Thủ thuật Casio khối A

Quyết Đậu Lục Quân – Fanpage: Casio Tư Duy

CHUYÊN ĐỀ I: TỔ HỢP – CHỈNH HỢP – NHỊ THỨC NEWTON

là số các hoán vị của phần tử.

A. LÝ THUYẾT: 1. Hoán vị:

-Quy ước:

là số các chỉnh hợp chập 2. Chỉnh hợp:

của phần tử.

là số các tổ hợp chập của phần tử. 3. Tổ hợp:

-Tính chất 1:

-Tính chất 2:

4. Nhị thức newton:

-Công thức nhị thức newton:

-Hệ quả:

Với ta có

-Khai triển n- thức newton:

Xét khai triển

Áp dụng: Cho khai triển khi đó hệ số của trong

khai triển trên được xác định bởi

Với thỏa mãn hệ điều kiện

-Các dạng khai triển thường gặp:

Dạng 1: Khai triển nhị thức

Khi đó hệ số của trong khai triển trên là

1

Group: Thủ thuật casio khối A | Hướng đến kỳ thi THPT QG 2018

Quyết Đậu Lục Quân – Fanpage: Casio Tư Duy

Với thỏa mãn

Dạng 2: Khai triển tam thức

Khi đó hệ số của trong khai triển trên là

thỏa mãn Với

B. BÀI TẬP MINH HỌA:

Câu 1: Có bao nhiêu số tự nhiên thỏa mãn

A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.

Giải: Cách 1: Tự luận:

ĐKXĐ

Ta có:

Cách 2: Casio – Sử dụng chức năng TABLE (w7) của máy tính. w7 nhập màn hình: ; START: 3, END: 30; STEP: 1.

Quan sát bảng F(x) ta thấy F(x) đạt giá trị bằng 0 tại x = 9, sau đó tăng liên tục. Chọn đáp án B.

Câu 2: Gọi là tập hợp các số tự nhiên thỏa mãn Tính tổng của các phần

B. 18. C. 6. D. 4. tử của A. 13.

Giải: Cách 1: Tự luận:

2

Group: Thủ thuật casio khối A | Hướng đến kỳ thi THPT QG 2018

Quyết Đậu Lục Quân – Fanpage: Casio Tư Duy

ĐKXĐ

Ta có

Cách 2: Casio – Sử dụng chức năng TABLE (w7) của máy tính. w7 nhập màn hình: START: 2, END: 30; STEP: 1.

Quan sát bảng F(x) ta thấy F(x) đạt giá trị bằng 0 tại x = 6, sau đó giảm liên tục. Chọn đáp án C.

Câu 3: Gọi là tổng của tất cả các số tự nhiên thuộc đoạn thỏa mãn bất phương trình

Tính

A. B. C. D.

Giải: Cách 1: Tự luận

ĐKXĐ

Ta có

Kết hợp điều kiện ta có Cách 2: Casio – Sử dụng chức năng TABLE (w7) của máy tính. w7 nhập màn hình: START: 1, END: 30; STEP: 1.

3

Group: Thủ thuật casio khối A | Hướng đến kỳ thi THPT QG 2018

Quyết Đậu Lục Quân – Fanpage: Casio Tư Duy

Quan sát bảng F(x) ta thấy F(x) đạt giá trị bằng 0 tại x = 2; x = 3, sau đó tăng liên tục. Chọn đáp án C.

Câu 4: Gọi là tổng của tất cả các số tự nhiên thuộc đoạn thỏa mãn bất phương trình

Tính

A. B. C. D.

Giải: Cách 1: Tự luận

ĐkXĐ

Ta có

Cách 2: Casio – Sử dụng chức năng TABLE (w7) của máy tính.

w7 nhập màn hình:

Lần 1: START: 1, END: 30; STEP: 1.

Quan sát thấy giá trị của F(x) xác định và luôn âm trên đoạn

Lần 2: START: 31, END: 60; STEP: 1.

Quan sát thấy F(x) xác định và luôn âm trên đoạn

Chọn đáp án B.

Câu 5: Biết , và đều không chia hết

cho 2. Tính giá trị của biểu thức A. B.

C.

Giải: Cách 1: Tự luận

4

Group: Thủ thuật casio khối A | Hướng đến kỳ thi THPT QG 2018

Quyết Đậu Lục Quân – Fanpage: Casio Tư Duy

Ta có

Xét khai triển

Ta lại có

Cách 2: Casio – Sử dụng phương pháp quy nạp:

Nhập màn hình

-r X bất kỳ, Y = 18 được kết quả 2621440, bấm qx được kết quả

-r X bất kỳ, Y = 24 được kết quả 218103808, bấm qx được kết quả

-r X bất kỳ, Y = 28 được kết quả 4026531840, bấm qx được kết quả

Tổng quát:

Chọn đáp án A.

có dạng với và Câu 6: Giả sử tổng

không chia hết cho 2. Tính giá trị của A. B. C. D.

Giải: Cách 1: Tự luận

Ta có

Xét

Mặt khác ta có:

5

Group: Thủ thuật casio khối A | Hướng đến kỳ thi THPT QG 2018

Quyết Đậu Lục Quân – Fanpage: Casio Tư Duy

Cách 2: Casio – Sử dụng phương pháp quy nạp:

Nhập màn hình

-r X bất kỳ, Y = 19 được kết quả 262144, bấm qx được kết quả

-r X bất kỳ, Y = 23 được kết quả 4194304, bấm qx được kết quả

-r X bất kỳ, Y = 25 được kết quả 167772216, bấm qx được kết quả

-Tổng quát:

Chọn đáp án C.

có dạng với là các số Câu 7: Giả sử tổng

nguyên tố. Tính giá trị của A. B. C. D.

Giải: Cách 1: Tự luận

Ta có

Xét khai triển

Trừ vế với vế của (1) và (2) ta có:

Cách 2: Casio – Sử dụng phương pháp quy nạp:

Nhập màn hình

-r X bất kỳ, Y = 16 được kết quả 524.288 bấm qx được kết quả

-r X bất kỳ, Y = 18 được kết quả 2.359.296 bấm qx được kết quả

6

Group: Thủ thuật casio khối A | Hướng đến kỳ thi THPT QG 2018

Quyết Đậu Lục Quân – Fanpage: Casio Tư Duy

-r X bất kỳ, Y = 24 được kết quả 201.326.592 bấm qx được kết quả

Tổng quát:

Chọn đáp án B.

Tính giá trị của biểu thức Câu 8: Cho tổng

A. C. D. B.

Giải: Cách 1: Tự luận

Ta có

Xét khai triển

Với

Cách 2: Casio – Sử dụng phương pháp quy nạp:

Nhập màn hình

-r X bất kỳ, Y = 18 được kết quả 0. -r X bất kỳ, Y = 24 được kết quả 0.

Vậy

Chọn đáp án C.

Câu 9: Giả sử tổng có dạng với

là các số nguyên dương và không chia hết cho 2; phân số tối giản. Tính giá trị của biểu

thức A. B. C. D.

7

Group: Thủ thuật casio khối A | Hướng đến kỳ thi THPT QG 2018

Quyết Đậu Lục Quân – Fanpage: Casio Tư Duy

Giải:

Ta có

Xét tích phân

Cách 2: Casio – Sử dụng phương pháp quy nạp:

Nhập màn hình

-r X bất kỳ, Y = 7 được kết quả

-r X bất kỳ, Y = 10 được kết quả

-r X bất kỳ, Y = 15 được kết quả

Tổng quát:

Chọn đáp án D.

Câu 10: Giả sử tổng có dạng

là các số nguyên dương và không chia hết cho 2. Tính giá trị của biểu thức với

B. C. D. A.

Giải: Cách 1: Tự luận Xét khai triển:

8

Group: Thủ thuật casio khối A | Hướng đến kỳ thi THPT QG 2018

Quyết Đậu Lục Quân – Fanpage: Casio Tư Duy

Với ta có

Cách 2: Casio – Sử dụng phương pháp quy nạp:

Nhập màn hình

-r X bất kỳ, Y = 6 được kết quả 2080, bấm qx được kết quả

-r X bất kỳ, Y = 10 được kết quả 524800, bấm qx được kết quả

-r X bất kỳ, Y = 16 được kết quả 2147516416, bấm qx được kết quả

Tổng quát:

Chọn đáp án B.

Câu 11: Giả sử tổng có dạng

với là các số nguyên tố. Tính giá trị của biểu thức

A. B. C. D.

Giải:

Ta có

Ta chứng minh được với là số nguyên dương thì như

Ta có:

Mặt khác

Ta lại có

9

Group: Thủ thuật casio khối A | Hướng đến kỳ thi THPT QG 2018

Quyết Đậu Lục Quân – Fanpage: Casio Tư Duy

Ta thấy hệ số của trong khai triển (2) là , còn hệ số của trong khai triển (3) là

Vậy ta có điều phải chứng minh:

Chọn đáp án C.

Câu 12: Giả sử tổng

có dạng tối giản). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. B.

C. D.

Giải:

Ta có

Ta chứng minh công thức: như sau:

Ta có

Xét khai triển có hệ số của là (2), và ta có:

Hệ số của trong khai triển trên là (3)

Từ (1), (2), (3) ta có (Điều phải chứng minh).

Chọn đáp án C.

Câu 13: Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển của nhị thức

A. B. C. D.

Giải: Cách 1: Tự luận

Số hạng tổng quát của khai triển là với

10

Group: Thủ thuật casio khối A | Hướng đến kỳ thi THPT QG 2018

Quyết Đậu Lục Quân – Fanpage: Casio Tư Duy

Khi đó ta có

Cách 2: Sử dụng n- thức newton. Ta có

Gọi lần lượt ứng với và , khi đó thỏa mãn hệ

Hệ số

Cách 3: Dùng chức năng w7 của máy tính:

Chọn đơn vị

Nhập màn hình trong đó F(x) là hệ số của Xm còn G(x) là Xm, X chính là k trong

số hạng tổng quát của khai triển

Lấy Start: 0, end: 6, step: 1 do

Nhìn vào bảng, chỉ cần quan tâm hệ số của ; ta được tại vị trí thì

Chọn đáp án B.

Câu 14: Tìm hệ số của trong khai triển của

A. 112. B. 256. C. 1024. D. 16.

Giải: Cách 1: Tự luận

Số hạng tổng quát của khai triển là với

Khi đó ta có

Cách 2: Sử dụng n- thức newton. Ta có

Gọi lần lượt ứng với và , khi đó thỏa mãn hệ

11

Group: Thủ thuật casio khối A | Hướng đến kỳ thi THPT QG 2018

Quyết Đậu Lục Quân – Fanpage: Casio Tư Duy

Hệ số

Cách 3: Dùng chức năng w7 của máy tính

Chọn đơn vị

Nhập màn hình trong đó F(x) là hệ số của Xm còn G(x) là Xm, X chính là k trong

số hạng tổng quát của khai triển trên

Lấy Start: 0, end: 8, step: 1 do

Nhìn vào bảng, chỉ cần quan tâm hệ số của ta được tại vị trí thì

Chọn đáp án A.

Câu 15: Hệ số của số hạng chứa trong khai triển của là:

A. 1500. B. 3000. C. 1200. D. 420.

Giải: Cách 1: Tự luận

Coi thì ta có:

và

Ta có hệ Chọn được các cặp thỏa mãn.

12

Group: Thủ thuật casio khối A | Hướng đến kỳ thi THPT QG 2018

Quyết Đậu Lục Quân – Fanpage: Casio Tư Duy

Cách 2: Sử dụng n- thức newton. Ta có

Gọi lần lượt ứng với và ,

khi đó thỏa mãn hệ

Chọn được các cặp

Cách 3: Dùng vòng lặp đệ quy

Với hệ ở trên ta có

Khi đó ta có

Nhập màn hình

Dấu = bấm Qr, dấu : bấm Qy, dấu ! bấm qu…

Sau đó r và đó bấm = liên tiếp khi đó sẽ bắt đầu chạy từ 0 và các giá trị của sẽ

thay đổi, tức B, C phụ thuộc vào A

thay đổi khi Bấm = liên tiếp để tìm các hệ số . Sau mỗi lượt ta sẽ tìm được các hệ số và hệ số

Lượt thứ nhất tìm được

Lượt thứ hai tìm được

Và tiếp tục bấm lượt thứ 3 thì máy báo vậy

Chọn đáp án A.

13

Group: Thủ thuật casio khối A | Hướng đến kỳ thi THPT QG 2018

Quyết Đậu Lục Quân – Fanpage: Casio Tư Duy

Câu 16: Hệ số của trong khai triển nhị thức là:

A. B. C. D.

Giải: Cách 1: Tự luận

Số hạng tổng quát của khai triển trên là:

Hệ số của trong khai triển trên là

Cách 2: Sử dụng khai triển n- thức newton. Ta có

Gọi lần lượt ứng với và

khi đó thỏa mãn hệ

Hệ số của là:

Chọn đáp án A.

Câu 17: Với là số nguyên dương thỏa mãn số hạng không chứa trong

khai triển của biểu thức bằng

A. 322560. B. 3360. C. 80640. D. 13440.

Giải: Cách 1: Tự luận:

Ta có

(Loại)

Số hạng tổng quát của khai triển là

Hệ số của số hạng không chứ

trong khai triển là

Tìm n bằng casio: qr

Hoặc w7:

Cách 2: Dùng khai triển n- thức newton:

14

Group: Thủ thuật casio khối A | Hướng đến kỳ thi THPT QG 2018

Quyết Đậu Lục Quân – Fanpage: Casio Tư Duy

Ta có

. Gọi

ứng với

và

khi đó

thỏa mãn hệ

Cách 3: Sử dụng số hạng tổng quát kết hợp chức năng w7 của máy tính:

Chọn đơn vị

Ta đi tìm hệ số của 1 từ số hạng tổng quát

Số hạng tổng quát của khai triển là

w7 Nhập màn hình (START 0, END = n = 10, STEP 1)

Tại vị trí X = 6 ta được

và

Chọn đáp án D.

Câu 18: Hệ số của số hạng chứa trong khai triển thành đa thức của là:

A. 257586. B. 364420. C. 80640. D. 258570.

Giải: Cách 1: Tự luận:

Ta có

Ta lại có

Ta có hệ

Vậy hệ số của trong khai triển trên là:

Cách 2: Dùng khai triển n- thức newton kết hợp vòng lặp của casio:

Ta có

Ta có Đặt lần lượt ứng với .

Ta có hệ số của trong khai triển trên là

Trong đó và thỏa mãn

15

Group: Thủ thuật casio khối A | Hướng đến kỳ thi THPT QG 2018

Quyết Đậu Lục Quân – Fanpage: Casio Tư Duy

Nhập màn hình:

để A bắt đầu chạy từ 0,r để tổng hệ số bắt đầu tính từ 0; Sau đó bấm = liên

r tục đến khi máy báo Math ERROR thì dừng lại.

là hệ số của trong khai triển trên.

Bấm C sau đó bấm Qj= ta được kết quả Chọn đáp án D.

Câu 19: Hệ số của số hạng chứa trong khai triển thành đa thức của là:

A. B. C. D.

Giải: Cách 1: Tự luận

Ta có

Ta có hệ

Vậy hệ số của trong khai triển trên là

Cách 2: Dùng khai triển n- thức newton:

Ta có Đặt lần lượt ứng với khi đó hệ số

của trong khai triển trên là

16

Group: Thủ thuật casio khối A | Hướng đến kỳ thi THPT QG 2018

Quyết Đậu Lục Quân – Fanpage: Casio Tư Duy

trong đó thỏa mãn

k4 k1 k0 k3

0 0 0 1 8 2

Câu 20: Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển thành đa thức của biểu thức

A. B. C. D.

Giải:

Xét khai triển Hệ số của trong khai triển là .

Vậy hệ số của x là Áp dụng vào biểu thức P ta có hệ số của số hạng chứa x trong khai triển

của biểu thức P là:

Chọn đáp án C.

Câu 21: Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển thành đa thức của

A. B. C. D.

Giải:

Ở câu trên ta đã tìm được hệ số của trong khai triển của là

Ta có

Vậy ta có hệ số của của số hạng chứa là

Chọn đáp án B.

Câu 22: Cho khai triển với

Tính tổng

A. B. C. D.

17

Group: Thủ thuật casio khối A | Hướng đến kỳ thi THPT QG 2018

Quyết Đậu Lục Quân – Fanpage: Casio Tư Duy

Giải:

với là số tự nhiên lớn hơn 1. Ta có hằng đẳng thức

Chứng minh bằng CSN, theo công thức tổng phần tử của một cấp số nhân ta có:

Ta có hệ số của trong là

Hệ số bên vế phải là

hai vế bằng nhau thì ta có:

Cho hệ số của Chọn đáp án B.

Câu 23: Cho khai triển

1. Tính

B. C. D. A.

2. Tính

B. C. D. A.

Giải:

1. Xét

Khi đó

Chọn đáp án B.

2. Xét

Xét

. Quy nạp ta có:

Chọn đáp án C.

18

Group: Thủ thuật casio khối A | Hướng đến kỳ thi THPT QG 2018

Quyết Đậu Lục Quân – Fanpage: Casio Tư Duy

Câu 24: Cho số tự nhiên thỏa mãn tìm hệ số của số hạng

chứa trong khai triển của

A. B. C. D.

Giải: Cách 1: Tự luận

Ta có

Số hạng tổng quát của khai triển là

Cách 2: Sử dụng khai triển n- thức newton Trước tiên qr để tìm

Ta có , gọi lần lượt ứng với khi đó thỏa mãn hệ sau

Cách 3: Sử dụng chức năng TABLE (w7) với số hạng tổng quát của khai triển

Số hạng tổng quát của khai triển là

Sử dụng hàm để tìm hệ số của và sử dụng hàm (thay thế và

) để xác định vị trí của . w7 nhập màn hình:

Tại vị trí ta có

Chọn đáp án C.

19

Group: Thủ thuật casio khối A | Hướng đến kỳ thi THPT QG 2018

Quyết Đậu Lục Quân – Fanpage: Casio Tư Duy

Câu 25: Sau khi khai triển thành đa thức và rút gọn thì có tất cả bao

nhiêu số hạng? A. 29. B. 30. C. 31. D. 32.

Giải: Chọn đáp án A.

Câu 26: Gọi là hệ số của số hạng chứa trong khai triển nhị thức Niuton

với là số nguyên dương thỏa mãn

. Tìm

A. 2017. B. C. D.

Giải: Cách 1: Tự luận

Từ giả thiết ta có

Ta lại có

Số hạng tổng quát của khai triển là

Vậy

Cách 2: Casio

Tổng quát:

Chọn thay cho 2019:

Vậy

Khi đó Số hạng tổng quát của khai triển là

20

Group: Thủ thuật casio khối A | Hướng đến kỳ thi THPT QG 2018

Quyết Đậu Lục Quân – Fanpage: Casio Tư Duy

và

Chọn đáp án D.

PHẦN II: DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN

A. LÝ THUYẾT B. BÀI TẬP MINH HỌA

Câu 1: Cho dãy số với Biết

Tính giá trị của biểu thức

B. C. D.

với A. Giải: Cach 1:

Ta có

Cộng vế với vế ta có

Cách 2: Áp dụng phương trình sai phân tuyến tính cấp 1: Phương trình sai phân tuyến tính cơ bản là

Ta có với

Thay vào ta có

Với (1)

Với (2)

21

Group: Thủ thuật casio khối A | Hướng đến kỳ thi THPT QG 2018

Quyết Đậu Lục Quân – Fanpage: Casio Tư Duy

Chọn đáp án B.

Câu 2: Cho dãy số xác định bởi Gọi

Giá trị của là:

A. B. C. D.

Giải: Phương trình sai phân tuyến tính cơ bản là

Ta có với và thay vào ta có

Chọn đáp án B.

Câu 3: Cho dãy số Hỏi 295071 là số hạng thứ

bao nhiêu của dãy? A. B. C. D.

Giải: Phương trình sai phân tuyến tính cơ bản:

Ta có với

Thay vào ta có

22

Group: Thủ thuật casio khối A | Hướng đến kỳ thi THPT QG 2018

Quyết Đậu Lục Quân – Fanpage: Casio Tư Duy

Chọn đáp án B.

Câu 4: Cho dãy số được xác định bởi Mệnh đề nào dưới

đây là đúng? A. B. C. D.

. Sau đó r để A bắt đầu chạy từ 1, B = 2 để

Giải: Cách 1: Sử dụng vòng lặp của casio Nhập màn hình B bắt đầu từ , sau đó bấm = liên tiếp lặp đến khi A = 10 được kết quả

Bản chất của vòng lặp:

Tuy nhiên chỉ có thể áp dụng với các bài hỏi các số hạng ở đầu dãy, nếu hỏi thì cách này là

không thể  Cách 2: Sử dụng phương trình sai phân tuyến tính cấp 1: Phương trình sai phân tuyến tính cơ bản

Ta có với

Thay vào ta có

Số hạng tổng quát của dãy là

Lưu ý: Có thể sử dụng cách r 1000 để lập hệ phương trình 2 ẩn thay vì đồng nhất hệ số

hoặc cho ,… tuy nhiên có thể r 1000 sẽ nhanh hơn hoặc lâu hơn đối với mỗi người.

Chọn đáp án B.

23

Group: Thủ thuật casio khối A | Hướng đến kỳ thi THPT QG 2018

Quyết Đậu Lục Quân – Fanpage: Casio Tư Duy

Câu 5: Cho dãy số xác định bởi Giá trị lớn nhất của để

là:

A. B. D. D.

Giải:

Ta chứng minh số hạng tổng quát của dãy là

-Với (đúng theo giả thiết).

-Giả sử với thì

-Ta chứng minh:

Ta có và

(Điều phải chứng minh).

Vậy ta có

Chọn đáp án D.

Câu 6: Cho dãy số xác định bởi Giá trị nhỏ nhất của để

là bao nhiêu

A. B. C. D.

Giải: Phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất là:

Ta có với

Thay vào ta có

Chọn đáp án C.

24

Group: Thủ thuật casio khối A | Hướng đến kỳ thi THPT QG 2018

Quyết Đậu Lục Quân – Fanpage: Casio Tư Duy

Câu 7: Cho dãy số thỏa mãn Giá trị nhỏ nhất của để

là bao nhiêu?

A. B. C. D.

Giải:

Phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất là:

Và

Thay vào ta có

Chọn đáp án B.

Câu 8: Cho dãy số xác định bởi Giá trị nhỏ nhất

của để là:

A. B. C. D.

Giải:

Phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất:

Ta có , thay vào ta có

Chọn đáp án C.

Câu 9: Cho dãy số được xác định bởi Giá trị nhỏ

nhất của để là

A. B. C. D.

Giải:

Phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất

Ta có thay vào ta có

25

Group: Thủ thuật casio khối A | Hướng đến kỳ thi THPT QG 2018

Quyết Đậu Lục Quân – Fanpage: Casio Tư Duy

Ta có thay vào ta có

Chọn đáp án C.

Câu 10: Cho dãy số xác định bởi Tính giá trị của

là biết rằng tổng với

A. 9. B. 16. C. 21. D. 7.

Giải: Phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất là

Ta có với , thay vào ta có

Ta có

Chọn đáp án B.

26

Group: Thủ thuật casio khối A | Hướng đến kỳ thi THPT QG 2018

Quyết Đậu Lục Quân – Fanpage: Casio Tư Duy

Câu 11:

Cho các số thực dương

và

theo thứ tự

lập thành một cấp số cộng. Công sai của cấp số cộng này là

Giá trị của

B.

C.

D. là? A.

Giải: Theo tính chất cấp số cộng ta có

Công sai của cấp số cộng này là:

Chọn đáp án D.

Câu 12: Gọi là tập hợp tất cả các giá trị thực của để ba số

lần lượt lập thành một cấp số cộng. Tính tổng của tất cả các phần tử của

A. 6. B. 3. C. D. 12.

Giải: Theo tính chất cấp số cộng ta có

Chọn đáp án A.

Câu 13: Cho các số thực lớn hơn hoặc bằng 1 sao cho các số theo

thứ tự lập thành cấp số cộng và các số theo thứ

tự lập thành cấp số nhân. Tính tổng

A. B. C. D.

Giải: Các số theo thứ tự lập thành cấp số cộng, ta có:

Các số theo thứ tự lập thành cấp số nhân, ta có:

Chọn đáp án A.

Câu 14: Người ta thả rơi tự do một quả bóng bằng cao su ở độ cao

Biết rằng mỗi lần quả bóng chạm đất thì nó lại nảy lên một độ cao bằng một phần ba lần độ cao của lần rơi trước. Tổng quãng đường rơi và nảy (tính từ lúc bắt đầu thả) của quả bóng