Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Thể tích khối chóp
THỂ TÍCH KHỐI CHÓP (Phần 02)
ðÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Thể tich khối chóp thuộc khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn ñể giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Thể tich khối chóp. ðể sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng
sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này.
Bài 1. Cho chóp S.ABC có góc
Tam giác SBC ñều cạnh a.
∠
BAC
=
0 90 ,
∠
ABC
=
0 30 , (
SAB
)
⊥
(
ABC
).
Tính thể tích chóp S.ABC theo a.. Giải: Ta có:
SAB
)
(
ABC
)
(
⊥
0
)
(
)
sin 30
ABC
= ⇒ ⊥
AC
AB
SAB
⇒ =
h AC BC
=
=
a 2
∩ SAB ( ) ( ⊥ AC AB
vuông tại A nên ta có:
Do
AC
⊥
(
SAB
)
⇒ ⊥ ⇒(cid:1) AC SA
SAC
a
3
2
2
= SA AB
=
SC
−
AC
=
2
Tam giác SAB cân tại S, M là trung ñiểm SB suy ra AM là ñường cao của tam giác này và:
2
a
2
a
2
2
2
AM
=
SA
−
(
)
=
⇒
V
=
CA S .
=
SABC
ABC
SB 2
1 3
2
24 Bài 2. Cho chóp SABC ñáy là tam giác vuông cân tại B có BC = a. Mặt SAC vuông góc với ñáy, các mặt bên còn lại tạo với ñáy 1 góc 45 ñộ. Tính thể tích chóp? Giải: Kẻ
SH BC SAC
⇒ ⊥ SH
ABC
ABC
⇒
, (
⊥
)
)
(
)
(
Gọi I, J là hình chiếu của H lên AB, BC
⇒ ⊥ SI
AB SJ ,
⊥ ⇒ ∠
BC
SIH
= ∠
SJH
=
0 45 .
∆
= ∆ ⇒ =
HI HJ
SHJ
Ta có: SHI ⇒ BH là ñường phân giác góc ABC, nên H là trung ñiểm AC.
3
Khi ñó:
HI HJ SH=
=
=
⇒
V
=
SH S .
=
ABC
SABC
a 2
1 3
a 12
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thoi ; hai ñường chéo AC = 2 3a , BD = 2a và cắt nhau tại O; hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết khoảng cách từ
a
3
, tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
ñiểm O ñến mặt phẳng (SAB) bằng
4
Giải:
Từ giả thiết AC = 2a 3 ; BD = 2a và AC ,BD vuông góc với nhau tại trung ñiểm O của mỗi ñường chéo.
0
hay tam giác ABD ñều.
Ta có tam giác ABO vuông tại O và AO =
3a
; BO = a , do ñó
B∠
A D 60
=
- Trang | 1 -
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Thể tích khối chóp
Từ giả thiết hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên giao tuyến của chúng là SO ⊥ (ABCD) Do tam giác ABD ñều nên với H là trung ñiểm của AB, K là trung ñiểm của HB ta có DH AB⊥
a
3
và DH =
3a
; OK // DH và
⇒ OK ⊥ AB ⇒ AB ⊥ (SOK)
OK
=
DH
=
1 2
2
Gọi I là hình chiếu của O lên SK ta có OI ⊥ SK; AB ⊥ OI ⇒ OI ⊥ (SAB) , hay OI là khoảng cách từ O ñến mặt phẳng (SAB).
Tam giác SOK vuông tại O, OI là ñường cao ⇒
2
2
2
2
S
=
=
2.
OA OB .
=
a 2 3
= + 1 OI 1 OK 1 SO a ⇒ = SO 2
ABC
D
4S ∆
ABO
3
Diện tích ñáy ; ñường cao của hình chóp SO = . a 2
S ABC
ABC
.
D
D
Thể tích khối chóp S.ABCD: . V = S SO . = 1 3 a 3 3
Bài 4. Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông cân tại ñỉnh A, AB=AC=a. Mặt bên qua cạnh huyền BC vuông góc với mặt ñáy, hai mặt bên còn lại ñều hợp với mặt ñáy các góc 60o. Hãy tính thể tích của khối chóp S.ABC. Giải: Kẻ SH vuông góc với BC. Suy ra SH ⊥ mp (ABC) Kẻ SI vuông góc với AB và SJ ⊥ AC ⇒góc SIH = góc SJH = 60o ⇒ tam giác SHI = tam giác SHJ ⇒ HI = HJ ⇒ AIHJ là hình vuông ⇒ I là trung ñiểm AB ⇒ IH = a/2
3
a 3 Trong tam giác vuông SHI ta có SH = 2
ABC
a 3 (ñvdt) = V(SABC) = . SH S∆ 1 3 12
060
BAD∠ =
Bài 5. Cho hình chóp SABCD ñáy ABCD là hình thoi cạnh 2a, SA=a, SB=a 3 , , (SAB) ⊥ (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung ñiểm của AB, BC. Tính thể tích khối tứ diện NSDC và tính cosin của góc giữa hai ñường thẳng SM và DN. Giải +) VNSDC=? - Ta có: SA2+SB2=a2+3a2=4a2=AB2
- Trang | 2 -
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Thể tích khối chóp
S
AB a=
1 2
=> ∆ SAB vuông tại S => SM=
=> ∆ SAM ñều. - Gọi H là trung ñiểm AM => SH ⊥ AB.
N
B
C
( SAB ) ⊥ ( ABCD ) = AB - SH ( ABCD ) => ⊥ SH ( SAB SH AB ), ⊂ ⊥
∆
NDC
M
H
A
I
E
D
S . SH . - VNSDC = VSNDC= 1 3
2
Mà:
0
S
=
S
=
S
=
.
AB AD .
.sin 60
∆
NDC
∆
BDC
∆
BDA
1 2
1 1 . 2 2
1 2
a 3 + = .2 .2 . a a = 1 4 3 2 2
2
3
3 a (SH là ñường cao trong tam giác ñều SAM). + SH= 2
(cid:1) VNSDC=
a 3 3 a . . . = 2 a 4 2
2
2
SI
1 3 +) d(SM, DN)=? - Gọi E là trung ñiểm của AD, ta có: BN//=ED => BNDE là hình bình hành => BE//ND. - Gọi I là trung ñiểm của AE => MI//BE => MI//ND => SM DN , SM MI , = ∠ ∠ ) ( ) (
=
cos
SMI
2 − + MS MI MS MI 2. .
- Ta có: SI2 = MS2 + MI2 - 2MS.MI.cos SMI =>
1 2
1 2
2
2
Mà: + SM= AB= .2a = a.
a− 2. .
a 2
a 3 4
a 1 . 2 2
= + MI2 = AM2 + AI2 - 2AM.AI.cos600 = a2 +
a
2
2
HI+
2
3 + Xét tam giác vuông SHI, ta có: SI2 = SH2 + HI2 = . ( )
2
2
SI
a
a 2
a 3 4
a 4
2
2
2
a
+
−
a
(cid:1) cos
SMI
=
=
〉
0
.
a 3 4 a
3
3 4 3
a 2. .
2
(cid:1)
.
∠
SM MI ,
= ∠
SMI
=>
c os
∠
SM DN ,
=
c os
∠
SM MI ,
=
c SMI os
=
2 2 Hơn nữa tam giác AHI ñều => HI= => = = +
(
)
(
)
(
)
3 4 3
Bài 6. Cho hình chóp tứ giác SABCD, hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với (ABCD), ñáy
ABCD là hình chữ nhật có AB = a, BC = a 3 . Gọi I là ñiểm thuộc SC sao cho SI = 2CI và AI ⊥ SC. Tính thể tích khối chóp SABCD. Giải - Gọi O = AC ∩ BD..
- Trang | 3 -
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Thể tích khối chóp
S
(
SAC
)
∩
(
= SBD SO )
(
SAC
)
(
ABCD
)
SO
(
ABCD
)
⊥
=>
⊥
-
(
SBD
)
⊥
(
ABCD
)
-
V
=
S
SO .
SABCD
ABDC
1 3
I
3 .
Mà: + SABCD = AB.AD = a.a 3 = a 2
+
S
=
SO AC .
=
SC AI .
A
∆
SAC
B
1 2
1 2
=> SO.AC = SC.AI (*). Hơn nữa:
O
2
2
2
2
AC =
+ AD DC
=
a 3
+
a
=
a 2 .
C
D
2
2
2
+ SO OC
=
2 SO a
+
.
SC =
2
2
2
AI =
(SI=2 IC => IC=
2 − AC CI
=
AC
−
(
SC
)
SC )
1 3
1 3
2
2
2
2
2
2
=
AC
−
=
4
a
−
35
a
−
SO
=
(ðk: SO < a 35 ).
SC 9
2 SO a + 9
1 3
2
2
2
Thay vào (*) ta có: SO.2a =
2 SO a
+
.
35
a
−
SO
1 3
2
2
2
2
2
2
2 SO a
. 35
SO
+
−
a
(cid:2) 36.a2.SO2 =
).(35
(
)
2 SO a
SO
+
−
a
(cid:2) 6a.SO = (cid:2) SO4 + 2a2.SO2 - 35a4 = 0. Coi ñây là phương trình trùng phương, ta có SO=a 5 .
3
a
.
5
a . 3.
=
Vậy VSABCD=
21 a . 3
. 15 3
S
Bài 7. Cho hình chóp SABC, ñáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = 3a, BC = 4a, hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC), góc giữa SB và mặt phẳng (ABC) bằng 30o, M là trung ñiểm của SC. Tính thể tích khối chóp SABM. Giải:
(
SAB
)
∩
(
SAC
)
=
SA
o
(
)
(
)
(
)
30
SAB
⊥
ABC
→ ⊥ SA
ABC
→
(cid:1) SBA
=
M
(
)
(
)
SAC
⊥
ABC
1
ta có: SA = SB.tan30o = 3a.
= a 3 .
- Xét SAB∆
3
A
C
Gọi H là trung ñiểm của AC Khi ñó: MH //SA → MH ⊥ (ABC)
H
V
=
V
−
V
=
S
SA .
−
S
MH .
SABM
SABC
MABC
∆
ABC
∆
ABC
1 3
.
-
=
SA .
−
S
SA
=
S
SA .
S
ABC
∆
ABC
∆
ABC
∆
1 6
1 3
1 3 1 2
B
3
.
.
3
. 3
=
BA BC SA .
=
a .3a.4a.
=
a
1 12
1 3 1 1 . 6 2
Nguồn :
Hocmai.vn
- Trang | 4 -
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
