TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ KHOA TOÁN ----------
HỒ THỊ ĐỨC THẢO TỪ CÂU HỎI TRUYỀN THỐNG ĐẾN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN CHỦ ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Huế, tháng 4 năm 2017
Hồ Thị Đức Thảo Toán 4T Bài toán 1:Trong không gian với hệ tọa độ
, cho điểm và
đường thẳng .
, cắt và vuông góc với đường thẳng .
Viết phương trình đường thẳng đi qua Bài giải:
Cách 1: Đường thẳng cần tìm là giao tuyến của hai mặt phẳng và ,
trong đó là mặt phẳng đi qua và chứa , là mặt phẳng đi qua và
vuông góc với .
Đường thẳng đi qua và có vectơ chỉ phương .
Ta có:
Mặt phẳng nhận và làm vectơ chỉ phương, suy ra có một vectơ
pháp tuyến là:
Mặt phẳng đi qua và nhận làm vectơ
pháp tuyến nên có phương trình:
hay
Vì nên nhận làm vectơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng là:
hay
Vậy phương trình của là: hay
Cách 2: Vì đi qua và vuông góc với nên phải nằm trong mặt phẳng
đi qua và vuông góc với .
Mặt phẳng của làm vectơ pháp nhận vecto chỉ phương
tuyến.
2
Phương trình của mặt phẳng là:
2016 – 2017
Hồ Thị Đức Thảo Toán 4T Gọi
thì và
Vậy
Khi đó:
Đường thẳng qua và có phương trình:
Cách 3: Gọi là hình chiếu vuông góc của trên thì .
Suy ra:
Khi đó:
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương
Ta có:
Suy ra:
Đường thẳng đi qua và nên có phương trình là
Phân tích: Bài toán này có nhiều cách giải, học sinh có thể viết phương trình
đường thẳng là giao tuyến của 2 mặt phẳng và , trong đó mp chứa
và , mp chứa A và vuông góc với d (cách 1) hoặc xác định giao điểm
và của rồi lập phương trình đi qua và
(cách 2 và 3). Nếu học sinh thất bại ngay từ bước xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng dựa trên phương trình tham số đề cho thì câu hỏi tự luận sẽ không thể cho ta biết điều gì về khả năng của học sinh về các khía cạnh khác của câu hỏi.
Các cách giải khác nhau kiểm tra học sinh nhiều kiến thức và kỹ năng như cách xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng khi biết phương trình tham số, viết phương trình mặt phẳng khi biết tọa độ điểm đi qua và vectơ pháp tuyến hoặc hai vectơ chỉ phương, chuyển đổi giữa các dạng biểu diễn khác nhau của phương trình đường thẳng.
3
Những câu hỏi trắc nghiệm khách quan tương ứng:
2016 – 2017
Hồ Thị Đức Thảo Toán 4T
Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng :
Vectơ nào sau đây là vecto chỉ phương của đường thẳng ?
A. B.
C. D.
Đáp án: C Phân tích: Để chọn được phương án đúng thì học sinh cần biết được cách tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng khi biết phương trình tham số và các vectơ chỉ phương của đường thẳng cùng phương với nhau, đây cũng là điểm mà học sinh có thể không chú ý. Khi nhìn vào phương trình đường thẳng , học sinh sẽ dễ dàng tìm được ngay
một vectơ chỉ phương của đường thẳng là .Tuy nhiên kết quả
này lại không trùng với cả 4 phương án câu hỏi đưa ra, dẫn đến việc học sinh
phải suy nghĩ đến các vectơ chỉ phương khác cùng phương với , cụ thể ở đây là
(phương án C ) . Các phương án A, B, D gây nhiễu còn lại được đưa
ra dựa trên việc học sinh có thể nhầm lẫn tọa độ điểm mà đường thẳng đi qua (tương ứng với hệ số tự do) với tọa độ vectơ chỉ phương của đường thẳng (tương ứng với hệ số của tham số t)
Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ , phương trình mặt phẳng đi qua
điểm và có vectơ pháp tuyến là phương trình nào
trong các phương trình sau đây?
A.
B. D. C.
4
Đáp án: A
2016 – 2017
Hồ Thị Đức Thảo Toán 4T Phân tích: Để chọn được phương án đúng học sinh cần nhớ được phương trình
mặt phẳng đi qua điểm có vectơ pháp tuyến là:
.
Các phương án nhiễu được đưa ra dựa trên việc học sinh có thể nhầm lẫn tọa độ với tọa độ vectơ pháp tuyến (phương án B), hay sai sót, bất cẩn trong điểm quá trình tính toán (phương án C và D).
Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ , viết phương trình mặt phẳng
đi qua và vuông góc với đường thẳng .
A. B.
C. D.
Đáp án: A Phân tích: Để làm được câu hỏi này, học sinh cần biết rằng khi một mặt phẳng
vuông góc với đường thẳng d thì vecto chỉ phương của đường thẳng d sẽ là
vecto pháp tuyến của mặt phẳng .
Các phương án nhiễu được đưa ra dựa trên việc học sinh có thể sai sót trong quá trình tính toán.
?
Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng .
Phương trình nào sau đây không là phương trình của đường thẳng
A. B.
C. D.
5
Đáp án: D Phân tích: Để chọn được phương án đúng, học sinh cần có sự chuyển đổi linh hoạt giữa các dạng biểu diễn khác nhau của phương trình đường thẳng. Các phương án gây nhiễu được đưa ra dựa trên việc học sinh lúng túng khi đường thẳng được biểu diễn dưới dạng giao của 2 mặt phẳng (phương án A), dạng
2016 – 2017
Hồ Thị Đức Thảo Toán 4T chính tắc của phương trình đường thẳng (phương án B ), dạng khác của phương trình tham số khi chọn điểm đi qua và vecto chỉ phương của đường thẳng khác với phương trình đề cho (phương án C)
Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm và đường
thẳng . Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của trên
đường thẳng ?
A. B.
C. D.
của mặt phẳng đi qua
của đường thẳng và đường thẳng
.
Đáp án: B Phân tích: Để chọn được phương án đúng học sinh có thể làm theo hai cách: tìm vuông góc với đường thẳng d và đường giao điểm thẳng d hoặc tìm giao điểm dựa trên điều kiện Các phương án nhiễu được đưa ra dựa trên việc học sinh có thể sai sót trong quá trình tính toán.
Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng và
mặt phẳng . Giao điểm M của d và (P) có tọa độ là gì?
A. B.
C. D.
Đáp án: A Phân tích: Để chọn được phương án đúng học sinh cần biết được rằng khi điểm
thì sau đó thế tọa độ điểm vào phương trình mặt
phẳng (P) để tìm giá trị t. Các phương án nhiễu được đưa ra dựa trên việc học sinh có thể nhầm lẫn trong quá trình tính toán.
Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ , mặt phẳng song song với hai
6
đường thẳng
2016 – 2017
Hồ Thị Đức Thảo Toán 4T
và có vectơ pháp tuyến là gì?
A. B.
C. D.
Đáp án:D Phân tích: Để chọn được phương án đúng, học sinh cần tìm được vecto chỉ
phương của đường thẳng và được cho dưới dạng phương trình tham số
hay chính tắc, sau đó tính được tích có hướng của 2 vectơ chỉ phương để tìm được vectơ pháp tuyến. Các phương án nhiễu được đưa ra dựa trên việc học sinh có thể sai sót về dấu trong quá trình tính toán.
Bài toán 2: Trong không gian với hệ tọa độ , viết phương trình mặt phẳng
đi qua và tạo với mp một góc .
Bài giải: Mặt phẳng đi qua và tạo với mp một góc nên cắt
tại điểm khác gốc
Phương trình của mp(P) là: hay
Suy ra:
Mặt phẳng có vecto pháp tuyến là .
Theo giả thiết, ta có:
Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu của đề bài:
Phân tích: Nếu từ giả thiết mặt phẳng đi qua điểm và tạo với mp
7
một góc học sinh không suy ra được (P) sẽ cắt trục tại một điểm
2016 – 2017
Hồ Thị Đức Thảo Toán 4T khác với gốc tọa độ thì câu hỏi tự luận sẽ không cho ta biết được khả năng của học sinh về các khía cạnh khác của bài toán như viết phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn, tính góc giữa hai mặt phẳng dựa trên góc giữa hai vectơ pháp tuyến.
Những câu hỏi trắc nghiệm khách quan tương ứng Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ , gọi là mặt phẳng cắt ba trục
.Phương trình của là tọa độ tại ba điểm
gì?
A. : B. :
C. : D. :
Đáp án: B Phân tích: Để chọn được phương án đúng, học sinh cần nắm được phương trình
mặt phẳng theo đoạn chắn đi qua các điểm , , là
.
Các phương án nhiễu được đưa ra dựa trên việc học sinh nhớ sai vế phải của phương trình mặt phẳng theo đoan chắn bằng 0 (phương án A,C) hoặc là viết phương trình theo thứ tự các điểm đề cho (phương án A,D)
Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ
cho hai mặt phẳng là góc giữa hai mặt phẳng . Gọi và
và . Tính .
A. B.
C. D.
Đáp án: C Phân tích: Để chọn được phương án đúng học sinh cần nắm được công thức
8
.
2016 – 2017
Hồ Thị Đức Thảo Toán 4T Các phương án gây nhiễu được đưa ra dựa trên việc học sinh có thể làm thiếu dấu giá trị tuyệt đối ở tử số trong công thức trên, dẫn đến nhận giá trị âm (phương án B và D) hay sai sót trong quá trình tính toán (phương án A và D).
Bài toán 3: Trong không gian với hệ tọa độ , cho các điểm
a. Chứng minh: là bốn đỉnh của một tứ diện.
b. Tính thể tích khối tứ diện Bài giải:
a. Ta có: ,
Suy ra:
nên
không đồng phẳng nên là các đỉnh của một tứ diện.
b.
Phân tích: Bài toán này yêu cầu học sinh vận dụng tích có hướng để kiểm tra tính đồng phẳng của các điểm trong không gian và tính thể tích tứ diện. Tuy nhiên nếu học sinh không biết điều kiện để các điểm không đồng phẳng là gì thì bài toán sẽ không thể cho ta biết những phần nào của câu hỏi học sinh có thể trả lời được.
Những câu hỏi trắc nghiệm khách quan tương ứng: không Câu Trong gian với hệ 1: tọa độ , cho
và . Tìm để bốn
điểm đồng phẳng.
Một học sinh giải như sau:
Bước 1: ; ;
Bước 2:
Bước 3: đồng phẳng
9
Đáp số:
2016 – 2017
B. Sai ở bước 1 D. Sai ở bước 3
Hồ Thị Đức Thảo Toán 4T Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào? A. Đúng C. Sai ở bước 2 Đáp án: C Phân tích: Câu hỏi này kiểm tra kiến thức tổng hợp về tích vô hướng và điều kiện để các điểm trong không gian đồng phẳng, khả năng phân tích, theo dõi các bước giải để tìm ra lỗi sai.
Câu 2 : Trong không gian với hệ tọa độ , cho
, điểm nằm trên trục và thể tích tứ diện bằng 5.
Tìm tọa độ của điểm .
A. B. hoặc
C. D. hoặc
Đáp án: B Phân tích: Để chọn được phương án đúng, học sinh cần nắm được công thức tính
thể tích tứ diện MNPQ là
Các phương án nhiễu được đưa ra dựa trên việc học sinh có thể xét thiếu trường hợp khi phá dấu giá trị tuyệt đối trong công thức tính thể tích (phương án A và C) hay tính sai dấu (phương án D).
KẾT LUẬN
10
Việc chuyển bài toán tự luận thành các câu hỏi trắc nghiệm khách quan kiểm tra các khía cạnh khác nhau của bài toán giúp chúng ta có thể đánh giá học sinh một cách chính xác hơn, Tuy nhiên, trắc nghiệm khách quan thường chỉ phù hợp với những bài toán ở mức độ nhận biết và thông hiểu, ở mức độ vận dụng cao thì loại hình câu hỏi này không thể hiện được các bước suy luận của học sinh để giải quyết bài toán.
