Quyết Đậu Lục Quân – Fanpage: Casio Tư Duy
Group: Thủ thuật casio khối A | Hướng đến kỳ thi THPT QG 2018
1
CHUYÊN ĐỀ I: TỔ HỢP – CHỈNH HỢP – NHỊ THỨC NEWTON
A. LÝ THUYẾT:
1. Hoán vị:
n
P n! n(n 1)(n 2)...2.1
là số các hoán vị của
n
phần tử.
-Quy ước:
0! 1.
2. Chỉnh hợp:
k
n
n!
A n(n 1)...(n k 1) (1 k n)
(n k)!
là số các chỉnh hợp chập
k
của
n
phần tử.
3. Tổ hợp:
k
kn
n
A
n!
C = (0 k n)
(n k)!.k! k!
là số các tổ hợp chập
k
của
n
phần tử.
-Tính chất 1:
k n k
nn
C C (0 k n).
-Tính chất 2:
k 1 k k
n 1 n 1 n
C C C (1 k n).
4. Nhị thức newton:
-Công thức nhị thức newton:
n
n0 n 1 n 1 k n k k n 1 n 1 n n k n k k
n n n n n n
k0
a b C a C a b ... C a b ... C ab C b C a b
-Hệ quả:
Với
a b 1,
ta có
n 0 1 n
n n n
2 C C ... C .
Với
a 1;b 1,
ta có
n
0 1 k k n n k k
n n n n n
k0
0 C C ... ( 1) C ... ( 1) C ( 1) C .
-Khai triển n- thức newton:
Xét khai triển
01m
0 1 m
nkkk
0 1 m 0 1 m
k k ... k n 0 1 m
n!
a a ... a .a .a ...a
k !k !...k !
Áp dụng: Cho khai triển
n
2 r 1 r
0 1 2 r 1 r
a a x a x ... a x a x ,
khi đó hệ số của
m
x
trong
khai triển trên được xác định bởi
01 r 1 r
0 1 r 1 r
kk k k
m
0 1 r 1 r
k k ... k k n 0 1 r 1 r
n!
x a .a ...a .a
k !k !...k !k !
Với
0 1 r 1 r
k ;k ;...;k ;k
thỏa mãn hệ điều kiện
0 1 r 1 r
0 1 r 1 r
k k ... k k n .
0k 1k ... (r 1)k rk m
-Các dạng khai triển thường gặp:
Dạng 1: Khai triển nhị thức
pq 12
pq
nkkpk qk
pq
k k n pq
n!
ax bx .a .b .x
k !k !
Khi đó hệ số của
m
x
trong khai triển trên là
pq
kk
m
pq
r!
x .a .b
k !k !
Quyết Đậu Lục Quân – Fanpage: Casio Tư Duy
Group: Thủ thuật casio khối A | Hướng đến kỳ thi THPT QG 2018
2
Với
pq
k ,k
thỏa mãn
pq
pq
k k n
pk qk m
Dạng 2: Khai triển tam thức
p q p q t
t
p q t
nk k pk qk tk
k
pq
t
k k k n p q t
n!
ax bx cx .a .b .c .x
k !k !k !
Khi đó hệ số của
m
x
trong khai triển trên là
pq
t
p q t
kk
k
m
k k k n p q t
n!
x a b c
k !k !k !
Với
p q t
k ,k ,k
thỏa mãn
p q t
p q t
k k k n
pk qk tk m
B. BÀI TẬP MINH HỌA:
Giải:
Cách 1: Tự luận:
ĐKXĐ
n3
n 2 n ;n 3.
n
Ta có:
32
nn
n! n!
A 5A 2n(n 1) 5. 2n(n 1) n(n 1)(n 2) 5n(n 1) 2n(n 1)
(n 3)! (n 2)!
n 0 (Loai)
n(n 1) n 2 5 2 0 n 1 (Loai) n 9.
n 9 (Nhan)
Cách 2: Casio – Sử dụng chức năng TABLE (w7) của máy tính.
w7 nhập màn hình:
F(x) XP3 5 XP2 2X(X 1)
; START: 3, END: 30; STEP: 1.
Quan sát bảng F(x) ta thấy F(x) đạt giá trị bằng 0 tại x = 9, sau đó tăng liên tục.
Chọn đáp án B.
Câu 2: Gọi
S
là tập hợp các số tự nhiên
n
thỏa mãn
22
n 2n
3A A 42 0.
Tính tổng của các phần
tử của
S.
A. 13. B. 18. C. 6. D. 4.
Giải:
Cách 1: Tự luận:
Câu 1: Có bao nhiêu số tự nhiên
n
thỏa mãn
32
nn
A 5A 2n(n 1).
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Quyết Đậu Lục Quân – Fanpage: Casio Tư Duy
Group: Thủ thuật casio khối A | Hướng đến kỳ thi THPT QG 2018
3
ĐKXĐ
n2
2n 2 n ;n 2.
n
Ta có
22
n 2n
n! (2n)!
3A A 42 0 3. 42 0 3n(n 1) 2n(2n 1) 42 0
(n 2)! (2n 2)!
2n 6 (Nhan)
n n 42 0 n 6.
n 7 (Loai)
Cách 2: Casio – Sử dụng chức năng TABLE (w7) của máy tính.
w7 nhập màn hình:
F(x) 3 XP2 2XP2 42;
START: 2, END: 30; STEP: 1.
Quan sát bảng F(x) ta thấy F(x) đạt giá trị bằng 0 tại x = 6, sau đó giảm liên tục.
Chọn đáp án C.
Câu 3: Gọi
S
là tổng của tất cả các số tự nhiên
n
thuộc đoạn
[0;2018]
thỏa mãn bất phương trình
n 2 n 1
n 1 n 1
C C 2 0.
Tính
S.
A.
S 3.
B.
S 2.
C.
S 5.
D.
S 14.
Giải:
Cách 1: Tự luận
ĐKXĐ
n 1 n 2 0 n 2
n 1 n 1 0 n 1 n ;n 2.
nn
Ta có
n 2 n 1
n 1 n 1
(n 1)! (n 1)!
C C 2 0 2 0
(n 1) (n 2) !.(n 2)! (n 1) (n 1) !.(n 1)!
(n 1)! (n 1)! (n 1).n.(n 1) (n 1).n
2 0 2 0
3!.(n 2)! 2!.(n 1)! 6 2
32 32 n2
n n n n 2 0 n 3n 4n 12 0 2 n 3
62
Kết hợp điều kiện ta có
n {2;3} S 2 3 5.
Cách 2: Casio – Sử dụng chức năng TABLE (w7) của máy tính.
w7 nhập màn hình:
F(x) (X 1)C(X 2) (X 1)C(X 1) 2;
START: 1, END: 30; STEP: 1.
Quyết Đậu Lục Quân – Fanpage: Casio Tư Duy
Group: Thủ thuật casio khối A | Hướng đến kỳ thi THPT QG 2018
4
Quan sát bảng F(x) ta thấy F(x) đạt giá trị bằng 0 tại x = 2; x = 3, sau đó tăng liên tục.
Chọn đáp án C.
Câu 4: Gọi
S
là tổng của tất cả các số tự nhiên
n
thuộc đoạn
[0;2018]
thỏa mãn bất phương trình
4
n2
n 2 n 1
A143 0.
P 4P
Tính
S.
A.
S 365.
B.
S 665.
C.
S 1330.
D.
S 735.
Giải:
Cách 1: Tự luận
ĐkXĐ
n 2 4
n 1 0 n ;n 2.
n
Ta có
4
n2
n 2 n 1
A143 (n 2)! 143 1 143
0 0 0
P 4P (n 2)!.(n 2)! 4.(n 1)! (n 2)! 4.(n 1)!
1 143 143 147
1 0 1 0 4(n 1) 143 0 n .
(n 2)! 4(n 1) 4(n 1) 4
n 2;3;4;...;36 S 665.
Cách 2: Casio – Sử dụng chức năng TABLE (w7) của máy tính.
w7 nhập màn hình:
(X 2)P4 143
F(x) ;
(X 2)! 4 (X 1)!
Lần 1: START: 1, END: 30; STEP: 1.
Quan sát thấy giá trị của F(x) xác định và luôn âm trên đoạn
[2;30].
Lần 2: START: 31, END: 60; STEP: 1.
Quan sát thấy F(x) xác định và luôn âm trên đoạn
[31;36].
n [2;36].
Chọn đáp án B.
Câu 5: Biết
0 1 2 2018
2018 2018 2018 2018
2 3 ... 2019 .2b
S C C C C a
,
,ab
và
,ab
đều không chia hết
cho 2. Tính giá trị của biểu thức
.P a b
A.
P 2524.
B.
P 3028.
C.
P 2018.
D.
P 2024.
Giải:
Cách 1: Tự luận
Quyết Đậu Lục Quân – Fanpage: Casio Tư Duy
Group: Thủ thuật casio khối A | Hướng đến kỳ thi THPT QG 2018
5
Ta có
2018
0 1 2 2018 k
2018 2018 2018 2018 2018
k0
S C 2C 3C ... 2019C (k 1)C .
Xét khai triển
2018 2018
2018 X1
k k k 2018
2018 2018
k 0 k 0
S(x) 1 x C x C 2 .
Ta lại có
2018 2018
X1
2017 k k 1 k 2017 2018
2018 2018
k 0 k 0
S'(x) 2018(1 x) C .k.x kC 2018.2 1009.2 .
2018 2018 2018
k k k 2018 2018 2018 2019
2018 2018 2018
k 0 k 0 k 0
C kC (k 1)C 2 1009.2 1010.2 505.2 .
P a b 505 2019 2524.
Cách 2: Casio – Sử dụng phương pháp quy nạp:
Nhập màn hình
Y
X0
(X 1) YCX
-r X bất kỳ, Y = 18 được kết quả 2621440, bấm qx được kết quả
19 18 18
18 2
5.2 10.2 .2 .
2
-r X bất kỳ, Y = 24 được kết quả 218103808, bấm qx được kết quả
24 24
24 2
13.2 .2 .
2
-r X bất kỳ, Y = 28 được kết quả 4026531840, bấm qx được kết quả
28 28
28 2
3.5.2 .2 .
2
Tổng quát:
YY
X0
Y2
(X 1) YCX .2
2
Y 2018 2018 2019
S 1010.2 505.2 .
Chọn đáp án A.
Câu 6: Giả sử tổng
0 1 2 1009
2019 2019 2019 2019
... CS C C C
có dạng
b
S a.2
với
a,b
và
a
không chia hết cho 2. Tính giá trị của
P a b 2ab.
A.
P 3655.
B.
P 4037.
C.
P 6055.
D.
P 6054.
Giải:
Cách 1: Tự luận
Ta có
1009
0 1 2 1009 k
2019 2019 2019 2019 2019
k0
S C C C ... C C
Xét
2019 2019
X1
2019 k k k 2019
2019 2019
k 0 k 0
S(x) (1 x) C x C 2
Mặt khác ta có:
2019 1009 2019 1009 2009 1009
k 2019 k k k k k 2019 k k 2019
2019 2019 2019 2019 2019 2019 2019 2019
k 0 k 0 k 1010 k 0 k 0 k 0
C C C C C C C 2 C 2S 2
2018
S 2 P a b 2ab 1 2018 2.2018 6055.
