Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy
Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy
-2-
Nội dung
Cơ học kỹ thuật: ĐỘNG LỰC HỌC
CHAPTER
I. CÔNG CỦA LỰC VÀ CÔNG CỦA NGẪU LỰC
Engineering Mechanics: KINETICS
II. ĐỘNG NĂNG VÀ ĐỊNH LÝ ĐỘNG NĂNG
Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng
III. LỰC BẢO TOÀN, THẾ NĂNG. ĐỊNH LÝ BẢO TOÀN CƠ NĂNG
Nguyễn Quang Hoàng
IV. PHƯƠNG TRÌNH LAGRANGE LOẠI 2
Bộ môn Cơ học ứng dụng
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy
-3-
Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy
-4-
1. Công của lực
Công là đặc trưng tác dụng của lực theo di chuyển.
dr
a
I. CÔNG CỦA LỰC VÀ CÔNG CỦA NGẪU LỰC
Công nguyên tố của lực F trong di chuyển dr:
r
1. Công của lực
F
cos
d A F dr Fds
dr
vdt
z
r
dr+
2. Công của ngẫu lực
dt
d A F vdt Fv
cos
ze
3. Công của một số lực thường gặp
Trong hệ trục tọa độ Đề - các
O
xe
y
ye
4. Công suất và hiệu suất
d A F dr
x
F e z z
dr
F dx F dy F dz y
x
z
F F e x x dxe x
F e y y dye y
dze z
Đơn vị của công là Jun, ký hiệu là J. Đơn vị này có thể gọi là Niutơn mét, ký hiệu là N.m.
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
M N
Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy
-5-
Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy
-6-
1. Công của lực
2. Công của ngẫu lực
w
Công của lực trong di chuyển hữu hạn
)
M F F( ,
dr
u
a
r N
s N
Công của ngẫu lực tác dụng lên vật rắn
v v A B dt d
u
A
F
ds
F dr
cos
MN
r
F
F ¢
F dr B B
F
s
r M
M
A M N
d A F dr
z
N
r
dr+
Ar
)
)
)
)
c a (
F
u
(
d A F dr A F v dt F v dt A c a b (
b
u F (
F dx F dy F dz y
x
z
B
M
ze
Br
)
O
Trường hợp Fcos = const.
e
xe
u dt )
y
ye
dA u F d ( m F d ( )
M d
A
u dt ) ( dt
s
dj
x
0
F v dt F v dt
dA F v dt F v ( A A F v dt F v dt F A A u F F ) ( ( F v dt F v dt A A
u dt ) A
A
F
s
cos
MNA
zM
if M
= const
A M
dA M d
z
z
M d z
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy
-7-
Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy
-8-
F M N Công của ngẫu lực tác dụng lên vật rắn quay quanh trục z cố định
3. Tính công của một số lực thường gặp
Công của lực đàn hồi tuyến tính
z z Công của trọng lực
3. Tính công của một số lực thường gặp d A G dr G
Gdz
, kr
k
const
dhF
(
,
,
)
)
Ge z
r N
M x y z , 0
0
0
0
M x y z ( , 1
1
1
1
d A F dr
kr dr
A
)
kr dr
dh
2 k r ( N
2 r M
r M
1 2
z
r M
1
1
M0 M Khi lực di chuyển: z
A
Gdz
( G z
z
)
G dr
0
1
z
M M 1 0
r M
0
0
A
if
0
2 k
2 kr N
r M
G
Mr F
1 2
1 2
M1 N
Nr
h
z
z
|,
A
Gh
|
0
1
Nr
M M 1 0
Cũng như công của trọng lực, công của lực đàn hồi tuyến tính cũng chỉ phụ thuộc vào điểm đầu và điểm cuối mà không phụ thuộc quỹ đạo điểm đặt lực.
Công thức trên cho thấy công của trọng lực không phụ thuộc vào dạng quỹ đạo điểm đặt lực mà chỉ phụ thuộc điểm đầu và điểm cuối của đường di chuyển.
k
dhM
n
n
ks
A
z
)
G
G
dhF
0
G z ( k
1 k
k
Gz C
G z k k
k
1
1
k
k
M M 0 1
n
n
Gz
,
Gz
1,
1,
0,
0,
C
G z k
k
C
G z k
k
1
1
k
k
k
y O độ dãn (hoặc nén) của lò xo tính từ vị trí cân bằng O x y y x x
Công của trọng lực tác dụng lên cơ hệ bằng tổng công trọng lực tác dụng lên các chất điểm thuộc hệ
s
j
-
ksds
= -
ks 2
-
k d
j j
= -
k 2 j
sA
j
0
A 0
- =
- =
ò
ò
A
G z (
z
)
Gh h ,
z
z
|
|
0
0
0,
1,
0,
1,
C
C
C
C
1 2
1 2
M M 1 0
s l0
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
k
Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy
-9-
Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy
-10-
3. Tính công của một số lực thường gặp
3. Tính công của một số lực thường gặp
w
u dt )
vdt
u
F vdt ms
F ds ms
)
dt
F
u
F v ( A ) ( u F (
Nds
Ns
Công của lực ma sát trượt d A F ms F N ms d A
A
(if N = const)
)
v v A B dt d c a b ) (
b
c a (
( )
d A F dr B F dr A d A F dr m F d A
A
ds
e
F dr C
ds R/
d
u
dr
vdt
0
rdt
Công của lực ma sát khi vật lăn không trượt: d A F
dj
Công của lực ma sát
v dt I
ms
( )
z N s v Công của lực tác dụng lên vật rắn A Fms B Công của lực ma sát trượt luôn âm. A là điểm bất kỳ thuộc vật O y x P Vật tịnh tiến (B, C thuộc vật) d A F dr B Vật là tấm CĐSP
(
F
d A F dr m F d A
A
mms
d A
Công của ngẫu lực ma sát lăn
m dt ms
m d ms
)
m F d ( )
z
r
( ) = const
A M
if M m F
z
0
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy
-11-
Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy
-12-
N F B Vật quay quanh trục cố định r dt d A F dr F ) r F ( ) ( dt m F d O Fms O I Iv
4. Công suất và hiệu suất
3. Tính công của một số lực thường gặp
Công của các nội lực trong cơ hệ:
Công suất của máy được đo bởi khả năng sinh công hay cung cấp năng lượng trong một đơn vị thời gian.
M
u
d A F dr M
F dr N
21
12
21F
ue
N
Công suất là công do lực sinh ra trong một đơn vị thời gian, ký hiệu công suất là P, theo định nghĩa:
12F Mr O
Nr
r N du
)
du dr M dt u
P
cos
F s
cos
[W=J/s]
F v Fv
dA dt
dt d
12F
u
d
dr N
u r M d ue ( u due u dr M
M
u
P
M
[W=J/s]
21F
dA M d dt dt
u
)
d
N
Mr
Trường hợp hai điểm M và N thuộc một vật rắn, khoảng cách giữa hai điểm không đổi, khi đó du = 0 và nội lực không sinh công.
O
Nr
)
due u u ) d
dr N due u d u , due u F ( dr M 12 F d ( 12 u F ( 12
Đơn vị của công là Oát (Watt), ký hiệu là W, (1 W = 1 J/s). Nếu khoảng cách giữa hai điểm M và N thuộc hệ có thể thay đổi, chẳng hạn có một lò xo nối hai điểm này, khi đó du 0 và nội lực sẽ sinh công.
Hiệu suất cơ học của máy được định nghĩa là tỷ lệ của công suất hữu ích tạo ra bởi máy và công suất đầu vào cung cấp cho máy.
F du
12
d A F dr M 21 F due u 12 F due u 12 d A F due 12 u
power output power input
energy output energy input
Như vậy, có thể kết luận là nội lực có thể sinh công hoặc không sinh công tùy thuộc vào từng trường hợp cụ thể.
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
Liên kết dây căng không dãn và tại các khớp trơn nhẵn (không ma sát): nội lực không sinh công.
Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy
-13-
Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy
-14-
1. Động năng của cơ hệ
Động năng của chất điểm
m
2
2
2
2 [kg m / s ] N m J
mv
,
T
0
T
mv
II. ĐỘNG NĂNG VÀ ĐỊNH LÝ ĐỘNG NĂNG
v
1 2
1 2
1. Động năng của cơ hệ
2
Động năng của vật rắn
,
=
w + ´
=
v dm v
s
T
v A
ò
( )r t
B
O
2. Định lý động năng
w
P
2 v dm
T
=
ò
B
3. Ví dụ áp dụng
vdm u
s
s
) s dm
w
+ ´ ⋅
w + ´
=
( v A
) ( v A
ò
Cs
r
A
(
) s dm
s
) s dm
w
w
=
⋅
+
( w ⋅ ´
+
) ( ´ ⋅ ´
v A
v dm A
v A
ò
ò
ò
Or
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2
O0
w
w
(
A C
º =
T
+
) ( ´ ⋅ ´
u
) u dm
,
udm
=
0
2 mv C
ò
sdm ms = C
ò
ò
1 2
1 2
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy
-15-
Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy
-16-
C
1. Động năng của cơ hệ
1. Động năng của cơ hệ
Động năng của vật rắn chuyển động tịnh tiến
w =
0
Động năng của vật rắn phẳng
w
w ^
u
ze
2
2
2
w
k
s
^
=
w
´ ⋅ ´ = ) (
)
(
s
w
,
w
s
w
s
v
T
=
2 v dm
=
mv
v A
⋅ = v A
2 A
ò
B
1 2
1 2
v
Cv u
Động năng của vật rắn quay quanh trục cố định z
dm
T
2 v dm
=
=
v vdm ⋅
ò
s
h
1 2
C Cs
B
B
v
2
2
2
T
2 v dm
2 h dm
I
=
=
w
=
w
z
e
I
s dm2
A
(
)
ò
ò
mv
I
=
+
ò w ⋅ ´ (
)
+
w
B
B
A
dm r
1 2
1 2
1 2
= ò
2 A
mv A
s C
A
B
1 2 1 2
1 2
I
u dm2
C
= ò
B
Nếu chọn điểm A trùng với khối tâm C của vật, khi đó sC = 0
v
=
h
w
= h q
I
2 h dm
=
z
ò
B
2
T
I
=
+
w
2 mv C
C
1 2
1 2
A
Động năng của cơ hệ gồm nhiều vật rắn Động năng của cơ hệ bằng tổng động năng của các vật thuộc hệ.
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy
-17-
Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy
-18-
2. Định lý động năng / đối với cơ hệ
2. Định lý động năng / đối với chất điểm
Định lý 4. Đạo hàm theo thời gian động năng của cơ hệ bằng tổng công suất của các nội lực và ngoại lực tác dụng lên cơ hệ:
Định lý 1. Đạo hàm theo thời gian động năng của chất điểm bằng công suất của lực tác dụng lên chất điểm:
(1)
= = ⋅
P
F v
dT dt
(1)
=
F v ⋅ = k k
e F v ⋅ + k k
i F v ⋅ k k
å
å
å
k
k
k
dT dt
i
kF
Chứng minh. Đối với một chất điểm Mk thuộc cơ hệ
kz
Chứng minh: Xuất phát từ tiên đề 2 Newton F v = ⋅
⋅
mv (
mv (
F
v
=
)
)
m
d dt
e
kv kF
v
z m1
=
)
(
2
2 m v k k
e F v ⋅ + k k
i F v ⋅ k k
)
(
(
)
d dt v
⋅
( mv
=
mv v
) ⋅ =
mv
=
T
d dt
1 2
1 2
1 2
d dt
d dt
d dt
r
ky y
Lấy tổng hai vế với tất cả các chất điểm thuộc hệ
O
kx x
(2)
mk O
Định lý 2. (dạng vi phân)
F
d dt F vdt = ⋅
F dr = ⋅
dT
=
d A¢
(
)
=
(2)
2 m v k k
e F v ⋅ + k k
i F v ⋅ k k
å
å
å
Định lý 3. (dạng hữu hạn)
d dt
1 2
k
k
k
r 2
(3)
,
A
mv
-
mv
=
F dr ⋅
T 2
- = T 1
- 1 2
2 2
2 1
(4)
=
ò
T 1
-+ A
1 2
T 2
r 1
1 2
1 2
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy
-19-
Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy
-20-
2. Định lý động năng / đối với cơ hệ
3. Ví dụ áp dụng
(1)
=
e F v ⋅ + k k
i F v ⋅ k k
å
å
dT dt
k
k
i
kF
I1 I2 z 2 r 1 m1 1 B
Định lý 5. (dạng vi phân)
kz
dT
=
+
=
)
+
)
e
vận tốc Cabin A theo góc quay động cơ 1. gia tốc Cabin A
F v dt ⋅ k
e k
F v dt ⋅ k
i k
e ¢ d A F ( k
i ¢ d A F ( k
(2)
å
å
å
å
kv kF
k
k
k
k
r1 r2 M1 mk
Ví dụ 1. Mô hình thang máy như trên hình. Mô men động cơ M1 = const tác dụng làm hệ chuyển động từ trạng thái đứng yên. Cho biết các thông số hệ: r1, I1, r, r2, I2, m, mC, g. Xác định: - - - Công suất động cơ khi cabin A có vận tốc v và gia tốc a hướng lên.
A O
Định lý 6. (dạng hữu hạn)
ky y
mC m
Lời giải
(
)
+
(
)
kx x
(3)
T 2
- = T 1
e A F k - 1 2
i A F k - 1 2
å
å
k
k
Phân tích chuyển động:
+
(
)
+
(
)
=
T 1
e A F k - 1 2
i A F k - 1 2
T 2
å
å
hoặc
Các lực sinh công:
k
k
, C M P P 1,
Tính động năng hệ khi Cabin A có vận tốc v đi lên
h PC P
Tính tổng công các lực khi trục 1 quay được góc 1.
Lưu ý • Định lý động năng dạng hữu hạn cho ta quan hệ giữa vận tốc và dịch chuyển. • Khi áp dụng định lý động năng cần phân loại lực thành lực sinh công và lực không sinh công.
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
1 = 0 , h = 0
Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy
-21-
Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy
-22-
3. Ví dụ áp dụng / ví dụ 1.
3. Ví dụ áp dụng / ví dụ 1.
Tính động năng hệ khi Cabin A có vận tốc v đi lên
Tính tổng công các lực khi trục 1 quay được góc 1
I
=
w
M
-
+ mgh m gh
T
= + +
+
T 1
2 1
1
A 0
- =
q 1 1
C
T 2
T 1
T A
T C
q 1
2
I
mv
=
w
,
=
,
=
T 2
2 2
2
T A
T C
2 m v C C
=
w
/
/
= h
/
1 2
1 2
1 2 1 2
Động học vr 2
1
r r 1
= q 1
hr 2
r r 1
q r r 1 1
r 2
I1 I1 I2 I2 2 2 r r 1 1 1 1 B B 2 2 r1 r1 r2 r2 M1 M1
M (
+
m (
-
A 0
- =
1
m gr r ) 1
q / ) r 1 2
C
q 1
Động học = v
=
v
,
=
r / ,
w
=
w
/
1
r 2 2
r 1
1
Định lý động năng dạng hữu hạn
v v mC mC A A m m vC vC
r r 1 /
v C A = w vr / 2 = q hr 1 2
v w 2 = q hr r r / 2 1 1 = h q r r r r / 1 1 1
r 2
,
=
0
- = T T 0
A 0
T 0
q- 1
2
2
T
I
I
mv
=
w
+
w
+
+
=
2 1
1
2 2
2
2 mv C
m v tg
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
+
-
2[
M
m (
/
2
C
1
m gr r ) 1
r 2
q ] 1
=
+
/
= v
m v tg
C
- M mgr r ( 1
1
r m gr r 2 1
q / ) r 1 2
m
1 2
m
= +
m m
+
2 )
+
I
2 (1 / ) r
tg
( / I r 2 1
r r 1
2
tg
C
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy
-23-
Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy
-24-
h h PC PC P P
3. Ví dụ áp dụng / ví dụ 1.
3. Ví dụ áp dụng / ví dụ 2.
Tính gia tốc Cabin A
=
=
[
+
-
/
T
m vv M
( m
tg
) m gr r 1
r 2
C
1
]q 1
d dt
dA dt
+
-
[
M
m (
/
]
1
m gr r ) 1
r 2
C
a
= = v
I1 I2 M 1 Áp dụng định lý động năng dạng đạo hàm 2 r 1 1 O B A r1 2 r2 C M1
w = 1
vr 2
r r 1/
m
tg
r 2 r r 1
K v 3
Ví dụ 2. Cho cơ hệ chuyển động trong mặt phẳng đứng. Mô men động cơ M = const tác dụng làm hệ chuyển động từ trạng thái đứng yên. Trục tời 1 là trụ tròn đặc đồng chất khối lượng m1, r1. Con lăn hai tầng 2 có khối lượng m2, bán kính nhỏ r2 và bán kính lớn R2, mô men quán tính đối với trục qua tâm là I2, lăn không trượt trên mặt nghiêng. Vật nặng 3 có khối lượng m3, hệ số ma sát trượt động với mặt nghiêng là . Các dây không trọng lượng, không dãn.
A mC m Công suất động cơ khi cabin A có vận tốc v và gia tốc a hướng lên.
m vv M
m
P =
=
+
[(
-
/
tg
m gr r ) 1
r 2
C
q ] 1
dT dt
q 1 1 P
dc
Xác định: a) Vận tốc góc của trục tời phụ thuộc vào góc xoay của nó, =() . b) Gia tốc góc của trục tời, gia tốc góc của con lăn, và gia tốc của vật 3. c) Biểu thức vận tốc góc của trục tời theo thời gian 1(t), khi kể đến mô men cản tại ổ trục O tỷ
lệ vận tốc góc, MC = k .
=
+
-
( m m g v
)
M
w
=
+
[(
-
)
/
P dc
C
= P dc
1
1
m vv tg
m m gr r 1 C
r 2
q ] 1
é m v ê ë tg
ù ú û
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
h Áp dụng định lý động năng dạng đạo hàm PC P
Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy
-25-
Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy
-26-
3. Ví dụ áp dụng / ví dụ 2.
3. Ví dụ áp dụng / ví dụ 2.
Tính động năng hệ khi trục 1 có vận tốc góc
YO M
Lời giải
2
2
,
I
=
w
=
j
O
T 1
2 m r 1 1
T
= + +
Phân tích chuyển động:
T 2
T 1
T 3
,
I
=
+
w
T 2
2 m v C 2
2 2
2
1 2 1 2
Các lực sinh công:
,
,
M G G F , 2 3
3
=
T 3
2 m v 3 3
1 2 1 2 1 2
Tính động năng hệ khi trục 1 có vận tốc góc
w
v A w
= =
r 1 v
, w +
)
=
+
)]
w
,
2
r 2
Khi bỏ qua mô men cản ổ trục O:
=
A w
=
r [ / ( 1 +
R 2 w
)]
,
v
=
v C
r 2
= r 1 1 / ( R r 2 2 r r [ / ( 2 1
2
R 2
r 2
3
v C
T
I
2 )]
2
2 tg
2 m r ( 2 2
2 I m r 3 2 2
r )[ / ( 1
R 2
r 2
1 YO XO M 1 O XO N2 A O N2 A 2 G1 C N3 2 G1 C K N3 3 K Động học F2 G2 3 F2 F3 G2 G3 G3 F3 Tính tổng công các lực khi trục 1 quay được góc .
2 m r 1 1
Khi kể đến mô men cản ổ trục O:
1 2
1 2
Tính tổng công suất các lực khi trục 1 có vận tốc góc .
2 )]
tgI
2 m r 1 1
2 ( m r 2 2
2 I m r 3 2 2
)[ / ( r 1
R 2
r 2
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy
-27-
Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy
-28-
3. Ví dụ áp dụng / ví dụ 2.
3. Ví dụ áp dụng / ví dụ 2.
b) Tính gia tốc góc trục tời. Sử dụng định lý động năng dạng đạo hàm
Tính tính tổng công của các lực khi trục tời xoay được góc
G (
G (
A M
sin ) s
F s 3 3
P
dT dt
dA dt
=
2 =
+
s
s C
sin ) s C r r [ / ( 2 1
3 R 2
3 r j )] 2
3
[(
) sin
cos
G
]
r r G G 2 1 2
3
I
M
tg
)
=
m
N
,
N
=
G
cos
b
3 R ( 2
r 2
F 3
3
3
3
+
+
(
G
) sin
b
m
G
cos
b
]
r r [ G 1 2
2
3
-
j
A 0
-
j
+
)
æ ç ç= M ç ç è
ö ÷ ÷ ÷ ÷÷ ø
3 R ( 2
r 2
Định lý động năng dạng hữu hạn
)
[(
) sin
cos
G
]
( M R 2
r 2
r r G G 2 1 2
3
[(
) sin
cos
G
]
r r G G 2 1 2
3
= const
A
I
M
T T 0
2 tg
( R 2
3 ) r I 2
tg
1 2
)
3 ( R 2
r 2
[(
) sin
cos
G
]
r r G G 2 1 2
3
[(
) sin
cos
]
G
r r G G 2 1 2
3
M
0
M
( )
)
2 I
)
3 ( R 2
r 2
3 ( R 2
r 2
tg
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
YO YO M M 1 1 XO sC XO O O N2 N2 A A Động học 2 G1 2 G1 s3 C C N3 N3 K K 3 3 F2 F2 G2 G2 F3 F3 G3 G3
Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy
-29-
Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy
-30-
3. Ví dụ áp dụng / ví dụ 2.
c) Khi có mô men cản tại ổ trục tỷ lệ với vận tốc góc.
Không thể tính được công hữu hạn. Sử dụng định lý động năng dạng đạo hàm
[(
) sin
cos
]
G
r r G G 2 1 2
3
III. LỰC BẢO TOÀN, THẾ NĂNG. ĐỊNH LÝ BẢO TOÀN CƠ NĂNG
P
M
M
, c
M k c
)
3 ( R 2
[(
) sin
cos
]
G
r r G G 2 1 2
3
P
voi
C
M
) ,
C k (
1. Lực bảo toàn - Thế năng
)
3 ( R 2
r 2
r 2
2. Định lý bảo toàn cơ năng
(0)
0
C k (
),
dT dt P
/
I
C k (
)
tg
d dt
1 I
tg
3. Ví dụ áp dụng
*
dt
dt
ln(
C k
)
t C
k I
k I
d C k (
)
( d C k C k (
) )
tg
tg
tg
*
*
t C
t C
1 I k I
k I
tg
tg
e
)
C k
C e (
t
k I
tg
*
*
C
C
)
( ) t
(1
e
gh
lim ( ) t t
(0)
0
0
)
e
C
C e (
1 k
C k
C k
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy
-31-
Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy
-32-
1. Lực bảo toàn – Thế năng
1. Lực bảo toàn – Thế năng
Nếu lực F là lực bảo toàn hay lực có thế, công của nó được tính thông qua hàm thế năng như sau:
(1)
(1)
Đường 1
)
dA
= - P =
A
d
d
P = - P - P (
F dr ⋅
= -
(1)
(0)
ò
ò
(0)
(0)
Đường 1
(1)
(1)
Đường 2
(1)
Khi công thực hiện bởi một lực di chuyển chất điểm từ vị trí này sang vị trí khác không phụ thuộc vào đường di chuyển của điểm, thì lực này được gọi là lực bảo toàn hay lực có thế. F dr ⋅
+
+
=
=
A
)
F
F dy y
F dz z
F dx ( x
ò
ò
(0)
(0)
Đường 2
F
Lưu ý: Thế năng phụ thuộc vào hệ qui chiếu, nhưng độ lệch giữa hai vị trí (0) và (1) thì không phụ thuộc vào hệ qui chiếu. Ví dụ lực thế. Trong cơ học, thế năng do trọng lực (trọng lượng) hoặc lò xo đàn hồi là rất quan trọng.
Tích phân trên không phụ thuộc đường đi, nếu biểu thức tích phân là vi phân toàn phần của một hàm nào đó, ký hiệu.
(2)
- P =
d
+
+
F dx x
F dy y
F dz z
Hàm (x,y,z) đưa vào ở đây được gọi là hàm thế năng của lực F hay hàm năng lượng thế năng. So sánh vi phân toàn phần của hàm và (2)
0
0
= -
,
= -
,
= -
2
d
P =
dx
+
dy
+
dz
F x
F y
F z
-
Wdy Wy mgy
=
=
-
ksds
=
ks
P = g
P = e
¶P ¶ y
¶P ¶ z
¶P ¶ x
ò
¶P ¶ y
¶P ¶ z
¶P ¶ x
ò
y
s
1 2
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
Vg=+Wy = ks2/2 W y O s l0 O Vg= 0 = 0 -y k s Vg=-Wy = ks2/2 W
Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy
-33-
Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy
-34-
1. Lực bảo toàn – Thế năng
1. Lực bảo toàn – Thế năng
Thế năng của lò xo xoắn
im
Trong trường hợp tổng quát, nếu hệ chịu tác dụng của cả hai loại lực bảo toàn (trọng lực và lực đàn hồi lò xo) thế năng của hệ là tổng thế năng của các lực bảo toàn.
k
z
P = P + P g
e
k
1
km
Thế năng của cơ hệ Thế năng của hệ tại vị trí (1) là số đo tổng công thực hiện bởi các lực bảo toàn khi nó di chuyển từ vị trí ‘1’ về vị trí mốc ‘0’:
Ci g
2
(0)
(1)
P =
A
=
= -
F dr ⋅ k
k
F dr ⋅ k
k
1 0 -
å
å
0
ò
ò
(1)
(0)
1
2
k
k
0
k
lxM
k
kj O y x lò xo không bị xoắn Trường lực lò xo không bị xoắn
lxM
0
0
P =
=
-
k d
q q
A q
-
0
2
ò
q
P =
=
-
k d
j j
=
k
j
-
A j
0
1 2
ò
j
2
2 )
=
k
q
=
k
( j
-
j
2
1
1 2
1 2
Trường lực là khoảng không gian vật lý mà khi chất điểm chuyển động trong trường lực chịu tác dụng lực chỉ phụ thuộc vào vị trí của nó. Trường trọng lực, trường các lực đàn hồi là những ví dụ về trường lực.
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy
-35-
Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy
-36-
Trường lực thế là trường lực mà công của lực tác dụng lên chất điểm không phụ thuộc vào dạng quỹ đạo điểm đặt của lực mà chỉ phụ thuộc vào vị trí đầu và vị trí cuối của nó. Lực do trường lực thế tác dụng lên chất điểm đặt trong nó được gọi là lực thế. Trường trọng lực, trường lực đàn hồi tuyến tính là trường lực thế; còn trọng lực, lực đàn hồi tuyến tính là những lực thế.
2. Định lý bảo toàn cơ năng
3. Ví dụ áp dụng
z
YO
Định lý bảo toàn cơ năng: Khi cơ hệ chuyển động trong trường lực thế thì cơ năng của cơ hệ được bảo toàn.
im
Ví dụ 1. Một vật quay quanh trục nằm ngang O từ vị trí đầu được xác định bởi góc 0 và vận tốc góc đầu 0. Tìm vận tốc góc của vật quay theo góc quay của nó. Bỏ qua sức cản của không khí và ma sát tại ổ trục quay.
O
Ci g
XO
IO
(1)
)
)
-
+
=
=
T
T
e A F ( k
A -
0 1
(0)
(1)
å
å
C
km
k
k
(2)
Giả sử cơ hệ chuyển động trong trường lực thế từ vị trí đầu (0) đến vị trí (1) nào đó. Theo định lý động năng ta có i A F ( k kj O
Lời giải Khảo sát cơ hệ là con lắc vật lý. Các lực tác dụng gồm: phản lực XO, YO tại ổ trục quay O không sinh công và trọng lực mg là lực hoạt động có thế. Do đó cơ hệ khảo sát là cơ hệ bảo toàn.
mg
A - = P - P
0 1
(0)
(1)
Áp dụng định lý bảo toàn cơ năng
(1)
T
const
0
T 0
T
+ P = - P = =
E
const
(3)
0
(0)
T 1
(1)
I
mgl
const
cos
(2)
0
T 0
2 O 0
0
y x Cơ năng của hệ tại thời điểm đầu:
1 2
2
(cos
cos
)
2 0
0
2 mgl I
O
cos
T
I
mgl
(3)
2 O
Thay (2, 3) vào (1), ta giải được: Cơ năng của hệ tại thời điểm bất kỳ:
1 2
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
Hệ cơ học nghiệm đúng định luật bảo toàn cơ năng được gọi là hệ bảo toàn, còn lực hoạt động tác dụng lên cơ hệ được gọi là lực bảo toàn. Như vậy, lực thế còn được gọi là lực bảo toàn. Nếu ngoài các lực bảo toàn còn có những lực không bảo toàn, chẳng hạn như lực ma sát, lực cản tác dụng lên cơ hệ thì cơ năng của cơ hệ sẽ biến đổi. Khi đó trong hệ sẽ có sự chuyển hóa cơ năng của cơ hệ khảo sát sang các dạng năng lượng khác như nhiệt năng,… Cơ hệ như vậy được gọi là hệ không bảo toàn.
Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy
-37-
Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy
-38-
3. Ví dụ áp dụng
3. Ví dụ áp dụng
Để xác định lực căng cáp treo, ta viết phương trình chuyển động cho máy bay (coi như điểm).
Do máy bay chuyển động theo quĩ đạo tròn, áp dụng phương pháp tọa độ tự nhiên, ta có
2
ma
F
a
,
n
, k n
n
O O C C 20 m 20 m A Ví dụ 2. Để thử va đập cho mô hình máy bay có khối lượng m = 8000 kg, người ta treo mô hình và nâng nó lên đến vị trí θ = 60°, sau đó thả để nó chuyển động từ trạng thái đứng yên. Xác định vận tốc máy bay khi nó chạm đất ứng với góc θ = 15o. Đồng thời xác định lực căng lớn nhất của cáp treo. Bỏ qua lực cản không khí và kích thước máy bay. A T T
v l
m
T
mg
g m
cos15
T m
cos15
2 v B l
2 v B l
B W B W
Từ đây tính được: T = 149 kN.
60
mgl
v m
mgl
0
cos
cos1
5
T A
A
T B
B
2 B
1 2
v
0
800
8000
8000 9.81 20 cos
15
0 9.81 20 cos 6
0
2 B
1 2
Lời giải Bỏ qua kích thước máy bay, nên nó được coi như chất điểm. Các lực tác dụng sau khi thả (cắt dây AC) chỉ còn lại trọng lực W và lực căng cáp treo T. Chỉ có trọng lực sing công, đó là lực bảo toàn. Chọn gốc thế năng của trọng lực là mặt ngang qua O. Để xác định vận tốc máy bay khi chạm đất, ta áp dụng định luật bảo toàn cơ năng
13.5 m/s
Bv
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy
-39-
Chương 2. Động lực học cơ hệ: Công – năng lượng. Kinetics of a mechanical systems: Work - energy
-40-
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
Từ đây tính được vận tốc máy bay khi chạm đất
