CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
2013 - 2014
TÍCH PHÂN
BIÊN SOẠN: LƯU HUY THƯỞNG
HÀ NỘI, 8/2013
HỌ VÀ TÊN: …………………………………………………………………
LỚP :………………………………………………………………….
TRƯỜNG :…………………………………………………………………
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 1
CHUYÊN ĐỀ:
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
BÀI 1: NGUYÊN HÀM
1. Khái niệm nguyên hàm
• Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên K nếu:
'( ) ( )
=
F x f x
, ∀x ∈ K
• Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì họ nguyên hàm của f(x) trên K là:
( ) ( )
= +
∫
f x dx F x C
, C ∈ R.
• Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
2. Tính chất
•
'( ) ( )
= +
∫
•
( ) ( ) ( ) ( )
± = ±
∫ ∫ ∫
f x g x dx f x dx g x dx
•
( ) ( ) ( 0)
= ≠
∫ ∫
kf x dx k f x dx k
3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
4. Phương pháp tính nguyên hàm
1) Phương pháp đổi biến số
Nếu
( ) ( )
= +
∫
f u du F u C
và
( )
=
u u x
có đạo hàm liên tục thì:
( ) . '( ) ( )
= +
∫
f u x u x dx F u x C
2) Phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì:
= −
∫ ∫
udv uv vdu
•
0=
∫
dx C
•
= +
∫
dx x C
•
1
, ( 1)
1
α
α
α
α
+
= + ≠ −
+
∫
x
x dx C
•
1ln
= +
∫
dx x C
x
•
= +
∫
x x
e dx e C
•
(0 1)
ln
= + < ≠
∫
x
x
a
a dx C a
a
•
cos sin
= +
∫
xdx x C
•
sin cos
= − +
∫
xdx x C
•
2
1tan
cos
= +
∫
dx x C
x
•
2
1cot
sin
= − +
∫
dx x C
x
•
1
cos( ) sin( ) ( 0)
+ = + + ≠
∫
ax b dx ax b C a
a
•
1
sin( ) cos( ) ( 0)
+ = − + + ≠
∫
ax b dx ax b C a
a
•
1
, ( 0)
+ +
= + ≠
∫
ax b ax b
e dx e C a
a
•
1 1 ln
= + +
+
∫
dx ax b C
ax b a
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 2
VẤN ĐỀ 1: Tính nguyên hàm bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm
HT 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1)
2
1
( ) – 3
= +
f x x x
x
2)
4
2
2 3
( )
+
=x
f x
x
3)
2
1
( )
−
=x
f x
x
4)
2 2
2
( 1)
( ) −
=x
f x
x
5)
2 2
1
( )
sin .cos
=f x
x x
6)
2 2
cos 2
( )
sin .cos
=x
f x
x x
7)
2
( ) 2 sin
2
=
x
f x
8)
2
( ) tan
=
f x x
9)
2
( ) cos
=
f x x
10)
( ) 2 sin 3 cos2
=
f x x x
11)
(
)
( ) – 1
=
x x
f x e e
12)
2
( ) 2
cos
−
= +
x
x
e
f x e
x
HT 2: Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước:
1)
3
( ) 4 5; (1) 3
= − + =
f x x x F
2)
( ) 3 5 cos ; ( ) 2
π
= − =
f x x F
3)
2
3 5
( ) ; ( ) 1
−
= =
x
f x F e
x
4)
2
1 3
( ) ; (1)
2
+
= =
x
f x F
x
5)
( )=
3
2
1
; ( 2) 0
−
− =
x
f x F
x
6)
1
( ) ; (1) 2
= + = −
f x x x F
x
7)
( ) sin 2 .cos ; ' 0
3
π
= =
f x x x F
8)
4 3
2
3 2 5
( ) ; (1) 2
− +
= =
x x
f x F
x
9)
3 3
2
3 3 7
( ) ; (0) 8
( 1)
+ + −
= =
+
x x x
f x F
x
10)
2
( ) sin ;
2 2 4
π π
== =
x
f x F
VẤN ĐỀ 2: Tính nguyên hàm
( )
∫
f x dx
bằng phương pháp đổi biến số
•
Dạng 1: Nếu f(x) có dạng: f(x) =
( ) . '( )
g u x u x
thì ta đặt
( ) '( )
= ⇒ =
t u x dt u x dx
.
Khi đó:
( )
∫
f x dx
=
( )
∫
g t dt
, trong đó
( )
∫
g t dt
dễ dàng tìm được.
Chú ý: Sau khi tính
( )
∫
g t dt
theo t, ta phải thay lại t = u(x).
•
Dạng 2: Thường gặp ở các trường hợp sau:
HT 3: Tính các nguyên hàm sau (đổi biến số dạng 1):
1)
10
(5 1)−
∫
x dx
2)
5
(3 2 )
−
∫
dx
x
3)
5 2−
∫
xdx
4)
2 7
(2 1)+
∫
x xdx
5)
3 4 2
( 5)+
∫
x x dx
6)
2
5
+
∫
x
dx
x
7)
2
1.
+
∫
x xdx
8)
2
3
3
5 2
+
∫
x
dx
x
9)
2
(1 )
+
∫
dx
x x
f(x) có chứa Cách đổi biến
2 2
−
a x
sin ,
2 2
π π
= − ≤ ≤
x a t t
hoặc
cos , 0
π
= ≤ ≤
x a t t
2 2
+
a x
tan ,
2 2
π π
= − < <
x a t t
hoặc
cot , 0
π
= < <
x a t t
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 3
10)
4
sin cos
∫
x xdx
11)
5
sin
cos
∫
x
dx
x
12)
2
tan
cos
∫
xdx
x
13)
3
−
∫
x
x
e dx
e
14)
2
1
.
+
∫
x
x e dx
15)
∫
x
e
dx
x
16)
3
ln
∫
x
dx
x
17)
1
+
∫
x
dx
e
18)
tan
2
cos
∫
x
e
dx
x
HT 4: Tính các nguyên hàm sau (đổi biến số dạng 2):
1)
2 3
(1 )
−
∫
dx
x
2)
2 3
(1 )
+
∫
dx
x
3)
2
1 .
−
∫
x dx
4)
2
4
−
∫
dx
x
5)
2 2
1 .
−
∫
x x dx
6)
2
1
+
∫
dx
x
7)
2
2
1
−
∫
x dx
x
8)
2
1
+ +
∫
dx
x x
9)
3 2
1.
+
∫
x x dx
VẤN ĐỀ 3: Tính nguyên hàm bằng phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:
HT 5: Tính các nguyên hàm sau:
1)
.sin
∫
x xdx
2)
cos
∫
x xdx
3)
2
( 5)sin+
∫
x xdx
4)
2
( 2 3)cos+ +
∫
x x xdx
5)
sin 2
∫
x xdx
6)
cos2
∫
x xdx
7)
.
∫
x
x e dx
8)
2
3
∫
x
x e dx
9)
ln
∫
xdx
10)
ln
∫
x xdx
11)
2
ln
∫
xdx
12)
2
ln( 1)
+
∫
x dx
HT 6: Tính các nguyên hàm sau:
1)
∫
x
e dx
2)
ln
∫
xdx
x
3)
sin
∫
x dx
4)
cos
∫
x dx
5)
.sin
∫
x x dx
6)
3
sin
∫
xdx
7)
ln(ln )
∫
x
dx
x
8)
sin(ln )
∫
x dx
9)
cos(ln )
∫
x dx
HT 7: Tính các nguyên hàm sau:
1)
.cos
∫
x
e xdx
2)
2
(1 tan tan )
+ +
∫
x
e x x dx
3)
.sin 2
∫
x
e xdx
4)
2
ln(cos )
cos
∫
x
dx
x
5)
2
ln(1 )
+
∫
x
dx
x
6)
2
cos
∫
x
dx
x
7)
(
)
2
2
ln 1
1
+ +
+
∫
x x x
dx
x
8)
3
2
1
+
∫
x
dx
x
9)
2
ln
∫
x
dx
x
( ).
∫
x
P x e dx
( ).cos
∫
P x xdx
( ).sin
∫
P x xdx
( ).ln
∫
P x xdx
u
P(x)
P(x)
P(x)
lnx
dv
x
e dx
cos
xdx
sin
xdx
P(x)
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 4
VẤN ĐỀ 4: Tính nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
1. f(x) là hàm hữu tỉ:
( )
( )
( )
=
P x
f x
Q x
– Nếu bậc của P(x)
≥
bậc của Q(x) thì ta thực hiện phép chia đa thức.
– Nếu bậc của P(x) < bậc của Q(x) và Q(x) có dạng tích nhiều nhân tử thì ta phân tích f(x) thành tổng của nhiều
phân thức (bằng phương pháp hệ số bất địn8).
Chẳng hạn:
1
( )( )
= +
− − − −
A B
x a x b x a x b
2 2
1
,
( )( )
+
= +
−
− + + + +
A Bx C
x m
x m ax bx c ax bx c
2
4 0
∆ = − <
vôùi b ac
2 2 2 2
1
( ) ( ) ( ) ( )
= + + +
− −
− − − −
A B C D
x a x b
x a x b x a x b
2. f(x) là hàm vô tỉ
+ f(x) =
,
+
+
m
ax b
R x
cx d
→
đặt
+
=
+
m
ax b
t
cx d
+ f(x) =
1
( )( )
+ +
R
x a x b
→
đặt
= + + +
t x a x b
•
••
•
f(x) là hàm lượng giác
Ta sử dụng các phép biến đổi lượng giác thích hợp để đưa về các nguyên hàm cơ bản. Chẳng hạn:
+
sin ( ) ( )
1 1 .
sin( ).sin( ) sin( ) sin( ).sin( )
+ − +
=
+ + − + +
x a x b
x a x b a b x a x b
,
sin( )
1
sin( )
−
=
−
a b
söû duïng
a b
+
sin ( ) ( )
1 1 .
cos( ).cos( ) sin( ) cos( ).cos( )
+ − +
=
+ + − + +
x a x b
x a x b a b x a x b
,
sin( )
1
sin( )
−
=
−
a b
söû duïng
a b
+
cos ( ) ( )
1 1 .
sin( ).cos( ) cos( ) sin( ).cos( )
+ − +
=
+ + − + +
x a x b
x a x b a b x a x b
,
cos( )
1
cos( )
−
=
−
a b
söû duïng
a b
+ Nếu
( sin , cos ) (sin , cos )
− = −
R x x R x x
thì đặt t = cosx
+ Nếu
(sin , cos ) (sin , cos )
− = −
R x x R x x
thì đặt t = sinx
+ Nếu
( sin , cos ) (sin , cos )
− − = −
R x x R x x
thì đặt t = tanx (hoặc t = cotx)
HT 8: Tính các nguyên hàm sau (dạng hữu tỷ):
1)
( 1)
+
∫
dx
x x
2)
( 1)(2 3)
+ −
∫
dx
x x
3)
2
2
1
1
+
−
∫
x
dx
x
4)
2
7 10
− +
∫
dx
x x
5)
2
6 9
− +
∫
dx
x x
6)
2
4
−
∫
dx
x
7)
( 1)(2 1)
+ +
∫
x
dx
x x
8)
2
2 3 2
− −
∫
x
dx
x x
9)
3
2
3 2
− +
∫
x
dx
x x
10)
2
( 1)
+
∫
dx
x x
11)
3
1
+
∫
dx
x
12)
3
1
−
∫
x
dx
x
HT 9: Tính các nguyên hàm sau (dạng vô tỷ):
1)
1
1 1
+ +
∫
dx
x
2)
1
2
+
−
∫
x
dx
x x
3)
3
1
1 1
+ +
∫
dx
x
4)
4
1
+
∫
dx
x x
5)
3
−
∫
x
dx
x x
6)
( 1)
+
∫
x
dx
x x