp tuyến của đồ thị

y



x x

 

1 1

hàm số là?

A. 4 2. B. 2 2. C. 2. D. 2.

Hướng dẫn giải

2

2

y

 

 x m



  2



 y m



2

m

 

1 0.





 x m

2 1

2

m m

 

1 1

m





 1

D. Chọn Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ m là

2

2.1



m





m



2

m



1



2  1 .1

4

m



1

4

m



1









2.

 d I d ,



4

4

2

4

2



m



4



m





 1



 1

2 4

m





 1

    m

1

4

2.

Do đó

   m

41

Dấu bằng xảy ra

y



C

P

;0





9 2

 1 x 2  2 x

  

  

,A B song song với nhau và

C sao cho tiếp tuyến của 

C tại ,A B là?

5 16 .

Câu 22: (VTED_2019_Tiếp tuyến) Cho hàm số và điểm . Biết hai điểm

5 2 .

5 . 4

D. phân biệt A và B thuộc đồ thị  tam giác PAB cân tại P . Hỏi hệ số góc của tiếp tuyến tại 25 4 . A. C. B.

Hướng dẫn giải

,

,

,

Chọn A.

  2.

x 2

 1 x 2 1  2 x 1

 1 x 2 2  2 x 2

 A x  1 

  

 B x  2 

  

Gọi với 1 x

,A B song song với nhau nên





k

.





 y x ' 1

 y x ' 2

5

  k



k

.

Vì tiếp tuyến tại

 y x '



,x x là hai nghiệm phân biệt của phương trình 1

2

x



2



2

Vì vậy

k  0.

A

  2

k ; 5



B

  2

;



k 5



Phương trình này có hai nghiệm phân biệt

5 k

5 k

   

 2 ,   

   

 2 .   

Khi đó

15 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Đề thi thử nghiệm_2018



2

 ; 2 5 k

 AB

,

I

2; 2

 PI

; 2



   

5 k

5 2

  

  

   

   

Ta có trong đó I là trung điểm của AB .



  0

5



4 5

k

  

0

k

  . AB PI

5 k

5 4

( thỏa mãn) Vì tam giác PAB cân tại P

Câu 23: (VTED_2019_Tiếp tuyến) Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để mọi tiếp

y









tuyến của đồ thị hàm số đều có hệ số góc dương

4; 4 .

2; 2 .

2; 2 .

C.  D.  A. 

 2 mx 2 x m  4; 4 . B.  

Hướng dẫn giải

2



m



    ' 0,

y

x



  

0,

x

Chọn D.

m     2  

m     2  

2

 x m



4 2 

2

  4

m

   

2

0

m

 2.

Yêu cầu bài toán

y



x  1 2  5 x

Câu 24: (VTED_2019_Tiếp tuyến) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm với trục

hoành có phương trình là?

y

 

x



.

y

 

x



.

y



x



.

y



x



.

4 11

2 11

4 11

2 11

4 11

2 11

4 11

2 11

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn C.

y

  0

   

0

x

.

 1 x 2  5 x

1 2

Tọa độ giao điểm với trục hoành

1 x   là 2

y



y

'



x





y



 

x



 

x



.

1 2

1 2

1 2

4 11

1 2

4 11

2 11

  

  

  

  

  

  

  

4

2

Khi đó phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ

y



x



3

x

 có đồ thị 

C . Hỏi có bao nhiêu

3 2

1 2

Câu 25: (VTED_2019_Tiếp tuyến) Cho hàm số

A

0;

C cùng đi qua điểm

3 2

  

  

? tiếp tuyến của 

D. 0 . C. 3 . A. 4 . B. 2 .

Lời giải Chọn C.

;



3



4 x 0

2 x 0

1 2

3 2

 M x  0 

  

3

Giả sử tiếp điểm

y

 ' 2

x



6

x

Đạo hàm

y



2



6

x







3



3 x 0

x 0

x 0

4 x 0

2 x 0





1 2

3  2

Phương trình tiếp tuyến tại M là  :

16 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Tiếp tuyến



0

x 0

A

0;

   

2



6

0







3



2



0

2



3 x 0

x 0

x 0

4 x 0

2 x 0

x 0

2 x 0

   x 0









1 2

3   2

3 2

3 2

  

  



2

x 0

    

Vì

  

0

:

y

x 0

3  . 2

Với

    2

:

y



2 2

x



2

x 0





5  . 2

Với

   2

:

y

 

2 2

x



2





x 0

5  . 2

Với

A

0;

3 2

  

  

m 3

 x m





y



C

Vậy có 3 tiếp tuyến cùng đi qua điểm .





m

 1  x m

mC tại giao điểm của trục hoành song song với đường thẳng

Câu 26: (VTED_2019_Tiếp tuyến) Cho hàm số . Tập hợp tất cả các giá trị thực

x   là?

5

của tham số m để tiếp tuyến của  y



;



1 1 ; 2 6

1 2

1 6

1 1 ; 2 6

1 1 ; 6 2

  

  

  

  

  

  

  

A. . B. . C. . D. .

   Lời giải





Chọn B.

y

'



A

; 0

m  m 3

1

  

  

 1  x m

m 3 

 x m 2

2

m 3



2

m

k

'



y

'





Ta có tọa độ giao điểm với trục hoành là và .

mC tại điểm A có hệ số góc là

2

m  m 3

1

 3 m 2 m 3

2 1 m 2

 

  

  



m

m  m 3

1

  

  

m

 

k

   1

Tiếp tuyến của 

      1

 m 3 2 m 3

2 1 m 2

 

   m 

1 6 1 2

Theo giả thiết, ta có

2

x m m







y



Câu 27: (VTED_2019_Tiếp tuyến) Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để tiếp tuyến của đồ



mC tại giao điểm của trục hoành song song với đường thẳng

  1m 3  x m

x

y 

 là?

thị hàm số

  1;

1;

1 5

1 6

11 0 1 6

  

  

  

  

  

. C. D. . . A. B.  1 .

   Lời giải

;0

A

Chọn C.

  

  

Ta có tọa độ giao điểm với trục hoành là .

2

m 3

 m m 3

   1

2 m m  3  m 1 mC tại điểm A có hệ số góc là 





k

'



y

'





 m m 2

2  1 2

4

m

  

2  m m   1 m 3 



m

2  m m  m 3 1

  

  

Tiếp tuyến của 

17 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Đề thi thử nghiệm_2018

  1

m

m 3



k

  1

  1

2  1 2

4

m

1 5

     m 

2

2

E

:

 . Xét điểm M trên tia Ox , điểm N trên

1



Theo giả thiết, ta có



x 16

y 9

E . Hỏi độ dài nhỏ nhất của đoạn thẳng

Câu 28: (VTED_2019_Tiếp tuyến) Cho elip 

tia Oy sao cho đường thẳng MN tiếp xúc với elip MN là? A. 6 . B. 7 . C. 8 . D. 9 .

Lời giải

2

y 

3 1



Chọn B.

E có phương trình

x 16

. Xét trên góc phần tư thứ nhất, elip 

E tại điểm có hoành độ

x  là 0 0

3

x 0

y

 

x





3 1







x 0

2 x 0 16

16 1



2 x 0 16

Do đó tiếp tuyến của elip 

2 x 0 16

3 Suy ra M N 0; MN    7 16 16 x 0 256 2 x 0 144 2  x 0     ;0 ,   1              

x  0

8 7

Dấu bằng xảy ra .

Cách 2.

N

0;

 . 1

 M m

 ; 0 ,



 n phương trình của đường thẳng MN là

x y  m n

2

2

16



9



1

Xét điểm

1 m

1 n

  

  

  

  

2

2

2

2

2

Đường thẳng này tiếp xúc với elip khi và chỉ khi

MN



2  m n



2  m n





m

.



n

.



49





16 2 m

9 2 n

16 2 m

9 2 n

  

  

   

   

2

2





  m

2 7;

n



21

Khi đó

n 9 2 n 2

m 16 2 m 2  m n



49

     

2

M

(1; 3)

x

Dấu bằng xảy ra .

4y

 

Câu 29: (VTED_2019_Tiếp tuyến) Tiếp tuyến của Parabol tại điểm tạo với hai trục toạ độ một tam giác có diện tích là?

25 4

3 2

3 4

25 2 Lời giải:

y

x

2

5 (d)

y  

2(x 1) 3 

 



A. B. C. D.

 

Phương trình tiếp tuyến tại M là:

18 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Tiếp tuyến

d

y A

(0; 5)

0  

d

x A (

; 0)

0  

5 2

Tọa độ giao điểm: ;

S

A B

0 .0





1 2

25 4

Diện tích tam giác 0AB:

Chọn đáp án: B

Câu 30: (VTED_2019_Tiếp tuyến) Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để mọi tiếp tuyến của

y



đồ thị hàm số đều có hệ số góc âm là?

x m 2  mx 2  B.

2; 2

; 2

2;

; 2   



    D.   2;







 

 

 

 

C. 

2; 2 A.  Lời giải:

4

y

'

0







4

2 0m

 

; 2

2;

  m    





2

2 m  (mx 2) 

Ta có:

3

Chọn đáp án: A

y

x

x

23 x

3

2







 . Kí hiệu A,B là hai điểm thuộc

Câu 31: (VTED_2019_Tiếp tuyến) Cho hàm số

1; 1

045 .

.

2

y

x

x

(C) mà tiếp tuyến của (C) tại A,B song song với nhau. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Đường thẳng AB song song với trục hoành. B. Đường thẳng AB đi qua điểm  C. Đường thẳng AB tạo với trục hoành góc D. Đường thẳng AB tạo với trục hoành góc arctan 2 Lời giải:

6

' 3 



 3

x

Ta có:

23 x

6

3



  k

y

x

y

kx k

.

'







 

Hoành độ điểm A,B là nghiệm của phương trình



 3

1 3

1 3

1 3

  

  

Khi đó:

y

kx k

3



 





1 3

1

x

0

y

kx k

k

x

0,

1





k y    

Phương trình đường thẳng AB:



 3   

1 3

1 3

1 3

  

  

   x  y 1 

 1 1      3 3    y 1 0 

Ta có: 

1; 1

Đường thẳng AB đi qua điểm cố định 

3

y

x

Chọn đáp án:B

23 x

2 (C)

 





.Tiếp tuyến của (C) có hệ số

y

y

y

 1

 1

x 3

 7

x 3

 7

B. C. D.

Câu 32: (VTED_2019_Tiếp tuyến) Cho hàm số góc lớn nhất có phương trình là? A. x x y 3 3 Lời giải:

19 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Đề thi thử nghiệm_2018

2

y

x

x

x

'

3

6

3

 



 



  3 3



2 1

Ta có:

3k  khi

1x 

Hệ số góc lớn nhất:

y

x 3

 1

Phương trình tiếp tuyến:

3

2

Chọn đáp án: A

x



2

x



2

x

 tại giao điểm với trục

1

1 3

Câu 33: (VTED_2019_Tiếp tuyến) Tiếp tuyến của hàm số y=

1x 

 1x

 1x

1x 

B. y= 2 D. y= 2 tung là? A. y= 2

C. y= 2 Hướng dẫn giải

Chọn B

1x 

Giao điểm của đồ thị với trục tung A(0,-1)

y

x 

0) 1

 = 2

Ptrình tiếp tuyến tại A(0,-1) là y= '(0).(

x  1 2  1 x

Câu 34: (VTED_2019_Tiếp tuyến) Cho hàm số y= có đồ thị (C). Trong các cặp tiếp tuyến của

(C) song song với nhau thì khoảng cách lớn nhất giữa chúng là? A. 4 3 B. 2 3 D. 2 6

C. 4 6 Hướng dẫn giải

,

,

Chọn D

x 1

x 2

 1 x 2 1   1 x  1

  

 1 x 2 2   1 x  2

   song với nhau.

  1

 k>0, x=

Gọi A , B thuộc đồ thị (C) sao cho 2 tiếp tuyến của (C) tại A, B song

2x là nghiệm của phương trình k=y’  k =

2

3 k

3 x  1)

(

2

  1



3k



3k

Ta có 1x ,

k   , 2

1

3 k

k x .(

  1

  ) 2

k 3

Khi đó A( ) và B( , 2 ).

3 k

. Phương trình tiếp tuyến tại A là d1: y=

k

.( 1

 

  1

) 2

 

k 3



(2



k 3 )

3 k

3 k



4



4



2 6

(

)

,

B d = 1

2

k 3 2

k 3 2 

1

k

k



1

k

.1

2

2 1

1

k

k

2 Khoảng cách giữa tiếp tuyến d=d

    vì

k  0

Dấu “=” xảy ra

20 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Tiếp tuyến

ax b   1 x

Câu 35: (VTED_2019_Tiếp tuyến) Cho hàm số y= có đồ thị (C). Biết (C) cắt trục 0y tại A(0,-

1), đồng thời tiếp tuyến của (C) tại A có hệ số góc bằng 3. Tính S= a b ? A. S=3 B. S=-3 D. S=-5

C. S=5 Hướng dẫn giải

Chọn B



    a b

3

  a b 2  (0 1)

Từ giả thiết ta có y’(0)=3

23 x

1

Câu 36: (VTED_2019_Tiếp tuyến) Cho hàm số y= 3 x

C. 8

 có đồ thị (C). Biết 2 điểm A,B phân biệt thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại A, B song song với nhau và diện tích tam giác OAB bằng 4. Hỏi hệ số góc tiếp tuyến tại A, B của (C) là bao nhiêu? B. 3 2 A. 6

D. 4 2

Hướng dẫn giải

Chọn D

(

 , B 1)

(

x 3

 với

1)

x 1

x 2

3 x x , 1 1

2 x 3 1

3 x x , 2 2

2 2

Gọi A

)



)

y x '( 1

y x '( 2

,x x là nghiệm của 1

2

Vì 2 tiếp tuyến tại A,B song song với nhau nên . Do đó

23 x



6

x k

  .Ptrình có 2 nghiệm phân biệt nên

0

  

k ' 9 3

    k 3

0

3

2

2

phương trình

23 x



6

x

 ta được

k

x



3

x

  1



x



6

x



k



2

x

  1



 . 3



x 3

1 3

k 3

k 3

  

  

  

  

Lấy y chia cho

)





2

  1

)





2

  1

y x ( 1

x 1

y x ( 2

x 2

k 3

k 3

k 3

k 3

  

  

  

  

Do đó , ,

y





2

x

  1

k 3

k 3

  

  



2 .1 1

  

5

k 3

k 3

6

  

  

Đường thẳng qua 2 điểm A,B là

d C AB ,

(

)







6

2

2



2



2 1



2



1

k 3

k 3

  

  

  

  

Ta có

     6 0

2

k

k 3

3

23 x

y

x





1

Dấu “=” xảy ra

 (C). Biết có hai điểm phân biệt

,A B ,A B song song với nhau. Hỏi khoảng cách lớn nhất từ

Câu 37: (VTED_2019_Tiếp tuyến) Cho hàm số

1;5C 

thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại điểm đến đường thẳng AB là

A. 6 . B. 3 2 . C. 8 . D. 4 2 .

2

Hướng dẫn giải



6

Chọn  x y ' 3 A. x

21 | VD_VDC

Đề thi thử nghiệm_2018

   . x

1

I

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18  ; " 0 6 x y C có điểm uốn

   . 1; 1

Ta có " 6 y Đồ thị 



y

'

x



,A B song song với nhau





 y x '



A

B

2

2

3

x



6

x

x





6

x

B

B

A

A

2

2

x

x



x



 0



x



x



2

x



x



0

   x



2





A

B

A

B

A

B

A

B

Tiếp tuyến của (C) tại

  2

x

x

3    x A

B

B

).

 ( do A x Suy ra I là trung điểm của AB . Do đường thẳng AB đi qua I cố định nên khoảng cách lớn nhất từ điểm

1;5C 

2

2

CI 



 . 6

đến đường

   1 1



  5 1

3

thẳng AB là

y



x



23 x

 có đồ thị (C). Hỏi có tất cả bao nhiêu

2

Câu 38: (VTED_2019_Tiếp tuyến) Cho hàm số

điểm trên đường thẳng A. Vô số điểm.

y   mà từ điểm đó kẻ đến (C) hai tiếp tuyến vuông góc với nhau? 2 B. 2 điểm.

C. 1 điểm. D. 3 điểm.

2



6

Hướng dẫn giải

A a  là điểm thuộc đường thẳng

; 2

y   .

2

Gọi Chọn x  y ' 3  C. x 

A a  : ; 2





y



 k x a

   2

d

2





2

3

x

  2

  k x a



Phương trình đường thẳng đi qua



d tiếp xúc với (C) khi

2



6

x



k

2

2

x

3   x

3

x

  2

3

x



6

 x a

 2



2

3   x   3 x   

2

x

x

x



3

a





0

  

 1

 

  2 2 

 

2

 x 2

x

x

2





a 3

2 0

 

  1 x  thì pttt

2

y  : Không tìm được tiếp tuyến nào của (C) vuông góc với đường thẳng

2

22 x



a 3



x

  2

   Với trên. Để có hai tiếp tuyến thoả yêu cầu bài toán thì

có nghiệm.



 1

  0 1

2

2

3



6

3

x



6

x

  1

2

có hai nghiệm phân

x 1

x 1

2

2







 16 0

a 3





a

a 

55 27

2

36

P

 

1 0

SP

18

P





x x  và  ; 2 2    1  12 6   0   9 

biệt 1

A

 ; 2

55 27

  

  

Vậy .

y



x x

 

1 1

Câu 39: (VTED_2019_Tiếp tuyến) Cho hàm số có đồ thị (C). Tiếp tuyến của (C) tại các

2

2

. . . . D. 2 B. 2 điểm có hoành độ lớn hơn 1 tạo với hai trục toạ độ một tam giác có diện tích nhỏ nhất là?  A. 6 4 2

 C. 6 4 2

22 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Tiếp tuyến

Hướng dẫn giải



2

Chọn A.

y

'



x





.

1m  .

2 1 m m

 

1 1

 M m ;  

  



2

Gọi 

y



 x m



d





2

m m

 

1 1

m





 1

m

m



1

;0

Phương trình tiếp tuyến tại M : 

A



d

 Ox





2 2  2

   A 

  

2



2

1

.

0;

B



d

 Oy





 2

m



m 

m  1

   B  

   

2

2

2

2

2

2

m



2

m



1

m



m



1



2

1

 1



.





OA OB .



.

OABS

 2

 m

2 m  1

1 2

2 2

1 4

1 2

m



m



 1   4 

  

 m 2  1



m 

m  1

2



1

m



2

1



    m

1

0

2

do m

.



 f m



 f m '





  . 1

 f m '



 2

2 2  m  m 1

m



m 

m  1



1

1

; ;

1

2

2 0

0







'f m 









  f m



m 

 Diện tích nhỏ nhất là 6 4 2



m  

1

2



y

khi .

 1 x 2  2 x thuộc đồ thị (C) mà tiếp tuyến của (C) tại điểm đó tạo với hai trục toạ độ một tam giác có diện

Câu 40: (VTED_2019_Tiếp tuyến) Cho hàm số có đồ thị (C). Hỏi có tất cả bao nhiêu điểm

tích bằng ?

B. 1 điểm. C. 2 điểm.

2 5 A. 4 điểm.

D. 3 điểm.

Hướng dẫn giải



5

Chọn C.

y

'



x



2



.

2 m  1 2  2 m

 M m ;  

  



5

Gọi .

y



 x m



d





2

 1 m 2  2 m

m



2





Phương trình tiếp tuyến tại M : 

23 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Đề thi thử nghiệm_2018

22 m

m



2

;0

A



d

 Ox





 2 5

   A 

  

2

2



2

2

.

0;

B



d

 Oy





 2

m



2

m 

m 

   B  

   

2

2

2

2

1

m

m





2

2





.



OA OB .



2 2 .

OABS

 2

2 m m    2 m

1 2 2

 2 5

2 5

1 2

m



2

m



2

 2   5 

  

2 m m 

   1 2 

m 

m 

1



1

     .

m

m

1

3



OABS

2 5

1

 

1

2 m m   m  2 2   m m  m 2

     



y

.

)C . Với mọi m đường thẳng

 

Câu 41: (VTED_2019_Tiếp tuyến) Cho hàm số có đồ thị (

2,k k lần lượt là hệ số góc tiếp tuyến 1

)C tại hai điểm phân biệt ,A B . Mệnh đề nào sau đây đúng?

y của (





Vậy tìm được hai điểm M thoả yêu cầu bài toán. x   1 2 x  1 ,A B . Gọi

1 4

1



. . A. 1 2 k k B. 1 2 k k

x m luôn cắt ( )C tại 1 9 1 16

. . D. 1 2 k k C. 1 2 k k

Hướng dẫn giải



 

m

x 1

x 2

2

   

x m

2

x

2

mx

  1

m



0

Chọn D.

m

  x x  2

1 1



x x 1 2

   

  1 2

1

1

y

'













1

k k 1 2

2

2

2

2

 1 x  1)

(2

1 2 1) (2

(2



x



1)

 

2 2

m



2

m



4



2(



x 1

2

 1





  ) 1

x x 1 2

x 1

x 2

y



Pthđgđ: . Theo Vi-ét:

)C . Với mọi m đường thẳng

 

x   1 2 x  1 ,A B . Gọi

2,k k lần lượt là hệ số góc tiếp tuyến 1

x m luôn cắt ( )C tại

)C tại hai điểm phân biệt 2,k k là?

,A B . Giá trị lớn nhất của 1

Câu 42: (VTED_2019_Tiếp tuyến) Cho hàm số có đồ thị (

B. 2 . D. 4 .

y của ( A. 6 C. 1 .

Hướng dẫn giải



 

m

x 1

x 2

2

   

x m

2

x

2

mx

  1

m



0

Chọn B.

m

x   x  2

1 1



x x 1 2

  1 2

   

2

y

'



k

 



 



  2

k   1

2

2

2

2

(2



2(





1

 2  ) 4

 1 x  1)

(2

1 

1)

1 

1)

(2

(2

x 1

x  1)(1 2 ) 2

x 1

x 2

x x 1 2

x 2

x 1

  

  

Pthđgđ: . Theo Vi-ét:

24 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Tiếp tuyến



y

)C . Với mọi m đường thẳng

1 1

:  

  x  x 2 ,A B . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m )C tại hai điểm phân biệt

x m luôn cắt (

d y để tiếp tuyến của (

)C tại

,A B tạo với d một tam giác đều.

1

m

  1

Câu 43: (VTED_2019_Tiếp tuyến) Cho hàm số có đồ thị (

m

  1

2

2

A. B. .

m

   1

m

   1

2

1 2

C. D. . .

Hướng dẫn giải



 

m

x 1

x 2

2

   

x m

2

x

2

mx

  1

m



0

Chọn C.

m

  x x  2

1 1



x x 1 2

   

  1 2

1

1

y

'











1



k k 1 2

2

2

2

2

 1 x  1)

(2

1 2 1) (2

(2



x



1)

 

2 2

m



2

m



4



2(



x 1

2

 1



  ) 1

x x 1 2

x 1

x 2



1

1

 1 k

2

k

Pthđgđ: . Theo Vi-ét:

tan(

)





tan(

)





d d ; 1

d d ; 2

k 1

2 

 k

1 k 1

1 k  1 k  1 1

2

1



1 k

2

tan(

)



  3





3

. Ta có , tức là ABC cân tại C Suy ra 2

d d ; 1

2

2

2

k 1  1

1 2 (2

1 

1)

1 

1)

(2

 k 2 k k 1 1

x 1

x 2

1

2



2 (



)(





1)

  

m

3

2

1

m



2(

m



1)

m     

3

1

Do đó ta chỉ cần điều kiện

x 1

x 2

x 1

x 2

2

.

3

2

PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN

m x m

(1 2 )

 

 

2 (1)

m x

(2







y

)

Câu 44: (VTED_2019_Tiếp tuyến) Cho hàm số

. Tìm tất cả x các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng

cos



d x :

y   một góc  với

7 0

1 26

.

;

;



;

;



1    4

1 2

1    2

1 4

  

  

  

  

  

  

  

  

A. . B. .

1 1 ; 4 2

1 1 ; 2 4

  

  

  

  

C. . D. .

Lời giải

Chọn A.

k

 ( ; 1)

 n 1

(1;1)

, véc tơ Gọi hệ số góc của tiếp tuyến là k suy ra tiếp tuyến có véc tơ pháp tuyến

 n  2

k



1

cos











  k

k



.

pháp tuyến của d là

2

2  3

2 3

1 26

1 26

2(

k



1)

  . n n 1 2   n n . 2 1

Từ đó suy ra

Khi đó yêu cầu bài toán thỏa mãn nếu ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm.

25 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Đề thi thử nghiệm_2018

2

y

'



3

x



 2(1 2 )

m x

  2

m





2

y

'



3

x



 2(1 2 )

m x

  2

m



3 2 2 3

3 2 2 3

     

     

2

0



2

m

 

1 0





  m



m

 

1 4

1 2

0

4

2 m m

  

3 0

'   1 '   2

 8 m  

   

có nghiệm.

m

    ;

;



1 4

1 2

  

  

  

  

3

2

Vậy là những giá trị cần tìm.

y



mx



(

m



1)

x



 (4 3 )

m x



1 (

C

)

m

1 3

Câu 45: (VTED_2019_Tiếp tuyến) Cho hàm số . Tìm tất cả

y 2

d x :

các giá trị thực của tham số m sao cho tồn tại duy nhất 1 điểm có hoành độ âm mà tiếp tuyến   . tại đó vuông góc với đường thẳng 3 0

0;

0;

;



;



   ;0

   ;0

3 2

2 3

2 3

3 2

  

  

  

  

  

  

  

  

A. . B. . . C.  . D. 

Lời giải

Chọn D.

d x :

y 2

  có hệ số góc bằng

3 0

 nên tiếp tuyến vuông góc với nó có hệ số

1 2

Đường thẳng

2

2

mx



2(

m



1)

x

 

4 3

m

  

mx

2

2(

m



1)

x

 

2 3

m



0 (*)

góc bằng 2 . Khi đó ta có:

m

    (*) 2

0

x

2 0

1

Khi đó yêu cầu bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi phương trình (*) có duy nhất một nghiệm âm.

    ( loại) x

1

+ Nếu

m

  

(*)

0

m

 2 3 m

 x    x 

0

+ nếu

 2 3

m

  0

2 3

 m    m 

là những giá trị cần Vậy (*) có duy nhất một nghiệm âm khi và chỉ khi

tìm.

3

2

Câu 46: (VTED_2019_Tiếp tuyến) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để trên đồ thị hàm

y



mx



(

m



1)

x



 (4 3 )

m x



1 (

C

)

m

1 3

d x :

y 2

số tồn tại đúng hai điểm có hoành độ dương mà tiếp

  . 3 0

tuyến tại các điểm đó vuông góc với đường thẳng

0;

;



   ;0

2 3

2 3

  

  

  

  

A. . . B. 

0;



 ;



;



1 2

1 2 ; 2 3

1 2

2 3

  

  

  

  

  

  

  

  

C. . D. .

26 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Tiếp tuyến

Lời giải

2

Chọn C.

 y mx

'



2(

m



1)

x

 

4 3

m

Ta có: .

y

'.

  có đúng hai nghiệm dương phân

1

 1 2

Yêu cầu bài toán tương đương với phương trình

2

2

mx



2(

m



1)

x

 

4 3

m

  

mx

2

2(

m



1)

x

 

2 3

m

 có hai nghiệm dương phân biệt.

0

biệt hay phương trình

0

2

 

' 4

m



4

m

 

1 0

0



m



m

)

2(1

Điều kiện là:



0



m



1 2

1 2 2 3

      

m

P





0

 m  2 3 m

 m      S    

.

0;



1 2

1 2 ; 2 3

  

  

  

  

Vậy là những giá trị cần tìm.



y

C . Điểm A thuộc 

C , tiếp

3 1

Câu 47: (VTED_2019_Tiếp tuyến) Cho hàm số có đồ thị là 

B. 3 điểm.

 x  x tuyến tại A cắt trục hoành tại B và tam giác OAB vuông ( O là gốc tọa độ). Hỏi có tất cả bao nhiêu điểm A như vậy? A. 1 điểm.

D. 2 điểm. C. 4 điểm.

Lời giải

a

2

Chọn B.



1;





0



 C a ,

 a

 A a  

  

a

2

Xét điểm .

d y :

 

x a

  



 1

2 2 a

 a

. Tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm A có phương trình:

 

2 2 a

. Hệ số góc của d là 1 k

A

Tam giác OAB vuông nên chỉ có thể vuông tại O hoặc A .

A thuộc trục tung



y

 

2

x

 . 3



0;3

d 1 :

a

2

0



:OA

TH1: Vuông tại O

k





2

a

 a  

1 0

2  a    a a 1



    1

1

TH2: Vuông tại A  Hệ số góc của đường thẳng

k k . 1

2

a   1      a 2

2  2 a .   2  a a a 1



.

27 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Đề thi thử nghiệm_2018

a

1

       A 2; 1

Với

a

  2

A

 1; 2



Với .

Vậy có 3 điểm A cần tìm.

y



Câu 48: (VTED_2019_Tiếp tuyến) Cho hàm số  1 . Viết phương trình tiếp tuyến của  1



biết tiếp tuyến đó cách đều 2 điểm .

y

 

5

x

 . 1

y

 

5

 A   , 1; 2  . 1

x

 

5

x

 . 3

y

  5

x

 . 3

A. B. D.

 3 x  x 2 1; 0  B C. y

Lời giải

5

y

 

 x m



Chọn A.





2

m  3  m 2

m



2





. Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x m là

A   , 1; 2

B



1; 0 



5

    k



Để tiếp tuyến đó cách đều 2 điểm thì có 2 khả năng:

k TT

AB

2

0 1

m



2

    2     1





(vô nghiệm). Tiếp tuyến đó song song với AB

AB

5



 



m



   m 1

Tiếp tuyến đó qua trung điểm của +)

  2 0 2

  1 1 2

  

  

m



2



2

. đi m  3  m 2

y

 

5

x

 . 1

Vậy tiếp tuyến cần tìm là



y

Câu 49: (VTED_2019_Tiếp tuyến) Cho hàm số (1). Gọi M là điểm thuộc (1) sao cho tam

x 2  x 1 giác IOM cân (với O là gốc tọa độ và I là hình chiếu của M lên trục hoành). Hỏi có bao nhiêu điểm M như vậy? A. 4.

D. 3. C. 1. B. 2 .

Hướng dẫn giải

Chọn B.

1





m

;0  I m

  1 ,

2 m

m  1

 M m ;  

Gọi ta có

IM IO

  1

m

2

2



  m

tại I nên IOM cân khi cân tại I, khi đó , Vì

m 2    m 1

  

0 3

    m    m

 

M

M

3;3

0M  nên

.

   tam giác IOM vuông 2 m  m 1 2  m m  1  1; 1 ,

  m    m   





Chú ý .

M   ta có tiếp tuyến d:

y



x



 1; 1

 1 2

3  . 2

+) Với

d y :



x

3;3M 

 1 2

9  . 2

+) Với ta có tiếp tuyến

28 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Tiếp tuyến

3

y



9

x

 (1). Hỏi có tất cả bao nhiêu tiếp

1

A

Vậy có tất cả hai điểm thỏa mãn. Câu 50: (VTED_2019_Tiếp tuyến) Cho hàm số



2;7

x   B 

và

tuyến của (1) cách đều hai điểm A. 4.

26  x 2;7 . C. 1.

D. 3. B. 2 .

Hướng dẫn giải

D.

M

1

2

Chọn Trung điểm I của AB là điểm I(0;7). Đường thẳng AB có hệ số góc k = 0. Tiếp tuyến d của (1) cách đều AB có 2 khả năng:

y

 ' 3

x



12

x

   9 0

3

M

 1;3 

   3; 1

x    x 

   

+) Nếu d // AB thì .

y



3;

y

  . 1

y

kx

 . 7

Tiếp tuyến cần tìm là

2

2

2

6

x



9

x

  1

x

3

x



12

x



9



7

6

x



9

x

  1

kx



7









2

   k

3 24

x



12

x

  9

k

x  k 2;     x 1, 

x



12

x

  9

k

3   x   2 3  

3   x   3 

+) Nếu d đi qua trung điểm I của AB thì tiếp tuyến có dạng Ta có hệ phương trình

d y : d : y

  x 3  24 x

 

7 7

   

.

y



3;

y

 

1;

y

  3

x



7;

y



24

x

 . 7

Vậy có 4 tiếp tuyến cần tìm là

29 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Tiếp tuyến

NHÓM GIẢI VẬN DỤNG CAO CHUYÊN ĐỀ TIẾP TUYẾN - NĂM HỌC 2017-2018

VTED_2019 MÔN: TOÁN 12

3

2

y



ax



bx





0

Thời gian làm bài 90 phút

  cx d a

C . Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của



Câu 1. Cho hàm số

 

a để tiếp tuyến của 

C tại điểm

x 0

có hệ số góc nhỏ nhất. , có đồ thị  b a 3

0a  .

0a  .

   .

0a

1a  .

3

2

y



ax



bx





0

A. B. C. 1 D. 0

  cx d a

C . Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của



Câu 2. Cho hàm số

 

a để tiếp tuyến của 

C tại điểm

x 0

0a

có hệ số góc lớn nhất. , có đồ thị  b a 3

0a  .

0a  .

   .

1a  .

3

2

y



ax



bx





0

A. B. C. 1 D. 0

,a b c để mọi tiếp

,

  cx d a



C . Tìm điều kiện của

C đều có hệ số góc dương.

0

0

0

Câu 3. Cho hàm số , có đồ thị 

ac 3



0

ac 3



0

ac 3



0

ac 3



0

 a  2 b  

 a  2  b 

 a  2 b  

2

3



0

y





ax

bx



B. . C. . D. . A. . tuyến của   a 0  2 b  

,a b c để mọi tiếp

,



C . Tìm điều kiện của

  cx d a C đều có hệ số góc âm.

0

0

0

.

Câu 4. Cho hàm số , có đồ thị 



ac 3



0



ac 3



0



ac 3



0



ac 3



0

 a  2 b 

 a  2 b 

 a  2 b 



y



y



f

,

1

g

B. . C. . D. A. . tuyến của   a 0  2 b 

  . Biết



Câu 5. Cho hai hàm số và có đạo hàm trên  và

   g x f x tại điểm có hoành độ

 0 thị hàm

     g x x x  của ba đồ 0 0



1

y



,

y



,

y



rằng tiếp tuyến số

  f x

  g x



1

  f x   g x

có cùng hệ số góc và khác 0 . Mệnh đề nào sau đây đúng?

f

 

,

f

  . 1

f

 

,

f

 . 1

  0

  0

  0

  0

3 4

3 4

A. B.

f



,

f

  . 1

f



,

f

 . 1

  0

  0

  0

  0

3 4

3 4

y



;

,

;

C. D.

H . Gọi





 A x y 1 1

 B x y 2

2

Câu 6. Cho hàm số là hai điểm phân biệt thuộc , có đồ thị 

,A B song song với nhau. Tính tổng

S   . x 1

C. D.

 x 1 1  x 2 H tại H sao cho tiếp của   B. A.

S  . 2

S   .

1

S  . 0

;

;

x 2 1S  .

y



H . Gọi







 A x y B x y , 2

1

1

2

1  x  x 2 1

,A B song song với nhau. Tìm độ dài nhỏ nhất của đoạn

H tại

H sao cho tiếp tuyến của   thẳng AB .

Câu 7. Cho hàm số là hai điểm phân biệt thuộc , có đồ thị 

A. 3 2 . B. 3 . C. 6 . D. 2 6 .

1 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

4

y



y

y





2

 f x

Câu 8. Cho hàm số , có đồ thị lần lượt là 

Đề thi thử nghiệm_2018   ,

  ,

  f x

 C . 3

C 2

C 1

 f x



 , 

C tại điểm có hoành độ

 Biết tiếp tuyến của 

  f  

  ,C 1

2

y



2

x



1,

y



6

x

x  có phương trình lần lượt là 0 1

y



12

x

 . 5

 . Tìm phương trình tiếp tuyến của  1   . 3

x 6

y

y

3C tại điểm có hoành độ 12 24

21





y

x

0 1 x  .  . x 9

;

A. C. B. D. .

y



H . Gọi





 1;A x y ,

1

 B x y 2 2

 x 1  x 2 1



H sao cho tiếp tuyến của 

H tại A , B có cùng hệ số góc k . Biết diện tích tam giác OAB

Câu 9. Cho hàm số là hai điểm phân biệt thuộc , có đồ thị 

bằng . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

1 2 k   .

9

    . k

6

    . k

3

   . k

0

y

y

A. B. 9 C. 6 D. 3

3 3 

C . Gọi

 B x





A

B

;B

;A

A

B

 A x C sao cho các tiếp tuyến tại A , B có cung hệ số góc k . Hỏi đường thẳng đi qua hai

Câu 10. Cho hàm số là các điểm với x , x x y  x  có đồ thị  1

 . B.

1

y



k



6

x

 . C.

1

y



6



 . D.

1

y



k



6

x

 . 1





6

y







 k x





 k x



1 3

1 3

1 3

;

y

,

;

y

A. thuộc  điểm A và B là? 1 3

3 3 

C . Gọi

 A x





B

A

A

A

 B x B

B

,A B song song với nhau và

Câu 11. [2D1-3] Cho hàm số với x x là y  x x  có đồ thị  1

C sao cho tiếp tuyến tại

AB  6 37. Tính

B

15

S  

90

S 

S 

90

 2 x x

S   .

3

B. . C. D. . các điểm thuộc   3A S 15 . A.

23 x

C . Trên 

,A B có cùng hệ số góc k và

C có hai điểm phân biệt A và ,O A B thẳng hàng. Mệnh đề nào dưới

,

Câu 12. [2D1-3] Cho hàm số y  x  3  có đồ thị 

.

B sao cho tiếp tuyến tại đây đúng? A. 3

0k   .

k 

12

k  .

8

k  .

3

3

C. 8 D. 4 B. 0

,A B là 2 điểm phân biệt thuộc

C . Gọi

,A B có cùng hệ số góc k . Gọi S là tập hợp tất cả các giá

Câu 13. y  2 x  , có đồ thị  1

23  [2D1-3] Cho hàm số x x  C tại C sao cho tiếp tuyến của   trị của k để AB 

6.

Tính tổng các phần tử của S .

13 2

D. . C. 9 . A. 3 . B. 230 .

3

2

Câu 14. [1D5-2.3-3] Gọi d là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị hàm số

y



x



4

x



9

x



11

2 3

M

P

. Hỏi đường thẳng d đi qua điểm nào dưới đây?

P

P

2;

2 3

2 3

5 3

5 3

  5; 

  

  5; 

  

  2; 

  

  

  

y



A. . B. . C. . D. .

 f x



1C , 

2C , 

y



y



f

Câu 15. [1D5-2.3-3] Cho hàm số



y

 f x



 f x



3C lần lượt là đồ 2C tại 1C , 



 f x

  . Các tiếp tuyến của  2 1

thị của các hàm số , , có đạo hàm trên  . Gọi  

2 | VD_VDC

Chuyên đề_Tiếp tuyến

y

x 2

 , 1

y

x 4

3

 . Hỏi tiếp tuyến của 

điểm 2 x  có phương trình lần lượt là 0

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18 3C tại

P

 M 

 N  

 2; 21



  2; 21

y



A. B. . . C. . D. . điểm  Q  x  đi qua điểm nào dưới đây? 0  2;11 2  2; 11

y



y



  f x

1C , 

2C ,

 f x

2

  f x 2  f x



Câu 16. [2D1-3] Cho các hàm số , , có đồ thị lần lượt là 

3C . Hệ số góc các tiếp tuyến của 

1C , 

3C tại điểm có hoành độ

x  lần lượt là 0 1

2C ,   1f

1k ,

2k ,

2

3

f

.  2 k  k 3  . Tính 0 k 3k thỏa mãn 1

f

f

f

  1

  1

  1

  1

2   . 5

1   . 5

3   . 5

4   . 5

A. B. C. D.

y



C . Gọi

,A B là hai điểm phân biệt thuộc 

C và

x x

 

2 1

,Ox Oy lần

,A B song song với nhau và đường thẳng AB cắt các trục

Câu 17. [2D1-3] Cho hàm số có đồ thị 

C tại

tiếp tuyến của 

,M N sao cho diện tích tam giác OMN bằng

1 4

MN 

lượt tại . Tính độ dài MN .

MN 

MN 

3 5 2

10 2

5 2

3

y



x



26 x



9

x



3

C

.

A. MN  10 . B. . C. . D. .





Câu 18. Cho hàm số Tồn tại hai tiếp tuyến của 

C phân biệt và có cùng hệ ,Ox Oy . Hỏi có bao nhiêu giá trị của k thỏa mãn yêu cầu bài

OA



2018.

OB

,A B sao cho

số góc k , đồng thời đường thẳng đi qua các tiếp điểm của hai tiếp tuyến đó cắt các trục

4

y



x



,A B C sao cho tiếp

,

 22 x C



B. 3 . lần lượt tại toán? A. 0 . C. 2 . D. 1.

C có ba điểm phân biệt

,A B C có cùng hệ số góc k . Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của k .

,

. Trên đồ thị 

C tại





Câu 19. Cho hàm số tuyến của 

8 3 8 3 ; 2

2

8 3 8 3 ; 9

9

8 8 ; 3 3

  

  

   

   

   

   

4

A. . B. . C. . D.  1 1 ;  3 3    

22 x

)C . Trên 

C có ba điểm A, B, C sao cho tiếp tuyến của

Câu 20. Cho hàm số y  x  có đồ thị (



C tại A, B, C có cùng hệ số góc k . Biết rằng đỉnh I của parabol 

P có hoành độ là

1 6

. Tìm

tung độ của I.

.



.

.



.

Iy 

Iy

Iy 

Iy

1 36

 4 3

1 6

 1 6

3

A B. C. D.

23 x

C . Gọi A, B là hai điểm thuộc 

C sao cho tiếp tuyến C tại A, B song song với nhau và đường thẳng AB có hệ số góc dương và tạo với hai

Câu 21. Cho hàm số y x   2  có đồ thị 

B

của  trục toạn độ tam giác vuông cân. Tính S  ? x x .A

S   3.

S   1.

  2.

S  2.

A B. D. C. S

3 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Đề thi thử nghiệm_2018

y



C . Gọi A , B là hai điểm thuộc 

C sao cho tiếp tuyến của

x x

 

1 1

Câu 22. Cho hàm số có đồ thị 

2; 3M  

C tại A , B song song với nhau. Tìm khoảng cách lớn nhất từ điểm  thẳng AB .

đến đường

3 2

3

B. . C. 3 2 . D. 11 . A. 13 .

C . Hai điểm A , B phân biệt trên 

C có hoành

a b

AB  .

2

Câu 23. Cho hàm số x y    2

C tại A và B song song với nhau,

b 3

 có đồ thị  1 và tiếp tuyến của  x 

.

B. C. D.

23 x độ lần lượt là a và b  S   a 2 Tính S  . 4 A.

S  . 6

S  . 7

8S  .

3

2

B A

Câu 24. Cho hàm số y  2 x  3 x  có đồ thị  1

C . Xét điểm A thuộc  C tại A cắt 

C . Gọi S là tập hợp tất cả 

C tại điểm thứ hai B 

các giá trị thực của a sao cho tiếp tuyến của 

,a b lần lượt là hoành độ của A và B . Tính tổng các phần tử của

a b   , trong đó .

1 2

S .

thỏa mãn

5 4

3  . 4

5  . 4

3 4

A. . B. C. D. .

2

3

Câu 25. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để trên đồ thị hàm số

;

;

y

 

(

x

x









m

m

1)

(3

 tồn tại hai điểm

2)

x

 M x y M x y ,







1

1

1

2

2

2

5 3

có tọa độ thỏa

x

y 2

2 3 x x  sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại hai điểm đó cùng vuông góc với đường thẳng 2. 1   .Tìm số nguyên âm lớn nhất thuộc tập S . 1 0

mãn 0

4

2

B. 3 . A. 1 . C. 2 . D. 4 .

)C sao cho tiếp tuyến của (

)C tại A







3

y

x

x

1 2

AC



3A

B

( Câu 26. Gọi A là điểm thuộc đồ thị hàm số

5 2 )C tại hai điểm phân biệt B ; C khác A thỏa mãn

( với B nằm giữa A ; C ). Tính cắt (

độ dài đoạn thẳng OA.

OA 

2

OA  .

OA 

OA 

3 2

14 2

17 2

3

2

C

C

A. . B. C. D. . .

1A là điểm trên 

x  . Tiếp 1

C

C

C

Câu 27. Cho hàm số . có hoành độ y  2 x  3 x  có đồ thị là  1

2A khác

1A , tiếp tuyến của 

5 2 C 2A cắt 

1A cắt 

C

tại tại tuyến của 

1nA  cắt 

nA có hoành độ

nx khác

1nA 

tại tại tại điểm tại C 2A , …, tiếp tuyến của 



2018x

2018

2018

2017

2017

điểm 3A khác  n  4;5;... .Tìm .

  2

  2

 . C.

 

3.2

 . D.



3.2

x 2018

x 2018

x 2018

x 2018

1  . 2

1 2

1  . 2

1 2

A. B.

4 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Tiếp tuyến



y

C . Tiếp tuyến của 

C cắt hai tiệm cận của 

C tại A và

 x 3 2  2 x

B và khoảng cách giữa A và B là nhỏ nhất. Tính AB .

Câu 28. Cho hàm số có đồ thị 

AB 

4 3

AB 

2 6

AB  .

4



A. . B. C. . D. . AB  2 2

y

C và điểm  I

1; 2

C cắt hai tiệm cận của

 x 1 2  1 x

Câu 29. Cho hàm số có đồ thị  . Tiếp tuyến của 



a

2

b

,a b là các số

với

C tại A và B sao cho tam giác IAB có chu vi nhỏ nhất là 4  nguyên dương. Tính S a b A.

  . B.

8S  .

5S  .

9S  .

7S  .

4

C. D.



x

 có đồ thị  3

C . Tiếp tuyến của 

C tại điểm A cắt đồ thị 

C tại

Câu 30. Cho hàm số



 S bc

9

a

,a b c lần ,

,B C A

22x y  ,B C  lượt là hoành độ các điểm

,A B C .

,



hai điểm . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức trong đó

35 4

3  . 2

B. . C. . A. 6 3 2 . D. 2 3 3  

y



C . Gọi I là giao điểm hai tiệm cận của 

C . Tính khoảng

x 1  x 2  3 cách lớn nhất từ I đến tiếp tuyến của 

C .

Câu 31. Cho hàm số có đồ thị 

10 2

2 2

3

2

A. B. C. 5 D. 2 .

C . Xét điểm

C . Tiếp

1A có hoành độ

1

1 x  thuộc 

2x . Tiếp tuyến tại

2A cắt

 có đồ thị  1 C tại điểm thứ hai 3 x 2 y  x  1A cắt  C tại A 2 A 1

1nA 

có hoành độ A 2

C tại 1005

nx 

có hoành độ  A 3 C tại điểm thứ hai A n

2

3

f

Câu 32. Cho hàm số tuyến của   C tại điểm thứ hai cắt  A. 235 A  1 n B. 234 có hoành độ 3x . Cứ tiếp tục như thế tiếp tuyến của  nx . Tìm giá trị nhỏ nhất của n để D. 117 . C. 118

  f x có đạo hàm

  x

  1 2



  1 3



y



Câu 33. Cho hàm số trên  thoả mãn f x   x f x         . Tiếp

1x  là

  f x

tuyến với đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ

y

y

 

x

y

 

x



y

 

x



1 x 5

6  5

1 5

4  5

1 13

1 13

1 13

12 13

2

3

y



f

A. B. C. D. .

 f x



  x

  1 2



  1 3



y



Câu 34. Cho hàm số có đạo hàm trên  thỏa mãn f x   x f x        . 

1x  là

 f x



Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ

y

y

 

x

y

 

x



y

 

x



1 x 5

6  . 5

1 5

4  . 5

1 13

1 13

1 13

12 13

4

A. B. C. D. . .

C của hàm số

 2 y Câu 35. Gọi A là điểm thuộc đồ thị 

23 x x  C tại A cắt  bao nhiêu số nguyên a sao cho tiếp tuyến của  biệt

.A

,B C khác

 và có hoành độ a . Có C tại hai điểm phân

A. 1 B. 3 D. 5 C. 2

5 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Đề thi thử nghiệm_2018

y



C .Hai điểm phân biệt

,A B của 

C trong đó hoành độ của

x  1   x 2

,A B song song với nhau và diện tích tam giác OAB bằng

C tại

A âm sao cho tiếp tuyến của  .OA 1. Tính độ dài đoạn thẳng

OA 

.

Câu 36. Cho hàm số có đồ thị 

OA  1.

OA 

OA 

.

.

1 2

89 2

89 2

3

y

f

A. B. C. D.

    với mọi x

1

2

3

x

  f x

  x

 f x

x   . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ

 1 x  là 3

Câu 37. Cho hàm số có đạo hàm trên  thỏa mãn

y

y

y

x  .

3

y

   . x

2 x 9

21  . 9

2 x 9

39  . 9

2 9

33 9

52 9

A. B. C. D.

3   x

1A có hoành độ

1

Câu 38. Cho hàm số 1 y 2018 x có đồ thị  C . Xét điểm x  thuộc  C . Tiếp

y . Tiếp tuyến của  C



;x 2

2

1A cắt  C tại điểm thứ hia

1

tuyến của  C tại A có tọa độ  A 2



;x 3

y . Cứ tiếp tục như thế, tiếp tuyến của 3

2A cắt  C tại điểm thứ hai

2

,n biết

 C tại

tại A tọa độ  A 3



x ;n

y . Tìm n

1nA  cắt  C tại điểm thứ hai

n

1

2019

2018

2

 . 0

x n

y  n

có tọa độ  A  A n

(

), (

C

), (

)

A. 2018 . B. 2019 . C. 674 . D. 673 .

C lần lượt là đồ thị của

y



f x ( )

C 1

2

3

2

3

Câu 39. [1D1-3] Cho hàm số có đạo hàm trên  . Gọi

f

(1) 1

 và tổng hệ số góc của hai tiếp

các hàm số y  f x y ( ),  f x ( ), y  f x ( ) . Biết

tuyến tại

1x  của

1

2

3

điểm có hoành độ ( ),( ) ( )C tại C C bằng 3 . Phương trình tiếp tuyến của

điểm có

1x  là

hoành độ

y

x   2

y

 

3

x

 2

y

x   1

y

 

3

x

 4

4

A. B. C. D.

23 x

)C của hàm số

Câu 40. y  x   và có hoành độ a . Có 2

,B C

[2D1-3] Gọi A là điểm thược đồ thị ( bao

)C tại A cắt (

)C tại hai điểm phân biệt

nhiêu số nguyên a sao cho tiếp tuyến của (

khác A và

diện tích tam giác OBC bằng 2 3

4

A. 1 C. 2 B. 3 D. 5

23 x

,A B là hai điểm phân biệt thuộc đồ thị 

C của hàm số

Câu 41. Gọi   2 y x

 sao cho tiếp C tại A và B song song với nhau. Khi khoảng cách giữa A và B lớn nhất, tính

tuyến của  độ dài đoạn thẳng AB .

3 3 2

35 2

3 2

A. . B. . C. . D. 6 .

6 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Tiếp tuyến

y



C . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của m sao cho

1 2

 

2

x m  cắt tiệm cận đứng tại



 1;A x y , cắt tiệm

1

;

Câu 42. Cho hàm số có đồ thị 



x x C tại điểm có hoành độ tiếp tuyến của   B x y 2 2

cận ngang tại thỏa mãn   . Tính tổng các phần tử của S . 5 y 1 x 2

A. 4 . B. 2 . C. 4 . D. 2 .

y



C .Gọi

,A B là hai điểm nằm trên hai nhánh của 

C và các

,A B cắt các đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng lần lượt tại các

 x 1 x  1 C tại

Câu 43. Cho hàm số có đồ thị 

,P Q . Diện tích tứ giác MNPQ nhỏ nhất bằng

tiếp tuyến của  ,M N và cặp

4

3

2

A. 16. B. 32 . C. 8 . D. 4 .

y



x



x



6

x

7

 có đồ thị 

C . Số giá trị nguyên của tham số m để có ít

1 2

Câu 44. Cho hàm số

:d y mx

là

nhất hai tiếp tuyến của  A. 27 .

C song song với đường thẳng C. 26 . B. 28 .

4

3

2

D. 25 .

y



x



x



6

x

7

 có đồ thị 

C . Số giá trị nguyên của tham số m để có ít

1 2

Câu 45. Cho hàm số

:d y mx

nhất hai tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng là

4

3

A. 27 . C. 26 . B. 28 . D. 25 .

y



x



x



6

x

7

 có đồ thị 

C . Số giá trị nguyên của tham số m để có ba tiếp

1 2

:d y mx

Câu 46. Cho hàm số

y



tuyến của (C) song song với đường thẳng A. 27 . B. 28 . là C. 26 . D. 25 .

C :

C song song với nhau.

1

2

và Câu 47. Cho đồ thị hàm số ,d d là hai tiếp tuyến của 

 1 x 2 x ,d d là 1 2

Khoảng cách lớn nhất giữa

B. 2 3. D. 2 2. A. 3. C. 2.

,A B là hai

y



C . Gọi

x  1 3  1 x

,A B

Câu 48. Cho hàm số có đồ thị 

C sao cho tiếp tuyến của

C tại

điểm thuộc 

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Đề thi thử nghiệm_2018 C tại

song song với nhau. Các tiếp tuyến này lần lượt cắt tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của ,M N ( tham khảo hình vẽ ). Tứ giác MNBA có chu vi nhỏ nhất bằng A. 16 . B. 12 .

C. 20 . D. 24 .

,

    f x g x đều

3

2

2

f

2



x



2

f

x





36

x

 , với mọi x   . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ

0







  x g x



Câu 49. Cho hai hàm số có đạo hàm thỏa mãn trên  và

x  . 2

y



2 3    f x

thị hàm số tại điểm có hoành độ

y

  2

x

 . 3

x  .

x .

y

x 2

 . 3

B. C. A. y D. y



,d d là hai tiếp tuyến của 

C song song với nhau. Khoảng cách

 C y :

1

2

và Câu 50. Cho đồ thị 

1d và

x  3 1  1 x 2d là:

lớn nhất giữa

D. 2 2 . A. 4 2 . B. 4 . C. 2 .

----------HẾT----------

8 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Tiếp tuyến

NHÓM GIẢI VẬN DỤNG CAO CHUYÊN ĐỀ TIẾP TUYẾN - NĂM HỌC 2017-2018

VTED_2019 MÔN: TOÁN 12

Thời gian làm bài 90 phút

Đề đã thay đổi thứ tự câu (sắp xếp theo độ khó tăng dần) so với đề gốc

BẢNG ĐÁP ÁN THAM KHẢO

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

3

2

y



ax



bx





0

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1: Cho hàm số

  cx d a

C . Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của



 

a để tiếp tuyến của 

C tại điểm

x 0

0a

có hệ số góc nhỏ nhất. , có đồ thị  b a 3

0a  .

0a  .

   .

1a  .

A. B. C. 1 D. 0

Lời giải

Chọn B

C tại điểm bất kỳ là:

2

2

2

Hệ số góc tiếp tuyến của 

y

 ' 3

ax



bx 2

  c



  c

b a 3

b a 3

 a x 3  

  

2

y

'

  c

.

0a  thì

b a 3

2

c



Với .

0a  thì

'y đạt giá trị nhỏ nhất bằng

x

 

b a 3

b a 3

Hay với , đạt được khi .

 

0a  tiếp tuyến của 

C tại điểm

x 0

b a 3

3

2

y



ax



bx





0

Vậy với có hệ số góc nhỏ nhất.

  cx d a

C . Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của



Câu 2: Cho hàm số

 

a để tiếp tuyến của 

C tại điểm

x 0

0a

có hệ số góc lớn nhất. , có đồ thị  b a 3

0a  .

0a  .

   .

1a  .

A. B. C. 1 D. 0

Lời giải

Chọn A

9 | VD_VDC

Đề thi thử nghiệm_2018

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18 Hệ số góc tiếp tuyến của 

C tại điểm bất kỳ là:

2

2

2

y

 ' 3

ax



bx 2

  c



  c

b a 3

b a 3

 a x 3  

  

2

.

0a  thì

y

'

  c

b a 3

2

Với .

c



0a  thì

x

 

'y đạt giá trị lớn nhất bằng

b a 3

b a 3

Hay với , đạt được khi .

 

0a  tiếp tuyến của 

C tại điểm

x 0

b a 3

Vậy với có hệ số góc lớn nhất.

2

3

y





bx

ax

,a b c để mọi tiếp

,

  cx d a



.

C . Tìm điều kiện của

, có đồ thị 

 0  C đều có hệ số góc dương.

0

0

0

0

Câu 3. Cho hàm số tuyến của 

ac 3



0

ac 3



0

ac 3



0

ac 3



0

 a  2 b  

 a  2 b  

 a  2  b 

 a  2 b  

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

23 ax

y

     x

0,

Ta có y    bx 2  . c

C đều có hệ số góc dương thì

0

Để mọi tiếp tuyến của 

 a 2



ac 3



0

  b 

2

3

y





bx

ax





0

.

,a b c để mọi tiếp

,



C . Tìm điều kiện của

  cx d a C đều có hệ số góc âm.

Câu 4. Cho hàm số , có đồ thị 

0

0

0

0

.

tuyến của 

ac 3



0

ac 3



0

ac 3



0

ac 3



0

 a  2 b  

 a  2 b  

 a  2  b 

 a  2 b  

A. . B. . C. . D.

Lời giải

Chọn B

23 ax

y

     x

0,

Ta có y    bx 2  . c

C đều có hệ số góc dương thì

0

Để mọi tiếp tuyến của 

ac 3



0

 a   2 b  

.

10 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Tiếp tuyến







y

y

f

,

g

1

  . Biết

 f x



  x

 0

 g x rằng tiếp tuyến tại điểm có hoành độ

Câu 5: Cho hai hàm số và có đạo hàm trên  và

    g x x  của ba đồ thị hàm số 0



1

y



,

y



,

y



0

  f x

  g x



1

  f x   g x

có cùng hệ số góc và khác 0 . Mệnh đề nào sau đây đúng ?

f

 

,

f

  .

1

f

 

,

f

 . 1

  0

  0

  0

  0

3 4

3 4

A. B.

f



,

f

  . 1

f



,

f

 . 1

  0

  0

  0

  0

3 4

3 4

C. D.

Lời giải

Chọn A



1

  f x



 1

y





1

  f x   g x

  f x   g x

   1   g x

     x g x 

   g x 2 1

 f  Xét , ta có: . y           1   1 



1

y



,

y



,



y

Do tiếp tuyến có hoành độ của ba đồ thị hàm số x  0 0

  f x

  g x



1



f











x 0

 g x 0

 f x 0





 1



có cùng hệ số góc và khác 0 , nên ta có: tại điểm   f x   g x

f







0







x 0

 g x 0



   1   g x 0

 

  g x 0 2  1

2

suy ra

2      t















 g x 0

 f x 0

 g x 0

 f x 0

 g x 0

 g x 0

 g x 0



2    1





2    

t

t

1,

t

0

     1 t 1, t   . 0

 ta có

  h t

       .

1 0

t 2

t

   h t

1 2

Xét hàm số







1

t

1 2





  h t



0 3 4

1

 h t





Bảng biến thiên:

f

 

,

f

  0

  0

  . 1

3 4

Từ bảng biến thiên ta có

Nhận xét: Đề lỗi, mình đã sửa lại cho đúng.

11 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Đề thi thử nghiệm_2018

y



;

,

;

H . Gọi





 A x y 1 1

 B x y 2

2

Câu 6: Cho hàm số là hai điểm phân biệt thuộc , có đồ thị 

,A B song song với nhau. Tính tổng

S   . x 1

D.

1  x  x 2 1 H sao cho tiếp của   A.

H tại B.

S   . 1

S  . 0

S  . 2

x 2 1S  .



3

C. Lời giải Chọn D

y

 



1  x  x 2 1

  

   

2

x





2 1

,A B song song với nhau, nên ta có:

Ta có .

H tại

Do tiếp của 

2

   2

 1



2    1

2

2

  KTM   1 TM



 1



 1

;

;

  1 2  1 2  x 1 x 2  3  3 .   2 x 1 x 2 2    1  1   2  2  x 1 x 1 x 2 x 2 2 x 1 x 2    x 1 x 2    

y



H . Gọi







 A x y B x y , 2

1

2

1

 x 1  x 2 1

,A B song song với nhau. Tìm độ dài nhỏ nhất của đoạn

H tại

H sao cho tiếp tuyến của   thẳng AB .

Câu 7. Cho hàm số là hai điểm phân biệt thuộc , có đồ thị 

B. 3 . C. 6 . D. 2 6 . A. 3 2 .

Lời giải

 3

 3

 3

Chọn C

y

'













 y x ' 1

 y x ' 2

2

2

2

x



2



2



x  x 1 2     x x  1 2



 1



 1



2 1

x 1

x 2

Ta có suy ra

,A B phân biệt nên suy ra

A

a



;

,

B



a



;

Vì x  . x 1

 suy ra

x 1

2  3 a 2 a

1 2

1 2

1 2

1 2

 3 a 2 a

1 2

  

  

  

  

Đặt .

I

1 a 2 1 1 ; 2 2

  

  



x

 

1 2

x

2

I

Gọi là giao điểm của đường tiệm cận.



x

 

1 2

x

x 1 x 1

2

I

  

2

2

 IA



  IA





2



2

2

a 3 ; a 2 2

a 4

9 a 4

a 9 . a 4 4

3 2

  

  

Dễ thấy rằng nên I là trung điểm của AB .

AB

IA 2



2



6

4

y



. Vì I là trung điểm của AB nên

y

y





2

 f x

  ,

  ,

  f x

C 1

C 2

 C . 3



3 2  f x

 , 

C tại điểm có hoành độ

 Biết tiếp tuyến của 

  f  

  ,C 1

2

Câu 8. Cho hàm số , có đồ thị lần lượt là 

y



2

x



1,

y



6

x

 . Tìm phương trình tiếp tuyến của  1

3C tại điểm có hoành độ

x  có phương trình lần lượt là 0 1

x  . 0 1

y



12

x

 . 5

y

x 6

 . 3

y



24

x



21

y



12

x

 . 9

A. B. C. . D.

Lời giải

12 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Tiếp tuyến

1C tại

f



1

Chọn A Tiếp tuyến của  x  là: 0 1

y

 f

x

f



2

x

1

  1

   1

  1

f



3

   1   1

    

.

2C tại

f



3





Tiếp tuyến của  x  là: 0 1

y



f

f

f

x

f

f



6

x

1

  1 .

  1

   1

  1









f

7

   3    3

    



y



4

f

x

f



12

x

 . 5

.

  3

   1

  3

3C tại

;

Tiếp tuyến của  x  là: 0 1

y



H . Gọi





 1;A x y ,

1

 B x y 2 2

 x 1  x 2 1



H sao cho tiếp tuyến của 

H tại A , B có cùng hệ số góc k . Biết diện tích tam giác OAB

Câu 9: Cho hàm số là hai điểm phân biệt thuộc , có đồ thị 

bằng . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

    . k

6

    . k

3

   . k

0

1 2 k   .

9



A. B. 9 C. 6 D. 3 Lời giải Chọn D

D



\

1     2  

3

;

;

,A B C

TXĐ: .

k

 y

 





2

x



x 1 x 2 1

x 2 x 2 2

 A x   1 

 1   1 

 B x   2 

 1   1 



2 1

ktm



x 2

Ta có . Và ;



 

2



2





 

1

  x 1 x 1

x 2

3 2 x 1

3 2 x 2



 1



 1

  

. Tiếp tuyến tại A , B có cung hệ số góc k nên ta có

I

1 1 ; 2 2

  

  

của hai Vì tiếp tuyến tại A , B song song với nhau nên hai điểm A , B nhận giao điểm

đường tiệm cận làm tâm đối xứng.

1

2

1

 IA

;





k

 1;



2

 x 1 2

 x 12 2

  

  

 2 2

3 x 1



 1

    

1 2 3 Ta có  1; .  x 1 2    2  x 1          

I

  n k

;1

    1  1 1 ; 2 2

  

  

k

1

kx

  y

 . 0

 2

k

1

k



1

và có vectơ pháp tuyến có phương trình là Đường thẳng IA đi qua

d O IA ,









 2 2

2

k



1

2

k



1

2

2



3

k



2

3



 1

 1



Vậy

k  ). 0

 





k



 IA









2

 x 1 4

3 4

3 k 4

4

k



3  4 2

 1

x 1

2

3

k



k



1

k



1 3



 1



.2

, (với

S



d O IA AB

,

.



d O IA ,

.2

IA













OAB

2

1 2

1 2

1 2

1 2

 4

k



4

k

2

k



1

Vậy .

13 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Đề thi thử nghiệm_2018

k



1 3

k

 

23   k

10

k

 

3 0







S

OAB

1 2

1 2

1 2

 4

k

k

 

1 3 3

   

y

y

k Mà    k 1 (thỏa mãn  4 3

k  ). 0 Vậy chọn D Câu 10: Cho hàm số

3 3 

C . Gọi

 B x





B

;B

;A

B

A

 A x là các điểm C sao cho các tiếp tuyến tại A , B có cung hệ số góc k . Hỏi đường thẳng đi qua hai

x , y x  x  có đồ thị  1 x với A





6

y

 . 1

y



k



6

x

 . C.

1

y



6



 . D.

1

y



k



6

x

 . 1

 k x







 k x







1 3

1 3

1 3

A. B. thuộc  điểm A và B là? 1 3 Lời giải

23 x

ktm

x



x





A

Chọn D Ta có k  y   . 3

3

x

 

3 3

x



3

2 A

2 B

x

B   x

A

B

;



x

x 3

;



3

x

. Vì tiếp tuyến tại A , B có cung hệ số góc k nên ta có

3 A

    3 A

A

A

A

  , 1

  B x

  . 1

Mặt khác ta có A , B thuộc 

 AB



x



x

x

x

2

3

6



  1;

3 A

A

A

2 A

  



 A x x A 

2 A

Ta có . Khi đó đường thẳng AB đi qua A và có





3

x

x

x

2 ; 2 x A   x n 



y

y



0









2 A

A

3 A

A

2 A

A

A



 1



3

x

  y

x



3

x

  y

1 0

 





3

x

x

x



3

x



1

  y

k



6

x

 (vì

1





2 A

3 A

3 A

A

A

2 A

   x



C nên ta có    có phương trình là   3; 1      x 



1 3

k

3

  3 x x y  x  3 x   0 vectơ pháp tuyến  

k



3

x

  

3

x

2 A

2 A

 3

).

y



k



6

x

 . 1





;

y

,

;

y

Vậy đường thẳng đi qua hai điểm A , B có phương trình là:

3 3 

C . Gọi

 A x



1 3 

B

A

 B x B

B

A

,A B song song với nhau và

Câu 11. [2D1-3] Cho hàm số x là y  x x  có đồ thị  1 x với A

C sao cho tiếp tuyến tại

AB  6 37. Tính

B

S 

90

 2 x x

S 

S   .

15

S  

90

A. B. . D. . các điểm thuộc   3A S 15 . C. Lời giải

2

2



3 3

 



Chọn A  

    do A x

B

A

B

A

A

3

3

x

b 3





2

2

2

3

3

2

4

2

Gọi

    1 ,    a b



23  Ta có 3 x y ,A B song song với nhau Tiếp tuyến tại      x 3 y x y x x x B B   C , khi đó  thuộc  a 3 A a a , 1     a  a 3 36.37

3 x  , B b b  

 9 4



1332 AB b 3     b a a  12 a  148     3 0 a

B

A

3

Do a b     S 2 x  3 x  15 3   3  a  b 

23 x

C . Trên 

,

,A B có cùng hệ số góc k và

C có hai điểm phân biệt A và ,O A B thẳng hàng. Mệnh đề nào dưới

Câu 12. [2D1-3] Cho hàm số y  x  3  có đồ thị 

k 

12

k  .

8

. C. 8 D. 4

B sao cho tiếp tuyến tại đây đúng? A. 3

0k   .

k  .

3

B. 0

14 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Tiếp tuyến

Lời giải

2

2

6

3

k

x

6

x k

  (*) 0

  k k 9 3

   x   3 x     k 3 0

k

9

9

k

2

2

  

9

k

k



9

x

  k

9

kx

















6

3

3

6

3

6

x

x

x

y

x

x

k

  y

x







Chọn C







 3

 3

k

9

Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình y     Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt Khi đó ta biến đổi  k x

,

,O A B thẳng hàng

   k

9

0



3

Do

,A B là 2 điểm phân biệt thuộc

C . Gọi

,A B có cùng hệ số góc k . Gọi S là tập hợp tất cả các giá

 3 23 x  2  C tại C sao cho tiếp tuyến của   trị của k để AB 

6.

Câu 13. [2D1-3] Cho hàm số x  y x  , có đồ thị  1

Tính tổng các phần tử của S .

13 2

D. . C. 9 . A. 3 . B. 230 .

2

2

k

   

  x 3

6

3

2

6

x

x

x

k



k

0

2    (*)    

    k 1



Lời giải

2

  

1

k

k



2

x

 

1

k

Chọn Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình   k 0 y  9 3 2

  2

kx













3

2

3

6

6

x

k

x

x

x

y











k

2

 k x k

  y

x



 3 k

2

k

k

2

k

Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt Khi đó ta biến đổi 2   x 2 3

,

a



,

,

b



C , khi đó

 3

  1 3   1 3

 3

  1 3

 A a  

  

 B b  

  

2

2

2

2

2

AB

  

a b

36



 a b



36









 k  3 

  

2

k

k





13

2

3



  

36

4

k

12

k



k 36



   920 0 *

 4 4 3

k 4 9

  

     

2

2

   k

k

2

2

 a b



 a b



4

ab



2



4.



Gọi thuộc 







 3 6.7347

k 

 4 4 3 .

với 

Phương trình  * có 1 nghiệm xấu Không có đáp án.

3

2

[1D5-2.3-3] Gọi d là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị hàm số



y

x



4

x



9

x



11

M

P

. Hỏi đường thẳng d đi qua điểm nào dưới đây? Câu 14: 2 3

P

P

2;

2 3

2 3

5 3

5 3

  5; 

  

  5; 

  

  2; 

  

  

  

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B.

22 x

y

 

4

x

 8

Ta có y    8 x  , 9

U

11 3

  2; 

  

. Tiếp tuyến d có hệ số góc nhỏ nhất là tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị hàm số

15 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Đề thi thử nghiệm_2018

d y :

 y

x



2

x   y

  2

 11  3

17 3

P

Phương trình

2 3

  5; 

  

y



. Dễ có d đi qua điểm

 f x

2C , 

y



y



f

Câu 15: [1D5-2.3-3] Cho hàm số



y

 f x



 f x





thị của các hàm số , ,

x 4

x 2

 , 1

3

y

1C ,    . Các tiếp tuyến của  2 1  . Hỏi tiếp tuyến của 

3C lần lượt là đồ 1C ,  2C tại 3C tại điểm

điểm 2 có đạo hàm trên  . Gọi     f x y x  có phương trình lần lượt là 0

2 x  đi qua điểm nào dưới đây? 0

 Q 

 2; 11

 M 

 2;11

 N  

 2; 21

 P 

 2; 21

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

1C tại điểm có hoành độ





2



f



f



2

f



f

y

 f



x

1x



2



  2

  2

  2

2 Chọn C. Phương trình tiếp tuyến với đồ thị  x  có dạng 0

  2     2 2     2 f 2

  2 x    f 2   2

  2

f  2    f  5 f  1          

2C tại điểm có hoành độ







y



f

f

f

x



2



f

f



2

f

x



2



f

  2

  2



  2

  5



  5















f

x



2

f



f

4

 3x

  5

  5

  5

2 Tương tự phương trình tiếp tuyến với đồ thị  x  có dạng 0

  5   2 f

   5   5

  5

 f f  2    f  11 f  3  4   5          





10







2

x

f

f

 5x

8

y



2



x



2





  5

  5





x f 0

2 x 0



 1

 2 f x 0

3C tại điểm có hoành độ  1

2 Phương trình tiếp tuyến với đồ thị  x  có dạng 0

 N  

 2; 21

y



y



Dễ có tiếp tuyến này đi qua điểm .

y



 f x



1C , 

2C ,

 f x

2

  f x 2  f x



3C . Hệ số góc các tiếp tuyến của 

1C , 

3C tại điểm có hoành độ

Câu 16: [2D1-3] Cho các hàm số , , có đồ thị lần lượt là 

x  lần lượt là 0 1

2C ,   1f

1k ,

2k ,

3k thỏa mãn 1 k

2

3

f

.  2 k  k 3  . Tính 0

f

f

f

  1

  1

  1

  1

2   . 5

1   . 5

3   . 5

4   . 5

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn C.

16 | VD_VDC

Chuyên đề_Tiếp tuyến

2

2





  y

x f 2 .



y

x

, Ta có

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18 

 f x





2

2

  f x

   x f x .





f 

k



2

f 

  1

  1

k 1

2

2

2

 f





f

f

f

f

  f x   2 f x   1 .

  1 .

  1

  f x .   , ,   y y  x

k



 

3

 2

f

  1 f

f 2   1

3



f 



2

k

5

f

 



f

. x f 2 .      1   1

 ). 0

 1

  1

  1

k 1

2

  k 3 3

f f

3   (do 5

   1   1

Do đó

y



C . Gọi

,A B là hai điểm phân biệt thuộc 

C và

x x

 

2 1

,A B song song với nhau và đường thẳng AB cắt các trục

,Ox Oy lần

Câu 17: [2D1-3] Cho hàm số có đồ thị 

C tại

tiếp tuyến của 

,M N sao cho diện tích tam giác OMN bằng

1 4

MN 

lượt tại . Tính độ dài MN .

MN 

MN 

5 2

3 5 2

10 2

A. . B. . C. . D. . MN  10

Lời giải



3

;

;

Chọn B.

y

 







 A x y B x y , 2

2

1

1

x



2 1



2

2





  

 . 2





 1



 1

  y x 1

 y x 2

   x 1

x 2

x 1

x 2

I

Ta có gọi . Khi đó ,

1;1 

AB y :



1

. Do đó trung điểm của đoạn thẳng AB là

 k x

   . 1

2

k



2

1



 1

S



k

  k

Gọi hệ số góc của đường thẳng AB là k . Khi đó

M

N

0;1



k

   2

 1







OMN

2

k

 k  k 

 ;0 ,  

 k    k 

2 1 2

k

2



2

Do đó . Suy ra .

MN



k







k



MN





 1

2  1 2 k

1 2

1 k 2

5   4

5 2

3

y



x



26 x



9

x



3

C

.

.





Câu 18. Cho hàm số Tồn tại hai tiếp tuyến của 

OA



2018.

OB

C phân biệt và có cùng hệ ,Ox Oy . Hỏi có bao nhiêu giá trị của k thỏa mãn yêu cầu bài

số góc k , đồng thời đường thẳng đi qua các tiếp điểm của hai tiếp tuyến đó cắt các trục

,A B sao cho

lần lượt tại

toán?

A. 0 . B. 3 . C. 2 . D. 1.

Lời giải

Chọn B

17 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Đề thi thử nghiệm_2018

3

2

2



y



x



6

x



9

x

  

3

y

3

x



12

x

  

9

y

y

 .

x





2

x



3

1 3

2 3

  

  

.

, NM có cùng hệ số góc k . Khi đó

C tại

x ,M x là hai N

2

2

Giả sử tồn tại hai tiếp tuyến của  nghiệm phân biệt của phương trình:

 



k

 

k 9 3

0

3

y     3 k x 12 x     3 9 k x 12 x    . k 0 9

    . k

  36 3 9



y







2

x

  3

k

x



2

x

  3



2





3



 y M



M

x M

M

M

M

x M

1 3

2 3

1 3

2 3

k 3

k 2 3

  

  

  

  

y



x





2

x

  3



2

x





3

 y N



N

N

N

N

2 3

k 3

   2 k 3

   1   3 

  

  

  

Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

, NM có phương trình

y





2

x





3

d





k 3

k 2 3

  

  

9

2

Đường thẳng đi qua hai điểm .

,Ox Oy thứ tự là

A

B

0;

d với

9 2  k  k 6

 k 3

  

 ;0 ;  

  

  

. Giao của 

2

2





2 2018 .





4



,A B C sao cho tiếp

,

 22 x C



2 k     9 0 k 3 tm 9 2 OA  2018. OB    9 2  k  k 6  k 3             k   6 tm 3 2018    

C có ba điểm phân biệt

,A B C có cùng hệ số góc k . Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của k .

,

. Trên đồ thị 

y x  C tại





Câu 19. Cho hàm số tuyến của 

8 3 8 3 ; 2

2

8 3 8 3 ; 9

9

8 8 ; 3 3

  

  

   

   

   

   

A. . B. . C. . D.  1 1 ;  3 3    

Lời giải

4

2

3

Chọn D

 y  x    2 x y 4 x  4 x .

34 x

B

A





34 x



4

x

Khi đó x ; x ; y     k 4 x  . k x là ba nghiệm phân biệt của phương trình C



;



 g x



y CT

y CD

8 3 9

8 3 9



Hàm số có hai giá trị cực trị là .

k

8 3 8 3 ; 9

9

   

   

Vậy phương trình trên có ba nghiệm phân biệt khi .

18 | VD_VDC

Chuyên đề_Tiếp tuyến

4

22 x

)C . Trên 

Câu 20. Cho hàm số y  x  có đồ thị (

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18 C có ba điểm A, B, C sao cho tiếp tuyến của



C tại A, B, C có cùng hệ số góc k . Biết rằng đỉnh I của parabol 

P có hoành độ là

1 6

. Tìm

tung độ của I.

.

.



.



.

Iy 

Iy 

Iy

Iy

1 36

1 6

 1 6

 4 3

B. C. D. A

Lời giải

Chọn C

34 x

Ta có y    4 x .

3

4

x



4

x



k

4

2

  4 x

4

x



kx

4

2

2

  x

2

x





x

kx 4

2

Khi đó, hoành độ A, B, C là nghiệm phương trình

y

x 



kx 4

Vậy A, B, C cũng thuộc parabol .

x



    

y

k

.

I

I

k 8

1 6

4 3

1 36

3

Theo giả thiết,

23 x

C . Gọi A, B là hai điểm thuộc 

C sao cho tiếp tuyến C tại A, B song song với nhau và đường thẳng AB có hệ số góc dương và tạo với hai ?

Câu 21. Cho hàm số y x   2  có đồ thị 

B

của  trục toạn độ tam giác vuông cân. Tính  S x x .A

S  

3.

S   1.

  2.

S  2.

A B. D. C. S

Lời giải

Chọn A

I

C tại A, B song song với nhau nên điểm uốn

1; 0 

là trung điểm AB. Vì tiếp tuyến của 

  . x c

Mà AB tạo với hai trục tọa độ tam giác vuông cân nên pt AB có dạng: y

y

x  .

1

3

2

x



3

x

2

x

AB đi qua I nên suy ra pt AB là

C và AB là:

 1       1 1 3

x x x



PTHĐGĐ của  .

19 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Đề thi thử nghiệm_2018

A

B

x   1; x Vậy  3.

y



C . Gọi A , B là hai điểm thuộc 

C sao cho tiếp tuyến của

x x

 

1 1

Câu 22. Cho hàm số có đồ thị 

2; 3M  

C tại A , B song song với nhau. Tìm khoảng cách lớn nhất từ điểm  thẳng AB .

đến đường

3 2

A. 13 . C. 3 2 . D. 11 . B. .

Lời giải.

2

Chọn A.

y

 

x





2 1

2

2

2

2

Ta có .







x



   x

 1



 1

A

B

2

2

x



x





 1



 1

A

B

x



x

A

,

Tiếp tuyến tại A , B song song với nhau



 1

B

x x   A

B

x

B   x



2

A

B

   

B

x  2    x A



2;

;

 AB



2

x



2;

B

B

B

x B x

x x

 4 

x

1

B

B

B

 A x   

 3   1 

 B x  

 1   1 

  

  

Khi đó và ,

  2;

 1Bx 



2

Chọn vectơ pháp tuyến của đường thẳng AB là

B

2

x



x



x



y





0

  2

x

x



y



x



2

x

  1 0



2 1







2 1

B

B

B

2 B

B

x x

B

  

 1   1 

AB y :



Phương trình đường thẳng AB là

  hay 1

AB

: kx

   

1 0

y

k

1;1

 k x

 1

nên Thấy AB đi qua điểm cố định 

k  ) 0

y  nên 0







 k 2 3 2

2

2

k



1

k

2 k    3 k 1 k 3  2 (vì d M AB ,   k  1 k  1

k  



f



k



 f k max khi







 f k



 k 2 3 2

2

2

3 2

k



1



1

k

k



  3 2 

 1

max

d M AB  ,

13

Xét có thấy





Vậy .

20 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Tiếp tuyến

3

23 x

C . Hai điểm A , B phân biệt trên 

C có hoành

a b

AB  .

2

Câu 23. Cho hàm số y  x   2 x



C tại A và B song song với nhau,

 có đồ thị  1 và tiếp tuyến của 

b 3



.

S  . 6

S  . 7

8S  .

B. C. D. độ lần lượt là a và b   a S 2 Tính S  . 4 A.

Lời giải.

Chọn A.

23 x

Ta có y    6 x  2



23 a



6

a

 , 2



23 b



b 6

2

 lần lượt là hệ số góc tiếp tuyến của 

C tại A , B .

Ak

Bk

2

2

2

2

  3 a

6

a

 

b 2 3



b 6

 2

  a

2

a



b



b 2

 

 0

   (vì a b ) a

2b

  

 a b a b

2

3

2

3

2

Khi đó



a 3



2

a



B

2

  ; a a



a 3



2

a

  ; A a a

 1



  1

2

2

3

2

3

2

AB



2

a



2



2

a



6

a



4

a



2

a





a



a 3



2

a







 1



2



2

2

2

3

2

3

2



a





a



a 3



2

a

 1

Ta có ,



 1

   a

 1



2



2

2

2

2

2

a



2

a



a



2

a





0

   a a







    

 1  

 a  a 3  2 a  1

a     0 b

   l 2    n 0

a     2 b    

S



2

a



b 3

 . 4

3

2

Vậy

B A

Câu 24: Cho hàm số y  2 x  3 x  có đồ thị  1

C . Xét điểm A thuộc  C tại A cắt 

C . Gọi S là tập hợp tất cả 

C tại điểm thứ hai B 

các giá trị thực của a sao cho tiếp tuyến của 

,a b lần lượt là hoành độ của A và B . Tính tổng các phần tử của

a b   , trong đó .

1 2

S .

thỏa mãn

3  . 4

5  . 4

3 4

5 4

B. C. D. . A. .

Lời giải

3

2

Chọn D

; 2

a 3

 A a a

  . 1

Gọi

26 x

2

3

2

y



6

a



6





2

a



a 3

 . 1

Ta có y    6 x .

C tại A là:





 a x a

Phương trình tiếp tuyến  của 

21 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Đề thi thử nghiệm_2018





C

2

3

2

3

2



a

6

6





2

a



a 3

 

1 2

x



3

x

 1



giao điểm của và là nghiệm phương trình:

3

2

2

3

2

  2 x

3

x



6

a



6



4

a



a 3

 0



 a x

 x

x a

x



4

a



3



0

Hoành  độ  a x a

  

2 2  



a  4



3



b

   x 

a 2



4



3

2

.

a b .

a

   

4

a

a 3

 

1 0

1    2

a 2

1 2

  

  

mà

a

2

a 1

2

3  . 4

Suy ra có hai giá trị ,a a thỏa mãn và 1

3

2

;

;

Câu 25: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để trên đồ thị hàm số

(

x

x

y







m

1)

(3

 

 tồn tại hai điểm

2)

m



x

 M x y M x y ,







1

2

1

2

1

2

5 3

có tọa độ thỏa

2 3 2. mãn 1 x x  sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại hai điểm đó cùng vuông góc với đường thẳng   .Tìm số nguyên âm lớn nhất thuộc tập S . y x 1 0 2

0

B. 3 . A. 1 . C. 2 . D. 4 .

Lời giải

Chọn D

y

  

22 x



2

m



 x m 3

 . 2



 1

Ta có:

y

 .

 

1

1 2

  

  

Yêu cầu bài toán tương đương với phương trình có hai nghiệm phân biệt ,x x 1 2

2.

 

22 x



2

m



 x m 3

   2

2

 

22 x



2

m



 x m 3

 . 0

y

 .

 

1



 1



 1

1 2

  

  

2

m

3

m





6

m



0

2



2 1

m

   2

3

m



4

m

 

1 0







x x    0 thỏa mãn 1

   2

3

m



0

  2

3



m



0





0

  

    

    

m 3 2

0

       m    m

. Do đó  





   



m   . 4

Suy ra S     ; 2 3 2 3; 0

Vậy số nguyên âm m lớn nhất thuộc tập S là

22 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Tiếp tuyến

4

2







3

y

x

x

)C sao cho tiếp tuyến của (

)C tại A

1 2

AC



3A

B

Câu 26. Gọi A là điểm thuộc đồ thị hàm số (

5 2 )C tại hai điểm phân biệt B ; C khác A thỏa mãn

cắt ( ( với B nằm giữa A ; C ). Tính

độ dài đoạn thẳng OA.

OA 

2

OA  .

OA 

OA 

3 2

14 2

17 2

A. . B. C. D. . .

Lời giải

4

2

ChọnD.

A a ( ;

a

a 3



)

5 2

1 2

3

3





2

a



6

a

Gọi tọa độ điểm .

 y a '



Ta có: . y  ' 2 x  6 x

A

B

4

2

Từ giả thiết AC  3A B   3 x  2 x  2a . x C

A a ( ;

a

a 3



)

1 2

5 2

2

2

2

4

2

2

4

2

x a

x



2

a x



3a



6

x



3

x

6a



6a

 x a



a



a 3



  



 







 0

1 2

5   2

1 2

5 2

a

phương trình hoành độ giao điểm của tiếp tuyến tại với đồ thị hàm số là:

2

 x 2  x

2

a x



3a

 

6 0

  

2

2

x



2

a x



3a

 

.

  6 0 1

. Hoành độ của B ; C là nghiệm của phương trình

x



 

2a

x



0

B

Theo định lý Vi et và đề ra ta có:



Bx  vào phương trình  1 ta có:

3

B x





2a

 

2a

x C x C

B

x C

  

  

2

2

OA 

2







0 Thế

6 0

a 3

A

2

a

2;

      

9 4

17 4

17 2

 3 2

 

  

3

2

C

C

. .

5 x  . Tiếp 2

C

C

C

C

Câu 27. Cho hàm số . y  2 x  3 x  có đồ thị là  1

1A cắt 

2A khác C

1A là điểm trên  1A , tiếp tuyến của  C

tại tại tuyến của  có hoành độ 1 2A cắt 

1nA  cắt 

nA có hoành độ

nx khác

1nA 

tại tại tại tại điểm 2A , …, tiếp tuyến của 



2018x

2018

2018

2017

2017

điểm 3A khác  n  4;5;... .Tìm .

 

2

 

2

 

3.2

 . D.



3.2

 . C.

x 2018

x 2018

x 2018

x 2018

1 2

1  . 2

1  . 2

A. B.

1 2 Lời giải

ChọnA.

23 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Đề thi thử nghiệm_2018

k

k



C

Gọi . ; ) A x y ( k

k



6

y

6



x





2



3

 . 1



2 x k

x k

x k

3 x k

2 x k

tiếp tuyến của đồ thị tại điểm là: ; ) A x y ( k k

Phương  trình 

C và tiếp tuyến là

3

2

x



4



3

 0

2

x



3

x

  1

6



6

x





2



3

x

 1

2 k

   x

2 2  





x k

x k

2 x k

x k

x k

3 x k





 x

Phương trình hoành độ giao điểm của 

2

 1

 1

k

 1

x k

1

x k

3    2

2

x k

    x 

x k 3 2

n

. Vậy điểm . ( ; y ) A k x k với

2



x  , 1

x   , 2

x  3

 nx   

5 2

7 2

17 2

1  . 2

2018

Suy ra: , …,

 

2

x 2018

1  . 2



Do đó ta có:

y

C . Tiếp tuyến của 

C cắt hai tiệm cận của 

C tại A và

 3 x 2  2 x

B và khoảng cách giữa A và B là nhỏ nhất. Tính AB .

Câu 28. Cho hàm số có đồ thị 

AB 

4 3

AB 

2 6

AB  .

4

A. . B. C. . D. . AB  2 2

Lời giải

Chọn A.





1

1



Gọi  ; C  M x     x 3 2   2 x 

 



 

y



  y x 0

2

2





x

2

2









x 0

Ta có .





C tại M là:



 .

0

2





0

1    y  x x Phương trình tiếp tuyến của   0  3 2 2x x 0  2 x 0

  

A

TC

2

;

 

2 x x

2 2

0

   Đ A 

  

Gọi

  



B

2; 2





 TCN B x 02

Gọi

24 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Tiếp tuyến

2

4







  AB

4

2

2 2





x 0

2



2





x 0



.

y

C và điểm  I

1; 2

C cắt hai tiệm cận của

 x 1 2  1 x

Câu 29. Cho hàm số có đồ thị  . Tiếp tuyến của 



a

2

b

,a b là các số

  .

C tại A và B sao cho tam giác IAB có chu vi nhỏ nhất là 4  nguyên dương. Tính S a b

với

8S  .

5S  .

9S  .

7S  .

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn





1

1



 



 

Gọi .  ; C  M a     a 1 2   1 a 

y

   y a

2

2





x

a



 1



 1

1

Ta có .



 

y

 x a





  d

C tại M là

2

 a 1 2  1 a



a



 1

.  PTTT của 

Gọi   A d T CĐ 1;    A   2 a  a 1 

 





B d TCN B a 2

1; 2





Gọi



 1

2

2



    IA IB . . 2 a 4 2  a 1

2  IA IB

AB

Ta có tam giác IAB vuông tại I nên

IAB

2















IA IB AB

2

IA IB .

2  IA IB

2 4

2

IA IB .

 4 1 2 2

  a

1;

b

     . S a b

2

3

4



Chu vi tam giác bằng

x

 có đồ thị  3

C . Tiếp tuyến của 

C tại điểm A cắt đồ thị 

C tại

Câu 30. Cho hàm số



a b c lần ,

,

 S bc

9

a

,B C A

22x y  ,B C  lượt là hoành độ các điểm

,A B C .

,

hai điểm . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức trong đó



35 4

3  . 2

. B. . C. A. 6 3 2 . D. 2 3 3  

Lời giải

25 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Đề thi thử nghiệm_2018

4

2

Chọn



;

2a

C





 A a a

   3

3

4

2











y

4

a

4

a

2

a



Gọi .

C tại A là:

  d . 3



 a x a

Phương trình tiếp tuyến của 

C là:

4

2

3

4

2











x

2x

  3

4

a

4

a

2

a

 3





 a x a

2

2

2







x a

x

2

ax

3

a

2

 . 0

  

 



Phương trình hoành độ giao điểm của d và 

2

2

  x a

  2 0 1

,B C khác A

C tại hai điểm phân biệt

 1 có hai nghiệm phân biệt

    x 2 ax 3 a   

2

2

Tiếp tuyến  d cắt  khác a

2

      .      0 a 3 a 2 0 1 1 a

1;1

Ta có .     S bc 9 a 3 a 9 a  không đạt giá trị nhỏ nhất trên  2

y



C . Gọi I là giao điểm hai tiệm cận của 

C . Tính khoảng

1  x  3 x 2 cách lớn nhất từ I đến tiếp tuyến của 

C .

Câu 31. Cho hàm số có đồ thị 

2 2

10 2

B. A. D. 2 . C. 5

Lời giải Chọn B



C tại điểm

 ;M x y 0 0

M là

1



x



  y



0

Δ : y

 f

x















x 0

x 0

y 0

x 0

2

 1  3

x 0 x 2 0

2



3





x 0

Gọi là tiếp điểm của tiếp tuyến. Khi đó phương trình tiếp tuyến với 

I

3 1 ; 2 2

  

  

1



x 0

2

3 2

1   2

1   3

  

  

x 0 x 2 0

2



3

2



3

2



3





x 0

1

x 0

x 0







;Δ



 d I



4

2

2

1

2



3



1



3





 2 2



x 0

x 0



1

4

2



3





x 0

Giao điểm hai đường tiệm cận là . Khi đó khoảng cách từ I đến Δ là

26 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Tiếp tuyến

max

;Δ



 d I



2 2

Vậy giá trị lớn nhất của khoảng cách là đạt được khi

2

3

x 0

 1   1

x 0 x 0

     1 

.

Bình luận:

k   1

IAB cân

IA IB

Với bài tập này bạn đọc nếu để ý đến kết quả sau thì sẽ xử lí bài toán nhanh hơn.



IAB đạt giá trị lớn nhất

đạt giá trị nhỏ nhất

f

1

Các bài toán sau là tương đương: (cid:0) Tiếp tuyến có hệ số góc (cid:0) Khoảng cách từ giao điểm hai đường tiệm cận đến tiếp tuyến là lớn nhất (cid:0) Tam giác (cid:0) Chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất (cid:0)  (cid:0) Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất (cid:0) Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác (cid:0) Tiếp tuyến tạo với trục hoành một góc 45o (cid:0) Tiếp tuyến tạo với trục tung một góc 45o (cid:0) Tiếp tuyến tạo với tiệm cận đứng một góc 45o (cid:0) Tiếp tuyến tạo với tiệm cận ngang một góc 45o

  , với

 x

0

0x là hoành



1 ,

ad



bc



0

x 0

Tất cả các bài toán này tương đương nhau và tương đương với

1 ,

ad



bc



0

   

   x 0

 f     f

độ tiếp điểm . Và lúc này ta sử lí một cách đơn giản.

1

Như vậy ta có thể giải bài toán đã cho như sau:

I

y

  

 nên để khoảng cách từ điểm

0

3 1 ; 2 2

  

  

2

x 

3



2

  

1

y

x 0

0

1



   1

2

   

1

2



3

x 0

y 0





x 0

0 2 5

   

Vì đến tiếp tuyến lớn nhất thì

1;

1;0 và

2 5

  

  

y

1 0

1

x

y

song song nhau cách đều giao điểm I . Tiếp tuyến tại hai điểm 

1;0 là

        x

Δ

1

1

3 2

Phương trình tiếp tuyến tại điểm 

max

d





1   2 2

2

3

2

Suy ra khoảng cách lớn nhất là

C . Xét điểm

C . Tiếp

1A có hoành độ

1

1 x  thuộc 

2x . Tiếp tuyến tại

2A cắt

có hoành độ Câu 32. Cho hàm số tuyến của  2 y x  C tại  có đồ thị  1 C tại điểm thứ hai 3 x  1A cắt  A 2 A 1

27 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Đề thi thử nghiệm_2018

1nA 

có hoành độ A 2

C tại 1005

 C tại điểm thứ hai cắt 

3x . Cứ tiếp tục như thế tiếp tuyến của  nx . Tìm giá trị nhỏ nhất của n để

nx 

 có hoành độ A 3 C tại điểm thứ hai A n A  1 n

3

2



ax



bx





0

B. 234 C. 118 D. 117 . A. 235 Lời giải Chọn A

  f x

  cx d a



y



Ta có chú ý rằng: “Tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm

x



  f x

 ;M x y 0 0

x 02

b    a

cắt đồ thị hàm số tại điểm thứ hai có hoành độ ” (Sử dụng

định lí Viet để chứng mình kết quả này khá đơn giản).

nx và có dãy 

nx

Áp dụng kết quả trên ta có xây dựng được quan hệ phụ thuộc giữa các như



1





2

x n

x 

n

1

x 1 3 2

   

n

sau





2

  2



2



  

x n

x n

 1

  x n

x n

 1

  nx

x 1

1 2

1 2

1 2

1 2

3 2

  

  

   1  

  

n



Ta có



 2



 1

 vì 1

nx

1 2

1 2

Do đó x  . 1

n



100 5

2





100 5

   

 1

nx

k

1 2

1 2

2 1    n   k 2 100  2.5 1  1 4 n   k 1  116.596 k 2   n k  117 k         

n 

235

2

3

f

Vậy là số tự nhiên nhỏ nhất thoả yêu cầu bài toán.

  f x có đạo hàm

  x

  1 2



  1 3



y



Câu 33. Cho hàm số trên  thoả mãn f x   x f x         . Tiếp

1x  là

  f x

tuyến với đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ

y

y

 

x

y

 

x



y

 

x



1 x 5

6  5

1 5

4  5

1 13

1 13

1 13

12 13

A. B. C. D. .

2

3

f



0

Lời giải Chọn D

x  ta có 0

  1

  1

  1

  1

2    

f

 

1

  1   1

   

2

3

Chọn f   f  f f   0            1 

  1 2



  1 3



2

Tiến hành đạo hàm hai vế của đẳng thức f x   x f x        theo biến x ta có: 

  1 2

 x f

  1 2



  1 3



  1 3



2

  4 f x   1 9 f x f x    

x  ta được

0

  1 .

  1

  1

  1

f

0

f

1

  Chọn 4 f f f f     1 9  

 thì suy ra không tồn tại

  , khi đó ta có

 1

 1f 

 1

Nếu nên

28 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Tiếp tuyến

  ' 1







4

f

 

1 9

f



f





  1

  1

1 13

y

 

x

1

   y

x





   1

1 13

1 13

12 13

2

3

y



f

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là

 f x



  x

  1 2



  1 3



y



Câu 34: Cho hàm số có đạo hàm trên  thỏa mãn f x   x f x        . 

1x  là

 f x



Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ

y

y

 

x

y

 

x



y

 

x



1 x 5

6  . 5

1 5

4  . 5

1 13

1 13

1 13

12 13

A. B. C. D. . .

Lời giải

y



Chọn A.

1x  có dạng

 f x



d

:

y

 f

x

f





  x

   1

  1

2

3

Phương trình tiếp tuyến của tại điểm có hoành độ

  1 2



  1 3



Ta có: f x   x f x (1)        

2

3

0x  vào (1)

  1

  1

  1   1

2

f  0 Thay  f   f          f   1   

  1 2

  1 3



  1 3







f

f



4

f

 

1 9

f

  Đạo hàm hai vế (1)  4 f x   1 9 f x . f x (2)   

  x f 1 2 .     1 1 .

   1 .

0

f

Thay     1

   (vô lí) 0 1

0x  vào (2)  1



Với

   1

f

d

:

y



x

f

  1

  1





1   5

1 5

6  . 5

4

Với

,B C

23 x x C tại A cắt 

y   Câu 35: Gọi A là điểm thuộc đồ thị 

.A

 và có hoành độ a . Có bao 2 C tại hai điểm phân biệt

C của hàm số nhiêu số nguyên a sao cho tiếp tuyến của  khác A. 1

B. 3 D. 5 C. 2

Hướng dẫn giải

Chọn B.

D   .

4

3

TXĐ

23 x

4

2

y  x   ; 2 y '  4 x  x 6 .

3

2

4

3

Gọi với a là số nguyên. A a a ( ; a 3  2)

y



4

a



6

a

 x a



a



a 3

 2.







Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại A là:

4

2

3

4

2

x



3

x

  2

4

a



6





a



a 3





 a x a

 2.

Phương trình hoành độ giao diểm của tiếp tuyến tại A và đồ thị là:

29 | VD_VDC

Đề thi thử nghiệm_2018

3

4

2

4

2

  x



4

3

6

a





a 3



0.



2

2

2

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18  a x a 3

x a

ax





2

x

3





0.

  

 x  

a 3 

a

 x 2

2

x



2

ax



a 3

  3

0 (*)

  

,B C khác A nên phương trình (*) có

C tại hai điểm phân biệt

2

  3

6

a

0

2   a

.

2

3 2

   ' 2

  3

a

0

Vì tiếp tuyến của 

C tại A cắt  2 nghiệm phân biệt khác a.    

y



Vì a là số nguyên nên a là 0, -1, 1.

C .Hai điểm phân biệt

,A B của 

C trong đó hoành độ của

 x 1   x 2

,A B song song với nhau và diện tích tam giác OAB bằng

C tại

A âm sao cho tiếp tuyến của  .OA 1. Tính độ dài đoạn thẳng

OA 

.

Câu 36: Cho hàm số có đồ thị 

OA  1.

OA 

OA 

.

.

1 2

89 2

89 2

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

D  

Chọn A.

  \ 2

3

TXĐ .

y

'

  k

.

  x

2



2

A B ,

C

;

, B

;

.



A

x B

x A  x

1   2

1   2

A

x B  x B

  A x    

  

  

  

Ta có

x



x

loai

3

3



A

B



2

2

x



x

 

4



x



2



x



2

A

B









   

A

B

Vì tiếp tuyến của đồ thị tại A, B song song nên ta có

3

3

Mặt khác, tiếp tuyến của đồ thị tại A, B song song nên nhận giao điểm I(2,-1) của 2 đường tiệm cận làm tâm đối xứng.

 IA



x



2;

x



2



1;

x



2



1; k

  



  





A

A

A

2



x



2

A



x



2

  

  





A

   

   

2

3

k



2

3



 1

 IA





x



2



3.





k 3



k 

0.

Ta có





A

2

3 k

k



x



2





A

với điều kiện

30 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Tiếp tuyến

kx

  y

k 2

  1 0.

 2

k



1

d O IA ,



.

Đường thẳng IA có phương trình là





2

k



1

  1

d O IA AB

;

.

  1

d O IA ;

.2 IA 1



Suy ra









S 

OAB

1 2

1 2

Mà

2

  k 3   2 k  1    k 8 1 12 k 3 (nhận)     0 k 1 3 4 3   k 

 A 

1;0 .

3

y

f

Thay k vào (*) giải ra

    với mọi x

3

1

x

2

  f x

  x

 f x

x   . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ

y

Câu 37. Cho hàm số có đạo hàm trên  thỏa mãn

y

y

x  .

3

   . x

y

2 x 9

21  . 9

2 x 9

39  . 9

52 9

 1 x  là 3 2 9

33 9

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn B

x  suy ra

2

f

32

2.2 1

f

 . 3

  3



      3.2 1

3

2

3



Với



2

1

3

x

x

x

f

x

2

3

x

 f x

      1

 3

 3



    . 1

3

f

Do

x

2

f 

2

   2

  3

     3.4 3



 3.2 1

2  . 9

y

 f

x

f

  y

x

3

  y

x

Với

  3

   3

  3



   3

2 9

2 9

21  9

Do đó

3   x

1A có hoành độ

1

Câu 38. Cho hàm số 1 y 2018 x có đồ thị  C . Xét điểm x  thuộc  C . Tiếp

y . Tiếp tuyến của  C



1A cắt  C tại điểm thứ hia

1

;x 2

2

tuyến của  C tại A có tọa độ  A 2



2A cắt  C tại điểm thứ hai

2

;x 3

y . Cứ tiếp tục như thế, tiếp tuyến của 3

,n biết

 C tại

tại A tọa độ  A 3



x ;n

y . Tìm n

1nA  cắt  C tại điểm thứ hai

n

1

2019

2018

2

 . 0

x n

y  n

có tọa độ  A  A n

A. 2018 . B. 2019 . C. 674 . D. 673 .

Lời giải

Chọn C

31 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Đề thi thử nghiệm_2018



f

23 x

2018

    x

3

Đạo hàm .





2018

a

  C

 A a a ;



3

2

3



  

y

f a x a

a

a 2018



  

  y

2018

x

a

a

2018

 





  a d

 a 3



Gọi , phương trình tiếp tuyến của  C tại A là

3

2

3







  

x

2018

x

2018

x

a

a

2018

a



 a 3



2

Phương trinh trình hoành độ điểm chung của  C và  d là

  

 



 . x a x 2 a   0 a   x a     2 x 

f

2;

f

2

Do đó

   1

 

     .

 A 1 1;

A 2

A 1

2

4;

f

Tiếp tuyến của đồ thị  C tại cắt  C tại

 cắt  C tại 

 f 2;

 



   4

A 2

A 3

A . 2

f

3;

f

Tiếp tuyến của đồ thị  C tại

   ...

   4

 

  8

 A 3 4;

A 4

A 3

 2 n

 2 n

;

f





Tiếp tuyến của đồ thị  C tại cắt  C tại

nA

 1

   2



   2 

  

 1 n

 1 n





;

f

,

n

2

Tiếp tuyến của đồ thị  C tại cắt  C tại

A n

A  1 n

    2



    2  

  

n

2

.

 . 1

  

n  1 ,

nx

3

2019

2019





2

Suy ra

2018

2

  0

2018

2018

2

0



2019

nx  

x n

  y n

x n

3   x n

x n

3

n

2019

 1

   n

2019

  n

674

Ta có .

   2

    2

 3

 1

. Do đó 

y



f x ( )

1

3

2

3

Câu 39: [1D1-3] Cho hàm số có đạo hàm trên  . Gọi ( ), ( C lần lượt là đồ thị của ) C C ),( 2

f

(1) 1

 và tổng hệ số góc của hai tiếp

các hàm số . Biết y  f x y ( ),  f x ( ), y  f x ( )

tuyến tại

1x  của

1

2

3

điểm có hoành độ ( C C bằng 3 . Phương trình tiếp tuyến của ),( ) ( )C tại

điểm có

1x  là

hoành độ

y

x   2

y

 

3

x

 2

y

x   1

y

 

3

x

 4

A. B. C. D.

2

3



f

x '( ),

y



2

xf

'(

x

),

y



3

2 x f

'(

x

)

' 2

' 3

Lời giải Chọn Ta có . D. ' y 1

32 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Tiếp tuyến

'

y

  3

f

'(1) 2 '(1)



f

   3

f

'(1)

  . Suy ra

1

3(1)

Theo giả thiết, ta có

y

 

3(

x

 

1) 1

   y

3

x

 4

4

Do đó, phương trình tiếp tuyến cần tìm:

23 x

)C của hàm số

Câu 40: y  x   và có hoành độ a . Có 2

,B C

[2D1-3] Gọi A là điểm thược đồ thị ( bao

)C tại A cắt (

)C tại hai điểm phân biệt

nhiêu số nguyên a sao cho tiếp tuyến của ( khác A và

diện tích tam giác OBC bằng 2 3 B. 3 A. 1 C. 2 D. 5

4

2

3

4

2

Lời giải

4

2

4

2

2

2

)  a 3  2) y  (4 a  a x a 6 )(  )  a  a 3  2 . PTTT tại A :

2 ) (

a

2

2

 x ( ) g x



x



2

ax



a 3

 

3 0 (*)

  

Chọn A.   A a a ( ; A C ( Xét phương trình: 3 a x   2 (4  3 x  a x a 6 )(  )  a  a 3   2 (  x a x  2 ax  a 3  3)  0

2

)C tại hai điểm phân biệt khác A l 4 ( )

  1



S

a



OBC

Phương trình tiếp tuyến tại A cắt đồ thị (



 a



n 2 3 ( )

 

  a

 0

6 2

6 2

1

 OBC S



l 2 ( )



OBC

  0    S a      a 

   3 2 a '  g a 0 ( )   

4

Vậy, chỉ có một giá trị nguyên của a thỏa yêu cầu bài toán.

23 x

,A B là hai điểm phân biệt thuộc đồ thị 

C của hàm số C tại A và B song song với nhau. Khi khoảng cách giữa A và B lớn nhất, tính

Câu 41: Gọi  sao cho tiếp   2 y x

tuyến của  độ dài đoạn thẳng AB .

3 3 2

35 2

3 2

A. . B. . C. . D. 6 .

Lời giải

4

2

4

2

Chọn B.

;

x



3

x



;

x



3

x



2

C .

A

A

A

B

B

B

 A x

 2 ,

 B x



Gọi là hai điểm cần tìm trên 

3

2

3

2

3

3











4

6

4

6

x

x





4

x

x



6

x



x

 y x '









A

 y x ' B

x B

x B

A

A

A

B

A

B

C tại A và B song song với nhau nên: 



2

2

Vì tiếp tuyến của 



x



B

  x A

x x A B

B

3 2

x

   x

2

A

B

x x . A

B

3   2

2

x x vì A

P

S

A

B

A

3    với 2

2

S  x  ,  x P x x . B

P

S

0

3   2

2

4

4

2

2

Vì





B

A

B

A

B

A





3     P 2 

2

Ta có: AB    x x x  x  3 x  x

33 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Đề thi thử nghiệm_2018

2

2

2

2

2

2

2

2 3 





B

A

B

A

B

A

 



2

2

2

2

 AB  x  x  x  x x  x

2 3 





 

 

B

A

B

A

B

B

A

A

2

2

2

2



S



4

P

1



S

S



2

P



3









  2



2

 x  x  x  x x  x x  x

S

  vào ta được:

P

3 2

3

3

2

AB





3

P

1



P





P

8



2

P



3

  1 2











3 2

3 2

3 16

  

  

  

  

   

   

Thay



P

8



2

P



3

P  

 f P



  1 2







3

3 2

3 16 3

Xét hàm số với



3



4



12

P



P



16

P

 9

 f P '







3

  2 2

0

P

1

 f P '



3

  2 2

  P          P 

Ta có

-2- 3

-2+ 3

3

-

2

-∞

1

2

P

+∞

2

0

0

+

-

0

f'(P)

-

6

f(P)

27

4



Bảng biến thiên :

27 4

3 3 2

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy khoảng cách lớn nhất của AB là

y



C . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của m sao cho

1 2

 

x m  cắt tiệm cận đứng tại

2





1;A x y , cắt tiệm

1

;

Câu 42: Cho hàm số có đồ thị 



x x C tại điểm có hoành độ tiếp tuyến của   B x y 2 2

cận ngang tại thỏa mãn 5   . Tính tổng các phần tử của S . y 1 x 2

A. 4 . B. 2 . C. 4 . D. 2 .

x   và 2

1y  .

Lời giải Chọn B

C có tiệm cận đứng và ngang lần lượt là:

3

Đồ thị 



2



y

'



 y m '



3 2 m

x



2



2

Ta có : ,

34 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Tiếp tuyến

m

3



C



2;

C tại M có phương trình:





 m

 M m  

  

m

3

y





2



  x m







3 2 m

 m

m

6

Gọi , tiếp tuyến của 

A

2;

 m

  

  

Giao điểm của tiếp tuyến với tiệm cận đứng là

 B m  2

 2;1

Giao điểm của tiếp tuyến với tiệm cận ngang là

2

m 6 Theo giả thiết ta có: 2 m   2    5 2 m  4 m 1  m       6 0 3 m  m 

Hai giá trị này đều thỏa điều kiện nên có 2 giá trị m thỏa mãn điều kiện bài toán, tổng các giá trị này là 2

y



C .Gọi

,A B là hai điểm nằm trên hai nhánh của 

C và các

,A B cắt các đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng lần lượt tại các

 x 1  x 1 C tại

Câu 43: Cho hàm số có đồ thị 

,P Q . Diện tích tứ giác MNPQ nhỏ nhất bằng

tiếp tuyến của  ,M N và cặp

B. 32 . C. 8 . A. 16. D. 4 .

Lời giải

Chọn A

A y ,



  1

,

a a

 

1 1

 A a  

  

IM  2 d  2   1 a a   1 1 4  a 1 Gọi . , I là giao của hai đường tiệm cận. Ta có:

A x ,



  1

IN  2 d  2 a  1     

B y ,



  1

,

b b

 

1 1

 B b  

  

IP  2 d  2   1 b b   1 1 4  b 1 Gọi . Ta có: .

B x ,



  1

IQ  2 d  2 b  1     

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Đề thi thử nghiệm_2018

S



S



S



S



S

  

4 4 4



 

8 4

.



16

MNPQ

IMN

IMQ

IPQ

INP

1 1

a b

1 1

a b

  b  a  

  1   1 

  b  a  

  1   1 

4

3

2

.

y



x



x



6

x

7

 có đồ thị 

C . Số giá trị nguyên của tham số m để có ít

1 2

Câu 44: Cho hàm số

:d y mx

là

nhất hai tiếp tuyến của  A. 27 .

C song song với đường thẳng C. 26 . B. 28 .

D. 25 .

Lời giải

Chọn B

;M x y là tiếp điểm.





3

2

Gọi

3

2

  x 2

3

x



12

 x m

y   2 x  3 x  12 x .

:d y mx

  *

:d y mx

C song song với đường thẳng

Tiếp tuyến song song với đường thẳng .

 pt  * có ít

3

2



2

x



3

x



12

x

Để có ít nhất hai tiếp tuyến của  nhất hai nghiệm.

 f x



Xét . TXĐ: D   .

26 x

x   1  y    6 x  12 . y 0 . x 2     

m





20



m

m

7



Bảng biến thiên

     

 20, 19,...., 6, 7

4

3

2

Vậy .

y



x



x



6

x

7

 có đồ thị 

C . Số giá trị nguyên của tham số m để có ít

1 2

Câu 45. Cho hàm số

:d y mx

là

B. 28 . D. 25 . nhất hai tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng A. 27 . C. 26 . Lời giải

4

3

2

3

2

y



x



x



6

x

  

7

y

'

2

x



3

x



12

x

Chọn B

1 2

Ta có: .

:d y mx

C song song với

3

2

2

x



3

x



12

x m

 có ít nhất 2 nghiệm phân biệt.

thì phương trình Để có ít nhất hai tiếp tuyến của 

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Tiếp tuyến

2

3

2

2





7m

  có 28 giá trị

 Xét hàm y  2 x  3 x    12 y x ' 6 x  6 x  12 . Khi đó y ' 0 x 2 x   1         0 2 x x có bảng biến thiên sau:

4

3

Qua bảng biến thiên ta thấy hàm số có ít nhất hai nghiệm khi: 20 nguyên của m thỏa mãn đề ra.

y



x



x



6

x

7

 có đồ thị 

C . Số giá trị nguyên của tham số m để có ba tiếp

1 2

:d y mx

Câu 46. Cho hàm số

B. 28 . D. 25 . tuyến của (C) song song với đường thẳng A. 27 . là C. 26 . Lời giải

4

3

2

3

2

Chọn C

y



x



x



6

x

  

7

y

'

2

x



3

x



12

x

1 2

3

2

Ta có: .

2

x



3

x



12

 x m

:d y mx

C song song với

thì phương trình

Để có ba tiếp tuyến của  có ba nghiệm phân biệt.

2

3

2

2





7m

  có 26 giá trị nguyên của

 Xét hàm . Khi đó y  2 x  3 x    12 y x ' 6 x  6 x  12 y ' 0 x x   1         0 2 x x 2 có bảng biến thiên sau:

Qua bảng biến thiên ta thấy hàm số có ba nghiệm khi: 20 m thỏa mãn đề ra.

y



C :

C song song với nhau.

2

1

và Câu 47: Cho đồ thị hàm số ,d d là hai tiếp tuyến của 

 1 x 2 x ,d d là 1 2

Khoảng cách lớn nhất giữa

B. 2 3. D. 2 2. A. 3. C. 2.

Lời giải

Chọn C

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Đề thi thử nghiệm_2018

y

'



2

1 x 2

Ta có: .

1

2

,A B có hoành độ giao điểm 1



Giả sử ,d d là hai tiếp tuyến của  ,x x với 2

 . a





 y x ' 1

C lần lượt tại điểm  y x ' 2

  x 1

x 2

2

. Vì / / d nên x 1 x 2 d 1

;

, B



a

;



C





 1 a 2 a

 1 a 2 a

 A a  

  

  

  

2

2

Giả giả sử .

y



 x a



  x

2

 a y a



2

a

 0





1d tại A :

2

1 a 2

 1 a 2 a

2

2

Tiếp tuyến

y



 x a



  x

2

 a y a



2

a

 0





2d tại B :

2

1 a 2

 1 a 2 a

2

Tiếp tuyến



a 2 ;0

 d 1

  M a



Ta thấy



 d M d



 d d d 1

2

2

4

a

0;

4 a ;  ;  .  1 4 a

 t   . Ta được:



4

t 4

 4 16 t

f





f

'



Đặt t với

  t

  t

3

4

4

 1 4 t

 1 4 t





0;

f

f

0;

.

t   ta được GTLN của





  t

  t

 t   là 2 khi



Lập bảng BBT của với với

t 

2 2

.

,A B là hai

y



C . Gọi

 1 x 3  1 x

,A B

C tại

,M N (

C tại

C sao cho tiếp tuyến của điểm thuộc  song song với nhau. Các tiếp tuyến này lần lượt cắt tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của tham khảo hình vẽ ). Tứ giác MNBA có chu vi nhỏ nhất bằng

Câu 48: Cho hàm số có đồ thị 

A. 16 . B. 12 .

C. 20 . D. 24 .

Lời giải

2

Chọn D

y

'



x





2 1

Ta có: .

,A B có hoành độ tiếp điểm lần lượt là 1

2

Giả sử tiếp tuyến tại    1 . x ,x x với 1 x 2

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Tiếp tuyến



2

    .

,A B song song nên





 y x ' 1

 y x ' 2

x 2

x 1

Vì hai tiếp tuyến tại

;

;

B

2;



C





  x 1

 5  1

3 x  1 1  x 1 1

3 x 1 x 1

 A x  1 

  

  

  

2

2

16

4

  AB

2



2





2







8







 1

x 1

x 1

2

2







 1



 1

x 1

x 1

2

;

Nên

y



x









x 1

2



 1 x 3 1  1 x 1

 A x  1 

 1 x 3 1   1 x  1



 1

x 1

Tiếp tuyến tại với đồ thị hàm số là

x   .

1

M

1;

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là

  

 3 x 1 1   x 1  1

2

4



AM









4



 1

x 1

2





 1

x 1

p



2

 AB AM



24

Tọa độ giao điểm M của tiếp tuyến và tiệm cận đứng là





2

4

. Chu vi của hình bình hành ABNM là





   

1

2

" xảy ra khi 

 1

x 1

x 1

2





 1

x 1

x   1 Dấu " vì 1

,

  f x g x đều có đạo hàm trên  và thỏa mãn

 

3

2

2

f

2



x



2

f

x





36

x

 , với mọi x   . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ

0







  x g x



y



Câu 49: Cho hai hàm số

x  . 2

2 3    f x

thị hàm số tại điểm có hoành độ

y

  2

x

 . 3

x  .

x .

y

x 2

 . C.

3

B. A. y D. y

2

2

f

2



x



2

f

 2 3

x





36

x











  x g x

  0 1

Lời giải

2

2





Chọn D. 3 Ta có:

 

3

f

2



x

.

f

2



x



12

f

 2 3

x

.

f

 2 3

x



2





36



















 xg x



   x g x .

  0 2

.

x  0



0

f

3

2

f

f



0

f

  2   2

2







3

  2 f

f

12

f

f



36



0

 2   2 .

  2    2

  2 .

  2

    

2





3

f

f



12

f

f



36



0

 2   2 .

  2

  2 .

  2

         

f

  0

voli

Thay vào (2) ta có: (1) và



f

  2

f



1

  2   2

  2

   

.

y



 f x



x  là: 2

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ

39 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Đề thi thử nghiệm_2018

y



1

x



2

2

y

   . Chọn D. x







,d d là hai tiếp tuyến của 

C song song với nhau. Khoảng cách

 C y :

1

2

và Câu 50: Cho đồ thị 

1d và

 x 3 1 1  x 2d là:

lớn nhất giữa

A. 4 2 . D. 2 2 . B. 4 . C. 2 .

Lời giải

2

Chọn B.

y

 

x





2 1

2

2

Ta có: .



;

k



k 1

2

2

2







 1



 1

x 1

x 2

Gọi hệ số góc của hai tiếp tuyến là .

tuyến là

2

y



x





;

y



x





d

















x 1

d 1

x 2

2

2

2



x



2



 1



 1

x 1

2

2

2

2

2

Phương 2 hai 2 . tiếp  3 x 1  1 x trình  3 x 1 1  1 x 1







 1



 1

k 1

  k 2

   x 1

x 2

2

2



x





 1



 1

x 1

2

Vì hai tiếp tuyến song song với nhau nên

. 1 1 2 2        x 2 x 1 x 1 x 2       x 1 x 2

2 x 1 

3  2 1 Ta có: . A 0;  d 1   x 1 2  1 x 1        

2

3



2





2

1

1 3 





x 2 

x 2 2  1

2 x 1 

 x 1 2  1

x 2

x 1

d



;



;





 d A d



 d d d 1

2

2

4



1

4





 1

x 2

2

2

3

  2



2



1

3



2



1





x 2





 

x 2 

x 2 2  1

 x 2    2

  2 2  1

x 2

x 2



4



x 2



  1 2  1

x 2

2

2

4 2



1

x 2

x 2

x 2

3



2



1

 4    3 4 4









x 2 

8



8

x 2 

x 2 2  1

 

   2  1

x 2

x 2

8 

8 2  1

x 2

x 2







Khi đó khoảng cách giữa hai tiếp tuyến là:

4

4

4

4











 1

x 2

x 2

x 2





 4 

  1 2  1

 4 

  1 2  1

x 2

x 2

.

40 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Tiếp tuyến

2

2

2

8



8

64





x 2

2   d





  

16

d

4

4

4

2

  4



4





4



  1

 1  1

 1  1

x 2  x 2

 x 2  x 2

 64  x 2

.

d  khi:  4

4 1

  1 2    1 2 x 2 x 2 Min    4  . Chọn B. x 2    1 2    1 2 x 2 x 2        

41 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Tiếp tuyến

NHÓM GIẢI VẬN DỤNG CAO CHUYÊN ĐỀ TIẾP TUYẾN - NĂM HỌC 2018-2019

MÔN: TOÁN 12 VTED_2019

Thời gian làm bài 90 phút

LÝ THUYẾT

y



 f x



0x có phương trình

(cid:0) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ

y

 f

x













x 0

x 0

 f x 0



f



.





  f x

  f x là hàm số cụ thể, tính nhanh bằng cách nhập trong máy tính

x 0





d dx

 x x 0





 f x 0



f



(cid:0) Với .





x 0

lim  x x 0

  f x x



x 0

(cid:0) Chú ý: .

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

y

  f x tại điểm có hoành độ

0x là

Câu 1: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

y

f '

x





y

 

f

'

x





x 0

x 0

x 0

x 0

A. . B. .

y

f '

x





y

 

f

'

x





 

 

 

 

 

 

 

 f x 0  f x

 

x 0

x 0

 f x 0  f x 0

x 0

x 0

0

4

C. . D. .

1x







y

x

26 x

3 đồ thị hàm số tại điểm B khác A . Tọa độ của điểm B là

Câu 2: Cho hàm số , cắt . Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm A có hoành độ

3; 24

B

 

1; 8

B

3; 24

B

0; 3

 B















3

2

A. . B. . C. . D. .

1x

y



x



x



2

x



1

Câu 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ

3y

x .

y



7

x



4

y



3

x



3

7y

x .

y





x



x



2019

A. B. . C. . D.

x  là. 0

 x x

 1

 2 ...





y



x

y

 

x

Câu 4: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ

y

 

2019!

x

y



2019!

x

1 2019!

1 2019!

A. . B. . C. . D. .

y



2

x

 có hệ số góc bằng

1

1 3

y

y

y



Câu 5: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số là.

y



1 x 3

5  . 3

1 x 3

5  . 3

1 x 3

13 3

1 x 3

13 3

2

x

5

A. B. C. . D. .

x  là. 0

y



 x

4 

 x 2

y

y

y

Câu 6: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ

y

5 x 2

3  . 4

5 x 4

3  . 2

3 x 4

5  . 2

1 x 4

5  . 2

3





A. B. C. D.

y

x

23 x

2

 tại điểm 

   là 1; 2



 

 

Câu 7: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

y

x 9

11

y

x 9

 . 7

y

3

x

 . 1

y

3

x

 . 5

A. . B. C. D.

 tại điểm có hoành độ

x 

10

y

4 x

Câu 8: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tạo với hai trục toạ độ một tam

giác có diện tích bằng

1 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Tài liệu Vted_2018





B. 32. C. 16. D. 8 . A. 4 .

 mà tại đó tiếp tuyến song song với đường thẳng

y

x 2

y

24 x

6

x

3

Câu 9: Điểm thuộc đường cong

;7



là:

 1;13

1;1 .

1 2

1 2

  

 ;1  

  

  



. D. . B. . C.  A. 

C tại M song song

 C y :

có bao nhiêu điểm M mà tiếp tuyến của  Câu 10: Trên đường cong 

 x 1  x 2 . 1?

d x :

y 

với đường thẳng

4

2



x



2

x

 có bao nhiêu điểm mà tại đó tiếp tuyến song song trục

1

 C y :

A. 0 . B. 1. C. 2 D. 4 .

Câu 11: Trên đường cong  hoành.

4

y



x



22 x

 vuông góc với đường thẳng

3

A. 3 . D. 0 . B. 1. C. 2

1 0?

 

d x :

24



y

Câu 12: Có bao nhiêu tiếp tuyến của của đồ thị hàm số

A. 3 . D. 0 . B. 1. C. 2

y

x

x

2x  cắt đồ thị tại

2009



3 3 



Câu 13: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số: tại điểm A có hoành độ

B A



. Tọa độ điểm B là: điểm thứ hai B 

B

B

(1; 2017)

( 1; 2021)

( 4; 1967)

(4; 2071)

B 

B 

C . Xét điểm A A 2 1

2

2

3 2018 x y   1A cắt  C tại

x  thuộc  1 1 ;x y .Tiếp tuyến của 

A 3

3

C . Tiếp 1A có hoành độ C tại  có tọa độ  ;x y .Cứ tiếp tục như thế, Tiếp tuyến của 3

A. B. C. D.



n

1

2019x

n

 có tọa độ 

C tại điểm thứ hai 1nA  cắt 

 x y . Tìm ;n

20182

20202

20192

20172

? có tọa độ  A  A n Câu 14: Cho hàm số tuyến của  2A cắt  C tại  có đồ thị  x C tại điểm thứ hai A 2 C tại điểm thứ hai

C . Xét điểm A A 2 1

2

2

3 2018 x y   1A cắt  C tại

x  thuộc  1 1 ;x y .Tiếp tuyến của 

C . Tiếp 1A có hoành độ C tại  có tọa độ  ;x y .Cứ tiếp tục như thế, Tiếp tuyến của 3

3

A. B. C. D.

A 3

có đồ thị  x C tại điểm thứ hai A 2

 có

n

1

A 

x y . Tìm n biết ;n

n

C tại điểm thứ hai  1nA  cắt

C tại điểm





2019

2018

2



0  ?

x n

y n

thứ hai tọa độ có tọa độ  A  n Câu 15: Cho hàm số tuyến của  2A cắt  C tại 

3



6

  3

x



10

A. 2018 B. 2019 C. 674 D. 673

y



 f x



  f x

 f x



 

y



Câu 16: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên  thỏa mãn với

1x  là:

    f x

y

y

 

x

mọi x   . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ

x .

y

x   .

2

1 x 3

2  . 3

1 3

4  . 3

A. C. D. B. y

2 | VD_VDC

Chuyên đề_Tiếp tuyến

y



3

x

 có đồ thị  1

C . Tìm hệ số góc k của tiếp tuyến của 

Câu 17: Cho hàm số

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19 C tại điểm có

5x  .

hoành độ

k  . 4

3 k  . 4

3 k  . 2

3 k  . 8

A. B. C. D.

y



C . Tiếp tuyến của 

C tại giao điểm của 

C với trục

x 2 x 3

 

1 2

Câu 18: Cho hàm số có đồ thị 

y

x 4

y

 

4

x

hoành là?

 . 2

 . 2

y

y

 

x

1 x 4

1  . 2

1 4

1  . 2

3

2

A. B. C. D.

y



x



6

x



5

x



11

1 3

Câu 19: Cho hàm số có đồ thị (C). Biết tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ

C. D.

0x có hệ số góc nhỏ nhất. Mệnh đề nào sau đây đúng? B. A. 0

  3

 0

 3

x 0

x 0

x   3 0

x  3 0

2

f x ( )



2

x



x

.

,k k lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm 1

2

0; 2

f x ( )

y



f x '( )

Câu 20: Cho hàm số





x  0



2

x





2

x



Gọi  y của các đồ thị hàm số và . Mệnh đề nào sau đây đúng?

  1

 1

0

0

2 k 1

2 x k 0

2

2 k 1

2 x k 0

2



2

x





2

x



A. B.

  1

 1

0

0

2 k 1

2 x k 0

2

2 k 1

2 x k 0

2

C. D.

y



Câu 21: Có bao nhiêu tiếp tuyến của đường cong (C): mà tiếp điểm có tọa độ nguyên?



23 x

4

A. 6 B. 8 D. 3

 x 2 4 x  1 C. 4 3  x y

 song song với đường thẳng

y

 

x

 là 1

5 3

Câu 22: Tất cả các tiếp tuyến của đồ thị hàm số

y

 

x



y

 

x





y

 

x







5 3

1 3

8 27

5 3

5 3

8 27

1 3

100 27

5 3

  

  

  

  

A. B. và





y

 

x



y

 

x



y

 

x





5 3

5 3

100 27

5 3

5 3

100 27

   1 3

8 27

   5 3

  

  

  

  

  

  



3

22 x

C. D. và



 C y :

2  x  x 3

mà tiếp điểm có tọa độ nguyên Câu 23: Có bao nhiêu tiếp tuyến của đường cong 

A. 6 B. 8 D. 3 C. 4



3

x

 vuông góc với đường thẳng

4

y



x





31

1

x y    là 9

y



9

x

3





15

y



9

x

y



9

x

15



3



Câu 24: Tất cả các tiếp tuyến của đồ thị hàm số

y



9

x

15

y



9

x

y



9

x

A. và B.

 

    3

 

   1 1    1 1

 

    1 1

3

2

y



x



m



2

x



mx 3

C. và D.





C . Tiếp tuyến của 

C tại điểm có hoành độ

1x  luôn đi qua điểm nào dưới đây?

Câu 25: Cho hàm số có đồ thị 

3 | VD_VDC

P

A. B. C. D.

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18  M 

1;1

 N   1; 1



   1; 1

Tài liệu Vted_2018 

 Q   1; 1

3

2

y

x

m

x

mx









(

2)

3

Câu 26: Cho hàm số có đồ thị (C). Khoảng cách lớn nhất từ gốc tọa độ đến

x  bằng:

1

tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ

2 2

3 3

2

3

y



x

x

2





m

mx 3



A. . C. . D. 3 B. 2 .



C . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m để

x  tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích

1

 C tại điểm có hoành độ

Câu 27: Cho hàm số có đồ thị 

tiếp tuyến của  bằng 2 . Tìm số phần tử của S .

3

y



A. 4 . B. 2 . C. 1. D. 3

C . Tiếp tuyến của 

C tại giao điểm với trục tung là.

  x  1  2 x

Câu 28: Cho hàm số có đồ thị 

y

 

x

y

x   .

y

 

x

y

 

x

9 4

3  . 2

9 2

3  . 2

4 3

3  . 2

3 2

A. B. C. D.

y



C . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số

2

1

x   vuông góc với đường thẳng

 x 4  x m 3 m để tiếp tuyến của 

C tại điểm có hoành độ

y



 . Tính tổng các phần tử của S .

1

x

1 11

Câu 29: Cho hàm số có đồ thị 



 15 11

43 33

43 33

15 11

4

A. . B. . C. . D. .

y



24

x

 là. 1

y



x



22 x

 song song với đường thẳng

3

Câu 30: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

y



24

x



23

y



24

x



23

y



24

x



43

y



24

x



43

y



A. . B. . C. . D. .

)C . Có bao nhiêu tiếp tuyến của (

)C mà tiếp điểm có tọa độ

x  1) 3(  2 x

Câu 31: Cho hàm số có đồ thị (

nguyên ?

4

2

y



x



2

x

A. 3 . B. 6 . C. 2 . D. 4 .

 tại giao điểm của nó với trục hoành và có hệ số

1 4

9 4

Câu 32: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

góc dương là:

y

x 3(

 . 1)

y



15(

x

 . 3)

y



15(

x

 . 3)

y

x 3(

 . 1)

y



A. B. C. D.

x  1) 3(  2 x

Câu 33: Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ?

4

3

2

A. 1. C. 2 . B. 3 . D. 0 .

y



x



3

x



2

x

Câu 34: Có một tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị hàm số tại đúng hai điểm phân biệt M

x

x

N

M

bằng và N với M x ( tham khảo hình vẽ bên). Giá trị biểu thức N x

4 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Tiếp tuyến

4

3

2

. . C. 2 2 . D. 6 . B. 11 2 A. 3 2

y



x



x



x

Câu 35: Có một tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt M và N

( tham khảo hình vẽ bên). Tính diện tích tam giác OMN

2

x



 1

. . . . A. 25 11 256 B. 25 11 128 C. 5 11 256 D. 5 11 128

y



 x



2

Câu 36: Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số mà tiếp điểm cách đều các trục tọa độ.

B. 3 . A. 1. C. 2 . D. 4 .

B

2; 6

y



 A  , 1; 3





  .

x x

 

2 1

Câu 37: Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số cách đều hai điểm

3; 6

A. 4 . B. 3 . C. 2 . D. 1.

y



x

3 3 

x

1; 2A 

 B  



Câu 38: Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số cách đều hai điểm , .

4

y



x



A. 4 . B. 3 . C. 2 . D. 5 .

 A   , 1; 1



23 x 2

B  

2; 2

Câu 39: Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số cách đều hai điểm





.

4

2



x



3

x

2

 tại hai điểm phân biệt A và B

B. 6 . C. 7 . D. 5 . A. 4 .

 C y :

C tại A

Câu 40: Cho đường thẳng y m cắt đường cong 

M

0; 40

N

 0; 42

P

 0; 38

0; 40

sao cho tam giác OAB vuông tại O với m là số thực dương. Khi đó tiếp tuyến của  và B cắt nhau tại điểm nào dưới đây?













 Q 



A. . B. . C. . D. .

----------HẾT----------

Tài liệu Vted_2018

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18 NHÓM GIẢI VẬN DỤNG CAO

CHUYÊN ĐỀ TIẾP TUYẾN - NĂM HỌC 2018-2019

VTED_2019 MÔN: TOÁN 12

Thời gian làm bài 90 phút

Đề đã thay đổi thứ tự câu (sắp xếp theo độ khó tăng dần) so với đề gốc

BẢNG ĐÁP ÁN THAM KHẢO

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

y

HƯỚNG DẪN GIẢI

  f x tại điểm có hoành độ

y

f '

x





y

 

f





x

'

Câu 1: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số













0x là 



x 0

x 0

 f x 0

x 0

 f x 0

x 0

A. . B. .

y

f '

x





y

 

f

'

x





















x 0

x 0

 f x 0

x 0

x 0

 f x 0

C. . D. .

Hướng dẫn giải

Chọn A.

y

  f x tại điểm có hoành độ

0x là

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

y

f '

x













x 0

x 0

 f x 0

4

.

1x

26 x

x

y







 

1; 8

3; 24

B

3; 24

B

0; 3

Câu 2: Cho hàm số , cắt . Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm A có hoành độ

3 đồ thị hàm số tại điểm B khác A . Tọa độ của điểm B là A. B

 B















C. B. . . . D. .

Hướng dẫn giải

1x

8 

y

8 

y

Chọn A.

y

y



y

x

 

8

x .

 1   ' 1

  ' 1   1

   1

Có: ; . Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ là:

2

4

4

2

6

x



3



8

x

 

3 0





3; 24

 B  



  1;

3; y

y  24   8

y y

x    8

 x

x y

x 6  x 8  

x    x 

  

  

3

2

y



x



x



2

x



1

1x

Tọa độ điểm B thỏa mãn hệ:

3y

y



7

x



4

y



3

x



3

7y

Câu 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ

x .

x .

A. B. . C. . D.

Hướng dẫn giải

6 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Tiếp tuyến

Chọn A.

1x

3

y

3

y

y

y



y

x



3

x .

 1   ' 1

  ' 1   1

   1

y





x



x



2019

Có: ; . Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ là:

x  là. 0

 1

 2 ...



y



x

y

 

x

Câu 4: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ

y

 

2019!

x

y



2019!

x

 x x 1 2019!

 1 2019!

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải



f

  f x

  0



Chọn D

f





x



x



x



2019



2019!

  0



 1

 2 ...





 

 

lim  x 0

lim  x 0

x

y

 f

x



0



f



2019!.

x

Ta có .

x  là 0

  0



  0

Suy ra phương trình tiếp tuyến tại .

y



2

x

 có hệ số góc bằng

1

y

y

y



Câu 5: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số là.

y



1 x 3

5  . 3

1 x 3

5  . 3

1 x 3

1 3 13 3

1 x 3

13 3

A. B. C. . D. .

Hướng dẫn giải

Chọn B



 ;M x y 0 0



Gọi là tiếp điểm.

f



  x

1 x

2



1

Ta có .

y



2

x

 có hệ số góc bằng

1

1 3



f

  

4

Vì tiếp tuyến của đồ thị hàm số nên



0 x

x 0

1   3

1 3

2



1

1 x 0

y

 f

x



4



f



x

.

  4



  4

1 3

5  . 3

2

x

5

Suy ra phương trình tiếp tuyến là

x  là. 0

y



 x 2

y

y

y

Câu 6: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ

y

4   x 3  . 2

5 x 4

3 x 4

5  . 2

5 x 2

3  . 4

1 x 4

5  . 2

B. C. D. A.

Hướng dẫn giải

Chọn C

7 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Tài liệu Vted_2018

2

2

x



4

x



4

x



5

2











f



f 

  x

  0

x 2

3  . 4

 

x

2

 

 

Ta có nên

x  là 0

y

 f

x



0



f



x

  0



  0

3 4

5  . 2

3





Suy ra phương trình tiếp tuyến tại

y

x

23 x

2

 tại điểm 



 

 

Câu 7: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

y

x 9

11

y

x 9

 . 7

y

y

3

x

 . 5

   là 1; 2  . 1

3

x

A. . B. C. D.

Hướng dẫn giải

2





Chọn B.

y

'

3

x

9

6

1

y

x

pttt y :

9

x

 7

      '



Ta có

 tại điểm có hoành độ

x 

10

y

4 x

Câu 8: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tạo với hai trục toạ độ một tam

B. 32. C. 16. D. 8 . giác có diện tích bằng A. 4 .

Hướng dẫn giải



 

Chọn

y

'

y

pttt

:

y

x

 ' 10



1    25

1 25

4  5

 

 Ox A

20; 0

  OA

20

 

  



 Oy B

0;

OB

8

S

OAB

4 5

4 5

   

   





Ta có D. 4    2 x

 mà tại đó tiếp tuyến song song với đường thẳng

y

24 x

6

x

3

y

x 2

Câu 9: Điểm thuộc đường cong

;7

là:

1;1 .

 1;13

1 2

1 2

  

  

  

 ;1  

B. . . D. . A.  C. 

Hướng dẫn giải

x 2

k

          2

x

x

1

y

2

6

8

y

1

'

1;1

A

Chọn Do tiếp A. tuyến song song nên tiếp tuyến có hệ số góc

y 



với 

C tại M song song

 C y :

có bao nhiêu điểm M mà tiếp tuyến của  Câu 10: Trên đường cong 

 x 1  x 2 . 1?

d x :

y 

với đường thẳng

B. 1. C. 2 D. 4 . A. 0 .

Hướng dẫn giải Chọn B.

8 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Tiếp tuyến

D  

  \ 2

;

C

;

Tập xác định: .





 M x y 0 0

x 0 x 0

  M x    0 

 1   2 

 1

y

'



Gọi

x



2



2

 1

k



f

'



Đạo hàm





x 0

2

2



x 0

Hệ số góc

d x :

       y 1

 1

y

x

 1

  1

Ta có đường thẳng

d y :

x   nên 1



2



2

x 0



2

ktm

2





  1

 1

   x 0



0

x 0 x 0

  x 1 1  0     x 1 1  0

   

Do tiếp tuyến song song với đường thẳng

0

x  nên có một tiếp tuyến. 0

4

2



x



2

x

 có bao nhiêu điểm mà tại đó tiếp tuyến song song trục

1

 C y :

Có một giá trị

Câu 11: Trên đường cong  hoành. A. 3 . D. 0 . B. 1. C. 2

4

;

;



2

Hướng dẫn giải A.





 M x y 0 0

0

2 x 0

0

 M x x

  1

3

y

'



4

x



x

Gọi Chọn Tập xác định: D   .    C

k



f

'



4



4

Đạo hàm



4 

x 0

3 x 0

x 0

Hệ số góc

4



0

3 x 0

x 4 0

0





4

x 0

2 x 0



  1

x 0 x 0

Do tiếp tuyến song song với trục hoành nên

      0 1    nên có ba tiếp tuyến.



1

x 00,

x 0

4

y



x



22 x

 vuông góc với đường thẳng

3

Có 3 giá trị

1 0?

 

d x :

24



y

Câu 12: Có bao nhiêu tiếp tuyến của của đồ thị hàm số

A. 3 . D. 0 . B. 1. C. 2

4

;

;



2

Hướng dẫn giải B. Chọn Tập xác định: D   .



   C



 M x y 0 0

0

2 x 0

0

 M x x

  3

3

Gọi

y

'



4

x



x

Đạo hàm

k



f

'



4



4



4 

x 0

3 x 0

x 0

Hệ số góc

d x :



24

y

    

1 0

y

x



1 24

1 24

Ta có đường thẳng

9 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Tài liệu Vted_2018

d x :



24

y

4



4

.



 

1

3 x 0

x 0

  nên  1 0



1 24

  

  

4

  

24



0

2

2

3   4 x x x 0 0 0 x  nên có 1 tiếp tuyến. Có 1 giá trị 0

Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

2x  cắt đồ thị tại

y

x

x

2009



3 3 



Câu 13: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số: tại điểm A có hoành độ

B A



. Tọa độ điểm B là:

B

B

( 1; 2021)

( 4; 1967)

(4; 2071)

B 

B 

B. C. D. điểm thứ hai B  A. (1; 2017)

Hướng dẫn giải

Chọn C

y

1993

x 9



2

x

x

x

x

2009 9

1993

3 12

3 3 







x  



- Phương trình tiếp tuyến của (C) tại A:

 16 0

  x x

4

 

  

- PT hoành độ giao điểm:

3 2018



A 1

1A có hoành độ C tại điểm thứ hai A 2

A 3

2

2

3

C . Xét điểm 1A cắt  C tại C tại điểm thứ hai



A n

n

1

A 2 có tọa độ  A 

C tại

1nA  cắt 

C tại điểm thứ hai

Câu 14: Cho hàm số

có tọa độ  ;x y .Cứ tiếp 3  có tọa độ  x y . ;n n

2019x

20182

20202

20192

20172

có đồ thị  x y x  C . Tiếp tuyến của  x  thuộc  1 1  2A cắt  C tại ;x y .Tiếp tuyến của   tục như thế, Tiếp tuyến của  Tìm ?

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

2

3

y

x

x

3

2018









Chọn B

n

x x  n

n x  n

n

1

1

1

1









1nA  :





 2018

3

2

3

x

x

x

x

3

2018

2018

2018











n

x x  n

x n

n

1

1

1

1











3

2

3

x

x

x

3

2

 0





n

n

1

1





2

x

2

0





x x n

x n

1

1





- Phương trình tiếp tuyến tại điểm



x        x

x

 

x n 1  x 2 n

1



  

2018

- PT hoành độ giao điểm:  .  

x

x

x

1;

2;

2



 



x 1

2

3

2019

  

2 2 ....;

3 2018



Ta có:

A 1

1A có hoành độ C tại điểm thứ hai A 2

A 3

2

2

3

Câu 15: Cho hàm số

C . Xét điểm C tại 1A cắt  C tại điểm thứ hai

A 2 có tọa độ 

có đồ thị  x y x  C . Tiếp tuyến của  x  thuộc  1 1 2A cắt  C tại ;x y .Tiếp tuyến của    có tọa độ  ;x y .Cứ tiếp 3

10 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Tiếp tuyến



A n

n

1

A 

C tại

1nA  cắt 

C tại điểm thứ hai

 x y . ;n n

2019

2018

2

tục như thế, Tiếp tuyến của  có tọa độ 



0  ?

x n

y n

Tìm n biết

A. 2018 B. 2019 C. 674 D. 673

Hướng dẫn giải

2

3

y

x

x

3

2018

2018









Chọn C

n

x x  n

n x  n

n

1

1

1

1











1nA  :





3

2

3

x

x

x

x

3

2018

2018

2018











n

x x  n

x n

n

1

1

1

1











3

2

3

x

x

x

3

2

 0





n

n

1

1





2

x

2

0





x x n

x n

1

1





- Phương trình tiếp tuyến tại điểm



x        x

x

 

x n 1  x 2 n

1



   Ta có:

n

1



1;

2;

2



 

x n

x 1

x 2

x 3

  



n

n

3

3

1





2





y n

  



    2018 2

2  2 ....; 

n

n

n

1

3

3

1







2019

2019

x

2018

2

2

2

0





0  











y n

n

 2018. 2



  



 2018. 2



n

3

3



2019

2

2

0





 674

   n  

3



6

  3

x



10

y



- PT hoành độ giao điểm:  .  

 f x



  f x

 f x



 

Câu 16: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên  thỏa mãn với

1x  là:

y



y

y

 

x

tại điểm có hoành độ mọi x   . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

x .

y

x   .

2

    f x 2  . 3

1 3

4  . 3

C. D. A. B. y

1 x 3 Hướng dẫn giải

3

3

f

f 6

  

3 10



f



6

f

   7 0

f



1

Chọn D.

1x  ta có:

  1

  1

  1

  1

  1

 

 

 

3



6

  3

x



10

Thay .

 f x

  

  f x

 

2

 .

3.

.

f

'

x



f 6 '

    3,

x

    x

  f x





 

 

2

3.

f

.

f

f

  3

Theo bài ra ta có: đúng với mọi x nên đạo hàm hai vế ta có:



3.1.

f



6.

f

 

3

f

  1

  ' 1

  6 ' 1

  ' 1

  ' 1

  ' 1

 

 

1   . 3

Suy ra:

y



f

x

.

x

   y

   y

x

   ' 1 .

   1 1



   1 1

1 3

Do đó ta có: phương trình tiếp tuyến là:

y



3

x

1 3  có đồ thị  1

4  . 3 C . Tìm hệ số góc k của tiếp tuyến của 

C tại điểm có

Câu 17: Cho hàm số

5x  .

hoành độ

11 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Tài liệu Vted_2018

k  . 4

3 k  . 2

3 k  . 8

3 k  . 4

B. C. D. A.

y

'



Hướng dẫn giải Chọn D

3 x 2 3



1

Ta có : .

y





  ' 5

3 8

3 2 3.5 1



Nên: .

y



C . Tiếp tuyến của 

C tại giao điểm của 

C với trục

2 x x 3

 

1 2

Câu 18: Cho hàm số có đồ thị 

hoành là?

y

y

 

x

y

x 4

 . 2

y

 

4

x

 . 2

1 x 4

1  . 2

1 4

1  . 2

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

y

  0



0

x   .

Chọn A.

C với trục hoành: cho

1 2

2 x x 3

 

1 2

1

1

Giao của 

y

'



  ' y





4

2

1 2

  

  

3

x



2



2

1 2

  

  

Khi đó: .

  y

4

x

 . 2

y



4.

x





0

1 2

  

  

3

2

Vậy phương trình tiếp tuyến là:

y



x



6

x



5

x



11

1 3

Câu 19: Cho hàm số có đồ thị (C). Biết tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ

C. D.

0x có hệ số góc nhỏ nhất. Mệnh đề nào sau đây đúng? B. A. 0

  3

 0

 3

x 0

x 0

x   3 0

x  3 0

Hướng dẫn giải

2

Chọn D

y

'



x



12

x

 5

Ta có

0x có hệ số góc

2

2

)





12

 

5 (



6)



31

31

y x '( 0

x 0

x 0

x 0

     x 0

Tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ là:

31

   x 6 0

2

f x ( )



2

x



x

.

Tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất là

,k k lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm 1

2

Câu 1: Cho hàm số

0; 2

f x ( )

y



f x '( )





x  0

của các đồ thị hàm số và . Mệnh đề nào sau đây đúng? Gọi  y



2

x



  1



2

x



 1

0

0

2 k 1

2 x k 0

2

2 k 1

2 x k 0

2



2

x





2

x



A. B.

  1

 1

0

0

2 k 1

2 x k 0

2

2 k 1

2 x k 0

2

C. D.

12 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Tiếp tuyến

Hướng dẫn giải

2

'

1



(2

x



x

1



x

2

f x ( )



2

x

2   x

f x '( )



2

x



x





  k 1

) ' 2

2

2





2 2

x



x

2

x



x

2

x 0

x 0  x 0

'

2

2

'



x

. 2

x



x

x

.

2

x



x

' .

 1



   1

1



1



x



 

f x '( )





f

x ''( )





2

2

2

2

x



x

2

2

x



x

  

  

x 0

x 0  x 0

1



x

2



2

x



x

x

.

2

   1



2

2

2

x



x

x

1

2

x



x







  k 2

2

2

2

2

2

2

2

2

x



x

2

x



x

   1 2

x



 x

2

x



x

2

x



x

2



2



x 0

x 0

x 0

x 0

 







 

 1 

2

2







1



2

x



x

2

0

0

2







2



.









 

1

2   k 1

x 0

2 x k 0

2

x 0

x 0

2

2

2

2

2

2

2

 1 2



 1 2 2

 

2

x



x

 1 2



1 

2

x 0

 x 0 x 0

x 0 x 0

x 0 x 0

0

0

x 0

 x 0 x 0

2



2



x 0

x 0





x 0

x 0

x 0

x 0

 1 





2



  1

2 k 1

x 0

2 x k 0

2

Chọn A

Vậy

y



Câu 20: Có bao nhiêu tiếp tuyến của đường cong (C): mà tiếp điểm có tọa độ nguyên?

B. 8 D. 3

 2 x 4  1 x C. 4

A. 6 Yêu cầu bài toán trở thành tìm điểm trên đồ thị (C) có tọa độ nguyên

Hướng dẫn giải

Chọn B

(

0 2







  2

  

1

y 0

x 0

Gọi là điểm thuộc đồ thị (C) có tọa độ nguyên, suy ra

     1; 2; 3; 6

M x y ) ; 0  4  1

2 6    1

6 

1

2 x 0 x 0

x 0 x 0

x 0

là ước của 6. Mà Ư(6)= 

(

)

x y ; 0

0

3

y



x



23 x

4

Từ đó có 8 cặp số thỏa mãn.

 song song với đường thẳng

y

 

x

 là 1

5 3

Câu 21: Tất cả các tiếp tuyến của đồ thị hàm số

y

 

x



y

 

x





y

 

x







5 3

1 3

8 27

5 3

5 3

8 27

5 3

1 3

100 27

  

  

  

  

A. B. và







y

 

x



y

 

x



y

 

x



5 3

5 3

100 27

5 3

5 3

100 27

   5 3

   1 3

8 27

  

  

  

  

  

  

C. D. và

Hướng dẫn giải

22 x



3

Chọn B.



 C y :

2  x  x 3

mà tiếp điểm có tọa độ nguyên Câu 22: Có bao nhiêu tiếp tuyến của đường cong 

C. 4 A. 6 B. 8 D. 3

Hướng dẫn giải

13 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Tài liệu Vted_2018

Chọn A.



3

x

 vuông góc với đường thẳng

4

y



x





31

1

x y    là 9  9

y

x

15

y



9

x

y



9

x

15



3



Câu 23: Tất cả các tiếp tuyến của đồ thị hàm số

y



9

x

15

y



9

x

y



9

x

A. và B.

 

   3    3

 

   1 1    1 1

 

    1 1

C. và D.

Hướng dẫn giải

3

2

y



x



m



2

x



mx 3

Chọn A.





C . Tiếp tuyến của 

C tại điểm có hoành độ

Câu 24: Cho hàm số có đồ thị 

P

B. C. D.

1x  luôn đi qua điểm nào dưới đây?  N   A. 1; 1

 M 

1;1



   1; 1

 Q   1; 1



Hướng dẫn giải:

2

y

 ' 3

x



2

m



2

 x m 3

Chọn A.





x

  1

A

m

. Tập xác định D   ;

C có hoành độ

 1; 2

  1

y

1

Gọi A là điểm thuộc 

m  .

  ' 1

Mặt khác



x

2

m

  

1



x m

  

  y m

 1

   1

 y m

 1

 y m x

   x 1

Vậy phương trình tiếp tuyến d tại A là:

x

       1

1 0

1

y

x

M



Cho

 m



1;1

3

2

Suy ra tiếp tuyến d luôn đi qua điểm

y

x

m

x

mx









(

2)

3

Câu 25: Cho hàm số có đồ thị (C). Khoảng cách lớn nhất từ gốc tọa độ đến

x  bằng:

1

tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ

2 2

3 3

A. . B. 2 . D. 3 C. .

Hướng dẫn giải

y

m

 





23 x

2(

2)

x m  3

x  là: 1

Tập xác định: D  

x

m

x y m



 

  

y m  (

1)(

1) 2

m (

1

1)

   0

Tiếp tuyến  của đồ thị hàm số (C) tại điểm có hoành độ

14 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Tiếp tuyến

2

m

2 d  

,

 d O

  

2

m

m



m  2

2

m





(

2 1)

1

2



f m (

)

2

m

m



m  2

2

2

m

m



  



 f m (

)

0

0,

2

 m

4 

m  2 2 m  2

m 2 2)

(

Xét hàm số với tập xác định 

2

3

y



x

x

2





m

mx 3



GTLN của hàm số là 2. Vậy khoảng cách lớn nhất từ gốc tọa độ đến tiếp tuyến là 2 .



C . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m để

x  tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích

1

 C tại điểm có hoành độ

Câu 26: Cho hàm số có đồ thị 

tiếp tuyến của  bằng 2 . Tìm số phần tử của S . B. 2 . A. 4 . C. 1. D. 3

Hướng dẫn giải



x

2

m

Chọn D.

x  là 1

 . 1

  y m

 1

   1

Phương trình tiếp tuyến của đồ thi tại

A

;0

m  1

  m 

  

. Tọa độ giao điểm của tiếp tuyến với trục Ox là

 0;B m



2

2

Tọa độ giao điểm của tiếp tuyến với trục Oy là

S



OA OB .



m



  

m

2

4

m



1

OAB

1 2

1 2

 m

m  1

1 2

m  m

1

2

2

m



4

m



4

m



4

m

 

4 0





  m

2;

m

  

2 2 2

Diện tích tam giác OAB là

2

2

m

 

4

m



4

m



4

m

 

4 0

  

  

3

y



Vậy có ba giá trị m .

C . Tiếp tuyến của 

C tại giao điểm với trục tung là.

   1 x  2 x

Câu 27: Cho hàm số có đồ thị 

y

 

x

y

x   .

y

 

x

y

 

x

9 4

3  . 2

9 2

3  . 2

4 3

3  . 2

3 2

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Tài liệu Vted_2018

M

3 2

  0; 

  

+ Giao điểm với Oy :

k



y



  ' 0

 9 4

+ Hệ số góc

y

 

x

9 4

3  2

+ Viết được PPTT là

y



C . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số

2

x   vuông góc với đường thẳng

1

 x 4  x m 3 m để tiếp tuyến của 

C tại điểm có hoành độ

y



x

 . Tính tổng các phần tử của S .

1

Câu 28: Cho hàm số có đồ thị 



 15 11

43 33

1 11 43 33

15 11

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

 3 m



Chọn B.

k



y

'

   11



   1

 

2 3

m



8 2

1 36 99

 m    m 

+ Ta có hệ số góc

S

36 99

15 11

 1;   

  

4

3

+ Vậy tổng là

23





x

y

y 

x  x 24

 

22 x 23 .

A. B. . C. . Câu 29: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 24

 song song với đường thẳng x D.

43

24





y

y y

 

24 x x 24

 là. 1  43 .

Hướng dẫn giải

y



24

x

 nên hệ số góc tại tiếp điểm

1





M x y là ; 0

0

0

Chọn C.

4.





k



4

   là tiếp điểm duy nhất, suy ra

24

2

M



 y x ' 0

3 x 0

x 0

 0 2;5

. + Vì song song với 

y



x



43

x 0 24

y



+ Vậy phương trình tiếp tuyến

)C . Có bao nhiêu tiếp tuyến của (

)C mà tiếp điểm có tọa độ

x  1) 3(  2 x

Câu 30: Cho hàm số có đồ thị (

C. 2 . D. 4 . nguyên ? A. 3 . B. 6 .

Hướng dẫn giải

Chọn B

16 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Tiếp tuyến

y



  3

2x  là ước nguyên

x  1) 3(  2 x

các điểm có tọa độ nguyên thỏa mãn điều kiện :

9 x  2    x 1 2      2 x 3      x 9 2 

)C mà tiếp điểm có tọa độ

. của 9 khi đó

4

2

y



x



2

x

Hệ trên có 6 nghiệm nguyên, do đó có 6 tiếp tuyến của đồ thị ( nguyên.

 tại giao điểm của nó với trục hoành và có hệ số

9 4

1 4

y



15(

x

y



15(

x

y

x 3(

y

Câu 31: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

 . 3)

 . 3)

 . 1)

B. C. D. góc dương là:  . 1) x 3( A.

Hướng dẫn giải

4

2

y



x



2

x

Chọn B

 và trục hoành thỏa mãn

9 4

1 4

0

y



0

y



0





4

2

2

x

  3

x



2

x

0

x



9

  

  

 y   1  4

9   4

y

15

3

Giao điểm của đồ thị hàm số

y

'



x

4

y

'

l 15( )

    x 

Ta có:

   ' 3      3 y



15(

x

 . 3)

y



Vậy phương trình tiếp tuyến

Câu 32: Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ?

B. 3 . D. 0 . A. 1.

 x 3( 1) 2  x C. 2 .

Hướng dẫn giải

y



kx

d ( )

Chọn C

y



Phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ có hệ số góc k là .

x  1) 3(  2 x



kx

x

   1

3



9

x

2

khi và chỉ khi : Đường thẳng ( )d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số





  x

2

x

2 0

2

 1) 3( x x  2  9

 1) x 3(  2 x

x



2

x

   1

3





      

2

x



2





      k 

.

4

3

2

y



x



3

x



2

x

Vậy có hai tiếp tuyến của đồ thị đi qua gốc tọa độ.

Câu 33: Có một tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị hàm số tại đúng hai điểm phân biệt M

x

N

x M

bằng và N với M x ( tham khảo hình vẽ bên). Giá trị biểu thức N x

17 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Tài liệu Vted_2018

. . C. 2 2 . D. 6 . B. 11 2 A. 3 2

Hướng dẫn giải

Chọn B.

y



 a x b .

Giả sử phương trình tiếp tuyến là:

3

4

3

độ giao điểm:

3

x



x



a x b .

3

x



a x b .

 

Ta 4  x có 2 x 2 phương    trình 2  x 2 hoành 0 (*)

Để tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị tại đúng hai điểm phân biệt M và N thì phương trình (*)

x



;

x



x 1

N

x 2

M

4

3

2

2

x



3

x



2

x



a x b .

 

(

x



2 ) .(

x



)

phải có hai nghiệm kép là

x 1

x 2

4

3

2

2

2

  x

3

x



2

x



a x b .

 

(

x





).(

x





)

x x 2 . 1

2 x 1

x x 2 . 2

2 x 2

4

3

2

2

2

  x

3

x



2

x



a x b .

 

(

x





).(

x





)

x x 2 . 1

2 x 1

x x 2 . 2

x 1

3

2

4

3

2

4

3

x



2

x



a x b .

 

x

 

( 2.



x



(



4



).

x

 

( 2



2

).

x



x 2

x 2 ). 1

2 x 2

x x 1 2

2 x 1

2 x x 1 2

2 x x 1 2

2 2 x x 1 2

  x

Hay





x 1

x 2

2.



2



3

2







(



)





  x 1

x 2

x 1

x 2

x x 4 . 1 2

11 2

x 2 4



x 1 



2

2 x 2

x x 1 2

2 x 1

    



x x . 1 2

 3 2  1 8

     

4

3

2

Đồng nhất hệ số ta được:

y



x



x



x

Câu 34: Có một tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt M và N

( tham khảo hình vẽ bên). Tính diện tích tam giác OMN

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Tiếp tuyến

. . . . A. 25 11 256 B. 25 11 128 C. 5 11 256 D. 5 11 128

Hướng dẫn giải

y



Chọn A.

 a x b .

4

3

2

4

3

2

Giả sử phương trình tiếp tuyến là:

x



x



x



a x b .

  

x

x



x



a x b .

 

0 (*)

Ta có phương trình hoành độ giao điểm:

Để tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị tại hai điểm phân biệt M và N thì phương trình (*) phải có

x



;

x



x 1

N

x 2

x 2

M

4

3

2

2

hai nghiệm kép là giả sử 1 x

x



x



x



a x b .

 

(

x



2 ) .(

x



)

x 1

x 2

4

3

2

2

2

  x

x



x



a x b .

 

(

x





).(

x





)

x x 2 . 1

2 x 1

x x 2 . 2

2 x 2

4

3

2

2

2

  x

x



x



a x b .

 

(

x





).(

x





)

x x 2 . 1

2 x 1

x x 2 . 2

x 1

4

3

2

4

3

2

  x

x



x



a x b .

 

x

 

( 2.



x



(



4



).

x

 

( 2



2

).

x



x 2

x 2 ). 1

2 x 2

x x 1 2

2 x 1

2 x x 1 2

2 x x 1 2

2 2 x x 1 2

Hay





x 2

x 1

2



2.



1

Đồng nhất hệ số ta được:

x 2 4

x 1 

2 x 1

 1 2  5 8

  2 x  2  2 2 x x  1 2  x x x 2  1 2 1

 x x . 1 2    1    d y :  x  5 8 25 64 x x 1 2   b 5 8 (  )  a x 2

        a      b 

25 64

OMN

2

25 62

S



.d(O; MN).MN



a







Suy ra diện tích tam giác bằng:

2

x 1

x 2



 1

2

1 2

25 11 256

1 2

1

5 8

   

  

2

x



 1

y



.

 x



2

Câu 35: Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số mà tiếp điểm cách đều các trục tọa độ.

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Tài liệu Vted_2018

B. 3 . A. 1. C. 2 . D. 4 .

Hướng dẫn giải

Chọn C.

2

m

,

m



2

+ Ứng với mỗi tiếp tuyến có 1 tiếp điểm duy nhất.

 m



2

 M m ;  

  1  

2



m

 1



m

2

m



 1





m

+ Gọi là tiếp điểm.

d M Ox ,



d M Oy ,









 m



2

2

 

m

 2  m    m 1 m



2

     

2

m



4

m

 

2 0

Ta có:

m  

2

6

2

m

 

2 0

   

(thỏa mãn).

B

2; 6

Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn.

y



 A  , 1; 3





  .

Câu 36: Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số cách đều hai điểm

A. 4 . D. 1.

 x 2 1  x C. 2 .

B. 3 .

Hướng dẫn giải

 3

y

'



Chọn A.

x





2 1

+ Ta có .

,

m



1

m m

 

2 1

 M m ;  

  

 3

2

y



.

 x m



  3



 y m



m 4

  . 2 0

+ Gọi là tiếp điểm.





 x m

2 1

2

m m

 

2 1

m





 1

2

2

2

2

 

3 3

m





m



4

m

  

6 6

2

m





m



4

m

Phương trình tiếp tuyến  :

 2

,





 1



 1

 d A ,

  

 d B



+ Ta có:

2

2

2



4

m



2

m

m



8

m



2

2

2

2



4

m



2

m

2

7

m



m 8



2

   2 7     



 

5

69

 11

0 m 3  6 m  0  2 . m  10 m   4 0   11  

   m    m    m 

3; 6

y



x

3 3 

x

Vậy có 4 tiếp tuyến thỏa mãn.

 B  



Câu 37: Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số cách đều hai điểm , .

B. 3 .

1; 2A  D. 5 .

A. 4 . C. 2 .

20 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Tiếp tuyến

Hướng dẫn giải

 .



Chọn B.

d có dạng: y ax b

x

3



 ax b



a

x

Gọi đường thẳng 

d là tiếp tuyến của 

C và cách đều A , B

b

a 3



6

3   x  2   3 3       2 a b 

2

2

 

1 2

2 3

   b

3

2

x b

 

x



3

x

Đường thẳng 

2 3

a b

 

2

3

2

x



3

x



x



x



3



2



 1 3



  a     b   a 0    2 b 

  a  2 x       

.

4

y



x



Vậy có ba tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán.

 A   , 1; 1



23 x 2

Câu 38: Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số cách đều hai điểm

B  

2; 2



.

B. 6 . C. 7 . D. 5 .

 A. 4 .

Hướng dẫn giải



 .

Chọn A.

d có dạng: y ax b

4

2

 ax b

x

x





3





a

x

Gọi đường thẳng 

d là tiếp tuyến của 

C và cách đều A , B

a b

1

2

a



2

3   2   x 3 4        b  

1

1

    b

1

x

    b

1

x

3 2

3 2

   

b

x

   

b

x



3 16

1 2

3 16

1 2

b



1



a



a

b



1

4

2

3

2

3

4

3

2

x



x



4

x



3

x



x



9

x



3

2

x

2 3 

4

x



x



3

x

 

1 0

 12



 a             

2 3 3 2

1 2

  a              

Đường thẳng 

21 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Tài liệu Vted_2018

x

 

3 2

4

3

2

3

2

y 

0

y



2

x



4

x



x



3

x

 có 1

y

 

8

x



12

x



2

x

 , 3

1 2

1 2

     x      x 

Xét

4

3

2

2

x



4

x



x



3

x

1 0

Bảng biến thiên:

  có hai nghiệm phân biệt.

Suy ra phương trình

4

2



x



3

x

 tại hai điểm phân biệt A và B

2

Vậy có 4 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán.

 C y :

C tại A

Câu 39: Cho đường thẳng y m cắt đường cong 

0; 40

 0; 38

0; 40

M

N

P

 Q 















D. C. B. . . . . sao cho tam giác OAB vuông tại O với m là số thực dương. Khi đó tiếp tuyến của  và B cắt nhau tại điểm nào dưới đây? A.  0; 42

Hướng dẫn giải

0m  nên 

C và đường thẳng y m luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ

4

  2

m

 . 0



A x m và

23 x x  B x m . 2;

Chọn C Do

2

2

 Tam giác OAB vuông tại O nên   OA OB  .

0

m m

    2



0

2m  (do

0m  )

thỏa mãn phương trình:   Khi đó, 1;

A

x x m   1 2  2; 2  B 

Lúc này: . ,



y



20

x



38



y

 

20

x



38

1 :

2 :

 0; 38

P

và

0  2; 2 Tiếp tuyến tại A và B lần lượt có phương trình: 



Do đó giao điểm của hai tiếp tuyến là .

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Tiếp tuyến

NHÓM GIẢI VẬN DỤNG CAO CHUYÊN ĐỀ TIẾP TUYẾN - NĂM HỌC 2017-2018

VTED_2019 MÔN: TOÁN 12

3

2

2

y



x



(

m



1)

x



(

m



4)

 x m 2

1

Thời gian làm bài 90 phút

 , có đồ thị (

)mC . Tổng tất cả giá trị nguyên

)mC

Câu 1: Cho hàm số

có hai tiếp tuyến vuông góc nhau. của tham số m để ( A. 9 . B. 6 . D. 10 . C. 3.

)H . Gọi

,A B là hai điểm thuộc (

)H sao cho tiếp tuyến của

y



x  1 3  1 x

(

)H tại A , B song song với nhau. Giá trị nhỏ nhất của OA OB

Câu 2: Cho hàm số , có đồ thị (

bằng

D. 2 10 . B. 2 2 . C. 4 2 . A. 4 .

3 3 

C . Gọi M , N lần lượt là 2 điểm phân biệt thuộc 

2

2

Câu 3: Cho hàm sô y  x ax b

b

bằng.  có đồ thị  C C tại M , N có hệ số góc bằng 3 . Biết khoảng cách từ gốc tọa độ O a

6 5

4 3

7 6

y



A. C. B. D. sao cho tiếp tuyến của  đến đường thẳng MN bằng 1. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 2

H sao cho tiếp tuyến

H . Gọi A , B là 2 điểm thuộc 

 1 x 3  1 x

 I 

2; 0

H tại A , B song song nhau. Khoảng cách từ

Câu 4: Cho hàm số có đồ thị là 

đến đường thẳng AB có giá trị

của  lớn nhất bằng.

5 2

5

3

C. A. 10 B. 13 D. 11

y



x



2

x



m



x



 1

mC . Có tất cả bao nhiêu số nguyên dương m

1 5

mC có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.

Câu 5: Cho hàm số , có đồ thị 

để  A. 10 . B. 9 . C. 8 . D. 11.

y



C của hàm số

ax b   1 x

N và tiếp tuyến của 

C tại M , N có cùng hệ số góc bằng 3 đồng thời khoảng cách từ gốc

có hai điểm phân biệt M , Câu 6: Có tất cả bao nhiêu số thực a để đồ thị 

3

2

D. 3 . tọa độ đến đường thẳng MN bằng 10 . A. 2 . B. 4 . C. 1.

,M N lần lượt là hai điểm phân biệt thuộc

y



x



ax

b

 có đồ thị 

C . Gọi

3 2

,M N có cùng hệ số góc bằng 3 . Biết khoảng cách từ gốc



C sao cho tiếp tuyến của 

C tại

Câu 7: Cho hàm số

a



b 2



22 a

2

bằng tọa độ O đến đường thẳng MN bằng 1. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

A. 8. B. 7. C. 4.

 D. 5.

C . Gọi

,M N lần lượt là hai điểm phân biệt thuộc 

C

,M N có cùng hệ số góc bằng 3 . Biết đường thẳng MN tạo với

3 3  sao cho tiếp tuyến của 

Câu 8: Cho hàm số y  x ax b

2

4

 có đồ thị  C tại

a

b

hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 1. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng

1 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Đề thi thử nghiệm_2018

2 9

1 4

1 5

4 17

A. . B. . C. . D. .

y

3   x

23 x

1,

 có đồ thi  .C Gọi A, B là hai điểm thuộc  C sao cho tiếp tuyến của  C tại A và B song song với nhau. Biết đường thẳng qua hai điểm A, B là

2

2

 y mx

 Giá trị nhỏ nhất của

m

n bằng

n .

Câu 9: Cho hàm số

.

.

.

2 9

1 4

9 2

A. B. C. D. 4.

y

3   x

23 x

1,

 có đồ thi  .C Gọi A, B là hai điểm thuộc  C sao cho tiếp

M

Câu 10: . Cho hàm số

  5   3;     2 

đến đường thẳng AB tuyến của  C tại A và B song song với nhau. Khoảng cách từ

lớn nhất bằng

.

.

.

.

17 2

137 2

15 2

135 2

A. B. C. D.

----------HẾT----------

2 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Tiếp tuyến

NHÓM GIẢI VẬN DỤNG CAO CHUYÊN ĐỀ TIẾP TUYẾN - NĂM HỌC 2017-2018

VTED_2019 MÔN: TOÁN 12

Thời gian làm bài 90 phút

Đề đã thay đổi thứ tự câu (sắp xếp theo độ khó tăng dần) so với đề gốc

BẢNG ĐÁP ÁN THAM KHẢO

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

3

2

2

y



x



(

m



1)

x



(

m



4)

 x m 2

1

HƯỚNG DẪN GIẢI

 , có đồ thị (

)mC . Tổng tất cả giá trị nguyên

)mC

Câu 1: Cho hàm số

có hai tiếp tuyến vuông góc nhau. của tham số m để ( A. 9 . B. 6 . C. 3. D. 10 .

2

2

Hướng dẫn giải



2(



1)

2  x m (

   '

2

m



2

m



13

 4)

2

'

2

m



m



13

;

;

Chọn  ' 3 x y B. m

'y là

 3

2 3

 

    

  

   

Tập giá trị của

)mC

2

Để ( có hai tiếp tuyến vuông góc nhau khi và chỉ khi có ít nhất 2 số thực



m



13



;

k k   1

k k , 1

2

2.

2 3

  

   

22 m



m



13

1



27

1



27



  0



m



2

2

2 3

m 2 mà 1

)H . Gọi

,A B là hai điểm thuộc (

)H sao cho tiếp tuyến của

y



 1 x 3  1 x

(

)H tại A , B song song với nhau. Giá trị nhỏ nhất của OA OB

Câu 2: Cho hàm số , có đồ thị (

bằng

D. 2 10 . A. 4 . B. 2 2 . C. 4 2 .

Hướng dẫn giải

)H tại A , B song song với nhau

B

x   2 Chọn D. Ta có: Tiếp tuyến của (   x A

A

  ( 1

a

;3



);

B

  ( 1

a

;3



)

2 a

2 a

Khi đó:

3 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Đề thi thử nghiệm_2018

2

2

2

2

 OA OB



(

a



1)



(3



)

 

(

a



1)



(3



)



IM JM IJ







2 10

2 a

2 a

IJ

,

( 1;3)

I  (1; 3)    J

Dấu bằng xảy ra khi M là trung điểm

3 3 

C . Gọi M , N lần lượt là 2 điểm phân biệt thuộc 

C  có đồ thị  C tại M , N có hệ số góc bằng 3 . Biết khoảng cách từ gốc tọa độ O

2

2

Câu 3: Cho hàm sô y  x ax b

a

b

bằng.

6 5

4 3

7 6

A. C. B. D. sao cho tiếp tuyến của  đến đường thẳng MN bằng 1. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 2

Hướng dẫn giải

Chọn A

3 3 

22 x

3

;



 am b 3

;



 an b 3

Ta có: y  x  ax b y    a 3

 3 M m m



 N n n





22 m



a 3



22 n



3

a

Gọi và

  y x



  y x



M

N

;

C tại M , N có hệ số góc bằng 3

2



a 3



3

2 m a

 

1

2





2    m n

2

2

(loai) n



a 3



3

n

  a

1

m n     m 

 3 m   3 n  

    

3

;



 am b 3

  ; N m m



 am b 3

Tiếp tuyến của 

 3 M m m







 MN

3  2 ; 2 m m



am 6

  



 n



32 m



6

 ; 2 am m

 và





2

2

3 m











 am b 3

 0



VTPT của MN là

 am x m 6

 m y m 2 .



2



MN

m



6

 am x my

2



bm 2

 0

 : 2



;

Phương trình đường thẳng MN là: 

d O MN  1





bm 2





1

3

2

2

m



6

am



4

m



2

b





1

2

m



a 3



1



2

Ta có:

4 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Tiếp tuyến

  1 2

2

2   

b

a

 1

 1 2

2

2

2

2

2

2

2

2

b   1 a  1

a



b



a



2

a



 

a 1 5



a 5

  2

a 5





 1

7 5 5

6   5

6 5

   

   

2

2

Ta có:

a

b

6 5

y



Suy ra giá trị nhỏ nhất của biểu thức là:

H sao cho tiếp tuyến

H . Gọi A , B là 2 điểm thuộc 

x  1 3  1 x

 I 

2; 0

H tại A , B song song nhau. Khoảng cách từ

Câu 4: Cho hàm số có đồ thị là 

đến đường thẳng AB có giá trị

của  lớn nhất bằng.

5 2

C. D. 11 A. 10 B. 13

Hướng dẫn giải

2





f

'



  f x

  x

 1 x 3  1 x

x





2 1

Chọn A

,A B song



H tại



f

'

x



f

'

   

1

x

1

2

x

Do tiếp tuyến của song với









A

x B

A

x B

     x B

A

A

A

A B H

,

;

;

B

2

x

;

nhau



A

A

x 3 x

x 3 B x

x 3 x

A

B

A

     A x 

 1   1 

 B x  B 

 1   1 

     

 5   1 

A

y



 1  1



2



2;



AB

:



A

 4 

x

1

 x x 2

x A  2

A

A

  BA x  

  

3 x x A 4  

x

1

A



AB

:

x



2

x



y





6

x



2



0



 1

A

A

 4 

x

1

4 x

x A 

1

A

A

  

  

  

  



6

x



6



6

x





 1

A

A

4 

x

1

4 

1

x

A

A

d I AB ;









Ta có và

2

2

2

2



4

x





4

x





 1



 1

A

A

4 

1

x

4 

1

x

A

A

  

  

  

  

Ta có

5 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Đề thi thử nghiệm_2018

2



t 6

2

 4 6 t t

t 3



2



f







  t

1  x t  A

4

4

2

t



4



t 4

4 t 16 2 t

 16 4 t 2 t

f



max

f



10

  t

  t

5

3

Lập BBT của hàm số

y



x



2

x



m



x



 1

mC . Có tất cả bao nhiêu số nguyên dương m

1 5

mC có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.

Câu 5: Cho hàm số , có đồ thị 

B. 9 . C. 8 . để  A. 10 . D. 11.

Hướng dẫn giải

4

Chọn B

2 x m

Ta có: y '  x  6   1

2

Nếu y min ' 0    0 k k . 1

  

m

y

10

. Nếu min ' 0

1x sao cho

2.

2x sao cho 1

4

2

4

(

x



6

x m

 

   

1

x

6

2 x m

  

1

(*)

2x là nghiệm của phương trình:

k 1). 1

 k 1

4

4

min(

x



6

2 x m

  

x



6

2 x m

1)

Thật vậy, tồn tại  ) 0  . Ta chỉ cần chỉ ra tồn tại 1 k 1 y x '( 1 k k   và 1

    và

 nên (*) luôn có nghiệm.

0

1) 0; lim ( 

x

 1 k 1

Do

y



C của hàm số

ax b   1 x

N và tiếp tuyến của 

C tại M , N có cùng hệ số góc bằng 3 đồng thời khoảng cách từ gốc

có hai điểm phân biệt M , Câu 6: Có tất cả bao nhiêu số thực a để đồ thị 

D. 3 . tọa độ đến đường thẳng MN bằng 10 . A. 2 . B. 4 . C. 1.

Hướng dẫn giải

I

Chọn A

y

 



1; a



x

 a b 21



;

 IM  



C



1;

Ta có và là giao điểm của hai đường tiệm cận.





x 0

ax 0 x 0

 M x  0 

 b   1 

  

 b a   1 x  0



3

Gọi .

C tại M , N có cùng hệ số góc bằng 3 nên

 0   y x   I MN

. Tiếp tuyến của 

6 | VD_VDC

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18

Chuyên đề_Tiếp tuyến

2





 y a

 . 0

 a b x

   1



  1



x 0

Phương trình đường thẳng MN là: 



3

2





 a b  1

x 0

Ta có:



2

2

2

a

3





10



  



 1



 1

x 0

x 0

 



 1

 a b a x 0

 0

 y x 0 





10

2

4

 a b







 1



a  

3 10

d O MN ;  10    

         a 3 10        a 3

10



 x 0  a 13     7 a 

.

3

2

Vậy có hai giá trị thực của a thỏa mãn yêu cầu bài toán.

,M N lần lượt là hai điểm phân biệt thuộc

y



x



ax

b

 có đồ thị 

C . Gọi

3 2

,M N có cùng hệ số góc bằng 3 . Biết khoảng cách từ gốc



C sao cho tiếp tuyến của 

C tại

Câu 7: Cho hàm số

a



b 2



22 a

2

bằng tọa độ O đến đường thẳng MN bằng 1. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

A. 8. B. 7. C. 4.

 D. 5.

Hướng dẫn giải

,M N có cùng hệ số góc là 3 nên hoành độ

,M N là nghiệm phương

C tại

2

B.

2



x



 a b

1



x

ax

 được phần dư là

1

trình Chọn Do tiếp tuyến của      3 y x ax   . 1 0

  R x

21 a 2

1 2

  





MN

x

  y

a b

 

0



Chia đa thức y cho đa thức

 y R x



   21 a 2

1 2

  

 : 1  

Khi đó phương trình đường thẳng MN là

2

4

2





2

2

2

2

2

2

4

2

2

 a b 1 2 Theo giả thiết d O MN ;   1    ab b 1  a  a  2 (*) 1 4 5 4 1  a  1 1 2      











2 1

Từ (*) ta có P  2 a  a  b 2  a 3  4  ab b  a  2 a   8 a    . 7 7

a   . Vậy GTNN cần tìm là 7.

1

Dấu “=” xảy ra khi

C . Gọi

,M N lần lượt là hai điểm phân biệt thuộc 

C

,M N có cùng hệ số góc bằng 3 . Biết đường thẳng MN tạo với

3 3  sao cho tiếp tuyến của 

Câu 8: Cho hàm số y  x ax b

2

4

 có đồ thị  C tại

a

b

hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 1. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng

2 9

1 4

1 5

4 17

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

Chọn D.

7 | VD_VDC

Đề thi thử nghiệm_2018

,M N có cùng hệ số góc là 3 nên hoành độ

,M N là nghiệm phương

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18 C tại

2

Do tiếp tuyến của 

2

2

a



 x b

x

1

trình y       . 1 0 3 a x

 R x



 1

2

a



x b





 .

Chia đa thức y cho đa thức

a  được phần dư là 

  y R x

   1

;0

  MN Oy B

Khi đó phương trình đường thẳng MN là



0; b

1

 b    MN Ox A  2 a 

  

2

4

S



OA OB .



.

b

   b

1



2 2

a

  

1

b

a



Ta có và .

 4 2

2 1

OAB

1 2

1 2 2

b   a

1

2

4

2

2

(*)

 P a



b



a



a





17

a



16

a

 4

 4 2

2 1

min

 P P





Từ (*) ta có

P đạt GTNN tại

x  

 

8 17

4 17

16 2.17

8 17

  

  

, khi đó .

y

3   x

23 x

1,

 có đồ thi  .C Gọi A, B là hai điểm thuộc  C sao cho tiếp tuyến của  C tại A và B song song với nhau. Biết đường thẳng qua hai điểm A, B là

2

2

 Giá trị nhỏ nhất của

m

n bằng

 y mx

n .

Câu 9: Cho hàm số

.

.

.

2 9

1 4

9 2

A. B. C. D. 4.

2





Chọn C.

y

x

x y

'

3

6 ;

''

  x 6.

6

,k khi đó hoành độ A, B là hai nghiệm

Ta có

;x x 1 2

Giả sử tiếp tuyến của  C tại A, B có hệ số góc

2

2

k   3)

2

2











     AB

x

,

;

3

;

3

;

    A B C



2 x 1

3 2

x 2

2

x 1

x 2

x 1

 3 A x x 1 1

 1 ;

 B x x 2

 1

k 3

      

     

    2     

 n

2 x x của phương trình (ĐK: 3 0 6   x x . 1     x x  1      k k   3

x  đường thẳng qua A, B có véc tơ pháp tuyến

x 1

2

k 3

    2  

  ;1   

Vì

I 

y

x

1

của đồ thị hàm số. Do tính đối xứng nên đường thẳng AB đi qua tâm đối xứng ( 1;3)

k   3

 k       3

  2   

2



m

2   n

2

2

5

2

Phương trình đường thẳng đi qua A, B:

k  thoả mãn

0. 

1 6

k    3

k 3

1 2

9   2

9 2

2   k         3  

     

2      

Suy ra . Dấu “=” khi

8 | VD_VDC

Chuyên đề_Tiếp tuyến

y

3   x

23 x

1,

Câu 10: . Cho hàm số

Nhóm vận dụng_Vận dụng cao_17_18  có đồ thi  .C Gọi A, B là hai điểm thuộc  C sao cho tiếp

M

  5   3;     2 

đến đường thẳng AB tuyến của  C tại A và B song song với nhau. Khoảng cách từ

lớn nhất bằng

.

.

.

.

137 2

15 2

135 2

17 2

B. C. D. A.

2





Chọn A.

y

x

x y

x

'

3

6 ;

''

6.

6

I 

  Suy ra đồ thị (C) có tâm đối xứng ( 1;3)

,k khi đó hoành độ A, B là hai nghiệm

Ta có

;x x 1 2

Giả sử tiếp tuyến của  C tại A, B có hệ số góc

2

2

k   3)

2

2

2 x x của phương trình (ĐK: 3 0 6   x x . 1     x x  1      k k   3

I 

    A B C

2 x 1

3 2

2

 3 A x x 1 1

 1 ;

 B x x 2

 1

   là trung điểm của AB x , ; 3 ; 3  suy ra ( 1;3)

I 

cố định nên khoảng cách lớn nhất từ M đến đường thẳng Đường thẳng AB luôn đi qua ( 1;3)

MI 

.

17 2

AB bằng

9 | VD_VDC