TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ
KHOA TOÁN
----------
HỒ THỊ ĐỨC THẢO
TỪ CÂU HỎI TRUYỀN THỐNG ĐẾN
TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
CHỦ ĐỀ:
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG
KHÔNG GIAN
Huế, tháng 4 năm 2017
Hồ Thị Đức Thảo Toán 4T
2016 – 2017 2
Bài toán 1:Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho điểm
( 4; 2;4)A
và
đường thẳng
32
: 1 ( )
14
xt
d y t t
zt
.
Viết phương trình đường thẳng
đi qua
A
, cắt và vuông góc với đường thẳng
d
.
Bài giải:
Cách 1: Đường thẳng
cần tìm là giao tuyến của hai mặt phẳng
()P
và
()Q
,
trong đó
()P
là mặt phẳng đi qua
A
và chứa
d
,
là mặt phẳng đi qua
A
và
vuông góc với
d
.
Đường thẳng
d
đi qua
( 3 ; 1 ; 1)B
và có vectơ chỉ phương
(2 ; 1 ; 4)u
.
Ta có:
(1 ; 3 ; 5)AB 
Mặt phẳng
()P
nhận
u
và
AB
làm vectơ chỉ phương, suy ra
()P
có một vectơ
pháp tuyến là:
1, (1 ; 2 ; 1)
7
n u AB


Mặt phẳng
()P
đi qua
( 4 ; 2 ; 4)A
và nhận
(1 ; 2 ; 1)n
làm vectơ
pháp tuyến nên có phương trình:
1( 4) 2( 2) 1( 4) 0x y z
hay
2 4 0x y z
Vì
()Qd
nên
()Q
nhận
(2 ; 1 ; 4)u
làm vectơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng
()Q
là:
2( 4) 1( 2) 4( 4) 0x y z
hay
2 4 10 0x y z
( ) ( )PQ
Vậy phương trình của
là:
2 4 0
2 4 10 0
x y z
x y z
hay
13
2
3
xt
yt
zt


Cách 2: Vì
đi qua
A
và vuông góc với
d
nên
phải nằm trong mặt phẳng
()P
đi qua
A
và vuông góc với
d
.
Mặt phẳng
()P
nhận vecto chỉ phương
(2 ; 1 ; 4)u
của
d
làm vectơ pháp
tuyến.
Phương trình của mặt phẳng
()P
là:
2 4 10 0x y z
Hồ Thị Đức Thảo Toán 4T
2016 – 2017 3
Gọi
()M d P
thì
( 3 2 ;1 ; 1 4 )M t t t d
và
M
( ) 2( 3 2 ) (1 ) 4( 1 4 ) 10 0 1M P t t t t
Vậy
( 1;0;3)M
Khi đó:
(3;2; 1)AM 
Đường thẳng
qua
A
và
M
có phương trình:
4 2 4
3 2 1
x y z

Cách 3: Gọi
M
là hình chiếu vuông góc của
A
trên
d
thì
Md
.
Suy ra:
( 3 2 ;1 ; 1 4 )M t t t
Khi đó:
(1 2 ;3 ; 5 4 )AM t t t
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương
(2 ; 1 ; 4)u
Ta có:
. 0 2(1 2 ) 1(3 ) 4( 5 4 ) 0 1AM d AM u t t t t
Suy ra:
(3;2; 1)AM 
Đường thẳng
đi qua
A
và
M
nên có phương trình là
4 2 4
3 2 1
x y z

Phân tích: Bài toán này có nhiều cách giải, học sinh có thể viết phương trình
đường thẳng
là giao tuyến của 2 mặt phẳng
()P
và
()Q
, trong đó mp
()P
chứa
A
và
d
, mp
()Q
chứa A và vuông góc với d (cách 1) hoặc xác định giao điểm
M
của
và
d
rồi lập phương trình
đi qua
A
và
M
(cách 2 và 3). Nếu học
sinh thất bại ngay từ bước xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng
d
dựa
trên phương trình tham số đề cho thì câu hỏi tự luận sẽ không thể cho ta biết điều
gì về khả năng của học sinh về các khía cạnh khác của câu hỏi.
Các cách giải khác nhau kiểm tra học sinh nhiều kiến thức và kỹ năng như
cách xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng khi biết phương trình tham số,
viết phương trình mặt phẳng khi biết tọa độ điểm đi qua và vectơ pháp tuyến
hoặc hai vectơ chỉ phương, chuyển đổi giữa các dạng biểu diễn khác nhau của
phương trình đường thẳng.
Những câu hỏi trắc nghiệm khách quan tương ứng:
Hồ Thị Đức Thảo Toán 4T
2016 – 2017 4
Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho đường thẳng
:
12
1
23
5
xt
yt
z

Vectơ nào sau đây là vecto chỉ phương của đường thẳng
?
A.
(1 ; 2 ;5)a
B.
1
1; ;5
3
a



C.
6; 1;0a
D.
1
2; ;5
3
a



Đáp án: C
Phân tích: Để chọn được phương án đúng thì học sinh cần biết được cách tìm
vectơ chỉ phương của đường thẳng khi biết phương trình tham số và các vectơ chỉ
phương của đường thẳng cùng phương với nhau, đây cũng là điểm mà học sinh
có thể không chú ý.
Khi nhìn vào phương trình đường thẳng
, học sinh sẽ dễ dàng tìm được ngay
một vectơ chỉ phương của đường thẳng
là
1
2; ;0
3
u



.Tuy nhiên kết quả
này lại không trùng với cả 4 phương án câu hỏi đưa ra, dẫn đến việc học sinh
phải suy nghĩ đến các vectơ chỉ phương khác cùng phương với
u
, cụ thể ở đây là
6; 1;0a
(phương án C ) . Các phương án A, B, D gây nhiễu còn lại được đưa
ra dựa trên việc học sinh có thể nhầm lẫn tọa độ điểm mà đường thẳng đi qua
(tương ứng với hệ số tự do) với tọa độ vectơ chỉ phương của đường thẳng (tương
ứng với hệ số của tham số t)
Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, phương trình mặt phẳng đi qua
điểm
(4 ; 3 ; 1)M
và có vectơ pháp tuyến
(2 ; 3 ; 4)n
là phương trình nào
trong các phương trình sau đây?
A.
2 3 4 13 0x y z
B.
4 3 13 0x y z
C.
2 3 4 13 0x y z
D.
2 3 4 9 0x y z
Đáp án: A
Hồ Thị Đức Thảo Toán 4T
2016 – 2017 5
Phân tích: Để chọn được phương án đúng học sinh cần nhớ được phương trình
mặt phẳng đi qua điểm
0 0 0
( ; ; )M x y z
có vectơ pháp tuyến
( ; ; )n a b c
là:
0 0 0
( ) ( ) ( ) 0a x x b y y c z z
.
Các phương án nhiễu được đưa ra dựa trên việc học sinh có thể nhầm lẫn tọa độ
điểm
M
với tọa độ vectơ pháp tuyến (phương án B), hay sai sót, bất cẩn trong
quá trình tính toán (phương án C và D).
Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, viết phương trình mặt phẳng
()
đi qua
(0 ; 1 ; 1)A
và vuông góc với đường thẳng
11
:1 1 2
x y z
d

.
A.
2 1 0x y z
B.
2 1 0x y z
C.
2 1 0x y z
D.
2 3 0x y z
Đáp án: A
Phân tích: Để làm được câu hỏi này, học sinh cần biết rằng khi một mặt phẳng
()
vuông góc với đường thẳng d thì vecto chỉ phương của đường thẳng d sẽ là
vecto pháp tuyến của mặt phẳng
()
.
Các phương án nhiễu được đưa ra dựa trên việc học sinh có thể sai sót trong quá
trình tính toán.
Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho đường thẳng
13
:2
3
xt
d y t
zt


.
Phương trình nào sau đây không là phương trình của đường thẳng
d
?
A.
2 4 0
2 4 10 0
x y z
x y z
B.
4 2 4
3 2 1
x y z

C.
16
4
32
xt
yt
zt


D.
23
12
41
xt
yt
zt


Đáp án: D
Phân tích: Để chọn được phương án đúng, học sinh cần có sự chuyển đổi linh
hoạt giữa các dạng biểu diễn khác nhau của phương trình đường thẳng.
Các phương án gây nhiễu được đưa ra dựa trên việc học sinh lúng túng khi đường
thẳng được biểu diễn dưới dạng giao của 2 mặt phẳng (phương án A), dạng