Gi¶i bµi kú tr−íc
Bµi 1. a) Gi¶i ph−¬ng tr×nh x4=3x2+10x+4
b) x3=6x2+1
Gi¶i
a) ViÕt l¹i ph−¬ng tr×nh ®· cho d−íi d¹ng:
α
αα
αα α
++=++++
⇔+=+ + ++
4222 2
22 2 2
231042
()(32)104
xx xx x
xxx
α
2
Chän α ®Ó vÕ ph¶i lµ mét h»ng ®¼ng thøc, tøc lµ
αα
ααα
∆= − + + =
⇔++−=
2
32
'25(32)(4 )0
238130
ThÊy α =1 tho¶ m·n ( Chó ý chØ cÇn chän mét nghiÖm α )
VËy ta cã:
+= + +
⇔+= +
+= +
⇔+=− +
22 2
22
2
2
(1)5105
(1)[5(1)]
15(1)
15(1)
xxx
xx
xx
xx
2
§©y lµ hai ph−¬ng tr×nh bËc hai , tõ ®ã gi¶i ®−îc nghiÖm
++
=
−+
=
5145
2
5145
2
x
x
b) x3=6x2+1⇔ x3-6x2-1=0 (xem d¹ng 6- ph−¬ng tr×nh bËc 3)
§Æt −
=− =− =+
62
33
a
xy y y
Khi ®ã ph−¬ng tr×nh ®· cho t−¬ng ®−¬ng víi ph−¬ng tr×nh sau:
+−+−=
⇔−=
⇔=
32
3
3
(2)6(2)1
15 0
15
yy
y
y
0
Tõ ®ã nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh lµ =+
3
21x5
Bµi 2. Gi¶i ph−¬ng tr×nh a(ax2+bx+c)2+b(ax2+bx+c)+c=x
§Æt ++=
2
ax bx c y
Ta cã hÖ ph−¬ng tr×nh sau:
+
+=
+
+=
2
2
ax bx c y
ay by c x
§©y lµ hÖ ph−¬ng tr×nh ®èi xøng lo¹i I ®· biÕt c¸ch gi¶i.
Chó ý: Tæng qu¸t h¬n khi gÆp ph−¬ng tr×nh d¹ng:f(f(x)=x, trong ®ã f(x) lµ mét
hµm sè nµo ®ã th× ®Æt f(x)=y, ta sÏ cã hÖ ®èi xøng lo¹i I:
=
=
()
()
f
xy
f
yx
Bµi 3. (§H Ngo¹i th−¬ng-2000).
Gi¶i ph−¬ng tr×nh (x2+3x-4)2+3(x2+3x-4)=x+4
ViÕt l¹i ph−¬ng tr×nh d−íi d¹ng:
(x2+3x-4)2+3(x2+3x-4)-4=x
§©y lµ d¹ng cô thÓ cña bµi 2. §Æt x2+3x-4=y, ta cã hÖ:
+−=
+−=
2
2
34
34
x
xy
y
yx
Tõ hai ph−¬ng tr×nh cho nhau, gi¶i ra ta ®−îc ==−=−±0; 4; 1 5xx x
Bµi 4.Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh
a)
3
3
22
22
xy
yx
=−
=−
b)
3
3
33
33
x
y
yx
=−
=−
c)
0
3
4
1
8
xyz
xy yz zx
xyz
++=
++=−
=
Gi¶i
a)
3
3
22(1
22(2
xy
yx
=−
=−
)
)
0
§©y lµ ph−¬ng tr×nh ®èi xøng lo¹i II. Trõ hai ph−¬ng tr×nh cho nhau ta ®−îc
33
22
2( )
()( 2)
xy yx
xyx xyy
xy
−= −
⇔− +++=
⇔=
Thay x=y vµo (1) ta ®−îc:
33
2( 1) 2 2xx xx=−⇔−=−
ë ®©y p=2, q=-2.
§Æt 2
2.2..
33
p
x
t==t, khi ®ã ta ®−îc ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng:
3
3
3
3
22
(2 . ) 2.2 . 2
33
22 2
8. . 4. 2
33 3
22
8. 6 3
33
33
43 22
tt
tt
tt
tt
−=−
⇔−
⇔−=−
⇔−=−
=−
§Æt 33 1
22
m=− ⇒ >m nªn ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt
33
22
33
22
33
22
33
33
1(1 1)
2
221
2. 2. . ( 1 1)
332
2.( 1 1)
3
23327 3327
11
38 8
22 22
23319 3319
322 22
tmm mm
xt mm mm
xmmmm
=+−+−−
⇒= = + −+ − −
⇔= + −+ − −

−−

=+−+−−



−+ −−

=+


VËy nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh ®· cho lµ:
33
33
23319 3319
322 22
23319 3319
322 22
x
y

−+ −−

=+



−+ −−

=+


b) Gi¶i t−¬ng tù nh− a).
c)
0
3
4
1
8
xyz
xy yz zx
xyz
++=
++=−
=
¸p dông c«ng thøc Viet cho ph−¬ng tr×nh bËc ba, khi ®ã x,y,z lµ nghiÖm cña ph−¬ng
tr×nh bËc ba sau ®©y:
3
3
31
0
48
1
43
2
tt
tt
−−=
⇔−=
V× 1cos
23
= nªn nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh lµ (xem ph−¬ng ph¸p gi¶i)
2
3
cos ; cos
93
π
tt
π
±
==
Tãm l¹i ph−¬ng tr×nh cã ba nghiÖm lµ:
12 3
75
cos ; cos ; cos
99
tt t
9
π
ππ
== =
Tõ ®ã nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh lµ: 75
(cos ;cos ;cos )
99 9
π
ππ
cïng c¸c ho¸n vÞ cña bé
ba sè nµy.
Bµi 5. Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh
a) 31
4x -3x= 2
b) 31
43
4
xx+=
c)x4=4x+1
Gi¶i
a),b) Xem c¸ch gi¶i trong phÇn ph−¬ng tr×nh bËc ba.
c)ViÕt l¹i ph−¬ng tr×nh ®· cho d−íi d¹ng:
422 2
2241xx xx 2
α
αα
++=+++
α
Chän α ®Ó vÕ ph¶i lµ h»ng ®¼ng thøc tøc lµ :
2
'42(1 )0
αα
∆= − + =
NhËn thÊy α =1 tho¶ m·n.
ViÕt l¹i ph−¬ng tr×nh d−íi d¹ng:
42 2
22 2
2
2
2124
(1)[2(1)
12(1)
12(1)
xx xx
xx
xx
xx
++=++
⇔+= +
+= +
⇔+=− +
2
]
§©y lµ c¸c ph−¬ng tr×nh bËc hai nªn cã thÓ gi¶i dÔ dµng.
Bµi 7
DÊu cña tam thøc bËc hai
A. Tãm t¾t lý thuyÕt
Chó ý ban ®Çu: Tr−íc khi xÐt mét tam thøc khi hÖ sè a chøa tham sè, cÇn xÐt
riªng tr−êng hîp a=0. ChØ khi a ≠ 0 c¸c ®iÒu sau ®©y míi ®−îc thùc hiÖn.
1.§Þnh lý thuËn vÒ dÊu cña tam thøc bËc hai
Cho tam thøc f(x)=ax2+bx+c; trong ®ã a ≠ 0.
+) NÕu ∆ <0 th× a.f(x)>0 ; ∀ x ∈ R, tøc lµ f(x) lu«n cïng dÊu víi hÖ sè a.
+)NÕu ∆ =0 th× a.f(x) ≥ 0 ∀ x ∈ R, f(x) =0 ⇔ 2
b
xa
=− , tøc lµ f(x) lu«n cïng dÊu víi
hÖ sè a víi mäi 2
b
xa
≠−
+) NÕu ∆ >0 th× f(x) =0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1,x2 ( gi¶ sö x1<x2) vµ
*) af(x)<0 ∀ x ∈ (x1;x2)
*) a.f(x)>0 ∀ x ∈ (-∞;x1) ∪(x2;+∞ ). Tøc lµ trong kho¶ng hai nghiÖm th× f(x) tr¸i dÊu
víi hÖ sè a, ngoµi kho¶ng hai nghiÖm th× f(x) cïng dÊu víi hÖ sè a.
2. §Þnh lý ®¶o vÒ dÊu cña tam thøc bËc hai
2.1 §Þnh lý
Cho tam thøc bËc hai f(x) =ax2+bx+c. NÕu cã mét sè α sao cho a.f(α ) <0 th×
f(x) cã hai nghiÖm x1,x2 vµ x1< α <x2, tøc lµ α n»m gi÷a hai nghiÖm cña f(x).
2.2. So s¸nh nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh bËc hai víi mét sè cho tr−íc.
Cho ph−¬ng tr×nh bËc hai f(x) =ax2+bx+c=0 ( a ≠ 0) cã hai nghiÖm x1,x2 vµ mét
sè α . Khi ®ã
+) 12
.() 0xxaf
α
α
<< ⇔ <
+)
α
α
α
∆>
⇔>

<<
−
>
12
12
0
ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x , .() 0
0
2
xaf
vµ x x S
+)
α
α
α
∆>
⇔>

<<
−
<
12
12
0
ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x , .() 0
0
2
xaf
vµ x x S
+)
αα
α
∆>
∈−∞ ∪ +∞⇔ ∉ ⇔
>
12 12
0
(;)(;) [;] .() 0
xx xx af
2.3 So s¸nh nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh bËc hai víi hai sè cho tr−íc.
Cho ph−¬ng tr×nh f(x) =ax2+bx+c=0 ( a ≠ 0) cã hai nghiÖm x1,x2 vµ hai sè α , β
(gi¶ sö α < β ). Khi ®ã
+)
α
αβ β
<<< ⇔
<
12
a.f( )<0
( tøc lµ c¶ hai sè ®Òu n»m trong kho¶ng hai nghiÖm) .( ) 0
xx af
(Chó ý r»ng khi ®ã ph−¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm, kh«ng cÇn ®iÒu kiÖn ∆ ≥ 0)
+)
α
βαβ
⇔<Ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt vµ chØ cã mét n
g
hiÖm thuéc ( ; ) ( ). ( ) 0ff
+)
α
αβ β
α
β
∆≥
<≤< ⇔ >
−>
−<
12
0
a.f( )>0
(tøc lµ c¶ hai nghiÖm ®Òu n»m trong kho¶n
g
hai sè) a.f( ) 0
0
2
0
2
xx
S
S
B. Ph−¬ng ph¸p gi¶i vµ vÝ dô minh ho¹
D¹ng 1: XÐt dÊu mét biÓu thøc vµ ¸p dông ®Ó gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh h÷u tØ.
a) XÐt dÊu mét biÓu thøc E.
+) ViÕt E d−íi d¹ng tÝch cña c¸c nh©n tö lµ tam thøc bËc hai vµ nhÞ thøc bËc nhÊt.
+)LËp b¶ng xÐt dÊu.
b)Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh h÷u tØ.
+) ChuyÓn tÊt c¶ c¸c h¹ng tö sang mét vÕ
+)Rót gän biÓu thøc cã ®−îc
+) XÐt dÊu biÓu thøc ®ã
+)Dùa vµo b¶ng xÐt dÊu ®Ó chän miÒn nghiÖm