Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
CHAPTER Cơ học kỹ thuật: ĐỘNG LỰC HỌC
Engineering Mechanics: KINETICS
Động lực học cơ hệ:
Công – năng lượng
Nguyễn Quang Hoàng
Bộ môn Cơ học ứng dụng
Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
-2-
Nội dung
I. CÔNG CỦA LỰC VÀ CÔNG CỦA NGẪU LỰC
II. ĐỘNG NĂNG VÀ ĐỊNH LÝ ĐỘNG NĂNG
III. LỰC BẢO TOÀN, THẾ NĂNG. ĐỊNH LÝ BẢO TOÀN
CƠ NĂNG
IV. PHƯƠNG TRÌNH LAGRANGE LOẠI 2
Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
-3-
I. CÔNG CỦA LỰC VÀ CÔNG CỦA NGẪU LỰC
1. Công của lực
2. Công của ngẫu lực
3. Công của một số lực thường gặp
4. Công suất và hiệu suất
Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
-4-
1. Công của lực
cosdA F dr Fds
Công là đặc trưng tác dụng của lực theo di chuyển.
dA F vdt Fv dtcos
xx yy zz
xyz
FFe Fe Fe
dr dxe dye dze
Đơn vị của công là Jun, ký hiệu là J. Đơn vị này có thể gọi là Niutơn mét, ký hiệu là N.m.
Công nguyên tố của lực Ftrong di chuyển dr:
Trong hệ trục tọa độ Đề - các
dr vdt
F
rdr+
dr
a
MN
x
e
z
e
y
e
x
z
y
O
r
xyz
dA F dr
Fdx Fdy Fdz
Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
-5-
1. Công của lực
Công của lực trong di chuyển hữu hạn
NN
MM
rs
MN
rs
N
xyz
M
AFdrFds
Fdx Fdy Fdz
cos
Trường hợp Fcos= const.
MN
AF scos
F
MN
s
F
rdr+
dr
a
MN
x
e
z
e
y
e
x
z
y
O
r
dA F dr
Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
-6-
2. Công của ngẫu lực
AB
AB
dA F dr F dr
Fvdt Fvdt
BA
vv u
ddt
abc bca F u uF() () ( ) ( )
AA
AA
dA F v dt F v u dt
F v dt F v dt F u dt
FudtuFdt
()
()
()()
Công của ngẫu lực tác dụng lên vật rắn
zz
if M A M = const
A
B
u
w
F
F¢
B
r
A
r
MFF(, )
AA AA
F vdt Fvdt Fvdt Fvdt 0
A
dA u F d
mF d Md
()
()
Công của ngẫu lực tác dụng lên vật rắn quay quanh trục z cố định
z
dA M d M d
e
dj
z
M
Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
-7-
3. Tính công của một số lực thường gặp
G
x
y
z
x
y
O
z
M0
M1
Công của trọng lực
01
01
10
11
1, 1, 0, 0,
11
1, 0, 1, 0,
()
,
(),| |
nn
kk k C kk k
kk
MM
nn
Ckk Ckk
kk
CC CC
MM
AGzzGzGzGG
Gz G z Gz G z
AGzzGhhzz
0000 1111
(, , ) (,,)Mxyz Mxyz
z
GGe dAGdrGdz
Công thức trên cho thấy công của trọng lực không phụ thuộc vào dạng quỹ đạo
điểm đặt lực mà chỉ phụ thuộc điểm đầu và điểm cuối của đường di chuyển.
Công của trọng lực tác dụng lên cơ
hệ bằng tổng công trọng lực tác
dụng lên các chất điểm thuộc hệ
M
M
rz
MM rz
MM
AGdrGdzGzz
hzz A Gh
1
1
01 0
0
01
10
10
()
||,
Khi lực di chuyển:
Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
-8-
3. Tính công của một số lực thường gặp
N
M
r
dh N M
r
dA F dr kr dr A kr dr k r r
22
1()
2
F
M
r
N
r
x
y
z
O
M
N
Cũng như công của trọng lực, công của lực đàn hồi tuyến tính cũng chỉ phụ
thuộc vào điểm đầu và điểm cuối mà không phụ thuộc quỹ đạo điểm đặt lực.
Công của lực đàn hồi tuyến tính ,
dh
Fkr kconst
MN
if r A kr k
22
11
0 22
N
r
độ dãn (hoặc nén) của lò xo tính từ vị trí cân bằng
k
l0s
s
s
Aksdsks
2
00
1
2
-=- =-
ò
dh
Fks
dh
Mk
k
Akdk
2
00
1
2
j
jjj j
-=- =-
ò
Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
-9-
3. Tính công của một số lực thường gặp
x
y
z
O
A
B
u
w
F
BA
A
dA F dr F v u dt
Fdr u F dt
()
()()
BA
vv u
ddt
() ()abc bca
Công của lực tác dụng lên vật rắn
Vật tịnh tiến (B, C thuộc vật)
A là điểm bất kỳ thuộc vật
BC
dA F dr F dr
Vật quay quanh trục cố định
Oz
dA F dr F r dt
rF dt mFd mFd
()
() () ()
Vật là tấm CĐSP u
()
AA
dA F dr m F d
z
if M m F A M ( ) = const
e
dj
F
B
r
O
dr vdt rdt
AA
dA F dr m F d()
Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
-10-
3. Tính công của một số lực thường gặp
Công của lực ma sát trượt
(if N = const)
ms ms ms
ms
dA F vdt F vdt F ds
FN
d A Nds A Ns
v
Fms
sN
Công của lực ma sát trượt luôn âm.
Công của lực ma sát khi vật lăn không trượt:
0
ms I
ms ms
dA F vdt
dA m dt m d
Công của lực ma sát
Công của ngẫu lực ma sát lăn
P
N
Fms
mms
I
F
0
I
v
ds
ddsR/
Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
-11-
3. Tính công của một số lực thường gặp
Công của các nội lực trong cơ hệ:
M
r
N
r
21
F
12
F
u
O
N
M
M
r
N
r
21
F
12
F
u
O
N
M
u
e
MN
dA F dr F dr
21 12
Nếu khoảng cách giữa hai điểm
M và N thuộc hệ có thể thay
đổi, chẳng hạn có một lò xo nối
hai điểm này, khi đó du 0 và
nội lực sẽ sinh công.
Như vậy, có thể kết luận là nội lực có thể sinh công hoặc
không sinh công tùy thuộc vào từng trường hợp cụ thể.
Trường hợp hai điểm M và N
thuộc một vật rắn, khoảng cách
giữa hai điểm không đổi, khi đó
du = 0 và nội lực không sinh
công.
NM N M
uu
u
NM u
rrudrdrdu
du d ue due dt u
due d u d dt
dr dr due d u
()
,
MMu
u
u
u
dA F dr F dr due d u
Fdue F d u
Fdue uF d
dAFdue Fdu
21 12
12 12
12 12
12 12
()
()
()
Liên kết dây căng không dãn và tại các
khớp trơn nhẵn (không ma sát): nội lực
không sinh công.
Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
-12-
4. Công suất và hiệu suất
Công suất của máy được đo bởi khả năng sinh công hay cung cấp năng lượng trong một đơn vị
thời gian.
Công suất là công do lực sinh ra trong một đơn vị thời gian, ký hiệu công suất là P, theo định
nghĩa:
cos cos [W=J/s]
dA
PFvFvFs
dt
power output energy output
power input energy input
Đơn vị của công là Oát (Watt), ký hiệu là W, (1 W = 1 J/s).
Hiệu suất cơ học của máy được định nghĩa là tỷ lệ của công suất hữu ích tạo ra bởi máy và công
suất đầu vào cung cấp cho máy.
dA M d
PM
dt dt [W=J/s]
Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
-13-
II. ĐỘNG NĂNG VÀ ĐỊNH LÝ ĐỘNG NĂNG
1. Động năng của cơ hệ
2. Định lý động năng
3. Ví dụ áp dụng
Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
-14-
1. Động năng của cơ hệ
m
O()rt
v
Động năng của chất điểm
22
11
,0
22
Tmv mv T
22
[kg m / s ] N m J
Động năng của vật rắn
C
A
P
O0
vdm
w
C
s
r
O
r
u
s
B
AA
AA A
Tvdm
vsvsdm
v v dm v s dm s s dm
2
1
2
1()()
2
11
() ()()
22
ww
www
=
=+´⋅+´
=⋅+⋅´+´⋅´
ò
ò
òò ò
A
B
Tvdmvvs
2
1,
2w==+´
ò
C
sdm ms udm,0==
òò
C
AC T mv u udm
2
11
()()
22
wwº= + ´⋅´
ò
Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
-15-
1. Động năng của cơ hệ
Động năng của vật rắn phẳng
AB
Isdm
2
=ò
uw^
22 2
()() , AA A
ks s s s vv vww w w w=^ ´⋅´= ⋅=
A
C
dm
v
C
v
u
w
C
s
s
BB
AA C A
T v dm v vdm
mv mv s I
2
22
11
22
11
()
22
ww
==⋅
=+⋅´+
òò
Nếu chọn điểm A trùng với khối tâm C của vật, khi đó sC= 0
CC
Tmv I
22
11
22
w=+
CB
Iudm
2
=ò
Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
-16-
1. Động năng của cơ hệ
22
11
22
B
Tvdmmv==
ò
Động năng của vật rắn chuyển động tịnh tiến 0w=
z
e
A
e
v
r
h
dm
Động năng của vật rắn quay quanh trục cố định z
vh hwq==
(
)
z
BB
zB
Tvdm hdm I
Ihdm
2222
2
11 1
22 2
ww== =
=
òò
ò
Động năng của cơ hệ gồm nhiều vật rắn
Động năng của cơ hệ bằng tổng động năng của các vật thuộc hệ.
Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
-17-
2. Định lý động năng / đối với chất điểm
dT PFv
dt ==⋅
Định lý 1. Đạo hàm theo thời gian động năng của chất điểm bằng công suất của lực tác dụng lên
chất điểm:
Chứng minh: Xuất phát từ tiên đề 2 Newton
2
11
() ( ) ( )
22
dd d d
vmv mvv mv T
dt dt dt dt
⋅= ⋅= =
dT F vdt F dr d A
¢
=⋅ =⋅ =
r
r
TT A mv mv Fdr
2
1
22
21 12 2 1
11
,22
-
-= - = ⋅
ò
dd
mv F v mv F v
dt dt
() ()=⋅ =⋅
Định lý 2. (dạng vi phân)
Định lý 3. (dạng hữu hạn)
112 2
TA T
-
+=
m
O
r
v
F
(1)
(2)
(3) (4)
Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
-18-
2. Định lý động năng / đối với cơ hệ
Định lý 4.Đạo hàm theo thờigianđộng năng củacơhệbằng tổng công suấtcủacác nộilực và ngoạilực
tác dụng lên cơhệ:
k
xk
y
k
z
e
k
F
i
k
F
x
y
z
mk
O
m1
k
v
ei
kk k k k k
kkk
dT Fv F v Fv
dt =⋅= ⋅+⋅
ååå
2
1
()
2
ei
kk k k k k
kkk
dmv F v F v
dt =⋅+⋅
ååå
2
1
()
2
ei
kk k k k k
dmv F v F v
dt =⋅+⋅
Chứng minh. Đối với một chất điểm Mkthuộc cơ hệ
Lấy tổng hai vế với tất cả các chất điểm thuộc hệ
(1)
(2)
Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
-19-
2. Định lý động năng / đối với cơ hệ
k
xk
y
k
z
e
k
F
i
k
F
x
y
z
mk
O
m1
k
v
() ()
ei ei
kk kk k k
kk kk
dT F v dt F v dt d A F d A F
¢¢
=⋅+⋅= +
åååå
Định lý 5. (dạng vi phân)
Định lý 6. (dạng hữu hạn)
ei
kk kk
kk
dT Fv Fv
dt =⋅+⋅
åå
2 1 12 12
() ()
ei
kk
kk
TT AF AF
--
-= +
åå
Lưu ý
• Định lý động năng dạng hữu hạn cho ta quan hệ giữa vận tốc và dịch chuyển.
• Khi áp dụng định lý động năng cần phân loại lực thành lực sinh công và lực không sinh công.
ei
kk
kk
TAF AFT
112 12 2
() ()
--
++=
åå
(1)
(2)
(3)
hoặc
Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
-20-
3. Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1. Mô hình thang máy như trên hình. Mô men động cơ M1=
const tác dụng làm hệ chuyển động từ trạng thái đứng yên. Cho biết
các thông số hệ: r1,I
1,r,r
2,I
2,m,m
C,g.
Xác định:
- vận tốc Cabin A theo góc quay động cơ 1.
- gia tốc Cabin A
- Công suất động cơ khi cabin A có vận tốc v và gia tốc a hướng lên.
Lời giải
Phân tích chuyển động:
Các lực sinh công:
21
r1
A
r
r2
B
1
mmC
M1
I2I1
h
P
PC
1,,
C
MPP
Tính động năng hệ khi Cabin A có vận tốc v đi lên
Tính tổng công các lực khi trục 1 quay được góc 1.1= 0 , h = 0
