Tóm tắt lí thuyết Toán 11 HKII Dãy số - Cấp số cộng - Cấp số nhân

Tóm tắt lí thuyết Toán 11 HKII<br /> <br /> DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN<br /> <br /> GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ<br /> <br /> 1. Dãy số<br /> <br /> 1. Giới hạn 0<br /> <br /> a) Định nghĩa<br /> Dãy số là một hàm số u xác định trên tập  * .<br /> Kí hiệu: dãy số (un)  n   * .<br /> <br /> a) Một số hàm số có giới hạn 0<br /> lim<br /> <br /> b) Cách cho một dãy số<br /> C1: công thức của số hạng tổng quát.<br /> C2: hệ thức truy hồi.<br /> C3: phương pháp mô tả bằng lời.<br /> <br /> Nếu |q| < 1 thì<br /> <br /> Dưới<br /> <br /> khi m ≤ un ≤ M<br /> <br /> m<br /> <br /> c) Số hạng tổng quát:<br /> d) Tổng n số hạng đầu:<br /> <br /> Bị chặn<br /> <br /> u n 1  u n  d (d: công sai)<br /> u u<br /> u k  k 1 k 1 (k ≥ 2)<br /> 2<br /> u n  u1  (n  1) d<br /> n<br /> n<br /> Sn  (u1  u n )   2 u1  (n  1) d <br /> 2<br /> 2<br /> <br /> 3. Cấp số nhân<br /> a) Định nghĩa:<br /> <br /> u n 1  u n .q<br /> <br /> M<br /> <br /> u k  u k 1 .u k 1<br /> <br /> c) Số hạng tổng quát:<br /> <br /> u n  u1 .q n 1<br /> <br /> 1 q<br /> 1 q<br /> <br /> 1<br />  0;<br /> n<br /> <br /> lim<br /> <br /> 1<br /> 0<br /> nk<br /> <br /> thì<br /> <br /> lim un = 0<br /> <br /> lim qn = 0<br /> <br /> lim(u n  L)  0  lim(u n )  L<br /> lim c = c<br /> <br /> (c: hằng số)<br /> <br /> b) Định lí<br /> lim 3 u n  3 lim u n<br /> <br /> (lim căn 3 bằng căn 3 lim)<br /> <br /> lim u n  lim u n<br /> <br /> (lim trị bằng trị lim)<br /> <br /> lim u n  lim u n (un ≥ 0 & lim un ≥ 0) (lim căn dương bằng căn lim dương)<br /> lim(u n  v n )  lim u n  lim v n (lim tổng bằng tổng lim; lim hiệu bằng hiệu lim)<br /> (lim tích bằng tích lim)  lim(c.u n )  c.lim u n<br /> lim(u n .v n )  lim u n .lim v n<br /> lim<br /> <br /> u n lim u n<br /> <br /> v n lim v n<br /> <br /> Nhận xét:<br /> <br /> 2<br /> <br /> Sn  u 1<br /> <br /> a) Định nghĩa:<br /> <br /> (q: công bội)<br /> <br /> b) Tính chất:<br /> <br /> d) Tổng n số hạng đầu:<br /> <br /> Trên<br /> <br /> Nhận xét:<br /> <br /> m<br /> <br /> 2. Cấp số cộng<br /> <br /> b) Tính chất:<br /> <br /> lim<br /> <br /> 2. Giới hạn hữu hạn<br /> <br /> Dãy (un) bị chặn trên khi un ≤ M<br /> <br /> a) Định nghĩa:<br /> <br /> 1<br />  0;<br /> n<br /> <br /> Nếu |un| ≤ vn  n   * và lim vn = 0<br /> <br /> M<br /> <br /> bị chặn<br /> <br /> 3<br /> <br /> Cho hai dãy số (un) và (vn)<br /> <br /> d) Dãy số bị chặn<br /> <br /> Dãy (un)<br /> <br /> lim<br /> <br /> b) Định lí<br /> <br /> c) Dãy số tăng, dãy số giảm<br /> Dãy (un) tăng khi un < un+1 (sau > trước)<br /> Dãy (un) giảm khi un > un+1 (sau < trước)<br /> <br /> Dãy (un) bị chặn dưới khi m ≤ un<br /> <br /> 1<br />  0;<br /> n<br /> <br /> (lim thương bằng thương lim)<br /> <br /> ap<br /> <br /> p = q  A =<br /> bq<br /> lim<br /> A<br /> b 0 + b1n+ b 2 n 2 + ... + bq n q<br /> p < q  A = 0<br /> <br /> a 0 + a1n+ a 2 n 2 + ... + a p n p<br /> <br /> c) Tổng của CSN lùi vô hạn<br /> n<br /> <br /> Trịnh Đăng Dương – Lớp 11A1 – Trường THPT Trần Quốc Tuấn<br /> <br /> S = u1 + u1q+ u 2q 2 + ... =<br /> <br /> u1<br /> (q < 1)<br /> 1 q<br /> Trang 1<br /> <br /> Tóm tắt lí thuyết Toán 11 HKII<br /> <br /> 3. Giới hạn vô cực<br /> <br /> GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ<br /> <br /> a) Định nghĩa<br /> <br /> 1. Giới hạn hàm số tại một điểm<br /> <br /> lim u n    khi n   thì u n  <br /> <br /> a) Giới hạn hữu hạn:<br /> <br /> lim u n    khi n   thì u n  <br /> <br /> b) Giới hạn vô cực:<br /> <br /> b) Một số hàm số có giới hạn vô cực<br /> <br /> lim f(x)    khi lim x n  x 0 thì lim f(x n ) = <br /> <br /> x x0<br /> <br /> ( (x n )  (a;b)\{x 0 } )<br /> 3<br /> <br /> lim n   ;<br /> <br /> lim n   ;<br /> <br /> lim ( n)   ;<br /> <br /> lim ( n )  <br /> <br /> Định lí:<br /> <br /> lim f(x)  L  khi x  x 0 thì f(x)  L<br /> <br /> x x0<br /> <br /> lim n  <br /> <br /> Nếu lim u n   thì lim<br /> <br /> 2. Giới hạn hàm số tại vô cực<br /> lim f(x)  L  khi f(x)  L thì x  <br /> <br /> 1<br /> 0<br /> un<br /> <br /> x <br /> <br /> Các giới hạn thừa nhận:<br /> <br /> c) Các quy tắc tìm giới hạn vô cực<br /> Quy tắc 1. Trường hợp cả lim un và lim vn đều có giới hạn vô cực<br /> <br />   khi lim u n .lim v n  0 (1)<br /> lim u n  , lim v n    lim (u n v n )  <br />   khi lim u n .lim v n  0 (2)<br /> <br />  khi k chẵn<br /> 1<br /> lim x k   ; lim x k  <br /> ; lim k  0<br /> x  x<br /> x + <br /> x <br />  khi k lẻ<br /> <br /> 3. Định lí<br /> ● lim  f(x)  g(x)  lim f(x)  lim g(x)<br /> x  x0<br /> <br /> x x0<br /> <br /> x x0<br /> <br /> ● lim f(x).g(x)   lim f(x). lim g(x)  lim  c.f(x)   c. lim f(x)<br /> x  x0<br /> <br /> x x0<br /> <br /> x x0<br /> <br /> x x0<br /> <br /> x  x0<br /> <br /> (1): lim un và lim vn cùng dấu<br /> <br /> f(x)<br /> f(x) xlim<br /> x0<br /> <br /> x  x 0 g(x)<br /> lim g(x)<br /> <br /> (2): lim un và lim vn trái dấu<br /> <br /> ● lim<br /> <br /> Nhận xét: lim a.x k  a.x 0 k<br /> <br />  g(x)  0 <br /> <br /> x  x0<br /> <br /> x x0<br /> <br /> Quy tắc 2. Trường hợp lim un có giới hạn vô cực và lim vn có giới hạn hữu hạn<br /> <br />   khi lim u n .lim v n  0 (1)<br /> lim u n  , lim v n  L  0  lim (u n v n )  <br />   khi lim u n .lim v n  0 (2)<br /> <br /> ● lim f(x)  lim f(x)<br /> x  x0<br /> <br /> x x0<br /> <br /> ● lim 3 f(x) <br /> <br /> 3<br /> <br /> x  x0<br /> <br /> lim f(x)  lim f(x) <br /> <br /> x x0<br /> <br /> x x0<br /> <br /> lim f(x)<br /> <br /> x  x0<br /> <br />  f(x)  0 <br /> <br /> 4. Giới hạn một bên<br /> Quy tắc 3. Trường hợp lim un có giới hạn hữu hạn và lim vn có giới hạn 0<br /> <br /> u<br /> lim u n  L  0, lim v n  0  lim  n<br />  vn<br /> Chú ý: vn ≠ 0<br /> <br />    khi lim u n .lim v n  0 (1)<br /> <br />    khi lim u n .lim v n  0 (2)<br /> <br /> a) Giới hạn hữu hạn<br /> GH bên phải: lim f(x)  L  khi x  x 0 thì f(x)  L (x > x0)<br /> x  x0<br /> <br /> GH bên trái:<br /> <br /> lim f(x)  L  khi x  x 0 thì f(x)  L (x < x0)<br /> <br /> x  x 0<br /> <br /> Khi lim f(x)  lim f(x)  L  lim f(x)  L<br /> x  x0<br /> <br /> x x0<br /> <br /> x x0<br /> <br /> Khi lim f(x)  lim f(x) thì không tồn tại lim f(x)<br /> x  x0<br /> <br /> Trịnh Đăng Dương – Lớp 11A1 – Trường THPT Trần Quốc Tuấn<br /> <br /> x  x0<br /> <br /> x  x0<br /> <br /> Trang 2<br /> <br /> Tóm tắt lí thuyết Toán 11 HKII<br /> <br /> b) Giới hạn vô cực<br /> <br /> ĐẠO HÀM<br /> 1. Đạo hàm của hàm số tại một điểm<br /> <br /> GH bên phải: lim f(x)  <br /> x x0<br /> <br /> GH bên trái:<br /> <br /> a) Khái niệm<br /> <br /> lim f(x)  <br /> <br /> x  x 0<br /> <br /> 5. Các dạng vô định<br /> 0<br /> f(x)<br /> với lim f(x)  lim g(x)  0<br /> a) Dạng : Đối với bài toán tính lim<br /> x  x 0 g(x)<br /> x  x0<br /> x  x0<br /> 0<br /> + f(x), g(x) là các đa thức: phân tích thành nhân tử chung (x – x0)<br /> + f(x), g(x) chứa các căn thức cùng bậc: phương pháp nhân liên hợp<br /> + f(x) chứa các căn thức không cùng bậc: thêm bớt f(x) để nhân liên hợp<br /> <br /> f(x)<br /> với lim f(x)  lim g(x)  <br /> : Đối với bài toán tính lim<br /> x<br /> <br /> x<br /> x  x0<br /> x  x0<br /> <br /> 0 g(x)<br /> + Phương pháp: chia tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất của mẫu thức.<br /> + Trường hợp có dấu giá trị tuyệt đối phải xét giới hạn bên.<br /> <br /> b) Dạng<br /> <br /> c) Dạng    : Đối với bài toán tính lim  f(x)  g(x)  với lim f(x)  lim g(x)  <br /> x  x0<br /> <br /> + Phương pháp: biến đổi về dạng<br /> <br /> x  x0<br /> <br /> x  x0<br /> <br /> 0<br /> <br /> hoặc<br /> bằng phương pháp nhân liên<br /> 0<br /> <br /> <br /> hợp hoặc thêm bớt, ...<br /> d) Dạng 0. : Đối với bài toán tính lim  f(x).g(x) với lim f(x)  0; lim g(x)  <br /> x  x0<br /> <br /> x  x0<br /> <br /> + Phương pháp: biến đổi về dạng<br /> <br /> Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hs y = f(x) tại M0(x0;f(x0)) là f '(x) .<br /> Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(x0;y0) là: y  y 0 = f '(x 0 )(x  x 0 )<br /> d) Ý nghĩa cơ học v = S' (đạo hàm của quãng đường là vận tốc)<br /> e) Đạo hàm của các hs thường gặp<br /> c'  0 (c: hằng số)<br /> x'  1<br /> <br /> (x n ) '  n .x n 1<br /> <br />  x  '  2 1x<br /> <br /> 2. Các quy tắc tính đạo hàm<br /> ● (u ± v) '  u'  v'<br /> <br /> kk<br /> <br /> f(x) xác định tại x 0<br /> HS f(x) liên tục tại x0  <br /> lim f(x)  f(x 0 )<br /> Nếu lim f(x) ≠ f(x0) thì hàm số gián đoạn tại x0<br /> <br /> a) HSLT tại 1 điểm:<br /> <br /> b) HSLT trên 1 khoảng, 1 đoạn<br /> HS f(x) liên tục trên J  f(x) liên tục tại x 0  J<br />  lim f(x) = f(a)<br />  x a<br /> HS f(x) liên tục trên [a;b] khi f(x) liên tục trên (a;b) và <br /> f(x) = f(b)<br />  xlim<br /> b <br /> Trịnh Đăng Dương – Lớp 11A1 – Trường THPT Trần Quốc Tuấn<br /> <br /> f '(x)  lim<br /> <br /> x  x0<br /> <br /> 0<br /> <br /> hoặc<br /> 0<br /> <br /> <br /> 6. Hàm số liên tục<br /> <br /> f(x)  f(x 0 )<br /> x x0<br /> x x0<br /> y<br /> Với Δx = x – x0 ; Δy = f(x0+Δx) – f(x0) thì: f '(x)  lim<br />  x 0  x<br /> y<br /> b) Quy tắc tính đạo hàm: tính Δy, sau đó tính lim<br />  x 0  x<br /> c) Ý nghĩa hình học<br /> <br /> Cho hs y = f(x), đạo hàm của hs là:<br /> <br /> Dấu của lim phụ thuộc vào f(x) tại x0.<br /> <br /> ● (u . v) '  u'.v  v'.u  (k .u) '  k .u' (k: hằng số)<br /> '<br /> '<br /> '<br /> 1<br /> u'<br />  u  u'.v  v'.u<br /> 1<br /> 1<br /> ●  <br />      và     2<br /> 2<br /> v<br /> x<br /> u<br /> v<br /> x<br /> u <br /> 3. Hàm số hợp<br /> a) Định nghĩa<br /> <br /> y = f [u(x)] là hàm hợp của 2 hàm số f và u.<br /> <br /> b) Cách tính đạo hàm hợp<br /> <br /> (u n ) '  n .u n 1 .u'<br /> <br /> y '  f '.u'  <br /> '<br /> u'<br />  u <br /> 2 u<br /> <br /> <br />  <br /> <br /> Trang 3<br /> <br /> Tóm tắt lí thuyết Toán 11 HKII<br /> <br /> 4. Đạo hàm của hàm số lượng giác<br /> sin x<br /> :<br /> x 0<br /> x<br /> <br /> a) Giới hạn lim<br /> <br /> VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ VUÔNG GÓC<br /> 1. Vectơ trong không gian. Ba vectơ đồng phẳng<br /> <br /> sin x<br /> sin u(x)<br />  1  lim<br /> 1<br /> x 0<br /> u(x)<br /> <br /> 0<br /> x<br /> u(x)<br /> <br /> lim<br /> <br /> Các tính chất của vectơ trong mp đều được áp dụng trong không gian.<br /> ● Quy tắc 3 điểm, quy tắc hình bình hành<br /> ● Tính chất trung điểm đoạn thẳng, trọng tâm tam giác, trọng tâm tứ diện<br /> <br /> b) Đạo hàm của các hàm số lượng giác trên tập xác định của hàm số<br /> ● (sin x)'  cos x  (sin u)'  u'.cos u<br /> <br /> Ba vectơ được gọi là đồng phẳng khi giá của chúng cùng song song với một mp.<br /> <br /> (u: hàm số theo x)<br /> <br />   <br /> Cho a, b, c không cùng phương, ta có 2 định lí sau:<br /> <br />   <br /> <br /> <br /> ĐL 1. a, b, c đồng phẳng  c  m.a  n.b (m,n   )<br />  <br /> <br /> <br /> <br /> ĐL 2.  d : d  m.a + n.b  p.c (bộ m,n,p   duy nhất)<br /> <br /> y<br /> B<br /> <br /> ● (cos x)'   sin x  (cos u)'  u'.( sin u)<br /> <br /> S<br /> <br /> cot<br /> <br /> T<br /> M<br /> <br /> K<br /> <br /> tan<br /> <br /> sin<br /> <br /> A'<br /> <br /> A<br /> <br /> α<br /> <br /> trục hoành<br /> <br /> O<br /> <br /> cos<br /> <br /> H<br /> <br /> trục tung<br /> <br /> 1<br /> u'<br />  (tan u)' <br /> ● (tan x)' <br /> 2<br /> cos x<br /> cos 2 u<br /> 1<br /> u'<br /> ● (cot x)'   2  (cot u)'   2<br /> sin x<br /> sin u<br /> <br /> x<br /> <br /> 2. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc<br /> a) Đường thẳng với đường thẳng:<br /> <br /> a // b   c  b<br /> <br /> c  a<br /> <br /> B'<br /> <br /> 5. Vi phân và đạo hàm bậc cao<br /> <br /> b) Đường thẳng với mặt phẳng:<br /> <br /> a) Vi phân<br /> Vi phân của hs y = f(x) là dy = f '(x).dx<br /> b) Đạo hàm bậc cao<br /> <br /> a  b<br /> a  (P)  <br /> b  (P) bất kì<br /> <br /> da<br /> <br /> <br /> <br /> db<br />   d  (P)<br /> a  b trong (P) <br /> <br /> ;<br /> <br /> ● Đạo hàm cấp hai của hs y = f(x) là f ''  (f ')'<br /> (đạo hàm của quãng đường là vận tốc)<br /> <br />  v = S'<br /> Ý nghĩa cơ học: <br /> a = v' = S'' (đạo hàm của vận tốc hay đạo hàm cấp hai<br /> của quãng đường là gia tốc)<br /> <br /> ● Đạo hàm cấp n của hs y = f(x) là f (n)  [ f (n 1) ]'<br /> <br /> a // b <br />   b  (P);<br /> a  (P) <br /> <br /> a  (P) <br /> (P)//(Q) <br /> <br /> b  (P)   a // b;<br />   a  (Q)<br /> a  (P) <br /> <br /> a b <br /> <br /> (P)  a <br /> a // (P) <br /> <br /> (Q)  a   (P) // (Q);<br />  b  a ;<br /> b  (P) <br /> <br /> (P)  (Q) <br /> <br /> a cắt (P), b  (P)<br /> a' là hình chiếu của a lên (P)<br /> b  a'  b  a<br /> A<br /> <br /> B'<br /> <br /> A'<br /> <br /> c) Mặt phẳng với mặt phẳng:<br /> <br /> a<br /> <br /> B<br /> <br /> b  (P) <br /> <br /> a  b   a //(P)<br /> a  (P)<br /> <br /> P<br /> <br /> a'<br /> <br /> b<br /> <br /> (P)  (Q)<br /> a  (P) <br />   (P)  (Q);<br /> a  (Q) <br /> Trịnh Đăng Dương – Lớp 11A1 – Trường THPT Trần Quốc Tuấn<br /> <br /> <br /> (P)  (Q)   <br />   a  (Q)<br /> a  (P)<br /> <br /> <br /> a<br /> Trang 4<br /> <br /> Tóm tắt lí thuyết Toán 11 HKII<br /> <br /> 3. Góc trong không gian<br /> <br /> 4. Khoảng cách trong không gian<br /> <br /> a) Góc giữa ĐƯỜNG với ĐƯỜNG<br /> <br /> * Phương pháp tìm hình chiếu H của điểm A lên mp (α)<br /> Δ1<br /> <br /> Cho hai đường thẳng Δ1 và Δ2 chéo nhau.<br /> Qua O dựng Δ1' // Δ1, Δ2' // Δ2.<br /> <br /> Δ2<br /> <br /> Ta có: (1 ;  2 )  (1';  2 ')  900<br /> <br /> 1   2  (1 ;  2 )  90<br /> <br /> Cho điểm A và mp (α)<br /> (P)  A<br /> - Chọn mp (P): <br /> (P)  (α)<br /> - Tìm   (P)  (α)<br /> - Kẽ AH   . Ta có: AH  (α)<br /> <br /> Δ1'<br /> 0<br /> <br /> Δ2'<br /> O<br /> <br /> b) Góc giữa ĐƯỜNG với MẶT<br /> <br />  H là hình chiếu của A lên mp(α)<br /> <br /> Cho đường thẳng a và mp (P) cắt nhau.<br /> <br /> A<br /> <br /> Δ<br /> H<br /> α<br /> <br /> a) Khoảng cách từ một điểm đến mp, đường thẳng.<br /> a<br /> <br /> Tìm A  a  (P) . Chọn B  a, B  A .<br /> <br /> A<br /> <br /> ● ĐIỂM<br /> <br /> B<br /> <br /> → MẶT<br /> <br /> Tìm hình chiếu H của B lên (P), BH  (P) tại H  (P) .<br /> <br /> Cho điểm A và mp(P), A  (P) .<br /> <br />  AH là hình chiếu của AB lên mp (P).<br /> <br /> Ta có: d(A,(P)) = AH.<br /> <br /> <br /> <br /> (P)  AB,<br /> AH  900<br /> Ta có: a,<br /> <br /> a  (P)  a,<br /> (P)  900<br /> <br /> P<br /> <br /> H<br /> <br /> A<br /> <br /> α<br /> <br /> (H là hình chiếu của A lên mp(P))<br /> <br /> a'<br /> <br /> H<br /> <br /> ● ĐIỂM<br /> <br /> P<br /> <br /> P<br /> <br /> → ĐƯỜNG<br /> <br /> A<br /> <br /> Cho điểm A và đg thẳng a, A  a .<br /> Ta có: d(A,a) = AH.<br /> <br /> a<br /> <br /> Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng<br /> <br /> (H là chân đường vuông góc hạ từ A)<br /> <br /> là tập hợp các điểm cách đều 2 đầu mút<br /> <br /> b) Khoảng cách giữa đường // mặt, mặt // mặt.<br /> <br /> của đoạn thẳng đó.<br /> <br /> A<br /> <br /> ● ĐƯỜNG →<br /> <br /> P<br /> <br /> Ta có: d(a,(P)) = d(A,(P)) = AH<br /> <br /> Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau.<br /> <br /> (H là hình chiếu của A lên mp(P))<br /> <br /> Tìm   (P)  (Q) . Chọn M   .<br /> M<br /> <br /> Tại M dựng: 1  (P), 1  <br /> <br /> Δ1<br /> <br />  2  (Q),  2  <br /> <br /> Trịnh Đăng Dương – Lớp 11A1 – Trường THPT Trần Quốc Tuấn<br /> <br /> a<br /> <br /> MẶT<br /> <br /> Cho đường thẳng a, điểm A  a và a//(P).<br /> <br /> c) Góc giữa MẶT với MẶT<br /> <br /> <br /> Ta có: (P),<br /> (Q)  (1 ;  2 )  900<br /> <br /> (P)  (Q)  (P),<br /> (Q)  900<br /> <br /> a<br /> H<br /> <br /> α<br /> <br /> ● MẶT<br /> Δ2<br /> <br /> H<br /> <br /> P<br /> <br /> → MẶT<br /> <br /> Cho A  (P) và (P)//(Q).<br /> <br /> A<br /> Q<br /> <br /> Ta có: d((P),(Q)) = d(A,(Q)) = AH<br /> P<br /> <br /> Δ<br /> <br /> Q<br /> <br /> (H là hình chiếu của A lên mp(Q))<br /> P<br /> <br /> H<br /> Trang 5<br /> <br />