CHUYÊN ĐỀ LUYN THI ĐẠI HC
2013 - 2014
TÍCH PHÂN
BIÊN SON: LƯU HUY THƯNG
HÀ NI, 8/2013
H VÀ TÊN: …………………………………………………………………
LP :………………………………………………………………….
TRƯỜNG :…………………………………………………………………
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 1
CHUYÊN ĐỀ:
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
BÀI 1: NGUYÊN HÀM
1. Khái niệm nguyên hàm
Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên K nếu:
'( ) ( )
=
F x f x
, x K
Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì họ nguyên hàm của f(x) trên K là:
( ) ( )
= +
f x dx F x C
, C R.
Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
2. Tính chất
'( ) ( )
= +
( ) ( ) ( ) ( )
± = ±
f x g x dx f x dx g x dx
( ) ( ) ( 0)
=
kf x dx k f x dx k
3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
4. Phương pháp tính nguyên hàm
1) Phương pháp đổi biến số
Nếu
( ) ( )
= +
f u du F u C
( )
=
u u x
có đạo hàm liên tục thì:
( ) . '( ) ( )
= +
f u x u x dx F u x C
2) Phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì:
=
udv uv vdu
0=
dx C
= +
dx x C
1
, ( 1)
1
α
α
α
α
+
= +
+
x
x dx C
1ln
= +
dx x C
x
= +
x x
e dx e C
(0 1)
ln
= + <
x
x
a
a dx C a
a
cos sin
= +
xdx x C
sin cos
= +
xdx x C
2
1tan
cos
= +
dx x C
x
2
1cot
sin
= +
dx x C
x
1
cos( ) sin( ) ( 0)
+ = + +
ax b dx ax b C a
a
1
sin( ) cos( ) ( 0)
+ = + +
ax b dx ax b C a
a
1
, ( 0)
+ +
= +
ax b ax b
e dx e C a
a
1 1 ln
= + +
+
dx ax b C
ax b a
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 2
VẤN ĐỀ 1: Tính nguyên hàm bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm
HT 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1)
2
1
( ) 3
= +
f x x x
x
2)
4
2
2 3
( )
+
=x
f x
x
3)
2
1
( )
=x
f x
x
4)
2 2
2
( 1)
( )
=x
f x
x
5)
2 2
1
( )
sin .cos
=f x
x x
6)
2 2
cos 2
( )
sin .cos
=x
f x
x x
7)
2
( ) 2 sin
2
=
x
f x
8)
2
( ) tan
=
f x x
9)
2
( ) cos
=
f x x
10)
( ) 2 sin 3 cos2
=
f x x x
11)
(
)
( ) 1
=
x x
f x e e
12)
2
( ) 2
cos
= +
x
x
e
f x e
x
HT 2: Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước:
1)
3
( ) 4 5; (1) 3
= + =
f x x x F
2)
( ) 3 5 cos ; ( ) 2
π
= =
f x x F
3)
2
3 5
( ) ; ( ) 1
= =
x
f x F e
x
4)
2
1 3
( ) ; (1)
2
+
= =
x
f x F
x
5)
( )=
3
2
1
; ( 2) 0
=
x
f x F
x
6)
1
( ) ; (1) 2
= + =
f x x x F
x
7)
( ) sin 2 .cos ; ' 0
3
π
= =
f x x x F
8)
4 3
2
3 2 5
( ) ; (1) 2
+
= =
x x
f x F
x
9)
3 3
2
3 3 7
( ) ; (0) 8
( 1)
+ +
= =
+
x x x
f x F
x
10)
2
( ) sin ;
2 2 4
π π
== =
x
f x F
VẤN ĐỀ 2: Tính nguyên hàm
( )
f x dx
bằng phương pháp đổi biến số
Dạng 1: Nếu f(x) có dạng: f(x) =
( ) . '( )
g u x u x
thì ta đặt
( ) '( )
= =
t u x dt u x dx
.
Khi đó:
( )
f x dx
=
( )
g t dt
, trong đó
( )
g t dt
dễ dàng tìm được.
Chú ý: Sau khi tính
( )
g t dt
theo t, ta phải thay lại t = u(x).
Dạng 2: Thường gặp ở các trường hợp sau:
HT 3: Tính các nguyên hàm sau (đổi biến số dạng 1):
1)
10
(5 1)
x dx
2)
5
(3 2 )
dx
x
3)
5 2
xdx
4)
2 7
(2 1)+
x xdx
5)
3 4 2
( 5)+
x x dx
6)
2
5
+
x
dx
x
7)
2
1.
+
x xdx
8)
2
3
3
5 2
+
x
dx
x
9)
2
(1 )
+
dx
x x
f(x) có cha Cách đổi biến
2 2
a x
sin ,
2 2
π π
=
x a t t
hoc
cos , 0
π
=
x a t t
2 2
+
a x
tan ,
2 2
π π
= < <
x a t t
hoc
cot , 0
π
= < <
x a t t
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 3
10)
4
sin cos
x xdx
11)
5
sin
cos
x
dx
x
12)
2
tan
cos
xdx
x
13)
3
x
x
e dx
e
14)
2
1
.
+
x
x e dx
15)
x
e
dx
x
16)
3
ln
x
dx
x
17)
1
+
x
dx
e
18)
tan
2
cos
x
e
dx
x
HT 4: Tính các nguyên hàm sau (đổi biến số dạng 2):
1)
2 3
(1 )
dx
x
2)
2 3
(1 )
+
dx
x
3)
2
1 .
x dx
4)
2
4
dx
x
5)
2 2
1 .
x x dx
6)
2
1
+
dx
x
7)
2
2
1
x dx
x
8)
2
1
+ +
dx
x x
9)
3 2
1.
+
x x dx
VẤN ĐỀ 3: Tính nguyên hàm bằng phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:
HT 5: Tính các nguyên hàm sau:
1)
.sin
x xdx
2)
cos
x xdx
3)
2
( 5)sin+
x xdx
4)
2
( 2 3)cos+ +
x x xdx
5)
sin 2
x xdx
6)
cos2
x xdx
7)
.
x
x e dx
8)
2
3
x
x e dx
9)
ln
xdx
10)
ln
x xdx
11)
2
ln
xdx
12)
2
ln( 1)
+
x dx
HT 6: Tính các nguyên hàm sau:
1)
x
e dx
2)
ln
xdx
x
3)
sin
x dx
4)
cos
x dx
5)
.sin
x x dx
6)
3
sin
xdx
7)
ln(ln )
x
dx
x
8)
sin(ln )
x dx
9)
cos(ln )
x dx
HT 7: Tính các nguyên hàm sau:
1)
.cos
x
e xdx
2)
2
(1 tan tan )
+ +
x
e x x dx
3)
.sin 2
x
e xdx
4)
2
ln(cos )
cos
x
dx
x
5)
2
ln(1 )
+
x
dx
x
6)
2
cos
x
dx
x
7)
(
)
2
2
ln 1
1
+ +
+
x x x
dx
x
8)
3
2
1
+
x
dx
x
9)
2
ln
x
dx
x
( ).
x
P x e dx
( ).cos
P x xdx
( ).sin
P x xdx
( ).ln
P x xdx
u
P(x)
P(x)
P(x)
lnx
dv
x
e dx
cos
xdx
sin
xdx
P(x)
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 4
VẤN ĐỀ 4: Tính nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
1. f(x) là hàm hữu tỉ:
( )
( )
( )
=
P x
f x
Q x
– Nếu bậc của P(x)
bậc của Q(x) thì ta thực hiện phép chia đa thức.
Nếu bậc của P(x) < bậc của Q(x) Q(x) dạng tích nhiều nhân tử thì ta phân tích f(x) thành tổng của nhiều
phân thức (bằng phương pháp hệ số bất địn8).
Chẳng hạn:
1
( )( )
= +
A B
x a x b x a x b
2 2
1
,
( )( )
+
= +
+ + + +
A Bx C
x m
x m ax bx c ax bx c
2
4 0
= <
vôùi b ac
2 2 2 2
1
( ) ( ) ( ) ( )
= + + +
A B C D
x a x b
x a x b x a x b
2. f(x) là hàm vô tỉ
+ f(x) =
,
+
+
m
ax b
R x
cx d
đặt
+
=
+
m
ax b
t
cx d
+ f(x) =
1
( )( )
+ +
R
x a x b
đặt
= + + +
t x a x b
f(x) là hàm lượng giác
Ta sử dụng các phép biến đổi lượng giác thích hợp để đưa về các nguyên hàm cơ bản. Chẳng hạn:
+
sin ( ) ( )
1 1 .
sin( ).sin( ) sin( ) sin( ).sin( )
+ +
=
+ + + +
x a x b
x a x b a b x a x b
,
sin( )
1
sin( )
=
a b
söû duïng
a b
+
sin ( ) ( )
1 1 .
cos( ).cos( ) sin( ) cos( ).cos( )
+ +
=
+ + + +
x a x b
x a x b a b x a x b
,
sin( )
1
sin( )
=
a b
söû duïng
a b
+
cos ( ) ( )
1 1 .
sin( ).cos( ) cos( ) sin( ).cos( )
+ +
=
+ + + +
x a x b
x a x b a b x a x b
,
cos( )
1
cos( )
=
a b
söû duïng
a b
+ Nếu
( sin , cos ) (sin , cos )
=
R x x R x x
thì đặt t = cosx
+ Nếu
(sin , cos ) (sin , cos )
=
R x x R x x
thì đặt t = sinx
+ Nếu
( sin , cos ) (sin , cos )
=
R x x R x x
thì đặt t = tanx (hoặc t = cotx)
HT 8: Tính các nguyên hàm sau (dạng hữu tỷ):
1)
( 1)
+
dx
x x
2)
( 1)(2 3)
+
dx
x x
3)
2
2
1
1
+
x
dx
x
4)
2
7 10
+
dx
x x
5)
2
6 9
+
dx
x x
6)
2
4
dx
x
7)
( 1)(2 1)
+ +
x
dx
x x
8)
2
2 3 2
x
dx
x x
9)
3
2
3 2
+
x
dx
x x
10)
2
( 1)
+
dx
x x
11)
3
1
+
dx
x
12)
3
1
x
dx
x
HT 9: Tính các nguyên hàm sau (dạng vô tỷ):
1)
1
1 1
+ +
dx
x
2)
1
2
+
x
dx
x x
3)
3
1
1 1
+ +
dx
x
4)
4
1
+
dx
x x
5)
3
x
dx
x x
6)
( 1)
+
x
dx
x x