intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Ôn tập Toán 11 sách Cánh diều - Chương 2-Bài 2: Cấp số cộng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:51

Thêm vào BST
Báo xấu
4
lượt xem 0
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu "Ôn tập Toán 11 sách Cánh diều - Chương 2-Bài 2: Cấp số cộng" được biên soạn nhằm giúp học sinh lớp 11 hệ thống hóa kiến thức. Bài ôn tập này trình bày tóm tắt lý thuyết về định nghĩa cấp số cộng, công sai, số hạng tổng quát và tổng n số hạng đầu, đi kèm bài tập trắc nghiệm và hướng dẫn giải chi tiết. Tài liệu này giúp học sinh vận dụng thành thạo các công thức liên quan đến cấp số cộng. Mời các bạn cùng tham khảo để làm bài tập hiệu quả.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Ôn tập Toán 11 sách Cánh diều - Chương 2-Bài 2: Cấp số cộng

  1. TOÁN 11-CÁNH DIỀU Điện thoại: 0946798489 BÀI 2. CẤP SỐ CỘNG • CHƯƠNG 2. DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN • |FanPage: Nguyễn Bảo Vương PHẦN A. LÝ THUYẾT VÀ VÍ DỤ MINH HỌA I. ĐỊNH NGHĨA Cấp số cộng là một dãy số, trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi d , tức là: un  un 1  d , n  2. Số d được gọi là công sai của cấp số cộng. Lưu ý Nếu  un  là cấp số cộng với công sai d thì với số tự nhiên n  2 , ta có: un  un 1  d . Chú ý: Khi d  0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi. Ví dụ 1. Cho cấp số cộng  un  với u1  9 , công sai d  2 . Viết ba số hạng đầu của cấp số cộng đó. Giải Ba số hạng đầu của cấp số cộng  un  là: u1  9 ; u2  u1  d  9  (2)  7; u3  u2  d  7  (2)  5 . Ví dụ 2. Dãy các số tự nhiên lẻ liên tiếp 1,3,5, , 2n  1,  có là cấp số cộng hay không? Vì sao? Giải Dãy các số tự nhiên lẻ liên tiếp 1,3,5, , 2n  1, là cấp số cộng vì kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với 2. Công sai của cấp số cộng này là 2. II. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT Nếu cấp số cộng  un  có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát u n được xác định bởi công thức: un  u1  (n  1)d , n  2. un  u1 Nhận xét: Từ công thức un  u1  (n  1)d , ta có: n   1 với n  2 . d 1 1 Ví dụ 3. Cho cấp số cộng  un  với số hạng đầu u1  , công sai d   . 2 2 a) Tính u20 . b) Số 99 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng  un  ? Giải a) Theo công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng, ta có: 1  1 u20  u1  (20  1)d   19      9. 2  2 b) Giả sử 99 là số hạng thứ n của cấp số cộng. 1 un  u1 99  Ta có: n  1  2  1  200 . d 1  2 Vậy số 99 là số hạng thứ 200 của cấp số cộng  un  . III. TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNG Cho cấp số cộng  un  có số hạng đầu u1 và công sai d . Đặt Sn  u1  u2  u3  un . Khi đó: Sn   u1  un  n . 2 Nhận xét: Do un  u1  (n  1)d nên u1  un  2u1  (n  1)d . Suy ra Sn   2u1  (n  1)d  n . 2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1
  2. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Ví dụ 4. Tính tổng: S  1  5  9  13  97 . Giải Ta thấy dãy số 1,5,9,,97 là cấp số cộng có số hạng đầu u1  1 , số hạng cuối un  97 , công sai u u 97  1 d  4 . Vì thế, số các số hạng của cấp số cộng trên là: n  n 1  1   1  25. d 4 (1  97)  25 Vậy S   1225 . 2 Ví dụ 5. Một nhà thi đấu có 20 hàng ghế dành cho khán giả. Hàng thứ nhất có 20 ghế, hàng thứ hai có 21 ghế, hàng thứ ba có 22 ghế,... Cứ như thế, số ghế ở hàng sau nhiều hơn số ghế ở hàng trước là 1 ghế. Trong một giải thi đấu, ban tổ chức đã bán được hết số vé phát ra và số tiền thu được từ bán vé là 70800000 đồng. Tính giá tiền của mỗi vé (đơn vị: đồng), biết số vé bán ra bằng số ghế dành cho khán giả của nhà thi đấu và các vé là đồng giá. Giải Số ghế ở mỗi hàng lập thành một cấp số cộng có số hạng đầu u1  20 , công sai d  1 . Cấp số cộng này có 20 số hạng. [2  20  (20  1) 1]  20 Do đó, tổng số ghế trong nhà thi đấu là: S 20   590 . 2 Vì số vé bán ra bằng số ghế dành cho khán giả của nhà thi đấu nên số vé bán ra là 590. Vậy giá tiền của một vé là: 70800000 : 590  120000 (đồng). PHẦN B. BÀI TẬP TỰ LUẬN (PHÂN DẠNG) DẠNG 1: CHỨNG MINH MỘT DÃY SỐ (un) LÀ CẤP SỐ CỘNG. Để chứng minh dãy số  un  là một cấp số cộng, ta xét A  un1  un • Nếu A là hằng số thì  un  là một cấp số cộng với công sai d  A . • Nếu A phụ thuộc vào n thì  un  không là cấp số cộng. Câu 1. (SGK-Cánh diều 11-Tập 1) Cho  un  là cấp số cộng với u1  7, u2  2 . Viết năm số hạng đầu của cấp số cộng đó. Câu 2. (SGK-Cánh diều 11-Tập 1) Cho dãy số  un  với un  5n  7(n  1) . Dãy  un  có là cấp số cộng không? Vì sao? Câu 3. (SGK-Cánh diều 11-Tập 1) Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng? Vì sao? a) 10, 2, 14, 26, 38 ; 1 5 11 7 b) , , 2, , ; 2 4 4 2 c) 1, 2, 3, 4, 5 d) 1, 4, 7,10,13 . Câu 4. (SGK-Cánh diều 11-Tập 1) Trong các dãy số  un  với số hạng tổng quát sau, dãy số nào là cấp số cộng? Nếu là cấp số cộng, hãy tìm số hạng đầu u1 và công sai d . a) un  3  2n 3n  7 b) un  5 c) un  3n Câu 5. (SGK-Cánh diều 11-Tập 1) Chiều cao (đơn vị: centimét) của một đứa trẻ n tuổi phát triển bình thường được cho bởi công thức: xn  75  5  n  1 . (Nguồn: https://bibabo.vn) a) Một đứa trẻ phát triển bình thường có chiều cao năm 3 tuổi là bao nhiêu centimét? b) Dãy số  xn  có là một cấp số cộng không? Trung bình một năm, chiều cao mỗi đứa trẻ phát triển bình thường tăng lên bao nhiêu centimét? Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  3. Điện thoại: 0946798489 TOÁN 11-CÁNH DIỀU Câu 6. Trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số cộng. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó: a). Dãy số  un  với un  19n  5 b). Dãy số  un  với un  3n  1 n c). Dãy số  un  với un  n2  n  1 d). Dãy số  un  với un   1  10n Câu 7. Định x để 3 số 10  3x, 2 x 2  3, 7  4 x theo thứ tự đó lập thành 1 cấp số cộng. Câu 8. Một tam giác vuông có chu vi bằng 3a, và 3 cạnh lập thành một CSC. Tính độ dài ba cạnh của tam giác theo a. Câu 9. Ba góc của một tam giác vuông lập thành một CSC. Tìm số đo các góc đó. DẠNG 2: TÌM SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN, CÔNG SAI CỦA CẤP SỐ CỘNG, TÌM SỐ HẠNG THỨ K CỦA CẤP SỐ CỘNG, TÍNH TỔNG K SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN. Ta thiết lập một hệ phương trình gồm hai ẩn u1 và d. Sau đó giải hệ phương trình này tìm được u1 và d . Muốn tìm số hạng thứ k , trước tiên ta phải tìm u1 và d . Sau đó áp dụng công thức: uk  u1   k  1 d . Muốn tính tổng của k số hạng đầu tiên, ta phải tìm u1 và d . Sau đó áp dụng công thức: k  u1  uk  k  2u1  (k  1)d  Sk   2 2 Câu 10. (SGK-Cánh diều 11-Tập 1) Ruộng bậc thang là một hình thức canh tác có nhiều ở khu vực Tây Bắc và Đông Bắc Việt Nam. Hình ảnh ruộng bậc thang thể hiện nét đẹp văn hoá, là công trình nghệ thuật độc đáo của đồng bào vùng cao phía Bắc. Ruộng bậc thang ở một số nơi đã trở thành những địa chỉ tham quan du lịch đầy hấp dẫn của du khách trong nước và quốc tế. Một ruộng bậc thang có thửa thấp nhất nằm ở độ cao 1250 m so với mực nước biển, độ chênh lệch giữa thửa trên và thửa dưới trung bình là 1, 2 m . Hỏi thửa ruộng ở bậc thứ 10 có độ cao là bao nhiêu so với mục nước biển? Câu 11. (SGK-Cánh diều 11-Tập 1) Tính tổng n số hạng đầu của mỗi cấp số cộng sau: a) 3,1, 1, với n  10 ; b) 1, 2;1, 7; 2, 2; với n  15 . Câu 12. (SGK-Cánh diều 11-Tập 1) Cho cấp số cộng  un  có số hạng đầu u1  3 , công sai d  5 . a) Viết công thức của số hạng tổng quát u n . b) Số 492 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng trên? c) Số 300 có là số hạng nào của cấp số cộng trên không? Câu 13. (SGK-Cánh diều 11-Tập 1) Cho cấp số cộng  un  có u1  4, u2  1 . Tính u10 . 1 Câu 14. (SGK-Cánh diều 11-Tập 1) Cho cấp số cộng  un  với u1  và u1  u2  u3  1 . 3 a) Tìm công sai d và viết công thức của số hạng tổng quát u n . b) Số - 67 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng trên? c) Số 7 có phải là một số hạng của cấp số cộng trên không? Câu 15. (SGK-Cánh diều 11-Tập 1) Tính tổng 100 số hạng đầu của dãy số  un  với un  0,3n  5 với mọi n  1 . Câu 16. (SGK-Cánh diều 11-Tập 1) Khi kí kết hợp đồng lao động với người lao động, một doanh nghiệp đề xuất hai phương án trả lương như sau: Phương án 1: Năm thứ nhất, tiền lương là 120 triệu. Kể từ năm thứ hai trở đi, mỗi năm tiền lương được tăng 18 triệu. Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3
  4. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Phương án 2: Quý thứ nhất, tiền lương là 24 triệu. Kể từ quý thứ hai trở đi, mỗi quý tiền lương được tăng 1,8 triệu. Nếu là người được tuyển dụng vào doanh nghiệp trên, em sẽ chọn phương án nào khi: a) Kí hợp đồng lao động 3 năm? b) Kí hợp đồng lao động 10 năm? Câu 17. Tìm số hạng đầu tiên, công sai, số hạng thứ 20 và tổng của 20 số hạng đầu tiên của các cấp số cộng sau, biết rằng: u  19 u  u  u  10 u  u  14 u6  8  a)  5 b)  2 3 5 c)  3 5 d)  2 2  u9  35  u4  u6  26  s12  129 u2  u4  16  Câu 18. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng, biết: u  27 u  5u2 u  u  u  7 a).  7 b).  9 c).  2 4 6 u15  59 u13  2u6  5 u8  u7  2u4 u3  u7  8  2 2 2 u1  u2  u3  155 d).  e).  u2 .u7  75  s3  21  Câu 19. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng, biết:  S  12 u1  u2  u3  9  u1  u2  u3  u4  16  1)  3 2)  2 2 2 3)  2 2 2 2  S5  35 u1  u2  u3  35 u1  u2  u3  u4  84    S 4  20  S5  5  4)  5)  1 1 1 1 25 u1.u2 .u3 .u4 .u5  45  u  u  u  u  24  1 2 3 4  5 u1  u2  u3  u4  u5  20  u1  u2  u3  12 u1  u5  3  6)  2 7)  8)   u1  u2 2  u32  u4 2  u5 2  170 u1.u2 .u3  8 u .u  65  3 4 72  Câu 20. Xác định số hạng đầu, công sai và số hạng thứ n của các cấp số cộng sau, biết rằng:  S  34 u  10 S S S  S  2 S10 a).  12 b).  5 c). 20  10  5 d).  20  S18  45  S10  5 5 3 2  S15  3S5 Câu 21. Cho cấp số cộng: u1 ; u2 ; u3 ;.... có công sai d. 1). Biết u2  u22  40. Tính S23 2). Biết u1  u4  u7  u10  u13  u16  147. Tính u6  u11  u1  u6  u11  u16 4). Biết u4  u8  u12  u16  224. Tính: S19 5). Biết u23  u57  29 . Tính: u10  u70  u157  3u1 Câu 22. Tìm 3 số hạng liên tiếp của 1 cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 27 và tổng các bình phương của chúng là 293. Câu 23. Tìm 4 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng có tổng bằng 20 và tích của chúng là 384. Câu 24. Tìm 3 số hạng liên tiếp của một CSC biết tổng của chúng bằng 15 và tổng bình phương của chúng bằng 83. Câu 25. Tìm 5 số hạng liên tiếp của một CSC biết tổng của chúng bằng 40 và tổng bình phương của chúng bằng 480. Câu 26. Tìm 4 số hạng liên tiếp của một CSC biết tổng của chúng bằng 10 và tổng bình phương của chúng bằng 30. Câu 27. Một CSC có 7 số hạng với công sai d dương và số hạng thứ tư bằng 11. Hãy tìm các số hạng còn lại của CSC đó, biết hiệu của số hạng thứ ba và số hạng thứ năm bằng 6. Câu 28. Một CSC có 7 số hạng mà tổng của số hạng thứ ba và số hạng thứ năm bằng 28, tổng số hạng thứ năm và số hạng cuối bằng 140. Tìm CSC đó. Câu 29. Viết sáu số xen giữa hai số 3 và 24 để được CSC có tám số hạng. Tìm CSC đó Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  5. Điện thoại: 0946798489 TOÁN 11-CÁNH DIỀU 25 Câu 30. Bốn số nguyên lập thành CSC, biết tổng của chúng bằng 20, tổng nghịch đảo của chúng bằng . 24 Tìm bốn số đó. Câu 31. Tính các tổng sau: a). S  1  3  5    (2n  1)  (2n  1) b). S  1  4  7    (3n  2)  (3n  1)  (3n  4) c). S  1002  992  982  972  ...  22  12 PHẦN C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM (PHÂN MỨC ĐỘ) 1. Câu hỏi dành cho đối tượng học sinh trung bình – khá Câu 1. Dãy số nào sau đây là một cấp số cộng?  u1  1  u1  3 A.  un  :  . B.  un  :  . un1  un  2, n  1 un1  2un  1, n  1 C.  un  : 1 ; 3 ; 6 ; 10 ; 15 ;  . D.  un  : 1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 1 ;  . Câu 2. Trong các dãy số sau, có bao nhiêu dãy số là cấp số cộng? a) Dãy số  un  với un  4n . b) Dãy số  vn  với vn  2n 2  1 . n b) Dãy số  wn  với wn   7 . d) Dãy số  tn  với tn  5  5n . 3 Câu 3. Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số cộng? A. 1; 2; 4; 6; 8 . B. 1; 3; 6; 9; 12. C. 1; 3; 7; 11; 15. D. 1; 3; 5; 7; 9 . Câu 4. Trong các dãy số sau, dãy số nào không phải cấp số cộng? 1 3 5 7 9 A. ; ; ; ; . B. 1;1;1;1;1 . C. 8; 6; 4; 2; 0 . D. 3;1; 1; 2; 4 . 2 2 2 2 2 Câu 5. Xác định a để 3 số 1  2a; 2 a 2  1; 2 a theo thứ tự thành lập một cấp số cộng? 3 A. Không có giá trị nào của a . B. a   . 4 3 C. a  3 . D. a   . 2 Câu 6. Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng? n 1 A. un  3n 2  2017 . B. un  3n  2018 . C. un  3n . D. un   3 . Câu 7. Dãy số nào sau đây là cấp số cộng? 1 A.  un  : un  . B.  un  : un  un1  2, n  2 . n C.  un  : un  2n  1 . D.  un  : un  2un 1 , n  2 . Câu 8. Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là một cấp số cộng? A. un  n 2  1, n  1 . B. un  2n , n  1 . C. un  n  1, n  1 . D. un  2n  3, n  1 Câu 9. Trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số cộng: 2 5n  2 A. u n  3n 1 . B. un  . C. un  n 2  1 . D. un  . n 1 3 Câu 10. Các dãy số có số hạng tổng quát u n . Trong các dãy số sau, dãy số nào không phải là cấp số cộng? 2 A. un  2n  5 . B. 49 , 43 , 37 , 31 , 25 .C. un  1  3n . D. un   n  3  n2 . Câu 11. Dãy số nào dưới đây là cấp số cộng? Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5
  6. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/    A. un  n  2n , n  * . B. un  3n  1, n  * .  3n  1  C. un  3n , n  * .  D. un  n2 ,  n  *  . Câu 12. Dãy số nào sau đây là cấp số cộng ? A. 1; 2;3; 4;5 . B. 1; 2; 4;8;16 . C. 1;  1;1;  1;1 . D. 1;  3;9;  27;81 . Câu 13. Dãy số nào sau đây là một cấp số cộng?  u1  1  u1  3 A.  un  :  . B.  un  :  . un1  un  2, n  1 un1  2un  1, n  1 C.  un  : 1 ; 3 ; 6 ; 10 ; 15 ;  . D.  un  : 1; 1 ; 1; 1 ; 1;  . Câu 14. Cho cấp số cộng  un  với u1  9 và công sai d  2 . Giá trị của u2 bằng 9 A. 11. B. . C. 18 . D. 7 . 2 Câu 15. Cho cấp số cộng  u n  với u1  8 và công sai d  3 . Giá trị của u2 bằng 8 A. . B. 24 . C. 5 . D. 11. 3 Câu 16. Cho cấp số cộng  un  với u1  7 công sai d  2 . Giá trị u 2 bằng 7 A. 14 . B. 9 . C. . D. 5 2 1 Câu 17. Cho một cấp số cộng  un  có u1  , u8  26. Tìm công sai d 3 11 10 3 3 A. d  . B. d  . C. d  . D. d  . 3 3 10 11 Câu 18. Cho dãy số  un  là một cấp số cộng có u1  3 và công sai d  4 . Biết tổng n số hạng đầu của dãy số  un  là Sn  253 . Tìm n . A. 9 . B. 11 . C. 12 . D. 10 . Câu 19. Cho cấp số cộng  un  có số hạng tổng quát là un  3n  2 . Tìm công sai d của cấp số cộng. A. d  3 . B. d  2 . C. d  2 . D. d  3 . Câu 20. Cho cấp số cộng  un  có u1  3 , u6  27 . Tính công sai d . A. d  7 . B. d  5 . C. d  8 . D. d  6 . Câu 21. Cho dãy số vô hạn un  là cấp số cộng có công sai d , số hạng đầu u1 . Hãy chọn khẳng định sai? u1  u9 A. u5  . B. un  un 1  d , n  2 . 2 n C. S12   2u1  11d  . D. un  u1  (n  1).d , n   * . 2 Câu 22. Cho một cấp số cộng  un  có u1  5 và tổng của 50 số hạng đầu bằng 5150 . Tìm công thức của số hạng tổng quát un . A. un  1  4n . B. un  5n . C. un  3  2n . D. un  2  3n . u4  10 Câu 23. Cho cấp số cộng  un  thỏa mãn  có công sai là u4  u6  26 A. d  3 . B. d  3 . C. d  5 . D. d  6 . Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  7. Điện thoại: 0946798489 TOÁN 11-CÁNH DIỀU Câu 24. Cho cấp số cộng  un  có u5  15 , u20  60 . Tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số cộng này là: A. S10  125 . B. S10  250 . C. S10  200 . D. S10  200 . Câu 25. Cho cấp số cộng  un  có u4  12 , u14  18 . Tính tổng 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng này. A. S16  24 . B. S16  26 . C. S16  25 . D. S16  24 . Câu 26. Cho cấp số cộng  un  biết u5  18 và 4 Sn S 2 n . Tìm số hạng đầu tiên u1 và công sai d của cấp số cộng. A. u1  2 ; d  4 . B. u1  2 ; d  3 . C. u1  2 ; d  2 . D. u1  3 ; d  2 . Câu 27. Cho cấp số cộng  un  có u1  2 và công sai d  3 . Tìm số hạng u10 . A. u10  2.39 . B. u10  25 . C. u10  28 . D. u10  29 . Câu 28. Cho cấp số cộng  un  có u1  11 và công sai d  4 . Hãy tính u99 . A. 401 . B. 403 . C. 402 . D. 404 . Câu 29. Cho cấp số cộng  un  , n   có số hạng tổng quát un  1  3n . Tổng của 10 số hạng đầu tiên của * cấp số cộng bằng A. 59048 . B. 59049 . C. 155 . D. 310 . Câu 30. Cho cấp số cộng  un  có u1  4; u2  1 . Giá trị của u10 bằng A. u10  31 . B. u10  23 . C. u10  20 . D. u10  15. Câu 31. Cấp số cộng  un  có số hạng đầu u1  3 , công sai d  5 , số hạng thứ tư là A. u4  23 . B. u4  18 . C. u4  8 . D. u4  14 . Câu 32. Cho cấp số cộng  un  có số hạng đầu u1  3 và công sai d  2 . Tính u5 . A. 11. B. 15 . C. 12 . D. 14 . u  123 u3  u15  84 u Câu 33. Cho cấp số cộng  un  có 1 , . Số hạng 17 bằng A. 235 . B. 11. C. 96000cm 3 . D. 81000cm 3 . Câu 34. Cho cấp số cộng  un  có u1  1 và công sai d  2 . Tổng S10  u1  u2  u3 .....  u10 bằng: A. S10  110 . B. S10  100 . C. S10  21 . D. S10  19 . Câu 35. Cho cấp số cộng  un  , biết u2  3 và u4  7 . Giá trị của u15 bằng A. 27 . B. 31 . C. 35 . D. 29 . Câu 36. Viết ba số xen giữa 2 và 22 để ta được một cấp số cộng có 5 số hạng? A. 6 , 12 , 18 . B. 8 , 13 , 18 . C. 7 , 12 , 17 . D. 6 , 10 , 14 . Câu 37. Cho dãy số u1  1 ; un  un1  2 ,  n  , n  1 . Kết quả nào đúng? A. u5  9 . B. u3  4 . C. u2  2 . D. u6  13 . Câu 38. Cho cấp số cộng có tổng n số hạng đầu là S n  3n 2  4n , n   * . Giá trị của số hạng thứ 10 của cấp số cộng là A. u10  55 . B. u10  67 . C. u10  61 . D. u10  59. Câu 39. Cho cấp số cộng có tổng n số hạng đầu là S n  4n 2  3n , n  * thì số hạng thứ 10 của cấp số cộng là A. u10  95 . B. u10  71 . C. u10  79 . D. u10  87 . Câu 40. Người ta viết thêm 999 số thực vào giữa số 1 và số 2018 để được cấp số cộng có 1001 số hạng. Tìm số hạng thứ 501. Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7
  8. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 2019 2021 A. 1009 . B. . C. 1010 . D. . 2 2 2. Câu hỏi dành cho đối tượng học sinh khá-giỏi 2 2 2 Câu 41. Tam giác ABC có ba cạnh a , b , c thỏa mãn a , b , c theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau A. tan 2 A , tan 2 B , tan 2 C theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. B. cot 2 A , cot 2 B , cot 2 C theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. C. cos A , cos B , cos C theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. D. sin 2 A , sin 2 B , sin 2 C theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Câu 42. Biết bốn số 5 ; x ; 15 ; y theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Giá trị của biểu thức 3 x  2 y bằng. A. 50 . B. 70 . C. 30 . D. 80 . Câu 43. Cho tam giác ABC, có ba cạnh a, b, c theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Tính giá trị biểu A C thức P  cot .cot . 2 2 A. P  1. B. P  2. C. P  3. D. P  4. Câu 44. Với giá trị nào của a, ta có thể tìm được các giá trị của x để các số: a 5 x 1  51 x , , 25x  25 x lập thành một cấp số cộng? 2 A. 2. B. 12. C. 4. D. 24. Câu 45. Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh a, b, c theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Đẳng thức nào sau đây là đúng? A C 1 A C 1 A. tan .tan  . B. tan .tan  2 2 3 2 2 2 A C A C C. tan . tan  3 D. tan .tan  2 2 2 2 2 3 3 Câu 46. Cho tam giác ABC biết ba góc tam giác lập thành cấp số cộng và sin A  sin B  sin C  2 tính các góc của tam giác A. 300 ,600 ,900 B. 20 0 ,60 0 ,100 0 C. 10 0 , 50 0 ,120 0 D. 40 0 ,60 0 ,800 1 Câu 47. Cho x 2 ; ; y 2 theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá 2 trị nhỏ nhất của biểu thức P  3xy  y 2 . Tính S  M  m 3 1 A. 1 . B. 2 . C. 3 . D.  . 2 2 k k k Câu 48. Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên k sao cho C14 , C141 , C14 2 theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Tính tổng tất cả các phần tử của S . A. 12 . B. 8 . C. 10 . D. 6 . Câu 49. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc đoạn  0; 2018 sao cho ba số a 5 x 1  51 x ; ; 25 x  25 x , 2 theo thứ tự đó, lập thành một cấp số cộng? A. 2008 . B. 2006 . C. 2018 . D. 2007 . Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  9. Điện thoại: 0946798489 TOÁN 11-CÁNH DIỀU 2 Câu 50. Biết x thỏa mãn x  2, x , 5  6 x lập thành cấp số cộng. Tính tổng bình phương các giá trị x tìm được. A. 12 B. 17. C. 26 . D. 10 . Câu 51. Tìm x biết x 2  1, x  2,1  3x lập thành cấp số cộng. A. x  4, x  3. B. x  2, x  3. C. x  2, x  5. D. x  2, x  1. 1 1 1 Câu 52. Cho các số dương a , b , c . Nếu các số , , theo thứ tự lập thành một cấp số cộng bc c a ab thì các số nào sau đây theo thứ tự cũng lập thành một cấp số cộng? A. a , b , c. B. a2 , b2 , c 2 . C. a3 , b3 , c 3 . D. a 4 , b 4 , c 4 . Câu 53. Cho tam giác ABC biết 3 góc của tam giác lập thành một cấp số cộng và có một góc bằng 25  .Tìm 2 góc còn lại? A. 65 ; 90 . B. 75 ; 80 . C. 60 ; 95 . D. 60 ; 90 .  n  Câu 54. Cho tứ giác ABCD biết s góc của tứ giác lập thành một cấp số cộng và góc A bằng 30 . Tìm các góc còn lại? A. 75 120 ; 165 . B. 72 ; 114 ; 156 . C. 70 ; 110 ; 150 . D. 80 ; 110 ; 135 . Câu 55. Bốn số tạo thành một cấp số cộng có tổng bằng 28 và tổng các bình phương của chúng bằng 276 . Tích của bốn số đó là : A. 585 . B. 161 . C. 404 . D. 276 . Câu 56. Chu vi một đa giác là 158cm , số đo các cạnh của nó lập thành một cấp số cộng với công sai d  3cm . Biết cạnh lớn nhất là 44cm . Số cạnh của đa giác đó là? A. 3 . B. 4 . C. 5 . D. 6 . Câu 57. Cho hai cấp số cộng  xn  : 4 , 7 , 10 ,… và  yn  : 1 , 6 , 11 ,…. Hỏi trong 2018 số hạng đầu tiên của mỗi cấp số có bao nhiêu số hạng chung? A. 404 . B. 673 . C. 403 . D. 672 . Câu 58. Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 20 và tổng các bình phương của chúng bằng 120 . A. 1,5,6,8. B. 2,4,6,8. C. 1,4,6,9. D. 1,4,7,8. u  u3  u5  10 Câu 59. Cho cấp số cộng (un ) thỏa:  2 . Xác định công sai d và số hạng đầu tiên u1 .  u4  u6  26 A. d  3, u1  1. B. d  1, u1  1. C. d  1, u1  3. D. d  3, u1  1. Câu 60. Xen vào giữa hai số 4 và 40 bốn số để dược một cấp số cộng? Tìm tổng bốn số đó? A. 72. B. 88. C. 100. D. 66 Câu 61. Ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng có tổng của chúng bằng 3 và tổng các nghịch đảo của 1 chúng bằng . Tìm tổng bình phương các số hạng. 3 A. 8 B. 11 C. 14 D. 15 u  u  86  Câu 62. Cho cấp số cộng  un  có công sai dương và  21 27 2 2 . Tích của số hạng đầu và công sai u21  u27  3770  bằng: A. 36. B. 26. C. 16. D. 6. Câu 63. Cho cấp số cộng  un  biết tổng của n số hạng đầu là Sn  4n2  17 n . Tìm u6 ? A. u6  27. B. u1  23. C. u1  28. D. u1  22. Câu 64. Cho một tam giác vuông có độ dài ba cạnh lập thành cấp số cộng. Chu vi tam giác đó bằng 24. Độ dài cạnh nhỏ nhất của tam giác này là: Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9
  10. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ A. 3. B. 4. C. 8. D. 6. Câu 65. Ba góc của một tam giác vuông lập thành một cấp số cộng. Công sai d d  0 của cấp số cộng đó bằng A. 30 o. B. 45 o. C. 25 o. D. 20 o. Câu 66. Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng cho bởi Sn  3n2  n . Công sai của cấp số cộng đó là A. d  4. B. d  5. C. d  6. D. d  7. u  3u3  u2  21 Câu 67. Cho cấp số cộng (un ) thỏa:  5 .Tính S  u4  u5  ...  u30  3u7  2u4  34 A. S  1286 B. S  1276 C. S  1242 D. S  1222 Câu 68. Cho một dãy số có các số hạng đầu tiên là 1,8,22,43,. Hiệu của hai số hạng liên tiếp của dãy số đó lập thành một cấp số cộng: 7,14,21., 7n. số 35351 là số hạng thứ mấy của cấp số đã cho? A. 99. B. 101. C. 100. D. 102. n2  2n Câu 69. Một dãy số (un ) có số hạng tổng quát là Sn  u1  u2  ...  un  . Khẳng định nào sau đây 2 là đúng khi nói về (un ) ? 101 A. (un ) không là cấp số cộng. B. (un ) là cấp số cộng có u100  . 2 301 201 C. (un ) là cấp số cộng có u100  . D. (un ) là cấp số cộng có u100  . 2 2 Câu 70. Cho hai cấp số cộng hữu hạn  an  : 2; 5; 8;11;...; a1000 . và  bn  : 1; 6;13; 20;...; b1000 . Có bao nhiêu số hạng có mặt ở cả hai dãy số trên? A. 213. B. 400. C. 142. D. 138. Câu 71. Biết tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng bằng nửa tổng n số hạng tiếp theo. Tính tỷ số S3n ? S2n A. 4. B. 5. C. 3. D. 2. Câu 72. Một đồng hồ đánh giờ, khi kim giờ chỉ số n (từ 1 đến 12) thì đồng hồ đánh đúng n tiếng. Hỏi trong một ngày (24 giờ) đồng hồ đánh được bao nhiêu tiếng? A. 156. B. 152. C. 148. D. 160. Câu 73. Cho ba số lập thành một cấp số cộng. Tổng của chúng bằng 15 và tích của chúng bằng 80. Công sai d d  0 của cấp số cộng đó bằng A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. u3  u5  u6  6 Câu 74. Cho cấp số cộng biết:  . Tính S  u2  u4  u6  ...  u2020 u8  u4  52 A. S  5105110. B. S  5101510. C. S  5105010 . D. S  5105101 . u  u  u  10 Câu 75. Cho cấp số cộng  un  thỏa  2 3 5 . Tính S  u1  u4  u7  ...  u2020 .  u4  u6  26 A. S  2041881. B. S  2041882. C. S  2041883. D. S  2041884. Câu 76. Một cấp số cộng có số hạng đầu u1  2018 công sai d  5 . Hỏi bắt đầu từ số hạng nào của cấp số cộng đó thì nó nhận giá trị âm. A. u406 . B. u403 . C. u405 . D. u404 . Câu 77. Cho cấp số cộng  un  có u1  4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của u1u2  u2u3  u3u1 ? A. 20 . B. 6 . C. 8 . D. 24 . Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  11. Điện thoại: 0946798489 TOÁN 11-CÁNH DIỀU Câu 78. Cho cấp số cộng  un  có u1  3 và công sai d  7 . Hỏi kể từ số hạng thứ mấy trở đi thì các số hạng của  un  đều lớn hơn 2018 ? A. 287 . B. 289 . C. 288 . D. 286 . Câu 79. Cho tam giác đều A1B1C1 có độ dài cạnh bằng 4 . Trung điểm của các cạnh tam giác A1 B1C1 tạo thành tam giác A2 B2C2 , trung điểm của các cạnh tam giác A2 B2C2 tạo thành tam giác A3 B3C3 … Gọi P , P2 , P3 ,... lần lượt là chu vi của tam giác A1 B1C1 , A2 B2C2 , A3 B3C3 ,…Tính tổng chu vi P  P  P2  P3  ... 1 1 A. P  8 . B. P  24 . C. P  6 . D. P  18 . Câu 80. Sinh nhật lần thứ 17 của An vào ngày 01 tháng 5 năm 2018 . Bạn An muốn mua một chiếc máy ảnh giá 3850000 đồng để làm quà sinh nhật cho chính mình nên An quyết định bỏ ống heo 1000 đồng vào ngày 01 tháng 02 năm 2018 . Trong các ngày tiếp theo, ngày sau bỏ ống nhiều hơn ngày trước 1000 đồng. Hỏi đến ngày sinh nhật của mình, An có bao nhiêu tiền (tính đến ngày 30 tháng 4 năm 2018 )? A. 4095000 đồng. B. 89000 đồng. C. 4005000 đồng. D. 3960000 đồng. Câu 81. Người ta trồng 3003 cây theo dạng một hình tam giác như sau: hàng thứ nhất trồng 1 cây, hàng thứ hai trồng 2 cây, hàng thứ ba trồng 3 cây, …, cứ tiếp tục trồng như thế cho đến khi hết số cây. Số hàng cây được trồng là A. 77 . B. 79 . C. 76 . D. 78 . Câu 82. Một em học sinh dùng các que diêm để xếp thành hình tháp có quy luật được thể hiện như trong hình sau: 1 tầng 2 tầng 3 tầng Hỏi cần bao nhiêu que diêm để xếp thành hình tháp có 10 tầng? A. 69. B. 39. C. 420. D. 210. Câu 83. Sinh nhật bạn của An vào ngày 01 tháng năm. An muốn mua một món quà sinh nhật cho bạn nên quyết định bỏ ống heo 100 đồng vào ngày 01 tháng 01 năm 2016 , sau đó cứ liên tục ngày sau hơn ngày trước 100 đồng. Hỏi đến ngày sinh nhật của bạn, An đã tích lũy được bao nhiêu tiền? (thời gian bỏ ống heo tính từ ngày 01 tháng 01 năm 2016 đến ngày 30 tháng 4 năm 2016 ). A. 738.100 đồng. B. 726.000 đồng. C. 714.000 đồng. D. 750.300 đồng. Câu 84. Trong sân vận động có tất cả 30 dãy ghế, dãy đầu tiên có 15 ghế, các dãy liền sau nhiều hơn dãy trước 4 ghế, hỏi sân vận động đó có tất cả bao nhiêu ghế? A. 2250 . B. 1740 . C. 4380 . D. 2190 . Câu 85. Một gia đình cần khoan một cái giếng để lấy nước. Họ thuê một đội khoan giếng nước. Biết giá của mét khoan đầu tiên là 80.000 đồng, kể từ mét khoan thứ hai giá của mỗi mét khoan tăng thêm 5.000 đồng so với giá của mét khoan trước đó. Biết cần phải khoan sâu xuống 50m mới có nước. Hỏi phải trả bao nhiêu tiền để khoan cái giếng đó? A. 4.000.000 đồng. B. 10.125.000 đồng. C. 52.500.000 đồng. D. 52.500.000 đồng. Câu 86. Trong hội chợ tết Mậu Tuất 2018 , một công ty sữa muốn xếp 900 hộp sữa theo số lượng 1 , 3 , 5 , ... từ trên xuống dưới (số hộp sữa trên mỗi hàng xếp từ trên xuống là các số lẻ liên tiếp - mô hình như hình bên). Hàng dưới cùng có bao nhiêu hộp sữa? Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11
  12. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ A. 59 . B. 30 . C. 61 . D. 57. Câu 87. Người ta trồng 465 cây trong một khu vườn hình tam giác như sau: Hàng thứ nhất có 1 cây, hàng thứ hai có 2 cây, hàng thứ ba có 3 cây….Số hàng cây trong khu vườn là A. 31 . B. 30 . C. 29 . D. 28 . Câu 88. Hùng đang tiết kiệm để mua một cây guitar. Trong tuần đầu tiên, anh ta để dành 42 đô la, và trong mỗi tuần tiếp theo, anh ta đã thêm 8 đô la vào tài khoản tiết kiệm của mình. Cây guitar Hùng cần mua có giá 400 đô la. Hỏi vào tuần thứ bao nhiêu thì anh ấy có đủ tiền để mua cây guitar đó? A. 47 . B. 45 . C. 44 . D. 46 . Câu 89. Một công ti trách nhiệm hữu hạn thực hiện việc trả lương cho các kĩ sư theo phương thức sau: Mức lương của quý làm việc đầu tiên cho công ti là 4,5 triệu đồng/quý, và kể từ quý làm việc thứ hai, mức lương sẽ được tăng thêm 0,3 triệu đồng mỗi quý. Hãy tính tổng số tiền lương một kĩ sư nhận được sau 3 năm làm việc cho công ti. A. 83, 7 (triệu đồng). B. 78,3 (triệu đồng). C. 73,8 (triệu đồng). D. 87,3 (triệu đồng). Câu 90. Người ta trồng 465 cây trong một khu vườn hình tam giác như sau: Hàng thứ nhất có 1 cây, hàng thứ hai có 2 cây, hàng thứ ba có 3 cây….Số hàng cây trong khu vườn là A. 31 . B. 30 . C. 29 . D. 28 . Câu 91. Người ta trồng 1275 cây theo hình tam giác như sau: Hàng thứ nhất có 1 cây, hàng thứ 2 có 2 cây, hàng thứ 3 có 3 cây,.hàng thứ k có k cây  k  1 . Hỏi có bao nhiêu hàng ? A. 51 . B. 52 . C. 53 . D. 50 . Câu 92. Bà chủ quán trà sữa X muốn trang trí quán cho đẹp nên quyết định thuê nhân công xây một bức tường bằng gạch với xi măng (như hình vẽ bên dưới), biết hàng dưới cùng có 500 viên, mỗi hàng tiếp theo đều có ít hơn hàng trước 1 viên và hàng trên cùng có 1 viên. Hỏi số gạch cần dùng để hoàn thành bức tường trên là bao nhiêu viên? A. 25250. B. 250500. C. 12550. D. 125250. Câu 93. Người ta trồng 3240 cây theo một hình tam giác như sau: hàng thứ nhất trồng 1 cây, kể từ hàng thứ hai trở đi số cây trồng mỗi hàng nhiều hơn 1 cây so với hàng liền trước nó. Hỏi có tất cả bao nhiêu hàng cây? A. 81 . B. 82 . C. 80 . D. 79 . Theo dõi Fanpage: Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Hoặc Facebook: Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Tham gia ngay: Nhóm Nguyễn Bào Vương (TÀI LIỆU TOÁN)  https://www.facebook.com/groups/703546230477890/ Ấn sub kênh Youtube: Nguyễn Vương  https://www.youtube.com/channel/UCQ4u2J5gIEI1iRUbT3nwJfA?view_as=subscriber Tải nhiều tài liệu hơn tại: https://www.nbv.edu.vn/ Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  13. TOÁN 11-CÁNH DIỀU Điện thoại: 0946798489 BÀI 2. CẤP SỐ CỘNG • CHƯƠNG 2. DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN • |FanPage: Nguyễn Bảo Vương PHẦN B. BÀI TẬP TỰ LUẬN (PHÂN DẠNG) DẠNG 1: CHỨNG MINH MỘT DÃY SỐ (un) LÀ CẤP SỐ CỘNG. Để chứng minh dãy số  un  là một cấp số cộng, ta xét A  un 1  un • Nếu A là hằng số thì  un  là một cấp số cộng với công sai d  A . • Nếu A phụ thuộc vào n thì  un  không là cấp số cộng. Câu 1. (SGK-Cánh diều 11-Tập 1) Cho  un  là cấp số cộng với u1  7, u2  2 . Viết năm số hạng đầu của cấp số cộng đó. Lời giải Công sai của cấp số cộng đã cho là: d  u2  u1  2  (7)  5 . Khi đó công thức tổng quát của cấp số cộng là: un  u1  (n  1)d  7  (n  1).5 Câu 2. (SGK-Cánh diều 11-Tập 1) Cho dãy số  un  với un  5n  7(n  1) . Dãy  un  có là cấp số cộng không? Vì sao? Lời giải Ta có: un 1  5(n  1)  7  5n  5  7  5n  2 Xét hiệu un 1  un  5n  2  (5n  7)  5 Do đó  un  là một cấp số cộng. Câu 3. (SGK-Cánh diều 11-Tập 1) Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng? Vì sao? a) 10, 2, 14, 26, 38 ; 1 5 11 7 b) , , 2, , ; 2 4 4 2 c) 1, 2, 3, 4, 5 d) 1, 4, 7,10,13 . Lời giải a) Ta có: 10; 2;  14; 26; 38 ; là cấp số cộng có số hạng đầu u1  10 và công sai của cấp số cộng là: d  12 . 1 5 11 7 1 3 b) Ta có: ; ; 2; ; là cấp số cộng có số hạng đầu là u1  và công sai d  . 2 4 4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 c) Ta có: 1 ; 2 ;3 ; 4 ;5 không là cấp số cộng vì 2  1  3  2 . d) Ta có: 1; 4;7;10;13 là cấp số cộng có số hạng đầu là u1  1 và công sai d  3 . Câu 4. (SGK-Cánh diều 11-Tập 1) Trong các dãy số  un  với số hạng tổng quát sau, dãy số nào là cấp số cộng? Nếu là cấp số cộng, hãy tìm số hạng đầu u1 và công sai d . a) un  3  2n 3n  7 b) un  5 n c) un  3 Lời giải a) Ta có: un 1  3  2(n  1)  3  2n  2  1  2n Suy ra un 1  un  1  2n  3  3n  2 . Vì vậy đây là một cấp số cộng có số hạng đầu u1  1 và công sai d  2 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1
  14. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 3(n  1)  7 3n  10 b) Ta có: un 1   5 5 3n  10 3n  7 3 Xét hiệu un 1  un    5 5 5 3 Vì vậy đây là một cấp số cộng có số hạng đầu u1  2 và công sai d  . 5 n 1 n c) Ta có: un 1  3  3.3 Xét hiệu un 1  un  3.3n  3n  2.3n với n  * Vì vậy đây không là một cấp số cộng. Câu 5. (SGK-Cánh diều 11-Tập 1) Chiều cao (đơn vị: centimét) của một đứa trẻ n tuổi phát triển bình thường được cho bởi công thức: xn  75  5  n  1 . (Nguồn: https://bibabo.vn) a) Một đứa trẻ phát triển bình thường có chiều cao năm 3 tuổi là bao nhiêu centimét? b) Dãy số  xn  có là một cấp số cộng không? Trung bình một năm, chiều cao mỗi đứa trẻ phát triển bình thường tăng lên bao nhiêu centimét? Lời giải a) Chiều cao 3 năm tuổi của một đứa bé phát triển bình thường là: x3  75  5  3  1  85  cm  b) Ta có: xn1  75  5(n  1  1)  75  5n Xét hiệu xn 1  xn  75  5n  [75  5(n  1)]  5 Do đó  xn  là một cấp số cộng có số hạng đầu x1  75 và công sai d  5 Câu 6. Trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số cộng. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó: a). Dãy số  un  với un  19n  5 b). Dãy số  un  với un  3n  1 n c). Dãy số  un  với un  n2  n  1 d). Dãy số  un  với un   1  10n Lời giải a). Dãy số  un  với un  19n  5 Ta có un 1  un  19  n  1  5  19n  5   19 . Vậy  un  là một cấp số cộng với công sai d  19 và số hạng đầu u1  19.1  5  14 . b). Dãy số  un  với un  3n  1 Ta có un1  un  3(n  1)  1  (3n  1)  3 . Vậy  un  là một cấp số cộng với công sai d  3 và số hạng đầu u1  3.1  1  2 . c). Dãy số  un  với un  n2  n  1 2 Ta có un 1  un   n  1   n  1  1   n 2  n  1  2n  2 , phụ thuộc vào n Vậy  un  không là cấp số cộng. n d). Dãy số  un  với un   1  10n n 1 n n n n Ta có un 1  un   1  10  n  1   1  10n     1  10   1  10  2  1 , phụ   thuộc vào n . Vậy  un  không là cấp số cộng. Câu 7. Định x để 3 số 10  3x, 2 x 2  3,7  4 x theo thứ tự đó lập thành 1 cấp số cộng. Lời giải  Theo tính chất cấp số cộng ta có: 10  3x    7  4 x   2 2 x 2  3  11  17  7 x  4 x 2  6  4 x 2  7 x  11  0  x  1  x   . 4 Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  15. Điện thoại: 0946798489 TOÁN 11-CÁNH DIỀU Câu 8. Một tam giác vuông có chu vi bằng 3a, và 3 cạnh lập thành một CSC. Tính độ dài ba cạnh của tam giác theo a. Lời giải Gọi x, y, z theo thứ tự tăng dần của độ dài ba cạnh của tam giác. Chu vi của tam giác: x  y  z  3a (1) Tính chất của CSC có x  z  2 y (2) Vì tam giác vuông nên có: x 2  y 2  z 2 (3) Thay (2) vào (1) được 3 y  3a  y  a , thay y = a vào (2) được: x  z  2a  x  2a  z 2 5a 3a Thay x và y vào (3) được:  2a  z   a 2  z 2  5a 2  4az  0  z  x 4 4 3a 5a Kết luận độ dài ba cạnh của tam giác thỏa yêu cầu: , a, . 4 4 Câu 9. Ba góc của một tam giác vuông lập thành một CSC. Tìm số đo các góc đó. Lời giải Gọi 3 góc A, B, C theo thứ tự đó là ba góc của tam giác ABC lập thành CSC.  A  B  C  180  A  B  90  A  30    Ta có  A  C  2 B   A  2 B  90   B  60 C  90 C  90 C  90    DẠNG 2: TÌM SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN, CÔNG SAI CỦA CẤP SỐ CỘNG, TÌM SỐ HẠNG THỨ K CỦA CẤP SỐ CỘNG, TÍNH TỔNG K SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN. Ta thiết lập một hệ phương trình gồm hai ẩn u1 và d. Sau đó giải hệ phương trình này tìm được u1 và d . Muốn tìm số hạng thứ k , trước tiên ta phải tìm u1 và d . Sau đó áp dụng công thức: uk  u1   k  1 d . Muốn tính tổng của k số hạng đầu tiên, ta phải tìm u1 và d . Sau đó áp dụng công thức: k  u1  uk  k  2u1  (k  1)d  Sk   2 2 Câu 10. (SGK-Cánh diều 11-Tập 1) Ruộng bậc thang là một hình thức canh tác có nhiều ở khu vực Tây Bắc và Đông Bắc Việt Nam. Hình ảnh ruộng bậc thang thể hiện nét đẹp văn hoá, là công trình nghệ thuật độc đáo của đồng bào vùng cao phía Bắc. Ruộng bậc thang ở một số nơi đã trở thành những địa chỉ tham quan du lịch đầy hấp dẫn của du khách trong nước và quốc tế. Một ruộng bậc thang có thửa thấp nhất nằm ở độ cao 1250 m so với mực nước biển, độ chênh lệch giữa thửa trên và thửa dưới trung bình là 1, 2 m . Hỏi thửa ruộng ở bậc thứ 10 có độ cao là bao nhiêu so với mục nước biển? Lời giải Độ cao các thửa ruộng so với mực nước biển tạo thành một cấp số cộng với số hạng đầu u1  1250m và công sai d  1, 2(m) . Khi đó công thức tổng quát của cấp số cộng là: un  u1  (n  1)  d  1250  (n  1) 1, 2 . Vậy độ cao của thửa ruộng thứ 10 so với mực nước biển là: u10  1250  (10  1) 1, 2  1260,8 m. Câu 11. (SGK-Cánh diều 11-Tập 1) Tính tổng n số hạng đầu của mỗi cấp số cộng sau: Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3
  16. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ a) 3,1, 1, với n  10 ; b) 1, 2;1,7; 2, 2; với n  15 . Lời giải a) Ta có: 3;1; 1; là cấp số cộng với số hạng đầu u1  3 và công sai d  1  3  2 . Khi đó u10  3  (10  1)  (2)  3  (18)  15 . 10(3  ( 15)) Tổng của 10 số hạng đầu của cấp số cộng là: S10   60 2 b) 1, 2;1, 7; 2, 2; với n  15 . Ta có: 1, 2;1, 7; 2, 2; là cấp số cộng với số hạng ban đầu u1  1, 2 và công sai d  1, 7  1, 2  0,5 . Khi đó u15  1, 2  (15  1)  0,5  8, 2 . 15(1, 2  8, 2) Tổng của 15 số hạng đầu của cấp số cộng là: S15   70,5. 2 Câu 12. (SGK-Cánh diều 11-Tập 1) Cho cấp số cộng  un  có số hạng đầu u1  3 , công sai d  5 . a) Viết công thức của số hạng tổng quát u n . b) Số 492 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng trên? c) Số 300 có là số hạng nào của cấp số cộng trên không? Lời giải a) Ta có công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng  un  là: u u1  3  (n  1)  5  5n  8 . b) Xét un  492  5n  8  492  n  100. Vậy số 492 là số hạng thứ 100 của cấp số cộng trên. c) Xét un  300  5n  8  300  n  61, 6  * Vậy không tồn tại số hạng trong cấp số cộng bằng 300. Câu 13. (SGK-Cánh diều 11-Tập 1) Cho cấp số cộng  un  có u1  4, u2  1 . Tính u10 . Lời giải Công sai của cấp số cộng (un) là d  u2  u1  1  4  3 . Khi đó số hạng tổng quát của cấp số cộng là: un  u1  (n  1)  d  4  (n  1)  (3) Suy ra u10  4  (10  1)  (3)  31 . 1 Câu 14. (SGK-Cánh diều 11-Tập 1) Cho cấp số cộng  un  với u1  và u1  u2  u3  1 . 3 a) Tìm công sai d và viết công thức của số hạng tổng quát u n . b) Số - 67 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng trên? c) Số 7 có phải là một số hạng của cấp số cộng trên không? Lời giải a) Ta có: u1  u2  u3  1  u1  u1  d  u1  2 d  1  3u1  3 d  1 1 2 Mà u1  nên d   3 3 1 2 2 1 Khi đó công thức tổng quát của cấp số cộng là: un   ( n  1)   n  với mọi n  * 3 3 3 3 2 1 2 202 b) Xét un   n   67   n   n  101 3 3 3 3 Vậy số 67 là số hạng thứ 101 của dãy. 2 1 2 20 c) Xét un  7   n   7   n   n  10  * 3 3 3 3 Vậy số 7 không phải là một số hạng trong cấp số cộng. Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  17. Điện thoại: 0946798489 TOÁN 11-CÁNH DIỀU Câu 15. (SGK-Cánh diều 11-Tập 1) Tính tổng 100 số hạng đầu của dãy số  un  với un  0,3n  5 với mọi n  1 . Lời giải Ta có: un 1  0,3  (n  1)  5  0,3n  5,3 Xét hiệu un 1  un  0,3n  5,3  0,3n  5  0,3 . Do đó  un ) là một cấp số cộng với số hạng đầu u1  5,3 và công sai d  0,3 . Khi đó số hạng tổng quát của cấp số cộng u n là: un  5,3  (n  1)  0,3 Suy ra u100  5,3  (100  1)  0,3  35 . 100(5, 3  35) Vậy tổng của 100 số hạng đầu của dãy số là: S100   2015 . 2 Câu 16. (SGK-Cánh diều 11-Tập 1) Khi kí kết hợp đồng lao động với người lao động, một doanh nghiệp đề xuất hai phương án trả lương như sau: Phương án 1: Năm thứ nhất, tiền lương là 120 triệu. Kể từ năm thứ hai trở đi, mỗi năm tiền lương được tăng 18 triệu. Phương án 2: Quý thứ nhất, tiền lương là 24 triệu. Kể từ quý thứ hai trở đi, mỗi quý tiền lương được tăng 1,8 triệu. Nếu là người được tuyển dụng vào doanh nghiệp trên, em sẽ chọn phương án nào khi: a) Kí hợp đồng lao động 3 năm? b) Kí hợp đồng lao động 10 năm? Lời giải +) Theo phương án 1: Gọi  un  là dãy số tiền lương của người lao động theo phương án 1 qua mỗi năm. Dãy số  un  lập thành một cấp số cộng có số hạng đầu u1  120 và công sai d  18 . Khi đó số hạng tổng quát của cấp số nhân là: un  120  (n  1) 18 . +) Theo phương án 2: Gọi  vn  là dãy số tiền lương của người lao động theo phương án 2 qua từng quý. Dãy số  vn  lập thành một cấp số cộng có số hạng đầu v1  24 và công sai d  1,8 . Khi đó số hạng tổng quát của cấp số nhân là vn  24  (n  1) 1,8 . a) Khi kí hợp đồng 3 năm tương đương với 12 quý ta có: +) Theo phương án 1: u3  120  (3  1) 18  156 (triệu đồng) Tổng số tiền lương nhận được sau 3 năm là: 3.(120  156) S3   414 (triệu đồng). 2 +) Theo phương án 2: u12  24  (12  1) 1,8  43,8 . Tổng số tiền lương nhận được sau 3 năm tương ứng với 12 quý là: 12  (24  43,8) S12   406,8 (triệu đồng). 2 Vậy nếu được tuyển dụng vào doanh nghiệp và kí hợp đồng lao động 3 năm thì nên theo phương án 1. b) Khi kí hợp đồng 10 năm tương đương với 40 quý ta có: +) Theo phương án 1: u10  120  (10  1) 18  282 (triệu đồng) Tổng số tiền lương nhận được sau 10 năm là: 10.(120  282) S10   2010 (triệu đồng). 2 +) Theo phương án 2: u40  24  (40  1) 1,8  94, 2 . Tổng số tiền lương nhận được sau 10 năm tương ứng với 40 quý là: 40.(24  94, 2) S12   2364 (triệu đồng). 2 Vậy nếu được tuyển dụng vào doanh nghiệp và kí hợp đồng lao động 10 năm thì nên theo phương án 2. Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5
  18. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Câu 17. Tìm số hạng đầu tiên, công sai, số hạng thứ 20 và tổng của 20 số hạng đầu tiên của các cấp số cộng sau, biết rằng: u  19 u  u  u  10 u  u  14 u6  8  a)  5 b)  2 3 5 c)  3 5 d)  2 2  u9  35  u4  u6  26  s12  129 u2  u4  16  Lời giải u  19 u  4d  19 u  3 a)  5 1 . Áp dụng công thức un  u1   n  1 d , ta có: 1   1  1 u9  35 u1  8d  35 d  4 Vậy số hạng đầu tiên u1  3 , công sai d  4 . Số hạng thứ 20 : u20  u1  19d  3  19.4  79 . 20  2u1  19d  Tổng của 20 số hạng đầu tiên: S20   10  2.3  19.4   820 2 u  u  u  10 b)  2 3 5 1 . Ta cũng áp dụng công thức un  u1   n  1 d : u4  u6  26 u1  d   u1  2d   u1  4d  10 u  3d  10 u  1 1     1  1 u1  3d  u1  5d  26  2u1  8d  26 d  3. Vậy số hạng đầu tiên u1  1 , công sai d  3 . Số hạng thứ 20 : u20  u1  19d  1  19.3  58 . 20  2u1  19d  Tổng của 20 số hạng đầu tiên: S20   10  2.1  19.3  590 2 u  u  14 n  2u1  (n  1)d  c)  3 5 1 . Áp dụng công thức u n  u1   n  1 d , Sn  Ta có:  s12  129 2  5 u1  2d  u1  4d  14 2u1  6d  14 u1  2 1       6  u1  u12   129  12u1  66d  129 d  3 .   2 5 3 Vậy số hạng đầu tiên u1  , công sai d  . 2 2 5 3 Số hạng thứ 20 : u20  u1  19d   19.  31 . 2 2 20  2u1  19d   5 3 Tổng của 20 số hạng đầu tiên: S 20   10  2.  19.   335 2  2 2 u6  8  u1  5d  8  u1  8  5d  d)  2 2  2 2  2 2 u2  u4  16   u1  d    u1  3d   16   8  5d  d    8  5d  3d   16  u1  8  5d   2 2  8  4d    8  2d   16   * 14 Giải * : 20d 2  96d  112  0  d   d = 2. 5 14 Với d   u1  6 5 14 236 Số hạng thứ 20 : u20  u1  19d  6  19.  . 5 5 Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  19. Điện thoại: 0946798489 TOÁN 11-CÁNH DIỀU 20  2u1  19d   14  Tổng của 20 số hạng đầu tiên: S 20   10  2.(6)  19.   412 2  5  Với d  2  u1  2 Số hạng thứ 20 : u20  u1  19d  2  19.2  36 . 20  2u1  19d  Tổng của 20 số hạng đầu tiên: S20   10  2.(2)  19.2   340 2 Câu 18. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng, biết: u  27 u  5u2 u  u  u   7 a).  7 b).  9 c).  2 4 6 u15  59 u13  2u6  5 u8  u7  2u4 u  u  8  2 2 2 u  u2  u3  155 d).  3 7 e).  1 u2 .u7  75  s3  21  Lời giải Gọi số hạng đầu là u1 và công sai là d . u  27 u  6d  27 u  3 a).  7  1  1 u15  59 u1  14d  59 d  4 u9  5u2 u1  8d  5  u1  d   4u  3d  0 u  3 b).    1  1 u13  2u6  5 u1  12d  2  u1  5d   5 u1  2d  5 d  4  u  u  u  7 c)  2 4 6 1 u8  u7  2u4 u1  d  u1  3d   u1  5d   7 u  d  7 u  5 1     1  1 u1  7 d   u1  6d   2  ul  3d   2u1  5d  0 d  2. u  u  8 d)  3 7 1 u2 .u7  75 u1  2d   u1  6d   8 4d  8  d  2  1       u1  d  u1  6d   75   u1  d  u1  6d   75  u1  2  u1  12   75 *   u  3 Giải *  u12  14u1  51  0   1 u1  17 u  3 u  17 Vậy  1 hoặc  1 d  2 d  2. u12  u2 2  u32  155  e).   s3  21  Ta có: S3  21  u1  u2  u3  21  u1  u1  d  u1  2d  21  d  7  u1. 2 2 Ta có: u12  u22  u32  155  u12   u1  d    u1  2d   155 2 2 2  u12   u1  7  u1    u1  14  2u1   155  u12  49  14  u1   155  2u1  28u1  90  0  u1  9  u1  5 Với u1  9  d  2 . Với u1  5  d  2 Câu 19. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng, biết: Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7
  20. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/  S  12 u1  u2  u3  9  u1  u2  u3  u4  16  1)  3 2)  2 2 2 3)  2 2 2 2  S5  35 u1  u2  u3  35 u1  u2  u3  u4  84    S 4  20  S5  5  4)  5)  1 1 1 1 25  u1.u2 .u3 .u4 .u5  45       u1 u2 u3 u4 24  5 u1  u2  u3  u4  u5  20  u  u  u  12 u1  u5  3  6)  2 2 2 2 2 7)  1 2 3 8)  u1  u2  u3  u4  u5  170 u1.u2 .u3  8  u .u  65  3 4 72  Lời giải 3  S3  12  2  2u1  2d   12  2u1  2d  8 u  1 1)     1  S5  35  5  2u  4d   35 2u1  4d  14 d  3. 1 2  u1  u2  u3  9  u1  u1  d  u1  2d  9  2)  2 2 2  2 2 2 u1  u2  u3  35  u1   u1  d    u1  2d   35  u1  3  d  u1  3  d u  3  d  2 2 2  2  1  3  d   3   3  d   35 d  4   d  2 Với d  2  u1  1 . Với d  2  u1  5. u1  u2  u3  u4  16  u1  u1  d  u1  2d  u1  3d  16  3)  2 2 2 2  2 2 2 2 u1  u2  u3  u4  84  u1  u2  u3  u4  84  4u1  6d  16 1   2 2 2 2 u1   u1  d    u1  2d    u1  3d   84  2   16  6d 3 Từ 1  u1   4 d thay vào 2 được: 4 2 2 2 2 2  3   3   3   3   4  d    4  d  d    4  d  2d    4  d  3d   84  2   2   2   2  2 2 2 2  3   d  d  3d    4  d    4     4     4    84  64  5d 2  84  d 2  4  d  2 Với  2   2  2  2  d  2  u1  1 . Với d  2  u1  7 5  S5  5   2u1  4d   5  2u1  4d  2  u1  1  2d (1) 4)   2 u1.u2 .u3 .u4 .u5  45 u1  u1  d  u1  2d  u1  3d  u1  4d   45 (2)  Thay (1) vào (2):  1  2d 1  2d  d 1  2d  2d 1  2d  3d 1  2d  4d   45  1  2d 1  d 1  d 1  2 d   45  1  2d 1  2d 1  d 1  d   45     1  4d 2 1  d 2  45. Đặt t  d 2 , t  0  1  4t 1  t   45  4t 2  5t  44  0 Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright ©2025 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2