Chuyên đề dấu của tam thức bậc hai

Chia sẻ: Trần Bá Trung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:12

1
1.345
lượt xem
311
download

Chuyên đề dấu của tam thức bậc hai

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu chuyên đề dấu của tam thức bậc hai nhằm giúp cho các em học sinh đã học xong chương trình THPT tự học để có thể tự ôn luyện vào các trường đại học theo nguyện vọng của mình

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề dấu của tam thức bậc hai

  1. Gi¶i bµi kú tr−íc Bµi 1. a) Gi¶i ph−¬ng tr×nh x4=3x2+10x+4 b) x3=6x2+1 Gi¶i a) ViÕt l¹i ph−¬ng tr×nh ®· cho d−íi d¹ng: x 4 + 2α x 2 + α 2 = 3x 2 + 10 x + 4 + 2α x 2 + α 2 ⇔ ( x 2 + α )2 = (3 + 2α ) x 2 + 10 x + 4 + α 2 Chän α ®Ó vÕ ph¶i lµ mét h»ng ®¼ng thøc, tøc lµ ∆ ' = 25 − (3 + 2α )(4 + α 2 ) = 0 ⇔ 2α 3 + 3α 2 + 8α − 13 = 0 ThÊy α =1 tho¶ m·n ( Chó ý chØ cÇn chän mét nghiÖm α ) VËy ta cã: ( x 2 + 1)2 = 5 x 2 + 10 x + 5 ⇔ ( x 2 + 1)2 = [ 5( x + 1)]2  x 2 + 1 = 5( x + 1) ⇔  x 2 + 1 = − 5( x + 1)  §©y lµ hai ph−¬ng tr×nh bËc hai , tõ ®ã gi¶i ®−îc nghiÖm  5 + 1+ 4 5 x =  2  x = 5 − 1 + 4 5   2 b) x3=6x2+1⇔ x3-6x2-1=0 (xem d¹ng 6- ph−¬ng tr×nh bËc 3) a −6 §Æt x = y − = y − = y+2 3 3 Khi ®ã ph−¬ng tr×nh ®· cho t−¬ng ®−¬ng víi ph−¬ng tr×nh sau: ( y + 2)3 − 6( y + 2)2 − 1 = 0 ⇔ y 3 − 15 = 0 ⇔ y = 3 15 Tõ ®ã nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh lµ x = 2 + 3 15 Bµi 2. Gi¶i ph−¬ng tr×nh a(ax2+bx+c)2+b(ax2+bx+c)+c=x §Æt ax 2 + bx + c = y Ta cã hÖ ph−¬ng tr×nh sau:  ax 2 + bx + c = y   2  ay + by + c = x  §©y lµ hÖ ph−¬ng tr×nh ®èi xøng lo¹i I ®· biÕt c¸ch gi¶i. Chó ý: Tæng qu¸t h¬n khi gÆp ph−¬ng tr×nh d¹ng:f(f(x)=x, trong ®ã f(x) lµ mét hµm sè nµo ®ã th× ®Æt f(x)=y, ta sÏ cã hÖ ®èi xøng lo¹i I:  f (x) = y   f ( y) = x Bµi 3. (§H Ngo¹i th−¬ng-2000). Gi¶i ph−¬ng tr×nh (x2+3x-4)2+3(x2+3x-4)=x+4 ViÕt l¹i ph−¬ng tr×nh d−íi d¹ng:
  2. (x2+3x-4)2+3(x2+3x-4)-4=x §©y lµ d¹ng cô thÓ cña bµi 2. §Æt x2+3x-4=y, ta cã hÖ:  x 2 + 3x − 4 = y   2  y + 3y − 4 = x  Tõ hai ph−¬ng tr×nh cho nhau, gi¶i ra ta ®−îc x = 0; x = −4; x = −1 ± 5 Bµi 4.Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh  x3 = 2 y − 2 a)  3   y = 2x − 2   x3 = 3 y − 3 b)  3   y = 3x − 3   x + y + z = 0  c)  xy + yz + zx = − 3   4  1  xyz = 8  Gi¶i  x = 2 y − 2 (1) 3 a)  3   y = 2 x − 2 (2)  §©y lµ ph−¬ng tr×nh ®èi xøng lo¹i II. Trõ hai ph−¬ng tr×nh cho nhau ta ®−îc x 3 − y 3 = 2( y − x ) ⇔ ( x − y )( x 2 + xy + y 2 + 2) = 0 ⇔x= y Thay x=y vµo (1) ta ®−îc: x 3 = 2( x − 1) ⇔ x 3 − 2 x = −2 ë ®©y p=2, q=-2. p 2 §Æt x = 2 .t = 2. .t , khi ®ã ta ®−îc ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng: 3 3 2 2 (2 .t )3 − 2.2 .t = −2 3 3 2 2 2 ⇔ 8. . t 3 − 4. t = −2 3 3 3 2 3 2 ⇔ 8. t − 6 t = −3 3 3 3 3 ⇔ 4t 3 − 3t = − 2 2
  3. 3 3 §Æt m = − ⇒ m > 1 nªn ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt 2 2 1 3 t= ( m + m2 − 1 + 3 m − m2 − 1 ) 2 2 2 1 ⇒ x = 2. t = 2. . ( 3 m + m 2 − 1 + 3 m − m 2 − 1 ) 3 3 2 2 3 ⇔x= .( m + m 2 − 1 + 3 m − m 2 − 1 ) 3 2  3 −3 3 27 −3 3 27  =  + −1 + 3 − −1  3 2 2 8 2 2 8    2  3 −3 3 + 19 3 −3 3 − 19  =  +  3 2 2 2 2    VËy nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh ®· cho lµ:  2  3 −3 3 + 19 3 −3 3 − 19  x =  +   3 2 2 2 2       2  3 −3 3 + 19 3 −3 3 − 19   y=  +   3 2 2 2 2     b) Gi¶i t−¬ng tù nh− a).  x + y + z = 0  c)  xy + yz + zx = − 3   4  1  xyz = 8  ¸p dông c«ng thøc Viet cho ph−¬ng tr×nh bËc ba, khi ®ã x,y,z lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh bËc ba sau ®©y: 3 1 t3 − t − = 0 4 8 1 ⇔ 4t 3 − 3t = 2 1 π V× = cos nªn nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh lµ (xem ph−¬ng ph¸p gi¶i) 2 3 π ± 2π π t = cos ; t = cos 3 9 3 Tãm l¹i ph−¬ng tr×nh cã ba nghiÖm lµ: π 7π 5π t1 = cos ; t2 = cos ; t3 = cos 9 9 9
  4. π 7π 5π Tõ ®ã nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh lµ: (cos ;cos ;cos ) cïng c¸c ho¸n vÞ cña bé 9 9 9 ba sè nµy. Bµi 5. Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh 1 a) 4x 3 -3x= 2 1 b) 4 x 3 + 3x = 4 c)x4=4x+1 Gi¶i a),b) Xem c¸ch gi¶i trong phÇn ph−¬ng tr×nh bËc ba. c)ViÕt l¹i ph−¬ng tr×nh ®· cho d−íi d¹ng: x 4 + 2α x 2 + α 2 = 2α x 2 + 4 x + 1 + α 2 Chän α ®Ó vÕ ph¶i lµ h»ng ®¼ng thøc tøc lµ : ∆ ' = 4 − 2α (1 + α 2 ) = 0 NhËn thÊy α =1 tho¶ m·n. ViÕt l¹i ph−¬ng tr×nh d−íi d¹ng: x4 + 2 x2 + 1 = 2 x2 + 4 x + 2 ⇔ ( x 2 + 1) 2 = [ 2( x + 1) 2 ]  x 2 + 1 = 2( x + 1) ⇔  x + 1 = − 2( x + 1) 2  §©y lµ c¸c ph−¬ng tr×nh bËc hai nªn cã thÓ gi¶i dÔ dµng. Bµi 7 DÊu cña tam thøc bËc hai A. Tãm t¾t lý thuyÕt Chó ý ban ®Çu: Tr−íc khi xÐt mét tam thøc khi hÖ sè a chøa tham sè, cÇn xÐt riªng tr−êng hîp a=0. ChØ khi a ≠ 0 c¸c ®iÒu sau ®©y míi ®−îc thùc hiÖn. 1.§Þnh lý thuËn vÒ dÊu cña tam thøc bËc hai Cho tam thøc f(x)=ax2+bx+c; trong ®ã a ≠ 0. +) NÕu ∆ 0 ; ∀ x ∈ R, tøc lµ f(x) lu«n cïng dÊu víi hÖ sè a. b +)NÕu ∆ =0 th× a.f(x) ≥ 0 ∀ x ∈ R, f(x) =0 ⇔ x = − , tøc lµ f(x) lu«n cïng dÊu víi 2a b hÖ sè a víi mäi x ≠ − 2a +) NÕu ∆ >0 th× f(x) =0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1,x2 ( gi¶ sö x1
  5. 2.2. So s¸nh nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh bËc hai víi mét sè cho tr−íc. Cho ph−¬ng tr×nh bËc hai f(x) =ax2+bx+c=0 ( a ≠ 0) cã hai nghiÖm x1,x2 vµ mét sè α . Khi ®ã +) x1 < α < x2 ⇔ a. f (α ) < 0  ∆ > 0 ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 , x 2   +)  ⇔  a. f (α ) > 0 vµ α < x1 < x 2  S  −α > 0 2  ∆ > 0 ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 , x 2   +)  ⇔  a. f (α ) > 0 vµ x1 < x 2 < α  S  −α < 0 2 ∆ > 0 +) α ∈ (−∞; x1 ) ∪ ( x 2 ; +∞) ⇔ α ∉ [ x1 ; x2 ] ⇔   a. f (α ) > 0 2.3 So s¸nh nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh bËc hai víi hai sè cho tr−íc. Cho ph−¬ng tr×nh f(x) =ax2+bx+c=0 ( a ≠ 0) cã hai nghiÖm x1,x2 vµ hai sè α , β (gi¶ sö α < β ). Khi ®ã a.f(α )0 +) α < x1 ≤ x2 < β (tøc lµ c¶ hai nghiÖm ®Òu n»m trong kho¶ng hai sè) ⇔ a.f(β ) > 0  S  −α > 0 2 S  −β
  6. VÝ dô 1. XÐt dÊu biÓu thøc sau: 1 7 E = ( x 2 − 2 x − )2 − (2 x − ) 2 2 2 Gi¶i ¸p dông h»ng ®¼ng thøc, viÕt l¹i E d−íi d¹ng: 1 7 1 7 E = [x2 − 2 x − + (2 x − )].[ x 2 − 2 x − − (2 x − )] 2 2 2 2 = ( x − 4)( x − 4 x + 3) 2 2 +) x2-4=0 cã hai nghiÖm lµ -2,+2. +)x2-4x+3=0 cã hai nghiÖm lµ: 1;3 ¸p dông quy t¾c xÐt dÊu ®èi víi tam thøc bËc hai ta cã b¶ng sau: x -∞ -2 1 2 3 +∞ 2 x -4 + 0 - - 0 + + 2 x – 4x +3 + + 0 - - 0 + E + 0 - 0 + 0 - 0 + VÝ dô 2. Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh: x + 5 2x − 1 + >2 2x − 1 x + 5 Gi¶i x + 5 2x −1 + >2 2x − 1 x + 5 x + 5 2x −1 ⇔ + −2>0 2x −1 x + 5 x 2 − 12 x + 36 ⇔ >0 (2 x − 1)( x + 5) Tõ ®ã ta cã b¶ng xÐt dÊu sau: x -∞ -5 1/2 6 +∞ 2 x – 12x + 36 + + + 0 + (2x-1)(x+5) + 0 - 0 + + f(x) + - + 0 + Dùa vµo b¶ng xÐt dÊu ta cã nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh lµ: 1 x6 2 Chó ý: NÕu ®Ò to¸n lµ: x + 5 2x − 1 + ≥2 2x − 1 x + 5 1 th× nghiÖm cña bµi to¸n lµ: x 2 D¹ng 2. Gi¶i vµ biÖn luËn bÊt ph−¬ng tr×nh bËc hai. f(x)=ax2+bx+c>0 ( hay
  7. *) XÐt riªng tr−êng hîp hÖ sè a=0. *) Khi a ≠ 0 +) LËp b¶ng xÐt dÊu cña a vµ biÖt thøc ∆ trªn cïng mét b¶ng.. +)¸p dông ®Ýnh lý vÒ dÊu cña tam thøc bËc hai ®Ó x¸c ®Þnh nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh VÝ dô 3. Gi¶i vµ biÖn luËn bÊt ph−¬ng tr×nh ( m − 1) x 2 − 4( m + 1) x + m + 1 ≤ 0 (1) Gi¶i Ta xÐt c¸c tr−êng hîp: 1 a) a=m-1=0 ⇔ m=1: Ta cã: (1) ⇔ -8x+2≤ 0 ⇔ x ≥ 4 b) m ≠ 1; Khi ®ã (1) lµ mét bÊt ph−¬ng tr×nh bËc hai: +) a=m-1=0 ⇔ m=1 5 +) ∆ '=(3m+5)(m+1)=0 ⇔ m = − ∨ m=-1 3 Ta cã b¶ng xÐt dÊu sau: m -∞ -5/3 -1 1 +∞ a - - - 0 + ∆’ + 0 - 0 + + Tõ b¶ng xÐt dÊu ta cã: 5 +) m < − hoÆc -11: Trong tr−êng hîp nµy a>0, ∆ '> vµ x1
  8. 5 +) − ≤ m ≤ −1 : x ∈ R 3 +) m > 1 : x1 ≤ x ≤ x2 2(m + 1) − (3m + 5)( m + 1) x1 = m −1 Trong ®ã : 2( m + 1) + (3m + 5)( m + 1) x2 = m −1 D¹ng 3. T×m ®iÒu kiÖn ®Ó tam thøc kh«ng ®æi dÊu trªn R. Cho tam thøc bËc hai f(x)=ax2+bx+c; a ≠ 0. Ta cã: a > 0 *) f ( x ) > 0∀x ∈ R ⇔  ∆ < 0 a > 0 *) f ( x ) ≥ 0∀x ∈ R ⇔  ∆ ≤ 0 a < 0 *) f ( x ) < 0∀x ∈ R ⇔  ∆ < 0 a ≤ 0 *) f ( x ) ≤ 0∀x ∈ R ⇔  ∆ < 0 *)Chó ý: NÕu hÖ sè a cã chøa tham sè th× ph¶i xÐt riªng tr−êng hîp a=0. VÝ dô 4. T×m m sao cho: a) f ( x ) = 2 x 2 − 2(m + 1) x + 2m + 1 > 0 ∀ ∈ R b) f ( x ) = (m − 1) x 2 − (m − 1) x + 1 − 2m ≤ 0 ∀x ∈ R Gi¶i a) Ta cã: a = 2 > 0 ⇒ f ( x ) > 0∀x ∈ R ⇔ ∆ ' = m 2 − 2 m − 1 < 0 ⇔1− 2 < m
  9. Gi¶i *) NÕu a=m=0, khi ®ã (1) ⇔ x+10 1 ⇔ ⇔m≥  ∆ =1-8m ≤ 0 8 VÝ dô 6. T×m m ®Ó: x2 + x + 4 ≤ 2 ∀x ∈ R x 2 − mx + 4 Gi¶i V× tam thøc x +x+4 cã ∆ =-150 ∀ x ∈ R 2 2 x2 + x + 4 ®Ó ≤ 2 ∀x ∈ R tho¶ m·n cho mäi x ∈ R tr−íc hÕt hµm ph¶i x¸c ®Þnh t¹i mäi x 2 − mx + 4 x ∈ R, suy ra x2-mx+4=0 ph¶i v« nghiÖm, tøc lµ ∆=m2-160 ∀ x ∈ R x2 + x + 4 x2 + x + 4 ≤ 2 ∀x ∈ R ⇔ 2 ≤ 2∀x ∈ R x 2 − mx + 4 x − mx + 4 Do ®ã ⇔ x 2 + x + 4 ≤ 2( x 2 − mx + 4); ∀x ∈ R ⇔ x 2 − (2m + 1) x + 4 ≥ 0; ∀x ∈ R ⇔ ∆ = (2m + 1) 2 − 16 ≤ 0 VËy ®iÒu kiÖn cña bµi to¸n lµ:  m 2 − 16 < 0  5 3  ⇔− ≤m≤ (2m + 1) − 16 ≤ 0  2 2 2 D¹ng 4.So s¸nh mét sè víi c¸c nghiÖm cña mét tam thøc bËc hai Cho tam thøc bËc hai f(x)=ax2+bx+c vµ mét sè α . cÇn so s¸nh α víi c¸c nghiÖm x1; x2 cña nã. ¸p dông ®Þnh lý ®¶o vÒ dÊu cña tam thøc bËc hai, ta thøc hiÖn c¸c b−íc sau: *)XÐt riªng tr−êng hîp a=0 *)Khi a ≠ 0:TÝnh a.f(α ) +)NÕu a.f(α )0), khi ®ã α n»m gi÷a hai nghiÖm: x1
  10. §Ó biÕt râ α n»m vÒ bªn nµo cña nghiÖm ®ã ta so s¸nh α víi nöa tæng cña hai nghiÖm S b tøc lµ so s¸nh víi =− 2 2a S NÕu − α > 0 : α < x1 ≤ x2 2 S NÕu − α < 0 : x1 ≤ x2 < α 2 *Cô thÓ h¬n xem phÇn A, môc 2.2 VÝ dô 7. T×m m ®Ó c¸c ph−¬ng tr×nh sau ®©y cã hai nghiÖm x1;x2 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®−îc nªu: a)mx2+(m-1)x+3-4m=0 víi x1 3  VÝ dô 8. BiÖn luËn theo m vÞ trÝ cña sè 1 ®èi víi c¸c nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh: f ( x ) = ( m + 1) x 2 − 4 mx + m = 0 (1) Gi¶i
  11. 1 Tr−êng hîp 1 a=m+1=0 ⇔ m=-1, thay m=-1 vµo f(x) ta cã (1) ⇔ x = 4 Tr−êng hîp 2: m ≠ -1. ∆ ' = 3m 2 − m m = 0 ∆' = 0 ⇔  1 m =  3 a. f (1) = (m + 1)(1 − 2 m)  m = −1 a. f (1) = 0 ⇔  1 m =  2 S m −1 −1 = 2 m +1 S −1 = 0 ⇔ m = 1 2 Tõ ®ã ta cã b¶ng biÖn luËn sau: (H×nh 4) D¹ng 5 . So s¸nh c¸c nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh bËc hai víi hai sè cho tr−íc. C¸ch gi¶i: Xem phÇn A, môc 2.3. VÝ dô 9. T×m m ®Ó c¸c ph−¬ng tr×nh sau tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn ®−îc nªu: a) f(x)=(m+1)x2+mx+3=0 víi x1
  12.  −1 < x1 ≤ x 2 < 3  m ≤ 0 hoÆc m ≥ 1   ∆ ' = m − m ≥ 0 2 1  m>-  f ( −1) = 3m + 1 > 0  3   f (3) = 9 − 5m > 0   9  ⇔ m < S  5 2 +1 = m +1 > 0  m > −1  m < 3 S −3 = m −3 < 0  2     1 − 3 < m ≤ 0 ⇔ 1 ≤ m < 9   5 C. Bµi tËp tù gi¶i 1) T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh sau cã hai nghiÖm x1;x2 tho¶ m·n: m f ( x ) = x 2 − 2 x − 3m = 0 víi ≤ x1 < 1 < x 2 2 2) BiÖn luËn theo m vÞ trÝ cña sè 2 ®èi víi nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh: ( m − 2) x 2 − 2( m + 1) x + 2m − 6 = 0 3) T×m m ®Ó bÊt ph−¬ng tr×nh sau v« nghiÖm: ( m + 1) x 2 − 2 mx − ( m − 3) < 0 4)Cho f ( x ) = (m + 1) x 2 − 2(m − 1) x + 3m − 3 T×m m ®Ó bÊt ph−¬ng tr×nh f(x)≥ 0 cã nghiÖm 5. Cho bÊt ph−¬ng tr×nh: x 2 + 6x + 7 + m ≤ 0 a) T×m m ®Ó bÊt ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm b)T×m m ®Ó bÊt ph−¬ng tr×nh cã ®óng mét nghiÖm c)T×m m ®Ó bÊt ph−¬ng tr×nh cã miÒn nghiÖm lµ mét ®o¹n trªn trôc sè cã ®é dµi b»ng 1.

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản