PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay
CHÖÔNG
doøng chaûy phaúng, löu chaát lyù töôûng khoâng neùn ñöôïc chuyeån ñoäng oån ñònh Giôùi haïn:
(1)
u
u;
hay
u
u;
=
=
=
=
I. CAÙC KHAÙI NIEÄM CÔ BAÛN
x
y
r
θ
1 r
ϕ∂ y ∂
ϕ∂ r ∂
ϕ∂ θ∂
ϕ∂ x ∂ B
1. Haøm theá vaän toác: Ta ñònh nghóa haøm ϕ sao cho:
(cid:71) dsu
toàntaïi
thoaû
A )1(
ϕ
chæ phuï thuoäc vaøo hai vò trí A vaø B.
B
B
B
B
(cid:71) dsu
(cid:71) dsu
(
dx
)dy
+
=
+
=
dxu( x
)dyu y
∫
∫
∫⇒
∫
ϕ∂ y ∂
ϕ∂ x ∂
A
A
A
A
B
d
=
ϕ−ϕ=ϕ A
B
∫
B
A
(cid:71) dsu
chæ phuï thuoäc vaøo giaù trò haøm theá taïi A vaø B.
A
u ∂
0
−
=
0
Roõ raøng töø chöùng minh treân, ∫ Vaäy: Doøng chaûy coù theá ⇔∃ϕ/thoaû ñ.k. (1) ⇔
Tröôøng veùctô u laø tröôøng coù theá khi: ∫ Ta coù:
∂ y ∂
ϕ∂ x ∂
∂ x ∂
ϕ∂ y ∂
y x ∂
u ∂ x y ∂
⎛ ⎜ ⎝
⎞ =⎟ ⎠
⎞ −⎟⎟ ⎠
⎛ ⎜⎜ ⎝
⇔ ⇔ rot(u)=0
A
n
d
0
0 ⇔=ϕ
+
=
dxu x
2. Phöông trình ñöôøng ñaúng theá:
un
Γ
ϕ−ϕ=Γ
laø löu soá vaän toác
AB
dsu s
AB
B
A
dyu y B ∫=
3. YÙ nghóa haøm theá vaän toác:
u
A
us
u ∂
0
+
0 ⇔=
+
=
B
Töø ptr lieân tuïc, ta coù:
y y ∂
∂ x ∂
ϕ∂ x ∂
∂ y ∂
ϕ∂ y ∂
2 ϕ∂ 2 x ∂
2 ϕ∂ 2 y ∂
⎛ ⎜ ⎝
⎞ +⎟ ⎠
⎞ ⇔=⎟⎟ 0 ⎠
⎛ ⎜⎜ ⎝
⇔ Haøm theá thoaû phöông trình Laplace
THE LUU 1
4. Tính chaát haøm theá: u ∂ x x ∂
PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay
u ∂
u/
u;
u;
0
hay
u
+
−=
ψ∃⇔=
−=
=
=
y
x
r
θ
1 r
ψ∂ r ∂
ψ∂ x ∂
ψ∂ y ∂
ψ∂ θ∂
5. Haøm doøng:
Khi doøng chaûy löu chaát khoâng neùn ñöôïc toàn taïi, thì caùc thaønh phaàn vaän toác cuûa noù thoaû ptr lieân tuïc : u ∂ y x x y ∂ ∂ ψ goïi laø haøm doøng.
Nhö vaäy ψ toàn taïi trong moïi doøng chaûy, coøn ϕ chæ toàn taïi trong doøng chaûy theá.
u ∂
6. Haøm doøng trong theá phaúng:
0
0
+
=
−
−⇔=
∂ y ∂
ψ∂ y ∂
y x ∂
u ∂ x y ∂
∂ x ∂
ψ∂ x ∂
2 ψ∂ 2 x ∂
2 ψ∂ 2 y ∂
⎞ −⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎝
⎛ ⎜⎜ ⎝
⎞ ⇔=⎟⎟ 0 ⎠
Vì laø doøng chaûy theá neân:
dy
dx
0
d
0
−
=ψ⇔=
0 ⇔=
+
Vaäy trong doøng theá thì haøm ψ thoaû ptr Laplace. 7. Ñöôøng doøng vaø ptr:
dyu x
dxu y
ψ∂ y ∂
ψ∂ x ∂ Nhö vaäy treân cuøng moät ñöôøng doøng thì giaù trò ψ laø haèng soá.
Töø ptr ñöôøng doøng:
y
B
B
B
ny
n
u
cos
u
sin
ds
(cid:71)(cid:71) dsnu
=
+
=
ds +α
α
=
=
x
y
dsnu x
x
dsnu yy
dsu n
AB
∫
∫
∫
α
A
A
A
A
q Ta coù:
8. YÙ nghóa haøm doøng: B ∫
dy
B
B
B
dx
nx ds
dy
dx
d
−
=
−
=
B
A
dxu y
dyu x
∫ ψ−ψ=ψ=
∫
ψ∂ y ∂
ψ∂ x ∂
A
A
(-dx=ds.sinα)
O
Vaäy:
x
∫ A ψ−ψ= B
A
ABq
=
0)u(u)u(u +
=
−
+
y
x
y
x
ϕ∂ ψ∂ yy ∂ ∂
ϕ∂ ψ∂ xx ∂ ∂
9. Söï tröïc giao giöõa hoï caùc ñöôøng doøng vaø ñöôøng ñaúng theá:
Suy ra hoï caùc ñöôøng doøng vaø caùc ñöôøng ñaúng theá tröïc giao vôùi nhau.
...
+ϕ+ϕ=ϕ 1
2
...
+ψ+ψ=ψ 1
2
10. Coäng theá löu:
Ñeå bieåu dieãn doøng chaûy theá, ta coù theå bieãu dieãn rieâng töøng haøm doøng vaø haøm theá, ta cuõng coù theå keát hôïp haøm doøng vôùi haøm theá thaønh moät haøm theá phöùc nhö sau::
vôùi z = x+iy = eiα .
11. Bieãu dieãn doøng theá:
)z(f
i
ψ+ϕ=
u
iu
i
=
−
=
+
x
y
Theá phöùc f(z):
df dz
d ϕ dx
d ψ dy
THE LUU 2
Nhö vaäy:
PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay
II. CAÙC VÍ DUÏ VEÀ THEÁ LÖU
y
1. Chuyeån ñoäng thaúng ñeàu: töø xa voâ cöïc tôùi, hôïp vôùi phöông ngang moät goùc α.
V0
α
x
O
ψ=3
ψ=2
ux = V0cosα; uy = V0sinα dψ = uxdy - uydx ψ = V0ycosα - V0xsinα + C
ψ=1
ϕ=3
Choïn:ψ=0 laø ñöôøng qua goác toaï ñoä
ϕ=2
ψ=0 ψ=-1
ϕ=1
ϕ=0
ψ=-2
ϕ=-1
ψ=-3
⇒ C=0.
ϕ=-2
ϕ=-3
ψ = V0ycosα - V0xsinα Vaäy: Töông töï: ϕ = V0xcosα + V0ysinα
Bieãu dieãn baèng haøm theá phöùc: F(z) = ϕ+iψ = (V0xcosα + V0ysinα) + i(V0ycosα - V0xsinα)
= x(V0cosα- iV0sinα)+yi(V0cosα - iV0sinα)
laø soá phöùc; z=x+iy laø bieán phöùc. = az vôùi: a=(V0cosα -iV0sinα)
2. Ñieåm nguoàn, ñieåm huùt: vôùi löu löôïng q taâm ñaët taïi goác toaï ñoä.
u
r=
dr
dr
d =θ
+
=θ
=
d =ϕ
+
dru r
dru r
dru θ
dr
d
u
dr
ru
d
ru
d
d =ψ⇒
+
−=θ
+
=θ
θ
r
r
θ
q r2 π
ϕ∂ r ∂
ψ∂ r ∂
ψ∂ θ∂
u
q r2 π 0 =
θ
⎫ ⎪ ⎬ ⎪⎭
choïn
0
khi
=ϕ⇒
;C)rln( +
=ϕ
1r =
;C
choïn
0
khi
0
=ψ⇒
+θ
=ψ
=θ
)rln(
2 )y
2 xln(
=ϕ⇒
=
+
arctg
=ψ⇒
=θ
y x
q 2 π q 2 π
q 2 π
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
ϕ∂ θ∂ q 2 π q 2 π
q 4 π ψ=(q/4)
⇒ Hoï caùc ñöôøng doøng laø nhöõng ñöôøng thaúng qua O.
arctg
=θ
y x
q 2 π
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
2
ln(
)r
xln(
2 )y
=
+
ψ=0
ψ=q/2
(q>0:ñieåm nguoàn; q<0:ñieåm huùt). Haøm doøng: Haøm theá vaän toác:
O
q 2 π q 2 π
q 4 π
)z(f
(ln
r
(ln
r
i θ )eln
=
)i =θ+
+
ϕ
i θ
ln(
re
)
zln
zlna
=
=
=
q 2 π q 2 π
q 2 π q 2 π
⎧ =ψ ⎪ ⎪ ⎪ =ϕ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
Keát luaän:
ψ=3q/ 4
Ghi chuù: Tröôøng hôïp ñieåm nguoàn (huùt) coù taâm ñaët taïi moät vò trí khaùc goác toaï ñoä, ví duï ñaët taïi A(x0; y0) thì trong coâng thöùc tính haøm doøng (hoaëc theá vaän toác), tai vò trí naøo coù caùc bieán x phaûi thay baèng (x=x0) ; taïi vò trí naøo coù bieán y phaûi thay baèng (y-y0).
THE LUU 3
PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay
(cid:71) dsu
const
=
=Γ
3. Xoaùy töï do: ñaët taïi goác toaï ñoä vaø coù löu soá vaän toác
arctg
=ϕ
=θ
y x
Γ 2 π
Γ 2 π
⎛ ⎜ ⎝
∫ C ⎞ ⎟ ⎠
2
u
0
=
r
ln(
)r
ln(
x
2 )y
=ψ
=
+
Γ− 4 π
Γ− 2 π
⇒
u
const
=
=
θ
)z(f
lni
)r
(ln
r
)
(
=
−θ
−=
i θ+
Γ r2 π
⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩
i
θ
ln(
re
)
ln
z
lna
z
=
=
=
Γ 2 π i Γ− 2 π
i Γ 2 π i Γ− 2 π
⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
ϕ=Γ/4
ϕ = Γ/2
ϕ=0
Ghi chuù: Γ>0: xoaùy döông ngöôïc chieàu kim ñoàng hoà; Γ<0: xoaùy aâm thuaän chieàu kim ñoàng hoà;
O
ψ
ϕ=3Γ/4
Γ>0: xoaùy döông
Töông töï, ta coù treân ñaây laø xoaùy ñaët taïi O(0,0). Muoán bieãu dieãn cho xoaùy coù taâm ñaët taïi ñieåm baát kyø, ta cuõng thöïc hieän nhö trong phaàn ghi chuù cuûa ñieåm nguoàn, huùt.
y
y
arctg
arctg
(
)
θ−θ
=
−
=ψ+ψ=ψ n
h
n
h
q 2 π
q 2 π
x
x
−
+
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
ε 2
ε 2
y
y
−
−
+
x
x
+
−
ε 2
ε 2
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
⎛ xy ⎜ ⎝
⎞ −⎟ ⎠
⎛ xy ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
ε 2
ε 2
arctg
arctg
=
=
2
q 2 π
q 2 π
2
2
x
y
−
+
y
y
ε 4
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
1
+
x
x
−
+
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
ε 2
ε 2
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
4. Löôõng cöïc: laø caëp ñieåm nguoàn + huùt coù cuøng löu löôïng qñaët caùch nhau moät ñoaïn ε voââ cuøng nhoû (cho ε→0 vôùi ñieàu kieän εq→m0 , laø moment löôõng cöïc). Ví duï ta xeùt tröôøng hôïp naèm treân truïc hoaønh: Tìm haøm doøng:
−
+
−
y
ε 2
ε 2
0
⎛ xy ⎜ ⎝
⎞ −⎟ ⎠
⎛ xy ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
→
=ψ
=
2
y ε− 2
2
2
q 2 π
m 2 π
q 2 π
x
y
+
2
2
2
2
x
y
x
y
−
+
−
+
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
ε 4
ε 4
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
THE LUU 4
Khi ε→0 töû soá trong daáu arctg tieán tôùi 0 neân ta coù theå vieát:
PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay
2
2
ln
x
y
ln
x
y
+
−
−
=ϕ+ϕ=ϕ n
h
ε 2
ε 2
q 4 π
⎛ ⎜ ⎝
2 ⎞ +⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎝
2 ⎞ +⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
⎡ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎦
2
x
y
+
ε 2
⎛ ⎜ ⎝
2 ⎞ +⎟ ⎠
ln
=
=
+
q 4 π
q 4 π
2
2
x
y
y
x
−
−
ε 2
ε 2
⎛ ⎜ ⎝
2 ⎞ +⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎝
x2 ε 2 ⎞ +⎟ ⎠
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
⎡ ⎢ ⎢ 1ln ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
2
...
x)x1ln( +
−=
+
Trieån khai
vaø boû qua caùc soá haïng baäc cao voâ cuøng beù, ta coù:
x
x2 ε
khi
0
→
→ε
=ϕ
2
2
2
m 0 2 π
q 2 π
x
y
+
2
x
y
−
ε 2
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
x 2 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
Tìm haøm theá vaän toác:
ψ
−
−
y
θ
0
0
=ψ
=
2
2
sin r
m 2 π
m 2 π
x
y
+
x
θ
=ϕ
=
2
2
cos r
m 0 2 π
m 0 2 π
x
y
+
Vaäy toùm laïi, ñoái vôùi chuyeån ñoäng löôõng cöïc thì:
-q
+q
2
2
cos
sini
θ
)z(f
=
=
=
−θ r
cos (cos r
sin sini
1 z
m 0 2 π
m 0 2 π
+θ +θ
θ ) θ
m 0 2 π
5. Doøng chaûy quanh nöûa coá theå:
Laø choàng nhaäp cuûa chuyeån ñoäng thaúng ñeàu ngang (U0)+ nguoàn taïi goác toaï ñoä (q)
2
xln(
)y 2
cos
ln
r
=ϕ
+
+
=
+θ
xu 0
ru 0
q 2 π
arctg
(
)
sinru
θ
=ψ
+
=
+θ
yu 0
0
Ñieåm döøng
y x
q 4 π q 2 π
q 2 π
A
Ñieåm döøng A:
u
u
0
u;0
0
=⇔=
=
A
xA
yA
0
u
=
+
x −=⇔=
0
A
2
2
x
ϕ∂ x ∂
q 4 π
x2 y +
q u2 π
0
⇔
⇑ y
0
=
0 ⇔=
=
A
2
2
x
ϕ∂ y ∂
q 4 π
y2 y +
⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩
THE LUU 5
PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay
6. Doøng chaûy quanh coá theå daïng Rankin
u0
+q -q
A
B
Laø toå hôïp cuûa doøng chuyeån ñoäng thaúng ngang ñeàu (u0) + nguoàn (+q) + huùt(-q). Trong ñoù ñieåm nguoàn vaø huùt naèm treân truïc hoaønh, caùch nhau moät ñoaïn 2a höõu haïn,
2a
2
2
ln
=ϕ
+
xu o
2
2
y y
q 4 π
)ax( + )ax( −
+ +
arctg
=ψ
+
yu o
q 2 π
y ax +
y ax −
⎛ ⎜ ⎝
⎞ −⎟ ⎠
⎛ arctg ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
⎡ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎦
0
0
=
−
{ y
y2 2
2
2
y2 2
q 4 π
ϕ∂ y ∂
x(
)a
y
x(
)a
y
+
+
−
+
⎛ ⎜ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ =⇔=⎟ ⎠
u
0
=
+
−
0
+ 2
− 2
2
2
u
0
=
ϕ∂ x ∂
q 4 π
x(
x(
x(2 )a +
)a y +
x(2 )a −
)a y +
x
⎛ ⎜ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ =⎟ ⎠
0u
⇔
⇔=
u
0
=
y
⎧ ⎨ ⎩
theá
y
u
0
0
+⇔=
−
0
x(
)a
x(
)a
q 4 π
2 −
2 +
⎛ ⎜ ⎝
2
x
0
a
+
u +⇔ 0
2
2
q 4 π
aq u π
a
x
a4 −
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ±=⇔=⎟ ⎠
0
⎞ =⎟ ⎠ ⎧ ⎨ ⎩
⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
Coù hai ñieåm döøng A vaø B:
m
x
θ
cos
cos
=ϕ
+
=
+θ
=
xu o
ru o
ru o
2
2
2
cos r
m 0 2 π
m 0 2 π
x
y
+
Xeùt ñöôøng doøng ψ=0 ⇔
θ = 0
0 ru2 π 0
⎛ ⎜ 1 +θ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
m
y
θ
vaø
0
r
=
sinru
sinru
=
−θ
=
=ψ
+
yu o
o
o
2
2
2
m 0 u2 π
sin r
m 0 2 π
m − 2 π
0
x
y
+
0 ru2 π 0
⎛ ⎜ 1 −θ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
m
r
=
R
=
Thay ñöôøng troøn
baèng ñöôøng troøn
m 0 u2 π
0 u2 π
0
0
vaø
thì baûn chaát doøng chaûy vaãn khoâng ñoåi
Do khoâng coù söï trao löu chaát giöõa ñoåi trong ngoaøi ñöôøng doøng ψ=0
2
cos
1
=ϕ
+
ru o
R 2
r
⎛ ⎜ θ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
2
Ta coù hình aûnh cuûa doøng chaûy bao quanh truï troøn. (truï khoâng xoay)
sinru
1
=ψ
θ
−
o
R 2
r
⎛ ⎜ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
7. Doøng chaûy quanh truï troøn (Γ=0) Xeùtø toå hôïp cuûa chuyeån ñoäng thaúng ñeàu, naèm ngang (u0)+löôõng cöïc (m0)
THE LUU 6
Ñieåm döøng
PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay
2/2
pA = pB = ρu0
u
u2
sin
−=
=
θ
uC = -2u0
0
θ
C
cosRu2
1 r
ϕ∂ θ∂
⇒θ
=ϕ⇒
Rr =
0
B
A
u
0
=
r
(cid:190)Tìm phaân boá vaän toác treân maët truï r=R: ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩
D
uD = 2u0
(cid:190)Tìm hai ñieåm döøng treân maët truï: 0
π
θ
θ
0
vaø
=⇔=
=
u θ ⇒ coù hai ñieåm döøng A. B tröôùc vaø sau maët truï.
2/2
pC = pD = -3ρu0
u
u
;
=θ⇔
=θ
max
=θ
u2
u
−=
u;u2 0
D
C
0
π 2 = (cid:190)Khaûo saùt phaân boá aùp suaát reân maët truï:
AÙp duïng P.Tr NL treân ñöôøng doøng ψ=0 töø ñieåm xa voâ cöïc ñeán ñieåm treân maët truï:
(cid:190)Tìm hai ñieåm coù giaù trò vaän toác lôùn nhaát treân maët truï: 3 π 2 ⇒ C, D naèm treân vaø döôùi maët truï coù giaù trò vaän toác lôùn nhaát.
2
ρ
ρ
2 tr
2 0
u4
θ
2 0
2 0
2 0
p
p
=
+
p
1(
)
1(
)
−
=
−
tr
+∞
=dö tr
Giaû sö û p∝=pa
u 2
uρ 2
2 u tr 2 u 0
sin 2 u 0
2 0
2
2 0
p
p
=
=
A
B
Taïi A, B:
p
sin41(
)θ
−
=dö tr
uρ 2 uρ 2
2 0
p
p
=
−=
D
D
Taïi C, D:
u 2 u ρ 2 u3 ρ 2 Nhaän xeùt:
Do bieåu ñoà phaân boá aùp suaát ñoái xöùng qua ox laãn oy neân toång löïc taùc duïng leân maët truï trong tröôøng hôïp naøy = 0
L cöïc
Doøng ñeàu
2
cos
=ϕ
θ
ru o
R 2
Γ 2 π
r
⎛ ⎜ 1 +θ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ +⎟ ⎠
7. Chuyeån ñoäng quanh truï troøn xoay (Γ≠0): Bao goàm chuyeån ñoäng quanh truï troøn + xoaùy töï do (Γ +)
Xoaùy töï do
2
ln
r
sinru
=ψ
o
R 2
r
⎛ ⎜ 1 −θ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ −⎟ ⎠
u;0
u
u2
sin
Γ 2 π (cid:190)Phaân boá vaän toác treân maët truï : −=
=
+θ
r
0
θ
ñieåm.2
. döøng
4
0
Vì r = R neân
ñieåm.1
. döøng
4
0u
sin
u2
⇔=
=θ
sin =θ⇔
⇒
0
0
4
1 Γ 2R π Γ Ru
π
0
ñieåm.0
. döøng
4
0
Γ R2 π (cid:190)Phaân boá aùp suaát treân maët truï :
ρ
ρ
2 tr
2 0
suy ra:
−=
θ
+
p
p
=
+
u θ
u 2 0
tr
+∞
u 2
u 2
Ru →π<Γ ⎧ ⎪ Ru →π=Γ ⎨ ⎪ Ru →π>Γ ⎩ 1 R
Γ π 2
vôùi
2
2 0
2 0
Giaû sö û p∝=pa
1
1(
)
sin2
θ
=
−
=
−
−
p dö tr
uρ 2
uρ 2
u u
Γ Ruπ2
2 tr 2 0
0
⎛ ⎜⎜ ⎝
⎞ ⎟⎟ ⎠
sin ⎡ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎦
(cid:190)Löïc taùc duïng treân maët truï:
Löu yù : Fx =0
2
π
2
π
Phöông x: Phöông y:
n
sinRp
d.
U
Γρ−=θθ
sin
0
d. =θθ
F −=⇒ y
dö tr
0
∫
---(cid:198) Löïc naâng Jukovs
∫
0
0
THE LUU 7
PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay
Γ/2πRu0=1
Γ/2πRu0=2 Caùc tröôøng hôïp xoaùy Γ>0
Ñieåm döøng Ñieåm döøng
Fy Γ/2πRu0=3
Ñieåm döøng
y
y Fy Caùc tröôøng hôïp xoaùy Γ< 0
Γ
Γ
r
r Stagnation Ñieåm döøng Point Stagnation Ñieåm döøng Point y | Γ | /2πRu0=2
| Γ | /2πRu0=1
Γ
r
THE LUU 8
Stagnation Ñieåm döøng Point | Γ | /2πRu0=3
PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay
Ví duï 1: Chuyeån ñoäng theá cuûa chaát loûng hai chieàu treân maët phaúng naèm ngang xoy vôùi haøm theá vaän toác ϕ = 0,04x3 + axy2 + by3 , x,y tính baèng m, ϕ tính baèng m2/s.
1. Tìm a, b. 2. Tìm ñoä cheânh aùp suaát giöõa hai ñieåm A(0,0) vaø B(3,4), bieátb khoái löôïng
rieâng loûng baèng 1300kg/m3
Giaûi:
Töø haøm theá vaän toác ϕ = 0,04x3 + axy2 + by3 ta coù:
2
2
2
u
x12,0
ay
u;
axy2
by3
=
=
+
=
=
+
x
y
ϕ∂ x ∂
ϕ∂ y ∂
Caùc thaønh phaàn vaän toác phaûi thoaû phöông trình div(u)=0 neân:
u
∂
by6
24,0(
0
+
0 ⇔=
ax2x24,0 +
+
0 ⇔=
+
by6x)a2 +
=
y y
u ∂ x x ∂
∂
Vì div(u)=0 ñuùng vôùi moïi ñieåm neân theá (x=0; y=1) vaøo ta ñöôïc b = 0
(x=1; y=0) vaøo ta ñöôïc a = -0,12
⇒ uA=0; uB = ((0,12*32 -0,12*42)2+(-0,24*3*4)2)1/2 = 3 m/s
1300
2 )3(
Vì ñaây laø chuyeån ñoäng theá neân p.tr Ber ñuùng cho hai ñieåm baát kyø A vaø B, ta coù: 2 u( ρ B
2 )u A
2
p(
+
=
−⇔+
=
⇔
m/KN85,5
p
A
)p B
Δ
=
=
AB
2 u A 2
2 u B 2
− 2
p A ρ
p B ρ
2
Ví duï 2:
y
Doøng chaûy theá uoán cong moät goùc 900 vôùi haøm theá vaän toác ñöôïc cho nhö sau:
y(
2 )x
)y,x(
ϕ
=
2 −
1 2
(x,y tính baèng m).Tìm löu löôïng phaúng qua ñöôøng thaúng noái hai ñieåm A(1,1) vaø B(2,2)
x
y(phi=70)
25
y(phi=60)
20
y(phi=50)
Giaûi:
y
=
x = −
=
=
y(phi=40)
u x
; u y
15
∂φ x ∂
∂φ y ∂
y(phi=30)
10
y(phi=20)
y x = − ⇒ ∂ψ = − ∂
yu
y(phi=10)
5
y(phi=0)
∂ψ x ∂ ⇒ ψ = −
yx C(y) +
0
y(phi=-10)
-30
-20
-10
0
10
20
30
y(phi=-20)
-5
x C'(y)
x
= ⇒ − +
= −
xu
y(phi=-30)
∂ψ y ∂
C(y)
const
xy
const
⇒
=
⇒ ψ = −
+
q * * 2 2 1 1 +
2 3 m / s = −
⇒ = ψ − ψ = − B
AB
A
THE LUU 9
PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay
θ
Fy dF
Ví duï 3: Gioù thoåi qua maùi leàu daïng baùn truï R=3m vôùi V=20m/s, khoâng khí coù khoái löôïng rieâng baèng 1,16 kg/m3 . Tìm löïc naâng taùc duïng leân 1m beà daøi leàu. Giaûi: Ñeå tìm löïc naâng Fy taùc duïng leân 1m beà daøi leàu, treân baùn truï ta chon moät vi phaân dieân tích ds, tìm löïc dF taùc duïng leân ds, sau ñoù chieáu dF leân phöông y →dFy. Vaø tích phaân (dFy) treân toaøn baùn truï
2
2 0
p
sin41(
)θ
−
=dö tr
π
π
π
ρ
AÙp suaát dö treân maët truï baèng:
2
sin41(
)
cos(
Rd)
0
pds
cos(
−=
) −=θ
−
θ
θ
=θ
F =⇒ x
dF x
∫
∫
0 π
0 π
0 π
2
cos
))
sin(
Rd)
pds
sin(
−=
) −=θ
1(41( −
−
θ
θ
θ
F =⇒ y
dF y
∫
∫
∫
uρ 2 2 u 0 ∫ 2 2 u ρ 0 2
0
0
0
π
π
π
2
2
2 0
2 0
4(
cos
d(
(cos(
3
sin(
4(
cos
)3
sin(
d)
−θ
−=θθ
−θ
)) −θ
d) θθ
F −=⇒ y
∫
∫
∫
uR ρ 2
0
0
⎤ ⎥ ⎦
π
3
2 0
uR ρ 2 2 0
2 0
3
cos
cos
3
3 +−
−
−θ
θ
F −=⇒ y
uR ρ 2
4 3
4 3
0 uR5 ρ 3
4 3
uR ρ 2
⎤ −=⎥ ⎦
⎡ ⎢ ⎣ ⎛ ⎜ ⎝
⎞ −⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
0
⎡ ⎢ ⎣
⎤ =⎥ ⎦
2320
⎡ ⎢ ⎣ N
Fy =⇒
2/2
pA = pB = ρu0
uC = -2u0
C
B
A
D
Ví duï 4: Moät xi lanh hình truï troøn di chuyeån trong nöôùc vôùi vaän toác u0 khoâng ñoåi ôû ñoä saâu 10m. Tìm u0 ñeå treân beà maët xi lanh khoâng xaûy ra hieän töôïng khí thöïc , bieát nöôùc ôû 200C Giaûi:
uD = 2u0
2/2
pC = pD = -3ρu0
tñ > pbh = 0,25m nöôùc
ÔÛ 200C aùp suaát hôi baõo hoaø cuûa nöôùc : pbh = 0,25m nöôùc Ñeå treân beà maët xi lanh khoâng xaûy ra hieän töôïng khí thöïc thì ptru
ck < 9,75m nöôùc
hay
dö > - 9,75m nöôùc
⇒ ptru ptru
2/2
2/2
pC = pD = -3ρu0 pC = pD = 10γn -3ρu0
AÙp suaát dö nhoû nhaát treân maët tru (neáu truï di chuyeån treân maët thoaùng )ï, nhö ta ñaõ bieát, taïi vò trí C vaø D, baø baèng: Vaäy neáu truï di chuyeån ôû ñoä saâu 10m thì : Suy ra, vaän toác toái ña maø truï coù theå di chuyeån ñöôïc ñeå khoâng coù hieän töôïng khí thöïc xaûy ra treân maët truï phaûi giaûi töø baát p.tr :
Ptru
dö = 10γn -3ρu0 ⇔ 3ρu0
2/2 > - 9,75 γn 2/2 < 19,75 γn
THE LUU 10
⇔ u0 < 11,365 m/s
PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay
dF π/2 ds
α
θ
dFx
0
Ví duï 5: Hai nöûa xi lanh ñöôïc noái vôùi nhau vaø ñaët trong tröôøng chaûy ñeàu coù theá nhö hình veõ. Ngöôøi ta khoeùt 1 loã nhoû taïi vò trí goùc α ñeå cho khoâng coù löïc taùc duïng leân hai moái noái. Giaû thieát raèng aùp suaát beân trong xi lanh baèng aùp suaát beân ngoaøi xi lanh taïi loã khoeùt. Xaùc ñònh goùc α
Giaûi:
Ñeå cho khoâng coù löïc taùc duïng leân hai moái noái thì toång löïc Fx taùc duïng leân moãi nöûa maët truï phaûi baèng khoâng. Do bieåu ñoà aùp suaát treân maët truï phaân boá ñoái xöùng qua truïc ox, neân ta chæ caàn xeùt toång löïc Fx treân ¼ maët tr. Ta xeùt treân ¼ maët truï töø 0 ñeán π/2: AÙp suaát dö treân maët truï:
2
2 0
p
sin41(
)θ
−
=dö tr
uρ 2
Treân ¼ maët truï ta choïn vi phaân ds, goïi dFn laø löïc taùc duïng leân ds töø beân ngoaøi maët truï, ta coù: dFn=pds ⇒ dFnx= - pdscosθ = -pRcosθdθ
2/
π
2/
π
ρ
ρ
ρ
2
3
2 0
sin
F
sin41(
)
cos
Rd
sin
=
−
θ
θ
−=θ
−θ
θ
−=⇒ nx
∫
4 3
2 Ru 0 6
u 2
2 Ru 0 2
⎤ ⎥ ⎦
⎡ ⎢ ⎣
0
0
ρ
Nhaän xeùt: Löïc F nx >0 höôùng theo chieàu döông⇒löïc Ftx töø beân trong maët truï phaûi höôùng theo chieàu aâm. Nhö vaäy, aùp suaát taïi loã khoeùt phaûi laø aùp suaát chaân khoâng
2
2 0
p
sin41(
)
−
α
dö =α
Goïi pα laø aùp suaát taïi loã khoeùt, ta coù:
u 2
π
π
2/
cos
Rd
2/ p
θ
=θ
θ
=
=
[ sinRp
]
π 0
F =⇒ tx
α
Rp α
α
2/ dsp α
∫
0
2
sin41(
)
−
α
F =⇒ tx
∫ 0 2 Ru ρ o 2
ρ
ρ
2
Suy ra:
F
sin41(
)
−
α
−=
F ⇒−= tx
nx
Ta coù: Fnx + Ftx = 0 2 Ru o 6
2 Ru o 2
π/2
2
2
sin4
sin
⇒
=α
4 ⇒=α 3
1 3
α
Ftx
Fnx 0
sin =α⇒
1 3 026,35=α
THE LUU 11
PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay
Ví dụ 6 (tự giải) Xoáy tự do âm có cường độ 12m2/s chồng nhập với một nguồn cường độ 10m2/s. Cả hai đặt tại gốc tọa độ. Cho khối lượng riêng của không khí bằng 1,23 kg/m3. Nếu áp suất khí ở xa vô cực bằng áp suất khí trời và xem như không khí tĩnh. Tính áp suất tại điểm A(3,4) ĐS: pck A=0,512 N/m2 HD: Tìm vận tốc tại A. Áp dụng phương trình năng lượng để suy ra áp suất tại A
Ví dụ 7 (tự giải) Dòng thẳng đều ngang với vận tốc 3m/s từ xa vô cực đến gặp một điểm nguồn cường độ 2m2/s đặt tại điểm A(1,2). Biết áp suất xa vô cực bằng không, Tìm vị trí và và áp suất tại điểm dừng B ĐS: B(0,89; 2); pB=0,46 m lưu chất. HD: Vị trí điểm dừng B trong hệ trục tọa độ mới XOY là: Y=0; X= - q/(2πu)
Tọa độ của B trong xoy tìm được nhờ áp dụng công thức chuyển trục tọa độ. Áp suất pB tìm từ ph. tr năng lượng
Ví dụ 8 (tự giải) Dòng chảy đều song song trục hoành bao quanh trụ tròn (không xoay) đặt tại gốc tọa độ. Vận tốc dòng đều V=2m/s. Áp suất xa vô cực bằng 5m nước. Tìm vận tốc và áp suất tại điểm A trên mặt trụ hợp với phương Ox một góc 1500 . ĐS: VA=2m/s và pA=49050 N/m2 HD: A trên mặt trụ chính là điểm có áp suất dư bằng 0 nếu xem áp suất xa vô cực =0
THE LUU 12
