Vật lý cơ sở: Phần 1

Chia sẻ: Lê Thị Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:224

Thêm vào BST

Báo xấu

89
lượt xem 16
download

Vật lý cơ sở: Phần 1

Mô tả tài liệu

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Một trong những đặc trưng của thời đại chúng ta là sự phát triển vô cùng nhanh chóng của khoa học và kỹ thuật. Trong sự phát triển đó, vật lý học có vai trò chủ đạo và góp phần làm cho khoa học, kỹ thuật trở thành lực lượng sản xuất trực tiếp. Ngày nay, vật lý học thâm nhập sâu rộng vào các ngành khoa học, kỹ thuật; nói riêng, vào sinh học nông học, y học và địa chất học. Rõ ràng kiến thức vật lý không những thiết yếu cho kỹ sư, mà còn rất hữu ích cho các nhà sinh học, nông học, địa chất, cũng như các bác sĩ. Tài liệu Vật lý cơ sở dùng cho cán bộ sinh học, y học, địa chất sau đây nhằm đáp ứng nhu cầu đó. Tài liệu gồm 2 phần, mời các bạn cùng tham khảo phần 1 sau đây.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Vật lý cơ sở: Phần 1

DUNG CHO C À ir Bộ SINH HỌC Y Hỏc ĐỊA CHAT ỵ t ư ~ .. ^ ụ - 'Ề íễ lÊ ^ NHÀ X Ụ Ấ J ^ Ỉ ^ :-y ® » KHOA HỌC VÀ KỸ thuật
L. t y m o m ì C i PHYSIQUE DE BASE POUR BIQLDLOGISTES, MÉDECINS ET GÉOLOGUES (DEUX1E3ÌỊE ÉDITION REVUE ET AƯGMENTẺE) MASi>ON E J' PARIS 1903
LỜI GIỚI THIỆU Một trong những đặc trưng cùn thời đại chúnq ta lờ sự phát triền vô cùng nhionh chóng của khoa học vá kỹ thuật. Tronq sự phát triền đó, vậi ỈÍỊ học có val trờ) chủ đạo vù góp p h ă n làm cho khoa học, kựi ihtiậl Irở thành lực lượng s&n x u ã t ịrựỊc liếp. Ngày nay, vật lý học thăm nhập sáu rộng váo các nyành khoa học, kựỊ th iu ậ t; nói rỉẻng, vàn sinh học nôny hục, y học và địa chẫt học. Rõ rànọ kién thức vậtt lỷ không nhữiìỊi Ihiết yếu cho kụ sư, m à còn rất h ữ u ích cho cóc nhủ sinh học, nôing học, địa chăl, cũng như cáv bác sĩ. Sự phái ỉriầĩi Iìhaiih'chúiuj của các ngành sini/i học, .sinh lý học, Ị/ học, (iịa chái học troniỊ. nhữ ny Iiăm ịỊầìì đày khôny Ihề tác:Ji rời sự áp dụng cú hiệu qun các iM iìh iựu mời của vật lý học. ờ nước la hiền nhièii các cán bộ nói trên ãirì(j căn được hòi dưỡng các kiến thúíc vật lý cơ han càn thiél cho việc thu nhặn các thùnh tựu mới trong ngành còtvỊ táo: của họ. Trên thễqiởi hiện đã có nhiều cuốn sách đư ợ c viéĩ ra VỜI mục đích đó. Cuiốn sách này của L. Lliboutry m à N hủ xuất bủn Khoa học vá kỹ thuật hán hạnh giởrl thiệu với hạn đọc có nhiều ưu đihìi rố rệl so vời các sách cùng loại. Các sách cùiruỊ loại thườiìịi chỉ là sự ỊỊÌản lược m ộỉ (ỊÌáo trình vật ựỉ đ ạ i cương dùn(j cho cán bộ I>ật lị/. Trái lại, trong cuốn sách này lác giả đã chọn lọc khá tinh vi các vấn đề ihiiết thực với đối iượmj bạn đọc của nó. Tác yiã irình bày sánịỊ sủa, chinh xác các địm h nghĩa, cóc định íuậl, cãc hiện lưựtt(j và các linh chắt vật lậ quan Irọng idiốt căn phiài biẽt, đòiiỊ) thời Iránh dùny nhiều Inán học và mô tả rườm rà các văn đề khỗng plìiục vụ trực liếp cho mục đích đặt ra. Chủn
PHẲN I CÔNG CỤ T O Ẩ N H Ọ C CHUỖI VẰ ĐẠO HẰM. HÀM LŨY THỪA,.HÀM Mũ VA HÀM LỔGA í 1.1. Hàm biền d ièn bằng d& thị. Người ta nói rằng một đại lượng y ià m ộ i h à m biến X Irong khoảng (o, b) nến nh ư nó hoàn toàn được lác định đối vời m iọi giá trị của X nằm giữ ă a và b. N gười ta nói m ột hàm là liên íục trong khoảng này nếu la luổn luòn có thễ Uim đ ư ợ c m ộ t gia số điỉbé à x '-ủa biến sao cho gia số tương ứng Ay của hàm (Có giá trỊ tuyệt đổi b('ỉ hơn mọi đại lượng B lẩy trư ớ c bé lùy ý. ỉ^ói một cảch HLhác, h à m gọi là liên tục nếu ầ y tỉẽn đén khôny càng VỚI Aar. ■ Do n h ữ n g điều kiện xác địnli m à chúng lôi sẽ trin h í)ày ngắn ịỊọn sau (sự tlòn lại của các đạo hàm), mộl hàm cỏ Ihề biếu diễn bằng, một điròng cong nếu tta lấy X làm hoành độ và y làm lung độ. Người ta nói một hàm lỉén tục Ịj(x) là đ ơ n điệu trong một khoảng nếu tư ơng ứng yới mội giá IrỊ bẩt kỳ của y chĩ c6 mội giá írị của X. Khi í y rõ ràng ta có thề xem X là một hàm của y (hình J.l). (Tuỳệt đối không nên lẫụ lộn khái niệm hàm vứi khái niệm nhân quả. Cố thề có Irường hợp một 9ự kiện đo bẳng .T cỏ hệ quả là một hiện tượng đo b&ng y, nhưng cũng có Ihề ngirợc lại, hoặc X và g là các hệ quẳ của củng mộl sự ỉciệii). 1.2. Các loại th ữ e toán hợe khAo n h an . Chuỗi cổng việc đầu tỉén của ccác nhà vậl lý là xác định các định luật chi phổi cảc h iín tượng tự nhiên và biêu ttìiễn cliúng bằng các h ệlliử c toán fìọc giữa các đại lượng khác nhau. Một hệ Ihức loán học giữa y yfk X có thê yiếl dưứi dạng một hàm đại »6. T h í dụ, trong quang hinh học, giữa hoành độ X của vật vả hoảnh độ y cửa ảnh osủa vật đó có mộỉ hệ thức dạtiM ax + b y cx + d {{Mm n h ă t biín) (hình 1.2).
N hưng trong nhữ ng trường hợp khảc hộ thức loản học cỏ thê phức tạp hơn. Thí dụ, y có tliẽ xầc định bẵng mộl íicỉi phân hay. một chúỗi. Chủng ta sS nói đến cád tỉch phân trong chươhg II. Một chuòi là m ột t&ng gồm vỏ hạn số hạng. Tông này có mội liướng hay nh ư người ta nói, một chuỗi là hội tụ nếu ta thêm mội 8Ố ngày càng nhiều các số hạng ta ngày càng dẫn đến m ộl ị>iởi hạn xác định nào đóT Thí dụ, đối với - 1 < x < 1, củuỗi nhấn 1 1 + a:- + .T* + ; i - 3 . . . - |- a ;" + . . . dần đến 1 - ÍC Trong thí dụ này, chuỗi bằng m ột hàm đại số (nói chính xác, h àm nhỉíl biến), n h ư n g đây là một trường hựị) đặc biệt. N h ậ n xét í — Khi m ột chuỗi hội tụ, các số hạng dẫn đến không. Nhiưng đây không phải là điều kiện đủ đễ một chuỗi là hội tụ. Thí d ụ . chuỗi 2 n khòng hội lu đối vởi X = ỉ, măc dù ---- đ à n đến 0 khi n dồn đến vô han. n N hận xél 2 — T rong các thí dụ trên, X có mặt trong cẳc số hạng nối ttiếp nhau dưới dạng các lũy thừa tăng. Người ta nỏi là có m ột chuỗi nguyên, B ỏ l à một 8ự lồng quát hỏa các đa thức. N h ậ n 'x é t 5 — Người ta chĩrng m inh rằ n g nếu mỗi 8(5 hạng cija m ộ l chuỗi cần xót nhỏ hơn 8Ố hạng cùng hạniỊ của rnột chuỗi liộl tụ đ ã biết thi chuỗi đ m /c ■Xất J à J i ộ i l ụ ^ iliiLiiử-cố .chuiỉi-ngnyAB-t V y — + QịX ■ + + . . . - ị- ơ a X '+ ..■ Nểu tất cả các hệ số «0. Ov «2- ••• Ob ••• đèu nhỏ hơn m ột biên xác đ ịn h M, Ihì các sổ hạng của chuỗi này nhỏ hơn các số hạng của chuỗi nhân : M l — X 6
C huỗi nàv hội tụ khi — 1 < .r < 1. Như vậy chuỗi được xét cũng hội tụ, ít nhất tlà đối V(VÌ lấl cả cảc giá trị của X Iiằni Irong klioàng (— 1, + 1). Khi nói đển lích pliâu hay chuỗi đối vửi mỗi giá trị của X la có thề tinh 0 40,45 44,70 49,40 4 r)4,eo 60,34 66^69 73,70 81,45 90,02 99,48 ^ 0 9 .9 5 121.51 134,29 Chúng la giả Ihiết (đảy là trường hợp lống quái) rẳng tất cả các giá trị của biến X đ ư a vào bảng lăng Iheo cẩp số cộng và khoẳng òiX giữa hai giá trị kế tiếp nhau khá bẻ. Đối với tất cả cảc hàm ỊỊ gặp trong thục tế, các hiộii s6 At/ giữa các giá trị tương ư n g kế tiếp n hau thay đôi m ộl cách đều đặn. Sau đó ta có thễ xét các hiệii A^// g iữ a các hiệu kế ti5p nhau n h ữ vừa nỏi. Người ta gọi n hữ ng hiệu này là Mệu th ứ hai. Sự biốn thi 'n của chúng cũng đều đặn, liếp theo ta lại có thề lập các hiệu th ử ba và cứ thế ého đến khi nào cần dừng lại, các giả trị ban
đ i u của y ta khỏng biết với đ ìy đủ cár số thập phân. (Chẳng hạn, trong bảng dirởi đây chi biết với sai kliác í),01). X f/ Ay A*y A*y 3.0 20,09. _ )2 ,1 1 • 3.1 '22,20 { >0.22. ) 2 .3 3 ( >0,03 3.2 24,53 c > ,2 r< )2 ,5 8 ( > .0 2 3.3 2 7 . 1 > , 2 7 ( )2 ,8 5 ( >0,04 3.4 29,96 > 0,3K > 3 .1 6 / 3.5 3 3 .1 2 / Nói chiing, lỊiỗi -băl Ihường trong sir biến thién đều đặn cùa các hiện cho phép ta phảt hiện một sai lầm về íính toản trong việc lập bàng. Khi ỊỊ là một hàm /uyế/ỉ tinh , đối với cảc A;i bẳng nhau, Aị/ luôn luòn bằnn^, các A*y bẳng nhau, các A®ỉ/, A*y v.v... bẳng klỉông. Trong trư ờ n g hợp tông quát khi giá Irị ciía X kliỏiiiỊ Iiẳin trong bàng, Iiliưng Qgười ta Um đựợc một giả trị ar, hơi n hỏ hơn và một giá trị Xn^.1 ho-i lởn hơn, tlii bftng p h é p nội suy iuỊỊÍn tinh, ta có thề linh được mộỉ giố trị gằii đúng của y : ?/ - y- ^ - y. ^ * — -Vm — ÍC„ Ax Bftng đỉ^ tbị, điều này cỏ nghĩa là đường cong biêu diễn y{x) được thay bẳng m ột đoạn thẳng liíiố, mả hai đầu có cảc tọa độ là 0/n, *„) và (f/n+j. *n^ị) 1. 4. D«o hAm của Hột h*m. Đạo hàm của hàm ịỉ{x) tà giới hạn của k h i A® ỉiển đến khòng, Chúng ta luôn luôn biỄu thị đạơ hàm bẳng kỷ ăx hiệụ : dx T rôn đồ Ihị là độ đổc của tiếp íuyến cỉia đường cong ò điễm (ụ, x). dx N ể u đ ơ n ỨỊ của X và đơn vị của ụ được biìu diĩn Irin đò thị bằĩìỊỊ cùng một đứ dài, thi = t :a (õt là góc lạo thành giữ a liếp tuyến và tru c X). dx \ 8 ÌẮ.
Mộl hàm là liên tục khi Ay tiến đốn 0 đòng thời •vởi A.r. T rong loán học người la chửng minh rằii'’, trải với đièii mà ngirời la có tliồ tiicrng d ự a trèn *sự biẽu diễn bằng đò tliỊ, m ột hàni ]ién tục cỏ Ihê không có đạo hàm. Ta sẽ chứng minh điều đó bẳng một thi dụ. Ta xét hinh tròng nghiêng của một ngọn núi. Giả sử y là độ cao của một điỄni, X là hoành độ cùa nỏ, ỉ/(.r) có thè biền diễn bằng một đường cortg, nhưng đ ó chỉ' là m ộ r sơ đò lliỏ S(»' của thực tế lliậl rff phức lạp hơn nhiều. Tùy (heo chúng fa xét ở m ức độ nào, m ứ e độ của ngọn núi, của quả đòi, cỉia ỉiiổng cày, của mỏ đất, hay của hạt cát v .v ... ta sẽ có một cấu trúc ngày càn^’ tinh tế và một tiếp tuyến ngày càng biến đồi và kém xác đỊiih. Sau này chụng ta sẽ bỏ qua loại khỏ khăn này. Bẳng trực quan, ỉa có thê thấy rẳng tùy tlieo đạo hàm là dương, âm hay bẳng khỏiig, mà hàm là tănịí, giảm hay không đồi. Các Iihà toán học thấy -c à n phải chứng minh điều đó, nhưng đấy là một công việc rẵt tinh vi của tri tuệ^ |chông bô ích và cũng khòng can đối vởi nhà vật lý. Đạo hàm của đạo hàm cùa một liàm gụi lá đạo hàm căp hai của hàm ấy. CỈ^1] ' Ngữời fa biều diễn đạo hàm cấp hal bẳiiịí ký hiêii — ị(l^ ờ lử số vi nó cố lièn quan vứi một hjệu (hứ h a i ; còn (ỉx^ ở mẫu số vi la đã hai làn chia cho hiệu dx)- 1.5. T in h Biột tAì d«o h*M ámn g iảa. 1“) í/ = ** Ay = (x + A.t)* — ma 2x. Ax + A;t'^ - ^ = 2 x 4 - ủx Ax Giới hạn khi ă x “ ►0 của 2x. Aar (ỉx Ta sẽ lính nhanh hơn nếu suy luận trực liếp trên các số hạng vỏ cùng bẻ vả 6ỏ qua cáo vô cùng bé có bậc lớn hơii so với số hạng chinh : dy ■= (x + d.i'Ý — x'^ = .1'^ + 2xdx + dx^ — Sổ hạng chinh là 2 x .d x (không phải là sổ hạng chửa các .r*, 8Ổbạng này bẳng 0). Nliư vậy la bỏ q u a sổ hạng chửa (í.r* và viết ngay : (iy = 2.vdx d x và dy được gọi là 1'i phàn của X và y. Cách tính toán n h ư vừa làm nằm Irong cơ sở của phép tinh là phân. 9
2*) y = íin x (x lính theo radian) y + fiy *= sin (.f - f dx) = •in.T.cosda; + cos.i'.sinda: d x là'VỎ cùng bé, cosí/.r s= 1 và sindo' = (ìx, dy = c o t x . d x và dy = cosa: dx 3Ĩ 3*) Nếu ta Ihay X bằng X H— — : = cos d + 2 . d (cosa;) Hinh 1.4 — — sino:. dx i.6 . c*e đ in k lỷ tồ n g q«*t Tè đ«o h im . T heo cbính định nghĩa đạo hàm rõ ràng l ả : !•) Đạo hàm của m ội tòng đại »6 cảc hàm ỊỊ mzx u + V — IV b ằ n g tông đại số c& cđạohàm . d ỵ _ d (ụ + V — w) du dv dw dx dx dx' dx dx 2°) Khi ta nhân-m ột hàm TỚi một hằng số, đ ạo hàm đ ư ợ c n h ân với h&ng tố ấy. d iay) a đx dx 3®) Nếu u và ỉ; là bai hàm cùa X, đạo hàm của tích uv l à : d {uv) _ (u + dii) (p 4- dv) — uv dx clx dv du ti ^ V dx dx 4’) Nếu u Tà là íiai hàm của a-, (ãạo hàm của th ư ơ n g — l à i V Ị u j u + du u~ 'V -f- dv V d u.v — udu dx dx v^dx du ~ u di> -----V dx dx p 10
5”) Đạn h à m của một hàm của mội hàm . N íu y là m ột hàm của u và u lại là m ột hàm của X, la c ỏ : í/y dy du d.v du ‘ dx T h í dụ áp dụng: 1) ị; = aa-2 + + c = 2 u x .+ b dx 2) 0 = 9* cos (u)/ + cp) (0m. 0J và cp là các hẳng số) dO ~Q [cos (gj/ + (p)] d ((u/ + (p) dt " (I () .' dl = — 0„ (usin (w/ 4- (p) 1.7 . Cdng th ứ e T a ỵ lo r. Đạo hAn của chadỉ n gn j«B . Cho một hàm y{x'ị có đạo hàm lởi cấp vò hạn. (iọi //’ (.í), y” (.v)..., y ‘”’(a) là các đạo hàm kế tiếp nhau. Nếu tất cả các đạo hàm đều lù f»iói nội Irong khoảng (a, b), ta sẽ chứng minh rẳn g Irong khoảng nàv ty (.r) có thê biÊu diễn d ư ở i dạng một cĩĩuỗi gọi là chuỗi Taỵlor: y (■>■) = a (») + - ~ ° II' (“ ) + ~ + y '“ w + ... n I (la n h ớ lại rằ n g / ì ! => 1. 2. 3... (/ỉ — l ) . n =» g ia i th ừ a ciỉa /ỉ) Vi tắt cả các {-a) đều bị chặn IrOn bời một sổ hữu hạn M, chuỗi Taylor sẽ hội lụ. T h ự c thế, giả sử cho một số nf?uyên p lởn hơn (x — a ) . {p — 1) số hạng đàu tiên của chuỗi T ay lo r oó một lồng hữu hạn. Các số hạng tiếp Iheo là: X —a y < i » ( a ) + - - - ^ (a ) + . . . pĩ p + 1 (/>+1) (P + 2 ) Ta chỉ cần chứ ng m inh rẳng chuỗi nẳm Irong móc vuông hội tụ là đủ. Thế mà các SỐ hạng của chuỗi nàv đều nhỏ hơn các số liạng tương ứng của chuỗi nhân : M + ^ ~ ,5 M + M + ( - p p \ p I X* ữ chuỗi này hội lụ vi --------< 1. 11
/ Nếu (I »«= 0, chuSi T aylor Irở thành m ột chuỗi nguyên cùa a;, đôi khi ị^ọi là chuỗi M acỉauriti: y (a) = y (0) + y ’ (0) + y” (0) + ... + (0) + ... 1 ĩ - í 2! nĩ Thi dụ: / ~2 •v^ bosa- = 1 ---- ^ ----- 4*:-------h + ... x-3 , aS sin.r X — —----- ^ — -------------- + ... 31 5f 7! Các chuỗi này hội tụ đối với mọi giá trị của .T. Người ta chứ ng m in h rằn g khi lấy đạo hám một chuỗi nguyên hội tụ Iheo từiig sổ hạng, ta sẽ thu đ ư ợ c m ột chuỗi nguyên hội lụ (cỏ Ihề chỉ t r ừ c các cụn của khoảng hội tụ) là đạo hàm của hàm ban đằu. T hí d ụ : y = _ J -------- e : 1 a- + .r* + .a-3 + ... + .r “ + . . . -1 < a : < + 1 dy . - — = 1+ 2 .1 - +-3.t2 + ... n.r dx (1—a r 1.8. Hàm x" Tóri n btft kỳ. Ta có Ihê m ờ rộ n g kỷ .h iệu m ũ X . X . X... X = X'“ n lần I m__ bằng cảch rfặt —— = .x"“ và V x = a: " Khi đỏ thực tể ta tiểp tục th u đư ợ c các qui tắc cơ bản : a-p. x ’ =s a-p a-P-1 ýa'P = X / TỞi điều kiện qui Jcrớc a'“ ss 1. Tấl cả các số đêu cỏ Ihế lấy gầrt đủng ▼gri mọi độ ch ín h xáé m o n g m uốn bằng mội phân 8Ổ thập p h án . Ch&Dg hạn 3 t: Găn đ ú n g cấp một X' X' Ĩ2
31 Găn đúng cắp hai 10 X V X** 314 Gần đúng iă p bn 3t r= 100 ÍOP,____ x ’‘ = Vx5»* và cứ Ihế tiếp lục. Tá chửrig m in h rằng ta tiến đ ế n m ộ t giởi h ạn hoàn toàn xác định bằng x ^ . Đạo hàm của o:° theo X l à : Người la ch ứ n g minh và chúng la sẽ thừa nhận rẳng công thức trèn cỏ hiệu lực với mọi n nguyền h a ự k h ô n g , dươĩìỊỊ haịi ám. Trên h ìn h 1.5 là dáng điệu của y = * “ đối vóri các giá trỊ khác n h a u của n. ờ điềm .T = 1. y = 1 , độ dốc củ« tiếp tuyến bSng n. 1.9. H*in mtt. Cho a là m ộl sổ dircrng khác ỉ, hàm y =
và, theo công thửc Maclaurin : Chủng ta hãy tim xem có một giá trị đặc biệt nào của a, m à ch ủ n g la sẽ gọi là đê cho c » 1: ..n lĩ 21 ' 31 ■■■ nỉ Khi X 1: e 2 .7 1 8 2 8 II 21 ■ 31 n! N hư vậy hám e ' hoán toàn giống các đạo hòm kẽ itểp của n ó : d (r * ) _ fi*(e*) _ d^{e^) _ (ix rfx* t/x* Bôi k h i người fa cũng viếl : = exp(x) Mộl bẳng các giá trị bẵng so ciỉa cho ớ ỉrang 7. Nếu thay X b ẳ n g C x Irong chuỗi Maclaurin đối vời ('*, ta Ihăy rằ n g ; Qi pCx (sau nàỵ ta sẽ thKy rần 1, rt* là một hàm tăng của a: Tà c > 0. Hàm này tăng n h an h h ơ n b:'it kỷ lũy thừa hữii hạn nào của .T, nghĩa là nếu M và /í là hai số cho trước lớn tùv V nhưng cố địn h , la luồn luôn cỏ thè tìm đượ c m ộ t giá trị của X m à ngoài giá trị đ ó : a* > Mx" Chún,' ta sẽ Ihừa nhận kết quả này. T ưưng tự nliư vậy. nếu a < 1, a* sẽ giảm nhanh hơn bấl kỳ IŨJ' thừa hữ u hạn Tồ âm nào của X. Hàm e* tảng từ 0 đến o» khi X thay đôi từ — o« đến + oo. Vởỉ ÍC = 0, hám cú giá trị bằng 1 và đạo hàm cũng bẳng 1 (hình ỉ . 6). 1.10. Hàm lồ |« . Đỏ là hàm ngirợc cùa hàm mũ. Cho: «/ = «* X là lôga của y với cơ số a. Ta viết X = log, y. T rong thực tế người ta chỉ dùng hai hệ lôga: — hệ có cơ số 10, gọi là ỉôga thập phân, hay Iôíja thường (lo g ): r /ữ y y — hệ cỏ cơ sổ e ^ 2,718..., gọi là Hình 1.6 - Hàm mũ lôga fự nhiền h a ỵ ỉôgarit népe (Log hay In). 14
Ta có thê v i ế l : X Đặc biệt, khi X = 10, log.t’ = 1, và 10 = = g2.30ĩ6,„ ỊQlogx _ p0*3026.log* _ gLOgi L o g x = 2,3026 ... log*. Bặc biệt, khi a: = e : Logí> — 1 = 2,3026 ... ìoge logc = — - 1 - — - 0,43429... 2,3026... - loga: = 0 4.')429 . Logx Bẳng m ột cách tư ơ n g tự người ta ch ử n g minh l i n g Logo Tắt cả các hệ lôgá cliỉ khảc nhau mí>t thừa sò khống đối. Dù cơ s6 đ ư ợ c d ù n g là n h ư thế nào, k h iia nhăn hai số, lôyn của chủng dược cộng lại. K hi ỉa chia chúng chn nhau, lô(ja của chúng trừ nhau. Theo đỊnh n g h ĩ a : II = V= w . ỉ; = «>•8.'“») Hoặc theo quy (ắc n h ản cảc lũy I h ử a : u .v = log.(u . V) = tog.ỉ/ + log.p Ngưửi ta đã ch ử n g m inh : log, Ị = log. u — loíỉ, o 1.11. Đạo h*ni c ù a h*m Idga. Cho X » e^. Ta dã thỉíy r&ng đạo hàm của hàm mũ nảy chinh là n ó : dx di.I Nếu fa xem 1/ n h ư lả hàm của X, la v iít i/ = Log.r. Lộn ngược tỷ số nói trên : dx lõ
Đổi TỚỈ lổga c a số
Thước (Inh là dựng cụ khỏiig thề thiếu đưọfc đối với những ai thường cần phẳi tiến hành cảc tỉnh toán bẳng số. 'lìến h àn h thận trọne và nếu con chạy tốt (vạch đúng là vuông góc vrVi các thang, không có sai sổ vè thị sai), ta đạt được độ chính xảc ]/I 000 với một th ư ớ c tinh liôii ch u ần ,(g iữ a 1 và 10 của Ihang N là 25 cm). T rư ớ c hểt, chung la hãy LỊÌà tliiếl rẳng ta chí rần làm việc vởi những sổ nẳm ị.ỊÌữa 1 và 10. T rên (hang lôga, độ dài k(' từ í^ốc tỉ lệ với log N. Nếu Irên thanh di động của thước tin h , la lập lại m ộl thang logiV giống hệt, ta sẽ có thê cộng hai lôga vởi nhau b ẳng cách đ ặt chúng tiếp liồn nhau. Ta làm cần thận cổng việc này, n h ư n g ía sẽ chĩ xem đến các số liiơiig ứiv; đ ư ự c nhân vởi nhau. T rên bờ d ư ớ i của th an h di đụng thang N qiiả thực được lập lại. Đề linh một lích a X b, ta đ ặ t 1 của thang di động đối diện với a của Ihang N và đọc a X h ở chỗ đối diện với h của Ihanh di động. Ta có Ih ề đ ò n g thời làni p h rp nhàn và phép chia (nghĩa là qui lẵc lam suất) ^ ^ ^ bẳng cách đặl c của thanh di đòng đoi diện VỚJ a của thang cò' đ ịn h N. 1 c của th an h di động k h i ấy n ằ m đổi điệ'ii với — . Ta đọc — ■■■ Ircii Ihang cố định c c ĩr chỗ đổỉ diện vởi b của thanh di độn x ế u đánh dấu đièm này bằiig con chạy, ta có thề linh ^ ^ X — bằng (.'ácìi líii cho thanh di động dịch rliuvrn và cứ như c e lliế tiếp lục. Nếu m ẫu sổ cỏ số th ừ a sổ bằng số Ihửa số của fử só. dùnịỊ Ihaiig số nghịch đảo — , n?m ờ g iữ a thanh di động, ta sẽ kết thúc đirực tính toán. Khi điem cần lìm nằm bèn ngoài Ihước cố định, la cho thanh di động chuyền dịch tiếp suốt cả độ dài của nó. Khi đó tất cả các sổ cần phải nhân lèn hay chia cho 10. T rong trư ờ n g hợp tồng quát, khi các sổ khóng nẳm giữa 1 vA 10, lacliuyỄn chủng sang trường h ợ p này. Thí dụ la tinh; 0,6 . 10-^ . 8,:32 . 10^ . 273 Í3. 10'^ . 8.32. 10^ . 2,73 . 1Q2 29.1032 2 .9 .1 0 .1 ,0 3 2 .1 0 3 _ 1 -8 ,3 2 .2 J 3 _ 4 55 ỊO = 4 5 ,5 2 ,9.1,032 Đề biết kết q u ả thu đ ư ọ c là 0,4.');") hay 4,55 hay 45,5, cách đơn giản n h ấ t là tinh n h ằm vè bỆic độ lớ n : 6 . 8,32 = khoảng 50 ^ = khoảng 1 N hư vậy số cần tìm vào quãng 50.
ỏ ’ ph ần Irên cùa th ư ớ c có hai thaag binh phương, mội thang di động, còn một thqng đứniỊ yên. N hư vậy dùng con chạy la cỏ thề tim binh phirơng, càii bậc hai và đưa chúng vào trong các phẻp tinh v.v... Nhờ một vạch phụ cùa COỈI chạy, ta có thê đọc trực tiếp diện tich của một vòng tròn, có đ ư òng kíiih cho trư ớ c, hay ngược lại. Các thưởc lính « Log—Log » còn có Ihêm hai hay ba Ihang đánh dấu L L l, LL2, LL3. Ký hiệu này (kết quả cửa một qui ư ớ c quốc lế) là mội điều vô lý, bởi vi các thang vừa nói thực ra lư ơ n g ứng vói Các Ihang này cho phép l a : 1) Tinh trực liếp một hàm m ũ hay một lôga íự nhiên ; 2) T inh mộl lũy th ừ a bất kỳ rt" mà chỉ cun dịcli thanh di động mộl lăn. Ta đặt 1 của thanh di động đỗi diện vứi a đ()c trên một trong các thang L L . Số cììn tim a" nằm đối diện vởi n của thanh di động Irên cùng Ihang LL. 1.13. Cáe tọa độ lAga T* b án lAga. Giả sử la can bíeii diễn bằng đò thị liàn lfiy thừa y = ax” Ta hãy đặl Irên trục hoành và trục tung không phải a’ vá ỊJ, nià là log ,r và \o(jụ: ỈO H Ị = l o g n - |- /ỉlo g a r . Với các tọa độ lò ;a như vậy, đường biêu diễn Irử thìinh mộl đường Ibẳn g. Ngirời tà cỏ bán yiăy kẻ ô ìôga, Irên đỏ X và f/ đirọc đặl ờ các khoảng cách kề t ừ gốc theo thử lự, lirơng ửng ti lộ với lo g x và iogy. N hư vậy (a có IhỄ đư a các điêm thực nghiệm lôn đồ thị m à khổng cần lìin lôga của chúng. Do s ự không chính xác của các phép đo, các đ iêm không bao già nằm đúng trên đirửng toỊig lý IhiiyỀÌ, và ta phải làm thế nào đê lập m ộl đ ư ờ n g cong khớp nhất với các đièm thực nghiệm. RS ràng là làm khớp một đ ư ờ n g Ihẳng thi dễ dàng hơn nhiẾu so v(Vi việc làm khớp mộỉ đườn-,' cong lũy th ừ a (chủng la sẽ nghiên cửu vấi) đề này trong chương IV). Cuối cùng, nểu biết X, đề tim y, la chl càn đọc giá trị trên đồ thị m à khỏng cần chuyên qua các lồga. ..............ì à m ìĩil địi '(hliih' ĩ cKuiĩg ìã'R ãỹ 'x tT đ ũ tmg cõĩig' b ĩrũ 'đìễh' mỢf ỉ hộ 8Ố m a sál » nào đỏ trong mộl ổng tiếl diện tròn với các (hành trơ n xem n h ư irộ l hàm của csổ Reynolds » Re nồo đó (§7.10). Tưưng ứng với hai định lu ật có hiệu lực kế tiếp nhau Ằ = a.He~^ và X = b.Re~°'^^ là hai đường thẳng cỏ đ ộ dốc — 1 và - ơ , 2 5 Đ i b i ê ụ diễn bằng đồ thị một hàm m ũ, thí dụ : y = y , . 6-*^* 18
ầ đặt X trén trục hoành và ỉogy lièn Irục tung đề thu được một đường thẳng. logy = lo^ị/^ /.•.0,434:K x ^--------ị- -M-- tr11**-T-tn Trrmt** ^ fTT^ t -T-v -------------- í — T r ĨỊr ỉí:r :n ị# |p |Ìĩ|ÌS ||Ẹ M ;:;Ị::^ ^ _ _J_ - - Ạ. . I L I I I -udlLilI im Iiiilĩii .■;l1IÌ!111ì iII, . ỉỉ 1.r 1 ,L — , / , ư 2 ,5 J J .5 ^ ^ .s s s 7 õ s f 1 .5 2 \w^ mW^ '>Ĩ0* mỉO^ Iltnh 1.9 Nhờ sử dựngíyiđy kè ò bàii ỉòiịO, viỳr Ihục hiện các phép lính kliâc nhau đã [hảo sát trên đây sẽ dễ dàng hơn. Đv' làm Ihi dụ (hinh i.lO) la hãy xét đường ong phân rã của mộl chấl phóng xạ (§33.3): m = /ỈỈQ. V - X t ữ ỉ ĩ 3 4 5 s r d $ 10 lĩ ít lì H ts te Hinh MO 19
1 .1 4 . V i p h A n lAga. Đạo hàm của Log u theo X là : d(Log u) dx u Vi phán của Log u lả : d(Logu) = u Đặc bíệ(, nếu u e= ỉ : d(Log u) = Log(l + du) — Log 1 » Log(l + du) N hư vậy ta c ó : Log(l + du) = du Cho m ột đại lượng e đủ bé đối với 1 đê cho 8^, v.v... có thề bô qua. Ta c Ihê xem nổ n h ư một VI phán (ỉu và v i ế t : In (1 4- e) ^ (dấu ===•' có nghĩa qằn bầny) Bây giờ chủng la x é t: log = a Log.l + pLogíí - ỴLogC — ôLogD Vi phán là; _ dA , „ (ÌB dC . (ÌD - " - /ị = « — + p — - 1— .1 li c D Ta gọi nó là vi phán lôgacủa Ả*B*iC^D^. Vi phân r ấ l có ích Irong việc íhực hiệ các tinh toán gàii đúng. Giả sử A^B^/C^D^ đã đưực lính và có giá trị F. Ta lại gi thiết rằng A Ihay đôi một lượng AA, B lượng A/í, v.v... Nếu A a t)é so với .1, Ai bé so với la có thề viết: AF ' AA „ AC’ , AD a -T Ị:- + p _ Y --------- ô F A B C D Hệ thức này cho phép ta tinh giá trị mới F + A F nhanh h ơ n nếu th ự c hiện cá' phép tinh vỏri (A + A.4)“ . (tì + Aií)P/(C’ + AC)1^. (D + AD^*- B Ằ i.:rẬ p M - Công thức cùa cảc thẵu kính mỏng trong găn đúĩìg Gauss viết dư ới d ạ ng : p ^ p' " f (lăy chiỄu của tia sáng là chièu dương và l ă y thẫu kính lả m gốc) Chửng minh r l n g p' Jà IDỘI hàm nhăt biẽn của p- Vẽ d ư ờ n g cong biều diễn. Viễt ỉn thửc giữa p và p' dưới dạng i p - à) ip* — 5) = c (a, b, c lừ cảc hằng số). 20