CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
2013 - 2014
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH
TRONG KHÔNG GIAN
BIÊN SOẠN: LƯU HUY THƯỞNG
HÀ NỘI, 8/2013
HỌ VÀ TÊN: …………………………………………………………………
LỚP :………………………………………………………………….
TRƯỜNG :…………………………………………………………………
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 1
CHUYÊN ĐỀ
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
BÀI 1: MỞ ĐẦU
I. VEC TƠ TRONG KHÔNG GIAN
1. Định nghĩa và các phép toán
• Định nghĩa, tính chất, các phép toán về vectơ trong không gian được xây dựng hoàn toàn tương tự như trong mặt
phẳng.
• Lưu ý:
+ Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có:
AB BC AC
+ =
  
+ Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có:
AB AD AC
+ =
  
+ Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′, ta có:
' '
AB AD AA AC
   
+ Hê thức trung điểm đoạn thẳng: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB, O tuỳ ý.
Ta có:
0
IA IB
+ =

;
2
OA OB OI
+ =
 
+ Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC, O tuỳ ý.
Ta có:
0; 3
GA GB GC OA OB OC OG
+ + = + + =
      
+ Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G là trọng tâm của tứ diện ABCD, O tuỳ ý.
Ta có:
0; 4
GA GB GC GD OA OB OC OD OG
+ + + = + + + =
        
+ Điều kiện hai vectơ cùng phương:
( 0) ! :
≠ ⇔ ∃ ∈ =
a vaø b cuøng phöông a k R b ka
+ Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k ≠ 1), O tuỳ ý.
Ta có: ;
1
OA kOB
MA kMB OM
k
−
= =
−
 
  
2. Sự đồng phẳng của ba vectơ
• Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.
• Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ
, ,
a b c
, trong đó
a vaø b
không cùng phương. Khi đó:
, ,
a b c
đồng phẳng ⇔ ∃! m, n ∈ R:
c ma nb
= +
• Cho ba vectơ
, ,
a b c
không đồng phẳng,
x
tuỳ ý.
Khi đó: ∃! m, n, p ∈ R:
x ma nb pc
= + +
3. Tích vô hướng của hai vectơ
• Góc giữa hai vectơ trong không gian:
0 0
, ( , ) (0 180 )
AB u AC v u v BAC BAC= = ⇒ = ≤ ≤
 
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 2
• Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian:
+ Cho
, 0u v ≠
. Khi đó:
. . .cos( , )u v u v u v=
+ Với 0 0
u hoaëc v
= =
. Qui ước:
. 0u v =
+
. 0u v u v⊥ ⇔ =
+
2
u u=
II. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
1. Hệ tọa độ Đêcac vuông góc trong không gian:
Cho ba trục Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm gốc O. Gọi
, ,i j k
là các vectơ đơn vị,
tương ứng trên các trục Ox, Oy, Oz. Hệ ba trục như vậy gọi là hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz hoặc đơn giản là hệ
tọa độ Oxyz.
Chú ý:
2 2 2
1i j k= = =
và
. . . 0i j i k k j= = =
.
2. Tọa độ của vectơ:
a) Định nghĩa:
( )
; ;u x y z u xi y j zk= ⇔ = + +
b) Tính chất: Cho
1 2 3 1 2 3
( ; ; ), ( ; ; ),a a a a b b b b k R= = ∈
•
1 1 2 2 3 3
( ; ; )a b a b a b a b± = ± ± ±
•
1 2 3
( ; ; )
ka ka ka ka
=
•
1 1
2 2
3 3
a b
a b a b
a b
=
= ⇔ =
=
•
0 (0; 0; 0), (1; 0; 0), (0;1; 0), (0; 0;1)i j k= = = =
•
a
cùng phương
( 0)b b ≠
⇔
( )a kb k R= ∈
1 1 1 2 3
2 2 1 2 3
1 2 3
3 3
, ( , , 0)
a kb a a a
a kb b b b
b b b
a kb
=
⇔ = ⇔ = = ≠
=
•
1 1 2 2 3 3
. . . .
a b a b a b a b= + +
•
1 1 2 2 3 3
0
a b a b a b a b⊥ ⇔ + + =
•
2 2 2 2
1 2 3
a a a a= + +
•
2 2 2
1 2 2
a a a a= + +
•
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
.
cos( , ) ..
a b a b a b
a b
a b
a b a a a b b b
+ +
= =
+ + + +
(với
, 0a b ≠
)
3. Tọa độ của điểm:
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 3
a) Định nghĩa:
( ; ; ) ( ; ; )
M x y z OM x y z
⇔ =

(x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ)
Chú ý:
•
M
∈
(Oxy)
⇔
z = 0; M
∈
(Oyz)
⇔
x = 0; M
∈
(Oxz)
⇔
y = 0
•
••
•
M
∈
Ox
⇔
y = z = 0; M
∈
Oy
⇔
x = z = 0; M
∈
Oz
⇔
x = y = 0
b) Tính chất: Cho
( ; ; ), ( ; ; )
A A A B B B
A x y z B x y z
•
( ; ; )
B A B A B A
AB x x y y z z
= − − −

•
2 2 2
( ) ( ) ( )
B A B A B A
AB x x y y z z= − + − + −
• Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k (k≠1):
; ;
1 1 1
A B A B A B
x kx y ky z kz
M
k k k
− − −
− − −
• Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB:
; ;
2 2 2
A B A B A B
x x y y z z
M
+ + +
• Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC:
; ;
3 3 3
A B C A B C A B C
x x x y y y z z z
G
+ + + + + +
• Toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD:
; ;
4 4 4
A B C D A B C D A B C C
x x x x y y y y z z z z
G
+ + + + + + + + +
4. Tích có hướng của hai vectơ: (Chương trình nâng cao)
a) Định nghĩa: Cho
1 2 3
( , , )
a a a a
=
,
1 2 3
( , , )
b b b b
=
.
( )
2 3 3 1 1 2
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
2 3 3 1 1 2
, ; ; ; ;
a a a a a a
a b a b a b a b a b a b a b a b
b b b b b b
= ∧ = = − − −
Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số.
b) Tính chất:
•
, ; , ; ,
i j k j k i k i j
= = =
•
[ , ] ; [ , ]
a b a a b b
⊥ ⊥
•
(
)
[ , ] . . sin ,
a b a b a b
=
•
,
a b
cùng phương
[ , ] 0
a b
⇔ =
c) Ứng dụng của tích có hướng:
• Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ:
,
a b
và
c
đồng phẳng ⇔
[ , ]. 0
a b c
=
• Diện tích hình bình hành ABCD:
,
ABCD
S AB AD
=
▱
 
•
Diện tích tam giác ABC:
1,
2
ABC
S AB AC
∆
=
 
•
Thể tích khối hộp ABCD.A
′
′′
′
B
′
′′
′
C
′
′′
′
D
′
′′
′
:
. ' ' ' '
[ , ]. '
ABCD A B C D
V AB AD AA
=
  
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 4
•
Thể tích tứ diện ABCD:
1[ , ].
6
ABCD
V AB AC AD=
  
Chú ý:
– Tích vô hướng của hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, tính góc giữa hai
đường thẳng.
– Tích có hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ diện, thể tích hình
hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh các vectơ cùng phương.
. 0
, 0
, , , . 0
a b a b
a vaø b cuøng phöông a b
a b c ñoàng phaúng a b c
⊥ ⇔ =
⇔ =
⇔ =
5. Phương trình mặt cầu:
• Phương trình mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R:
2 2 2 2
( ) ( ) ( )x a y b z c R− + − + − =
• Phương trình
2 2 2
2 2 2 0x y z ax by cz d+ + + + + + =
với
222
0a b c d+ + − >
là phương trình mặt cầu tâm I(–
a; –b; –c) và bán kính R =
222
a b c d+ + −
.
BÀI TẬP CƠ BẢN
HT 1. Cho ba vectơ
, ,a b c
. Tìm m, n để
,c a b
=
:
a)
( ) ( ) ( )
3; 1; 2 , 1;2; , 5;1; 7a b m c= − − = =
b)
( ) ( ) ( )
6; 2; , 5; ; 3 , 6; 33;10a m b n c= − = − =
HT 2. Xét sự đồng phẳng của ba vectơ
, ,a b c
trong mỗi trường hợp sau đây:
a)
( ) ( ) ( )
1; 1;1 , 0;1;2 , 4; 2; 3a b c= − = =
b)
( ) ( ) ( )
4; 3; 4 , 2; 1;2 , 1; 2;1a b c= = − =
c)
( ) ( ) ( )
3;1; 2 , 1;1;1 , 2;2;1a b c= − − = = −
d)
( ) ( ) ( )
4;2;5 , 3;1; 3 , 2; 0;1a b c= = =
HT 3. Tìm m để 3 vectơ
, ,a b c
đồng phẳng:
a)
( ) ( ) ( )
1; ;2 , 1;2;1 , 0; 2;2a m b m c m= = + = −
b)
(2 1;1;2 1); ( 1;2; 2), (2 ; 1; 2)a m m b m m c m m= + − = + + = +
HT 4. Cho các vectơ
, , ,a b c u
. Chứng minh ba vectơ
, ,a b c
không đồng phẳng. Biểu diễn vectơ
u
theo các vectơ
, ,a b c
: