Tóm tắt lí thuyết Toán 11 HKII
Trịnh Đăng Dương – Lớp 11A1 – Trường THPT Trần Quốc Tuấn Trang 1
DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
1. Dãy số
a) Định nghĩa
Dãy số là một hàm số u xác định trên tập
*
.
Kí hiệu: dãy số (u
n
)
n *
.
b) Cách cho một dãy số
C1: công thức của số hạng tổng quát.
C2: hệ thức truy hồi.
C3: phương pháp mô tả bằng lời.
c) Dãy số tăng, dãy số giảm
Dãy (u
n
) tăng khi u
n
< u
n+1
(sau > trước)
Dãy (u
n
) giảm khi u
n
> u
n+1
(sau < trước)
d) Dãy số bị chặn
Dãy (u
n
) bị chặn trên khi u
n
≤ M
Dãy (u
n
) bị chặn dưới khi m ≤ u
n
Dãy (u
n
) bị chặn khi m ≤ u
n
≤ M
2. Cấp số cộng
a) Định nghĩa:
n 1 n
u u d
(d: công sai)
b) Tính chất:
k 1 k 1
k
u u
u
2
(k ≥ 2)
c) Số hạng tổng quát:
n 1
u u (n 1)d
d) Tổng n số hạng đầu:
n 1 n 1
n n
S (u u ) 2u (n 1)d
2 2
3. Cấp số nhân
a) Định nghĩa:
n 1 n
u u .q
(q: công bội)
b) Tính chất:
2
k k 1 k 1
u u .u
c) Số hạng tổng quát:
n 1
d) Tổng n số hạng đầu:
n
n 1
1 q
S u
1 q
GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
1. Giới hạn 0
a) Một số hàm số có giới hạn 0
1
lim 0
n
;
3
1
lim 0
n
; 1
lim 0
n
;
k
1
lim 0
n
b) Định lí
Cho hai dãy số (u
n
) và (v
n
)
Nếu |u
n
| ≤ v
n
n *
và lim v
n
= 0 thì lim u
n
= 0
Nếu |q| < 1 thì lim q
n
= 0
2. Giới hạn hữu hạn
a) Định nghĩa:
n n
lim(u L) 0 lim(u ) L
Nhận xét: lim c = c (c: hằng số)
b) Định lí
3 3
n n
lim u lim u
(lim căn 3 bằng căn 3 lim)
n n
lim u lim u
(
lim trị bằng trị lim)
n n
lim u lim u
(u
n
≥ 0 & lim u
n
≥ 0)
(lim căn dương bằng căn lim dương)
n n n n
lim(u v ) lim u lim v
(lim tổng bằng tổng lim; lim hiệu bằng hiệu lim)
n n n n
lim(u .v ) lim u .lim v
(lim tích bằng tích lim)
n n
lim(c.u ) c.lim u
n n
n n
u lim u
lim
v lim v
(lim thương bằng thương lim)
Nhận xét:
p
2 p
0 1 2 p
q
2 q
0 1 2 q
a
p = q A =
a + a n+ a n +...+ a n
b
lim A
b + b n+ b n +...+ b n
p < q A = 0
c) Tổng của CSN lùi vô hạn
2
1
1 1 2
u
S = u + u q+ u q +... =
1 q
(q < 1)
M
Trên
m
Dưới
M
m
Bị chặn
Tóm tắt lí thuyết Toán 11 HKII
Trịnh Đăng Dương – Lớp 11A1 – Trường THPT Trần Quốc Tuấn Trang 2
3. Giới hạn vô cực
a) Định nghĩa
n
lim u

khi
n 
thì
n
u

n
lim u

khi
n 
thì
n
u

b) Một số hàm số có giới hạn vô cực
lim n 
;
lim n

;
3
lim n

lim ( n)

;
lim ( n)

Định lí: Nếu
n
lim u

thì
n
1
lim 0
u
c) Các quy tắc tìm giới hạn vô cực
Quy tắc 1.
Trường hợp cả lim u
n
và lim v
n
đều có giới hạn vô cực
n n
n n n n
n n
khi lim u .lim v 0 (1)
lim u , lim v lim (u v )
khi lim u .lim v 0 (2)

  
(1): lim u
n
và lim v
n
cùng dấu
(2): lim u
n
và lim v
n
trái dấu
Quy tắc 2.
Trường hợp lim u
n
có giới hạn vô cực và lim v
n
có giới hạn hữu hạn
n n
n n n n
n n
khi lim u .lim v 0 (1)
lim u , lim v L 0 lim (u v )
khi lim u .lim v 0 (2)

 
Quy tắc 3.
Trường hợp lim u
n
có giới hạn hữu hạn và lim v
n
có giới hạn 0
n n
n
n n
n n
n
khi lim u .lim v 0 (1)
u
lim u L 0, lim v 0 lim
khi lim u .lim v 0 (2)
v


Chú ý: v
n
≠ 0
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
1. Giới hạn hàm số tại một điểm
a) Giới hạn hữu hạn:
0
0
x x
lim f(x) L khi x x
thì
f(x) L
b) Giới hạn vô cực:
0
n 0
x x
lim f(x) khi lim x x
thì
n
lim f(x ) =
(
n 0
(x ) (a;b)\{x }
)
2. Giới hạn hàm số tại vô cực
x
lim f(x) L khi f(x) L

thì
x 
Các giới hạn thừa nhận
:
k k
x + x
khi k
lim x ; lim x
khi k


 
;
k
x
1
lim 0
x

3. Định lí
●
0 0 0
x x x x x x
lim f(x) g(x) lim f(x) lim g(x)
●
0 0 0 0 0
x x x x x x x x x x
lim f(x).g(x) lim f(x). lim g(x) lim c.f(x) c. li
m f(x)
●
0
0
0
x x
x x
x x
lim f(x)
f(x)
lim g(x) 0
g(x) lim g(x)
Nhận xét:
0
k k
0
x x
lim a.x a.x
●
0 0
x x x x
lim f(x) lim f(x)
●
0 0 0 0
33
x x x x x x x x
lim f(x) lim f(x) lim f(x) lim f(x) f(x) 0
4. Giới hạn một bên
a) Giới hạn hữu hạn
GH bên phải:
0
0
x x
lim f(x) L khi x x
thì
f(x) L
(x > x
0
)
GH bên trái:
0
0
x x
lim f(x) L khi x x
thì
f(x) L
(x < x
0
)
Khi
0 0 0
x x x x x x
lim f(x) lim f(x) L lim f(x) L
Khi
0 0
x x x x
lim f(x) lim f(x)
thì không tồn tại
0
x x
lim f(x)
chẵn
lẻ
Tóm tắt lí thuyết Toán 11 HKII
Trịnh Đăng Dương – Lớp 11A1 – Trường THPT Trần Quốc Tuấn Trang 3
b) Giới hạn vô cực
GH bên phải:
0
x x
lim f(x)

GH bên trái:
0
x x
lim f(x)

Dấu của lim phụ thuộc vào f(x) tại x
0
.
5. Các dạng vô định
a) Dạng
0
0
:
Đối với bài toán tính
0
x x
f(x)
lim
g(x)
với
0 0
x x x x
lim f(x) lim g(x) 0
+ f(x), g(x) là các đa thức: phân tích thành nhân tử chung (x – x
0
)
+ f(x), g(x) chứa các căn thức cùng bậc: phương pháp nhân liên hợp
+ f(x) chứa các căn thức không cùng bậc: thêm bớt f(x) để nhân liên hợp
b) Dạng
:
Đối với bài toán tính
0
x x
f(x)
lim
g(x)
với
0 0
x x x x
lim f(x) lim g(x)
+ Phương pháp: chia tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất của mẫu thức.
+ Trường hợp có dấu giá trị tuyệt đối phải xét giới hạn bên.
c) Dạng
:
Đối với bài toán tính
0
x x
lim f(x) g(x)
với
0 0
x x x x
lim f(x) lim g(x)
+ Phương pháp: biến đổi về dạng
0
0
hoặc
bằng phương pháp nhân liên
hợp hoặc thêm bớt, ...
d) Dạng
0.
:
Đối với bài toán tính
0
x x
lim f(x).g(x)
với
0 0
x x x x
lim f(x) 0; lim g(x)
+ Phương pháp: biến đổi về dạng
0
0
hoặc
6. Hàm số liên tục
a) HSLT tại 1 điểm
:
HS f(x) liên tục tại x
0
0
0
f(x) x
lim f(x) f(x )
Nếu lim f(x) ≠ f(x
0
) thì hàm số gián đoạn tại x
0
b) HSLT trên 1 khoảng, 1 đoạn
HS f(x) liên tục trên J
f(x)
liên tục tại
0
x J
HS f(x) liên tục trên [a;b] khi f(x) liên tục trên (a;b) và
x
x
lim f(x) = f(a)
lim f(x) = f(b)
a
b
ĐẠO HÀM
1. Đạo hàm của hàm số tại một điểm
a) Khái niệm
Cho hs y = f(x), đạo hàm của hs là:
0
0
x x 0
f(x) f(x )
f '(x) lim x x
Với Δx = x – x
0
; Δy = f(x
0
+Δx) – f(x
0
) thì:
x 0
y
f '(x) lim
x
b) Quy tắc tính đạo hàm: tính Δy, sau đó tính
x 0
y
lim
x
c) Ý nghĩa hình học
Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hs y = f(x) tại M
0
(x
0
;f(x
0
)) là
f '(x)
.
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(x
0
;y
0
) là:
0 0 0
y y = f '(x )(x x )
d) Ý nghĩa cơ học
v = S'
(đạo hàm của quãng đường là vận tốc)
e) Đạo hàm của các hs thường gặp
c' 0
x' 1
(c: hằng số)
n n 1
(x )' n.x
1
x '
2 x
2. Các quy tắc tính đạo hàm
●
(u ± v)' u' v'
●
(u.v)' u'.v v'.u (k.u)' k.u'
(k: hằng số)
●
2
' '
u u'.v v'.u 1 1
v v x x
và
'
3. Hàm số hợp
a) Định nghĩa y = f [u(x)] là hàm hợp của 2 hàm số f và u.
b) Cách tính đạo hàm hợp
n n 1
(u )' n.u .u'
y ' f '.u' 'u'
u2 u
kk
xác định tại
Tóm tắt lí thuyết Toán 11 HKII
Trịnh Đăng Dương – Lớp 11A1 – Trường THPT Trần Quốc Tuấn Trang 4
4. Đạo hàm của hàm số lượng giác
a) Giới hạn
x 0
sin x
lim
x
:
x 0 u(x) 0
sin x sin u(x)
lim 1 lim 1
x u(x)
b) Đạo hàm của các hàm số lượng giác trên tập xác định của hàm số
●
(sin x)' cos x (sin u)' u'.cos u
(u: hàm số theo x)
●
(cos x)' sin x (cos u)' u'.( sin u)
●
2 2
1 u'
(tan x)' (tan u)'
cos x cos u
●
2 2
1 u'
(cot x)' (cot u)'
sin x sin u
5. Vi phân và đạo hàm bậc cao
a) Vi phân
Vi phân của hs y = f(x) là
dy = f '(x).dx
b) Đạo hàm bậc cao
● Đạo hàm cấp hai của hs y = f(x) là
f '' (f ')'
Ý nghĩa cơ học:
v = S'
a = v' = S''
● Đạo hàm cấp n của hs y = f(x) là
(n) (n 1)
f [f ]'
VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ VUÔNG GÓC
1. Vectơ trong không gian. Ba vectơ đồng phẳng
Các tính chất của vectơ trong mp đều được áp dụng trong không gian.
● Quy tắc 3 điểm, quy tắc hình bình hành
● Tính chất trung điểm đoạn thẳng, trọng tâm tam giác, trọng tâm tứ diện
Ba vectơ được gọi là đồng phẳng khi giá của chúng cùng song song với một mp.
Cho
a,b,c
không cùng phương, ta có 2 định lí sau:
ĐL 1.
a,b,c
đồng phẳng
c m.a n.b (m,n )
ĐL 2.
d : d m.a + n.b p.c
(bộ m,n,p
duy nhất)
2. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc
a) Đường thẳng với đường thẳng:
a // b c b
c a
b) Đường thẳng với mặt phẳng:
a b
a (P)
b (P)
;
d a
d b d (P)
a b trong (P)
a (P)
a // b b (P); b (P)
a (P) a
(P)//(Q)
a // b; a (Q)
a (P)
b
(P) a
(Q) a
(P)
b (P)
a // (P)
(P) // (Q); b a ; a b a //(P)
b (P) a (P)
(Q)
c) Mặt phẳng với mặt phẳng:
(P) (Q)
a (P) (P) (Q)
(P) (Q); a (Q)
a (Q) a (P)
a
(đạo hàm của quãng đường là vận tốc)
(đạo hàm của vận tốc hay đạo hàm cấp hai
của quãng đường là gia tốc)
bất kì
P
A' B'
A
Ba
a'
b
a cắt (P), b (P)
a' là hình chiếu của a lên (P)
b a' b a
trục hoành
trục tung
O
KM
B
B'
A' A
T
S
x
y
α
sin
cos
tan
cot
H
Tóm tắt lí thuyết Toán 11 HKII
Trịnh Đăng Dương – Lớp 11A1 – Trường THPT Trần Quốc Tuấn Trang 5
Δ
1
'
Δ
2
'
Δ
1
Δ
2
O
P
a'A αH
B
a
3. Góc trong không gian
a) Góc giữa ĐƯỜNG với ĐƯỜNG
Cho hai đường thẳng Δ
1
và Δ
2
chéo nhau.
Qua O dựng Δ
1
' // Δ
1
, Δ
2
' // Δ
2
.
Ta có:
0
1 2 1 2
0
1 2 1 2
( ; ) ( '; ') 90
( ; ) 90
b) Góc giữa ĐƯỜNG với MẶT
Cho đường thẳng a và mp (P) cắt nhau.
Tìm
A a (P)
.
Chọn
B a,B
A
.
Tìm hình chiếu H của B lên (P),
BH (P)
tại
H (P)
.
AH là hình chiếu của AB lên mp (P).
Ta có:
0
0
a,(P) AB,AH 90
a (P) a,(P) 90
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng
là tập hợp các điểm cách đều 2 đầu mút
của đoạn thẳng đó.
c) Góc giữa MẶT với MẶT
Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau.
Tìm
(P) (Q)
. Chọn
M
.
Tại M dựng:
1 1
2 2
(P),
(Q),
Ta có:
0
1 2
0
(P),(Q) ( ; ) 90
(P) (Q) (P),(Q) 90
4. Khoảng cách trong không gian
* Phương pháp tìm hình chiếu H của điểm A lên mp (α)
Cho điểm A và mp (α)
- Chọn mp (P):
(P) A
(P) (
α)
- Tìm
(P) (
α)
- Kẽ
AH
. Ta có:
AH (
α)
H là hình chiếu của A lên mp(α)
a) Khoảng cách từ một điểm đến mp, đường thẳng.
●
ĐIỂM → MẶT
Cho điểm A và mp(P),
A (P)
.
Ta có: d(A,(P)) = AH.
(H là hình chiếu của A lên mp(P))
●
ĐIỂM → ĐƯỜNG
Cho điểm A và đg thẳng a,
A a
.
Ta có: d(A,a) = AH.
(H là chân đường vuông góc hạ từ A)
b) Khoảng cách giữa đường // mặt, mặt // mặt.
●
ĐƯỜNG → MẶT
Cho đường thẳng a, điểm
A a
và
a//(P).
Ta có: d(a,(P)) = d(A,(P)) = AH
(H là hình chiếu của A lên mp(P))
●
MẶT → MẶT
Cho
A (P)
và
(P)//(Q).
Ta có: d((P),(Q)) = d(A,(Q)) = AH
(H là hình chiếu của A lên mp(Q))
P
a
PQ
M
Δ
Δ
1
Δ
2
α
A
H
Δ
α
P
P
H
A
H
A
a
P
aA
H
H
Q
A
P